1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

«МАРІУПОЛЬСЬКИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ КОЛЕДЖ»

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА відкритого заняття

ПРЯМА ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ

з дисципліни «Вища математика

спеціальність: 071 Облік і оподаткування

галузь знань: 07 Управління та адміністрування

спеціалізація: Бухгалтерський облік

2019

2

Методична розробка відкритого навчального заняття з дисципліни «Вища

математика» за темою «Пряма лінія на площині».

Розробив Нестеров В.М. – викладач кваліфікаційної категорії «Спеціаліст

вищої категорії», викладач-методист Маріупольського будівельного коледжу-

2019.

Викладено методику проведення семінару із застосуванням інтерактивних

технологій, спрямованого на узагальнення та систематизацію знань і вмінь

студентів з теми «Пряма лінія на площині».

Для викладачів навчальної дисципліни «Вища математика» закладів фахової

передвищої освіти .

Рецензенти:

Сич Т.П. – викладач кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії»,

викладач-методист, голова циклової комісії економічних та автомобільних

дисциплін Маріупольського будівельного коледжу, голова регіонального

методичного об’єднання викладачів економічних дисциплін.

Карбан Н.В. – голова циклової комісії фізико-математичних і природничих

дисциплін, викладач кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії»,

старший викладач Маріупольського коледжу ДВНЗ «ПДТУ».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії природничо-математичних

дисциплін (протокол № 1 від 28.08.2019 р.)

Голова ЦК ___________ В.М. Нестеров

3

ЗМІСТ

Рецензії

Передмова

План заняття

Структура заняття

Хід заняття

Додаток А. Картки-завдання;

Додаток Б. Самостійна робота

Додаток В. Презентація «Прикладна задача».

Додаток Г. Презентація «Оптичні ілюзії».

4

7

9

11

12

17

18

19

25

4

Рецензія

на методичну розробку відкритого заняття

з теми «Пряма лінія на площині»

з дисципліни «Вища математика»,

підготовлену викладачем Маріупольського

будівельного коледжу Нестеровим В.М.

Методична розробка відкритого заняття з теми «Пряма лінія на площині» з

дисципліни «Вища математика» пропонує один із варіантів узагальнення і

систематизації знань з вищезазначеної теми у формі семінару. Це надає

викладачеві можливість застосувати на одному занятті такі види навчальної

роботи, як індивідуальна, парна, групова, колективна, а також надати студентам

можливість виявити індивідуальні здібності, творчість, поглибити інтерес до

науки.

Навчаючи і виховуючи студентів, викладач на занятті намагається

забезпечити їх постійну зайнятість і активність, створює максимальні умови для

контролю знань, умінь і навичок. Уміло використовує різні методи навчання,

внаслідок чого результативність та якість заняття є високими.

Методичне забезпечення заняття є повним: таблиці, конспекти, картки-

завдання для опитування, тести для самостійної роботи, ТЗН тощо.

Такий вид заняття, тобто вивчення дисципліни через узагальнення і

систематизацію, надає студентам можливість мати більш глибокі знання, показати

кращі результати, стати більш грамотними математично.

Запропонована методична розробка заслуговує на позитивну оцінку і може

бути рекомендована для викладачів математики закладів фахової передвищої

освіти.

Викладач кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії», викладач-

методист, голова циклової комісії економічних та автомобільних дисциплін

Маріупольського будівельного коледжу, голова регіонального методичного

об’єднання викладачів економічних дисциплін.

________________ Т. П. Сич

5

6

Рецензія на методичну розробку відкритого заняття

з теми «Пряма лінія на площині» з дисципліни «Вища математика»,

підготовлену викладачем Маріупольського будівельного коледжу Нестеровим В.М.

Відкрите заняття підготовлено відповідно до робочої і навчальної програм з

дисципліни «Вища математика». У методичній розробці відкритого заняття

викладач Нестеров В.М.:

1. Правильно поставив навчально-виховні задачі і цілі навчання.

2. Вміло поєднав методичні, виховні і розвивальні задачі заняття.

3. Використав різноманітні методи навчання, що активізують інтелектуальну

діяльність студентів.

4. У методичній розробці заняття передбачив постійну зайнятість і

активність студентів, забезпечив максимальні умови для контролю знань,

умінь і навичок.

5. Уміло використав різні методи навчання, досяг високої результативності

та якості заняття.

На підставі сказаного можна зробити такі висновки:

1. Методична розробка відкритого заняття відповідає теоретичному і

методико-практичному розділам навчальної програми.

