國中 數學精進教材 教師手冊 -...
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I
數學精進教材 目錄
單元 1 整數與數線
壹、主題與子題 .....................................................................................1-i
貳、必備與次要能力 .......................................................................... 1-ii
主題一 正負數與絕對值 .................................................................... 1
B1-1-1-1:負數的意義 .......................................................................... 1
B1-1-1-2:數線上的坐標 ...................................................................... 2
B1-1-1-3:數的大小 .............................................................................. 4
B1-1-1-4:相反數 .................................................................................. 5
B1-1-1-5:絕對值 .................................................................................. 6
B1-1-1-6:絕對值的應用 ...................................................................... 7
綜合練習 ................................................................................................. 8
主題二 整數的加、減運算 .............................................................. 11
B1-1-2-1:同號數相加 ........................................................................ 11
B1-1-2-2:異號數相加 ........................................................................ 12
加法綜合練習一 ................................................................................... 15
加法綜合練習二 ................................................................................... 17
B1-1-2-3:加法交換律與結合律 ........................................................ 19
加法綜合練習三 ................................................................................... 20
B1-1-2-4:減法-----減去負數 ............................................................. 21
B1-1-2-5:減法-----減去正數 ............................................................. 22
減法綜合練習一 ................................................................................... 23
B1-1-2-6:整數的加減混合運算 ........................................................ 24
B1-1-2-7:數線上兩點間的距離 ........................................................ 25
B1-1-2-8:加減法的應用問題 ............................................................ 27
綜合練習 ............................................................................................... 28
II
主題三 整數的乘除 ............................................................................ 30
B1-1-3-1:整數的乘法 ........................................................................ 30
B1-1-3-2:整數的乘法交換律與結合律 ............................................ 32
B1-1-3-3:整數的除法 ........................................................................ 33
B1-1-3-4:整數的四則運算 ................................................................ 34
B1-1-3-5:利用分配律解題 ( 先復習分配律 ) ................................ 35
綜合練習 ............................................................................................... 36
主題四 指數律 ..................................................................................... 38
B1-1-4-1:指數的意義 ( 說明指數的記法與規範 ) ........................ 38
B1-1-4-2:指數律 ................................................................................ 40
B1-1-4-3:指數律的運算 .................................................................... 44
B1-1-4-4:負指數的意義 .................................................................... 45
綜合練習 ............................................................................................... 46
主題五 科學記號 ................................................................................ 48
B1-1-5-1:科學記號的意義 ................................................................ 48
B1-1-5-2:科學記號的計算 ................................................................ 51
綜合練習 ............................................................................................... 56
1-i
壹、主題與子題
主題 子題 範例
正負數與絕對值
(B1-1-1) 負數的意義(B1-1-1-1) 1
數線上的坐標(B1-1-1-2) 1
數的大小(B1-1-1-3) 1
相反數(B1-1-1-4) 1
絕對值(B1-1-1-5) 1
絕對值的應用(B1-1-1-6) 1
整數的加、減運算
(B1-1-2) 同號數相加(B1-1-2-1) 1
異號數相加(B1-1-2-2) 1~6
加法交換律與結合律(B1-1-2-3) 1
減法(減去負數)(B1-1-2-4) 1
減法(減去正數) (B1-1-2-5) 1
整數的加減混合運算(B1-1-2-6) 1
數線上兩點間的距離(B1-1-2-7) 1~2
加減法的應用題(B1-1-2-8) 1
整數的乘除
(B1-1-3) 整數的乘法(B1-1-3-1) 1~2
整數的乘法交換律與結合律(B1-1-3-2) 1
整數的除法(B1-1-3-3) 1
整數的四則運算(B1-1-3-4) 1
利用分配律解題(B1-1-3-5) 1
指數律
(B1-1-4) 指數的意義(B1-1-4-1) 1~3
指數律(B1-1-4-2) 1~2
指數律的運算(B1-1-4-3) 1~2
負指數的意義(B1-1-4-4) 1
科學記號
(B1-1-5) 科學記號的意義(B1-1-5-1) 1~2
科學記號的計算(B1-1-5-2) 1~5
