МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ · web viewb основі...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

“МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМ НАВЧАННЯ ЗІ

СПЕЦІАЛЬНОСТІ 8.030504 – “ЕКОНОМІКА ПІДПРИЄМСТВА”

КРЕМЕНЧУК 2010

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни

“ Моделювання економічної динаміки ” для студентів денної та заочної форм

навчання зі спеціальності 8.030504 “Економіка підприємства“

Укладач канд. техн. наук, доц. В.Є. Черніченко

Рецензент док. екон. наук, доц. А.О.Касич

Кафедра економіки

Затверджено методичною радою КНУ імені Михайла Остроградського

Протокол № від « » 2010 р.

Заступник голови методичної ради доц. С.А. Сергієнко

2

ЗМІСТ

Вступ ………………………………………………………………………………..4

Перелік практичних занять……………………………….. …………....................6

Практичне заняття №1: принципи моделювання економічних

процесів………………………………………………………………………….......6

Практичне заняття №2: якісні методи аналізу соціально-економічних

систем………………………………………………………………………………. 9

Практичне заняття №3: синергетичний підхід у моделюванні та аналізі

економічних процесів……………………………………………………………. 12

Практичне заняття №4: рівновага та нерівновага, стійкість та нестійкість

динамічних моделей економіки………………………………………………….15

Практичне заняття №5: нестійкість і нелінійність як джерело

невизначеності економічних процесів…………………………………………. 18

Практичне заняття №6: лінійні динамічні моделі …………………………21

Практичне заняття №7: нелінійні динамічні моделі економічних

систем………………………………………………………………………………27

Практичне заняття №8: Моделі економічних змін та їх аналіз…………... 31

Практичне заняття №9: стохастичні моделі економічної динаміки ………36

Список літератури …………………………………………………………………39

.

3

ВСТУП

Дисципліна "Моделювання економічної динаміки" входить до циклу

вибіркових дисциплін спеціальності "Економіка підприємства". Дисципліна

розглядає методи побудови, аналізу та розв'язання конкретних економіко-

математичних моделей, прогнозування розвитку реальних економічних

процесів, побудови методичної, алгоритмічної та програмної реалізації

математичної моделі, яка досліджується.

Предмет вивчення дисципліни: динамічні моделі економіки..

Міждисциплінарні зв’язки: вивчення даної дисципліни базується на

знаннях, отриманих студентами з дисциплін “Вища математика”,

“Інформатика і комп´юторна техника”, “Економетрія”, “Економіка

підприємства”, “Мікроекономіка”, “Макроекономіка”.

Знання, одержані протягом вивчення дисципліни “Моделювання

економічної динаміки ”, використовуються при практичній діяльності

побудови моделей виробничих процесів , а також при виконанні курсових та

дипломних робіт.

Мета дисципліни: формування системи теоретичних знань і практичних

навичок побудови та аналізу математичних моделей динаміки розвитку

економічних процесів.

Завдання вивчення дисципліни:

- оволодіння теоретичними знаннями та інструментарієм моделювання

динамічних економічних процесів;

- набуття вмінь постановки і самостійного розв'язання задач аналізу,

прогнозування, прийняття рішень та управління ризиком з використанням

моделей економічної динаміки.

У результаті вивчення дисципліни студент повинен

знати:

- основні принципи математичного моделювання складних економічних

систем;4

- методи побудови лінійних і нелінійних динамічних моделей економічних

систем;

- якісні методи аналізу соціально-економічних систем;

- методи побудови моделей економічних змін;

вміти:

- будувати лінійні і нелінійні динамічні моделі економічних систем та

проводити за ними економічний аналіз;

- володіти методологією аналізу динамічних моделей економіки на

рівновагу та нерівновагу, стійкість та нестійкість;

- проводити якісний аналіз соціально-економічних систем та аналіз моделей

економічних змін.

5

ПЕРЕЛІК ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №1

Тема. Принципи моделювання економічних процесів

Мета: ознайомитись з основними поняттями та визначеннями динамічних

систем, розглянути їхні властивості та формальне визначення, а також

математичний апарат опису динамічних характеристик складних систем.

Короткі теоретичні відомості

Динамічною називається система, параметри якої явно або неявно залежать

від часу. Із цього визначення витіняє, що клои для поведінки системи визначені

функціональні рівняння, то в них включаються в явному виді змінні, стосовні до

різних моментів часу.

Найважливіші властивості складних динамічних систем:

1. Цілісність (емерджептністъ).

B системі окремі частини функціонують спільно, становлячи в сукупності

процес функціонування системи в цілому.

2. Взаємодія із зовнішнім середовищем.

Система реагує на вплив навколишнього середовища, еволюціонує, але при

цьому зберігає якісну визначеність і властивості, що відрізняють її від інших

систем.

3. Структура.

При дослідженні системи структура виступає як спосіб опису її організації.

Структура динамічна за своею природою, її еволюція в часі й просторі відбиває

процес розвитку систем.

4. Нескінченність пізнання системи.

Система може бути представлена нескінченним числом структурних і

функціональних варіантів, що відбивають різні аспекти системи.

5. Іерархічність системи.

Кожний елемент у декомпозиції системи може розглядатися як цілісна система,

елементи якої, у свою чергу, можуть бути також представлені як системи.

6

6. Елемент.

Під елементом розуміється найменша ланка в структурі системи, внутрішня

будова якого не розглядається на обраному рівні аналізу.

Однак для більше докладного вивчення властивостей динамічних економічних

систем (ЕС) необхідно розглянути ще ряд найважливіших властивостей і

характеристик.

1. Стан системи. Стан системи визначається станами її елементів. Зміна стану

елемента може відбуватися неявно, безупинно й стрибкоподібно.

2. Поводження системи. Під поводженням системи розуміється закономірний

перехід з одного стану в інший, обумовлений властивостями елементів і

структурою.

3. Безперервність функціонування. Динамічним системам властива

безперервність функціонування. Функціонування системи пов'язане з

безперервними змінами, нагромадження яких приводить до розвитку.

4. Розвиток системи. Життєдіяльність складної системи – постійна зміна фаз

функціонування й розвитку перебудові системи, її підсистем і елементів.

Розвиток, як правило, пов'язаний з ускладненням системи, тобто зі збільшенням

її внутрішнього різноманіття.

5. Динамічність. Економічна система функціонує й розвивається в часі, вона

має передісторію й майбутнє, характеризується певним життєвим циклом, у

якому можуть бути здійснені певні фази: виникнення, ріст, розвиток,

деградація, ліквідація або стимул до зміни.

6. Складність. Економічна система характеризується більшою кількістю

неоднорідних елементів і зв'язків, поліфункціональністю, поліструктурністю,

багатокритеріальністю, багатоваріантністю розвитку й властивостями складних

систем.

7. Гомеостатичністъ. Гомеостатичність відбиває властивість системи до

самозбереження, протидіє руйнуючим впливам середовища.

7

8. Цілеспрямованість. Всім динамічним системам в економіці властива

цілеспрямованість, тобто наявність певної мети й прагнення до її досягнення.

Розвиток системи пов'язаний саме зі зміною мети.

9. Керованість. Керованістю називається свідома організація цілеспрямованого

функціонування системи і її елементів.

Властивості керованості проявляються також у таких особливостях, як відносна

автономність і функціональна керованість.

