МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

НАВЧАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

З НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Факультет______________________

Група__________________________

Студент________________________

Викладач_______________________

Київ – 2015

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

НАВЧАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

З НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Рекомендовано кафедрою нарисної геометрії та інженерної графіки Протокол №6 від 26.02.15

Київ – 2015

О.М. Крот, Л.В. Петіна, М.С. Гумен, Г.М. Коваль. Навчальні завдання з нарисної геометрії – К.: НТУУ "КПІ", 2015 – 36 с.

Відповідальний редактор В.В. Ванін Рецензент: Н.В. Білицька

3

ЗАГАЛЬНІ ВИМОГИ

Навчальні завдання з інженерної графіки містять графічні умови домашніх

і аудиторних завдань по кожній темі курсу. Домашні завдання розв'язуються студентами самостійно вдома, аудиторні

завдання – в аудиторії під керівництвом викладача. На кожному практичному занятті після відповіді викладача на питання студентів виконується контрольна робота з поточної теми за індивідуальними варіантами, під час якої викладач перевіряє домашні завдання і виставляє оцінку за них.

Графічні побудови виконуються олівцем із застосуванням креслярських інструментів безпосередньо на графічних умовах задач, шукані зображення виділяють червоним кольором.

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

1. Позначення геометричних елементів: точки позначаються великими буквами латинського алфавіту А, В, С,

..., або цифрами 1, 2, 3, ... ; лінії - малими буквами латинського алфавіту а, b, c, …; площини і поверхні - великими буквами грецького алфавіту , , , ...; проекції вказаних геометричних елементів позначаються тими ж

символами, що і оригінали, з індексами, які відповідють індексам площин проекцій: A

1,, A

2 , A

3 , l

1 , l

2 , l

3 , … .

2. Позначення, які характеризують відношення між геометричними елементами та дії над ними:

Символ Приклад

() – підмножина (елемент) належить множині; () - множина включає підмножину (елемент); ∩ - перетин геометричних елементів; - результат дії; - об’єднання; | | - паралельність; - перпендикулярність; °/ - символ мимобіжних прямих.

а - лінія а належить площині , А - точка А належить площині ; а -площина містить лінію а, а А- пряма а проходить через точку А; а ∩ b – лінія а перетинає лінію b; А b ∩ - точка А є точкою перетину прямої b з площиною ; АВ=АВ - пряма АВ є результатом об’єднання точок А та В; а | | b -пряма а паралельна до прямої b; а b -пряма а перпендикулярна до прямої b; а °/ b –прямі а та b мимобіжні

4

ЗАНЯТТЯ 1. ТОЧКА ТА ЇЇ ПРОЕКЦІЇ

Домашні завдання

1. Записати в таблицю відповіді на запитання.

2. Побудувати горизонтальну, фронтальну і профільну проекції точок А (10,15,20), В (20,0,10), С (0,10,15).

3. Виміряти на комплексному рисунку і записати (в мм) координати точок А, В, С, D. Визначити положення точок відносно площин проекцій.

2

1

22

21

3

3

4. Побудувати проекції довільних точок А, В, С так, щоб т. А належала площині проекцій П

1 , т. В – осі Оy,

т. С була б рівновіддалена від площин проекцій П

1 , П

2 , П

3..

5. Побудувати третю проекцію точки за двома заданими: а) координатним способом; б) проекційним способом; в) за допомогою сталої рисунка

22

1

2

1

3

а б в

Якими координатами визначається фронтальна проекція точки? Якою координатою визначається відстань від точки до фронтальної площини проекцій П2?

За якої умови точка буде належати площині проекцій П3? За яких умов точка буде рівновіддалена від площин проекцій П1 , П2 , П3? До якої з площин проекцій т. А(30,40,50) розміщена найближче ?

5

6. Визначити кількість вершин фігури. Вершини позначити. n =

7. Визначити відстань від точки А до осей проекцій.

А – Ох = А – Оу = А - Оz. =

2

1

Аудиторні завдання

8. Задано точки А, В, С, D, Побудувати: а) точку К, розміщену над точкою А на відстані 10 мм; б) точку L, розміщену під точкою В на відстані 15 мм; в) точку M, розміщену за точкою С на відстані 5 мм; г) точку N, розміщену перед точкою D на відстані 10 мм. Виміряти і записати координати побудованих точок.

1

2

1

2

1

2

1

2

K_(_________)

L_(_________)

M_(_________)

N_(_________)

9. Побудувати: а) за наочними зображеннями точок А, В, С їх ортогональні проекції;

б) за ортогональними проекціями точок D, Е, F їх наочні зображення.

