运动学

本章内容 Contents chapter 1

质点运动的描述

质点运动的两类基本问题

圆周运动及刚体转动的描述

相对运动与伽利略变换

description of particle motion

two basic kinds of particle motion problem

descriptions of circular motion and rigid body motion

relative motion and Galileo transformation

第一节质点运动的描述

1 - 1

Description of particle motion

固联在参考系上的正交数轴组成的系统，可定量描述物体的位置及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。

坐标系

r

φ

θ 卫星

法线

切线

运动质点

τ n

自然坐标系

由运动曲线上任

一点的法线和切

线组成

矢量知识

有大小、有方向，且服从平行四边形运算法则的量。

A

线段长度（大小）；箭头（方向）。

手书 A

印刷

（附有箭头）

（用黑体字，不附箭头）

矢量表示式

X

分别为 X、Y 轴的

单位矢量（大小为1，方向

Y

0

A j

i x

y

i j 、

分别沿 X、Y 轴正向）。

在 X-Y 平面上的某矢量 A 该矢量 A 的坐标式

手书

A = x i + y j

印刷

= x + y

在课本中惯用印刷形式。

在本演示课件中，为了

配合同学做手书作业，采

用手书形式。

矢量加法

反向为 减法相当于将一矢量反向后再相加。

服从平行四边形法则

为邻边 为对角线

若

则

矢量乘法

两矢量点乘的结果是标量

在直角坐标中

等于对应坐标乘积的代数和

例如

两矢量的点乘 = 两量大小与它们夹角余弦的乘积

叉乘 两矢量叉乘的结果是矢量

大小

角转向叉号后矢量的旋进方向。

方向 垂直于两矢量决定的平面，指向

按右螺旋从叉号前的矢量沿小于

的方向

两矢量所在平面

用一个三阶行列式

若 的空间坐标式为

表示

位置矢量

运动学方程

随时间变化

其投影式

称为

参 数 方 程

位移

平均速度

瞬时速度

平均加速度

瞬时加速度

自然坐标系

速度加速度

切向加速度

法向加速度

物理量小结

随堂练习一 由运动学方程 投影式 消去

得轨迹方程

由 运动学方程 坐标式

位矢

运动学方程投影式

质点的轨迹方程 ；

第 2 秒 末的位矢；

第 2 秒 末的速度

和加速度 。

随堂练习二

得 9.8

20× 30.6(m)

由法向加速度大小

最高点处 cos30º

足球运动轨迹最高点处

的曲率半径 ρ

30 º

（备选例一）

（备选例二）

随堂小议

一质点作曲线运动，

r 表示位矢，

s 表示路程，

v 表示速度，

aτ 表示切向加速度，

下列四种表达式中，

正确的是

（请点击你要选择的项目）

（1）

（2）

（4）

（3）

一质点作曲线运动，

r 表示位矢，

s 表示路程，

v 表示速度，

aτ 表示切向加速度，

下列四种表达式中，

正确的是

（请点击你要选择的项目）

（链接1） （1）

（2）

（4）

（3）

一质点作曲线运动，

r 表示位矢，

s 表示路程，

v 表示速度，

aτ 表示切向加速度，

下列四种表达式中，

正确的是

（请点击你要选择的项目）

（链接2） （1）

（2）

（4）

（3）

一质点作曲线运动，

r 表示位矢，

s 表示路程，

v 表示速度，

aτ 表示切向加速度，

下列四种表达式中，

正确的是

（请点击你要选择的项目）

（链接3） （1）

（2）

（4）

（3）

一质点作曲线运动，

r 表示位矢，

s 表示路程，

v 表示速度，

aτ 表示切向加速度，

下列四种表达式中，

正确的是

（请点击你要选择的项目）

（链接4） （1）

（2）

（4）

（3）

第二节 两类问题

1 - 2

由初始条件定积分常量

随堂练习一

随堂练习二 跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 均为大于零的常量

式中

任一时刻运动员下落速度大小 的表达式

及 时

对本题的一维情况有

由

分离变量求积分

注意到

得

（备选例一）

（备选例二）

（备选例三）

（备选例四）

（续选例四）

（备选例五）

第三节圆周、刚体运动

descriptions of circular motion

1 - 3

and rigid body motion

约定：反时针为正

一质点A作圆周运动

角坐标、角位移

约定：反时针为正 约定：反时针为正

角速度

角加速度

一般方法 求解圆周运动问题的一般方法

角线量关系

证明题

续证明

角线关系简例

刚体及其平动

形状固定的质点系（含无数

刚 体

质点、不形变、理想体。）

平 动

刚体任意两点的连线保持方

向不变。各点的

相同，可当作质点处理。

刚体定轴转动

刚体的定轴转动

刚体每点绕同一

轴线作圆周运动，

且该转轴空间位置

及方向不变。

定轴转动参量

刚体定轴转动的运动方程

用矢量表示 或

时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则

1. 角位置

描述刚体（上某点）的位置

2. 角位移

描述刚体转过的大小和方向

刚体

转轴

转动平面 （包含p并与转轴垂直）

(t)

参考方向

刚体中任一点

(t+△t)