2. Основні дидактичні функції цієї методичної розробки – осмислення,

повторення, закріплення та контроль знань і вмінь.

3. Методична розробка є простою і доступною у використанні, вона дає

можливість створювати системи навчання різного рівня.

4. Запропонована методична розробка заслуговує на позитивну оцінку і

може бути рекомендована для викладачів математики закладів фахової

передвищої освіти.

Голова циклової комісії фізико-математичних і природничих дисциплін,

викладач кваліфікаційної категорії «Спеціаліст вищої категорії», старший

викладач Маріупольського коледжу ДВНЗ «ПДТУ».

__________ Н.В.Карбан

7

ПЕРЕДМОВА

Розділ «Аналітична геометрія на площині» студенти коледжу починають

вивчати на другому курсі в третьому семестрі. Мета розділу – встановити

зв’язок між алгеброю і геометрією та знайомство з їх застосуванням.

Основним завданням цього розділу є систематичне вивчення основних

операцій з рівнянням лінії на площині, потрібних для розв’язування задач, які

часто зустрічаються не тільки в природничо-математичних дисциплінах, а і в

економічних курсах.

Розділ «Аналітична геометрія на площині» має визначальне значення для

студентів економічних спеціальностей. Розглянемо деякі приклади

застосування лінійної залежності в економіці.

1.Якщо через k позначити тариф перевезення вантажу на одиницю відстані,

b-витрати при перевезенні вантажу,що не залежать від відстані x, то загальну

вартість y перевезення вантажу на відстань x можна обчислити за допомогою

формули y=kx+b.

2.Якщо позначити через y витрати підприємства впродовж місяця при

випуску x одиниць однорідної продукції, то y може бути визначено за

формулою y=kx+b, де величина kx буде визначати змінні витрати, що

залежать від обсягу випуску (де k-витрати підприємства впродовж місяця на

одиницю продукції). Величина b визначає постійні витрати підприємства, які

не залежать від обсягу продукції, що випускається (витрати за рахунок

амортизації будинку, заробітної платні охорони, службовців і допоміжних

робітників,опалення будинку і т.п.).

Математичні методи для опису економічних задач, пов’язаних з теорією

рівнянь прямої, застосовуються з метою подальшого їх вирішення засобами

інформаційних технологій.

Для досягнення цих цілей необхідно мати високу працездатність, що

виробляється систематичною роботою, внутрішньою мобілізацією, а також

зацікавленістю до навчальної дисципліни, що вивчається.

Запропоноване заняття (2 години) систематизує, узагальнює знання та

8

вміння студентів виконувати дії з різними рівняннями прямої. У ньому

передбачено перевірку рівня знань із попередньої теми, виявлення типових

помилок при розв’язуванні задач, організацію колективної роботи за

допомогою консультантів з метою активізації розумової діяльності студентів,

презентацію прикладних тем.

Студенти повинні знати:

• означення прямої на площині;

• правило складання рівняння прямої, заданої різними способами.

Студенти повинні вміти:

• вільно проводити дії з різними рівняннями прямої;

• правильно обирати рівняння прямої згідно умови задачі;

• розв’язувати прикладні задачі із застосуванням рівнянь прямої.

9

План заняття

Навчальна дисципліна: ВИЩА МАТЕМАТИКА

Група Б-21 Дата 20.11.2019 р. № заняття 12

Спеціальність: 071 Облік і оподаткування

Галузь знань: 07 Управління та адміністрування

Спеціалізація: Бухгалтерський облік

Тема заняття: Пряма лінія на площині.

Мета заняття:

Методична: вдосконалення методики організації та проведення

семінарського заняття із застосуванням інтерактивних

технологій.

Дидактичні:

навчальна: систематизувати та узагальнити знання і навички студентів,

використовуючи формули аналітичної геометрії на площині

при розв’язуванні вправ.

розвивальна: розвивати вміння практичної реалізації та перетворення

системи знань на систему вмінь, розвивати самостійність

студентів під час виконання завдань, а також творчі здібності

та пізнавальний інтерес до дисципліни.

Виховна: виховувати культуру математичної мови, ерудованість та

наполегливість, взаємодопомогу, дисциплінованість,

відповідальність.

Вид заняття: семінар.

Тип заняття: семінар-практикум із застосуванням інтерактивних методів

навчання.

