彰化縣 106 年第 57 屆中小學科學展覽會

作品說明書

科別：數學科

組別：國小甲組

作品名稱：畫過時代，圈在一起

關鍵詞：畫圈圈、必贏、必輸

編號：國小數學 021

摘要…………………………………………………………………………………- 1 -

壹、研究動機………………………………………………………………………- 1 -

貮、研究目的………………………………………………………………………- 1 -

參、研究器材及設備………………………………………………………………- 1 -

肆、研究過程及方法………………………………………………………………- 2 -

伍、研究成果………………………………………………………………………- 10 -

陸、結論……………………………………………………………………………- 12 -

柒、參考資料………………………………………………………………………- 12 -

附錄…………………………………………………………………………………- 13 -

目 錄

- 1 -

作品名稱：畫過時代，圈在一起

摘要

在畫圈遊戲中，如果沒有幾何上的圖形影響，我們知道可以透過數學公式計算搶得第幾

顆就可以必贏。而圖形的延伸就會造成較多的變數，我們統整了幾種在圖形上必贏的情形及

如何在三手之內確定輸贏的圖形。發現了各層數先手必贏或先手必輸的方法，但也間接證明

了這是一個不公平的遊戲。

壹、研究動機

在現今充滿數位科技的時代下，大多以科技化且互動方式的線上數學遊戲吸引大家，越

來越少人關注且提及以往那些富有趣味和需要動腦思考的數學益智小遊戲了，而「畫圈圈」

就是其中一個鮮明的例子。

原本我們以為這只是個簡單的小遊戲，沒有什麼技巧，遊戲的輸贏只是靠運氣而已，但

實際玩過幾次之後，發現這個遊戲其實是有竅門的，想要搶占先機，絕對不是什麼難事，這

就引起了我們的好奇心，想要做更深入的研究與探討此遊戲的各種贏戰法門。

一次次的挑戰，讓我們發現到當最後剩下某種圖形時，就有必贏或必輸的可能性，這讓

我們覺得既神奇又有趣，吸引我們去了解畫圈圈的奧秘，解開它那神秘的面紗。

貮、研究目的

一、此遊戲是否有必贏的方式

二、各層先手與後手的獲勝方法差異

三、獲勝方法的幾何圖形

四、此遊戲是否符合公平性

參、研究器材及設備

一、黑板、粉筆數枝、電腦、投影機

- 2 -

二、演算紙數張、鉛筆

肆、研究過程及方法

一、遊戲規則：

遊戲規則一：有先、後手，兩個玩家，用數個圈圈所形成的正三角形，一次可畫 1 顆、2 顆，

最多為 3 顆。

遊戲規則二：畫記只限一直線，不可彎曲，不可重複。

遊戲規則三：不可跨空格畫。

遊戲規則四：畫下最後一顆者為輸家。例如下圖為先攻者輸棋。

範例：此範例為五層的正三角形。

先 手

後 手

- 3 -

※由此盤遊戲可知：後手留下最後一個圓圈給先手，則先手會輸。

二、各層數輸贏差異：

(一) 一層

作 法 原 因 結 論

單一一顆 先手輸

(二) 二層

作 法 原 因 結 論

剩餘一顆 先手贏

(三) 三層

作 法：

找出先手的可能性及後手的應變方法 原 因 結 論

○1

得知 必贏

※因不管對方下哪一

步，先手都能留下一顆

給後手。

先手輸

- 4 -

○2

必贏

先手輸

○3

剩餘一顆

○4

剩餘一顆

○5

剩餘一顆

- 5 -

(四) 四層

作 法：

找出先手的可能性及後手的應變方法 原 因 結 論

○1

得知圖○1 ○2 ○3 都

留下 3 層給先手，因 3

層先手輸，所以留 3 層

必贏。

先手輸

先手輸

○2

○3

○4

已經形成了必贏的圖

形。

○5

圖○5 ○6 為先手無法

畫出使後手輸的圖形。

○6

- 6 -

○7

此圖為先手任意畫某

些圓圈，後手都可以畫

出先手輸的圖案。

○8

先手不論畫哪一個圓

圈，後手皆可留下必贏

的圖形。

例如：

※由以上所有圖形得知四層先手必輸。

- 7 -

(五) 五層

作 法：

找出先手的可能性及後手的應變方法 原 因 結 論

○1

先手必贏但是要避

免自己落入剩餘四

層的圖形中。

先手贏

○2

先手必贏，但須注

意不要造成圖

○13 、○14 。

○3

先手必贏，但須注

意不要造成圖

