ДОВІДНИК-ПІДРУЧНИК ПО МАТЕМАТИЦІ

Л. Ф. МАРАХОВСЬКИЙ

ГАРМОНІЯ УСНОГО

РАХУНКУ

для дошкільників

і школярів

Київ - 2013

2

УДК 51(035)

ББК 22.1я2

Рецензенти:

Шлепаков Л. Н. – кандидат физ.-мат. наук, старший співробітник відділу обчислювальної математики інституту математики НАН України.

Валєєв К. Г. – завідувач кафедри вищої математики доктор фіз.-мат. наук, професор ФІСІТ Київського національного економічного університе-ту

Безверхий О. І. доктор фіз.-мат. наук, професор кафедри математи-

ки та інформаційних технологій Київського університету туризму, еконо-міки і права

Мараховський Л.Ф. Довідник-підручник із математики. Гармонія усного рахунку для

дошкільників і школярів. – 2-е вид., доп. – К.: КУТЕП, 2013. – 448 с. Технічний прогрес відучив багато з нас проводити елементарні арифметичні дії

в думці. А в повсякденному житті це треба уміти робити. Ця книга як методичний ма-теріал для батьків, які хочуть швидко і якісно навчити дошкільника оволодіти навика-ми рахунку до 100.

У цій книзі Ви познайомитеся з прийомами усного рахунку і зможете вирішува-ти найскладніші математичні завдання без допомоги калькулятора. Книга починається з розділу для дошкільників з 5 до 6 років, яким важко розібратися в рахунку до 100, і кінчається розділом для старшокласників та першокурсників, що вивчають основи ін-форматики (операції елементарної математики в комп'ютерах).

Книга розрахована на всіх. Вона містить довідковий матеріал по елементарній математиці рахунку, методам вимірювання, а також елементарні відомості по матема-тиці «золотого» перетину.

В кінці книги даний покажчик діячів науки в області математики, який познайо-мить юних людей з історією математики і його великими архітекторами.

Книга буде корисна дошкільникам, школярам, студентам молодших курсів, вчи-телям середньої школи і викладачам ВУЗів, а також всім, хто цікавиться гармонією швидкого рахунку і основами «золотого» перетину.

ББК 22.1я2

© Мараховський Л. Ф., © КУТЕП, 2013

3

ЗМІСТ

Список скорочень…………………………………………...…………..9

ВСТУП ....................................................................................................10 ВВЕДЕННЯ.............................................................................................15 I. ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА РАХУНКУ РОЗДІЛ 1..................................................................................................19 РАХУНОК, ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ.......................................19 1.1. Методика підготовки дошкільників............................................19 1.2. Усний рахунок від 1 до 10..............................................................22 1.3. Усний рахунок від 11 до 20............................................................24 1.4. Усний рахунок десятками від 10 до 100.......................................26 1.5. Розкладання чисел від 2 до 9..........................................................28 1.6. Розкладання чисел 10 і чисел від 11 до 20 на число 10 і цифри .....................................................................................................29 1.7. Віднімання чисел від 10 і порівняння чисел.................................30 1.8. Додавання чисел до 20 ...................................................................33 1.9. Додавання чисел з перенесенням..................................................34 1.10. Віднімання чисел ..........................................................................36 1.11. Способи додавання і віднімання в межах 100 (з переходом через десяток)..........................................................................................40 Висновки .................................................................................................46 1.12. Завдання на додавання для 1-го класу........................................46 Висновки .................................................................................................49 РОЗДІЛ 2. ................................................................................................51 МНОЖЕННЯ І ДРОБИ...........................................................................51 2.1. Множення в думці.........................................................................51 2.2. Таблиця множення........................................................................53 2.3. Множення на однозначне число..................................................57 2.4. Множення стовпчиком.................................................................58 2.5. Скорочені способи усного множення...........................................61 2.6. Множення круглих чисел................................................................64 2.7. Послідовне порозрядне множення.................................................64 2.8. Множення за допомогою розкладання одного із співмножників на декілька множників...........................................................................65 2.9. Множення двозначних чисел на число «11».................................65 2.10. Множення тризначних чисел на число «11»...............................66 2.11. Множення за допомогою зміни співмножників..........................68 2.12. Множення двозначних чисел, що не перевищують число 20....68 2.13. Множення однакових двозначних чисел, які закінчуються

4

на 5...........................................................................................................69 2.14. Використання алгебраїчних формул скороченого множення для. усного рахунку.........................................................................................69 2.15. Множення двозначних чисел з однаковим числом десятків за умови, що сума цифр одиниць рівне 10..........................................72 2.16. Множення двозначних чисел з однаковим числом одиниць за умови, що сума цифр десятків рівна 10................................................73 2.17. Японський спосіб множення ……………………………………73 2.18. Спосіб множення – заміна співмножника звичайним дробом..77 2.18. Представлення періодичних дробів у звичайні дроби...............79 2.19. Квадрати чисел від 11 до 20..........................................................80 2.20. Множення тризначних чисел........................................................80 2.21. Завдання на множення...................................................................84 Висновки .................................................................................................87 РОЗДІЛ 3..................................................................................................88 ДІЛЕННЯ.................................................................................................88 3.1. Ділення в думці................................................................................88 3.2. Ділення в стовпчик..........................................................................90 3.3. Округлення.......................................................................................91 3.4. Ознаки подільності числа на цифру без залишку........................94 3.5. Завдання на ділення.........................................................................96 Висновки ...............................................................................................100 РОЗДІЛ 4................................................................................................102 ВИКОРИСТАННЯ АРИФМЕТИЧНИХ ОПЕРАЦІЙ У КОМП'ЮТЕ-РАХ…………………………………...………………………………..102 4.1. Системи числення..........................................................................102 4.2. Системи числення, які використовуються в ПК..………….....104 4.3. Переклад чисел з однієї системи в іншу.....................................104 4.4. Арифметичні операції у формальному вигляді..........................107 4.5. Арифметичні операції в різних системах числення...................109 Висновки ..............................................................................................115 РОЗДІЛ 5................................................................................................116 АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ З ДРОБАМИ........................................116 5.1. Десяткові дроби і їх властивості...................................................116 5.2. Множення десяткових дробів.......................................................117 5.3. Ділення десяткових дробів на ціле число.………………...........121 5.4. Ділення десяткових дробів на десятковий дріб..........................122 5.5. Прості і складені числа..................................................................122 5.6. Розкладання на прості множники.................................................125 5.7. Найбільший спільний дільник......................................................126 5.8. Найменше спільне кратне.............................................................128 5.9. Звичайні дроби...............................................................................129 5.10. Скорочення і «розширення» дробу............................................130

5

5.11. Порівняння дробів і приведення їх до спільного знаменника 131 5.12. Перетворення звичайних дробів в десяткові дроби і навпаки.134 5.13. Скорочення звичайних дробів.…………………………. .........137 5.14. Додавання дробів.........................................................................138 5.15. Віднімання дробів........................................................................141 5.16. Множення дробів.........................................................................144 5.17. Ділення дробів..............................................................................146 5.18. Дії з нулем.....................................................................................147 5.19. Приклади з дробами.....................................................................148 5.20. Завдання на дроби........................................................................150 Висновки ...............................................................................................153 II. НАБЛИЖЕНІ ВИМІРЮВАННЯ РОЗДІЛ 6................................................................................................154 ВІДСОТКИ І НАБЛИЖЕНІ ВИМІРЮВАННЯ.................................154 6.1. Звичайні дроби, десяткові дроби і відсотки...............................154 6.2. Основні завдання на відсотки....................................................155 6.3. Швидкі обчислення на відсотки................................................160 6.4. Про наближені обчислення........................................................161 6.5. Абсолютна і відносна похибки....................................................165 6.6. Відсотковий розподіл...................................................................169 6.7. Швидке множення не круглих чисел на цифру.........................172 6.8. Попереднє округлення при додаванні і відніманні……….....174 6.9. Арифметичні операції з від’ємними числами..........................177 6.10. Похибки суми і різниці................................................................179 6.11. Похибка при множенні................................................................182 6.12 Підрахунок точних знаків при множенні..................................184 6.13. Скорочене множення..................................................................187 6.14. Ділення наближених чисел........................................................189 6.15. Скорочене ділення......................................................................191 Висновки ...............................................................................................193 III. АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ РОЗДІЛ 7................................................................................................194 РІВНЯННЯ…………………..……………………..............................194 7.1. Поняття про розв’язування рівнянь...........................................194 7.2. Правила дій з раціональними числами.....................................196 7.3. Додавання і віднімання з невідомим.........................................199 7.4. Множення і ділення....................................................................200 7.5. Дії з одночленами; додавання і віднімання многочленів........200 7.6. Множення сум і многочленів.....................................................204

6

7.7. Формули скороченого множення многочленів........................205 7.8. Ділення многочлена на одночлен або многочлен....................209 7.9. Визначення залишку при діленні многочлена на двочлен

першого степеня………..............................................................210 7.10. Подільність двочлена хm± am на х ± а........................................211 7.11. Показники степеня......................................................................213 7.12. Наближені обчислення квадратного кореня.............................215 7.13. Дії з коренями………….…………………………………….…217 7.14. Ірраціональні числа.....................................................................220 7.15. Розв’язування рівнянь.................................................................222 7.16. Розв’язування квадратного рівняння.........................................226 Висновки ...............................................................................................229 РОЗДІЛ 8................................................................................................230 ВІДНОШЕННЯ, ПРОПОРЦІЇ І НЕРІВНОСТІ...................................230 8.1. Відношення..................................................................................230 8.2. Пропорції.....................................................................................231 8.3. Нерівності....................................................................................232 8.4. Основні властивості нерівностей...............................................234 8.5. Деякі важливі нерівності............................................................236 8.6. Арифметична прогресія..............................................................241 8.7. Геометрична прогресія...............................................................243 8.8. Логарифми...................................................................................245 8.9. Натуральні і десяткові логарифми.............................................247 8.10. Комбінаторика.............................................................................249 8.11. Біном Ньютона............................................................................252 Висновки ...............................................................................................255 РОЗДІЛ 9................................................................................................256 ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ.....................................................................256 9.1. Площі прямокутників.................................................................256 9.2. Як використовувати площу в розрахунках...............................258 9.3. Периметр прямокутника.............................................................259 9.4. Площа і периметр трикутника...................................................260 9.5. Довжина кола...............................................................................263 9.6. Площа круга.................................................................................265 9.7. Визначення сторін багатокутників по колу…………………..265 9.8. Об'єми призми.............................................................................265 9.9. Об'єм паралелепіпеда..................................................................268 9.10. Об'єми піраміди...........................................................................270 Висновки ...............................................................................................273 IV. ФІЗИЧНІ ВЕЛИЧИНИ РОЗДІЛ 10..............................................................................................275

7

ШВИДКІСТЬ, ЧАС, ВІДСТАНЬ І ВЕЛИКІ ЧИСЛА........................275 10.1. Терміни..........................................................................................275 10.2. Визначення відстані.....................................................................276 10.3. Визначення швидкості.................................................................278 10.4. Визначення часу...........................................................................279 10.5. Великі числа.................................................................................280 10.6. Як читати тисячі і мільйони........................................................281 10.7. Як читати мільярди і трильйони.................................................283 10.8. Як читати квадрильйони і квінтильйони..................................283 10.9. Додавання і віднімання великих чисел......................................284 10.10. Множення великих чисел..........................................................285 10.11. Частка (ділення) великих чисел................................................287 Висновки ...............................................................................................288 РОЗДІЛ 11..............................................................................................289 ПРИКЛАДИ І ЗАВДАННЯ..................................................................289 11.1. Приклади на повторення............................................................289 11.2. Завдання на повторення геометрії.............................................293 11.3. Завдання на «доповнення» умови..............................................294 11.4. Завдання на використання формул............................................298 11.5. Деякі поняття статистики...........................................................300 11.6. Ціни зі знижками.........................................................................303 11.7. Прибуток......................................................................................305 11.8. Ринок нерухомості......................................................................308 Висновки ...............................................................................................309

V. «ЗОЛОТИЙ» ПЕРЕТИН

РОЗДІЛ 12..............................................................................................311 МАТЕМАТИКА ГАРМОНІЇ................................................................311 12.1 Золотій перетин...........................................................................311 12.2 Зв'язок Золотого перетину з сакральною геометрією……..…313 12.3 Числа Фідія і Золотій перетин...................................................317 12.4 Золота пропорція навколо нас....................................................321 12.5 Властивості Золотої пропорції ..................................................329 12.6 Золота геометрична прогресія...................................................330 12.7 Представлення золотої пропорції в радикалах.........................331 12.8 Представлення золотої пропорції у вигляді ланцюгового

дробу……………………………………...……………………..…..332 12.9 Рівняння золотої пропорції 3-го степеня..................................333 12.10 Рівняння золотої пропорції n-го степеня..................................334 Висновки ...............................................................................................336 РОЗДІЛ 13..............................................................................................337 ЗОЛОТІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ......................................................337

8

13.1. Золотий прямокутник і його властивості..................................337 13.2. Золотий рівнобедрений трикутник.............................................339 13.3. Золотий прямокутний трикутник...............................................340 13.4. Золотий еліпс................................................................................343 13.5. Золота чаша...................................................................................347 13.6. Числа Фібоначчі...........................................................................348 13.7. Суми послідовних чисел Фібоначчі..........................................350 13.8. Суми квадратів послідовних чисел Фібоначчі.........................351 13.9. Зв'язок чисел Фібоначчі із Золотою пропорцією.....................352 13.10.«Залізна таблиця» Штейнхауза..................................................354 13.11. Досконалі числа.........................................................................356 13.12. Числа Люка................................................................................357 13.13. Розширені чисел Фібоначчі і Люка.........................................358 Висновки ...............................................................................................359 РОЗДІЛ 14..............................................................................................360 ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ.....................................................360 14.1. Уявлення стародавніх про створення Всесвіту........................360 14.2. Продовження створення Всесвіту або квітки Життя…….......362 14.3. Правильні багатокутники і багатогранники.............................366 14.4. Сакральна геометрія і Платонови тіла. Куб Метатрона..........369 14.5. Числові характеристики Платонових тіл..................................371 14.6. Золота пропорція в додекаедрі і ікосаедрі................................372 14.7. Сніжинки і Архімедові тіла........................................................375 Висновки ...............................................................................................379 РОЗДІЛ 15..............................................................................................380 АРХИМЕДОВА СПІРАЛЬ...................................................................380 15.1. Співвідношення Місяця і Землі…..............................................380 15.2. Зачаття життя і його геометрія...................................................382 15.3. Спіраль і ряд Фібоначчі...............................................................389 Висновки ...............................................................................................394 ВИСНОВОК...........................................................................................395 Покажчик діячів науки в області математики…................................397

9

Список скорочень

q – основа позиційній системи числення; εі – вага і-го розряду в позиційній системи числення;

А(q) max – максимальне число в q-ій системі числення;

А(q) mіn – мінімальне число в q-ій системі числення;

НСД – найбільший спільний дільник;

НСК – найменше спільне кратне;

IQ – коефіцієнт інтелекту;

Δ – гранична абсолютна похибка;

δ – гранична відносна похибка;

π – відношення довжини кола до її діаметру;

e – експонента (константа математики);

ln x – натуральний логарифм;

lg x – десятковий логарифм;

lg е –модуль десяткового логарифма;

Рn – число всіх різних перестановок з n елементів; mnA – кількість всіляких розміщень із n по m.

mnС – властивість сполучень:

Ф – золота пропорція;

Fn – числа Фібоначчі;

Ln – числа Люка.

10

ВСТУП

Книга присвячується

світлій пам'яті

вчителеві математики Якову Герасимовичу

Несторовичу

від вдячного учня

У шкільні роки я був учнем в досить престижній школі міста Києва –

147 середньої школи імені Олександра Миколайовича Радищева. Матема-

тику нам викладав Яків Герасимович Несторович, а фізику – Георгій Лу-

цианович Будераський. Обидва вони були у віці (за 50 років), але свого ча-

су отримали підготовку в університетах Росії і Німеччини. Пройшло більш

за півстоліття, як закінчена школа, а до цих пір наші випускники з повагою

і подякою згадуємо цих чудових людей і педагогів, коли збираємося з од-

нокласниками з приводу закінчення школи. Згадуємо їх крилаті вирази і

наругу нас за неробства і витівки. «Ви для чого приходите до школи, тіль-

ки сніданки переварювати!» – сердито говорив Яків Герасимович.

У Якова Герасимовича був один педагогічний прийом, який мені за-

пам'ятався на все життя. Це давати розв’язувати приклади і завдання на

швидкість. Хто перший давав вірний результат – отримував п'ятірку. У ме-

не завжди були п'ятірки і тому мене підключали до слабких учнів по мате-

матиці, щоб я допоміг їм освоїти ази. У зв'язку з цим у мене теж виникли

свої підходи, які допомагали надалі моїм учням розв’язувати завдання на

чотири і п'ять. Це стало моїм своєрідним хобі – вишукувати математичні

прийоми, які б прискорювали вирішення завдань.

Треба сказати, що не тільки мене хвилювала думка, що з приходом

калькуляторів, які, до речі, я розробляв в кінці 60-х років ХХ сторіччя,

прості прийоми швидкого рахунку просто проходять мимо людей, що ви-

11

вчають основи рахунку. Стів Славін в книзі «Як швидко навчитися рахува-

ти» писав, що звичка користуватися калькулятором згубно впливає на ваші

математичні навички, які з часом зникають.

Допомагаючи розібратися в гармонії лічби про себе без калькулято-

ра, я зрозумів просту річ: по-перше, інформація запам'ятовується на 6-й –

10-й раз; по-друге, при допущеній помилці, повертайтеся назад до попере-

днього матеріалу, щоб зрозуміти, як отримати правильну відповідь. Деякий

матеріал необхідно вивчити напам'ять, як вірш, а в більшості випадків –

необхідно включати логічне і абстрактне мислення (якщо знаєш, що це та-

ке). Математичне мислення з'являється поступово і зазвичай цей період

настройки мислення відповідає не менш 18 місяцям. Тому поспішати не

треба, але треба успішно досягти кінця книги, вирішуючи всі завдання в

думці або на папері.

Уміння в оволодінні основ математичного рахунку полягає в тому,

щоб поступово рухатися вперед саме у вашому, відповідному вам темпі.

Хоча запропонований темп рекомендується для освоєння з потижневою

швидкістю, але це не догма, а керівництво до дії. Матеріали розділів до-

зволяють вам рухатися при вивченні з такою швидкістю, щоб розуміти ма-

теріал і не втомлюватися. Поспішаєте поволі, але ґрунтовно. Якщо ви,

проходячи новий матеріал, забули із старого матеріалу щось, не гріх його

повторити. Повторення – мати навчання!

Перша частина «Елементарна математика рахунку» складається з

п'яти розділів.

Перший розділ стосується рахунку від 1 до 100, додавання, відні-

мання і розрахований на дітей 5-7 років, що освоюють матеріал десятково-

го рахунку під керівництвом старших (краще батьків).

Другий розділ стосується множення і розрахований на учнів другого

і третього класу, що освоюють матеріал самостійно або в школі. У цьому

розділі велика увага приділяється скороченим способам усного множення.

12

Третій розділ стосується ділення і розрахований на учнів другого і

третього класу, що освоюють матеріал самостійно або в школі під керівни-

цтвом вчителя. У цьому розділі треба звернути увагу на ознаки подільнос-

ті, щоб їх освоїти.

У четвертому розділі старшокласник або студент першого курсу, які

вивчають основи інформатики зможуть познайомитися з основами пере-

творення чисел з однієї форми в іншу і з арифметичними операціями, які

виконуються в комп'ютері в різних системах числення.

У п'ятому розділі Ви познайомитеся з арифметичними операціями

над десятковими і звичайними дробами. Розглянете приклади і розв’яжете

завдання на закріплення матеріалу.

Друга частина книги «Наближені вимірювання» складається з одного

шостого розділу, в якому вивчаються дії з відсотками, дії з від’ємними чи-

слами, похибки при вимірюваннях і скорочені способи множення і ділення.

Третя частина книги «Алгебра і геометрія» складається з трьох роз-

ділів сьомого, восьмого і дев'ятого.

У сьомому розділі приводяться методи розв’язування лінійних і ква-

дратних рівнянь; дії з одночленами і многочленами; раціональні і ірраціо-

нальні числа.

У восьмому розділі вивчаються властивості відношень, пропорцій і

нерівностей; арифметичні і геометричні прогресії; логарифми, комбінато-

рика і біном Ньютона.

У дев'ятому розділі вивчаються площі, периметри прямокутників,

трикутників, круга, а також об'єми призм, паралелепіпедів і пірамід.

Четверта частина «Фізичні величини» складається з десятого і оди-

надцятого розділів.

У десятому розділі вводяться основні поняття про швидкість, про

час, про відстань, розглядаються поняття про великі числа і арифметичні

дії з ними.

13

У одинадцятому розділі приведені завдання на повторення пройде-

ного матеріалу, а також деякі економічні поняття про статистику даних,

знижки, прибуток.

П'ята частина «Золотий» перетин складається з чотирьох розділів

дванадцятого, тринадцятого, чотирнадцятого і п'ятнадцятого, в яких для

допитливих і здатних людей розкривається світ Гармонії, втілений в мате-

матичних формулах і геометричних побудовах, світ Золотого перетину,

втілений в архітектурі пірамід, в живопису знаменитих художників.

Ці чотири розділи знайомлять допитливих учнів старших класів і

студентів з новим розділом в області математики. Це основи співвідно-

шення, незалежного «золотого перетину», використовуючи яке скульптори

зображають людське тіло, художники малюють картини, будівельники ви-

користовують його при побудові пірамід і будівель, а в природі воно зу-

стрічається всюди: і в раковині равлика, і в будові людини, в рослинах і

навіть у навколишньому світі.

Вивчайте уважно книгу і вас більше ніхто не назве не досвідченою

математично людиною і нецікавою. Багато життєвих розрахунків ви роби-

тимете швидше за калькулятор і ліквідуєте від нього залежність. Своїми

знаннями ви зможете уразити своїх знайомих. Головне, ви перестанете бо-

ятися чисел. Вам відкриються нові горизонти.

Книга ця викликана тим, що студенти першого курсу (на жаль, у

всьому світі!) не можуть обчислити прості приклади без допомоги кальку-

лятора. Складання 14 + 17 для них в думці скрутно. Щоб якось себе випра-

вдати, вони заявляють: «Математика мені дається дуже важко!» або «Ми

гуманітарії!» – не замислюючись над тим, що знання елементарної матема-

тики обов'язкове для всіх грамотних людей так само, як писати, читати або

працювати на комп'ютері.

Автор сподівається, що матеріал викладений доступною мовою, ба-

жає всім задоволення і успіхів при освоєнні основ математики, а також

14

звертається до всіх присилати зауваження по книзі, поради, а також цікаві

матеріали з Гармонії усного рахунку.

15

ВВЕДЕННЯ

На етапі зародження математики її розвиток стимулювався трьома

«ключовими» проблемами – рахунку, вимірювання і гармонії. Перші дві

проблеми привели до обґрунтування двох фундаментальних математич-

них понять – натуральних і ірраціональних чисел, які і були покладені в

основу «класичної математики». «Проблема гармонії», пов'язана з «золо-

тим» перетином, лежить в основі «Математики Гармонії», альтернативного

напряму в розвитку математичної науки.

Згідно вислову академіка А.Н. Колмогорова математика - це «наука

про кількісні відносини і просторові форми дійсного світу».

Колмогоров відзначає, що «ясне розуміння самостійного положення

математики як особливої науки, що має власний предмет і метод, стало

можливим тільки після накопичення достатньо великого фактичного ма-

теріалу і виникло вперше в Стародавній Греції в VI-V вв. до н. е.».

Колмогоров виділяє наступні етапи в розвитку математики:

(1) Період зародження математики, передуючий грецькій мате-

матиці.

(2) Період елементарної математики. Початок цього періоду

Колмогоров відносить до VI-V вв. до н. е., а його завершення до XVII в.

н.е. Запас знань, які мала математика до початку XVII в. складає і до тепе-

рішнього часу основу «елементарної математики», що викладається в по-

чатковій і середній школі.

(3) Період математики змінних величин, який можна умовно

назвати періодом «вищої математики». Цей період починається з вжи-

вання змінних величин в аналітичній геометрії Р. Декарта і створення ди-

ференціального і інтегрального числення.

(4) Період сучасної математики. Початком цього періоду Колмо-

горов вважає створення Н. І. Лобачевським так званої «уявної геометрії»,

16

яка поклала початок розширенню круга кількісних відносин і просторових

форм, що вивчаються математикою. Розвиток подібного роду досліджень

вніс до будови математики такі важливі нові риси, що математику XIX і

XX століть природно віднесли до особливого періоду сучасної математи-

ки.

Обговорюючи причини виникнення математики, Колмогоров виділяє

дві практичні проблеми, які стимулювали розвиток математики на етапі її

зародження, рахунок і вимірювання. Ці «ключові» проблеми привели до об-

ґрунтування двох фундаментальних математичних концепцій, натураль-

ного числа і ірраціонального числа, і до створення двох фундаментальних

математичних теорій, теорії чисел і теорії вимірювання, які лежать в

основі «класичної математики».

Проте, в античній науці існувала ще одна фундаментальна проблема,

яка впливала на розвиток античної науки і математики. Мова йде про про-

блеми гармонії, пов'язаної із золотим перетином. На жаль, ця проблема

всіляко ігнорувалася «матеріалістичною» наукою і «класичною математи-

кою». Проте, починаючи з «Початків» Евкліда, цей напрям успішно розви-

вався як в епоху Відродження, так і в подальші періоди, зокрема, в XIX-у і

XX-у століттях. Це доводиться достатньо вразливим переліком книг з про-

блеми «золотого» перетину, чисел Фібоначчі і суміжним питанням. Необ-

хідно нагадати, що це науковий напрям розвивався протягом більш ніж

двох тисячоліть видатними мислителями і математиками: Піфагором, Пла-

тоном, Евклідом, Фібоначчі, Леонардо да Вінчі, Лукою Пачолі, Іоганом

Кеплером, Цейзінгом, Люка, Біне, Феліксом Клейном, а в XX-у і XXI-у

столітті такими видатними дослідниками як Грімм, Гику, Мартіном Гард-

нером, Миколою Воробйовим, Коксетером, Вернером Хоггаттом, Аланом

Тьюрінгом, Джорджем Полья, Алфредом Реньі, Стефангом Вайдой, Едуа-

рдом Сороко, Яном Гржездельським, Олегом Боднаром, Миколою Васю-

тінським, Віктором Коробко, Йосипом Шевельовим, Сергієм Петуховим,

17

Роджером Герцфішлером, Джєєм Капрафом, Мідхатом Газале, Вєрою

Шпінадель, Дунлапом, Скоттом Олсеном, Мохаммедом Ялина Нашие,

Олексієм Стаховим і багатьма іншими.

Рис. 1. «Ключових» проблем античної математики

і нові напрями в математиці.

Таким чином, ми повинні включити «проблему гармонії» в перелік

«ключових» проблем математики, як затверджує історія розвитку матема-

тики і численні статті і книги по «золотому» перетину.

Проблема рахунку problem

Проблема вимірювання

Проблема гармонії

Позиційний принцип уяв-лення чисел

Несумірні відрі-зки

Ділення у край-ньому та серед-

ньому відно-шенні

Теорія чисел та натуральні чис-

ла

Теорія вимірюван-ня

і ірраціональні чис-ла

Теорія чисел Фі-боначчі і золото-

го перетину

«Ключові» проблеми античної математики

Класична математика

Теоретична фізика Інформатика

Математика Гармонії «Золота» теоретична фі-

зика «Золота» інформатика

18

Це введення розкриває суть даного довідника по елементарній мате-

матиці, яка допоможе вам скласти представлення основ трьох напрямів ма-

тематики, необхідних для гармонії усного рахунку.

19

I. ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА РАХУНКУ

РОЗДІЛ 1.

РАХУНОК, ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ

1.1. Методика підготовки дошкільників

Не кожній дитині у віці до 7 років вдається легко запам'ятати раху-

нок від 1 до 100 і навпаки, а також додавання, віднімання і порівняння де-

сяткових цифр.

Це пов'язано з тим, що матеріал підручника загалом орієнтований не

на дитину, а на вчителя, який сам розподіляє матеріал своєї (йому відомої)

методики. Матеріал математичного рахунку не враховує рівень пам'яті ди-

тини і його можливостей. Ця проблема при швидкому або повільному тем-

пі вивчення матеріалу, ускладнює вивчення і запам'ятовування.

Якось до мене звернулася одна знайома пані з тим, що її дівчинка за-

кінчує дитячий сад, але відстає по математиці.

– Леонід Федорович, позаймайтеся з Ірочкою, а то її не візьмуть в

перший клас, – звернулася до мене знайома.

Треба сказати, що мене це прохання збентежило, і я висловив сумні-

ви, що зможу допомогти.

– Адже Ви знаєте, скільки терпіння треба, щоб зосередити увагу ди-

тини – відповів я своїй знайомій.

– Ось вам це зрозуміло, а мені ні. Допоможіть!

– Добре! – погодився я, – але тільки у Вашій присутності.

Так ми і домовилися. Кожний тиждень я займався з Ірочкою і зада-

вав завдання на тиждень. Завдання було в тому, щоб дитина вранці і уве-

чері читала пройдений матеріал. Таким чином, був відпрацьований матері-

20

ал, який Ірочка встигала вивчати матеріал щотижня. Курс занять закінчив-

ся через 6 тижнів. Іра в садку стала однією з кращих учениць і успішно

склала іспит в перший клас.

На цю тему мною була підготовлена невелика публікація, по якій

вчилися всі діти моїх знайомих і мої внуки. Результати ця методика давала

хороші, якщо врахувати, що з дітьми займалися мами і тата, які не мали

педагогічної освіти.

Друга рекомендація для людей, які бажають поставити у своєї дити-

ни математичне мислення, – це навчити дитину грати в шашки, а ще краще

віддати її в шахово-шашковий клуб, де б вона навчилася грати із задово-

ленням. Виявляється, що логічне мислення гри в шашки аналогічно логіч-

ному мисленню вирішення завдань в думці.

Другий випадок підготовки 6-річної дитини відбувся з моєю внуч-

кою, Ганною. Її батьки з Білорусії прислали мені внучку на канікули і з

«підколупуванням» запропонували підготувати внучку «професора» до

першого класу. При цьому вони прислали разом з нею рекомендовану вчи-

телями книгу, що має не менше 500 сторінок тексту із завданнями. Для

прикладу повідомлю одне із завдань цього підручника.

Завдання. На огорожі сиділо п'ять пташок. Дві з них відлетіли. На

огорожу стрибнув кіт Васька. Скільки пташок залишилося на огорожі?

Я виробив свою методику роботи з внучкою, яка хотіла грати з дів-

чатками у дворі, відпочивати, а не займатися. Треба сказати, що я добре

розумів, що для засвоєння кожного предмету необхідний настрій і бажання

дитини. Так, наприклад, академік Пісаржевський, який в 20-х роках ХХ

століття на прохання мого діда готував по своїх лекціях мого отця для над-

ходження в робітфак, в перерві між заняттями займався з ним плаванням

на човні, розмовляли про різні країни світу, де він побував. Мікеланджело,

Леонардо да Вінчі і багато інші великі художники завжди прагнули при

роботі з натурою створити сприятливі умови для того, хто позує. Для цього

21

запрошували музикантів, сервірували стіл, запрошували приємних співбе-

сідників.

Виявляється, що дуже важливо створювати ГАРМОНІЮ у людини,

яка хоче щось пізнати. Насильно навчання не йде!

З Ганною ми зробили такий порядок дня:

Вчилися писати прописом: спочатку палички, потім букви, а

надалі написали на сторінку лист батькам, які не повірили, що дівчинка

написала його сама.

Вчилися математиці рахунку усно і письмово: спочатку раху-

нку від 1 до 10 і назад, потім від 1 до 20 і назад, далі десятками до сотні і

назад; лише потім складанню чисел до 10, потім до 20, порівнянню чисел.

Акордом наших занять з'явилося складання і віднімання тризначних чисел

в стовпчик.

Вчилися грі в шашки: де я показував їй прийоми гри.

Вчилися малюванню: розфарбовування картинок.

Цим ми з нею займалися не більше трьох годин разом з сніданком і

перервами (з 9 до 12 годин). Потім йшли на пляж і вчилися плавати. Уве-

чері після 17 годин вона виходила в двір і гралася з дівчатками.

У серпні дружина відвезла нашу внучку до батьків в Гродно. Оскіль-

ки батьки були на роботі, то бабуся пішла влаштовувати внучку в перший

клас. У школі їй відразу відмовили:

– У нас математичний клас. Беремо в основному хлопчиків. Прийом

закінчений. Ви звернулися надто пізно!

– Що ж мені робити?! – обурилася бабуся.

– Щоб вам було зрозуміло, ми при Вас її проекзаменуємо.

Я не пам'ятаю всіх питань, але один залишився в пам'яті;

– Ганна, порахуй від 271 назад.

Ганна блискуче відповідала на всі питання п'яти вчителів і завуча.

– Коли ж мені прийти за відповіддю? – запитала бабуся.

22

– Питання вирішене! Вона прийнята в математичний клас.

Таким чином, методика підготовки, яка буде запропонована, пройш-

ла тривалий термін свого випробування.

1.2. Усний рахунок від 1 до 10

Матеріал вправи повинен повторюватися дитиною вранці і увечері

(бажано під наглядом батьків!) шість-десять разів, але не більше 15 хви-

лин.

Особливу увагу необхідно зосередити на рахунку від 10 до 1. Окрім

усного рахунку необхідно набути навичок красиво писати цифри від 0 до

9.

Вправа розрахована на освоєння дитиною на рідній мові за один ти-

ждень.

Рахунок від 1 до 10 і навпаки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1________6________

2________7________

3________8________

4________9________

5________10________

23

24

1.3. Усний рахунок від 11 до 20

Матеріал вправи повинен повторюватися дитиною вранці і увечері

шість-десять разів, але не більше 15 хвилин.

Особливу увагу необхідно зосередити на рахунку від 20 до 11. Після

засвоєння рахунку від 11 до 20 і навпаки, необхідно освоїти рахунок від 1

до 20 і навпаки, тобто повторювати вправу 1 і 2 разом. Окрім цього писати

красиво числа.

Вправа розрахована на освоєння дитиною на рідній мові за один ти-

ждень.

Рахунок від 11 до 20 і навпаки

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

11_______16_______

12_______17_______

13_______18_______

14_______19_______

15_______20_______

25

26

1.4. Усний рахунок десятками від 10 до 100

Матеріал вправи повинен повторюватися дитиною вранці і увечері

шість-десять разів, але не більше 15 хвилин.

Особливу увагу необхідно зосередити на рахунку від 100 до 10. Піс-

ля засвоєння рахунку від 10 до 100 і навпаки, необхідно освоїти рахунок

від 1 до 100 і навпаки, тобто повторювати вправу 1, 2 і 3 разом. Окрім цьо-

го писати красиво числа.

Вправа розрахована на освоєння дитиною на рідній мові за один ти-

ждень.

Рахунок від 10 до 100 і навпаки

10 20 30 40 50

60 70 80 90 100

10_______60_______

20_______70_______

30_______80_______

40_______90_______

50_______100________

27

28

1.5. Розкладання чисел від 2 до 9

Рекомендується освоїти всі варіанти розкладання чисел від 2 до 9 на

суму додатків. Наприклад, 4 = 1 + 3 або 4 = 2 + 2. Необхідно звернути ува-

гу дитини на те, що варіанти 4 = 1 + 3 або 4 = 3 + 1 однакові і їх необхідно

рахувати за один варіант. Цю вправу необхідно засвоїти як додавання чи-

сел для отримання суми. Наприклад, 1 + 3 = 4 або 2 + 2 = 4.

При освоєнні варіантів розкладання чисел рекомендується викорис-

товувати правила гри. Наприклад:

«Хто більше назве варіантів розкладання чисел?»

«Скільки таких варіантів розкладання чисел?»

«Які це варіанти?»

В цілому зрозуміло, що необхідно набути навичок записувати ці ва-

ріанти. Наприклад, скласти або розкласти число 5:

1 + 4 = 5 2 + 3 = 5 або 5 = 1 + 4 5 = 2 + 3

Матеріал вправи повинен повторюватися дитиною вранці і увечері

шість-десять разів, але не більше 15 хвилин. Вправа розрахована для за-

своєння розкладання і складання чисел за один тиждень.

Розкладання чисел на додатки

1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5

1+5=6 1+6=7 1+7=8 1+8=9

2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7

2+6=8 2+7=9

29

3+3=6 3+4=7 3+5=8

3+6=9

4+4=8 4+5=9

1.6. Розкладання чисел 10 і чисел від 11 до 20 на число 10 і

цифри

Рекомендується спочатку освоїти всі варіанти розкладання числа 10

на цифри, а потім розкладання чисел від 11 до 20 на число 10 і цифри.

Як і в попередній вправі, так і в цьому випадку необхідно спочатку

освоїти розкладання (10 = 9 + 1), а потім додавання (1 + 9 = 10) цифр. Не-

обхідно набути досвіду красиво записувати цифри в одну клітинку зошита.

Після освоєння цієї вправи треба (бажано!) повторити попередні вправи.

Займатися треба вранці і увечері не більше 15 хвилин.

Вправа розрахована на один тиждень.

1+9=10 2+8=10 3+7=10 4+6=10

5+5=10 6+4=10 7+3=10 8+2=10

9+1=10

10+1=11 10+2=12 10+3=13

10+4=14

30

10+5=15 10+6=16 10+7=17

10+8=18

10+9=19 10+10=20 При обчисленнях в межах 20 (без переходу через 10) міркують так:

15 + 3. Число 15 розкладаю на суму розрядних доданків 10 і 5. Одиниці

складаємо з одиницями 5 + 3 = 8. Значить, 15 + 3 = 18.

1.7. Віднімання чисел від 10 і порівняння чисел

Рекомендується спочатку освоїти віднімання чисел від 10, а потім

порівняння чисел від 1 до 9.

При освоєнні віднімання чисел від 10 необхідно порівнювати ці ва-

ріанти віднімання з додаванням, в якому розглядалось також додавання

чисел до 10. При освоєнні цієї вправи треба проводити порівняння з роз-

кладанням чисел.

При відніманні чисел в межах 10 міркують так: 7 - 4. Сім складається

з 3 і 4. Якщо відняти 4, то залишиться 3. Значить, 7 – 4 = 3.

Порівняння цифр від 1 до 10 треба починати з тих цифр, які знахо-

дяться при рахунку поряд (наприклад, 1 < 2, 6 > 5). Потім треба освоїти

порівняння різних чисел.

Займатися треба вранці і увечері не більше 15 хвилин.

Вправа розрахована на один тиждень.

10-1=9 10-2=8 10-3=7 10-4=6

10-5=5 10-6=4 10-7=3 10-8=2

31

10-9=1 10-10=0

1<2<3 3<4<5 5<6<7 7<8<9

9<10 10>9

9>8>7 7>6>5 5>4>3 3>2>1 При відніманні від 10 число 6 міркують так. Десять складається з 6 і

4. Якщо відняти 6, то залишиться 4. Означає 10 – 6 = 4. При обчисленнях в

межах 20 (без переходу через 10) міркують так: 15 – 3. Число 15 розкладаю

на суму розрядних доданків 10 і 5. Одиниці віднімаємо з одиниць 5 – 3 =

2. Значить, 15 – 3 = 12.

Розв’язувати дані приклади в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

1+0 2+2 4+6 6+1 7+3 8+1

5+4 7+1 6+3 5+4 6+4 7+2

1+5 7+0 5+3 3+4 2+4 2+6

2+3 3+2 3+3 4+4 5+5 5+2

6+2 8+2 9+1 5+0 10+0 3+4

7-1 6-2 9-3 8-4 10-0 10-5

5-3 6-3 10-3 7-3 4-1 4-3

5-2 5-1 5-4 6-2 6-4 6-6

3-2 4-2 9-5 9-6 9-7 9-8

32

33

1.8. Додавання чисел до 20

Рекомендується для освоєння операції додавання з результатом бі-

льше 10, спочатку число розкласти так, щоб в сумі одна з цифр при дода-

ванні з іншою дорівнювала 10. До 10 додаємо цифру з розкладених цифр,

яку не використали. Наприклад, 7 + 8 = 15. Треба дитині пояснити так:

1. Розкладаємо 7 на 2 і 5 (7 = 2 + 5);

2. Складаємо 8 з 2, щоб отримати 10 (8 + 2 = 10);

3. До 10 додаємо 5 і отримуємо відповідь 15 (10 + 5 = 15).

Вправа розрахована на один тиждень.

1+9=10 2+9=11 3+9=12 4+9=13

5+9=14 6+9=15 7+9=16 8+9=17

9+9=18

2+8=10 3+8=11 4+8=12 5+8=13

6+8=14 7+8=15 8+8=16

3+7=10 4+7=11 5+7=12 6+7=13

7+7=14

4+6=10 5+6=11 6 +6=12

Розв’язувати дані приклади в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

34

1+10 12+2 14+5 6+11 6+13 8+11

15+4 7+11 16+3 5+4 6+4 7+2

8+5 7+8 5+8 3+8 8+4 8+6

9+3 9+2 9+6 9+4 9+5 5+7

6+7 8+7 9+7 9+9 9+8 3+7

17+1 16+2 19+3 16+4 10+9 10+8

15+3 16+3 10+6 7+13 4+11 4+13

5+12 5+11 5+14 16+2 16+4 6+13

13+2 14+2 19+1 8+6 9+7 9+8

У даній таблиці є приклади, в яких використовується перенесення в

старший розряд (клас десятків) при отриманні 10 в класі одиниць. Це дета-

льніше розглядається в наступній вправі.

1.9. Додавання чисел з перенесенням

У 1902 році в Росії при ліквідації неписьменності в селах пояснити

перенесення було досить важко, і тому просто заучували попередню впра-

ву напам'ять і нею користувалися. У наш час в першому класі вже вивча-

ють перенесення при додаванні і відніманні. У цій вправі вивчимо правило

перенесення в числах, коли ми обчислюємо додавання в стовпчик і резуль-

тат додавання двох чисел більше 9.

Для додавання тризначних чисел треба знати назву розрядів.

Розряд сотень Розряд десятків Розряд одиниць

Правило 1:

1) Коли при додаванні двох чисел разом з перенесен-

ням результат не перевищує 9, то результатом є отримана сума

35

у вигляді однієї цифри в даному розряді. При цьому міркують

так: 24 + 5. Число 24 розкладається на суму розрядних доданків

20 і 4. Одиниці складаємо з одиницями: 4 + 5 = 9. Значить ре-

зультат отримано, як: 24 + 5 = 29.

2) Коли при додаванні двох чисел разом з перенесен-

ням результат перевищує 9, то перенесення в старший розряд

стає рівний 1, тобто від результату треба відняти 10, а додатко-

ва цифра до 10 і буде результатом в цьому розряді числа.

Правило 2:

При зміні місцями доданків сума не зміняється

Як приклад додаємо такі двозначні числа:

1 1 1 1 1 1

15 23 15 23 15 13

25 39 76 57 57 88

40 62 91 80 72 101 Стрілками відбито перенесення в старший розряд числа одиниці.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

31+19 12+28 14+56 16+17 26+15 48+18

15+48 47+17 16+37 5+49 6+44 17+24

38+5 27+28 35+38 53+48 38+24 48+46

39+3 39+62 19+76 79+14 29+65 35+47

46+7 38+7 49+7 59+9 69+8 73+7

17+53 16+25 19+31 16+47 50+49 10+30

15+63 16+33 10+67 27+13 24+18 24+19

25+72 35+17 75+15 16+29 16+48 56+17

+ + + + + + + +

36

13+28 14+27 19+19 28+69 29+71 19+88

1.10. Віднімання чисел

У цій вправі вивчимо позику, коли ми віднімаємо в стовпчик з мен-

шої цифри зменшуваного числа більшу цифру числа, що віднімається.

Для віднімання тризначних чисел треба, як і при додаванні, знати на-

зви розрядів.

Розряд сотень Розряд десятків Розряд одиниць

Правило 1:

1) Якщо віднімаємо з рівної або більшої цифри одного роз-

ряду цифру, то результатом є отримана різниця у вигляді однієї

цифри в даному розряді (при цьому заїм із старшого розряду чи-

сла робити не треба). Міркуємо так: 79 - 5. Число 79 розкладаємо

на суму розрядних доданків 70 і 9. Одиниці віднімаємо з оди-

ниць: 9 – 5 = 4. Значить, 79 - 5 = 74.

2) Коли віднімаємо з меншої цифри більшу цифру, то не-

обхідно із старшого розряду відняти одиницю і перенести її в по-

трібний молодший розряд у вигляді 10, скласти її з меншою циф-

рою числа і відняти більшу цифру від'ємника.

Як приклад з більшого числа віднімемо менше число:

10 10 10 10 10 10

43 75 95 82 65 93

25 39 76 57 57 88 - - - - - -

37

18 36 19 25 8 5

Стрілками відбита позика одиниці із старшого розряду зменшувано-

го числа і перенесення її як 10 в молодший розряд для додавання його до

цифри молодшого розряду цього числа. Після цього можна сміливо відні-

мати з більшого значення в збільшеного розряді менше значення цифри

числа, що віднімається.

Правило 2:

Необхідно від більшого числа завжди віднімати менше число і ста-

вити знак більшого числа.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

31-19 42-28 74-56 26-17 26-15 48-18

55-48 47-17 56-37 75-49 36-44 17-24

38-19 27-28 35-38 53-48 38-24 54-46

39-3 39-62 19-76 19-74 29-65 65-47

46-7 38-7 43-7 59-9 67-8 73-7

17-53 31-25 61-39 76-47 50-49 50-30

15-63 16-33 70-67 27-13 24-18 24-19

25-72 35-17 75-15 46-29 96-48 56-17

53-28 84-27 19-19 88-69 91-77 64-28

Дитину треба привчити до уважності. Ще раз пояснити, де старше

число і чому зменшуване число менше за від'ємник. Наприклад, при відні-

манні 19 - 76 цифра старшого числа десятків 7 (число 76) більше цифри

молодшого розряду десятків 1 (число 19). У зв'язку з цим необхідно відні-

мати від - 76 число 19 і результату привласнити знак мінус.

38

Значить, - (76 - 19) = - 57. Нагадаєте дитині, що знак мінус перед ду-

жкою змінює знаки усередині дужок всіх чисел. Це дуже важливо засвоїти

для подальших обчислень.

Найважче дитині розібратися у відніманні, коли в числі використо-

вуються два і більше позик. Для освоєння цього необхідно виконати ряд

прикладів з проясненнями, що можливе перенесення не від сусіднього ста-

ршого розряду, а від більш старшого розряду. В цьому випадку у всі моло-

дші розряди поступає цифра 9 (тому, що ми кожного разу віднімаємо від

10 одиницю для сусіднього молодшого розряду, тобто 10 - 1 = 9), а в

останній молодший розряд поступає число позики 10.

Приведемо ряд прикладів на «крізну» позику:

9 10 9 9 9 10

1 0 0 2 0 0 0 3

1 1 2 7 3 5

9 9 7 2 6 8 При відніманні з круглого двозначного числа однозначного числа,

міркуємо так: 30 - 7. Число 30 розкладаємо на суму зручних доданків 20 і

10. Зручніше відняти 7 від 10, і отриманий результат 3, додати до 20, тобто

30 – 7 = (20 + 10) – 7 = 20 + (10 - 7) = 20 + 3 = 23.

– –

39

40

1.11. Способи додавання і віднімання в межах 100

(з переходом через десяток)

Цей матеріал розрахований для першокласника. На вивчення кожно-

го способу теж можна витратити один тиждень. Щодня йому рекоменду-

ється розв’язувати від 8 до 10 прикладів.

Принцип той же: вранці і увечері по 15 хвилин, але з міркуванням

вголос способу розв’язки. Успіх гарантований!

Додавання

І. СПОСІБ

При додаванні 37 + 5 міркуємо так. Зручніше додавати до круглого

числа (до 40). Число 5 розкладаємо на суму зручних доданків (3+2) так,

щоб 37 доповнити до 40. Потім додаємо останнє.

37+5=37+(3+2)=(37+3)+2=40+2=42.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

38+7 12+9 14+8 6+17 9+13 9+11

16+4 7+17 16+7 35+6 38+4 7+28

58+5 67+8 75+8 23+8 38+4 88+6

19+3 39+2 59+6 79+4 89+5 65+7

56+7 48+7 19+7 29+9 89+8 73+7

17+6 16+7 19+3 16+4 35+9 45+8

15+5 16+5 25+6 27+3 4+19 9+13

9+12 5+18 5+19 16+7 16+6 6+17

13+7 14+6 19+5 58+6 49+7 39+8

41

ІI. СПОСІБ

При додаванні 37 + 5 міркуємо так. Число 37 розкладаю на суму до-

данків 30 і 7. Одиниці складаємо з одиницями. 7 + 5 = 12. Потім додаємо

останнє.

37+5=(30+7)+5= 30+(7+5)= 30+12=42.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

38+7 12+9 14+8 6+17 9+13 9+11

16+4 7+17 16+7 35+6 38+4 7+28

58+5 67+8 75+8 23+8 38+4 88+6

19+3 39+2 59+6 79+4 89+5 65+7

56+7 48+7 19+7 29+9 89+8 73+7

17+6 16+7 19+3 16+4 35+9 45+8

15+5 16+5 25+6 27+3 4+19 9+13

9+12 5+18 5+19 16+7 16+6 6+17

13+7 14+6 19+5 58+6 49+7 39+8

І І I. СПОСІБ

При обчисленні суми двозначних чисел 57 + 15 міркуємо так. Число

15 розкладаємо на суму розрядних доданків 10 і 5. Зручніше додати до 57

спочатку 10, а потім 5.

57+15=57+(10+5)=(57+10)+5= 67+5=72.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

38+17 12+29 14+38 46+17 59+13 69+11

16+74 87+17 16+77 35+46 38+34 57+28

42

58+15 67+28 75+18 23+58 38+24 78+16

19+63 39+22 59+26 79+24 89+15 65+17

56+37 48+37 19+37 29+39 19+18 13+27

17+26 16+37 19+43 16+54 35+59 45+48

15+15 16+25 25+26 27+23 24+19 39+13

39+12 35+18 45+19 16+47 16+46 46+17 ІV. СПОСІБ

При обчисленні суми 57 + 15 міркуємо так: 57 розкладаємо на суму

розрядних доданків 50 і 7. 15 розкладаємо на суму розрядних доданків 10 і

5. Десятки складаємо з десятками, а одиниці з одиницями. Отримані числа

додаємо.

57+15=(50+7)+(10+5)= (50+10)+(7+5)=60+12=72.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

38+17 12+29 14+38 46+17 59+13 69+11

16+74 87+17 16+77 35+46 38+34 57+28

58+15 67+28 75+18 23+58 38+24 78+16

19+63 39+22 59+26 79+24 89+15 65+17

56+37 48+37 19+37 29+39 19+18 13+27

17+26 16+37 19+43 16+54 35+59 45+48

15+15 16+25 25+26 27+23 24+19 39+13

39+12 35+18 45+19 16+47 16+46 46+17

13+57 14+56 19+55 58+16 49+27 39+38

Віднімання

І. СПОСІБ

43

При відніманні чисел 63 - 5 міркуємо так. Зручніше віднімати з круг-

лого числа (з 60). Число 5 розкладаємо на суму зручних доданків так, щоб

63 зменшити до 60. Потім віднімаємо останнє.

63-5=63-(3+2)=(63-3)-2=60-2=58.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

33-17 42-29 44-38 46-17 61-13 60-11

92-74 87-17 36-27 35-36 42-34 57-28

53-15 64-28 75-18 73-58 31-24 72-16

72-63 31-22 51-26 71-24 81-15 61-17

52-37 42-37 75-37 59-39 33-18 43-27

64-26 64-37 52-43 71-54 75-59 75-48

75-15 62-25 65-26 72-23 34-19 32-13

71-12 35-18 46-19 56-47 76-46 76-17

73-57 84-56 89-55 83-16 73-27 41-38

ІI. СПОСІБ

При відніманні від числа 63 число 5 міркуємо так. Число 63 розкла-

даємо на суму зручних доданків 50 і 13. Зручніше від 13 відняти 5. 13 -

5=8. Потім останнє додаємо.

63-5=(50+13)-5=50+(13-5)=50+8=58.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

33-17 42-29 44-38 46-17 61-13 60-11

92-74 87-17 36-27 35-36 42-34 57-28

53-15 64-28 75-18 73-58 31-24 72-16

72-63 31-22 51-26 71-24 81-15 61-17

44

52-37 42-37 75-37 59-39 33-18 43-27

64-26 64-37 52-43 71-54 75-59 75-48

75-15 62-25 65-26 72-23 34-19 32-13

71-12 35-18 46-19 56-47 76-46 76-17

І І I. СПОСІБ

Віднімаємо 83 - 25. Число 25 розкладаємо на суму розрядних додан-

ків 20 і 5. Зручніше відняти від 83 спочатку 20, а потім 5.

83 – 25 = 83 - (20 + 5) = (83 - 20) - 5= 63 – 5 = 58.

Розв’язати приклади наведені в таблиці для закріплення матеріалу:

1 2 3 4 5 6

33-17 42-29 44-38 46-17 61-13 60-11

92-74 87-17 36-27 35-36 42-34 57-28

53-15 64-28 75-18 73-58 31-24 72-16

72-63 31-22 51-26 71-24 81-15 61-17

52-37 42-37 75-37 59-39 33-18 43-27

64-26 64-37 52-43 71-54 75-59 75-48

75-15 62-25 65-26 72-23 34-19 32-13

71-12 35-18 46-19 56-47 76-46 76-17

73-57 84-56 89-55 83-16 73-27 41-38

Примітка.

Знак мінус (після відкриття дужок) змінює знаки чисел усередині

дужок на протилежні (плюс на мінус і мінус на плюс). Знак плюс перед

дужками не впливає на знаки чисел, після відкриття дужок.

45

46

ВИСНОВКИ

Пройдений курс, розрахований на першокласника, по гармонії раху-

нку двоцифрових чисел під керівництвом старшого товариша (батька) до-

зволяє без сильної напруги (вранці і увечері по 15 хвилин занять) успішно

оволодіти цим матеріалом за 1,5 – 2 місяці. Головне в цьому курсі не при-

мушувати дитину, а грати з ним в математику, створювати йому приємну

атмосферу занять. При цьому успіх буде гарантований! Не забувайте грати

з ним в шашки! Це розвиває математичне мислення.

1.12. Завдання на додавання для 1-го класу

Перевір себе і розв’яжи завдання. Треба розуміти, що навчитися гар-

монії рахунку без словесного опису завдання можна, але логіка вирішення

завдань при цьому пропадає. Для навчання логіки вирішення завдань не-

обхідний досвід. Для набуття цього досвіду дитині треба зрозуміти сенс не

тільки вирішення задачі, але і запису розв’язку. У зв'язку з тим, що вимоги

до запису розв’язку задачі в школі весь час змінюються, то можна зверну-

тися за консультацією до вчителя по математики.

Але є одне «золоте» правило: дитина повинна навчитися ставити пи-

тання, на яке він повинен після однієї математичної дії отримати відповідь.

Вперед! І хай Вам супроводить успіх!

1) На огорожі сиділо 7 горобців. Прилетіло ще 3. Скільки стало

горобців?

2) Золотошукачі знайшли 9 шматочків золота, маса якого була рі-

вна 1 грам, 2 грами, 3 грами, 4 грами, 5 грамів, 6 грамів, 7 грам, 8 грам і 9

грам. Скільки всього грамів золота знайшли золотошукачі?

3) У перший день турист пройшов 23 км., в другій – 12 км. Скіль-

ки кілометрів пройшов турист за два дні?

47

4) Дикі гусаки живуть 80 років, а собаки – 20. Орел живе стільки,

скільки собака і гусак разом. Скільки років живе Орел?

5) На дереві сиділо 15 ворон і 7 сорок. Відлетіли всі сороки і сті-

льки ж ворон. Скільки ворон залишилося?

6) На стоянці було декілька машин. Коли 15 виїхало, їх залиши-

лося 23. Скільки машин було на стоянці?

7) Мама дала Ганні на покупку зошитів гроші. Коли Ганна ви-

тратила 16 гривень, у неї залишилося 13 гривень. Скільки гривень дали

Ганні?

8) Вітя прочитав 7 сторінок. Йому залишилося прочитати 9 сторі-

нок. Скільки сторінок в книзі.

9) Туристи пройшли 23 км. Їм залишилося пройти 17 км. Скільки

кілометрів складав шлях туристів?

Відповіді:

1) 7+3=10 (горобців).

2) 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 (грам).

3) 23+12=35 (км.).

4) 80+20=100 (років).

5) (15+7)-(7+7)=22-14=8 (ворон).

6) 15+23=38 (машин).

7) 16+13=29 (гривень).

8) 7+9=16 (сторінок).

9) 23+17=(20+10)+(3+7)=30+10=40 (км.).

Завдання на додавання і віднімання для 1-го класу

1) На дереві 25 груш, а під деревом на 15 груш менше. Скільки

груш під деревом?

2) Слонові в зоологічному парку дають в добу 20 кг картоплі, а

морквини на 15 кг менше. Скільки морквини дають слонові?

48

3) У одному будинку 42 мешканці, а в іншому будинку на 17 ме-

шканців менше. Скільки мешканців в двох будинках?

4) Мама випекла 16 млинчиків з м'ясом, а з капустою на 7 млин-

чиків менше . Скільки всього спекла млинчиків мама?

5) На полиці 22 касети з піснями, а з казками на 8 касет менше.

Скільки всього касет на полиці?

6) На клумбі біля школи виросло 46 червоних троянд, а жовтих на

9 менше. Скільки всього виросло троянд на клумбі?

7) На стоянці було 9 червоних машин, а білих – на 4 менше. Скі-

льки всього машин було на стоянці?

8) У перший день равлик проповз 3 м, в другий день – на 2 метри

більше, а на третій – стільки, скільки вона проповзла два дні разом. Скіль-

ки метрів равлик проповз в третій день?

9) Бджоляр вийняв з одного вулика 3 кг меду, а з другого – на 1 кг

менше, а з третього – на 1 кг менше, ніж з двох вуликів разом. Скільки ме-

ду вийняв бджоляр з трьох вуликів?

Відповіді:

1) 25-15=10 (груш).

2) 20-15=5 (кг).

3) 42+(42-17)=67 (мешканця)

4) 16+(16-7)=25 (млинчиків).

5) 22+(22-8)=36 (касет).

6) 46+(46-9)=83 (троянди).

7) 9+(9-4)=14 (машин).

8) 3+(3+2)=8 (м).

9) 3+(3-1)+5=10 (кг).

Розв’язали? Все правильно? Це чудово! Якщо не розв’язали, то це не

велика біда. У цій неприємності ви не самотні. Більшість людей спіткають

49

невеликі труднощі при розв’язуванні завдань. Педагоги завжди радять:

якщо завдання не розв’язується самостійно, то відклади його, а завтра або

післязавтра відповідь до тебе прийде і тебе відвідає «прозріння». Головне

щодня грати не менше трьох партій в шашки. Якщо батьки не уміють гра-

ти в шашки, хай ради своєї дитини навчаться, познайомляться з літерату-

рою по шашках, а краще дитину віддати в шахово-шашковий клуб і за-

вдання розв’язуватимуться з великим поняттям. Успіхів!

ВИСНОВКИ

Розділ 1 розрахований на початкуючу дитину, що вивчає додавання і

віднімання. За часом він розрахований на 6 тижнів. Але діти бувають різні:

одні засвоюють швидше, а інші повільніше. Не квапите їх! Добивайтеся

повного розуміння і вивчення матеріалу. При цьому успіх буде гарантова-

ний. Не забувайте грати з дитиною в шашки!

50

51

РОЗДІЛ 2.

МНОЖЕННЯ І ДРОБИ

Множення починають вивчати в другому класі. У цьому розділі ми

використовуватимемо не тільки цілі числа, але і дроби, з якими школярі

знайомляться в п'ятому – шостому класі. У зв'язку з цим школярам, які не

знайомі з дробами, множення дробів можна опустити. Після знайомства з

дробовими числами добре було б повернутися до розділу множення для

повторення матеріалу і освоєння множення чисел з дробами. Відкладете

калькулятор подалі і приступайте до тренування пам'яті при множенні в

думці. Успіхів вам!.

2.1. Множення в думці

Метою цього розділу є перевірка знання вами таблиці множення.

Якщо ви її знаєте і можете повторити без помилок, то цей розділ можна

пропустити. Якщо все ж таки ви робите помилки, то вам слід повторити

таблицю множення. В основному цей параграф розрахований для друго-

класників, які тільки починають вивчати таблицю множення і їх батькам,

які хочуть їм допомогти засвоїти цей матеріал на все життя.

Таблицю множення треба добре вивчити і запам'ятати. Автор реко-

мендує, для тих, що вивчають таблицю множення вперше, ті ж методи, які

запропоновані для вивчення рахунку від 1 до 100.

Що таке множення? Множення – це, по суті, багатократне додаван-

ня одних чисел стільки раз, скільки одиниць міститься в іншому числі.

При однозначному числі (однієї цифри), помноженому на інше одно-

значне число (цифру), множення легко замінити додаванням. Проте вже

52

при двозначних і більш розрядних числах множення важко замінити дода-

ванням із-за великого об'єму доданків і тривало витраченого часу.

Розглянемо приклади на множення :

1) 3 треба помножити на 2, на 3 (3×2). При цьому 3 треба скласти

2 рази або 2 скласти між собою 3 рази:

3 + 3 =2 + 2 + 2 = 6

Знаючи таблицю множення, ви відразу знаходите відповідь: 3×2=6.

2) Скільки буде 5×5? Можливо, ви пам'ятаєте, що це 25. А якщо

не пам'ятаєте, то можна записати це у вигляді складання:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 =25

Наочно видно що множення за часом коротше за додавання, а отже

економить час і зусилля людини.

Припустимо, що нам треба помножити двозначні числа стовпчиком:

37

× 25

185

74__

925

Спочатку треба помножити цифри 5×7. Потім 5×3, 2×7 і 2×3. Це за-

ймає менше часу і легко виконати, чим ці числа додавати (37+37+…+37).

25 разів

Саме множення виконується порозрядно. Спочатку множаться циф-

ри класу одиниць, потім класу десятків, потім класу сотень і так далі. При

множенні цифр певних розрядів може виникнути число більше 9 і тоді не-

+

53

обхідно враховувати перенесення в наступний (старший) розряд. Як це

враховуватиметься, ми розглянемо пізніше, вивчаючи таблицю множення.

2.2. Таблиця множення

Таблиця множення в другому класі розглядається в межах від 1×1 до

10×10. Треба відзначити, що вивчення таблиці множення створює деякі

труднощі для запам'ятовування інформації такого об'єму недосвідченому

учневі.

У мене був випадок, коли в школі для «недорозвинених» вчителі ві-

дмовилися від школяра 4-го класу, який не міг по їх розумінню вивчити

таблицю множення, хоча мав добру пам'ять.

– Це йому не дано! Він хворий хлопчик і не в змозі вивчити таблицю

множення!

Його бабуся була дуже засмучена. Її внукові поставили діагноз неус-

пішного учня в цій школі. Всі вчителі відмовилися їй допомогти. Тоді вона

звернулася до мене без всякої надії.

– Леонід Федорович! Допоможіть моєму внукові вивчити таблицю

множення.

Я погодився допомогти і намалював на великому плакаті всю табли-

цю множення.

– Треба повісити цей плакат на стінку, де спить ваш внук, –радив я –

і повторюйте з ним по шість разів вранці і увечері таблицю множення:

спочатку на два, поки він її не вивчить, потім на три і обов'язкове повто-

рення на два.

Як видно рецепт вивчення таблиці множення, даний бабусі, нічим не

відрізнявся від запам'ятовування цифр від 1 до 100, який ми з вами розгля-

нули в першому розділі.

54

Метод виявився таким, що діє. Хвора дитина, що отримала в першій

чверті 2 (від якого відмовилися досвідчені педагоги) по математиці, в дру-

гій і третій чверті внук отримав трійку, а в четвертій чверті – «4». Всі вчи-

телі цієї школи були вражені його успіхом, а найголовніше це заспокоїло

бабусю, яка так бідкалась і піклувалася про хворого внука.

Таким чином, я і вам рекомендую вивчати таблицю множення, не

поспішаючи і по частинах, обов'язково повторюючи пройдений матеріал.

ТАБЛИЦЯ МНОЖЕННЯ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Інший спосіб вивчення таблиці множення з нуля пропонує Стів Сла-

він в книзі «Як навчитися швидко рахувати».

Кожну першу цифру рядка умножаємо на подальші цифри від 2 до

10 методом складання. Наприклад, записуємо перший рядок так:

1, потім 1+1=2, потім 1+1+1=3 і так далі, обчислюючи складання в

думці. Другий рядок починаємо з 2, а потім додаємо 2, тобто 2+2=4, потім

2+2+2=6 і так далі.

55

Треба переконатися, що множення виконане правильно, а разом і по-

вторити складання з декількома числами в думці.

Заповніть підкреслення в прикладах:

1 2 3 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

2 4 6 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

3 6 9 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

4 8 12 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

5 10 15 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

Тепер перевірте свою роботу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Якщо у вас вийшло все правильно, то ви готові до наступного за-

вдання. Інакше вам слід повторно вирішити ті пункти, де ви допустили

помилки.

Почнемо з шести. Навіть якщо ви рахуєте на пальцях, то це теж не-

погано.

6 12 18 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

7 14 21 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

8 16 24 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

9 18 27 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

10 20 30 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

Тепер перевірте свою роботу:

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

56

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Третій спосіб. Якщо вам потрібна додаткова практика, вам слід по-

працювати з картками. На одній стороні картки напишіть приклад, на ін-

шій стороні – відповідь. Практикуйтеся, підглядаючи відповідь, поки не

запам'ятаєте.

Цей спосіб з картками застосовний і для вивчення іноземних мов. На

одній стороні пишеться іноземне слово з транскрипцією, а на другій – сло-

во на рідній мові. При цьому для повторення слів можна користуватися ка-

ртками в будь-якому місці (у транспорті, в перерві між заняттями, навіть в

туалеті). Відомий і знаменитий археолог Шліман, який відкрив Трою, знав

більше 92 мов, які він вивчав напам'ять по текстах іноземної мови і рідної

мови, за 6 тижнів. При вивченні іноземних мов, правда, на мій погляд,

краще починати з хороших віршів відомих поетів. Наприклад, російську

мову з віршів Агнії Барто, Пушкіна, Лермонтова, а англійську мову з вір-

шів Байрона, Шекспіра, Бернса.

Як видно, що спосіб запам'ятовування іноземних слів, виразів, текс-

тів аналогічний запам'ятовуванню мови математики.

Якщо вам потрібна додаткова практика, поверніться до початку і ви-

конайте всі вправи наново. Перевірте свою пам'ять, заповнюючи порожню

таблицю множення, яка розташована нижче.

ЗАПОВНИТЕ ТАБЛИЦЮ МНОЖЕННЯ ЩЕ РАЗ

57

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Запам'ятайте, що якщо не використовувати знання таблиці множення

в практиці, воно піде частково або повністю з вашої пам'яті.

2.3. Множення на однозначне число

При множенні на однозначне число міркуємо так: 15×7. Число 15

представляємо у вигляді суми розрядних доданків 10 і 5. Спочатку 10

множимо на 7, а потім 5 множимо на 7. Отримані числа додаємо. Цей спо-

сіб називається – послідовне порозрядне множення.

15 × 7 = (10×7) + (5×7) = 70 + 35 = 105.

Розв’язати приклади:

1 2 3 4 5 6

36 × 7 16 × 4 29 × 2 48 × 7 32 × 5 44 × 6

77 × 6 87 × 5 91 × 8 93 × 1 82 × 2 73 × 3

64 × 5 66 × 3 33 × 4 74 × 2 55 × 4 48 × 4

35 × 4 49 × 2 44 × 5 55 × 6 66 × 7 77 × 8

58

88 × 9 99 × 9 23 × 3 31 × 5 47 × 6 83 × 5

33 × 8 43 × 8 75 × 8 82 × 8 75 × 8 69 × 8

32 × 7 34 × 7 54 × 7 76 × 7 87 × 7 92 × 7

92 × 9 83 × 9 75 × 9 61 × 9 22 × 8 46 × 7

Перевірте результати множення.

2.4. Множення стовпчиком

Множення виконується порозрядно. Спочатку перемножуються ци-

фри розряду одиниць, і визначається перенесення в старший розряд десят-

ків. Потім перемножуються цифри десятків, і до них додається перенесен-

ня з молодшого розряду (розряду одиниць) і так далі.

Розглянемо приклад множення 89 × 27. Спочатку множимо 9 на 7 і

отримуємо 63. 3 – це цифра розряду одиниць, а 6 запам'ятовуємо в думці –

це перенесення в розряд десятків. Потім множимо 8 на 7 і отримуємо (по

таблиці множення) 56, до якого додаємо 6 (яке ми запам'ятали при першо-

му множенні) і отримуємо 62.

Для кращого розуміння множення в стовпчик відтворимо всі необ-

хідні кроки, які складають алгоритм множення:

1. 89

× 27

2. 7 × 9 = 63

3. Записуємо в розряд одиниць 3 (цифру 6 запам'ятовуємо в думці

або записуємо на папері).

4. 7 × 8 = 56

5. 56 + 6 (ми її раніше запам'ятовували) = 62

6. Записуємо 62 попереду 3 і отримуємо відповідь множення чис-

ла 89 на 7, тобто: 623.

59

89

× 7

623

Множимо наступну цифру двозначного числа 2 на 89 аналогічним

чином, але результат зміщуємо ліворуч на один розряд, тому що множимо

на цифру розряду десятків.

7. 2 × 9 = 18

8. Записуємо 8 (1 запам'ятовуємо в думці) в розряді десятків

9. 89

× 27

623

10. 2 × 8 = 16

11. 16 + 1 (1 ми запам'ятовували) =17

12. Записуємо 17 попереду 8 і отримуємо відповідь множення числа

89 на 2, тобто: 178.

13. Записуємо отримані результати і складаємо їх.

89 89

× 27 × 27

623 623

+ 1780 + 178

2403 2403

14. Складемо 623 + 1780 = 2403.

Примітка. У 13 пункті прикладу (див. зліва) 0 додається із-за змі-

щення ліворуч результату множення на 2 десятки, тобто на 20. Зазвичай,

цей нуль не пишеться, але мається на увазі. Дивися приклад праворуч.

Зверніть увагу, що цифри записуються строго один під одним. Щоб

уникнути помилок для кожної цифри використовуйте одну клітинку в зо-

шиті.

60

Також зверніть увагу, що при множенні на наступну цифру результат

множення зміщено ліворуч на один розряд, Це пов'язано з тим, що ви мно-

жите вже на цифру старшого розряду, а молодшу цифру результату мно-

ження треба писати в тому ж розряді, що і множник. Виконуючи множен-

ня, таким чином, ми практично не замислюємося, який десятковий розряд

позначає колонка – одиниці, десятки, сотні або тисячі. Але отримуючи ос-

таточний результат, ми читаємо його як «.дві тисячі чотириста три».(тобто

тисяч – дві, сотень – чотири, десятків – нуль, одиниць – три).

Для перевірки своїх знань на множення розв’яжіть не менше десяти

прикладів і перевірте їх результат.

1) 64 × 94 6) 37 × 11

2) 59 × 30 7) 52 × 10

3) 80 × 97 8) 13 × 19

4) 63 × 50 9) 20 × 20

5) 25 × 25 10) 81 × 81

Для перевірки результатів множення дані відповіді:

1) 64 × 94 = 6016 6) 37 × 11 = 407

2) 59 × 30 = 1770 7) 52 × 10 = 520

3) 80 × 97 = 7760 8) 13 × 19 = 247

4) 63 × 50 = 3150 9) 20 × 20 = 400

5) 25 × 25 = 625 10) 81 × 81 = 6561

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5 6

36 × 37 16 × 54 29 × 62 48 × 27 32 × 35 44 × 26

77 × 36 87 × 45 91 × 58 93 × 16 82 × 27 73 × 38

64 × 51 66 × 32 33 × 45 74 × 23 55 × 46 48 × 47

35 × 46 49 × 22 44 × 53 55 × 62 66 × 74 77 × 82

88 × 91 99 × 98 23 × 38 31 × 58 47 × 68 83 × 54

61

33 × 82 43 × 85 75 × 88 82 × 83 75 × 80 69 × 83

32 × 74 34 × 75 54 × 76 76 × 78 87 × 73 92 × 74

92 × 95 83 × 96 75 × 92 61 × 97 22 × 87 46 × 78

Повторення – мати навчання! Чим краще ви відразу запам'ятаєте,

тим довше це буде збережено у вашій пам'яті.

2.5. Скорочені способи усного множення

Ці способи краще всього вивчати не раніше п'ятого класу, коли ви

чудово знаєте таблицю множення і самі принципи множення. Окрім цього

в цих способах розглядається множення з дробовими числами, які ви вже

вивчили в школі. Оволодівши способами скороченого множення, ви не

тільки зможете швидше лічити про себе, чим ваші товариші з калькулято-

ром, але і уразити їх своїми знаннями.

Крім того, на іспитах користуватися калькулятором заборонено! Па-

м'ятайте це і тренуйте свою пам'ять. Той, що тільки йде осилить дорогу!

Успіхів вам!

1. Множення на 10, 100, 1000 і так далі.

а) Якщо множимо цілі числа на 10; 100; 1000 і так далі, то в резуль-

тат множення необхідно справа приписати стільки нулів, скільки нулів при

одиниці:

34 × 10 = 340;

309 × 100 = 30900;

97 × 1000 = 97000;

50 × 100000 = 5000000.

