انجمن فیزیک ایران

بسم الله الرحمن الرحیم

مقدمه ای بر اصول اولیه یمحاسبه خطا و اندازه گیری

گردآورنده و نویسنده: علی معتضدی فرد1394اردیبهشت

1

انجمن فیزیک ایران

پیش گفتار

میت باالیی برخوردار هستند. متاس44فانهدقت و خطای اندازه گیری در علوم مختلف از اه در نظام آموزش و پرورش از پرداختن به این موضوع غفلت ش44ده اس44ت و دانش آم44وزان احس44اس درس44تی از ان44دازه گیری کمیت ه44ای مختل44ف، دقت آن و ارق44ام ب44ا مع44نی در اندازه گیری ندارند. از این روی، اینجانب ب44ه نماین44دگی از ش44اخه دانش44جویی انجمن فیزی44ک

ایران قصد دارم به طور خالصه مفاهیمی اولیه را در این باب بیان نمایم.

در انته44اب44رای مطالع44ه بیش44تر بخشی از مطالب از مراجع دیگری گردآوری شده اند که ذکر شده است و برخی دیگ44ر حاص44ل تجربی44ات شخص44ِی اینج44انب در زمین44ه فع44الیت ه44ای تئوری، تج44ربی و ش4بیه س44ازی اس4ت. شایس4ته اس4ت ک4ه از تم4ام اس4اتیدی ک4ه در دوران تحصیلم آموزش های مناسبی در این زمینه فراهم کردند کمال قدردانی خود را ابراز نم44ایم بخصوص آقایان دکتر مسعود علیمحمدی، دکتر محمد تقی توسلی، دکتر رسول رکنی زاده،

دکتر محمد حسین نادری و دوست و همکار عزیزم نوید فرحی.

از دوستان عزیزم در انجمن فیزیک ایران آقای44ان علیرض44ا دخیلی، محم44دعلی ورش44ابی، مهدی فقیه نصیری و خانم ها سمانه کیائی و نرگس چینی چیان که ب44رای تهیی44ه این گ44زارش به اینجانب کمک فراوانی کردند صمیمانه سپاس44گزارم. همچ44نین شایس44ته اس44ت از آقای44ان عباس علیزاده، عرفان حسنی و احسان ایرانی که در گذشته کارگ44اهی در این زمین44ه را در

گردهمایی دانش آموزی برگزار کرده بودند به خاطر توجه به این مهم قدردانی نمایم.

امیدوارم مطالب پیش روی برای دانش آموزان عزیز، دبیران محترم و غیره مفید واقع ایمیلمنتظ444444ر دی444444دن نظ444444رات و پیش444444نهادات ش444444ما عزی444444زان بهش444444ود.

alimotazedifard@ut.ac.ir ، psi.studentbranch@gmail.comو ی444444ا ایمی444444ل info@psi.ir.هستیم

علی معتضدی فرد20/02/1394

2

انجمن فیزیک ایرانمقدمه

فیزی44ک علمی اس44ت ک44ه ب44ا اع44داد و ارق44امِ ب44ا مع44نی س44ر و ک44ار دارد بن44ابراین دقت در اندازه گیری، خطای کمیت های اندازه گیری شده و تعداد ارقام با معنی در ی44ک ان44دازه گیری دارای اهمیت زیادی هستند. هیچ گاه نمی توان ادعا کرد که کمیت ان44دازه گیری ش44ده ب44دون هیچ خطایی اندازه گیری شده است زیرا عواملی زیادی در ایجاد خطا موثر ان4د ب4رای مث4ال خطای خود آزمایشگر، خطای وسایل اندازه گیری به دلیل ع44دم ک44الیبره ب44ودن و ی44ا خط44ای