1-ii
貳、必備與次要能力
一、 進行主題教學前,須檢驗學生對正整數加、減、乘、除及混合四
則運算的能力。
二、 在準備度測驗中:
1. 第一題測驗學生對簡單加、減、乘、除的運算能力。
2. 第二題測驗正整數四則混合運算中,學生對運算先後順序的了
解。
3. 第三題測驗學生解簡單應用題的能力。
三、 本章在整數的加減運算上並沒有標示利用數線模式或平衡模式
(如:以太極圖為教具的教學,如「核心教材.模組一」,教師可
以選擇使用。)
整數與數線
必備能力
正整數或 0 的加、減、
乘、除運算
正整數或 0 的四則運算
次要能力
正數在數線上的位置
簡易文字題的讀題能力
1
練習
範例 1
單元 1 整數與數線
主題一 正負數與絕對值
B1-1-1-1:負數的意義
1. 明明以學校門口為基準點,若向東走 3 公里用+3 公里表示,則向
西走 2 公里用 -2 公里表示。
2. 以海平面為基準,若海平面下 3 公尺以-3 公尺表示,則海平面上
1200 公尺以 +1200 公尺表示 。
3. 小雅自我要求數學段考以 75 分為目標,若成績 81 分以+6 分表
示,則成績 68 分以 - 7 分表示,成績 75 分記為 0 分,
成績 65 分以-10 分表示。
1. 若賺 200 元以+200 元表示,則賠 95 元以 -95 元表示。
2. 若身高以 160 公分為標準,甲身高為 157 公分,記為-3 公分,則:
(1) 乙身高 160 公分,記為 0 公分。
(2) 丙身高 166 公分,記為 +6 公分。
(3) 丁身高 154 公分,記為-6 公分。
1-t
★ 教學提示
一、 教學目的:了解負數的意義。
二、 教學注意事項:
【範例 1 第 1 題】、【範例 1 第 2 題】:確定基準點之後,以有號數
記錄相對位置。
【範例 1 第 3 題】及【練習第 2 題】:說明基準量的意義(基準量記
為 0),找出相對數量,並以有號數記錄。
【練習第 1 題】:賺、賠問題中以不賺不賠(即 0)為基準量。
▲ 錯誤類型與指導策略:【練習第 2 題】
一、 錯誤類型:乙身高 166 公分,記為+166 公分。
二、 指導策略:說明基準數量的意義。
如:以 160 公分為標準,161 公分比 160 公分多 1 公分記為+1 公
分,表示它的基準量是 160 公分,而單位是以 1 公分為單位。由
於 159 公分比 160 公分少 1 公分故記為-1 公分。
2
範例 1
B1-1-1-2:數線上的坐標
1. 在數線上標示 A(2.5)、B(-12
1)、C(2)、D(-3)四點:
Ans:如上圖所示。
2. 寫出下面數線上 A、B、C、D、E、F 六點的坐標:
A 點坐標:
33
4
,B 點坐標:
22
3
,C 點坐標:
11
2
。
D 點坐標:
2
5
,E 點坐標:
51
6 ,F 點坐標:
72
10 。
D C B A
2-t
★ 教學提示
一、 教學目的:了解直線上坐標的意義,即:
1. 在數線上標示有號數的位置。
2. 能寫出數線上點的坐標。
二、 教學注意事項:
1. 說明數線三要素,原點、單位、正向。
2. 在小學曾學過簡單的數線(0 及正整數的位置)。
3. 教學時應詳細說明正分數與小數的位置,再以相對位置說明,負
分數與負小數在數線上的點。
▲ 錯誤類型與指導策略:【範例 1 第 2 題】
一、 錯誤類型:
負分數 如:4
33 標在
4
13 的位置上。
2
11 標在
2
1 的位置上。
5
2 標示在–5.2 的位置上。
二、 指導策略:如「教學注意事項 3」。
3
練習
1. 在數線上標示 A(-0.5)、B(-21
3)、C(1
2
1)、D(2.3)四點:
Ans:如上圖所示。
2. 寫出下面數線上 A、B、C、D 的坐標。
A( 1
22
) ;B( 1
13
);C( 3
34
);D( 1
2 )
B C A D
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
D B A C
4
練習
B1-1-1-3:數的大小
在數線上標出下列各數的坐標,並將各數由小至大排列。
4、2
3 、–3、
7
2、–2.3
Ans:如上圖所示;-3 < -2.3 < 2
3 <
7
2< 4。
在數線上標出下列各數的坐標,並將各數由小到大排列。
–2、–3、0、–2.7、2.2、1
Ans:如上圖所示;-3 <-2.7 < -2 < 0 < 1< 2.2
範例 1
–3
–2.7
2.2 –2 0 1
–3 –
3
2
–2.3
4 2
7
4-t
★ 教學提示
一、 教學目的:觀察愈右邊的點其坐標點上所代表的數愈大。
二、 教學注意事項:
1. 先從數線上整數的大小觀察。
2. 說明遞移律:
a>b,b>c,則 a>b>c 。
a<b,b<c,則 a<b<c。
3. 注意學生在數線上標示坐標點的位置是否正確,例如-2.3。
4. 比較大小的時候:
(1) 大略說明「負整數 < 0 < 正整數」。
(2) 數線上愈右邊(正向)的點代表的數愈大。
▲ 錯誤類型與指導策略:
一、 錯誤類型:學生常將 a>b>c>d>e…,寫成 a<b<c<d<e…。
二、 指導策略:
不等號的使用說明(>或<):開口的一方為大,例 7>-2,5<9。
5
範例 1
練習
B1-1-1-4:相反數
1. 若甲數是 6,則甲數的相反數為 -6 。
若 b 是-3,則 b 的相反數為 3 。
2. 若乙數的相反數是-2.7,則乙數為 2.7 。
3. a 的相反數為-2,則 a 是 2 ,又-a 的相反數是 2 。
在下列各題中填入適當的數:
1. 7 的相反數為 -7 ;0 的相反數為 0 ;
2. -1.2 的相反數為 1.2 ;1
3的相反數為
1
3
。
5-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用數線說明相反數的意義。
二、 教學注意事項:
1. 說明數線上位於原點兩側且與原點脫離的相等的兩點,所表示的
數互為相反數;0 的相反數為 0。
2. 從【範例 1 第 2 題】的經驗中希望學生能完成【範例 1 第 3 題】。
3. 【範例 1 第 3 題】附帶說明當 a 為負數時,其相反數-a 是正數。
這題的抽象性較高,教師可反覆多舉實例說明。
▲ 錯誤類型與指導策略:【練習第 1 題】
一、 錯誤類型:0 的相反數為-0。
二、 指導策略:說明 0 的相反數規定為 0。
6
範例 1
練習
B1-1-1-5: 絕對值
在下列各題中填入適當的數:
1. |5|= 5 ;|-5|= 5 ;(互為相反數的兩數,其絕對值相等)
|-2.4|= 2.4 ;|7
5|=
5
7 。
2. 在數線上標出絕對值等於 3 的所有整數點。
Ans:如上圖所示。
3. 若|a|=9,則 a= 9 或 -9 。
4. 若 5+|b|=7,則 b= 2 或 -2 。
5. 在數線上標出絕對值小於 4 的所有整數點。
Ans:如上圖所示。
1. 在下列各題中填入適當的數:
(1) |-2|= 2 ;|-7|= 7 ;
|2.1|= 2.1 ;|-3
5|=
5
3 。
(2) 若|a|=15,則 a= 15 或 -15 。
(3) 若 1+|b|=1,則 b= 0 。
2. 在數線上標出與原點距離為 2.5 的點。
Ans:如上圖所示。
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
6-t
★ 教學提示
一、 教學目的:了解絕對值的意義。
二、 教學注意事項:
1. 以數線上的距離說明絕對值的幾何意義。並說明絕對值符號。
2. 說明互為相反數的兩數其絕對值相等,而 0 的絕對值為 0。
3. 【範例 1 第 5 題】中〝絕對值小於 4〞可以轉換另一說法,與〝原
點距離小於 4〞。說明小於 4 並不包含 4。
▲ 錯誤類型與指導策略:【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型:絕對值與相反數的意義混淆。
例:│5│=-5,│2.1│= -2.1。
二、 指導策略:說明絕對值的意義並說明:
│-5│=│5│= 5,
│2.1│= │-2.1│= 2.1。
7
範例 1
練習
B1-1-1-6:絕對值的應用
1. (1) –97、–9、–25、–365、–105.1 這些數中,在數線上哪一個數
離原點最近?哪一個數離原點最遠?
(2) 比較下列各數的大小關係並由大至小排列:
–97、–9、–25、–365、–105.1
Ans:(1) – 9 最 近 、 – 365 最遠
(2) – 9 > – 25 > – 97 > – 105.1 > – 365
2. 比較下列各數的大小關係並由大至小排列:
219、–123、–932、–250、–933、0
Ans:219 > 0 > -123 > -250 > -932 > -933
比較下列各數的大小關係並由大至小排列:
1. –20、–4 7、25、0、–95.9
Ans:25 > 0 > –20 > – 4 7 > –95.9
2. –|–65|、–70、–(–23)、38、0、–37
Ans:38 > –(–23)> 0 > –37 > –|–65|> –70
7-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用坐標點與原點的距離(即絕對值)判別數的大小。
二、 教學注意事項:
1. 觀察負數在數線上的點。並歸納出距離原點愈遠的負數其值愈小。
2. 說明 「負數<0<正數」。
3. 數線上愈右邊(正向)的點代表的數愈大。
4. 利用絕對值判別數的大小。
5. 【練習第 2 題】中:
(1) –|– 65|應將其值先化成– 65,再比較與其它數的大小。寫
答時記回 –|– 65|的樣子。
(2) 而– (–23)可說明成–23 的相反數為 23,即– (–23) = 23。
8
綜合練習
1. ( A ) 賺錢以「+」表示,賠錢以「-」表示,先賺了 100 元,
後賠了 230 元,其結果記為下列何者?
(A) -130 元 (B) -330 元
(C) +130 元 (D) +330 元
2. ( B )下列哪一個數到原點的距離最近?