62

Якщо звернути увагу на таблицю множення, то видно, що будь-яка

цифра, помножена на 10, приписує до себе нуль і переходить в розряд де-

сятків. Наприклад, 5 × 10 = 50.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5 6

36 × 10 16 × 10 29 × 10 48 × 10 32 × 10 44 × 10

77 × 100 87 × 100 91 × 100 93 × 100 82 × 100 73 × 100

64 × 1000 66 × 1000 33 × 1000 74 × 1000 55 × 1000 48 × 1000

Повторення – мати навчання! Не бійтеся трудитися! Тільки праця

приведе вас до успіху!

б) Якщо множимо десяткові дроби на 10; 100; 1000 і так далі, то де-

сяткову кому переносимо праворуч на стільки знаків, скільки нулів при

одиниці.

Приклади з дробами розглядаються тоді, коли людина знайома із

звичайними і десятковими дробами.

63,4 × 10 = 634;

33,09 × 10 = 330,9;

197, 825 × 100 = 19782,5;

150,07654 × 1000 = 150076,54.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5 6

3,6 × 10 16,1 × 10 0,29 × 10 4,81 × 10 0,32 × 10 4,46 × 10

0,77 × 100 28,7 × 100 0,91 × 100 9,3 × 100 82,1 × 100 73,9 × 100

6,4 × 1000 6,7 × 1000 33,1 × 100 7,4 × 100 5,15 × 10 4,28 × 100

63

2. Множення на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі.

а) Якщо множимо цілі числа на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, то в ре-

зультат множення необхідно праворуч відділити стільки знаків, скільки

знаків після коми в множнику.

347 × 0,1 = 34,7;

309 × 0,01 = 3,09;

97 × 0,001 = 0,097;

50 256 × 0,0001 = 5,0256.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

36 × 0,1 16 × 0,01 29 × 0,001 48 × 0,0001 32 × 0,001

177 × 0,01 807 × 0,001 911 × 0,01 931 × 0,001 82 × 0,0001

64 × 0,001 66 × 0,0001 33 × 0,001 742 × 0,01 55 × 0,00001

Примітка. Множення на числа вигляду 0,1; 0,01; 0,001 і так далі рі-

вносильне дії ділення на 10; 100; 1000 і так далі

б) Якщо множимо десяткові дроби на 10; 100; 1000 і так далі, то де-

сяткову кому переносимо праворуч на стільки знаків, скільки нулів при

одиниці.

33,09 × 10 = 330,9;

197, 825 × 100 = 19782,5;

150,07654 × 1000 = 150076,54.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

3,61 × 10 1,645 × 100 2,9543 × 1000 4,83 × 10000 3,276 × 1000

1,772 × 100 8,0723 × 1000 91,1657 × 100 9,315 × 1000 8,287 × 10000

6,41 × 1000 66,17 × 10000 33,259 × 1000 74,265 × 100 5,507 × 10000

64

2.6. Множення круглих цифр

При множенні круглого числа (в кінці з одним або декількома нуля-

ми) на число виконуємо множення, не звертаючи увагу на нулі, які розта-

шовані в кінці числа. Виконуємо множення з числами без нулів і дописує-

мо до нього кількість нулів в двох числах разом.

300 × 500000 =150000000

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

360 × 100 160 × 2000 2900 × 70 4800 × 60 3200 × 700

770 × 200 80700 × 300 917 × 800 9300 × 500 820 × 4000

640 × 3000 6060 × 500 330 × 3000 740 × 400 550 × 9000

2.7. Послідовне порозрядне множення

Спосіб використовується при множенні багатозначного числа на од-

нозначне число. Результат множення не змінюється, якщо множене роз-

класти на суму одиниць, десятків, сотень і так далі, а потім кожне з чисел

суми помножити на цифру множника. Отримані результати добутків дода-

ти.

634 × 5 = (600 + 30 + 4) × 5 = 3000 + 150 + 20 = 3170;

33 × 8 = (30 +3) × 8 = 240 +24 = 264;

1971 × 7 = (1000 + 900 + 70 + 1) × 7 = 7000 + 6300 + 490 + 7 =

= 13356;

15011 × 4 = (10000+5000+10+1) × 4 = 40000 + 20000 + 40 +4 =

= 60044.

65

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

361 × 5 1605 × 2 2901 × 7 4758 × 8 321 × 9

7701 × 4 8072 × 6 917 × 8 9300 × 5 802 × 4

647 × 3 6060 × 5 330 × 9 7401 × 4 1501 × 9

2.8. Множення за допомогою розкладання одного із співмножни-

ків на декілька множників

Добуток не зміниться, якщо один з множників розкласти на декілька

співмножників і послідовно їх помножити.

14 × 16 =14 × 2 × 2 × 2 × 2= 28 × 2 × 2 × 2 =56 × 2 × 2 =

= 112 × 2 = 224;

154 × 30 = 154 × 3 × 10 = 462 × 10 = 4620;

17,1 × 20 = 17,1 × 10 × 2 = 171 × 2 =342;

75,43 × 500 =75,43 × 100 × 5 = 7543 × 5 = 37715.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

3,61 × 500 1605 × 200 29,1 × 70 4750 × 80 3,21 × 900

77,01 × 40 80,72 × 60 91,7 × 80 93 × 500 802 × 40

64,7 × 300 6,06 × 500 3,3 × 900 7,4 × 400 1,54 × 900

2.9. Множення двозначних чисел на число «11»

Між цифрами двозначного числа вставляємо суму цифр числа (деся-

тків і одиниць), а якщо при сумі двох цифр виникає перенесення в старший

розряд, то його додаємо до цифри десятків.

Приклад 1.

66

35 × 11 = 385;

Робиться це так: беремо крайні цифри числа і їх роз'єднуємо 3…5.

Ставимо всередину суми двох цифр 3+5=8 і отримуємо результат 385.

Приклад 2.

75 × 11 = 825;

У даному випадку сума цифр 7 і 5 перевищує цифру 9, тобто рівно

7+5=12. Ставимо всередину цифру 2 (із класу одиниць), а 1 (із класу де-

сятків) додаємо до 7, тобто отримуємо цифру 7+1=8. Результат мно-

ження стає рівним 825.

Розглянемо аналогічні приклади самостійно:

25 × 11 = 275;

82 × 11 = 902.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

65 × 11 74 × 11 55 × 11 75 × 11 99 × 11

35 × 11 16 × 11 11 × 77 96 × 11 39 × 11

36 × 11 44 × 11 63 × 11 72 × 11 96 × 11

2.10. Множення тризначних чисел на число «11»

Між крайніми цифрами тризначного числа вставляємо суми цифр

десятків і сотень, а так само десятків і одиниць. а якщо при сумі двох цифр

виникає перенесення в старший розряд, то його додаємо до цифри старшо-

го розряду.

Приклад 1:

523 × 11 = 5753;

Робиться це так: беремо крайні цифри числа і їх роз'єднуємо: 5….3;

Ставимо замість десятків і сотень суми двох цифр (справа і зліва):

2 + 3 = 5 і 5 + 2 = 7;

67

Отримуємо результат: 5753.

Приклад 2:

941 × 11 = 10351;

Отримаємо таким же способом результат множення 941 × 11.

Беремо крайні цифри числа і їх роз'єднуємо: 9….1;

Ставимо замість десятків і сотень суми двох цифр (справа і зліва):

4 + 1 = 5 і 9 + 4 = 13;

Коли при складанні двох цифр виходить двозначне число, то десятки

(перенесення в старший розряд) необхідно додати до наступної старшої

цифри, як ми бачимо це в прикладі.

Отримуємо результат: 10351

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

665 × 11 374 × 11 955 × 11 675 × 11 399 × 11

535 × 11 216 × 11 11 × 877 596 × 11 239 × 11

436 × 11 144 × 11 637 × 11 472 × 11 196 × 11

Знаючи цей спосіб для цілих чисел, можна його використовувати для

множення дробових і змішаних чисел.

Розглянемо приклади:

4,1 × 110 =451,0 = 451

Можна відразу представити це множення як множення таких чисел

41 × 11, що полегшить міркування.

Перевірити результати множення дані нижче цим способом (для за-

кріплення матеріалу).

0,72 × 1,1 = 0,792; 6,5 × 11000 =71500;

0,65 × 0,11 = 0,0715; 8,9 × 0,11 = 0,979;

421 × 1,1 = 463,1; 5,9 × 0,011 = 0,0649;

534 × 0,11 = 58,74; 2,68 × 11000 = 29480

68

0,796 × 1,1 =0,8756; 72,1 × 0,11 = 7,931.

Зверніть увагу, що кількість знаків після десяткової коми в результа-

ті дорівнює сумі знаків після коми в обох співмножниках разом.

2.11. Множення за допомогою зміни співмножників

Добуток не зміниться, якщо один із співмножників збільшити, а ін-

шій зменшити на одне й теж число.

Для цього треба бути знайомим з діленням!

75 × 36 = (75 × 4) × (36 : 4) = 300 × 9 = 2700;

72 × 33 = (72 × 3) × (33 : 3) = 216 × 11 = 2376;

125 × 13 = (125 : 5) × (13 × 5) = 25 × 65 = 1625;

99 × 41 =(99 : 9) × (41 × 9 )= 11 × 369 = 4059.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

625 × 25 734 × 22 55 × 32 75 × 80 99 × 9

65 × 44 160 × 66 115 × 77 96 × 66 35 × 55

36 × 33 44 × 25 603 × 33 77 × 42 96 × 16

Розв’язуючи ці приклади, необхідно зміркувати яке число зменшити

в кілька разів, щоб друге число збільшити в стільки ж разів, для полегшен-

ня множення в думці.

2.12. Множення двозначних чисел, що не перевищують число 20

Метод полягає в тому, що до будь-якого співмножника додаємо оди-

ниці другого співмножника, отриману суму множимо на 10 і до одержано-

го добутку додаємо добуток (5 × 6 чи 6 × 5) одиниць даних чисел.

15 × 16 = (15 + 6) × 10 + 5 × 6 = 210 + 30 = 240 чи

69

16 × 15 = (16 + 5) × 10 + 6 × 5 = 210 + 30 = 240;

12 × 13 = (12 +3) × 10 + 2 × 3 = 150 + 6 = 156;

15 × 13 = (15 + 3) × 10 + 5 × 3 = 180 + 15 = 195;

19 × 18 = (19 + 8) × 10 + 9 × 8 =270 +72 = 342.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

15 × 11 14 × 12 15 × 18 17 × 18 19 × 19

15 × 14 16 × 16 15 × 17 16 × 14 19 × 15

16 × 13 17 × 15 16 × 19 17 × 12 19 × 17

2.13. Множення однакових двозначних чисел які закінчуються

на 5

Цифру десятків умножаємо на цю ж цифру, збільшену на одиницю, і

приписуємо праворуч до результату число 25.

35 × 35 = (3 × 4) ×100 +25 = 1225;

35 × 35 = 352 =1225; 9,5 × 9,5 = 9,52 =90,25;

25 × 25 = 252 =625; 350 × 3,5 = 1225;

45 × 45 = 452 =2025; 5,5 × 5500= 552 × 10 =30250.

2.14. Використання алгебраїчних формул скороченого множення

для усного рахунку

а)

Квадрат суми двох чисел, використовується в усному рахунку тоді,

коли зводимо в квадрат двозначне число, яке на одиницю, двійку, трійку і

четвірку більше круглого.

(а + в)2= а2 + 2ав +в2

70

Розглянемо приклади для наочності і потім запишемо, як вони вико-

нувалися.

812 = (80 + 1)2 = 6400 + 160 +1 = 6562;

722 = (70 + 2)2 = 4900 + 280 +4 = 5184;

432 = (40 + 3)2 = 1600 + 240 +9 = 1849;

942 = (90 + 4)2 = 8100 + 720 +16 = 8836;

9,42 = (9 + 0,4)2 = 81+ 7,2 +0,16 = 88,36;

4,32 = (4 +0, 3)2 = 16 + 2,4 +0,09 = 18,49.

Як видно з прикладів, в дужках до круглого числа додається цифри

від 1 до 4, квадрати яких легко визначити по таблиці множення. Визначен-

ня результату множення таких двозначних чисел спрощується і дає мож-

ливість їх обчислити в думці.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

14 × 14 11 × 11 63 × 63 74 × 74 51 × 51

23 × 23 42 × 42 92 × 92 82 × 82 63 × 63

3,2 × 3,2 5,4 × 5,4 4,4 × 4,4 3,3 × 3,3 2,1 × 2,1

Добуток знаходиться усно, без калькулятора!

б)

Квадрат різниці двох чисел використовується в усному рахунку тоді,

коли підносимо до квадрату двозначне число, яке на одиницю, двійку,

трійку і четвірку менше круглого.

Розглянемо приклади для наочності, а потім запишемо, як вони ви-

конувалися.

792 = (80 - 1)2 = 6400 - 160 +1 = 6241;

782 = (80 - 2)2 = 6400 - 320 +4 = 6084;

(а - в)2= а2 - 2ав +в2

71

472 = (50 - 3)2 = 2500 - 300 +9 = 2209;

962 = (100 - 4)2 = 10000 - 800 +16 = 9216;.

9,62 = (10 - 0,4)2 = 100 - 8 +0,16 = 92,16;

4,72 = (5 -0,3)2 = 25 - 3 +0,09 = 22,09.

Як видно з прикладів, в дужках від круглого числа, яке збільшене на

десяток, віднімається цифра від 1 до 4, щоб в результаті вийшло початкове

число. Різницю квадратів легко визначити, використовуючи таблицю мно-

ження. Визначення результату множення таких двозначних чисел спрощу-

ється і дає можливість їх обчислити в думці.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

16 × 16 19 × 19 66 × 66 77 × 77 56 × 56

27 × 27 48 × 48 97 × 97 86 × 86 67 × 67

38 × 38 57 × 57 58 × 58 39 × 39 29 × 29

Розв’язувати треба в думці, без калькулятора!

в)

Формула різниці квадратів двох чисел використовуються в усному

рахунку тоді, коли умножаємо два двоцифрові числа, одне з яких на декі-

лька одиниць більше круглого, а друге – на таку ж кількість одиниць мен-

ше того ж круглого числа.

Розглянемо приклади для наочності і запишемо, як вони виконували-

ся.

43 × 37 = (40 +3)(40 – 3) = 402 – 32 = 1600 – 9 = 1591;

78 × 82 = (80 - 2)(80 + 2) = 802 - 22 = 6400 – 4 = 6396;

54 × 46 = (50 +4) (50 - 4) = 2500 - 16 = 2484;

31 × 29 = (30 +1) (30 - 1) = 900 - 1 = 899;

а2 - в2 = (а + в) (а - в) (а + в) (а - в) = а2 - в2

72

5,4 × 4,6 = (5 +0,4) (5 – 0,4) = 25 – 0,16 = 24,84;

0,31 × 0,29 = (0,3 +0,01) (0,3 – 0,01) = 0,09 – 0,0001 = 0.0899.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

16 × 24 19 × 21 66 × 54 77 × 63 56 × 44

27 × 33 48 × 52 93 × 87 86 × 74 67 × 53

38 × 42 57 × 63 58 × 62 39 × 41 29× 31

2.15. Множення двозначних чисел з однаковим числом десятків

за умови, що сума цифр одиниць рівне 10

Цифру десятка множимо на цифру, яка більше цифри десятка на 1, і

до результату приписуємо результат множення одиниць.

Розглянемо приклади для наочності і запишемо, як вони виконували-

ся.

44 × 46 = (4 × 5) і приписуємо праворуч добуток одиниць (4 × 6) =

= 20 і приписуємо 24 = 2024;

78 × 72 = (7 × 8) × 100 + (8 × 2) = 5600 + 16 = 5616;

53 × 57 = (5 × 6) × 100 + (3 × 7) = 3000 + 21 = 3021;

33 × 37 = (3 × 4) × 100 + (3 × 7) = 1200 + 21 = 1221;

8,1 × 8,9 = (8 × 9) + (0,1 × 0,9) = 72 + 0.09 = 72,09;

0,96 × 9,4 = 9,024.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

16 × 14 19 × 11 66 × 64 77 × 73 56 × 54

27 × 23 48 × 42 93 × 97 86 × 84 67 × 63

3,8 × 3,2 5,7 × 53 58 × 0,52 3,9 × 3,1 0,29× 0,21

73

2.16. Множення двозначних чисел з однаковим числом одиниць

за умови, що сума цифр десятків рівне 10

Щоб помножити такі числа, потрібно помножити цифри десятків і

додати до них одну цифру одиниць, а до результату дописати добуток оди-

ниць.

Розглянемо приклади для наочності і запишемо, як вони виконували-

ся.

44 × 64 = ((4 × 6) +4) ) і приписуємо праворуч добуток одиниць

(4 × 4) = 28 і приписуємо 16 = 2816;

78 × 38 = ((7 × 3) +8) × 100 + (8 × 8) = 2900 + 64 = 2964;

53 × 53 = ((5 × 5) +3) × 100 + (3 × 3) = 2800 + 9 = 2809;

31 × 71 = ((3 × 7) +1) × 100 + (1 × 1) = 2200 + 1 = 2201;

8,1 × 2,1 = ((8 × 2) +1) і приписуємо (0,1 ×0,1) = 17 + 0,01 = 17,01;

5,1 × 51 = 260,1; 0,74 × 3,4 = 2,516;

0,092 × 0,12 = 0,01104; 92 × 12 = 1104.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3 4 5

16 × 96 19 × 99 66 × 46 77 × 37 56 × 56

27 × 87 48 × 68 93 × 13 86 × 26 67 × 47

3,8 × 7,8 5,7 × 57 58 × 0,58 3,9 × 7,9 0,29× 0,89

Обчислювати треба в думці, без калькулятора!

2.17. Японський спосіб множення

При графічному японському способі множення треба добре засвоїти

таблицю множення. Таблиця множення допоможе легко визначити кіль-

кість перетинів прямих ліній, що представляють собою матриці.

74

Розглянемо цей цікавий і наочний спосіб множення на прикладах.

Приклад 1. Припустимо треба помножити числа 23 21. Для цього

рисуємо горизонтальні дві лінії і через проміжок ще три лінії, що визнача-

ють число 23. Вертикальні лінії, що перетинають горизонтальні, дві і через

проміжок одна визначають число 21.

Окреслимо матриці перетинів лініями і підрахуємо в них кількість пе-

ретинів, які запишемо біля цих матриць. Числа верхньої правою матриці і

лівій нижній матриці складаємо і одержуємо число 8 (2 + 6), яке записуємо

в лівому нижньому кутку.

Підкреслені цифри дають результат множення, тобто 23 21 = 483.

Приклад 2. Припустимо треба помножити числа 15 72.

Для цього малюємо горизонтальну одну лінію і через проміжок ще

п'ять ліній, що позначають число 15. Вертикальні лінії, перекреслюють го-

ризонтальні, що мають сім і через проміжок дві та позначають число 72.

Окреслимо матриці перетинів кривими лініями і підрахуємо в них кіль-

кість перетинів, які запишемо біля цих матриць. Числа верхньої правою

матриці і лівій нижній матриці складаємо і одержуємо число 37 (2 + 35),

яке записуємо в лівому нижньому кутку.

4 2

6 3 8

75

Підкреслені старші розряди цифр складовими, тобто 7 + 3 = 10. Моло-

дший розряд числа 37 складаємо зі старшим розрядом 10, тобто 7 + 1 = 8.

До отриманих цифрам додаємо з числа 10 молодший розряд 0 і дописуємо

у результат 1080, тобто 15 72 = 1080.

Як бачимо, цей спосіб досить простий при множенні двохзначних чи-

сел.

Для оволодіння цим способом рекомендується самостійно зробити

множення наступних прикладів, які дані у таблиці з відповядями.

1 число 2 число результат

35 35 1225

45 45 2025

65 56 3640

Розглянемо приклади множення тризначних чисел.

Приклад 3. Припустимо треба помножити числа 123 321.

Для цього малюємо горизонтальні ліній, що позначають число 123.

Вертикальні лінії, що перетинають горизонтальні, позначають число 321.

7

10

2

35

37

Скла-даємо 7 + 3 =10 7 + 1 =8 та отри-муємо 1080

76

Окреслимо матриці перетинів лініями і підрахуємо в них суму перетинів,

які запишемо біля цих матриць.

Цифру 8 складаємо зі старшою цифрою з числа 14, тобто 8 + 1 = 9.

Молодший розряд числа 14 виділяємо і отримуємо 4. До отриманих цифр

додаємо з числа інших розрядів і отримуємо результат 39483, тобто

123 321 = 39483.

Приклад 4. Припустимо треба помножити числа 102 112.

Для цього малюємо горизонтальні ліній, що позначають число 102.

При цьому 0 позначаємо пунктирною лінією. Вертикальні лінії, що пере-

тинають горизонтальні, позначають число 112. Окреслимо матриці лінія-

ми, як показано на малюнку, і підрахуємо в них суму перетинів, які запи-

шемо біля цих матриць. Перетин з пунктирною лінією сприймається як 0.

Наочно представлено нижче на кресленні результативне число, яке

дорівнює 11424.

Таким чином, 102 112 = 11424

Принцип японського множення, як видно, дуже наочний і простий для

застосування, але потрібна практика для його освоєння.

3

3

8

14

8

9

4

77

Автор рекомендує для освоєння цього методу вибрати будь-які три-

значні числа і помножити цим методом, а потім звірити результати на ка-

лькуляторі.

Розглянемо приклад множення шестизначних чисел.

Приклад 5. Припустимо треба помножити числа 123142 121512.

Як ми вже навчилися, малюємо горизонтальні ліній, що позначають

число 123142. Вертикальні лінії, що перетинають горизонтальні, що позна-

чають число 121512. Окреслимо матриці лініями і підрахуємо в них суму

перетинів, які запишемо біля цих матриць.

Як видно на кресленні, ми отримуємо наступний стовпець чисел, кот-

рий перетворюємо у стовпець цифр результату.

Кількість сум перетинів у матрицях

Цифри результату

Примітка

1 1 1 4 4 4 8 14 9 8 +1 = 9

20 6 4 + 2 = 6 30 3 0 + 3 = 3 20 2 0 + 2 = 2 29 3 29 +1 = 30 16 0 0 10 7 6 + 1 = 7 4 4 4

1

1

4 2

4

78

На перший погляд така велика кількість ліній та перетинів у матрицях

здається складним для освоєння. Але з досвідом все спрощується і дозво-

ляє робити числення швидше множення в стовпчик.

Бажаю допитливим читачам освоїти цей цікавий спосіб і користувати-

ся ним, коли це потрібно.

2.18. Спосіб множення – заміна співмножника звичайним

дробом

Множення проводимо на числах наступного вигляду, які перетвори-

мо в звичайні дроби.

а) 0,5; 5; 50; 500;

б) 0,25; 2,5; 25; 250;

в) 0,125; 1,25; 12,5; 125.

1

4

8

14

20

30

20 29 16 10 4

9

6

1

3

4

2 3 0 7 0 4

79

Перетворення десяткових дробів в звичайні дроби, які мають такий

вигляд:

.8

1000125;4

1000250;2

1000500

;8

1005,12;4

10025;2

10050

;8

1025,1;4

105,2;2

105

;81125,0;

4125,0;

215,0

При множенні на числа такого вигляду треба дане число помножити

на звичайний дріб, який замінює дане число.

Розглянемо приклади і запишемо, як вони виконувалися.

12,7 × 0,5 = ;35,62

7,12 163 × 5 = ;815

210163

18,6 × 0,25 = ;65,44

6,18 464 × 2,5 = ;1160

410464

624 × 0,125 = ;788

624 5,44 × 1,25 = .8,6

81044,5

У цьому розділі розглянуті найпростіші способи усного множення,

які часто використовуються в розрахунках.

2.19. Перетворення періодичних десяткових дробів

у звичайні дроби

80

Дріб )3(,033333,03

1 є чистим періодичним нескінченним десят-

ковим дробом. Розглянемо, як представляти чисті періодичні дроби, запи-

сані в десятковій системі в дужках, у вигляді звичайних дробів.

Період дробу, представлений в дужках, записуємо в чисельнику дро-

бу, а в знаменнику ставимо стільки 9 (дев’яток), скільки цифр в періоді.

Змішаний нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює та-

кому звичайному дробу, чисельник якого є різниця між числом, що стоїть

до другого періоду і числом, що стоїть до першого періоду в знаменнику,

пишемо стільки дев’яток скільки цифр в періоді і допускаємо стільки нулів

скільки цифр між комою і першим періодом.

Приклад:

ІІ період

0,1666…= 0,1(6);

І період

1 – число, що стоїть до першого періоду

16 – число, що стоїть до другого періоду;

Розглянемо на прикладах перетворення періодичного десяткового

дробу в звичайний:

1) ;3

1

9

3)3(,0 2) ;

11

1

99

9)09(,0

3) ;33

8

99

24)24(,0 4) ;

3

2

9

6)6(,0

5) ;6

1

90

15

90

116)6(1,0

6) .

45

12

90

24

90

226)6(2,0

Виконайте приклади:

1 2 3 4 5

0,(7) 0,1(3) 0,2(3) 0,5(3) 0,3(24)

81

2.20. Квадрати чисел від 11 до 20

Часто зустрічаються ситуації, коли використовуються квадрати чи-

сел від 11 до 20. Автор рекомендує їх вивчити як таблицю множення напа-

м'ять.

112 = 121; 162 = 256;

122 = 144; 172 = 289;

132 = 169; 182 = 324;

142 = 196; 192 = 361;

152 = 225; 202 = 400.

2.21. Множення тризначних чисел

Повернемося до звичайного порозрядного множення, коли множене

умножається на одну цифру множника, спочатку на цифру розряду оди-

ниць, потім розряду десятків, потім розряду сотень і так далі. Виконувати

множення тризначних чисел зручно виконувати стовпчиком із зрушенням

результату множення на наступну цифру множника управо. Вирішимо

приклади:

390 127

×205 ×940

Рішення:

У першому прикладі краще поміняти множники місцями, тому що

перший множник 390 закінчується на нуль, який можна знести у результат.

205 127

× 390 ×940

1845 + 508

675 1143

82

79950 119380

Як бачимо у прикладах, 0 зносимо в результат.

У Німеччині множення виконують, починаючи множення із старших

розрядів множника із зрушенням праворуч.

Покажемо вирішення таких же двох прикладів із зрушенням право-

руч.

390 127

×205 ×940

780 1143

+ 000 + 508

1950 000

79950 119380

У подальшому розгляді множення користуватимемося поясненнями

множення із зрушенням ліворуч, як у-перших двох випадках. Якщо всі

приклади правильні, переходите до наступного пункту розділу. Якщо не-

має, просто ознайомитеся з цим матеріалом далі.

Розглянемо перший приклад. Перший результат множення на цифру

одиничного розряду записується без зсуву. 5×0=0. Записуємо 0. Множимо

далі 5×45. Число 5 пишемо, а 4 запам'ятовуємо. Множимо наступну цифру

множеного 5×3=15. До цього результату додаємо 4 (перенесення з молод-

шого розряду) і отримуємо 19. Таким чином, отримуємо результат:

390×5 =1950.

Наступний ряд складають нулі, оскільки множення на нуль дає зав-

жди 0.

Третій ряд: 2×0=0; 2×9=18, записуємо 8, а 1 запам'ятовуємо; 2×3=6 і

додаємо 1 (перенесення із старшого розряду) і отримуємо 7. Тепер отриму-

ємо третій результат множення на цифру розряду сотень: 780, який запису-

ємо в стовпчику із зрушенням управо на два розряди, тому що умножали

на цифру сотень, яка в множнику розташована на третьому місці при роз-

83

гляді числа справа на ліво. Тепер складаємо всі три числа в стовпчик і

отримуємо результат 79950, як це відбито в прикладі.

Звернете увагу, що в розглянутих способах множення (із зрушенням

ліворуч або із зрушенням праворуч проміжних результатів множення) ре-

зультат залишається однаковим.

Ще один запис вирішення першого прикладу, де множення на 0 в

проміжних результатах опускається.

390

×205

1950

780

79950

При першому вивченні множення треба нулі записувати, щоб не зби-

тися в розрядах зрушення. Коли ви засвоїте множення, то можна записува-

ти без множення на нуль (опускати проміжний нульовий результат).

Виконайте приклади:

1 2 3 4 5

106 × 965 190 × 991 66 0× 462 773 × 374 56 6× 568

279 × 870 483× 685 934 × 137 863× 268 674 × 479

3,08 × 7,81 5,7 2× 575 587× 0,58 3,91 × 7,92 529× 0,891

Зверніть увагу на множення десяткових дробів: множення відбува-

ється аналогічно як і без десяткової коми, але в результаті виділяємо в

дробовій частині кількість розрядів рівне сумі кількості дробових розрядах

в співмножниках.

Розглянемо приклади:

39,1 1,27

× 2,05 ×940

1955 000

+

84

+ 000 + 508

782 1143

80,155 1193,8

Зверніть увагу, що в другому прикладі нулі в молодших розрядах

дробу відкидаються, як незначущі.

Правило:

Від зміни місцями множників результат множення не змінюється.

Тепер прийшов час перевірити себе. Вирішите наступні приклади.

Якщо ви їх вирішите усно, то вважайте, що з множенням ви розібралися.

У таблиці з прикладами розглянуті майже всі запропоновані правила

скороченого множення в думці. У другій таблиці (перевір себе) дані відпо-

віді, які ви повинні отримати.

Якщо результати не сходяться, то слід ще раз цей розділ повторити,

звертаючи увагу на правила, які ви не засвоїли.

Розв’яжіть приклади усно:

1 2 3 4 5

106 × 9 190 × 8 660× 30 773 × 100 56,6× 1000

0,01 × 870 48,3× 0,1 900 × 300 863× 300 67 × 1100

358 × 11 25× 36 17× 19 75 × 75 82× 82

76 × 76 39 × 41 66× 64 44 × 64 164× 5

244 × 2,5 56× 1,25 13 × 13 15× 15 17 × 17

19 × 19 20× 20 12× 12 11 × 11 18× 18

Перевірте себе.

1 2 3 4 5

954 1520 19800 77300 56600

8,70 4,83 270000 258900 73700

3938 900 323 5625 6724

85

5776 1599 4224 2816 820

610 70 169 225 289

361 400 144 121 324

Якщо відповіді сходяться, то приступайте до вирішення завдань.

2.22. Завдання на множення

Множити числа можна навчити кожного. Можна навчити скороче-

ному множенню в думці, хоча зусиль на це треба витратити більше. В ці-

лому за 6 тижнів, на думку автора, цей матеріал можна успішно освоїти

при щоденному навчанні по 15-20 хвилин вранці і увечері. І, що головне,

звільняючи для інших занять весь день. Цей матеріал множення розрахо-

ваний на школярів п'ятого класу, які знайомі з дробами.

Якщо сформулювати операцію множення словами у вигляді завдан-

ня, в якому самому учневі потрібно визначити необхідну дію, то це без до-

свіду може для початківця скласти труднощі. Діти деколи питають:

– Яку дію необхідно зробити, щоб вирішити задачу? Треба додати,

відняти або помножити? – часто питає дитина, не розуміючи суті проблеми

при розв’язуванні.

Що необхідно зрозуміти дитині, щоб вирішити для себе: додати, від-

няти, помножити або розділити два числа. Для цього є ключові слова: «бі-

льше на» або «менше на»(складання або віднімання чисел), а якщо «біль-

ше в» або менше в» (помножити або ділити). Осяяння алгоритму рішення

задачі до дитини приходить з досвідом. На перших порах йому потрібно

просто допомогти у визначенні, де яку дію він (вона) повинен зробити!

Якщо дитина зрозуміла яку дію йому треба виконати, то вперед! Автор

сподівається, що в цьому випадку завдання буде розв’язане.

До речі, учень п'ятого класу напевно має досвід вирішення простих,

не складних завдань лише на одну дію множення.

86

Завдання 1:

Магазин купив 95 футбольних м'ячів. Скільки заплатив магазин, як-

що один футбольний м'яч коштує 95 гривень?

Рішення:

Завдання вирішується усно: 95 × 95 = 9025 гривень (для цього треба

пригадати спосіб усного множення однакових двозначних чисел, які закін-

чуються на 5). Міркуємо так: (9×10) і справа приписуємо до результату

множення 25. Отримуємо відповідь 9025.

Завдання 2:

Магазин продав 64 комп'ютери за 4400 гривень кожен. Скільки гро-

шей виручив магазин від продажу комп'ютерів?

Рішення:

Завдання вирішується усно: 4400 × 64 (для цього треба пригадати

спосіб усного множення двозначних чисел, сума десятків яких рівна 10, а

одиниці однакові цифри в цих числах). Визначаємо усно 44 × 64, а потім

додаємо два 00, які спочатку відкинули. Міркуємо так: 44 × 64=(4×6)+4=28

і справа приписуємо результат множення одиниць 4 × 4=16. До 2816 дода-

ємо два нулі, отримуємо, що магазин виручив 281600 гривень.

Розв’яжіть завдання самостійно:

1) Булочка коштує 4 гривні. Скільки коштують 9 таких булочок?

2) Для класу купили 25 підручників по 50 гривень. Скільки кош-

тують підручники?

3) Купили 6 чашок по 30 гривень. Скільки коштує покупка?

4) На свято дітям купили 20 порцій мороженого по 5 гривень.

Скільки заплатили за морозиво?

5) Для уроків праці купили 24 котушки білих ниток по 26 гривень

кожна. На скільки гривень купили ниток?

6) Миша купив для класу 31 квиток в театр по 29 гривень кожен.

Скільки грошей витратив Миша на квитки?

87

7) Вчителька купила 25 зошитів по 2 гривні 50 копійок. Скільки

грошей витратила вчителька?

8) Вчитель задав завдання: чому рівний квадрат 17. Першим пра-

вильно відповів Діма. Скільки вийшло у Діми?

9) Вчитель попросив учнів обчислити 542. Ганна вирішила дуже

швидко в думці. Як вона міркувала і скільки отримала?

Відповіді на завдання для перевірки:

1) Булочки коштують 36 гривень.

2) Підручники коштують 1250 гривень.

3) Покупка стоїть 180 гривень.

4) За морожене заплатили 100 гривень.

5) Ниток купили на 624 гривні.

6) Миша витратив на квитки 899 гривень.

7) Вчителька витратила 62 гривні 50 копійок.

8) 17 в квадраті рівне 289.

9) Ганна міркувала так: 542=(50+4)2= 2500+400+16=2916.

Обчислили? Це добре. Якщо не обчислили, то це не біда. У цій не-

приємності ви не самотні. Більшість дітей зазнають труднощі в розв’язанні

завдань.

Рецепт такий: повтори методи усного множення і грай в шашки не

менше трьох партій в день. Успіхів вам!

.

ВИСНОВКИ

Розділ другий розрахований і на початківця і для тих, хто, користую-

чись калькулятором, забув множення. Особливо в цьому розділі цікаві спо-

соби усного множення, які дозволяють проводити обчислення в думці. Цей

88

розділ корисний для першокурсників. Повторення – мати навчання. Це їм

допоможе швидко проводити множення без додаткових технічних засобів.

89

РОЗДІЛ 3.

ДІЛЕННЯ

Ділення – це дія зворотна множенню. Наприклад, 5 × 6 =30 і навпаки

30 : 6 = 5. Значить, якщо ви можете множити, то отже вам просто навчити-

ся ділити. Ділення виконується за допомогою дій віднімання і множення.

Скорочення дробів – це знаходження найбільшого загального діль-

ника, на який одночасно ділиться і чисельник, і знаменник, залишаючи ве-

личину дробу незмінною.

3.1. Ділення в думці

Ділення в думці припускає, що число ми ділимо на одну цифру (тоб-

то на однозначне число), то це полегшує процес ділення і дозволяє його

зробити досить простим. Для цього треба добре знати таблицю множення!

Якщо число діленого на дільник, який має більше однієї цифри, то

ділення проводимо стовпчиком.

Розглянемо приклади на ділення в думці.

Приклади:

450 : 5 736 : 8

Рішення:

450 : 5 = 90 736 : 8 = 92

Давайте розберемося з першим прикладом. Ми знаємо, що 4 менше 5

і тому 4 не можна розділити на 5. Беремо дві цифри підряд 45. Узявши чи-

сло 45, думаємо на яке число помножити 5, щоб вийшло 45 або менше 45.

З таблиці множення ми знаємо, що 5 × 9 = 45, отже 45 : 5 = 9. Якщо далі в

числі йдуть 000, які не діляться на 9, то їх дописуємо у відповідь. Отриму-

ємо результат ділення 90.

90

У другому прикладі 7 не ділиться на 8, беремо дві цифри 73. Згадує-

мо таблицю множення, що 8 × 9 = 72, Отже, перша цифра частки від ді-

лення рівне 9, оскільки 72 менше 73 на одиницю. Різниця при відніманні

73-72=1 менше дільника 8, тому цифру ми підібрали вірно. До 1 дописуємо

наступну цифру діленого 6 і ділимо на 8, тобто 16 : 8. Знову звертаємося до

таблиці множення і згадуємо, що 8 × 2 = 16, отже 16 : 8 = 2. 2 – це друга

молодша цифра частки. Таким чином, частка від ділення 736 на 8 дорівнює

92.

Перевірка – це важлива частина ділення. Множимо результат ділен-

ня (частку) на дільник. Одержимо число, яке ділили (ділене). При отри-

манні неправильної відповіді необхідно повернутися знову до ділення і

знайти помилку.

Якщо ви обчислили обидва приклади вірно, то розв’яжіть наступні

приклади.

Розв’яжіть приклади усно:

1 2 3 4 5

108 : 9 160 : 8 6060 : 30 700 : 100 56,6 : 100

870 : 3 48,36 : 12 900 : 300 864 : 3 66 : 1100

Перевірте себе.

1 2 3 4 5

12 20 202 7 0,566

290 4,03 3 288 0,06

3.2. Ділення в стовпчик

91

Розглянемо ряд прикладів на ділення стовпчиком (або називається

ділення куточком). При цьому необхідно враховувати, що при додаванні

нулів в правій частині дробу не змінює значення числа (зокрема діленого).

Приклад, 250 = 250,0 = =250,00 і так далі. .

Приклади:

250 : 4 371 : 6

Рішення:

250 ∟ 4 371 ∟ 6

24 62,5 – 36 61,8(3)

10 11

8 6

20 50

20 48

0 20

18

2

Розв’яжіть приклади в стовпчик:

1 2 3 4 5

108 : 5 160 : 3 606 : 30 700 : 6 566 : 200

870 : 7 4836 : 12 900 : 5 864 : 8 6677 : 11

Перевірте себе.

1 2 3 4 5

21,6 53,(3) 20,2 116,(6) 2,83

124,(285714) 403 180 108 607

Поділили? Якщо все вийшло правильно, то треба переходити до на-

ступного прикладу. Якщо невірно, читайте пояснення.

–

–

–

–

–

–

–

–

92

При вирішенні першого прикладу нам довелося після 250 поставити

кому (десяткова кома) і після неї додати 0. Це можна зробити, тому що пі-

сля десяткової коми, як і в дробових числах молодші нулі вважаються не-

значущими (не міняють значення діленого). У першому прикладі ми вико-

ристовували ділене у вигляді 250,0, яке рівне 250. Продовжуючи ділення,

отримуємо результат 62,5. Скільки ж нулів необхідно додавати при ділен-

ні? На це питання немає конкретної відповіді. Це пов'язано з необхідною

точністю результату.

При діленні можуть зустрітися три випадки:

1) коли в результаті отримуємо ціле число:

2) коли в результаті отримуємо скінченний десятковий дріб (як в

першому прикладі). В цьому випадку приписуємо стільки додаткових 0 в

діленому, скільки треба, щоб отримати кінцевий результат;

3) коли в результаті отримуємо нескінченний періодичний десятко-

вий дріб (як в другому прикладі), то в цьому випадку, кількість нулів ви-

значається необхідною точністю обчислення ( чи до 0,1, чи до 0,01, чи до

0,001 і т. д.).

Точність обчислень визначається допустимою кількістю розрядів в

числі.

Результат можна округлювати до допустимого розряду числа!

3.3. Округлення.

Округлення до певного розряду числа залежить від цифри попере-

днього (молодшого) розряду цього числа. Якщо значення цифри попере-

днього розряду числа менше 5, то всі молодші розряди обновлюються до 0.

Інакше, коли значення цифри рівне або більше 5, то до неї додається 1, а

всі молодші розряди обновлюються до 0..

Приклади:

93

1) Припустимо, що мама дала вам на сніданок в школу 8 гривень і

25 копійок. Можна поставити питання так: скільки у вас грошей до гривні?

Виявляється 8 гривень (8,25 = 8 гривень після округлення числа до цілої

частини).

2) Якщо тато заробляє 4250 гривень в місяць, то який буде у нього

заробіток до найближчої тисячі? Після округлення отримуємо 4000 гри-

вень.

3) Яка вага Владимира Кличко (чемпіона по боксу в суперважкій ва-

зі) до кг, якщо він важить 113, 6 кг? Його вага складе 114 кг

Таким чином, якщо число закінчується на 5 і більш значущу цифру

(6, 7, 8 або 9), то округлення проводиться у бік збільшення (739,15 округ-

ляються до 739,2), а якщо менше 5 (1, 2, 3 або 4), то при округленні відки-

даємо цю цифру (739,23 округлюється до 739,2).

Давайте розв’яжемо приклади на ділення з округленням до цілого

числа.

Приклади:

160 : 3 700 : 6

Рішення:

160 ∟ 3 700 ∟ 6

15 53,3 6 116,6

10 10

9 6

10 40

9 36

10 40

Вирішивши приклади, проведемо округлення результату до цілого

числа.

Округлення:

–

–

–

–

–

–

94

53,3 ≈ 53 (розряд після коми менше 5);

113,6 ≈ 114 (розряд після коми більше 5).

Знак ≈ указує на те, що число результату близьке (округлене) до да-

ного числа.

Обчисліть приклади в стовпчик і округліть результат ділення до ці-

лого числа:

1 2 3 4 5

108 : 5 160 : 3 606 : 30 700 : 6 566 : 200

870 : 7 4836 : 120 90 : 50 864 : 80 6677 : 110

Перевірте себе.

1 2 3 4 5

22 53 20 117 3

124 40 2 11 61

Зверніть увагу: ви не зможете успішно освоїти ділення стовпчиком,

поки не навчитеся діленню в думці.

Математика – це набір прийомів роботи з числами, які взаємозв'язані

один з одним в певній послідовності. Не знаючи додавання і віднімання не

можна вивчити множення. Не знаючи множення і віднімання не можна ви-

вчити ділення. У зв'язку з цим, автор, дає рекомендацію, для тих у кого по-

гані справи з математикою: стикаючись з нерозумінням при обчисленнях,

треба вивчити (або повторити) попередні розділи. Успіх буде завжди. Іноді

самому узятися за повторення просто лінь (важко зібратися!). Тоді зверне-

теся за допомогою до своїх друзів, батьків або до професіоналів-

математиків. Ви завжди подолаєте всі труднощі за своїм бажанням. Будьте

наполегливі!

Дорогу осилить той, хто йде!

95

3.4. Ознаки подільності числа на цифру без залишку

Ознаки подільності на 10, 100 і так далі.

Якщо запис числа закінчується на 0, то число ділиться на 10

без залишку (нуль відкидається).

Наприклад, 340 : 10 = 34 або 30200 : 10 = 3020.

Якщо запис числа закінчується на два нулі (00), то число ді-

литься на 100 без залишку (нулі відкидаються).

Наприклад, 7500 : 100 = 75 або 44000: 100 = 440.

Якщо запис числа закінчується на три нулі (000), то число ді-

литься на 1000 без залишку (нулі відкидаються).

Наприклад, 75000 : 1000 = 75 або 44000: 1000 = 44.

Ознаки подільності на 5.

Якщо запис числа закінчується на цифру 0 або 5, то число ді-

литься на 5 без залишку. Інші числа не діляться націло. Наприклад:

340 : 5 = 68 або 250005 : 5 = 50001.

Ознаки подільності на 2.

Якщо запис числа парний або нуль (закінчується на 0, 2, 4, 6

або 8), то число ділиться на 2 без залишку. У решті випадків – не ділиться

націло.

Наприклад, 340 : 2 = 170 або 146 : 2 = 73.

Ознаки подільності на 4.

Якщо дві останні цифри діленого нулі або утворюють число,

що ділиться на 4. У інших випадках – не ділиться націло. Наприклад:

340 : 4 = 85 або 1300 : 4 = 325.

Ознаки подільності на 8.

Якщо три останні цифри запису числа нулі або утворюють чи-

сло, що ділиться на 8. У решті випадків – не ділиться. Наприклад,

3400 : 8 = 425 або 13000 : 8 = 1625.

96

Ознаки подільності на 3.

Якщо сума цифр в записі числа ділиться на 3, то і число поді-

литься на 3 без залишку. У решті випадків – не ділиться націло. Напри-

клад, 342 : 3 = 114 (3 + 4 + 2 = 9, а 9 : 3 = 3) або 156 : 3 = 52 (1 + 5 + + 6 =

12, а 12 : 3 = 4).

Ознаки подільності на 9.

Якщо сума цифр в записі цілого числа ділиться на 9, то і число

ділиться на 9 без залишку. У решті випадків націло не ділиться. Напри-

клад, 369 : 9 = 41 (3 + 6 + 9 = 18, а 18 : 9 = 2) або 369423 : 9 = 4167

(3 +6 + 9 + 4 +2 +3= 27, а 27 : 9 = 3).

Ознаки подільності на 6.

Якщо запис числа одночасно ділиться на 2 і 3, то число ділить-

ся на 6 без залишку. У решті випадків – не ділиться. Наприклад, 126 : 6 =

21 або 156 : 6 = 26.

Ознаки подільності на 25.

Якщо дві останні цифри запису числа нулі або утворюють чис-

ло, що ділиться на 25 (тобто числа, що закінчуються на 00, 25, 50, 75). У

решті випадків – не ділиться. Наприклад, 7150 : 25 = 286 або 1300 : 25 =

52.

Ознаки подільності на 11.

Якщо сума цифр запису числа, що займають непарні місця, або

рівна сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від суми на

число, що ділиться на 11. Наприклад, число 1353 ділиться на 11 тому, що

сума цифр, що займають непарні місця, 1+5=6 рівна сумі цифр, що займа-

ють парні місця, 3+3=6. Число 9163627 ділиться на 11 тому, що сума цифр,

що займають непарні місця, є 9+6+6+7=28, а сума цифр, що займають пар-

ні місця, є 1+3+2=6; різниця між сумами чисел (28-6=22) ділиться на 11.

97

Існують ознаки подільності і на інші числа (окрім перерахованих),

але ці ознаки складніші і часто не мають практичного значення. Наприклад

ознаки ділення на 16, 32, 64 і так далі.

Розв’яжіть приклади усно:

1 2 3 4 5

360 : 10 1900 : 100 6060: 100 7730 : 100 566: 1000

870 : 2 45,2 : 4 900 : 8 864 : 2 6600 : 8

357 : 3 252 : 3 171 : 3 75 : 3 84 : 3

765 : 9 396 : 9 666 : 9 436,32 : 9 864 : 9

54300 : 25 1000 : 25 1900 : 25 9800 : 25 1400: 25

1617 : 11 2816 : 11 3421 : 11 9911 : 11 341 : 11

Перевірте себе.

1 2 3 4 5

36 19 60,6 77,3 0,566

435 11,3 450 432 825

119 84 57 25 28

85 44 74 48,48 96

2172 40 76 392 56

147 256 311 901 31

3.5. Завдання на ділення

Знову вирішимо завдання. Сподіваюся, вас це не лякає. Нагадаємо

ще раз, що розв’язуючи задачу треба визначити:

1. що дано в умові задачі;

2. який шлях (спосіб) розв’язування задачі (тобто знайти алгоритм

рішення);

98

3. отримати результат рішення;

4. перевірити правильність рішення.

Послідовність виконання цих пунктів завжди приводить до правиль-

ної відповіді. У цих чотирьох пунктах все головне. По-перше, не завжди

ясно і чітко, що дано. Іноді над цим потрібно подумати.

Коли ви зрозуміли що дано в завданні, вам потрібно перейти до дру-

гого пункту і визначити спосіб (метод, алгоритм) розв’язування задачі. Це

найважче. До вас повинне прийти «осяяння», тобто ви повинні зрозуміти, в

якій послідовності і які дії вам треба зробити, щоб розв’язати задачу. Як

тільки ви зрозуміли алгоритм розв’язку (послідовність дій з числами), то

останнє, як то кажуть, «справа техніки». Дійсно, якщо вам ясно які дії, і з

якими числами вам треба зробити, то знаючи методи роботи з числами

(складання, віднімання, множення і ділення) вам не складе труднощів їх

виконати.

Виконавши всі необхідні арифметичні дії з числами, ми отримуємо

результат. Але для нас важливо знати: чи правильний цей результат? В

цьому випадку нам треба виконати четвертий пункт: перевірка результату.

Часто перевірка результату полягає в протилежних діях. Наприклад,

після виконання додавання треба виконати віднімання від результату одне

з чисел, щоб отримати інше число. Якщо числа співпали, то додавання ви-

конане вірно. Другим прикладом може служити ділення, яке перевіряється

множенням частки і дільника, щоб отримати ділене. Якщо результат мно-

ження дасть вам однакове число з діленим, то ділення зроблене вірно.

Перевірка себе самого дуже переконливо дає вам уявлення про за-

своєння пройденого матеріалу.

Приступимо до розв’язування завдань.

Завдання 1:

99

У школі було 1000 школярів. У свято одна восьма частина школярів

поїхали на пароплаві на прогулянку, а останні пішли в туристичний похід.

Скільки школярів поїхали, а скільки пішли в туристичний похід?

Рішення:

1) 1000 : 8 = 125 (поїхали на пароплаві)

2) 1000

- 125

875 (пішли в туристичний похід)

3) Перевірка: 875 + 125 = 1000.

Завдання 2:

Бабуся купила 4 м шовку по 9 гривень і ситцю 3 м. За всю покупку

вона заплатила 54 гривні. Скільки коштує метр ситцю?

1) 9 × 4 = 36 гривень (вартість шовку);

2) 54 - 36 = 18 гривень (вартість ситцю);

3) 18 : 3 = 6 гривень (вартість метра ситцю).

4) (6 × 3) +36 =54 гривні (відповідь правильна, оскільки результат

перевірки дав правильну загальну суму).

Зверніть увагу на послідовність розв’язування задачі. Спочатку ми

намагаємося зрозуміти в завданні 1, що дано. У завданні дана загальна чи-

сельність школярів (1000) і, що від'їжджають на пароплаві восьма частина

всіх школярів. Звідси ми можемо за допомогою ділення визначити кіль-

кість від'їжджаючих школярів (1000:8). Частина школярів, що залишилася,

складає різницю між всіма школярами і тими що від'їжджають (1000 - 125).

Виконавши ці дві дії, ми отримуємо відповідь 125 (від'їжджаючих) і 875

(туристів-школярів). Після отримання відповіді проводимо перевірку, щоб

переконатися, що наші обчислення вірні.

У завданні 2 ми визначаємо спочатку загальну вартість шовку (9×4),

потім вартість шовку відніманням із загальної суми покупки вартість шов-

ку (54 - 36), щоб отримати вартість ситцю. Вартість ситцю ділимо на кіль-

100

кість метрів ситцю і дізнаємося вартість одного метра ситцю (18 : 3). Для

перевірки результату дізнаємося вартість ситцю і додаємо до неї вартість

шовку. Отриманий результат загальної покупки, підтверджує правильність

відповіді.

Навчившись чотирьом арифметичним діям, розв’яжи самостійно за-

вдання:

1) У майстерні купили на 920 гривень декілька ножівок по 160

гривень і стільки ж викруток по 70 гривень. Скільки грошей заплатили за

викрутки?

2) Двох хлопчиків купили 10 ручок за однаковою ціною. Один

хлопчик заплатив 21 гривню, а другий – 9 гривень. По скільки ручок купив

кожен хлопчик?

3) Периметр садка, який представляє квадрат, рівний 92 м. Чому

рівна одна сторона садка?

4) За два крісла заплатили 720 гривень. Скільки крісел можна ку-

пити на 1800 гривень?

5) Мама купила пиріжки з капустою по 5 гривень за штуку і сті-

льки ж пирогів з м'ясом по 7 гривень за штуку. За пироги з капустою вона

сплатила 40 гривень. Скільки мама сплатила за пироги з м'ясом?

6) Тато купив 2 сорочки по 46 гривень, а мама – 3 плаття. За всю

покупку батьки заплатили 467 гривень. Скільки коштує одне плаття?

7) Від двох пристаней, відстань між якими 900 км., одночасно на-

зустріч один одному вийшли два пароплави. Перший пароплав йшов із

швидкістю 20 км/год., а другий – із швидкістю 25 км/год. Через скільки го-

дин вони зустрінуться?

8) Два туристи, відстань між якими 140 км., виїхали на зустріч

один одному, але один після іншого через 3 години. Через скільки годин

після від'їзду першого вони зустрілися, якщо перший мав швидкість

10 км/год, а другий – 12 км/год.?

101

9) З двох міст, відстань між якими 1380 км., вишли одночасно на-

зустріч один одному два поїзди і зустрілися через 10 годин. Швидкість од-

ного з них – 75 км/год. Знайдіть швидкість іншого поїзда.

Відповіді на завдання для перевірки:

1) 280 гривень.

2) 7 і 3.

3) 23 м.

4) 5 крісел.

5) 56 гривень.

6) 125 гривні.

7) Через 20 годин.

8) 5 годин.

9) 63 км/год.

Розв’язали? Це добре. Якщо не все вірно, то це не біда. У цій непри-

ємності ви не самотні. Більшість дітей зазнають труднощів при

розв’язуванні задач.

Рецепт такий: повтори методи множення і грай в шашки не менше

трьох партій в день. Успіхів вам!

ВИСНОВКИ

Розділ третій розрахований на початківців і студентів першого курсу,

які, користуючись калькулятором, «втратили» свої навички при діленні.

Зверніть увагу на ознаки подільності на числа. Вони вам допоможуть часто

правильно орієнтуватися при діленні. Не зневіряйтеся! Вивчайте і успіх до

вас прийде. Не забувайте гру в шашки. Грайте з рідними, знайомими на

змаганнях. Головне не вигравати, а грати. Це олімпійський закон: головне

це участь!

102

РОЗДІЛ 4.

ВИКОРИСТАННЯ АРИФМЕТИЧНИХ ОПЕРАЦІЙ

У КОМП'ЮТЕРАХ

Цей розділ розрахований на першокурсників (або старшокласників)

тих, що вивчають основи інформатики. У ньому дані основні чотири ари-

фметичні дії, які використовуються в різних позиційних системах числен-

ня: двійковій, десятковій і шістнадцятирічній.

Якщо ви ще не вивчаєте інформатику, то цей розділ можна пропус-

тити.

4.1. Системи числення

Система числення (Number system) — сукупність правил зображення

чисел у вигляді послідовності символів.

Число (Number) — кількісна міра, записана у вигляді послідовності

допустимих символів в конкретній системі числення.

Цифра (Digit) — один з символів, що використовуються для запису-

вання числа в систему числення.

Системи числення діляться на позиційні і непозиційні. У позиційній

системі числення значення цифри залежить від місця (позиції) в сукупності

цифр, яке зображає число. Наприклад, 23 і 32. Непозиційною є одинична

система числення. Наприклад ІІІ (три), ІІІІ (чотири), ІІІІІ (п'ять).

Римську систему числення можна віднести до умовно-позиційної.

Наприклад, ХІХ (19) і ХХІ (21).

У комп’ютері (ПК) використовуються позиційні системи числення.

Розгорнене представлення числа в позиційній системі числення має

такий вигляд:

103

,

.........,...1

1101

11101

n

mi

ii

mm

nnmnq

qa

qaqaaqaqaaaaaА(4.1)

де А(q) — довільне число в системі з основою q;

ia – цифри системи числення;

n + m — кількість цілих і дробових розрядів разом.

Основа системи числення, це число, яке показує, в скільки разів оди-

ниця старшого розряду більше одиниці сусіднього молодшого розряду:

1

i

i

aa

q . (4.2)

Символи чисел часто беруться з проміжку від нуля до найбільшої цифри, яка рівна q-1.

Наприклад:

при q=2 використовуються цифри 0, 1;

при q=10 — 0, 1., 9;

при q=16 — 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F.

Кожен розряд в позиційній системі має вагу, яка показує, в скільки

разів одиниця даного розряду більше або менше одиниці нульового розря-

ду:

0aai

i . (4.3)

У технічному аспекті довжина числа інтерпретується як довжина ро-

зрядної сітки. Припустимо, довжина розрядної сітки рівна числу n. Тоді

максимальне число визначається за допомогою формули

,1max nq qA (4.4)

а мінімальне – визначається за допомогою такої формули m

q qA min)( . (4.5)

Діапазон представлення чисел в ЕОМ залежить від довжини розряд-

ної сітки.

104

4.2. Системи числення, які використовуються в ПК

Усередині ПК (регістрах) використовується двійкова система чис-

лення.

Для введення інформації і виведення результату обчислень викорис-

товується десяткова система числення.

Шістнадцятирічна система числення широко використовується при

програмуванні на мові Assembler.

4.3. Переклад чисел з однієї системи в іншу

1. Метод заміщених величин зручний для перекладу в десяткову сис-

тему числення. Розглянемо приклади:

А(2) =11101,11(2) = 1×24+1×23+1×22+1×20+1×2-1+1×2-2 = 16+8+4+1+½+¼ =

= 29,75(10);

А(16)=А2С,8(16) =10×162+2×16+12+8/16 =2560+32+12+0,5 = 2604,5(10).

Операції виконуються за допомогою правил десяткової системи чис-

лення.

2. Переклад цілих чисел діленням на основу нової системи числення.

Розглянемо приклади:

Перевести цілі десяткові числа А(10)= 22 в двійкову систему числення

і В(10)= 2600 в шістнадцятирічну систему числення.

22|_2_ 2600| 16

0 11|__2_ 2592 162| 16

1 5| 2 8 2 10 => A

1 2| 2

0 1

A(2)=10110(2); B(16)=A28(16) .

–

–

105

3. Переклад правильного дробу множенням на основу нової системи

числення.

При перекладі правильних дробів з однієї системи числення в іншу

можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. У персональному ком-

п'ютері (ПК) довжина числа обмежена кількістю розрядів регістра, що мо-

же задати похибку.

Розглянемо приклади перекладу десяткового дробу А(10)= 0,125 у

двійкову систему числення і в шістнадцятирічну систему числення.

0, 125 0, 125

2 16

0, 250 750

2 1 25

0, 500 2 000

2

1, 000

А(2)= 0,001(2) А (16) = 0,2 (16) .

Для перекладу змішаного числа (яке складається з цілої частини і

дробу) необхідно кожну частину перевести окремо, а потім об'єднати ре-

зультати.

Розглянемо приклади перекладу змішаного числа.

А (10) = 22,125 (10)

у двійкову систему числення.

А(10)= 22(10) = 10110(2); А(10)= 0,125 (10) =0,001(2) ;

А (10) = 22,125(10) =10110,001(2) .

4. Переклад двійкової системи числення в шістнадцятирічну сис-

тему числення.

+

×

×

×

×

106

Змішане двійкове число розбиваємо на тетради (по чотири двійкових

розряди) від коми ліворуч і праворуч. Кожній тетраді ставимо її шістна-

дцятирічний еквівалент і навпаки.

Розглянемо приклади:

А (2) = 0110 1100, 1111 (2);

6 С F

A (16) = 6C,F (16).

Шістнадцятирічний еквівалент двійкових (q=2) і десяткових (q=10)

чисел від 0 до 15 необхідно запам'ятати (див. табл. 4.1.а і 4.1.б):

Таблиця 4.1.а.

Цифрі від 0 до 7

q = 10 0 1 2 3 4 5 6 7

q = 16 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

q = 2,

тетрада

0 1 0 1 0 1 0 1

Таблиця 4.1.б.

Цифрі від 8 до 15

q = 10 8 9 10 11 12 13 14 15

q = 16 8 9 A B C D E F

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

q = 2,

тетрада

0 1 0 1 0 1 0 1

107

4.4. Арифметичні операції у формульному вигляді

Розглянемо алгоритми арифметичних операцій у формульному ви-

гляді. Ми з вами знаємо, що додавання, віднімання і множення виконуєть-

ся порозрядно. Тому всі ці алгоритми представлені при виконанні пороз-

рядних операцій.

Алгоритм порозрядного складання: С=А+В.

,,1,,0

1,,;,

qibiaприqibiaпри

ipqibiaприqibiaqibiaприibia

iс

де сі – цифра і-го розряду результату;

рі+1 – перенесення в і+1 розряд.

Алгоритм порозрядного віднімання: R=А-В.

,),(

,,

ibiaприibiaqibiaприibia

ir

,,1

,,01 ibiaпри

ibiaприiz

де rі – цифра і-го розряду результату;

zі+1 – позика з і+1 розряду.

Алгоритм порозрядного множення: S=А*В.

,,int

,,0

1

,,int

,,

qibiaприq

ibiaqibiaпри

ip

qibiaприq

qibia

ibia

qibiaприibia

is

де sі – цифра і-го розряду результату;

рі+1 – перенесення в і+1 розряд.

108

Алгоритм операції ділення: С=А:В.

Операція ділення виконується з використанням правил десяткового

ділення за допомогою методів множення і віднімання.

Спочатку проводимо зрушення дільника до старшого розряду діле-

ного на n розрядів так, за умови, що старший розряд дільника більше ста-

ршого розряду зрушеного дільника, або зрушення відбувається на n-1

розрядів, за умови, що два старші розряди діленого більше старших розря-

дів дільника. Потім від діленого віднімаємо дільник до тих пір, поки зали-

шок не буде менший, ніж зрушений дільник. Цифра частки визначається

кількістю разів відняття зрушеного дільника. При виконанні дій вручну і,

знаючи множення, можна підібрати таку цифру частки, що при множенні

на зрушеного дільника число, що віднімається, було рівне або менше за ді-

лене.

Залишок зрушується на один розряд ліворуч і цим визначається на-

ступна цифра частки. Кількість розрядів цілої частини частки визначається

на 1 більше, ніж кількість зрушень розрядів діленого, тобто n+1.

Приклад:

256 (10)| 2 дільник = 002; кількість зрушень n = 2;

200 1 2 8 зрушений дільник = 200;

56 кількість розрядів цілої частини частки = 3.

560

400

160

1600

1600

0000

Цей матеріал знайомий нам з математики середньої школи, який ми з

вами тільки що вивчили. Тому він дається для самостійного вивчення в рі-

зних системах числення.

–

–

–

109

4.5. Арифметичні операції в різних системах числення

Приклад 1:

Додавання: А +В = С

При q=2. А(2) = 10101 При q=16. А(16) = 259

+В(2) = 10011 +В(16) = 5FD

C(2)= 101000 C(16)= 856

Зверніть увагу на перенесення з одного розряду в наступний розряд,

коли сума двох цифр в розряді рівна або більше основи числення q.

Розв’яжіть приклади при. q=2:

1 2 3

1100101+1010111 1110101+1010101 1000101+1010011

1000001+1111111 1100001+100111 1100101+10111

100101+100111 1101101+1010110 1111101+1010111

Перевірте себе.

1 2 3

10111100 11001100 10011000

11000000 11001010 1001100

1001100 11000011 11010100

Виконайте приклади при. q=16:

1 2 3

110

2390 + 199F 378C + CCCC 458D + 5FDC

FF79 +A25A D89D + BB78 E37E + F45F

1111 + 2345 2345 + 6789 7891 + F45F

Перевірте себе.

1 2 3

3D2F 10458 A569

1A1D3 19415 1D8DD

3456 8ACE 16CF0

Приклад 2:

Віднімання: А – В = R При q=2. А(2)= 10101 При q=16. А(16)= 959

В(2) = 10011 В(16)= 5FD

R(2)= 00010 R(16)= 35С

Зверніть увагу на позику із старшого розряду, коли цифра зменшу-

ваного менше цифри розряду, що віднімається. В цьому випадку з цифри

старшого розряду віднімається одиниця, а до цифри молодшого розряду

зменшуваного додається значення основи числення q.

Розв’яжіть приклади при. q=2:

1 2 3

1100101-1010111 1110101-1010101 1100101-1010011

1100001-1011111 1100001-100111 1100101-10111

100101-100001 1101101-1010110 1111101-1010111

Перевірте себе.

– –

111

1 2 3

1110 100000 10010

10 1010 11110

100 10111 100110

Розв’яжіть приклади при. q=16:

1 2 3

2390 - 199F 378C - 1CCC 858D - 5FDC

FF79 -A25A D89D – BB78 E37E - 945F

7111 - 2345 9345 – 6789 7891 - 645F

Перевірте себе.

1 2 3

9F1 1AC0 25B1

5D1F 1D25 4F1F

4DCC 1BВС 1432

Приклад 3:

Множення: А × В = S При q=2. А(2) = 101 При q=16. А(16) = 95

В(2) = 101 В(16) = 5F

101 8BB

101 2E9

S (2) = 11001 S (16) = 374B Розглянемо процес множення при q=2. Спочатку множимо молодшу

цифру. Вона складає 1, а тому проміжна сума рівна числу, що множиться,

тобто 101. Друга цифра множеного рівна 0 і ми її пропускаємо, тому що

при множенні на 0 число рівне 0. Третя цифра рівна одиниці і ми проміж-

ний результат множення 101 записуємо із зрушенням на два розряди, як це

× ×

+ +

112

видно на прикладі. Складаючи проміжні числа, отримуємо результат мно-

ження 11001. Розв’яжіть приклади при. q=2:

1 2 3

1010 × 1101 1110 × 1010 1011 ×1101

1001 × 1000 1111 × 1111 1011 ×1011

1000 × 1000 1101 × 1101 1011 × 1001

Перевірте себе.

1 2 3

10000010 10001100 10001111

1001000 11100001 1111001

1000000 10101001 1100011

Розглянемо процес множення при q=16.

1) Множимо молодші цифри співмножників F × 5 в десятковій сис-

темі множення, тобто 15 × 5 =75.

2) Ділимо в стовпчик 75 на 16, тобто

75 ∟16

64 4

11

Залишок 11, тому що він більше 9, переводиться в 16-річний код,

тобто у В, а 4 запам'ятовуємо у вигляді перенесення в старший розряд.

3) Умножаємо молодшу цифру множника на старшу цифру множе-

ного F × 9 в десятковій системі множення (15 × 9 =135).

4) До 135 додаємо перенесення з молодшого розряду після множен-

ня, тобто отримуємо 135 +4 = 139.

5) Ділимо в стовпчик 139 на 16, тобто

–

113

139 ∟16

128 8

11

Залишок 11, тому що він більше 9, переводиться в 16-річний код,

тобто у В, а 8 запам'ятовуємо у вигляді перенесення в старший розряд.

6) Таким чином, результат першого проміжного числа рівний 8ВВ.

7) Аналогічно отримуємо результат множення старшої цифри 5 множ-

ника на цифри множеного 95. Отримуємо проміжний результат зру-

шеного числа на один розряд ліворуч 2E9, який додаємо до першого

проміжного числа (див. приклад множення).

8) В результаті складання проміжних результатів отримуємо остаточну

відповідь 374В. Розв’яжіть приклади при. q=16:

1 2 3

25 × 77 93 × 2В 37 × 16

36 ×АА 88 ×11 35 ×35

8А × С1 66 ×2С 50 × FF

Перевірте себе.

1 2 3

1133 18A1 4BA

23DC 908 1199

680A 1188 FB0

Приклад 4:

Ділення: А : В = С

При q=2. А(2)= 11001 ділимо стовпчиком на В(2)= 101

11001 ∟101 Дільник рівний 00101;

–

–

114

10100 101 Зрушений дільник =10100

< 00101 Зрушення ліворуч (<)

< 01010 Це число менше 10100

10100 Після зрушення ліворуч = 10100

10100 Зрушення дільника відбулося

00000 на 2 розряди, тому ціла частина

частки до коми рівна 3 розрядам. Розв’яжіть приклади при q=2:

1 2 3

10100 : 101 111000 : 1000 101100 : 1011

100100 : 110 11110 : 11 100100 : 1001

100010 : 10 1101000 : 1000 100100 : 100

Перевірте себе.

1 2 3

100 111 100

110 1010 100

10001 1101 1001

Приклад 5: При q =16. А(16)= 374B ділимо стовпчиком на В(16) = 95

374B ∟95 Дільник рівний 0095;

2E90 5F 0950×5 = 2E90

< 08BB Зрушення ліворуч (<)

8BB0 0950×F = 8BB0

8BB0 Зрушення дільника відбулося

0000 на один розряд, тому ціла частина

частки до коми рівна двом розрядам.

–

–

–

115

Ділення виконується по алгоритму десяткового ділення, як видно з

прикладів. Розв’яжіть приклади при. q=16:

1 2 3

1144 : 25 18A1: 2В 4BA : 16

23BC : АА 908 : 11 1199 : 35

680A : С1 1188 : 2С FB0 : FF

Перевірте себе.

1 2 3

77 93 37

36 88 35

8А 66 50

Оцінили свої успіхи! Якщо ви відчуваєте, що все знаєте, то можете

йти далі.

ВИСНОВКИ

У розділі 4 ви познайомилися з алгоритмами арифметичних дій в

різних системах числення, які використовуються в комп'ютерах. Великі

труднощі виникають у початківців при появі перенесення або взяття пози-

ки при додаванні, відніманні або множенні. Ви люди вже дорослі! Автор

сподівається, що ті пояснення, які дані в книзі і приклади допоможуть вам

самостійно розібратися. Головне розуміння, а не швидкість вивчення. Ус-

піхів вам!

116

РОЗДІЛ 5

АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ З ДРОБАМИ

Це не завжди просто виконати на калькуляторі, навіть якщо він ви-

конує операції з плаваючою комою. Освоївши правила множення і ділення

дробів, ми зможемо ними користуватися, долаючи всі труднощі.

5.1. Десяткові дроби і їх властивості

У десяткових дробах одиниця ділиться на десять частин (десяті), ко-

жна десята частка знову ділиться на десять (соті) і так далі. Перевага деся-

ткових дробів полягає в тому, що запис і рахунок в них відбувається ана-

логічно цілим числам.

Приклад:

.1000

7

100

0

10

13107,3

Перевага десяткового дробу перед простим дробом полягає в тому,

що вона відразу прочитується.

Приклад:

.1000

1073

1000

7

100

0

10

13107,3

Читається так: три цілих і 107 тисячних. Якщо десятковий дріб не

містить цілої частини, то перед комою ставитися 0.

Приклад:

.1000

107

1000

7

100

0

10

1107,0

117

Розглянемо властивості десяткових дробів.

Десятковий дріб не змінює свого значення, якщо до нього пра-

воруч приписати необмежене число нулів.

Приклад: 37,5=37,50=37,500 і так далі.

Десятковий дріб не змінює свого значення, якщо відкинути ну-

лі, що стоять в кінці правої частини.

Приклад: 0,052900=0,0529.

Десятковий дріб збільшується в 10, 100, 1000 і так далі раз, як-

що кому перенести на один, два, три і так далі розрядів (знаків) праворуч.

Приклад: 13,0529×10=130,529 або 13,0529×100=1305,29

Десятковий дріб зменшується в 10, 100, 1000 і так далі раз, як-

що кому перенести на один, два, три і так далі розрядів (знаків) ліворуч.

Приклад: 13,0529 : 10=1,30529 або 13,0529 : 100=0,130529

Ці властивості дозволяють швидко проводити множення або ділення

на 10, 100, 1000 і так далі.

5.2. Множення десяткових дробів

Спочатку розглянемо множення десяткових дробів на простому при-

кладі.

Приклад:

2,5

×2,5

Рішення:

1) Умножаємо 25×25 в думці. Ми знаємо, що при множенні двозна-

чних однакових чисел, які закінчуються на 5, достатньо спочатку цифру

десятків помножити на цифру на одиницю більш6 (2×3=6) і до результату

приписати 25. Отримуємо 625.

118

2) Сумарна кількість цифр множеного і множника після коми ви-

значає кількість цифр після коми в результаті множення в добутку, тобто в

результаті переносимо десяткову кому на два розряди ліворуч і отримуємо

6,25.

Щоб краще засвоїти правило визначення коми в результаті,

розв’яжемо ще ряд прикладів.

Приклади:

3,5×0,35= 1,225 0,12×0,12=0,0144 0,75×11=8,25

Ці приклади ми обчислили в думці і правильно поставили десяткову

кому. Вирішимо складніші приклади стовпчиком.

Приклади:

42,37 30,987 1,234

74,25 11,246 1,578

Рішення:

42,37 30,987 1,234

74,25 11,246 1,578

21185 185922 9872

8474 123948 8638

+ 16948 + 61974 + 6170

29659 30987 1234

3145,9725 30987 19,47252

348,479802

Розв’яжіть приклади:

1 2 3

11,44 × 2,5 18,71× 2,8 4,111 × 1,756

23,37 × 3,12 90,8 ×11,12 1,991 × 3,552

6,8 × 1,321 1,188 × 2,789 22,086 × 5,67

× × ×

× × ×

119

Перевірте себе.

1 2 3

28,6 52,388 7,218916

72,9144 1009,696 7,072032

8,9828 3,313332 125,22762

5.3. Ділення десяткових дробів на ціле число

При діленні десяткового дробу (або цілого числа) на десятковий

дріб, відкидаємо кому в дільнику, а в діленому переносимо кому праворуч

на стільки розрядів (знаків), скільки їх було в дробовій частині дільника (у

разі потреби в діленому в кінці попередньо приписуємо нулі). Після цього

виконуємо ділення.

Розглянемо ділення десяткових дробів на ціле число.

1) Якщо ділене менше дільника, то пишемо в цілій частині частки

0 і ставимо після нього кому. Потім, не звертаючи увагу на кому, приєдну-

ємо до цілої частини діленого першу цифру після коми (його дробовій час-

тині); якщо отримане число менше цілого дільника, то в частку записуємо

нуль після коми, а потім приєднуємо до цілої частини діленого другу циф-

ру після коми (його дробовій частині), якщо отримане число менше цілого

дільника, то процес приписування нулів продовжується в дробовій частині

частки і приєднання цифр з дробової частини діленого. Цей процес продо-

вжується до тих пір, поки дана частина діленого буде більше дільника. На-

далі ділення здійснюється так само, як з цілими числами.

