Рівень стандартуdata.gymnasia.com.ua/files/10_klass/physics10_standart.pdf ·...

класРівень

стандарту

Л. Е. Генденштейн, І. Ю. Ненашев

ФІЗИКАП І Д Р У Ч Н И К

10

Харків«Гімназія»

2010

Л. Е. Генденштейн, І. Ю. Ненашев

ФІЗИКАП І Д Р У Ч Н И К

10клас

Рівень стандарту

Харків«Гімназія»

2010

РекомендованоМіністерством освіти і науки України

2

УДК 373.167.1:53ББК 22.3я721 Г34

Генденштейн Л. Е.

Г34 Фізика.10кл. :підруч.длязагальноосвіт.навч.закладів : рівень стандарту / Л. Е. Генденштейн,І.Ю.Ненашев.—Х.:Гімназія,2010.—272с.:іл.

ISBN978-966-474-098-9.

УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721

ISBN978-966-474-098-9

© Л.Е.Генденштейн,І.Ю.Ненашев,2010© ТОВТО«Гімназія»,оригінал-макет,художнєоформлення,2010

Видано за рахунок державних коштівПродаж заборонено

РекомендованоМіністерством освіти і науки України

(наказвід08.06.2010№544)

Наукову експертизу проводив Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова

Національної академії наук України

Психолого-педагогічну експертизу проводив Інститут педагогіки

Національної академії педагогічних наук України

Експерти, які здійснювали експертизу:

В. В. Кумайгородський, ЧупирянськеНВО«ЗагальноосвітняшколаI–IIст.—дитячийсадок»БілоцерківськогорайонуКиївськоїобл.,вчитель,вчитель-методист

І. В. Грийцаровська, ЗборівськаЗОШI–IIIст.№1Тернопільськоїобл.,вчитель,старшийвчитель

Г. В. Мачушинець, РайоннийметодичнийкабінетвідділуосвітиКіверцівськоїрайдержадміністраціїВолинськоїобл.,методист

Л. І. Ятвецька, Одеськийобласнийінститутудосконаленнявчителів,науково-методичналабораторія,завідувачлабораторії

3

ДО ВЧИТЕЛЯ ТА УЧНЯ

Підручник призначено для вивчення фізики в 10-му класі за рів-нем стандарту (2 уроки на тиждень).

Автори прагнули подати фізику як живу науку, що є частиною загальної культури: наведено багато прикладів прояву та засто-сування фізичних законів у навколишньому житті, відомостей з історії фізичних відкриттів, подано ілюстрований опис фізич-них дослідів.

Чітка структура підручника полегшує розуміння навчального матеріалу. У тексті виділено головне, а в кінці параграфів і роз-ділів зібрано висновки для узагальнення, повторення та кон-спекту.

Виклад ведеться у формі діалогу: багато розділів починаються із запитань, відповідями на які є зміст цих розділів.

Один параграф підручника розраховано приблизно на один навчальний тиждень.

4

ВСТУП

1.Зародженнятарозвитокфізикиякнауки2.Рольфізичногознаннявжиттілюдинийрозвиткусуспільства

3.Методинауковогопізнання4.ФізикаітехнікавУкраїні

1. ЗАРОДЖЕННЯТАРОЗВИТОКФІЗИКИЯКНАУКИСлово«фізика»походитьвіддавньогрецькогослова«при-

рода».Такназвавпершувідомунамнауковупрацюпропри-родніявищадавньогрецькийученийАрістотель,якийживу4-мустоліттідонашоїери.

КнигаАрістотеляслужилаосновним«підручникомфізи-ки»протягоммайжедвохтисячоліть.НаступнийважливийкрокурозвиткуфізикизробиввеликийіталійськийученийҐалілео Ґалілей (1564–1642).Його вважають основополож-никомфізикивїїсучасномурозумінні—якдослідної(екс-периментальної)науки.ҐалілейспростувавнадослідахдеяківажливіположеннявченняАрістотеля.

Фізика досліджує механічні, теплові, електромагнітні,світловіявища,атакожбудовуречовини.Завданнямфізи-ки,як і іншихнаук,єпошукзаконів, задопомогоюякихможнапояснюватитапередбачатиширокеколоявищ.

2. РОЛЬФІЗИЧНОГОЗНАННЯВЖИТТІЛЮДИНИЙРОЗВИТКУСУСПІЛЬСТВА

Навчившисьпередбачатифізичніявищаікеруватиними,людинастала«велетнем»:вонаствориладвигуни,умільйо-ниразівпотужніші залюдські руки,комп’ютери,щороз-ширилиможливостінауки,технікитамистецтва,об’єдналавсіхлюдейЗемлінадійнимисистемамизв’язку.

Чудеса сучасної техніки з’явилися насамперед завдякифізиці:беззнанняфізичнихзаконівнеможливопроектуватий використовувати машини, механізми, прилади, космічніапаратитощо.

Однаксправанетількив«практичній»цінностіфізики:знанняфізикинеобхіднекожномузнас,щобзадовольнитиприроднуцікавістьурозуміннінавколишньогосвіту.

5

Фізичнізнаннятаметодинароджуютьновінауки,напри-кладбіофізику,геофізику,астрофізику.

3.МЕТОДИНАУКОВОГОПІЗНАННЯСПОСТЕРЕЖЕННЯ,НАУКОВАГІПОТЕЗАЙЕКСПЕРИМЕНТЯвищасвіту,щонасоточує,надзвичайноскладні,аджекож-

незнихзалежитьвіддужебагатьохпричин.Але,уважноспо-стерігаючитечиіншеявище,мизауважуємо,щоякісьпричи-нибільшістотнідляйогопротікання,аякісь—меншістотні.

Зіспостереженьвиникаютьприпущення,щодляцілогоколаявищіснуютьпевнізакономірності.Такіприпущенняназиваютьнауковимигіпотезами.

Щоб перевірити гіпотезу, учені проводять досліди (екс-перименти)зметоюз’ясувати,якзмінюєтьсяперебігявищуразізміниумовїхперебігу.Дляцьогостворюютьсяспеці-альні умови.Наприклад,векспериментахзвивченнярухуҐалілейнамагавсязменшитирольтертя.

Таквідспостереженьученіпереходятьдоекспериментів,тобтопочинають«ставитизапитанняприроді».

НАУКОВІМОДЕЛІТАНАУКОВАІДЕАЛІЗАЦІЯДля формулювання гіпотези, постановки експерименту

тапоясненняйогорезультатівнеобхіднопобудуватимодельпевногооб’єкту,явищаабопроцесу—спрощене, схемати-зованеуявлення,уякомувиділенонайбільшважливіриси.Прикладами такихмоделей єматеріальна точка— тіло,розмірамиякоговданійзадачіможназнехтувати,абоідеаль-ний газ—такийгаз,розміримолекулякогонехтуваномалі,причомувзаємодіяміжмолекуламивідбуваєтьсятількипідчасїхзіткнень.

Повністюусунутивексперименті«перешкоди»,якпра-вило,невдається.Алезарезультатамиекспериментуінодіможназдогадатисяпроте,щомалобспостерігатисяв«іде-альній» ситуації, тобто в разі, коли всі перешкоди було бусунутоцілком.Цюідеальнуситуаціюназиваютьнауковою ідеалізацією.Самевонадозволяєпобачитипростотузаконів,щокриютьсязазовнішньоюскладністюявищ.

Зприкладаминауковоїідеалізаціїмибудемонеодноразо-возустрічатисявнашомукурсі.

Зпоняттямнауковоїідеалізаціїпов’язанепоняттяуявно-го експерименту,тобтоексперименту,проведеногозадопо-могоюуяви.Прицьомуособливезначеннямаєлогічнанесу-перечністьрезультатівуявногоексперименту.

6

Важливим прикладом наукової ідеалізації є так зване«вільнетіло»,тобтотіло,наякенедіютьіншітіла.Цілком вільнихтілзазвичайнеіснує:навітьгалактики,щовіддаленіоднавідодноїнавеличезнувідстань,взаємодіютьміжсобою.Однак,поставившиуявнийексперимент,тобтоподумкипро-довжившизакономірність,виявленунадослідахзреальнимитілами,можнауявититіло,щозовсімневзаємодієзбудь-якимиіншимитілами.Роздумипроте,якрухатимутьсятакітіла,привелиҐалілеядовідкриттязаконуінерції.

НАУКОВИЙЗАКОНІНАУКОВАТЕОРІЯКолигіпотезапроперебігфізичнихявищпідтверджуєть-

сяекспериментом,вонастаєфізичнимзаконом.Основний зміст механіки становлять три закони, сфор-

мульовані видатниманглійськимученим ІсакомНьютоном(знамениті «три закони Ньютона»), закон всесвітнього тя-жіння (відкритий тежНьютоном), а також закономірностідлясилпружностітасилтертя.Длягазовихпроцесіввід-критозакони,щоописуютьзалежністьміжтиском,об’ємомітемпературоюгазу.Взаємодіяелектричнозарядженихчас-тинок,щоперебуваютьуспокої,підпорядковуєтьсязакону,відкритомуфранцузькимфізикомШарлемКулоном.

Сукупністьзаконів,щоописуютьширокеколоявищ,на-зивається науковою теорією. Наприклад, закони Ньютонастановлятьзмісткласичноїмеханіки.

Порядіззаконаминауковатеоріяміститьозначенняфі-зичнихвеличиніпонять,задопомогоюякихформулюють-сязаконицієїтеорії.Дужеважливо,щобусіобумовленіуфізичній теорії величини могли бути виміряні на досліді,оскількисправедливістьфізичнихзаконівітеорійможебутиперевіренотількидосліднимшляхом.

ПРИНЦИПВІДПОВІДНОСТІПоявановоїфізичноїтеоріїнескасовує«стару»теорію,

ауточнює та доповнюєїї.Однієюзнайважливішихвимогпідчас створенняновихфізичнихтеорійєпринцип відпо-відності, згідно з якимпередбаченнянової теорії повиннізбігатисязпередбаченнями«старої»теоріївмежахїїзасто-совності.Цеозначає,щоноватеоріямаєвключати«стару»теоріюякокремий,граничнийвипадок.Принципвідповід-ностісформулювавнапочатку20-гостоліттяданськийфі-зикНільсБор—одинізтворцівквантовоїмеханіки.

7

Так, передбачення спеціальної теорії відносності стосу-ютьсяголовнимчиномрухутілзішвидкостями,порівнян-ними зішвидкістю світла, але вони збігаються з передба-ченнямикласичноїмеханіки,якщошвидкостірухутілна-багатоменшівідшвидкостісвітла.Квантовумеханікубулорозробленодляописурухівчастинокзнадзвичайномалоюмасою (наприклад, електронів), але вона«перетворюється»накласичну,якщомаситілдоситьвеликі.

СУЧАСНАФІЗИЧНАКАРТИНАСВІТУСучаснафізичнакартинасвітузасновананауявленніпро

те,щоречовина складається з дрібних частинок, між якими існує кілька видів фундаментальних взаємодій.Це—силь-нівзаємодії,електромагнітні,слабкітагравітаційні.Удру-гій половині 20-го століття електромагнітні взаємодії булооб’єднано зі слабкими в «електрослабку» взаємодію. Сьо-годніпродовжуютьсяінтенсивніспробипобудови«великогооб’єднання»—теорії,щодозволилаб об’єднатиусі відомівидивзаємодій.

4.ФІЗИКАІТЕХНІКАВУКРАЇНІУся історія людства — це драматична історія пізнання

людиноюневідомоговдовколишньомусередовищітаспробипоставитисобінаслужбуценевідоме.Завдякицимспробамвиниклиприродничінауки:астрономія,біологія,географія,хімія.Фізиказцілковитоюпідставоюпосідаєсереднихго-ловнемісце.Адже самефізикавпродовжстоліть визначаланауково-технічний прогрес людства. Транспорт, енергетика,польотивкосмос,сучаснаелектроніка—нашесучаснежит-тя неможливе без використання досягнень фізичної науки.Умайбутньомуфізиканапевновідіграватимебільшважливутазначнурольурозвиткулюдства.Ісудитипрокраїнубудутьпотому,якогорівнярозвиткудосягнулафізикавційкраїні.

Наша країна може гордитися рівнем наукових дослі-джень,якіпроводятьсяучисленнихнауково-досліднихцен-трах,рівнемтехнічноговтіленнянауковихвідкриттів.

Ядернафізикаіфізикаплазми,фізикатвердоготілаіфі-зиканапівпровідників,сучаснаелектроенергетика,створенняпершихелектронно-обчислювальнихмашин,авіа-ігелікопте-робудування,ракетнатехнікаівиробництвоавтомобілів,суд-нобудуванняівиробництвозалізничноготранспорту,сучаснатехнікарадіолокації—осьнеповнийпереліктихгалузейфі-зикиітехніки,уякихУкраїнаєрозвиненоюдержавою.

8

ЯДЕРНАФІЗИКАВісторіїлюдстванебулонауковоїподії,видатнішоїзана-

слідками,ніжвідкриттяділенняядеруранутаопануванняядерноюенергією.Людинаотрималаусвоєрозпорядженнямогутнєджерелоенергії,зосередженевядрахатомів.

ДослідженнявгалузіатомноїфізикивУкраїнірозпоча-лися в 1928 році, коли в Харкові, за ініціативою відомо-говченогоА. І. Іоффе,булоствореноУкраїнськийфізико-технічнийінститут(УФТІ).Черезкількароківпіслязасну-вання інституту, у 1932 році, молоді співробітникиАнтонВальтер,ГеоргійЛатишев,ОлександрЛейпунськийіКирилоСинельниковупершевЄвропірозщепнулиядроатома—цебулоядролітію (рис.В-1).У30-хрокахпідкерівництвомЛьваЛандаувінститутіпочинаютьсятеоретичнідосліджен-няатомногоядратаядернихпроцесів.Квантовамеханіка,фізика твердого тіла, магнетизм, фізика низьких темпера-тур, фізика космічних променів, гідродинаміка, квантоватеорія поля, фізика атомного ядра і фізика елементарнихчастинок,фізикаплазми—увсіхцихгалузяхфізикиЛан-дау вдалося зробити відкриття.Про нього говорили,що у«величезнійбудівліфізики20-гостоліттядляньогонебулозамкненихдверей».

Рис.В-1

9

ЛандаубувнагородженийНобелівськоюпремієюзфізи-ки,обранийчленомЛондонськогокоролівськоготоваристватаакадемійнаукДанії,Нідерландів,США,Франції,Лондон-ськогофізичноготовариства.Немаєусвітіжодногофізика-теоретика,якийнезнаєзнаменитого«Курсутеоретичноїфі-зики»,основнимавторомякогобувЛандау.

Дослідженнявзаємодіїнейтронівзядрамиурану,про-веденів1939–1941роках,свідчилипропринциповумож-ливістьздійсненняланцюговоїядерноїреакціїівивільнен-нявнутрішньоядерноїенергії.У1940роціФрідріхЛанге,ВолодимирШпінельіВікторМасловподализаявкунави-нахідатомноїбомбиіздобуттявпромисловихмасштабахурану.

УченіУкраїнивнеслиістотнийвкладдопошукуметодівотриманняйвикористанняатомноїенергіївмирнихцілях.Ізсередини20-гостоліттядослідженняатомногоядрапро-водятьсявІнститутіфізикиіІнститутіядернихдослідженьУкраїни(Київ).Результатицихдосліджень—ядерніреакто-риісистемиуправлінняядернимипроцесами,атакожатом-напромисловість.

На сьогодні в Україні більше ніж половина електрое-нергії виробляється на чотирьох атомних електростанці-ях: Запорізькій, Рівненській, Хмельницькій і Південно-УкраїнськійАЕС.

ЗапорізькаАЕС—найпотужнішаатомнаелектростанціявЄвропіітретязапотужністюусвіті.

ФІЗИКАПЛАЗМИПлазма—цегазоподібнийстанречовини,заякогозна-

чначастинаатомівйонізовані,тобторозпалисянапозитив-нозарядженійонитаелектрони.Дослідженняплазмипоча-лисящев19столітті,колирозвитоквакуумноїтехнікидавзмогуфізикамвиготовитипершігазорозряднітрубки.До-слідженнягазовогорозряду—ацеодинзвидівплазми—привелидовідкриттярентгенівськихпроменівіелектрона,створенняновихджерелсвітлатаапаратівзплазмовоїоб-робкиповерхонь.

У земних умовах плазму можна зустріти хібащо в га-зорозрядних трубках і плазмових телевізорах, а уВсесвітіпрактичновсяречовиназнаходитьсявстаніплазми.Опану-ванняплазмидозволитьлюдиніотриматиновіджерелаенер-гії,двигунидлякосмічнихапаратів.

10

ВУкраїнієдекільканауковихцентрів,уякихведутьсяроботиздослідженняплазми.ПередусімцеІнститутфізикиплазми(м.Харків)таІнститутфізики(м.Київ).

Плазмавикликаєінтересувченихздебільшоготому,щосамезнеюпов'язаномайбутнєенергетикиЗемлі—термо-ядерний синтез. Саме термоядерний синтез є джереломенергіїзір.ЩобнаЗемлізапалитизорю,потрібнонагріва-ти до десятків мільйонів градусів водневу плазму. Зроби-тицеможналишевспеціальнихустановкахзадопомогоюмагнітних іелектричнихполів.ВІнститутіфізикиплазмипрацюєустановка«Ураган»,уякійудалосястворитируко-творнеСонце(рис.В-2).Іхочавідцієїустановкищедалекодостворенняпромисловоготермоядерногореактора,резуль-тати,отриманінаустановці«Ураган»,позасумнівом,будутьпокладенівосновуконструкціїмайбутніхтермоядернихре-акторів.

ФІЗИКАТВЕРДОГОТІЛАІФІЗИКАНАПІВПРОВІДНИКІВСучасну фізику недаремно називають фізикою твердого

тіла.Успіхиматематичноїтаекспериментальноїфізикикін-ця19-го іпочатку20-гостолітьстворилиумовидлябурх-ливогорозвиткувсіхнапрямівфізикитвердоготіла:фізикикристалів,теоріїметалів,фізикинапівпровідників.

В Україні дослідження в галузі фізики твердого тіла іфізикинапівпровідниківпочалипроводитисявдругійполо-вині20-гостоліття.УКиєвібулозасновано Інститутфізи-ки напівпровідників, який сьогодні є провідним науковимцентром.ВІнститутіпроводятьсядослідженнянапівпровід-никовихструктур,створюютьсяновіматеріалитаприладимікроелектроніки.

Рис.В-2

11

У Харківському університеті на кафедрі теоретичноїфізики і в теоретичному відділенні Харківського фізико-технічногоінститутуІлляЛіфшицрозробивелектроннутео-ріюметалів—теоретичніосновисучасноїелектроніки.Крімтого,І.М.Ліфшицєоднимізтворцівсучасноїдинамічноїтеоріїтвердоготілаіфізикиквантовихкристалів.

ПЕРШІКОМП’ЮТЕРИУКиєвіводнійзлабораторій Інститутуелектротехніки

наприкінці 40-х років було створено першу в СРСР і кон-тинентальній Європі електронно-обчислювальну машину,прообраз сучасних комп’ютерів (рис. В-3). Потрібно буловирішувати досить багато завдань, які вимагали швидкихіскладнихобчислень.Упершучергуцеуправлінняпольо-тами балістичних і космічних ракет. Надалі лабораторіюбулоперетворенонаІнституткібернетики,якийствориврядкомп’ютерних систем. Найбільше досягнення Інституту—створеннясучаснихсуперкомп’ютерівдлявирішеннязадачядерноїфізики,управлінняскладнимисистемами,проведен-някосмічнихдосліджень.

Рис.В-3

ГЕЛІКОПТЕРО-ІАВІАБУДУВАННЯУкраїна має право пишатися Ігорем Сікорським і Оле-

гомАнтоновим.ІгорСікорськийвсесвітньовідомийяктво-рецьпершогосерійногогелікоптера,азОлегомАнтоновимпов’язане створення в Україні сучасної авіаційної промис-ловості, повного циклу виробництва літаків, якимможутьпохвалитисянебільшякдесятькраїнсвіту.УСполученихШтатахАмерики,кудиСікорський емігрував у 1919році,вінстворивсвоїнайкращігелікоптери.ІсьогодніувсьомусвітізнаютьгелікоптериСікорського.Їхвикористовуютьякуцивільних,такіувійськовихціляхнелишеуСполученихШтатахАмерики,алейубагатьохкраїнахсвіту.

12

ОлегАнтоновнабувсвітовоїпопулярності,обіймаючипо-садудиректораКиївськогоконструкторського бюролітако-будування.ВінствориввсесвітньовідомілітакиАн-2,Ан-10,Ан-12,Ан-22«Антей»,Ан-24.Останнєтворіннянашогозна-менитогоземляка—найбільшийтранспортнийлітакАн-124«Руслан»,щовипускаютьсерійно.