Форма проведення заняття: математичний диктант, репродуктивна та

евристична бесіда, розв’язання вправ, випереджувальні

завдання (презентації з теми), тестування, самостійна робота,

фронтальне опитування, метод «Злови помилку», метод

варіювання базових задач, фізкультхвилинка.

10

Міждисциплінарні зв’язки:

Забезпечуючі: геометрія, алгебра.

Забезпечувані: фізика, статистика, економічний аналіз,фінанси.

Методичне забезпечення: навчальна і робоча програми, методична розробка

заняття, роздавальний матеріал, таблиця «Аналітична

геометрія», презентація.

Технічні засоби навчання: мультимедійний проектор, ноутбук.

Література (основна та додаткова):

1. Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика. – К.: Центр

учбової літератури, 2009.

2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. – М.:

Айрис-пресс, 2008, 1 ч.

3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высшая

школа, 1991.

Епіграф до заняття: Математику вже за те слід любити, що

вона приводить розум до ладу.

М.В. Ломоносов

Людина, яка не знає математики, не здатна до

жодної з наук.

Роджер Бекон

11

Структура заняття

1. Організаційна частина.

2. Ознайомлення студентів із темою заняття.

3. Мотивація заняття.

4. Семінар.

4.1 Актуалізація опорних знань.

4.1.1 Математичний диктант

4.1.2 Коментування роботи під час математичного диктанту

4.2 Обговорення питань семінару

4.2.1 Розв’язування завдань на дошці.

4.2.2 Розв’язування пробних завдань.

4.2.3 Презентація студентів з теми:

- «Прикладна задача на рівняння прямої»;

- «Оптичні ілюзії».

5. Закріплення знань та вмінь при розв’язанні типових вправ.

6. Підсумок семінарського заняття.

7. Домашнє завдання.

12

Хід заняття

1. Організаційна частина.

1.1. Привітання.

1.2. Перевірка явки студентів на заняття.

1.3. Перевірка робочих місць, готовності студентів до заняття та їхнього

емоційного стану за допомогою стилізованих малюнків.

1.4. Відповіді на питання студентів.

2. Ознайомлення студентів із темою заняття, формування мети.

2.1. Тема: « Пряма лінія на площині.»

2.2. Мета:

- засвоїти правила складання рівняння прямої, заданої різними

способами;

- правильно обирати рівняння прямої згідно умови задачі;

- вільно проводити дії з різними рівняннями прямої.

2.3. Ознайомлення студентів із планом заняття.

2.3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку і має нормальний чи

напрямний вектор.

2.3.2. Рівняння прямої, заданої двома точками.

2.3.3. Рівняння прямої на відрізках.

2.3.4. Дослідження взаємного розміщення прямих.

3. Мотивація вивчення теми.

Тема сьогоднішнього заняття є дуже важливою. Знання правил складання

рівняння прямої необхідні не тільки для вашого загального розумового розвитку,

але і для професійної підготовки, оскільки рівнянням прямої (як одного з

фундаментальних понять аналітичної геометрії) послуговуються не тільки

природничо-математичні дисципліни, а й економічні: статистика,економічний

аналіз,фінанси.

4. Актуалізація опорних знань

4.1. Викладач викликає до дошки двох студентів, які працюють з картками

13

№1 і №2 самостійно (Додаток А).

Інші студенти виконують математичний диктант (питання диктанту

виводяться на екран за допомогою мультимедійного проектора). Мета

роботи: повторити основні формули, за якими на занятті будуть

виконуватися вправи. Викладач знайомить студентів з критеріями

оцінювання. За шість правильних відповідей студенти отримують

відмітку «5», за 5 – «4», за 3 та 4 – «3», за 1,2 правильних відповідей –

«2».

Питання математичного диктанту

1. Напишіть загальне рівняння прямої.

2. Напишіть рівняння прямої, що проходить через задану точку і має

заданий нормальний вектор.

3. Напишіть рівняння прямої, що проходить через задану точку і має

заданий напрямний вектор.

4. Напишіть рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

5. Напишіть рівняння прямої у відрізках.

6. Напишіть умову паралельності та перпендикулярності двох прямих.

4.2. Коментування математичного диктанту.

Викладач збирає зошити і аналізує роботу студентів.

5. Робота за планом семінару

5.1. Обговорення питань семінару (в кожного студента вони є в конспекті).

5.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку і має нормальний чи

напрямний вектор.

5.2.1. Студенти, що працювали з картками на дошці, по черзі коментують

розв’язання вправ. Це обговорюється зі студентами групи. Відповіді на

їх питання дає студент; йому допомагає викладач.

