第 期 电 子 学 报

年 月

基于双不确定集约束的稳健宽带波束形成算法

陈明建 罗景青合肥电子工程学院 安徽合肥

摘 要 ： 针对传统不确定集约束稳健波束形成算法 的性能依赖于模约束参数的 问题 ，提出 了双不确

定集约束的稳健宽带波束形成 算法 该算法将期望信号导向矢量约束于两个不同参数的球形不确定集 中 ，

解决模约束参数选择不当引起 性能下降的问题 ，推导了 算法与 算法获得不同 的必要条

件 ，并讨论了 算法中约束参数的选择问题 最后给出 的数值仿真结果验证了该算法的有效性

关键词 ： 稳健波束形成 ； 宽带 ；导 向矢量 ；

双不确定集约束

中國分类号 ： 文献标识码 ： 文車编号 ：

电子学报 ：

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￡

￡

：

上述文献主要是针对窄带情况 ，对于宽带情况 ，

等人提出基于最坏情况性能最优的宽带稳健算

在理想情况下 ， 自适应波束形成具有 良好的性能 ， 法 ，算法模型可转化为凸二阶锥规划 问题求解权 向

但若信号导向矢量存在误差 ，算法性能会急剧下降 为 量 等人提出 了基于空间 响应偏差约束的

了克服导向矢量误差对波束性能的影响 ，对角加载是最 宽带稳健算法 ，该算法在改善宽带波束的频率不变特

常用的方法 但是如何选择对角加载因子仍是一个公开 性的同时 ，提高了阵列输出 性能 上述讨论算法性

的难题 近年来基于导 向矢量不确定集约束的稳健算 能依赖于导向矢量误差的先验知识 ，然而 在实际应用

法相继提出 等人提出 了基于子空 间投影法 ，在 中导向矢量误差的大小并非精确已知 ，这将在一定程度

无任何先验知识情况下 ，能获得 良好的稳健性能 刘 上影响算法性能

聪峰等人提出 了一种改进的不确定集约束稳健波束形 针对以上分析的 问题

，本文研究双不确定集约束的

成算法 ，该类算法仅适合于较大信干比情况 ，在强干 稳健宽带 自适应波束形成问题 ，

解决传统不确定集约束

扰条件下 ， 算法性能将下降 等人提 出迭代稳健 稳健算法性能对模约束参数的依赖 ，并讨论双不确定集

波束形成算法 ，该算法通过迭代求解最优权矢 约束参数选取问题 分析了算法的性能 最后通过仿真

量 ，提髙了阵列输出 性能 实验 ，验证了算法的有效性

收稿 日期 修回 日 期 责任编辑 梅志强

基金项 目 ：国家自然科学基金

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单不确定集约束稳健算法的局限性—

由命题 可知 ，权向量 ！丨和 ！

丨对应的波束形

假设期望信号导向矢量误差为 。 成器具有相同的阵列输出

分别为真实导 向矢量和假定的导向矢量 ，误差 满足 命题 若权向量 是式 的解，则式 的不

，实际期望信号导向矢量属于如下球形不确 等式约束可以等价转化为

， ’