Увага. У зв'язку з тим, що при діленні частка може бути скінченним

або нескінченним періодичним десятковим періодичним дробом, то процес

ділення ніколи не кінчиться. В цьому випадку частку не можна виразити

скінченим десятковим дробом, але зупинившись на певному розряді,

отримаємо наближений результат.

120

2) Якщо ділене більше дільника, ділимо спочатку цілу частину,

записуємо в частку результат ділення і ставимо кому. Після цього ділення

продовжується, як і раніше, утворюючи дробову частину.

Приклади:

42,37∟8 30,987∟9 1,234∟4

Рішення:

42,37∟8 30,987∟9 1,234∟4

40 5, 29625 27 3,443 12 0,3085

23 39 34

16 36 32

77 38 20

– 72 36 20

50 27 0

48 27

20 0

16

40

40

0

Розв’яжіть приклади в думці:

1 2 3

11,44 : 11 18,715 : 5 4,131 : 9

23,37 : 3 90,2 : 11 1,992 : 4

6,8 4 : 9 1,188 : 2 1,11100 : 25

Перевірте себе.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

121

1 2 3

1,04 3,743 0,459

7,79 8,2 0,498

0,76 0,594 0,04444

5.4. Ділення десяткових дробів на десятковий дріб

Щоб розділити десятковий дріб (або ціле число) на десятковий дріб,

відкидаємо кому в дільнику, а в діленому переносимо кому правороч на

стільки розрядів (знаків), скільки їх було в дробовій частині дільника (у ра-

зі потреби до діленого в кінці приписуються нулі).

Приклади:

42,37∟0,08 30,987∟0,00009 1,234∟0,4

Рішення:

4237∟8 3098700∟9 12,34∟4

40 529,625 27 344300 12 3,085

23 39 34

16 36 32

77 38 20

72 36 20

50 27 0

48 27

20 0

16

40

40

0

Після цього виконуємо ділення на ціле число.

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

122

Ділення дробових чисел набагато простіше, ніж множення. Все, що

потрібно зробити, це вирівняти числа. Автор сподівається, що ви вже зро-

зуміли, як ділити десяткові дроби. Закріпимо це на прикладах.

Розв’яжіть приклади в думці:

1 2 3

22,86 : 0,09 18,715 : 0,5 4,131 : 0,9

23,37 : 0,3 90,2 : 0,11 1,992 : 0,04

6,849 : 0,09 1,188 : 0,00002 1,111: 0,25

Перевірте себе.

1 2 3

254 37,43 4,59

77,9 820 49,8

761 59400 4,444

5.5. Прості і складені числа

Всі цілі числа мають мінімум двох дільників: одиницю і само це чис-

ло. Простими числами називають числа, які мають тільки ці два дільники

(1 і само себе).

Приклади: 2, 3, 5, 11, 13, …, 53, … – це прості числа, які діляться

тільки на 1-цю і на це ж число.

1 – не являється простим числом (має один дільник);

2 – єдине парне просте число.

Числа, які мають більше двох дільників, називають складеними

Приклади: 4 (його дільники 1, 2, 4), 6 (його дільники 1, 2, 3, 6), 28

(його дільники 1, 2, 4, 7, 28) – це складені числа.

Таблиця простих чисел, що не перевершують 6000

123

124

125

Одиницю не відносять ні до простих, ні до складених, Це пов'язано з

тим, що одиниця має тільки один дільник 1.

Простих чисел – нескінченна множина. У таблиці представлені прос-

ті числа, що не перевершують число 6000 в табличному вигляді.

Цю таблицю вивчати не треба, але бажано запам'ятати їх спочатку до

19 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), щоб при необхідності ними користуватися при

розкладанні чисел на прості множники.

5.6. Розкладання на прості множники Всяке складене число можна представити у вигляді простих множни-

ків єдиним способом.

Приклади: 28=2×2×7= 22×7; 36=2×2×3×3=22×32;

Для невеликих чисел розкладання легко робиться по здогадці. Для

великих чисел можна користуватися у такий спосіб, як розкладання на

прості множники.

Приклад 1:

Візьмемо число 539. Беремо підряд прості числа з таблиці простих

чисел і пробуємо ділити його спочатку на 2, потім на 3 і так далі, користу-

ючись ознаками подільності, поки не знайдемо просте число на яке без за-

лишку ділиться число 539. Цим числом виявляється 7. Отримуємо число

539 : 7=77. Далі зрозуміло, що наступним співмножником буде 7, а остан-

нім співмножником 11. Таким чином, 539=7×7×11=72×11. Записується роз-

кладання на співмножники так:

539 7

77 7

11 11

1

126

Приклад 2:

Візьмемо число 53900. Розкладемо його на множники. 539×100. Роз-

кладемо окремо два співмножники. Один у нас був розкладений в першому

прикладі, а другий 100=10×10=2×5×2×5=22×52.

Результатом розкладання будуть прості співмножники двох чисел

539 і 100, тобто 539×100=22×52×72×11

Автор сподівається, що ви вже зрозуміли, як розкласти складені чис-

ла на прості співмножники. Закріпимо це на прикладах.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3

2286 11700 4131

1815 902 1992

1989 11000 1155

Перевір себе.

1 2 3

2×3×3×127 2×2×5×5×3×3×13 3×3×3×3×3×17

3×5×11×11 2×11×41 2×2×2×3×83

3×3×13×17 2×2×2×5×5×5×11 3×5×7×11

5.7. Найбільший спільний дільник

Спільним дільником декількох чисел називається число, що служить

дільником, для кожного з них.

Приклад:

Числа 12, 18, 30 мають спільні дільники 3, 2, 6. Серед всіх спільних

дільників є найбільший спільний дільник (НСД), в нашому прикладі – 6.

127

Для знаходження найбільшого спільного дільника можна використо-

вувати розкладання чисел на прості множники і вибрати з кожного розкла-

ду однакові множники з найменшим показником. Добуток цих множників і

дає НСД. Розглянемо для наочності ряд прикладів на знаходження НСД.

Приклад 1.

Дано числа: 1815, 110, 1155. Потрібно для цих чисел знайти НСД.

Розв’язок:

Розкладаємо числа на прості множники.

1815=3∙5∙11∙11=3∙5∙112;

110=2∙5∙11;

1155=3∙5∙7∙11;

Загальними множниками для чисел є такі: 5 і 11, отже, НСД = 55.

Може трапитися, що простих співмножників, загальних для всіх да-

них чисел, не існує. Тоді НСД = 1. Два числа, НСД яких рівний 1, назива-

ють взаємно простими. Наприклад, 125 і 33. Розв’яжіть приклади на зна-

ходження НСД.

Виконайте приклади:

1 2 3

2286 і 1143 11700 і 1300 4131 і 243

1815 і 605 902 і 605 1992 і 1000

1989 і 289 11000 і 10000 1155 і 385

Перевірте себе.

1 2 3

32×127 22×52×13 35

5×112 11 23

17 23×53 5×7×11

128

Як видно з прикладів, знайти НСД для кількох чисел не так важко,

якщо ви навчилися розкладати числа на прості співмножники або усно, або

скориставшись таблицею яка наведена раніше.

5.8. Найменше спільне кратне

Спільним кратним декількох чисел називається число, яке націло ді-

литься на кожне з цих чисел. Наприклад, числа 5, 6, 10 мають спільні крат-

ні 30, 60, 120, 180. Серед спільних кратних чисел завжди є найменше. В

даному випадку – це число 30. Це число називається найменшим спільним

кратним (НСК).

Для визначення найменшого спільного кратного числа розкладаємо

на прості множники; виписуємо всі прості множники, що входять хоч би в

одне з даних чисел; кожен з узятих множників зводимо в найбільшу з тих

ступенів, з якими він входить до даних чисел; знайдені множники пере-

множуємо.

Приклад 1.

Знайти НСК для чисел 1815, 110, 1155.

Рішення:

1) Розкладаємо числа на прості множники.

1815=3×5×11×11=3×5×112;

110=2×5×11;

1155=3×5×7×11;

2) Перемножуємо 2×3×5×7×112 = 25410, отже, НСК=25410.

Приклад 2.

Знайти НСК для чисел 234, 1080, 8100.

Рішення:

1) Розкладаємо числа на прості множники.

129

234=2×32×13;

1080=23×33×5;

8100=22×34×52;

2) Перемножуємо 23×34×52×13 = 210600, отже, НСК=210600.

Розв’яжіть приклади на знаходження НСК:

1 2 3

2286 і 1143 11700 і 1300 4131 і 243

1815 і 605 902 і 605 1992 і 1000

1989 і 289 11000 і 10000 1155 і 385

Перевірте себе.

1 2 3

2×32×127=2286 22×32×52×13=11700 35×17=4131

3×5×112=1815 2×5×112×41=49610 23×3×53×83=249000

32×132×17=25657 23×53×11=11000 3×5×7×11=1155

5.9. Звичайні дроби

Звичайним дробом (або просто дробом) називається частина одиниці

або декілька рівних частин (часткою) одиниці. Число, що показує, на скі-

льки часткою розділена одиниця, називається знаменником дробу. Число,

що показує, кількість узятих дробів називається чисельником дробу.

Запис звичайного дробу: ⅜ або 8

3 (три восьмих), де 3 – чисельник, а

8 – знаменник..

Правильним дробом називається дріб, у якого чисельник менше зна-

менника (8

3 – правильний дріб). Якщо чисельник рівний знаменнику, дріб

130

дорівнює 1. Неправильним дробом називається дріб, у якого чисельник бі-

льше знаменника (8

13 – неправильний дріб). Якщо ділення чисельника не-

правильного дробу на знаменник виконується до цілого числа, то залишок

залишається у вигляді правильного дробу, і таке число називають зміша-

ним ( 8

13 18

5 – змішане число). Змішане число можна представити як суму

цілого і дробового числа. Наприклад, 8

13=1+

8

5.

Часто доводиться змішане число (наприклад, 8

55 ) представити у ви-

гляді неправильного дробу. Для цього знаменник множиться на цілу час-

тину числа і, до результату множення, додається чисельник, а знаменник

залишається без зміни. Чисельник прийме значення 45 ((5×8) + +5=45), а

весь дріб приймає вид неправильного дробу, тобто – 8

45.

5.10. Скорочення і «розширення» дробу

Дріб не змінить свого значення, якщо знаменник і чисельник розді-

лити або помножити на одне і те ж число. Це основна властивість дробу.

Множення чисельника і знаменника на одне і теж число називається

«розширенням», а ділення – скороченням дробів. Приведемо приклади.

Приклад 1 на «розширення» дробу:

.32

16

162

161

2

1;

18

6

63

61

3

1;

40

15

58

53

8

3

131

Приклад 2 на скорочення дробів:

.4

3

36:144

36:108

144

108;

36

27

4:144

4:108

144

108;

9

2

4:36

4:8

36

8

Виконати приклади на скорочення дробів:

1 2 3

252

144

625

225

7623

1089

Перевір себе.

1 2 3

7

4

25

9

71

5.11. Порівняння дробів і приведення їх до спільного знаменника

При однакових чисельниках той дріб більший, де знаменник мен-

ший, і, навпаки, при однакових знаменниках той дріб більший, де чисель-

ник більший.

Приведемо приклади.

Приклад 1 на порівняння дробів при однаковому чисельнику:

.19

12

17

12

13

12;

7

1

5

1

3

1;

41

40

59

40

83

40

Приклад 2 на: порівняння дробів при однаковому знаменнику:

.46

7

46

11

46

17;

14

11

14

5

14

3;

36

11

36

7

36

5

132

Виконайте приклади на порівняння дробів:

1 2 3

151

144;

149

144

41

25;

31

25

1511

1089;

1559

1089

151

144;

151

1121

41

25;

41

17

1511

89;

1559

108

Перевірте себе.

1 2 3

151

144

149

144

41

25

31

25

15111089

15591089

151

144

151

1121

41

25

41

17

1511

89

1559

108

Щоб порівняти дроби, у яких і чисельники і знаменники різні, необ-

хідно привести ці дроби до однакового знаменника. Для приведення до

спільного знаменника можна узяти будь-яке спільне кратне (зокрема, НСК)

даних знаменників. В цьому випадку, треба «розширити» кожен дріб на

число одержане від ділення спільного кратного на знаменник узятого дро-

бу (це число називається додатковим множником).

Зауваження. Більш простий спосіб помножити всі знаменники один

на одного і «розширити» відповідно всі дроби. Цей спосіб дає максималь-

ний знаменник, але при великих числах не має практичного застосування.

Приведемо приклад.

Приклад 1 на приведення дробів до спільного знаменника:

.45

7;

18

1;

9

2.

7

1;

5

1;

3

1.

12

5;

15

4;

9

2

133

Візьмемо першу трійку дробів і визначимо для них спільний знамен-

ник.

Розкладемо знаменники на множники:

9=32; 15=3×5; 12=22×3.

Вибираємо множники для спільного знаменника:

22×32×5=180

Спільний знаменник рівний 180. Розширюємо дроби, доповнюючи

чисельник невистачаючими множниками.

.180

75

1512

155;

180

48

1215

124;

180

40

209

202

У решті трійок дробів треба визначити спільного дільника самостій-

но.

Приклад 1:

.7

1;

5

1;

3

1

Відповідь: спільний дільник рівний 105=3×5×7. Як виглядатиме ко-

жен дріб в даному прикладі із спільним дільником? Дати відповідь!

Приклад 2:

.45

7;

18

1;

9

2

Відповідь: спільний дільник рівний 90=2×32×5. Як виглядатиме ко-

жен дріб в даному прикладі із спільним дільником? Дати відповідь!

Якщо не виходить, ще раз треба повторити правила.

5.12. Перетворення звичайних дробів в десяткові дроби і

навпаки

134

Будь-який звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового

дробу і навпаки. Перетворення звичайного дробу в десятковий дріб – це

ділення чисельника на знаменник.

Приклад 1:

Перетворимо дріб 8

1 в десятковий дріб.

Рішення:

125,08

000,1

8

1

Коли ми ділимо менше число на більше у відповіді завжди буде чис-

ло менше 1.

Приклад 2:

Перетворимо дріб 100

9 в десятковий дріб.

Рішення:

09,0100

00,9

100

9

При діленні можуть зустрітися три випадки:

коли в результаті отримуємо скінчений десятковий дріб;

коли в результаті отримуємо нескінчений десятковий періоди-

чний дріб (чистий 0,(3); 0,(17));

коли в результаті отримуємо нескінченний десятковий пері-

одичний дріб (змішаний 0,1(31); 0,52(7); 1,63(371)).

Точність обчислень визначається допустимою кількістю розрядів в

числі.

Розглянемо ще ряд прикладів, при яких утворюється періодичний

дріб, і покажемо, як в цьому випадку записується десятковий дріб.

135

Приклад 3:

Перетворимо дріб 3

1 в десятковий дріб.

Рішення:

)3(,0...333,03

0,1

3

1

Як ми бачимо, звичайний дріб, який записали у вигляді чистого не-

скінченного десяткового періодичного дробу. Перший період записується

в дужках.

Для зворотного перетворення періодичного дробу в звичайний дріб,

треба кількість цифр періоду розділити на стільки ж цифр дев'яток.

Приклад 4:

Перетворимо десятковий періодичний дріб 0,(3) в звичайний дріб.

Рішення:

31

9

3)3(,0

Для зворотного перетворення періодичного дробу, перед яким сто-

їть цифра, в звичайний дріб треба: у чисельнику записати цифри після ко-

ми і відняти від них цифру до дужки, що позначає початок періоду в деся-

тковому дробі, а в знаменнику поставити дев'ятки, кількість яких рівна

кількості цифр в дужках і дописати до них кількість нулів, які розташо-

вані після коми до цифр періоду.

Приклад 5:

Перетворимо десятковий періодичний дріб 0,1(6) в звичайний дріб.

Рішення:

6

1

90

15

90

116)6(1,0

.

136

Перевіримо рішення, перетворюючи звичайний дріб в десятковий

дріб. Ділення проведемо стовпчиком.

Перевірка:

1 ∟6

10 0,16…

6

40

36

40

Раз при діленні 40 на 6 отримали в частці 6, а залишку знову 40 (піс-

ля додавання 0), то, отже, при подальшому діленні в частці отримуватиме-

мо нескінченний дріб з шестірок. Тому подальше ділення не доцільне. І так

зрозуміло, що цифру 6 – перший період в змішаному десятковому дробі

взято в дужки.

Розв’яжіть приклади на перетворення звичайних дробів в десяткові

дроби і навпаки:

1 2 3

4

1

8

3

990

618

0,(3) 0,2(6) 0,3(24)

Перевірте себе.

1 2 3

0,25 0,375 0,6(24)

3

1

90

24

990

321

5.13. Скорочення простих дробів

–

–

137

Скорочення дробів тісно пов'язане з розкладанням чисел на множни-

ки. Розклавши чисельник і знаменник на прості множники, ми скорочує-

мо однакову кількість однакових простих множників і в чисельнику, і в

знаменнику. Це ґрунтується на правилі, що ділення чисельника і знамен-

ника на одне число не зміняє значення дробу.

Приклад 1:

Скоротимо дріб 88

16.

Рішення:

11

2

11222

2222

88

16

.

В даному прикладі ми ділимо чисельник і знаменник на число

8=2×2×2=23, скорочуючи однакову кількість однакових множників в чисе-

льнику і знаменнику.

Приклад 2:

Скоротимо дріб 560

210.

Рішення:

8

3

7222

73

56

21

560

210

.

В даному прикладі ми відразу ділимо чисельник і знаменник на 10,

викреслюючи однакове число нулів, потім числа розкладаємо на прості

множники, скорочуючи однакову кількість однакових множників в чисе-

льнику і знаменнику.

Тепер ми уміємо виконувати скорочення дробів до найменшого зна-

менника.

Виконайте приклади на скорочення дробів:

1 2 3

138

100

30

600

25

99

66

3600

144

744

24

375

42

Перевірте себе.

1 2 3

10

3

24

1

3

2

25

1

31

1

35

2

5.14. Додавання дробів

Якщо знаменники дробів однакові, то досить додати чисельники, а

знаменник залишити без зміни, і, якщо треба, скоротити отриманий дріб.

Приклад 1:

Додати дроби 25

4+

25

1.

Рішення:

25

4+

25

1=

25

5=

5

1.

В даному прикладі ми додали чисельники 4+1 і отримали в чисель-

ник 5, не змінюючи знаменника. Після додавання дробів, результат можна

скоротити на 5, тобто чисельник і знаменник поділити на 5.

В результаті отримали дріб 5

1.

Приклад 2:

139

Додати дроби 560

210 +

560

140.

Рішення:

560

210 +

560

140 =

560

350 =

8

5

В даному прикладі додали чисельники 210+140 і отримали в чисель-

ники 350, не змінюючи знаменника. Після додавання дробів, результат

можна скоротити на 70, тобто чисельник і знаменник поділити на 70.

В результаті отримали дріб 8

5.

Для практики додавання дробів розв’язати приклади, дані в таблиці.

Виконайте дії на додавання дробів з однаковими знаменниками, і

скороти результат обчислення

1 2 3

100

30+

100

25

1300

25+

1300

144

99

66+

99

30

Перевірте себе.

1 2 3

20

11

100

13

33

32

Якщо додаються дроби з різними знаменниками, то заздалегідь по-

трібно їх привести до однакових знаменників, а потім додати чисельники.

Якщо можна, то результат скорочуємо до найменшого знаменника.

Приклад 3:

Додати дроби 7

4+

25

1.

140

Рішення:

7

4+

25

1=

175

100+

175

7 =

175

107.

В даному прикладі ми заздалегідь привели дроби до однакових зна-

менників, помноживши в першому дробі чисельник і знаменник на зна-

менник другого дробу 25, а потім в другому дробі помноживши чисельник

і знаменник на знаменник першого дробу 7. Потім додали чисельники і

отримали в чисельники 107, не змінюючи знаменника. Після додавання

дробів, результат не можна скоротити.

В результаті отримали дріб 175

107.

Приклад 4:

Додати дроби 10

3 +

7

4

Рішення:

10

3 +

7

4=

70

21 +

70

40 =

70

61

В даному прикладі ми заздалегідь привели дроби до однакових зна-

менників, помноживши в першому дробі чисельник і знаменник на зна-

менник другого дробу 7, а потім в другому дробі помноживши чисельник і

знаменник на знаменник першого дробу 10. Потім додали чисельники і

отримали в чисельнику 61, не змінюючи знаменника. Після складання дро-

бів, результат не можна скоротити.

При знаходженні спільного дільника використовується метод знахо-

дження найменшого спільного кратного (див. п. 5.8).

Розв’яжіть приклади на додавання дробів з різними знаменниками і

скороти результат обчислення:

1 2 3

141

100

3+

25

2

77

5+

11

1

8

3+

6

1

Перевірте себе.

1 2 3

100

11

77

12

24

13

5.15. Віднімання дробів

Якщо знаменники дробів однакові, то досить відняти від зменшува-

ного чисельника чисельник, що віднімається, а знаменник залишити коли-

шнім, і, якщо треба, скоротити отриманий дріб.

Приклад 1:

Відняти дроби 25

4 -

25

1.

Рішення:

25

4 -

25

1 =

25

3.

В даному прикладі ми відняли від зменшуваного чисельника 4 чисе-

льник, що віднімався, 1 і отримали в чисельнику 3, не змінюючи знамен-

ника.

В результаті отримали дріб 25

3.

Приклад 2:

Відняти дроби 560

210 -

560

140

142

Рішення:

560

210 -

560

140 =

560

70 =

8

1

В даному прикладі ми відняли від зменшуваного чисельника 210 чи-

сельник, що віднімався, 140 і отримали в чисельнику 70, не змінюючи зна-

менника. Після віднімання дробів, результат можна скоротити на 70, тобто

чисельник і знаменник поділити на 70.

В результаті отримали дріб 8

1.

Для практики віднімання дробів вирішити приклади, дані в таблиці.

Виконайте приклади на віднімання дробів з однаковими знаменни-

ками, і скоротити результат обчислення:

1 2 3

100

30-100

25

1100

265-1100

144

99

66-99

30

Перевірте себе.

1 2 3

20

1

100

11

33

12

Якщо дроби з різними знаменниками, то заздалегідь потрібно їх при-

вести до однакових знаменників, а потім відняти чисельники. Якщо можна,

то результат скорочуємо до найменшого знаменника.

Приклад 3:

Відняти дроби 7

4 -

25

1.

Рішення:

143

7

4 -

25

1 =

175

100 -

175

7 =

175

93.

В даному прикладі ми заздалегідь привели дроби до однакових зна-

менників, помноживши в першому дробі чисельник і знаменник на зна-

менник другого дробу 25, а потім в другому дробі помноживши чисельник

і знаменник на знаменник першого дробу 7. Потім відняли чисельники і

отримали в чисельнику 93, не змінюючи знаменника. Після віднімання

дробів, результат не можна скоротити.

В результаті отримали дріб 175

93.

Приклад 4:

Відняти дроби 7

4 -

10

3.

Рішення:

7

4 -

10

3=

70

40 -

70

21=

70

19.

В даному прикладі ми заздалегідь привели дроби до однакових зна-

менників, помноживши в першому дробі чисельник і знаменник на зна-

менник другого дробу 10, а потім в другому дробі помноживши чисельник

і знаменник на знаменник першого дробу 7. Потім відняли чисельники і

отримали в чисельнику 19, не змінюючи знаменника. Після віднімання

дробів, результат не можна скоротити.

При знаходженні спільного дільника використовується метод знахо-

дження найменшого спільного кратного (див. п. 5.8).

Розв’яжіть приклади на віднімання дробів з різними знаменниками і

скоротіть результат обчислення:

1 2 3

144

10

3 - 414,12

77

18 -

11

1

8

3 -

6

1

Перевірте себе.

1 2 3

50

11

7

1

24

5

5.16. Множення дробів

Помножити деяке ціле число на дріб, треба помножити це число на

чисельник дробу і розділити на знаменник. або число розділити на знамен-

ник, а результат помножити на чисельник.

Приклад 1:

Множення цілого числа на дріб 100 × 25

4.

Рішення:

1) (100 : 25) × 4 = 16. 2) (100 × 4) : 25

В першому випадку ми розділили ціле число 100 на знаменник 25 і

отримали 4, а потім результат помножили на чисельник 4 і отримали від-

повідь 16.

У другому розв’язку прикладу ми помножили ціле число на чисель-

ник і результат 400 розділили на знаменник 25, в результаті отримали ту ж

відповідь 16.

Таким чином, результат можна отримати одним з двох способів.

145

При множенні цілих чисел результат множення не міняється від пе-

рестановки співмножників 5×4 = 4×5 = 20. Ця властивість зберігається і

при множенні на дріб 100 × 25

4=

25

4 × 100 = 16.

Щоб помножити дріб на дріб, перемножують чисельники і результат

записують в чисельнику, а потім перемножують знаменники і результат

записують в знаменнику. Якщо при множенні співмножнику є змішані чи-

сла, то їх заздалегідь перетворюють в неправильний дріб, а потім прово-

дять множення. Якщо при множенні дробів можна скоротити будь-який

множник чисельника з будь-яким множником знаменника на загального

дільника, то це потрібно зробити. Якщо при множенні є цілі числа, то їх

можна розглядати як дріб із знаменником 1.

Приклад 2:

Помножити дроби 33

21 × 11 ×

25

14.

Рішення:

33

21 × 11 ×

25

14 =

25

233

75

693

75

294

25133

141121

.

При вирішенні прикладу 2 в цілому у числі 11 ставимо знаменник 1 і

проводимо множення дробів. При множенні чисельник 11 скорочуємо із

знаменником 33 на 11. Після множення чисельників 21 на 14 і знаменників

3 на 25 отримуємо неправильний дріб 75

294. Перетворимо неправильний

дріб в змішане число, виділяючи цілу частина 3, а потім скорочуємо дріб

на загального дільника 3. Відповідь отримуємо 325

23.

Розв’яжіть приклади на множення дробів:

1 2 3

146

212

1 × 1

20

7 4

2

1 ×

7

4 × 4

3

2

8

5 × 7 ×

15

4

Перевір себе.

1 2 3

216

13 12

6

11

5.17. Ділення дробів

Визначимо, що таке обернений дріб. Обернений дріб виходить, якщо

чисельник і знаменник у дробі поміняти місцями. Наприклад, з дробу 85

можна отримати зворотний дріб 5

8.

Щоб розділити дріб на дріб, необхідно перший дріб (ділене) помно-

жити на другий обернений дріб (дільник).

Приклад 1:

7

4 :

25

4=

7

4 ×

4

25=

7

253

7

4.

Приклад 2:

Ділення цілих чисел 3 : 7.

Рішення:

1

3 :

1

7=

1

3 ×

7

1=

7

3.

Розв’яжіть приклади на ділення дробів:

1 2 3

147

12

1 :

20

7

2

1 :

7

4

30

2 :

15

4

Перевірте себе.

1 2 3

21

5

8

7

4

1

5.18. Дій з нулем

Додавання. Додавання нуля до будь-якого числа не змінює число.

7 + 0 = 7; 312

1 + 0 = 3

12

1.

Віднімання. Віднімання нуля від будь-якого числа не змінює число.

7 – 0 = 7; 3 - 0 = 3.

Множення. Добуток нуля на будь-яке число дорівнює нулю.

7 × 0 = 0; 312

1 × 0 = 0.

Ділення.

1) Частка від ділення нуля на будь-яке число, відмінне від нуля, є

завжди нуль.

0 : 7 = 0; 0 : 312

1 = 0.

148

2) Частка від ділення нуля на нуль невизначена, тому що будь-яке

число задовольняє визначенню частки, тобто має нескінченну безліч рі-

шень. Розкриття визначеності розглядається у вищій математиці.

3) Частка від ділення будь-якого числа, відмінного від нуля, на нуль

не існує, тому що будь-яке число не може виступати в ролі частки. Тому

говорять, що «ділення на нуль заборонене».

5.19. Приклади з дробами

Вивчивши чотири арифметичні дії, можна перевірити свої знання на

складних прикладах з простими, десятковими і періодичними дробами.

Приклад 1:

Знайти значення виразу

24

169:)

16

5125,0:2,136:2,1(

9,95,6:)35,67(

Рішення:

Обчислювати значення такого виразу треба робити по частинах.

Спочатку обчислимо дії в чисельнику, а потім в знаменнику. Результати

поділимо і визначимо частку.

1) 7 – 6,35 = 0,65; Виконуємо операцію в дужках.

2) 0,65 : 6,5 = 0,1; Виконуємо операцію ділення.

3) 0,1 + 9,9 =10; Визначили значення чисельника.

4) 1,2 : 36 = ;30

1

36

1

10

12 Виконуємо операцію ділення.

5) 1,2 : 0,25 = ;8,410

48

1

4

10

12

25

100

10

12 Виконуємо операцію ділення.

149

6) ;6

29

30

145

30

144

30

1

10

48

30

1 Операція додавання.

7) ;48

169

48

63

48

232

16

21

6

29

16

51

6

29 Операція віднімання.

8) ;2

1

16948

24169

24

169:

48

169

Виконуємо операцію ділення

9) 10 : .201

2

1

10

2

1 Ділимо чисельник на знаменник і отримуємо

відповідь. Зверніть увагу на послідовність виконання операцій: спочатку вико-

нуємо операції в дужках, потім ділення або множення, а потім додавання

або віднімання. У арифметичних операціях такий пріоритет виконання

операцій необхідно неухильно дотримувати.

Виконайте дії:

1) .25

196,1))108,0358,0(:)

28

17

7

6(25,1:)

72

47

9

7((

2) ;

3

118:)

4

15,1(

3)11

3

7

41:

5

725,1:5,0(

3) (16 – 139

7) •

33

18 + 2,2 • (0,(24) – 0,(09)) +

11

2.

Відповіді: 1) 1; 2) 32; 3) 2.

5.20. Завдання на дробі

150

Завдання завжди викликають психологічні незручності. Це пов'язано

з тим, що необхідно логічно (абстрактно) мислити. Навчитися цьому мож-

на і навіть потрібно, щоб мати математичне мислення.

Зазвичай це полягає в тому, щоб уважно вникати в умову завдання і

визначити спочатку, що дано і що потрібно знайти.

Потім складаємо порядок дій (алгоритм по кроках), в якому, часто,

дані подані не всі або завуальовані (дані частково) і вам необхідно здогада-

тися.

Для логічного мислення при вирішенні завдань потрібна практика

складання простих алгоритмів в думці, а для студентів у вигляді блок-схем

алгоритмів. Школярі з цим зазвичай справляються успішно. Ось для цього

автор рекомендує грати школярам і студентам в шашки, де розвивається

логічне мислення.

Якщо завдання не виходить відразу (швидко), то його можна відкла-

сти і повернутися до нього пізніше, але обов'язково розв’язати її самостій-

но.

Пригадаємо випадок з Архімедом, якому цар задав завдання: визна-

чити з чистого золота зроблена корона чи ні. Якби Архімед не вирішив за-

дачу, то цар його б обезголовив. Рішення задачі не вдавалося, і Архімед

пішов в лазню, щоб померти в чистому вигляді. Милися в лазнях тоді в бо-

чках. Архімед наповнив бочку водою і занурився. Раптом він відчув, що

його вага зменшилася, і його осяяла здогадка, як вирішити задачу. Не ду-

маючи ні про що, окрім завдання, Архімед вискочив з бочки і побіг додому

з криком:

– Еврика! (Знайшов!) – і рішенням задачі врятував собі життя.

Звичайно, вам ризикувати життям не треба, але думати над рішення

важкої задачі треба і рішення прийде у вашу світлу головку. Будьте в цьо-

му упевнені!

151

Як знайти частку від частки? Так це ж просто завдання на множення

дробів. Давайте з цього виходити.

Приклад 1:

Чому рівна одна п'ята від однієї восьмої?

Рішення:

Запишемо одну п'яту і одну восьму у вигляді звичайних дробів і пе-

ремножимо їх.

.40

1

85

11

8

1

5

1

Як видно – це дуже просто.

Приклад 2:

Чому рівна одна третина від двох з восьмою?

Рішення:

Запишемо одну третину і дві з восьмою у вигляді дробів і перемно-

жимо їх.

.24

17

83

171

8

17

3

1

8

12

3

1

І тут у нас вийшло просто.

Приклад 3:

Знайти одну четвертую від восьми.

Рішення:

Запишемо одну четвертую і вісім у вигляді дробів і перемножимо їх.

.214

81

1

8

4

18

4

1

Дійсно, якщо вісім розділити на чотири, то отримаємо два.

Виконайте завдання:

1) Знайти дві третини від однієї десятої.

2) Знайти половину від п'яти з половиною.

152

3) Знайти п'ять шостих від двадцяти;

4) Минулого року зріст Діми складав 1 метр і 8 сантиметрів, цьо-

го року 1 метр і 50 сантиметрів. Наскільки він виріс за цей рік?

5) Мама купила 152

1 метрів тканини. Вона використовувала 3

15

1

метрів тканини на сукню Євгенії, а на сукню Ганни витратила 4 метрів тка-

нини. Скільки тканини залишилося?

6) Вова пройшов відстань 12,3 км. пішки. Вітя проїхав цю від-

стань і ще 5,5 км. на велосипеді, а тато проїхав на машині таку ж відстань,

як Вова і Вітя разом. Скільки кілометрів проїхали вони утрьох?

7) Бджола вилетіла з вулика і через 5 км. зібрала нектар на клумбі

і віднесла його у вулик, а потім полетіла на гречане поле, яке знаходилося

за 30 км. від вулика. Скільки кілометрів пролетіла бджола, збираючи мед?

8) У сім'ї 4 людини. Мама отримала зарплатню 1200 гривень, а

тато в два рази більше. Скільки грошей доводиться на кожного члена сім'ї?

9) У сім'ї 5 чоловік. Мама отримала зарплатню 1350 гривень, а та-

то в два з половиною рази більше. Тато купив за 1800 гривень фотоапарат.

Скільки грошей залишилося на кожного члена сім'ї?

10) Якщо золото за унцію коштує 450 гривень. Скільки унцій золо-

та можна купити на 7875 гривень?

Відповіді:

1) 15

1; 2) ;75,2

411

3) 10,(6); 4) 42 см.; 5) 6

57 ; 6) 60,2 км.;

7 ) 70 км.; 8) 900 рублей; 9) 585 рублей; 10) 17,5 унции.

ВИСНОВОК

153

Розділ п'ятий розрахований на початківців і студентів першого кур-

су, які «втратили» свої навички при операціях з дробами. Зверніть увагу на

використання періодичних дробів і перетворення їх з десяткового запису в

звичайний дріб. Не зневіряйтеся! Вивчайте і успіх до вас прийде. Не забу-

вайте гру в шашки – це допоможе вам складати алгоритми для

розв’язування завдань.

154

ІІ. НАБЛИЖЕНІ ВИМІРЮВАННЯ

РОЗДІЛ 6.

ВІДСОТКИ І НАБЛИЖЕНІ ВИМІРЮВАННЯ

6.1. Звичайні дроби, десяткові дроби і відсотки

Початківцям відсотки даються важко, оскільки це для них новий

розділ в математиці. Згадую, що мені в четвертому класі тато допомагав в

них розібратися. Допомагав і я іншим. Завжди це закінчувалося успішно.

Зазвичай, коли пишуть відсотки, то до числа приписують символ

відсотка «%», щоб розрізняти їх із звичайними числами.

Відсотком (від латинського слова pro cento – з сотні) називається

сота частина. Запис одного відсотка виглядає так: 1% означає число 0,01

(одна сота), а запис 16% = 16/100 = 0,16.

Щоб перетворити десятковий дріб у відсотки, то множимо дріб на

100 або зміщуємо (переносимо) десяткову кому праворуч на дві позиції

(що рівносильне множенню на 100) і записуємо символ відсотків «%».

Розглянемо приклади запису чисел у вигляді відсотків.

Приклад 1:

Перетворимо числа 2; 0,3; 7/9; 5/3 у відсотки.

Рішення:

1) 2 = 200%;

2) 0,3 = 30%;

3) %.8,77%777,77%9

700%

9

1007

9

7

4) %.7,166%6666,166%3

500%

3

1005

3

5

155

Як видно – це дуже просто.

Щоб знайти число по його відсотковому виразу, потрібно розділити

число у відсотках на 100, або переносимо кому ліворуч на дві позиції (що

рівносильне діленню на 100) і відкидаємо символ відсотків «%».

Приклад 2:

Перетворимо відсотки 2,15%; 10,03%; 107,9% в числа.

Рішення:

1) 2,15% : 100 = 0,0215;

2) 10,03% :100 =0,1003;

3) 107,9% : 100 = 1,079.

І тут у нас вийшло все просто.

Завдання:

Як вирахувати податок соціального страхування, якщо у вас зарплата

1850 гривень, а ставка податку соціального страхування рівна 5,7%?

Рішення:

1850

0,057

12950

9250

105,450

Отже, ви повинні зі своєї зарплати виплачувати 105 гривень та

45 копійок.

6.2. Основні завдання на відсотки

1. Знайти вказаний відсоток даного числа

Правило: Дане число множиться на число відсотків, а результат

множення ділитися на 100. Іншими словами, дане число множимо на дріб,

що виражає вказаний відсоток.

×

+

156

Завдання 1:

За планом виручка магазину складає 2860 тисяч гривень в день. Ма-

газин отримав виручку на 115% більше, ніж планував. Скільки тисяч гри-

вень отримав магазин виручки?

Рішення:

Перший варіант розв’язування:

1) 2860 × 115 = 328900. Помножили число на відсотки.

2) 328900 : 100 = 3289 тисяч гривень. Поділили число на 100.

Другий варіант розв’язування:

2860 × 1,15 = 3289 тисяч гривень.

Завдання 2:

У перший день ви читали 12 сторінок іноземного тексту, а через рік

на 125% більше. Скільки ви читали сторінок в день через рік?

Рішення:

Перший варіант розв’язування результату:

1) 12 × 125 = 1500. Помножили число на відсотки.

2) 1500 : 100 = 15 сторінок. Поділили число на 100.

Другий варіант одержання відповіді:

12 × 1,25 = 15 сторінок.

Перевір себе, виконуючи завдання:

1) Якщо ви заробили 3000 грн. в місяць і отримали премію 15%.

Скільки грошей ви отримали за місяць?

2) Команда «Шахтар» в 2009 році виграла 36 ігор, а в 2010 на 50%

більше. Скільки перемог взяла команда «Шахтар» в 2009 році?

3) Мама важила 80 кг На скільки кг вона схудла, якщо важить 76%

своєї колишньої ваги?

Відповіді:

1) 3000 × 0,15 = 450 грн.;

2) 36 × 1,5 = 54 ігор;

157

3) 80 × 0,24 = 19,2 кг.

2. Знайти число по даній величині вказаного його відсотка.

Правило: Дана величина ділитися на число відсотків; результат ді-

лення умножається на 100. Іншими словами, дана величина ділиться на

дріб, що виражає вказаний відсоток.

Завдання 1:

Цукровий пісок складає 12,5% від ваги переробленої буряковинь.

Скільки буряковинь потрібно для виготовлення 5000 тон цукрового піску?

Рішення:

Перший варіант розв’язування:

1) 5000 : 12,5 = 400. Розділили число на відсотки.

2) 400 × 100 = 40000 тон.

Другий варіант:

5000 : 0,125 = 40000 тон.

Завдання 2:

Ціну товару понизили на 20%. Скільки коштував товар, якщо ціна

стала рівна 128 гривень?

1) 128 : 80 = 1,6. Розділили число на відсотки:

2) 1,6 × 100 = 160 гривень.

Перевір себе, виконуючи завдання:

1) Якщо ви поклали в банк 7000 грн. на 15%. річних Скільки грошей

ви отримаєте через рік?

2) Робітники зробили в перебігу місяця замовлення на 17% і їм спла-

тили 5800 грн. Скільки гривень отримали робітники за все замовлення?

3) Мама витратила 16% грошей на покупку меблів, які коштували

6400 гривень. Скільки грошей було у мами?

Відповіді:

158

1) 7000 × 1,15 = 8050 грн.;

2) (5800 : 17) •100 = 34117,647 =34117,65 грн.;

3) (6400 : 16) × 100 = 40000 грн.

3. Знайти вираз одного числа у відсотках іншого.

Правило 3: Множимо перше число на 100 і результат ділимо на дру-

ге число.

Завдання 1:

Кількість виробництва булок з 1200 збільшилася до 1800 штук. На

скільки відсотків збільшилося виробництво булок?

Рішення:

1) 1800 - 1200 = 600;

2) 600 × 100 = 60000;

3) 60000 : 1200 =50

Кількість булок збільшилася на 50%.

Завдання 2:

Після прочитання цієї книги ваш IQ (коефіцієнт інтелекту) піднявся з

85 до 119. На скільки відсотків змінився IQ?

Рішення:

%404,05

2

85

34

значеннняпочаткове

величинизміна,

або інакше (119 - 85) : 85 = 34 : 85 = 0,4 = 40%

Відповідь: Ваш IQ піднявся на 40%.

Перевір себе, розв’язуючи завдання:

1) Якщо ви заробили 4000 грн. в місяць і отримали премію 100 грн.

На скільки відсотків збільшилася ваша зарплата?

2) Команда «Шахтар» в 2010 році виграла 70 ігор, а минулого року

всього 56 ігор. На скільки відсотків збільшилася кількість їх перемог?

159

3) Мама схудла на 5 кг На скільки відсотків вона схудла, якщо ва-

жить 75 кг?

Відповіді:

1) %5,2025,040

1

4000

100

значеннняпочаткове

величинизміна;

2) %2525,04

1

56

14

значеннняпочаткове

величинизміна;

3) %25,60625,016

1

80

5

значеннняпочаткове

величинизміна.

Для перевірки своєї здатності виконувати завдання з відсотками і

дробами, пропонується таке завдання. Подумайте самостійно і розв’яжіть.

Можливо, до неї можна буде повернутися в кінці цього розділу. Успіхів

вам!

Завдання.

З даних чотирьох чисел перші три відносяться між собою, як

1/5:1/3:1/20, а четверте складає 15% другого числа. Знайти ці числа, якщо

відомо, що друге число більше суми останніх на 8 одиниць.

Відповідь: 48; 80; 12; 12.

Зауваження 1. У всіх трьох типах завдань порядок дій можна міняти.

Це пов'язано з тим, що виконуються дві дії : ділення і множення, пріоритет

яких для порядку виконання однаковий.

Зауваження 2. Необхідно бути уважним при складання порядку об-

числення. Інакше це може привести до помилки.

Розглянемо яскравий приклад невірного розв’язування, щоб надалі

такого рішення не допускати.

Хай треба дізнатися, скільки коштувала настільна лампа, якщо після

зниження ціни на 10% ця лампа коштує 90 грн. Іноді розв’язують так:

1) 90 × 0,1 = 9, де визначають 10% від вартості 90 грн.

160

2) Потім складають 90 + 9 = 99 грн.

Це невірно, тому що відсоток зниження ставиться по відношенню до

колишньої ціни.

Правильний розв’язок: після зниження ціни вартість лапи склала,

тобто:

1) 100% - 10% = 90%.

2) колишня ціна визначається як 90 : 0,9 = 100 грн.

Зауваження 3. При всіх обчисленнях з відсотками на практиці слід

користуватися способами наближених обчислень.

6.3. Швидкі обчислення на відсотки

Розглянемо визначення відсотків при збільшенні числа у декілька ра-

зів. Наприклад, 100 збільшимо в 3 рази. Вийшло 300%. Але це неправиль-

но. Чому? Давайте розберемося.

Правильно буде спочатку визначити, на скільки збільшилося число,

тобто 300 – 100 = 200. Звідси зрозуміло, що число збільшилося на 200%. Таким чином, при збільшенні числа в n разів ми збільшуємо його на

(n-1) × 100%.

На скільки відсотків збільшиться число 5, якщо ми його потроїмо і

отримаємо 15? На 200%. Як ми це отримали. Скористалися формулою:

При K × n, то число K збільшується на (n – 1) × 100%.

Якщо ви зменшили число на 100%, то що ви отримаєте? Не поспі-

шайте – подумайте!

Якщо 0, то правильно. Будь-яке число при зменшенні на 100% зав-

жди рівне 0, тому, що ми від цього числа віднімаємо таке ж число. Візьме-

мо, наприклад, 17. Запишемо формулу для процентної зміни:

017

1717

значеннняпочаткове

величинизміна

161

Іншими словами, якщо зміна початкової величини 17 у бік зменшен-

ня також рівне 17, то у результаті ми отримаємо 0.

Використовуючи формулу:

%100значеннняпочаткове

величинизміна

ми можемо швидко обчислити зміну відсотків при зміні числа на певну ве-

личину.

Виконайте завдання і перевірте себе:

1) Число 25 збільшили до 100. На скільки відсотків ми змінили вели-

чину 25?

2) Число 25 зменшили до 0. На скільки відсотків ми змінили величи-

ну 25?

3) Число 20 збільшили до 50. На скільки відсотків ми змінили вели-

чину 20?

4) Ми зменшили число 1937 на 100%. Скільки ми отримали?

Відповіді:

1) 300%; 2) 100%; 3) 150%; 4) 0

6.4. Про наближені обчислення

Числа, з якими ми стикаємося в житті, бувають двох родів: точні і

наближені.

Часто ми беремо наближені числа, замість точних. Це може бути при

розрахунках, де для нас копійки не мають особливого значення. Наприк-

лад, 79 грн. і 88 копійок. При 80 грн. 12 копійок, які ми переплачуємо,

можливо, для нас не мають істотного значення.

Іноді це пов'язано з точністю вимірювальних приладів. Наприклад,

моєму татові, Федору Дмитровичу, замовили зробити головку для читання

імпульсів з магнітного барабана з радіусом 3 мікрони.

162

– Федір Дмитрович, ви зможете зробити в головці читання радіус

3 мікрони?

– Звичайно, – без роздуму відповів він.

Після відходу замовника, до нього звернувся його колега.

– А як ви визначите 3 мікрони?

– Я зроблю. А ось як вони визначать 3 мікрони – це їх справа.

Всі дружно розсміялися, знаючи, що визначити 3 мікрону в їх

умовах було неможливо.

Це зайвий раз показує, що часто не по своїй волі ми маємо справу з

наближеними значеннями. У багатьох випадках точне число неможливо

знайти і ми задовольняємося наближеним.

Приведемо ряд прикладів.

Приклад 1: На руках людини 10 пальців; число 10 – точне.

Приклад 2: У квадраті дві діагоналі; число 2 – точне.

Приклад 3: Відстань від Києва до Одеси складає 500 км.; число 500 –

наближене.

Результати дій з наближеними (джерелами) числами теж є наближе-

ними (значеннями) числами, але які нас влаштовують. При цьому неточ-

ними результатами можуть бути дії і над точними числами.

Приклад 4: Наприклад, ми купуємо товар за ціною 5,25 грн. за кг в

кількості 5,25 кг. При перемножуванні 5,25 на 5,25 отримуємо суму

26,5525 гривень. Копійки розглядаються до 1 грн. (1 грн. = 100 коп.). Отже,

0,0025 відкидається і оцінюється покупка покупцем 26 грн. 55 коп., а про-

давцем 26 грн. 56 коп. Непорозуміння вирішується просто на користь про-

давця, оскільки для покупця 1 копійка мало що означає.

Теорія наближених обчислень дозволяє:

1) знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності ре-

зультатів ще до виконання дій;

163

2) брати дані з належним ступенем точності, достатньою, щоб за-

безпечити необхідну точність результату, але не дуже велику, щоб позба-

вити обчислювача від даремних розрахунків;

3) раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих

викладень, які не зроблять впливу на точні цифри результату.

При наближених обчисленнях відрізняють запис 3,5 від 3,50; запис

0,05 від 0,0500 і так далі. Запис 3,5 означає, що вірні цифри цілих і деся-

тих; при цьому дійсне значення числа може бути 3,53 або 3,49 (в цьому ви-

падку, числа округлюються). Запис 3,10 означає, що вірні і соті долі; дійс-

не число може бути 3,101 або 3,098, але не 3,141 і не 3,083.

Та ж відмінність проводиться і для цілих чисел. Запис 123 означає,

що всі цифри вірні. Якщо ж за останню цифру ручатися не можна, то число

округляється і записується 12 × 10, а не у вигляді 120, яка відображає, що

остання цифра 0 вірна.

Якщо в числі 3450 вірні тільки перші дві цифри, то потрібне це чис-

ло записати у вигляді 34 × 102 або 3,4 × 103.

Значущими цифрами називаються всі вірні цифри числа, окрім нулів

розташованих праворуч від числа. Наприклад, в числі 0,00483 – три зна-

чущі цифри; у числі 0,07054 – чотири значущі цифри; у числі 5200 – чоти-

ри значущі цифри; а в числі 5,2 × 103 – дві.

Число значущих цифр деякого числа називається його значністю.

Правило для додавання і віднімання. При додаванні і відніманні на-

ближених чисел необхідно вирівняти порядки множників, які відобража-

ють положення десяткової коми в числі. Розглянемо приклади.

Приклад 1:

Додавання наближених чисел 2,5×102 + 2,5×103.

Рішення:

Вирівнюємо порядки у бік збільшення, тобто до 3. Тоді результат

матиме вигляд 0,25×103 + 2,5×103 = 2,75×103.

164

Приклад 2:

Віднімання наближених чисел 2,5×104 - 2,5×103.

Рішення:

Вирівнюємо порядки у бік збільшення, тобто до 4. Тоді результат

матимуть вигляд 2,5×104 - 0,25×104 = 2,25×104.

Правило для множення. При множенні наближених чисел порядки

десяткових множників додаються, а самі числа множаться як точні.

Приклад 3:

Множення наближених чисел 2,5∙102 × 2,5∙103.

Рішення:

1) додаємо порядки, тобто до 2 + 3 = 5.

2) множимо числа 2,5 × 2,5 = 6,25

3) результат матимуть вигляд 6,25 × 105.

Правило для ділення. При діленні наближених чисел з порядку діле-

ного віднімається порядок дільника, а самі числа діляться як точні.

Приклад 4:

Ділення наближених чисел 2,5 × 104 : 0,5 × 103.

Рішення:

1) з порядку діленого добутку віднімається порядок дільника добут-

ку. Тоді результат порядку множника матиме такий вигляд:

4 – 3 = 1;

2) ділимо числа 2,5 × 104 : 0,5 × 103 =(2,5 : 0,5) × 10

3) результат матиме вигляд 5 × 10 = 50.

Розв’яжіть завдання і перевірте себе:

1) Число 0,25 помножити на наближене число 3,0 × 103.

2) Число 3,5 × 103 помножити на 3,5 × 103.

3) Число 12 × 10 збільшити на 1,5 × 102.

4) Число 12 × 10 зменшити на 0,5 × 102.

5) Число 12 × 10 розділити на 0,4 × 102.

165

Відповіді:

1) 0,75 × 103; 2) 12,25 × 106; 3) 2,7 × 102; 4) 0,7 × 102; 5) 3.

6.5. Абсолютна і відносна похибки

Абсолютна похибка або, просто, похибка наближеного числа, нази-

вається різниця між наближеним числом і його точним значенням (при

цьому з більшого числа віднімається менше). Ця величина може бути до-

датною або від’ємною.

Приклад 1:

В університеті 5483 студенти. Яка абсолютна похибка при округлен-

ні цього числа до 5400 або до 5480?

Рішення:

1) при округленні до 5400 абсолютна похибка рівна

5483 - 5400 = 83;

2) при округленні до 5480 абсолютна похибка рівна

5483 – 5480 = 3.

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення аб-

солютної похибки наближеного числа до самого числа.

Приклад 2:

У школі 496 учнів. Яка відносна похибка при округленні цього числа

до 500?

Рішення:

1) при округленні до 500 абсолютна похибка рівна 500 – 496= 4;

2) відносна похибка рівна 4: 496 або округлена 4 : 500 = 0,8%.

В більшості випадків неможливо дізнатися точне значення наближе-

ного числа, а значить, і точну величину похибки. Проте, майже завжди

можна встановити, що похибка (абсолютна або відносна) не перевершує

деякого числа.

166

До відомого вченого фізика Розенфорда з Англії прийшов російсь-

кий хлопець і попросився до нього в учні.

– У мене не має місць! – відповів Розенфорд.

– А яка у вас похибка приладів? – спитав хлопець.

– 3%.

– Тоді ви мене не помітите.

Цей жарт так сподобався Розенфорду, що він прийняв його в учні.

Цей хлопець був Петро Капіца, який став відомим російським вченим з

ядерної фізики.

Приклад 3:

У продавця в наборі найменша гиря 50 г. Зважування дині дало на-

ближене число 1200 г. Точна вага дині невідома, але відома абсолютна по-

хибка, яка не перевищує 50 г. Яка відносна похибка?

Рішення:

50 : 1200 = 4,1(6)% ≈ 4,2%

Відповідь:

Відносна похибка не перевершує 4,2%.

Гранично абсолютною похибкою називається число, що свідомо пе-

ревищує абсолютну похибку або рівне їй.

Гранично відносною похибкою називається число, яке свідомо пере-

вищує відносну похибку або рівне їй.

У прикладі 3 за граничну абсолютну похибку можна узяти 50 г., а за

гранично відносну похибку – 4,2%.

Величина граничної похибки не є цілком визначеною. Так в прикладі

3 можна прийняти за граничну абсолютну похибку 100 г., 150 г., 200 г. і

взагалі всяке число, більше чим 50 г.

На практиці береться по можливості найменше значення граничної

похибки. У тих випадках, коли відома точна величина похибки, ця величина

служить одночасно граничною похибкою.

167

Прикладом може служити сім величин точності при токарних робо-

тах, в яких похибка заздалегідь обумовлена, тобто дана.

Для кожного наближеного числа повинна бути відома його гранична

похибка (абсолютна або відносна). Якщо вона прямо не вказана, мається на

увазі, що гранична абсолютна похибка складає 0,005. Внаслідок цієї угоди

завжди можна обійтися без вказівки граничної похибки числа, округленого

по правилах, даним в п. 3.3.

Гранична абсолютна похибка позначається грецькою буквою Δ (де-

льта); гранична відносна похибка – грецькою буквою δ (дельта мала). Як-

що наближене число позначити буквою а, то .а

Розглянемо приклади на визначення похибок.

Приклад 4:

Довжина відрізка, міряного лінійкою з міліметровими діленнями, рі-

вна 25,9 см. Визначити граничну відносну похибку цього вимірювання?

Рішення:

Дано, що відрізок, а = 24,9 см; можна прийняти Δ = 0,1 см, тому, що

відрізок вимірювався з точністю до 1 мм. Значно зменшити граничну по-

хибку не вдається, оскільки необхідний великий навик, щоб прочитати на

лінійці 0,01 см. Відносна погрішність рівна %.4,0004,09,24

1,0

а

Відповідь: 0,4%.

Приклад 5:

Токар виточив циліндр з радіусом 25 мм в діаметрі. З якою точністю

потрібно циліндр виміряти мікрометром, щоб гранична відносна похибка

складала 0,05%?

Рішення:

168

Гранична відносна похибка повинна складати 0,05% від 25 мм. Отже,

гранична абсолютна похибка рівна 100

05,025= 0,0125 (мм).

Можна розв’язати іншим способом, скориставшись формулою

а

, де а=25, δ= 0,0005.

Звідси знаходимо, Δ = а × δ = 25∙0,0005 = 0,0125 (мм).

Розв’яжіть завдання і перевірте себе:

1) Яка абсолютна похибка кількості людей на концерті, якщо їх чис-

ло 2354 округлятимемо до 2350?

2) Яка відносна погрішність кількості людей на футбольному матчі,

якщо 59685 округлимо до 60000?

3) Виміряли олівець міліметровою лінійкою з відносною похибкою

0,1 мм і визначили довжину олівця 37 мм. Визначити граничну відносну

похибку?

4) Виміряли циліндр поршня мікрометром з відносною похибкою

0,01 мм і визначили довжину циліндра 73 мм. Визначити граничну віднос-

ну похибку.

5) Токар виточив циліндр з радіусом 45 мм в діаметрі. З якою точніс-

тю потрібно циліндр виміряти мікрометром, щоб гранична відносна похи-

бка складала 0,05%.

6) Вимірювання з одного боку довжини ділянки рулеткою склала

56 м. З якою точністю потрібно виміряти рулеткою довжину ділянки, щоб

гранична відносна похибка складала 0,01%?

Відповіді:

1) 4; 2) 0,525% ; 3) 0,0027%; 4) 0,00014%; 5) 0,0225; 6) 0,056.

169

6.6. Відсотковий розподіл

Відсоткове відношення є відношення якоїсь величини до суми всіх

величин разом узятих.

Завдання 1:

Дані очки команд, що зайняли перші п'ять місць, це: 55, 50, 49, 44,

38. Треба визначити їх відсотковий розподіл.

Рішення:

1) спочатку визначаємо загальну суму очок всіх п'яти команд:

55 + 50 + 49 + 44 + 38 = 236

Нам зрозуміло, що 236 складають 100%. Тоді, як визначити скільки

відсотків складають очки команд по відношенню до 100%?

2) Для цього треба:

55 ×100 : 236 = 23,3%.

50 ×100 : 236 = 21,2%.

49 ×100 : 236 = 20,8%.

44 ×100 : 236 = 18,6%.

38 ×100 : 236 = 16,1%.

Перевірка:

23,3%.

21,2%.

+ 20,8%.

18,6%.

16,1%.

100,0%

Перевірка завжди необхідна, якщо у вас є сумніви в правильності

відповіді. Незважаючи, що ми округлювали кожного разу результати до

однієї десятої, у нас вийшла загальна сума всіх відсотків рівна 100%. Це

170

правильно! Але часто при округленнях у нас можуть виникнути в загаль-

ній сумі похибки, які ми з вами вже уміємо обчислювати.

Завдання 2:

У перебігу тижня ви при їжі отримали 250 г. білка від червоного

м'яса, 150 г. білка від риби, 100 г. від свійської птиці і 50 г. з інших про-

дуктів. Який відсоток білків ви отримали від кожного продукту?

Рішення:

!) спочатку визначаємо загальну суму білків:

червоне м'ясо 250 г.

риба 150 г.

свійська птиця + 100 г.

Інші продукти 50 г.

550 г.

Далі зрозуміло, що 550 г. складають 100%. Тоді, визначаємо відсот-

кове відношення.

2) Для цього треба:

червоне м'ясо 250 × 100 : 550 = 45,5%.

риба 150 × 100 : 550 = 27,3%.

свійська птиця 100 × 100 : 550 = 18,2%.

Інші продукти 50 × 100 : 550 = 9,1%.

Перевірка:

45,5

27,3

+ 18,2

9,1

100,1

Перевірка показала, що ми округлювали кожного разу результати до

однієї десятої, у нас вийшла загальна сума всіх відсотків більше 100% на

171

0,1%. Це правильно! У нас виникла в загальній сумі абсолютна похибка

0,1, якою можна нехтувати.

Розв’яжіть завдання і перевірте себе:

1) Вболівальники на першість по футболу на стадіоні складали 5 ти-

сяч азіатів, 8 тисяч індусів і 2 тисячі африканців. Треба знайти відсоткову

частку кожної групи уболівальників.

2) В інституті на першому курсі навчаються 700 студентів, на друго-

му – 650, на третьому – 600, на четвертому – 550. Треба знайти відсоткову

частку студентів кожного курсу.

3) Банк кредитував 200 тисяч доларів фізичним особам, 300 тисяч –

юридичним особам і 500 тисяч – уряду. Треба знайти відсоткову частку

кожного типу позик.

Відповіді:

1) Азіати 5000

Індуси + 8000

Африканці 2000

15000

Азіати %3,333

1

15

5 Перевірка:

Індуси %3,5315

8 33,3+53,3+13,3=99,9%

Африканці %3,133

1

15

2

2) 1-й курс 700

2-й курс + 650

3-й курс 600

4-й курс 550

2500

172

1-й курс %2825

7

2500

700 Перевірка:

2-й курс %2650

13

2500

650 28+26+24+22=100%

3-й курс %2425

6

2500

600

4-й курс %2250

11

2500

550

3) Фізичні особи $200 тисяч

Юридичні особи + $300 тисяч

Уряд $500 тисяч

$1000 тисяч \

Фізичні особи %201000

200 Перевірка:

Юридичні особи %301000

300 20+30+50=100%

Уряд %501000

500

6.7. Швидке множення не круглих чисел на цифру

При відвідинах ресторану встає питання про суму чайових, які по

«етикету» треба заплатити офіціантові за послуги. Фахівці з етикету пора-

дять вам стандартні 15% від вартості замовлення. Не уміння порахувати

чайові в думці, створює труднощі, які не завжди зручно рахувати кальку-

лятором у присутності клієнта. Отже, як же обчислити ці «нещасливі» 15%

від вартості замовлення в думці?

173

Можна помножити в думці суму замовлення на 0,15, але це часто

важко і віднімає багато часу. Давайте спробуємо знайти легший спосіб ви-

значення 15%, навіть якщо результат буде наближеним числом.

Розглянемо це на ряду прикладів.

Хай ваш рахунок складе 39 гривень 65 копійок. Округлимо його до

40 гривень, щоб полегшити визначення чайових. Для 40 визначимо споча-

тку 10%, що не важко визначити, що вони складають 4 гривні, а, отже 5%

складає половину цих 10%, тобто 2 гривні. Тепер легко визначити, що ча-

йові можуть скласти 4 + 2 = 6 гривень.

А як вирахувати, якщо ваш рахунок складає 83 гривні і 12 копійок.

Таким же чином. Округлюємо суму замовлення до гривні і отримуємо 83

гривні (12 копійок відкидаємо). 10% складає від суми 8,3 гривні. Отже, 5%

рівне 4,15 гривні, що в сумі складає 12 гривень і 45 копійок. Таким чином,

можна в думці обчислити, що загальна сума замовлення разом з чайовими

складе 95 гривень або 96 гривень. При цьому копійками можна нехтувати в

ту або іншу сторону.

Доведіть цю процедуру рахунку до автоматизму. Не бурмотіть при

цьому під ніс і не ворушите губами, коли множите. В цьому випадку весь

ефект перед клієнтом буде втрачений.

Спосіб швидкої лічби про себе (при множенні точних чисел) полягає

в тому, що, коли число близьке до круглого округлюють (додаючи або від-

німаючи малі числа), а потім кругле число множимо на друге число. Потім

від результату віднімаємо добуток малого (який ми додали) числа на друге

число або додаємо добуток малого (який ми відняли) числа на друге число.

Розглянемо це правило на прикладах.

Приклад 1: 2998 × 5 = 3000 × 5 - 2 × 5 = 14990;

Приклад 2: 3008 × 5 = 3000 × 5 + 8 × 5 = 15040.

Обчисліть приклади на швидке множення.

174

1 2 3

1499 × 15 39 × 40 78 × 15

1503 × 15 43 × 40 82 × 15

Перевірте себе.

1 2 3

22470 1560 1170

22545 1720 1230

6.8. Попереднє округлення при додаванні і відніманні

Коли при додаванні або відніманні наближені числа закінчуються на

одному і тому ж розряді, то до виконання операції слід провести округлен-

ня чисел. Потрібно утримати лише ті розряди, які вірні. Останні відкида-

ються, як даремні. При невеликому числі доданків цифри суми будуть вір-

ні, окрім останньої. Остання цифра результату може бути не зовсім точ-

ною. Цю неточність можна звести до мінімуму, якщо враховувати вплив

наступного розряду (запасні цифри).

Приклад 1:

Знайти суму чисел після округлення до десятих

125,3 + 0, 442 + 10,741

Рішення:

Сума чисел рівна 136,483. Округляючи суму цифр до десятих долів,

отримаємо 136,5. Якщо провести попереднє округлення початкових чисел

до складання, то результат знайдемо простішим (отже, легше) 125,3 + 0,4 +

+10,7 = 136,4. Цифра десятих вийшла на 1 менше. Якщо врахувати цифри

сотих при складанні, отримаємо 125,3 + 0, 44 + 10,74 = 136,48 і після окру-

глення 136,5. Цифра 5 надійніше чим 4, хоча якщо припустити, що перший

175

доданок є закруглене число 125,26, то сума з точністю до 0,01 складала б

136,44 і при округленні сума дорівнювала б 136,4.

При обліку запасних цифр складання в стовпчик розташовується, як

показано на схемі (запасні цифри відокремлені межею).

Схема:

125,3

+ 0,4 4

10,7 4

136,5

Приклад 2:

Знайти суму чисел після округлення до десятих

12,551 + 0,2862 + 10,1 + 27,45 +0,0097

Рішення:

Без урахування запасних цифр (округлюємо числа до десятих) отри-

муємо суму 50,5. З урахуванням запасних цифр отримуємо закруглену су-

му 50,4. В останньому результаті цифра 4 надійніша, ніж цифра 5. В уся-

кому разі, цифра 5 не може бути вірною. Облік запасних цифр дає поліп-

шення результату, але незначне. Схема зліва дає складання без урахування

запасних цифр, а справа – з обліком:

12,6 12,5 5

0,3 0,2 9

+10,1 + 10,1

27,5 27,4 5

50,5 0,0 1

50,4

176

Виконайте дії з точністю до 0,1.

1 2 3

14,99+15,1+0,00541 1,95+7,25+0,057 4,75+8,31+0,005

11,09+5,01+0,0087 10,09+11,05+0,005 2,56+25,1+0,0061

Перевір себе.

1 2 3

30,1 9,3 13,1

16,1 21,2 27,7

6.9. Арифметичні операції з від’ємними числами

Від’ємні числа.

Число можна представити як крапку на числовій осі (рис. 6.1). По-

значимо нуль на числовій осі, від якого праворуч відкладаються додатні

числа, а ліворуч – від’ємні. Числа на числовій осі можна розглядати до не-

скінченності. Ліворуч до мінус нескінченність (- ∞), а праворуч – до плюс

нескінченність (+∞).

Зазвичай в житті ми стикаємося з додатними числами. Але можуть

бути випадки, коли без від’ємних чисел не обійтися. Тоді будьте напогото-

ві!

Використовуючи в своїх розрахунках від’ємні числа, можна викону-

вати всі чотири арифметичні дії: додавання, віднімання, множення і ділен-

ня. Розглянемо спочатку додавання.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-∞ +∞ ∞

Рис. 6.1

177

Додавання від’ємних чисел.

Правило 1. При додаванні двох від’ємних чисел, вони додаються як

додатні числа, але результат їх додавання буде зі знаком мінус.

Приклад 1: (- 5) + (- 7) = - (5 + 7) = - 12;

Приклад 2: - 5 + (- 7) = - (5 + 7) = - 12.

Як видно з двох прикладів, перше від’ємне число можна при дода-

ванні записувати без дужок. Результат від цього не змінюється.

Правило 2: При додаванні двох чисел з різними знаками відбувається

операція віднімання, при якій з більшого по модулю числа віднімається

менше, а в результат ставимо знак більшого числа.

Приклад 3: 5 + (- 7) = - (7 - 5) = - 2;

Приклад 4: 13 + (- 5) = (13 - 5) = 8.

Автор сподівається, що з додаванням від’ємних чисел вам все зрозу-

міло.

Віднімання від’ємних чисел.

Правило 1. При відніманні від’ємного числа воно перетвориться в

додатне число, а після цього визначаємо арифметичну дію. Якщо перше

число додатне, то проводимо додавання двох чисел, інакше – віднімання.

Приклад 5: (- 5) - (- 7) = (- 5) + 7 = 7 - 5 = 2;

Приклад 6: 5 - (- 7) = 5 + 7 = 12.

Як видно з прикладів, при відніманні від’ємного числа воно перетво-

рюється в додатне.

Правило 2: При відкритті дужок, перед якими розташований мінус,

відбувається зміна знаків чисел в дужках на протилежні знаки (плюс на мі-

нус і навпаки).

Приклад 7: - (5 - 7) = 7 - 5 = 2;

Приклад 8: - (13 - 5) = - 13 + 5 = - 8.

178

Особливо зверніть увагу на розкриття дужок, перед якими стоїть

знак мінус. Не забувайте, що при розкритті дужок знаки перед числами

змінюються на протилежні.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3

(- 4) + (- 5) (- 3) + (- 10) + (+5) (- 5) + (- 6) + (+4)

(- 3) - (- 10) (+4) - (- 6) (- 3) - (+ 9)

Перевірте себе.

1 2 3

- 9 - 8 - 7

7 10 -12

Якщо ви освоїлися з додаванням і відніманням від’ємних чисел, то

переходьте до множення і ділення.

Множення і ділення від’ємних чисел.

При множенні або діленні від’ємних чисел в першу чергу бажано ви-

значити знак результату, який визначається по наступних правилах:

Множення: Ділення:

1) + × + = +; + : + = +;

2) - × + = -; - : + = -;

3) + × - = -; + : - = -;

4) - × - = +; - : - = +;

Далі операції множення або ділення виконуються звичайним спосо-

бом без урахування знаків чисел.

Приклад 9: 125 × 5 = 625;

Приклад 10: (- 125) × 5 = - 625.

Приклад 11: 125 × (- 5)= - 625

Приклад 12: (- 125) × (- 5)= 625.

179

Приклад 13: 125 : 5 = 25;

Приклад 14: (- 125) : 5 = - 25.

Приклад 15: 125 : (- 5) = - 25

Приклад 16: (- 125) : (- 5) = 25.

Виконайте дії:

1 2 3

(- 12) × 12 (+15) × ( - 15) (- 16) × (- 16)

(- 144) : 12 (+ 225) : (- 15) (- 256) : (- 16)

Перевірте себе.

1 2 3

- 144 - 225 + 256

- 12 - 15 + 16

Якщо ви стикаєтеся з проблемами, то повторите таблицю множення.

У питаннях математики поспішати не слід. Тихіше їдьмо – далі будемо!!

6.10. Похибки суми і різниці

Гранична абсолютна похибка суми не перевищує суми граничних аб-

солютних похибок доданків.

Приклад 1. Додаємо наближені числа 765 + 22 = 787. Хай гранична

похибка першого числа є 3 а другого – 1. Тоді гранична похибка суми рів-

на 3 + 1 = 4. Так, якщо дійсне значення чисел 768 і 23, то їх сума рівна 791.

Приклад 2. Знайти суму наближених чисел

0,909+0,833+0,769+0,714+ 0,667+0,625+0,588+0,556+0,526

Додавання дає 6,187. Гранична погрішність кожного доданку 0,0005;

гранична похибка суми 0,0005 × 9 = 0,0045. Значить, в останньому третьо-

180

му знаку після коми в сумі можлива помилка до 5 одиниць. Тому округля-

ємо суму до другого знаку після коми, тобто до сотих. отримуємо 6,19; тут

всі знаки вірні.

Зауваження. Треба відзначити, що зазвичай при вимірюваннях від-

бувається взаємна компенсація похибок. Тому дійсна похибка суми лише у

виняткових випадках співпадає або близька граничній похибці. Дійсна ве-

личина похибки може коливатися в ту або іншу сторону і бути менше гра-

ничної абсолютної похибки.

Підрахунок показує, що число всіх можливих випадків розподілу по-

хибок складає біля одного мільярда. Тим часом лише в двох випадках по-

хибка суми може досягти граничної похибки 0,0045. Це відбудеться:

1) коли дійсна величина кожного доданку більше наближеної на

0,0005;

2) коли дійсна величина кожного доданку менше наближеної на

0,0005.

Значить, випадки, коли похибка суми співпадає з граничною похиб-

кою, складає близько 0,0000002% від всіх можливих випадків.

Подальший підрахунок показує, що випадки, коли похибка суми де-

в'яти доданків може перевищити дві одиниці останнього знаку, теж дуже

рідкісні. Вони складають лише 0,07% з числа всіх можливих. Дві одиниці

останнього знаку похибка може перевищити в 2% всіх можливих ви-

падків, а одиницю – приблизно в 25%. У останніх 75% випадків погріш-

ність дев'яти доданків не перевищує однієї одиниці останнього знаку.

Гранична абсолютна похибка різниці не перевищує суми граничних

абсолютних похибок зменшуваного і такого, що віднімається..

Приклад 3. Знайти різницю наближених чисел 105 - 52.

Хай гранична похибка наближеного зменшуваного 105 рівна 2, а

гранична похибка від'ємника рівна 52 рівна 3. Гранична похибка різниці

105 - 52 = 53 є 2 + 3 = 5. Тоді можна припустити, що дійсні значення змен-

181

шуваного і такого, що віднімається можуть дорівнювати 105 + 2 = 107 і 52

- 3 =49. В цьому випадку, дійсна різниця складе 107–49=78. Як видно рі-

зниця на 5 одиниць відрізняється від наближеної різниці 53.

Граничну відносну похибку суми і різниці можна знайти, обчислив-

ши спочатку абсолютну похибку.

Гранична відносна похибка суми (але не різниці!) знаходиться між

найменшою і найбільшою з відносних похибок доданків. В цьому випадку

точність суми (у відсотковому відношенні) не поступається точністю

доданків. Це означає, що при значному числі доданків точність суми, як

правило, набагато точніше за доданки (див. приклад 2).

Приклад 4. У кожному доданку суми 24,4+25,2+24,7 = 74,3 гранична

відносна похибка приблизно одна і та ж, а саме 0,05 : 25 = 0,2%. Така вона

і для суми. Тут гранична абсолютна похибка рівна 0,15, а відносна 0,15:

74,3 M 0,15:75 = 0,2%.

В протилежність сумі різниця наближених чисел може бути менш

точною, чим зменшуване і таке число, що віднімається. «Втрата точно-

сті» особливо велика у тому випадку, коли зменшуване і таке число, що ві-

днімається, по величині мало відрізняються один від одного.

Приклад 5. Вимірювання зовнішнього і внутрішнього діаметру тон-

костінної трубки дали відповідні значення 28,7 мм і 28,3 мм. Обчисливши

за цими даними товщину стінки трубки, знайдемо 2

1(28,7 - -28,3) =

= 0,2 (мм). Гранична відносна похибка зменшуваного і того числа, що від-

німається, одна і та ж і рівна δ =0,2%. Гранична відносна похибка різниці

складає 0,4 (а також її половини, рівної 0,2), складає 25%.