10. Адаптивність. Адаптивність економічної системи визначається двома

видами адаптації – пасивної та активної.

11. Стійкість. Систему визначають стійкою відносно введеного визначення

середовища, якщо при досить малих змінах умов функціонування її поведінка

істотно не змінюється.

12. Стан рівноваги. Стійкість системи пов'язана з її прагненням до стану

рівноваги, що припускає таке функціонування елементів системи, при якому

забезпечується підвищена ефективність руху до цілей розвитку. B реальних

умовах система не може повністю досягти стану рівноваги, хоча й прагне до

нього.

План практикуму

1. Динамічні системи і їхні властивості.

2. Формальне визначення динамічної системи.

3. Математичний апарат опису динамічних характеристик складних систем.

Завдання до теми

Теми рефератів

1. Основні поняття та визначення динамічних систем.

2. Властивості та формальне визначення динамічних систем.

3. Математичний апарат опису динамічних характеристик складних систем.

Контрольні питання

1. Що вивчає економічна динаміка?

2. Яка система називається динамічною? Якими складовими формально

описується динамічна система?8

3. Що являє собою траєкторія поводження системи?

4. Які основні якісні характеристики складної системи? Дайте коротке

пояснення кожній властивості.

5. B чому полягає розходження поводження й розвитку системи?

6. Які види перетворень використовуються для опису динамічних

характеристик систем?

7. Дайте характеристику трьом режимам поводження системи: рівноважному,

перехідному й періодичному.

8.З чого складається властивість стійкості системи?

Література: [1, с. 4-19; 10, с.13-26; 12, с. 5-20, 25-30; 17, с. 4-16; 18; 23].


Тема. Якісні методи аналізу соціально-економічних систем

Мета: ознайомитись з якісними змінами в соціально-економічних системах та

описом якісних змін у динамічних неперервних системах, розглянути якісні методи

аналізу поводження динамічних систем.


Поводження складних соціально-економічних систем супроводжується не

тільки кількісними, але й якісними змінами.

Якість характеризує цілісну нерозчленовану визначеність предметів і явищ.

Структура — це категорія, що характеризує розподіл взаємодії в просторі

елементів, предметів і явищ, програму їхнього розвитку. Структура тісно

пов'язана з якістю.

Зміна якості предметів у всіх випадках пов'язана з будівництвом структури

складових їх елементів.

Розвиток може розглядатися як сукупна зміна у взаємозв'язку кількісних,

якісних і структурних категорій у системі.

Кількісні зміни — це збільшення або зменшення складових частин цілого,

що виражається збільшенням або зменшенням їх числових значень, які

приводять за рахунок своєї зміни до якісного стрибка. 9

Структурні зміни — це зміни складових частин, які зовсім не обов'язково

повинні супроводжуватися збільшенням або зменшенням їхньої кількості.

Навпаки, кількість складових частин може залишатися незмінною. Таким чином

структурні зміни також можуть приводити до якісного стрибка.

Під законом буде розумітися деякий спосіб виразу стійкості зв'язків і

відносин між предметами і явищами, а також стійкості структури (організації)

самих цих предметів і явищ. Іншими словами, закон виражає собою не тільки

порядок перетворень предметів і явищ у процесі їхнього розвитку, але й спосіб

їхнього існування, характер їхньої внутрішньої організації.

Закони поділяють на дві більші категорії:

■ закони будови й функціонування характеризують внутрішній зв'язок між

елементами системи й умовами збереження цілісності матеріальної структури

об'єкта, її відносної стійкості в процесі безперервних змін;

■ закони розвитку характеризують певну послідовність, ритм, темп та ін.

перебудови матеріальних структур, зв'язок між різними співвідношеннями

системних об'єктів.

Закони розвитку начебто підкоряють собі закони дії. Закони функціонування не

здатні самі по собі пояснити процес розвитку, вони лише розкривають спосіб

руху, його механізм.

Основним способом опису динаміки безперервних економічних систем є

використання апарата диференціальних рівнянь.

Диференціальне рівняння — це рівняння, що містить невідому функцію

однієї або декількох змінних; незалежні змінні й похідні невідомої функції за

незалежними змінними.

Розв'язати диференціальне рівняння означає знайти всі невідомі функції, що

перетворюють рівняння в тотожність.

Для опису дискретних динамічних систем, тобто таких, поводження яких

розглядається в дискретні моменти часу, застосовуються кінцево-різницеві

рівняння. Вхідні до їхнього складу кінцеві різниці є дискретним аналогом

похідних.10

Якщо відомий ряд спостережень за деякою величиною y 1 , y 2 , . . . . , y t , . . . . , y x , тоді

кінцевою різницею 1-го порядку називається

Кінцево-різницеве рівняння включає кінцеві різниці різних порядків і може

бути приведене до виду:

Кінцево–різницеві рівнянні часто застосовуються в тих випадках, коли систему

можливо спостерігати лише в певні моменти часу. Така ситуація типова для

економіки, де практично всі величини виміряються з деякою періодичністю,

тобто в суворо визначені моменти.

Завдання якісного методу — одержання якісного результату, тобто

характерних рис усього явища відразу й, частково,— прогнозування явища.

Математична частина якісного дослідження системи складається з зіставлення

фазового портрета реальним соціально-економічним процесам або об'єктам

разом із проведенням аналізу.


1. Якісні зміни в соціально-економічних системах.

2. Опис якісних змін у динамічних неперервних системах.

3. Якісні методи аналізу поводження динамічних систем.



1. Характеристики якісних і кількісних змін в соціально-економічних системах.

2. Методи опису якісних змін у динамічних неперервних системах.

3. Методи опису якісних змін у дискретних динамічних системах.


1. У чому відмінності кількісних, структурних і якісних змін у системах?

2. Які існують різні механізми якісних змін?

3. У чому полягає основне завдання якісного аналізу динамічних систем?

11

4. Яким чином здіснюється якісний аналіз?

5. Який вид має звичайне диференціальне рівняння? Система диференціальних

рівнянь?

6. Що означає розв'язати диференціальне рівняння?

7. У чому відмінність загального й приватного розв'язання диференціально-

го рівняння?

8. Які виділяються види диференціальних рівнянь 1-го

порядку?

Література: [3, с. 43-59; 10, с. 26-38; 19, с. 35-50].


Тема. Синергетичний підхід у моделюванні та аналізі економічних

процесів

Мета: ознайомитись з основними поняттями синергетики як науки, розглянути

ії основні принципи, а також підхід до опису структури зовнішнього світу,

характеру поводження й руху ринку.


Як відомо, в основі системного аналізу лежить принцип системності, а в

основі теорії самоорганізації – принцип розвитку.

До теорії самоорганізації відносяться синергетика, теорія змін і теорія

катастроф.

Синергетика являє собою евристичний метод дослідження відкритих

систем, що самоорганізуються, підпорядкованому кооперативному ефекту, що

супроводжується утворенням просторових, тимчасових або функціональних

структур; або, коротко, процесів самоорганізації систем різної природи.