У1984роціім'ямОлегаАнтоновабулоназваноКиївськийавіаційнийнауково-технічнийкомплекс(АНТК)зістворен-нятавиробництвалітаків—АНТКім.Антонова.Найкра-щим пам'ятником великому конструктору стало створеннянадважкоготранспортноголітакаАн-225«Мрія»(рис.В-4),призначеного для перевезення радянського космічного ко-рабля«Буран».АНТКім.Антоноварозробивівипустивпо-над100типівлітаківцивільногоівійськовогопризначення.І сьогодніАвіаційнийнауково-технічнийкомплекс ім.Ан-тонованалежитьдонайвідомішихавіабудівнихфірмсвіту.

КОРАБЛЕБУДУВАННЯНаприкінці18-гостоліттявУкраїнібулопобудованове-

ликікораблебудівнізаводи,поблизуякихвиниклимістаМи-колаївіХерсон.Спочаткунацихзаводахбудувалидерев’яніпарусні військові кораблі та цивільні судна. З розвиткомтехнікизаводирозширювалися:дерев’яніпаруснісудназа-мінилисянапароплави,якімалисталевікорпуси.

У 19–20-му століттях кораблебудування України бурх-ливо розвивалося—нашакраїна перетвориласяна одну знайбільших кораблебудівних держав Європи. Під кінець

Рис.В-4

13

20-гостоліттяна11машинобудівнихіприладобудівнихза-водахМиколаєва,Херсона,Керчі,Севастополя,Києва,Оде-си було зосереджено близько10%усього обсягу світовогокораблебудування. Гордістю українського суднобудуваннябули і залишаються ракетні й авіаносні крейсери, великіпротичовновікораблітатранспортнісудна,криголами.Се-ред кораблебудівних заводів України— найбільший у Єв-ропі Чорноморський суднобудівельний завод неподалік відМиколаєва (рис. В-5).Ми впевнені,що вам, сьогоднішнімстаршокласникам,удастьсявписатиновісторінкивславнийлітописукраїнськихкораблебудівників.

РАКЕТОБУДУВАННЯУпершебойовіракетивЄвропі застосувалив1515році

запоріжціпідкомандуваннямгетьманаБогданаРужинсько-го:вониатакувалиначиненимипорохомракетамитатарськукінноту кримського хана Мелік-Гірея, унаслідок чого вінзазнавнищівної поразки, хочамавкількіснуперевагунадзапоріжцями.Аленезабаромкозакивтратилисекрет«ракет-ноїзброї»,бовсіракетники,щобралиучастьувійськовійкампанії,загинуливподальшихбитвах.

Рис.В-5

14

«Якби у нас ракетна зброя була раніше, то хтозна, чипосмівбиБонапартступитинанашуземлю.Аякбийпо-чавсвоюварварськунавалу,то,можливо,йогобшвидшезупинили. І тоді сиділи б разом з нами багато хоробрих,котрізагинуливбоях».Ціслованалежатьнашомуземля-ковітазнаменитомувійськовомувинахідниковіОлександруЗасядько. Він вів свій родовід від тих самих запоріжців-ракетників.

НародивсяОлександрЗасядьков1779роцівселищіЛю-теньці Гадяцького району Полтавської області. Здобувшивійськовуосвіту,вінбравучастьувійнахзтуркамиіфран-цузами.Вийшовшиувідставку,ОлександрЗасядькопочинаєвинаходитибойовіпороховіракети.Вінсконструювавпуско-вістанки,якідавализмогувестизалповийвогоньшістьмаракетами.Цебувпрообраз знаменитої«катюші», одним ізвинахідниківякоїбувтежнашземляк,полтавчанинЮрійПобедоносцев.

Ракетна зброяОлександраЗасядько відіграла вирішаль-нурольпідчасоблогипотужноїтурецькоїфортеціБраїлов(уВінницькійобласті)весною1828року.Передвирішальнимштурмомпофортецібулозробленозалпбойовимифугасни-миракетами.Вонизістрашнимсвистомлетілидофортеційтамвибухали.Сталовидноякудень.Післякороткоїперервиракетний залпповторили, але вже запальними снарядами.Фортецявпала.

Середтих,хтозмігпередбачитиосвоєннякосмосуракет-нимилітальнимиапаратамиістворитипершікосмічніапа-рати,єіменавинахідниківівчених,якітежтіснопов’язаніз Україною: Микола Кибальчич, Юрій Кондратюк (Олек-сандрШаргей),СергійКорольов,МихайлоЯнгель,ВалентинГлушкотаінші.

СьогодніславуОлександраЗасядькопоширюютьівизна-чають світовийрівень у ракетно-космічнійнауці й техніціДніпропетровський ракетно-космічний комплекс, до скла-дуякоговходитьКБ«Південне»ізавод«Південмаш».Тутконструюютьівиробляютьракети,яківиводятьнанавколо-земнуорбітусупутникизв’язкуідосліднілабораторії,томуУкраїнаєкосмічноюдержавою.Зєдиногоусвітіморськогокосмодрому«SeaLaunch»стартуютьлишеукраїнськіракети«Зеніт»(рис.В-6).Усвоємукласіценайнадійнішітадоско-налішікосмічніракетиусвіті.

15

НашарозповідьпронаукуйтехнікувУкраїні,звичайнож,єнеповною.Можнабулобзгадатиодногозтворцівтеоріїброунівського руху, львів’янина Мар’яна Смолуховського,дослідникаелектричнихімагнітнихявищ,одеситаМиколуУмова,винахідникаметодупросвітленняоптики,тернопіль-цяОлександраСмакулу,дослідникарентгенівськоговипро-мінювання,атакожтернопільцяІванаПулюя.Згадаймота-кожпропершийсуцільнозварниймістчерезДніпровКиєвітайогорозробникаЄвгенаПатона,прокращийтанкДругоїсвітовоївійниТ-34ійоготворців,конструкторівтаінжене-рівХарківськогопаровозобудівногозаводуМихайлаКошкі-натаОлександраМорозова.

Рис.В-6

16

1КІНЕМАТИКА

§1.Механічнийрух

§2.Прямолінійнийрівномірнийрух

§3.Прямолінійнийрівноприскоренийрух

§4.Прикладирозв’язуваннязадач

§5.Рівномірнийрухпоколу

17

§ 1. МЕХАНІЧНИЙ РУХ

1.Основнезавданнямеханіки2.Фізичнетілотаматеріальнаточка3.Системавідліку.Відносністьруху4.Траєкторія,шляхіпереміщення5.Векторнівеличиниуфізиці

1. ОСНОВНЕЗАВДАННЯМЕХАНІКИМеханікавивчаємеханічнийрухтавзаємодіютіл.

Механічним рухом називають зміну з часом положеннятілавідносноіншихтіл.

Часто для стислості ми називатимемо механічний рухпросто«рухом».

Прикладимеханічногоруху:рухзіріпланет,потягів,лі-таків,автомобілівтакосмічнихкораблів.

Основне завдання механікиполягаєвтому,щобвизначитиположеннятілавбудь-якиймоментчасувідносноіншихтіл.

Длярозв’язанняосновногозавданнямеханікитребазнатипочаткове положення тілатайогошвидкість у початковий момент часу. Крім того, якщошвидкість тіла змінюєтьсязчасом,требазнати,яксамевоназмінюється.

Якмипобачимодалі,швидкістьтілазмінюєтьсявнаслі-докдіїнацетілоіншихтіл.Закони,щовизначають,якзмі-нюютьсяшвидкостітіл, ієосновнимизаконамимеханіки.Алещобсформулюватизаконимеханікийнавчитисяїхза-стосовувати,требаспочаткунавчитисяописуватиположеннятілатайогорух.

Описрухутілстановитьзмістпершогорозділумеханіки,якийназиваютькінематикою.

2.ФІЗИЧНЕТІЛОТАМАТЕРІАЛЬНАТОЧКАЯквивжезнаєте,уфізицітілом(точніше,фізичнимті-

лом) називають будь-який предмет: це може бути, напри-клад,планета,автомобільчинавітьпіщинка.

18

Убагатьохзадачахдляописурухутіладостатньозадатирухтількиоднієїйоготочки.Утакомуразітілоподумкиза-мінюютьоднієюточкою.

Тіло, розмірамиякого в даній задачіможна знехтувати,називаютьматеріальною точкою.

Матеріальна точка є найпростішоюмоделлю тіла, вико-ристанняякоїзначноспрощуєописйогоруху.

Далімирозглядатимемовосновномузадачі,уякихтіломожнавважатиматеріальноюточкою.

КОЛИТІЛОМОЖНАВВАЖАТИМАТЕРІАЛЬНОЮТОЧКОЮ?Чиможнавважатитіломатеріальноюточкою,залежить

не від розмірів тіла («велике» воно чи «маленьке»), а відпоставленоїзадачі.Томутесаметіловоднихзадачахможерозглядатисяякматеріальнаточка,авінших—ні.

Так,тіломожнавважатиматеріальноюточкою,якщороз-міри тіла малі порівняно з відстанню, пройденою тілом,оскількивцьомувипадкурозбіжність урусі різних точоктілаєнесуттєвою.Розглянемоприклади.

Рух літака.Якщотребазнайтичасперельотулітакаміждвомамістами,літакможнавважатиматеріальноюточкою,оскількирозмірилітаканабагатоменші,ніжвідстаньміжмістами(рис.1.1).

Рис.1.1

19

Якщожпотрібноописатирухлітакапідчасвиконанняфігурвищогопілотажу,тослідураховувати,щоприцьомурізніточкилітакарухаютьсяпо-різному:літакможепохи-туватикрилами,підніматийопускатиніс.Дляописурухулітакатребаприцьомузадаватиположеннядекількохточоклітака(наприклад,A,B,Cнарис.1.2),тобтовцьомувипад-кулітакнеможнавважатиматеріаль-ноюточкою.

Рух Землі.РозглядаючирухЗемлінавколоСонця,Землюможнавважа-тиматеріальноюточкою,аджерозмі-риЗемлінабагатоменші,ніжвідстаньвідЗемлідоСонця(рис.1.3).Розгля-даючисилу,щодієнаЗемлюзбокуСонця,Землютакожчастоможнавва-жатиматеріальноюточкою.

Якщо ж нас цікавить положеннярізнихточокЗемліврізнімомен-типідчасїїдобовогообертання,Землю не можна розглядати якматеріальнуточку(рис.1.4).

Тіло можна вважати матері-альною точкою також за умовипоступального руху тіла, тобтопідчастакогоруху,коливсіточ-китіларухаютьсяоднаково(прицьому будь-який відрізок, щоз’єднує дві точки тіла, залиша-ється паралельним самому собі),оскільки під час поступального

Рис.1.2

Рис.1.3

Рис.1.4

20

рухудляописурухутіладостатньозадатирухтількиоднієїточкитіла.Розглянемоприклад.

Політ лижника з трампліна.Підчасстрибказтрампліналижник у польоті рухаєтьсяпрактичнопоступально.Томудляописурухулижникадостатньозадатирухтількиоднієїйоготочки(рис.1.5).Отже,описуючирухлижника,людинуможнавважатиматеріальноюточкою.

3. СИСТЕМАВІДЛІКУ.ВІДНОСНІСТЬРУХУКолиописуютьрухтіла,тозавжди—явночинеявно—

маютьнаувазірухцьоготілавідносно якогось іншого тіла.

Тіло, відносно якого розглядають рух усіх тіл у данійзадачі,називаютьтілом відліку.

ЧастозатіловідлікуприймаютьЗемлю.Наприклад,колиговорять:«Автомобільїдезішвидкістю100км/год»,маютьнаувазішвидкістьавтомобілявідносноЗемлі.Алеякщого-ворять,щопасажир іде по вагону зішвидкістю 4 км/год,маютьнаувазішвидкістьпасажиравідносновагона,тобтотіломвідлікуєвагон.

Інодібезпрямоївказівкинатіловідлікуобійтисяпростонеможна:наприклад,фраза«ракеталетитьзішвидкістю10км/с»буденезрозумілою,якщонезазначити,відносноякоготілароз-глядаєтьсярухракети—Землі,Сонцячиіншоїракети.

Положення тіла в даний момент часу задають за до-помогою системи координат, пов’язаної з тілом відліку.А оскільки рух тіла характеризується зміноюположеннятілазчасом,дляописурухупотрібентакожгодинник.

Рис.1.5

21

Тіло відліку та пов’язані з ним система координат ігодинникутворюютьсистему відліку(рис.1.6).

4. ТРАЄКТОРІЯ,ШЛЯХІПЕРЕМІЩЕННЯЛінію в просторі, по якій рухається тіло, називаютьтраєкторією рухутіла.

Траєкторіяєуявноюлінією,алеякщотілозалишаєслідпідчасруху,тоцялініястаєвидимою.Наочнийприклад— слід, який залишає лі-так (рис. 1.7) або катер (рис. 1.8).Цейслідпоказуєтраєкторіюлітакавсистемівідліку,пов’язанійізЗем-лею. У першому випадку траєкто-ріятілапрямолінійна,удругому—криволінійна.

Якщотілоповернулосявпочат-кову точку, траєкторію називаютьзамкнутою.

Наприклад,якщовивранціви-йшлиздому,аввечеріповернулисядодому,траєкторіявашогорухузаденьєзамкнутою.

Довжину траєкторії називаютьшляхом,пройденимтілом.

Шлях є скалярною величиною,зазвичаййогопозначаютьлітероюl.

Рис.1.6

Рис.1.7

Рис.1.8

22

Звернітьувагу:шляхомуважають сумудовжинусіхді-ляноктраєкторії,утомучислітих,щонакладаютьсяоднанаодну.Наприклад,якщоавтомобільзробивтриповніколапокільцевомушосе,топройденийнимшляхутриразибіль-шийзадовжинукола.

Щобвизначити,кудиперемістилосятіловданиймоментізпочатковоїточки,задають

переміщення тіла — напрямлений відрізок, проведенийзпочатковогоположеннятілавйогоположеннявданиймоментчасу(рис.1.9).

Переміщенняєвекторноювеличиною,зазвичаййогопо-значають

�;s модульпереміщенняпозначають .s Далімироз-

глянемо,яквикористовуютьвекторнівеличиниуфізиці.

ЧИЗАЛЕЖИТЬТРАЄКТОРІЯВІДВИБОРУСИСТЕМИВІДЛІКУ?Так, залежить: наприклад, в одній системі відліку тра-

єкторія руху тіламоже бути прямолінійною, а в іншій—криволінійною. Тому від вибору системи відліку залежитьішлях,іпереміщеннятіла.

Приклад (із книги Ґалілея).Нехайзвершинищоглико-рабля,щопливе,найогопалубупадаєядро.Усистемівід-ліку,пов’язанійізкораблем,траєкторіярухуядра—прямо-лінійнийвідрізок(рис.1.10,а).Зточкижзоруспостерігача,який стоїть на березі, ядро мало початкову горизонтальнушвидкість,щодорівнювалашвидкостікорабля.Томувсис-темівідліку,пов’язанійізберегом,траєкторіярухуодногойтогосамогоядракриволінійна(рис.1.10,б).Легкопобачити,щопройденийядромшляхіпереміщенняядраудвохроз-глянутихсистемахвідлікутакожрізні.

Рис.1.9

23

ПОСТАВИМОДОСЛІД

Закріпимо картонний або фанерний диск так, щоб він міг обертатися навколо горизонтальної осі (рис. 1.11).Розкрутимо диск, піднесемо до нього рейку (не торкаючись диска) і проведемо уздовж рейки грудоч-кою крейди, щоб крейда залиши-ла слід на диску. У системі відліку, пов’язаній із Землею, траєкторія грудочки крейди прямолінійна — крейда рухається вздовж рейки. Однак на диску крейда викреслює спіраль, що показує траєкторію руху тієї ж грудочки крейди в сис-темі відліку, пов’язаній з диском.

5. ВЕКТОРНІВЕЛИЧИНИУФІЗИЦІУфізицівикористовуютьбагатовекторнихвеличин.Та-

кими величинами є, наприклад, переміщення, швидкість,сила.Розглядаючибагатозадач,требавмітивиконуватиріз-нідіїзвекторнимивеличинами.Розглянемотутдодаваннявекторнихвеличиннаприкладідодаванняпереміщень.

НехайлітакперелетівзмістаМдомістаН,азвідти—домістаК.Нарисунку1.12,а вектором

�1s позначеноперемі-

щеннялітаказМуН,авектором�2s —переміщеннялітака

Рис.1.10

Рис.1.11

24

зНуК.Результатомдвохпереміщеньєпереміщення�s—це

вектор,щоз'єднуєМіК.Мивиконализараздодавання векторівза«правиломтри-

кутника».Щобзацимправиломзнайтисумудвохвекторів,треба

початокдругоговектораз’єднатизкінцемпершоговектора(рис.1.12,а).Тодісумоюцихдвохвекторівєвектор,поча-токякогозбігаєтьсязпочаткомпершоговектора,акінець—зкінцемдругоговектора(рис.1.12,б).

Задопомогою«правилатрикутника»можнадодаватитакожвектори, напрямлені вздовж однієї прямої (рис. 1.12, в, г).Щоправда, уцьомувипадку справжній трикутникне вихо-дить,бовсівекторилежатьнаоднійпрямій.Звернітьувагу:уцьомувипадкурівністьs=s

1+s

2маємісцетількитоді,коли

вектори-доданки напрямлені однаково (рис. 1.12, в). Якщож вектори-доданки напрямлені протилежно, то = −1 2s s s (рис.1.12,г).

Рис.1.12

25

ПРОЕКЦІЇВЕКТОРНОЇВЕЛИЧИНИНАОСІКООРДИНАТПри розв’язуванні задач зазвичай складають рівняння,

щозв’язуютьфізичнівеличини,апотімрозв’язуютьцірів-няння.Якщовеличинивекторні,доводиться«стежити»нетількизамодулемкожноїтакоївеличини,алейзаїїнапря-мом.Розв’язання задач значно спрощується завдяки тому,що одну векторну величину можна задати за допомогоюкількох скалярнихвеличинутакийспосіб.

Будь-якувекторнувеличинуможнапредставитиувигля-дісумитрьохвекторнихвеличин,напрямленихуздовжосейкоординат.Цівекторнівеличининазиваютьїїскладовими.Акожнускладовувекторноївеличиниможнаохарактеризу-ватичислом:модульцьогочисладорівнюємодулюскладової,азнакчиславизначаєтьсянапрямомскладової.Якщовонанапрямлена в додатному напряміосікоординат,тоцечислододатне,аякщоувід’ємному—товід’ємне.Це число називають проекцією да-ної векторної величини на відповід-ну координатну вісь1.

Проекціївекторноївеличини�aна

осікоординатx,y,z позначають xa ,

ya і za .Вонимаютьтісаміодиниці,щоймодульвеличини

�a.Наприклад,

одиниціпроекціїпереміщення—ме-три,апроекціїшвидкості—метризасекунду. На рис. 1.13 показано, якзнаходитипроекціївекторноївеличи-ни,заданоїнаплощині.Нарис.1.13,аобидвіпроекціївектора

�aдодатні,

анарис.1.13,бпроекціявектора�aна

вісьxдодатна,анавісьy—від’ємна.Ще раз звертаємо увагу на те,

щознак проекції може бути як по-зитивним, так і негативним.

Виразимопроекції векторної ве-личини

�a,заданоїнаплощині,через

їїмодульaікутαміжнапрямом�a

івіссюx.Яквиднозрис.1.14, = αcosxa a ,= αsinya a .Оскількискладовівек-

1 Проекціївекторавкурсігеометріїназиваютькоординатамивектора.

Рис.1.13

Рис.1.14

26

торноївеличиниісамавекторнавеличинаутворюютьпря-мокутнийтрикутник,модульвекторноївеличинивиража-

єтьсячерез їїпроекціїзадопомогоюформули 2 2x ya a a= + .

Придодаваннівекторнихвеличинїхніпроекціїдодаються.

ЯКПОВ’ЯЗАНІПРОЕКЦІЇПЕРЕМІЩЕННЯТІЛАЗЙОГОКООРДИНАТАМИ?Для наочності обмежимося ру-

хомнаплощині.Нехай тіло з точки з координа-

тами 0 0,x y перемістилосявточкузкоординатами ,x y(рис.1.15).Тодіпереміщення

�s—цевектор,прове-

денийізточкизкоординатами 0 0,x y уточкузкоординатами , .x y Отже,

= − 0xs x x , = − 0ys y y . Такимчином,= + = +0 0, .x yx x s y y sЗверніть увагу: у цих формулах

стоїтьзнак«плюс»незалежновідтого,уякомунапрямірухалосятіло—удодатному напрямі осі (рис. 1.15, а)чиувід’ємному(нарис.1.15,бтілорухаєтьсяувід’ємномунапряміосіy).

ПРОЩОМИДІЗНАЛИСЯ

Механічним рухом називають зміну з часом положення тіла від-носно інших тіл.