○11 、○12 。

○4

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

先手輸

○5

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

- 8 -

○6

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

先手輸

○7

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

○8

因 4 層先手輸，則

留 4 層給對方必贏。

○9

○10

先手無法留下必勝

的圖形。

先手輸

○11

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

○12

無論先手畫哪些圓

圈，皆無法使後手

輸。

- 9 -

○13

先手任意畫某個圓

圈，後手仍可畫出

使先手輸的圖案。

先手輸

○14

- 10 -

三、在幾次的演練及結果討論中我們發現了以下幾種圖形在過程中是無法改變輸贏的，也就

是說當對手留下這樣的圖形給你時，你是必輸的。

※可總結以上八種圖形，為先手必輸的圖形。

伍、研究成果

一、因為正三角形為一種對稱圖形，所以我們在討論的過程中已經透過翻轉及旋轉後所剩餘

的先手圖形去驗證，而經由翻轉及旋轉後重複的先手圖形我們就不加列舉了

二、在一~四層中，除了在二層的情況下能使得先手必贏外，在一、三、四層中皆是先手必輸

的局面；而在五層中就有先手畫 1 顆、2 顆、3 顆的情形需要去討論，在先手畫 2 顆、3 顆的

情況下先手是必輸的，但是在先手畫 1 顆的情況下就必須分成以下幾種方式去討論：

- 11 -

○1

○2

○3

○4

※在上述的第一~三種圖形中，後手皆無法形成在五層的討論中的○5 〜○14 使先手必輸的圖

形且後手操作後將會使先手造成讓後手必輸的情形，所以在前三種的先手圖形中先手是必贏

的；而第四種圖形中，後手可將圖形造成五層討論結果中的第○5 種圖形，使先手必輸。

三、綜合以上結果我們可以知道先手在畫一顆的情況下佔有優勢，但是我們也整理出了幾種

必輸的圖形，只要能將這樣的圖形留給對手的話你將會留住勝利。

(黑色為已畫記的圈圈)

- 12 -

陸、結論

一、綜合以上的研究結果我們可以知道各層數的必贏及必輸的方法和圖形，雖然在五層中的

變化較多，但還是可以得知先手畫 2、3 顆的情況下，先手是無法贏得勝利的。

二、坊間的這個遊戲大多設定在五層的情況下遊玩，因為一〜四層的變化性太少了，且勝負

較快得知，而五層中剩餘的幾何圖形較複雜，但是只要遵循著本篇的研究結果便可知道先手

畫記 1 顆時(頂層一顆、第三層的中間、第五層的中間)在往後的畫記中不出錯的話，先手將是

必贏的。

三、在本篇所整理的幾何圖形中，我們並未歸類出第幾手可能出現的圖形，因為我們無法得

知對手會如何應變，但我們所整理的圖形足以應變對手的所有可能性，雖然圖形可能因為畫

記的順序而造成上下或左右顛倒，我們依然可以透過旋轉或翻轉跟我們所整理的圖形做對

照，使自己獲得勝利。

四、綜合以上所述可以得知，在雙方都擁有完整的實力之下，遊玩五層的情況下，先攻者必

勝。然而這也證明了此遊戲並非一個公平的遊戲，但是遊戲本來就具有休閒娛樂的功能，希

望本篇研究結果不會破壞了各位玩家的興致。

柒、參考資料

一、三角地雷區。https://market.cloud.edu.tw/resources/web/1685671

二、網路破解迷思。http://www.shs.edu.tw/works/essay/2012/03/2012033016355623.pdf

三、畫圈必勝法。

http://blog.xuite.net/jenchihwu/twblog/171969328-%E7%95%AB%E5%9C%88%E5%9C%88%E5%BF

%85%E5%8B%9D%EF%BC%81%EF%BC%81

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附錄

活動照片

老師指導學生

學生自行研究

學生相互討論解法

在黑板上實際演練

與指導老師相互研討

指導老師講解文本的謄打方式