2 3

33

22

1

1

6

10. Задано паралелепіпед з точкою А всередині. Побудувати точку В, симетричну точці А відносно верхньої грані; точку С, симетричну точці А відносно передньої грані; точку D, симетричну точці А відносно правого верхнього ребра; точку Е, симетричну точці А відносно переднього нижнього ребра; точку F, симетричну точці А відносно нижньої передньої правої вершини.

2

1

3

ЗАНЯТТЯ 2. ПРЯМА, ЇЇ ПРОЕКЦІЇ ТА СЛІДИ


11. Позначити проекції вершин піраміди SАВС на комплексному рисунку піраміди і записати в таблицю, яке положення займають ребра піраміди відносно площин проекцій.

S

7

12. Побудувати проекції прямих рівня, які проходять через точку А під заданими кутами до площин проекцій:

1. AB 1, = 30 2. AB

2, = 45 3. AB

3, = 60.

2

1

2

1

2

1

14. Знайти натуральну величину відрізка АВ та кут його нахилу до площини проекцій П

2..

15. Побудувати сліди M і N прямої а і знайти довжину відрізка MN та кут нахилу прямої до площини проекцій П

1.

H.B. AB= =

2

1

2

1

1

2

H.B. MN= =

16. Визначити взаємне розташування прямих (записати символічно) 2

1

2 2

11

2

1

2 2

22

11

1

1

__________ ___________ ___________

13. Вказати точки, розміщені а) на прямій _____ б) перед прямою _____ в) над прямою _____ г) за прямою _____ д) під прямою _____

1

2 22

2

2

2

1 1

1

1

1

8


17. Відкласти на прямій l відрізок АВ довжиною 25 мм.

18. Через точку А провести пряму, яка паралельна до площини П

1 і перетинає

пряму ВС.

2

1 1

2

2

2

2

1

1

1

19. Побудувати геометричне місце відрізків прямих довжиною 20 мм, які проходять через точку А та нахилені до осі Оу під кутом 30°.

Позначити один з відрізків.

2

1

3

20. Побудувати горизонтальну і профільну проекції піраміди SАВС, у якої ребро АС паралельне до фронтальної площини проекцій П2, а ребро АВ утворює з цією площиною кут =30. Визначити видимість ребер.

22

1

1

2

2 3

9

ЗАНЯТТЯ 3. ПЛОЩИНА. ТОЧКИ І ПРЯМІ У ПЛОЩИНІ


21. Записати визначники площин, їх положення в просторі та назви. F

2

1

2 2

11

2

1

2 22 2

11

1

1

22

2

1

0

0

(а | | b ) – загального положення, _________________________________, ___________________________, _________________________________, F___________________________

22. Побудувати відсутні проекції прямих n i m, які належать площині (А,В,С) а) m

2 – за двома точками;

б) n1 – за точкою та

напрямком (n2||B

2C

2 ) 2

2

1

1

1

2

2

1

23. В заданих площинах побудувати горизонталі на відстані 15 мм від площини П

1 і фронталі

на відстані 10 мм від площини П2 .

Знайти точки їх перетину.

2

1

2

22

1

1

1

2

а б в

24. Побудувати відсутні проекції точок М і N, які належать заданим площинам

2

2

1

1

1

2

22

1

0

0

2

22

1

1

1

2

а б в

10

25. Визначити належність точок M та N площинам Q(m∩n) та D(f0∩h0) і записати в символьній формі відповідь.

26. Побудувати сліди заданих площин.

2

1

1

2

22

1

0

0

22

11

2

1

2

1

________________ ________________

2

1

1

2

2

а б

27. Записати в таблицю кількість граней фігури

Назва грані Кількість Горизонтальна Фронтальна Профільна Горизонтально-проекціююча Фронтально-проекціююча Профільно-проекціююча Загального положення Загальна кількість граней


28. Побудувати фронтальну проекцію трикутника ABC, який належить площині (l∩m) (А

1В

1l

1).

29. Добудувати горизонтальну проекцію п'ятикутника ABCDE.

2

2

2

1

1

1

2

22

2

2

22

1

1

11

30. Побудувати сліди площини загального положення, яка проходить через пряму АВ та рівнонахилена до площин П

1 та

П2.

2

1

2

1

31. Побудувати сліди площини, яка проходить через точку А, паралельна до осі Ох та рівнонахилена до площин П

1

і П2 (без застосування площини П

3).