Основне завдання механіки полягає в тому, щоб визначити поло-ження тіла в будь-який момент часу. Для розв’язання основного завдання механіки треба знати початкове положення тіла, його швидкість у початковий момент часу й те, як швидкість змінюється з часом.

Тіло, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати, називають матеріальною точкою. Тіло можна вважати матеріальною точкою, якщо розміри тіла малі порівняно з відстанню, пройденою тілом, а також у разі, коли тіло рухається поступально.

Тіло, відносно якого розглядають рух усіх тіл у даній задачі, нази-вають тілом відліку.

Тіло відліку та пов’язані з ним система координат і годинник утво-рюють систему відліку.

Лінію в просторі, по якій рухається тіло, називають траєкторією руху тіла.

Довжину траєкторії називають шляхом, пройденим тілом.

Рис.1.15

27

Переміщення тіла — напрямлений відрізок, проведений з початко-вого положення тіла в його положення в даний момент часу.

Форма траєкторії, шлях та переміщення тіла залежать від вибору системи відліку.

ЗАПИТАННЯТАЗАВДАННЯ

Першийрівень1. Наведіть приклади задач, коли ваше власне тіло можна вважати ма-

теріальною точкою, а коли — ні. 2. Наведіть приклади задач, у яких спортсмена можна розглядати як

матеріальну точку і в яких не можна. 3. Навіщо потрібна система відліку? З чого вона складається? 4. Що приймають за тіло відліку, коли говорять: а) автомобіль їде зі

швидкістю 100 км/год; б) Земля рухається по своїй орбіті зі швидкіс-тю 30 км/с?

5. Чи може траєкторія руху перетинати себе? Наведіть приклади, що підтверджують вашу відповідь.

6. Чим відрізняється шлях від переміщення? Чи може шлях під час руху тіла зменшуватися?

Другийрівень7. Як рухається тіло, якщо модуль переміщення дорівнює шляху, про-

йденому тілом?8. Яка траєкторія руху тіла, якщо його переміщення дорівнює нулю,

а шлях нулю не дорівнює?9. Хлопчик їде на велосипеді по прямолінійній ділянці горизонтального

шляху. Намалюйте в зошиті траєкторію руху сідла велосипеда від-носно шляху; педалей велосипеда.

10. На рисунку показано послідовні положення A, B, C, D через рівні проміжки часу бджоли, яка літає лугом. Перенесіть рисунок у зошит і накресліть вектори переміщень бджоли за кожний з цих проміжків.

28

§ 2. ПРЯМОЛІНІЙНИЙ РІВНОМІРНИЙ РУХ

1.Швидкістьпрямолінійногорівномірногоруху2.Графікипрямолінійногорівномірногоруху3.Середняшвидкість

1.ШВИДКІСТЬПРЯМОЛІНІЙНОГОРІВНОМІРНОГОРУХУ

Найпростішийвидруху—прямолінійнийрівномірнийрух.

Прямолінійним рівномірним рухом називають рух, підчасякоготілозабудь-якірівніпроміжкичасуздійснюєоднаковіпереміщення.

Прямолінійнимрівномірнимрухомє,наприклад,рухав-томобіляпопрямомушосе,колиспідометр«застигає»наод-номупоказанні,скажімо«60км/год».

Швидкість прямолінійного рівномірного руху дорівнюєвідношеннюпереміщеннятіладопроміжкучасу,заякийвідбулосяцепереміщення:

��=s

vt.

Зцієїформуливипливає,що� �=s vt .

Зручнонаправитивісьxуздовжпрямої,поякійрухається

тіло,тоді = xx

sv

t.

Проекціяшвидкостіvxможебутияк

додатною(рис.2.1,а),таківід’ємною(рис.2.1,б)—залежновідтого,уяко-мунапряміосіxрухаєтьсятіло.

Формули залежності від часу про-екції переміщення xs і координати xмаютьвигляд:

=x xs v t , = +0 xx x v t .Рис.2.1

29

Одиниця швидкостівSI—1м/с.Цешвидкістьнеспішноїпрогулянки.Ідучизтакоюшвидкістю,людинапроходитьзаоднугодину3600м,тобтоїїшвидкістьдорівнює3,6км/год.Швидкістьавтомобілівіпотягівзадаютьзазвичайукіломе-трахзагодину.

Швидкість ракет і штучних супутників Землі задаютьукілометрахзасекунду(км/с).

Як ми побачимо в § 10. Закон всесвітнього тяжіння,швидкість рухуштучного супутника Землі навколоземноюорбітоюстановитьблизько8км/с.

2. ГРАФІКИПРЯМОЛІНІЙНОГОРІВНОМІРНОГОРУХУНаочнеуявленняпрорухтіладаютьграфікизалежності

відчасушвидкості,переміщення,координатиішляху.Роз-глянемо,якбудуютьціграфіки,наконкретномуприкладі.

РОЗВ’ЯЖІМОЗАДАЧУ

Попрямійдорозі їдутьвелосипедист іавтомобіль.Велосипе-дистїдеводномунапрямізішвидкістю25км/год,автомобіль—у протилежному напрямі зі швидкістю 50 км/год. У початко-вий момент велосипедист перебував у точці з координатоюx = 25 км, автомобіль — у точці з координатою x = 100 км.Побудуємо графіки залежності від часу проекції швидкості,переміщення,координатиташляху.

Розв’язання. Направимо вісь x у напрямі швидкості велосипедиста.

Графікизалежностіпроекціїшвидкостівідчасу. Оскільки тіла ру-хаються з постійною швидкістю, графік функції ( )xv t — пряма, паралельна осі t. Для велосипедиста > 0xv , тому графік проходить вище осі t, а для автомобіля < 0xv , тому гра-фік проходить нижче осі t. Ці графіки на-ведено на рис. 2.2. Графік залежності проекції швидкості від часу для прямолінійного рівномірно-го руху може здатися не надто цікавим. Однак він має важливу властивість, яка невдовзі нам допоможе. Для зручнос-ті розглянемо випадок, коли проекція швидкості є додатною. Тоді

площа фігури,обмеженоїграфікомv

x (t) івіссю t,чисельно дорівнює

проекціїпереміщення.

Рис.2.2

30

Щоб переконатися в цьому, розглянемо фігуру, розташовану під графіком про-екції швидкості (її виділено кольором на рис. 2.3). Ця фігура — прямокутник. Його площа дорівнює добутку висоти v

x на основу

t, тобто дорівнює vxt. А це чисельно

дорівнює переміщенню за умови пря-молінійного рівномірного руху. Графік залежності проекції перемі-щеннявідчасу. З формули =( )x xs t v t випливає, що графіком ( )xs t є пряма, що проходить через початок координат (рис. 2.4). Якщо > 0,xv то sx збільшу-ється з часом (саме так для велосипе-диста), а якщо < 0,xv то sx зменшуєть-ся з часом (саме так для автомобіля).Зверніть увагу на те, що нахил графіка ( )xs t тим більший, чим більший модуль

швидкості.Графік залежності координати відчасу. Графік = +0( ) ( )xx t x s t відрізня-ється від графіка s

x (t) тільки зсувом на

0x по осі ординат (рис. 2.5). Точка пере-тину двох графіків відповідає моменту, коли координати тіл збігаються, отже, ця точка графіка визначає момент часу і координату зустрічі двох тіл.По наведених графіках видно, що вело-сипедист і автомобіль протягом першої години рухалися назустріч один одному, а потім — віддалялися один від одного.Графікшляху. Зверніть увагу: хоча ве-лосипедист і автомобіль рухаються в протилежних напрямах, в обох випадках пройдений кожним з них шлях зростає з часом (рис. 2.6).

3. СЕРЕДНЯШВИДКІСТЬПрямолінійний рівномірний рух

зустрічається досить рідко. Значночастішемиспостерігаємоприкладинерівномірногоруху.

Рис.2.3

Рис.2.4

Рис.2.5

Рис.2.6

31

Нерівномірнимрухомназиваютьтакийрух,підчасякоготілопроходитьзарівніпроміжкичасурізнішляхи.

Прикладаминерівномірногорухуможутьслужитипадін-няяблуказгілкидерева,розгінігальмуванняавтомобіля.

Дляописунерівномірногорухучастовикористовуютьсе-реднюшвидкість.

Середньою швидкістю нерівномірного руху�ñv за даний

проміжокчасуtназиваютьфізичнувеличину,щодорівнюєвідношеннюпереміщення

�s допроміжкучасу,заякийце

переміщеннявідбулося:�

�=ñ .s

vt

Слова«заданийпроміжокчасу»вказуютьнате,щоза умови нерівномірного руху середня швидкість тіла за різні проміжки часу може бути різною.

Наприклад,колиавтомобільрозганяється,тойогосеред-

няшвидкістьзапершусекундуможедорівнюватиì

ñ5 , аза

другу секунду — вжеì

ñ10 . А для автобуса, що гальмує,

навпаки,середняшвидкістьзакожнунаступнусекундумен-ша,ніжзапопередню.


Прямолінійним рівномірним рухом називають такий рух тіла, під час якого воно за будь-які рівні проміжки часу здійснює рівні пере-міщення.

Швидкість прямолінійного рівномірного руху дорівнює відношенню переміщення

�s тіла до проміжку часу ,t за який здійснено це пере-

міщення: �

�=s

vt

. Швидкість — величина векторна.

Формули залежності від часу переміщення, проекції переміщення та координати мають вигляд:

� �= ,s vt = ,x xs v t = +0 .xx x v t

Графіком залежності проекції переміщення від часу за умови пря-молінійного рівномірного руху є відрізок прямої, один кінець якого збігається з початком координат. Чим більша швидкість тіла, тим більший кут між графіком залежності проекції переміщення від часу та віссю часу.

Нерівномірним рухом називають такий рух, під час якого тіло про-ходить за рівні проміжки часу різні шляхи.

32

Середньою швидкістю нерівномірного руху за даний проміжок часу t називають фізичну величину, що дорівнює відношенню перемі-

щення до проміжку часу, за який це переміщення відбулося: �

�=ñ .s

vt


Першийрівень1. Наведіть приклади прямолінійного рівномірного руху. 2. Автомобіль рухається рівномірно по прямому шосе. З якою швид-

кістю їде автомобіль, якщо кожної хвилини він проїжджає повз кіло-метровий стовп?

3. Хороший спортсмен пробігає стометрівку за 10 с. Яка його швид-кість у метрах за секунду та в кілометрах за годину?

4. Автомобіль їде зі швидкістю Яка його швидкість у кілометрах

за годину?5. Побудуйте на одному рисунку графіки залежності шляху від часу

для двох автомобілів — синього і червоного. Синій рухається зі

швидкістю а червоний — зі швидкістю Для якого

автомобіля кут між графіком та віссю часу більший?

6. Що таке нерівномірний рух? Наведіть декілька прикладів такого руху.

7. Що таке середня швидкість? Як пов’язаний модуль середньої швид-кості зі шляхом під час прямолінійного руху в одному напрямі?

8. Автомобіль за 1 год проїхав 60 км, потім 1 год стояв, а потім ще за 1 год проїхав 90 км. Автомобіль весь час рухався прямолінійним шосе в одному напрямі. Яка середня швидкість автомобіля?

Другийрівень9. Який вигляд має графік залежності шляху від часу за умови прямолі-

нійного рівномірного руху? Намалюйте такі графіки для двох автомо-білів, якщо швидкість першого автомобіля удвічі більша за швидкість другого.

10. На рис. 2.7 наведено графіки залежності шляху від часу для двох тіл, що рухаються прямолінійно. Зна-йдіть швидкість руху кожного з цих тіл. У скільки разів швидкість першого тіла більша за швидкість другого?

11. Який вигляд має графік залежності модуля швидкості від часу за умови прямолінійного рівномірного руху? Як можна знайти пройдений шлях за до-помогою графіка швидкості?

Рис.2.7

33

12. Залежність координати тіла від часу в одиницях SI має вигляд = − +15 2,5x t–15 + 2,5t. З якою швидкістю рухається тіло та в якому напря-

мі відносно вісі x? Через який час координата тіла дорівнюватиме 15 м?

13. Пасажир проїхав половину часу на автомобілі зі швидкістю ,

а половину часу — потягом зі швидкістю . Чому дорівнює його

середня швидкість за весь час руху? Автомобіль та поїзд весь час рухалися по прямій в одному напрямі.

14. Пасажир проїхав першу половину шляху на автомобілі зі швидкістю

, а другу половину шляху — потягом зі швидкістю .

Чому дорівнює його середня швидкість за весь час руху? Автомобіль весь час рухався прямолінійним шосе в одному напрямі. Чому відпо-відь цієї задачі відрізняється від відповіді попередньої?

15. Складіть задачу за темою «Прямолінійний рівномірний рух», відпо-віддю якої було б «Не наздожене».

34

§ 3. ПРЯМОЛІНІЙНИЙ РІВНОПРИСКОРЕНИЙ РУХ

1.Миттєвашвидкість2.Прискорення3.Прямолінійнийрівноприскоренийрух4.Вільнепадіння

1. МИТТЄВАШВИДКІСТЬЯкщошвидкістьтілазмінюєтьсязчасом,дляописуруху

требазнати,чомудорівнюєшвидкістьтілавданий момент часу(абовданійточцітраєкторії).Цюшвидкістьназиваютьмиттєвою швидкістю.

Наочнеуявленняпромиттєвушвидкістьдаєприладдлявимірюванняшвидкостіавтомобіля—спідометр (рис.3.1).

Можна сказати, що миттєва швидкість — це середня швидкість за дуже малий проміжок часу.Підчасруху зі змінною швидкістю середняшвидкість, вимірювана за різні про-міжкичасу,будерізною.Протеякщопривимірюваннісередньоїшвидкостібрати щораз менші проміжки часу,значення середньоїшвидкості набли-жатиметься до деякого певного зна-чення.Цеіємиттєвашвидкістьуда-ниймоментчасу.Надалі,говорячипрошвидкістьтіла,миматимемонаувазійогомиттєву швидкість.

Поняттямиттєвоїшвидкостідобреілюструєтакийприкладзізнаменитих«Фейнманівськихлекційзфізики»(рис.3.2).

Поліцейськийзупиняємашину, іміжнимтажінкоюзакермомвідбуваєтьсятакарозмова.

—Випорушилиправиладорожньогоруху:їхализішвид-кістю90кілометрівзагодину.

—Явсього7хвилинтомувиїхалаздому,якжеямоглапроїхати90кілометрівзагодину?

—Алеякбивипродовжувалитакїхати,товипроїхалибзагодину90кілометрів.

Рис.3.1

35

—Аяйнезбираласятакїхатиажгодину!Язбираласяпроїхатищеодинкварталізупинитися.

Якбивинамісціполіцейськогодовели,щоправиладо-рожньогорухувсе-такибулопорушено?

2. ПРИСКОРЕННЯЯкщошвидкість тілапід час руху змінюється, виникає

питання: якою є «швидкість зміни швидкості»? Ця вели-чина,якуназиваютьприскоренням,відіграєдужеважливурольувсіймеханіці:незабароммипобачимо,щоприскорен-нятілавизначаєтьсядіючиминацетілосилами.

Нехайшвидкістьтілавмоментчасу 1t дорівнювала 1v�,ав

моментчасу 2t сталарівною 2v�.Позначимозміну швидкості

2 1v v v∆ = −� � �

,апроміжокчасу 2 1.t t t∆ = −

Прискоренням називають1 відношення зміни швидкостітіладопроміжкучасу,заякийцязмінавідбулася:

va

t∆

=∆

��

.

Яквипливаєзвизначення,прискорення—величина век-торна. Напрямприскореннязбігаєтьсязнапрямомвекторазміни швидкості v∆

�.

Приклади:

1. Коли автомобіль розганяється, його прискорення на-прямленевтойжебік,щоішвидкість.

2. Колиавтомобільгальмує,йогоприскореннянапрямленепротилежношвидкості.

1 Цевизначеннясередньогоприскореннязачас t.Миттєвимприскорен-нямназиваютьсереднєприскореннязадужемалийпроміжокчасу.

Рис.3.2

36

Одиниця прискореннявSI:1м/с2.Якщотілорухаєтьсявпевномунапрямізприскоренням1м/с2,йогошвидкістьзмінюєтьсящосекундина1м/с.

Термін «прискорення» використовують у фізиці, колимовайдепробудь-якузмінушвидкості,утомучислійтоді,колимодульшвидкостізменшуєтьсяабоколимодульшвид-костізалишаєтьсянезміннимішвидкістьзмінюєтьсятількизанапрямом.

3. ПРЯМОЛІНІЙНИЙРІВНОПРИСКОРЕНИЙРУХПрямолінійним рівноприскореним1 рухом називаютьпрямолінійнийрухтілазпостійнимприскоренням.

Прикладамитакогорухуєпадіннятілзі стануспокою,якщоможна знехтувати опоромповітря, а такожрух тілавздовжпохилоїплощини.

ШВИДКІСТЬПРЯМОЛІНІЙНОГОРІВНОПРИСКОРЕНОГОРУХУ

З визначення прискоренняv

at

∆=∆

��

випливає: .v a t∆ = ⋅ ∆� �

Отже,

підчаспрямолінійногорівноприскореногорухушвидкістьтілазабудь-якірівніпроміжкичасузмінюєтьсянатужсамувеличину.

Позначимо 0v� швидкість тіла в початковий момент (при

t=0),аv�—швидкістьтілавмоментчасуt.Тоді 0v v v∆ = −

� � �,

а t t∆ = , томуформула v a t∆ = ⋅ ∆� �

набуде вигляду 0v v at− =� � �

.Звідсивипливає:

0v v at= +� � �

.

Якщонаправитивісьxуздовжпрямої,поякійрухаєтьсятіло,товпроекціяхнавісьxотримаємо:

0x x xv v a t= + .

Такимчином,заумовипрямолінійногорівноприскореногорухупроекціяшвидкостілінійно залежитьвідчасу.Цеозна-чає,щографіком залежності ( )xv t є відрізок прямої.

Нарис.3.3наведенографікшвидкостіавтомобіля,щорозга-няється,анарис.3.4—автомобіля,щогальмує.Дляпершого

1 Прямолінійний рівноприскорений рух називають іноді рівнозмінним. Рухзприскоренням,якедорівнюєнулю,мибудеморозглядатиякрівномірнийпрямолінійнийрух.

37

автомобіляv0x=10м/с, 0

2

ì5 ; 0ñ

x xx x

v va a

t

−= = >

02

ì5 ; 0ñ

x xx x

v va a

t

−= = > .Длядругого

автомобіляv0x=30м/с,

20 ì

ñ2 ; 0x x

x xv v

a at

−= = − < .

ПЕРЕМІЩЕННЯТІЛАПІДЧАСПРЯМОЛІНІЙНОГОРІВНОПРИСКОРЕНОГОРУХУНагадаємоспочатку,щозаумовирівномірногорухупро-

екціяпереміщенняsxчисельнодорівнюєплощіфігури,об-

меженоїграфікомvx (t)івіссюt.

Цесправедливоідлянерівномірного руху.Прикладграфіказалежності проекціїшвидкості від часу для такого руху на-веденонарис.3.5,а.Увесьчасрухуможнарозбитинатакімаліпроміжкичасу,щопротягомкожногознихрухтіламож-навважатипрактичнорівномірним.Схематичноцепоказанонарис.3.5,б.

Рис.3.5

Скористаємося цим,щоб знайти,якзалежитьпереміщеннявідчасузаумови прямолінійного рівноприско-реногоруху.

Якщо початкова швидкість тіладорівнює нулю, фігура, обмеженаграфіком ( )xv t і віссю t,— трикут-никплощею 2 2xa t (рис.3.6).

Рис.3.3 Рис.3.4

Рис.3.6

38

Користуючись формулою для площі прямокутного три-кутника,отримуємо,що

припрямолінійномурівноприскореномурусібезпочатковоїшвидкості

2

2x

xa t

s = .

Якщожпочатковашвидкістьтіланедорівнюєнулю,тофігура,обмеженаграфіком ( )xv t івіссюt,єтрапецією,щоскладається з прямокутника площею 0xv t і трикутника площею 2 2xa t (рис.3.7).

Отже,за умови прямолінійного рівно-прискореного руху з початковоюшвидкістю 0v

2

0 2x

x xa t

s v t= + .

Залежність координати від часу. Оскільки 0 xx x s= + ,отримуємо

2

0 0 2x

xa t

x x v t= + + .

Середня швидкість під час пря-молінійного рівноприскореного руху.Користуючисьвиведе-

нимивищеформулами,легкодовести,щоvcx 0

ñåð 2x x

xv v

v+

= .Це

співвідношенняспрощуєрозв’язаннябагатьохзадач.Співвідношення між переміщенням і швидкістю. Для

розв’язуваннязадач,вумовіякихне задано часу руху,ко-рисні формули,що пов’язують переміщення з початковою

ікінцевоюшвидкостями.Зформул 0

2x x

xv v

s t+

= і 0x x

x

v vt

a

−=

отримуємо:2 2

0

2x x

xx

v vs

a

−= . Якщо початковашвидкість дорів-

нюєнулю,цяформуланабуваєвигляду2

2x

xx

vs

a= .