ناشی از دقت و یا محدودیت وسیله اندازه گیری. نکته دیگری که خواننده را ب44ه تأم44ل ب44ه آن رهنم44ون می نم44اییم آن اس44ت ک44ه بش44ر ج44ز شمارش آن هم شمارش اعداد طبیعی قادر به کار دیگ44ری نیس44ت! در واق44ع تم44ام وس44ایل اندازه گیری هم بر اساس شمارش یکسری اعداد طبیعی کار می کنن44د ک44ه پ44رداختن ب44ه این موضوع مجال مفصلی می طلبد. برای مثال هنگامیکه جریان الکتریکی را بوس44یله آمپرم44تر اندازه گیری می کنیم اگر چه عددی که می خوانیم یک عدد طبیعی نیس44ت ولی چ44یزی ک44ه ما

اندازه گیری کردیم تعداد الکترون هایی است که در واحد زمان عبور کرده است. در انجام یک آزمایش تجربی و یا برآورد عددی بصورت تئوری، الزم است خط44ای کمیت مورد نظر را گزارش ک44نیم. ب44ا پیش44رفت علم و تکنول44وژی در کن44ار پیش44رفت نظری44ه ه44ای فیزیکی بخش وسیعی از فیزیک پیشه گان سعی دارند که کمیت های مختلف ف44یزیکی را ب44ا دقت بیشتری ان44دازه گیری کنن44د و ی44ا دس44تگاه هایی ب44ا دقت بیش44تر ب44رای ان44دازه گیری ه44ای مختلف و یا روش هایی با دقت بیشتر برای اندازه گیری ارائه دهن44د. ش44اید این س44وال پیش آید که اهمیت اندازه گیری دقیق برای یک کمیت چیست ؟ برای روش44ن ش44دن این موض44وع مثالی می زنیم . برای مثال ضریب شکست مایعات و یا جام44دات مانن44د شیش44ه و آب را در نظر بگیرید، دمای محیط می تواند رقم سوم و یا چهارم ضریب شکت را تغییر دهد بنابراین

5 رقم بع44د از اعش44ار و ی44ا 4اگر در محیطی تغییر دما داریم الزم است ضریب شکست تا رقم گزارش شود در غیر این صورت اثر تغییرات دمایی در عدد گ44زارش ش44ده در دماه44ای مختلف آشکار نمی شود و ممکن است شما به اشتباه فرض کنید ک4ه ب44ا تغی44یر دم4ا ض44ریب شکست ثابت بوده و این دحالی است که با تغییرات دما، ضریب شکست ب44ه ط44ور ج44زئی

تغییر خواهد کرد. حال با روشن شدن اهمیت خطا و دقت اندازه گیری در ادامه به بیان روش های ان44دازه

ی پردازیم. گیری خطا و منابع ایجاد خطا م

خطای نسبی و مطلق باید توجه داشت که مقدار واقعی هیچ کمیتی به طور دقیق معلوم نمی باشد؛ منظ44ور از مق44دار واقعی ی44ک کمیت، مق44داری اس44ت ک44ه از دقیق ت44رین آزم44ایش انج44ام ش44ده ب44رای اندازه گیری آن کمیت تا کنون گزارش شده است و یا مقدار تئوری ای که ب44رای ی44ک کمیت

در نظر میگیریم. منظور از خطای مطلق؛ قدر مطلِق اختالف میان مقدار اندازه گیری شده در آزمایش و یا مقدار بدست آم44ده ناش44ی از محاس44به ب44ا مق44دار واقعِی آن کمیت اس44ت ک44ه دارای بُع44د است. منظور از خطای نسبی حاصل تقسیم خطای مطل44ق ب44ر مق44دار واقعی کمیت اس44ت

که معموال بر حسب درصد نیز می توان بیان کرد و بدون بُعد است.