2

1

ЗАНЯТТЯ 4. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПЛОЩИН


32. Побудувати лінію перетину двох площин – за двома точками;

22

1

0

0

22

1

0

0

2 2

11

2

1

220I

10I

а б в – за точкою та напрямком.

2

1

1

2

22

1

0

0

220I

10I

2

2

11

2

а б в

12

33. Через точку А провести площину, паралельну до заданої площини.

2

1

0

0

2

1 1

2

220

10

1

2

2

1 1

2

а б в


34. Побудувати лінію перетину двох площин, одна з яких задана ΔАВС, друга – чотирикутником KLMN. Визначити видимість фігур.

35. Побудувати горизонтальну проекцію ΔАВС, площина якого паралельна до площини (mn), а сторона АВm.

2

11

2

2

2

2

1

22

22

22

2

1

1

1

1

1

1

1

36. Знайти точку К перетину трьох площин та визначити її координати. Записати алгоритм.

2

2

1

1

2

2

1

Алгоритм

________________ _________________ _________________

К ( )

13

ЗАНЯТТЯ 5. ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ


37. Побудувати точку К перетину прямої з площиною. 0

22

1

0

0

2 2

1 1

2

1

22

10

2

1

1

2

1

1

1

22

1

1

2

1

2

2 2

1

2

2

1

1

22

22

2 2

1

11

38. Через точку А провести площину , паралельну до прямої l, і записати її визначник.

а) Σ – горизонтально-проекціююча

2

1

1

2

Σ______

б) Σ – профільно-проекціююча

2

1

1

2

Σ_______

14


39. Через точку А провести пряму а так, щоб вона була паралельною до площини (mn) та перетинала пряму l.

2

2

1

1

2

2

11

40. Дано три мимобіжні прямі l, m, n. Побудувати пряму, яка паралельна до прямої n та перетинає прямі m і l.

22

1

1

2

1

41. Через точку А провести пряму так, щоб вона перетинала задані прямі m та n.

2

1

2

2

1 1

42. Провести пряму так, щоб вона перетинала три задані прямі m, n та l.

2

2

1 1

2

1

15

ЗАНЯТТЯ 6. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН


43. Через точку А провести пряму, перпендикулярну до заданої площини.

2

2

1

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1 1

22

1

а б в

44. Визначити відстань від точки А до заданої площини.

2

2

1

1

1

2

11

2

22

1

1

1

2

22

а б в

45. Через точку А провести площину, перпендикулярну до заданої прямої.

1

2

1

2

2 1

22 2

1

1

1

а б в

16

46. Визначити відстань від точки А до заданої прямої.

1

2

1

2

2 1

2 22

11

1

а б в

47. Через точку А провести площину ∆, перпендикулярну до заданої.

∆П1 ∆ заг. пол. ∆П

3

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

22

1

1

2

1

2 2

2

1 1

1

а б в


48. Побудувати горизонтальну проекцію прямої b, яка перетинає задану пряму а під прямим кутом.

1

2

2

17

49. Побудувати трикутник з прямим кутом при вершині А і гіпотенузою

ВС на прямій h.

1

1

2

22

1

50. Побудувати квадрат АВСD, який належить площині ∑( mn).

1

1

22

2

2

1

1

51. Побудувати відсутню проекцію ΔАВС, площина якого

перпендикулярна до площини ∑(а), де а – лінія найбільшого нахилу

площини ∑ до площини П2 .

2

2

1

1

22

1

18

ЗАНЯТТЯ 7. ЗАСТОСУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ МІСЦЬ ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ


52. Побудувати геометричне місце точок (гмт), рівновіддалених від точок А і В.

53. Побудувати гмт, віддалених від площини (АВС) на 20 мм.

2

22

1

11

2

1

2

1

54. Через точку А провести пряму, паралельну до площини (

1) і

віддалену від осі Оу на 10 мм.

55. Побудувати гмт, рівновіддалених від двох паралельних прямих m та n.

1

2

1

2

1

1

2


56. На осі Оz знайти точку С, рівновіддалену від точок А та В.

1

1

2

2

19

57. Побудувати пряму, паралельну до площини (

2) і дотичну в точці

К до сфери з центром в точці С.

1

1

22

2

58. Через точку А провести пряму, нахилену до площини П

1 під кутом

45°, а до площини П2 під кутом 30°.

59. Побудувати гмт, рівновіддалених від прямих h та f.