5.2.2. Самостійне розв’язання подібних вправ. Студенти розв’язують

завдання. Той із студентів, хто перший зробив роботу, може надавати

консультації тим, у кого виникли труднощі.

14

5.2.3. Інший студент пояснює спосіб розв’язання приклада з напрямним

вектором.

До дошки виходить наступний студент і працює за третьою карткою

(Додаток А).

5.2.4. Робота в парах.

Подібні вправи студенти виконують парами. Ті студенти, які виконали

завдання швидше спочатку допомагають напарникові, а потім удвох

надають необхідну допомогу іншим одногрупникам.

До дошки виходить наступний студент і працює з четвертою карткою.

5.3. Рівняння прямої, заданої двома точками.

Студент, що працював з карткою №3 на дошці, коментує розв’язання

вправи на рівняння прямої, заданої двома точками. Це обговорюється зі

студентами групи.

5.3.1. Викладач говорить студентам про економіку та економічну кризу

(міжпредметні зв'язки). Питання до групи: «Які позитивні моменти

можна виділити в економіці нашої держави на фоні економічної

кризи?» Прогнозована відповідь: «Рекордне підвищення врожайності

зернових». Викладач запрошує до дошки студента, якому раніше

доручив знайти зв'язок цієї відповіді до сьогоднішньої теми. Студент за

допомогою мультимедійного проектора показує презентацію

прикладної задачі (Додаток В).

5.4. Рівняння прямої на відрізках.

Студент, що працював з карткою №4, коментує розв’язання приклада

на рівняння прямої на відрізках і свідомо припускає помилку в

першому завданні. Завдання групі знайти цю помилку.

5.5. Дослідження взаємного розміщення прямих.

Викладач ділить групу на 2 чи 3 команди і пропонує встановити,

паралельні прямі чи ні? Проводиться фізкультхвилинка, яка дозволяє

зняти напруження, підвищити активність на занятті та забезпечити

результативність заняття. Студенти не піднімають або піднімають руки

15

вгору і повинні тримати їх паралельно або зімкнути в «замок» залежно

від вибраної відповіді.

а) 10х-2у+5=0,

5х-у+4=0;

б) 3х-2у+7=0,

3х+2у+5=0;

в) 2х+у-9=0,

6х-3у+2=0;

г) 10х+2у-1=0,

у+5х-4=0;

Потім викладач пропонує командам усно встановити, перпендикулярні

прямі чи ні?

а) х-2у+3=0,

2х-у+5=0;

б) 3х+2у+4=0,

2х-3у+5=0;

в) х+5у-2=0,

5х-у+3=0;

г) 15х+9у-1=0,

5х-3у+2=0.

Викладач визначає команду переможців і пояснює студентам, навіщо

час від часу необхідно піднімати руки вгору.

5.5.1. Перегляд презентації «Оптичні ілюзії».

Викладач звертається до групи зі словами, що кожна людина будь-якої

спеціальності (будівельник, автомеханік, дизайнер, бухгалтер і т.д.),

рано чи пізно, але буде вирішувати задачу, пов’язану з ремонтом у

своїй квартирі. Існує чимало засобів, що дозволяють «розсунути»

стіни, «підняти» стелю і зробити багато іншого. Й для цього зовсім не

обов’язково зносити стіни і перегородки, а просто скористатися

оптичними ілюзіями. Розпис в стилі "обманка" сьогодні дуже

популярний в інтер'єрах квартир і не тільки. Оптичними ілюзіями вже

давно цікавиться одна з наших студенток. Їй і слово. До дошки

виходить названа студентка і за допомогою мультимедійного

проектора показує презентацію оптичних ілюзій (Додаток Г).

6. Закріплення матеріалу із застосуванням тестових завдань.

Студенти самостійно виконують роботу із застосуванням тестових

16

завдань. (Додаток Б).

Там де є тестові завдання, пропонуються варіанти відповідей, а студенти

повинні обрати з них одну – правильну. Завдання (за бажанням деяких

студентів) виконуються за допомогою консультантів.

6.1. Питання до студентів.

1. Перелічити різні рівняння прямої.

2. За якими умовами прямі є паралельними та перпендикулярними

3. Де застосовуються рівняння прямої?

7. Підсумки заняття.

Викладач оцінює роботу кожного студента, коментує її; перевіряє

емоційний стан студентів. Якщо він покращився – заняття вдалося!