3

انجمن فیزیک ایرانآزمایش−مقدارواقعی|=درصدخطاینسبی مقدارواقعی|نتیجه ×100

±0.0007برای مث44ال ض44ریب شکس44ت ن44وع خاص44ی از شیش44ه در ط44ول م44وج خاص44ی بدست1.46 ± 0.05 است، و ما در آزمایشی با کمک منشور ضریب شکست را 1.4573

است. و درص4د خط4ای نس4بی این0.027می آوریم؛ بنابراین خطای مطلق برابر است با اس44ت. خطاه44ا معم44وال ب44ه دو دس44ته تقس44یم0.18 5ان44دازه گیری تقریب44ا براب44ر ی ب44ا %

میشوند:- خطای تصادفی )کاتوره ای( 1- خطای سیستماتیک)ذاتی(2

طبق تعريف خطاهاي كاتوره اي خطاهايي هستند كه احتم44ال مثبت ي44ا منفي ب44ودن آنه44ا مساوي است پس معقول به نظر مي رسد كه ميانگين اين اعداد تق44ريب خ44وبي از مق44دار واقعي كميت باشد و هر چه تعداد اندازه گيري ها افزايش پيدا كند به مقدار واقعي نزديك تر شود. اگر خطاهاي موجود در اندازه گيري فقط از ن44وع خطاه44اي ك44اتور اي باش44ند نت44ايج اندازه گيري هاي متوالي در اط44راف مق44دار حقيقي كميت م44ورد نظ44ر گس44ترده مي ش44وند. همانطور كه گفته شد در حضور خطاهاي كاتوره اي به تنهايي نقطه ميانگين اعداد به دست

آمده تقريب خوبي از مقدار حقيقي كميت مورد نظر مي باشد. اثر خطاهاي سيستماتيك موجود، اين است كه يك جابجايي از مق44دار واقعي در مي44انگين

تشخيص و رف44ع خطاه44اي سيس44تماتيك در ح44الت كلي ك44ار نس44بتا.اعداد به وجود مي آورد مشكلي است و معموال وقتي يك كميت از طريق آزمايش هاي مختل44ف ب44ه دس44ت مي آي44د قابل تشخيص است اما كار با خطاه44اي ك44اتوره اي و تش44خيص درس44ت كميت نس44بتا س44اده است چون اگر در آزمايشي خطاهاي كاتوره اي بزرگي وجود داشته باشند، به ص44ورت ي44ك مقدار بزرگ در خطاي نهايي آشكار خواهند شد ولي حضور ناپيداي يك خطاي سيس44تماتيك ممكن است به ارائه يك نتيجه ظاهرا معتبر همراه با يك خطاي تخميني كوچك منج44ر ش44ود كه در واقع اشتباهي جدي است. در واقع خطاهاي سيستماتيك را باي44د يكي يكي كش44ف و

حذف كرد. اين كار قاعده كلي ندارد و با تجربه زياد به دست مي آيد. براي گزارش ی44ک خط44ا ب44ا ی44د ب44ه ه44ر دوي این خطاه44ا دقت ک44رد و خط44ایی ک44ه مق44دار بیشتري دارد را در نظر گرفت . به عبارت دیگ44ر، اگ44ر خط44اي تص44ادفی از خط44اي دس44تگاه کمتر بود خطاي اندازه گیري، همان خطاي دستگاه اندازه گیري اس44ت. در غ4یر این ص44ورت

خطاي اندازه گیري برابر با خطاي تصادفی خواهد بود.

خطای تصادفی اصوال تمام عوامل موجود كه تاثير آنها مستقل از كميات موج4ود در آزم4ايش اس4ت مي توانند توليد خطاي كاتوره اي كنند. به همين علت پراكندگي در غياب خطاهاي سيس44تماتيك حول مقدار واقعي نسبتا يكنواخت است يا به عبارتي ديگر احتمال مثبت يا منفي بودن اين خطا يكي است تغييرات دما، رطوبت، جريانات جوي، تغييرات جريانات برق، خود ش44خص اندازه گير مي توانند عامل توليد خطاي كاتوره اي باشند. فرض كنيد زمان تناوب ي44ك آون44گ را چندين بار با يك كرنومتر اندازه گرفته ايم. خطاهاي حاصل در به كار انداختن كرنومتر و توقف آن و بي نظمي هاي كوچك در حركت آونگ تغييراتي در نتايج اندازه گيري متوالي به

وجود مي آورند كه مي توان آنها را به عنوان خطاهاي كاتوره اي در نظر گرفت.