⋯

￡ ⑴ 证明 ：假定 且

其中 ￡ 为不确定集约束参数 最坏情况性能优化 卢 不失一般性 ，假定 《 定义

的稳健算法可描述为如下约束优化问题“

球形不确定集约束稳健算法的性能取决于模约束 因此 也是式 的解 ，则

参数 ￡ 的正确选择，选择过大或过小 ’都将 引起阵

可知 式 与式⑶贿 相矛盾

双不确定集约束的宽带 算法 当 时，同理可得该结论 因此可知 ，命题

多个不确定集的稳健算法模型得证

由合丽 垄价链仆士

为了解决上述的 问题 考虑多个不确定集约束解由命题

？知 ’式

，价转

，

为

决传统稳健算法的模约束参数难以选择的 问题 这里

以双不确定集为例来分析该算法的有效性该优化问题可以糊 乘子法求解 并运用矩阵

若期望信号实际方向向量约束于如下双不确定集 求逆引理公式 ，可得最优 量 的表达式为

中 即满足

式中 为 乘孚

。

， 为归一化因子 ，

从式 可知 基于 个球形不确定集约束的稳

其中 。 。丨 健波束形成方法仍然可以归结为对角加载方法 加载

因此 ，

一方面 ，若实际期望信号导 向矢量属 量与 乘子 、约束参数 有关

于乂 “斤如会 丨 叫 丨 叫 均 ， ⋯ ，相 比单个不确定 不确定集约束参数选择

集跔 约束 时期望信号将不会被当成干扰信号加以 为简化分析 ，这里以双不确定集约束稳健波束形

抑制 ；另一方面 ，若干扰信号的导向矢量落人集合 成算法为例 ，分析其性能以及与传统不确定集约束稳

同时期望信号的实际导 向矢量落人集合 马 中 相比单 健算法的关系

个均 约束 ，此时期望信号获得的增益将大于干扰信号 命题 假定传统单不确定集约束 的 算法

的获得增益 ，阵列输出信干比 将增大 的权向量为 双不确定集约束的 算法

综上所述 双不确定集约束提高阵列输出 的 的权向量为 ⋯ 。 ， 。 ， 若 ％ 满足如下不等式

性能 能有效解决由于模约束参数选择不当导致阵列 “

输出 性能下降的陋

考虑一

般情况 ， 个球形不确定集约束问题 ， 即期 则

望信号导向矢量同时满足 个不确定集约束 证明 ：若 ％ 为单不确定集 算法的解

式中 爲 。将式 代人到不等式 可得

丨

“丨 丨

， 〔凡“ ，则 个不同球形 乏

不确定集稳健算法可描述为如下约束优化问题 联立式 可得

￡

命题 若权向量⋯

， —

⋯

，

是式 （ 的解 ， 则权向 量 ⋯

，丨 ；

⋯

’ 由式 可知 此时 ，也是双不确定集 约束

与 关系满足如下，式 ，其中 优化问题的解 ， 因此两者具有 相同的 阵列输 出

命题得证

第 期 陈明建 ：基于双不确定集约束的稳健宽带波束形成算法

式 给出 了传统单不确定集约束的 算法 法 ，对于宽带 信号 ， 可 以 借鉴 空 间 响 应偏差 约束 思

和双不确定集约束 算法的阵列输出 相同 的 想 将宽频段 内不确定集约束问题简化为某个参考

充分条件 ；反之 ，两类波束形成器阵列输 出 不同 频率的不确定集约束问题

的必要条件为 因此基于空间响应偏差约束的双不确定集约束宽

带稳健波束形成算法可描述为卜 ￡

⋯ 、“

￡

命题 若 充分小 则；：

一

：：

恒成立 式中 为平衡参数 、 『 ，

证明 ：假定 如 卢 由命题 可得

训约束优化问 题可 转化 为 问 题 ，麵

、 、或 工具箱可以高效求解权向量

”