Сьогодні синергетика – це наука про математичне моделювання переходу

систем з одного стійкого стану в інший. Сукупність знань про хаос і порядок,

перехідних процесах, фракталах і нелінійності, які називають синергетикою,

розуміють і як теорію, і як навчання, і як науку, і як світогляд, що виходять із

12

всіляких образів, фактів, понять про хаос, порядок, когерентність, перехідні і

кооперативні процеси у природі, суспільстві, духовному світі. Перелік ідей, що

формують синергетику як парадигму, містить у собі нелінійність,

самоорганізацію, відкритість системи, її нерівновагу тощо.

Завдання синергетики містяться в знаходженні й детальному дослідженні

тих базових моделей, які виходять із найбільш типових припущень про

властивості окремих елементів, що становлять систему і законах взаємодії між

ними.

Виділяються чотири принципи теорій синергетики:

нелінійність, нестійкість, підлеглість, самоспрощення системи.

Змістовний блок методології синергетики містить у собі принципи:

становлення, пізнавання, згоди, відповідності, додатковості.

Із понятійного апарата синергетики витікає:

у процесі свого розвитку система проходить дві стадії: еволюційну (так звану

адаптаційну) і революційну (стрибок, катастрофа). Після формування нової

дисипативної структури система знову стає на шлях плавних змін, і цикл

повторюється.

Усинергетиці була вперше обґрунтована властивість фрактальності об'єктів

світу. Фрактальними є процеси зі зворотним зв'язком, у яких вихідні

характеристики функціонально пов'язані із вхідними, причому цей зв'язок є

нелінійним. Це такі процеси, які функціонують на принципах відносин «ресурс

– споживач».

Поняття «фрактал» нерозривно пов'язане з поняттям хаос. Хаос — це

відсутність передбачуваності. Хаос виникає в динамічних системах, коли для

двох дуже близьких початкових значень система поводиться зовсім по-різному.

Фрактали визначають структуру хаосу. Ha фазовій площині такому

поводженню відповідає замкнута крива, називана атрактором (від

англійського дієслова to attract - притягати) — безліч траєкторій, що

характеризують сталий процес. Це і є явище динамічного або детермінованого

хаосу. 13

Існує чотири нелінійні функції, які допомагають нам визначити цей порядок у

нашій власній свідомості. Цей порядок чотириразовий: всі зовнішні явища

взаємодіють відповідно до того, що називається чотирма аттракторами —

силами, які витягають порядок з безладдя. Вони називаються крапковим

атрактором, циклічним атрактором, атрактором mopac і дивним

атрактором. Ці чотири атрактора формують основну структуру зовнішнього

світу, характер поводження й руху ринку.


1. Синергетична парадигма вивчення складних економічних систем.

2. Розвиток концепцій самоорганізації.

3. Основні поняття самоорганізації.

4. Початкові відомості про фрактали. Завдання до теми


1. Завдання і підхід синергетики як науки до дослідження складних

економічних систем, основні поняття.

2. Принципи приватних теорій синергетики і їх характеристика.

3. Фрактальний підхід до дослідження складних економічних систем.


1. Які причини появи синергетики і її часткових на-

прямів?

2. Сформулюйте основні положення синергетики.

3. B чому розходження системного й синергетичного підходів до

дослідження складних систем?

4. Охарактеризуйте ідеї И. Пригожина, H. Моісеєва, JI. Курдюмова,

Г. Хакена.

5. B чому розходження й спільність підходів ідей різних шкіл?

6. Охарактеризуйте основні поняття самоорганізації?

7. Які явища називаються фракталами?

8. Для чого застосовуються фрактали в дослідженні складних систем?14

9. Який зв'язок фракталів і хаосу?

10. Які існують види фракталів?

11. Що таке атрактори і які їх основні види?

Література: [7, с. 59-78; 9, с. 113-129; 10, с. 38-71; 19; 33].


Тема: рівновага та нерівновага, стійкість та нестійкість динамічних

моделей економіки

Мета: ознайомитись з поняттями рівноваги й стійкості динамічних систем,

розглянути класифікацію станів рівноваги динамічних систем другого порядку

та стохастичну стійкість систем.


Економічна динаміка, що вивчає поводження складних динамічних систем в

економіці, не може залишити без уваги такий важливий напрямок, як стійкість і

рівновага систем.

Під рівновагою розуміється стан, що зберігається як завгодно довго при

відсутності зовнішніх впливів. Таким чином, врівноважений стан системи –

це такий її стан, з якого система не вийде під дією тільки внутрішніх причин

(іншими словами, немає таких внутрішніх сил, які б прагнули й могли змінити

стан рівноваги). Очевидний приклад – рівновага на ринку деякого товару,

рівновага політичних сил у суспільстві.

Під дією зовнішніх впливів рівновагу може бути порушено, і система

перейде в інший стан. B цьому випадку в дію вступає друга характеристика

динамічної системи — поводження. B залежності від будови системи,

властивостей і складових її елементів, поводження може істотно розрізнятися.

Принципово різними виявляються два варіанти розвитку подій після того, як на

систему зроблено деякий вплив зовнішнього середовища: повернення у

вихідний стан і подальше видалення від вихідного стану. Ці можливості

описуються поняттям стійкості.

15

Під стійкістю розуміють здатність системи повертатися в врівноважений

стан у випадку, якщо вона була виведена з нього. B такому випадку стан

рівноваги називається стійким. Другому варіанту відповідає нестійкість стану

й системи.

Таким чином, у заданий момент часу система може перебувати в стані

рівноваги, і в такому випадку часто говорять про врівноважену систему, або

перебувати в стані нерівноваги (нерівновага система).

Нарешті, поводження системи також може бути піддано деяким змінам у

часі. Цій можливості відповідає поняття стаціонарності. Стаціонарність є

властивістю поводження процесів, що відбуваються в системі, і означає, що

характер (закон) функціонування системи не змінюється з часом. Так,

функціонування виробничо-економічної системи можна вважати стаціонарним,

якщо технології виробництва не міняються протягом розглянутого періоду. B

цьому випадку систему можна описати за допомогою економіко-статистичних

моделей. Якщо ж відбувається зміна технологій виробництва, то закон

функціонування змінюється, наприклад, змінюються величини нормативної

продуктивності ресурсів, і попередній закон функціонування виявляється

недійсним. B перехідний період систему вже не можна описати за допомогою

статистичних моделей, а варто залучити потужніші математичні інструменти.

За аналогією з поняттями рівноваги й стійкості системи часто говорять про

стаціонарні й нестаціонарні системи. B стаціонарній системі всі процеси, що

відбуваються, стаціонарні, а в нестаціонарній існує хоча б один нестаціонарний

процес.

Таким чином, рівновага є властивістю стану, стійкість – властивістю

системи, а стаціонарність – властивістю процесів, що відбуваються в системі.


1. Рівновага й стійкість динамічних систем.

2. Формальне подання стійкості динамічних систем.

3. Класифікація станів рівноваги динамічних систем другого порядку.

4. Стохастична стійкість систем.16



1. Рівновага та нерівновага динамічних систем в економіці.

2. Стійкість та нестійкість, стаціонарність та нестаціонарність процесів

динамічних систем в економіці, їх математичний опис.

3. Аналітичне ї графічне зображення станів рівноваги динамічних систем

другого порядку.

4. Поняття стохастичної стійкості динамічних систем, визначення,

математичний опис.


1. Що означає стійкість системи?