(A) 21
2 (B) -1.6 (C) 3
1
4 (D) -2.1
3. 若以 60 分為標準,甲 57 分,記為 –3 分,則:
(1) 乙 60 分,記為 0 分。
(2) 丙 75 分,記為+15 分。
(3) 甲、乙、丙三人的平均分數 64 分,可記為 +4 分。
4. 在下面的數線上標出 A(2
11 )、B(-3.4)、C(-
1
4)、D(2.7)四點。
( 說明:小數與分數的互換-3.4 可換成-2
35標示 )
Ans:如上圖所示。
B A C D
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
9
5. 寫出下面數線上各點的坐標:
A 點坐標:A( 3
14
) , B 點坐標:B( 4 ),
C 點坐標:C( 2
23
) , D 點坐標:D( -2.5 )。
6. 若甲數的相反數為-5,則甲數是 5 。
7. 求下列各式的值:
(1) |-23|= 23 。 (2) -|-78|= -78 。
(3) |-1.9|= 1.9 。 (4) |-11
2|= 1
1
2 。
8. 將下列各數由大到小排列:
-|-8|、71
2、-6、0、|-5|
Ans:71
2>|-5|>0>-6>-|-8|
11
範例 1
練習
主題二 整數的加、減運算
B1-1-2-1:同號數相加
計算下列各式的值:
1. (-1)+(-2)= -3 。
2. (-25)+(-10)= -35 。
計算下列各式的值
1.(-2)+(-6)= -8 2. (-10)+(-2)= -12
3.(-31)+(-100)= -131 4. (-42)+(-23)= -65
(a>0,b>0;(-a)+(-b)=-(a+b))
11-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能求兩負數的和。
二、 教學注意事項:
1. 無論利用數線或平衡模式做有號數的加減,學生應確實瞭解操作
過程。利用題中較小的數目操作,得到運算規則,再以兩位數運
算脫離操作的情境。
2. 學生容易誤用〝負負得正〞的運算規則,因此像(-2)+(-3)就應
唸出負二加負三,將性質符號與運算符號清楚的區隔。
▲ 錯誤類型與指導策略:
一、 錯誤類型:〝負負得正〞口訣的誤用。
例:(-42)+(-23)=65
二、 指導策略:如「注意事項 2」。
12
練習
範例 1
B1-1-2-2:異號數相加
兩相反數相加。 (說明:兩相反數的和為 0)
計算下列各式的值:
1. (-2)+ 2 = 0
2. (-37)+ 37 = 0
3. 5+(-5) = 0
4. 32+(-32)= 0
計算下列各式的值:
1. (-21)+ 21 = 0 2. (-72)+ 72 = 0
3. 24+(-24)= 0 4. 35+(-35) = 0
13
範例 2
練習
負數+正數;和為正數。(a>0,b>0 且 a<b;(-a)+b=-(b-a)
可利用數線操作或兩儀圖操作,強化抵銷的概念)
1. (-2)+ 4 = 2 。
2. (-5)+70 = 65 。
計算下列各式的值:
1. (-2)+ 6 = 4 2. (-10)+ 12 = 2
3. (-6)+ 88 = 82 4. (-51)+ 101 = 50
13-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能計算當│負數│<│正數│時,負數+正數的和。
二、 教學注意事項:
1. 強化〝抵銷〞的概念。
2. 從操作建立規則,而非利用規則做運算。
3. 建立學生圖像解題的能力,學生若解題錯誤,應了解是如何誤用
規則並適時導正。
▲ 錯誤類型與指導策略:
錯誤類型:不會抵銷的想法,誤用規則。
例:(-5)+75=-80
14
範例 3
練習
和為負數。 (a>0,b>0 且 a>b;(-a)+b=-(a-b)
1. (-4)+ 2 = -2
2. (-53)+ 23 = -30
計算下列各式的值:
1. (-32)+ 12 = -20 2. (-23)+ 10 = -13
3. (-36)+ 11 = -25 4. (-120)+ 30 = -90
14-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能計算當│負數│>│正數│時,負數+正數的和。
二、 教學注意事項:
1. 如【範例 3 第 1 題】:強調〝抵銷〞的概念。
2. 例如:(-4)+ 2 應唸負四加正二。
▲ 錯誤類型與指導策略:【練習第 1 題】
一、 錯誤類型:(-32)+12 = -44。
二、 指導策略:從操作(-5)+ 3 中強調抵銷的概念。
15
加法綜合練習一:
計算下列各式的值:
1.(-52)+ 47 = -5 2.(-56)+ 21 = -35
3.(-20)+ 30 = 10 4.(-3)+ 11 = 8
5.(-100)+ 45 = -55 6.(-12)+ 29 = 17
7.(-42)+ 42 = 0 8.(-85)+ 186 = 101
16
範例 4
練習
正數+負數和為正數。 (a>0,b>0 且 a>b;a+(-b)=a-b)
計算下列各式的值:
1. 3 +(-1)= 2
2. 65+(-30)= 35
計算下列各式的值:
1. 60 +(-10)= 50 2. 72 +(-12)= 60
3. 130 +(-55)= 75 4. 61 +(-23)= 38
16-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能計算正數+負數。
二、 教學注意事項:
1. 完整念出性質符號與運算符號。
例:3+(-1)念成正三加負一
2. 強調圖像中〝抵銷〞的想法。
▲ 錯誤類型與指導策略:
一、 錯誤類型:錯誤使用計算口訣。
例:3+(-1)= -2。
二、 指導策略:強調〝抵銷〞的想法。
17
範例 5
練習
和為負數 (a>0,b>0 且 a<b;a+(-b)=-(b-a) )
計算下列各式的值:
1. 3 +(-5)= -2
2. 69 +(-89)= -20
計算下列各式的值:
1. 10 +(-20)= -10 2. 31 +(-61)= -30
3. 25 +(-73)= -48 4. 36 +(-81)= -45
加法綜合練習二:
計算下列各式的值:
1. 37+(-23)= 14 2. 72+(-56)= 16
3. 25+(-42)= -17 4. 137+(-37)= 100
17-t
★ 教學提示:【範例 5】及【練習】
一、 教學目的:能計算當│正數│<│負數│時,求正數+負數的和。
二、 教學注意事項:
1. 強調〝抵銷〞的想法。
2. 正確唸出性質符號與運算符號。
★ 教學提示:【加法綜合練習二】
教學目的:熟練正數+負數的運算。
18
範例 6
練習
計算下列各式的值:
1. (-2)+(-5)+(-11)
Ans:-18
2. (-11)+5+(-7)
Ans:-13
3. 6+(-2)+(-9)
Ans:-5
計算下列各式的值:
1. (-7)+(-3)+(-12)
Ans:-22
2. (-4)+13+5
Ans:14
3. 5+(-3)+6
Ans:8
18-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 知道三數連加的運算規則。
2. 熟練有號數的加法運算。
二、 教學注意事項:
1. 說明三數連加時的計算是由左至右先合併前兩數的和,再以第三
個數合併。
2. 要求學生寫出計算過程,並觀察是否正確。
19
範例 1
練習
B1-1-2-3:加法交換律與結合律
計算下列各式的值:
1. 25+(-14)+114
Ans:125
2. 15+(-37)+(-15)
Ans:-37
3. (-135)+34+35
Ans:-66
計算下列各式的值:
1. 122+(-47)+47
Ans:122
2. (-129)+11+229
Ans:111
3. 118+37+(-18 )
Ans:137
19-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用交換律與結合律簡化計算。
二、 教學注意事項:
1. 說明加法結合律的意義。
如:【範例 1 第 1 題】 25+(-14)+114
可先算(-14)+114 = 100
即 25+(-14)+114
=25+100
=125
由此說明連加時可先算後兩項再與第一項相加。
2. 【範例 1 第 2 題、第 3 題】說明交換律的意義。
3. 交換律與結合律常伴隨著使用,在使用時應先觀察那些項交換後