Зважаючи на вказаний факт слідує завжди, коли це можливо, уника-

ти обчислень шуканої величини за допомогою віднімання близьких вели-

чин.

182

Розв’яжіть приклади на визначення похибки суми і різниці наближе-

них чисел.

1) Дано наближені числа 137 і 39. Хай їх гранична похибка рівна

3 і 2. Визначити на скільки відрізняється дійсне значення суми від набли-

женої?

2) Дано наближені числа 287 і 109. Хай їх гранична похибка рівна

5 і 2. Знайти на скільки відрізняється дійсне значення різниці від наближе-

ної?

Перевірте себе.

1) 5; 2) 7.

6.11. Похибка при множенні

Гранична відносна похибка множення приблизно рівна сумі гранич-

них відносних похибок співмножників.

Приклад 1. Визначити граничну відносну похибку добутку двох на-

ближених чисел 55×22 при граничній відносній погрішності першого спів-

множника 0,3%, а другого – 0,5%.

Рішення: Гранична відносна похибка добутку 55×22 =1210 приблиз-

но рівна 0,9%. Насправді, гранична абсолютна похибка першого співмно-

жника рівна 55×0,003 = 0,165 ≈ 0,2, а другого 22×0,005 = 0,11 ≈ 0,1. Звідси

дійсна величина добутку не перевищує 55,2×22,1 = 1219,9 і не менше

54,8×21,9 = 1195,9. Якщо дійсна величина множення рівна 1219,9, то похи-

бка множення визначається різницею 1219,9 - 1210 = 9,9, а якщо дійсна ве-

личина множення рівна 1090,6, то похибка множення визначається різни-

цею 1210 - 1195,9=14,1. Розглянемо два випадки – найсприятливіші. В

цьому випадку, гранична абсолютна похибка добутку рівна 14,1. Гранична

відносна похибка рівна 14,1 : 1210 = 0,0116% ≈ 0,012%.

Зауваження: Правило для двох співмножників записується так:

183

δ ≈ δ1 + δ2,

де δ – гранична відносна похибка добутку;

δ1 – гранична відносна похибка множника 1;

δ2 – гранична відносна похибка множника 2.

Такий же вираз δ буде:

δ ≈ δ1 + δ2 + δ1 δ2.

Тобто гранична відносна похибка добутку завжди більша ніж сума відно-

сних похибок співмножників, яка дуже мала, і нею можна нехтувати.

При розгляді прикладу 1 маємо:

δ=0,004+0,005+0,004×0,005 = 0,00902.

Похибка тут складає 0,012 - 0,009 = 0,003, тобто 0,3% від наближеної

величини граничної відносної похибки. Це перевищення таке мале, що йо-

го немає сенсу враховувати.

Приклад 2. Визначити граничну відносну похибку множення двох

наближених чисел 75,2×39,5 з граничною абсолютною похибкою кожного

числа 0,05.

Рішення: δ1= 0,05:75,2 = 0,0007; δ2= 0,05:39,5 = 0,0013. Гранична від-

носна похибка множення 75,2×39,5 = 2970,4 приблизно рівна

0,0007+0,0013=0,002. Величина δ1δ2=0,0007×0,0013=0,00000091 така мала,

що нею можна нехтувати. Гранична абсолютна похибка множення 2970,4

рівна 2970,4×0,002=5,94, тому останні дві цифри 0,94 можуть бути невірні.

Виконайте приклади на визначення похибки добутку наближених

чисел.

1) Знайти об'єм кімнати за даними вимірювання: довжина –

4,57 м, ширина – 3,37 м, а висота – 3,18 м. Граничні абсолютні похибки рі-

вні 0,005 м.

2) Знайти площу спортивного майданчика за даними вимірюван-

ня: довжина – 50 м, ширина – 20 м. Граничні абсолютні похибки рівні

0,005 м.

184

Відповіді:

1) 49,0 м3; 2) 1009,2 м2.

6.12. Підрахунок точних знаків при множенні

Оцінка похибки множення може ґрунтуватися на такому правилі:

Хай перемножуються два наближені числа, і хай кожне має по k зна-

чущих цифр. Тоді (k – 1)-а цифра множення вірна, а k-а цифра множення

може бути не цілком точною. Проте похибка множення не перевершує 5,5

одиниць k-ої цифри і лише у виняткових випадках близька до цієї межі.

Якщо ж перші цифри співмножників в множенні дають число, більше де-

сяти (з обліком впливу наступних цифр або без урахування), то похибка

множення не перевищує однієї одиниці k-ої цифри.

Приклад 1. Виконаємо добуток наближених чисел 3,25×5,22, що ма-

ють по три значущі цифри. У добуткові 16,965 перші дві цифри безумовно

вірні. Третя цифра може бути не зовсім точною. При даних величинах

співмножників гранична абсолютна похибка множення складає 0, 0165.

Дійсна похибка, як правило буде менше. Тому третю цифру потрібно

утримати. Четверту цифру немає сенсу зберігати. Округлюючи, маємо

3,25×5,22 ≈ 16,9.

При перемножуванні трьох, чотирьох і так далі наближених чисел

гранична похибка пропорційно зростає в порівнянні з розглянутою похиб-

кою в півтора, два і так далі рази. Але, в більшості випадків, дійсна похиб-

ка при невеликому числі співмножників залишається в тих же межах (уна-

слідок компенсації похибок).

ПРАКТИЧНІ ВИСНОВКИ

185

1. Якщо перемножуються наближені числа з однією і тією ж кількіс-

тю значущих цифр, то в добутку слід утримати стільки ж значущих цифр.

Остання з утриманих цифр буде не цілком надійна.

2. Якщо деякі співмножники мають більше значущих цифр, чим

інші, то до виконання дії множення слід їх округлити, зберігши в них сті-

льки цифр, скільки має найменш точний співмножник, або ще одну (як за-

пасну). Подальші цифри утримувати марно.

3. Якщо потрібно, щоб добуток двох чисел мало заздалегідь чис-

ло цілком надійних цифр, то в кожному із співмножників число точних

цифр (знайдених вимірюванням або обчисленням) повинно бути на одини-

цю більше. Якщо кількість співмножників більше двох і менше десяти, то

в кожному із співмножників число точних цифр для повної гарантії пови-

нне бути на дві одиниці більше, ніж необхідне число точних цифр. Прак-

тично досить узяти зайву одну цифру.

Щоб перевірити ці висновки, розглянемо приклад, де наперед відомі

точні значення співмножників наближених чисел.

Приклад 2. Обернути добуток 3003

1

13

1

11

1

7

1

3

1 в десятковий дріб.

Узявши 4 значущих цифри, отримуємо 0,0003330. Хай тепер нам відомі

тільки наближені значення співмножників:

3

1= 0,33333;

7

1= 0,14286;

11

1= 0,09091;

13

1= 0,07692.

Потрібно знайти добуток з двома значущими цифрами. Для повної гарантії

ми повинні узяти всі співмножники з чотирма значущими цифрами, тобто

перемножити такі числа:

0,3333×0,1429×0,0909×0,0769.

1) Знаходимо перший результат множення 0,3333 × 0,1429 =

= 0,04762857.

.Утримуючи чотири значущі цифри, отримуємо 0,04763.

186

2) Виконуємо наступну дію:

0,04763×0,0909= 0,0043300433.

3) Утримуючи чотири значущі цифри, виконуємо останню опера-

цію множення:

0,00433×0,07692 = 0,0003331.

Дві перші значущі цифри безумовно правильні, так що шукане число

рівне 0,00033. За повну точність третьої значущої цифри поручитися за-

здалегідь не можна, але вона виходить вірною. Помилка в четвертій цифрі

не перевищує одиницю цього розряду.

Якщо вести наше обчислення на три знаки, то не можна поручитися

заздалегідь за вірність другої значущої цифри. Проте, насправді, навіть

третя цифра виявляється вірною, тобто результат рівний 0,0003331.

Якщо вести обчислення на два знаки точності цифр, то в добутку

вийде число 0,00032. В цьому випадку, помилка складе 1,3 одиниць друго-

го розряду.

Обчисліть приклади на визначення точних знаків при множенні на-

ближених чисел.

1) Обернути добуток дробів 80000

1

125

1

16

1

8

1

5

1 в десятковий

дріб, узявши 2 значущих цифри.

Рішення:

5

1= 0,2;

8

1= 0,125;

16

1= 0,0675;

125

1= 0,8.

Перемножуємо 0,2×0,125×0,0675×0,8 = 0,000135

Тепер перемножуємо точні цифри

1. Знаходимо добуток перших двох чисел

0,2×0,12 = 0,024;

2. Знаходимо наступний результат множення:

0,024×0,068 = 0,001632

187

3. Знаходимо останній результат множення:

0,0016×0,8 = -0,00128

Отримуємо помилку на 0,00007, тобто в третій значущій цифрі на 7

одиниць або в другій значущій цифрі на 1 одиницю..

Відповідь:

1) 0,00128

6.13. Скорочене множення

Застосовуючи правила множення точних чисел до чисел наближе-

них, ми нераціонально витрачаємо час і працю на обчислення тих цифр, які

потім треба відкинути. Обчислювальний процес можна полегшити, якщо

виконувати такі правила:

1) множення починають із старшого розряду множника і виконуєть-

ся повністю;

2) перед множенням на наступний розряд множника в множеному

викреслюється остання цифра, множення проводиться на укорочене мно-

жене, але до результату додається закруглений результат множення узято-

го розряду множника на відкинуту цифру множеного;

3) перед множенням на третій (від початку) розряд множника закре-

слюється ще одна цифра множеного (друга від кінця), множення прово-

диться на цифри множника, що залишилися, при цьому враховується вплив

тільки що відкинутої цифри і т.д.;

4) отримувані множення розташовуються так, щоб один під одним

розташовувалися всі молодші розряди;

5) для визначення місця десяткової коми в множенні існують особ-

ливі правила, але практично за все треба ґрунтуватися на грубій попере-

дній оцінці величини значення множення. Рекомендується в уникненні по-

милок закреслювати вже використану цифру множника.

188

Приклад 1. Перемножити наближені числа 5,1216×34,25.

Рівняємо числа значущих цифр: у першому співмножнику відкидає-

мо цифру 6, замінюючи попередню цифру на 2 (округлюючи число на

один молодший розряд). Проводимо множення чисел по описаній схемі в

наступному порядку:

1) не звертати уваги на коми, множимо 5,122 на 3. Результат

15366 виписуємо повністю; множення проводиться, як завжди, починаючи

з 3×2 = 6 (ця шестірка підписується під молодшими розрядами співмнож-

ників);

Здійснимо запис множення, починаючи зі старших розрядів:

5,122

34,25

15366

2049

+ 102

26

175,43

2) закреслюємо використану цифру множника 3 і останню цифру

множеного 2; множимо наступну цифру множника 4 на укорочене множе-

не 512, заздалегідь врахувавши, що закреслена цифра 3 дала б в множенні

3×2 = 6; тому до множення додаємо 1. Нижчий розряд множення (9) запи-

сується під нижчим розрядом попереднього множення (6);

3) закреслюємо другу від початку цифру множника і другу від

кінця цифру множеного, множимо третю цифру множника 2 на укорочене

множене 51; заздалегідь помічаючи, що від множення цієї цифри множни-

ка на тільки що відкинуту цифру множеного отримали б 4, яку можна від-

кинути, як при округленні.

×

189

4) закреслюємо третю від початку цифру множника і третю від

кінця цифру множеного, умножаємо 5×5=25, заздалегідь відмітивши

5×1=5, так що до множення додаємо 25+1=26;

5) всі отримані проміжні результати множень складаємо і отри-

муємо результат рівний 17543.

Щоб вибрати місце коми, округлюємо співмножники і перемножує-

мо їх, тобто 5×34=170. Таким чином, знаходимо, що в цілій частині необ-

хідно відділити три розряди. Тоді відповідь буде 175,43. У цьому результа-

ті вірні тільки перші чотири цифри. Останню цифру (яка містить помилку

до 2 одиниць) використовуємо для округлення результату і отримуємо

175,4.

Розв’яжіть приклади.

Приклад 1:

Треба помножити два числа 6,743×23,25.

Приклад 2:

Треба помножити два числа 674,3×232,5.

Відповіді:

1) 156,8; 2) 15678×10 =1568×102.

6.14. Ділення наближених чисел

Правило 1. Гранична відносна похибка частки приблизно рівна сумі

відносних похибок діленого і дільника.

Наближене число 40,0 ділиться на наближене число 25,0. Гранична

похибка діленого і дільника 0,05. Тоді гранична відносна похибка діленого

рівна 0,005 : 40,0 = 0,125%, а гранична відносна похибка дільника –

0,05 : 25,9 = 0,02%. Гранична відносна похибка частки рівна 40,0 : 25,9 =

=1,16 повинна складати приблизно 0,125%+0,02%=0,145%.

190

Дійсно, дійсна величина частки не більш ніж (40,0+0,05):(25,0-0,05)=

= 1,6052 і не менше ніж (40,0-0,05) : (25,0 +0,05) = 1,5948. Якщо дійсне зна-

чення частки рівне 1,6052, то абсолютна похибка складає 1,6052-1,6=

= 0,0052. Якщо абсолютна похибка складає 1,6-1,5948=0,0052. Розглянуті

випадки – найсприятливіші. Отже, гранична відносна похибка складає

0,0052 : 1,6 = 0,00325, тобто приблизно 0,33%.

Правило 2. Хай ділене і дільник мають по k значущих цифр. Тоді аб-

солютна похибка частки у гіршому разі близька до 1,05 одиниць (k-1)-го

знаку (цього значення вона ніколи не досягає).

Як бачимо, гранична похибка частки теоретично удвічі більше гра-

ничній похибка множення (п. 6.11). Проте насправді похибка частки пере-

вершує 5 одиниць k-ої цифри лише у виняткових випадках (один раз з ти-

сячі). Тому в частці слід брати стільки ж значущих цифр, скільки їх має

ділене і дільник.

Якщо ж одне з даних чисел (ділене або дільник) має більше значу-

щих цифр, чим інше, то слід відкинути всі зайві цифри або зберегти тільки

першу з них (як запасну).

Якщо потрібно, щоб частка мала заздалегідь дане число вірних цифр,

то в діленому і дільнику потрібно мати на одну значущу цифру більше.

Виконайте приклади:

Приклад 1:

Треба розділити два числа 650,0 : 23,0, які мають граничну похибку

діленого і дільника 0,05. Знайти граничну відносну похибку частки.

Приклад 2.

Знайти граничну абсолютну похибку частки 2,81 : 0, 571, якщо гра-

нична відносна похибка діленого рівна 0,005 : 2,81 = 0,2%, дільника –

0,0005 : 0,571 = 0,1%., а частки – 0,2% + 0,1% = 0,3%.

Відповіді:

1) 0,35%; 2) 0,015.

191

6.15. Скорочене ділення

Скорочене ділення можна виконати так:

Не звертаючи уваги на положення десяткової коми, отримуємо пер-

шу цифру частки так само, як при діленні цілих чисел. Якщо значущі циф-

ри діленого утворюють число, більше, ніж значущі цифри дільника (обид-

ва числа розглядаються як цілі), то перша цифра частки множиться на

всього дільника. Інакше в дільнику викреслюємо останню цифру і множи-

мо на округленого дільника, але в результаті враховуємо вплив відкинутої

цифри. Так, якщо ділимо 2262 на 7646, то:

1) перша цифра частки 2 (22:7 = 3 із залишком, але 3 не годиться,

беремо 2). Вона множиться на 764, до результату додається 1 (це перша

цифра множення 2×6=12). Це робиться відразу при множенні на останню

цифру округленого дільника.

2) Результат множення першої цифри частки на дільник (або на

округленого дільника) записуємо під діленим – молодший розряд під мо-

лодшим і так далі. Потім знаходимо залишок.

3) Замість того, щоб до залишку зносити нуль, укорочуємо діль-

ник, закреслюючи в ньому останню цифру (якщо округлення вже робило-

ся, то тепер проводимо відкидання останньої з цифр, що залишилася). Пі-

дібравши другу цифру частки, множимо її на округленого дільника, врахо-

вуючи вплив тільки що відкинутої цифри.

4) Підписуємо результат множення під першим залишком – мо-

лодший розряд під молодшим і так далі. Знаходимо другий залишок.

5) Замість того, щоб знести нуль округлюємо дільник ще на одну

цифру і так далі.

6) Отримавши частку, визначаємо місце десяткової коми за гру-

бою попередньою оцінкою.

192

Приклад 1. 73,39 : 9,125.

73,39 ∟9,125

1) Оскільки 7339 менше 9125, то із самого початку закреслюємо

останню цифру 5. Перша цифра частки 8. Множимо цю цифру на округле-

ного дільника 912, враховуючи, що відкинута цифра 5 одиниць (8×5=40; 0

відкидаємо, отримуючи 4).

73,39 ∟9,125 7300 8,062

39 37 2 2 0

2) Добуток 7296 + 4 = 7300 підписуємо під діленим – розряд під роз-

рядом. Залишок 39.

3) Закреслюємо другу з кінця цифру дільника 2. Укорочений дільник

91 не міститься жодного разу в діленому 39; ставимо в частці нуль; ніякого

множення далі проводити не потрібно.

4) Немає потреби і знаходити другий залишок.

5) Закреслюємо ще одну цифру дільника 1. Укорочений дільник 9

міститься в залишку 4 рази. Тому третя цифра в частці 4. Множачи на уко-

роченого дільника з урахуванням впливу закресленої цифри 1, маємо 37.

залишок 2. На цьому дія не закінчується. «Відкидаючи» останню цифру,

що залишилася, але враховуючи її вплив на результат, ми знаходимо в час-

тці ще одну цифру 2 (2×9=18; 8 відкидається і 1 округляється до 2). Най-

простіше в думках знести до залишку 2 цифру нуль і розділити залишок на

9, тобто 20 : 9 ≈2.

6) Місце десяткової коми визначається за грубим підрахунком. У ді-

леному і дільнику залишаємо тільки цілі частини; ясно, що 73 : 9 ≈ 8. тобто

ціла частина частки є число однозначне. Тому результат рівний 8,042.

Розв’яжіть приклади:

–

–

–

193

Приклад 1:

Визначити частку від ділення чисел 58,83 : 9,658 методом скороче-

ного ділення.

Приклад 2

Визначити частку від ділення чисел 98,10 : 0,3216 методом скороче-

ного ділення.

Відповіді:

1) 6,092; 2) 305,0.

ВИСНОВКИ

Розділ шостий розрахований на школярів і студентів першого курсу,

які «втратили» свої навички при операціях з відсотками і наближеними об-

численнями. Не зневіряйтеся! Вивчайте і успіх до вас прийде. Не забувайте

гру в шашки – це допоможе вам складати алгоритми вирішення завдань.

194

III. АЛГЕБРА І ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 7.

РІВНЯННЯ

7.1. Поняття про розв’язування рівнянь

Предметом алгебри є розв’язування рівнянь і вивчення питань, які

отримали розвиток з теорії рівнянь. В даний час, коли математика розділи-

лася на ряд спеціальних областей, до області алгебри відносяться так звані

рівняння алгебри певного типу. Що таке рівняння? Це математичний ви-

раз, в якому ліва частина рівна правій частині. Наприклад, числова рівність

5 + 7 = 12. Запис ),()( xxf де х – змінна, названа рівнянням. Числова рі-

вність – вірна або невірна – виходить при підстановці замість х числового

значення. Поряд з рівнянням указують область визначення функції, що

входить в рівняння.

Припустимо ми додали 5 до лівої частини рівняння. Щоб зберегти

рівність ми повинні додати 5 і до правої частини, тобто 5 + 7 + 5 = 12 + 5,

отримаємо знову рівність 17 = 17.

Давайте розглянемо віднімання з лівої частини рівняння 3, тоді і з

правої частини нам треба відняти 3, щоб ліва частина рівняння дорівнюва-

ла правою. Наприклад, 5 + 7 - 3 = 12 - 3, отримаємо 9 = 9.

Аналогічно, при множенні вірної рівності на одне і те ж число, при

піднесенні до степеня (n – натуральне число). Якщо ми ділимо ліву і праву

частину рівняння на одне і те ж число (окрім 0), то вийде знову вірна рів-

ність. Наприклад (5 + 7)×3 = 12×3, тобто 36=36; так само (5 + 7) : 3 = 12 : 3,

то 4 = 4. Невірна рівність залишиться вірною рівністю тільки тоді, коли

можна однозначно зробити зворотну операцію. Переконаємося, що невірна

195

рівність 2×2 = 5. Помножимо на одне і теж число 0, отримаємо 0×2×2=5×0

0 = 0 – вірно, або 2 = -2 піднести до квадрату: 4 = 4.

Розв’язком рівняння з одним невідомим називається значення неві-

домого, при якому рівняння перетворюється на вірну числову рівність, як-

що є декілька невідомих, то розв’язком буде набір значень невідомих, при

котрих рівняння перетворюється на числову рівність при всіх допустимих

значеннях аргументів.

У алгебрі для позначення невідомого числа часто використовується

буква х. Отже, зустрівши в рівнянні букву х, ми повинні знайти значення

саме цієї букви х. Для цього, зазвичай, переміщають члени з невідомим х в

один бік рівності, а відомі величини – в іншу частину рівності.

Одночленом називається добуток двох або декількох співмножників,

кожен з яких є або число, або степінь букви. Наприклад, 2c, a2d, - 7x3y5 од-

ночленів. Окремо узяте число або окремо узята буква теж розглядається як

одночлен, Наприклад, 256, а.

Числовий множник одночлена називається його коефіцієнтом. Виді-

ляючи один з множників як коефіцієнт, хочуть підкреслити, що одночлен

вийшов в результаті множення всієї частини на цей коефіцієнт. Напри-

клад, у виразі – 9а2х вираз – 9а2 є коефіцієнт при змінній х. Виділяючи чис-

ловий множник як коефіцієнт, ми підкреслюємо, що основну роль грає бук-

вений вираз, який повторюється доданком деяке число разів або дробить-

ся на долі. Наприклад, у виразі – 9а2х число – 9 є числовий коефіцієнт.

Одночлени називаються подібними, якщо вони однакові або відріз-

няються тільки коефіцієнтами. Одночлени можна вважати подібними, за-

лежно від того, що ми вважаємо їх коефіцієнтами. Звідси видно, що два

одночлени можна вважати подібними або неподібними, залежно від того,

що вважати коефіцієнтами. Наприклад, якщо коефіцієнтами вважати чис-

лові множники, то буквені одночлени повинні бути подібними, і навпаки,

196

якщо коефіцієнтами вважати буквені значення, то числові множники мож-

на вважати подібними.

7.2. Правила дії з раціональними числами

Раціональними числами називаються додатні і від’ємні числа (цілі і

дроби) разом з числом нуль.

Абсолютною величиною (або абсолютним значенням) від’ємного чи-

сла називається додатне число від заміни його знаку (-) на протилежний

знак (+). Наприклад, абсолютна величина -5 є число +5. Абсолютною ве-

личиною додатного числа і числа 0 є само це число.

Дві прямі межі, в яких укладають число, називаються знаком абсо-

лютної величини. Наприклад, | - 7| = 7; | + 7| = 7; |0|=0.

Правила дії з раціональними числами.

1. Додавання

а) При додаванні двох чисел з однаковим знаком складаються їх аб-

солютні величини і перед сумою ставиться їх загальний знак.

Приклади: (+30)+(+20) = 50; : (-30)+(-20) = -50.

б) При додаванні двох чисел з різними знаками з абсолютної величи-

ни більшого числа віднімається абсолютна величина меншого числа і в ре-

зультаті ставиться знак більшого числа.

Приклади: (+30)+(-20) = (30-20) = 10;

(-30)+(+20) = - (30-20) = -10.

2. Віднімання

Віднімання одного числа від іншого можна замінити додаванням:

при цьому зменшуване і від'ємним беруться зі своїми знаками.

Приклади:

(+25) - (+5) = (+25)+(-5) = 20;

(+25) - (-5) = (+25)+(+5) = 30;

197

(-25) - (-5)= (-25)+(+5) = -20;

(-5) - (-5) = (-5)+(+5) = 0.

Зауваження. При додаванні декількох чисел з різними знаками кра-

ще всього поступати так:

1) звільнити всі числа від дужок, при цьому перед числом поставити

знак «+», якщо колишній знак перед дужкою був однаковий із знаком в

дужці, і «-», якщо він був протилежний знаку в дужці;

2) додати абсолютні величини всіх чисел, що мають перед собою

знак +;

3) додати абсолютні величини всіх чисел, що мають перед собою

знак «-» (мінус);

4) з більшої суми відняти меншу суму і поставити знак більшої су-

ми.

Приклад 1. Обчислити (-25) - (- 10) +(-5) - (+1) + (+13).

Рішення:

1) (-25) - (- 10) + (-5) - (+1) + (+13) = -25 + 10 - 5 - 1 + 13;

2) 10 + 13 = 23; 3) 25+5+1 = 31; 4) 23 - 31= - 8.

Відповідь: -8.

Результат є від’ємним числом -8, оскільки сума абсолютних величин

від’ємних чисел (31), перед якими стояв знак мінус, більше суми абсолют-

них величин додатних чисел (23), перед якими стояв знак плюс.

Іншим способом можна обчислити результат послідовними діями

між числами, додаючи і віднімаючи їх відповідно до знаку, що стоїть перед

числами.

Приклад 2. Обчислити вираз –25 + 10 - 5 - 1 +13.

1) -25 +10= -15; 2) -15 – 5 = - 20; 3) - 20 – 1 = - 21; 4) - 21 + 13 = - 8.

Відповідь: -8.

198

3. Множення

При множенні двох чисел перемножуються їх абсолютні величини і

перед результатом множення ставиться знак плюс, якщо знаки співмно-

жників однакові, і мінус, якщо знаки різні.

Приклади: (+2,5)×(–25)= – 62,5; (-2,5) × (-25) = 62,5;

(- 2,5) × (+25)= - 62,5; (+2,5) × (+25) = 62,5.

При перемноженні декількох співмножників знак результату мно-

ження додатний, якщо число від’ємних співмножників парне, і від’ємний,

якщо число від’ємних співмножників непарне.

Приклади:

(+2) × (- 6) × (- 3) × (- 5)= - 180 (три від’ємних співмножника);

(+2) × (- 6) × (+3) × (- 5) = 180 (два від’ємних співмножника).

4. Ділення

При діленні двох чисел діляться їх абсолютні величини і перед част-

кою від ділення ставиться знак плюс, якщо знаки діленого і дільника одна-

кові, і мінус, якщо знаки різні.

Приклади: (+2,5):(- 25) = - 0,1; (- 2,5):(- 25) = 0,1;

(- 2,5):(+25) = - 0,1; (+2,5):(+25) = 0,1.

Розв’яжіть приклади:

1 2 3

(- 14,4)+(- 2) (- 14,5)+(+ 5) (+44)+(+11)

(- 15) - (- 15) (- 25) - (+2,5) (+37) - (+11)

(- 14,4):(- 2) (- 14,5):(+ 5) (+44):(+11)

(- 15) × (- 15) (- 25) × (+25) (+37) × (+11)

Перевірте себе.

199

1 2 3

- 16,4 - 9,5 55

0 - 22,5 26

7,2 - 2,1 4

225 - 625 407

7.3. Додавання і віднімання з невідомим

При розв’язуванні рівнянь на додавання або віднімання з невідомою

змінною х, спочатку всі числа з х переносимо в ліву частину рівняння, а ві-

домі величини в праву. При цьому змінюємо знаки чисел на протилежні,

якщо числа переносимо через знак дорівнює (=). Потім знаходимо значен-

ня змінної х.

Розглянемо цей алгоритм на прикладі розв’язування простого рів-

няння.

Рівняння 1. Якщо х - 4 = 5, то чому рівне х?

Рішення: х = 4+5 = 9.

Відповідь: х = 9.

Перевірка: 1) х - 4 = 5; 2) 9 - 4 = 5; 3) 5 = 5. Отримали вірну рівність.

Отже, рівняння розв’язане вірно.

Рівняння 2. Якщо х + 3 = 5, то чому рівне х?

Рішення: х = 5 - 3 = 2.

Відповідь: х = 2.

Перевірка: 1) х + 3 = 5; 2) 2 +3 = 5; 3) 5 = 5. Отримали вірну рівність.

Отже, рівняння розв’язане вірно.

200

7.4. Множення і ділення

При розв’язанні рівнянь коли множиться число на невідому змінну х,

яка рівна якомусь відомому числу, проводимо ділення лівої частини і правої

частини рівняння на число, яке помножене на невідому змінну х.

Рівняння 1. Якщо 4х = 20, то чому рівне х?

Рішення: 4х = 20, тоді х = 20 : 4 = 5.

Відповідь: х = 5.

Перевірка: 1) 4х = 20; 2) 4×5 = 20; 3) 20 = 20. Отримали вірну рів-

ність. Отже, рівняння розв’язане вірно.

При розв’язанні рівнянь з операцією ділення невідомої змінної х на ві-

доме число (окрім 0), необхідно провести множення лівої і правої частин

рівняння на число, на яке ділиться невідома змінна х.

Рівняння 2. Якщо 5

х= 5, то чому рівне х?

Рішення: х = 5 × 5 = 25.

Відповідь: х = 25.

Перевірка: 1) 5

х= 5; 2)

5

25= 5; 3) 5 = 5. Отримали вірну рівність. Рів-

няння розв’язане вірно.

Розв’язати рівняння:

Знайти невідоме х:

1 2 3

х - 23 = 8 х + 23 = 8 х - 23 = 82

2 х - 15 = 5 3х=50 - х 5

х=50

Перевірте себе.

201

1 2 3

х =31 х= - 15 х=105

х=10 х = 12,5 х = 250

Для читачів, які добре знають цей розділ, пропонуємо ряд прикладів

підвищеної складності: Тут необхідно пригадати правило пріоритету ариф-

метичних дій: спочатку виконуємо дії в дужках, потім множення або ді-

лення, а потім додавання або віднімання. Треба бути уважним!

Приклад 1:

02,04,2675,0

7,0)21

17

63

281(

16

78)

40

24

24

19(

125,0

Х

Відповідь: 5.

Приклад 2:

7:8

34

40

31

)9,0:945,020

111(9

5,7:15,1524,05,10

Х

Відповідь: 5.

7.5. Дії з одночленами; складання і віднімання многочленів

1. Додавання одночленів

Додавання двох або декількох одночленів можна перетворити до

простішого вигляду, коли серед доданків є подібні. Замість цих членів за-

пишеться подібний член, коефіцієнт якого рівний сумі їх коефіцієнтів. Ця

заміна називається приведенням подібних членів.

202

Приклад 1: 2c – 5c + 6c = (2 – 5 + 6)c = 3с;

Приклад 2: 12a2d –5a2d + 6a2d = 13a2d;

Приклад 3: аx3y5 – вx3y5 + сx3y5 =(а - в + с) x3y5;

Приклад 4: 3аx3y5 +7аx3y5 – 9x3y2 +ху = 10а x3y5 – 9x3y2 + ху.

2. Винесення за дужки

Дії, здійснені в прикладах 1 і 3, називаються винесенням за дужки.

Говорять, що в прикладі 1 с винесено за дужки, а в прикладі 3 – x3y5. Вине-

сення за дужки – те ж саме, що приведення подібних членів.

3. Многочлен

Сума або різниця одночленів називається многочленом. Розглянемо

приклад:

(12a2d –5ху + 6с) – (a2d –9ху) + (2a2d – 15c) =

= 12a2d –5ху + 6с – a2d + 9ху +2a2d – 15c = 13a2d + 4ху – 9с.

В даному прикладі при розкритті другої дужки знаки при одночленах

поміняли на протилежні. Після розкриття дужок числові коефіцієнти при

подібних членах склали і отримали правильний результат.

4. Множення одночленів

Добуток двох або декількох одночленів можна спростити, якщо в

них входять деякі міри одних і тих же букв або числові коефіцієнти. Показ-

ники степенів (відповідних букв) додаються, а числові коефіцієнти – пере-

множуються.

Приклад: (-12a2d х2у)×3а x3y5 = - 36 a3d x5y6.

a2× а= a3; х2× x3= х2+3= x5; у y5= y1+5= y6.

В даному прикладі числові коефіцієнти перемножені (12×3=36); знак

результату став мінус, оскільки знаки співмножників різні; складені показ-

ники степенів букв а (2+1=3), х (3+2=5) та у (1+5=6).

5. Ділення одночленів

Частку двох одночленів можна спростити, якщо ділене і дільник

містять степені одних і тих же букв або числові коефіцієнти. Показник

203

степеня букви дільника віднімається із показника степеня цієї ж букви ді-

леного, а числовий коефіцієнт діленого ділиться на числовий коефіцієнт

дільника.

Приклад: (-12a2d х5у5) : 3а x3y5 = -4ad x2.

a2 : а = a2-1= a; х5 : x3= x5-3 = x2; у5 : у5= у5-5= у0 = 1 (число в степені 0

завжди рівно 1).

В даному прикладі числові коефіцієнти діляться (12 : 3 = 4); знак ре-

зультату став мінус, оскільки знаки діленого і дільника різні; показники

степенів з однакових букв віднімаються а (2 - 1 = 1), х (5 - 3 = 2) і у (5 – 5 =

=0).

Зауваження 1. Якщо показник степеня 0, то будь-яке число, вираз

окрім 0, дорівнює 1, а одиниця помножена на число (одночлен) не змінює

цього числа.

а0=1; 30=1; (5а)0=1; (а3)0=1; 1× а= а; 1× 8b= 8b; 6а3b × 1 = 6а3b.

Зауваження 2. Якщо показник степеня якої-небудь букви діленого

менше показника степеня цієї ж букви дільника, то різниця степенів діле-

ного і дільника дасть від’ємний степінь частки. В цьому випадку, частку

можна представити як дріб, в чисельнику якої знаходитися частина частки

без букви з від’ємним степенем, а в знаменнику – та ж буква, але з додат-

ним ступенем.

Зауваження 3. При переміщенні букви із степенем з чисельника в

знаменник або навпаки знак степеня змінюється на протилежний (мінус на

плюс і навпаки).

.23

652

433

43

532

cakdb

kdcba

Приклад: 12 a2d ху : 3а x3y5 = 42

4

yx

аd .

Розв’яжіть приклади самостійно.

Приклад 1:

204

a2сху : 3а x5y5.

Відповідь: .443 yx

ac

Приклад 2:

aсх2у4 : 3а x5y5

Відповідь: .33 yx

c

7.6. Множення сум і многочленів

Добуток суми двох або декількох виразів на будь-який вираз дорівнює

сумі добутків кожного з доданків суми на узятий вираз.

Приклад: (а+в+с) x= аx +вx +сx (розкриття дужок)

Замість букв а, в, с і x, можна узяти будь-який одночлен або многоч-

лен.

Приклад:

(а+в+с) (x+у)= а(x+у)+в(x+у)+с(x+у)= аx+ ау+вx+ву+сx+су.

Таким чином, добуток суми на суму дорівнює сумі всіх можливих

добутків кожного члена однієї суми на кожен член іншої суми.

Це правило відноситься і до множення многочлена на многочлен.

Приклад 1:

(3x2 - 2x+5)(4x+2) =12x3+6x2- 8x2- 4x+20x+10 = 12x3- 2x2+16x+10.

Запис множення:

3x2 – 2x+5

4x+2

12x3 – 8x2 + 20x

6x2 – 4x + 10

12x3 – 2x2 +16x + 10

×

+

Ч

+

×

+

×

+

205

Вивчення многочленів і способів розв’язування рівнянь алгебри спо-

конвіку привертало увагу математиків.

Як відомо, многочленом або поліномом n-го степеня від х називається

вираз вигляду:

012

2... axaxanxna ,

де аn ≠ 0.

Таким чином, многочлен – це сума цілочисельних степенів деякої

величини, узятих із заданими коефіцієнтами. Наприклад, розгорнена фор-

мула запису числа (4.1), по суті, є многочлен. Наприклад, число 256 =

= 2×102 + 5×10 + 6 – це многочлен від 10.

Якщо х – це змінна величина, значення якої не задане, то многочлену

від х відповідає деяка поліноміальна функція, область визначення якої

співпадає з безліччю значень, х, що приймаються. Многочлени степенів 1,

2, 3, 4 відповідно називаються лінійними, квадратними, кубічними і біквад-

ратними.

Розв’яжіть приклад самостійно.

Приклад 2:

(2x2 + 4аx + 5а2)(4x - 2а)

Відповідь:

8x3 - 4аx2 + 16аx2 - 8а2x + 20а2x - 10а3 = 8x3 - 12аx2 + 12а2x - 10а3.

7.7. Формули скороченого множення многочленів

Приведені формули корисно запам'ятати. Букви а, b, що входять в

них, замінюються складнішими виразами (наприклад, одночленами). 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Квадрат суми двох величин рівний квад-

рату першої величини плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квад-

рат другої величини (числа).

206

Дуже цікава геометрична інтерпретація цього правила, представлена

на рис. 7.1.

Приклад 1: 1052=(100+5)2=10000+1000+25=11025.. Таке обчислення

можна проводити в думці.

Приклад 2: (2ас+3а2с3)2=4а2с2+12а3с4+9а4с6.

Зауваження: (а + b)2 не рівне а2 + b2.

2. (а – b)2 = a2 – 2ab + b2. Квадрат різниці двох величин рівний

квадрату першої величини мінус подвоєний добуток першої на другу плюс

квадрат другої величини.

Приклад 1: 952=(100-5)2=10000-1000+25=9025. Таке обчислення мож-

на проводити «в думці».

Приклад 2: (2ас–3а2с3)2=4а2с2-12а3с4+9а4с6.

Зауваження: (а – b)2 не рівне а2 – b2.

Дуже цікава геометрична інтерпретація цього правила, представлена

на рис. 7.2.

а b

а

b

a2

b2

аb

аb

Рис. 7.1

207

3. (а + b) (а – b) = a2 – b2. Добуток суми двох величин на їх різницю

рівна різниці їх квадратів.

Приклад 1: (100 + 5) (100 - 5) = 10000 – 25 = 9975. Таке обчислення

можна проводити усно.

Приклад 2: (2ас + 3а2с3) (2ас – 3а2с3)2 = 4а2с2 – 9а4с6. 4. (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3. Куб суми двох величин рівний кубу

першої величини плюс потроєний добуток квадрата першої на другу, плюс

потроєний добуток першої на квадрат другої, плюс куб другої величини.

Приклад 1 : 153=(10+5)3=1000+1500+750+125=3375. Таке обчислення

можна проводити в думці, якщо потренуватися складати чотирирозрядні

числа.

Приклад 2: (2ас+3а2с3)3=8а3с3+18а4с5+18а5с7+27а6с9.

Зауваження: (а + b)3 не рівне а3 +b3. 5. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. Куб різниці двох величин рівний

кубу першої величини, мінус потроєний добуток квадрата першої на другу,

Рис. 7.2

а

а

b

b

аb

аb

208

плюс потроєний добуток першої на квадрат другої мінус куб другої вели-

чини.

Приклад 1: 983=(100-2)3=1000000-60000+1200-8=941192.

Таке обчислення можна проводити в думці, якщо потренуватися до-

давати семизначні числа.

Приклад 2: (2ас+3а2с3)3=8а3с3+18а4с5+18а5с7+27а6с9.

Зауваження: (а + b)3 не рівне а3 + b3. 6. (a + b)( a2 – ab + b2) = a3 + b3. Добуток суми двох величин на

«неповний квадрат різниці» рівний сумі їх кубів.

Приклад 1: (10+2)(100 - 20 + 4) =1000 + 8 = 1008.

Таке обчислення можна проводити в думці.

Приклад 2: (2а+3с)(4а2 - 6ас + 9с2) =.8а3 + 27с3 7. (a – b)( a2 + ab + b2) = a3 – b3. Добуток різниці двох величин на

«неповний квадрат суми» рівний різниці їх кубів.

Приклад 1: (10-2)(100 + 20 + 4) =1000 - 8 = 992.

Таке обчислення можна проводити в думці.

Приклад 2: (2а-3с)(4а2 + 6ас + 9с2) =.8а3 - 27с3.

Розв’яжіть приклади самостійно:

Приклад 1: (10 +20)2;.

Приклад 2: (25 - 12)2;

Приклад 3: (10 + 2)(10 -2):

Приклад 4: (17 + 3)3;

Приклад 5: (10-2)3;

Приклад 6: (10 + 3)(100 - 20+4);

Приклад 7: (10-3)(100 +30+ 9).

Відповіді:

1) 900; 2) 169; 3) 96; 4) 8000; 5) 512; 6) 1027; 7) 973.

209

7.8. Ділення многочлена на одночлен або многочлен

Частка від ділення суми двох або декількох виразів на якийсь вираз

рівно сумі часток, отриманих від ділення кожного доданку діленого на ви-

рази дільника.

;742742

x

c

x

b

x

a

x

cbа

2а, 4b, 7c, x – будь-які одночлени (вирази). Якщо виконується ділен-

ня многочлена на одночлен, то результат іноді можна спростити.

Приклад:

У многочлені вибирається головна буква і її показник називається

степенем многочлена.

Розділити многочлен R на многочлен K – означає знайти многочлен

М (частку) і N (залишок), що задовольняє двом вимогам:

1) повинна виконуватися рівність М×K + N = R;

2) степінь многочлена N повинна бути нижче за степінь многочлена

K.

Зауваження: Залишок N може зовсім не містити головної букви; тоді

говорять, що N має нульовий степінь.

Перед діленням члени діленого і дільника розташовуються в порядку

спадання степеня головної букви.

Запис ділення многочленів:

6с3 + 5с2 –10с+6 ∟3с2-5с + 1

6с3- 10с2+17с 2с + 5

15 с2 -27с+6

15 с2 -25с+5

2с+1

Розв’яжіть приклади:

-

-

210

Приклад 1:

12с-4с5)10с-16с(8с

2

23

Приклад 2:

ababba 22 113

Відповідь: 1) 2с +5; 2) 3a+11b.

7.9. Визначення залишку при діленні многочлена на двочлен пер-

шого степеня

Французький математик Безу (1730–1783) сформулював теорему, яка

дозволяє просто визначити залишок при діленні многочлена на двочлен

першого степеня. Суть теореми така:

многочлен

mamxamxamxa ...22

110

при діленні на х–l дає залишок

mamlamlamlaN ...22

110 .

Зауваження.: При N=0 коренем рівняння є l.

Приклад: Знайти залишок від ділення 15233 xxx на х=2. По тео-

ремі Безу знаходимо N = 23 - 3∙22 + 5∙2 - 1 = 5. Дійсно, виконавши ділення,

знайдемо частку М= 32 xx і залишок N=5.

Розв’яжіть приклади самостійно:

Приклад 1: Знайти залишок N від ділення 74 x на х+2. Тут х=-2.

Приклад 2: Знайти залишок N від ділення 18253 xx на х+3. Тут

х= - 3.

Приклад 3: Знайти залишок N від ділення 232 xx на х-2. Тут

х=2.

211

Відповіді:

1) N=23;

2) N=0. Отже -3 є коренем рівняння, коли воно рівне 0;

3) N=0. Отже, 2 є коренем рівняння, коли воно рівне нулю.

7.10. Подільність двочлена хm± am на х ± а

1. Різниця двох чисел з однаковими степенями ділиться (без за-лишку) на різницю цих чисел в першому ступені, тобто хm- am ділиться на

х - а. Ця ознака витікає з теореми Безу.

Частка складається з m членів і має наступний вигляд:

(хm - am):(х - а) = хm-1 + ахm-2 + а2хm-3 +…+ аm-1

Зверніть увагу, що показники при х спадають на 1, а при а зростають

на одиницю, так що сума показників незмінно рівна m-1; усі коефіцієнти

додатні.

Приклади:

(х2 – a2):(х - а) = х+ а;

(х3 – a3):(х - а) = х2+ ах + а2;

(х4 – a4):(х - а) = х3+ ах2 + а2х+ а3;

(х5 – a5):(х - а) = х4+ ах3 + а2х2+ а3х+ а4.

2. Різниця двох чисел з однаковими парними степенями ділиться

(без залишку) не тільки на різницю цих чисел, але і на їх суму, тобто х2m- a2m ділиться на х + а. Ця ознака витікає з теореми Безу.

Частка складається з m членів і має наступний вигляд:

(х2m - a2m):(х - а) = х2m-1 + ах2m -2 + а2х2m -3 +…+ а2m -1

Приклади:

(х2 - a2):(х + а) = х - а;

(х4 - a4):(х + а) = х3 - ах2 + а2х - а3;

(х6 - a6):(х + а) = х5 - ах4 + а2х3 - а3 х2 + а4х - а5;

212

Зауваження 1: Оскільки різниця двох чисел з однаковими парними степенями діляться на х - а та х + а, то природно, що вона ділиться і на

х2 - а2.

Приклади:

(х4 - a4):( х2 - a2) = х2 + a2;

(х6 - a6):( х2 - a2) = х4 + а2х2+a4;

(х8 - a8):( х2 - a2) = х6 + а2х4+ а4х2+a6;

Зауваження 2: Різниця двох чисел з однаковими парними степенями

не ділиться на суму цих чисел.

Наприклад: ні х3 - a3, ні х5 - a5 не діляться на суму х + а.

Зауваження 3: Сума двох чисел з однаковими степенями не ділиться

на різницю цих чисел.

Наприклад: ні х3 - a3, ні х5 - a5, ні х4 +a4 не ділиться на різницю х - а.

3. Сума двох чисел з однаковими непарними степенями ділиться

(без залишку) не тільки на суму цих чисел (у частки знаки плюс і мінус

чергуються).

Приклади:

(х3 + a3):(х + а) = х2- ах + а2;

(х5 + a5):(х + а) = х4- ах3 + а2х2- а3х+ а4.

Зауваження 4: Сума двох чисел з однаковими парними степенями не

ділиться не тільки на різницю, але і на суму цих чисел.

Наприклад: ні х2 + a2, ні х4 +a4 не ділиться на різницю х – а ні на суму

х + а.

Розв’яжіть приклади:

1) (52 – 32):(5 - 3);

2) (103 – 13):(10 - 1);

3) (54 – 24):(5 - 2);

4) (52 – 32):(5 + 3;

5) (104 – 14):(10 + 1);

213

6) (56 – 26):(5 + 2).

Відповіді:

1) 8; 2) 111; 3) 203; 4) 2; 5) 909; 6) 1098.

Рекомендується на приведені правила самостійно узяти по декілька

прикладів для кращого запам'ятовування правила.

7.11. Показники степеня

Що таке показник степеня 3, це число помножене само на себе 3 ра-

зи. Наприклад, 2×2×2 = 23.

Приклад 1: Чому рівне х4, якщо х = 2?

Рішення: х4 = 24 = 2×2×2×2 = 16.

Приклад 2: Чому рівне х3, якщо х = 3?

Рішення: х3 = 33 = 3×3×3 = 27.

Зауваження:

1) Будь-яке число в першому степені рівне самому числу (тому

степінь 1 опускається при записі). Наприклад, х1 = х; 51=5.

2) Будь-яке число в нульовому ступені рівне 1. Наприклад, х0 = 1;

50=1.

Правила дії із степенями:

1. Степінь множення двох або декількох співмножників рі-

вна добуткові степенів цих співмножників (з тим же показником):

(аbc …)n = аnbncn…

Приклад 1: (2×5×7)2 = 22×52×72 = 4900.

Практично дуже важливе зворотне перетворення:

аnbncn…= (аbc …)n.

Добуток однакових степенів декількох величин рівний тому ж сте-

пеню добутку цих величин.

Приклад 2: 22×52×72 = (2×5×7)2 = (70)2 = 4900.

214

2. Степінь частки (дробу) рівна частку і від ділення того ж степе-

ня діленого на ту ж степінь дільника:

.nb

nan

b

a

Приклад 3: .25

425

222

5

2

Зворотне перетворення:

Приклад 4: .25

42

5

225

22

3. При множенні степенів з однаковими основами показники степе-

нів додаються, а основа залишається незмінною.

.mnanата

Приклад 5: 22∙23=22+3=25=32.

4. При діленні степенів з однаковими основами показники степенів

віднімається (від показника степеня діленого віднімаємо показник степеня

дільника), основа степеня не змінюється.

.mnamа

na

Приклад 6: 83225222

52

5. При піднесенні степеня в степінь показники степенів перемно-

жуються. nmamna )(

.n

b

anb

na

215

kmb

nmam

kb

na

Приклад 7: (32)3=36=729.

Розв’яжіть приклади:

1) х=2. Скільки буде х3?

2) х=5. Скільки буде х2?

3) х=10. Скільки буде х0?

4) х=11. Скільки буде х1?

5) Чому буде рівне число 1, якщо його степені 0, 1, 2, 3, 4?

6) Чому буде рівне число 10, якщо його степені 0, 1, 2, 3, 4?

Відповіді:

1) 8; 2) 25; 3) 1; 4) 11; 5) Завжди 1; 6) 1, 10, 100, 1000, 10000.

7.12. Наближені обчислення квадратного кореня

Калькулятор рахує квадратний корінь і нам здається, що без його до-

помоги не обійтися. Але це не так! Калькулятор тільки автоматизує те, що

можна формалізувати і підрахувати без нього.

Розглянемо, що є квадратним коренем? Квадратний корінь числа з

парним ступенем рівний тому ж числу із степенем в два рази менше. На-

приклад, корінь квадратний з х2 рівний просто х, оскільки 2:2=1, а х1= х.

Квадратний корінь позначається знаком . Наприклад, 4 = ±2. Чому?

А тому, що (±2)2= 4. Це пояснюється тим, що при множенні двох від’ємних

чисел, результат додатний, як і при множенні додатних чисел. (-2)×(-2)= 4,

як і 2×2 = 4.

216

Є наближений метод знаходження квадратного кореня за допомогою

операції множення. Розглянемо добування квадратного кореня, коли ре-

зультат додатний.

Нам не важко визначити квадратний корінь з 4, 9, 16, 25 і так далі

тому, що це квадрати чисел 2, 3, 4, 5, які ми пам'ятаємо з таблиці множен-

ня. Але, якщо число знаходиться в проміжках між цими числами. Як бути?

Для прикладу візьмемо число 12 і спробуємо добути квадратний корінь з

цього числа, тобто значення 12 . Нам зрозуміло, що значення цього коре-

ня знаходиться між числами 3 і 4. Використовуючи метод підбору і мно-

ження, проведемо деякі випробування з числами.

Випробування 1:

Візьмемо число 3,5, результат якого можна визначити просто: три

умножаємо на 4 і дописуємо 25. Результат виходить 12,25 (з урахуванням

початкового дробового числа).

Візьмемо число 3,4 і помножимо само на себе:

3,4

× 3,4

136

+ 102

11,56

Порівнюючи абсолютні похибки, ми бачимо, що при результаті 3,5

ми отримуємо 0,25, то при значенні – 3,4 отримуємо 0,44, що більше, ніж

0,25. Тому можна сказати, що 3,5 при точності до 0,1 є коренем з 12.

Якщо точність потрібна менш точності 0,1, то тоді треба випробува-

ти точніший результат, наприклад, 3,45 і провести перевірку множенням.

217

3,45

× 3,45

1725

+ 1380

1035

11,9025

Похибка складає зараз 12-11,9025=0,0975, тобто менше 0,1. Якщо і

ця точність нас не влаштовує, то процес можна продовжити.

Таким чином, з достатньою точністю можна знайти значення будь-

якого числа з квадратного кореня без калькулятора.

Перевірте свої здібності.

Знайти квадратний корінь:

1) 100; 2) 25; 3) 81; 4) 64; 5) 36;

Чому рівне х, якщо:

6) х2 = 9; 7) х2 = 16; 8) х2 = 4; 9) х2 = 25; 10) х2 = 64.

Відповіді:

1) ±10; 2) ±5; 3) ±9; 4) ±8; 5) ±6;

6) ±3; 7) ±4; 8) ±2; 9) ±5; 10) ±8.

7.13. Дії з коренями

У даних формулах знаком позначена абсолютна величина кореня,

яка завжди додатна. 1. Величина кореня не змінюється, якщо його показник збільшити в n

раз і одночасно піднести підкореневий вираз в степінь n:

.nm nam a

Приклад 1: .5 5266125 23

218

2. Величина кореня не змінюється, якщо його показник зменшити в n раз і одночасно добувати корінь n-го степеня з підкореневого виразу:

.:nm n am a

Приклад 2: .53:6 31256125

3. Корінь з добутку декількох співмножників рівний добуткові

коренів того ж степеня кожного з цих співмножників:

...... m cm bm am abc

Приклад 3. .3 2543 25223 6225

Навпаки, добуток коренів одного і того ж степеня рівний кореню то-

го ж степеня з добутку підкореневих виразів

m abcm cm bm a .....

Приклад 4. .10253 32353 2253 225

4. Корінь з частки рівний частці від ділення кореня з діленого на

корінь з дільника (показники коренів однакові):

.:: m bm am ba

Навпаки: .:: m bam bm a

Приклад 5. .3 22:53 4:125

5. Щоб піднести корінь в ступінь, достатньо піднести в цей сте-

пінь підкореневий вираз:

.)( m nanm a

Навпаки, щоб добути корінь із степеня, достатньо піднести в той же

степінь корінь з основою степеня:

.)( nm am na

219

Приклад 6: .3 23 422)3 2( babbaab

Приклад 7: .)5(5125 33

6. Знищення ірраціональності в знаменнику або в чисельнику дробу. Для

цього необхідно перетворити дріб так, щоб в чисельнику або знаменни-

ку не містилися радикали. Розглянемо це твердження на прикладах.

Приклад 8: Хай потрібно обчислити дріб 67

1

з точністю до

0,01. Якщо провести дії у вказаному порядку, то ми маємо:

1) 646,27 ; 2) 449,26 ; 3) 2,646 - 2,449 = 0,197; 4) .10,5197

1

Для отримання результату необхідно було виконати чотири дії і при

цьому обчислити значення коренів з точністю до тисячних.

Якщо ж заздалегідь помножити чисельник і знаменник даного дробу

на вираз 67 спряжений знаменнику (чисельнику), то одержимо точ-

ний результат. Помножимо чисельник і знаменник даного дробу, одержи-

мо:

67

1

= .

1

67

67

67

)67)(67(

67

Тепер обчислення вимагає тільки трьох дій з точністю до сотих, а не

тисячних. Ірраціонального виразу в знаменнику вже немає.

1) 65,27 ; 2) 45,26 ; 3) 2,65 + 2,44 ≈ 5,10;

Перевірте себе.

Приклади: Позбавитися від ірраціональності в знаменнику:

1) ;5

7 2) ;

ba

ba

Відповіді: 1) ;

5

35 2) .

2

bа

baba

Приклади: Позбавитися від ірраціональності в чисельнику:

220

3) ;5

7 4) ;

ba

ba

Відповіді: 3) ;

35

7 4) .

2 baba

ba

Щоб відчути справжню гармонію, розв’яжіть приклад.

.4

44

424

21

аа

ааа

Рішення:

У чисельнику додаємо, зводимо до спільного знаменника:

1) ;4

24

4

21

а

а

а

Перетворимо перший дріб так

2) ;4

844

4)42(

24)42(:

4

24

аа

аа

аа

аа

а

а

3) ;44

8)

4

44

4

8(

4

844

а

а

а

а

а

а

аа

ааа

Вираз зводимо до спільного знаменника і перетворимо вираз:

4) .44

44448

а

ааа

Відповідь: -4.

7.14. Ірраціональні числа

Для вимірювальної практики досить цілих і дробових чисел. Від-

криття ірраціональних чисел є найбільшим відкриттям грецької математи-

ки. Це відкриття належить піфагорійцям, які (VI в. до н. е.) займалися до-

слідженнями відношення діагоналі до сторони квадрата. Почалося все з

питання, яким числом виразити діагональ квадрата із стороною 1?.

221

З теореми Піфагора відомо, що довжина діагоналі квадрата рівна ко-

реню квадратному з суми квадратів його сторін, тобто: 22121 . Від-

разу виникає спокуса дістати калькулятор і натиснути клавішу, щоб витяг-

нути значення квадратного кореня. На табло ми побачимо відповідь

1,4142135. Але навіть найсучасніший комп'ютер не виявить період в цьому

нескінченному дробі. Піфагорійці довели (правда без калькулятора і могут-

нього комп'ютера), що десяткове зображення числа 2 не виявляє ніякої

регулярної закономірності, тобто це нескінченний неперіодичний десятко-

вий дріб. Значення 2 не може бути виражене у вигляді відношення двох

натуральних чисел. Такі відрізки були названі несумірними, а числа, що

виражають подібні відносини, були названі ірраціональними.

Це відкриття привело їх в замішання тому, що вони вважали: у осно-

ві загальної гармонії світу повинні лежати цілі числа і їх відношення. На

честь відкриття «несумірних відрізків» Піфагор, як свідчить легенда, зро-

бив «гекатомбу», тобто приніс в жертву богам 100 биків.

Це відкриття за своїм значенням на розвиток математики порівню-

ють з відкриттями Лобачевського неевклідової геометрії в першій половині

ХIX століття і Ейнштейна теорії відносності на початку ХХ століття.

Було доведено ірраціональність чисел виду N, де N – ціле число, що

не є точним квадратом. Наприклад, ірраціональні числа, 3 , 5 , 6 , 10

і так далі.

Ірраціональне число, що не може бути коренем ніякого рівняння ал-

гебри з цілими коефіцієнтами, називають трансцендентним числом.

Доведено, що трансцендентними числами є такі знамениті констан-

ти, як:

π = 3,1415927.(відношення довжини кола до її діаметру),

222

е = 2,718281828459.(одна з найважливіших констант математики; по-

значення е ввів Ейлер).

Трансцендентними є всі числа вигляду а b , де а – число алгебри, а

b – ціле число (за умови, що а не рівне 0 або 1). Наприклад, 3 2 , ( 3 ) 2 .

7.15. Розв’язування рівнянь

Рівняння (у стандартній формі) алгебри – це записане у виразах ал-

гебри твердження про те, що деяка поліноміальна функція перетворюється

в нуль при деяких, що вимагають відшукання, значеннях змінних. Напри-

клад, х2+5х+4=0 – рівняння алгебри. Значення змінної, при яких многочлен

обертається в нуль, називається коренем цього многочлена.

Наприклад, многочлен х2+5х+4 має корені -1 і -4, оскільки (-1)2-

5+4=0 і (-4)2+ 5×(-4)+4=16-20+4=0. Відмітимо, що в многочленну х2+5х+4

змінна х означає будь-яке число з області визначення функції, а в рівнянні

х2+5х+4 навпроти, х означає лише числа (корені рівняння), що задоволь-

няють рівнянню, тобто перетворюють його на тотожність, а саме числа -1 і

-4.

Рівняння алгебри завжди служили могутнім засобом розв’язування

практичних завдань. Точна мова математики дозволяє просто виразити

факти і співвідношення, які, будучи викладені звичайною мовою, можуть

показатися заплутаними і складними. Методи вирішення рівнянь склада-

ють в основному предмет того розділу математики, який називається тео-

рією рівнянь.

Коли розв’язується рівняння, треба чітко уявляти, чим ви займаєтеся.

Щоб розв’язати рівняння, потрібно зробити ряд перетворень алгебри, і ро-

бити це потрібно дуже обачно. Наприклад, розв’язуючи рівняння х2= х,

можна було б міркувати так: «Це рівняння можна спростити, якщо обидві

223

частини рівняння розділити на одне і те ж число х. При цьому ми отримує-

мо, що х = 1. Насправді ми б зробили помилку. Втратили б ще один

розв’язок, коли х = 0. У збірниках по алгебрі і в екзаменаційних білетах

школярів і абітурієнтів часто підстерігають подібні пастки.

Одне з головних завдань при вирішенні рівняння – це звести його до

простого вигляду. Є два основних способи розв’язування рівнянь – заміна

змінної і розкладання на множники.

Спосіб заміни змінної.

В цьому випадку, рівняння у вигляді F(f(x)) = 0 можна представити у

вигляді двох рівнянь: F(у) і у = f(x). Вирішити ці два рівняння набагато

простіше, ніж одне.

Наприклад, у виразі х8 + ах4 + b = 0 можна представити у= х4, а в три-

гонометричному виразі 3sin2x + sin x - 1 = 0 – замінити у = sin x.

Спосіб розкладання рівняння на множники.

В цьому випадку, рівняння у вигляді F(x) = 0 можна представити у

вигляді двох рівнянь-співмножників: F(x)= f(x) × g(x) = 0. Отже, рівняння

можна замінити сукупністю двох і більш рівнянь. Безліч розв’язків почат-

кового рівняння буде об'єднання безлічі розв’язків цих простих рівнянь.

Правда, тут захована одна з пасток! При заміні одного рішення декількома

може розшириться область визначення: перше рівняння визначається на

перетині областей простих рівнянь, а сукупність цих рівнянь – на об'єд-

нанні. Наприклад, рівняння 0)1( хх має тільки один корінь (х = 0), а

сукупність рівнянь 0х і 0)1( х має два корені (х = 0 і х = -1). Тобто

нами знайдено два значення, які можна підозрювати, що вони є коренями

рівняння. Щоб відповісти на питання – чи вирішили ми рівняння? – ми

винні кожне із знайдених чисел підставити в початкове рівняння і переві-

рити, чи є воно дійсно розв’язком чи ні. Перевірка показує, що число 0 за-

224

довольняє початковому рівнянню, а -1 не задовольняє, якщо розв’язок шу-

кається не в комплексній області. Перевірка – це частина рішення.

Завдання 1.

Знайти х з рівняння х2 + 5 = 21.

Рішення:

х2 + 5 = 21

х2 = 16

х = ± 4.

Завдання 2.

Чому рівний вираз (2х2 + 5), якщо х=5?

Рішення:

2х2 + 5 = 2×52 + 5 = 2×5×5 + 5 = 50 + 5 = 55.

Рівняння алгебри 2-го степеня називають квадратним. Загальний вид

повного квадратного рівняння з одним невідомим записується так:

,02 cbxах (а ≠ 0, а ≠ 1),

де а, b, с – дані числа або буквені вирази, що містять відомі величини

(причому коефіцієнт, а не рівний 0).

Розділивши обидві його частини на а, отримаємо рівняння вигляду

).;(,02a

cq

a

bpqрxх

Такий вид квадратного рівняння називається зведеним. Якщо коефі-

цієнти b або с рівні 0, то такі рівняння називають неповними:

).0(0)0(0),00(0 222 bcaxicbxaxcibax

Приклади квадратних рівнянь:

02625 xх , (якщо а ≠ 0, а ≠ 1) – повне квадратне рівняння;

0225 х , (якщо b= 0)– неповне квадратне рівняння;

025 х , (якщо b= 0, c=0) – неповне квадратне рівняння;

0625 xх , (якщо c=0) – неповне квадратне рівняння;

225

0262 xх , (якщо a=1) – зведене квадратне рівняння.

Розв’язки квадратного рівняння приводиться зазвичай до вигляду:

mmх (2 відома величина).

Розв’язком рівняння є значення:

.mх

Можливі три випадки:

1) Якщо m = 0, то і х = 0.

2) Якщо m > 0, то х може приймати два однакових по абсолют-

ному значенню, але з різними знаками: одне додатне, а одне від’ємне.

3) Якщо m < 0, то рівняння не має розв’язку, оскільки не існує

числа, наприклад, 7 .

Від’ємні числа під коренем, вперше відкриті Кардано в середині XVI

століття і вони названі Декартом в 30 роках XVII століття уявними, зберег-

ли за собою цю назву в математиці до цих пір. В протилежність уявним

числам, раніше відомі додатні, від’ємні і ірраціональні почали так назива-

ти. Сума дійсного числа і уявного (1+ 2 ) отримала назву комплексного

числа. Часто і комплексні числа називають уявними.

Розв’яжи завдання:

1) Чому рівний вираз 75 – х2 + х, якщо х = 5?

2) Чому рівний вираз 2х2 – х, якщо х = 1?

3) Чому рівний вираз 15 – х2, якщо х = 7?

4) Чому рівний вираз 25 – х2 – х, якщо х = 5?

5) Чому рівний вираз 4х2 + 4, якщо х = 10?

Відповіді:

1) 55; 2) 1; 3) – 34; 4) – 5; 5) 404.

7.16. Розв’язування квадратного рівняння

226

Щоб знайти розв’язки зведеного квадратного рівняння

,02 qрxх

досить перевести вільний член в праву частину і до обох частин рівності

додати 2

2

р. Тоді ліва частина стане повним квадратом, і ми отримаємо

рівносильне рівняння

qрр

х

2

2

2

2.

Звідси знаходимо:

qрр

х

2

22.

Корені квадратного рівняння можна визначити за формулою:

qрр

х

2

22.

Ця формула показує, що квадратне рівняння має два корені. Цю

формулу зручно застосовувати, коли р – ціле парне число.

Зауваження 1: Коли qр

2

2, то корені уявні.

Зауваження 2: Коли qр

2

2, то корені рівні один одному (одна-

кові).

Приклад 1:

х2 –12х - 64 = 0, де р = - 12; q = - 64.

227

Рішення:

х = 6 ± 6426 =6 ± 10;

х1 = 6 + 10 = 16; х2 = 6 - 10 = - 4.

Приклад 2:

х2 – mх + m2 – n2 = 0, де р = - m; q = m2 - n2.

Рішення:

х = m ± 222 nmm =m ± 2n = m ± n;

х1 = m + n; х2 = m – n.

Коли р непарне, то теж можна використовувати вище записану фор-

мулу. Корені повного квадратного рівняння

ах2 + bx + с = 0

знаходяться за формулою:

a

acbbx

2

42 .

Приклад 3:

3х2 - 7х + 4 = 0, де а = 3; b = - 7; c = 4.

Рішення:

;6

17

32

434277

x

х1 =3

4

6

17

; х2= 1

1

1

6

17

.

Якщо b – парне число, то зручніше користуватися загальною форму-

лою у такому вигляді:

a

acbb

x

2

22

228

Приклад 4:

3х2 –8х + 4 = 0, де а = 3; b = - 8; с = 4.

Рішення:

;3

44

3

43244

x

х1 = 23

6

3

24

; х2 = .

3

2

3

24

Про знаки коренів, коли вони дійсні b2 – 4ас > 0, краще судити на

основі теореми Вієта.

Сума коренів зведеного квадратного рівняння

02 qрxх

рівна коефіцієнту при невідомому в першому степені, узятому із проти-

лежним знаком, тобто:

х1+ х2 = - р;

добуток же цих коренів дорівнює вільному члену рівняння:

х1 х2 = q.

Перевірте себе:

Знайти корені наступних рівнянь:

1) х2 - 24х + 63 = 0; 2) х2 - 6х + 5 = 0; 3) 3х2 + 10х + 3 = 0;

4) 3х2 - 10х - 8 = 0; 5) х2 + 6х - 7 = 0; 6) 5х2 + 12х + 4 = 0;

Відповіді:

1) х1 = 21; х2 = 3; 2) х1 = 5; х2 = 1; 3) х1 = - 3

1; х2 = - 3;

4) х1 = 4; х2 = - 3

2; 5) х1 = 7; х2 = - 1; 6) х1 = - 0,4; х2 = - 2;

ВИСНОВКИ

229

Розділ сьомий розрахований на школярів і студентів першого курсу,

які «втратили» свої навики при операціях з формулами алгебри. Не зневі-

ряйтеся! Вивчайте і успіх до вас прийде. Не забувайте гру в шашки – це

допоможе вам складати алгоритми вирішення завдань.

230

РОЗДІЛ 8.

ВІДНОШЕННЯ, ПРОПОРЦІЇ І НЕРІВНОСТІ

8.1. Відношення

Співвідношення величин ми використовуємо весь час. Наприклад,

масштаб карти має 100 км. до одного сантиметра. На карті відстань між

Києвом і Одесою складають 5 см, то реальна відстань між містами рівна

500 км.

Завдання 1:

Яке відношення перемог і поразок у футбольної команди «Динамо»,

якщо вона виграла 24 гри з 30?

Рішення:

1. 30 – 24 = 6;

2. 24 : 6 = 4 : 1

Чому відповідь не залишили 24:6? Математично все правильно, але

відповідно до угоди прийнятим в математиці все, де можливо, необхідно

скорочувати. Це пов'язано з тим, що простіше відношення (наприклад, 4:1)

краще сприймається людиною, воно наочніше.

Перевірте себе:

1) Яке відношення кілограма до центнера?

2) Якщо школяр був відсутній по хворобі 5 днів з 30, то яким бу-

де відношення днів хвороби і днів занять в школі?

3) Якщо спортсмен тренувався 32 дні з тих, що пройшли 40 днів,

то яким буде відношення тренувальних днів до днів, коли тренувань не бу-

ло?

Відповіді:

1) 1:100; 2) 1:5; 3) 4:1.

231

8.2. Пропорції

Пропорції – це твердження, що співвідношення двох пар величин рі-

вні. Наприклад,, з якого витікає, що ad = bc (добуток середніх членів про-

порції дорівнює добутку крайніх. З рівності добутків ad=bc витікають

пропорції:

d

c

b

a ;

d

b

с

a ;

a

c

b

d .

Справедливі і так звані похідні пропорції:

c

bc

a

ba

;

c

bc

a

ba

;

d

bc

b

ba

;

d

bc

b

ba

;

dc

c

ba

a

;

dc

c

ba

a

;

dc

d

ba

b

;

dc

d

ba

b

;

dc

bc

ba

ba

;

d

c

b

a

db

ca

;

d

b

c

a

dc

ba

;

d

b

c

a

dc

ba

;

d

c

b

a

db

ca

.

Ці і безліч подібних ним пропорцій можуть бути об'єднані в двох ос-

новних формах:

dncm

ndmc

bnam

nbma

1111

;

dnbm

ndmb

cnam

ncma

1111

,

де m, n, m1, n1 – будь-які числа.

Розглянемо приклади розв’язання рівнянь за допомогою пропорцій.

232

Завдання 1.

Знайти х з пропорції: 1:4 = 7:х.

Рішення:

З властивостей пропорції a:b=c:d відомо, що ad=bc. Отже, в нашому

випадку, 4×7=1×х.. Звідси зрозуміло, що х=28.

Завдання 2.

Яка буде орендна плата при доході 3000 грн., якщо відношення оре-

ндної плати до вашого щомісячного доходу складає 1:6?

Рішення:

Представимо орендну плату у вигляді невідомого х. Тоді складається

пропорція: 1:6 = х:3000. Звідси, 6х.=3000. Отже, орендна плата рівна

3000:6=500 грн.

Завдання 3.

Літак пролітає 6000 км. за 10 годин. Скільки часу потрібно літаку,

щоб пролетіти 8000 км з тією ж швидкістю?

Рішення:

Хай х – час, за який літак пролетить 8000 км.

Складаємо пропорцію:

6000:10=8000: х

6000 х=80000

х=80000:6000=80:6 = 133

2 часу (

3

2години = 40 хвилинам).

Відповідь:

13 годин і 40 хвилин.

Перевір себе

1) Знайти х, коли 3 так відноситься до 5, як х відноситься до 70?

2) 7 так відноситься до 6, як 49 до х. Знайти х.

233

3) Допустимо, що 3 грн. з 100 грн. вашого місячного доходу ви

витрачаєте на медичну страховку. Який же ваш дохід, якщо витрати на

здоров'я складають 573 грн.?

Відповіді:

1) 42; 2) 42; 3) 19100 грн.

8.3. Нерівності

Два вирази (числові або буквені), сполучені знаками менше (<) або

більше (>), утворюють строгі нерівності. Всяка нерівність справедлива

при всіх числових дійсних значеннях, що входять в нього букв, називаєть-

ся вірною.

Приклад 1.

Числова нерівність 12×5 > 3×15 є вірною, оскільки: 60>45.

Приклад 2.

Буквений вираз а2>-10 вірний, оскільки а2 додатне і завжди більше 0,

а тим більше від’ємного числа - 10.

Два вирази можуть з'єднуватися знаками (менше або рівно) або (бі-

льше або рівно). Запис з цими знаками (наприклад, 3а≥5с або5с≤ 3а) теж

називається нерівністю, але не строгою.

Хай дано дві функції f1(x) та f2(x) і вони сполучені одним знаком не-

рівності (>, <, ≥, ≤)), то такі нерівності називаються умовними.

Розв’язком умовної нерівності називається таке значення аргументу

(або набір значень аргументів, якщо декілька невідомих), при підстановці

якого в дану умовну нерівність воно перетворюється у вірну числову нері-

вність.

Невідомі величини в нерівностях зазвичай позначаються останніми

буквами латинського алфавіту, такими, як: x, у, z, u, v, w, .и т. д.

234

Розв’язати нерівність – означає вказати межі, в яких розположені

(дійсні) значення всіх невідомих величин, при яких нерівність вірна.

Приклад 3.

Вирішити нерівність x2 < 9.

Рішення:

Ця нерівність вірна, якщо х <3, тобто, якщо х розміщене в межах

між -3 і + 3. Розв’язок має вигляд: -3 < х <3.

Приклад 4.

Вирішити нерівність х≥ 1x .

Рішення:

Ця нерівність вірна для всіх додатних чисел.

8.4. Основні властивості нерівностей

1. Якщо а < b, то b > а, і навпаки, якщо а > b, то b < а.

Приклад: Якщо 7х - 2> 3х + 1, то й 3х + 1 < 7х - 2.

2.. Якщо а < b і b < с, то а < с; і навпаки а > b і b > с, то а > с.

Приклад: З двох нерівностей. а > 2b і 2b>12 слідує що а >12.

3. Якщо а > b, то а + с > b + с (і а - с > b - с), тобто до обох частин

нерівності можна додати або відняти однакову величину, то нерівність при

цьому не зміниться.

Приклад 1: З нерівності х + 9 > 4 відняти по 9 з лівого і з правого бо-

ку, то нерівність не змінитися, то є. х > -5.

Приклад 2: Якщо до нерівності х - 9 <-4 додати по 9 до лівого і до

правого боку, то нерівність не змінитися, то є. х < 5.

Примітка: Зверніть увагу на приклади 1 і 2. У цих прикладах замість

того, щоб відняти і додати, можна було просто число 9 перенести з лівої

частини в праву і поміняти знак на протилежний.