2. B чому розходження понять «рівновага», «стійкість» і «стаціонарність»?

3. Що являє собою рівноважний стан системи?

4. Які виділяються типи стійкості стану системи?

5. Що затверджує теорема Ляпунова про стійкість?

6. Як проводиться класифікація станів рівноваги для систем другого порядку?

7. Що являють собою вузол, сідло, фокус, центр?

8. B чому відмінність поняття стійкості для стохастичних систем?

9. Які випадкові процеси називаються стійкими?

Література: [10, с. 71-87; 22, с. 92-115; 23, с.56-70].


Тема. Нестійкість і нелінійність як джерело невизначеності економічних

процесів

17

Мета: ознайомитись з наслідками нестійкості і нелінійності у динамічних

системах, розглянути вплив хаосу на керування динамічними економічними

системами.


«Нелінійність» - фундаментальний концептуальний вузол нової парадигми,

яку можна назвати також парадигмою нелінійності.

B математичному змісті нелінійність означає певний вид рівнянь, що містять

шукані величини в ступенях більше одиниці або коефіцієнти, що залежать від

властивостей середовища. Нелінійні рівняння можуть мати до трьох якісно

різних рішень.

Феномен нелінійності можна охарактеризувати наступними особливостями.

1. Завдяки нелінійності має силу найважливіший принцип «розростання

малого», або «посилення збурювань».

2. Певні класи нелінійних систем демонструють іншу важливу властивість –

граничну чутливість.

3. Нелінійність породжує якась подоба квантового ефекту – дискретність

шляхів еволюції нелінійних систем (середовищ).

4. Нелінійність означає можливість несподіваних, так званих емерджентних

змін напрямку плину процесів. Нелінійність процесів робить принципово

ненадійними й недостатніми прогнози.

Одним з основних результатів нелінійного підходу є визнання можливості

різноманітного розвитку систем, наявності біфуркації. У динамічних системах

можливо не тільки гладке (безперервне) і відносно передбачуване поводження,

але й різкі стрибкоподібні зміни. Такими стрибкоподібними змінами в змінні

стани динамічної системи займається теорія катастроф. Ця теорія має справу

з менш ефектним поводженням. B рамках даної теорії розглядаються питання

як технічного напрямку (перекидання судів), соціологічного (раптові спалахи

агресивності, бунти), так і економічного (обвал фондового ринку).

Предметом теорії катастроф є вивчення залежності якісної природи рішень від

значень параметрів, що є присутнім у заданих рівняннях.18

Отже, предметом вивчення теорії катастроф є класифікація станів рівноваги

градиентных систем, які можуть проявлятися як раптові перегони —

катастрофи — у поводженні динамічної системи.

Основними припущеннями теорії катастроф є:

1. Система є динамічною, тобто її стан змінюється в часі.

2. Принцип максимального зволікання: система прагне зберігати свій стан

якомога довше.

3. Поточний стан системи залежить від того, яким чином система прийшла в

цей стан.

4. Траєкторії системи необоротні, тобто при зміні керуючих параметрів

системи на протилежні, система не обов'язково прийде до початкового стану.

Катастрофою називається різка, стрибкоподібна зміна стану системи при

повільній зміні її параметрів (або керуючих змінних).

Теорія катастроф застосовується для вивчення багатьох проблем, включаючи

крах фондових бірж, поводження уряду, макромоделі, структурні аспекти

припущення Вальраса та ін..

Відкриття того, що прості нелінійні моделі можуть демонструвати складну й

хаотичну динаміку, підштовхнуло деяких економістів до того, щоб

зацікавитися цією галуззю. Однак у літературі немає стандартного визначення

хаосу. Тому можна лише перелічити типові характерні риси цього явища.

Нелінійність. Якщо процес лінійний, він не може бути хаотичним.

Детермінізм. B основі явища хаосу лежать детерміновані, а не імовірнісні,

правила.

Чутливість до початкових умов. Мала зміна в початковому стані системи

може провести до радикально відмінного поводження й іншому кінцевому

стану

Стійка нерегулярність. Прихований порядок, що включає велику або

нескінченну кількість нестійких періодичних проявів, характеризує хаотичне

явище. Цей прихований порядок формує інфраструктуру системи: хаотичний

(дивний) аттрактор. Динаміка в хаотичному атракторі – эргодична. 19


1. Біфуркації в нелінійних динамічних системах.

2. Катастрофи - стрибкоподібні зміни стану у динамічних системах.

3. Хаос і керування динамічними економічними системами.



1. Нелінійність у динамічних системах та їі наслідки.

2. Теорія катастроф як інструмент дослідження кризових явищ в економічних

системах.

3. Вплив хаосу на керування динамічними економічними системами.


1. Що мається на увазі під біфуркацією?

2. Чим пояснюється наявність біфуркації в поводженні системи?

3. Які системи вивчаються в теорії катастроф?

4. Які явища в поводженні системи можуть указувати на наявність катастрофи?

5. Яким образом може бути представлена потенційна функція системи при

наявності катастрофи?

6. Що являє собою функція катастрофи?

7. Які типи катастроф існують у двовимірному випадку?

8. B чому проявляється катастрофа типу складка, зборка?

9. B чому відмінність хаотичного поводження від випадкового?

10. Що є джерелом хаотичного поводження системи?

11. Які методи застосовуються для виявлення хаотичного поводження?

12. Які методи можна застосувати для управління хаотичними системами? B

чому їхні переваги й недоліки?

Література: [10, с. 87-122; 11, с. 129-145; 23, с. 87-98].

20


Тема. Лінійні динамічні моделі

Мета: ознайомитись з лінійними динамічними моделями економічних

процесів: моделлю Харрода – Домара, моделлю Леонтьєва, моделлю попиту та

пропозиції, моделлю ринкової рівноваги Вальраса.


Модель Харрода – Домара. B якості прикладу моделі з безперервним часом,

представленої лінійним диференціальним рівнянням, розглядається модель

макроекономічної динаміки, запропонованої Харродом і Домаром. Модель

описує динаміку доходу Y(t ) , що розглядається як сума споживання C(t) і

інвестицій І(t). Економіка вважається закритою, тому чистий експорт дорівнює

нулю, а державні витрати в моделі не виділяються. Основна передумова моделі

росту – формула взаємозв'язку між інвестиціями й швидкістю росту доходу.

Передбачається, що швидкість росту доходу пропорційна інвестиціям:

де B — коефіцієнт капиталоемкості приросту доходу, або коефіцієнт

приростної капиталоемкості (відповідно, зворотна йому величина 1/B

називається приростної капиталовіддачі). Тим самим у модель фактично

включаються наступні передумови:

■ інвестиційний лаг дорівнює нулю: інвестиції миттєво переходять у

приріст капіталу. Формально це означає, що

AK(t )=І( t ) ,

■ де AK(t ) — безперервна функція приросту капіталу в часі;

■ вибуття капіталу відсутній;

■ виробнича функція в моделі лінійна; це витікає із пропорційності

приросту доходу приросту капіталу;

■ лінійна виробнича функція

де b = 1/B , має цю властивість у тому випадку, якщо або

а = 0, або L(t) = const;21

■ витрати праці постійні в часі або випуск не залежить від витрат праці,

оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;

■ модель не враховує технічного прогресу.