能簡化計算。
20
加法綜合練習三:
計算下列各式的值:
1. (-5)+ 30 = 25 2. 25 +(-7)= 18
3. (-21)+ 36 = 15 4. (-9)+ 42 = 33
5. 31 +(-5)= 26 6. (-7)+(-8)= -15
7. 120 +(-120)= 0 8. -71+ 41 = -30
9. 25 +(-17)+ 117
Ans:125
10. 26+202 +(-26)
Ans:202
20-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 進一步熟練加法的計算。
2. 知道利用運算規則簡化計算。
二、 教學注意事項:
1. 此處將加法計算的所有情況放在一起練習。學生容易誤用一些運
算法則。教師應提示學生異號合併時重點在於:
(1) 和的性質符號。
(2) 應用〝抵銷〞的想法做異號數的加法運算。
2. 連加時,先觀察是否有較方便的計算方法,應用交換律、結合律
簡化計算。
21
範例 1
練習
B1-1-2-4:減法-----減去負數(減去一個數就是加上這個數的相反數)
計算下列各式的值
1. (-2)-(-3) 2. 6-(-4)
Ans:1 Ans:10
﹙先將減去這個數改為加上這個數的相反數,
例:(31)-(35)=(31)+35;
再利用加法進行運算;多舉一些實例直到學生能接受這個想法。﹚
計算下列各式的值:
1. (-20)-(-46) 2. (-11)-(-42)
=(-20)+ 46 =(-11)+ 42
= 26 = 31
3. (-45)-(-25) 4. (-39)-(-36)
=(-45)+( 25 ) = -3
= -20
5. 23-(-24) 6. 45-(-33)
= 47 = 78
21-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用小數量說明〝減去負數〞就等於是〝加上正數〞。
二、 教學注意事項:
1. 利用數線模式教學或平衡模式教學,最後都可得到減去一個負數
就是等於等於〝加上一個正數〞的結論,並用來實際運算。
2. 利用平衡模式教學,請參考兩儀圖的教學。
3. 課本中都以數線模式為主,其它可參考〝林保平教授網站〞。
4. 教學時可將性質符號一併唸出。
例:(-2)-(-3)讀:負二減負三
2-(-8)讀:正二減負八
再引導學生:
(-2)-(-3)等於 (-2)+_____ = _____
▲ 錯誤類型與指導策略:【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型:
例:(-2)-(-3)= -1
2-(-8)= -6
二、 指導策略:將(-2)-(-3)先改成(-2)+ 3= 1,
2-(-8)= 2+8 = 10
22
範例 1
練習
B1-1-2-5:減法-----減去正數(減去一個數就是加上這個數的相反數)
計算下列各式的值:
1. 5-10 2. -5-4
Ans:-5 Ans:-9
3. (-31)- 29
Ans:-60
計算下列各式的值:
1. 36 -56 2. 31-49
= -20 = -18
3. (-12)-26 4. (-120)-37
=(-12)+(-26) =(-120)+(-37)
= -38 = -157
5. -48-23 6. (-15)-36
= -71 = -51
22-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用小數量說明〝減去正數〞就等於是〝加上這個負
數〞。
二、 教學注意事項:
1. 經實驗教學,將減法轉換成加法,對於低成就學生學習最有利。
2. 計算【範例 1 第 3 題】(-31)-9 時,可讀成負三十一減九等於負
三十一加負九即(-31)-9=(-31)+(-9)=-40
23
減法綜合練習一:
計算下列各式的值:
1. 35 -(-125) 2. (-31)-(-42)
Ans:160 Ans:11
3. (-21)- 36 4. -31 - 42
Ans:-57 Ans:-73
5. (-36)-(-31) 6. (-21)-(-41)
Ans:-5 Ans:20
23-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 熟練兩數的減法。
2. 歸納成〝減去一個數〞就是〝加上這個數的相反數〞。
二、 教學注意事項:
1. 將兩數的減法轉換成〝減去一個數〞就是〝加上這個數的相反數〞
再進行加法運算。
2. 此不進行三個數的連減:連減可看成是 B1-1-2-6 的特例。
24
範例 1
練習
B1-1-2-6:整數的加減混合運算
計算下列各式的值:
1. (-3)- 2 +(-9)
Ans:-14
2. 15 -(-6)+ 29
Ans:50
3. (-12)-(-3) - 30
Ans:-39
計算下列各式的值:
1. (-5)- 9 +(-16) 2. 37 -(-13)+ 45
Ans:-30 Ans:95
3. (-8)+ 20 - 18 4. (-5)-(-10) - 18
Ans:-6 Ans:-13
25
範例 1
練習
B1-1-2-7:數線上兩點間的距離 (減法與絕對值的應用)
計算下列各式的值:
1. |(-4)- 12| 2. |12-(-8)|
Ans:16 Ans:20
計算下列各式的值:
1. |(-3)-7| 2. |(-25)-(-5)|
Ans:10 Ans:20
26
範例 2
練習
1. 若數線上有 A(5)、B(-2)、C(-6)、D(20)四點,求:
AB、 AD、BC、CD。
( 數線上兩點間的距離:數線上有 A(a)、B(b)兩點,其距離
AB=|a-b|或|b-a| )
Ans: 7 15 4 26 AB AD BC CD , , ,
2. 數線上有 A(a)、B(3)兩點,若 AB=2,則a=?
Ans: 5 or 1a
計算下列各式的值:
1. 若數線上有 A(-7)、B(5)、C(3)、D(-12)四點,求:
AB、 AD、BC、CD。
Ans: AB=12, AD=5,BC=2,CD=15
2. 數線上有 A(a)、B(9)兩點,若 AB=11,則a=?
Ans: 20 or 2a
26-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能求出數線上兩點間的距離。
二、 教學注意事項:
1. 以數線上的坐標計算兩點間的距離,線上 A(a)、B(b)兩點其距離為
線段 AB=│a-b│或線段 AB=│b-a│
2. 在【範例 1 第 2 題】及【練習第 2 題】中利用距離公式並以畫圖
輔助解題。
27
範例 1
練習
B1-1-2-8:加減法的應用問題
某人作生意,第一年賠了 5 萬元,第二年賺了 13 萬元,第三年賠 3 萬
元,請問這三年共賺或賠多少元?
Ans: 賺 5 萬元。
七年丙班某次段考數學成績平均 82 分;
班上七位學生「實際分數-平均分數」結果如下,問七位學生數學平
均多少分?
學生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
實際分數-平均分數 -5 +9 +3 -4 -8 +6 +6
Ans: 83 分
27-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用有號數解生活問題練習。
二、 教學注意事項:
1. 可先算出【練習題】七位學生的實際分數後,再算平均數。
2. 求【練習題】表中正數與負數和;平均後加 82 分(這本來是教學的
目的,但以補救教學則較難達成)。
28
綜合練習
1. 計算下列各式的值:
(1) (-5)+(-9)= -14 (2) (-3)+(-6)= -9 。
(3) (-4)+(-5)+(-6)= -15 。
(4) (-3)+4= 1 (5) 3+(-11)= -8
(6) (-18)+30+(-12)= 0 。
(7) 15-21= -6 (8) 23-(-23)= 46
(9) -18-8= -26 (10) (-35)-(-25)= 10
2. 計算下列各式的值:
(1) (-7)-(-8)+(-9)= -8
(2) (-3)+(-4)-(-5)= -2
3. 已知數線上四點 A(-5)、B(4)、C(1)、D(-5),求 AB、BC、
CD。
Ans: 9 3 6 AB BC CD , ,
4. 某地早上六點時測得氣溫為-2 度,到了中午氣溫上升了 5 度,到
了傍晚六點,氣溫又較中午時的氣溫下降了 7 度,則傍晚六點的氣
溫為多少度?