235

Правило: При перенесенні числа за знак нерівності, число змінює

свій знак на протилежний, як і в рівності.

4. Якщо а > b і c > d, то а + с > b + d; точно також, якщо

а < b і c < d, то а + с <b + d, тобто дві нерівності однакового знаку,

можна почленно додавати.

Приклад 1: Нерівності - 7 > - 9 і 5 > 3 вірні. Додаючи їх почленно,

знаходимо вірну нерівність - 2 > -6.

Зауваження: Дві нерівності однакового знаку не можна почленно

віднімати один від одного, тому що результат може бути невірним. Напри-

клад, з нерівності - 7 > - 9 відняти 5 >1, то отримуємо, - 12 > - 10, що не

вірно.

5. Якщо а > b і c < d, то а - с > b - d; якщо а < b і c > d, то а - с < b -

d, то від першої нерівності можна почленно відняти другу нерівність

протилежного знаку, залишаючи знак тої нерівності, від якої віднімаєть-

ся інша.

Приклад 1: Нерівності - 7 > - 9 і 5 < 8 вірні. Відняти з першої нерівнос-

ті другу і знаходимо вірний результат – 12 > - 17.

Приклад 2: Дана система нерівностей х2

1+ у

2

1<24; х

2

1– у

2

1<4.. Скла-

даємо їх почленно, знаходимо х < 28.

6. Якщо а > b і m > 0, то аm > bm, чи m

b

m

a , тобто обидві частини не-

рівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число і

при цьому знак нерівності залишається тим самим.

Якщо а > b і n < 0, то аn < bn, чи n

b

n

a , тобто обидві частини нерівно-

сті можна помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число, то

знак нерівності потрібно змінити на протилежний

236

Приклад: Розділити обидві частини вірної нерівності 36 > 12 на 12.

Отримуємо вірну нерівність 3 > 1. Якщо обидві частини вірної нерівності

розділимо на -12, то потрібно поміняти знак нерівності з > на < (тобто, як-

що с <0, то навпаки), і отримаємо вірну нерівність -3 <- 1.

Перевірте себе.

1) Нерівність 17х - 5> х + 5. Поміняйте місцями частини нерівності.

2) Нерівність 17х - 5> х + 5. Додати до обох частин нерівності 7.

3) Нерівність 17х - 5> х + 5. Відняти від двох частин нерівності 7.

4) Додати дві нерівності 17 х - 5> х + 5 і 8 х+ 5> х - 13.

5) Відняти від нерівності 17х - 5> х + 5 другу нерівність 8х+5> х - 13.

6) Поділити обидві частини нерівності 18 х + 6> 6 х - 12 на -3.

Відповіді:

1) х + 5<17х – 5; 2) 17х + 2 > х + 12; 3) 17х – 12 > х – 2;

4) 25х > 2х + 8; 5) 16х + 8 > 7х; 6) -6х -2<–2х+ 4.

8.5. Деякі важливі нерівності

1. .baba Тут a і b – довільні дійсні або комплексні числа

(але baba ,, – завжди дійсні і додатні числа), тобто модуль суми не

перевищує суми модулів. Рівність має місце тільки в тих випадках, коли

обидва числа a і b мають один і той же аргумент, зокрема, коли обидва ці

числа додатні або обидва від’ємні.

Приклад 1: Нехай a = + 5; b = -7. Тоді a + b = - 2;

.7;5;2 baba Маємо 2<5+7.

Приклад 2: Нехай а = 4+3i; b= 6 - 8i. Тоді a + b = 10 - 5i;

;1252)5(210 ba

237

15;102)8(26;52324 baba .

Звідси маємо: .15125

Зауваження: Нерівність baba можна поширювати і на

більше число доданків, наприклад:

.. сbaсba

2. 21

аа (а – додатне число). Рівність має місце тільки при а = 1.

3. 2

baab

( а і b –додатні числа), тобто середнє геометричне двох

чисел не перевищує середнє арифметичне. Рівність 2

baab

має місто

тільки у випадку а = b.

Приклад: a = 3; b = 12. Тоді .5,72

;6

ba

ab

Маємо 6 <7,5.

Узагальненням цієї нерівності є нерівність, встановлене французь-

ким математиком Коші в IX столітті.

4. n

naaan naaa

...21...21 . (числа а1, а2,…, ат – додатні). Рівність

має місце, коли всі числа рівні один одному.

5. 1: 5. 1: abbа

11

2

1 (а і b-додатні числа). Знак рівності має

місце лише при а = b.

Приклад: a = 3; b = 9. 1: 27;2

911

2

1

ab

bа. .

238

Маємо 4,5 < 27 , тому що (4,5) 2 = 20,25.

Величина 1:ba

ab

bа

211

2

1 є середньою між а і b.

Вона називається середнім гармонійним.

Примітка: У давньогрецькому вченні про музичну гармонію важли-

ву роль відігравало середня гармонійна довжина двох струн. Звідси й назва

цієї величини.

6. Ця властивість узагальнюється на будь-яке число величин і має

вигляд:

1 : ....21...211

...2

1

1

11

nnaaan naaa

naaаn

7. n

naaa

nnaaa

2...22

21...21

(числа а1, а2,…, аn – довільні),

тобто абсолютна величина середньо арифметичного не перевершує серед-

ньо квадратичне. Знак рівності має місце, коли числа рівні один одному.

Приклад: а1=3, а2=4, а3=5, а4=6. Тут середнє арифметичне рівно 2

9, а

середньо квадратичне 2

86

4

86 . Звідси видно, що. .

2

86

2

9 .

8. а1b1+ а2b2+….+ аnbn 2...2

221.2...2

221 nbbbnaaa

(числа а1, а2,…, аn ; b1, b2,…, bn – довільні). Нерівність має місце тільки при

а1: b1= а2 : b2=….= аn : bn.

Приклад: а1=1, а2=2, а3=5, b1=–3, b2=1, b3=2. Маємо

а 1 b 1 + а 2 b 2 +….+ а n b n = 1∙(–3)+2∙1+5∙2=9. а1b1+ а2b2+….+ аnbn

=1∙(–3)+2∙1+5∙2=9. .42014302...22

21.2...2

221 nbbbnaaa

239

Маємо 9 < .420

9. Нерівності великого російського математика П. Л. Чебишева

Нехай числа а1, а2,…, аn ; b1, b2,…, bn – довільні.

Якщо а1 ≤ а2 ≤…≤ аn і b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n, то

nnbnababa

nnbbb

nnaaa

...2211...21...21 ,

а якщо а1 ≤ а2 ≤…≤ аn, але b1 ≤ b2 ≤…≤ bn, то

nnbnababa

nnbbb

nnaaa

...2211...21...21 .

Ці нерівності читаються так:

Якщо два ряди додатних величин містять однакове число членів і в

обох рядах члени не зменшуються (або в обох зростають), то добуток їх

середніх арифметичних не перевершує середнього арифметичного мно-

ження. Якщо в одному ряду члени не зменшуються, а в іншому не зроста-

ють, то має місце протилежна нерівність.

В обох випадках рівність має місце лише тоді, коли всі числа а1=

а2=…= аn і b1= b2=…= bn

П. Л. Чебишев так само узагальнив ці нерівності, довівши, що якщо 0

≤ а1 ≤ а2 ≤…≤ аn і 0 ≤ b 1 ≤ b 2 ≤…≤ b n , 0 ≤ b1 ≤ b2 ≤…≤ bn, то

nnbnababa

nnbbb

nnaaa 2)(...2)22(2)11(

2...22

21

2...22

21

,

33)(...3)22(3)11(3

3...32

313

3...32

31

nnbnababa

nnbbb

nnaaa

і так далі.

Якщо 0 ≤ а1 ≤ а2 ≤…≤ аn,, але b1 ≥ b2 ≥ …≥ bn, то мають місце проти-

лежні нерівності.

Приклад 1:

240

Нехай а1 =1, а2 =5, а3 =6 і b1 =2, b2 =3, b3 =4, тоді

43

651...21

nnaaa

;

33

432...21

nnbbb

;

3

213

3

41

3

463521...2211

nnbnababa

; .

Маємо 4∙3<3

213 .

Приклад 2:

Нехай а1 =1, а2 =5, а3 =6 і b1 =4, b2 =3, b3 =2, тоді

43

651...21

nnaaa

;

33

432...21

nnbbb

;

3

110

3

31

3

263541...2211

nnbnababa

.

Маємо 4∙3>3

110 .

Нерівності, що містять невідомі величини, підрозділяються на алгеб-

раїчні і трансцендентні. Алгебраїчні нерівності підрозділяються в свою

чергу на нерівності першого, другого і т. д. степеня. Ця класифікація при-

датна і для рівнянь.

Приклад 1: Нерівність 13х2- 3х+7 > 0 алгебраїчне, другого степеня.

Приклад 2: Нерівність 3х2- 2х+5> 3х(х–2) алгебраїчне, першого сте-

пеня, тому що приводиться до нерівності 4х+5>0.

Приклад 3: Нерівність 2х > 3х–2 трансцендентна.

241

Розв’яжіть приклади на порівняння добутків середніх арифметичних

і середнього арифметичного добутку.

1) Дано а1 =4, а2 =5, а3 =6 і b1 =5, b2 =3, b3 =2. Знайти значення нері-

вності.

2) Дано а1 =7, а2 =8, а3 =9 і b1 =2, b2 =3, b3 =4. Знайти значення нері-

вності.

Визначте алгебраїчну і трансцендентну нерівність:

3) 3 х > 3 х+ 2; 3) 3х> 3х+2;

4) 3х2+5х+3> 0

Відповіді: 1) 3

215

3

216 ; 2) ; 2)

3

22424 ; 3) Трансцендентні нерів-

ність; 4) алгебраїчне нерівність другого степеня.

8.6. Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається така послідовність чисел, в

якій різниця між наступним і попереднім числами залишається незмінною.

Ця незмінна різниця називається різницею прогресії.

Приклад 1: Ряд парних чисел 2, 4, 6, ... є арифметична прогресія з рі-

зницею 2.

Приклад 2: Ряд непарних чисел 13, 11, 9, 7, ... є арифметична прогре-

сія з різницею -2.

Будь-який член арифметичної прогресії можна обчислити за форму-

лою:

an = a1 + d(n – 1),

де a1 - перший член прогресії;

d - різниця прогресії:

n - номер взятого члена.

242

Сума Sn перших n членів арифметичної прогресії визначається за

формулою:

2

)1( nnaanS

.

Приклад 3: У прогресії 13, 11, 9, 7, ... десятий член дорівнює

a10 =13 - 2∙9 =- 5, а сума десяти перших членів дорівнює

402

10)513(10

S

Часто зручно користуватися для визначення суми Sn: формулою:

2

)1(12

ndanS .

Приклад 4: У прогресії 13, 11, 9, 7, ... визначити суму перших десяти

членів:

40102

9213210

S .

Як видно, суми в першому і в другому прикладах рівні один одному,

що підтверджує їх рівність.

Перевір себе.

Визнач різницю, 12-й член і суму перших 12 членів арифметичної

прогресії.

1) 0, 5, 10 …

2) 2, 8, 14, …;

3) 15, 10, 5, …

Відповіді:

1) d = 5; a12 = 45; S12 = 270;

2) d = 6; a12 = 68; S12 = 444;

3) d = –5; a12 = –40; S12 = 60.

243

8.7. Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність чисел, в якій

відношення між наступним і попереднім членами залишається незмінним.

Це незмінне відношення називається знаменником прогресії.

Приклад 1: Числа 2, 4, 8, 16, ... утворюють геометричну прогресію зі

знаменником 2.

Приклад 2: Числа 1; 0,1; 0,01, ... утворюють геометричну прогресію зі

знаменником 0,1.

Геометрична прогресія називається зростаючою, коли абсолютна ве-

личина її знаменника більше одиниці (як у прикладі 1), і спадною, коли во-

на менше одиниці (як у прикладі 2).

Будь-який член геометричної прогресії обчислюється за формулою:

,11

nqana

де а1 - перший член;

q - знаменник прогресії;

n - номер взятого члена. Сума Sn перших n членів геометричної прогресії (знаменник якої не

дорівнює 1): визначається за формулою:

;1

11

1q

qnaa

q

aqnanS

перший з виразів зручніше брати, коли прогресія зростаюча, другий - коли

спадна.

Якщо ж q = 1, то прогресія складається з рівних членів і сума прогре-

сії визначається за формулою: Sn= n а1

Сума Sn зручно ще визначати за формулою:

244

Sn = .1

)1(1

q

nqa

Сума S нескінченно спадної геометричної прогресії ( 1q ) назива-

ється число, до якого необмежено наближається сума перших n членів

спадної прогресії при необмеженому зростанні числа n.

Сума S нескінченно спадної геометричної прогресії визначається за

формулою:

q

aS

11

Приклад 3:

Дана нескінченно спадна геометрична прогресія 2

1;

4

1;

8

1; … Знайти

суму цієї прогресії.

Рішення:

2

11 a ,

2

1q , тоді сума 1

2

11

2

1

11

q

aS , тобто сума при необме-

женому зростанні n необмежено наближається до числа 1.

Визнач знаменник, 5-й член і суму перших 5 членів геометричної

прогресії.

1) 1, 5, 25 …

2) 2, 8, 32, …;

3) 3, 9, 27…

Відповіді:

1) q = 5; a5= 625; S5 = 781;

2) q = 4; a5= 512; S5= 682;

3) q = 3; a5 = 243; S5 = 263.

245

8.8. Логарифми

Логарифм числа N за основою а називається показник степеня х, до

якої потрібно звести основу а, щоб одержати число N.

Позначення: loga N = x. Цей запис зовсім рівносильний запису ах= N.

Приклади: log216=4, так як 24=16; ; log1/2 8 = -3, так як 3

2

1

= 8;

log1/2

32

1= 5, так як

32

15

2

1.

З визначення логарифма випливає основна логарифмічна тотожність:

NNaa log

Приклади: ,16162log2 так як 24 = 16; ,1251255log5

Основа логарифма а й число N можуть бути цілими і дрібними, але

обов'язково додатні, якщо ми хочемо, щоб логарифми були дійсними чис-

лами.

Логарифми чисел, більших одиниці, є додатними, а менше одиниці –

від’ємними. Логарифм 1 завжди дорівнює 0. Логарифм числа, рівного ос-

нові завжди дорівнює 1.

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників:

log (N1N2) = log N1 + log N2.

Логарифм частки дорівнює різниці між логарифмами чисельника і

знаменника:

log (N1/N2) = log N1 - log N2.

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на лога-

рифм його основи:

Logа N m = m logа N.

246

Логарифм кореня дорівнює частці від ділення логарифма числа під

коренем на показник кореня:

m

Nam Nalog

log

(наслідок попереднього властивості, бо mm NN /1 ).

Приклади на логарифмування:

Прологарифмувати за основою а:

1) 3 2

22log

m

aba logа (2ab2m-2/3) = logа 2+logа a+2logа b –

32

logа m=

=logа 2+1+2logа b –32

logа m;

2) ;323707,35

206,05,14

x lg x=lg 14,5+

21

lg 0,206–lg 35,07–3lg 237.

Примітка 1: Знаком lg без вказівки основи позначається десятковий лога-

рифм, тобто log10N.

Примітка 2: Основа логарифма не повинно дорівнювати одиниці.

Перевірте себе.

Виріши приклади на логарифми:

1) Чому дорівнює вираз х = log216?

2) Чому дорівнює вираз х = log525?

3) Чому дорівнює вираз х = log 1/2 16?

4) Чому дорівнює вираз х = log 1/5 125?

5) Чому дорівнює вираз 132log2 ?

6) Чому дорівнює вираз log1/2

16

1?

Відповіді:

247

1) 4; 2) 2; 3) –4; 4) –3; 5) 13; 6) 4.

8.9. Натуральні і десяткові логарифми

Представнику знаменитої швейцарської династії математиків Якобу

Бернуллі належить така цікава задача. В голові лихваря склався хитрий

план накопичення грошей: суму, що належить поверненню збільшувати

безперервно за проміжок на 1/n. До закінчення терміну сума боргу повинна

зростати в (1 +1/n)n разів. «Напевно, це дуже велике число», – подумав

лихвар.

Насправді вираз (1 +1/n)n з ростом n прагне до числа е = 2,718281...,

зване також ейлеревим числом. Це одна із самих чудових констант, позна-

чення якої ввів в 1736 р. Леонард Ейлер і яке використовується в даний час

як основа натурального логарифма.

Цікаво, що знаки эйлерового числа е запам'ятати не важко: два, кома,

сім, рік народження Льва Толстого (1828) - два рази, сорок п'ять, дев'яно-

сто, сорок п'ять (е = 2,718281828459045…).

Число е - ірраціональне і трансцендентне, що вперше довів француз-

ський математик в 1873 р. Шарль Ерміта.

Число е відіграє особливу роль в математичному аналізі. Показова

функція з основою е називається експонентою.

Логарифми, що взяті за основою е, називаються натуральними лога-

рифмами.

Позначення 1: Замість logе x прийнято писати ln x (знак ln визначає

скорочення слів «логарифм натуральний»).

Приклад: ln 3 = 1,09861

Позначення 2: Замість log10 x прийнято писати lg x (знак lg визначає

скорочення слів «логарифм десятковий»).

248

Позначення 3: У десяткового логарифма цілу частину називають ха-

рактеристикою, а дробову – мантисою.

Приклад: lg 0,5 = -0,30103; lg 0,005 = -2,30103

Щоб за відомим десятковим логарифмом числа N знайти його нату-

ральний логарифм, потрібно розділити десятковий логарифм числа N на

десятковий логарифм числа е (останній дорівнює 0,4343 = М ± 0,000005).

ln N = NNN

lg30259,20,43429

lg

elg

lg .

Величина lg е = 0,43429 називається модулем десяткового логарифма

і позначається через М, так що:

ln N = М

1 lg N.

Приклад: ln 2 = М

1∙0,301003 = 0,69315.

Щоб за відомим натуральному логарифму числу N знайти його де-

сятковий логарифм, потрібно помножити натуральний логарифм на мо-

дуль десяткових логарифмів М = lg е.

lg N = lg е ln N = М ln N ≈ 0,43429 ln N.

Приклад: ln 3 = 1,09861. Звідси lg 3 = М∙× 0,09861 = 0,47712.

Правила переходу від натуральних логарифмів до десяткового і на-

зад є окремі випадки загальних формул:

abbaab

NbNabaNbNa log

1log;

log

loglog;logloglog .

Перевір себе:

1) Визначте, чому дорівнює десятковий логарифм наступних цифр:

1, 10, 100,1000,

2) Визначте, чому дорівнює десятковий логарифм наступних цифр:

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.

249

3) Чому дорівнює ln е?

Спростити:

4) ;78log

1

4956log

1

25 (підказка: : 362)6(56log1

25 );

5) –log2log24 2 ; (підказка:

8

124 2 ).

Відповіді: 1) 0,1, 2, 3; 2) -1, -2, -3, -4; 3) 1; 4) 10; 5) 3.

8.10. Комбінаторика

Питаннями перестановок, розміщень, сполучень займається окрема

галузь математики, що називається комбінаторика.

При розв’язуванні комбінаторних задач завжди можна почати зада-

вати питання: «Скількома способами ...».

Розглянемо три типи комбінацій, що складаються з певного числа

різних між собою предметів (елементів).

1. Перестановки

Нехай є n різних між собою об'єктів. Подумки розставимо їх в ряд.

Таке впорядковане розташування об'єктів назвемо перестановкою.

Спробуємо відповісти на питання: скільки всіляких перестановок з n

елементів можна здійснити? Число всіх різних перестановок з n елементів

позначається Рn. Це число дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1

до n включно:

Рn = 1∙2∙3∙4∙5….( n – 1) n = n!

Знаком оклику (в математиці він називається факторіал) прийнято

позначати добуток всіх натуральних чисел від 1 до n включно.

250

Приклад: Знайти число перестановок з трьох елементів 1, 2, 3. За фо-

рмулою Рn = 1∙2∙3 =6. Дійсно маємо 6 перестановок:

1) 123; 2) 132; 3) 213; 4) 231; 5) 312; 6) 321

Зауваження: При n = 1 число перестановок Рn = 1, тобто 1! = 1. При

n = 0 число перестановок не має сенсу (нема чого переставляти!). Однак

приймається (як визначення), що 0! = 1.

2. Розміщення

Іноді буває потрібним з n різних об'єктів відібрати довільні m об'єк-

тів (n> m) і розташувати їх в певному порядку. Кожне таке впорядковане

розташування називається розміщенням. Як з'ясувати, скільки таких роз-

міщень можна здійснити при заданих n і m.

Позначимо кількість всіляких розміщень числом mnA .

Спочатку візьмемо будь-яку перестановку всіх n об'єктів і розгляне-

мо перші m об'єктів з n наявних, тоді як останні n - m «хвостових» об'єктів

зовсім не впливають на це розміщення, як їх не переставляти. Але ці n - m

«хвостових» об'єктів можуть бути переставлені Рn-m способами. Отже, ко-

жному розміщення можна «пришити» Рn- різних «хвостів», що породжує

стільки ж перестановок всіх n об'єктів. Загальне число перестановок всіх

об'єктів Рn в такому випадку дорівнює добутку шуканого mnA числа на

Рn-m:

Рn = mnA ∙ Рn-m.

Звідси

.)!(

!

mn

n

mnPnPm

nA

Приклад:

251

Знайти число розміщень з чотирьох елементів a, b, c, d по два. Маємо mnA =4∙3=12. Ці 12 розміщень такі: 1) ab, 2) bc, 3) ac, 4) ca, 5) ad, 6) da,

7) bc, 8) cb, 9) bd, 10) db, 11) cd, 12 ) dc.

Зауваження: Перестановки можна вважати окремим випадком роз-

міщень (розміщення з n розміщень по n).

3. Сполучення

У деяких завданнях з комбінаторики не має значення порядок розташу-

вання об'єктів в тій або іншій сукупності. Кількість сполучень з n елемен-

тів по m в Рn разів менше числа розміщень mnA , тобто:

.)!(!

!

!

)!(

!

mnm

n

mmn

n

mP

mnAm

nС

Звідси випливає чудова властивість сполучень:

.mnmСm

nС

Приклад 1: Знайти всі поєднання з 4-х елементів a, b, c, d по два.

Рішення:

Маємо .621

3424

С Ці шість сполучень наступні: 1) ab, 2) ac, 3) ad,

4) bc, 5) bd, 6) cd.

Приклад 2: Скільки карток Лото-Мільйон потрібно купити і заповни-

ти, щоб на них виявилися всі комбінації по 6 номерів з 49 можливих?

Рішення:

Маємо .!43!6

!49649

С Це складає майже 14 мільйонів.

252

4. Комбінації з повторенням

Одним з найбільш важливих типів комбінацій є перестановки з по-

вторюваними елементами, визначаються в такий спосіб. Візьмемо n елемен-

тів, серед яких є n1 однакових між собою елементів першого типу, n2 одна-

кових між собою елементів другого типу і т.д. Будемо представляти їх всі-

лякими способами. Отримуйте комбінації носять назву перестановки з по-

вторюваними елементами. Кількість різних між собою перестановок з по-

вторюваними елементами можна визначити за формулою:

!!....2!1

!

....21 knnn

n

knPnPnPnP

(n1+ n2+….+ nk=n; k – число типів

Приклад: Знайти кількість різних перестановок з повторюваними

елементами з літер a, a, a, b, b, c, c.

Рішення: У цьому прикладі n1= 3; n2=2; n3=2; n1+ n2+ n3.= 7. Кіль-

кість різних між собою перестановок рівно:

2102232

765432

!2!2!3

!7

.

Іншим цікавим способом вирішення задач з комбінаторики є поєд-

нання з повторенням. Принципова відмінність від розміщення з повторен-

ням полягає в тому, що в даному випадку елементи списку не нумеруються

(вони вважаються однаковими елементами). У списку в нас сума елементів

різних типів n1+ n2+….+ nk= n.

Тепер представимо це поєднання у вигляді ланцюга з нулів та оди-

ниць. Окремий елемент поєднання будемо зображувати у вигляді 1, а нуль -

символізує межу між групами елементів, відповідних сусідніх ni (__,1 ni ).

Якщо в списку немає деякого елемента з номером i, то у відповідному місці

ланцюжка опиняться два «граничних» нулі підряд.

Оскільки сума всіх елементів у поєднанні дорівнює m, то в ланцюж-

ку міститься m одиниць та (n-1) нулів. Звідси весь ланцюжок складається з

253

n + m - 1 цифр. Наприклад, ланцюжок 1111001010 говорить нам, що в спис-

ку чотири елементи з номером 1, ні одного елемента з номером 2, по одному

елементу з номерами 3 і 4 і жодного елемента з номером 5. Таким чином,

задача звелася до пошуку відповіді на питання: скільки можна скласти різ-

них ланцюжків довжиною n + m - 1 з m одиниць і n - 1 нулів? А це не що

інше, як число перестановок з повторенням з m нулів і n - 1 одиниць, тобто

.1,

__

nmР Тому

)!1(!

)!1(1,

nm

mnnmPm

nC

Розв’яжіть задачі:

1) Знайти число перестановок з 5 елементів.

2) Знайти число розміщень з 5 елементів по 3.

3) Знайти число сполучень із 5 елементів по 5.

4) Знайти число, різних між собою перестановок з літер a, a, a, a,

b, b, b. b, b, b.

Відповіді: 1) 120; 2) 60; 3) 10; 4) 35.

8.11. Біном Ньютона

В алгебрі часто доводиться підносити до степеня двочлен a + b. Фо-

рмула, в якій довільна степінь двочлена b> 0, називається біном Ньютона,

хоча була відома задовго до нього.

Для зручності у виразі (a + b)n виводимо bn за дужки і позначаємо a/b

через х. Отримуємо bn(х+1)n Знайдемо формулу для (х+1)n. Неважко здога-

датися, що після розкриття дужок у нас вийде многочлен n-го степеня. Треба

тільки визначити коефіцієнти при різних степенях х. Випишемо добуток з n

дужок (х + 1):

(х+1)( х+1)( х+1)…( х+1).

254

Тепер розкриємо дужки, але при цьому не будемо приводити подібні

члени. Наприклад:

(х+1)2=х2+х+х+1;

(х+1)3= х3+х2+х2+х+х2 +х+х+1 и т.д.

Після перемноження n дужок (х + 1) і приведення подібних членів

отримаємо коефіцієнти при х рівні сполученню mnC . Тому:

(х+1)n= 01...2211nCxnCnxn

nCnxnnCnxn

nC .

Числа mnC є коефіцієнтами у формулі біном Ньютона і називаються

біноміальними коефіцієнтами.

Неважко вивести формулу і для (a + b)n.

(a + b)n= nbbnan

nbna

n

nna

...22)!1(!2

!1)!1(!1

!

Для обчислень частіше використовується формула:

(a + b)n=

= nbbnannn

bnann

bnnana

...33

321

)2)(1(2221

)1(1

Приклад: (a + b)3= a3+3a2b+3ab2+b3.

Число біноміальних коефіцієнтів можна легко отримати з трикутни-

ка Паскаля:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Числа, що стоять в одному рядку трикутника Паскаля, є біноміаль-

ними коефіцієнтами відповідного степеня. Для переконливості порівняйте

255

наведений вище приклад і третій ряд цифр трикутника Паскаля, які збіга-

ються.

Властивості коефіцієнтів бінома Ньютона

1) Коефіцієнти членів, рівновіддалених від кінців розкладу, одна-

кові.

2) Сума коефіцієнтів розкладу (a + b)n дорівнює 2n..

3) Сума коефіцієнтів членів, що стоять на непарних позиціях, до-

рівнює сумі коефіцієнтів, що стоять на парних позиціях. Кожна

з них складає 2n-1.

Перевірте себе:

1) Розкладіть (a + b)6.

2) Підрахуй суму біноміальних коефіцієнтів розкладу (a + b)6.

3) Підрахуй суму біноміальних коефіцієнтів розкладу a + b)6, що

стоять на парних і непарних позиціях і порівняй їх.

Відповіді:

1) (a + b)6= a6+6a5b+15a4b2 +20a3b3 +15a2b4+6ab5+b6;

2) 1+6+15+20+15+6+1=64=26;

3) 1+15+15+1=6+20+6=32=25.

ВИСНОВКИ

Розділ восьмий розрахований на школярів, але становить інтерес і

для студентів першого курсу, які «загубили» свої навички при операціях з

нерівностями, прогресіями, логарифмами і комбінаторними задачами. Не

впадайте у відчай! Вивчайте і успіх до вас прийде.

256

РОЗДІЛ 9

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

Перші геометричні поняття виникли в Єгипті і Вавилоні близько 4

тисяч років тому для визначення площ земельних ділянок. Грецькі вчені

відкрили безліч геометричних властивостей і створили струнку систему

геометричних знань, які і в даний час вивчаються в школах. Ми ж у цьому

розділі торкнемося лише деяких питань, які мають практичне значення для

школярів і легко піддаються усному рахунку.

9.1. Площі прямокутників

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого парале-

льні і рівні (рис. 9.1).

Прямокутник – це паралелограм, у якого внутрішні кути прямі

(рис. 9.2).

Квадрат – це паралелограм, у якого внутрішні кути прямі і всі сторо-

ни рівні між собою (рис. 9.3).

Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні й протилежні кути

рівні між собою (рис. 9.4).

Рис. 9.1 Рис. 9.2 Рис. 9.3 Рис. 9.4

h

257

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти h на сторону, на яку

ця висота опущена; площа прямокутника (або квадрата) дорівнює добутку

довжини прямокутника на його ширину (або квадрату сторони, якщо це ква-

драт); площа ромба рівна половині добутку його діагоналей, які у нього пе-

рпендикулярні одна одній.

Знаючи ці елементарні формули, можна розв’язати багато практич-

них задач.

Завдання 1:

Яка площа дитячого майданчика, яка являє собою прямокутник, як-

що його сторони 3 м і 5 м?

Рішення:

Площа = довжина × ширина = 3 м × 5 м = 15 м2.

Правильно сказати, що площа складає 15 квадратних метрів.

Завдання 2:

Яка площа квадратного намету, якщо його сторона дорівнює 3 м?

Рішення:

Площа = сторона × сторона = 3 м × 3 м = 9 м2.

Завдання 3:

Скільки квадратних дюймів в квадратному футі? (Підказка: в 1 футі

12 дюймів)

Рішення:

Площа квадрата = сторона × сторона =

= 12 дюймів × 12 дюймів = 144 кв. дюйми

Завдання 4:

Скільки квадратних футів міститься в квадратному ярді? (Підказка: в

1 ярді 3 фути).

Рішення:

Площа квадрата = сторона × сторона =

= 3 фути × 3 фути = 9 кв. футів.

258

Перевірте себе:

1) Яка площа паралелограма, що має висоту 11 см і основу, на

яку опущена висота, 11 см?

2) Яка площа ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см?

3) Яка площа прямокутника, довжина якого 7 см, а ширина - 5 см.

Відповіді:

1) 121 кв. см.; 2) 48 кв. см.; 3) 35 кв. см.

9.2. Як використовувати площу в розрахунках

Розглянемо ряд ситуацій, з якими людина стикається повсякденно.

Завдання 1:

Приміщення здається в оренду за ціною 8 грн. за кв. метр. Скільки

коштує орендувати офіс площею 50 м × 120 м?

Рішення:

1. Визначаємо площу = довжина × ширина =

= 50 м ×120 м = 6000 кв. м

2. Визначаємо орендну плату = 6000 м2 × 8 грн. = 48 тис. грн.

Завдання 2:

Центральний київський стадіон становить 2,5 км в довжині і в шири-

ну 0,5 км. Яка його площа?

Рішення:

Визначаємо площу = довжина × ширина =

= 2,5 км ×0,5 км = 1, 25 кв. км.

Завдання 3:

Яка довжина прямокутника, площа якого 135 км2, а ширина 9 км.?

Рішення:

Площа = довжина × ширина

135 км2 = довжина × 9 км

259

довжина = 135 км2 : 9 км = 15 км.

Перевірте себе:

1) Яка площа кімнати в квадратних метрах, якщо її довжина 4,5

м, а ширина 3 м?

2) Якби земля продавалася за 100 грн. квадратний метр, то скіль-

ки б коштувала квадратна ділянка довжиною 75 м?

3) Кімната має розмір 7 м на 5 м. Скільки треба заплатити за ки-

лимове покриття всієї кімнати, якщо квадратний метр коштує

35 грн.?

4) Кімната площею 215 квадратних метрів має ширину 15 м. Чо-

му дорівнює довжина кімнати?

Відповіді:

1) 13,5 м2; 2) 562500 грн.; 3) 1223 грн.; 4) 15 м.

9.3. Периметр прямокутника

Периметр – це довжина лінії, що обмежує фігуру. Периметр прямо-

кутника виражається наступною формулою:

Периметр = (2 × довжину) + (2 × ширини)

Завдання 1.

Яка довжина периметра прямокутника, якщо його довжина 5 м, а

ширина 4 м?

Рішення:

Периметр = (2 × довжину) + (2 × ширини)

(2×5 м ) + (2×4 м ) = 18 м.

Завдання 2.

Яка довжина периметра квадрата, якщо його довжина 12 м?

Рішення:

Периметр = (2 × довжину) + (2 × ширини)

260

(2 × 12 м) + (2 × 12 м) = 48 м.

Примітка: можна розв’язати однією дією, обчислюючи периметр

квадрата, тому що його всі чотири сторони рівні один одному 4×12 м = 48 м.

Завдання 2.

У скільки обійдеться будівництво паркану, навколо будинку, що бу-

дується, при довжині ділянки 80 м і шириною 40 м, якщо вартість одного

метра забору 16 грн?

Рішення:

Периметр = (2 × довжину) + (2 × ширини)

(2×80 м) + (2×40 м) = 240 м.

Вартість = 240 м × 16 грн. = 3840 грн.

Перевірте себе.

1) Знайти периметр кімнати, якщо її довжина 5,5 м, а ширина 3

м?

2) Знайти вартість паркану навколо квадратної ділянки землі до-

вжиною 75 м, якщо вартість одного метра забору 10 грн.?

3) Кімната має розмір 7 м на 5 м. Скільки треба заплатити за плі-

нтус всієї кімнати, якщо двері мають довжину 2 м і вартість

одного метра плінтуса 3 грн.?

Відповіді:

1) 16,5 м 2; 2) 56250 грн.; 3) 66 грн.

9.4. Площа і периметр трикутника

Трикутник – це багатокутник з трьома сторонами.

Рівнобедрений трикутник, коли його дві сторони рівні. Рівні сторо-

ни такого трикутника називаються бічними, третя сторона – основою трику-

тника, кути при основі рівні.

261

Рівносторонній трикутник, коли всі три сторони рівні, кути всі рівні

60о.

Прямокутний трикутник - має один прямий кут рівний 90о.

Площа трикутника дорівнює половині добутку підстави а на висоту

hа, опущену на цей бік, визначається за формулою (рис 9.5):

.2

1aahS

Периметр трикутника дорівнює сумі

довжин його сторін.

Існує цікавий «єгипетський» трикут-

ник, сторони якого дорівнюють відношенню

3 : 4 : 5. У цьому трикутнику менші сторони

утворюють прямий кут. У трикутнику, сто-

рони які утворюють прямий кут, називаються катетами, а більша сторона

називається гіпотенузою.

Сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, а половина

добутку катетів дорівнює площі прямокутника.

Завдання 1.

Трикутник має основи 5 см і висоту 7 см. Чому дорівнює його пло-

ща?

Рішення:

Площа = 2

1 (основи× висоту)

.25,172

35)75(

2

1

2

1смaahS

Рис. 9.5

ha

262

Завдання 2.

Трикутник має значення сторін 15 см, 20 см, 25 см Чому дорівнює

його площа і периметр?

Рішення:

Цей трикутник прямокутний, тому що його сторони відносяться як:

3 : 4 : 5.

Площа = 2

1(катет × катет) (катет × катет)

.21502

300)2015(

2

1смS

Периметр = сторона1 + сторона2 + сторона3.

Р= 15 + 20 + 25 =60 см.

Перевірте себе:

1) Знайти площу і периметр трикутника зі сторонами 6 см, 8 см і

10 см.

2) Знайти площу і периметр трикутника із сторонами 10 см, 10 см

і 16 см.

Відповіді:

1) Трикутник «єгипетський». Катети дорівнюють 6 см і 8 см, от-

же, площа трикутника дорівнює 24 см2, а периметр – 24 см.

2) Для вирішення цього завдання треба побудувати трикутник з

бічними сторонами 10 см і 10 см, а на основу 16 см опустити

перпендикуляр, який одночасно є бісектрисою і медіаною. От-

же, перпендикуляр розділить основу на дві частини по 8 см.

Утворюється два симетричних «єгипетських» трикутників із

загальною стороною що дорівнює 6 см (дивись попередню за-

дачу). Звідси площа трикутника дорівнює 48 см2, а периметр -

36 см.

263

9.5. Довжина кола

Геометричним місцем точок (що володіють даною властивістю) на-

зивається сукупність усіх точок, що задовольняють заданим умовам.

Коло є геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї

її точки (центру).

Рівні відрізки, що з'єднують центр з точками кола, називаються раді-

усами і позначаються r або R. Пряма, що проходить через дві точки кола,

називається січною, а її відрізок, що лежить в колі, - хордою. Хорда, що про-

ходить через центр, називається діаметром, що позначається d або D і дорі-

внює двом радіусам (d = 2r).

Круг, є частина площини, що обмежена комою.

Відношення довжини кола до його діаметра – величина постійна і не

залежить від розмірів кола. Число, що виражає це відношення, прийнято

позначати грецькою буквою π ( «пі»). Число π виражається нескінченним

неперіодичним десятковим дробом і наближено дорівнює 3,141592653589

Для запам'ятовування великої кількості знаків числа π існують забавні при-

казки та вірші

Наприклад, такі:

Треба тільки постаратися

І запам'ятати все як є:

Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,

Дев'яносто два і шість, 536.

(С. Бобров. Чарівний дворога.)

Більш просте вираження числа π, яке зручно застосувати для прак-

тичних розрахунків, рівно 7

13 , яке запропонував у Ш ст. до н.е. Архімед в у

творі «Про вимір кола»)

264

Завдання 1.

Припустимо, що ви вийшли на прогулянку навколо озера, яке є ко-

лом з радіусом 500 м. Яку відстань ви б пройшли?

Рішення:

1) Довжина кола = π × D = π × 2 × r;

2) Перетворимо 500 м в 0,5 км;

3) Обчислимо довжину = .5,14137

135,02

7

22мкмкмкм

Завдання 2.

Радіус кола 5 см. Чому дорівнює довжина цього кола?

Рішення:

1) Довжина кола = π × D = π × 2 × r;

2) Обчислимо довжину = .4,317

33152

7

22смсмсм

Завдання 3.

Знайти діаметр кола з довжиною кола 44 см.

Рішення:

1) Довжина кола = π × D

2) Діаметр = .1422

744

7

13:44 смсм

Перевірте себе:

1) Знайти довжину кола з діаметром 3 см.

2) Знайти діаметр кола при довжині кола 88 см.

3) Знайти радіус кола при довжині кола 33 см.

Відповіді:

1) .7

39 см 2) 28 см. 3) 10,5 см.

265

9.7. Визначення сторін багатокутників по колу

1. Проводимо в колі два взаємних перпендикуляра, з'єднавши кінці їх лінії, отримаємо сторону 4-х кутника.

2. Ділячи чверть кола навпіл, отримуємо сторону 8-ми кутника.

3. Відкладаючи величину радіуса по колу, отримуємо сторони 6-ти-,

3-х або 12-ти кутників.

4. Розділивши вісь 0Х навпіл і радіусом r = AB засікаємо точку 1C . ВС

= = ВD = стороні 5-ти кутника. Сторона 1OC дорівнює стороні 10-ти

кутника.

5. Розділивши дугу відповідну 3-х кутнику на три частини, отримуємо сторону 9-ти кутника.

6. Половина сторони 3-х кутника дорівнює стороні 7-ми кутника.

Рис. 9.6. Визначення сторін багатокутників по колу

266

9.8. Площа круга

Давньогрецькі геометри строго довели, що довжина кола пропорцій-

на його діаметру, а площа круга дорівнює половині добутку довжини кола і

радіуса:

.2 22

1RRRS

Завдання 1.

Знайти площу круга з довжиною кола 44 см.

Рішення:

1) Довжина кола = π × D

2) Діаметр = .1422

744

7

13:44 смсм

3) Радіус = 14:2 = 7 см.

4) площа = 2R ..1547

492249

7

13 смкв

Перевір себе.

1) Радіус кола 8 см. Знайти його площу.

2) Діаметр кола 14 см.. Знайти його площу.

3) Площа круга 154 кв. см. Знайти радіус кола.

Відповіді:

1) ..7

1201 смкв 2) 154 кв. см. 3) 7 см.

9.9. Об’єми призми

Щоб знайти об’єм, спочатку вибирається одиниця виміру. У Старо-

давньому Римі однією з одиниць об'єму служила амфора (близько 25,5 л).

267

Нафта в усьому світі прийнято зараз вимірювати в англо-американських

одиницях-барелях (бочках місткістю 159 л). У Росії та на Україні в побуті

розповсюджена міра - відро.

В геометрії за одиницю об’єму беруть об'єм куба з ребром одиничної

довжини.

Підкреслимо, що об’єм куба дорівнює добутку однакових довжин

ребер, які виходять з однієї його вершини.

Рівні тіла мають рівні об'єми, що зрозуміло за визначенням.

Багатогранником називається тіло, межа якого складається з

шматків площин (багатокутників). Ці багатокутники називаються гранями, а

їх боки – ребрами, їх вершини – вершинами багатогранника. Відрізки, що

n

n

n

Рис. 9.6

Рис. 9.7 Рис. 9.8 Рис. 9.9

268

з'єднують дві вершини, що не лежать на одній грані, називаються діагона-

лями багатогранника. Опуклим багатогранником називається багатогран-

ник, всі діагоналі якого лежать всередині нього.

Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до площини основи, то

призма - пряма (рис. 9.7), якщо ні - похила. Якщо основа призми - круг, то

призма називається циліндр (рис. 9.8). Бічна поверхня призми (сума всіх

площ бічних сторін) і циліндра дорівнює периметру (р’) перетину призми

(циліндра), перпендикулярного його ребра, помноженому на довжину ребра

(l).

Sбок = р’ l.

Для прямої призми (циліндра) перпендикулярним перерізом є осно-

ва, бічним ребром – висота h, так що:

Sбічне = р∙h.

Об’єм (V) призми (циліндра) дорівнює добутку площі перпендику-

лярного перерізу (S ') на довжину (l) бічного ребра:

Sбок= р∙h.

або площі основи (S) на висоту (h):

V = S h.

Завдання 1.

Знайти об’єм циліндричної бочки, у якої діаметр основи дорівнює

35 см, а висота - 60 см.

Рішення:

1) Об’єм = площа кола × висоту

2) Площа круга = 2R4

2D

3) Площа круга = ..5,13472

2695

47

353522

4

235

7

13 смкв

269

4) Об’єм = ..808502

602695смкуб

Завдання 2.

Знайти площу основи циліндричної бочки, у якої об’єм ..80840 смкуб

, а висота – 80 см.

Рішення:

1) площа круга = об'єм : висоту

2) Площа = ..5,101080:80840 смкв ;

Перевірте себе:

1) Знайти об’єм прямої призми, у якої площа основи дорівнює

6050 кв. см, а висота - 60 см.

2) Знайти висоту прямої призми, у якої площа основи дорівнює

6050 кв. см, а об'єм призми дорівнює 363000 куб. см.

3) Знайти площу основи циліндра, якщо об'єм призми дорівнює

363000 куб. см., а висота –- 75 см.

Відповіді:

1) 453750 куб. см.; 2) 75 см.; 3) 4840 кв. см.

9.10. Об’єм паралелепіпеда

Паралелепіпедом називається призма, основа якої паралелограм

(рис. 9.7). Таким чином, паралелепіпед має шість граней і всі вони паралело-

грами. Протилежні грані попарно рівні і паралельні. Паралелепіпед має чо-

тири діагоналі; всі вони перетинаються в одній точці і діляться навпіл. За

основу може бути прийнята будь-яка грань; об’єм дорівнює добутку площі

основи на висоту:

V = S h.

270

Паралелепіпед називається прямокутним, коли в нього всі шість гра-

ней прямокутники. Об’єм такого прямокутного паралелепіпеда може визна-

чатися добутком його ребер, що виходять з одного кута (вершини), за фор-

мулою:

V = abc,

де a, b, c – ребра паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини.

Діагональ (d) прямокутного паралелепіпеда пов'язана з його ребрами

співвідношенням:

d2 = a2 + b2 + c2.

Кубом називається прямокутний паралелепіпед, грані якого – квад-

рати. Всі ребра куба рівні, а об'єм виражається формулою:

V = a3,

де a – ребро куба.

Завдання 1.

Знайти об'єм паралелепіпеда із заснуванням 3025 кв. см та висотою

50 см.

Рішення:

1) Об'єм = площа основи × висоту

Об'єм = 3025 × 50 = 151250 куб. см . =151,25 куб. м.

Завдання 2.

Знайти площу основи паралелепіпеда, у якого об'єм ..80840 смкуб , а

висота - 40 см.

Рішення:

1) площа = об'єм : висоту

2) Площа = ..202140:80840 смкв

Перевірте себе:

1) Знайти об'єм паралелепіпеда, у якого площа основи дорівнює

6050 кв. см, а висота - 30 см.

271

2) Знайти висоту паралелепіпеда, у якого площа основи дорівнює

625 кв. см, а об'єм паралелепіпеда дорівнює 8125 куб. см.

3) Знайти площу основи паралелепіпеда, якщо об'єм його дорівнює

15625 куб. см., а висота - 25 см.

4) Знайти діагональ куба з ребром 5 см.

Відповіді:

1) 181,5 куб. м.; 2) 13 см.; 3) 625 кв. см.; 4) ≈ 8,66 см

. .

9.11. Об'єм піраміди

Пірамідою називається багатогранник, у

якого одна грань-довільний багатокутник (основа

піраміди), а решта - трикутники (бічні грані) із за-

гальною вершиною S, що називається вершиною

піраміди. Перпендикуляр, опущений з вершини пі-

раміди на її основу , називається висотою пірамі-

ди. Піраміди називаються трикутні, чотирикутні

т.д., якщо в їх підставі відповідно лежить трикут-

ник, чотирикутник і т.д. Трикутна піраміда є чотиригранний (тетраедр), чо-

тирикутна - п’ятигранник і т.д.

Піраміда називається правильною, якщо основа її – правильний бага-

токутник, у якого всі сторони і кути рівні, а висота (SО) опущена в центр

основи (багатокутника). У правильній піраміді всі бічні ребра рівні: всі бічні

грані рівні трикутники. Висота бічної грані називається апофемою (SF) пра-

вильної піраміди (рис. 9.10).

Бічна поверхня правильної піраміди, тобто сума площ всіх її граней,

дорівнює добутку напівпериметра основи (0,5р) на апофему (а):

S

OF

Рис. 9.10

272

Sбок= 2

1ра.

Об'єм будь-якої піраміда дорівнює одній третині добутку площі ос-

нови (S) на висоту (h):

V= Sh3

1

Якщо в піраміді провести перетин, паралельно основі піраміди, то

тіло, обмежене цим перетином, основою і укладеної між ними частиною

бічної поверхні піраміди, називається зрізаною пірамідою (рис. 9.11).

Паралельні багатокутники зрізаної піраміди на-

зиваються основами, відстань між ними – висотою.

Зрізана піраміда називається правильною, якщо пірамі-

да, з якої вона отримана, була правильною. Всі бічні

грані правильної зрізаної піраміди є рівними рівнобіч-

ними трапеціями. Висота бічної грані називається

апофемою правильної зрізаної піраміди (рис. 9.11).

Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди до-

рівнює добутку напівсуми периметрів основ на апофе-

му:

Sбок= 21

(р1+р2) а,

де р1, р2 – периметри основ;

а – апофема.

Об’єм всякої зрізаної піраміди дорівнює третині добутку висоти на

суму площ верхньої основи , нижньої основи і середньої пропорційної між

ними:

V= ),2211(3

1SSSSh

Рис. 9.11

а

273

де S1, S2 – площі основ зрізаної піраміди;

h – висота.

Зокрема, об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди визнача-

ється за формулою:

V= ),22(3

1babah

де a і b – сторони квадратів, що лежать в основах.

Завдання 1.

Знайти об'єм піраміди з основою 3027 кв. см та висотою 20 см.

Рішення:

1) Об'єм = 3

1(площа основи × висоту)

2) Об'єм = 3

1 (3027 × 20) = 20060 куб. см. = 20,06 куб.

Завдання 2.

Знайти площу основи паралелепіпеда, у якого об'єм ..840 смкуб , а

висота - 40 см.

Рішення:

1) площа = об’єм : висоту

2) Площа = ..202140:80840 смкв

Перевірте себе:

1) Знайти об'єм піраміди, у якої площа основи дорівнює 600 кв. см, а

висота – 30 см.

2) Знайти висоту піраміди, у якої площа основи дорівнює 25 кв. см, а

об'єм – 125 куб. см.

3) Знайти площу основи піраміди, якщо об’єм її дорівнює

625 куб. см, а висота – 25 см.

274

Відповіді:

1) 6 куб. м.; 2) 15 см.; 3) 75 кв. см.

ВИСНОВКИ

У розділі дев'ять розглянуті основні формули для визначення різних

параметрів геометричних фігур, таких як: площі, периметри, об’єми. Гармо-

нія усного рахунку (краса) полягає в тому, що процес знаходження парамет-

рів геометричних фігур досить простий, якщо знати і освоїти методи їх зна-

ходження.

275

IV. ФІЗИЧНІ ВЕЛИЧИНИ

РОЗДІЛ 10

ШВИДКІСТЬ, ЧАС, ВІДСТАНЬ І ВЕЛИКІ ЧИСЛА

Багато людей люблять подорожувати. Вони долають сотні кіломет-

рів і час для них часто відіграє важливу роль. Зазвичай виникають три осно-

вні питання:

1) на яку відстань?

2) з якою швидкістю?

3) за який час?

У цьому розділі ми дізнаємося відповіді на ці питання і познайоми-

мося з чудовими формулами, які нам важливі в повсякденному житті.

10.1. Терміни

Ознайомимося зі стандартними позначеннями:

s - відстань;

v - швидкість;

t - час.

Відстань може бути виражена в сантиметрах, метрах, кілометрах, а

так само в милях, ярдах, футах і дюймах.

Як правило, швидкість позначається милями або кілометрами на го-

дину. У США, та й інших європейських країнах вже не додають до швид-

кості «миль на годину». На американських стендах (хайвею) дорожні знаки,

як правило говорять «Обмеження швидкості - 60». У Канаді знаки обмежен-

ня швидкості більш формальні. У них обмеження 100 км на годину, що від-

повідає 62,5 миль на годину.

276

Час може позначатися в секундах, частках секунди, у хвилинах го-

динах, днях і т.д., а також і в світлових роках. У зв'язку з тим, що в наших

завданнях ми будемо мати справу з подорожами, тоді будемо виражати в

годинах. Однак, якщо дано одночасно час у годинах і хвилинах або секун-

дах, то його необхідно привести до одній одиниці виміру часу. Наприклад,

1 годину і 20 секунд складають 13

1 години або 1 годину і 30 хвилин скла-

дуть 1,5 години.

Для взаємозв'язку часу, швидкості та відстані використовується чу-

дова формула, яка використовується не тільки при подорожах. Формула

визначення відстані виглядає так:

s = v × t.

Формула визначення швидкості: v = s : t.

Формула визначення часу: t = s : v.

Користуючись цими формулами, можна легко визначити відстань,

швидкість або час.

10.2. Визначення відстані

Почнемо з простого і зрозумілого прикладу. Яку відстань подолають

машини, що їдуть зі швидкістю 100 км на годину, за 1 годину? Природно,

100 км. А за дві години? - 200 км.

Ми визначили це за формулою: відстань = швидкість × час. В

останньому випадку відстань = 100 км на годину × 2 години.

Завдання 1.

Літак летить 3 години і 30 хвилин зі швидкістю 750 км на годину.

Яку відстань він подолав за цей час?

Рішення:

s = v × t = 750 × 3,5 = 2625 км.

277

Завдання 2.

Людина виходить з дому в 8 годин і 20 хвилин. Вона йде до полудня

з постійною швидкість 12 км на годину. Яку відстань вона подолає за цей

час?

Рішення:

1) 3

23

3

1812 t години;

2) s = v × t.= 12 × 33

2 = 44

3

132 км.

Завдання 3.

Людина виїхала з дому в 8:00 годин на машині, що рухається зі шви-

дкістю 60 км на годину. О 12 годині вона зупинилася для обіду на 1 годину.

Пообідавши, вона рухалася зі швидкістю 50 км на годину до 21:00 . Яку від-

стань вона проїхала за цей час?

Рішення:

Ми розіб'ємо це завдання на дві частини: до і після обіду.

1) 813212;48121 tt ;

2) s1 = v × t1= 4×60 = 240 км.;

3) s2 = v × t2= 8×50 = 400 км.;

4) 240 + 400 = 640 км.

Перевірте себе:

1) Яку відстань пройде моторний човен за 5 годин 30 хвилин при

швидкості руху 25 км на годину?

2) Якщо ви виїхали о 9:30 ранку і їхали зі швидкістю 60 км на годи-

ну до 13:45, то яку відстань ви проїхали?

3) Іванов вийшов з роботи о 17:00 і до 18:30 йшов зі швидкістю 6 км

на годину, потім він сів на автобус і приїхав додому в 19:00. Ав-

278

тобус рухався зі швидкістю 50 км на годину. Яку відстань між бу-

динком Іванова та його роботою?

Відповіді:

1) 137,5 км.; 2) 255 км.; 3) 34 км.

10.3. Визначення швидкості

Швидкість об'єкта легко дізнатися, якщо за певний час цей об'єкт

подолав відому відстань. Це визначається за відомою формулою: v = s: t

Завдання 1.

Літак пролетів відстань 2625 км за 3 години і 30 хвилин. Яка його

швидкість польоту?

Рішення:

v = s : t = 2625 : 3,5 = 750 км. за годину

Завдання 2.

Людина вийшла з дому в 8 годин і 20 хвилин. Він пройшов до полу-

дня 22 км. Яка його швидкість?

Рішення:

v = s : t.= 22 : 33

2 = 6

11

66 км/год.

Завдання 3.

Людина виїхала з дому о 8:00 години на машині і зупинилася в 11:00

поблизу готелю, проїхавши 240 км. Яка швидкість машини?

Рішення:

240 : 3 = 80 км/год.

Повір себе.

1) Яка швидкість моторного човна, який пройшов відстань 137,5 км

за 5 годин 30 хвилин?

279

2) Ви проїхали з 9:30 ранку до 13:45 відстань 255 км. Яка швидкість

вашого транспортного засобу?

3) Сидоров вийшов з роботи о 17:00 і приїхав додому на автобусі в

19:00, подолавши відстань 106 км. Яка швидкість автобуса?

Відповіді:

. 1) 25 км/год. 2) 60 км./год.; 3) 53 км/год.

10.4. Визначення часу

Час подорожі людини легко дізнатися, якщо ця людина (або транс-

портний засіб, на якому він рухався) з певною швидкістю подолав відому

відстань. Це визначається за відомою формулою: t = s: v.

Завдання 1.

Літак пролетів відстань 2625 км із швидкістю 750 км на годину. Який

час польоту?

Рішення:

t = s : v = 2625 : 750= 3,5 години.

Завдання 2.

Людина пробігла 42 км із швидкістю 7 км на годину. Який вона ви-

тратила час?

Рішення:

t = s : v = 42 : 7 = 6 годин.

Завдання 3.

Людина проїхала 240 км на машині із швидкістю 60 км на годину.

Який вона витратила час?

Рішення:

t = s : v = 240 : 60 = 4 години

Перевірте себе:

280

1) За який час пройшов моторний човен відстань 137,5 км, якщо йо-

го швидкість була 25 км на годину?

2) Ви проїхали відстань 255 км із швидкістю 60 км/год. Який час ви

витратили?

3) Сидоров подолав відстань 106 км, проїхавши із швидкістю

53 км/год. Який час він витратив?

Відповіді:

1) 5 годин 30 хвилин; 2) 4 годин 15 хвилин; 3) 2 години.

10.5. Великі числа

Головне завдання цієї книги – навчити вас невимушено поводитися з

великими числами. Поки ми з вами оперували з досить невеликими числа-

ми: десятковими і простими дробами, десятками, сотнями, тисячами.

Цікаво, чи знаєте ви такі великі числа, як: мільярд, трильйон, квад-

рильйон тощо. Якщо ви знаєте великі числа і арифметичні операції з ними,

то можете відразу перейти до наступного розділу. Розглянемо подання вели-

ких чисел, починаючи з тисячі.

Тисячі, мільйони, мільярди, трильйони ...

На початку книги ми з вами розглядали три десяткових розряди:

одиниці, десятки, сотні – це клас одиниць.

Наступні старші три розряди - це клас тисяч: одиниці тисяч, десятки

тисяч, сотні тисяч.

Наступні старші три розряди - це клас мільйонів: одиниці мільйонів,

десятки мільйонів, сотні мільйонів.

Розглянемо одиницю класу великих чисел і їх кількість нулів:

один мільйон 1 000 000

один мільярд 1 000 000 000

один трильйон 1 000 000 000 000

281

один квадрильйон 1 000 000 000 000 000

один квінтильйон 1 000 000 000 000 000 000

Ці числа з великою кількістю нулів можна представити у вигляді

степенів класу тисяч.

один мільйон 10002

один мільярд 10003

один трильйон 10004

один квадрільон 10005

один квінтильйонів 10006

Щоб прочитати такі числа, треба поступово відокремлювати справа

по три цифри. Всередині кожної трійки цифр (класу цифр), як ми говорили,

виділяються сотні, десятки й одиниці (якщо дивитися зліва направо). Клас

одиниць не вимовляється, але мається на увазі. А класи тисяч, мільйонів,

мільярдів і трильйонів вимовляється. Наприклад, 19 мільйонів. Далі сліду-

ють квадрильйон (одиниця з 15 нулями), квінтильйонів (18 нулів), секстіль-

йони (21 нуль), септільйони (24 нуля), октільйони (27 нулів) тощо.

У практичному житті ці великі числа напевно вам не знадобляться,

але для загального розвитку і уявлення про числа їх бажано знати, вміти їх

прочитати і представляти як з ними поводитися.

10.6. Як читати тисячі і мільйони

Для самоосвіти давайте навчимося читати великі числа. Ці числа ви-

користовують астрономи, що визначають відстані між зірками і галактика-

ми.

Тисячі і мільйони

Якщо б ви виграли мільйон у лотерею, то безумовно змогли б його

порахувати. У межах першого мільйона вміє рахувати кожен. А от, якщо

інфляція знову зробить стрибок? Як знайти еквівалент мільйону?

282

Завдання 1.

Запишіть три числа 102 тисячі, один мільйон 23 тисячі і один міль-

йон 137 тисяч 303.

Рішення:

Необхідно згадати, що числа розбиваються на класи: одиниць, тисяч

і мільйонів (по три десяткових розряди в кожному класі).

1) 102 тисячі – 102 000;

2) один мільйон 23 тисячі – 1 023 000;

3) один мільйон 137 тисяч 303 – 1 137 303.

Завдання 2.

Запишіть три числа 102 мільйони, 320 мільйон 253 тисячі і 900 міль-

йонів 937 тисяч 973.

Рішення:

1) 102 мільйони - 102 000 000;

2) 320 мільйонів 253 тисячі - 320 253 000;

3) 900 мільйонів 937 тисяч 973 - 900 937 973.

Перевірте себе:

Запишіть наступні вирази цифрами:

1) П'ятсот сорок сім тисяч.

2) Два мільйони двісті.

3) Сімсот сімдесят мільйонів тисяча п'ятсот ..

Відповіді:

1) 547 000; 2) 2 000 200; 3) 770 001 500.

10.7. Як читати мільярди і трильйони

283

Про мільярди ми постійно чуємо в звітах уряду: 4 мільярдів гривень

виділяємо на одне завдання, 4 мільярди доларів нам дає світовий банк кре-

диту, якщо виконаємо його умови і т. ін. Про трильйони ми чуємо у звітах

про бюджет США, який сьогодні в дефіциті і т. ін. Однак простій людині

важко оцінити ці мільярди і трильйони, тому що це дуже великі числа, з

якими йому не доводитися стикатися у своєму житті.

Давайте хоча б навчимося їх записувати і читати.

Завдання 1.

Запишіть три числа: 2 мільярди, один мільярд 23 тисячі і один міль-

ярд 137 тисяч 613.

Рішення:

Необхідно згадати, що числа розбиваються на класи: одиниць, тисяч,

мільйонів, мільярдів, трильйонів (по три десяткових розряду в кожному кла-

сі).

1) 2 мільярди - 2 000 000 000;

2) один мільярд 23 тисячі - 1 000 023 000;

3) один мільярд 137 тисяч 613 - 1 000 137 613.

Завдання 2.

Запишіть три числа: 2 мільярди 17 мільйонів, десять мільярдів 3 ти-

сячі і сто мільярдів сто мільйонів 575.

Рішення:

1) 2 мільярди 17 мільйонів – 2 017 000 000;

2) десять мільярдів 3 тисячі – 10 000 003 000;

3) сто мільярдів сто мільйонів 575 – 100 100 000 575.

Перевір себе.

Запишіть наступні вирази цифрами:

1) сто п'ять мільярдів сто мільйонів 575 тисяч.

2) двадцять п'ять мільярдів сто сім мільйонів 75 тисяч.

3) двадцять сім мільярдів сто мільйонів 5 тисяч 400.

284

Відповіді:

1) 105 100 000 575; 2) 25 107 075 000; 3) 27 100 005 400.

10.8. Як читати квадрильйони і квінтильйони

Якщо про мільярди і трильйони ми чули, то про квадрильйони і квін-

тильйони могли тільки чути в школі, але давно про них забули.

Давайте згадаємо, як їх записувати і читати.

Завдання 1.

Запишіть три числа: 2 квадрильйона, сто квадрильйонів і 900 квад-

рильйонів.

Рішення:

Необхідно згадати, що числа розбиваються на класи: одиниць, тисяч,

мільйонів, мільярдів, трильйонів, квадрильйонів (по три десяткових розряду

в кожному класі). Квадрильйон - можна представити як одиницю з 15 нуля-

ми або як тисяча в ступені п'ять.

1) 2 квадрильйони – 2 000 000 000 000 000 = 2∙10005;

2) 100 квадрильйонів – 100∙10005 =100∙1015 = 1017;

3) 900 квадрильйонів – 900∙1015 = 9∙1017.

Завдання 2.

Запишіть три числа: 2 квадрильйони 25 мільярдів, 251 квадрильйон

десять мільярдів, 12 квадрильйонів сто мільйонів.

Рішення:

1) 2 квадрильйони 25 мільярдів –2 025∙ 109;

2) 251 квадрильйон десять мільярдів – 251 010 ∙ 109;

3) 12 квадрильйонів сто мільйонів – 12 100 ∙ 109 = 121∙ 1011.

Перевір себе.

Запишіть наступні вирази цифрами:

1) 2 квадрильйони сто п'ять мільярдів.

2) 22 квадрильйонів двадцять п'ять мільярдів.

285

3) 357 квадрильйонів двадцять сім мільярдів.

Відповіді:

1) 2 105∙109; 2) 21 025∙109; 3) 357 027∙109.

10.9. Додавання і віднімання великих чисел

При додаванні і відніманні великих чисел порозрядно в стовпчик

дуже важливо розташувати кожен клас під своїм класом. Як ми бачили ве-

ликі числа пишуться як числа помножені на 1000 з додатним степенем або

помножені на 10 з додатним степенем. Числа називаються мантиси, а степе-

няі при множнику 1000 або 10 – порядками.

При порозрядному додаванні або відніманні спочатку порядки вирі-

внюють у бік більшого порядку, а потім додають або віднімають мантиси.

Треба пам'ятати, що при збільшенні порядку при основі 10 на одиницю, де-

сяткова кома в мантисі зсувається на один розряд вліво, а при основі 1000 –

на три розряди вліво, тобто на цілий клас десяткових знаків.

Приклад 1.

Потрібно скласти два числа: 12∙109 і 1235∙107.

Рішення:

Порядки вирівнюють у бік більшого порядку:

1) 1235∙107 = 12,35∙109 .

2) 12∙109 +12,35∙109 = 24, 35∙109 .

Приклад 2.

Потрібно відняти від більшого менше число. Дано два числа: 12∙109 і

1235∙107.

Рішення:

Порядки вирівнюють у бік більшого порядку:

1) 1235∙107 = 12,35∙109 .

286

Порівнюємо два числа і з більшого віднімаємо менше число:

2) 12,35∙109 – 12∙109 = 0,35∙109 .

Перевірте себе:

Потрібно скласти два числа 125∙1015 і 1275∙1013.

Потрібно відняти від більшого менше число. Дано два числа 132∙1015

і 1735∙1013.

Відповіді:

1) 137,35∙1015; 2) 115,65∙1015.

10.10. Множення великих чисел

При добутку великих чисел порозрядно спочатку множаться манти-

си, а показники степені при основі 10 або 1000 додаються. Як ми бачили,

великі числа пишуться як числа помножені на 1000 з додатнім степенем або

помножені на 10 з додатнім степенем.

Треба пам'ятати, що при збільшенні порядку при основі 10 на одини-

цю, десяткова кома в мантисі зсувається на один розряд вліво, а при основі

1000 – на три розряди вліво. При зменшенні порядку десяткова кома в ман-

тисі зсувається на один розряд вправо, а при основі 1000 – на три розряди

вправо.

Приклад 1.

Потрібно помножити два числа: 12∙109 и 12∙107.

Рішення:

1) множимо мантиси: 12 × 12 = 144;.

2) складаємо порядки. 9 + 7 = 16;

3) отримуємо результат: 144∙1016 = 1440∙1015 = 1,44∙1018.

Відповідь читається так: один квінтильйон і 440 квадрільонів

Приклад 2.

Потрібно помножити два числа: 75∙106 і 75∙107.

287

Рішення:

1) множимо мантиси: 75 × 75 = 5625;.

2) складаємо порядки . . 6 + 7 = 13;

3) отримуємо результат: 5625∙1013 = 56,25∙1015.

Відповідь читається так: 56 квадрильйонів і 250 трильйонів

Перевірте себе:

1) Потрібно помножити два числа 25∙105 і 25∙103.

2) Потрібно помножити два числа 11∙1010 и 35∙103.

Відповіді:

1) 625∙108; 2) 385∙1013.

10.11. Частка (ділення) великих чисел

Як ми вже розглядали, що ділення – це дія, зворотна множенню. При

діленні великих чисел спочатку діляться мантиса діленого на мантису діль-

ника, а від степеня діленого при основі 10 або 1000 віднімається степінь при

основі 10 або 1000 дільника.

Приклад 1.

Потрібно розділити числа 125∙109 на 5∙107.

Рішення:

1) ділимо мантиси: 125 : 5 = 25;.

2) віднімаємо порядки . . 9 - 7 = 2;

3) отримуємо результат: 25∙102 = 2500.

Відповідь читається просто, як: дві з половиною тисячі.

Приклад 2.

Потрібно розділити два числа 750∙1012 на 3∙1013.

Рішення:

1) ділимо мантиси: 750:3 = 250.

2) віднімаємо порядки. 12 - 13 = -1;

288

3) отримуємо результат: 250∙10-1 = 25.

Відповідь читається так: двадцять п'ять.

Перевірте себе:

1) Потрібно розділити число 169∙105 на 13∙105.

2) Потрібно розділити число 5625∙1010 на 75∙103

Відповіді:

1) 13; 2) 75∙107 = 750∙106.

ВИСНОВКИ

У розділі 10 ми розглянули чудові формули визначення відстані,

швидкості і часу, що дозволяють легко і швидко визначити ці величини.

Також розглянули великі числа і чотири арифметичні дії з ними.

289

РОЗДІЛ 11

ПРИКЛАДИ І ЗАДАЧІ

Розглянутий матеріал довідника дає підставу вважати, що підготов-

лений читач зможе самостійно розв’язувати приклади і завдання, які часом

вимагають знань і кмітливості.

11.1. Приклади на повторення

Нагадаємо, що при розгляді пропорцій необхідно пам'ятати, що до-

буток крайніх членів дорівнює добутку в середніх членів, тобто:

a : b = c : d;

d

c

b

a або bcad

Приклад 1.

Знайти з даного виразу Х:

. . X

7,012,0:016,0

8,04,15:16,6

2,0375,0:2,1

Рішення:

Спочатку обчислюємо значення виразів відомих величин.

1) 1,2 : 0,375 в стовпчик (кутом), роблячи дільник цілим числом і від-

повідно, змінюючи ділене, тобто:

1200 ∟375

1125 3,2

750

750

0

–

–

290

2) 3,2 - 0,2 = 3;

3) 6,16 : 15,4

Робимо ділиме і дільник цілими числами, тобто:

616 ∟ 1540

6160 0,4

6160

0

4) 0,4+0,8 = 1,2

5) 0,016:0,12 .

16 ∟120

160 0,1(3)

120

400

360

40

Періодичний десятковий дріб результату 0,1(3) перетворимо в зви-

чайну дріб, як це описувалося раніше, і отримуємо:

0,1(3) =90

12

90

113

6) 90

12 + 0,7 =

9012 +

6

5

90

75

90

6312

10

7

7) Ділимо чисельник першого дробу на її знаменник:

4

10

2,1

3

Отримуємо вираз:

– –

–

–

291

8) Х6

5

4

10 Звідси, відповідно до основної властивості пропорції, ви-

значаємо Х:

9) 3

10

6

5410

X .

10) 3

1

103

10

X .

Відповідь: 3

1.

Як видно з прикладу, виконуючи досить прості обчислення повтори-

ли пропорцію, чотири арифметичні дії з дробами, перетворення періодично-

го дробу в звичайний і отримали правильний результат.

Приклад 2.

Знайти значення виразу найбільш раціональним способом:

.7,13,642)3,67,1(

3,6

7,1

7,1

3,67,13,6

Рішення:

1) Спочатку множимо корені в чисельнику, розкриваючи дужки.

.6,47,13,63,6

7,17,13,6

7,1

3,67,13,6

2) У знаменнику підносимо вираз до квадрату і робимо обчислення:

.6,47,13,67,13,6427,17,13,6223,6

3) 4,6 : 4,6 = 1.

Відповідь: 1.

292

Як видно, що зрозумівши, яка послідовність дій повинна бути вико-

нана, приходимо швидко і легко до правильної відповіді.

Як бачимо, не треба лякатися великих виразів. Треба з уважно і по-

слідовно обчислювати!

Приклад 3.

Спростити вираз найбільш раціональним способом:

xxxxxx

x

2

1:

1

Рішення:

Для простоти і наочності можна замінити х =у. Тоді, вираз набуває

вигляду:

.121

)13(

)12(

141

:231

y

yy

yyy

y

yyyyy

y

Замінюючи у на х , отримуємо х - 1. Відповідь: х - 1

І тут все виявляється просто, якщо згадати формули:

у3 - 1 = (у- 1)(у2 +у + 1), і тоді все стає зрозумілим.

Перевір себе.

Спростити вираз: 5,02

15,115,0

:15,0

1

xx

x

xx

x

Відповідь: х + 1.

Спростити та обчислити вираз:

5,01

2

22

22

)(2

a

ax

ax

x

ax

ax,

при а = 0,32; х = 0,08. Відповідь: 1.

293

11.2. Завдання на повторення геометрії

Завдання 1.

У трикутник з рівними бічними сторонами, що дорівнюють 6 см, і

основою 5 см, проведена медіана бічної сторони, (рис. 11.1). Знайти площу

трикутника, якщо медіана дорівнює 4 см.

Рішення:

При вирішенні завдань по планіметрії,

спочатку робимо малюнок (для наочності), а

потім розв’язуємо задачу.

Із малюнка (рис.11.1) видно, що виді-

лений трикутник є «єгипетським»: тому що у

нього одна сторона дорівнює 3 см (половина

бічної сторони), друга – 4 см (медіана) а тре-

тя сторона 5 см (основа). Такий трикутник прямокутний, отже, медіана є

одночасно і перпендикуляром на бічну сторону. Звідси, площа всього трику-

тника дорівнює половині добутку основи (бічної сторони) на висоту (медіа-

ну), тобто:

S= ..12462

1смкв

Відповідь: 12 кв. см.

Завдання 2.

Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 14 см. Знайти площу ромба.

Рішення:

Площа ромба рівна половині добутку діагоналей ромба, тобто:

S= ..8414122

1смкв

Відповідь: 84 кв. см.

Завдання 3.

6 см 4 см

Рис. 11.1

294

Висота правильної прямокутної чотиригранної піраміди дорівнює

8 см, а ребро підстави – 6 см (рис. 16). Знайти об'єм піраміди.

Рішення:

Об'єм піраміди дорівнює одній третині добутку площі основи на ви-

соту. Площа основи квадрата зі стороною 4 см дорівнює квадрату цієї сто-

рони, тобто 16 кв. см.

Звідси площа піраміди дорівнює:

V = 6163

1 = 48 куб. см.

Відповідь: 48 куб. см.

Як бачимо, розв’язання таких завдань

не складає великих труднощів, коли ви здога-

далися про хід рішення і вам знайомі формули

для обчислювання площ чи об’ємів геометри-

чних фігур.

11.3. Завдання на «доповнення» умови

Завдання 1.

Старовинна східна притча. Старий, вмираючи, заповідав своїм си-

нам 19 верблюдів. Старшому сину він заповів половину стада, середньому -

четверту частину, а молодшому – п'яту частину. Цю головоломку брати не

змогли розв’язати: скільки верблюдів повинен отримати кожен з них за за-

повітом.

Рішення:

Вони звернулися до проїжджаючого на верблюді подорожнього. Він

зійшов з верблюда і вирішив це завдання так:

1) Верблюдів стало 20: 19 +1 = 20.