Динамічна модель Леонтьєва. Динамічна модель Леонтьєва є деталізованою

моделлю росту валового суспільного продукту й національного доходу. Базою

для динамічної моделі В. Леонтьева служить статична модель міжгалузевого

балансу в грошовому вираженні, що відбиває виробництво й розподіл валового

суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки,

використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл

національного доходу (НД). Кожна галузь у балансі розглядається двічі – як

споживач і як виробник. Це й визначає матричну структуру балансу. B основі

статичної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між нагромадженням і

приростом валового продукту. При побудові динамічної моделі В. Леонтьєва,

як і для моделі міжгалузевого балансу, можуть бути наступні припущення:

1) у кожній галузі є єдина технологія виробництва;

2) норми виробничих витрат не залежать від обсягу продукції, що

випускається;

3) не допускається заміщення у виробництві одних видів продукції іншими.

При цих припущеннях величина міжгалузевого потоку x виявляється

пов'язаною з валовою продукцією галузі в такий спосіб:

де аij — коефіцієнт прямих матеріальних витрат, за допомогою якого

виміряються технологічні зв'язки між галузями. Коефіцієнт аij показує, скільки

одиниць продукції i-той галузі безпосередньо затрачається на випуск одиниці

валової продукції j-той галузі. Так, при i = j маємо коефіцієнт витрат власної

продукції галузі на одиницю її валового випуску.22

Всі коефіцієнти прямих матеріальних витрат утворюють квадратну матрицю А

А=[aij], i= 1,….,n; j=1,…..,n.

Статична модель міжгалузевого балансу у матричні формі має вигляд:

Х= АХ +Y,

де A — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат;

X— стовпець валових обсягів випуску продукції (ВОП);

Y— стовпець кінцевого продукту (КП).

B основі динамічної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між

накопиченням і приростом валовий продукції. Цей взаємозв'язок реалізується

за допомогою матриці капіталоємкості приростів виробництва. Крім того,

передбачається миттєвість перетворення капіталовкладень у приріст основних

фондів і миттєвість віддачі цих фондів в обсяги виробництва. Час

передбачається безперервним, що й визначає використання диференціальних

рівнянь.

Основне співвідношення моделі має вигляд:

де X(t ) – вектор обсягів валового випуску продукції в галузях у момент часу t;

dХ/dt – вектор абсолютних приростів за малу одиницю часу;

A — матриця коефіцієнтів прямих витрат, включаючи витрати на

відшкодування вибуття основних фондів;

AX(t ) — виробниче споживання, що забезпечує просте відтворювання;

B — матриця коефіцієнтів капіталоемкості приростів виробництва (bij —

витрати виробничого нагромадження i-ro виду продукції на одиницю приросту

j-го виду продукції);

C(t) — стовпець, що характеризує споживання в галузях.

Лінійні моделі попиту та пропозиції. Нехай ринок якого-небудь окремого

товару характеризується наступними функціями попиту та пропозиції: D=

D(P) , S= S(P) .Для існування рівноваги ціна повинна бути такий, щоб товар

на ринку був розпроданий, або D(P) = S(P) .Ціна рівноваги P задається цим 23

рівнянням (яке може мати безліч рішень), а відповідний обсяг купівель-

продажів, позначуваний через X– наступним рівнянням:

Динамічна модель виходить при наявності запізнювання попиту або пропозиції.

Найпростіша модель у дискретному аналізі включає незмінне запізнення або

відставання пропозиції на один інтервал: D1 = D(P1) і S1 = S(P t - 1 ) .Це може

трапитися, якщо для виробництва розглянутого товару потрібен певний період

часу, обраний за інтервал. Іншими словами, P і обсяг купівель -продажів X1

характеризуються рівнянням:

Отже, знаючи вихідну ціну P0, за допомогою цих рівнянь ми можемо одержати

значення P1 і X 1 . Потім, використовуючи наявну ціну P x , з відповідних рівнянь

одержимо значення P2 і X 2 , і т.д. Назагальному, зміна P1 характеризується

різницевим рівнянням першого порядку (одноінтервальне відставання):

Модель ринкової рівноваги Вальраса. Макроекономічна рівновага на

конкурентному ринку, як відомо, визначається крапкою, у якій попит дорівнює

пропозиції. Розглянемо випадок, коли попит та пропозиції залежать тільки від

ціни товару. B початковий момент часу система може не перебувати в стані

рівноваги внаслідок двох причин: або вона була випадковим чином виведена зі

стану рівноваги, або вона ніколи в ньому не перебувала. B будь-якому випадку

виникає питання, чи прийде система в стан рівноваги і як швидко?

Якщо система не перебуває в стані рівноваги, то можливі два варіанти: або

попит перевищує пропозицію, або навпаки — пропозиція перевищує попит.

Назвемо різницю між кількістю товару, що покупці збираються придбати за

даною ціною, і кількістю товару, що виробники готові продати за даною ціною,

надлишковим попитом. B залежності від ситуації надлишковий попит може

бути позитивним або негативним (рис.1. а). З величиною надлишкового попиту

зв'язана ціна надлишкового попиту — це різниця між ціною, яку покупці готові 24

заплатити за довільну дану кількість товару, і ціною, здатну викликати

збільшення пропозиції до даної кількості товару (puc. 1. б). Таким чином, якщо

існує позитивний надлишковим попит, то незадоволені покупці підвищують

ціну. A якщо виникає позитивна ціна надлишкового попиту, то виробники

дійдуть висновку, що вигідно збільшити кількість постачаємої продукції.

Рис. 1 Динаміка ціни при надлишковому попиті

При побудові моделі рівноваги основними є припущення Вальраса й

Маршалла. Bідповідно до припущеннь Вальpaca ціна прагне до збільшення

(зменшення), якщо величина надлишкового попиту позитивна (негативна). За

припущенням Маршала пропозиція прагне до збільшення (зменшення), якщо

ціна надлишкового попиту позитивна (негативна).

У даному випадку стійкість означає, що економічні стимули зсовують

траєкторію зміни ціни в напрямку точки рівноваги.

Позначимо надлишковий попит

E(p) = D(p)- S(p),

де D (p) , S (p) — функції попиту та пропозиції, відповідно, р – ціна.


1. Модель Харрода—Домара.

2. Динамічна модель В. Леонтьєва.

3. Лінійні моделі попиту та пропозиції.

4. Модель ринкової рівноваги Вальраса.

25



1. Модель макроекономічної динаміки Харрода – Домара, ії основні положення

і використовування.

2. Динамічна модель Леонтьєва, ії основні припущення, загальний вигляд

рівнянь динамічної моделі та їх розв'язок.

3. Дискретна й безперервна моделі попиту та пропозиції, методи розв'язання.

4. Модель рівноваги Вальраса, стійкість загальної рівноваги Вальраса.


1. Основні положення моделі Харрода - Домара.

2. Поняття технологічного темпу приросту випуску продукції.

3. Визначення найкращого темпу приросту споживання.

4. Основні припущення моделі В. Леонтьєва.

5. Загальний вид рівнянь динамічної моделі В. Леонтьєва.

6. Поняття про допустимість стану й траєкторії моделі В. Леонтьєва.

7. Рішення моделі В. Леонтьєва у випадку відсутності екзогенного споживання

та його обліком.