Ans: -4 度
30
範例 1
練習
主題三 整數的乘除
B1-1-3-1:整數的乘法
( 兩數相乘的運算規則:
a×(-b)=-(a×b);(-a)×b=-(a×b);(-a)×(-b)=a×b) )
求下列各式的值:
1. (-8)× 6 = -48 2. 42 ×(-5)= -210
3. (-13)×(-3)= 39 4. (-41)× 0 = 0
求下列各式的值:
1. (-9)× 5 = -45 2. 33 ×(-7)= -231
3. (-6)×(-21)= 126 4. 0×(-59) = 0
30-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能利用兩數相乘的運算規則計算它們的積。
二、 教學注意事項:
1. 說明兩數相乘的符號規則,應讀作:
(1) 正數乘以正數得正數。
(2) 正數乘以負數得負數。
(3) 負數乘以正數得負數。
(4) 負數乘以負數得正數。
※ 千萬不要讀成負負得正等的簡略說法。
2. 此處的教學重點在使學生知道乘積的運算規則。
若乘式中有一數為 0,則積為 0。
31
範例 2
練習
求下列各式的值:(說明連乘積的符號規則,說明乘式中有 0 其積為 0)
1. 12 ×(-5)× 8 2. (-4)×(-2)× 9
Ans:-480 Ans:72
3. (-7)×(-2)×(-3) 4. (-26)×(-8)× 0 ×(-7)
Ans:-42 Ans:0
求下列各式的值:
1. 25 ×(-4)× 7 = -700 2. (-3)×(-6)× 2 = 36
3. (-4)×(-5)×(-6)= -120
4. (-152)×(-17)× 0 ×(-22)= 0
31-t
★ 教學提示
一、 教學目的:由【範例 2】中先由兩數相乘的規則說明連乘積的符號
規則。
二、 教學注意事項:
1. 說明在連乘的式子中,只要有一個數為 0 則其積為 0。
2. 練習題可利用運算規則計算。
32
範例 1
練習
B1-1-3-2:整數的乘法交換律與結合律
( 利用交換律與結合律簡化計算,先說明 4×25、125×8、---能讓乘法簡
化的原由,並要學生進行觀察 )
1. 17 × 8 ×125 2. (-4)×(-21)× 25
Ans:17000 Ans:2100
求下列各式的值:
1. (-19)× 20 ×50 = -19000
2. (-37) ×(-8)× 125 = 37000
32-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能利用交換律與結合律簡化計算。
二、 教學注意事項:
1. 說明兩數相乘時如果其積為 10、20、100、500、1000--這些數的
末幾位為 0,有利簡化計算。
如: 2×5=10
4×25=100
8×125=1000
或 4×5=20
4×125=500
2. 解題之前必須教會學生先觀察乘式,想好如何計算之後再動筆。
3. 【範例 1 第 1 題】及【練習第 1 題】是結合律的應用。
【範例 1 第 2 題】及【練習第 2 題】是交換律與結合律的應用。
33
範例 1
練習
B1-1-3-3:整數的除法
( 兩數相除的運算規則: (-a)÷b=-(a÷b); a÷(-b)=-(a÷b);
(-a)÷(-b)=a÷b,0÷b=0,b 0),並說明 0 除以一個不為 0 的數其商
為 0 )
求下列各式的值:
1. (-18)÷ 6 = -3 2. 42 ÷(-7)= -6
3. (-39)÷(-3)= 13 4. 0 ÷ 8 = 0
求下列各式的值:
1. (-35)÷ 7 = -5 2. 45 ÷(-5)= -9
3. (-24)÷(-4)= 6 4. 0 ÷(-21) = 0
33-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能做整數的除法。
二、 教學注意事項:
1. 說明兩數相除、相乘的符號規則一樣:
例:-18÷6=-(18÷6)=-3。
2. 符號定了之後計算的方法用正整數的方法計算。
3. 題目都是可整除的數,不要利用倒數觀念計算。
4. 說明 0 不可當除數,而 0 除以任何一個不為 0 的數其商為 0。
34
範例 1
練習
B1-1-3-4:整數的四則運算
( 由左而右先算乘(除),後算加(減)。有括號或絕對值時則最優先算,
優先順序教師宜加以說明如【範例 1 第 2 題】、【範例 1 第 4 題】 )
求下列各式的值:
1. (-7)+(-5)×(-3) 2. (-8)×(9 - 3)
( 說明:(9 - 3)要先算 )
Ans:8 Ans:-48
3. (-28)÷(-7)- 4 4. 45-5 ×|26 ÷(-13)|
( 說明:|26 ÷(-13)|要先算 )
Ans:0 Ans:35
求下列各式的值:
1. (-3)× 5 - 2 2. (-2)+(-8) ×(-5)
Ans:-17 Ans:38
3. (-12)÷(-6)- 4 4. (-9)× 7 -|-5|× 20
Ans:-2 Ans:-163
34-t
★ 教學提示
一、 教學目的:熟練整數的四則運算
二、 教學注意事項:
1. 複習正數四則運算的規則
2. 在【範例 1 第 2 題】中說明(9−3)要先算;【範例 1 第 4 題】中
│26÷(−13)│要先算,也就是說絕對值符號||,也具有括號的功
能。
▲ 錯誤類型與指導策略:(錯誤類型多集中在優先順序的誤用)
【範例 1 第 4 題】
一、 錯誤類型:45−5×│26÷(−13)│
先算 45−5,再與│26÷(−13)│相乘
二、 指導策略:以此例說明先乘以 (除以)。
【練習第 2 題】
一、 錯誤類型:優先順序的錯誤。
(−2)+(−8)×(−5) = (−10)×(−5) = 50
二、 指導策略:如【範例 1 第 4 題】。
35
範例 1
練習
B1-1-3-5:利用分配律解題 ( 先復習分配律 )
求下列各式的值:
1. (-37)× 999 2. (-27)× 8+(-27)× 92
Ans:-36963 Ans:-2700
求下列各式的值:
1. 25 ×(-402) 2. 36 ×(-29)+ 64 ×(-29)
Ans:-10050 Ans:-2900
35-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 利用分配律簡化計算。
2. 建立分配律的運作形式,做為代數運算的基礎。
二、 教學注意事項:
1. 分配律有 a(b+c) = a×b+a×c 或 a×b+a×c = a(b+c)兩種用法。
2. 分配律在數的運算使用上要先分辨何種情形之下使用有利計算。
3. 使用 a(b+c) = a×b+a×c 時,兩數相乘時要能夠拆解其中一數成為
兩數之和或兩數之差,而如何拆解是教學重點。
【範例 1 第 1 題】 (−37)×999,將 999 拆成 1000−1 對解題最有利,
而其他情況也應讓同學討論。
4. 使用 a×b+a×c = a(b+c)時,應先觀察到 a:
【範例 1 第 2 題】 (−27)×8+(−27)×92,−27 是共同具有的數。此
時重點在教學觀察並說明分配律的形式。
36
綜合練習
1. 求下列各式的值:
(1) 8 ÷(-4)= -2
(2) 〔(-36)+(-24)〕÷(-6)= 10
(3) (-3)×(-5)× 0 ×(-8)= 0
2. 計算下列各式的值:
(1) 25 × 2 - 50 ÷(-2)
Ans:75
(2) 37× 36 + 37× 64
Ans:3700
(3) 36-〔(-21)÷(-7)+8〕
Ans:25
(4) (-2)×5 - 3 × (6-11)
Ans:5
(5) |-39|÷ 1 3 +4 ×〔35 ÷(-7) 〕