4

انجمن فیزیک ایرانخطای سیستماتیک یا ذاتی

خطاهاي سيستماتيك معموال م4وقعي پيش مي آين44د ك4ه واقعيت آزم4ايش از مفروض44ات نظري تعدي مي كند و از ضريب تصحيحي كه اين تفاوت را اعم44ال كن44د چش44م پوش44ي مي

شود. به مثال های زیر توجه کنید: خطای صفر یا معیوب بودن وسیله اندازه گیری و یا خطای کالیبراس00یون: كرنومتري كه كمي كند كار مي كند، ولت سنجي كه محور عقربه آن دقيقا در مركز صفحه مدرجش نباشد. در چنین مواردی ابتدا باید مقدار خطای صفر را یافت و سپس دس44تگاه را کالیبره کرد. ان4دازه گ4يري ش4تاب جاذب44ه زمين ب44ه وس44يله ي4ك س44طح ش44يب دار ك4ه داراي

اصطكاك مي باشد ولي وجود آن فرض نشده باشد .

دقت و خطای وسیله اندازه گیری وسایل اندازه گیری که بصورت مدرج و یا آنالوگ هستند دقت اندازه گیری در آنها برابر با کمترین درجه بندی آن است ولی قرار داد می کنیم که خط44ای ان44دازه گیری نص44ف کم44ترین

1درجه بندی است. اگر از یک آوومتر مدرج استفاده می کنی44د ک4ه کم4ترین درج4ه بن4دی آن میلی آمپر اس44ت.0.5 میلی آمپر ولی خطای آن 1میلی آمپر را نشان می دهد دقت آن نیز

میلی آمپر را نشان می ده4د در هنگ44ام گ4زارش ک4ردن بای4د14برای مثال اگر دستگاه عدد میلی آمپر. 14±0.5چنین نوشت:

در وسایلی که دیجیتال هستند خط44ای ان44دازه گیری کوچک44ترین رقم ب44ا مع44نی اس44ت ک44ه میلی آم44پر را نش44ان12.20دستگاه نشان می دهد. برای مث44ال اگ44ر ولتم44تر دیجیت44ال ع44دد

میلی آمپر است. توجه کنید که عدد صفر در اینجا یک رقم ب44امعنی0.01می دهد خطای آن را قرائت کند اگر چ44ه مق44دار ع44ددی اش ب44ا م44ورد12.2است برای مثال اگر دستگاه عدد

میلی آم44پر اس44ت یع44نی دس44تگاه اول ی44ک مرتب44ه0.1اخیر یکس44ان اس44ت ولی خط44ای آن میلی آم44پر و12.20±0.01بزرگی از دستگاه دوم دقیق تر اس44ت. بن44ابراین م44ورد اول را

میلی آمپر گزارش می نماییم.12.2 ±0.1مورد دوم را

میانگین، انحراف معیار و پراکندگی میانگین ب4ار ت4رتیب داده ای4د و تع4داد اگر آزمایشی تجربی برای ان4دازه گیری کمیت دلخ4واه

آزمایش را تکرار کرده اید و یا به طریق شبیه سازی کمیت مورد نظر را بارها ان44دازه گیری کرده اید باید مقدار متوسط و انح44راف معی44ار را در گ44زارش کمیت م44ورد نظ44ر بی44ان کنی44د. توجه کنید ذکر واحد یا بُعد ضروری است. مقدار متوس44ط ی44ک کمیت بص44ورت زی44ر تعری44ف

می شود

(1)

همچنین انحراف معیار که بیانگر تمرکز داده ها حول مقدار متوسط است بص44ورت زی44ربیان تعریف می شود