4. ВІЛЬНЕПАДІННЯНаприкінці16-го століття італійськийученийҐалілей

зробивважливевідкриття:вивчаючипадіннятіл,вінви-явивнадосліді,щоколиопоромповітряможназнехтувати,товсітіла,падаючи,рухаютьсярівноприскорено з однако-вим прискоренням.

Рис.3.7

39

Падіннятілазаумов,колиопоромповітряможназнехту-вати,називаютьвільним падінням.

ВідкриттяҐалілеябулозгодомпідтвердженовбагатьохдослідах.Уцихдослідахбулотакожвиміряноприскореннятілпідчасвільногопадіння.ПоблизуповерхніЗемлівоновиявилосярівнимприблизно9,8м/с2.Цеприскоренняна-зиваютьприскоренням вільного падіння іпозначаютьg

�.

Урізнихточкахземноїповерхнізначенняgтрохивідріз-няються(умежах0,5%).Дляприблизнихобчисленьчастоприймаютьg=10м/с2.

Залежність швидкості і координати падаючого тіла від часу.Якщо тіло вільнопадає без початковоїшвидкості, тоv gt=

��.

Зручносуміститипочатоккоординатізпочатковимполо-женнямтілаінаправитивісьyуниз:тодіпроекціїприско-рення,швидкості іпереміщеннябудутьдодатними.Зфор-мулиv gt=

��випливає: yv gt= .Підчасвільногопадінняшвид-

кістьтілазбільшуєтьсящосекундиприблизнона10м/с.

Оскільки 0 0y = ,одержуємо2

2

gty = .

Рух тіла з початковою швидкістю.Зприскореннямвіль-ногопадіння g

�рухаютьсятакожтіла,кинутіздеякоюпо-

чатковоюшвидкістю1.Отже,залежністьвідчасушвидкостіv

�тіла,кинутогозпо-

чатковоюшвидкістю 0v�,виражаєтьсяформулою

0v v gt= +�� .

Розглянемовипадок,колитілокинутевгору.Сумістимопочатоккоординатзпочатковимположеннямтілаінапра-вимовісьyвертикальновгору.Тодіпроекціїшвидкостііпере-міщенняпідчасрухувгорубудутьдодатними.

Зформули 0v v gt= +�� випливає:

0yv v gt= − .

Оскільки 0 0y = ,одержуємо2

0 2

gty v t= − .


Миттєвою швидкістю називають швидкість тіла в даний момент часу (або в даній точці траєкторії).

1 Припускається,щоопоромповітряможназнехтувати.Рухтілзатакихумовтакожназиваютьінодівільнимпадінням.

40

Прискоренням тіла a� називають відношення зміни швидкості

тіла до проміжку часу, за який ця зміна відбулася: v

at

∆=∆

��

.

Прямолінійним рівноприскореним рухом називають рух тіла вздовж прямої з постійним прискоренням. За умови прямолінійного рівно-прискореного руху швидкість тіла за будь-які рівні проміжки часу змінюється на ту ж саму величину.

За умови прямолінійного рівноприскореного руху:Швидкість 0v v at= +

� � �.

Проекція швидкості 0x x xv v a t= + .Проекція переміщення під час руху без початкової швидкості

2

2x

xa t

s = .

Проекція переміщення під час руху з початковою швидкістю

2

0 2x

x xa t

s v t= + .

Залежність координати від часу під час руху з початковою швид-

кістю 2

0 0 2x

xa t

x x v t= + + .

Середня швидкість vcx

0ñåð 2

x xx

v vv

+= .

Співвідношення між переміщенням і швидкістю: а) без початкової

швидкості: 2

2x

xx

vs

a= ; б) із початковою швидкістю:

2 20

2x x

xx

v vs

a

−= .

Вільним падінням називають падіння тіла за умови, що опором по-вітря можна знехтувати.

Під час вільного падіння поблизу поверхні Землі всі тіла рухаються з однаковим прискоренням, яке називають прискоренням вільного падіння і позначають g

�. З досліду випливає, що g 9,8 м/с2.

Залежність швидкості від часу за умови руху вільного падіння: 0v v gt= +��

.


Першийрівень1. Що таке миттєва швидкість? За допомогою якого приладу вимірю-

ють миттєву швидкість автомобіля? 2. Який рух називають прямолінійним рівноприскореним? Наведіть

приклад такого руху. 3. Що таке прискорення?

41

4. Як залежить модуль швидкості від часу за умови прямолінійного рівноприскореного руху без початкової швидкості? з початковою швидкістю?

5. Чому дорівнює прискорення вільного падіння? 6. Як напрямлене прискорення тіла, кинутого вертикально вгору, під

час піднімання?

7. Тіло кидають вертикально вгору зі швидкістю . За який час

тіло підніметься до найвищої точки? 8. Автомобіль рухається прямолінійно рівноприскорено в одному на-

прямі. За 6 с швидкість автомобіля збільшилася на З яким

прискоренням він рухається? 9. Автомобіль, що їде зі швидкістю 10 м/с, почав розганятися. Якою

стане його швидкість через 5 с, якщо прискорення автомобіля

10. Чому дорівнює швидкість тіла, що вільно падає, через 1 с після по-чатку падіння? через 3 с?

11. Побудуйте графік залежності проекції швидкості від часу для галь-муючого автомобіля, який рухається прямолінійно рівноприскорено,

якщо початкова швидкість дорівнює а прискорення

Другийрівень12. Автомобіль рухається прямолінійно рівноприскорено. За 5 с його

швидкість зменшилася вдвічі й тепер дорівнює З яким при-

скоренням рухається автомобіль? Через який час він зупиниться, якщо рухатиметься з тим самим прискоренням?

13. Через який час після початку падіння швидкість тіла, що вільно падає,

дорівнюватиме швидкості автомобіля, що їде зі швидкістю

14. Автомобіль їде прямолінійно рівноприскорено на північ. Як напрям-лене прискорення автомобіля, якщо його швидкість збільшується? зменшується?

15. Як напрямлене прискорення тіла, кинутого вертикально вгору, у верхній точці траєкторії?

16. М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю Через який час

м’яч досягне найвищої точки?17. Два тіла падають з однієї точки без початкової швидкості. Друге тіло

почало рухатися через 1 с після першого. Як ці тіла рухаються одне відносно одного?

42

18. Побудуйте графік залежності проекції швидкості автомобіля від часу,

якщо він рухається з прискоренням Початкова швидкість

автомобіля дорівнює . Автомобіль рухається прямолінійно. Напрям

прискорення збігається з напрямом початкової швидкості. 19. За графіками v

x(t) (див. рис. 3.8) опишіть рухи двох тіл. Чи відпо-

відає точка A на рисунку моменту зустрічі тіл? Запишіть залеж-ність v

x(t) для кожного з тіл.

20. Прямолінійний рух тіла задано в одиницях SI формулою x = –4 + 2t – t2. Опишіть рух тіла та побудуйте для нього графіки v

x(t), s

x (t),l(t).

21. Складіть задачу за темою «Прямолінійний рівноприскорений рух»,

відповіддю якої було б « ».

Рис.3.8

43

§ 4. ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

1.Рівнянняруху2.Роботазграфіками3.Шляхи,якіпроходитьтілозапослідовнірівніпроміжкичасу

4.Задачі,вумовіякихнеданочасуруху5.Середняшвидкістьпідчаспрямолінійногорівноприскореногоруху

1. РІВНЯННЯРУХУНагадаємо,що за умови прямолінійного рівноприскоре-

ногорухувздовжосіxзалежністькоординатиxвідчасуви-

ражаєтьсяформулою2

0 0 2x

xa t

x x v t= + + .


Рівняннярухутіл,щорухаютьсявздовжосіx,маютьви-гляд(усівеличинизадановодиницяхSI):

а) 25 3 6x t t= + − ;б) 4 3x t= + ;в) 22 4 3x t t= − − + ;г) 23 7 2x t t= − − .

Якізцихтілрухаютьсярівноприскорено?Чомудорівнюютьприцьомупроекціяпочатковоїшвидкості 0xv іпроекціяпри-скорення xa ?Уякихвипадкахнапочаткурухутілорухаєтьсявдодатномунапряміосіx?Уякихвипадкахшвидкістьтіланапочаткурухузбільшуєтьсязамодулем?Розв’язання. За умови рівноприскореного руху згідно з фор-мулою залежності координати від часу рух є рівноприскоре-ним тільки у випадках а, в і г. Порівнюючи формули а, в і г

із рівнянням 2

0 0 2x

xa t

x x v t= + + , одержуємо для цих випадків:

а) v0x

= 3 м/с, ax = –12 м/с2;

в) v0x

= –4 м/с, ax = 6 м/с2;

г) v0x

= –7 м/с, ax = –4 м/с2.

Напрям руху визначається знаком проекції швидкості: якщо вона додатна, тіло рухається в додатному напрямі осі x.

44

На початку руху напрям руху визначається знаком проекції початкової швидкості. Ця проекція додатна у випадках а і б.Швидкість тіла під час рівноприскореного руху збільшується за модулем, якщо проекція прискорення має той самий знак, що і проекція швидкості, і зменшується, якщо ці проекції ма-ють протилежні знаки. Таким чином, на початку руху швид-кість збільшується за модулем тільки у випадку г. При цьому тіло рухається у від’ємному напрямі осі x. У випадках же а і в швидкість тіла на початку руху зменшується за модулем.

2. РОБОТАЗГРАФІКАМИ


Нарис.4.1наведенографік ( )xv t длятіла,щорухаєтьсявздовжосіx.Побудуйтеграфіки ( )xa t , ( )xs t , ( )x t і ( )l t ,вва-жаючи,щопочатковакоординататіла 0x =2м.Розв’язання. Тіло рухається рівноприскорено, оскільки гра-фік ( )xv t — відрізок прямої. Отже, 0( )x x xv t v a t= + . Проекція по-

чаткової швидкості 0 (0)x xv v= = 4 м/с. У момент t = 2 с проекція швидкості до-рівнює нулю: (2) 4 2 0x xv a= + ⋅ = . Звід-си a

x = –2 м/с2.

Оскільки прискорення є постійним, гра-фіком ( )xa t є відрізок прямої, паралель-ної осі t (рис. 4.2). Проекція переміщення під час рівно-прискореного руху описується фор-

мулою 2

0( )2x

x xa t

s t v t= + . Підставля-

ючи у цю формулу знайдені значення 0xv = 4 м/с і a

x = –2 м/с2, одержуємо

22( 2)

( ) 4 42xt

s t t t t− ⋅

= ⋅ + = − .

Отже, графіком ( )xs t є парабола, що проходить через початок коорди-нат (рис. 4.3). Вершина цієї параболи знаходиться при t = 2 с (s

x = 4 м).

Графік ( )x t відрізняється від графіка ( )xs t тільки зсувом на 0x = 2 м по осі ор-

динат (рис. 4.4).

Рис.4.1

Рис.4.2

Рис.4.3

45

При побудові графіка залежності шляху від часу ( )l t врахує-мо, що шлях не може убувати з часом (рис. 4.5).

3. ШЛЯХИ,ЯКІПРОХОДИТЬТІЛОЗАПОСЛІДОВНІРІВНІПРОМІЖКИЧАСУ

Основні властивості прямолінійного рівноприскореногорухувизначивҐалілей.Наприклад,вінустановивтакучу-довувластивість:

за умови прямолінійного рівноприскореного руху безпочаткової швидкості шляхи, які проходить тіло запослідовнірівніпроміжкичасу,відносятьсяякпослідовнінепарнічисла(1:3:5:7...).

Цю властивість прямолінійного рівноприскореного рухусхематичнопроілюстрованонарисунку4.6.

Доведемо її для трьох перших послідовних проміжківчасу(якщобажаєте,продовжітьдоведеннясамостійно).

Скористаємося тим,щошлях чисельно дорівнює площіфігурипідграфікомзалежностімодуляшвидкостівідчасу.Нарисунку4.7,ашляхи,пройденізакожнийізтрьохпер-шихпослідовнихрівнихпроміжків часу (для визначеностімивзялипо1скожний),чисельнодорівнюютьплощамжов-

Рис.4.4Рис.4.5

Рис.4.6

46

тої,зеленоїтасиньоїфігур.Розіб’ємовсіфігури,крімпер-шої,натрикутники,площакожногозякихдорівнюєплощіпершоїфігури(рис.4.7,б).Цярозбивканаочнопоказує,щошляхи,якіпроходитьтілозатрипершіпослідовнірівніпро-міжкичасу,відносятьсяяк1:3:5.

4. ЗАДАЧІ,ВУМОВІЯКИХНЕДАНОЧАСУРУХУУдеякихзадачахпотрібнознайтипройденийтіломшлях

заумови,щочасрухуневідомий,алевідоміприскореннятапочатковачикінцевашвидкістьтіла.

Якщопочатковашвидкістьдорівнюєнулю,часрухумож-навиразитичерезмодулькінцевоїшвидкостітаприскорення:

.v

ta

=

Підставляючицейвиразуформулудляшляху2

,2

atl = отри-

маємо2

.2

vl

a=

Зцієїформуливипливає,зокрема,щозаумовивільногопадіннявисота ,h зякоїпадаєтіло,тайогокінцевашвид-кістьпов’язаніспіввідношенням

2

.2

vh

g=

Це співвідношення дозволяє визначити кінцеву швид-кість тіла під час падіння із заданої висоти:

2 .v gh=

Якщотіломаєпочатковушвидкістьv0 ішвидкістьтіла

зменшується, рух тіла до його зупинки триває протягом

часу,щодорівнює 0 .v

aВідстань,пройденутіломдозупинки,

Рис.4.7

47

знаходимозформули2

0 ,2

atl v t= − підставившивнеїзамість

tчасрухутіладозупинки,тобто 0 .v

aМиотримаємо,щодо

повноїзупинкитілопройдешлях20

2

vl

a= .

Звернітьувагу:цейшлях(длязасобівтранспортуйогона-зиваютьгальмівним шляхом)пропорційнийквадратупочат-ковоїшвидкості!


Підчасгальмуваннянасухомуасфальтіавтомобільрухаєтьсязприскоренням,щодорівнюєзамодулем

Чомудорівнюєгальмівнийшляхавтомобіля,якщо

вінїдезішвидкістю Якимбудейогогальмівний

шляхуразіожеледі,колимодульприскорення

Дано:

l1—?

l2—?

Розв’язанняПідчасрухудозупинкиавтомобіль

пройдешлях222000 ...222

vvvlll

aaa===

Перевіримоодиницівеличин:

[ ][[ ]][ ]][ ]

222

222

ììì

ñññ

ì.ì.ì.[ ]l[ ]l[ ]l[ ] ì ììì ì ì ììì ì ì ì ì ììì ì

ì ì ì ì

ì ììì ì

ì ì

ì ì

ì ììì ì

ì ì ì ì

ì ììì ì

ì ì

ñ ñññ ñ ñ ñññ ñ

= == == == == == = = = = = = = = = = =

Підставимочисловізначенняйотри-маємо

222

111

222

222

(20)(20)(20)40 (ì);40 (ì);40 (ì);

2 52 52 5

(20)(20)(20)100 (ì).100 (ì).100 (ì).

2 22 22 2

lll

lll2l222l2l2l222l2

= == == == == == =2 5⋅2 52 52 5⋅2 5⋅2 5⋅2 52 52 5⋅2 5

= == == == == == =2 2⋅2 22 22 2⋅2 2⋅2 2⋅2 22 22 2⋅2 2

Відповідь: 40м;100м.

Звернітьувагу:гальмуючивумовахожеледі,автомобільпроїжджаєвідстаньу2,5разабільшу,ніжпідчасгальму-ваннянасухомуасфальті!

48

5. СЕРЕДНЯШВИДКІСТЬПІДЧАСПРЯМОЛІНІЙНОГОРІВНОПРИСКОРЕНОГОРУХУ

Доведемо,що

під час прямолінійного рівноприскореного руху безпочаткової швидкості середня швидкість тіла дорівнюєполовинікінцевоїшвидкості.

Підчаспрямолінійногорівноприскореногорухубезпочат-

ковоїшвидкостішлях2

,2

atl = акінцевашвидкість .v at= Тому

вираздляшляхуможназаписатиувигляді .2

vtl = Згадаймо

тепер,що за умови прямолінійного руху в одному напрямі

модуль середньоїшвидкості ñ .l

vt

= Порівнюючи дві останні

формули,отримуємо

ñ .2

vv =

Доведеннязакінчено.Пропонуємовамсамимдовести,що

під час прямолінійного рівноприскореного руху, коликінцевашвидкістьдорівнюєнулю,середняшвидкістьтіладорівнюєполовинійогопочатковоїшвидкості.

Цівластивостісередньоїшвидкостіпрямолінійногорівно-прискореногорухудозволяютьзначноспроститирозв’язаннядеякихзадач.Розглянемоприклад.


Автомобіль почав гальмувати, коли його швидкістьдорівнювала Скількичасутривалогальмуван-нядозупинки,якщогальмівнийшлях200м?

Дано: êì ìêì ìêì ì

ãîä ñãîä ñãîä ñ72 2072 2072 20

êì ì72 20

êì ìêì ìêì ì72 20

êì ì72 20

êì ì72 20

êì ìêì ìêì ì72 20

êì ì

200 ì200 ì200 ì

vvv

lll

= == == =72 20= =72 2072 2072 20= =72 20= =72 20= =72 2072 2072 20= =72 2072 20= =72 2072 2072 20= =72 20= =72 20= =72 2072 2072 20= =72 20

===

ttt—?

Розв’язання

Середняшвидкість ñññ ;;;222

vvvvvv ===

ñññ

222...

222

l l ll l ll l l2l l l222l l l2l l l2l l l222l l l2ttt

vvvv vv vv vñv vñññv vñv vñv vñññv vñvv vvvvv vvv vvv vvvvv vv

= = == = == = == = == = == = == = == = == = =

49

Перевіримоодиницівеличин:

[ ][[ ]][ ]][ ] ìììñ.ñ.ñ.

ììì

ñññ

[ ]t[ ]t[ ]t[ ] = == == == == == =

Підставимочисловізначенняйотри-маємо

2 2002 2002 20020 (ñ).20 (ñ).20 (ñ).

202020ttt

2 200⋅2 2002 2002 200⋅2 200⋅2 200⋅2 2002 2002 200⋅2 200= == == == == == =

Відповідь: 20с.


Першийрівень

1. Напишіть рівняння залежності шляху, пройденого тілом, від часу, якщо тіло рухається зі стану спокою рівноприскорено з прискорен-

ням 4 ?

2. Тіло рухалося прямолінійно рівноприскорено без початкової швид-

кості. Прискорення тіла 5 . Який шлях тіло пройшло за 1 с?

за 2 с? за другу секунду? 3. Рухаючись прямолінійно рівноприскорено без початкової швид-

кості, тіло пройшло за першу секунду 3 м. Який шлях пройде це тіло за 2 с? за 3 с?

4. З якої висоти вільно падало тіло, якщо падіння тривало 2 с? 5. Яка кінцева швидкість тіла під час падіння з висоти 20 м?

6. Автомобіль рушив з місця і рухався з прискоренням 3 . Чому до-

рівнює швидкість автомобіля через 2 с? Який шлях пройде авто-мобіль за вказаний час?

7. Чому дорівнює гальмівний шлях автомобіля, якщо його початкова

швидкість 30 , а модуль прискорення під час гальмування 3 ?

8. Автомобіль рухався зі швидкістю 10 . У деякий момент він почав

розганятися з прискоренням 2 . Який шлях він проїхав за 3 с роз-

гону?

50

Другийрівень9. На рис. 4.8 зображено графік залежності модуля швидкості від часу

для автомобіля, що їхав в одному напрямі. Чому дорівнює шлях, пройдений за 2 год? за 4 год? за 6 год?

10.Два тіла почали рух одночасно. Перше тіло рухається прямолінійно рівномірно, а друге — прямолінійно рівноприскорено. За першу се-кунду руху обидва тіла пройшли однаковий шлях. Яке тіло пройде більший шлях за 2 секунди? У скільки разів більший?

11. Два тіла рухаються прямолінійно, причому залежність координа-ти від часу для них описується формулами: x1 = 16 – 18t + 3t2, x2 = –20 + 15t – 2,5t2. Опишіть рух кожного з тіл, побудуйте для них графіки v

x(t).

12.Тіло кинуте вертикально вгору зі швидкістю 10 . На яку висоту

воно підніметься?13.Кулька скочується похилою площиною завдовжки 90 см за 3 с. Яку

відстань проходить кулька за кожну секунду?14.Доведіть, що під час прямолінійного рівноприскореного руху в одно-

му напрямі середня швидкість тіла дорівнює півсумі початкової та кінцевої швидкостей.