Ans:-17
(6) -8 +(-24)÷(-6)+(-3)× 2
Ans:-10
38
範例 1
練習
範例 2
練習
主題四 指數律
B1-1-4-1:指數的意義 ( 說明指數的記法與規範 )
請以指數記法簡記下列各式:
1. 5 × 5 × 5 × 5 = 45
2. (-1.7)×(-1.7)×(-1.7)=_____________
3. -7×7×7×7×7= -75
請以指數記法簡記下列各式:
1. (2
5)×(
2
5) =
22( )5
2. (-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=___________
3. -(-5)×(-5)×(-5)×(-5)= -(-5)4
計算下列各式的值:
1. 24 = 16 2. (-3)2 = 9
3. -52 = -25 4. 2
0 = 1
5. (-9)0 = 1
1. (-1)8 = 1 2. 53 = 125
3. 09 = 0 4. (-4)3= -64
5. (-7)2= 49 6. -72 = -49
(-1.7)3
(-3)5
38-t
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的:能使用指數簡記同一數連乘。
二、 教學注意事項:
1. 說明指數的記法及相關的名詞。
2. 【範例 1 第 1 題、第 2 題】是指數的的記法,
【範例 1 第 3 題】及【練習第 3 題】是指數記法的推廣。
其意義如下:
−7×7×7×7×7 =− (7×7×7×7×7)
= − (75) = −7
5
−(−5)× (−5)×(−5)×(−5) = −﹝(−5)× (−5)×(−5)×(−5)﹞
= −﹝(−5) 4﹞
= − (−5) 4
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的:將指數恢復成連乘並求他們的積。
二、 教學注意事項:
1. 指數的運作對學生而言是全新的學習,需要一些時間認識符號的
意義及在數學上的規定。
2. 對於指數所表示的意義,教師可利用下列三題比較其異同。
(1) (−7)3 = (−7) ×(−7)×(−7)
(2) (−73) = (−7×7×7)
(3) −73 = −7×7×7
3. 任何一個不為 0 的 0 次方規定它的值為 1。例 (−5)0 = 1
▲ 錯誤類型與指導策略:
一、 錯誤類型:−52 = 25
(−1)8=− 8
09 = 1
−72 = 49
二、 指導策略:用指數的意義說明如下:
−52=−5×5=− 25
(−1)8=(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)=1
09=0×0×0×0×0×0×0×0×0=0
−72=−7×7=− 49
39
範例 3
練習
計算下列各式的值:(此題目的在熟練指數的意義)
1. 23+3
3 2. 2
4-(-52)
Ans:35 Ans:41
3. (-2)3 × 5
4 4. 6
3 ÷ 3
2
Ans:-5000 Ans:24
計算下列各式的值:
1. (-23)+3
3-13
2. 43-6
2
Ans:18 Ans:28
3. 23+2
3 4. 4
3 ×(-5)2
Ans:16 Ans:1600
39-t
★ 教學提示
一、 教學目的:熟練指數律的意義
二、 教學注意事項:
1. 用不同底數的數作四則運算,在過程中需將每一個指數的值先求
出,再做合併。
2. 為了防止學生濫用指數律,因此學習指數律之前,應從求指數的
求值中,奠定指數學習的基礎。
▲ 錯誤類型與指導策略:【練習第 3 題】
一、 錯誤類型:錯用指數律。
23+2
3 = 2
6 = 64
二、 指導策略:先求 23 的值。
23 = 2×2×2 = 8
23+2
3 = 8+8 = 16
40
範例 1
B1-1-4-2:指數律
填充:
1. 23×2
4=2×2×2 × 2×2×2×2=2□+□
=2□
Ans:2 3 + 4 = 2
7
2. (-3)2×(-3)
3=(-3)×(-3) × (-3)×(-3)×(-3)=(-3) □
Ans:(-3) 5
3. 57×5
12=5□
4. (-8) ×(-8)10=(-8)
□
Ans:5 19
Ans:(-8) 11
5. a4×a
4= a×a×a×a × a×a×a×a=a□
Ans:a 8
6.
xm‧ x
n=x□
Ans:x m+n
7. 85÷8
3=888
88888
=8
□-□=8
□
Ans:8 5 3 = 8
2
8. (-5)6÷(-5)
3=(-5)□
9. 127÷12
5=12□
Ans:(-5) 3 Ans:12
2
10. a 5÷a
3=a
a
3
5
=aaa
aaaaa
=a
□ (a≠0)
Ans:a 2
11. xm÷ x
n=x□
(x≠0)
Ans:x m-n
23×2
4共有幾個 2
乘在一起?
85÷8
3可以約分,剩下
幾個 8 乘在一起?
40-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能了解 am × a
n = a
m+n
am÷a
n = a
m-n
二、 教學注意事項:
1. 由觀察同底數的兩指數相乘得 am× a
n = a
m+n
2. 由觀察同底數的兩指數相除得 am÷a
n = a
m-n
3. 此題的教學重點在從觀察中得到指數律
am × a
n = a
m+n ,a
m÷a
n = a
m-n (a≠0),應重視過程的學習。
41
練習
填充:
1. 67×6
5=6×6×6×6×6×6×6 × 6×6×6×6×6=6□
Ans:6 12
2. (-10)4×(-10)
2=(-10)□
Ans:(-10) 6
3. 73×7
7×7
2=7□
Ans:7 12
4. 93×9
3×9
3×9
3=9□
Ans:9 12
5. (-4)4×(-4)
5×(-4) ×(-4)
2=(-4)□
Ans:(-4) 12
6. 1011
÷107=10
□
Ans:10 4
7. (-5)10
÷(-5)=(-5)□
Ans:(-5) 9
8. a100
÷a 70=a
□ (a≠0)
Ans:a 30
9. 53×5
7÷5
10=5□=________
Ans:5 0 = 1
41-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能了解並應用 am × a
n = a
m+n
am÷a
n = a
m-n
二、 教學注意事項:
應用 am × a
n = a
m+n ,a
m÷a
n = a
m-n (a≠0),解連乘除問題時,應注
意由左而右的順序原則。
42
範例 2
填充:
1. (23)
4=23×2
3×2
3×2
3=2 □ × □
=2 □
Ans:2 3 × 4 =2
12
2. 〔(-3)2〕3=(-3)
2 × (-3)
2 × (-3)
2=(-3) □
Ans:(-3) 6
3. (92)
5=9□
Ans:9 10
4. ( a4)
5=a4×a
4×a
4×a
4×a
4=a □ × □
=a □
Ans:a 4 × 5
=a 20
5. 83×3
3=8×8×8×3×3×3=(8×3)×(8×3)×(8×3)=24×24×24 =( )3
Ans:( )=24
6. (-5)5×2
5= (-5)×(-5)×(-5)×(-5)×(-5)×2×2×2×2×2= ( ) □
Ans:( )=-10、 □=5
7. a4‧b
4=a‧a‧a‧a‧b‧b‧b‧b= ( ) □
Ans:( )=ab、 □=4
(23)
4共有幾個2乘在
一起?