Рис. 11.2

295

2) Старший син отримав половину: 20:2 = 10 верблюдів.

3) Середній – четверту частину: 20:4 = 5 верблюдів.

4) Молодший – п'яту частину: 20:5 = 4 верблюда.

Залишився один верблюд, на якому і поїхав подорожній. Так вирі-

шилося завдання, яке не могли вирішити брати.

Відповідь: Це звичайно приємний жарт, але в кожному жарті є частка

істини. Якщо «гордіїв вузол» не можна розв'язати, то його розрубують. Це

методичний прийом, що, якщо не можна знайти розв’язку задачі, то умову

можна доповнити і знайти відповідь. Цей прийом «доповнення» увійшов до

математики і ним іноді користуються. Запам'ятайте і застосовуйте!

Завдання 2.

Старовинна східна притча. В Сайгоні жив правитель. У нього помер

управляючий. Щоб знайти розумного управляючого, він оголосив, що візьме

будь-кого, хто розв’яже таку задачу:

«Є дві пірамідки, у яких знизу нанизано велике кільце, вище менше і

так далі (пірамідки, якими зараз граються діти). Треба здійснити заміну кі-

лець однієї пірамідки на кільця інший пірамідки і навпаки».

До правителя прийшов мудрець і вирішив задачу. Поки правитель

розбирався в розв’язку, мудрець зник. Треба знайти рішення.

Рішення:

Рішення виявилося дуже простим! Мудрець взяв додатковий стри-

жень третьої пірамідки. Потім кільця першої пірамідки переклав на стри-

жень порожньої пірамідки (третьої). З другої пірамідки він переклав кільця

на вільний стрижень першої пірамідки. На вільний стрижень другої пірамід-

ки він переклав кільця пірамідки, які перебували на стержні третьої пірамід-

ки. Коли завдання вирішене, то порожній стрижень третьої пірамідки муд-

рець прибрав.

Зауваження: Це методичний прийом: якщо не можна знайти

розв’язок задачі, то умову можна доповнити і знайти відповідь. Цей прийом

296

«доповнення» нагадує нам вирішення першого завдання. Запам'ятайте і за-

стосовуйте цей прийом!

Завдання 3.

Для тих, хто вивчає обчислювальну техніку. Визначити закон роботи

RS-тригера, що має два стани Q і _Q ,. якщо дані його рівняння:

Q = R_Q ;

_Q = SQ. При цьому, є умова, що Q ≠

_Q .

Рішення:

Коли рівняння містить дві змінні, то таке рівняння вирішується так.

Припускають, що одна з невідомих рівна відомої величині, і знаходять інше

невідоме і навпаки.

Вхідні сигнали R і S можуть приймати чотири значення:

1) R = 1; S = 1;

2) R = 0; S = 1;

3) R = 1; S = 0;

4) R = 0; S = 0;

У першому випадку Q = _Q , але такий сигнал є забороненим. У дру-

гому випадку – Q = 0, а _Q =1. У третьому випадку – Q = 1, а

_Q =0. Але у

четвертому випадку – Q = 0, а _Q =0, що неможливо за визначенням. Це на-

гадує кидання монети. Вона падає на одну з двох сторін, але на ребро не

стає. Як бути!

Хто займається обчислювальною технікою, той розуміє, що за цих

вхідних сигналах запам'ятовується одне з двох станів. Кажуть, що тригер

знаходиться в нулі, коли на його одиничному виході 0 (Q = 0). І навпаки – в

одиниці, коли на його одиничному вихід 1 (Q = 1).

297

Як же бути нам у четвертому випадку? Ми використовуємо умову

«доповнення». Говоримо, що припустимо R = 1, і тоді знаходимо рішення, а

потім - що S = 1 і теж знаходимо рішення.

Звідси робимо висновок, що при R = 0; S = 0 тригер може перебувати

в одному з двох установлених станів.

Зауваження: Ця задача була розглянута, щоб пояснити математич-

ний прийом: коли в рівнянні дві невідомі величини, то задача не має чіткої

відповіді. У цьому випадку, можна провести «доповнення», припустивши,

що одні з вихідних даних рівні відомої величини, і заново вирішити завдан-

ня, як це ми бачили в задачі.

Чи не втомилися? Не впадайте у відчай, якщо завдання не має рі-

шення. Відпочиньте! І рішення прийде у вашу світлу голову.

Перевірте себе:

Це дві гри на логічне мислення:

1) Дано три ряди пішаків (або будь-яких об'єктів). У першому ряду

три пішаки, у другому – чотири пішаки, а в третьому – п'ять пішаків. З будь-

якого ряду можна брати будь-яку кількість пішаків. Програє той, хто бере

останнього пішака. Ця гра розвиває у дітей логічне мислення, як і шашки,

але старшокласники можуть скласти алгоритм вирішення цієї гри, коли по-

чатківець завжди виграє. Цей алгоритм розв'язав студент першого курсу,

зігравши шість разів. Бажаю успіху!

2) На прямій 28 об'єктів (пішаків). Можна брати з кожного кінця від

одного до чотирьох об'єктів. Програє той, хто бере останній об'єкт. Ця гра

теж розвиває у дітей логічне мислення, як і шашки, але старшокласники

можуть скласти алгоритм вирішення цієї гри, коли початківець завжди ви-

грає. Цей алгоритм автор склав за 10 хвилин на випускному вечорі сина в

школі, після першого програшу і дуже здивував масовика-витівника, вигра-

вши в нього підряд три рази. Бажаю успіху!

298

11.4. Задачі на використання формул

Завдання 1.

Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку землі за 12 год.

За який час могла б обробити цю ділянку кожна з бригад окремо, якщо

швидкості виконання робіт бригадами ставляться, як 3 : 2?

Рішення:

Швидкість роботи першої бригади (продуктивність) позначимо 1

1

t, а

другої бригади -- 2

1

t. Швидкість роботи двох бригад одночасно рівно

12

1.

Складаємо перше рівняння:

1) 1

1

t +

2

1

t =

12

1.

Друге рівняння випливає з умови задачі: якщо швидкості виконання

робіт бригадами відносяться, як 3: 2, тобто

2) 1

1

t:

2

1

t= 3 : 2.

Розв’язавши друге рівняння як пропорцію (добуток середніх членів

дорівнює добуткові крайніх членів) знаходимо:

2

3

t=

1

2

t; t2 = 1,5 t1.

Підставляємо замість t2 значення 1,5 t1 в перше рівняння і вирішуємо

його.

1

1

t +

15,1

1

t =

12

1;

12

1

15,1

5,2

t; 1,5 t1 =2,5∙12 =30;

t1 =30 : 1,5 =20, a t2 = 1,5 t1=30

299

Відповідь: 20 год., 30 год.

Завдання 2.

Сума цифр двозначного числа дорівнює 12. Якщо до шуканого числа

додати 36, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але в зво-

ротному порядку. Знайти число.

Рішення:

Припустимо, що перша цифра числа дорівнює букві а, а друга цифра

– букві b. Тоді з розгорнутою формулою числа, будемо мати два рівняння:

10а + b + 36 = 10b + а

а + b =12

Зводимо в першому рівнянні подібні члени з а і b, а друге рівняння

помножимо на число 9.

9а – 9b =– 36

9а + 9b =108

Складемо ці два рівняння і отримаємо:

18а = 72, тоді а = 4. Отже, b = 12 - 4 = 8.

Звідси зрозуміло, що число дорівнює 10а + b = 48.

Перевірка:

48 +36 = 84 і 4 + 8 = 12, що відповідає умові задачі.

Відповідь: 48.

Завдання 3.

Шматок сплаву міді та цинку масою до 36 кг містить 45% міді. Яку

масу міді потрібно додати до цьому шматку, щоб отриманий новий сплав

містив 60% міді?.

Рішення:

1) Спочатку дізнаємося: скільки відсотків цинку містилося в цьому

шматку сплаву?

100% – 45% = 55%

300

2) Потім обчислюємо: скільки кілограм цинку містилося в цьому

сплаві?

36×0,55 = 19,8 кг.

3) Складаємо пропорцію: 19,8 : 40 = х : 60. Звідси дізнаємося: скільки

кілограмів становить 60% міді?

7,2940

608,19

х кг.

4) Дізнаємося: скільки було в сплаві міді?

36 –19,8 = 16,2 кг.

5) Тоді дізнаємося: скільки треба додати міді, щоб її стало 29,7 кг?

29,7 –16,2 = 13,5 кг.

Відповідь: 13,5 кг.

Перевірте себе:

Виріши завдання:

1) Свіжі гриби містять за вагою 90% води, а сухі – 12% води. Скільки

вийде сухих грибів з 22 кг свіжих грибів?

2) Через годину після початку рівномірного спуску води в басейні за-

лишилося 400 м3, а ще через три години - 250 м3. Скільки води було

в басейні.

3) Є шматок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг, що містить

45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього шматку спла-

ву, щоб вийшов сплав містив 40% міді?

Відповіді: 1) 2,5 кг; 2) 450 м3 ; 3) 1,5 кг.

11.5. Деякі поняття статистики

Розглянемо лише три поняття статистики: середнє арифметичне зна-

чення, медіану і моду. Ці поняття зручні тим, що вони знаходять практичні

301

застосування в математиці, яку ви вже вивчили. Примітно, що для цього вам

не потрібно калькулятор.

Середнє значення, медіана і мода.

Середнє арифметичне значення, простіше кажучи, середнє значення,

медіана і мода - це три найпростіші параметра набору величин. Під серед-

ньоарифметичним розуміється середнє за положенню значення ряду вели-

чин. Медіаною в статистиці називають середнє число в упорядкованої по-

слідовності, а мода - це найбільш часто зустрічається число. Розглянемо

приклад:

5, 7, 3, 4, 2, 8, 5, 6.

Середнє значення визначається сумою чисел, які розділені на їх кіль-

кість. У сумі ці вісім чисел рівні 40. Середнє значення дорівнюватиме

40 : 8 = 5.

Що ж таке медіана? Це ще простіше. Поставимо числа за зростанням

(або спаданням).

2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Медіана дорівнює 5, оскільки це число стоїть у зростаючому ряду

посередині. Таким чином, для знаходження медіани необхідно впорядкувати

цей ряд чисел за зростанням або спаданням. Це треба запам'ятати!

Що ж таке мода в статистиці? Мода цього набору – 5, оскільки це

число згадується двічі, у той час як інші числа лише по одному разу.

Завдання 1.

Знайти середнє значення, медіану і моду наступного ряду:

1, 3, 4, 8, 7, 2, 7, 7, 5.

Рішення:

1) Середнє значення це сума чисел ряду поділене на їх кількість

44 : 9 = 49

8.

302

2) Для визначення медіани треба впорядкувати ряд чисел: 1, 2, 3. 4, 5,

7, 7, 7, 8 і вибрати середнє число в ряду – 5 (при парному числі членів ряду

береться напівсума двох середніх чисел).

3) Для визначення моди вибираємо число 7, яке повторюється більше

число раз, ніж інші числа.

Завдання 2.

Знайти моду наступного ряду: 1, 8, 4, 8, 7, 2, 7, 5.

Рішення:

Для визначення моди вибираємо числа, які повторюються однакову

кількість разів. Такий розподіл ми назвемо бімодальним і вирішимо пробле-

му, тобто ці числа 7 і 8.

Завдання 3.

Знайти моду наступного ряду:

1, 8, 4, 8, 7, 2, 7, 5, 5.

Рішення:

Для визначення моди вибираємо числа, які повторюються однакову

кількість разів. Коли зустрічаються три числа однакову кількість разів, то

такий розподіл ми назвемо тримодальним і вирішимо проблему, тобто ці

числа 5, 7 і 8.

Завдання 4.

Знайти медіану наступного ряду:

8, 10, 11, 12, 15, 16

Рішення:

Так як в цьому ряду немає середнього числа, то треба знайти серед-

ньоарифметичне двох середніх чисел: 11 і 12. Складаємо ці числа і ділимо

на 2. Отримуємо 23:2 = 11,5. Таким чином, медіана дорівнює 11,5.

Перевірте себе:

1) Знайти середнє значення, медіану і моду наступного ряду: 21, 18,

19, 21, 17.

303

2) Знайти середнє значення, медіану і моду наступного ряду: 8, 5, 13,

11, 11.

3) Знайти середнє значення, медіану і моду наступного ряду: 9, 2, 10,

4, 2, 3.

Відповіді:

1) Середнє значення = 56: 5 = 11,2; медіана = 19, мода = 21.

2) Середнє значення = 38: 5 = 7,6; медіана = 13, мода = 11.

3) Середнє значення = 30: 6 = 5; медіана = (10 + 4): 2 = 7, мода = 2.

11.6. Ціни зі знижками

У повсякденному житті ми користуємося арифметикою і навіть ал-

геброю кожен день, здійснюючи розрахунки. Рекламні оголошення, типу

«Ціни знижені на 30% і більше» приваблюють любителів розпродажів.

Спробуємо порахувати, скільки ви фактично економите.

Завдання 1.

Ціна куртки знижена з 285 грн. до 190 грн. Який відсоток знижки?

Рішення:

Процентне відношення = 285

95

285

190285

цінавихідна

ціназміна

95,00 ∟285

855 0,(3) = 33,3%

95 0

Відповідь: 33,3%

Завдання 2.

Купуючи автомобіль за $18000, ви домовилися про знижки в $500.

Скільки відсотків від початкової суми становить знижка?

–

304

Рішення:

Процентне зміна = )7(02,036

1

18000

500

цінавихідна

скидка

1,00 ∟36

72 0,02(7) ≈ 2,8%

280

252

28

Відповідь: 2,8%

Завдання 3.

Ціна джинсів коштувала 200 грн. Джинси знизили ціну на 20% Скі-

льки стали коштувати джинси?

Рішення:

.1) 200 × 0,2 = 40 грн. 200 - 40 = 160 грн.

Відповідь: 160 грн.

Якщо вам зрозумілі рішення цих завдань, то розв’яжіть більш склад-

не завдання. Тобто треба повторити параграф про відсотки.

Завдання 4.

Ціна на пальто знижена на 25% і його нова ціна становить 750 грн.

Яка його початкова ціна?

Рішення:

Нехай х – початкова ціна пальто, тоді

х – 0,25 х = 750 грн.

0,75 х = 750 грн.

100075,0

750x грн.

Відповідь: 1000 грн.

–

–

305

Завдання 5.

Вартість квартири знижена в ціні на 40%, і її нова ціна становить

$60000. Яка її первісна ціна?

Рішення:

Нехай х – початкова ціна квартири, тоді

х – 0,40 х = $60000.

0,6 х =$60000.

0010006,0

60000$x .

Відповідь: $100000.

Перевірте себе:

1) Дилер запропонував знижку $1000 на автомобіль ціною $20000. Скі-

льки відсотків знижки він запропонував?

2) Нові вікна були знижені в ціні з $599 до $299. На скільки відсотків

знизили їх ціну?

3) Вартість чайного сервізу була знижена на 35% і склала 750 грн. Яка

початкова ціна сервізу?

Відповіді:

1) 5 %; 2) 50,1 %; 3) 1153,85 грн.

11.7. Прибуток

Економісти постійно повторюють нам, що ділові люди завжди праг-

нуть до максимального прибутку. Формула для розрахунку прибутку досить

проста:

Обсяг продажів - витрати = прибуток

Тепер цікаве питання. Прибуток у 100 000 грн. – це багато чи мало?

Все залежить від того, щодо чого вважається ця сума в 100 000 грн. Щодо

продажу або фінансових вкладень (інвестицій)?

306

Прибуток як відсоток від продажів обчислюється як відношення су-

ми прибутку до обсягу товарообігу.

Розглянемо це на прикладах.

Завдання 1:

Обсяг продажів фірми становить 10 000 000 грн., а витрати –

9 900 000 грн. Знайти прибуток у вигляді відсотка від продажів.

Рішення:

Прибуток = обсяг продажу - витрати =

= 10 000 000 - 9 900 000 = 100 000 грн.

Прибуток як відсоток від продажів = продажиємоб

прибуток

'

= 100

1

00000010

000100 = 1 %.

Відповідь: 1%.

Завдання 2:

Річний товарообіг фірми становить 10 000 000 грн. витрати –

9 000 000 грн., а капіталовкладення – 5 000 000 грн. Знайти прибуток як від-

соток від капіталовкладень ..

Рішення:

Прибуток = товарообіг - витрати =

= 10 000 000 –9 900 000 = 1 000 000 грн.

Прибуток як відсоток від капіталовкладень =

= ладенькапіталовк

прибуток

5

1

0000005

0000001 = 20 %

Відповідь: 20%.

Непогане повернення в 20% коштів від капіталовкладення. Насправ-

ді це не так багато. Чому? З двох причин:

307

1) може ви й отримаєте 20%, але хто знає, що буде в наступному ро-

ці. А поки ваші гроші вже вкладені в бізнес.

2) при належному управлінні фінансами та кредитами прибуток мо-

же досягти до 50% повернення вкладених коштів.

Перевіримо наші знання на прикладі рішення задачі.

Завдання 3:

Знайти прибуток як відсоток від продажів і як відсоток від інвести-

цій, якщо обсяг продажів складає 5 мільйонів гривень, фінансові витрати -

4,5 мільйона гривень, а інвестиції - 1 мільйон гривень.

Рішення:

Прибуток = обсяг продажу - витрати =

= 5 000 000 – 4 500 000 = 500 000 грн.

Прибуток як відсоток від продажів = продажиємоб

прибуток

'

=10

1

0000005

000500 = 10 %.

Прибуток як відсоток від інвестицій =

= івестиційрозмір

прибуток

2

1

0000001

000500 = 50 %

Відповідь: 10% і 50%.

Перевір себе.

1) Податок на покупку машини вартістю 45 тисяч гривень становить

4,5%. Скільки треба заплатити за податок?

2) Якою була початкова ціна сукні, якщо за неї заплатили, включаючи

податок, 309 гривень, а величина податку – 5%?

Відповіді: 1) 2025 грн.; 2) 294,3 грн.

308

11.8. Ринок нерухомості

Розглянемо три завдання, які вирішувалися в різний час на ринку не-

рухомості.

Завдання 1.

У 2003 році в Києві ціни на нерухомість різко пішли вгору. За рік

вони збільшилися в 10 разів. Двокімнатна квартира, яка коштувала 12 тисяч

доларів, коштувала в кінці року 120 тисяч доларів. Сім'я білорусів переїхала

до Києва в лютому місяці, коли вартість квартир збільшилася в 1,5 рази.

Поки вони збиралися купити квартиру, ціни зросли по відношенню до поча-

ткової. Вони купили квартиру за 30 тисяч доларів і додали 5% за послуги

дилера. Вони взяли кредит під 10% річних. Який буде прибуток білорусів,

якщо вони продадуть квартиру в кінці року при вартості квартири 150 тисяч

доларів?

Рішення:

1) повна прибуток = обсяг продажу - витрати

2) витрати = 30 000 (вартість квартири) + 1 500 (дилера) +

+ 3 000 (відсотки за рік) = 34 500 доларів + 3 000 (річні відсотки) =

= 34 500 доларів

3) повний прибуток = 150 000 - 34 500 = 115 500 доларів.

Завдання 2.

У 2009 році в Києві у зв'язку з кризою ціни на нерухомість впали на

30%. Квартиру, яку купили білоруси, можна було продати за 90 тисяч дола-

рів. Який буде прибуток білорусів, якщо вони продадуть квартиру зараз?

Рішення:

1) повна прибуток = обсяг продажу - витрати

2) витрати = 30 000 (вартість квартири) + 1 500 (дилера) +

+ 3 000 (річні відсотки) = 34 500 доларів + 3 000 (річні відсотки) =

= 34 500 доларів

309

3) повний прибуток = 90 000 - 34 500 = 55 500 доларів.

Порівняй повний прибуток отриманий в завданні 1 та 2.

Перевірте себе:

1) Який відсоток від прибутку отримував дилер при вартості квартири

50 тисяч доларів, якщо він отримав 2,5 тисяч доларів за операцію?

2) Скільки грошей отримував дилер при вартості квартири 50 тисяч до-

ларів, якщо він отримав 5%?

Відповідь: 1) 5%; 2) 2,5 тисяч доларів

ВИСНОВКИ

У цьому розділі ми повторили деякі математичні методи розв'язання

прикладів і завдань, а також доторкнулися до понять економіки.

Треба пам'ятати, що людина може помилятися. Нехай це вас не ля-

кає. Намагайтеся, як можна більше рахувати «в умі». Тренуйте усний раху-

нок «в умі».

У наступному розділі ми торкнемося розділу «Золотий» перетин,

який в даний час бурхливо розвивається і впроваджується в навчальні про-

грами з математики. Це пов'язано з тим, що «Математична Гармонія», за-

снована на пропорції «Золотого перетину», є об'єктивною і загальною влас-

тивістю Природи в цілому і будь-якій її частині окремо. Всі структури при-

роди прагнуть до «гармонійного», тобто «оптимального» (з деякої точки

зору) стану.

Як писав академік СРСР Ю. А. Митропольський, Герой Соціалістич-

ної Праці, лауреат Ленінської премії «Математика гармонії і Золотий пере-

тин», пропонована Олексієм Петровичем Стаховим для фізико-

математичних факультетів педагогічних університетів-ця програма не що

інше, як початок реформи математичної освіти».

310

Про важливість впровадження в школах знань про «Золотий пере-

тин» також писав професор, президент міжнародного проекту «Математич-

не освіта ХХI століття» Алан Роджерсон, що «Ідеї А. П. Стахова настільки

глибокі, що їх впровадження в школах – це наступний крок у математичній

освіті».

Автор сподівається, що цей новий розділ зацікавить наших молодих

людей і збагатить їх новими знаннями.

311

V. «ЗОЛОТИЙ» ПЕРЕТИН

РОЗДІЛ 12

МАТЕМАТИКА ГАРМОНІЇ

«Математика гармонії – це математика майбутнього, це математика

зрілого, а не початкового етапу природознавства і суспільства. Ця математи-

ка відкриває вихід на нові види енергії, якісно відмінні від механічних, елек-

тромагнітних і ядерних. Вона відкриває вихід на нові інформаційні техноло-

гії. Отже, вона відкриває вихід на новий, гармонійний світогляд, на нові,

гар-монійні способи суспільного виробництва і на нові, гармонійні ринки,

що забезпечують процвітання всім народам ».

Лев Семашко,

Президент Глобального Союзу Гармонії.

Цей розділ вперше розглядається в довідниках з математики. Він ві-

дображає багато речей, що нас оточує в природі і які не піддаються визна-

ченню їх у раціональних числах з основою 10.

12.1. Золотий перетин.

Самим неперевершеним систематизатором, педагогом і популяриза-

тором науки без сумніву є Евклід, який склав підручник «Начала» ще в

III столітті до н. е.. Це видатний науковий твір, що складається з 13 книг,

містить всі основи античної математики: елементарну геометрію, теорію

чисел, алгебру, теорію пропорцій і відносин, методи визначення площ і об-

сягів. Його «Начала» протягом двох тисячоліть залишалися основною пра-

цею з елементарної математики.

312

Саме в творі «Начала» Евкліда розглядається геометрична задача про

поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні.

Завдання: Треба розділити відрізок АВ точкою С в такому відношен-

ні, щоб більша частина відрізка СВ так відносилась до меншої її частини АС,

як відрізок АВ до своєї більшої частини СВ (рис. 12.1), тобто

АС

СВ

СВ

АВ (12.1)

Позначимо пропорцію (12.1) через х. Тоді, враховуючи, що

АВ = AC + CB, пропорцію (12.1) можна записати так:

,1

11

11x

АC

СВСВ

АC

СВ

CBАCx

звідки випливає наступне алгебраїчне рівняння для обчислення шуканої

пропорції х:

х2 = х + 1 (12.2)

Їз рис. 12.1 і «фізичного змісту» пропорції (12.1) випливає, що шука-

ний розв’язок (12.2) має бути додатнім числом, звідки випливає, що рішення

задачі про поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні є додатний

корінь рівняння (12.2), який позначимо через Ф, тобто

2

51Ф .

Наближене значення золотої пропорції рівно приблизно:

Ф ≈ 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 ...

А В С D

Рис. 12.1.

313

Не дивуйтеся з цього числа! Воно ірраціональне. Для практичних за-

стосувань використовується його наближене значення Ф ≈ 1,618 ≈ 1,62.

Це число, що володіє унікальною алгебраїчною і геометричною вла-

стивістю, стало естетичним каноном давньогрецького мистецтва і мистецтва

епохи Відродження. Назва «Золотий перетин» йде з античності від Клавдія

Птоломея (II століття н. е.). Однак закріпився цей термін завдяки роботам

Леонардо да Вінчі і став називатися кодом да Вінчі.

Золотий перетин прийнято позначати грецькою буквою Ф (число

РНI), яка є першою буквою в імені знаменитого грецького скульптора Фідія

(Phidius, що жив V столітті до н. е.), який широко використовував Золотий

перетин у своїх скульптурних роботах.

Зауважимо, що на відрізку AB існує ще одна точка D (мал. 12.1), яка

ділить його «Золотим перетином», тому що

.2

51

DB

AD

AD

АВ

Рівняння (12.2) часто називають рівнянням золотої пропорції.

Перевір себе.

1) Побудуй пряму, яка має дві точки, відповідні «Золотому пере-

тину.

2) Виміряй відрізки прямої AB, поділені точками С і D.

3) Визначить їх співвідношення і обчисліть абсолютні їх похиб-

ки.

12.2. Зв'язок Золотого перетину з сакральною геометрією

Однією з найбільш характерною особливістю сучасного етапу в роз-

витку людської культури – це зближення релігійного і наукового світогляду.

Це повернення до Бога, до сакральної геометрії, до екзотичних наук і свя-

щенних знань, що містяться в Талмуді, Біблії, китайській Книзі Змін. При-

314

родно, що в цьому розділі довідника, ми не можемо пройти повз цих «свя-

щенних знань», одним з яких є Золотий розтин.

Сакральна геометрія – це шлях пізнання Всесвіту і людини. Термін

«сакральна геометрія» використовується археологами, антропологами, філо-

софами і людьми, чия робота пов'язана з духовною діяльністю. Цей термін

застосовують для того, щоб охопити систему релігійних, філософських і

духовних переконань, які вироблені різними культурами протягом усієї

людської історії і пов'язаної з геометричними уявленнями про побудову

Всесвіту і людини.

Однією з найбільш вражаючих ідей, що пронизує сакральні вчення

всіх цивілізацій, полягає в тому, що Всесвіт існує як гармонійне і пропор-

ційне ціле, а основою прекрасного є гармонія.

Як підкреслюється в книзі С.М. Неаполітанського і С.А. Матвеєва

«Сакральна геометрія», існує група п'яти основних математичних відносин,

які можна знайти в усьому світі. Знання цих відносин закладає базис досяг-

нень «священної» геометрії. Ці п'ять основних відносин сакральної геометрії

виражаються наступними ірраціональними числами.

1. Число π, яке є основною пропорцією кола або сфери.

З числом π пов'язана безліч красивих формул, запропонованими ві-

домими та великими математиками:

...2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

– (Ф. Вієт)

...9

8

7

8

7

6

5

6

5

4

3

4

3

2

1

2

2

– (Дж.Валліс)

...25

124

123

122

11

6

2

– (Л. Ейлер)

315

...29

127

125

123

11

8

3

– (Л. Ейлер)

(три крапки тут означає, що вибудовувати числові конструкції слід продов-

жувати і далі).

Ще є така формула:

32...222312 = k ≥ 2 (*)

Якщо попередні формули обґрунтовуються в солідних курсах мате-

матичного аналізу, то для виведення останнього співвідношення достатньо

відомостей зі стандартного шкільного підручника. Як відомо, периметр впи-

саного в коло діаметром 1 правильного n-кутника обчислюється за форму-

лою

n

onnp

180sin .

При великих значеннях n периметр Рn приблизно дорівнює числу π. Покла-

демо n = 3 2k, тоді тогда Рn = 3∙2k sin 60/2k. Синус кута 60/2k можна вирази-

ти по-іншому, якщо скористатися тотожностям для тригонометричних фун-

кцій половинного аргументу:

.2

cos1

2cos;

2

cos1

2sin

aaaa

Для різних значень k знаходимо:

k = 1: ;2

3

2

60cos

o

k = 2: ;322

1

22

31

2

1

4

60sin

o

k радикалів

316

;322

1

22

31

4

60cos

o

k = 3: ;3222

1

8

60sin

o

;3222

1

8

60sin

o

k: .3...2222

1

2

60ins k

o

Звідси безпосередньо отримуємо формулу (*).

2. Квадратний корінь числа 2: 414,12 . Він пов'язаний з такою

священною постаттю як квадрат. Як відомо, з цим числом пов'язано від-

криття несумірних відрізків. Це відкриття призвело до розробки теорії ірра-

ціональності та ірраціональних чисел і в кінцевому рахунку – до створення

«безперервної» математики.

3. Квадратний корінь числа 3: 732,13 . Це число висловлює про-

порції такої священної постаті, як рівносторонній трикутник, який є одним з

найбільш ранніх відомих людству містичних символів. Платон зазначав:

«Серед безлічі трикутників є один, найкращий, заради якого ми зменшимо

всі інші, а саме той, який в поєднанні з подібним йому утворює третій три-

кутник-рівносторонній». Рівносторонній трикутник володіє найкращими

випромінюючими властивостями. Сама форма цього трикутника визначає

його чудові властивості як генератора променистої енергії на великі відста-

ні. К.Е. Ціолковський висував ідею вирубки в сибірській тайзі гігантського

рівностороннього трикутника для встановлення контактів з невідомими ци-

вілізаціями.

k –радикалів

317

4. Квадратний корінь числа 5: .236,25 Це число з'являється при

дослідженні такої священної постаті, як «подвійний» квадрат.

5. Золотий перетин, або код да Вінчі, що виражає пропорції золотого

прямокутника і пентаклю, який піфагорійці вважали священною постаттю і

головним символом їх священного союзу:

2

51 = 1,618.

Таким чином, розглянуті п'ять містичних геометричних відносин, які

присутні в живій і неживій природі і служать основою всіх сакрально-

геометричних побудовах. Вони показують шаблони основних законів Твор-

ця, які виходять від Вищого Розуму. Мудрість природи пропонує найкращий

приклад того, як варто жити. Ця мудрість передається через символи сакра-

льної геометрії. Чим краще ми їх розуміємо, тим більше можемо застосувати

силу гармонії у власному житті. До цих питань постійно звертаються скуль-

птори, будівельники, художники і взагалі люди різних професій.

Перевір себе.

Розрахуйте самостійно квадратний корінь 2, 3, 5 до сьомого знака.

Відповіді:

1) 414,12 2135…

2) 732,13 0508…

3) 236,25 0679…

12.3. Числа Фідія і Золотий перетин

П'ятикутна зірка – пентаграма – завжди приваблювала людей до-

сконалістю форми. Піфагорійці обрали її символом своєї спілки. У цій фі-

гурі спостерігається дивна постійність відносин відрізків.

318

Ця зірка вважалася амулетом

здоров'я. І в наші дні ця зірка красу-

ється на прапорах і гербах багатьох

країн. Її привабливість у тому, що

спостерігається сталість відносин

складових її відрізків. На рис. 12.2

наочно видно, а також це можна пе-

ревірити, що

AD : AC = AC : CD = АB : BC =

=AD : AE =AE : EC і так далі.

Розглянемо докладніше рів-

ність AD: AC = AC: CD (див. рис. 12.2). Точка С ділить відрізок AD на дві

нерівні частини, і велика частина так відноситься до меншої, як весь відрізок

– до більшої частини (порівняйте рис. 12.1 – Ділення відрізка в середньому і

крайньому відношенні). А чому дорівнює це відношення? Щоб знайти його,

приймемо довжину відрізка AD за а, відрізка AC – за b. Так як CD = а - b, то

а : b = b : (а – b), або а2 = а b + b2. Розділивши обидві частини на b2 і позна-

чивши шукане відношення а : b літерою Ф, отримаємо рівняння:

Ф2 = Ф + 1, (12.3)

яке відповідає рівнянню (12.2), має єдиний додатний корінь

...618034,12

51

Ф (12.4)

Найцікавіше, що в природі зустрічається мор-

ська зірка, яка відповідає пентаграмі (рис. 12.3).

Що ж це за диво природи і математики, інте-

рес до якого зростає з кожним століттям? Для відпо-

віді на це питання необхідно розглянути математичні

властивості рівняння (12.3) і насолодитися властиво-

стями цього унікального феномена (12.4).

Рис. 12.2

Рис. 12.3

319

Переконаємося, що тотожність рівняння (12.2) є істинним. Для цього

здійснимо елементарні математичні перетворення над лівою та правою час-

тинами рівняння (12.4) і доведемо, що вони рівні.

В правій частині ми маємо:

2

531

2

511

Ф .

З іншого боку,

Ф2 = 2

531

2

51

4

4)51(2

4

55212

2

51

,

звідки випливає справедливість рівняння (12.1)

Часто розглядається не відношення більшого відрізка до меншого, а,

навпаки, обернену величину. Це відношення меншого відрізка до більшого 1

/ Ф, яке позначається буквою φ.

Якщо члени рівняння (12.1) розділити на Ф, то прийдемо до наступ-

ного виразу для Ф:

11

1Ф

Ф . (12.5)

Ф і φ – велика і рядкова форми грецької букви «фе».

Як ми говорили, що такі позначення прийняті на честь давньогрець-

кого скульптора Фідія (V в. до н. е.), який керував будівництвом храму Пар-

фенон в Афінах. В пропорціях цього храму багато разів присутнє число φ

(мал. 12.4).

Як видно з формули (12.5) значення чисел Ф і φ відрізняються один

від одного на 1. Отже число φ рівно:

...618034,02

151

2

51

320

Таке відношення чисел Ф і φ із старовини вражало скульпторів, ху-

дожників і математиків.

Як розділити відрізок у відношенні Ф? Така побудова Золотого пере-

тину відрізка АВ, виконаного за допомогою циркуля і лінійки, описано вже в

знаменитих «Началах» Евкліда. Воно показано на рис. 12.5.

Спочатку до відрізка АВ встановимо перпендикуляр ВС, довжина

якого дорівнює половині довжини відрізка АВ. Потім проведемо відрізок

Рис. 12.4 Рис. 12.4

Рис. 12.5

321

АС, який буде гіпотенузою трикутника АВС. Далі приведемо дугу кола з

радіусом СВ і центром в точці С, яка перетне гіпотенузу АС в точці N. З точ-

ки А радіусом АN проведемо дугу до перетину з відрізком АВ в точці М, яка

поділить Золотим перетином відрізок АВ у відношенні Ф, тобто

АМ : МВ = Ф.

12.4. Золота пропорція навколо нас

Відповідність Ф11 , що

виражається числом Ф, за свід-

ченням багатьох дослідників,

найбільш приємна для ока. Лео-

нардо да Вінчі вважав, що ідеа-

льні пропорції людського тіла

повинні бути пов'язані з числом

Ф. Зверніть увагу на рис. 12.6.

Центр квадрата знаходиться там,

де початок розставлених ніг і де

знаходяться первинні клітини за-

родження майбутніх поколінь, що представляють собою також на плоскому

малюнку квадрат, а в тривимірному просторі - куб.

Коли людина на малюнку Леонардо стоїть з витягнутими руками, то

існує різниця між висотою і шириною квадрата. За результатами досліджень

вимірів, проведених для понад сто осіб, комп'ютери показали, що існує різ-

ниця в одну десятитисячну частку дюйма між шириною ваших рук і вашим

ростом. Ця різниця має відношення до ряду чисел Фібоначчі, на якому «за-

сноване життя».

Рис. 12.6

322

Коли людина на малюнку Леонардо стоїть з піднятими руками, то ті-

ло виявляється вписано в досконале коло або сферу, центр якої знаходиться

в пупку людини. Якщо центр кола змістити в центр квадрата, який визнача-

ється точкою перетину його діагоналей, то коло буде вписано в квадрат.

На малюнку Леонардо, де довжина витягнутої долоні від лінії зап'яс-

тя до кінчика середнього пальця дорівнює відстані від верхівки голови до

верхньої точки кола, коли центри розташовані на одній лінії. Ця ж довжина

дорівнює відстані між пупком і центром квадрата.

Отже, коли ви вирівняєте центри, то все співпаде.

Оскільки пропорція Ф виявилася таким ва-

жливим аспектом для людського тіла, то варто це

докладніше дослідити. Зверніть увагу на рис. 12.7,

який представляє квадрат навколо тіла людини,

який зображений Леонардо (рис. 12.6). Лінія, що

розділяє квадрат навпіл створює два прямокутника

(рис. 12.7) і є центральною лінією людського тіла

(ріс.12.6). Лінія b так відноситься до лінії а, як лі-

нія с відноситься до лінії b, що складає золоту пропорцію (12.1):

bc

bba

ab .

Доведемо, що значення відрізка с дорівнює значенню числа Ф, конс-

танті золотої пропорції. Спочатку обчислимо значення відрізка b2 (дивись

рис. 12.7).

451

411

2

21122

ab ,

а потім обчислюємо і саме значення b:

25b .

Таким чином, значення с обчислюється просто:

Рис. 12.7

323

...618,12

5125

21 bac ,

що й потрібно було довести.

Як розповідають книги, Будда просив своїх учнів споглядати свій

пупок, розуміючи, що в ньому закладено більше інформації, ніж бачить око

людини. Як показує геометрія, пупок в ідеалі знаходиться в точці, що відпо-

відає пропорції Ф, – між верхівкою голови і підошвами ніг. Як показує роз-

виток людини, пупок у новонароджених розташований точно в геометрич-

ному центрі тіла. У міру зростання пупок починає переміщатися до голови.

Рух його йде до пропорції Ф, а потім ще вище. Потім пупок повертається

вниз, нижче пропорції Ф, кілька разів змінюючи положення в роки форму-

вання тіла. Це відбувається в особливі періоди життя людини.

Пропорція Ф виявляється в тисячах місць тіла людини, і це не так

просто. Прикладом може служити рука людини (ріс.12.8).

Довжина кожної фаланги пальця знаходиться в пропорції Ф до на-

ступної фаланги, як це показано на лівій руці рис. 12.8. Визначається ця про-

Рис. 12.8

а)

б)

324

пропорція на всіх пальцах рук і ніг. Це дещо незвичайне ставлення, тому що

один палець кінцівки довший, а інший коротше.

Розглянемо відстані між точками А – В – С – D – E (рис 12.8, а) на

пальцях перебувають між собою у відношенні Ф, як і довжини фаланг F - G

- H (рис. 12.8, б). Наведемо ці пропорції Ф:

;ВС

ВСАВАВВС

;DС

DСВCВCDС

;DE

DEDCDCDE

;GH

GHFGFGGH

Коли, наприклад, співвіднести довжину передпліччя з довжиною до-

лоні, то вийде пропорція Ф, як коли співвіднести довжину плеча до довжини

передпліччя. Пропорція Ф виявляється у всій скелетній системі людини.

Рис. 12.9 Рис. 12.10

325

Вона зазвичай зустрічається в тих місцях, де щось згинається або змінює

напрямок. Вона також виявляється у відносинах розмірів одних частин тіла

до інших.

Прикладами таких пропорцій можуть бути знаменитий малюнок са-

мого Леонардо да Вінчі, що символізує канонічні пропорції (рис. 12.6), ску-

льптури Полікрета Дорифор (рис. 12.9), Венера Мілоська (рис. 12.10), Міке-

Рис. 12.11

326

ланджело Святе сімейство (рис. 12.11) і багато інших творів живопису, зна-

мениті скульптури і так далі.

В епоху Відродження золотий перетин було дуже популярно викори-

стовувати серед художників, скульпторів, архітекторів і вчених.

У живій природі Золотий перетин, як і в людині зустрічається дуже

часто. Для демонстрації пропорції Ф застосуємо криві лінії таким чином,

щоб було видно, як одна крива пов'язана з іншою.

Математику пропорції Ф можна виявити в метеликів (мал. 12.12) або

бабочок (мал. 12.13), де будь-яка ділянка хвоста містить пропорцію Ф.

Довжина частини тіла метелика знаходиться в пропорції Ф. На

рис. 12.13 зосереджено увагу тільки на одній ділянці метелика. Ви ж можете

порівняти кожен маленький вигин, на довжину і ширину крил, розмір голо-

Рис. 12.12

327

ви, порівнюючи її ширину та довжину. Розгляньте увесь малюнок. У всьому

ви побачите пропорції Ф.

Можна подивитися на скелет жаби (ріс. 12.14), що всі до єдиної кіст-

ки знаходяться в пропорції Ф – точнісінько, як у людському тілі.

Неймовірними створіннями, на перший погляд, є риби. Спочатку не

схоже, що вони мають зв'язок з пропорцією Ф, адже серед них існує така

велика різноманітність. Але якщо їх дослідити уважніше, то у в кожному

виді риб теж можна знайти пропорції Ф (12.15).

Рис. 12.13

Рис. 12.14

328

Виміривши щось одне у будь-якого виду живих організмів, можна

отримати інші розміри цього організму, що переводяться у пропорції Ф.

Кажучи іншими словами, в будові людини закладені такі пропорції Ф, що

Рис. 12.15

Рис. 12.16

329

знаючи розміри однієї частини не складає труднощів визначити розміри

іншої частини тіла.

Пропорції Ф також закладені в архітектурі японської пагоди храму

Якусідзі (рис. 12.16). Напевно, коли планувалася ця пагода, то все ретельно

було розплановано – аж до маленької кульки на самій верхівці.

Класична архітектура у світі використовувала ті ж принципи пропо-

рції Ф, але в національному стилі. Так, наприклад, Парфенон у Греції

(рис. 12.4) або Велика Піраміда Хеопса в Єгипті, яка розглянута далі

(рис. 13.8).

Перевірте себе.

1) Визначити свої співвідношення і порівняй їх з пропорціями Золотого

перетину.

2) Визначити співвідношення своїх родичів і порівняй їх зі своїми ви-

мірами.

12.5. Властивості Золотої пропорції

Вивчення властивостей Золотої пропорції (12.3) доставляє естетичну

насолоду для тих, хто цим цікавиться. Переконаємося в цьому, виконавши

над рівнянням (12.3) наступні перетворення. Помножимо спочатку всі члени

рівняння (12.3) на золоту пропорцію Ф, а потім – розділимо їх на Ф. В ре-

зультаті отримаємо два нових рівняння (тотожностей):

Ф3 = Ф2 + 1; (12.6)

Ф = 1 + Ф-1. (12.7)

При подальшому збільшенні членів рівняння (12.6) на Ф, а члени рі-

вняння (12.7) ділити на Ф, при продовженні цього процесу до нескінченнос-

ті, то прийдемо до наступного витонченого рівняння (тотожності), яке зв'я-

зує степені золотої пропорції:

Фn = Фn-1 + Фn-2, (12.8)

330

де число n є цілим і пробігає значення в межах від + ∞ до - ∞, тобто

n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...

Це правило золотої пропорції (12.8) словесно можна сформулювати

так: «Будь-яка ціла степінь золотої пропорції дорівнює сумі двох попере-

дніх».

Унікальність цієї властивості золотої пропорції важко уявити! При-

пустимо, що нам треба представити Ф50 через попередні степені золотої про-

порції. Це здійснюється дуже просто відповідно до правила (12.8).

.

48

2

5149

2

5150

2

5150

Ф (12.9)

Абсолютно вірно і наступне рівняння (тотожність):

.46

2

5147

2

5149

2

5150

2

5150

Ф (12.10)

Подібних числових тотожностей існує нескінченна кількість, що є

наслідком загальної тотожності (12.8).

Перевірте себе.

1. Склади тотожність для Ф100, через Ф99 і Ф98.

2. Склади тотожність для Ф100, через Ф99, Ф97 і Ф96.

12.6. Золота геометрична прогресія

Послідовність степенів золотої пропорції можна розглядати як «гео-

метричну прогресію» такого вигляду:

{…, Ф-n, Ф-(n-1), …, Ф-2, Ф-1, Ф0= 1, Ф1, Ф2, …, Фn-1, Фn…}. (12.11)

У цій геометричній прогресії кожне число дорівнює попередньому,

помноженому на постійне число Ф, що називається знаменником геометри-

331

чної прогресії. У формульному вигляді ця прогресія зображується наступ-

ним чином:

Фn = Ф×Фn-1. (12.12)

Відповідно до (12.8) послідовність (12.11) володіє «арифметичними»

властивостями, тому що кожне число ряду (12.11) є сумою двох попередніх.

Геометричну прогресії зі знаменником Ф називають золотою прогресією.

Геометричній прогресію в геометрії відповідає певна логарифмічна

спіраль і, на думку багатьох дослідників, властивість (12.8) виділяє золоту

прогресію (12.11) серед інших геометричних прогресій і є причиною широ-

кого розповсюдження саме золотої логарифмічної спіралі у формах і струк-

турах живої природи.

12.7. Представлення золотої пропорції в радикалах

Рівняння (12.3) можна перетворити, обчисливши квадратний корінь з

лівої і правої частин. У цьому випадку, отримаємо наступний вираз для Ф:

.1 ФФ (12.13)

У цьому виразі можна число Ф під коренем замінити його виразом.

У цьому випадку, отримаємо:

.11 ФФ (12.14)

Повторюючи цю процедуру підстановки до безкінечності, виведемо

формулу:

....1111 Ф (12.15)

12.8. Представлення золотої пропорції у вигляді ланцюгового дробу

332

Розглянемо ще одну дивовижну властивість золотої пропорції, ґрун-

туючись на рівняння (12.5). Рівняння (12.5) можна перетворити, підставляю-

чи в знаменнику правої частини виразу його первісний вигляд:

ФФ

Ф1

1

11

11

(12.16)

Цю красиву формулу можна продовжувати, перетворюючи нескін-

ченну кількість разів. У цьому випадку, отримаємо «багатоповерховий» дріб

з безліччю рівнів:

...1

11

11

11

11

Ф . (12.17)

Представлення (12.17) у математиці називається безперервним або

ланцюговим дробом. До речі, теорія ланцюгових дробів є частиною сучасної

математики.

Відзначимо одну характерну психологічну особливість людини. Він

отримує велику естетичну насолоду, коли в нього несвідомо щось викликає

почуття ритму і гармонії. У зв'язку з цим кожен математик інтуїтивно праг-

не висловити свої результати в найбільш простій і компактній формі форму-

ли, яка приносить йому велику естетичну насолоду. Зауважимо, що формули

(12.14) і (12.17) доставляють нам естетичну насолоду і ми починаємо замис-

люватися над нескінченною повторюваністю одних і тих самих простих

математичних елементів у формулах (12.14) і (12.16).

12.9. Рівняння золотої пропорції 3-го степеня

333

Рівняння золотої пропорції (12.3) являє собою квадратичне алгебраї-

чне рівняння типу ах2+bx+c, коефіцієнти якого відповідно рівні:

a = 1; b = -1; c = -1. (12.18) Детермінант такого рівняння дорівнює 5 (D = 5). Звідси випливає, що

рівняння (12.3) має два дійсних корені:

х1 = Ф = 2

51; х2=

2

511

Ф. (12.19)

Корінь х1 – це золота пропорція Ф. Таким чином, вирішено головне

питання теорії алгебраїчних рівнянь – знайти корені даного алгебраїчного

рівняння.

А чи існує алгебраїчне рівняння золотої пропорції більш високих

степенів, ніж в рівнянні (12.3)? Для відповіді на це питання проведемо на-

ступне міркування, взявши в якості початкового квадратного рівняння золо-

ту пропорцію, що задається (12.3).

Ф2 = Ф + 1,

Помножимо обидві частини рівняння (12.3) на Ф і отримаємо нас-

тупну рівність:

Ф3 = Ф2 + Ф, (12.20)

Перепишемо рівняння (12.3) таким чином:

Ф = Ф2 - 1.

Тепер, підставляючи значення для змінної Ф в вираз (12.20), отрима-

ємо таке алгебраїчне рівняння 3-го степеня:

Ф3 = Ф2 + (Ф2 – 1)= 2Ф2 – 1. (12.21)

З іншого боку, якщо у вираз (12.20) підставити вираз для Ф2, що за-

дається (12.3), то отримаємо ще одне рівняння 3-го степеня:

Ф3 = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1. (12.22)

Як видно, ми отримали два нових алгебраїчних рівнянь 3-го степеня.

Доведемо, що коренем рівняння (12.21) є золота пропорція. Підставимо зна-

334

чення кореня золотої пропорції (12.10) в ліву і правою частини рівняння

(12.21) і перевіримо, що ліві і праві частини рівняння співпадають.

Дійсно, використовуючи тотожність (12.8), ми маємо для правої час-

тини:

2

524

2

51

2

53 Ф2Ф3Ф

.

З лівого боку, це рівняння має вигляд:

2Ф2 - 1 = 2

5241

2

532

..

Таким чином, золота пропорція Ф, дійсно, є коренем рівняння

(12.21), тобто це рівняння є «золотим». Таким же чином можна довести, що

рівняння (12.22) також є «золотим».

Перевір себе і доведи це твердження.

12.10. Рівняння золотої пропорції n-го степеня

Виведемо вираз для «золотого» алгебраїчного рівняння 4-го степеня.

Помножимо всі члени рівності (12.20) на Ф. В результаті отримаємо рівності

4-го степеня:

Ф4 = Ф3 + Ф2, (12.23)

Скористаємося виразом (12.3) для Ф2 і виразами (12.21) або (12.22)

для Ф3. Підставляючи їх у вираз (12.23), ми отримаємо два нових алгебраїч-

них вирази 4-го степеня, коренями яких є золота пропорція:

Ф4 = 3Ф2 – 1. (12.24)

Ф3 = 3Ф + 2. (12.25)

На початку цього розділу ми говорили, що різні формульні вирази

золотої пропорції відображають математичний опис предметів живої приро-

ди. Яке ж було захоплення американського фізика, лауреата Нобелівської

335

премії Річарда Фейнмана, який у формулі (12.25) знайшов рівняння, що опи-

сує енергетичний стан молекули бутадієну – цінної хімічної речовини, що

використовується при виробництві каучуку. Він висловив це так: «Які чуде-

са існують в математиці! Згідно моєї теорії золота пропорція стародавніх

греків дає мінімальний енергетичний стан молекули бутадієну».

Цей факт підвищує інтерес до рівнянь золотої пропорції вищих сте-

пенів. Ці рівняння можуть бути отримані з формули (12.8). Як приклад мож-

на вивести такі «золоті» рівняння вищих степенів:

Ф5 = 5Ф2 – 2 = 5Ф + 3;

Ф6 = 8Ф2 – 3 = 8Ф + 5;

Ф7 = 13Ф2 – 5 = 13Ф + 8.

Аналіз цих рівнянь показує, що числові коефіцієнти в правій частині

цих рівнянь – це знамениті числа Фібоначчі, з якими ми познайомимося

пізніше.

У загальному випадку алгебраїчні рівняння золотої пропорції n-

степеня виражаються в наступному вигляді:

Фn = Fn Ф2 – Fn-2 = FnФ + Fn-1, (12.26)

де Fn, Fn-1, Fn-2 – це числа Фібоначчі, в яких кожен член, починаючи з тре-

тього, дорівнює сумі двох попередніх.

Зокрема, n-степінь числа Ф виражається чудовою формулою через

числа Фібоначчі:

)15(2

1 nFnFnФ

Головною математичною властивістю всіх рівнянь типу (12.26) є те,

що всі вони мають спільне коріння – золоту пропорцію.

Перевір себе і збудуй формули золотої пропорції до 10-го степеня.

Відповіді:

Ф8 = 21Ф2 – 8 = 21Ф + 13;.

Ф9 = 34Ф2 – 13 = 34Ф + 21;.

336

Ф10 = 55Ф2 – 21 = 55Ф + 34.

ВИСНОВОК.

У розділі 12 розглянуті наступні теми: золотий перетин, зв'язок Зо-

лотого перетину з сакральною геометрією, числа Фідія і Золотий перетин,

властивості Золотої пропорції, золота геометрична прогресія, подання золо-

тої пропорції в радикалах і у вигляді ланцюгового дробу, а також представ-

лення рівняння золотої пропорції n-го степеню.

337

РОЗДІЛ 13

ЗОЛОТІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

13.1. Золотий прямокутник і його властивості

Золотий перетин широ-

ко використовується в геомет-

рії.

У зв'язку з цим, пред-

ставляє великий інтерес роз-

глянути золотий прямокутник

ABCD (рис. 13.1) і його влас-

тивості.

Золотим називається прямокутник, у якому відношення більшої сто-

рони до меншої рівно золотій пропорції, тобто:

2

51Ф

ВС

АВ.

Розглянемо випадок найпростішого золотого прямокутника АВСD, в

якому АВ = Ф і ВС = 1. Знайдемо на відрізках AB і DC точки E і F, які від-

стають відповідно від точок A і D на відстань рівну відрізку ВС і ділять від-

повідні сторони AB і DC в Золотому перетині. Ясно, що АЕ = DF = 1, тоді

ЕВ = АВ = Ф - 1.

З'єднаємо точки E і F відрізком EF і назвемо цей відрізок золотою

лінією. Золота лінія ділить прямокутник АВСD на два прямокутники AEFD і

FEBC. Прямокутник AEFD можна визначити квадратом, тому що у нього всі

сторони рівні (рис. 13.1).

Розглянемо прямокутник FEBC, у якого велика сторона ВС = 1, а ме-

нша – ВЕ = 1/Ф. Відзначимо, що відношення сторін ВС / ВЕ = Ф, і, отже,

Рис. 13.1

Ф

1

338

прямокутник FEBC є золотим! Таким чином, золота лінія EF ділить вихід-

ний золотий прямокутник АВСD на квадрат AEFD і новий золотий прямоку-

тник FEBC.

Якщо від нового «золотого прямокутника» FEBC відрізати квадрат

CFGH, то знову отримаємо новий золотий прямокутник BHGE. Цей процес

можна продовжувати до нескінченності.

На рис. 12.10 видно, що якщо провести діагональ ВD першого пря-

мокутника АВСD і діагональ ЕС другого прямокутника FEBC, то точка пе-

ретину діагоналей О буде належати всім одержуваним «золотим прямокут-

никам».

Зауважимо, що нескінченне повторення одних і тих самих геомет-

ричних фігур (квадрата і золотого прямокутника) викликає у нас неусвідом-

лене естетичне почуття ритму і гармонії. Вважається, що саме ця обставина

є тим, що багато предметів прямокутної форми, з якими людина має справу

(сірникові коробки, запальнички, книги, валізи), часто мають форму золото-

го прямокутника. І це не випадково! Наприклад, широко використовуються

кредитні картки в нашому повсякденному житті мають форму золотого пря-

мокутника (рис. 13.2).

Рис. 13.2

339

13.1. Золотий рівнобедрений трикутник

Існує «золотий трикутник», у якого

відношення довжини бічної сторони до дов-

жини основи дорівнює числу Ф. По-перше,

цей трикутник рівнобедрений, по-друге, кути

при основі рівні 72о (рис. 13.3). Оскільки сума

кутів трикутника завжди дорівнює 180о, то

кут при його вершині дорівнює 36о, тобто 180

- (72 + 72) = 36.

Золотий трикутник (ріс. 13.3) володіє

однією чудовою властивістю, яка полягає в

тому, що довжини бісектрис кутів при його

підставі рівні довжині його основи.

Ця властивість широко використовувалося і використовується в жи-

вописі. Наприклад, в картинах Рафаеля «Розп'яття» (рис. 13.4), Леонардо да

Вінчі «Мона Ліза» (рис. 13.5) і в багатьох інших мальовничих картинах.

Недарма картина «Мона Ліза» є еталоном жіночої краси і гармонії.

Рис. 13.3

Рис. 13.4 Рис. 13.5 Рис.13.6

340

Використання принципу золотого трикутника в живопису створює

враження височини, естетичного захоплення і гармонії.

13.3. Золотий прямокутний трикутник

Рис. 13.7

Рис. 13.6

341

Трикутник, заснований на Золотому перетині, широко використову-

ється в архітектурі ще із старовини. На його властивостях побудована зна-

менита піраміда Хеопса в Давньому Єгипті (мал. 13.8).

Розглянемо такий прямокутний трикутник АВС, у якого відношен-

ня катетів АС/СВ = Ф (мал. 13.6). Позначимо довжини сторін цього прямо-

кутного трикутника АВС відповідно через x, у, z. Відношення його сторін

у/х = Ф . Тоді відповідно до знаменитої теореми Піфагора довжина гіпоте-

нузи обчислюється так:

22 yxz . (13.1) Якщо х = 1, то у = Ф . Звідси витікає, що

.21 ФФФz Прямокутний трикутник, у якого сторони відносяться як

1:: ФФ (1,618:1,272:1), називається золотим прямокутним трикутником.

Властивістю золотого прямокутного трикутника крім відношення

його сторін, є значення кута В рівному 51050', а, відповідно, значення кута

А = 90о – 51о50’= 38о10’.

Рис. 13.8

342

Вимірювання висоти піраміди Хеопса (мал. 13.8) привела дослідни-

ків до наступної вельми цікавої гіпотези: у основу трикутника АВС пірамі-

ди Хеопса було закладено відношення АС/СВ = = Ф = 1,272!!!

Прийнявши за основу гіпотезу про те, що «геометричною ідеєю»

піраміди є золотий прямокутний трикутник, дослідники обчислили її про-

ектну висоту, яка дорівнювала 148,28 м.

Знаючи висоту піраміди і кутові значення 51 50' при основі пірамі-

ди (мал. 13.3) можна обчислити деякі відношення піраміди Хеопса. Напри-

клад, відношення зовнішньої площі піраміди до площі її основи можна ви-

значити так: довжину катета СВ приймемо рівну одиниці ( СВ = 1), тоді до-

вжина сторони основи піраміди буде в двоє більше довжини СВ, тобто рівна

2, а, отже, основа піраміди рівна 4.

Тепер обчислимо площу бічної грані піраміди Хеопса S. У зв'язку

з тим, що висота АВ трикутника АВЕ рівна Ф, як гіпотенуза золотого пря-

мокутного трикутника (рис.13.7), то площа бічної грані S = Ф, оскільки

площа трикутника рівна половині добутку висоти на основу. Сумарна площа

всіх бічних граней піраміди буде рівна 4Ф . Відношення ж сумарної зовніш-

ньої площі піраміди і площі основи буде рівне золотій пропорції Ф!!! Це і є

« головна геометрична таємниця піраміди Хеопса»!

Аналізуючи інші єгипетські піраміди, ми бачимо, що єгипетські ар-

хітектори завжди прагнули використати в своїх пірамідах деякі важливі ма-

тематичні знання. У цьому сенсі вельми цікавою є піраміда Хефрена. Вимі-

рювання показали, що кут нахилу бічних граней в ній рівний 530 12', що

відповідає відомому прямокутному із сторонами 3 : 4 : 5, який називають

«досконалим», «священним» або «єгипетським».

Історики стверджують, що «єгипетському» трикутнику додавали

магічний сенс. Плутарх писав, що єгиптяни порівнювали природу Всесві-

ту з «священним» трикутником. Вони символічно віддавали вертикальний

катет чоловікові, основу – дружині, а гіпотенузу – дитині.

343

Геніальні архітектори єгипетських пірамід прагнули уразити дале-

ких нащадків глибиною своїх знань, і вони добилися цього, вибравши як

«головну геометричну ідею» для піраміди Хеопса – золотий прямокутний

трикутник, а для піраміди Хефрена – «священний» трикутник.

13.4. Золотий еліпс

Золотий еліпс формується за допомогою двох ромбів ACBD і ICJD,

вписаних в еліпс (рис.. 13.9). Вписані ромби ACBD і ICJD складаються з

чотирьох прямокутних трикутників типу OCB або OCJ, які є золотими пря-

мокутними трикутниками (мал. 13.8).

Розглянемо основні геометричні співвідношення золотого еліпса

(рис. 13.9). Нехай фокусна відстань еліпса АВ = 2. З визначення еліпса ви-

пливають такі співвідношення:

AC+CD = AG+CD

Рис. 13.9

344

Так само існують співвідношення, що зв'язують сторони «золотих»

прямокутників OCB і OCJ:

,1;1;

1;

1

CJ

OC

CJ

OC

OC

OB

BC

OB

де Ф – золота пропорція.

З подібності трикутників OCB і OCJ випливає така пропорція:

.1

OJ

OB

OC

OB

CJ

СB (13.2)

На думку польського ученого, журналіста і єгиптолога Яна Гржед-

жельського, автора книги «Енергетично-геометричний код природи» (1986),

золотий еліпс може бути використаний як геометрична модель для поши-

рення світла в оптичних кристалах. У цьому випадку співвідношення (13.2)

висловлюють пропорцію термодинамічної рівноваги в оптичних кристалах,

що створює оптимальні умови для досягнення фотонами фокусів з мініма-

льними енергетичними втратами.

Про властивості еліпсів у всіх подробицях можуть розповісти фахів-

ці, які вивчають рух небесних тіл. Відповідно до закону, що відкритий німе-

цьким математиком і астрономом Іоганном Кеплером (1571–1630), всі пла-

нети рухаються навколо Сонця по орбітах, що має форму еліпса.

У еліпсів є декілька чудових властивостей, кожну з яких можна при-

йняти за його визначення. З кола можна отримати еліпс, якщо всі її крапки

наблизити до діаметру, скоротивши відстань в одне і те ж число разів

(рис. 13.10).

""

""

''

''

PM

NP

PM

PN

MP

NP

345

Розглянемо простий спосіб побудови еліпса з допомогою. двох кіло-

чків і мотузка (рис. 13. 11). Вб'ємо два кілка один від одного на відстань 2 с

(рис. 13.11) і прив'яжемо до будь-якого з кілочків мотузку довжиною 2а

(а>с). Якщо тепер палицею (або олівцем на папері) відтягнути мотузок убік і

провести цією палицею лінію, то

викреслимо дугу еліпса. Точки F1

і F2 називаються фокусами еліпса

(рис. 13.12). Безліч всіх точок

площини, сума відстаней від яких

до даних точок F1 і F2 постійна, є

еліпс. У системі координат, де

вісь Ох співпадає з лінією фокусів

F1 і F2, а початок координат знаходиться посередині між ними (мал. 13.12),

це визначення виражається рівнянням

аусхусх 2)()( 2222 ,

яке можна привести до вигляду

12

2

2

2

by

ax ,

де b2 = a2 – c2.

Величини а і b задають розміри півосі еліпса, тобто відстань від

центру еліпса до найбільш і найменш віддалених його точок. Чим ближче

Рис. 13.10 Рис. 13.11

Рис. 13.12

346

один до одного розміри піввісі еліпса, тим більше він схожий на коло і пере-

творюється на неї при a= b. «Сплюснутість» еліпса прийнято також характе-

ризувати відношенням с / а, що отримав назву ексцентриситет.

За еліпсу проходити шлях і наша сонячна система (рис. 13.13).

Цей шлях вона проходить приблизно за 25920 років. У точці А про-

ведений маленький еліпс в якому Земля буде знаходитися в 2012 році. По

прогнозу племені Мая, провідця Нострадамуса та інших у 2012 році 21-22

грудня Сонце буде в центрі нашої галактики, а на Землі буде повне затем-

нення та можлива велика катастрофа. У цих двох маленьких еліпсах, відбу-

ваються зрушення полюсів на Землі, які зафіксовані наукою. Крапка С – це

час, коли відбулася загибель Атлантиди. Це той же час, коли був Великий

Потоп з Ноєвим ковчегом і таненням льодовикових шапок, унаслідок всіх

змін, що відбувалися тоді на Землі. В точках B і D також могли відбуватися

зміни на Землі, але менш значні.

Таким чином, значення еліпса має не тільки геометричне значення,

але й космічне.

Засипання

Рис. 13.13

Повне обернення = 25920 років

Пробудження

Засипання

Центр Галактики

2012

347

13.5. Золота чаша

Слово пентагон – це правильний п'ятикутник, а пентакл – це п'яти-

кутна зірка, яка сполучає кути п'ятикутника, звана також пентаграмою.

Властивості пентагона і пентакла (рис. 13.14), вже були розглянуті і показані

їх золоті пропорції (див. параграф 12.3). Доведено, що точки перетину діа-

гоналей в пентагоні завжди є точками Золотого перетину. Доведено, що точ-

ки перетину діагоналей в Пентагоні завжди є точками Золотого перетину.

При цьому вони організовують новий пентагон FGHKL.

У новому Пентагоні можна провести

діагоналі, перетин яких утворює новий пента-

гон. Цей процес можна продовжувати до без-

кінечності. Цей процес можна продовжувати

до нескінченності. Таким чином, пентагон

ABCDE як би складається з нескінченної без-

лічі пентагонів, які кожного разу утворюють-

ся точками перетину діагоналей. Ця нескін-

ченна повторюваність однієї геометричної фігури в іншій створює відчуття

ритму і гармонії, які неусвідомлене фіксуються нашим розумом.

Пентаграма (п'ятикутна зірка ABCDE ) у піфагорійців була пов'язана

з думкою про таємничі сили і властивості. У народних повір'ях пентаграма

називалася «стопою відьми». Вона відігравала велику роль у всіх магічних

науках і розглядалася як засіб захисту від злих духів. Зокрема, вона викори-

стовувалася як охорона сплячого від відьом, а також від кошмару, що при-

водиться ними.

Пентагон і пентакл (рис. 13.13) – символізують широко вживані чу-

дові фігури творів мистецтва. У античному мистецтві широко відомий так

званий закон чаші (рис. 13.15), який використовували античні скульптори і

Рис. 13.14

348

золотих справ майстра. Заштрихована час-

тина пентагона дає представлення золотої

чаші (рис. 13.15).

З книги Дена Брауна «Код та Вінчі»

ми дізнаємося, що п'ятикутна зірка – це ще

дохристиянський символ, що відносився до

поклоніння і обожнювання Природи. Ста-

родавні люди ділили весь світ на дві поло-

вини – чоловічу і жіночу, які зберігали баланс сил. Коли чоловіче і жіноче

начало збалансоване, то в світі панує порядок гармонії, а якщо баланс пору-

шується – хаос. Пентакль символізує жіночу половину всього сущого. У

давнину люди помітили, що кожні вісім років планета Венера описує абсо-

лютно правильний Пентакль і булі вражені. У зв'язку з цим пентакл став

символом досконалості і краси.

13.6. Числа Фібоначчі

Леонард Пізанський (Фібоначчі) (1170 – 1228) – італійський матема-

тик. Він видав дві книги: «Книгу про абак» (1202), по якій багато поколінь

європейських математиків вивчали індійську позиційну систему числення, і

«Практичну геометрію» (1220). Вченому належать і власні відкриття чисел

Фібоначчі і оригінальний прийом вилучення кубічного кореня. Відкриття

чисел Фібоначчі відбулося при вивченні структури пелюсток квітів, листя і

насіння, які відповідають певним числам. Фібоначчі відмітив, що коли росте

ахиллея, то спочатку з'являється одна пелюстка, потім ще одна, потім дві,

потім три, потім п'ять, потім вісім, а потім тринадцять. Він помітив, що це ті

ж числа, які він бачив і на інших квітах. З часом цей ряд чисел і став назива-

тися числами (ряду) Фібоначчі.

Рис. 13.15

349

Леонард Пізанський описавши одержання ряду Фібоначчі до певної

задачі про розмноження кроликів.

Опис завдання полягає в наступному.

Нехай є пара кроликів (самка і самець) в перший день січня. Ця пари

кроликів дає нову пару в перший день лютого а потім в кінці кожного на-

ступного місяця. Кожна новонароджена пара стає зрілою в кінці місяця і вже

в кінці наступного місяця дає життя новій парі кроликів. Питання: скільки

пар кроликів буде в обгородженому місці через рік (12 місяців) з початку

розмноження?

Формулювання і розв’язання цього завдання вважаються основним

внеском Фібоначчі у розвитку комбінаторики. За допомогою розв’язку цієї

задачі він передбачив метод рекурентних співвідношень, який вважається

одним з могутніх методів розв’язання комбінаторних завдань. Рекурентна

формула, отримана Фібоначчі при розв’язку цієї задачі, вважається першою

в історії математики рекурентною формулою.

Вивчаючи послідовність розмноження кроликів, Фібоначчі прийшов

до такого висновку: кожен член послідовності дорівнює сумі попередніх.

Fn = Fn-1 + Fn-2 (13.3)

Така формула називається рекурентною формулою, тому що резуль-

тат визначається з попередніх значень.

Зауважимо, що конкретні значення числової послідовності, що поро-

джені рекурентною формулою (13.3), залежать від початкових значень по-

слідовності F1 і F2. Наприклад, якщо F1 =F2 =1, то для А-чисел формула

(13.3) генерує наступну числову послідовність :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … (13.4)

Для В – чисел ми маємо два початкові значення F1 = 0 і F2 =1. В

цьому випадку, формула (13.3) генерує таку числову послідовність: Для В-

чисел мі маємо два початкових значення F1 = 1 і F2 =2.. У цьому випадку,

формула (13.3) генерує таку числову послідовність:

350

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

А для (А+В) – послідовності маємо F1 = 1 і F2 =2. Тоді числова по-

слідовність для цього випадку буде:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

У математиці під числами Фібоначчі, як правило, розуміють числову

послідовність (13.4).

Перевір себе і розв’яжи задачу про кроликів, сформульовану Фібо-

наччі.

13.7. Суми послідовних чисел Фібоначчі

Дослідження чисел Фібоначчі привели до цікавих математичних ре-

зультатів. Наприклад, розглянемо суму з n чисел Фібоначчі, що йдуть під-

ряд. Почнемо із самого початку:

1 + 1 = 3 - 1;

1 + 1 + 2 = 5 - 1;

1 + 1 + 2 + 3 = 8 - 1; (13.5)

1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 13 - 1;

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 21 - 1.

Якщо порівняти числа після знаку рівно, виділені жирним шрифтом,

з числами Фібоначчі, то стає зрозумілим, що вони є послідовністю чисел

Фібоначчі! Звідси можна вивести загальну формулу для суми з n чисел Фі-

боначчі, що йдуть підряд.

F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 - 1. (13.6)

Також можна розглянути суму з n чисел Фібоначчі, що йдуть підряд,

з непарними індексами 1, 3, …, 2n - 1, …. Для цього почнемо з початкових

сум цього ряду: Також можна розглянути суму з n початкових чисел Фібо-

наччі з непарними індексами 1, 3, …, 2n -1, …... Для цього почнемо з почат-

кових суму цього ряду:

351

1 + 2 = 3;

1 + 2 + 5 = 8;

1 + 2 + 5 + 13 = 21; (13.7)

1 + 2 + 5 + 13 +34 = 55;

1 + 2 + 5 + 13 + 34 + 89 = 144.

Аналіз (13.7) дозволяє встановити ще одну цікаву закономірність:

сума з n чисел Фібоначчі, що йдуть підряд, з непарними індексами завжди

рівна значенню наступного числа ряду Фібоначчі! Звідси можна вивести

загальну формулу для суми з n чисел Фібоначчі, що йдуть підряд, з непар-

ними індексами:

F1 + F3 + … + F2n-1 = F2n (13.8)

Перевір себе і доведи загальну формулу для суми з n підряд чисел,

що йдуть, Фібоначчі з парними індексами, представлену нижче:

F2 + F4+ … + F2n= F2n+1 – 1. (13.9)

13.8. Суми квадратів послідовних чисел Фібоначчі

Встановимо, чому дорівнює сума квадратів послідовних чисел Фібо-

наччі за такою загальною формулою:

(13.10)

Почнемо з аналізу простих сум типу (13.11): Почнемо з аналізу

найпростіших сум типу (13.11):

12 + 12 = 1×2;

12 + 12 +22 = 6 = 2×3;

12 + 12 +22 + 32 = 15 = 3×5; (13.11)

12 + 12 +22 + 32 + 52 = 40 = 5×8;

12 + 12 +22 + 32 + 52 + 82= 104 = 8×13.

Звідси можна вивести загальну формулу для суми квадратів з n послідовних

чисел Фібоначчі:

223

22

21 ... nFFFF

352

(13.12)

тобто сума квадратів послідовних чисел Фібоначчі дорівнює добутку найбі-

льшого числа Фібоначчі в цій сумі на наступне після нього число Фібоначчі!

Тепер з'ясуємо, чому дорівнює сума квадратів двох сусідніх чисел

Фібоначчі, тобто 2

12

nn FF . (13.13)

Почнемо з аналізу найпростіших сум типу (13.13):

12 + 12 = 1 + 1 = 2;

12 + 22 = 1 + 4 = 5;

22 + 32 = 4 + 9 = 13; (13.14)

32 + 52 = 9 + 25 = 34;

52 + 82= 25 + 64 = 89.

Звідси можна вивести загальну формулу для суми квадратів двох су-

сідніх чисел Фібоначчі, яка завжди дорівнює числу Фібоначчі! 2

122

12

nnn FFF . (13.15)

Порівнюючи формули (13.6, 13.8, 13.9, 13.10, 13.15), не можна не

прийти в захват і зрозуміти захоплення багатьох видатних математиків ХХ

століття. Саме у цих формулах вони побачили деяку «математичну таємни-

цю Природи», і це надихнуло їх присвятити свій математичний талант на

дослідження цього унікального математичного феномена!

13.9. Зв'язок чисел Фібоначчі із Золотою пропорцією

Розглянемо відношення сусідніх чисел Фібоначчі у вигляді такої по-

слідовності:

....,2134,

1321,

813,

58,

35,

23,

12,1

1 (13.16)

12...2

322

21 nFnFnFFFF

353

Розглянемо значення відношень цих послідовностей:

....;619,12134;61538,1

1321;625,1

813,6.1

58...;66,1

35;5,1

23;2

12;11

1

До чого прагнуть значення відношень цих послідовностей

,1nF

nF

якщо індекс n прямуватиме до нескінченності? Щоб відповісти на це пи-

тання дуже зручно розглянути ще раз представлення золотої пропорції у

вигляді безперервного ланцюгового дробу. Покажемо, як послідовність

(13.16) безпосередньо пов'язана із золотою пропорцією. Дійсно, дроби

(13.16) є послідовними наближеннями безперервного дробу, а саме:

);(111 наближенняперше

);(111

12 наближеннядруге

);(

111

1123 наближеннятретє

).(

111

11

1135 наближеннячетверте

Продовжуючи цей процес нескінченості, отримаємо:

351

1lim

nFnF

n (13.17)

Результат, що задається виразом (13.17), є для нас в деякому розу-

мінні ключовим, оскільки він підкреслює глибокий зв'язок чисел Фібоначчі

із золотою пропорцією. Це говорить про те, що числа Фібоначчі, як і золота

пропорція, виражають математичну гармонію! Результат, що задається ви-

разом (13.17) є для нас в деякому сенсі ключовим, тому що він підкреслює

глибокий зв'язок чисел Фібоначчі із золотою пропорцією. Це говорить про

354

те, що числа Фібоначчі, як і золота пропорція, висловлюють математичну

гармонію!