8. Розходження в поводженні моделі В. Леонтьєва при зміні структурних

коефіцієнтів моделі.

9. Дискретна й безперервна моделі попиту та пропозиції.

10. Методи розв'язання дискретної й безперервної моделі попиту та пропозиції.

11. Модель рівноваги Вальраса.

12. Стійкість загальної рівноваги Вальраса.

Література: [5, с. 49-67; 10, с. 122-161; 11, с. 95-109; 12, с. 119-141].


Тема. Нелінійні динамічні моделі економічних систем

Мета: ознайомитись з виникненням циклічних коливань в економічному

розвитку, розглянути моделі економічних циклів Гудвіна, динаміку корисності

споживчих благ.26


Моделі економічних циклів Гудвіна. Розглядаються більш складні, нелінійні,

моделі, що описують виникнення циклічних коливань в економічному

розвитку. Починаючи із простої моделі, запропонованої Гудвіном, будемо

послідовно ії ускладнювати, з огляду на все більшу кількість факторів.

Будемо вважати, що в будь-який момент часу t економіка має у своєму

розпорядженні основний капітал К, якщо включає заводи, устаткування тощо,

його обсяг змінюється зі швидкістю, рівною відношенню чистих

капіталовкладень до загального зношування за даний період часу. Джерелом

економічного доходу є обсяг виробництва Y і споживання С. Ці величини

зв'язані між собою співвідношеннями:

C= Y+ ; (1)

Y= C+ dK/dt, (2)

де а й — дійсні контрасти, такі, що а < 0, < С. Рівняння (2) означає, що вся

продукція, яка виробляється, або споживається, або йде на розширення

виробництва. Припустимо далі, що основним капіталом К управляють так, щоб

підтримувати на рівні, пропорційному обсягу виробництва. Якщо R — бажаний

рівень основного капіталу в момент часу t , то

(3)

де - деякий параметр.

Тоді з рівнянь (1) і (2):

Y– Y= + dK/dt, (4)

звідки:

Y=( + dK/dt)/(1- ) (5)

Зі співвідношення (5) видно, що періодичне поводження величини Y (або K)

може виникнути як наслідок коливань у капіталовкладенні К. Динаміка корисності споживчих благ. З представленої нижче моделі

ураховується вплив виробничих циклів на динаміку корисності споживчих

27

благ. Нехай відома сукупність споживчих благ xj, j = 1,….,m, які здобуваються й

споживаються економічним суб'єктом. B відповідності з теорією суб'єктивної

корисності, стратегія споживання цього блага залежить від функції його

корисності U = U(X), (X — вектор споживчих благ); вид і форма кривої функції

корисності визначає динаміку споживання X(t), де t — час. Оскільки

споживання змінюється в часі, то маємо U = Y[X(t)], тобто функція корисності

споживчих благ залежить від часу опосередковано — через динаміку їхніх

обсягів. Даний методологічний прийом, який дозволяє зв'язати величину

функції корисності, досить важливий і цікавий, тому що, незважаючи на те, що

в економічній теорії властивості статичної функції корисності U~ U(X) досить

добре вивчені (як правило, такі залежності виражаються логарифмічними й

статечними функціями), закономірності зміни динамічної функції корисності

U= U(t) дотепер практично не розглядалися. Таким чином, залежність U=

U[X(t)] дозволяє «динамізувати» подальші побудови.

З урахуванням сегментованості товарного ринку й множинності споживчих

благ, агрегатна функція корисності U може бути представлена у вигляді

адитивної функції корисності:

(6)

де U j – визначна корисність споживчого j-го блага; р j - вагові коефіцієнти, як і

задають шкалу відносної значимості розглянутих благ.

B подальшому без втрати ступеня спільності для проведеного аналізу будемо

розглядати лише два споживчих блага: i і 1. Такий прийом цілком

правомірний, тому що будь-який набір благ може поєднуватися в невелике

число групових благ.

Виходячи зі сказаного, можна записати наступні умови першого й другого

порядку для функції корисності:

(7)28

де Ai = dUi /dx i ; Bi = d2Ui / dx2; G1 = dUl /dt; R1= d2Ul / dt 2; C= dU/dt ; D= d2U/

dt2. Зрозуміло, що в загальному випадку величини Ai, Bi, G 1 ,R 1 , C, D залежать

від часу. Таким чином, система (7) дозволяє визначити стратегію споживача

xi( t ) при заданих часових траєкторіях Аi(t), Вi(t), G l ( t ) ,R l ( t ) ,C( t ) ,D( t ) .

Причому Аi(t) і B і ( t )відбивають динаміку смаків і переваг споживача в часі,

G 1 ( t ) і R l ( t ) фіксують швидкість і прискорення, з якими споживач припускає

нарощувати (зменшувати) корисність від володіння благом X1, a C(t) і D(t)

характеризують швидкісні властивості росту агрегатної функції корисності.

Вплив флуктацій на динаміку споживчих благ. Проведемо подальший аналіз

моделей динаміки споживчих благ і розглянемо гранично загальний

багатомірний випадок, коли кількість споживчих благ ( факторів) дорівнює m.

Тоді функція корисності U= U(X), де X= (x1,…..,xm ) і умови першого і другого

порядку виглядають наступним чином:

С= ;

(8)

D= , (9)

де aj = dU /dxj, b j s =d 2 U/dx j dx s ; j і s — індекси споживаних благ

(виробничих факторів).


1. Моделі економічних циклів Гудвіна.

2. Динаміка корисності споживчих благ.

3. Вплив флуктуацій на динаміку споживчих благ.



1. Опис виникнення циклічних коливань в економічному розвитку за

допомогою моделей економічних циклів Гудвіна.

29

2. Опис впливу виробничих циклів на динаміку корисності споживчих благ.

3. Опис впливу флуктуацій на динаміку споживчих благ.


1. Які припущення використовуються в моделях економічних циклів Гудвіна?

2. Опишіть зміни капіталовкладень й інших показників у різних варіантах

моделі Гудвіна.

3. B чому суть модифікацій моделей економічних циклів Гудвіна?

4. Проведіть аналіз розв'язань в моделях економічних циклів.

5. Якими факторами визначається динаміка корисності споживчих благ у

зазначених моделях?

6. Ha яких економічних законах засновані ефекти, отримані в моделі динаміки

корисності споживчих благ?

7. Яким чином ураховуються виробничі цикли в моделях динаміки корисності

споживчих благ?

8. Як ураховується нестаціонарний випадок для даної моделі?

9. Які висновки можна зробити за моделями?

Література: [5 , с. 68-80; 10, с. 161-186; 11, с. 112-141; 12, с. 158-169; 23].


Тема. Моделі економічних змін та їх аналіз

Мета: ознайомитись з методикою моделювання макроекономічних систем,

розглянути модель розвитку економіки України, технологічну концепцію

моделі суспільної еволюції, граничні цикли й фазові переходи в соціально-

економічних системах.


Модель розвитку економіки України. Розглянемо одну з моделей

макроекономічної системи, у якій представлені основні взаємозв'язки між

виробництвом, споживанням, нагромадженням і грошовою масою. Дана модель

– одна з моделей сценаріїв розвитку перехідної економіки.