(2)

5

انجمن فیزیک ایران گزارش می شود.بصورت بنابراین کمیت

حال عالوه بر این عالقه مندیم بدانیم که می44انگین اع44داد هم می توان44د پراکن44دگی داش44ته باشد؟ یعنی چند دسته از ان44دازه گیريه44اي مت44والی میتوانن44د میانگین ه44ایی ک44ه ب44ا هم برابر

نش44ان می دهیم.نیستند داشته باشند. انحراف معیار میانگین یا پراکندگی میانگین را ب44ا پراکن4دگی میانگین ه4ایپراکندگِی یک رش4ته از اع4داد اس4ت در حالیک4ه توجه کنید که

رشته هایی از اعداد است. یعنی اگر چندین بار آزمایش را برای یکسری رشته های مختل44ف از اعداد انجام دهید چه مقدار پراکندگی میان میانگین ه44ر ی44ک از این رش44ته ها وج44ود دارد. اما ب44رای محاس44به الزم ب44ه می44انگین گ44یری و محاس44به مج44دد نبیس44ت بلک44ه از رابط44ه زی44ر

می توان پراکندگی میانگین را محاسبه کرد

(3) بنابراین با افزایش تعداد انداگیری ها خطای تصادفی ناشی از اندازه گیری کاهش می یابد

اس4ت در اینص4ورت خط4ایالبته باید توجه کرد که اگر خط4ای سیس4تماتیکی بیش4تر از انداز گیری همان خطای دستگاه است نه خطای تصادفی بدست آمده در آزمایش. البت44ه ب44ه

ب44رای پرامن44دگی می44انگینط44ور تقری44بی ن44یز می ت44وان از رابطه ی بیشترین عدد و کمترین عدد اندازه گیری شده است. استفاده کرد که

خطای شمارش ب4ار ش4مارش انج4ام گ4یرد و خط4ای الزم اس4ت فرض کنید برای اندازه گیری کمیت

. ب4رای مث4ال در مش4خص گ4ردد در اینص4ورت اندازه گیری بوس4یله دس4تگاه ب44ار از خ44ط کشان44دازه گیری ط44ولی ک44ه از ط44ول خ44ط کش بزرگ44تر اس44ت الزم اس44ت

اس4ت در اینص4ورت خط4ایاستفاده کنید و خطای دستگاه در یکب4ار ان4دازه گیری ط4ول . به عبارت دیگ4ر خط4ای ش4مارش براب4رطول اندازه گیری شده برابر است با

. توجه کنید همواره تعداد ارق4ام ب4امعنی بای4د متن4اظر ب4ا خط4ای گ4زارشاست با اص4الحغلط است و بای4د بص4ورت شده باشد . برای مثال

شود.

محاسبه خطای توابع و یا محاسبه خطای تئوری ممکن است در تحلیل نتایج مجبور شوید از روابط و توابعی استفاده کنید ب4ه آنه4ا کمیت

نک44رده ایم. را عملی ب44رای ه44اي ثانوی44ه می گ44وییم ک44ه مس44تقیم آن ه44ا را ان44دازه گ44یري اندازه گیري را محاس44به ک44رده اندازه گیری خطای این کمیات این است که کمیات ثانویه هر

و سپس همان گونه که خطاي تص44ادفی کمیت ه4ا را پی4دا می ک4ردیم خط4اي این کمی4ات را اشکالی که مطرح است این است ک44ه ب44ا این ک44ار م44ا خط44اي تص44ادفی این محاسبه کنیم .