15.Санчата скотилися схилом гори завдовжки 48 м за 16 с. Яка швид-кість санчат у кінці спуску? Рух санчат можна вважати рівноприско-реним з початковою швидкістю, що дорівнює нулю.

16.Автомобіль рухається рівноприскорено. Початкова швидкість

а кінцева швидкість . Автомобіль проїхав при цьому

1 км. Скільки часу він їхав по цій ділянці?

Рис.4.8

51

17.Автомобіль гальмував протягом 5 с. При цьому швидкість автомобі-

ля зменшилася з 30 до . Який шлях проїхав автомобіль за час

гальмування?

18. Виведіть формулу 2 20 ,2

v vl

a

−= , де позначення фізичних величин

відповідають позначенням у тексті параграфа. 19. Куля, яка вилетіла з рушниці, пробила піщаний вал. При цьому

швидкість кулі зменшилася з 500 до . Рух кулі всередині валу

можна вважати рівноприскореним. З яким прискоренням рухалася куля всередині валу, якщо його товщина 1 м? Скільки часу рухалася куля всередині валу?

20. Поїзд почав гальмувати при швидкості 72 км/год. Яка його швид-кість після проходження половини гальмівного шляху?

21. Складіть задачу за темою «Шлях за умови прямолінійного рівно-прискореного руху», відповіддю якої було б «125 м».

52

§ 5. РІВНОМІРНИЙ РУХ ПО КОЛУ

1.Модультанапрямшвидкостізаумовирівномірногорухупоколу

2.КутовашвидкістьЗ.Періодобертаннятаобертовачастота4.Прискореннязаумовирівномірногорухупоколу

1. МОДУЛЬТАНАПРЯМШВИДКОСТІЗАУМОВИРІВНОМІРНОГОРУХУПОКОЛУ

РухМісяцянавколоЗемлітапланетнавколоСонцяпри-близноможнавважатирівномірним рухом по колу.

Рівномірнийрухпоколучастовідбуваєтьсявтехніці,на-приклад,такрухаютьсячастиниобертовихмеханізмів.

Нагадаємо,щозаумовирівномірногорухутілопроходитьрівнішляхизабудь-якірівніпроміжкичасу.Прицьомумиттєвашвидкістьтілазалишаєтьсяпостійноюза модулем.Даліми,якзазвичай,називатимемомиттєвушвидкістьпростошвидкістю.

Отже,

заумовирівномірногорухутілапоколумодульшвидкостізалишаєтьсяпостійним.

Ащожзмінюється?Змінюєтьсянапрям швидкості.По-кажемо,що

підчасрухупоколушвидкістьубудь-якійточцітраєкторіїнапрямленапо дотичнійдоколавційточці.

Нагадаємо,щомиттєвашвидкістьуданиймомент—цесередняшвидкість тіла за дужемалийпроміжокчасу,щовключаєданиймомент.

Зформули ñññ

sssvvv

ttt===��

��випливає,щосередняшвидкістьзацей

проміжокчасунапрямленатаксамо,якпереміщення ...sss��

Нехайзамалийпроміжокчасу ttt тіло,щорухаєтьсяпоколу,перемістилосязточки1уточку2(рис.5.1,а).Колипроміжокчасуtttзменшується,точки1і2зближуються.Прицьомунапрямпереміщення ,,,sss

��аразомзнимінапрямшвид-

костінаближаютьсядонапрямудотичноїдоколавційточ-ці.Доведеннязакінчено.

53

Пригадайте, до речі,що саме по дотичній летять іскрипідчасзаточуванняінструментанаточильномукамені,щообертається.

Нарисунку5.1,бзображеношвидкістьтілаврізнихточ-кахтраєкторіїзаумовирівномірногорухупоколу.Звернітьувагу,щонарисункахвекторшвидкостітіларозташовуютьпорядзтілом.

2. КУТОВАШВИДКІСТЬЯкщоматеріальнаточкарівномірнорухаєтьсяпоколу,то

радіус,проведенийдоцієїточки,запевнийчасробитьпо-воротнапевнийкут—кут повороту.

Відношення кута повороту при рівномірному русіматеріальноїточкипоколудопроміжкучасу,заякийцейповорот був здійснений, називають кутовою швидкістюіпозначають ...ωωω

...ϕϕϕ

ω =ω =ω =ttt

Одиницеюкутовоїшвидкостіє .

3. ПЕРІОДОБЕРТАННЯТАОБЕРТОВАЧАСТОТАПроміжокчасу,протягомякоготіло,щорівномірноруха-єтьсяпоколу,робитьодинповнийоберт,називаютьперіо-дом обертанняіпозначають ...TTT

Визначимо,чомудорівнюєперіодобертання ,,,TTT якщотілорухаєтьсяпоколурадіусомRRRзішвидкістю ...vvv

Рис.5.1

54

ЗачасодногоповногообертуTTTтілопроходитьшлях 2 ,2 ,2 ,l Rl Rl R2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,l R2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,= π= π= π2 ,= π2 ,2 ,2 ,= π2 ,= π2 ,= π2 ,2 ,2 ,= π2 ,l R= πl Rl Rl R= πl R= πl R= πl Rl Rl R= πl R2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,l R2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,l R2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,2 ,2 ,l R2 ,= π2 ,l R2 ,щодорівнюєдовжинікола.

Тому

за умови рівномірного руху по колу модуль швидкостітіла ,,,vvv радіус кола RRR та період обертання TTT пов’язаніспіввідношенням

222...

RRRvvv

TTT

πππ===

Цеспіввідношеннядозволяєзнайтибудь-якузвеличин ,,,vvv RRR

і ,,,TTT якщовідомідвіінші.


ЯкашвидкістьрухуЗемлінаїїорбітінавколоСонця?Виразіть цю швидкість у кілометрах за секунду.ВідстаньвідЗемлідоСонцяможнаприйнятирівною150млнкм.Розв’язання. Період TTT обертання Землі під час її руху на-вколо Сонця дорівнює 1 року. Виражаючи період у секундах, отримаємо 777365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.7365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.777365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.7365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.7365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.777365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.7TTT = ⋅ ⋅ ≈ ⋅= ⋅ ⋅ ≈ ⋅= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ.= ⋅ ⋅ ≈ ⋅365 24 3600 ñ 3,15 10 ñ. Отже,

666

777

2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì62 2 3,14 150 10 êì êì6662 2 3,14 150 10 êì êì62 2 3,14 150 10 êì êì62 2 3,14 150 10 êì êì6662 2 3,14 150 10 êì êì6

30 .30 .30 .30 .30 .30 .2 2 3,14 150 10 êì êì

30 .2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì

30 .2 2 3,14 150 10 êì êì

30 .2 2 3,14 150 10 êì êì

30 .2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì

30 .2 2 3,14 150 10 êì êì

ñññ3,15 10 ñ3,15 10 ñ3,15 10 ñ73,15 10 ñ7773,15 10 ñ73,15 10 ñ73,15 10 ñ7773,15 10 ñ7

2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìvvv

TTT

2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êì2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êìπ ⋅ ⋅ ⋅2 2 3,14 150 10 êì êìR2 2 3,14 150 10 êì êì= == == == == == = ===

3,15 10 ñ⋅3,15 10 ñ3,15 10 ñ3,15 10 ñ⋅3,15 10 ñ⋅3,15 10 ñ⋅3,15 10 ñ3,15 10 ñ3,15 10 ñ⋅3,15 10 ñ

Відповідь: êìêìêì30 .30 .30 .30 .30 .30 .

êì30 .

êìêìêì30 .

êì30 .

êì30 .

êìêìêì30 .

êì

ñññ

Числоповнихобертівза1сназиваютьобертовоючастотою іпозначаютьn.

Одиницеюобертовоїчастотиє111...cccВонанезавждивиража-

єтьсяцілимчислом.Наприклад, якщо тіло робитьповний

обертза2с,тоn111

0,5 .0,5 .0,5 .0,5 .0,5 .0,5 .1

0,5 .111

0,5 .1

0,5 .1

0,5 .111

0,5 .1

ñññν =ν =ν =

Доведемо,що

період і обертова частота є взаємооберненими величинами:

111,,,TTT ===

νννаn

111...

TTTν =ν =ν =

55

Припустимо,щотілозробилоNповнихобертівзачас ...ttt Тодіперіодобертання

,,,ttt

TTTnnn

===

ачислообертівзасекунду,тобтообертовачастота

n ...nnn

tttν =ν =ν =

ОтриманівиразидляTTTіnєвзаємооберненими.Звизначеннякутовоїшвидкості,періодуобертаннятакуто-

воїшвидкостівипливає,щовонипов’язаніспіввідношеннями:

2222 ;2 ;2 ;2 ;2 ;2 ;n Tn Tn T2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;n T2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;

πππω = π =ω = π =ω = π =ω = π =ω = π =ω = π =2 ;ω = π =2 ;2 ;2 ;ω = π =2 ;ω = π =2 ;ω = π =2 ;2 ;2 ;ω = π =2 ;n Tω = π =n Tn Tn Tω = π =n Tω = π =n Tω = π =n Tn Tn Tω = π =n T2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;n T2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;n T2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;2 ;2 ;n T2 ;ω = π =2 ;n T2 ;

ωωω .

4. ПРИСКОРЕННЯЗАУМОВИРІВНОМІРНОГОРУХУПОКОЛУ

Якми бачили, за умови рівномірного руху по колуна-прямшвидкостівесьчасзмінюється.Абудь-яказмінашвид-костітіла—утомучислійтількизанапрямом—означає,щотілорухається з прискоренням.

Можнапоказати,що

заумовирівномірногорухупоколуприскореннятіланапрям-ленепорадіусудоцентра1кола.

Наприклад, під час рухупоорбітах навколо Сонця Землята інші планети рухаються зприскоренням, напрямленим до Сонця(рис.5.2).І.Ньютонпер-шим здогадався,щопричиноюцього прискорення є притя-гання всіх планет Сонцем.Мирозповімопроцев§ 10. Закон всесвітнього тяжіння.

Можнадовести,що

заумовирівномірногорухупоколумодульприскорення222

,,,vvv

aaaRRR

=== деvvv—модульшвидкостітіла,RRR—радіускола,по

якомурухаєтьсятіло.

1 Томуцеприскоренняназиваютьдоцентровим.

Рис.5.2

56

Цюформулумивикористовуємодлярозрахункушвидко-сті,якоїтребанадатитілу,щобвоносталоштучнимсупут-никомЗемлі(див.§ 10. Закон всесвітнього тяжіння).


За умови рівномірного руху тіла по колу модуль швидкості зали-шається постійним, а напрям швидкості змінюється: у будь-якій точці траєкторії швидкість напрямлена по дотичній до кола в цій точці.

Проміжок часу, протягом якого тіло, що рівномірно рухається по колу, робить один повний оберт, називають періодом обертання і позначають ...TTT

Число повних обертів за 1 с називають обертовою частотою і по-значають n.

Період і обертова частота є взаємооберненими величинами:

111,,,TTT ===

ννν а n

111...

TTTν =ν =ν =

За умови рівномірного руху по колу модуль швидкості тіла ,,,vvv радіус кола RRR та період обертання TTT пов’язані співвідно-

шенням 222

...RRR

vvvTTT

πππ===

За умови рівномірного руху по колу прискорення тіла напрямлене по радіусу до центра кола.

За умови рівномірного руху по колу модуль прискорення 222

,,,vvv

aaaRRR

===

де vvv — модуль швидкості тіла, RRR — радіус кола, по якому рухаєть-ся тіло.


Першийрівень1.Як напрямлена швидкість тіла під час руху по колу?2.Що таке період обертання й обертова частота? Як вони пов’язані?3.Період обертання дорівнює 10 с. Чому дорівнює частота? 4.Чому дорівнює період обертання, якщо обертова частота дорівнює

10 1/с?5.Чому дорівнює період обертання годинникової стрілки годинника?

хвилинної? секундної?6.Чому дорівнює період обертання Землі навколо Сонця?

n

57

7.Як пов’язані період обертання ,,,TTT швидкість тіла vvv і радіус RRR кола під час рівномірного руху тіла по колу?

8.Як напрямлене прискорення тіла під час рівномірного руху по колу?

Другийрівень9.У скільки разів обертова частота хвилинної стрілки годинника біль-

ша за обертову частоту годинникової стрілки?10. З якою швидкістю рухаються кінці годинникової, хвилинної та се-

кундної стрілок настінного годинника? Вважайте, що довжина кож-ної з цих стрілок 10 см.

11. З яким доцентровим прискоренням рухається точка на ободі вело-сипедного колеса радіусом 0,5 м, якщо обертова частота дорівнює

4

12. Оцініть, з якою швидкістю рухається Місяць навколо Землі. Радіус орбіти Місяця прийміть рівним 400 тис. км. Здогадайтеся самі, який проміжок часу треба взяти за період.

13. Під час полярного дня полярник, який перебуває на крижині по-близу Північного полюса, здійснив «кругосвітню подорож» за одну добу по колу з центром у Північному полюсі так, що Сонце весь час було прямо перед ним. Який радіус цього кола, якщо він рухав-ся зі швидкістю 4 км/год?

14. Який радіус кола, по якому їде автомобіль, якщо його прискорення при швидкості 72 км/год дорівнює половині прискорення вільного падіння?

15. Складіть задачу за темою «Рівномірний рух по колу», відповіддю якої було б «3 с».

58

ГОЛОВНЕ В ЦЬОМУ РОЗДІЛІ

Механіка вивчає рух і взаємодію тіл. Кінематика описує рух тіл, але не вивчає взаємодію тіл. Механічним рухом називають зміну з часом положення тіла

в просторі відносно інших тіл. Фізичну модель тіла, розмірами якого в даній задачі можна

знехтувати, називають матеріальною точкою. Тіло відліку, пов'язані з ним система координат та годинник

утворюють систему відліку. Лінію в просторі, уздовж якої рухається тіло, називають тра-

єкторією руху тіла. Довжину траєкторії руху тіла називають шляхом, пройденим тілом.

Переміщенням тіла за даний проміжок часу називають на-прямлений відрізок, що сполучає положення тіла в початко-вий момент цього проміжку часу з положенням тіла в кінце-вий момент цього проміжку часу. Переміщення є вектором.

Прямолінійним рівномірним рухом називають такий рух тіла, під час якого воно за будь-які рівні проміжки часу здійснює рівні переміщення.

Швидкістю vvv�� прямолінійного рівномірного руху називають фізичну величину, що дорівнює відношенню переміщення sss��

до проміжку часу ,,,,,,ttt за який відбулося це переміщення: ...sss

vvvttt

===��

��

Швидкість — величина векторна. Під час прямолінійного рів-

номірного руху ...lll

vvvttt

===

Графіком залежності шляху від часу за умови прямоліній-ного рівномірного руху є відрізок прямої, один кінець якого збігається з початком координат.

Площа фігури під графіком залежності модуля швидкості від часу чисельно дорівнює шляху, пройденому тілом.

Нерівномірним рухом називають такий рух, під час якого тіло за рівні проміжки часу проходить різні шляхи.

Середньою швидкістю нерівномірного руху ñññvvv�� за даний про-

міжок часу ttt називають фізичну величину, що дорівнює від-

59

ношенню переміщення sss�� до проміжку часу, за який це перемі-

щення відбулося: ñññ ...sss

vvvttt

===��

��

Прямолінійний рух, під час якого за будь-які рівні проміжки часу швидкість тіла змінюється на одну й ту саму величину, називають прямолінійним рівноприскореним рухом.

Прискоренням aaa�� називають векторну величину, що дорівнює відношенню зміни швидкості тіла 000v vv vv vv v−v vv vv v−v v−v v−v vv vv v−v v

� �� до проміжку часу ,,,ttt

за який ця зміна відбулася: 000 ...v vv vv v

aaattt

v v−v vv vv v−v v−v v−v vv vv v−v v===� ��

��

Падіння в умовах, коли опором повітря можна знехтувати, називають вільним падінням. Усі тіла, що вільно падають,

рухаються з прискоренням ggg === 9,8 Його називають при-

скоренням вільного падіння. Розв’язуючи задачі, часто при-

ймають

За умови прямолінійного рівноприскореного руху без почат-кової швидкості: швидкість v at=

� �,

проекція швидкості x xv a t= ,

проекція переміщення sx

2

2x

xa t

s = .

За умови прямолінійного рівноприскореного руху з початко-вою швидкістю 0v

�:

швидкість tavv��

+= 0 , проекція швидкості v

x = v

0x + a

xt,

проекція переміщення. За умови рівномірного руху тіла по колу модуль швидкості

залишається незмінним, а напрям швидкості змінюється: у будь-якій точці траєкторії швидкість напрямлена по дотич-ній до кола в цій точці.

Проміжок часу, протягом якого тіло, що рівномірно рухаєть-ся по колу, робить один повний оберт, називають періодом обертання і позначають TTT. Число повних обертів за одну се-

кунду називають обертовою частотою і позначають n. Період

і частота є взаємооберненими величинами: 111TTT ===

ννν, а n

111

TTTν =ν =ν = .

n

60

За умови рівномірного руху по колу модуль швидкості тіла vvv, радіус кола RRR та період обертання TTT пов’язані співвідношен-

ням 222 RRRvvv

TTT

πππ=== .

За умови рівномірного руху по колу прискорення тіла на-прямлене по радіусу до центра кола. Модуль прискорення

222vvv

aaaRRR

=== , де vvv — модуль швидкості тіла, RRR — радіус кола, по

якому рухається тіло.

61

2ДИНАМІКА

§6.Законінерції—першийзаконНьютона

§7.Взаємодіїтасили

§8.ДругийзаконНьютона

§9.ТретійзаконНьютона

§10.Законвсесвітньоготяжіння

§11.Силитертя

§12.Рухірівновагатілапіддієюдекількохсил

§13.Імпульс.Законзбереженняімпульсу

§14.Механічнаробота.Потужність

§15.Енергія

62

§ 6. ЗАКОН ІНЕРЦІЇ — ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

1.Колишвидкістьтілазмінюється?2.Законінерції3.ІнерціальнісистемивідлікутапершийзаконНьютона

4.Застосуванняявищаінерції5.ЧиочевиднийпершийзаконНьютона?

1. КОЛИШВИДКІСТЬТІЛАЗМІНЮЄТЬСЯ?


Ударте ключкою шайбу, що лежить на льоду, і вона почне ру-хатися (рис. 6.1). Отже, дія ключки на шайбу змінила швидкість шайби.

Рис.6.1

А якщо вдарити по шайбі, що рухається? І в цьому випадку її швидкість зміниться: ударом можна зупинити шайбу або на-дати їй швидкості в іншому напрямі.

Цейтаіншіподібнідослідиіспостереження,зякимизна-йомийкоженізнас,показують,щовнаслідок дії на тіло ін-ших тілйого швидкість змінюється.

Алечизавждицетак?Чиможешвидкістьтілазмінюва-тися,хочананьогоне діютьіншітіла?

63


Простежимо за рухом шайби по льоду після удару ключкою. Ми помітимо, що швидкість шайби зменшується. Це змен-шення швидкості під час руху шайби набагато помітніше, якщо вона ковзатиме не по льоду, а по асфальту.

Якежтілодієнашайбу,щоковзає,зменшуючиїїшвид-кість?Аджеминебачимо,щобїїщосьтягнулочиштовха-ло.Може,шайба гальмується«сама собою»?Алеякщоцегальмування—властивістьсамоїшайби,точомунаасфаль-тівона«гальмується»набагатосильніше,ніжнальоду?

Ви,певнаріч,здогадалися:причиноюзменшенняшвид-костішайбиєтертя.Підчасковзанняшайбипоасфальтутертянабагатобільше,ніжпідчасковзанняпольоду,осьчомупіслятогосамогоударушайба,рухаючисьпоасфаль-ту, зупиняєтьсянабагатораніше,ніжколивонарухаєтьсяпольоду.

Першим,хтозрозумів,щошвидкістьтілазменшуєтьсяне«самапособі»,авнаслідоктертя,бувҐ.Ґалілей.

Аосьіншийприклад.


Підніміть м’яч і відпустіть його. Він почне падати. Під час па-діння, як ми вже знаємо, швидкість тіла збільшується.

Якежтілодієнападаючийм’яч,прискорюючийого?Хібамибачимо,щойогопідчаспадіннящосьтягнеабоштовхає?

Цим«невидимим»тілом,щодієнам’яч,євеличезнаЗем-ля.Якнедивно,довгийчасїїнепомічалисамечерезїїве-личезність(згадаймоприказку«Усевеликебачитьсяздале-ку»).Земляпритягуєм’яч.

Першим,хтозрозумів,щоприскоренняпадаючихтілзу-мовленепритяганнямЗемлі,був І.Ньютон.Процемидо-кладнішерозповімов§ 10. Закон всесвітнього тяжіння.