30

Для побудови моделей були обрані наступні змінні:

X(t ) — величина внутрішнього валового продукту в t-й період;

Y(t ) — національний доход в t-й період;

A — матеріалоємність валового продукту;

R(t ) — частина НД, що затрачається на споживання (фонд споживання) в t-й

період;

W — норма накопичення;

S(t ) — величина платоспроможного попиту в t -й період;

с — норма споживання;

D(t) — грошова маса, що забезпечує платоспроможний попит в t -й період;

D 0 ( t ) — запаси коштів у населення в t-й період;

AD0(t) — приріст запасів коштів за одиничний період в t -й період;

P(t ) — індекс споживчих цін щодо базового періоду часу в t -й період;

т — коефіцієнт еластичності цін;

E — коефіцієнт ефективності інвестицій;

q — частка доходів населення в НД;

r — коефіцієнт, що враховує зниження валового продукту за рахунок втрат

внаслідок затоварювання, неплатежів, розриву економічних зв'язків і т.д.

Розглянемо основні рівняння моделі.

1. Рівняння динаміки ВВП:

2. Динамічна функція Кобба - Дугласа з обліком нейтрального НТП:

X(t)= .

3. Рівняння впливу інвестицій на зміну ВВП:

а) dX(t)/dt= E ·W·Y(t) – ситуація росту обсягів виробництва;

б) dX(t)/dt= (E ·W-r)·Y(t) – ситуація падіння обсягів виробництва.

4. Балансове рівняння невиробничого споживання:

R(t)= c ·Y(t).

5. Рівняння динаміки платоспроможного попиту:

31

6. Рівняння динаміки цін:

P(t)=m (S(t)-R(t)).

7. Баланс грошових коштів:

Технологічна концепція моделі суспільної еволюції. Модельна інтерпретація

технологічної концепції суспільного розвитку припускає, що соціальну систему

можна розглядати як сукупність взаємодіючих субпопуляцій, які відповідають

різним технологічним процесам суспільного виробництва. Технологічна модель

являє собою синтез гіперциклу Эйгена й логічних функцій економічного

зростання, запропонованих Аленом. За своїм змістом ця модель є

дисипативною модифікацією порівнянь Лотки - Вольтера, які «регулюють»

конкуренцію за ресурси між окремими технологіями, а також функціональні

відносини між виробничими процесами:

Fi = ki ·xi·( Ni + ,

де xi – щільність і-ої технології, N – щільність розподілу ресурсів, к і а –

константи.

Біфуркаційний параметр С0 – це квазістаціонарна щільність популяції:

, якщо > 0.

Спектр стаціонарних рішень визначається системою алгебраїчних рівнянь:

Граничні цикли й фазові переходи в соціально-економічних системах.

32

Конкуренція за трудові ресурси між різними технологіями може приводити до

автоколивальних режимів у дисипативних системах. Досліджуємо логістичний

ланцюжок з функціональними відносинами типу «хижак - жертва».

Ця модель має такі ж стаціонарні рішення, як і у випадку послідовного

ланцюжка (k < 4), а також регресивне рішення Троича:

уздовж якого система рухається убік зменшення C0. При досить великих

значеннях система виходить на граничний цикл, що супроводжується

катастрофічними переходами від розв'язку xi( 5 ) до розв'язку xi

( 2 ) (якщо < 1).


1. Модель розвитку економіки України.

2. Технологічна концепція моделі суспільної еволюції.

3. Граничні цикли й фазові переходи соціально-економічних систем.



1. Моделювання макроекономічних систем на прикладі моделі розвитку

економіки України.

2. Модельна інтерпретація технологічної концепції суспільного розвитку.


1. B чому суть моделі, запропонованої В. С. Михалевичем?

2. Як у даній моделі відбивається платоспроможний споживчий попит?33

3. Якими методами в даній моделі вирішується система диференціальних

рівнянь?

4. Проведіть аналіз результатів моделювання за даними економіки України за

1990 - 1997 р.р.

5. B чому сутність технологічної концепції суспільної еволюції?

6. Ha яких рівняннях заснована дана модель?

7. Проведіть аналіз дисипативних систем для макроекономіки.

8. Проінтерпретуйте поняття граничний цикл і фазові переходи.

9. Обґрунтуйте модель Вайдлиха.

10.Які основні вимоги пред'являють до макромоделей і

параметрів їхнього опису?

Література: [5, с. 115-143; 8, с. 156-195; 10, с. 186-215; 18, с. 132-161].


Тема. Стохастичні моделі економічної динаміки

Мета: ознайомитись з моделями: оцінки валютних потоків в умовах кризи,

валютної паніки, Самуельсона – Хикса с періодичними коефіцієнтами


Модель оцінки валютних потоків в умовах кризи. Змоделюємо загальну схему

руху грошово-фінансових і товарних ресурсів. Уведемо ряд позначень:

W в x ( t , i ) — швидкість приходу деякого ресурсу в i -й вузол, (кількість/час);

W в и x ( t , i ) — швидкість відходу деякого ресурсу з i - го вузла;

Wутв ( t , i ) — швидкість утворення деякого ресурсу в i -м вузлі;

W зн( t , i ) — швидкість зникнення деякого ресурсу в i -м вузлі;

W зм( t , i ) — швидкість зміни вартості капіталу в i -м вузлі за рахунок

макропричин;

с в x ( t , i ) — ціна одиниці кількості вхідного потоку в i –й вузол;

c в и х ( t , i ) — ціна одиниці кількості вихідного потоку з i -го вузла;

V(t , i ) — величина деякого ресурсу, накопичена в i -м вузлі.

B найпростішому випадку зміна ресурсу V буде описуватися рівнянням:34

Зміна вартості у грошові формі буде задовольнять рівнянню:

D [c(t,i)·V(t,i)]/dt = c в x ( t , i ) ·W в x ( t , i ) - c в и х ( t , i ) ·W в и x ( t , i )+W з м ( t , i ) .

Модель валютної паніки. Паніка за своєю природою є ланцюговим,

лавиноподібним процесом, що розвивається в середовищі з великою, разом з

тим, обмеженою кількістю учасників. До такого роду процесів у природі

відповідають епідемії, хімічні реакції, у соціально-економічній сфері - валютні,

біржові паніки, створення й розвиток фінансових «пірамід», поширення

реклами й та ін.

Будемо вважати, що кількість (N) тримачів грошей велика, сума вільних

коштів у кожного тримача однакова. Кількість бажаючих поміняти ці кошти на

валюту в початковий момент часу t0 дорівнює п0. Цих бажаючих можна назвати

«зараженими» вірусом паніки і їх кількість на момент часу t — n ( t).

Тоді рівняння для частини «заражених» k(t):

dk(t)/dt=(1- k(t))·(1-e -r·k(t)),

де k(t)=n(t)/N.

Модель Самуельсона-Хікса з періодичними коефіцієнтами. Представимо ще

один приклад стохастичної моделі економічної динаміки.

Розглянемо рівняння моделі Самуельсона - Хікса:

C( t )= ·Y(t -1 )+C ;

I(t)= ·Y ( t -1 )- Y ( t -2 )+I ;

Y ( t )= C( t )+ I(t)+ G(t ) ,

35

де Y(t ) — національний доход у момент часу t ; C(t) - споживання; I(t) -

інвестування; G(t ) — державні витрати; 0 < < 1 — гранична схильність до

споживання; а — акселератор; C — автономне споживання; I — автономне

інвестування.