خطاي خ44ود در نظ44ر نگرفت44ه کمیات را محاسبه کرده ایم و دقت دستگاه اندازه گیري را در ایم. مثال فرض کنید تمام اندازه گیري ها یکسان باشند به طوري که خطاي تص44ادفی ص44فر

میدانیم این به معناي صفر بودن خطا نیست بلکه خط44اي کمیت ان44دازه گ44یري شود، اما ما

6

انجمن فیزیک ایران نظر گ44رفتن دقت دس44تگاه خط44اي شده برابر با دقت دستگاه اندازه گیري است . لذا با در

خود را گزارش می دهیم. اما در کمیات ثانویه دقت دستگاه را چگونه باید وارد کرد؟ ب44رايروشی کلی وجود دارد که به اختصار توضیح می دهیم. این کار

7

انجمن فیزیک ایران بصورت زیر است است در اینصورت خطای کمیت فرض کنید

(4)

گزارش می شود ک4ه البت4ه توج4ه ش4ود ک4ه واح4دبصورت بنابراین کمیت های هر دو یکسان است و باید بعد از پرانتز ذکر شود )طول موج لیزر هلیوم نئون که رنگ 2آن قرمز است در یک آزمایش پراش فرنل از پله ی فازی در آزمایشگاه تحقیق44اتی اپتی44ک

ان44دازه گیری ش44ده اس44ت(.در دانشکده فیزیک دانشگاه تهران بصورت توجه کنید که خطاهای مختلف قدر مطلقش4ان ب4ا یک4دیگر جم4ع می ش4وند همچ4نین

اس4ت ث4ابت ف4رض که است وقتی بقیه متغیرهای مشتق جزئی نسبت به متغیر شده اند. همچنین باید توجه کنید که همواره خطاهای مربوط به یک متغیر قدر مطلقش44ان

با یکدیگر جمع میشوند.

مثال: معموال بهتر است ابتدا از عبارت مورد نظر لگاریتم بگیریم بنابراین

بنابراین حال از دو طرف مشتق میگیریم و سپس

حال حال همانطور که اشاره کردیم قدر مطل44ق خط4ای کمیت ه4ای مختل4ف ب4ا یک44دیگر جمع می شوند زیرا همواره برای ما بیشینه خطایی که در آزمایش مرتکب شدیم م44د نظ44ر

است. بنابراین

همچنین توجه دارید که خطای اندازه گیری مربوط به هر یک از کمیت ها و ی44ا متغیره44ای . بن4ابراین خط4ای نس4بی را در عب4ارت ب4االمقداری مثبت است یا به عبارت دیگر

.بدست آوردیم و را عالوه بر مشتق گیری بصورت مستقیم و با استفاده تعریفالزم به ذکر است که

استاندار مشتق نیز بصورت زیر می توان بدست آورد(5)

این رابطه مخصوصا زمانی مفید است که در تجربه کمیتی که قابل اندازه گیری است را می توان با تغییرات جزئی به میزان خطای پارامترهای موثر در آن ان44دازه گیری ک44رد. ب44رای مثال فرض کنید در اندازه گیری پهنای فریزهای تداخلی ناشی از جابجایی یکی از دوش44کاف های آزمایش یانگ به اندازه ی دقت جابج44اگر بت4وان پهن4ای جدی4د را در این وض4عیت ان4دازه

8

انجمن فیزیک ایران گرفت در اینصورت خطای پهنای فریزه44ای ت44داخلی اختالف می44ان ان44دازه گیری در وض44عیت

را بدس44تاول و دوم اس44ت. همچ44نین زم44انی ک44ه در ک44امپیوتر از ح44ل یکس44ری معادل44ه می آوریم؛ با تغییر پارامترها به ان44دازه خط44ای آنه44ا می ت44وان معادل44ه را دوب44اره ح44ل ک44رد و

5ک4ه از رابط4ه را بدست آورد بنابراین خطای آن عبارت است از مقدارمی توان بدست آورد.