仿真结果

实验 窄带情况算法性能

由式 可知 ， 当 充分小时 ，式 的不等式关系恒 假设 元均匀线阵 阵元间距为半波长 空间存在

成立 个 目标信号和 个不相关的干扰信号 ， 目标信号的方

虽然命题 给出 了传统 算法和双不确定集 位角为°

假定期望方向为 即存在°

的指 向误差 ，

约束是 算法具有不同 性能的必要条件 ，但 干扰信号的方位角为 和 ， 干扰信号功率均为

无法定量给出参数的范围 下面分析约束参数 的具 通道噪声为不相关高斯 白 噪声 所有实验结果均

体取值范围 有 次 实验平均得到

考虑到 是权向量解 ， 因此一 为方便起见 ，记传统的单不确定集约束 为

定落人所有可行解的范数下确 界中 ， 即 可 以通过如下 而双不确定集约束 为 其中

优化问题求解权向量的下确界 和 的参数分别设置为 、 ，

假定期 信号导 向矢量 存在 变换 图 给出 了 时 输 出 随

矩阵 ，使得 其 中

约束参数 的变化 曲线 为不同约束参数时算法° ° °

随输人 的变化曲线

考 虑 到 具 有 酉 不 变 特 性 ， 则

吨 。

“ 々托。

切，其 中 如 是 向量

； 的第一

个数值 ，则式 可转化为

°

霊

由于卜此可得

丨 丨 、

；

￡图 输出 与 的关系

联立式 、 可知 ，若 满足如下关系

￡由图 可知 ，

当 时 、 的输 出

￡ 性能相对较好 其中 时 ，性能最优 当 ￡ 取值

则传统的 的权向 量 与双不确定集约 较小或者较大时 ，则 的，性能急剧下降 ，尤

束 的权向量 对应不同阵列输出 其是在 取值较小时 ， 下降幅度更明显

由 图 可 知 ，当 时 与 的

上述讨论的是窄带双不确定集约束 稳健算 性能曲 线几乎重合 ；当 时 只 有在

5 9 0 电 子 学 报 年

最优约束参数时宽带最优

￡

丄。

‘ ‘

‘

‘

‘

‘ —

输入 ■ ■

图 输出 与输入 的关系°

￡

图 输出 与 的关系

时 ，其 性能略优于 但当

的 性能要明显优于 当

时 只有在 时 性能较好 ， 在

高 时 ， 的 性能急剧恶化

实验 宽带情况算法性能

仿真参数设置如下 ：空间存在 个宽带 目标信号和

个宽带干扰信号 ，具有相 同的带宽与中心频率 ， 归一 —

化工作频带 ， 滤波器阶数 阵元 —

间距为信号最高频率对应的半波长 ，频率不变方位约 ， 。 。

束区域为 的参数设置 图 输出 的关系

为 的参数设 置为 。 ，

其它仿真参数与实验 相同 结束语图 给出 了 时 输出 随

，

约束参数 ￡ 的变化賊』 为不闇束錄

和 随输入 的变化曲线推导 不确定集力束 算法与传统单不

确定集约束 算法两者获得不 同 的必要条

当 化 时 ， 宽带 的输出 相 其并详细，

了 算法的参数选择 问题 最后

中 时 性能最优 ； 当 取值较小或者较大时 ，

其

带 尤難 ■ 二二 ■择、

’

由 图 可知 ， 当 ，低 时 的 性问题 ，不仅简化模约束参数的选择 ’还提高 了通

件能能略优于 但在高 时 的 性

’

能更优 ；当 ￡ 或 ￡ 时 的 性能要优 参考文献

于， 其 中 时 的 性能 随着

的 增加 急 剧 下 降 ， 当 时 ， 只 有 在■ ⋯

」

廳’

的 才接近 的 性能叙肌舛⑵娜 皿

上所述 可 辱如下结 匕 ：

导 向矢量 差的 模约束参数 决定着波束形

成器稳健性的优劣 ， 当 选择不当将导致算法 性 。 ：

能的下降

算法在 定程度上解决了模约束参数 ：

选择不 当 导致 性 能 下降 的 问 题 ， 其 中 窄 带

与最优约束参数时 的 性能相当 ，

， ， ⑵ ：

而宽带 算法 ，在高 时其 性能略优于

第 期 陈明建 ：基于双不确定集约束的稳健宽带波束形成算法

刘聪锋 ，摩桂生 最差性能最优通用信号模型稳健波束形

成算法 电子学报 ，：

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作者简介

陈明津 舆 年生 干湖 南常德 博 罗景青 男 ， 年生于四川南溪 ， 教授 ， 博

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