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신호 및 시스템0

제 8 장

z-변환과 디지털 시스템


8.1 z-변환

z-변환의 정의

이산신호 x[n]의 z-변환은 다음의 멱급수(power series)로 정의

혹은 로 표현

역으로 X(z)로 부터 x[n]을 구하는 과정을 z-역변환 이라고 한다.

수렴영역(Region of convergence : ROC)

X(z)가 유한한 값을 갖는 모든 z 값

(8.1)

)z(X]n[x Z

여기서, z는 복소변수

]}n[x{Z)z(X


8.1 z-변환

z-평면-평면

Im zIm zIm zIm zIm z}Im{z

zzzRe{ zz}z

212121212121

-평면z-평면2

1

Re{ zzzzz}z

Im zIm z}Im zIm zIm {zIm z

그림 8.1 [예제 8.3]의 X(z)와 수렴 영역


8.1 z-변환

z-변환의 수렴

복소변수 z를 극형식(polar form) 로 표현

수렴 영역에서 를 만족

jrez

n

njnrez

er]n[x)z(X j

n

n

n

njn

n

njn

r]n[xer]n[x

er]n[x)z(X

)z(X

(8.8)

의 절대값의 합이 수렴하면 도 유한한 값을 갖는다nr]n[x )z(X


8.1 z-변환

임의의 이산 신호 x[n]을 인과 신호(causal signal)과 반인과 신호(anticausal

signal)로 구분

식 (8.9) 를 식 (8.8)에 대입하여 정리

]1n[u]n[x]n[x]n[u]n[x]n[x

(8.9)

0nn

1n

n

1

n 0nn

n

r]n[xr]n[x

r]n[xr]n[x)z(X

(8.10)


8.1 z-변환

수렴영역 의

1n

nr]n[x 수렴영역 의

0nnr

]n[x

12 rrrX(z)

수렴영역 의

그림 8.2 X(z)의 수렴영역(ROC)과 대응하는

인과(causal), 반인과(anticausal) 부분의

수렴영역


8.1 z-변환

X(z)는

존재하지 않는다

|b|<|a|

X(z)의 수렴구역

|b|>|a|

그림 8.3 예제 8.4의 z-변환 수렴 영역


8.1 z-변환

유한 길이의 이산 신호


8.1 z-변환무한 길이의 이산 신호

그림 8.4 신호의 특성과 수렴 영역과의 관계


8.2 z-변환의 성질

선형성 (Linearity)

만약 와 라면,

시간 이동성 (Time shift)

만약 이면,

x[n]을 k만큼 시간 이동한 의 z-변환은

)z(X]n[x 1Z

1 )z(X]n[x 2Z

2

)z(Xa)z(Xa)z(X]n[xa]n[xa]n[x 2211Z

2211 (8.12)

)z(X]n[x Z

]kn[x

)z(Xz]kn[x kZ (8.15)



z-영역에서의 척도 조절성 (Scaling Property)

만약 이면,

임의의 상수 a 에 대하여

z-영역에서의 미분

만약 이면,

21Z rzr:ROC)z(X]n[x

211Zn razra:ROC)za(X]n[xa

(8.16)

)z(X]n[x Z

dz)z(dXz]n[nx Z (8.17)



두 신호의 컨벌루션

만약 이고 이면

Z-변환을 이용한 시스템 해석 과정

(i) 입 력 신 호

임펄스 응답

(ii)

(iii) 시스템의 출력신호

)z(X]n[x 1Z

1 )z(X]n[x 2Z

2

)z(X)z(X)z(X]n[x]n[x]n[x 21Z

21 (8.19)

]}n[x{Z)z(X

]}n[h{Z)z(H

)z(H)z(X)z(Y

)}z(Y{Z]n[y 1

: 전달함수(Transfer function)


8.3 z-역변환

적분에 의한 z-역변환

멱급수 전개에 의한 z-역변환

장제법(long division)을 이용한 멱급수 전개

부분 분수 전개에 의한 z-역변환

c

1n dzz)z(Xj2

1]n[x (8.24)

)z(Xa)z(Xa)z(Xa)z(X kk2211

]n[xa]n[xa]n[xa]n[x kk2211Z

(8.28)

(8.29)

NN

11

MM

110

zaza1zbzbb

)z(D)z(N)z(X

(8.30)


8.4 단방향 z-변환

인과(causal) 신호만 존재하는 경우 ( )

단방향 z-변환의 성질

인과 신호이므로 의 수렴 영역은 복소 평면에서 반드시 원의 외부

시간 이동성을 제외하고 양방향 z-변환의 성질과 거의 동일

0n

0n

nz]n[x)z(X : 단방향 z-변환 (8.34)

)z(X]n[x]}n[x{Z Z

로 표현또는

)z(X



시간 이동성(Shifting Property)

(i) 시간 지연(Time Delay)

만약 이면

만약 x[n]이 인과 신호일 경우는

(ii) 시간 선행(Time Advance)

만약 이면

)z(X]n[x Z

0k]z]n[x)z(X[z]kn[xk

1n

nkZ

(8.35)

)z(Xz]kn[x kZ

)z(X]n[x Z

1k

0n

nkZ 0k]z]n[x)z(X[z]kn[x



단방향 z-변환을 이용한 차분 방정식의 풀이

주어진 차분 방정식의 z-변환식을 구한다

구하고자 하는 출력의 z-변환을 찾아낸다

찾아낸 z-변환을 역변환하여 시간 영역에서의 출력을 구한다.


8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징

이산 선형 시불변(LTI) 시스템에서

전달 함수는 임펄스 응답 h[n]의 z-변환

출력은 시스템의 임펄스 응답 h[n]과 입력 x[n]의 컨벌루션 합

식 (8.43)로부터 전달 함수는 입력과 출력 신호의 z-변환의 비

]n[h]n[x]n[y (8.42)

)z(H)z(X)z(Y (8.43)

)z(X)z(Y)z(H



전달 함수와 차분 방정식과의 관계

입력 신호 과 출력 신호 을 갖는 선형 시불변 시스템의

입출력 관계식

시스템 초기 조건이 모두 0 이고 시간 이동성을 이용하면

따라서

]n[x ]n[y

N

1k

M

0kkk ]kn[xb]kn[ya]n[y

)z(Xzb)z(YzaM

0k

kk

N

0k

kk

M

0k

kk

N

0k

kk

za

zb)z(H (8.45)



시스템의 안정도와 인과성

선형 시불변 시스템이 인과적이면 임펄스 응답은

시스템의 안정도

모든 n 에 대하여 유한한 와 가 존재하고

: 시스템은 BIBO 안정

0n0]n[h

yx MM

yx M]n[y,M]n[x (8.46)



시스템의 입출력 관계를 컨벌루션 합의 형태로 표현하면

양변에 절대값을 취하면

선형 시불변 시스템이 BIBO 안정이기 위한 필요충분 조건

: H(z)가 단위 원을 수렴 영역 안에 포함

k

]kn[x]k[h]n[y

k

xkk

]k[hM]kn[x]k[h]kn[x]k[h]n[y

k

]k[h



s-평면

s-평면

z-평면

단위원

z-평면

단위원

(a)

(b)

Im{z}

Re{z}

Im{z}

Re{z}

j

j

그림 8.5 연속 및 이산 시스템의

성질과 수렴 영역과의 관계

(a) 안정 인과적 시스템

(b) 비안정 인과적 시스템

수렴영역은 s-영역의 오른쪽 부분 또는 원의

외부이고 안정 시스템의 수렴 영역은

또는 단위 원을 포함함

js

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