قوانین حاکم بر ارقام با معنی احتم44اال ت44ا ح44دودی ب44ا ارق44ام ب44ا مع44نی و نم44اد علمی در دروس دبیرس44تان و س44ال اول دانشگاه آشنا هستید در این گزارش نیز در قالب چند مثال با مفهموم ارقام با مع44نی آش44نا

شده اید. برخی قوانین حاکم بصورت زیر است - تعداد رقم هاي اعشار مجموع يا تفاوت دو كميت برابر تعداد رق مهاي اعشار كميتي1

است كه كمترين رقم اعشار را دارد

گرد شده است. 11 به 10.6که در آخری، - تعداد ارقام معن44ادار حاص4ل ض4رب ي4ا نس44بت دو كميت براب44ر تع4داد ارق44ام معن44ادار2

كميتي است كه كمترين ارقام معنادار را داراست

- در محاسبات طوالني شامل چندين جمع و تفريق و ضرب و تقسيم محاس44بات را ب44ه3 طور كامل انجام مي دهيم و قوانين را روي نتيجه نه44ايي اعم44ال ك44رده و در ص44ورت ل44زوم

گرد مي كنيم. - اعداد ثابت در روابط مانند اعدادی هس4تن ک4ه دارای بی نه4ایت رقم ب4امعنی هس4تند4

. در رابط0.5مانند عدد

رسم نمودار و برازشبه شکل زیر توجه کنید. یک نمودار باید دارای اجزای زیر باشد.

- عنوان نمودار باید کوتاه و کامل باشد1 - محورهای افقی و عمودی به درستی انتخاب شوند . درجه بن44دی مح44ور ه44ا ب44ه ط44ور2

مناسب انتخاب شوند.- هر نمودار زیرنویسی مناسب باید داشته باشد3- میزان خطای هر یک از داده ها در نمودارهای تجربی باید مشخص شود4- اطالعات نمودار باید خوانا باشد5

9

انجمن فیزیک ایران

در غیاب مدوالسیون زمانی برحسب(a 4 :4 )4شكل ب44رای ب44ر حس44ب (b 44. )ب44رای مق44ادیر مختلف

ثابت است. مقدار و مقادیر مختلف

( مانستگی میانb( طرحواره ی سامانه مورد بحث. )a :4 )1شكل کاواک فابری پروت با آینه ثابت و تق44ویت کنن44ده ی پارامتری44ک ک44ه دامنه پمپاژ آن مدوله ش44ده اس44ت ب44ا ک44اواک ب44ا آین44ه متح44رک ک44ه

حرکت آینه در آن مدوله شده است.

رسم بهترین خط و یا برازش بهترین خط به داده ها و رگرسیون سوال اساسی که مطرح است این است که اگر یک سری داده ی تجربی دارید که رفتار

( است و یا می توانید با طرفن44دهایآنها به طور ذاتی بر حسب یک متغیر خطی ) (، چگون4هریاضی )لگاریتم گرفتن( آن را به یک رابط4ه خطی تب4دیل کنی4د)

بهترین خطی را می توان به این داده ها برازش داد؟ و یا اینکه چگونه ثابت های مسئله و ی44اکمیت مجهول را به بهترین وجه و با بیشترین دقت می توان از این داده ها استخراج کرد؟

محور لگاریتمی زیر را که در آن فاصله ظاهری ه44ر دو ع44دد متناس44ب اس44ت ب44ا تفاض44للگاریتم دو عدد است را در نظر بگیرید

اگر هر دو محور لگاریتمی باشد ب4ه آن نم4ودار تم4ام لگ4اریتمی گفت4ه می ش4ود ک4ه تواب4ع بصورت خط دیده می شوند و اگر محور عمودی لگاریتمی باشد به آن نم4ودار نیم4ه

در آن بصورت خط دیده می شوند که برای رس44ملگاریتمی گفته می شود که توابع هم از کاغذهای لگاریتمی و نیمه لگاریتمی استفاده می شود.