1

2

2

2

1

1

60. Через точку А провести пряму, нахилену до площини П

1 під кутом

40° і паралельну дo площини ∑(h∩f).

1

2

2

2

1

1

ЗАНЯТТЯ 8. СПОСІБ ЗАМІНИ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ


61. Визначити натуральну величину (н.в.) відрізка АВ і кути нахилу його до площин проекцій П

1 і П

2 ..

2

2

1

1

20

62. Визначити відстань між паралельними прямими.

2

2

11

22

1

1

63. Визначити двогранний кут при ребрі АВ.

2 2

1

1

1

22

1

64. Визначити відстань між паралельними площинами і кут нахилу їх до площини П

1.

2

1

1

2

2

1

0

0

21

65. Визначити н.в. ΔАВС, кут нахилу площини трикутника до площини П2 та відстань від точки D до площини трикутника.

2 2

1

1

1

22

1


66. Визначити відстань між прямими АВ та СD і побудувати проекції найближчих точок.

.

22

1

1

1

1

22

67. Побудувати фронтальну проекцію відрізка АВ, паралельного до відрізка CD і віддаленого від нього на 15 мм.

11

2 2

1

1

22

68.. Побудувати пряму, рівновіддалену від заданих точок А, В, С та D.

2 2

1

1

221

1

ЗАНЯТТЯ 9. ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ЛІНІЇ РІВНЯ


69. Визначити н.в. кута між прямими h та f.

70. Сумістити з площиною П1 площину

)( 00 fh та точку А(А1), яка належить

цій площині.

2

1

1

2

2

1

0

01

71. Визначити натуральну величину ΔАВС.

72. Побудувати проекції точки А, яка належить площині )( 00 fh , за її суміщеним положенням.

22

1

1

1

2

2

1

0

0

110

23

73. Визначити кут між прямими т та п.

2

2

1 1

2

1


74. Визначити кут між прямою l та площиною )( fh .

75. Визначити кут між заданими площинами )( 00 fh та )( fh .

2

1

1

2

2

1

0

0

2

1

2

1

2

1

1

2

ЗАНЯТТЯ 10. КРИВІ ЛІНІЇ І ПОВЕРХНІ


76. Побудувати в заданій площині проекції кола. Центр кола –точка С, діаметр дорівнює 22 мм.

2

2

1

0

0

2

2

1

1

а б

24

77. Побудувати відсутні проекції точок, які належать заданим поверхням. Точки вважати видимими на тих зображеннях, де задані їх проекції.

2

1

1

1

3

3 2

2

1

1

3

Аудиторні завдання 78. Побудувати проекції прямого кругового конуса, основа якого розташована в заданій площині. Діаметр основи дорівнює 24 мм, висота конуса – 35 мм.

22

11 1

2

25

79. Побудувати відсутні проекції точок, які належать заданим поверхням. Точки вважати видимими на тих зображеннях, де задані їх проекції. а) тор Ѳ(m,i) [mر i], де m – коло, I – вісь обертання; б) коноїд (прямий гелікоїд) Ѳ(m,n,l,П

1) [l

i∩m Λ l

i ∩n Λ l

iIIП

1]

де m,n – напрямні, l – твірна, П

1 – площина паралелізму;

в) циліндроїд Ѳ(m,n,l,∑) [l

i∩m Λ l

i ∩n Λ l

iII∑],

де m,n – напрямні, l – твірна, ∑ - площина паралелізму

2

2

1

2

1

1

1

1

2

а

22

1

1

2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

1

б в

80. Побудувати проекції поверхні, утвореної обертанням відрізка АВ навколо прямої b. Записати назву поверхні та її визначник.

_______________________ _______________________

2

2

1

11

2

26

ЗАНЯТТЯ 11. ПЕРЕРІЗ ПОВЕРХОНЬ ПЛОЩИНАМИ


81. Побудувати проекції ліній перетину заданих поверхонь проекціюючою площиною з урахуванням видимості

2 22

2

22 2

1

1

11

1

1

а) б) в) 82. Провести сліди-проекції площин, які перетинають задані поверхні по

вказаних фігурах. Побудувати проекції цих фігур з урахуванням видимості. а) по восьмикутнику б) по параболі в) по еліпсу (більше половини)

83. Визначити та записати площину, яка перетинає задані геометричні тіла по вказаній в таблиці фігурі.