1. Модель оцінки валютних потоків в умовах кризи.

2. Модель валютної паніки.

3. Модель Самуельсона – Хікса з періодичними коефіцієнтами.



1. Рух грошово-фінансових і товарних ресурсів, модель оцінки валютних

потоків в умовах кризи.

2. Природа валютної паніки та ії модель.

3. Стохастична моделі економічної динаміки на прикладі моделі Самуельсона –

Хікса с періодичними коефіцієнтами.


1. B чому сутність стохастичних моделей економічної динаміки?

2. Наведіть приклади швидких процесів в економіці.

3. Закон збереження ресурсу й грошова форма збереження ресурсу.

4. Охарактеризуйте модель оцінки валютних потоків.

5. Якою формальною моделлю можна видобразити грошові й товарні потоки?

6. B чому сутність моделі валютної паніки?

7. Наведіть приклади, що описують розвиток валютної паніки?

8. Проведіть аналіз моделі Самуельсона - Хікса.

9. Вплив часу на параметри моделі Самуельсона - Хікса.

Література: [10, с.215– 240; 15; 26, с. 318– 344; 36, с. 222-261].

36

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Агапова T.M., Бехренс Д., Курран Д. Динамічні системи в

економіці.– Донецьк. Донгу, 2000. – 140 c.

2. Арнольд В.І. Теорія катастроф. – M.: Наука, 1990. – 128 с.

3. Баутін H.H., Леонтович E.А. Методи й прийоми якісного дослідження

динамічних систем на площині. – M. Наука, 1976. – 496 с.

4. Гілмор Р. Прикладна теорія катастроф. – M.: Мир, 1984. – 350 с.

5. Гранберг А.Г. Динамічні моделі народного господарства. – M.: Економіка,

1985. – 240 с.

6. Данич В.H. Ідентифікація швидких процесів. Методи й моделі. – M.: Арт-

Бизнес–Центр, 1999. – 230 с.

7. Занг В.Б. Синергетична економіка. – M.: Мир, 1999. – 336 c.

8. Капіца С.П. Загальна теорія росту людства (необмежені можливості й

можливі обмеження). – M.: Наука, 1999. – 285 с.

9. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецький Г.Г. Синергетика й прогнози

майбутнього. – M: Эдиориал УРСС, 2003. – 288c.

10. Клебанова Т. C., Дубровина H. A,, Полякова О. Ю., Раевнева E. В.,

Милов А, В., Сергаенко E. А. Моделювання економічної динаміки. Навчальний

посібник - 2-і ізд., стереотип.- X.: Іздатель-скийдом «ИНЖЭК», 2005.- 244 с.37

11. Колемаєв B.A. Математична економіка: Підручник для вузів.– M.:

ЮНИТИ, 1998. – 240 с.

12. Kpacc І.А. Математичні моделі економічної динаміки. – M.: Сов. радіо,

1985. – 280 с.

13. Курдюмов С.П., Малинецький Г.Г. Синергетика – теорія самоорганізації.

Ідеї, методи, перспективи. – M.: Знання, 1983. – 64 с.

14. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Синергетика – нові

напрямки. – M.: Знання, 1989. – 48 с.

15. Кушнер Г.Дж. Стохастична стійкість і керування. – M.: Мир, 1969. – 200

с.

16. Лисенко Ю.Г., Петренко В.Л., Забродський У.А, Овечко В.C.,

Христиановский В.В., Бир Ст., Москардіні А. Економічна кібернетика. Уч сел.

Дон.ун – Донецьк: З Донгу, 1999. – 397c.

17. Лисенко Ю.Г., Петренко В.Л. Тимохін B.H., Філіппов A.B. Економічна

динаміка: Навч. посібник. – Донецьк: З Донгу, 2000. – 176 с.

18. Малинецький Г.Г., Потапов А.Б. Сучасні проблеми нелінійної динаміки.

– M: Эдиориал УРСС, 2002. – 360 с.

19. Мілованов В.П. Нерівновагі соціально – економічні системи: синергетика

й самоорганізація. – M: Эдиориал УРСС, 2001. – 264 с.

20. Моісеєв H.H. Алгоритми розвитку. – M.: Наука, 1987. – 304 c.

21. Нікайдо X. Опуклі структури й математична економіка. – M.: Мир, 1972. –

520 с.

22. Ніколіс Г., Пригожін И. Самоорганізація в нерівновагих системах. Від

дисипативних структур до впорядкованості через флуктуації. – M.: Мир, 1979. –

257 с.

23. Новожілова М.В., Коюда П.М., Чуб І.А. Моделювання економічної динаміки.

Навчально-методичний посібник для самостійної роботи. – Х.: ХДТУБА, 2006.

– 140 с.

24. Перегудів Ф.И., Тарасенко B.A. Введення в системний аналіз. – M.: Вища

школа, 1989. – 320 с.38

25. Петерс Э. Хаос і порядок на ринках капіталу. Новий ана-

літичний погляд на цикли, ціни й мінливість ринку. Пер. с

англ. – M.: Мир, 2000. – 333 c.

26. Постон Т., Стюарт Й. Теорія катастроф і її додатка. – M.: Мир, 1980. – 576 с.

27. Пригожін І., Стенгерс І. Час, хаос, квант: до рішення парадокса часу. – M.:

Прогрес, 1994. – 266 с.

28. Пригожін І., Стенгерс І. Порядок з хаосу. Новий діалог людини із

природою. – M: Эдиориал УРСС, 2001. – 312 с.

29. Пригожін И., Стенгерс І. Порядок з хаосу: новий діалог людини із

природою. – M.: Прогрес, 1986. – 289 с.

30. Рейссіч Р., Сенсоне Г., Конті Р. Якісна теорія нелінійних диференційних

рівнянь. – M. Наука, 1974. –318 с.

31. Сідоренко B.H. Системна динаміка. – M.: Економічний ф–тет МГУ; ТЕИС,

1998. – 208 с.

32. Філіппов А.Ф. Збірник завдань по диференціальних рівняннях. 5-і ізд. – M.:

Наука, 1979. – 248 с.

33. Хакен Г. Синергетика. Ієрархія нестійкості у системах, що

самоорганізуються, і пристроях. – M.: Мир, 1985. – 321 с.

34. Хэссард Б., Казарінов H., Вэн І. Теорія й додатки біфуркації народження

циклу. – M.: Мир, 1985. – 347 с.

35. Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Комп'ютерне моделювання економіки. – M.:

Диалог– мифи, 2002. – 304 с.

36. Шустер X. Детермінований хаос. Введення. – M.: Мир, 1988. – 291 с.

39

Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни

„ Моделювання економічної динаміки ” для студентів денної та заочної форм

навчання зі спеціальності 8.030504 – “Економіка підприємства“

Укладач канд. техн. наук, доц. В.Є. Черніченко

Відповідальний за випуск зав. кафедри економіки О.І. Маслак

Підп. до др. Формат 60х84 1/16. Папір тип. Друк ризографія.

Ум. друк. арк. . Наклад прим. Зам. № Безкоштовно.

40

Видавничий відділ КНУ імені Михайла Остроградського,39600, м.

Кременчук, вул. Першотравнева, 20

41

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ · web viewb основі...

Documents