Вважається, що першим, хто встановив зв'язок чисел Фібоначчі з зо-

лотою пропорцією, був знаменитий астроном і математик Іоганн Кеплер.

Перевір собе і збудуй вирази ланцюгових дробів для таких відношень:

13.10. «Залізна таблиця» Штейнхауза

Відомий польський математик Гуго Діонісії Штейнгауз (1987– 1972)

побудував таблицю випадкових чисел, використовуючи золоту пропорцію.

Для цієї мети він помножив 10 000 від 1 до 10 000 на число ω=Ф -1=0,618...,

де Ф – золота пропорція. Він отримав послідовність чисел, помножених на

ω, тобто:

1ω, 2ω, 3ω, …, 4181ω,…, 6765ω, …, 10 000ω.

Штейнгауз назвав цю числову послідовність «золотими числами».

Кожне з цих чисел містить цілу і дробову частину. Наприклад, «золоте чис-

ло» 100 ω = 61,803398 має цілу частина 61 і дробову частину 0,803398, а

число 4181ω = 2584,0001. Окрім цього, він встановив, що не існує «золотих

чисел» з дробовою частиною рівної нулю, а також не існує двох «золотих

чисел» з рівними дробовими частинами. Таким чином, кожне «золоте чис-

ло» має єдину унікальну дробову частину. Якщо упорядкувати всі «золоті

числа» відповідно до їх дробових частин, то побачимо, що найменшу дробо-

ву частину матиме число 4181, а найбільшу – число 6765. Якщо упорядкува-

ти всі «золоті числа» відповідно до їх дробових частин, то побачимо, що

найменшу дробову частину буде мати число 4181, а найбільшу – число 6765.

Якщо розташувати 10 000 натуральних числа в порядку зростання їх дробо-

вих частин, то отримаємо наступну таблицю натуральних чисел:

355

4181 8362 1597 5778 9959

3194 7365 0610 4791 8972

………………………………….

8739 1974 6155 3571 7752

0987 5168 9349 2584 6765.

Штейнгауз назвав цю таблицю «залізною таблицею», враховуючи її

унікальні властивості. «Залізна таблиця» має глибокий зв'язок з числами

Фібоначчі.

Одна з унікальних властивостей «залізної таблиці» полягає в тому,

що різниця між сусідніми числами таблиці завжди рівна одному з чисел:

4181, 6765 і 2584. Перевіримо цю властивість на декількох прикладах:

8362 – 4181 = 4181; 8361 – 1597 = 6765 і т. ін.

Числа 2584, 4181 і 6765 можна визначити у ряді чисел Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, 144, 233, 377, 610, 897, 1597, 2584, 4181,

6765 .

Таким чином, характерні числа «залізної таблиці» 2584, 4181, 6765

відповідно рівні сусіднім числам Фібоначчі, а саме:

676520;418119;258418 FFF

Наслідком є те, що «залізна таблиця» може бути побудована для до-

вільної кількості N натуральних чисел. У книзі «Енергетично-геометричний

код природи» Ян Гржеджельський (1986) проаналізував «залізні таблиці»

для випадків N = Fn, где Fn – числа Фібоначчі. При цьому він відкрив зако-

номірність, яка виникає при переході від «залізної таблиці» з N = Fn-1 . до

наступної «Залізною таблиці» з кодом N = Fn. При цьому «залізна таблиця»,

відповідна N = Fn як би «розсунється» порівняно з попередньою «залізною

таблицею», відповідною N = Fn-1, створюючи строго певні позиції в новій

«залізній таблиці» для чисел Fn-1+1, Fn-1+2,…, Fn-1, Fn. На думку Яна Грже-

356

джельського, метод конструювання «залізної таблиці» «нагадує функціону-

вання всіх спектрів випромінювання в природі».

Спробуй свої сили і сконструюй нову «залізну таблицю».

13.11. Досконалі числа

Що таке досконале число? Як відомо, піфагорійська теорія чисел но-

сила якісний характер. Числам вони приписували деякі незвичайні власти-

вості. В цьому відношенні для них великий інтерес лежав в області доскона-

лих чисел. Одним з простих прикладів досконалого числа вважається цифра

6, яка дорівнює сумі своїх дільників: 1, 2, 3, тобто 6 = 1 + 2 + 3. Окрім цифри

6 піфагорійці знали ще два досконалі числа: 28 і 496:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

У «Арифметиці» Нікомаха з Геразі (I століття н.е.) наведене ще одне

«досконале» число: 8128. Нікомаха писав: «Досконалі числа красиві. Серед

одиниць їх всього одне, так само серед десятків, сотень і тисяч».

Доведено, що досконалих чисел у перших 10 000 натурального ряду

є всього чотири: 6, 28, 496, 8128.

Пошук досконалих чисел став захоплюючим заняттям для математи-

ків. П'яте досконале число 212×(213 – 1) було знайдене в ХV столітті німець-

ким математиком Региомонтаном. У ХVI столітті німецький ученный Шей-

бель знайшов ще два досконалі числа: число 8 589 869 056 і число

137 438 691 328. У 1644 році французький математик М. Мерсенн знайшов

восьме досконале число. У 1644 році французький математик М. Мерсенн

знайшов восьме досконале число. Франсуа Едуард Анатоль Люка (1842 –

1891) дав критерій для визначення того, простим або складеним є число

Мерсенна Мр = 2р – 1. Застосовуючи свій метод, він встановив, що число

Мерсенна М127 = 2127 – 1 є простим числом. Люка знайшов 12-не досконале

число.

357

В даний час дослідження в області знаходження досконалих чисел

відбуваються за допомогою комп'ютерів. Так 18-не досконале число 23216×

×(23217 – 1), знайдене за допомогою моделювання на комп'ютері, має 2000

десяткових цифр.

13.12. Числа Люка

Люка вперше ввів назву числа Фібоначчі і узагальнені числа Фібо-

наччі, що описуються такою рекурентною формулою:

Fn = Fn-1 + Fn-2. (13.18)

Рекурентна формула (13.18) породжує нескінченну кількість чисел

послідовності (залежно від початкових умов), подібних до класичних чисел

Фібоначчі (13.4).

Найбільші застосування, що породжуються формулою (13.18), отри-

мали числа Фібоначчі (13.4) і числа Люка Ln, які задаються рекурентними

співвідношеннями (13.19):

Ln = Ln-1 + Ln-2 (13.19)

при наступних початкових значеннях:

L1 = 1 і Ln = 3. (13.20)

Використовуючи початкові умови (13.20) і рекурентну формулу

(13.19), можна обчислити числову послідовність чисел Люка:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, … (13.21)

Можна вивести багато чудових властивостей чисел Люка, подібних

властивостям чисел Фібоначчі. Наведемо деякі з них:

L1+ L2+ …+ Ln = Ln+2 – 3;

L1+ L3+ L5+ …+ L2n-1 = L2n – 2;

L2+ L4+ L6+ …+ L2n = L2n+1 – 1;

;2122

221 ... nLnLnLLL

358

;12521

2 nLnLnL

.2

51

1lim

ФLL

n

n

n (13.22–13.27)

13.13. Розширені числа Фібоначчі і Люка

У розглянутих числах Фібоначчі Fn і Люка Ln індекси малися на ува-

зі натуральними числами, в яких n = 1, 2, 3, .Але з’ясувалося, що ці індекси

можуть бути розширені у бік від’ємних значень індексів, коли n = -1, -2,

-3,…..

Розширені числа Фібоначчі Fn і Люка Ln представлені в таблиці

13.1. У цій таблиці наочно показано, що при додатних значеннях індексів

значення самих чисел Фібоначчі і Люка завжди додатні. При від’ємних

значеннях індексів чисел Фібоначчі, коли вони парні, значення чисел Фі-

боначчі завжди від’ємні , а у випадках чисел Люка при від’ємних значен-

нях індексів, коли індекси непарні, значення чисел Люка теж завжди

від’ємні .

Таблиця 13.1 Розширені числа Фібоначчі і Люка

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nF 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 nF 0 1 -1 2 -3 5 8- 13 -21 34 -55

Ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 L-n 2 -1 3 -4 7 -11 18 -29 47 -76 123

Досліджуючи табл. 13.1, можна встановити дивно прості математич-

ні правила, що зв'язують числа Люка і Фібоначчі:

,11 nFnFnL (13.28)

359

де n приймає такі значення: ...,3,2,1,0 Наприклад: число nL при ін-

дексі рівному 5 дорівнює 11 і сума чисел 115311 nFnF теж дорів-

нює 11, що підтверджує правило (13.28).

Продовжуючи дослідження табл. 13.1 знаходимо інші цікаві співвід-

ношення чисел Фібоначчі і Люка:

,12 nFnFnL (13.29) .12 nFnFnL (13.30)

Розгляньте табл. 13.1 із застосуванням формул (13.29) і (13.30) само-

стійно.

ВИСНОВОК

У розділі 13 розглянуті теми золотих геометричних фігур: золотий

прямокутник і його властивості, золотий рівнобедрений трикутник, золо-

тий прямокутний трикутник, золотий еліпс, золота чаша, які тісно пов'язані

із золотим перетином. Окрім цього розглянуті числа Фібоначчі і їх зв'язок

із золотою пропорцією, «залізна таблиця» Штейнхауза, досконалі числа,

числа Люка і їх взаємозв'язок з числами Фібоначчі.

360

РОЗДІЛ 14

ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ

14.1. Уявлення стародавніх про створення Всесвіту

Стародавні єгиптяни, входивши в темну кімнату, могли визначити

чи є там що-небудь. Бувають сліпі люди, які також демонструють такі зді-

бності. Насправді у нас всіх є шість чутливих променів, витікаючих з

центру нашої голови (шишковидної залози). Ці промені направлені з одно-

го центру ліворуч і праворуч, вгору і вниз, вперед і назад. Це ті ж напрями,

що і у осей x-y-z в геометрії. Єгиптяни вважали, що це природжений аспект

свідомості, який дозволяє почати творіння. Вони вважали, що без такої

здатності створення світу ніколи б не відбулося. Як це вам?

Темний фон на рис. 14.1 символізує Великий

Порожній Всесвіт, а маленьке око є Божій дух. Отже,

Дух Божій, що знаходиться в Порожнечі, з’явився

сам.

Уявіть собі, що це єдине Око вистрілює дух

свідомості в порожнечі на однакову відстань у всіх

шести напрямах, позначаючи простір: північ, південь,

схід, захід, верх і низ (рис. 14.2).

Можливо, тому американські індійці і абори-

генні народи всього світу вважають такими важливи-

ми ці шість напрямів. Це також має важливе значення

в Кабалі, в деяких медитаціях, які проводять кабаліс-

ти.

Рис. 14.1

Рис. 14.2

361

У школах містерії Єгипту учні проектували

шість променів з однієї крапки в шести напрямах

(мал. 14.2) і сполучали їх кінці один з одним, утво-

рюючи октаедр навколо духу (центральної крапки)

(рис. 14.3). Октаедр, створений у такий спосіб, має

три осі: спереду - назад, зліва - направо, зверху -

вниз. Обертаючи октаедр навколо однієї з осей, во-

ни отримували контур досконалої форми, який був

сферою кулі (рис. 14.4). Всі, хто займається сакральною геометрією, умо-

вилися вважати, що пряма лінія – чоловіча, а будь-яка зігнута лінія – жіно-

ча. Таким чином, однією з самих чоловічих форм є куб, а одній з самих жі-

ночих – круг або сфера. Оскільки октаедр, спроектований «духом», склада-

ється тільки з прямих ліній, то це чоловіча форма; а оскільки сфера склада-

ється тільки із зігнутих ліній, це жіноча форма.

Ця ж історія знайшла своє віддзеркалення і

в Біблії, де спочатку створений Адам, а потім з

Адамова ребра була створена жінка.

Сакральна геометрія почалася, коли дух

провів першу проекцію в Порожнечі і створив

навколо себе перший октаедр. Порожнеча не-

скінченна, нічого в ній немає, і ці створені форми

– теж ніщо. Це просто уявні лінії, створені зі сві-

домості. Це дає вам вказівку на те, що є Реальність – ніщо. Індуси назива-

ють Реальність майей, що означає «ілюзія».

Дух спочатку довго перебував в середині свого першого творіння

(рис. 14.4). Надалі він ухвалює рішення: що робити далі. Щоб відтворити

цей процес, учні школи містерії отримували вказівки відтворити ті ж дії,

які виконував дух.

Рис. 14.4

Рис. 14.3

362

14.2. Продовження створення Всесвіту або квітки Життя

Вказівка для учнів полягала в тому, щоб рухатися до тільки що ство-

реної сфери, а потім спроектувати іншу сферу, таку саму, як перша. Це аб-

солютно безпомилковий спосіб створення Реальності.

Оскільки нічого не існує в Порожнечі, окрім цієї сферичної бульба-

шки, усередині якої теж, що і зовні, то єдино новою в цій системі є сама

мембрана, тобто поверхня сфери. Отже, свідомість вирішує рухатися до

будь-якої точки поверхні сфери і там створити таку ж нову сферу.

Коли створена друга сфера, то з погляду сакральної геометрії ство-

рено щось абсолютно особливе: Риб'ячий Міхур (vesica piscis) на перетині

двох однакових сфер (рис. 14.5). Ви коли-небудь бачили дві мильні буль-

башки разом? Коли вони перетинаються, то лінія їх перетину – це коло

(рис. 14.6). Якщо подивитися на дві бульбашки прямо (або збоку), то лінія

перетину виглядає як відрізок прямої лінії (рис. 14.5), а якщо подивитися

на них зверху, то видно коло усередині сфер (рис. 14.6). Створення такої

структури символізує життя. От чому Бог сказав: «Та буде світло». Він не

міг так би мовити до тих пір, поки не спроектував другу сферу і не зробив

Риб'ячий Міхур.

Рис. 14.5

Рис. 14.6

363

Коли дух знаходиться в центрі другої сфери і дивиться вниз, то він

бачить знов освітлений круг. Цей круг те єдине, що є новим, а інструкція у

духа – йти до того, що створене знов. Дух рухається до цього кола і ство-

рює третю сферу, як показано

на рис. 14.7.

Нагадаємо, що перше

творіння створило сферу. Пе-

рший рух (день) привів до

створення Риб'ячого Міхура,

який є основа світла. Другий

рух (день) в результаті взає-

модії трьох сфер створив ос-

новну геометрію зоряного те-

траедра (рис. 14.7), який є од-

ним з важливих для життя

Рис. 14.7

Рис. 14.8

Рис. 14.9

364

форм.

Після створення цієї структури залишається лише одна інструкція

для виконання – завжди рухатися до самої глибинної точки (точкам) кола і

проектувати іншу сферу. Відмітимо, що при кожному русі Творіння вини-

кає великий об’єм знань.

На шостий день Творіння виникає геометричне диво: останнє коло

витворює квітку із шести лепестків в трьомірному зображені (рис. 14.8).

Це те, що малося у вигляді в ранніх версіях Біблії, коли говорилося: «З по-

чатку було шість». У нашій Біблії зараз говориться, що творення було за-

вершено за шість днів. Це геометрична модель узору Творіння. Якщо про-

довжити створення сфер до 18, то отримуємо Квітку Життя (рис. 14.9). Ця

квітка цікаво описана в книзі фізика, члена езотеричного ордену Мельхи-

седеків, що пройшов навчання у 70 духовних вчителів різних традицій

Друнвало Мельхиседек «Давня таємниця Квітки Життя» в двох томах (М.:

ООО Видавництво «Софія», 2007), де він зобразив мало відомі малюнки

знаменитого Леонардо да Вінчі (рис. 14.10) – (рис. 14.11). Квітка Життя

зображена на стінах храмів в Єгипті, що вражає наших сучасників своєю

гармонічністю (рис. 14.12).

Намалюй на робочому столі комп'ютера сам малюнок 14.9.

Для навчання створення малюнків на комп'ютері можна запропону-

вати зображення Квітки Життя (рис. 14.9). Для допитливих необхідно при

створенні об'єкту з декількох кругів користуватися операцією угрупування,

назва якого знаходиться при натисненні на панелі малювання кнопки Ма-

лювання. Для того, щоб зображення одного круга не накривало зображен-

ня іншого круга можна використовувати у вікні Формат об'єкту на закла-

дці Кольору і лінії операцію прозорість.

365

Рис. 14.10 Рис. 14.11

Рис. 14.12

366

14.3. Правильні багатокутники і багатогранники

Інтерес до правильних багатокутників і багатогранників переслідує

нас впродовж всієї нашої свідомої діяльності. Так, наприклад, дворічна ди-

тина грається кубиками, молода людина вибирає багатогранний камінчик в

обручці для коханої, учений досліджує багатогранні кристали, а опис цих

фігур хвилює зрілого математика.

Що ж таке багатокутник і багатогранник? Геометрія, розглядаючи

двовимірні і тривимірні фігури, визначає багатокутники і багатогранники

так:

багатокутник – це двовимірна (плоска) фігура, яка безліччю

відрізань (не менше три) обмежує частину площини;

багатогранник – це тривимірна фігура, яка безліччю багато-

кутників, названими гранями, обмежує тривимірний простір.

Ідеальними або правильними багатокутниками є фігури на площині

з рівними сторонами і кутами. Простим правильним багатокутником є рів-

нобічний трикутник, який має три рівні сторони і

кути по 60о (рис. 14.13).

Правильними плоскими фігурами також є

(рис. 14.14): квадрат (чотири сторони), пентагон

(п'ять сторін), гексагон (шість сторін), октагон (ві-

сім сторін), декагон (десять сторін) і так далі.

квадрат пента-

гон

октагон

гексагон

Рис. 14.14

60о

Рис. 14.13

367

Теоретично немає обмежень на число сторін правильного багатоку-

тника. Їх число нескінченне!

Правильним називається такий багатогранник, у якого всі грані пра-

вильні багатокутники рівні між собою. Скільки ж існує правильних много-

гранників? На перший погляд їх нескінченна кількість. Але це не так!

У «Початках» Евкліда приведено строга доведення, що існують тіль-

ки п'ять опуклих правильних багатогранників, гранями яких є тільки три

типи правильних багатокутників: трикутники, квадрати і пентагони. Ці

багатогранники прийнято називати платоновими тілами, названими так на

честь старогрецького філософа Платона (427–347 до н. е.), який викорис-

товував правильні многогранники в своїй космології.

Розглянемо правильний багатогранник, гранями якого є рівносто-

ронні трикутники (рис. 14.15, а) В тетраедрі три рівносторонні трикутники

зустрічаються в одній вершині, а четвертий рівносторонній трикутник

утворює підставу цієї піраміди. Тетраедр має найменше число граней серед

платоновых тіл і є тривимірним аналогом плоского правильного трикутни-

ка, який має найменше число сторін серед правильних багатокутників.

Друге тіло чотирма гранями правильних трикутників створює піра-

міду, основою якої є квадрат. Така піраміда називається октаедром (рис.

14.15, в). Якщо з’єднати два октаедра своїми основами, то створюється

симетричне тіло з вісьма трикутними гранями.

Третє тіло сполучає в одній крапці п'ять правильних трикутників і

утворює фігуру з 20 гранями. Тіло з 20 трикутними гранями називається

ікосаедр (рис. 14.15, г).

Четвертим тілом є куб з шістьма квадратними гранями. Така фігура

називається кубом або гексаедром (рис.14.15, б).

Існує ще одна можливість побудови п'ятого тіла, грані якого є пра-

вильним багатокутником – пентагон. Якщо з'єднати 12 пентагонов так,

368

щоб в кожній крапці зустрічалися вершини трьох пентагонів, то вийде ще

одне платоново тіло, зване додекаедром (рис. 14.15, д).

Наступним правильним багатокутником є

шестикутник (гексагон). Якщо з'єднати три ше-

стикутники в одній крапці, то отримаємо поверх-

ню (рис. 14.16). Ця фігура нагадує бджолині со-

ти.

Будь-які інші правильні багатокутники з

числом сторін більше шести не дозволяють по-

будувати об'ємну фігуру. З цих міркувань виті-

кає, що існують тільки п'ять правильних многогранників, гранями яких

Рис. 14.15

Рис. 14.16

369

можуть бути тільки рівносторонні трикутники, квадрати і п'ятикутники

(пентагони).

14.4. Сакральна геометрія і Платонови тіла. Куб Метатрона

Зверніть увагу, що в структурі Квітка

життя (рис. 14.9) є множина нескінчена кіл,

які теж можуть бути сферами. якщо закінчити

усі кола, то отримуємо фігуру з завершеними

незакінченими колами (рис. 14. 17). Додаткові

кола (сфери), що виходять за межи узору Кві-

тка життя всередині великого кільця на рис.

14.17, закінчують усі неповні кола в межах ці-

єї геометричної моделі. У цьому узорі виділи-

мо тринадцать кругів, в які включи ще

центральне коло, і отримуємо одну із самих священних, самих сакральних

форм (рис. 14.18). На Землі він називається Плодом Життя, так як виникає

із Квітки Життя та із нього була стоворена матерія перших цеглинок Реа-

льності.

У цій моделі тільки жіночі форми – кру-

ги. Є тринадцять напрямів, по яких можна

провести прямі лінії – чоловічі форми.

Кожна система дає широкий і різномані-

тний масив знань. Простіша система створю-

ється простим з’єднанням усіх центрів кіл в

узорі Плоду Життя прямими лініями

(рис.14.19). Така фігура, яка створилася в ре-

зультаті з’єднання усіх центрів узору Плода

Рис. 14.17

Рис. 14.18

370

Життя, відома як куб Метатрона. Це одна із головних моделей Творіння

всього сущого, так як із нього можна отримати п’ять Платонових тіл.

Для розвитку абстрактного мислення

доцільно самим накреслити Плід Життя

(рис. 14.15) не менше п'яти разів і в кожному з

них окремо накреслити всі п'ять Платонових

тіл, які зображені в кубі Метатрону (рис.

14.19). При уважному розгляді вам це вдасть-

ся. Бажаю успіху! Отримавши п'ять Платоно-

вих тіл, ви отримаєте дійсну насолоду.

Куб відрізняється від інших Платонових

тіл, окрім сфери, однією особливістю. Куб, як сфера, може абсолютно

вміщати в себе чотири інших Платонових тіла і один одного симетричним

способом, охоплюючи їх своєю поверхнею, якщо тіла мають відповідний

розмір. Куб – це єдине Платонове тіло з цією характерною особливістю.

Можна узяти сферу, помістити її всередину куба так, щоб вона торкалася

своєю оболонкою шести граней точно і симетрично. Тетраедр рухаючись

уздовж однієї з осей і стане діагоналями куба, вписавшись в нього точно і

симетрично. Октаедр є «двійником» куба. Якщо з'єднати центри суміжних

Рис. 14.19

Рис. 14.20 Рис. 14.21

371

граней куба, то вийде октаедр. Спробуйте! Це не складно.

Два останніх Платонових тіла теж вписуються симетрично в куб або

в сферу. Це можна наочно побачити на рис.14.20, на якому в куб вписаний

ікосаедр, а на рис. 14.21 – додекаедр. В сакральній геометрії важливо, що

такою властивістю володіють тільки куб и сфера. Куб рахується батьком,

що має саму головну чоловічу форму, а сфера – це мати, що має саму голо-

вну жіночу форму.

14.5. Числові характеристики Платонових тіл

Основними числовими характеристиками Платонових тіл є число

сторін граней m, число граней, що сходяться в кожній вершині n, число

граней Г, число вершин В, число ребер Р і число плоских кутів У на повер-

хні многогранника. Ейлер (1707–1783) відкрив і довів знамениту формулу:

У – Р + Г = 2,

що зв'язує числа вершин, ребер і граней будь-якого випуклого багатогран-

ника. Числові характеристики Платонових тіл, вказані раніше, приведені в

табл. 14.1.

Таблиця 14.1

Числові характеристики платоновых тіл Багато- гранник

Число сторін грані т

Число граней що сходяться у вершині п

Число граней Г

Число вершин У

Число ребер Р

Число плоских кутів на поверхні У

Тетраедр 3 3 4 4 6 12 Гексаедр (куб) 4 3 6 8 12 24 Октаедр 3 4 8 6 12 24 Ікосаедр 3 5 20 12 30 60 Додекаедр 5 3 12 20 30 60

Для переконливості перевір числові дані табл. 14.1

372

14.6. Золота пропорція в додекаедрі і ікосаедрі

Додекаедр і подвійний йому ікосаедр (рис. 14.15) займають особливе

місце серед Платонових тіл. Необхідно відзначити, що в їх побудовах зу-

стрічається пентагон, який пов'язаний із золотою пропорцією і розгляну-

тий в параграфі 12.3 (рис. 12.2). Дійсно, гранями додекаедра (рис. 14.15, д)

є правильні п'ятикутники (пентагони), засновані на золотій пропорції. Роз-

глядаючи ікосаедр (рис. 14.15, г), видно, що до його вершини підходять

п'ять рівносторонніх трикутників, які своїми основами утворюють прави-

льний п'ятикутник (пентагон). Вже цих фактів досить, щоб переконатися в

тому, що золота пропорція грає істотну роль в конструкції цих двох Пла-

тонових тіл.

Відомо, що ці тіла мають три специфічні сфери. Перша (внутрішня)

сфера вписана в тіло і дотикається його граней. Позначимо радіус цієї сфе-

ри через Rl. Друга, або середня сфера дотикається її ребер. Позначимо ра-

діус цієї сфери через Rт. Третя (зовнішня) сфера описана навколо тіла і

проходить через його вершини. Позначимо радіус цієї сфери через Rс. У

геометрії є цікавий доказ, що радіуси вказаних сфер для додекаедра і іко-

саедра, що має ребро одиничної довжини, виражається через золоту про-

порцію Ф (табл. 14.2).

Таблиця 14.2

Золота пропорція в сферах додекаедра і ікосаедра

Багатогранники Rс Rт Rl

Ікосаедр 321

21

32

2

Додекаедр 2

3 22

32

2

373

Відзначимо, що відношення радіусів

)3(3

lRcR однакове як для

додекаедра, так для і ікосаедра. Доказ того, що якщо додекаедр і ікосаедр

мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою.

Доказ цього математичного результату описаний в «Початках» Евкліда. У

геометрії існують і інші співвідношення для додекаедра і ікосаедра, під-

тверджуючі зв'язок їх із золотою пропорцією. Так, наприклад, якщо узяти

додекаедр і ікосаедр з довжиною ребра, рівній одиниці, і обчислити їх зов-

нішню площу і об'єм, то вони виражаються через золоту пропорцію (табл.

14.3).

Таблиця 14.3

Золота пропорція в зовнішній площі і і об'ємі

додекаедра і ікосаедра

Параметри Ікосаедр Додекаедр

Зовнішня площа 35

3

15

Об'єм 6

55 )3(2

35

Існує величезна кількість співвідношень, отриманих ще античними

математиками, підтверджуючих чудовий факт, що саме золота пропорція є

головною пропорцією додекаедра і ікосаедра, і цей факт є особливо ціка-

вим з погляду концепції стародавніх про пристрій Всесвіту.

Чотири многогранники втілювали чотири суті, або стихії. У концеп-

ції космології Платона тетраедр символізував Вогонь, тому що його вер-

шина спрямована вгору; ікосаедр – Воду, тому що він самий «обтічний»

багатогранник; куб – Землю, як «найстійкіший» багатогранник; додекаедр

утілював в собі все суще, «уселенський розум», символізував весь всесвіт і

вважався головною геометричною фігурою всесвіту.

374

Гармонійні відносини стародавні греки вважали основою всесвіту.

Чотири стихії у них були зв'язані такою пропорцією:

земля : вода = повітря : вогонь

Ці елементи в перебігу багатьох століть залишалися чотирма голо-

вними каменями всесвіту людей. Цілком можливо їх ототожнити з сучас-

ними представленнями станів речовини: твердим, рідким, газоподібним і

плазмовим

Таким чином, Платонові тіла в розумінні стародавніх греків утілю-

вали уявлення про «крізну» гармонію буття. Як висловився нобелівський

лауреат Гарольд Крото: «Хоча на перший погляд така філософія (старода-

вніх греків) може показатися декілька наївною, але вона указує на глибоке

розуміння того, яким чином насправді функціонує Природа.

Виконайте геометричні завдання. Завдання 1 Дано коло, в яке вписаний квадрат, а в квадрат

вписано нове коло. Визначити співвідношення площі S1

більшого круга по відношенню до площі S2 меншого

круга. Виконати малюнок (мал. 14.22), а потім довести

необхідне співвідношення.

Відповідь:

S1 : S2 =2

Завдання 2 Даний квадрат, в який вписаний круг, а в круг

вписаний новий квадрат. Визначити співвідношення

площі S1 більшого квадрата по відношенню до площі S2

меншого квадрата. Виконати малюнок (рис. 14.23), а по-

тім довести необхідне співвідношення.

Відповідь:

S1 : S2 =2

Рис. 14.22

Рис.14.23

375

14.7. Сніжинки і Архімедові тіла Теорія багатогранників, зокрема випуклих багатогранників, – один з

найбільш захоплюючих глав геометрії.

Великий внесок у розвиток теорії багатогранників вніс Іоганн Кеп-

лер (1571-1630). Свого часу він написав

етюд «Про Сніжинки», які представлені в

шестикутнику (пентагоні) різноманітни-

ми формами сніжинок. Кристалізована

вода, або лід, утворюють ці шестикутні

фігури чудової гармонії і краси, які ми

називаємо сніжинки (рис. 14.24).

Кеплер першим опублікував по-

вний список тринадцяти Архімедових тіл

в книзі «Світова гармонія» (Harmonice

Mundi) і дав їм ті назви, під якими вони

відомі і понині.

У архімедових або напівправиль-

них багатогранників кути рівні і всі грані – правильні багатокутники. Безліч

архімедових тіл можна розбити на кілька груп. Перша з них складається з

п'яти Платонових тіл, які утворені в результаті відсікання вершин. Відсічен-

ня зроблено таким чином, щоб отримані нові грані і решта старих представ-

ляли собою правильні багатокутники. Наприклад, тетраедр (рис. 14.25, а)

можна відсікти так, що його чотири трикутні грані перетворяться в чотири

шестикутника (гексагон), а відсічені вершини піраміди в чотири трикутни-

ки.

Отримані після зрізання (відсічення) п'яти архімедових тіл представ-

лені на рис. 14.25 таким чином: відсічений тетраедр (рис. 14.25, а), відсіче-

ний гексаедр (куб) (рис. 14.25, б), відсічений октаедр (рис. 14.25, в), відсіче-

ний додекаедр (рис. 14.25, г), відсічений ікосаедр ( рис. 14.25, д).

Рис. 14.24

376

Розглянемо конструювання з платонова ікосаедра архімедова відсі-

ченого ікосаедра. Відповідь ілюструється за допомогою рис. 14.26.

Як видно з табл. 14.1, в будь-який з 12 вершин ікосаедра сходяться

п'ять граней. У кожної з вершин треба відсікти 12 частин ікосаедра площи-

ною так, щоб утворилося 12 нових п'ятикутний граней. Разом з вже наявни-

ми 20 гранями, що перетворилися після такого відсікання з трикутних гра-

ней в шестикутні, вони складуть 32 грані відсіченого ікосаедра. При цьому

ребер буде 90, а вершин 60.

Іншу групу архімедових тіл складають два тіла, що називаються ква-

зіправильними багатогранниками. Частка «квазі» підкреслює, що грані цих

Рис. 14.25

Рис. 14.26

377

багатокутників складаються тільки з двох типів правильних багатокутників.

Ці два тіла зображені на рис. 14.27. 14.27. Вони називаються кубооктаедр

(рис. 14.27, а) і ікосододекаедр (рис. 14.27, б).

Два наступних архімедових тіла представлені на рис 14.28. – ромбо-

кубооктаедр (рис. 14.28, а) і ромбоікосододекаедр (рис. 14.28, б).

Рис. 14.27

Рис. 14.28

378

Існують ще два так звані «кирпоносі» модифікації представлені на

рис. 14.29 – для куба (кирпатий куб) (рис. 14.29, а), а інша для додекаедр

(кирпатий додекаедр) (рис. 14.29, б).

Рис. 14.29

Рис. 14.30

379

Кеплер першим почав вивчати зірчасті багатогранники, які є прави-

льними випуклими багатогранниками. Французький математик і механік

Л. Пуансо (1777-1859) відкрив існування ще двох видів правильних опуклих

багатогранників. Завдяки роботам Кеплера і Пуансо стали відомі чотири

типи таких фігур (рис. 14.30).

Широкий прояв правильних багатогранників в природних структу-

рах послужило причиною величезного інтересу до цього розділу геометрії в

сучасній науці.

ВИСНОВКИ

Уявлення про древніх, Платонові тіла, дали розвиток про світобудо-

ву, яке використовується і в даний час. Цей історичний матеріал дуже ціка-

вий юним дослідникам.

380

РОЗДІЛ 15

СПІРАЛЬ АРХІМЕДА

15.1. Співвідношення Місяця і Землі

Малюнок Леонардо да

Вінчі (рис. 15.1), досить ціка-

вий тим, що він відображає

пропорцію Ф при його дослі-

дженні. Зверніть увагу, що ро-

зміри двох затемнених кіл, які

можна представити як дві

сфери, «випадково» мають та-

кі ж пропорції як Місяць і

Земля. Крім того, не тільки

сфери на цьому малюнку во-

лодіють такими ж відносними

розмірами, як Земля і Місяць,

квадрат, який описав би Зем-

лю, і коло, яке б послалося до центру Місяця, стикається вона з Землею, теж

би мали пропорцію Ф. Це переконливо доводить співвідношення розмірів

Землі і Місяця.

Для доказу спочатку нам треба знати діаметр Землі, рівний стороні

описаного її квадрата, подібний до того, в який вписано людське тіло на

рис. 15.1. Обчислимо, скільки кілометрів буде потрібно, щоб обійти Землю

по квадрату. Для цього треба помножити діаметр Землі на 4. Потім слід діз-

натися, скільки кілометрів доведеться йти по колу що тягнеться до центру

Місяця, якби Місяць стикався з Землею.

Рис. 15.1

381

Середній діаметр Землі 12750 км (7920 миль), середній діаметр Мі-

сяця 3477 км (2160 миль). Периметр квадрата, який би зміг охопити Землю,

дорівнює діаметру Землі помноженому на 4, тобто 51000 км (31680 миль).

Для обчислення довжини кола, що тягнеться до центру Місяця, необхідно

знати радіус Землі і радіус Місяця (як верхньої, так і нижньої фігур рис.

15.1). Визначимо суму діаметрів Землі і Місяця, помножену на число π. Як-

що ці числа будуть рівні або дуже близькі, то шукане буде доведено. Дов-

жина кола дорівнює діаметру Землі 12750 км (7920 миль) плюс діаметр Мі-

сяця 3477 км (2160 миль), що дорівнює 16227 км (10080 миль). Помножимо

це число на π і отримаємо 50979 км (31667 миль). Різниця всього в 21 км

(13 миль)! Враховуючи, що на екваторі океан на 43 км (27 миль) вище, ніж

де небудь ще (океан витягнутий у 27-мильний гребінь), 21 км (13миль) в

цьому випадку нічого не значать. Однак, якщо ви помножите 16227 км

(10080 миль) на 22/7 (це число часто застосовується при розрахунках як най-

більш близьке до π), то отримаємо точно таке ж число, як і периметр квадра-

та – майже 51000 км (31680 миль)!

Розглянемо розрахунки для Землі і Місяця:

7920 × 4 = 31680

D =7920 + 2160 = 10080

10080 × π = 31667

Таким чином, розмір Землі гармонійний (у пропорції Ф) з розміром

Місяця, і ці пропорції знайдені в пропорціях людського тіла і навіть в само-

му Яйці Життя.

Що це означає? Що людина є мірою Всесвіту? Що ніде і ні в чому

випадковостей не буває? Що можливі розміри тільки визначених планет?

Якщо наші тіла – це міра Всесвіту, то чи означає це, що десь усередині нас

міститися розміри всіх можливих планет? Десь в нас є розміри всіх сонць?

А?! Як вам подобається ця гіпотеза?

382

15.2. Зачаття життя і його геометрія

Геометрія п'яти Платонових тіл знаходить вираз у структурах крис-

талів і метолом.

Досліджуючи атомні решітки металів, досить просто знайти геомет-

ричні підстави цих видів молекул. У кристалах це виражено наочніше

(рис. 15.2) – (рис. 15.5).

Рис. 15.2 Рис. 15.3

Рис. 15.4 Рис. 15.5

383

На рис. 15.2 представлений кристал флюориту кубічної форми, на

рис. 15.3 представлений кристал флюориту октаедричні форми, на рис. 15.4

–кристал піриту кубічної форми, а на рис. 15.5 –скупчення п'ятигранних

кристалів піриту у вигляді додекаедра.

Коли ж ви звер-

нули увагу на себе, на

свої геометричні розміри,

то набагато важче про-

стежити, як така геомет-

рія може мати до нас хоч

якесь відношення. На по-

чатку свого життя в матці

матері ми були не чим

іншим, як різноманітни-

ми геометричними фор-

мами (рис. 15.6). Фактич-

но всі форми життя – дерева, рослини, собаки, кішки – мають ті ж самі гео-

метричні структури, які були і в нас, коли ми були мікроскопічно малі.

Кожна відома форма життя починається як сфера. Це найбільша жі-

ноча форма з усіх існуючих форм, яка має глибокий сенс у тому, що жіноча

особина вибирає цю форму для утворення яйцеклітини. Яйцеклітина – це

абсолютно кругла куля. Приклад яйцеклітини можна бачити всередині куря-

чого яйця у вигляді жовтка, якщо його зварити круто. У цьому випадку, жо-

вток завжди має зовсім круглу форму.

Необхідно відзначити, що навколо яйця існує мембрана, яка назива-

ється блискучою оболонкою (рис. 15.7). Можливо, у зв'язку з цим давні

окреслювали саме два кола навколо Квітки Життя. Всередині мембрани є

рідина, а всередині неї, точно як і в курячому яйці, є інша абсолютно кругла

форма, що називається жіночим протоядром, що містить 22 + 1 хромосому –

Рис. 15.6

384

половину хромосом, необхідних для створення людського тіла. Число хро-

мосом змінюється залежно від форми життя.

В даний час відомо, що простір навколо яйцеклітини максимально

насичений сотнями сперматозоїдів, які необхідні для зачаття. З цих сотень

сперматозоїдів тільки від 10 до 12 сперматозоїдів повинні з'єднатися в певну

конфігурацію, що дозволяє одному з них проникнути всередину яйцекліти-

ни (15.8). Це пояснює те, що не випадково Ісус Христос, прийшов на земну

кулю повною людьми і вибрав в учні 12 чоловіків і ні жодної жінки. Ймові-

рно, що за аналогією з учнями Ісуса Христа і необхідно 12 сперматозоїдів,

щоб 13-ий проник в яйцеклітину.

Так чи інакше, але сперматозоїд проникає через блискучу оболонку

за допомогою інших сперматозоїдів, а потім починає рухатися до жіночого

протоядру (рис. 15.9). Перше, що відбувається при цьому, – у сперматозоїда

відпадає хвіст, а його головка збільшується і перетворюється на сферу, яка є

чоловічим протоядром. Ці дві сфери стають однаковими (рис.15.9). Далі ці

сфери входять одна в одну і утворюють Риб'ячий Пузир (рис. 15.10).

Рис. 15.7 Рис. 15.8

Блискуча оболонка

Жіноче протеядро 22 хр. 1 п.хр.

10, 11 або 12 сперматозоїдів на поверхні з’єднаних разом

11-й, 12-й або13-й сперматозоїд проникаючий всередину

385

Чоловіче протоядро продовжує проникати в жіноче до тих пір, поки

вони не стануть єдиним цілим. Так з'являється перша клітина людського

тіла, звана зигота. Практично була організована сфера зигота усередині жі-

ночої сфери протоядра. Цікавим фактом є те, що зигот не змінює своїх роз-

мірів протягом перших дев'яти клітинних поділів. Розмір сфери зигота фік-

сованим, як і розмір зовнішньої оболонки. Людська зигота приблизно в 200

разів більше, ніж середній розмір клітини людини. Коли вона ділиться на-

впіл, він зменшується в розмірі в два рази. Клітини продовжують ділитися за

таким же алгоритмом, зменшуючись в розмірі щоразу вдвічі.

Клітини продовжують так ділитися, поки їх не з'явиться 512=29. До

цього часу досягається середній розмір клітин людини. Коли це відбудеться,

то процес розподілу починає тривати поза межі первісної блискучої оболон-

ки. Клітини діляться в бінарній послідовності - 1, 2, 4, 8, 16 і т.д.

Після запліднення маленькі полярні тільця починають пересуватися

всередині блискучої оболонки. Одне з них йде вниз і стає південним полю-

сом, а друга – північним полюсом. Потім з'являється трубка, що проходить

прямо через центр клітини. Хромосоми розриваються навпіл, оточуючи тру-

Рис. 15.9 Рис. 15.10

Хвіст сперматозоїди

Чоловіче протоядро 22 хр 1 п.хр.

Жіноче протояд-ро 22 хр 1 п.хр.

386

бку уздовж одного боку та іншого. Перші дві клітини ділення яйця миші

показані на рис. 15.11.

Перші чотири клітини утворюють одне з Платонових тіл, – тетраедр,

вершина якого спрямована або до північного полюсу, або до південного

полюсу. Тетраедр утворюється з'єднанням центрів сфер. Геометрія першого

тетраедра представлена на рис. 15.13. Вигляд збоку показаний праворуч, а

вигляд зверху – зліва.

Далі клітини діляться до восьми, утворюючи один тетраедр, спрямо-

ваний догори (північ), і один тетраедр, спрямований донизу (південь). Утво-

рюється зоряний тетраедр. От і вийшло Яйце Життя (рис. 15.12).

Після побудови хромосом з двох сторін трубки, утворюються дві

клітини, по одній з кожного боку трубки, і кожна клітина містить 44 + 2

хромосоми. Наука зараз знаходиться в середині процесу складання карт ко-

жної їх 100000 хромосом ДНК людини. Розібравшись, що представляє со-

бою всі до єдиної хромосоми і що кожна з них робить, то виникне можли-

вість проектувати будь-який вид людських істот, який тільки можна уявити,

Рис. 15.11 Рис. 15.12

ПІВНІЧ

ПІВДЕНЬ

387

створити спочатку будь-яку зовнішність, інтелект або емоції, то є все що

захочемо. Поки що це під силу тільки Богу!

Як у будь-якому проекту-

ванні складних систем можуть ви-

никати помилки. Чи маємо ми право

з вами створювати виродків, амора-

льних людей, бути Богом? У бага-

тьох країнах такий науковий напря-

мок заборонили з релігійних і мора-

льних позицій.

Малюнок 15.14 – це вигляд

під електронним мікроскопом ді-

лення яйцеклітини миші. За межами

первісного тетраедра починає утво-

рюватися крихітна клітина. Четвер-

та вершина тетраедра знаходиться в

центрі великої клітки, що розташо-

вана позаду.

Після чотирьох клітин утво-

рюється вісім, які геометрично утво-

рюють зоряний тетраедр. Вісім клі-

тин утворюють так зване Яйце

Життя (рис. 15.15). Це форма космі-

чного Творіння, як ви пам'ятаєте

(рис. 14.8). Всі до єдиної форми

життя на Землі, а можливо й у Все-

світі, повинні пройти цю стадію

життя. Це один з найважливіших моментів створення тіла. У цей період мо-

жна придбати унікальні якості, які не виникають в інші періоди розвитку

Рис. 15.13

Рис. 15.14

Вид зверху Вид збоку

388

плода. Важливою якістю цих клітин є

їх ідентичність. Учені виявили, що ці

клітини можна поділити на дві части-

ни або навіть на чотири і створити

однакові особи. Ці вісім клітин не

змінюються від початку до кінця ва-

шого життя, хоча життєвий цикл ін-

ших клітин становить п'ять-сім років.

Ці клітини зосереджені в гео-

метричному центрі вашого тіла. Ця

невелика ділянка шкіри знаходиться

між двома нижніми проходами люди-

ни, хоча там немає фізичного отвору.

Насправді там знаходиться енергетич-

ний отвір. Тут починається центральна

трубка, що проходить через все тіло

людини і виходить через маківку голо-

ви (докорінну чакру). Якщо звернути

увагу на новонароджену дитину, то у

нього відбуваються в цих місцях пуль-

сації (в промежини і на верхівці голо-

ви). Це свідчить про правильність ди-

хання дитини. Пульсація у дитини ві-

дображає потоки енергії знизу до верху

і зверху вниз.

На малюнку (рис. 15.16) представлені два види восьми клітин, які

відображають наше зростання радіально по сфері від восьми клітин. На ста-

дії 16 клітин зоряний тетраедр (або куб) знову перетворюється на сферу,

починаючи з 32 клітин. На стадії 512 клітин ми стаємо тором, як Земля і її

Рис. 15.16

Рис. 15.15

ПІВНІЧЬ

ПІВДЕНЬ

389

магнітні полюси, які теж являють собою тор. Все це священні форми, які

походять з першої інформаційної системи Плоду Життя, заснованої на кубі

Метатрон (рис. 14.19), в якому можна виділити п'ять Платонових тіл.

Сучасні математики вважають, що Платонови тіла були відомі 6000

років тому, а археологи вказують, що деякі прекрасні моделі з каменю да-

туються раніше 200000 років тому. Виявляється, давні наші предки знали на

багато більше, ніж ми думаємо про них

Для допитливих, що шукають і пізнають новий світ знань треба ко-

ристуватися простим на перший погляд правилом: «в сакральній геометрії,

як і в житті, коли знаходиться щось неправильне або руйнується ваша ідея,

яку ви намагаєтеся сформулювати, вам варто йти далі і копати глибше , тому

що нерідко в таких випадках ви просто не бачите всієї картини в цілому ».

Світ великий! І осягнути неосяжний великий світ неможливо!

15.3. Спіраль і ряд Фібоначчі

Пропорція Ф, яку асоціюють із золотим перетином, що приблизно

дорівнює 1,6180339. Простежимо, що вийде при діленні кожного члена ряду

Фібоначчі на попереднє число цього ряду. Результати дослідження предста-

вимо в таблиці 15.1.

Таблиця 15.1

Ряд Фібоначчі

Дане число

Попереднє число

Ділення Пропорції

1 1 1/1 1,0

2 1 2/1 2,0

3 2 3/2 1,5

5 3 5/3 1,6666

390

8 5 8/5 1,6000

13 8 13/8 1,625

21 13 21/13 1,615384

34 21 34/21 1,619048

55 34 55/34 1,617647

89 55 89/55 1,618182

144 89 144/89 1,617978

233 144 233/144 1,618056

Як видно з таблиці, що від ділення поточного числа Фібоначчі на

попереднє число результати коливаються біля числа Ф і поступово до нього

наближаються. Спочатку число перше від ділення дорівнює 1, що менше Ф

приблизно на 0,618, потім – так само 2, що більше числа Ф приблизно на

0,392. Наступний результат 1,5 буде менше числа Ф, але різниця скоротити-

ся до 0,118, а потім 1,666 – стане великим, але різниця скоротилася ще мен-

ше до числа 0,0486. Цей процес можна продовжити до нескінченності, на-

ближаючись до значення Ф. Це називається асимптотичним наближенням до

межі. Відношення ніколи не досягає числа Ф, але практично ми з вами не

зможемо відрізнити результати ділення чисел вже після кількох поділів. Це

можна побачити на рис. 15.17.

У чотирьох центральних квадратах, як би розташовані первичниі ві-

сім клітин людського тіла. Вісім темно-сірих клітин навколо центральних –

це ті, звідки починається спіраль. При цьому в сакральної геометрії крива

ставиться до жіночої, а ламана лінія – до чоловічої спіралі Фібоначчі

(ріс. 15.17). Ця спіраль будується по числам Фібоначчі таким чином: пере-

тинаємо один з сірих квадратів по діагоналі і назвемо її одиницею; потім під

кутом 900 проводимо діагональ другого квадрата і отримуємо таку ж довжи-

ну, як одиниця. Користуючись числами Фібоначчі, беремо число 2 і прово-

391

димо під кутом 900 лінію, яка дорівнює сумі двох перших чисел 2. Такий

спосіб будемо використовувати для побудови спіралі з чисел Фібоначчі 1, 1,

2, 3, 5, 8, 13, ...

Стародавні єгиптяни зобразили таку спіраль у Великій Піраміді.

У природі зустрічаються часто гвинтові спіралі. Прикладом може

слугувати раковина молюска (рис. 15.18), вигляд спереду соснової шишки

(рис. 15.19), вигляд зверху соснової шишки (рис. 15.20), зверху головка со-

няшника (рис. 15.21), ананас (рис. 15.22), головка кольорової капусти

(рис. 15.23) і навіть Галактика (рис. 15.24).

Рис. 15.17 Рис. 15.18 Рис. 15.19

392

Як видно – ця властивість утворювати спіралі, що описуються чис-

лами Фібоначчі, які пов'язані із золотою пропорцією Ф, також появляються

в живій Природі. Хіба це не дивно!

Рис. 15.20 Рис. 15.21

Рис. 15. 24

393

Спіраль, що вияв-

ляється в природі, вража-

ло уяву і древніх вчених.

Так, наприклад, Архімед

побудував спіраль, яку

нині називають його

ім'ям (рис. 15.25). Ним

встановлено, що якщо

пряма рівномірно оберта-

ється навколо певної точ-

ки О, а по цій прямій рів-

номірно рухається точ-ка,

то вона описує спіраль.

Для цієї спіралі Архімед

вивів рівняння в полярних координатах, знайшов дотичну в довільній точ-

ці, обчислив площу між двома радіусами і між двома витками. Він описав

також ряд механічних застосувань такої спіралі.

Цікаво, що Архімед спочатку не давав доказів, так як бажав, щоб

«кожен математик мав задоволення самостійно отримати цей результат».

Більш того, він любив спантеличити своїх заздрісників, додаючи деякі неві-

рні твердження, «щоб той хто запевнятиме без доведення, що він все відкрив

сам, попався б в пастку, стверджуючи без підстави, що знайшов те, чого не

можна знайти».

Зараз стає зрозумілим, що пропорція золотого перетину Ф – це при-

хований закон природи.

ВИСНОВКИ

Рис. 15.25

394

Автор сподівається, що матеріал цього розділу і всієї частини «Золо-

тий» перетин буде цікавий читачам, які по спеціальній літературі або Інтер-

нету зможуть поглибити ці знання. Бажаю юним читачам успіхів!

395

ВИСНОВОК

Аналіз сучасних програм математичної освіти в таких країнах, як

США, Канада, Росія та Україна, показує, що прогрес інформаційних техно-

логій до деякої міри «вбиває» елементарне математичне мислення у моло-

дих людей. Деякі з абітурієнтів без калькулятора не можуть виконати прості

елементарні дії, такі як додавання з перенесенням двох чисел. Доходить до

абсурду, коли викладач математики у Вищому навчальному закладі просить

написати два в квадраті, то студент малює квадрат і в ньому малює двійку. У

зв'язку з цим зрозуміло, що з групи в 25 студентів на іспиті з математики

стабільно отримують 20 студентів двійки.

Мабуть, перший крок до реформи шкільної математичної освіти має

відбутися у наскрізному усному рахунку з усіх предметів. Для ліквідації

цього недоліку з усного рахунку в даний час доцільно такий курс вести на

початкових стадіях підготовки студента.

Цікавим розділом, який на жаль не викладається в школах, є розділ

математики, присвячений Золотому перетину

Рамки цього довідника-підручника, присвяченого усному рахунку,

дати повний опис проблем Золотого перетину, знання якого розміщено на

сайті «Академія тринітаризму», було неможливо.

В рамках шкільної освіти можна було дати факультативно фізико-

математичну і естетичну дисципліну, лабораторною базою якої з'явився б

сайт «Музей Гармонії і Золотого перетину», створений Олексієм Стаховим

та Ганною Слученковою (www.goldenmuseum.com) у 2001 році. В даний час

дисципліна про Гармонію і Золотий перетин починає читатися в навчальних

закладах багатьох країн світу.

У висновку автор хоче побажати, щоб ця книга стала настільною

книгою кожної дитини, починаючи з п'яти років. Автор сподівається, що

396

вона принесе велику користь дитині і в майбутньому не дасть йому засумні-

ватися в своїх математичних здібностях.

Примітка.

Тих, хто володіє англійською мовою, хочу відіслати до фундамента-

льної праці А. П. Стахова – книги «The Mathematics of Harmony. From Euclid

to Contemporary Mathematics

and Computer Science» (600 с.,

11 глав).

Ця книга підсумовує

майже 40-річний період дос-

ліджень А.П.Стахова по ство-

ренню «Математики Гармо-

нії» як нового междисциплі-

нарного напрямку сучасної

науки. Розширена анотація

книги опублікована в елект-

ронному журналі

«Visual Mathematics»

http://www.mi.sanu.ac.yu/visma

th/sg/stakhov2008/index.html.

397

ПОКАЖЧИК ДІЯЧІВ НАУКИ В ОБЛАСТІ МАТЕМАТИКИ

АБЕЛЬ Нільс Генрік (1802-1829) – норвезький математик. Нар. поблизу

Ставангера. Навчався в кафедральній школі, а по-

тім в ун-ті Християнин (Осло). За своє коротке

життя А. зробив найважливіше для подальшого

розвитку математики відкриття. Досліджуючи пи-

тання про рішення в радикалах загального рівняння

5-го степеня, він висунув таку загальну ідею: за-

мість того, щоб шукати залежність, саме існування

якої залишається невідомою, слід поставити пи-

тання, чи існує насправді така залежність. Керую-

чись цією ідеєю, він з'ясував причини, внаслідок яких рівняння 2-го, 3-го і

4-го степенів розв’язуватимуться в радикалах. Іншими словами, він пока-

зав, що рівняння з комутативною групою підстановок коренів розв'язують-

ся в радикалах. (Комутативні групи тепер абелеві). А. виявив також ряд ал-

гебраїчних функцій, які не інтегруються за допомогою елементарних фун-

кцій; їх інтегрування приводить до нових трансцендентних функцій. Ці до-

слідження привели А. до створення теорії еліптичних та гіпереліптичних

функцій, у яку він вніс великий внесок незалежно від К. Г. Я . Якобі. А. –

засновник загальної теорії інтегралів алгебраїчних функцій. Інші важливі

праці А. відносяться до теорії рядів. Його ім'я носить теорема відносності

безперервності функцій у всьому крузі збіжності відповідного ряду. Є абе-

леві диференціали, інтеграли, рівняння, функції, ознаки збіжності, різно-

маніття, метод підсумовування та ін

АБУ-ЛЬ-ВЕФА Мухаммед ібн Мохаммед (940-998) - арабський астро-

ном і математик з Хорасана. Коментатор «Арифметики» Діофанта. Відо-

мий своїми роботами по тригонометрії та практичній астрономії. Склав

Нільс Хенрік АБЕЛЬ

398

таблиці синусів, обчислені через кожні 10' з точністю до 60-4, а також таб-

лиці тангенсів. Йому належить одне з перших доведень теореми синусів з

сферичної геометрії і доказ теореми тангенсів для прямокутного сферич-

ного трикутника. Є автором оригінального твору «Книга про те, що треба

знати реміснику з геометричних побудов». У цій книзі вперше розгляда-

ються побудови за допомогою лінійки та циркуля постійного розчину; по-

будова сторони квадрата, рівновеликого трьом рівним квадратам, параболи

і різних правильних і напівправильних багатогранників, вписаних в сферу.

Вчений сформулював теореми, відповідні формулами: sin α = 2sin2 cos

2 і

1 – cos α = 2sin2

2 . Застосування від’ємних чисел в арифметичному тракта-

ті «Про те, що потрібно знати переписувачам і ділкам з науки арифметика»

є єдиним в країнах ісламу Х ст. Тут від’ємні числа з'являються при

розв’язуванні квадратних рівнянь.

АДАМАР Жак (1865–1963) – французький математик, чл. Паризької АН,

іноземний чл. АН СРСР. Нар. у Версалі. У дитинстві захоплювався мова-

ми. Був нагороджений Великим хрестом Почесного легіону. Відомі фун-

даментальні дослідження А. в різних галузях ма-

тематики. У теорії чисел він довів (висловлений П.

Л. Чебишевим) асимптотичний закон розподілу

простих чисел:

,1ln

:)(lim

xxx

x

де π (х) означає число простих чисел, не перева-

жаючих дійсного числа x> 1. У теорії диференціа-

льних рівнянь займався так званим завданням О.

Коші для гіперболічних рівнянь. У класичному аналізі та теорії функцій

Жак АДАМАР

399

відомі першості Адамара, теорема про степеневі ряди. А. сформулював та-

кож поняття коректності задачі математичної фізики. Цікавими є роботи А.

по варіаційному численню. А. займався питаннями шкільної освіти і напи-

сав підручник з геометрії.

АЛЕКСАНДРОВ Павло Сергійович (1896 - 1982) - радянський матема-

тик, академік АН СРСР, Герой соціалістичної праці. Нар. в Богородську

(нині Ногинск) Московської області. Основні праці

А. відносяться до топології і теорії функцій дійс-

ного змінного. Він є творцем радянської топологі-

чної школи. Ним створена теорія бікомпактних

просторів, істотно розвинена теорія розмірності,

створені методи комбінаторного дослідження

множин і просторів загальної природи, доведено

ряд основних «законів подвійності». Багато понять

в теорії загальної топології носять ім'я Александ-

рова. А. належать також роботи з геометрії, варіаційного числення, функ-

ціонального аналізу, математичної логіки, освоєння математики, а також

історії математики.

АПОЛЛОН Перський (бл. 262 - бл. 190 до н. е..) - Давньогрецький мате-

матик. А. належить ряд творів, що не дійшли до нас. Найважливішею його

працею є твір «Канонічні перетини». А. перший розглядав еліпс, параболу

і гіперболу як довільні плоскі перетину довільних конусів з круглою під-

ставою і детально дослідив їх властивості. Виявив, що парабола – гранич-

ний випадок еліпса, відкрив асимптоти гіперболи, отримав (в словесній

формі) рівняння параболи, вперше вивчав властивості дотичних, піддотич-

них до конічних перетинів. А. довів 387 теорем про криві 2-го порядку ме-

тодом, який полягав у віднесенні кривих до якого-небудь його діаметру і

зв'язаних з ним хорд, і передбачив створений в XVII ст. метод координат.

Павло Сергійович АЛЕКСАНДРОВ

400

Всі співвідношення А. розглядав як відносини рівновеликими між деякими

площами. Відоме завдання Аполлонія про знаходження кола, яке стосуєть-

ся трьох даних кіл, теорема і коло Аполлонія. Слідом за Архімедом А. за-

ймався удосконаленням системи числення; значно полегшив множення ве-

ликих чисел в грецькій нумерації, розбиваючи десяткові розряди на класи

(по чотири), ввів багато термінів, зокрема асимптота, абсциса, ордината,

апліката, гіпербола, парабола.

АРІАБХАТТА (476 - бл. 550) - індійський астроном і математик. Нар. у

великому науковому центрі Кусумапура. У творі «Аріабхата», присвяче-

ному астрономії та математиці, викладені математичні відомості, необхідні

для астрономічних спостережень. А. висловив думку про те, що Земля обе-

ртається навколо своєї осі і навіть навколо Сонця. У творах А. зустріча-

ються витяг квадратного і кубічного коренів із чисел, найпростіші завдан-

ня на розв’язування рівнянь, з геометричних відомостей наводиться на-

ближене значення числа π = 3,1416.

АРИСТОТЕЛЬ (384-322 до н. е.) – давньогрецький філософ і вчений. Нар.

в грецькій колонії Стагіра у Фракії. На протязі 20 років був учасником

Академії Платона. Протягом 12 років виховував майбутнього великого

полководця Олександра Македонського. Твори А. охоплюють всі галузі

знань того часу. Найважливішою філософською працею А. є «Метафізи-

ка». Філософії А. характерні коливання між матеріалізмом і ідеалізмом.

Об'єктивність природи була для А. безумовною передумовою пізнання; він

дав ґрунтовну критику ідеалістичної концепції. А. висловлював глибокі

міркування про такі поняття, як межа і нескінченне; правильно підійшов

до вирішення проблеми важеля, вирішив задачу про складання сил.

401

АРХІМЕД (бл. 287-212 до н. е.) – давньогрецький математик, фізик і ме-

ханік. Нар. в Сиракузах. А. автор численних відкриттів та винаходів: ма-

шини для зрошення полів, водопідйомного меха-

нізму (Архімедів гвинт), системи важелів, блоків

для підняття великих вантажів, військових мета-

льних машин і т. д. Його метальні машини змуси-

ли римлян відмовитися від взяття міста Сіракузи

штурмом і змусили перейти до облозі. Відомі такі

твори А.: «Про квадратуру параболи», «Послання

до Ератосфена про деякі теореми механіки», «Про

спіралі», «Про вимір кола», «Про число піщинок»,

«Книга лем», «Побудова правильного семикутника». Центральною темою

математичних робіт А. є задачі на знаходження площ поверхонь і об'ємів

за допомогою розроблених ним методів, які через 2000 років розвинулися

в інтегральне числення. У основоположних роботах по статиці і гідравліці

він систематично застосовує математику до завдань природознавства і

техніки. У творі «Про вимір кола» шляхом зіставлення периметрів вписа-

ного і описаного 96-кутових доводиться, що 713

71103 тут вперше в науці

дана оцінка похибки і визначення степеня точності отриманого результату.

У творі «Про число піщинок» А. дає систему найменувань цілих чисел, що

дозволяє виражати як завгодно великі числа, і руйнує поширену думку про

існування «найбільших чисел». Найбільшим його досягненням в астроно-

мії була побудова планетарію - полою обертаючої сфери, з якої можна бу-

ло спостерігати рух Сонця, п'яти планет, фази Місяця, сонячні і місячні за-

темнення. З останніх робіт А. особливо важливий твір «Про плаваючі ті-

ла», що містить закон, який носить тепер його ім'я.

АРХІМЕД

402

БЕРНУЛЛІ Данило (1700–1782) – один з видатних фізиків і математиків

свого часу. Нар. в Гронінгені (Голландія). Данилу Б.

належать важливі роботи з алгебри, теорії ймовір-

ностей, переліченням нескінченно малих, теорії ря-

дів, теорії диференціальних рівнянь та іншим розді-

лам математики. В алгебрі відомий його наближе-

ний метод чисельного розв’язування алгебраїчних

рівнянь за допомогою зворотних рядів. У теорії

ймовірностей Данило Б. вперше застосував числен-

ня нескінченно малих. Він застосував теорію імові-

рностей до статистики народонаселення і незалежно від А. Муавра вивів

граничні теореми Муавра-Лапласа. Вперше ввів в теорію помилок норма-

льний розподіл і розділив похибки спостережень на випадкові та система-

тичні. Опублікував першу таблицю нормального розподілу. Велике зна-

чення мають дослідження Данила Б. з теорії рядів, пов'язаних з проблема-

ми механіки. У роботі про коливання струни він вперше застосував до

розв’язку відповідного диференціального рівняння з частотними похідни-

ми тригонометричні ряди, згодом названі рядами Фур'є. Ім'ям Данила Б.

названо, виведене їм рівняння стаціонарного руху ідеальної рідини – осно-

вне рівняння гідро-і газової динаміки.

БІНЕ Жак Філіпп Марі (1786-1856) – французький

математик і астроном, чл. Паризької АН. Нар. в Рене

(Франція). Ним опубліковано багато статей з механі-

ки, математики та астрономії. В математиці Б. ввів

термін бета-функція, Розглянув лінійні різницеві рів-

няння зі змінними коефіцієнтами. Б. досліджував ос-

нови теореми матриць, відкрив правило множення

Данило БЕРНУЛЛІ

Жак Філіпп Марі БІНЕ

403

матриць, запропонував в теорії чисел Фібоначчі знамениті математичні

формули, відомі в математиці, як формули Біне.

БУЛЬ Джордж (1815-1864) - англійський математик, основоположник ма-

тематичної логіки. Нар. в Лінкольні (Ірландія). Б. займався теорією ймові-

рності і математичної логіки. Основний твір Б. «До-

слідження законів мислення». Б. зробив спробу побу-

дувати формальну логіку у вигляді деякого «обчис-

лення», «алгебри». Логічні ідеї Б. в наступні роки

отримали подальший розвиток. Логіка обчислення,

побудовані відповідно до ідей Б., знаходять застосу-

вання в додатках математичної логіки і техніки, зок-

рема в теорії синтезу комбінаційних і релейних схем.

У теорії сучасної алгебри ми зустрічаємо такі понят-

тя, як: булеві кільця, булева алгебра. У загальній топології відомо логічний

простір, в математичних проблемах керуючих машин – булевий розкид,

розкладання, булева регулярна точка ядра і багато іншого.

БУРБАКИ Нікола - збірний псевдонім групи французьких математиків,

які виступили в 1939 р. з ідеєю побудувати всю математику на аксіоматич-

ній основі, приблизно так, як Евклід систематично виклав математику сво-

го часу. У цю групу входили відомі математики, але склад групи не розго-

лошувався. У багатотомному (і далеке від завершення) трактаті «Елементи

математики» розвивається формальна економічна система, яка, за задумом

авторів, повинна охопити найголовніші розділи математики. Викладення

носить суто абстрактний характер. Основу викладу складають структури,

що визначаються за допомогою аксіом. Спосіб викладу – від загального до

конкретного. Класифікація математики значно відрізнялася від традицій-

ної. Детальність цієї праці принесла плоди в багатьох розділах математики.

У Франції вийшли 40 книг цього трактату. Задуманий трактат залишився

Джордж БУЛЬ

404

незакінченим, так як група оголосила про переривання своєї діяльності в

1968 р. Бурбаки також проявляв інтерес до роботи міжнародного товарист-

ва з вивчення і поліпшення викладання математики.

ВІЄТА Франсуа (1540 - 1605) - французький матема-

тик, «батько алгебри». Нар. в Фонтене–ле-Конт. За

професією юрист. Зацікавившись астрономією, В. по-

винен був вивчити тригонометрію і алгебру. Його робо-

ти були написані важкою мовою і не отримали широко-

го розповсюдження. Після його смерті праці зібрав

професор математики в Лейдені Ф. Шотен , а видав їх

Галіус під заголовком «Opera Vieta!». У працях В. алге-

бра стає загальною наукою про алгебраїчні рівняння, що ґрунтуються на

символічних позначеннях. Йому належить встановлення однакового при-

йому розв’язування рівнянь 2-го, 3-го і 4-го степеня, новий метод розв'я-

зання кубічного рівняння, тригонометричні розв’язки рівнянь 3-го степеня

і т. ін. різні перетворення коренів і т. ін.. В. особливо цінував встановлення

залежності між коренями і коефіцієнтами рівнянь (формули Вієта).

ВІНЕР Норберт (1894-1961) –американський вчений,

«батько кібернетики». Нар. у Колумбії (штат Міссурі).

Ранні роботи В. відносяться головним чином до основ

математики. В. досліджував математичний аналіз, в

якому він створив загальну теорію тауберових теорем,

пов'язавши її з теорією перетворень Фур'є, і узагальне-

ний гармонічний аналіз. Розвинув спільно з англійським

вченим Р. Пелі гармонічний аналіз функцій комплексної змінної. Вперше

досліджував інтегрування безперервних функцій (інтеграл Вінера). У тео-

рії ймовірностей В. вивчив клас випадкових процесів, досліджував ергоди-

чні теореми і розвинув теорію екстраполяції (незалежно від А. Н. Колмого-

Франсуа ВІЄТА

Норберт ВІНЕР

405

рова), а також теорію фільтрації стаціонарних випадкових процесів. В. за-

ймався в 40-х р. електричними мережами та обчислювальною технікою.

Вивчення аналогій між процесами що протікають в електричних та елект-

ронних системах і в живих організмах, привело В. до ідеї створення нової

науки - кібернетики, яку він представляв як єдину науку про управління.

Випущена книга «Кібернетика» мало великий вплив на розвиток світової

науки.

ГАЛІЛЕЙ Галілео (1564-1642) - італійський фізик, ме-

ханік, астроном, математик, один із засновників точного

природознавства, поет, філолог і критик. Нар. в Пизе. Г.

видав свою знамениту працю «Діалог про дві найголов-

ніші системи світу, Птоломеєву і Коперникову», в якій

блискуче розвиває вчення М. Коперникова про рух Землі.

Після чотирьох допитів у інквізиції він був змушений

зректися вчення М. Коперника. Тільки в 1971 р. католицька церква скасу-

вала рішення про осуд Галілея. Велике значення мали роботи Г. по ство-

ренню принципів механіки: відкриття закону інерції, закону падіння тіл,

коливань маятника, строгі формулювання основних кінематичних понять

(швидкість, прискорення) и т. ін. Вперше в історії астрономії за допомогою

виготовлених їм зорової труби Г. наглядав небесні святила. Він відкрив го-

ри на Місяціі, 4-и супутники Юпітера, фази Венери, зоряне створення

«Молочного шляху», плям на Сонці. В видатних «Бесідах…» Г. вивів за-

кон шляху по відомій швидкості падаючого тіла, застосував по суті, метод

інтегрального числення. В роботі «Про вихід очок при гри в кості» Г. під-

рахував імовірності появи різних чисел очок при кидані трьох гральних

кубиків. Г. зробив вплив і на італійську художню літературу.

Галілео ГАЛІЛЕЙ

406

ГАЛУА Еваріст (1811–1832) – французький математик, що заклав основи

сучасної алгебри. Нар. у БУР-ла-Рене, поблизу

Парижа. У 16 років він прочитав книгу «Початок

геометрії» А. Лежандра за два дні, розраховану

для навчання на 2 роки. Потім Г. за декілька днів

прочитав «Розв’язування чисельних рівнянь» Ж.

Лагранжа. Після цього Г. приступив до само-

стійних досліджень. Будучи учнем ліцею, він

отримав багато основних результатів теорії, нада-

лі названої його ім'ям. На жаль його роботи не

зрозуміли такі найбільші математики, як: О. Коші, Ж. Фурье і С. Пуассон

. Г. активно брав участь в політичній боротьбі, прилучившись до ліворес-

публиканського суспільства «Друзі народу». Слідством сталося його ви-

гнання з Вищої нормальної школи, після чого Г. вступив в артилерійський

корпус національної гвардії, який за наказом короля був розпущений в кі-

нці 1830 р. У 1832 р., коли йому було 21 р., він був убитий на дуелі, підст-

роєній його політичними супротивниками. Було опубліковано 5 робіт Г., з

яких найбільш примітними є «Аналіз одного мемуару про розв’язання ал-

гебри рівнянь», де формулюються важливі пропозиції теорії Г., і «З теорії

чисел», де Г., фактично побудував теорію кінцевих полів. Напередодні ду-

елі Г. написав лист, який він просив передати К. Якобі і К. Гаусу для ви-

сновків. Цей лист був опублікований після його смерті. Проте із-за новиз-

ни ідей і стислості викладу відкриття Г. довгий час не отримували визнан-

ня. Через 14 років після смерті Г. його роботи були розібрані і опублікова-

ні математиком Ж. Ліуліллем. У 1870 р. відомий французький математик К.

Жордан написав книгу про теорію підстановок, в передмові якої відзначив,

що його роботи лише тлумачення рукописів Г. Ця книга зробила теорію

Галуа надбанням всього світу.

Еваріст ГАЛУА

407

ГАУС Карл Фрідріх (1777–1855) – німецький математик, астроном, фізик

і геодезист. Нар. у Брауншвейге. У різносторонній

творчості Г. органічно поєднувалися дослідження

по теоретичній і прикладній математиці. Роботи Г.

зробили великий вплив на подальший розвиток

вищої алгебри, теорії чисел, диференціальної гео-

метрії, теорії тяжіння, класичної теорії електрики і

магнетизму, геодезії, багатьох галузей теоретичної

астрономії. Важко назвати таку галузь теоретичної

і прикладної математики, в котру. Г. не вніс би іс-

тотного внеску. Багато робіт Г. не було опубліко-

вано (нариси. незавершені роботи, листування з друзями). Наукова спад-

щина Г. ретельно вивчалася. Було видано 11 томів праць Г. Найбільш ціка-

ві щоденники Г., а також матеріали по неевклідової геометрії і теорії еліп-

тичних функцій.

ГЕРОН Александрійський (Старший) (ймовірно 1 в.) – старогрецький

вчений. Працював в Александрії. Математичні роботи Г. є енциклопедією

античної прикладної математики. У кращій з них – «Метриці» – дані пра-

вила і формули для точного і наближеного обчислення площ правильних

багатокутників, об'ємів зрізаного конуса і піраміди, шарового сегменту,

п'яти правильних многогранників, тора і тому подібне. Там же приводить-

ся так звана формула Герона для визначення площі трикутника по трьом

сторонам, що зустрічається у Архімеда, даються правила чисельного

розв’язування квадратного і кубічного коренів. У Г. зустрічається співвід-

ношення 12172 де

1217 , як відомо, є 4-м відповідним дробом до 2 . Ви-

клад математичних праць Г. догматичний, правила найчастіше не виво-

дяться, а пояснюються на прикладах. Це зближує праці Г. з роботами ма-

тематиків древнього Єгипту і Вавилона. У 1814 р. було знайдено твір Г.