1. Прямокутник __________________ 2. П'ятикутник____________________ 3. Шестикутник __________________ 4. Парабола______________________ 5. Гіпербола_____________________ 6. Еліпс_________________________ 7. Трикутник_рівнобедрений_______ 8. Частина еліпса_______________

22 2

1

1

1

1

1

1

1

27


84. Побудувати горизонтальну проекцію лінії перетину поверхні однопорожнинного гіперболоїда площиною Σ і визначити н.в. фігури перерізу.

2

85. Побудувати проекції лінії перетину поверхні конуса площиною Σ і визначити н.в. фігури перерізу.

2

2

1

1

4

11

2

2

4

4

4 2

0

012

1

40

28

86. Побудувати горизонтальну проекцію лінії перетину поверхні піраміди площиною Σ і н.в. фігури перерізу.

2

ЗАНЯТТЯ 12. ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ ТІЛ ПЛОЩИНАМИ. ПОДВІЙНЕ ПРОНИКАННЯ


87. Добудувати горизонтальну та профільну проекцію фігури з наскрізним отвором. Виконати горизонтальний та профільний розрізи.

а б

29

в г


88. Добудувати горизонтальну та профільну проекцію фігури. На всіх зображеннях виконати розрізи.

30

89. Добудувати горизонтальну та профільну проекцію фігури. На всіх зображеннях виконати розрізи.

ЗАНЯТТЯ 13. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ З ПОВЕРХНЕЮ ТІЛА

Домашні завдання 90. Знайти точки перетину прямої з поверхнею. Встановити видимість прямої.

2

1

2

2

1 1

а б в

31

91. Знайти точки перетину прямої з поверхнями конуса та циліндра. Встановити видимість прямої.

2

1

2

1

а б


92. Знайти точки перетину прямої з поверхнями еліптичного циліндра та однопорожнинного гіперболоїда. Встановити видимість прямої.

1

1

2

2

2

1

32

а б

93. Побудувати прямокутний ΔАВС за гіпотенузою АС і вершиною В, яка належить прямій l.

94. Через точку А провести пряму, яка перетинає пряму l та рівнонахилена до прямої а та площини проекцій П

1.

2

1

1

22

1

2

1

2

1

2

1

ЗАНЯТТЯ 14. ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

Домашні завдання 95. Побудувати лінію перетину поверхонь.

33

а б 96. Побудувати лінію перетину поверхонь.

а б

97. Визначити тип перетину поверхонь (врубка або проникання). Виділити на основах тіл зони неперетинання. Побудувати кілька точок лінії перетину поверхонь.

2

1

1

2

а б

34


98. Побудувати лінію перетину поверхонь двох тіл.

а

б

35

99. Побудувати лінію перетину заданих поверхонь.

ЛІТЕРАТУРА

1. Михайленко В.Є., Ванін В.В., Ковальов С.М. Інженерна графіка. – К.: Каравела; Львів: Новий Світ– 2000, 2002. – 336 с.

2. Гордон В.О., Семенов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука, 1988. – 272 с.

3. Ванін В.В., Перевертун В.В., Надкернична Т.М., Власюк Г.Г. Інженерна графіка. – К.: Видавнича група ВНV, 2009.– 400 с.

4. Хмеленко О.С. Нарисна геометрія. Підручник – К.: Кондор, 2008. – 440 с. 5. Крот О.М., Петіна Л.В., Гумен М.С. Навчальні завдання з нарисної

геометрії для програмованого навчання– К.: КПІ, 1991. – 88 с.

36

ЗМІСТ

Заняття 1. Заняття 2. Заняття 3. Заняття 4. Заняття 5. Заняття 6. Заняття 7. Заняття 8. Заняття 9. Заняття 10. Заняття 11. Заняття 12. Заняття 13. Заняття 14.

Загальні вимоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Умовні позначення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Точка та її проекції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пряма, її проекції та сліди . . . . . . . . . . . . . . . . Площина. Точки і прямі у площині . . . . . . . . . Взаємне положення площин . . . . . . . . . . . . . . . Взаємне розташування прямої та площини . . . Перпендикулярність прямих і площин . . . . . . Застосування геометричних місць при розв'язуванні задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Спосіб заміни площин проекцій . . . . . . . . . . . Обертання навколо лінії рівня . . . . . . . . . . . . . Криві лінії і поверхні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Переріз поверхонь площинами . . . . . . . . . Перетин поверхонь тіл площинами. Подвійне проникання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Перетин прямої з поверхнею тіла . . . . . . . . . . . Перетин поверхонь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 6 9 11 13 15 18 19 22 23 26 28 30 32 35

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА...

Documents