8. Домашнє завдання: скласти та розв’язати 3 задачі, використовуючи

метод варіювання базових задач.

Викладач пропонує студентам скласти домашнє завдання, використовуючи

метод варіювання базових задач. Тобто на основі базової задачі, розв’язаної на

занятті, студентам пропонується самостійно скласти індивідуальні завдання і

розв’язати їх вдома. Студенти високого рівня знань ускладнюють базову задачу, а

середнього і слабкого, природно, спрощують. Але, якщо розв’язок правильний,

то, звичайно, викладач заохочує і тих, і інших. Списування стало менш, а інтерес

до дисципліни збільшується.

Викладач В. М. Нестеров

17

Додаток А

Картки-завдання

№ 1

1. Напишіть рівняння прямої, що проходить через задану точку і має

заданий нормальний вектор.

2. Складіть рівняння висоти BD у трикутнику з вершинами A(4; -1);

B(-13; 2); C(3; 7).

№ 2

1. Напишіть рівняння прямої, що проходить через задану точку і має

заданий напрямний вектор.

2. Трикутник заданий точками A(5; 2), B(-3; -5), C(-5; -3). Скласти

рівняння прямої, що проходить через точку B паралельно AC.

№ 3

1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки A(-1; 2) і B(5; -3).

2. Прикладна задача на врожай зернових.

№ 4

1. Побудувати пряму 4x – y – 2 = 0 і свідомо припуститися помилки.

2. Побудувати пряму 3x – 4y + 12=0.

18

Додаток Б

Самостійна робота.

Варіант № 1

1.Побудувати пряму 3х + 4у – 12 = 0.

2.Скласти рівняння прямої, що задана двома точками М1 (1; 3) і М2 (4; 1).

Відповідь: а) 2х – 3у – 11 = 0; б) 2х + 3у – 11 = 0; в) 2х + 3у + 11 = 0.

Варіант № 2

1.Побудувати пряму 2х – 3у – 6 = 0.

2.Скласти рівняння прямої, що задана двома точками М1 (-1; 5) і М2 (3; -7).

Відповідь: а) 3х – у – 2 = 0; б) 3х + у – 2 = 0; в) 3х + у + 2 = 0.

19

Додаток В

Прикладна задача

У 1980 р. держава мала 108,5 тисяч тракторів і одержала з одного гектара

8,5 ц зернових. У 2013 р. держава мала 400 тисяч тракторів і одержала з одного

гектара 25,9 ц зернових. Дослідити вплив розширення тракторного парку на

зростання врожаю зернових.

Розв’язок

Позначимо час – х, кількість тисяч тракторів – у; врожай, який одержали з

одного гектара, позначимо z (центнерів).

За умовою задачі маємо чотири точки:

А (х1; у1); х1 = 1980, у1 = 108,5;

В (х2; у2); х2 = 2013, у2 = 400;

С (х1; z1); х1 = 1980, z1 = 8,5;

D (х2; z2); х2 = 2013, z2 = 25,9.

Знайдемо рівняння прямих – графіків зростання тракторного парку та

врожайності зернових з одного гектара за 1980–2013 роки у вигляді y = kx + b, -

рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані точки,

одержимо, що кутовий коефіцієнт прямої зростання тракторного парку

дорівнюватиме приблизно 8,83.

Використовуючи точки С і D, аналогічно знаходимо рівняння прямої зростання

врожайності зернових з одного гектара. Отже, її кутовий коефіцієнт

дорівнюватиме приблизно 0,53.

З умов задачі можна зробити висновок, що із зростанням тракторного парку

врожайність зернових з 1 га також зростає. Але кутовий коефіцієнт k1 графіка

зростання кількості тракторів є значно більшим за кутовий коефіцієнт k2 графіка

зростання врожайності зернових, але не пропорційно. Зростання кількості

тракторів, тобто зростання оснащеності сільського господарства, не є основним

фактором у підвищенні його ефективності. Необхідно враховувати вплив інших

факторів: якості насіння, культуру агротехніки тощо.

20

21

Додаток Г

Відповіді до математичного диктанту

Рівняння прямої

1. Ax + By + C = 0

2. A(x – x1) + B(y – y1) = 0

3. b

yya

xx 11 −=

−

4. 12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−

5. 1=+by

ax

6. Умова паралельності двох прямих

2

1

2

1

BB

AA

=

Умова перпендикулярності двох прямих

02121 =⋅+⋅ BBAA