Карл Фрідріх ГАУС

408

«Про діоптрі», в якому викладені правила земельної зйомки, фактично за-

сновані на використанні прямокутних координат. Г. виклав основні досяг-

нення античного світу в області прикладної механіки. Він винайшов ряд

приладів і автоматів, зокрема прилад для вимірювання довжини дороги,

автомат для продажу «священної» води, водяний годинник і т. ін. Вплив

робіт Г. можна прослідкувати в Європі аж до епохи Відродження.

ГЕДЕЛЬ Курт (1906–1978) – австрійський математик

і логік. Нар. у Брюнне (Брно). Основні роботи Г. відно-

сяться до теорії множин і математичної логіки. Він є

автором теорем про неможливість повної формалізації

всієї існуючої математики і доказу її несуперечності.

Результати Г. встановлюють непередбачену обмеже-

ність формальних методів. У 1951 р. Г. удостоєний

вищої нагороди США для учених – Ейнштейнівської премії.

ГІЛЬБЕРТ Давид (1862–1943) – німецький матема-

тик. Нар. у Велау поблизу Кенігсберга. Дослідження Г.

зробили великий вплив на розвиток багатьох розділів

математики. Він очолював обширну школу, що зроби-

ла великий вплив на розвиток фізики і математики в

ХХ ст. Творчість Г. охоплює по суті всю математику.

Він був математиком-універсалом. У період з 1893 по

1939 рр. в його творчості, кожен з яких присвячений

певному розділу математики, а саме: теорії інваріантів (1885–1893); теорія

чисел алгебри (1893–1898); основи геометрії (1898–1902); принцип Дирих-

ле і проблеми, що примикають до нього, варіаційному численню і теорії

диференціальних рівнянь (1900–1906); теорії інтегральних рівнянь (1900–

1910); рішення т. з. завдання Варингу (1908–1909); математична фізика

Курт ГЁДЕЛЬ

Давид ГІЛЬБЕРТ

409

(1910–1922); логічні основи математики (1922–1939). В даний час майже у

всіх розділах сучасної математики зустрічається ім'я Г.

ГИППАС Месопотамський (бл. 450 до н. е.) – один з членів школи піфа-

горійців. Після смерті Піфагора Г. наважився, всупереч правилам піфаго-

рійської школи, додати до його вчення деякі новинки і ознайомити з ними

інших. За це Г. був вигнаний з школи. Він дав побудову кулі, описаного

навколо додекаедра, детально розробив вчення про середню гармонійну і

ін.

ГЛУШКОВ Віктор Михайлович (1923 –1982) – ра-

дянський математик, академік АН СРСР, Герої Соці-

алістичної Праці. Нар в Ростові-на-Дону. Роботи ал-

гебри Г. відносяться до теорії груп і топологічної ал-

гебри. Він поклав початок вивченню топологічних

систем алгебри з умовою мінімальності і максималь-

ності; повністю досліджував локальну структуру не-

комутативних локально бікомпактних груп. Г. і деякі його учні займалися

з'ясуванням зв'язків між автоматами і напівтрупами. Г. вніс значний внесок

в теорію алгебри автоматів, розробив методи вивчення систем автоматів,

які є самоорганізуючі і самонавчальні. Важливі результати отримані ним в

теорії цифрових автоматів, в області додатків обчис-

лювальної техніки до управління. виробничими про-

цесами і економікою, в розробці нових принципів по-

будови малих ЕОМ для інженерних розрахунків.

Д'АЛАМБЕР Жан Лерон (1717–1783) – французь-

кий математик, механік і філософ. Нар. у Парижі.

Здобув прекрасну освіту. Багато часу приділяв меди-

цині і природничим наукам. У «Трактаті про динамі-

Віктор Михайлович ГЛУШКОВ

Жан Лерон Д’АЛАМБЕР

410

ку» Д. сформулював свій знаменитий принцип (принцип Д'аламбера). За

«Міркування про загальну причину вітрів» Д. отримав премію Берлінської

АН і був прийнятий в її члени. У астрономії Д. обґрунтував теорію обу-

рення руху планет і перший строго пояснив теорію рівнодень і нутації. Ос-

новні математичні дослідження Д. відносяться до теорії диференціальних

рівнянь. Він знайшов розв’язання диференціального рівняння 2-го поряд-

ку, що виражає поперечні коливання струни. Роботи Д., а також Л. Ейлера і

Д. Бернуллі заклали основи математичної фізики. Д. і Ейлер вперше знай-

шли ті основні рівняння, що зв'язують дійсну і уявну частини аналітичної

функції, які згодом почали називати рівняннями Коші-Рімана . У теорії ря-

дів його ім'я носить достатня ознака збіжності. У алгебрі Д. дав перше,

правда, не цілком строге, доведення основної теореми алгебри, яка зараз

називається лемою Д'аламбера. Д. працював над створенням «Енциклопе-

дії наук, мистецтв і ремесел» разом з Дідро. У перших томах він помістив

такі важливі статті, як: «Диференціали», «Рівняння», «Динаміка», «Геоме-

трія» і ін. У статті «Розмірність» Д. вперше висловив ідею про час, як про

четверте вимірювання, а у вступній статті «Нарис

походження і розвитку науки» він запропонував кла-

сифікацію наук. Д. також належать роботи по питан-

нях музичної теорії і музичної естетики.

ДЕКАРТ Рене (596– 1650) – французький філософ,

математик, фізик, фізіолог. Нар. у Лае (департамент

Турень). Філософські ідеї Д. знаходять багато при-

хильників, але викликає несхвалення єзуїтів. Він пе-

реїздить до Голландії – самої передової у той час капіталістичної країни.

Але і тут зустрічає неприкриту ненависть протестантських богословів.

Щоб уникнути неприємностей Д. приймає запрошення шведської королеви

Христини і переїздить до Стокгольма. Д. помер в Стокгольмі. Основні тво-

Рене ДЕКАРТ

411

ри Д.: «Правила для керівництва розуму», «Трактат про світло», «Мірку-

вання про метод», «Метафізичні роздуми про першу філософію», «Початок

філософії», «Пристрасті душі». Філософські погляди Д. піддавалися пере-

слідуваннями церковників. Твори Д. були внесені Ватиканом в «Індекс за-

боронених книг». Математичні дослідження Д. тісно пов'язані з його філо-

софськими і фізичними роботами. Його «Геометрія» зробила величезний

вплив на розвиток математики. З ім'ям Д. зв'язані такі поняття, як: коорди-

нати, добуток, парабола, еліпс і ін.

ДІОФАНТ Олександрійський (III в.) – старогрецький математик, автор

«Арифметики» в 13 книгах, вперше ввів буквені

позначення для невідомого і його степенів, засно-

вник вчення про невизначені (діофантові) рівнян-

ня.

ЕВКЛІД (бл. 365 – бл. 300 до н. е.) – старогрець-

кий математик, автор перших теоретичних тракта-

тів, що дійшли до нас, по математиці. Нар. у Афі-

нах, був учнем Платона. Наукова діяльність його

протікала в Александрії, де він створив математичну школу. Головна праця

Е. «Початок» (латинізована назва – «Елементи»), яка містить 13 книг. У

«Початках» Е. підсумував всі попередні досягнення грецької математики і

створив фундамент для її подальшого розвитку. У «Початках» викладені

основи геометрії, теорії чисел, метод визначення площ і об'ємів, що вклю-

чає елементи теорії меж і ін. Жодна наукова книга не витримала такого

тривалого успіху, як «Початок», що видавалися більше 2000 років. Твори

Е, що дійшли до нас . зібрані в критичному виданні Гейберга і Менте

(Лейпциг, 1883–1916), в якому поміщені грецькі оригінали, латинські пе-

реклади і коментарі пізніших авторів.

ЕВКЛІД

412

ЖОРДАН Камиль Марі Едмон (1838–1922) –

французький математик. Нар. у Ліоні. Роботи Ж.

відносяться до алгебри, теорії чисел, теорії функцій,

геометрії, топології, диференціальних рівнянь і

кристалографії. З його ім'ям пов'язано: теорема Жо-

рдана– Гельдера про композиційні ряди груп, нор-

мальна (жорданова) форма матриць, крива, теорема,

міра і ін. Ж. ввів поняття функцій з обмеженою

зміною; написав перший систематичний курс теорії

груп і теорії Галуа, «Трактат про підстановки», що роз'яснив і доповнив

вельми короткі і стислі дослідження Е. Галуа і що зробив їх надбанням

широких математичних кругів; вивчав лінійні групи і їх підгрупи; ввів по-

няття фактор групи, перший досліджував нескінченні групи. У геометрії

Ж. досліджував обертання n-мірного простору, формули Френе в n-

мірному просторі і ін. По його підручнику «Курс аналізу» в Петербурзько-

му університеті вивчали диференціальне і інтегральне числення, а також

додатки аналізу до геометрії.

ЗЕНОН Елейський (бл. 490–430 до н. е.) – старогрецький філософ, учень

Парменіда. За допомогою парадоксальних доводів

ставив під сумнів істини, встановлені без доказів.

Він висунув 45 апорій (парадоксів), направлених

проти множинності, нескінченності і руху, а також

наївного уявлення про континуум. До нас дійшли 9

парадоксів Зенона, 4 з яких – знамениті «апорії ру-

ху». Ось три з них: немає руху тому, що те, що руха-

ється, повинне дійти до середини раніше, ніж воно

дійде до кінця (дихотомія); швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене че-

репаху, т. що., поки він проходить відстань, що відокремлює їх, черепаха

Камиль Марі Едмон ЖОРДАН

ЗЕНОН

413

просунеться вперед; стріла, що летить, покоїться, оскільки час складається

з окремих митей.

ІБН АЛЬ-БАНА (1251–1321) – арабський математик з Марокко. Він зро-

бив немало самостійних відкриттів, зокрема по тригонометрії. Виявив пару

дружніх чисел 17296 і 18416. У його «Короткому викладі арифметичних

дій» детально описано правило двох помилкових положень, яке він назвав

«правилом чаш вагів». Воно формулюється не на числовому прикладі, а в

загальних виразах, що характерний для інших, які містяться в цій праці

правил. Це утруднило вивчення книги, і тому до неї було написано ряд ко-

ментарів.

ІБН Кура (836–901) – арабський математик і астроном, працював в Багда-

ді. Переклав арабською мовою «Початок» Евкліда і написав до них комен-

тарі, твір Архімеда «Про кулю і циліндр», «Канонічні перетини» Аполлонія

. У своїй «Книзі про вимірювання канонічного перетину, названого пара-

болічним» навів розв’язування задачі про квадратуру параболічного сег-

мента, за допомогою інтегральних сум.

КАВАЛЬЄРІ Бонавентура (1598–1647) – італійський математик. Нар. в

Мілані. У своїй основній праці «Геометрія» К. розвинув новий метод ви-

значення площ і обсягів, т. н. метод неподільних. Непо-

дільними К. назвав паралельні між собою хорди плоскої

фігури або паралельні площині тіла. К. довів теорему,

відповідно до якої площі двох подібних фігур відно-

сяться, як квадрати, а об’єми –як куби відповідних не-

подільних. Це дозволило йому встановити, що відно-

шення суми квадратів всіх неподільних трикутника до

суми квадратів неподільних паралелограма, що має з

трикутником однакові основу і висоту як 1:3. Згодом він знайшов аналогі-

Бонавентура КАВАЛЬЄРІ

414

чні відносини для суми кубів і т. д. до дев'ятого степеня неподільних. У

перекладі на сучасну мову згадані результати К. відповідають обчислення

визначених інтегралів при n = 2, 3, …, 9. К. належать книги: «Сто різних

завдань для демонстрації корисності та легкості застосування логарифмів в

тригонометрії, астрономії, географії і т. д.», «Тригонометрія плоска і сфе-

рична, лінійна і логарифмічна» «Шість геометричних дослідів» та ін.

КАНТОР Георг (1845-1918) - німецький математик,

творець теорії множин. Нар. в Петербурзі. К. розробив

теорію нескінченних множин і теорію трансфінітних чи-

сел; довів незліченну множину всіх дійсних чисел, вста-

новивши, таким чином, існування нееквівалентних (тоб-

то мають різні потужності) нескінченних множин; сфо-

рмулював загальне поняття потужності множини; роз-

винув принципи порівняння потужності безлічі точок лінійного відрізка і

точок n-мірного різноманіття. К. систематично виклав принципи свого

вчення про нескінченність, довів існування трансцендентних чисел, вико-

ристовуючи міркування про потужність множин. К. ввів поняття граничної

точки похідної нескінченності, розвинув одну з теорій ірраціональних чи-

сел, сформулював аксіому безперервності, названу його ім'ям, отримав ре-

зультати з проблеми єдності тригонометричних рядів. Створена К. теорія

множин, деякі ідеї якої були у його попередників і, зокрема були детально

розроблені Б. Больцано, не тільки нині лежать в основі математичного ана-

лізу, але й стала причиною загального перегляду логічних основ математи-

ки і вплинула на перегляд всієї структури сучасної математики.

КАНТОРОВИЧ Леонід Віталійович (1912–1980) – радянський математик

і економіст, лауреат Нобелівської премії в галузі економіки, автор праць з

функціонального аналізу та обчислювальної математики, поклав початок

лінійному програмуванню, один з творців теорії з оптимального плануван-

Георг КАНТОР

415

ня й керування народним господарством, теорії оптимального використан-

ня сировинних ресурсів.

КАРАДЖА (аль-Караджі) Абу Бакр иби Мухаммед аль-Хасан (? –1016)

– іранський математик, уродженець Караджа. К. автор двох великих трак-

татів з арифметики – достатня книга про науку арифметиці» та з алгебри –

«Альфахрі». У першому творі також велику увагу приділено геометрії. У

трактат з алгебри К. включив все відоме його попередникам і ряд власних

додатків. Зокрема, підсумовує деякі арифметичні ряди, витягує квадратні і

кубічні корені з многочленів, перетворює нескладні кубічні радикали.

Крім квадратних рівнянь, він розглядає також рівняння вищих степенів, що

приводяться до квадратних рівнянь. У трактаті дано рішення більш 250 ал-

гебраїчних завдань і завдань на невизначені рівняння. Тут же робляться

спроби застосування методу повної математичної індукції. Багато задач з

цих трактатів увійшли у пізніші збірки.

КАРДАННІ Джіроламо (1501–1576) – італійський математик, філософ і

лікар. Нар. в Павії. У математиці з ім'ям К. зазвичай пов'язують формулу

для розв’язку кубічного рівняння, яку він запозичив у М. Тарталья. Ця фо-

рмула була опублікована в його книжці «Велике мистецтво, чи правила ал-

гебри». В цьому творі систематично викладені сучасні К. методи розв'я-

зання рівнянь, головним чином кубічних. К. належить ряд важливих від-

криттів, з яких слід відносити лінійне перетворення, що дозволяє привести

кубічні рівняння до виду, вільного від члена 2-го степеня, а також вказівки

на залежність між коренями і коефіцієнтами рівнянь, на подільність мно-

гочлена на різницю х - а, якщо а його коріння. К. – один з перших в Європі

допускав існування від’ємних коренів рівнянь. У його роботах уперше

з'являються уявні величини. У механіці К. займався теорією важелів і ваг.

Одне з рухів відрізка по сторонах прямого кута механіки називають карда-

новим рухом. Слід зазначити, що у «Великому мистецтві ...» було опублі-

416

ковано розв’язання рівняння 4-го степеня, про який К. пише, що воно на-

лежить його учневі Л. Феррарі. Цей твір дає можливість вважати К. одним

з основоположників буквеної алгебри.

КАТАЛЬДІ П'єтро Антоніо (1552 – 1620) – італійський математик. Нар. в

Болоньї. К. першим дав витяг квадратних коренів за допомогою безперер-

вних дробів, вважаючи, що наближення неперервних дробів по черзі, то

більше, то менше шуканої величини кореня. Все це він

виклав у «Трактаті про найкоротший спосіб знахо-

дження квадратного кореня числа». Нескінченний дріб

К. записав у сучасній формі.

КЕПЛЕР Йоганн (1571-1610) – німецький астроном і

математик. Нар. в Вейл-дер-Штадт (Вюртемберг, Ні-

меччина). К. написав перший свій великий твір «Таєм-

ниця Всесвіту», в якому проявив себе прихильником теорії М. Коперника.

Його за цю працю переслідують богослови. Він переїздить до Праги до

знаменитого датського астронома Т. Бразі, після смерті якого (1601) отри-

мав у своє розпорядження матеріали його багаторічних спостережень. Об-

робляючи матеріали Бразі, К. встановив три закони руху планет. Перші два

закони містилися в його «Новій астрономії», а третє – у «Гармонії світу».

Закони К., що ввійшли в основу теоретичної астрономії, отримали пояс-

нення в механіці І. Ньютона, зокрема в законі всесвітнього тяжіння. К. по-

яснював припливи і відливи в земних океанах впливом місяця. У тритом-

ній роботі «Скорочення коперникової астрономії» К. виклав теорію соняч-

них і місячних затемнень, їх причини, способи їх прогнозів і т. ін. Ватикан

вніс цей твір до списку заборонених книг. К. писав про комети, про рефра-

кції, винайшов зорову трубу, яка до цих пір носить його ім'я і багато ін. К.

побудував два правильних зірчастих багатогранників, а тільки через 200

Йоганн КЕПЛЕР

417

років С. Пуассон вказав на існування ще двох зірчастих багатогранників.

Термін "середнє арифметичне» вперше зустрічається у К.

КЛЕЙН Фелікс Християн (1849–1925) – німецький математик. Нар. в

Дюссельдорфі. Основні роботи К. присвячені неевклідовій геометрії, теорії

неперервних груп, теорії алгебраїчних рівнянь, теорії

еліптичних функцій, теорії автоморфних функцій. Свої

ідеї в галузі геометрії К. виклав у роботі «Порівняль-

ний розгляд нових геометричних досліджень», відоме

під назвою «Ерлангенська програма». За К., кожна

геометрія є теорія інваріантів спеціальної групи пере-

творень. Розширюючи або звужуючи групу, можна пе-

рейти від одного типу геометрії до іншої. К., спираю-

чись на дослідження Бельтрамі, суворо довів несуперечність неевклідової

геометрії. Досліджуючи дискретні групи, К. розглянув т. н. групи багато-

гранників і показав, що цими та близькими йому групами можна, узагаль-

нюючи метод Галуа, скористатися для алгебраїчного розв’язування рівнянь

деяких типів. К. розглядав групи симетрій правильних багатогранників

тривимірного простору; прагнув розкрити внутрішні зв'язки між окремими

гілками математики, з одного боку, фізикою і технікою – з іншого. К. бага-

то зробив для створення «Енциклопедії математич-

них наук». К. багато займався питаннями математи-

чної освіти.

КОЛМОГОРОВ Андрій Миколайович (1903–

– 1987) – радянський математик, академік, Герой

Соціалістичної Праці. Нар. в Тамбові. К. є заснов-

ником наукової школи з теорії ймовірностей і теорії

функцій, автор фундаментальних праць з теорії фу-

нкцій, математичної логіки, топології, диференціальних рівнянь, функціо-

Фелікс Християн КЛЕЙН

Андрій Миколайович КОЛМОГОРОВ

418

нального аналізу, теорії ймовірностей і теорії інформації. К. брав активну

участь у розробці питань викладання математики в середній школі, є авто-

ром багатьох шкільних підручників з математики. Він також займався пи-

таннями математики, філософії та обґрунтування математики. Ім'я К. зу-

стрічається в різних галузях математики. Так, в теорії функцій дійсного

змінного відомі Колмогоровий інтеграл, критерій для

полінома найкращого наближення, нерівності, при-

клад ряду Фур'є, що розходиться; в теорії ймовірно-

сті –Колмогорова-Смірнова критерій; в топології –

Колмогорова аксіома збіжності та багато інших.

КОШІ Огюстен Луї (1789–1857) – французький

математик, чл. Паризької АН, Петербурзької АН.

Нар. в Парижі. Роботи К. відносяться до різних об-

ластей математики. Усього ж він написав і опублікував 800 робіт з ариф-

метики і теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних

рівнянь теоретичної і небесної механіки, математичної фізики і т. д. Йому

вдалося прокласти в математиці багато нових шляхів. К. автор класичних

курсів математичного аналізу, заснованих на систематичному застосуванні

поняття межі, один з основоположників теорії аналітичних функцій, автор

праць з теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, теорії чисел,

геометрії. Повне зібрання творів К. видано Паризькою АН.

КУБОТА Таданико (1885–1952) – японський математик, чл. Японської

АН. Нар. у Токіо. Його роботи присвячені в основному геометрії, і зокрема

логарифмічній спіралі та споріднених їм кривим. К. – автор понад 180 ро-

біт.

КУММЕРА Ернст Едуард (1810–1893) –- німецький математик, чл. Бер-

лінської АН. Нар. у Зорані. Перші роботи К. присвятив рядам. Він дав за-

Огюстен Луї КОШІ

419

гальну ознаку збіжності та перетворення, що носить його ім'я. Творець те-

орії алгебраїчних чисел і алгебри (Куммерові розширення). Вивчення поді-

льності алгебраїчних чисел привело К. до введення т. н. ідеальних чисел.

За допомогою цієї нової теорії К. довів велику теорему Ферма для всіх n ≤

100, за що отримав премію Паризької АН. К. –автор робіт з геометрії, ви-

значених інтегралів, теоретичної механіки. Відомі Куммера гіпотеза, ме-

тод, теорія.

КУРАТОВСКІЙ Казімєж (1896–1980) – польський математик, чл і віце-

президент Польської АН, іноземний чл. АН СРСР. Нар. у Варшаві. Основні

праці К. присвячені теорії множин, а також топології, теорії функцій дійс-

ного змінного, математичної логіки, теорії графів та ін. Цікаві результати

К. отримав в т. н. дескриптивної теорії множин. У топології запропонував

аксіоматику операції замикання (оператор замикання Куратовского),

отримав ряд важливих результатів в теорії розмірності та ін.. К. очолював

польську школу в галузі топології і множин.

КЕЛІ Артур (1821–1895) – англійський математик, автор праць з теорії

груп математичного аналізу, проективної геометрії.

КУЗАНСЬКИЙ Микола (1401–1464) – теолог і математик, кардинал. К.

автор математичних трактатів, один з попередників космології Коперника.

ЛА ВАЛЛ Пуссен де Шарль (1866–1962) – бельгійський математик і фі-

зик. Чл. Бельгійскої АН, Паризької АН, почесний президент Світового ма-

тематичного о-ва. Нар. в Лувені. Довів затвердження Лежандра про те, що

кількість простих чисел, менших х, для великих значень х близько до част-

ки від ділення х на його логарифм. Л. вніс також істотний внесок у теорію

множин, теорію наближень функцій поліномами. Л. займався теорією ди-

ференціальних рівнянь конформних відображень багатозв'язних областей,

420

завданням Діріхле, геометрією і теорією електричного струму в провідни-

ку.

ЛАГРАНЖ Жозеф Луї (1736–1813) – французький

математик і механік, чл. Берлінської АН, Паризької

АН, почесний чл. Петербурзької АН. Нар. в Туріні

(Італія). Л. розробив основні поняття і методи варіа-

ційного обчислення; автор праць з математичного

аналізу, теорії чисел, алгебри, диференціальних рів-

нянь. Паризька АН 5 раз відзначала преміями діяль-

ність Л.

ЛАМБЕРТ Йоганн Генріх (1728–1777) – німецький математик, філософ,

фізик і астроном, чл. Мюнхенської Берлінської АН. Нар. в Мюльгаузені

(Ельзас). Л. належать важливі дослідження з геометрії, сферичної триго-

нометрії і алгебри. В геометрії він працював над питаннями правильних

прямих, конічних перерізів, перспективи. Він висловив ідею побудови не-

евклідової геометрії. Йому належить перший доказ ірраціональності чисел

е і π, засноване на залежності між показниковою і тригонометричною

функціями, відкритої Л. Ейлером, а також розширив таблиці простих чисел

до 102000. Л. прагнув ввести суворі математичні докази в аналіз, у всі га-

лузі природознавства, якими він займався, і навіть у філософію.

ЛАПЛАС П'єр Симон (1749–1827) – французький

математик, фізик і астроном, чл. Паризької АН, бага-

тьох інших академій о-в, іноземний почесний чл. Пе-

тербурзької АН. Нар. в Нормандії. Зайнявшись мате-

матикою, Л. став переконаним атеїстом. Своїми фі-

лософськими поглядами він був близький до францу-

зьких матеріалістів. Наукова діяльність Л. була різ-

Жозеф Луї ЛАГРАНЖ

П'єр Симон ЛАПЛАС

421

номанітною. Йому належать численні фундаментальні роботи з математи-

ки, експериментальної та математичної фізики і небесної механіки. В обла-

сті математики Л. створив роботи з теорії диференціальних рівнянь (рів-

няння Лапласа), зокрема з інтегруванням рівнянь з частинними похідними

(каскадний метод Лапласа). Л. вивчив рівняння, що отримало назву рів-

няння Лапласа, на якому ґрунтується розв’язок задачі теорії потенціалу,

теплопровідності, електростатики і гідродинаміки. Л. розвинув і система-

тизував результати багатьох математиків в галузі теорії ймовірностей, удо-

сконалив методи доведення, довів важливу граничну теорему, яка назива-

ється теоремою Лапласа-Муавра, розвинув теорію помилок, обґрунтував

спосіб найменших квадратів. Результати досліджень в області небесної ме-

ханіки Л. підсумував у класичному «Трактаті про небесну механіку».

ЛЕБЕГ Анрі Луї (1875–1941) – математик і філософ, чл. Паризької АН,

Лондонського королівського о-в, іноземний почес-

ний чл. Петербурзької АН. Нар. в Бові (департамент

Уаза). Перші дослідження стосувалися рядів Фур'є.

Л. вважається одним із засновників сучасної теорії

функцій дійсної змінної. Він створив теорію міри,

запровадив поняття вимірної функції, ввів нове ви-

значення інтеграла – інтеграл Лебега, що дало мож-

ливість інтегрування великого числа функцій. Л. на-

лежать праці з теорії розмірності, докази існування

функцій всіх класів класифікації Бера, важливі результати геометричного і

топологічного характеру, дослідження з питань теорії функцій, множин і

теорії диференціювання та багато інших. У теорії функцій і функціональ-

ного аналізу широко відомі такі поняття, як міра Лебега, інтеграл Лебега-

Стільтьеса, лебеговської множини і ін. Велику увагу Л. приділяв питан-

ням викладання в середній школі.

Анрі Луї ЛЕБЕГ

422

ЛЕБЕДЄВ Сергій Олексійович (1902–1974) –

радянський математик академік АН УРСР та АН

СРСР, двічі лауреат державної премії, Герой Соці-

алістичної Праці. Нар. в Горькому. Основні роботи

його присвячені теорії проектування і експлуатації

обчислювальних машин, теорії стійкості енергети-

чних систем, електроавтоматики. Під керівництвом

Л. була створена перша в Європі «Мала електро-

нна машина (МЕСМ) з програмним керуванням

(1951) і «Швидкодіюча електронна рахункова ма-

шина (БЕСМ, 1952 ), найпотужніша радянська лам-

пова машина – М-20 і потужна ЕОМ другого поко-

ління БЕСМ-6.

ЛЕЖАНДР Андре-Марі (1752–1833) – французь-

кий математик, чл. Паризької академії. Нар. в Па-

рижі. Автор праць з теорії чисел, аналітичних інтег-

ралів і т. д. Л. видав підручник «Початки геометрії»,

в якому на відміну від «Начал» Евкліда, здійснено

алгебраізація і арифметизація геометрії, а також ви-

користовуються елементи вчення про симетрію. Л.

належить одна із спроб довести постулат про пара-

лельні.

ЛЕЙБНІЦ Готфрід Вільгельм (1646–1716) – німе-

цький математик, фізик і філософ, організатор і пе-

рший президент Берлінської АН, чл. Лондонського

королівського товариства, чл. Паризької академії.

Нар. в Лейпцигу. У Лондоні в королівському това-

Сергій Олексійович ЛЕБЕДЄВ

Андре Марі ЛЕЖАНДР

Готфрід Вільгельм ЛЕЙБНІЦ

423

ристві він демонструє свою лічильну машину (1673), яка виконувала всі

арифметичні дії, зведення в ступінь і витяг квадратного і кубічного коре-

нів. У Парижі розробляє питання диференціального обчислення. Л. займа-

ється питаннями хімії, геології, конструює вітряний двигун для насосів, що

викачують воду з шахт. У 1666 р. він опублікував першу математичну ро-

боту «Роздуми про комбінаторні мистецтва». Л. заклав основи символічної

логіки, досліджував властивості деяких кривих (зокрема ланцюгової лінії),

розклад функцій в ряди, ввів поняття визначника і висунув деякі ідеї, що

стосуються теорії визначників. Л. до деякої міри проклав дорогу новим ди-

сциплінам, як політична економія і порівняльне мовознавство. Найважли-

вішою заслугою Л. є те, що одночасно і незалежно від І. Ньютона, завер-

шив створення диференціального і інтегрального числення. При цьому він

виходив не з квадратури кривих, як Ньютон, а з проблеми дотичних. Свої

результати он опублікував в статті «Новий метод максимумів і мінімумів»,

де вперше назвав свій алгоритм диференціальним численням. Л. створив

власну наукову школу і першим порушив вікову традицію писати наукові

праці тільки на латинській мові.

ЛЕОНАРДО ДА ВІНЧІ (1452–1519) – італійський

художник і учений епохи Відродження. Нар. у Він-

чи (поблизу Флоренції). Вважаючи досвід джерелом

достовірного знання, Л. да В. бачив в математиці

зразок наукової довідності. Широко використовував

«золотий» перетин в живописі, як формулу Гармо-

нії Природи. Механіку, в якій математичні науки

застосовуються практично, він називав «раєм» ма-

тематичних наук. Математичних записів у нього

порівняно менше, ніж записів по питаннях механіки; всі вони стосуються

технічних і художніх завдань. Більше всього увага в них приділена пере-

ЛЕОНАРДО ДА ВІНЧИ

424

творенню рівновеликих площ і об'ємів, а також дослідженню ямочок. Не-

давно знайшли креслення у Л. да В. механічної обчислювальної машини,

яку співробітники комп’ютерної фірми IBM зібрали, як історичний експо-

нат.

ЛЕОНАРДО ПІЗАНСЬКИЙ (ФІБОНАЧЧІ; бл.

1170– після 1228) – італійський математик. Нар. у

Пізе (Італія). Видав дві книги: «Книгу про абак», де

абак розглядається не стільки як прилад, скільки як

засіб обчислення взагалі і «Практичну геометрію».

По першій книзі багато поколінь європейських ма-

тематиків вивчали індійську позиційну систему чи-

слення. Виклади матеріалу було в нім оригінальним

і витонченим. Ученому належать і власні відкриття, зокрема він поклав

початок розробці питань, пов'язаних з т.з. числами Фібоначчі, і дав оригі-

нальний прийом витягання кубічного кореня. Його праці отримали розпо-

всюдження тільки в кінці 15 в., коли Лука Пачолі переробив їх і опубліку-

вав в своїй книзі «Сума» (Венеція, 1494).

ЛОБАЧЕВСЬКИЙ Микола Іванович (1792–

– 1856) – російський математик, творець неевклі-

дової геометрії. Нар. у Нижньому Новгороді (нині

Горький). У 1812 р. почав педагогічну діяльність.

23 лютого 1826 р. Л. представив у фізико-

математичному відділенні Казанського ун-та ру-

копис роботи «Скорочений виклад початки геоме-

трії» для розгляду і публікації. Цей день став днем

народження неевклидовой геометрії. У роботі

«Нові початки геометрії з повною теорією паралельних ліній» Л. дав по-

вний систематичний виклад нової геометрії. У 1868 р. італійський матема-

Леонардо Пізанський (ФІБОНАЧЧІ)

Микола Іванович ЛОБАЧЕВСьКИЙ

425

тик Б Бельтрамі запропонував новий метод дослідження – метод інтер-

претацій, за допомогою якого була доведена несуперечність геометрії Ло-

бачевського. Відкриття нової геометрії зіграло важливу роль для розвитку

не тільки геометрії, але і всієї математичної науки.

ЛОПІТАЛЬ Гийом Франсуа Антуан (1661–1704) – французький мате-

матик, чл. Паризької АН. Нар. у Парижі. Видав перший друкарський під-

ручник по диференціальному численню – «Аналіз нескінченно малих». У

книзі є т. з. правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисель-

ник і знаменник якого прагне до нуля. Крім того, він створив курс аналіти-

чної геометрії канонічних перетинів. Йому належить дослідження і

розв’язання за допомогою математичного аналізу декількох важких за-

вдань з математики, зокрема одне з рівнянь знаменитого завдання брахіс-

тохроні.

ЛУЗІН Микола Миколайович (1883–1950) – ра-

дянський математик, академік АН СРСР, чл. Кра-

ківською АН, почесний чл. математичного о-ва в

Калькутті, Бельгійського о-ва в Брюсселі. Нар. у

Томську. Важливою роботою Л. по теорії функцій

є «Лекції про аналітичні множини і їх застосуван-

ню», в яких він підвів підсумок дослідженням сво-

їм і його учнів. Л продовжив роботу над пробле-

мами теорії множин і питаннями обґрунтування

математики, почав дослідження в області додатків

класичного аналізу і диференціальної геометрії, дескриптивній теорії мно-

жин питаннями обґрунтування математики, почав працювати в області до-

датків класичного аналізу і диференціальної геометрії. Значну увагу приді-

ляв Л. створенню вузівських підручників.

Микола Миколайович ЛУЗІН

426

ЛЮКА Франсуа Едуард Анатоль (1842–1891) –

французький математик, професор. Нар. у Амьене.

Найважливіші роботи Л. відносяться до теорії чисел

і невизначеного аналізу. Л. дав критерій для визна-

чення простим чи складеним є число Мерсенна Мр =

2р – 1. Застосовуючи свій метод, Л. встановив, що

М127 = 2127 – 1 – просте число. Він знайшов 12-значне

досконале число і склав ряд цікавих завдань. Заслуга

Л. перед теорією чисел Фібоначчі полягає в тому, що

він вперше ввів назву числа Фібоначчі і розглянув т. з. узагальнені числа

Фібоначчі. Л. вважав, що за допомогою машин додавання зручніше прово-

дити в двійковій системі, а не в десятковій, що і було підтверджено історі-

єю розвитку ЕОМ.

ЛЮ Хуей (III в.) – китайський математик, коментатор трактату «Матема-

тика в дев'яти книгах», в якій підведені підсумки багатовікової роботи ки-

тайських математиків 1-го тис. до н. е. Цей трактат мав великий вплив на

подальший розвиток математики в Китаї, зокрема, і за його межами. Він

також є автором «Трактату про морський острів»,

що містить завдання на визначення відстаней до не-

доступних предметів.

ЛЯПУНОВ Олександр Михайлович (1857–1918)

– російський математик і механік, академік Петер-

бурзької АН, видатний представник петербурзької

математичної школи, створеної П. Л. Чебишевим .

Нар. у Ярославлі. Він є творцем теорії стійкості ру-

ху і автором фундаментальних досліджень про фі-

Франсуа Едуард Анатоль ЛЮКА

Олександр Михай-лович ЛЯПУНОВ

427

гури рівноваги рідини, що обертається. Важливий внесок Л. у теорію віро-

гідності, а його дослідження по теорії потенціалу відкрили нові шляхи для

розвитку методів математичної фізики. Проблема стійкості руху належить

до категорії важких завдань природознавства.

МАНДЕЛЬБРОТ Бенуа (народився в 1924 р.) – американський матема-

тик. Нар. у Варшаві. Творець фрактальної геометрії.

МАРКОВ Андрій Андрійович (1856–1922) – російський математик, ака-

демік Петербурзької АН. Нар. у Рязані. М. належить

близько 70 робіт по теорії чисел і математичному

аналізу, теорії наближених функцій, диференціаль-

них рівнянь, теорії вірогідності, у тому числі і два

класичних твори – «Числення кінцевих різниць» і

«Числення вірогідності». Актуальність всіх питань,

зачеплених у роботах М. особливо зросла у наш час

у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

МЕЗІРІАК Клод Гаспар Баше де (1581–1638) –

французький математик і поет. Видав збірку «При-

ємні і цікаві завдання», а також «Арифметику» Діофанта з власними ко-

ментарями. Дав розв’язання невизначених рівнянь першого степеня.

МЕНЕЛАЙ Александрійський (I–II вв.) – старогрецький математик і ас-

троном. Жив в Римі. Автор праці «Сферіка» (у 3-х книгах) – по сферичній

геометрії і тригонометрії. М. вперше розглядає тригонометрію відособлено

від геометрії і астрономії. Згідно арабським джерелам, йому належать ро-

боти по гідростатиці.

МЕНЕХЕМ (бл. 360 р. до н. е.) – старогрецький математик. За свідченням

старогрецького вченого Прокла (V в. до н. е.), М. відкрив три типи коніч-

Андрій Андрі-йович МАРКОВ

428

них перетинів, названі Ератосфеном «тріадою Менехема». У старогрець-

кого ученого Евстокія збереглися два розв’язки делійської задачі, з якої

видно, що М. відкрив головні властивості конічних перетинів. Праці М. до

нас не дійшли.

МЕРКАТОР (справжнє прізвище Кауфман) Николаус (1620–1687) – ні-

мецький математик, астроном, інженер. Нар. у Ейтіне (Голштинії). Був

один з перших членів Лондонського королівського тов-ва. Найважливішою

з його робіт є «Логарифмічна техніка». У цій книзі М. простим діленням

розклав дріб х

у

1

1 у нескінченний ряд 1–х + х2 – х3 +…, отримавши квад-

ратуру параболи. Разом з тим був знайдений ряд для ln(1+x) – перший ста-

теч-ний ряд після геометричної прогресії.

МЕРСЕНН Марени (1588– 1648) – французький фізик, математик і філо-

соф. Гурток, який утворився навколо М., став основою для утворення Па-

ризької АН. М. цікавився фізико-математичними науками, філософією, му-

зикою і так далі. У фізиці він розробляв питання про коливання маятника.

У одній з робіт по математиці –«Фізико-математичні роздуми» – знаходи-

мо оригінальні докази деяких запропонованих П. Ферма і Ф. Беси теорем

про простих і про т. з. досконалих числах (числа Мерсенна). М. використо-

вував підстановки з n символів. У рукописі М. виписано 40320 перестано-

вок з 8 різних елементів, а також 720 перестановок з 6 нот. Завдяки своєму

широкому листуванню і подорожам створив першу мережу, по якій учені

всього світу обмінювалися повідомленнями.

МІНДІНГ Фердинанд Готлібовіч (1806– 1885) – російський геометр, чл.-

кор. і почесний чл. Петербурзької АН. Нар. у Каліше (Польща). Йому на-

лежать роботи по теорії безперервних дробів, функцій алгебри, абелевых

інтегралів, варіаційного числення. Важливе значення мають його дослі-

дження по інтеграції інтегральних рівнянь, за які йому була присуджена

429

Демідівська премія Петербурзької АН. Найважливіші результати отримані

М. в теорії поверхонь. Зокрема він вирішив важливу задачу (завдання Мін-

дінга) про необхідні і достатні умови накладення однієї поверхні на іншу.

М. мав праці по геометрії і математичному аналізу.

МІНКОВСЬКИЙ Герман (1864–1954) – німецький

математик і фізик, доктор філософії, професор. Нар.

у Алексотах (нині Каунаський р-н). Велика частина

робіт М. була присвячена теорії чисел. Йому нале-

жать також роботи по геометрії, топології, математи-

чній фізиці, гідродинаміці і теорії капілярності. До

кожної з цих областей учений вніс значний внесок.

У своїй роботі «Простір і час» М. дав геометричну

інтерпретацію кінематики, спеціальній теорії віднос-

ності і ввів чотиривимірний простір з гіперболічною

метрикою. М. висловив постулат про тих, що всі фізичні закони повинні

бути інваріантні щодо групи перетворень Лоренця і назвавши його «світо-

вим постулатом». М. написав фундаментальну робо-

ту «Основи теорії електромагнітних процесів в ру-

хомих тілах», в якій світовий постулат застосовуєть-

ся для встановлення рівнянь електромагнітного по-

ля будь-якої рухомої матерії.

МУАВР де Абрам (1667-1754) – англійський мате-

матик, чл. Лондонського королівського тов-ва, іно-

земний чл. Лондонського королівського тов-ва, іно-

земний чл. Паризької і Берлінської АН. Нар. у Вітрі-

ле-Франсуа (Франція). М. знайшов правило підне-

сення до степеня комплексного числа (формула Муавра), працював в обла-

сті теорії вірогідності (ймовірностей).

Герман МІНКОВСЬКИЙ

Джон НЕПЕР

430

НЕПЕР Джон (1550-1617) - шотландський математик. Нар. у Мерчистон-

касл поблизу Едінбургу (Шотландія). Його математичні роботи булі спря-

мовані на спрощення та впорядкування арифметики, алгебри та тригоно-

метрії. Широко відомі Неперові аналогії і неперево правило кругових час-

тин для вирішення прямокутних сферичних трикутників. У роботі «Опис

таблиць логарифмів» Н. виклав властивості логарифмів, дав опис таблиць,

правила користування ними і приклади застосування. Складаючи ці табли-

ці, він виходив з порівняння арифметичної і геометричної прогресій, при-

чому члени арифметичної прогресії назвав логарифмами, яким в геометри-

чній прогресії відповідають певні числа. Таблиці Н. призначалися для зна-

ходження логарифмів тригонометричних величин, але їх можна було вико-

ристовувати і для знаходження логарифмів натуральних чисел.

НЕТЕР Емі Амалі (1882– 1935) – німецький математик, професор. Нар. в

Ерлангені. Його праці по алгебрі сприяли створенню

нового напряму – так званої загальної, або абстракт-

ної алгебри (загальна теорія кілець, полів, ідеалів).

НЬЮТОН Ісаак (1643–1727) – англійський фізик,

механік, астроном і математик, чл. Лондонського ко-

ролівського тов-ва і його президент, іноземний чл.

Паризької АН. Нар. у Вулсторне. Автор фундамента-

льної праці «Математичні початки натуральної філо-

софії». Н. незалежно від Р. Лейбніца розробив диференціальне та інтегра-

льне числення, хоча концепції у них булі різні. Н. ввів статечні ряди і сис-

тематично користувався ними для представлення функцій. Роботи Н. у різ-

них областях набагато випередили свій час.

Ісаак НЬЮТОН

431

ОСТРОГРАДСЬКИЙ Михайло Васильович (1801-1862) - російський

математик, один із засновників петербурзької математичної школи, чл. Пе-

тербурзької АН, чл. АН в Нью-Йорку, Турінської

академії, Національної академії ден Лінча в Римі,

чл.-кор. Паризької АН. Нар. в с. Пашенна (нині

Полтавської обл.). Його перша наукова робота

«Теорія хвиль в посудині циліндричної форми»,

подана в Паризьку АН, була схвалена і опубліко-

вана. Дослідження О. стосуються різноманітних

областей математики і механіки: диференціально-

го і інтегрального числення, вищої алгебри, гео-

метрії, теорії вірогідності, теорії чисел, аналітич-

ної механіки, математичної фізики, балістики і так далі О. був прекрасним

педагогом і організатором. О. належать чимало навчальних посібників. Під

впливом його ідей в Росії ще в середині ХІХ в. були видані ряд методич-

них посібників, які пропагували досконалі і прогресивні методи викладан-

ня.

ПАПП Олександрійський (2-га пол. 3 ст.) – давньогрецький математик.

Відомі його коментарі до «Альматесту» Птолемея, «Аналемме» Діодора і

«Начала» Евкліда. Найважливіша з його робіт «Ма-

тематика» у 8-и книгах, в яких П. виклав найбільш

суттєві результати більш давніх давньогрецьких ав-

торів і свої теореми.

ПАСКАЛЬ Блез (1623-1662) – французький мате-

матик, фізик, філософ і письменник. Нар. в Клер-

мон-феранне. У Б. Паскаля і у його приятелів – М.

Мерсенна, .Ж. Роберваля і ін. в Парижі, куди пере-

їхала сім'я Паскаля, – кожного тижня збиралися математики і фізики, на

Михайло Васильович

Блез ПАСКАЛЬ

432

яких розглядалися наукові праці. На базі цього гуртка була створена Пари-

зька АН. П. автор праць з арифметики, алгебри, теорії чисел, теорії ймові-

рностей; отримав одну з основних теорем проективної геометрії, сконст-

руював підсумовуючу машину. Принципи, закладені в цій машині пізніше

стали початковими в конструюванні обчислювальних машин. У фізиці П.

досліджував барометричний тиск і займався питаннями гідравліки.

ПАСКАЛЬ Етьєн (1588–1651) – французький математик, батько Б. Пас-

каля. Математичні інтереси П. стосувалися вчення про криві лінії. Відкрив

криву, названу равликом Паскаля.

ПАЧОЛІ Лука (бл. 1445 – бл. 1514) – італійський

математик, чернець. Автор книги «Сума знань по

арифметиці, геометрія, вчення про пропорції і пропо-

рційність». У цьому трактаті викладені отримані на

той час відомості по арифметиці, алгебрі, тригономе-

трії. Вона значною мірою повторювала «Книгу про

абак» Фібоначчі. П. близько зійшовся з Леонардо да

Вінчі і всі подальші роботи по геометрії, зокрема твір «Божественне від-

ношення», написав під його впливом. П. також опублікував на італійській

мові «Початок» Евкліда. Декілька його робіт залишилися неопубліковани-

ми.

ПЕАНО Джузеппе (1858–1932) – італійський математик, професор, чл.

Туринської АН. П. досліджував основні поняття і затвердження аналізу,

займався формально-логічним обґрунтуванням математики. П. в арифме-

тиці створив систему аксіом натурального ряду чисел, яка тепер називаєть-

ся системою аксіом Пеано, а також в геометрії встановив основи, на яких

можна здійснити побудову геометрії Евкліда. Перший побудував безперер-

вну (жорданову) криву, яка повністю заповнює квадрат (крива Пеано).

Лука ПАЧОЛІ

433

ПІФАГОР Самоський (бл. 580–бл. 500 до н. е.) – давньогрецький матема-

тик і філософ. Нар. на острові Самсс. За переказами

П., щоб ознайомиться з мудрістю східних учених, виї-

хав до Єгипту і прожив там 22 роки. Засновник піфа-

горійської школи; перетворив математику з окремих

формул і рецептів в абстрактну дедуктивну науку; йо-

му приписують вивчення властивостей цілих чисел і

пропорцій, доведення теореми про співвідношення

сторін прямокутного трикутника. Учення П. і його уч-

нів стосувалося гармонії, геометрії, теорії чисел і астрономії. Самі піфаго-

рійці понад усе цінували результати, отримані в теорії гармонії, бо вони

підтверджували їх ідею, що числа визначають все.

ПЛАТОН (427–347 до н. е.) – давньогрецький філо-

соф ідеолог рабовласницької аристократії, учень Со-

крата і вчитель Аристотеля, засновник філософсь-

кої школи в Афінах - «Академії», яка стала центром

античного ідеалізму. Нар. у Афінах. Головна заслуга

П. полягає в тому, що він під впливом піфагорійців,

на противагу своєму вчителеві Сократу і софістам,

які не вважали потрібним для філософії вивчати ма-

тематику, визнавав, що знання математики необхідне

будь-якій освіченій людині. На дверях його Академії

був напис «Нехай той, хто не знає геометрії, не вхо-

дить сюди». Внесок П. в математику незначний, але його ідеї щодо струк-

тури і методів математики надзвичайно ціні. Інстинктивну логіку П. пере-

творив так, що нею можна було займатися свідомо. Він ввів традицію да-

вати бездоганні визначення і визначати, які положення в математичних мі-

ркуваннях можна приймати без доказів. П. ввів терміни «аналіз» і «син-

ПИФАГОР

ПЛАТОН

434

тез», перший обґрунтував метод доведення і метод доведення від протиле-

жного, що тепер широко використовується в геометрії. Заслуга П. в тому,

що він не дозволяв своїм учням використовувати при побудові ніяких ін-

струментів, окрім лінійки і циркуля. Це обмеження мало велике значення

для розвитку математики. Опуклі правильні багатогранники – тетраедр,

октаедр, гексаедр (куб), додекаедр і ікосаедр - прийнято називати Плато-

новими тілами, хоча він тільки згадав про них в одній з робіт. Вони були

відомі задовго до П.

ПОЙА Дьердь (нар. 1887) – американський математик. Нар. в Угорщині.

Основні його праці відносяться до функціонального аналізу, математичної

статистики і комбінаторики. Приділяв велику увагу методології

розв’язування завдань і методиці викладання в школі.

ПОНСЕЛЕ Жак Віктор (1788–1867) – французький інженер і математик,

чл. Паризької АН, чл.-кор. Петербурзької АН. Нар. у Меці. У «Трактаті про

проектні властивості фігур» розглядав «проектування» і «взаємозв'язок» як

єдиний математичний принцип. Тут встановлені і виділені в особливу гру-

пу проектні властивості фігур. Головна заслуга П. – одного з творців прое-

ктної геометрії – полягає в тому, що він перший сформулював принцип

подвійності. П. належать роботи про наближення

радикалів і лінійних виразів, на які пізніше посилав-

ся П.Л. Чебишев, а також роботи по технічній меха-

ніці і гідравліці. Паризька АН заснувала премію його

імені.

ПОНТРЯГИН Лев Семенович (1908-1988) – росій-

ський математик, академік АН СРСР, Герой Соціалі-

стичної Праці. Нар. у Москві. Основоположник но-

вої науки - теорії оптимального управління. Резуль-Лев Семенович ПОНТРЯГИН

435

тати, отримані П. і його учнями в теорії оптимальних процесів, базуються

на відкритому ним «принципі максимуму», що дає необхідні умови опти-

мальності керування процесом. Ця теорія отримала загальне визнання і

широко використовується на практиці в теоретичних дослідженнях.

ПТОЛЕМЕЙ Клавдій (бл. 90 – бл. 160) – давньогрецький астроном і ма-

тематик. Відомо, що він родом з Єгипту і довгий час жив в Александрії.

Найважливіша робота П. – «Велика математична побудова астрономії в

XIII книгах» («Альмагєєт»). У першій книзі викладені відомості по прямо-

лінійній і сферичній тригонометрії. Це єдині відомості, що дійшли до нас

від стародавніх греків в цій області. Це єдині відомості, що дійшли до нас

від давніх греків у цій галузі. Тут також міститься теорема (яку тепер нази-

вають теоремою Птолемея) про те, що добутки діагоналей вписаного чо-

тирикутника рівно сумі добутків його протилежних сторін. П. дав набли-

жене значення числа ....,14167,3120337

склав таблицю синусів, яка багато

століть була єдиною допомогою при розв’язуванні завдань про трикутни-

ки. Йому також належить винахід астролябії. Крім того, П. поклав початок

вчення про стереографічні проекції, про сонячні числа і про планісфери. У

книзі про вимірювання тіл він перший говорить про три прямокутні осі –

прообраз сучасної координатної системи. П., пока-

зуючи, як обчислювати хорди, ділить коло на 360

частин (градусів), кожна з яких потім ділиться по-

палам, а діаметр – на 120 рівних частин, кожна з

яких ділиться на 60 частин, які у свою чергу ділять-

ся також на 60 частин.

ПУАНКАРЕ Жюль Анрі (1854–1912) – французь-

кий математик, фізик, астроном і філософ, чл. Па-

ризької АН і більше 35 іноземних академій. Нар. в

Жюль Анрі ПУАНКАРЕ

436

Нансі (Лотарингія). Немає області математики, де П. не залишив нових

методів дослідження. Він автор праць по математичному аналізу, тополо-

гії, математичній фізиці, небесній механіці. У 1881–1883 рр. він дав свою

інтерпретацію геометрії Лобачевського. Його роботи, опубліковані Пари-

зькою АН в 1918–1954, складають 10 томів.

ПУАНСО Лі (1777–1859) – французький інженер, механік, фізик і мате-

матик, чл. Паризької АН, іноземний почесний чл. Петербурзької АН. Нар.

у Парижі. Він розробив геометричні методи дослідження механічних сис-

тем, побудував геометричну статику на основі теорії пар сил, вивів теоре-

му про обертання твердого тіла у відсутності сил. Йому належить і ряд ін-

ших робіт, зокрема геометричних, які стосуються зірчастих багатогранни-

ків. Чотири правильні вогнуті багатогранники, отримані їм в 1809, отрима-

ли назву «тіла Пуансо».

ПУАССОН Сімеон-Дені (1781–1840) – французький математик, механік і

фізик, чл. Паризької АН, почесний чл. Петербурзької АН. Нар. у Пітівье

(департамент Луара). В області небесної механіки найважливішими робо-

тами П. є деякі спеціальні завдання місячної і планетної теорій, а також

стійкості Сонячної системи. П. написав понад 300 робіт, значна частина

яких зіграла важливу роль в становленні сучасної науки.

РАМАНУДЖАН Срініваса Айенгар (1887–1920) –

індійський математик, чл. Лондонського королівсь-

кого тов-ва. Нар. у Іродові. Спільно з Харді отримав

перші наближені формули розбиття числа n.

РАССЕЛ Бертран Артур Вільям (1872–1970) – ан-

глійський логік, філософ, математик, соціолог і гро-

мадський діяч, чл. Лондонського королівського тов-

ва. Автор праць з математичної логіки і основ мате-

Срініваса Айенгар РАМАНУДЖАН

437

матики, сформулював один із парадоксів теорії множин (парадокс Рассе-

ла).

РІЗІ Адам (1489–1559) – німецький математик-педагог. Нар. у Штаффе-

льштейне під Франконії. У своїх підручниках по арифметиці ввів сучасний

спосіб множення з використанням знаків «+» і «-». Один з цих підручників

перевидавався 40 разів.

РІМАН Георг Фрідріх Бернард (1826– 1866) – ні-

мецький математик, доктор математики, професор.

Нар. в м. Брезеленец (Нижня Саксонія). Р. поклав

початок геометричному напряму в теорії функцій

комплексного змінного; розглядав геометрію як

учення про безперервні сукупності будь-яких одно-

рідних об'єктів; вивчав розривні функції, ввів в ма-

тематику т. з. ріманові простори і розробив їх теорію

(ріманову геометрію); працював в області диферен-

ціальних рівнянь, тригонометричних рядів, інтегрального числення. У лек-

ції «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії» Р. вперше, після відкриття

М. І. Лобачевського, розвинув математичне вчення про простір, ввів понят-

тя диференціала, відстані між елементами різноманіття і розвинув вчення

про кривизну. Введення узагальнених ріманових просторів, приватними

випадками яких є простір Евкліда та Лобачевського і т. з. геометрії Рімана,

відкрило нові шляхи в розвитку геометрії. Геометричні ідеї Р. знайшли за-

стосування і у фізиці (теорія відносності).

РОБЕЛЬВАЛЬ Шахраюй (1602–1675) – французький математик, один з

творців методу «неподільних», знайшов квадратуру циклоїди.

РООМЕН Ван Андрієн (1561–1615) –голландський математик. Розробляв

головним чином питання геометрії і тригонометрії. Визначив значення π з

Георг Фрідріх Бернард РІМАН

438

17 десятковими знаками, тобто з найвищою точністю для Європи того ча-

су. Однак, більш ніж за 150 років до того це значення π знав ал-Каші.

РУФФІНІ Паоло (1765–1822) –італійський математик, доктор медицини.

Нар. у Валентано. Р. дав перше (але недостатньо обґрунтоване) доведення

нерозв'зності в радикалах загального рівняння алгебри 5-го степеня.

САККЕРІ Джованні Джіроламо (1667–1733) – італійський математик і

логік. Нар. у Сан-ремо. С. один з тих математиків, які підготували своїми

дослідженнями відкриття неевклідової геометрії. Він намагався довести

п'ятий постулат Евкліда (про паралельні прямі) від протилежного.

СТЕВІН Симон (1548–1629) – нідерландський математик і інженер. Нар.

в Брюгге. Як інженер С. зробив значний внесок в механіку. Важливі його

роботи в області математики: «Десятина» і «Математичні коментарі» в п'я-

ти томах. У першій роботі С. виклав десяткову систему мір і десяткові

дроби (про те, що десяткові дроби відкрив ал-Каші, у той час європейці ще

не знали). Крім того, С. ввів від’ємні корені рівнянь, сформулював умови

існування кореня в даному інтервалі і запропонував спосіб наближеного

його обчислення.

СТІРЛІНГ Джеймс (1692–1770) – шотландський математик. С. отримав

наближену формулу для обчислення факторіалів, названих його ім'ям.

СУНЬ-ЦЗІ (III в.) – китайський математик. Автор «Математичного трак-

тату», дав означення арифметичним діям на лічильній дошці, виклав спо-

сіб розв’язування в цілих числах рівнянь 1-го степеня.

СУСЛІН Михайло Якович (1894–1919) – російський математик, один із

творців сучасної дескриптивної теорії множин. Нар. в с. Красавка (нині

Саратовська область). Головне наукове досягнення С. – відкриття А- мно-

жин, які не є борелевими і побудова значної частини його теорії. С. встиг

439

лише опублікувати одну замітку. Його відкриття викладені в роботі Ф. Ха-

усдорфа «Основи теорії множин» (1927) і в книзі Н. Н. Лупана «Лекції

про аналітичні множини і їх застосування» (1930).

ТАРТАЛЬЯ Нікколо (1499–1557) – італійський ма-

тематик. Справжнє прізвище - Фонтану. Нар. у Бре-

счіа. У 1539 Т. повідомив метод розв'язання кубіч-

них рівнянь Дж. Кардано. У 1545 Кардано опублі-

кував його в роботі «Велике мистецтво алгебраїчних

правив». Роботи Т. присвячені питанням математи-

ки, механіки, балістики, геодезії та фортифікації.

Свої оригінальні дослідження він помістив у «Зага-

льних трактатах про число і міру», який був опублікований після його сме-

рті. Трактат містить значний матеріал з арифметики, алгебри та геометрії.

У трактаті «Нова наука» вчений показав, що найбільша дальність польоту

снаряда відповідає куту нахилу ствола гармати 45о.

ТЕЕТЕТ Афінський (бл. 410–369 до н. е.) – давньогрецький математик,

учень Феодора Киренського і Платона. Т. побудував ірраціональність, від-

крив додекаедр, ікосаедр і октаедр.

ТОРРІЧЕЛЛІ Еванджеліста (1608–1647) – італійський математик і фі-

зик. Нар. у Фаєнці. В математиці Т. удосконалив і широко застосовував

метод неподільних при розв’язуванні завдань на дотичні. Використовував

кінематичні уявлення, зокрема принцип складання рухів; узагальнив пра-

вило квадратури параболи на випадок довільного раціонального показни-

ка; самостійно, хоча і декілька пізніше Ж. Робельваля, визначив квадрату-

ру циклоїди; услід за Р. Декартом знайшов довжину дуги логарифмічної

спіралі і так далі.

Нікколо ТАРТАЛЬЯ

440

УАЙЛС Ендрю (нар. у 1952) – англійський математик. У 1995 р. дав по-

вне доведення великої теореми Ферма.

ФАЛЕС Мілетський (бл. 625 – бл. 547 до н. е.) –

давньогрецький математик і астроном. Історики

вважають, що Ф. перший познайомив греків з гео-

метрією і що він був першим грецьким астроно-

мом. Ф. передбачив сонячне затемнення, що від-

булося 28 травня 585 до н.е. Знання Ф. у геометрії

були дуже широкими. Він знав, що протилежні

кути, що утворюються при перетині двох прямих,

рівні; що в рівнобедреному трикутнику кути лежачі при основі, рівні; що

трикутник повністю визначається двома кутами і прилеглою до них сторо-

ною і що на підставі цього можна визначити відстань корабля до берега;

що круг ділиться діаметром навпіл (сам довів це твердження); що кут, впи-

саний в півколо, – прямий. Ф. приписують також спосіб визначення висоти

різних предметів, зокрема пірамід, по тіні, коли сонце піднімається над го-

ризонтом на 45о.

ФАНЬЯНЬ де ТУГА Джанфранчесько Оноріє (1715–1797) – італійський

математик. Роботи Ф. присвячені розв‘язання завдань про ділення дуги ко-

ла на довільну кількість рівних частин, були продовженням відповідних

досліджень Я. і Й. Бернуллі. Ф. опублікував аналітичне розв‘язання задачі,

яку почали називати його ім'ям.

ФЕЙЄРБАХ Карл Вільгельм (1800–1834) – німецький математик, про-

фесор. Нар. у Ієні. Ф. довів теорему: «Коло, проведене через основи висот

трикутника, проходить через його сторони і дотикається вписаним і поза

вписаними колами цього трикутника» (нині ця теорема носить його ім'я).

ФАЛЕС Мілетський

441

Ф. одночасно з А. Мебіусом опублікував роботу, в якій висловлювалися

основні ідеї барицентричного числення.

ФЕОДОР Киренський (кінець 5 в. до н. е.) – давньогрецький математик

піфагорієць, астроном, механік і музикант, один з вчителів Платона. Ф.

належать основні ідеї теорії ірраціональних величин, які пізніше розробив

Евклід в 7-ій книзі «Початок». Зокрема Ф. показав, що сторони квадратів,

площі яких дорівнюють 3, 5, 6, 17, несумірні із сто-

роною одиничного квадрата, причому доказ прово-

див для кожного окремого випадку. Перший загаль-

ний доказ здійснив учень Ф. – Тєєтет.

ФЕРМА Пьер (1601–1665) – французький юрист і

математик, один з найбільших математиків XVII ст.

Нар. у Бомон де Ломань. Ф. на дозвіллі вивчав мате-

матику, займався дослідженнями в області теорії чи-

сел, геометрії, алгебри, теорії вірогідності. Більшість його математичних

відкриттів Ф. стали відомі з його листів до Б. Паскаля Р. Декарта,

Дж.Валиса, Ф. де Дратуй і ін. Деякі відкриття дійшли до нас у вигляді на-

писів на полях «Арифметики» Діофанта. Ф., як правило, не указував мето-

дів, якими він користувався, розв‘язуючи завдання або доводячи теореми.

Пізніше більшість його теорем були доведені математиками ХVIII–XIX вв.

У теорії чисел Ф. дав спосіб систематичного знаходження всіх дільників

довільного числа, поставив проблему: знаходження цілісних розв‘язань рі-

вняння ах2 + 1 = у2, де а – дане неквадратне число; сформулював теорему

про можливість представити довільне число сумою не більше чотирьох

квадратів. З ім'ям Ф. зв'язано дві знамениті теореми: велика (іноді її нази-

вають останньою) і мала теорема Ф. Перша з них формулюється так: «Рів-

няння xn + yn = zn не має цілих додатних розв‘язків при будь-яких значен-

нях n>2», друга ар-1- 1 ділиться на р, якщо р – просте число» (вона грає фу-

Пьер ФЕРМА

442

ндаментальну роль в теорії чисел). Ф. займався математичним аналізом

(метод знаходження максимумів і мінімумів), теорією вірогідності; разом з

Р. Декартом був основоположником аналітичної геометрії. Наукові робо-

ти Ф. стали відомі лише в 1669, коли його син опублікував збірку «Різні

твори».

ФЕРРАРІ Людовіко (1522–1565) – італійський математик, учень Дж. Ка-

рдано. Нар. у Болонье. Ф. знайшов загальний спосіб розв‘язання рівнянь 4-

го ступеня, який відомий лише з робіт Дж. Кардано «Велике мистецтво» і

роботи Р. Бомбеллі «Алгебра».

ФЕРРО дель Сципіон (1465–1526) – італійський математик, професор Бо-

лонського ун-ту. Знайшов спосіб вирішення кубічних рівнянь виду

x3+ mx= n. Про цей спосіб дізналися з його рукописів Дж. Кардано і

Л. Феррарі.

ФЕДОРОВ Євграф Степанович (1855–1919) – російський кристалограф і

математик. Ф. один з основоположників кристалографії. У роботі «Симет-

рія правильних систем фігур» вперше ввів 230 груп симетрії кристалів; ав-

тор праць по геометрії і ін.

ФРЕДГОЛЬМ Ерік Івар (1866–1927) – шведський математик. доктор,

професор, чл. Стокгольмської АН. Нар. у Стокгольмі. Ф. виклав основні

властивості і теореми теорії інтегральних рівнянь, розробив загальні мето-

ди рішення деяких з них. Його роботи по цих питаннях відмічені премією

Паризької АН.

ФУР'Є Жан Батист Жозеф (1768–1830) – французький математик, про-

фесор, чл. Паризької АН, почесний чл. Петербурзької АН. Нар. у Осере

(Оксер). Дослідження Ф. почалися з алгебри, де він довів теорему про чис-

ло дійсних коренів рівняння алгебри, лежачих між даними межами (теоре-

443

ма Фур'є). Основним об'єктом дослідження Ф. була

математична фізика. Систематично подавав свої від-

криття в Паризьку АН по теорії теплопровідності в

твердому тілі. Ф. розробив метод (метод Фур'є) роз-

ділення змінних і застосував його до ряду завдань. У

основі цього методу лежить представлення функцій

тригонометричними рядами (рядами Фур'є). Вони

стали могутнім знаряддям математичної фізики. Ф.

знайшов спосіб представлення функції за допомогою

інтеграла, що грає важливу роль в сучасній матема-

тиці. «Аналітична теорія тепла». Ф. і застосовані в ній методи стали осно-

вою для створення теорії тригонометричних рядів і розробки деяких ін. за-

гальних проблем математичного аналізу. Ф. показав, що всяку довільно

накреслену лінію, складену з відрізань дуг різних кривих, можна предста-

вити єдиним аналітичним виразом.

ХАЙЯМ Омар Гияседдін Абу-ль Фахт ибн Ібрахим (1048– бл. 1131) –

персидський поет, філософ, астроном і математик.

Нар. у містечку Нішапур (Хоросан). Х. першим серед

математиків створив теорію розв‘язування рівнянь до

3-го степеня включно і дав загальну класифікацію

всіх рівнянь (у трактаті «Про доведення завдань ал-

гебри і алмукабали»). Він також першим поставив

питання про зв'язок геометрії з алгеброю і про геоме-

тричне пояснення і вирішення рівнянь алгебри. Гли-

бокі геометричні дослідження містив трактат Х. «Коментарі до важких по-

стулатів книги Евкліда», що складається з трьох книг: «Про дійсному сенсі

паралельних і про відомі сумніви», «Про відношення пропорції і їх дійсний

сенс», «Про складання відношень і їх дослідження». Крім того, йому нале-

Жан Батист Жозеф ФУР'Є

Омар ХАЙЯМ

444

жить робота «Про мистецтво визначення кількості золота і срібла в тілі, що

складається з них», де знов розглянуто класичне завдання, що розв‘язане

Архімедом.

ХАРДІ Годфрі Гарольд (1877–1947) – англійський математик, чл. Лон-

донського королівського о-ва. Наукові дослідження Х. в основному відно-

сяться до теорії чисел і теорії функцій. Значну частину робіт він виконав

спільно з Дж. Літлвудом. У теорії чисел Х. займався діофантовими на-

ближеннями, зокрема питаннями розподілу дробових частин адитивною

теорією чисел, проблемою Е. Варингу, проблемою Х. Гольдбаха, теорією

простих чисел, теорією дзета-функцій і так далі. В теорії функцій Х. за-

ймався теорією тригонометричних рядів, що розходяться, досліджував не-

рівності.

ХАУСДОРФ Фелікс (1868–1942) – німецький математик, професор.

Отримав значні результати в різних галузях математики: у теорії множин,

топології, теорії безперервних груп, функціональному аналізі, теорії чисел.

ХОРЕЗМІ (ал-ХОРЕЗМІ) Мухаммед бен-Муса ((787–бл. 850) – узбець-

кий математик, астроном і географ. Х. написав ряд наукових робіт: «Ари-

фметичний трактат», «Алгебра», «Витягання з астрономічних таблиць ін-

дійців» – «Садіант», а також «Витягання з виправле-

них таблиць хорд Птоломея». Для написання остан-

ньої роботи Х. використовував результати власних

спостережень в Багдаді і Дамаску.

ЦЕЙЛЕН ван Лудольф (1540–1610) – нідерландсь-

кий математик. Ц. опублікував розрахунки числа π з

32 десятковими знаками.

ЧЕБИШЕВ Пафнутій Львович (1821–1894) – ро-Пафнутій Львович

ЧЕБИШЕВ

445

сійський математик і механік, засновник петербурзької математичної шко-

ли, академік, чл. Берлінської АН і багато ін. Нар. у с. Окатово (нині Калу-

зька область). Ч. створив теорію якнайкращого наближення функцій; у те-

орії вірогідності довів в загальній формі закон великих чисел; у теорії чи-

сел – асимптотичний закон розподілу простих чисел і т. ін.; проводив різ-

номанітні прикладні дослідження в теорії механізмів; Його праці поклали

початок багатьом областям математики.

ШАЛЬ Мішель (1793–1880) – французький математик і історик матема-

тики, професор, чл. Паризької АН і багато ін. Нар. у Еперне поблизу Па-

рижа. Ш. створив новий напрям в науці – обчислювальну геометрію, побу-

дував синтетичну проектну геометрію і включив в неї метричну геометрію.

Автор книги «Історичний огляд походження і розвитку геометричних ме-

тодів».

ШТЕЙНЕР Якоб (1796–1863) – швейцарський математик, професор, чл.

Берлінської АН. Ш. – один з творців проектної геометрії. В основній своїй

роботі «Систематичний розвиток залежності геометричних образів одного

від іншого» він будує геометрію, не використовуючи аналітичні методи.

Ш. знайшов побудову конічних перетинів за допомогою двох проектних

пучків прямих, почав дослідження конфігурацій, пов'язаних з безліччю па-

скалевих шестикутників, що спираються на шість заданих точок конічного

перетину. У його роботах виразно виявляються елементи теоретико-

множинних уявлень в проектній геометрії. Ряд важливих результатів Ш.

отримав в геометрії трикутника.

ШТІФЕЛЬ Міхаель (1487–1567) – німецький математик. Один з перших в

Європі після Н. Шюке почав оперувати з від’ємними числами; ввів дробо-

вий і нульовий показники степеня, а також термін «показник»; у роботі

«Повна арифметика» дав правило ділення на дріб як множення на дріб,

446

обернений дільникові; зробив перший крок в розвитку прийомів, що спро-

щують обчислення з великими числами, для чого порівнював дві прогресії:

геометричну і арифметичну. Пізніше це допомогло І. Бюрге і Дж. Неперу

створити логарифмічні таблиці і розробити логарифмічні обчислення.

ШЮКЕ Никола (бл. 1445– бл. 1500) – французький лікар і математик. У

його трактаті по арифметиці і алгебрі – «Наука про

число», опублікованому тільки в 1848 р. в Ліоні, впе-

рше застосовані від’ємні і нульові показники степе-

ня. Символіка алгебри Ш. наближалася до сучасної,

крім того, у нього вперше зустрічаються терміни «бі-

льйон», «трильйон», «квадрильйон».

ЕЙЛЕР Леонард (1707–1783) – математик, фізик,

механік і астроном. Нар. у Швейцарії. Працював в

Росії і Німеччини. Автор понад 800 робіт по математичному аналізу, теорії

чисел, диференціальній геометрії, математичній фізиці, небесній механіці і

ін. Майже у всіх областях математики зустрічається ім'я Е.: теореми Ейле-

ра, тотожність Ейлера, ейлеровські постійні, кути, функції, інтеграли, фор-

мули, рівняння, підстановки і так далі. Е. належить більше 865 досліджень

по найрізноманітніших і важких питаннях. Е. зро-

бив великий вплив на розвиток математичної освіти

в Росії в XVIII в. Під його керівництвом група ро-

сійських математиків провела величезну просвітни-

цьку роботу, видала дуже велику і чудову для свого

часу учбову літературу, виконала ряд цікавих нау-

кових досліджень в області математики..

ЕЙНШТЕЙН Альберт (1879–1955) – німецький

фізик, професор, чл. Прусської АН, чл. наукових

Леонард ЕЙЛЕР

Альберт ЕЙНШТЕЙН

447

тов-в і установ, почесний чл. АН СРСР. Нар. в Ульмі (Німеччина). Е. ство-

рив загальну теорію відносності, в якій важливу роль відіграють ідеї Н. І.

Лобачевського і Р. Рімана про неевклидові геометрії. За заслуги в області

теоретичної фізики і за відкриття закону фотоефекту Е. була присуджена

Нобелівська премія. Завдяки роботам Е. широкого поширення набув тен-

зорний аналіз, що у свою чергу викликало його застосування у ряді розді-

лів математики. У функціональному аналізі відома т. з. Бозе-Ейнштейна

статистика. У теорії диференціальних рівнянь – рівняння Ейнштейна-

Смолуховського, в геометрії – простори Ейнштейна. Роботи Е. змінили

уявлення про простір, час, тяжіння і їх взаємний зв'язок, що має глибоке

методологічне і філософське значення.

ЕРАТОСФЕН Киренський (біля 276–194 до н. е.) – давньогрецький уче-

ний, друг Архімеда. Нар. у Кирені. Займався хронологією, астрономією,

філологією, філософією і музикою. В області математики дав відомий спо-

сіб знаходження простих чисел (ератосфенове решето), побудував прилад

для розв‘язання завдання про подвоєння куба (мезолябій), вивчав середні

величини. Е. заклав основи математичної географії; перший виміряв дугу

меридіана. З творів Е. до нас дійшли тільки уривки.

ЕРМІТ Шарль (1822–1901) – французький матема-

тик, чл. Паризької АН, почесний чл. Петербурзької

АН. Нар. у Дєєзе (Лотарінгия). Е. належать численні

дослідження по чистій і прикладній математиці, зок-

рема по загальній теорії функцій, розв‘язанню рів-

нянь алгебри і трансцендентних рівнянь, теорії рядів

певних інтегралів, теорії спеціальних видів функцій,

теорії чисел (тотожність Ерміта), теорії форм алгебри, механіці і ін. Цим

роботам він присвятив близько 200 творів і мемуарів. Плідною була його

педагогічна діяльність. Науковий зв'язок Е. з петербурзькими математика-

Шарль ЕРМІТ

448

ми, що продовжувався більш за півстоліття, зробив значний вплив на по-

дальше покоління математиків.