42-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 由 am × a
n = a
m+n擴展成(am )
k = a
mk。
2. 由交換律擴展 am × b
m = (a× b)
m。
二、 教學注意事項:
1. 先由數的觀察,並利用【範例 1】所得的方式 am × a
n = a
m+n,做
為基礎逐漸推廣成(am )
k = a
mk
2. 由交換律推得 am × b
m = (a× b)
m,教學開始以數量的運算得在規
律,再進一步以符號說明。
3. 此題的教學不宜冒然從代數符號進行說明( a m
) k = a
mk,
a m
× b m = (a×b)
m。
43
練習
填充:
1. (65)
4=65×6
5×6
5×6
5=6□
Ans:□=20
2. ( x3)
5=x3‧x
3‧x3‧x
3‧x3=x
□
Ans:□=15
3. (73)
6=7□
Ans:□=18
4. 〔(-10)5〕7=(-10)
□
Ans:□=35
5. 74×5
4=7×7×7×7×5×5×5×5=( ) □
Ans:( )=35、 □=4
6. 89×10
9=( ) □
Ans:( )=80、 □=9
7. 34×2
6×5
6=34 ×( )
□=
Ans:( )=10、 □=6、 81000000
43-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 由數的運算知道 (am )
k = a
mk是由 am × a
n = a
m+n 擴展而成。
2. 由數的運算知道 am × b
m =(a× b)
m是由交換律運算而得。
二、 教學注意事項:
應用公式時,應先觀察指數與底數的特徵,再決定使用的指數
律。
44
練習
範例 2
練習
範例 1
B1-1-4-3:指數律的運算
1. (1) 4=2□;□= 2 (2) 8=2
□;□= 3
(3) 16=2□;□= 4
2. (1) 43=2
□;□= 6 (2) 82=2
□;□= 6
3. (1) 2×43=2
a, a= 7 (2) 82÷16=2
b,b= 2
1. (1) 9=3□;□= 2 (2) 81=3
□;□= 4
2. (1) 92=3
□;□= 4 (2) 812=3
□;□= 8
3. (1) 3×92=3
a, a= 5 (2) 812÷27=3
b,b= 5
計算下列各式:
1. 9-52+(-4
2) 2. (-5)2×4-3
Ans:-32 Ans:97
計算下列各式:
1. (-32)÷9-6 2. 9
2÷27+(-1)0
Ans:-7 Ans:4
44-t
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的:透過數的計算瞭解指數律的運用。
二、 教學注意事項:
1. 題目難度較高,但對指數律的瞭解很有幫助。
2. 在例題中已將題目分成小題以降低難度。
3. 底數交換:
例:教學上,先算:(1) 8 是 2 的幾次方?
(2)再進一步求 82 = (2
3)
2 = 2
6 。
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的:整數的四則運算中加入指數。
二、 教學注意事項:
1. 在指數中,如【練習第 1 題】:(-32)÷9-6 中,指數(−3
2)常讓學
生誤以為是(−3) 2。
2. −32如果不在式子中一般是不會加上括號的,若在式子中加入括號
就容易造成錯誤。
▲ 錯誤類型與指導策略:【練習第 1 題】
一、 錯誤類型 I:都集中在將(−32)看成(−3)
2。
指導策略:說明(−3) 2 = (−3)×(−3) = 9
−32 = −3×3 = −9
(−32)= (−3×3)= (−9)
二、 錯誤類型 II:(-32)÷ 9-6,先作(-3
2)÷ 9。
指導策略:說明四則運算的順序及指數的意義,其中指數最優先
處理。
45
範例 1
練習
B1-1-4-4:負指數的意義
填充:
1. 2=
22
1= 0.25 2. 3
=3
1= 0.33
3. 10=
103
1= 0.001 4. 10
-5=10
5
1 = 0.00001
5. 0.1=10
1=10
□;□= -1 6. 0.01=10
2
1=10
□;□=-2
7. 0.001=10 □ ; □= -3 8. 0.0001=10
□; □= -4
填充:
1. 3=_____ 2. 4
=_____
Ans:43
1 Ans:
4
1
3. 10=_____ 4. 10
=_____
Ans:210
1 Ans:
410
1
5. 2-2
=_____
Ans:4
1
6. 1.2×10=1.2×________=________
Ans:310
1、0.0012
7. 0.00001=10 □ ;□=
Ans:□=-5
8. 0.000001=10 □ ;□=
Ans:□=-6
2是 2
2的倒數。
45-t
★ 教學提示
一、 教學目的:利用正指數的倒數說明負指數。
二、 教學注意事項:
1. 此處教學重點在以 10 為底的負指數,為後一節的〝科學記號〞做
準備。
2. 當 0.0001 寫成10
14時,即可記為 10
。
46
綜合練習
1.( C )下列哪一個選項的數值最小?
(A)(-10)7 (B)(-10)8
(C)(-10)9 (D)(-10)10
2.( D )計算(-2)4-(-4)2之值與下列哪一個選項相等?
(A) 22 (B)(-2)2
(C) -32 (D) 0
3.( B )下列選項中的算式,何者錯誤?
(A)(-2)3=(-23) (B)(-2)4=(-2
4)
(C)(-2)0=(-3)0 (D)(-10)7
×(-10) =1
4. 計算下列各式的值:
(1) 23+5
2= 33 (2) 32 × 2
4= 144
(3) 72= 49 。 (4) (-4)=
1
16 。
5. 在下列空格中填入適當的數:
(1) 56
× 52=5
□,□= 8 (2) 38
÷ 33=3
□,□= 5
(3) (25)2
× 23=2
□,□= 13 (4) 26
× 56=□6,□= 10
6. 計算下列各式的值:
(1) 〔(-23)×5+(-3)2〕× 2
Ans:-62
(2) 64 ÷〔(-2)3-(-24)〕 × 3
Ans:24
48
範例 1
主題五 科學記號
B1-1-5-1:科學記號的意義
請以科學記號記錄下列各數:
1. 37=3.7 × 10=3.7 × 10□,□= 1
3700=3.7 × 1000=3.7 × 10□,□= 3
3700000=3.7 × 1000000=3.7 × 10□,□= 6
2. 21600000
Ans: 72.16 10
3. 0.6 =6 × 0.1= 6 × 10□,□= -1
0.006 =6 × 0.001= 6 × 10□,□= -3
0.000006 =6 × = 6 × 10□, = ,□= -6
4. 0.00000047
Ans: 74.7 10
5. 215= × 102
Ans:2.15
0.000001
48-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能以科學記號表示很大或很小的正數。
二、 教學注意事項:
1. 科學記號的記法:將一個正數記為 a×10 n 的形式;
其中 1 a<10,n 為整數,稱為科學記號。
2. (0.1)n =
1
10n= 10
–n ;n 為正整數。
3.
