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Übung vom 14.7.10
1 Die Rotation von Vektorfeldern im R3.2 Der Satz von Stokes.3 Übungsaufgabe 11.3.4 Übungsaufgabe 11.4.
Rotation im R3
Es sei p ∈ R3 �xiert. In p wählen wir eine Richtung ~n(p) (‖~n‖= 1)und eine volle Kreisscheibe B2
r (p) um p mit Radius r die senkrechtauf ~n(p) steht.
n
Br2
p
Γ• HtL
Ν
Deren Rand ∂B2r werde durch eine
parametrisierte Kurve γ(t) mit‖γ̇(t)‖ ≡ 1 so durchlaufen, dass sich(~n,ν(γ(t)), γ̇(t)) wie Daumen,Zeige�nger und Mittel�nger bei derRechte-Hand-Regel verhalten:
Rotation im R3
p
Γ×
Projn¦X
¶Br2
Sei X ein Geschwindigkeitsfeld,dann ist 〈X (γ(t)), γ̇(t)〉 dertangentiale Anteil von X imPunkt γ(t) ∈ ∂B2
r .D.h. vt(r) := 1
2πr
∫∂B2
r〈X , γ̇〉 dt
ist die durchschnittliche
Tangentialgeschwindigkeit
eines Teilchens auf ∂B2r .
Wegen ω := vt
rerhält man mit
1
2πr2
∫∂B2
r〈X , γ̇〉 dt die
durchschnittliche Winkel- bzw.
Drehgeschindigkeit ω einesTeilchens auf ∂B2
r um ~n.
Rotation im R3
Indem man r gegen Null laufen läÿt, ist wegen vol(B2r ) = πr2
〈rot(X )(p),~n(p)〉 := limr→0
∫∂B2
r〈X , γ̇〉 dt
vol(B2r )
= 2ω(p)
die doppelte Winkelgeschwindigkeit ω(p) eines mit X
�schwimmenden� Teilchens in p um ~n(p).
In diesem Sinne heiÿt rot(X )(p) auch Wirbeldichte von X inp. Achtung: Die Rotation als Wirbeldichte gibt nicht an, wiestark der Fluss des Feldes verwirbelt ist.
Es gilt
rot(X ) =
(∂Xz
∂y− ∂Xy
∂z,∂Xx
∂z− ∂Xz
∂x,∂Xy
∂x− ∂Xx
∂y
)
Beispiel
Die Flusslinien des Vektorfeldes X (x ,y ,z) = (0,x ,0) sind Geraden,es treten keine Wirbel auf:
(x− y -Ebene). X hat eine nicht verschwindende Rotation um ez :
〈rot(X ),ez〉= rot(X )z =∂Xy
∂x− ∂Xx
∂y= 1.
Aufgund der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten ist klar,dass sich jedes mit�ieÿende Teilchen p ∈ R3 um ez(p) drehen muss.
Der Satz von Stokes
In unserer Interpretation besagt der Satz von Stokes,∫∂M=γ
〈X (γ(t)), γ̇(t)〉 dt =∫M〈rot(X ),~n〉 dM
dass quantitiv die durch X gegebene tangentiale Bewegung amgeschlossenen Rand ∂M einer Fläche M2 ⊂ R3 (linke Seite)aus den durch X im inneren hervorgerufenen Drehungenerzeugt wird.
Dabei sei n(p) ein stetiges Normalenfeld auf M und γ mit‖γ̇‖ ≡ 1 so orientiert, dass für das äuÿere Normalenfeld ν von∂M die Vektoren {n(p),ν(p), γ̇} auf ∂M dieRechte-Hand-Eigenschaft erfüllen.
Der Satz von Stokes
Auf der englischen Seite von Wikipedia über den Satz von Stokesdient folgendes Bild als Erklärung für dessen generellen Prinzips:
Der Beitrag von benachbarten Seiten hebt sich aufgrund derOrientierung auf. Verfeiniert man das immer weiter, so entsprichtdie �Gesamtbewegung am Rand� gerade der �Summe derRotationen� der einzelnen Punkte.
Übungsaufgabe 11.3.
Sei ein Vektorfeld im R3 gegeben durch
F = (x31 +1
2x2x
2
3 ,1
2x1x
2
3 + x22 ,x1x2x3)
und eine Fläche durch die obere Halbsphäre
S ={x ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1, x3 ≥ 0
}.
Berechnen Sie a) das Wegintegral über den Rand der Fläche sowieb) das Flächenintegral über die Rotation, wie sie im Integralsatzvon Stokes verwendet werden.
Lösung a)
n(p) = p ist ein stetiges Normalenfeld und ν =−ez ist dasäuÿere Normalenfeld auf ∂S = {x2+ y2 = 1, z = 0}. D.h.bezüglich der Rechte-Hand-Regel können wir∂S durchγ(t) = (cos t,sin t,0) mit t ∈ [0,2π) parametrisieren.
Damit ist F (γ(t)) = (cos3 t,sin2 t,0) und
〈F (γ(t)), γ̇(t)〉=−cos3 t sin t+ sin2 t cos t
=
(cos4 t
)′4
+
(sin3 t
)′3
.
Damit ist∫
∂M=γ〈F (γ(t)), γ̇(t)〉 dt = 0.
Lösung b)
Andererseits ist
rot(F ) =
(∂F3
∂x2− ∂F2
∂x3,∂F1
∂x3− ∂F3
∂x1,∂F2
∂x1− ∂F1
∂x2
)=
(x1x3− x1x3,x2x3− x2x3,
1
2x23 −
1
2x23
)= 0
und damit∫S 〈rot(F ),n〉dS = 0.
Übungsaufgabe 11.4.
Sei f = (x ,y2,z3) ein Vektorfeld im R3,F = {(x ,y ,z) : x ,y ,z ≥ 0, x+ y + z = 1} eine Fläche. BerechnenSie
∫F 〈rot(f ),n〉dF a) direkt und b) über den Integralsatz von
Stokes.
Lösung
Wegen ∂ fi∂xj
= 0 für i 6= j gilt o�enbar rot(f ) = 0 und damit∫F 〈rot(f ),n〉dF = 0.
Die Fläche ist eine Ebene durch die Punkte ex ,ey und ez .
Lösung
Der Rand entspricht 3 Strecken γi , die wir z.B. durch(t,0,1− t), (1− t, t,0) und (0,1− t, t) mit t ∈ [0,1]parametrisieren.
Für f (γi ) erhält man dadurch (t,0,(1− t)3), (1− t, t2,0) und(0,(1− t)2, t3). Daraus folgt
〈F (γ1(t)), γ̇1(t)〉= t−(1−t)3, 〈F (γ2(t)), γ̇2(t)〉=−(1−t)+t2
und 〈F (γ3(t)), γ̇3(t)〉= t3− (1− t)2 .
Über [0,1] integriert ergibt der Reihe nach 3
12, − 2
12und − 1
12.
Deren Summe, d.h.∫
∂F=γ〈f , γ̇〉 dt, ist Null.