10

انجمن فیزیک ایران

در هر صورت چه در حالتیکه رابط4ه خطی اس44ت و در چ4ه در ح4التی ک4ه از نموداره4ای یعنینیمه لگاریتمی و تمام لگاریتمی استفاده می کنید هدف یافتن رابطه خطی

یافتن بهترین شیب خط و عرض از مبدأ. می ت44وان از رواب44ط زی44ر ب44رای ی44افتن پارامتره44ایبهترین خط استفاده کرد

(6)

(7)

11

انجمن فیزیک ایران بصورت زیر هستندdو Dکه در آن پارامترهای

(8) اگر بهترین خطی که از مبدأ میگذرد مورد نظ44ر باش44د ش44یب و خط44ای آن بص44ورت زی44ر

است

(9)

الزم به توضیح است اگر رابطه بصورت خطی نباشد باید شکل تئوری مورد نظ44ر را ب44ه آن از طریق الگوریتم های موجود با استفاده از نرم افزار برازش کرد و پارامتره44ای م44ورد نظر را به همراه خطای آنها بدست آورد. توجه کنید هنگامیکه از ن44رم اف44زار ب44رای ب44رازش استفاده می کنید چند مورد را باید دقت کنید. اول اینکه خط44ای پارامتره4ایی ک44ه از ب44رازش بدست می آید را بای44د گ44زارش کنی44د. دوم اینک44ه مق4دار ض44ریب شایس44تگی ب44رازش را بای44د گزارش کنید که نشان دهنده این است که چقدر ب44رازش خ44وب انج44ام ش44ده اس44ت. س44وم اینکه توجه داشته باشید خطایی که گزارش می کنید باید عالوه بر خط44ای ب44رازش ک44ه ن44رم افزار می دهد شامل خطای ناشی از تغی44یر پارامتره44ای تج44ربی و دیگ44ر خطا ه44ا باش44دو ه44ر کدام که بیشتر باشد به عنوان خطای نهایی باید در نظر گرفته شود. نکته دیگ44ر این ک44ه در هنگام کارهای تجربی وقتی کمیت و یا پارامتری را اندازه گیری می کنید بهتر است آن را در

صورت امکان با مقدار عددی اش که از یک روش دیگر بدست می آید مقایسه کنید. ( را اندازه گیری کرده اید و می خواهیم رابطه ای می44انفرض کنید دو سری کمیت)

بدس4تاین دو کمیت برق4رار ک4نیم. بع4د از ب4رازش داده ه4ا ی4ک منح4نی بص4ورت ک4ه ان4دازه گیری ش4ده اند و ی4ک س4تونمی آید. حال سه ستون شامل داده های تج4ربِی

را می س4نجد. همبس4تگی می4ان ه4ای پیش بی4نی ش4ده داریم. کمیت دیگر ش4امل

و تعری44444ف می ش44444ود ک44444ه در آن رگرس44444یون بص44444ورت

با یکدیگر یکسان باشند مقدرا هستند. مالحظه کنید که هنگامیکه برابر با یک است و بهترین برازش رخ داده است. برای کارهای ساده ی نرم افزاری در ح44د رسم نمودار، برازش، حل معادالت جبری بصورتو دستگاه معادالت و غیره می توان از ن44رم

استفاده کرد. در صورت عدم دسترسی به این ن44رم اف44زار می ت44وان ازgenuplot(gplot)افزار Excel استفاده کرد اگر چه نرم افزار Excelچندان برای کاره44ای علمِی دقی44ق و س44طح ب44اال

مناسب نیست. مراجع برای مطالعه بیشتر:

- فيزيك عملي، ج.ل. اسكوايرز، ترجمه محمد علي شاهزمانيان و محمد حسن فيض،1 1370اول مركز نشر دانشگاهي، چاپ

12

انجمن فیزیک ایران خطاهاي مشاهده و محاسبه آن، تاپينگ ج. ، ترجمه محسن تدين، مركز نشر دانشگاهي- 2

1364 شيمي عمومي جلد اول، چارلز مورتيمر، ترجمه علي پورجوادي،... مركز نشر- 3

1378دانشگاهي، چاپ پنجم

13