1 1
2 2
3 3
110 10 0.1 10
10
1100 10 0.01 10
100
11000 10 0.0001 10
1000
4. 利用科學記號表示數,比如 1234567893579 在科學上,它只要精
確到前面兩位,這時我們就可以用科學記號來表示,即
1234567893579 相近於 1200000000000=1.2×1012。
49
練習
請以科學記號記錄下列各數:
1. 1360000 2. 1000000
Ans: 61.36 10 Ans:106
3. 1200800000 4. 0.0007
Ans: 91.2008 10 Ans:7×10
5. 0.00002029 6. 126.38
Ans: 52.029 10 Ans:1.2638×102
50
範例 2
練習
請將下列科學記號表示的數,改寫成整數或小數:
1. 1.2×103 2. 7.42×10
5
Ans:1200 Ans:742000
3. 1.235×102
4. 5.6×10
Ans:123.5 Ans:0.0056
5. 2.3041×10
Ans:0.000023041
請將下列科學記號表示的數,改寫成整數或小數:
1. 9×105 2. 5.321×10
7
Ans:900000 Ans:53210000
3. 3×10
4. 7.1021×10
Ans:0.00003 Ans:0.00071021
51
範例 1
練習
B1-1-5-2:科學記號的計算
在下列空格中填入適當的數:
1. 109=10
8×10,□= 2. 10
11=10
12×10,□=
Ans:□=1 Ans:□=-1
3. 10
=10
×10,□= 4. 10
=10
×10,□=
Ans:□=1 Ans:□=-1
5. 105×10
=10,□=
Ans:□=-2
在下列空格中填入適當的數:
1. 107=10
6×10,□= 2. 10
5=10
6×10,□=
Ans:□=1 Ans:□=-1
3. 10
=10
×10,□= 4. 10
=10
×10,□=
Ans:□=-1 Ans:□=1
5. 10
×10=10,□=
Ans:□=-7
51-t
★ 教學提示
一、 教學目的:指數的轉換。
此題是為【範例 2】準備。
二、 教學注意事項:
利用指數律:am × a
n = a
m+n ,a
m÷a
n = a
m – n (a≠0),是底數為 10 的
指數運算。
52
範例 2
練習
在下列空格中填入適當的數:
1. 5×1012
= ×1011
2. 12.8×10
= ×10
Ans:50 Ans:128
3. 7.2×108=72×10,□= 4. 39×10
=3.9×10,□=
Ans:7 Ans:-8
在下列空格中填入適當的數:
1. 75×1018
= ×1019
2. 3.6×10
= ×10
Ans:7.5 Ans:0.36
3. 35×1011
=3.5×10,□= 4. 2.1×10
=21×10□,□=
Ans:12 Ans:-9
52-t
★ 教學提示
一、 教學目的:
1. 一個數能做不同的指數表示。
2. 此題是為科學記號的計算做準備。
二、 教學注意事項:
1. 【範例 2 第 1 題】:
5×1012=_____×10
11
教學時先將 1012改成 10×10
11
故 5×1011
= 5×10×1011
= 50×1011
2. 【範例 2 第 3 題】:
7.2 ×108 = 72×10
7.2 ×10 = 72
故 7.2×108 = (7.2×10)÷10×10
8 = 72 ×10
7
53
範例 3
練習
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
1. (2×107)×12 2. (8×10
10)÷(2×106)
Ans:2.4×108 Ans: 44 10
3. (4.5×108)×(2×10
4) 4. (8.1×1012)÷(9×10
3)
Ans: 129 10 Ans: 89 10
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
1. (6×105)×35 2. (6×10
15)÷(3×105)
Ans:2.1×107 Ans: 102 10
3. (2.5×106)×(4×10
5) 4. (2.7×1018)÷(3×10
12)
Ans: 121 10 Ans: 59 10
53-t
★ 教學提示
一、 教學目的:含科學記號的數的乘除。
二、 教學注意事項:
1. 科學記號的四則會牽涉到有效數字的範疇,因此我們只從數的運
算觀點,為學生在國二的理化計算做準備。
2. 做乘法計算時利用交換律與結合律將指數括在一起相乘。
【範例 3 第 3 題】:
(4.5×108)×(2×10
4) =4.5×10
8×2×10
4
=(4.5×2)×(108×10
4)
=9×1012
3. 做除法時,如【範例 3 第 4 題】:
作法一:
(8.1×1012
)÷(9×103) =(8.1×10×10
11)÷(9×10
3)
=(81×1011
)÷(9×103)
=3
11
109
1081
=3
11
10
10
9
81
=9×108
作法二:
(8.1×1012
)÷(9×103) =(8.1×10
12)÷(9×10
3)
=3
9
10
10
9
1.8
=0.9×109
=0.9×10×108
=9×108
54
範例 4
練習
計算下列各式,將結果以科學記號表示:
1. 5×103+6×10
3 2. 4.5×10
3-6×102
Ans: 41.1 10 Ans: 33.9 10
3. 7.1×10+1.3×10
4. 2.7×10
4-8×103
Ans: 68.4 10 Ans: 41.9 10
計算下列各式,將結果以科學記號表示:
1. 5×103+3×10
3 2. 4.5×10
3-6×102
Ans: 38 10 Ans: 33.9 10
3. 6.9×10+2.5×10
4. 6.8×10
4-9.6×103
Ans: 59.4 10 Ans: 45.84 10
54-t
★ 教學提示
一、 教學目的:含科學記號的數的運算。
二、 教學注意事項:加減的方法有兩種,如【範例 4 第 2 題】:
方法一:
4.5×103−6×10
2
=45×102−6×10
2
=(45−6)×102
=39×10×102
=3.9×103
方法二:
4.5×103−0.6×10×10
2
=4.5×103−0.6×10
3
=(4.5−0.6)×103
=3.9×103
55
範例 5
練習
比較下列各組數的大小:
1. 7×105,8.5×10
5,2×106 2. 3×10
,2×10,7×10
Ans: Ans:
6 5 52 10 8.5 10 7 10 9 10 102 10 7 10 3 10
比較下列各組數的大小:
1. 2×104,3×10
5,4×103
2. 2×10,2×10
,2.1×10
Ans: Ans:
5 4 33 10 2 10 4 10
5 5 62.1 10 2 10 2 10
55-t
★ 教學提示
一、 教學目的:能比較科學記號所表示的數的大小。
二、 教學注意事項:
1. 科學記號比較大小的步驟。
(1) a×10n (1 a<10,n 為整數),
先比較 n 的大小,n 大的數比較為大。
(2) 若 n 相等時則比較 a 的大小,a 大者為大。
2. 例如:3×10,2×10
,7×10中,
(1) 比較 n 的大小,因為−9>−10,所以 2×10
最大。
(2) 3×10與 7×10
中比較 a 的大小,因為 7>3,所以
7×10>3×10
,故 2×10>7×10
>3×10。
56
綜合練習
( C)1. 臺灣的人口數至 98 年 11 月約為 2302 萬人,以科學記號可
記為 a×10n人,則 n=?
(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 8
( B)2. 將 6.235×10化成小數,則此數從小數點後第幾位開始出現
不是 0 的數字?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
( D)3. 下列各選項中,哪一個數最大?
(A) 2.3×10
(B) 2.3×10
(C) 8.1×10
(D) 8.1×10
4. 請以科學記號記錄下列各數:
(1) 3570000 (2) 0.000800123
Ans: 63.57 10 Ans: 48.00123 10
5. 請將下列科學記號表示的數,改寫成整數或小數:
(1) 1.7×104
(2) 5.0065×10
Ans:17000 Ans:0.00050065
6. 計算下列各式,將結果以科學記號表示:
(1) 6×102+4×10
2 (2) 8×10
3-3.4×102
Ans: 310 Ans: 37.66 10
(3) (7×105)×(6×10
4) (4) (9×1015)÷(3×10
5)
Ans: 104.2 10 Ans: 103 10
版權所有˙翻印必究
晨曦學苑數學精進課程 數學科教師手冊 【單元 1】
◆主持人
甄曉蘭:國立臺灣師範大學教育學系教授
◆主編
吳昭容:國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系教授
曹博盛:國立臺灣師範大學數學系副教授
◆研發人員 (按姓氏筆畫順序)
王淑真:臺北市立啟明學校退休教師
李信仲:臺北市立蘭雅國中退休教師
章念慈:臺北市立蘭雅國中退休教師
黃若玲:臺北市立明湖國小退休教師
黃淑華:國立中和高中退休教師
陳財盛:高雄市立中正高中退休教師
◆編輯 (按姓氏筆畫順序)
呂能凱:國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理
鄭鈐華:國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理 (修訂)
◆封面設計
沈余愷
發行人:許添明
發行單位:國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心
行政聯繫:李珮瑜 (02)7734-3675 E-mail:[email protected]
教材聯繫:鄭鈐華 (02)7734-3678 E-mail:[email protected]
教學資源網站:http://eoqeds.cere.ntnu.edu.tw/index.php