3. 角速度

静止

常量 匀角速 变角速

描述刚体转动的快慢和方向，

常量

是转动状态量。

刚体定轴转动的运动方程

用矢量表示 或

时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则

1. 角位置

描述刚体（上某点）的位置

2. 角位移

描述刚体转过的大小和方向

刚体

转轴

转动平面 （包含p并与转轴垂直）

(t)

参考方向

刚体中任一点

(t+△t)

3. 角速度

静止

常量 匀角速 变角速

描述刚体转动的快慢和方向，

常量

是转动状态量。

续参量

描述刚体转动状态改变

4. 角加速度

的快慢和改变的方向

常量 匀角加速

匀角速

变角加速 常量

因刚体上任意两点的

距离不变，故刚体上各点

的 相同。

定轴转动的 只有

同 和反 两个方向，故

也可用标量

中的正和负表方向代替矢量。

随堂练习

一质点作圆周运动

半径 R = 0.1 m

其运动学方程为

θ = 2 + 4 t 3 (SI)

t = 2 s 时， 质点的

切向加速度

法向加速度

τ a

n a

关键是设法求 线速率

若由 τ a n a

关键是设法求 角速率

若由 a τ n a

本题很易求

12 t t = 2 48 (rad·s-1)

12 t

24 t t = 2 48 (rad·s-2)

a τ 4.8 ( m · s-2 )

n a 230.4 ( m · s-2 )

第四节

relative motion and Galileo transformation

1 - 4

相对运动

运动具有相对性

球作曲线运动

球垂直往返

如何变换？

运动的合成

动系（运动参考系 S ）的量。

描述运动三参量合成的约定

绝对量

静系（不动参考系 S）的量。

相对量

牵连量

动系对静系的量。

O

静系

Z

Y

(S)

X

位矢的合成 位矢的合成

r 绝

r 牵

S 相对 S 作平动

对空间任一点 P

绝 对 位 矢 S : r 绝

相 对 位 矢 S : r 相

r 绝 相 r 牵 r 位矢合成定理

牵 连 位 矢 r 牵

S 相对 S : ( OO )

r 相

P

Y

动系 (S )

X O

Z

v

速度的合成 速度的合成

r 绝 相 r 牵 r 将位矢合成公式 对时间求一次导数

r 绝 相 r 牵 r

v 绝 相 v 牵 v

速度合成定理

v 绝 绝 对 速 度 在 S 观测到P点的速度:

相 对 速 度 在S 观测到P点的速度:

牵 连 速度 S 相对 S 的速度: 牵 v 相 v

加速度的合成 加速度的合成

a 绝 绝对加速度 在 S 观测到P点的加速度:

相对加速 度 在S 观测到P点的加速度:

牵连加速度 S 相对 S 的速加度: 牵 a 相 a

将位矢合成公式 对时间求一次导数 v 绝 相 v 牵 v

v 绝 相 v 牵 v

加速度合成定理

a 绝 相 a 牵 a

伽利略变换

O

静系

Z

Y

(S)

X

Y

动系 (S )

X O

Z

v P

(x, y, z) (x, y, z )

伽利略变换是反映两个相对作

S 相对于S 作匀速直线运动。

（ 这里设S 相对S 沿X 轴方向以

v 速率 作匀速直线运动。）

t = 0 时动(S )静(S)两系重合。

匀速直线运动的参考系（惯性系）

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

约定：

坐标变换

O

静系

Z

Y

(S)

X

Y

动系 (S )

X O

Z

v P

(x, y, z) (x, y, z )

伽利略变换是反映两个相对作

S 相对于S 作匀速直线运动。

（ 这里设S 相对S 沿X 轴方向以

v 速率 作匀速直线运动。）

t = 0 时动(S )静(S)两系重合。

匀速直线运动的参考系（惯性系）

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

约定：

坐标变换

这就是经典力学的时空观，认为空间和时间是绝对的，互不相关的。时间与观测坐标系是否运动无关。

加速度变换

O

静系

Z

Y

(S)

X

Y

动系 (S )

X O

Z

v P

(x, y, z) (x, y, z )

速度变换

将坐标变换式对时间求一次导，得

加速度变换

或

将速度变换式对时间求一次导，并

注意到匀速 求导为零 ，得

相对性原理 伽利略的相对性原理

由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来，故

力学规律在一切惯性系中具有相同的

形式，因而是等价的。

这一原理称为伽利略的相对性原理

伽利略的加速度变换 表明，在两个相互作

匀速直线运动的参考系（惯性系）中，观测同一质点的力

学运动，其加速度大小和方向，两系观测结果都是一样的。

也就是说，做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是

绝对静止还是在作绝对匀速直线运动。

随堂练习

续练习

45°

（相）

（牵）

（绝）

45°

7.07 2.07 ( m s )

大小 ： 7.07 2.07

( m s ) 7.37 方向 ：

7.07

2.07 arctg 16.32

即来自西偏北（吹向东偏南） 16.32

α

5

-10 2

2

10 2

2

-2.07

7.07

作业 HOME WORK

1 - 9 1 - 1 3

1 - 1 8

2 - 2 5 1 - 2 1