Але внаслідок притягання Землі швидкість тіла необов’язковозбільшується!


Киньте м’яч вертикально вгору. Під час піднімання м’яча його швидкість зменшується.

64

Цезменшенняшвидкостітакожзумовленепритяганнямм’ячаЗемлею.

Отже,напідставінашихдослідівіспостереженьмиможе-моприпустити,що

швидкістьтілазмінюєтьсявнаслідокдіїнаньогоіншихтіл.

2. ЗАКОНІНЕРЦІЇТе,щошвидкістьтілазмінюєтьсятількивнаслідокдіїна

цетілоіншихтіл,першимприпустивҐалілей.Ґалілей був першим серед учених, хто почав перевіряти

своїприпущенняна досліді.Вінскочувавкулізпохилоїпло-щини(зтієїсамоївисоти)іспостерігавзаїхнімподальшимрухомпогоризонтальнійповерхні.Ученийпомітив:щобільштвердайгладкацяповерхня,тодовшекотитьсяпонійкуля.

Так,попосипанійпіскомповерхнікуляпрокотитьсязо-всімнебагато(рис.6.2,а),потканиніпрокотитьсянабагатодовше(рис.6.2,б),апогладкомусклукотитиметьсядужедовго(рис.6.2,в).Алезрештоювонавсе-такизупиниться.

Рис.6.2

65

НапідставісвоїхдослідівҐалілейздогадався,щопричи-ноюзменшенняшвидкостікулієтертя.Підчасрухукуліпотканинітертяменше,ніжпідчасрухупопіску,апідчасрухупосклу—щеменше.Алевсе-такийуцьомувипадкутертя є.Може, тільки томукуля зрештоюй зупиняється?

І Ґалілей висловив геніальний здогад: він припустив,щоякбитертянебулозовсім,кулякотиласябзнезмінноюшвидкістювічно!Такбуловідкритопершийзаконмеханіки.Йогоформулюютьяк

закон інерції:якщонатілонедіютьіншітіла,воноруха-єтьсяпрямолінійнорівномірноабозберігаєстанспокою.

Тілорухаєтьсязпостійною(замодулемінапрямом)швид-кістюйутомуразі,колидіїіншихтіл,щодіютьнаданетіло,скомпенсовані.Приблизнотаківідбуваєтьсязкулею,щоко-титьсяпосклу:тертяприцьомудужемале,апритяганнякуліЗемлеюкомпенсуєтьсятим,щосклотисненакулюзнизувгору.

Те,щотілозберігаєсвоюшвидкість,якщонаньогонеді-ютьіншітіла(абодіїцихтілскомпенсовані),називаютьяви-щем інерції.Прорізноманітнізастосуванняцьогоявищамирозповімодалі.

3. ІНЕРЦІАЛЬНІСИСТЕМИВІДЛІКУТАПЕРШИЙЗАКОННЬЮТОНА

РозпочатеҐ.Ґалілеєму16-мустоліттівідкриттязаконівмеханікизавершиву17-мустоліттіІ.Ньютон.Вінсформу-лювавсистемуосновнихзаконівмеханіки,якузгодомназва-ли«трьомазаконамиНьютона».

ПершимзцихзаконівНьютонузяввідкритийҐалілеємзаконінерції1.Томузаконінерціїназиваютьтакожпершим законом Ньютона.

СучаснеформулюванняпершогозаконуНьютонаминаве-демотрохипізніше.Уньомувраховується,щозакон інерції виконується не в усіх системах відліку.

Наприклад,дослідпоказує,щовіндоситьточновикону-єтьсявсистемівідліку,пов’язаній ізЗемлею.Аот,напри-клад,усистемівідліку,пов’язанійзавтобусом,щоїдемісь-коювулицею,законінерціїневиконується:колиавтобусру-1 НьютонвизнававзаҐалілеємчестьвідкриттяцьогозакону:вінговоривпросебе,що«стоявнаплечахгігантів»,однимзякихбувҐалілей.

66

шаєзмісця,пасажирів«кидає»назад,аколиавтобусгаль-мує,пасажирів«кидає»уперед.

Системи відліку, у яких виконується закон інерції,називаютьінерціальними.

Те,щозаконінерціїдоситьточновиконуєтьсявсистемівідліку,пов’язанійізЗемлею,означає,що

пов’язануізЗемлеюсистемувідлікудоситьточноможнавважатиінерціальноюсистемоювідліку.

УнаведеномудаліформулюванніпершогозаконуНьюто-назазначено,уякихсистемахвідлікувінсправедливий.

Перший закон Ньютона: існують системи відліку, щоназиваютьінерціальними,уякихтілозберігаєстанспокоюабопрямолінійногорівномірногоруху,якщонаньогонедіютьіншітілаабодіїіншихтілскомпенсовані.

4. ЗАСТОСУВАННЯЯВИЩАІНЕРЦІЇПерший закон Ньютона ми застосовуємо дуже часто.

Наприклад,йогозастосовуєкожен,хтокидаєм’ячабороз-бігається для стрибка. І в тому, і в іншомувипадку вико-ристовуютьявище інерції—те,щотілозберігаєшвидкістьірухається«самесобою».

Використовує перший законНьютонаівелосипедист,який,ро-зігнавшисьнарівномушосе,насо-лоджується якийсь часшвидкимрухом,некрутячипедалі.

Особливо ефектно використо-вують перший закон Ньютона взимових видах спорту, де тертявдаєтьсязробитиособливомалим(рис.6.3).

ОднакпершийзаконНьютонаможе бути і небезпечним, якщойогоневраховувати.Наприклад,неможнарізкогальмуватипере-днім гальмом, коли ви швидкоїдете на велосипеді: «зберігаючишвидкість», ви можете вилетітиіз сідлайперелетітичерезруль!

Рис.6.3

67

5. ЧИОЧЕВИДНИЙПЕРШИЙЗАКОННЬЮТОНА?Законінерції(першийзаконНьютона)здаєтьсядужепро-

стим.Алечомужтодійогоневідкривдавньогрецькийуче-нийАрістотель,якийпочаввивчатирухтілзадвітисячіро-ківдоҐалілея?

Арістотель стверджував: щоб тіло рухалося, його необ-хідно«рухати». І спостереження дійсно вказують скорішенате,щотіла«самісобою»нерухаються.Наприклад,коликіньперестаєтягтивізок,візокзупиняється;колистихаєві-тер,листянадеревахзавмирає.ТомусправедливістьученняАрістотеляневикликаласумнівівдвітисячіроків.

Ґалілейзробивпринциповоновийкрокувивченніруху:вінперейшоввідспостереженьдодослідів.Уцихдослідахвінустановив,щорухприпиняєтьсячерезцілкомвизначенупричину—через тертя.Іздогадався,щоякбитертяможнабулоусунутизовсім,тотілорухалосяб«самесобою»вічно!Цейбуловідкриттямзаконуінерції.

Однак відкриття закону інерції зовсім не зробило йогоочевидним:знимісьогоднінепогоджуєтьсяздоровийглузд.Іпричинатажсама,щозаважалаАрістотелювідкритицейзакон:мибачимо,щотіланавколонаснерухаютьсясамісо-боюякзавгоднодовго!Якженевіритивласнимочам?

Алерічу тім,щобудь-якийруху«земному»світі,щооточуєнас,супроводжуєтьсятертям—митаксамонепомі-чаємойого,якнепомічавколисьіАрістотель.

Однакмивжезнаємо,щовнаслідоктертярухнезникає,апереходитьзоднієїформивіншу:тіланагріваються,тобто

68

збільшуєтьсяшвидкістьхаотичногорухучастинок, з якихскладаютьсяцітіла.

Сьогодні,колилюдинавчилисязначнозменшуватитер-тя,здатністьтілзберігатирухуженездаєтьсятакоюнад-звичайною.


Швидкість тіла змінюється тільки внаслідок дії на нього інших тіл. Закон інерції: якщо на тіло не діють інші тіла, воно рухається пря-

молінійно рівномірно або зберігає стан спокою. Системи відліку, у яких виконується закон інерції, називають інерці-

альними. Систему відліку, пов'язану із Землею, досить точно можна вважати інерціальною системою відліку.

Перший закон Ньютона: існують системи відліку, що називають інерціальними, у яких тіло зберігає стан спокою або прямолінійно-го рівномірного руху, якщо на нього не діють інші тіла або дії інших тіл скомпенсовані.


Першийрівень1.Коли швидкість тіла змінюється? 2.Чи може швидкість тіла змінитися, якщо на нього не діють інші тіла? 3.Чи може швидкість тіла залишатися незмінною, хоча на нього діють

інші тіла? Підтвердьте свою відповідь прикладом. 4.Сформулюйте закон інерції. Хто його відкрив? 5.У чому полягає явище інерції? Наведіть приклади цього явища. 6.Чому, коли струшувати мокру парасольку, з неї злітають краплі

води?7.Які системи відліку називають інерціальними? 8.Чи можна пов’язану із Землею систему відліку приблизно вважати

інерціальною? 9.Сформулюйте перший закон Ньютона.

10. Наведіть приклади прояву і застосування першого закону Ньютона. 11. Чому небезпечно різко гальмувати переднім гальмом, коли ви

швидко їдете на велосипеді?

69

§ 7. ВЗАЄМОДІЇ ТА СИЛИ

1.Силивмеханіці2.Чимхарактеризуєтьсякожнасила?3.Прикладидіїсил4.Вимірюваннясил5.Додаваннясил

1. СИЛИВМЕХАНІЦІДіїтілодненаодненазиваютьвзаємодією.Взаємодіютіл

описують за допомогою сил. Кожна сила характеризуєтьсячисловимзначеннямінапрямом,тобтоєвекторноювеличи-ною.Отже,

сила—векторнавеличина,щоєміроюдіїодноготіланаінше.

Якпоказуєдослід,

усімеханічніявищазумовленідієютрьохвидівсил:сил пружності,сил всесвітнього тяжінняісил тертя.

Зпроявамицихсилмивжеознайомилисякоротковпо-передньомупараграфі.Нагадаймопроних.

1)Підчасударуключкоюнашайбузбокуключкидіяласилапружності.

Сила пружності виникаєвнаслідокдеформаціїтіла,тобтозмінийогоформиаборозмірів.

І дійсно, під час удару ключка трохи зігнулася. Силипружності зумовлені взаємодіюміж частинками здеформо-ваноготіла.

2)Натіло,щопадає,дієсилапритяганнязбокуЗемлі.

Силу,зякоюЗемляпритягуєтіло,називаютьсилою тяжін-ня.Силатяжінняєпроявомсилвсесвітнього тяжіння.

Точкуприкладаннясилитяжінняназиваютьцентром тя-жіннятіла.

Якминевдовзіпобачимо,силатяжіннядієнетількинатіла,щопадають.

70

3)Підчасковзанняшайбипольодунанеїдіяласилатер-тязбокульоду.

Сили тертяковзаннядіютьміжтілами,щостикаються,рухаючисьодневідносноодного.

Силитертяковзаннязумовленічіпляннямнерівностейнаповерхняхтіл,щостикаються.

ЧИМОЖУТЬСИЛИВРІВНОВАЖУВАТИОДНАОДНУ?Якмибачилинапопередніхприкладах,якщошвидкість

тілазмінюється,цеозначає,щонаньогодієсила.Ачиправильнепротилежнетвердження?Колишвидкість

тіланезмінюється(наприклад,книгалежитьнастолі),чиозначаєце,щонатілонедіютьжоднісили?

Ні,ценезавждитак!Наприклад,якщокнигалежитьнастолі,тонанеїдіютьсилатяжіннятасилапружностізбокустола.Акнигазалишаєтьсяуспокоїтому,щосилатяжінняісилапружностіврівноважуютьоднаодну.Отже,

силиможутьурівноважуватиоднаодну.

2. ЧИМХАРАКТЕРИЗУЄТЬСЯКОЖНАСИЛА?Напопередніхприкладахмибачили,що

будь-якасилаприкладенадотілазбокуякогосьіншоготіла.

Цеозначає,щоврозповідіпробудь-якусилумаєбутидві«дійові особи»: тіло,до якого прикладеноцю силу, і тіло,з боку якогоприкладеноцюсилу.

Крімтого,

кожнасилахарактеризується:1)числовимзначенням(мо-дулем);2)напрямом;3)точкоюприкладання.

Нарисункахсили,якірештувекторнихвеличин,познача-ютьстрілками.Початокстрілкизбігаєтьсязточкоюприкла-даннясили,напрямстрілкипоказуєнапрямсили,адовжинастрілкипропорційнамодулюсили.Якщотіломожнавважатиматеріальноюточкою,тоточкиприкладаннявсіхсил,щоді-ютьнатіло,можнарозміститинарисункуводнійточці.Уна-ступномурозділімирозглянемокількаприкладів.

Одиницю силиначестьНьютонаназиваютьньютон(Н).Зозначеннямцієїодиницісилимиознайомимосятрохипіз-ніше(див.§ 8. Другий закон Ньютона),азараззауважимотільки,що1Н—невеликасила.Так,коливитримаєтена

71

долонілітровийпакетмолокаабосоку,цейпакеттисненадолонюізсилою,щодорівнюєприблизно10Н.

3. ПРИКЛАДИДІЇСИЛНарисунку7.1зображеносилипружності,зякимидіють

одненаодногостілікнига,щолежитьнаньому.

Рис.7.1

Силу,зякоюкнигатисненастіл,називаютьвагоюкниги.

Вагою тіла називають силу, з якою тіло внаслідок при-тяганняйогоЗемлеютисненаопоруаборозтягуєпідвіс.

Вагузазвичайпозначають ...PPP��Зауважимо,що

вага тіла в спокої дорівнює силі тяжіння,що діє на цетіло.

Мидоведемоцев§ 9. Третій закон Ньютона.Протевагаісилатяжіння—церізнісили:вагатіладіє

наопору(абопідвіс)збокутіла,асилатяжіннядієнасаметілозбокуЗемлі.Природацихсилтакожрізна.

Силу,зякоюстілтисненакнигузнизувгору,назива-ютьсилою нормальної реакціїіпозначають ...NNN

��Таканазва

пояснюєтьсятим,щоцясиланапрямленаперпендикуляр-но до поверхні стола, а перпендикуляр іноді називаютьнормаллю.

Наприклад,нарисунку7.2зображеносили,щодіютьнакнигу,якалежитьнастолі.Цесилатяжіння òòò,,,FFF

��якадієзбоку

Землі,тасиланормальноїреакції ...NNN��Книгаперебуваєуспо-

кої,аджецісиливрівноважують1однаодну.

1 Якщосили,щодіютьнатіло,урівноважуютьоднаодну,кажутьтакож,щодіїцихсилскомпенсовані.

72

Рис.7.2

Якщодвісиливрівноважуютьоднаодну,товонирівнізамодулемінапрямленіпротилежно.

4.ВИМІРЮВАННЯСИЛВи вже знаєте, що сила пружності зумовлена деформа-

цієютіла.Прицьомучимбільшадеформація,тимбільшоюєсилапружності.Отже,

здеформаціїтіламожнасуди-ти про значення сили пруж-ності.

Для вимірювання сил напрактиці використовують влас-тивістьсилипружності,відкри-тув17-мустоліттіанглійськимфізикомР.Гуком.

Закон Гука. Підвішуючи допружини різну кількість одна-кових вантажів (рис. 7.3), Гукустановивнадосліді,що

модульсилипружності ïðïðïðFFFïðFïðïðïðFïðFïðFïðïðïðFïðпря-мо пропорційний видовженнюпружини ...xxx Співвідношенняміж модулем сили пружностітамодулемвидовженняпружи-ниможназаписатиувигляді

ïðïðïð | | .| | .| | .F k xF k xF k xïðF k xïðïðïðF k xïðF k xïðF k xïðïðïðF k xïð | | .F k x| | .| | .| | .F k x| | .F k x| | .F k x| | .| | .| | .F k x| | .F k x=F k xF k xF k x=F k x=F k x=F k xF k xF k x=F k x

Закон Гука іноді записують у вигляді Fпр = –kx. При

цьомумаютьнаувазіпроекцію силипружностінавісьx.

Рис.7.3

73

Коефіцієнт пропорційності kkk називають жорсткістю пружини. Як видно з наведеної формули, одиницеюжор-

сткостієÍÍÍ

1 .1 .1 .1 .1 .1 .Í

1 .ÍÍÍ

1 .Í

1 .Í

1 .ÍÍÍ

1 .Í

ìììПрилад для вимірювання сили за допомогою деформа-

ції пружининазиваютьпружиннимдинамометром.На ри-сунку7.4,а зображеношкільнийдинамометр,анарисун-ку7.4,б—йогобудову.

Рис.7.4

5.ДОДАВАННЯСИЛДослідисвідчать,щоколитіломожнарозглядатиякма-

теріальнуточку,діюнатілодекількохсилможназамінитидієюоднієїсили.

Силу, що діє на тіло так само, як декілька одночасноприкладенихдоцьоготіласил,називаютьрівнодійноюцихсил. Знаходження рівнодійної декількох сил називаютьдодаваннямцихсил.

Оскількисилиєвекторнимивеличинами,їх

додаютьзаправиломдодаваннявекторів.

Якщодвісилинапрямленіоднаково,їхрівнодійнанапрям-лена так само, амодуль рівнодійної дорівнює сумімодулівсил-доданків.Нарисунку7.5,анаведеноприкладдодавання

Рис.7.5

74

такихсил.Сили-доданкипозначеносиньоютазеленоюстріл-ками,аїхрівнодійну 1 2F F F

� � �—червоноюстрілкою.

Якщодвінерівнізамодулемсилинапрямленіпротилеж-но, їхрівнодійнанапрямленавбікбільшоїсили,амодульрівнодійної дорівнює різницімодулів сил-доданків.На ри-сунку7.5,бнаведеноприкладдодаваннятакихсил.Позна-ченнятіжсамі,щонапопередньомурисунку.

Якщо сили напрямлені під кутом одна до одної, то їхрівнодійнувизначають,використовуючидодаваннявекторівза «правилом паралелограма», наведеним на рисунку 7.6.У цьому випадку початки двох векторів-доданків сполуча-ютьібудуютьпаралелограм,суміжнимисторонамиякогоєвектори-доданки. Рівнодійна 1 2F F F

� � � є вектором,що збі-

гається з діагоналлю побудованого паралелограма, причо-му початок цього вектора збігається зі спільним початкомвекторів-доданків.

Рис.7.6

Нарисунку7.6,анаведеноприкладдодаваннясил,коликутміжсилами-доданкамигострий,анарисунку7.6,б—колицейкуттупий.

Якмивжезнаємо,

якщорівнодійнадвохсилдорівнюєнулю,тоцісилирівнізамодулемінапрямленіпротилежно.


Сила — векторна величина, що є мірою дії одного тіла на інше. Усі механічні явища зумовлені дією трьох видів сил: сил пружності,

сил тяжіння та сил тертя. Сила пружності виникає внаслідок деформації тіла, тобто зміни

його форми або розмірів.

75

Силу, з якою Земля притягає тіло, називають силою тяжіння. Сила тяжіння є проявом сил всесвітнього тяжіння.

Сили тертя ковзання діють між тілами, що стикаються, рухаючись одне відносно одного.

Будь-яку силу прикладено до тіла з боку іншого тіла. Кожна сила характеризується: 1) числовим значенням (модулем); 2) напря-мом; 3) точкою прикладання.

Вагою тіла називають силу, з якою тіло внаслідок притягання його Землею тисне на опору або розтягує підвіс. Вага тіла у спокої до-рівнює силі тяжіння, що діє на це тіло.

Силу, з якою опора тисне на тіло, називають силою нормальної реакції. Вона напрямлена перпендикулярно поверхні опори.

Якщо дві сили врівноважують одна одну, то вони рівні за модулем і напрямлені протилежно.

Закон Гука: модуль сили пружності ïðïðïðFFFïðFïðïðïðFïðFïðFïðïðïðFïð прямо пропорційний ви-довженню пружини ...xxx Закон Гука можна записати у вигляді: ïðïðïð | | .| | .| | .F k xF k xF k xïðF k xïðïðïðF k xïðF k xïðF k xïðïðïðF k xïð | | .F k x| | .| | .| | .F k x| | .F k x| | .F k x| | .| | .| | .F k x| | .F k x=F k xF k xF k x=F k x=F k x=F k xF k xF k x=F k x

Силу, що діє на тіло так само, як декілька одночасно прикладених до цього тіла сил, називають рівнодійною цих сил.

Знаходження рівнодійної декількох сил називають додаванням цих сил. Сили додають за правилом додавання векторів.


Першийрівень1. Дією яких трьох видів сил зумовлені механічні явища? 2. Наведіть приклад дії сили пружності. 3. Яку силу називають силою тяжіння? 4. Наведіть приклад дії сили тяжіння. 5. Наведіть приклад дії сили тертя ковзання. 6. Що можна сказати про модулі та напрями двох сил, які врівноважу-

ють одна одну? 7. Чим характеризується кожна сила? 8. Наведіть приклад сил, з якими два тіла діють одне на одне.9. Що таке вага тіла? Як вона пов’язана із силою тяжіння? 10. Що таке сила нормальної реакції? 11. Сформулюйте закон Гука. 12. За умови однакового видовження двох пружин з боку першої пру-

жини діє сила пружності 2 Н, а з боку другої — 6 Н. Жорсткість якої пружини більша? У скільки разів?

13. Видовження першої пружини дорівнює 2 см, а видовження другої — 6 см. При цьому з боку цих пружин діють однакові сили пружності. Жорсткість якої пружини більша? У скільки разів?

76

14. Унаслідок розтягування пружини на 5 см виникає сила пружно сті 10 Н. Чому дорівнює жорсткість цієї пружини?

15. Що називають рівнодійною декількох сил? 16. Дві сили напрямлені однаково. Перша сила дорівнює 5 Н, а рівно-

дійна двох сил 7 Н. Чому дорівнює модуль другої сили?

Другийрівень17. Чи однаковий напрям сили тяжіння для всіх жителів Харкова? для

всіх жителів Землі? 18. Що спільного у ваги і сили тяжіння і чим вони відрізняються? 19. Під час розтягування першої пружини на 10 см виникає сила пруж-

ності 100 Н, а під час розтягування другої пружини на 5 см виникає сила пружності 20 Н. Жорсткість якої пружини більша і в скільки разів?

20. Коли довжина пружини 14 см, сила пружності дорівнює 20 Н, а коли довжина пружини 18 см, сила пружності дорівнює 60 Н. Яка довжи-на недеформованої пружини? Чому дорівнює жорсткість пружини?

21. Модуль рівнодійної двох сил, що діють вздовж однієї прямої, дорів-нює 5 Н. Модуль першої сили дорівнює 3 Н. Якою може бути модуль другої сили?

22. Дві сили напрямлені перпендикулярно одна одній. Модуль першої сили 3 Н, а модуль другої сили 4 Н. Чому дорівнює модуль рівно-дійної цих сил?

23. Складіть задачу за темою «Взаємодії та сили», відповіддю якої було б «Напрямлені протилежно».

77

§ 8. ДРУГИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

1.Співвідношенняміжсилоютаприскоренням2.Маса3.ДругийзаконНьютона4.Рухтілапіддієюсилитяжіння5.ЧиочевиднийдругийзаконНьютона?

1. СПІВВІДНОШЕННЯМІЖСИЛОЮТАПРИСКОРЕННЯМ

ПОСТАВИМОДОСЛІДИ

Вивчимо на досліді, як рухається тіло, якщо на нього діє тіль-ки одна постійна сила, а дії інших сил скомпенсовані. Для на-ших дослідів скористаємося візком, що може котитися по сто-лу практично без тертя1. З'ясуємо, як рухається візок під дією прикладеної до нього го-ризонтальної сили. Для вимірювання цієї сили зручно закріпи-ти динамометр на самому візку (рис. 8.1). З'єднаємо ниткою візок і вантаж, а потім перекинемо нитку через блок.

Рис.8.1

Візок почне котитися по столу, і його швидкість збільшувати-меться. З показів динамометра можна зробити висновок, що на візок під час руху діє постійна сила.Вимірюючи шляхи, які проходить візок за різні проміжки часу, можна помітити, що шлях пропорційний квадрату часу руху (рис. 8.2; на всіх рисунках, крім першого, вантаж розташова-

1 Для демонстрації подібних дослідів розроблено спеціальний прилад,уякомувізокрухаєтьсяна«повітрянійподушці»—уцьомувипадкутертяособливомале.

78

ний нижче від зображеного положення, тому нитку позначено пунктиром). А це означає (див. § 4. Шлях за умови прямолінійного рівноприскореного руху), що візок рухається рівноприскорено.

Рис.8.2

Отже, цей та інші подібні досліди показують, що

піддієюпостійної силитілорухаєтьсязпостійнимпри-скоренням.

З’ясуємо тепер, як пов’язані модуль прискорення тіла і мо-дуль сили, що діє на тіло. Змінювати силу, що діє на візок, можна, підвішуючи до нитки різні вантажі. Виміряють модуль цієї сили за показами дина-мометра.

79

Із формули 222

222

atatatlll === випливає, що шлях, пройдений візком за

той самий проміжок часу, пропорційний прискоренню візка. Виміри показують, що цей шлях пропорційний силі, яка діє на візок (рис. 8.3; на всіх рисунках, крім першого, вантаж розта-шований нижче від зображеного положення, тому нитку по-значено пунктиром). А це означає, що

модульприскореннятілапропорційниймодулюсили,якадієнацетіло.

Нашідослідипоказуютьтакож,що

напрямприскореннятілазбігаєтьсязнапрямомсили,якадієнатіло.

Рис.8.3

80

2.МАСАПовторившиописанідослідиздвомаоднаковимивізками,

з’єднанимитак,якзображенонарисунку8.4,мипобачимо:щобнадатидвомвізкамтакогосамогоприскорення,щойод-ному,донихтребаприкластивдвічібільшусилу.

Рис.8.4

Співвідношенняміжприкладеноюдотіласилоюіприско-реннямтілапіддієюцієїсилихарактеризуютьінертністютіла.Чимбільшусилутребаприкластидотіла,щобнадатийомуданогоприскорення,тимбільшаінертністьцьоготіла.Наприклад,мибачили,щоінертністьдвохвізківудвічібіль-ша,ніжінертністьодноговізка.

Міроюінертностітілаємаса.

Щобнадати тілу даного прискорення, до тіла слід при-кластисилу,пропорційнуйогомасі.

Одиницею маси в SI є кілограм (кг). Це маса еталона(зразка),якимслужитьциліндр,щозробленийзіспеціаль-ногосплавуізберігаєтьсявМіжнародномубюромірівагиуФранції.Приблизноможнавважати,що1 кгдорівнюємасі1 лпрісноїводи1.

Використовують також частинні та кратні одиницімаси:1 грам(г),щодорівнює0,001 кг,атакож1 тонну(т),щодо-рівнює1000 кг.

Звернітьувагу:інертність—цевластивість тіла!Неплу-тайтеінертністьзужезнайомимнамявищем інерції,якеполя-гаєвтому,щотілозберігаєсвоюшвидкістьнезмінною,якщонаньогонедіютьіншітіла(абодіїіншихтілскомпенсовані).

Інертністьмаютьусітіла,таособливонаочновластивістьінертності виявляється у масивних тіл. Покажемо це наефектномудосліді.

1 Черезтейбуловибранотакуодиницюмаси:їїлегковідтворитизточністю,достатньоюдлябагатьохвипадків.

81


Підвісимо масивну кулю на нитці, а знизу до кулі прикріпимо таку саму нитку (рис. 8.5).

Рис.8.5

Якщо потягнути за нижню нитку плавно, то розірветься верхня нитка. Цього можна було очікувати: адже верхня нитка розтяг-нута ще й вагою кулі. Але якщо різко смикнути нижню нитку, то розірветься не верхня, а нижня нитка! Річ у тім, що під час різкого ривка масивна куля через інерт-ність не встигне зрушитися настільки, щоб помітно розтягти верхню нитку.

Аот іншийсхожийдослід.Надвохниткахпідвішуютьдерев’янупаличку(можнавзятиолівець).Якщоплавнона-тиснутирукоюнапаличку,тоодназнитокрозірветься.Алеякщорізковдаритипосерединіпаличкиметалевимстерж-нем,топаличказламається,аобидвіниткизалишаться ці-лими!Річутім,щозакороткийчасударупаличка,щомаєінертність,невстигаєзміститисятак,щобпомітнорозтягну-тинитки.

82

ЯКПОРІВНЯТИМАСИДВОХТІЛ?Дослідипоказують,щомаси 111mmm і 222mmm двохтілможнапорів-

нювати,порівнюючиприскоренняцихтілпідчасвзаємодіїміжними.

Відношеннямасдвохтілоберненопропорційневідношенню

прискореньцихтілпідчасїхвзаємодії: 1 21 21 2

2 12 12 1

...m am am a1 2m a1 21 21 2m a1 2m a1 2m a1 21 21 2m a1 2

m am am a2 1m a2 12 12 1m a2 1m a2 1m a2 12 12 1m a2 1

===

Алеякщомасидвохтілпідчасїхвзаємодіїможнапорів-нювати,томасубудь-якоготіламожнайвиміряти,порів-нявшийогомасузмасоюеталона(абойогокопії)—масою1кг.Напрактиці,однак,масутілавиміряютьнабагатопро-стіше—задопомогоюзважування.Процемирозповімодалі.

3. ДРУГИЙЗАКОННЬЮТОНАЗвикладеногоможназробитивисновок,щосила дорівнює

добутку маси тіла на прискорення, яке надається цією си-лою.Якщонатілодієкількасил,топрискореннятілунадаєрівнодійнацихсил.Позначимоцюрівнодійну ...FFF

��

Співвідношенняміжрівнодійною,масоютілатайогопри-скореннямформулюютьяк

другий закон Ньютона:рівнодійнавсіхсил,прикладенихдотіла,дорівнюєдобуткумаситіланайогоприскорення:

...F maF maF maF ma=F maF maF ma=F ma=F ma=F maF maF ma=F ma�� F ma

�F maF maF ma

�F ma

�F ma

�F maF maF ma

�F ma

Другий закон Ньютона справедливий тільки в інерціаль-них системах відліку,аджетількивцихсистемахвідлікуприскореннятілазумовленесилами,щодіютьнанього.

Використовуючи другий закон Ньютона, можна знайтиприскоренняaaa

��тіла,якщовідомамасаmmmтілаірівнодійнаFFF

��

всіхсил,щодіютьнацетіло.ДляцьогодругийзаконНью-тоназаписуютьувигляді

...FFF

aaammm

===��

��

Такийзаписозначає,щомодульприскореннятіла ,,,FFF

aaammm

===

анапрямприскореннязбігаєтьсязнапрямомсили.

83

Якмивжеговорили,одиницюсили«ньютон»(Н)визна-чаютьзадопомогоюдругогозаконуНьютона.Асаме:

1Ндорівнюєсилі,якатілумасою1кгнадаєприскорення

1м/с2.Отже,1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .= ⋅1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .= ⋅1 Í 1 êã .= ⋅1 Í 1 êã .= ⋅1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .1 Í 1 êã .= ⋅1 Í 1 êã .м/с2.

4. РУХТІЛАПІДДІЄЮСИЛИТЯЖІННЯРозглянеморухтілапіддієюоднієїсили.Длятіла,щопе-

ребуваєпоблизуповерхніЗемлі,такоюєдиноюсилоюможебутитількисила тяжіння,аджевонадієнавсітіла.

ЧОМУДОРІВНЮЄСИЛАТЯЖІННЯ?Яквивжезнаєте,дослідипоказують,щопідчасвільного

падіннявсітілапоблизуповерхніЗемлірухаються зодна-ковимприскоренням,якеназиваютьприскоренням вільного падіння ...ggg

��

Цеприскореннязумовленедієюнатілосилитяжіння òòò...FFF��

Таким чином, другий закон Ньютона для тіла, що вільнопадає,маєвигляд:

òòò ...F mgF mgF mgòF mgòòòF mgòF mgòF mgòòòF mgòF mg=F mgF mgF mg=F mg=F mg=F mgF mgF mg=F mg�� F mg

�F mgF mgF mg

�F mg

�F mg

�F mgF mgF mg

�F mg

Отже,

силатяжіння òòò ,,,F mgF mgF mgòF mgòòòF mgòF mgòF mgòòòF mgòF mg=F mgF mgF mg=F mg=F mg=F mgF mgF mg=F mg�� F mg

�F mgF mgF mg

�F mg

�F mg

�F mgF mgF mg

�F mg деmmm—маса

тіла.

Завдякитому,щосилатяжінняпропорційна масі тіла (рис. 8.6),можнавимірюватимасутілазадо-помогою зважування. Адже, зва-жуючитіловстаніспокою,миви-мірюємо силу тяжіння,що діє нанього,томущодлятілавстаніспо-коювагадорівнюєсилітяжіння.

ЧИПОВ’ЯЗАНИЙНАПРЯМШВИДКОСТІТІЛАЗНАПРЯМОМСИЛИ,ЩОДІЄНАНЬОГО?Для тіла,що падає зі стану спокою, напрямшвидкості

збігаєтьсязнапрямомсилитяжіння(рис.8.7,а).Прицьомушвидкістьзбільшуєтьсязчасом;залежністьмодуляшвид-костівідчасувиражаєтьсяформулою ...v gtv gtv gtv gt=v gtv gtv gt=v gt=v gt=v gtv gtv gt=v gt

Рис.8.6

84

Якщо тіло кинуте вертикально вгору, то під час рухувгорушвидкістьтіланапрямленапротилежносилітяжіння(рис.8.7,б).Томуйприскореннятілатежнапрямленепро-тилежношвидкості.Отже,швидкістьтілазменшуватиметь-ся зчасом.Залежністьпроекціїшвидкості відчасу заумо-ви рівноприскореного руху завжди має вигляд 0y y yv v g t ,де 0v —модульпочатковоїшвидкості, а залежністьмодуляшвидкостівідчасувцьомувипадкувиражаєтьсяформулою

0v v gt ,оскільки yg g (рис.8.7).Якщо кинути тіло під деяким кутом� то і � ��ому �ип�д�� то і � ��ому �ип�д�і � ��ому �ип�д�

ку прискорення тіл� під ч�с усього пол�оту н�прямлене вниз� �дже т�к н�прямлен� сил�� що діє н� тіло� — сил� тяжіння. Одн�к тепер поч�тко�� ш�идкіст� тіл� скл�д�є кут з н�пря�мом сили. При ��ому� як ми б�чимо� тіло рух�єт�ся по криво-лінійній тр�єкторії (рис. 8.7� в). Н�прикл�д� у �ерхній точ�і тр�єкторії ш�идкіст� тіл� н�прямлен� перпендикулярно силі. Під ч�с руху поблизу �ієї точки ш�идкіст� тіл� змінюєт�ся � осно�ному за напрямом.

Цей випадок особливо ціка-вий, адже сила притягання, щодієнапланетузбокуСонця,на-прямленатакожперпендикулярно до швидкості планети (рис. 8.8).Ця сила викликає напрямленедо Сонця прискорення планетипідчас їїрухупоколовійорбіті.Можнасказати,щопідчассвогорухунавколоСонцяпланетанібивесьчасперебуваєу«верхнійточ-цітраєкторії»!

Рис.8.7

Рис.8.8

85

Отже,знашогорозглядувипливаєтакийвисновок:

швидкість тіла може бути напрямлена під будь-яким кутомдосили,щодієнатіло.

Якщо в заданій точці траєкторії напрямшвидкості збіга-єтьсязнапрямомсили,тотілорухаєтьсяпрямолінійно,при-чомушвидкістьтілазбільшується,аякщонапрямшвидкостіпротилежнийнапрямусили,тотілорухаєтьсяпрямолінійно,причомушвидкістьтілазменшується.Якщожшвидкістьна-прямленапід кутомдонапрямусили,тотраєкторіярухутілакриволінійна.

5. ЧИОЧЕВИДНИЙДРУГИЙЗАКОННЬЮТОНА?ДругийзаконНьютонатаксамонеочевидний,якіпер-

ший:вінтежначебтосуперечить«здоровомуглузду».Заснованийнаспостереженнях«здоровийглузд»підказує

нам,щошвидкістьтіланібитозавждинапрямленатаксамо,якісила,щодієнацетіло.Але,розглядаючирухтілапіддієюсилитяжіння,мипереконалися,щоценезавждитак:швидкістьтіламожебутинапрямленапід будь-яким кутомдосили,щодієнатіло.Черезщожвиникаєцярозбіжність«здоровогоглузду»знауковимрозглядом?

Річутім,щонапрактицімичастостикаємосязвипадками,колипочатковашвидкістьтіладорівнюєнулю.Авцихвипад-ках,якмивжезнаємо,швидкість,якоїнабуваєтіловнаслідокдіїсили,справдінапрямленатаксамо,якіцясила.

Алеякщотіломаєпевнупочатковушвидкість(як,напри-клад,тіло,кинутевертикальновгоруабопідкутомдогори-зонту),тонапрямшвидкостівженезбігаєтьсязнапрямомдіїсили.Іминадобрезнайомихприкладахпереконалися,щоцедійснотак.

Науковийпідхідвідрізняєтьсявідтакзваного«здорово-гоглузду»тим,щовінзаснованийненавипадковихспосте-реженнях,анапродуманихдослідах,уякихвивчаютьусіможливіваріантиперебігуприроднихявищ,анетількиті,щотрапляютьсянайчастіше.

ПовертаючисьдонеочевидностідругогозаконуНьютона,звернемоувагунате,щовідповіднодоцьогозаконусила,якадієнатіло,визначаєнешвидкістьцьоготіла,атількизміну швидкостізанайближчиймалийпроміжокчасу.Томушвидкістьтілавцеймоментзалежитьщейвідтого,якна-прямленапочатковашвидкістьтіла.

86


Маса є мірою інертності тіла.

Відношення мас двох тіл обернено пропорційне відношен-

ню прискорень цих тіл під час їх взаємодії: 1 21 21 2

2 12 12 1

...m am am a1 2m a1 21 21 2m a1 2m a1 2m a1 21 21 2m a1 2

m am am a2 1m a2 12 12 1m a2 1m a2 1m a2 12 12 1m a2 1

===

Другий закон Ньютона: рівнодійна всіх сил, прикладених до тіла, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення: ...F maF maF maF ma=F maF maF ma=F ma=F ma=F maF maF ma=F ma

�� F ma

�F maF maF ma

�F ma

�F ma

�F maF maF ma

�F ma

Сила тяжіння òòò ,,,F mgF mgF mgòF mgòòòF mgòF mgòF mgòòòF mgòF mg=F mgF mgF mg=F mg=F mg=F mgF mgF mg=F mg�� F mg

�F mgF mgF mg

�F mg

�F mg

�F mgF mgF mg

�F mg де mmm — маса тіла. Завдяки тому, що сила

тяжіння пропорційна масі тіла, масу можна вимірювати зважуван-ням.

Швидкість тіла може бути напрямлена під будь-яким кутом до сили, що діє на тіло. Якщо швидкість тіла напрямлена так само, як сила, тіло рухається прямолінійно і його швидкість збільшу-ється; якщо швидкість напрямлена протилежно напряму сили, тіло рухається прямолінійно і його швидкість зменшується; якщо швидкість напрямлена під кутом до напряму сили, тіло рухається криволінійно.


Першийрівень1. Що таке маса тіла? 2.Унаслідок взаємодії двох тіл перше тіло набуває прискорення

1 м/с2, а друге — 5 м/с2. Маса якого тіла більша і в скільки разів?

3.Сформулюйте другий закон Ньютона. 4.Під дією сили 6 Н тіло набуває прискорення 2 м/с2. Яка маса тіла? 5.Чому дорівнює сила тяжіння для тіла масою 5 кг? 6.На людину діє сила тяжіння 600 Н. Яка маса людини?7.У яких системах відліку справедливий другий закон Ньютона? 8.Наведіть приклад, коли напрям швидкості тіла збігається з напря-

мом сили, що діє на нього. 9.Наведіть приклад, коли напрям швидкості тіла протилежний напря-

му сили, що діє на нього. 10. Наведіть приклад, коли напрям швидкості тіла перпендикулярний

напряму сили, що діє на нього.

Другийрівень11. Тіло масою 5 кг, рухаючись прямолінійно рівноприскорено, за 5 с

пройшло 25 м. Чому дорівнює модуль рівнодійної сил, що діють на це тіло? Початкова швидкість тіла дорівнює нулю.

87

12. Гальмівний шлях автомобіля, що рухався зі швидкістю 108 км/год, до-рівнює 90 м. Чому дорівнює сила тертя, якщо маса автомобіля 1 т?

13. М’яч кинули вертикально вгору. Коли модуль прискорення м’яча більший — під час піднімання чи під час спуску? Урахуйте, що сила опору повітря напрямлена протилежно швидкості тіла.

14. М’яч кинули вертикально вгору. У якій точці траєкторії прискорення м’яча точно дорівнює прискоренню вільного падіння? Розв’язуючи задачу, урахуйте силу опору повітря.

15. На тіло масою 10 кг діють дві сили, напрямлені вздовж однієї пря-мої. Тіло рухається з прискоренням 2 м/с2. Модуль однієї сили до-рівнює 50 Н. Чому дорівнює модуль іншої сили?

16. На тіло масою 100 кг діють дві сили, напрямлені під прямим ку-том одна до одної. Модуль однієї сили 300 Н, а модуль іншої сили 400 Н. З яким прискоренням рухається тіло?

88

§ 9. ТРЕТІЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

1.ТретійзаконНьютона2.Властивостісил,зякимитілавзаємодіють3.ПрикладивиявленнятазастосуваннятретьогозаконуНьютона

4.Вагаіневагомість5.ЧиочевиднийтретійзаконНьютона?6.МежізастосовностізаконівНьютона

1. ТРЕТІЙЗАКОННЬЮТОНАСпостереження і досліди свідчать,що під час взаємодії

двохтілнакожнезнихдієсилазбокуіншоготіла.Напри-клад,якщовиб’єтерукоюпом’ячу,товідчуваєте,щоім’яч«б’є»повашійруці.

Цеозначає,що

підчасвзаємодіїтіладіютьодненаоднезпевнимисилами.

Якежспіввідношенняміжсилами?


З’єднаємо два динамометри і тягтимемо їх урізнобіч, як пока-зано на рисунку 9.1.

Рис.9.1

Ми побачимо, що покази динамометрів будуть однаковими.

Цейтаіншіподібнідослідисвідчать,щовиконується

третій закон Ньютона:підчасвзаємодіїтіладіютьодненаодне із силами,щорівні замодулем іпротилежні занапрямом:

1 21 21 2...F FF FF F1 2F F1 21 21 2F F1 2F F1 2F F1 21 21 2F F1 2F F= −F FF FF F= −F F= −F F= −F FF FF F= −F F� ��

89

2. ВЛАСТИВОСТІСИЛ,ЗЯКИМИТІЛАВЗАЄМОДІЮТЬ

Сили,зякимивзаємодіютьдватіла,маютьоднакову фі-зичну природу.

Розглянемоприклади.1.Набудь-якетіло,щоперебуваєпоблизуповерхніЗемлі,

дієсила тяжіннязбокуЗемлі.Ця сила діє на тіло незалежно від того, падає воно

(рис.9.2,а)чиперебуваєуспокої(рис.9.2,б).ЗбокутіланаЗемлюдієсилапритягання,щоточнодорівнюєзамоду-лемсилітяжіння.ЧомуждіяцієїсилинаЗемлюзалишаєть-сянепомітною?Далімирозповімопроце.

Рис.9.2

2.Книга,щолежитьнастолі(рис.9.3),тисненаопоруізсилоюPPP

��(вагакниги),астіл—накнигуізсилоюNNN

��(сила

нормальноїреакції).Обидвіцісилизасвоєюфізичноюпри-родоюєсилами пружності.

Рис.9.3

90

3.Якщоштовхнутибрусок,щолежитьнастолі,вінпо-чнековзатипостолу—проїдедеякувідстаньізупиниться.Зменшенняшвидкостібрускапідчасковзаннязумовленеси-лою тертя,щодієнаньогозбокустола.Такажзамодулем,алепротилежнонапрямленасилатертядієйнастілзбокубруска(рис.9.4).Діюсилитертянастілможназробитипо-мітнішою,якщопокластинастілтканину:мипобачимо,щобрусок,рухаючись,«тягне»тканинузасобою.

Рис.9.4

Чи можуть сили, з якими взаємодіють тіла, урівноважу-вати одна одну?Ні,неможуть,хочавонирівнізамодулемі напрямлені протилежно! Річ у тім,що ці сили діють нарізнітіла,аврівноважуватиоднаоднуможутьтількисили,прикладенідотого самоготіла.

3. ПРИКЛАДИВИЯВЛЕННЯТАЗАСТОСУВАННЯТРЕТЬОГОЗАКОНУНЬЮТОНА

ХОДЬБАКожен іздитинствазастосовуєтретійзаконНьютонана

кожномукроці,навітьнепідозрюючипроце.Наприклад,починаючийти,винабуваєтеприскоренняв

горизонтальному напрямі.ЗгідноздругимзакономНьютонацеозначає,щонавасдієгоризонтально напрямлена сила.Щожцезасила?Збокуякоготілаїїприкладено?

Цієюсилоюєсила тертя,щодієзбокудороги1налюди-ну,якайде.Людинаштовхаєдорогу назад,адорогаприцьо-мувідповідно до третього законуНьютоназтакоюсамоюзамодулемсилоюштовхаєлюдинувперед(рис.9.5,а)!

СИЛАТЯГИАвтомобіль розганяється, теж «використовуючи» третій

законНьютона:моторобертаєколесоавтомобіля,авоновна-

1 «Дорогою»мидлястислостіназиваємодорожнєполотно.

91

слідокцьогоштовхаєдорогуназад.ПрицьомувідповіднодотретьогозаконуНьютонадорогаштовхаєавтомобільуперед(рис.9.5,б).

Напрямленувпередсилу,щодієнаавтомобільабоіншийтранспортнийзасібзбокудороги,інодіназиваютьсилою тяги.

ВикористовуєтретійзаконНьютонаівесляр:вінштовхаєводуназад,аводаштовхаєвесляраразомзчовномуперед(рис.9.6).

Рис.9.6

Азавдякичомуможезмінитисвоюшвидкістьтіло,колидо-вколаньогонічогонемаєітомунемавідчоговідштовхнутися:

Рис.9.5

92

наприклад,якщоцетіло—космічнийкорабель,щоперебуваєувідкритомукосмосі?Відповідьнацезапитаннязнайшовро-сійськийвченийівинахідникК.Е.Ціолковський.Проце,ата-кожпровнесокукраїнськихученихтаінженеріввосвоєннякос-мосумирозповімов§ 12. Імпульс. Закон збереження імпульсу.

СИЛАНАТЯГУНИТКИАБОТРОСА


Ниткутягнутьзакінцівпротилежнібоки ізсилами111FFF1F111F1F1F111F1�� і 222FFF2F222F2F2F222F2�� (рис. 9.7).Чирівні ці сили замодулем, якщо

масою нитки можна знехтувати?Чому дорівнюєсиланатягунитки,якщо 111FFF1F111F1F1F111F1

��=10Н?

Рис.9.7

Розв’язання. Якщо сили 111FFF1F111F1F1F111F1��

і 222FFF2F222F2F2F222F2��

не рівні за модулем, то їх рів-нодійна FFF

�� не дорівнює нулю. Отже, згідно з другим законом

Ньютона нитка набуде прискорення ,,,FFF

aaammm

===��

�� де mmm — маса нитки.

А тепер звернімо увагу на застереження в умові, виділене курсивом: саме в ньому вся «сіль» задачі! Оскільки масою нитки можна знехтувати, то нитка набула б величезного при-скорення, якби рівнодійна FFF

�� не дорівнювала нулю.

Звідси випливає, що 0F =�

, тобто протилежно напрямлені сили 1F

� и 2F�

рівні за модулем. Силою натягу нитки в даному разі є сила, прикладена до будьякого кінця нитки. У цьому випадку сила натягу нитки дорівнює 10 Н.Відповідь: сили рівні за модулем; сила натягу нитки 10 Н.

Поширенимипомилкамивційзадачієвідповіді0і20Н.Щобціпомилкисталиочевидними,уявіть,щоодинкінецьниткиприв’язанодокільця,закріпленоговстіні.Якщотяг-ти цюнитку із силою 10Н, то очевидно,що сила натягу

93

ниткидорівнює10Н.АлежвідповіднодотретьогозаконуНьютонакільцеприцьому«тягне»ниткутежізсилою10Н!

4. ВАГАІНЕВАГОМІСТЬЧОМУВАГАТІЛАУСТАНІСПОКОЮДОРІВНЮЄСИЛІТЯЖІННЯ?Розглянемодляприкладусили,щодіютьнакнигу,яка

лежитьнастолі.Цесилатяжіння�� òòòF mgF mgF mg=F mg===F mg=F mg=F mg===F mg=

�F mg

��F mg

�F mg

�F mg

��F mg

�òF mgòòòF mgòF mgòF mgòòòF mgò ісиланормальної

реакціїNNN��(рис.7.2).Вониврівноважуютьоднаодну,тому

...N mgN mgN mgN mg= −N mgN mgN mg= −N mg= −N mg= −N mgN mgN mg= −N mg�� N mg

�N mgN mgN mg

�N mg

�N mg

�N mgN mgN mg

�N mg

Розглянемотеперсили,зякимидіютьодненаоднекнигаістіл.ЦевагакнигиPPP

��ісиланормальноїреакціїNNN

��(рис.7.1).

ВідповіднодотретьогозаконуНьютона

...P NP NP NP N= −P NP NP N= −P N= −P N= −P NP NP N= −P N� ��

ЗрівняньP NP NP NP N= −P NP NP N= −P N= −P N= −P NP NP N= −P N� ��

іN mgN mgN mgN mg= −N mgN mgN mg= −N mg= −N mg= −N mgN mgN mg= −N mg�� N mg

�N mgN mgN mg

�N mg

�N mg

�N mgN mgN mg

�N mgвипливає,що

...P mgP mgP mgP mg=P mgP mgP mg=P mg=P mg=P mgP mgP mg=P mg�� P mg

�P mgP mgP mg

�P mg

�P mg

�P mgP mgP mg

�P mg

Оскількивагатіла,щоперебуваєвспокої,дорівнюєсилітяжіння,асилатяжінняпропорційнамасітіла,масутіла,якмивжеговорили,частовиміряютьзважуванням(рис.9.8).

Рис.9.8

Вагадорівнюєсилітяжіннянетількидлятіла,щопере-буваєвспокої,айдлятіла,щорухаєтьсязпостійною(замодулемінапрямом)швидкістю,оскількийуцьомувипад-кусилатяжінняісиланормальноїреакції,щодіютьнатіло,урівноважуютьоднаодну.

94


Через нерухомий блок перекинуто невагому нерозтяж-нунитку,докінцівякоїпідвішеновантажірівноїмаси ...mmm Чомудорівнюєсиланатягунитки, якщо тертямублоціможназнехтувати?Розв’язання. Вантажі однакової маси урівноважаться, тобто вони або перебуватимуть у спокої, або рухатимуться з постій-ною швидкістю. У такому разі, як ми вже знаємо, вага тіла до-рівнює силі тяжіння. А вага — це і є сила, з якою вантаж роз-тягує підвіс. У даному разі вага кожного вантажу за модулем дорівнює ...mgmgmg Отже, сила натягу нитки дорівнює ...mgmgmg

Відповідь: ...mgmgmg

ВАГАТІЛА,ЩОРУХАЄТЬСЯЗПРИСКОРЕННЯМДлятогощобзнайти,чомудорівнюєвагатіла,щоруха-

єтьсязприскоренням,розглянемо,наприклад,сили,якіді-ютьнакнижку,щолежитьуліфті,колицейліфтрухаєтьсязприскоренням ,напрямленимвгору.

Накнижкудіютьдвісили:силатяжіння ісилапруж-ності збокуліфта.Азбокукнижкиналіфтдієсилапруж-ності —вагакнижки(рис.9.9).

Алетеперсили і не врівноважуютьоднаодну,боїхрівнодійна надаєкнижціприскорення .Згідноздру-

гим закономНьютона , а відповідно до третього

законуНьютона .Тому .Звідсиотримуємо,

що вага тіла, яке рухається з прискоренням, виражається формулою .

Звернітьувагу:вагатілазалежитьтількивідприскоренняіне залежить від швидкості.

У якому випадку вага тіла біль-ша за силу тяжіння, а в якому — менша? Якщо прискорення тіланапрямлене вгору, ,тому . Якщо жприскорення напрямлене вниз (і небільшезамодулем,ніжприскореннявільного падіння), то ,аотже, .

Рис.9.9

95


Вантаж масою 100 кг піднімають з напрямленим угоруприскоренням, що дорівнює за модулем Якою є

силанатягутроса,якимпіднімаютьвантаж?Розв’язання. Сила натягу тросу — це вага вантажу. При-скорення вантажу напрямлене вгору, тому в цьому випадку

.

Відповідь: 1200 Н.

Звернітьувагу:якщоприскореннявантажунапрямленевгору, то сила натягу троса більша від сили тяжіння,щодіє на вантаж. Згідно з третім закономНьютона з такоюсамоюзамодулемсилоювантажрозтягує трос.А сила, зякоювантажрозтягуєтрос,ієвагоювантажу.Отже,якщовантажрухаєтьсязприскоренням,напрямленимугору,товагавантажу

P=m (g + a).Якщожприскореннятіланапрямленевниз(аленебіль-

шезамодулем,ніжприскореннявільногопадіння),товагатіла

P=m (g – a).Зцієїформуливипливає,зокрема,щоколитілорухається

зприскоренням,рівнимприскореннювільногопадіння,тойоговагадорівнюєнулю.Розглянемоцейвипадокдокладніше.

НЕВАГОМІСТЬКолитіловільнопадає,вононетисненаопоруінероз-

тягуєпідвіс.Ацеозначає,щовага тіла, яке вільно падає, дорівнює нулю.

Стан,уякомувагатіладорівнюєнулю,називаютьневаго-містю.

Звернітьувагу:уневагомостівагатіладорівнюєнулю,алесилатяжіння,якіраніше,дорівнює .

У невагомості перебувають усі тіла, на які діє тіль-ки сила тяжіння (наприклад, космонавти під час польотузвимкненимидвигунами—уцьомувипадкукосмічнийко-рабель івсітіла,щоєвньому,рухаютьсятількипіддієюсилитяжіння,тобтоперебуваютьуневагомості).

96

Накороткийчасвиможетестатиневагомим,простопід-стрибнувши.Зтогомоменту,коливашіногивідірвутьсявідпідлоги, і до того моменту, коли вони торкнуться підлогизнову,виперебуватиметевневагомості:аджеприцьомувинетиснетенаопоруінерозтягуєтепідвіс.Яскравівраженнявідвідчуттяневагомостіможнадістати,стрибаючинабатуті1(рис.9.10).Алеперебуваючивневагомостіпротягомкількохсекунд,неможнавідчутиневагомістьтак,якїївідчуваютькосмонавти,якіперебуваютьуневагомостімісяцами.

5. ЧИОЧЕВИДНИЙТРЕТІЙЗАКОННЬЮТОНА?Незважаючи на простоту формулювання третій закон

Ньютонатаксамонеочевидний,якідваперших.Річутім,щорівні за модулем сили,зякимивзаємодіють

дватіла,далеконезавждивиявляютьсебеоднаково поміт-но.Розглянемоприклади.

Падіння каменя. Коли камінь падає, збільшення йогошвидкостівнаслідокдіїсилипритяганняЗемлідобрепоміт-не:швидкістькаменязакожнусекундузбільшуєтьсяпри-близнона10м/с.

1 Батут—цетугонатягнутасіткадлястрибків.

Рис.9.10

97

НаЗемлюзбокукаменядієтакасамазамодулемсилапритягання.Алевнаслідоктого,щомасаЗемлівбагаторазівбільшавідмасикаменя,помітитизумовленедієюцієїсилиприскоренняЗемлінеможливо.

Удар по м'ячу.Колифутболістб’єпом’ячу,м’ячрізкозмі-нюєшвидкість,алешвидкістьсамогофутболістаприцьомумайженезмінюється.Цепояснюєтьсянетількитим,щомасафутболістанабагатобільшавідмасим’яча.Важливощейте,щонафутболістазбокуЗемлідієвеликасилатертя:самедлятого,щобзбільшитиїї,футболістиінадягаютьбутсиізши-пами.Якбифутболістсильнобивпом’ячу,стоячинальодувтуфлях,вінпідчасударутежнабувбипомітноїшвидкості.

«Неочевидність»простихнапершийпоглядзаконівпри-роди(утомучислітрьохзаконівНьютона)маєглибокийсенс.Щобускладнихтавзаємозалежнихявищахприродипоміти-типростузакономірність,потрібнапроникливістьсправжньо-говченого.

Вивчаючифізику,вийсьогодністикаєтесязтієюж«ди-вовижністю»і«неочевидністю»законівприроди,щодовгийчас«заважала»людямпобачитицізакономірностійвідкри-тизакониприроди.

6.МЕЖІЗАСТОСОВНОСТІЗАКОНІВНЬЮТОНАУсіфізичнізаконийтеоріїєнаближеннямдодійсності,

оскількиу будь-якій теорії використовуєтьсямодельявищіпроцесів.Томуяк закони, так і теоріїмаютьпевнімежі застосовності.

МаютьмежізастосовностійзакониНьютона.Наприклад,другий закон Ньютона, як ви знаєте, виконується тількивінерціальнихсистемахвідліку.

Засновану на законахНьютона теорію називаютькла-сичною механікою.Якпоказуєдосвід,класичнамеханікасправедливадлярухутіл зішвидкостями,набагатомен-шимивідшвидкостісвітла.Якщожшвидкостітілпорів-нянні зішвидкістю світла (з такимишвидкостямируха-ютьсявідносноЗемлі,наприклад,віддаленігалактикитаелементарнічастинкивприскорювачах),висновкикласич-ноїмеханікисуперечатьдослідам і спостереженням.Длятіл,щорухаютьсязішвидкостями,порівняннимизішвид-кістюсвітла,справедливаспеціальна теорія відносності,створена видатним фізиком Альбертом Ейнштейном1 на1 ЕйнштейнживіпрацювавуШвейцарії,НімеччинітаСША.

98

початку20-гостоліття.Основніположенняспеціальноїте-орії відносності ми розглянемо вРозділі 3. Релятивіст-ська механіка.

Класичну механіку не можна застосовувати також дляопису руху та взаємодії частинок дуже малої маси— на-приклад,електронів.Томувмежахкласичноїмеханікинеможна зрозуміти, скажімо, особливості будови атома.Длярозумінняатомнихявищнапочатку20-гостоліттязусилля-мидекількохученихрізнихкраїнбулоствореноквантову механіку. Основні її положення розглядатимуться в курсіфізики11-гокласу.


Третій закон Ньютона: під час будь-якої взаємодії тіла діють одне на одне із силами, що рівні за модулем і протилежні за напрямом: 1 21 21 2...F FF FF F1 2F F1 21 21 2F F1 2F F1 2F F1 21 21 2F F1 2F F= −F FF FF F= −F F= −F F= −F FF FF F= −F F� ��

Властивості сил, з якими тіла взаємодіють одне з одним: вони мають однакову фізичну природу і не врівноважують одна одну, оскільки прикладені до різних тіл.

Вага тіла, що вільно падає, дорівнює нулю. Стан, у якому вага тіла дорівнює нулю, називають невагомістю.

Закони Ньютона мають певні межі застосовності.


Першийрівень1.Які спостереження вказують на те, що тіла, які взаємодіють, впли-

вають одне на одне? 2.Сформулюйте третій закон Ньютона. 3.Чи однакову фізичну природу мають сили, з якими тіла взаємоді-

ють?4. Наведіть приклад, коли два тіла взаємодіють за допомогою сил

пружності. 5.Наведіть приклад, коли два тіла взаємодіють за допомогою сил тя-

жіння. 6.Наведіть приклад, коли два тіла взаємодіють за допомогою сил тертя. 7.Чи можуть сили, з якими два тіла взаємодіють, урівноважувати одна

одну?8.Чому рівні за модулем сили, з якими два тіла взаємодіють, не завжди

виявляють себе однаково помітно? Наведіть приклади, коли дія од нієї з цих сил залишається непоміченою.

99

9.На столі лежить книга. Які сили діють на неї? Чи врівноважують вони одна одну? Чи мають вони однакову фізичну природу? Чи пов’язані ці сили третім законом Ньютона?

10. Мати говорить маленькому синові: «Не тягни собаку за хвіст!» А син відповідає матері: «Я не тягну, а лише тримаю. Він сам тягне!» Хто має рацію з точки зору третього закону Ньютона: мати чи син?

11. Чому на льоду важко розганятися?

Другийрівень12. Більярдна куля, рухаючись, стикається з такою ж кулею, що пере-

буває у стані спокою. Прискорення якої кулі під час удару більше? 13. Доведіть, що вага тіла, яке перебуває у стані спокою, дорівнює силі

тяжіння. 14. Чи завжди вага тіла дорівнює силі тяжіння? 15. Чому якісна дорога має бути з твердим покриттям? 16. Що таке невагомість? За якої умови тіло перебуває у невагомості? 17. Кінь зрушує з місця візок. Згідно з третім законом Ньютона кінь і ві-

зок діють один на одного з однаковими за модулем і протилежно напрямленими силами. Чому ж тоді кінь з візком рухаються з при-скоренням, напрямленим уперед?

18. Два хлоп’ячі гурти змагаються в перетягуванні каната, і один гурт перемагає. Поясніть, як у цьому змаганні може бути переможець, якщо згідно з третім законом Ньютона обидва гурти тягнуть канат з однаковими за модулем силами. Вважайте, що масою каната можна нехтувати.

19. Складіть задачу за темою «Третій закон Ньютона», відповіддю якої було б «Сила натягу троса дорівнює 200 Н».

Рівень стандартуdata.gymnasia.com.ua/files/10_klass/physics10_standart.pdf ·...

Documents