医用画像処理学（１）

総論と基本概念（１）

（教科書ｐｐ．1-14)

有村秀孝

●画像を見やすくするため

＝＞ 人間の視覚機能の拡大

例：画質改善（ノイズ除去、エッジ強調処理、対象物強調）

●画像の中から有益な情報を引き出すため

＝＞ 視覚機能の代行

例：パターン認識技術などを用いて、専門家（医師）の診断支援を行う。

●分かり易く見せるため

＝＞視覚機能に訴える

例：診断しやすい３次元表示。ボリュームレンダリング。ＭＩＰ処理。

医用画像処理の目的

放射線治療における医用画像処理の目的

3

患者体内の情報の可視化

形態と機能，線量分布，患者セットアップ，腫瘍

有効な情報の抽出

DVH(dose volume histogram)，腫瘍位置

分かり易くみせるためのアプローチ

治療計画，Beam’s eye view，3次元サーフィスレンダリング

医用画像処理学体系と放射線治療

イメージング技術

医用画像

(治療計画CT, kV-CT,

MV-CT, MR, PET, SPECT, EPIDなど)

画像変換

位置合わせのレジストレー

ション，治療計画フュージョ

ン，ポータル線量画像

【等方ボクセル化，レジスト

レーション，フュージョン，ピ

クセル値線量変換】

領域抽出

GTV,CTV,OAR抽出，治療

計画正常組織領域抽出，解

剖学的な部位決め

【対象物強調， ニ値化処理,

領域抽出】

パターン認識

腫瘍位置決め，動画像解析，

解剖学的な部位決め

【ヒストグラム解析，テンプ

レートマッチング，レジスト

レーション，オプティカルフ

ロー】

コンピュータグラフィックス

治療計画，シミュレーション，

線量分布表示 【レンダリング，

モデリング】

4D-CT，CBCT，MV-X

線，kV-X線撮像,

PET/CT, MR/CT

4

画像石 （不老不死の神 西王母、中国、東京国立博物館）

どちらが見やすい画像か？

なに？

ん？

おおお！ （でも，なぜ？言えることは？）

例：見方を変えると見たいものが見えてくる（画像処理の効果）

階調変換

明るさとコントラスト（明るさの差）を変えることができます

ディジタル値

明るい

暗い

輝度

C1

D

明るい

暗い

ディジタル値

輝度

C2

D

暗い、低コントラスト 明るい、高コントラスト

画像のパターン認識

「見たもの（画像）」を「記憶」の中にある「意味のあるパターン」

に対応づけをし、見たものを認識する処理

良性 悪性

Original image

Dot-enhanced image

Enhanced

aneurysm

Effect of Dot-Enhancement Filter

Aneurysm

動脈瘤

３次元ＭＲ画像における脳動脈瘤の検出

医療では、、、

Ｘ線写真フィルム健在というのは，今は昔。

しかし、CR (computed radiography), フラットパネルディテクター(flat panel detector;

FPD)などのディジタル画像検出器に移行しつつある。フィルムレス化。

画像処理の利点

現在は、○

画像の種類

画像処理技術

ディジタル化 （サンプリングと量子化）

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

（サンプリングを行う方向）

音階

または

濃淡

アナログ値

ディジタル値

0

1

2

3

4

5 （量子化を行う方向）

時間 または 距離

あるアナログ信号（ある物理量）をサンプリング（標本化）し，量子化することに

よってディジタル化が行われる．

サンプリング

あるアナログ信号（例：脳波，Ｘ線エネルギー分布）を一定間隔（時間または空間）で測定

すること。一定時間または空間間隔をサンプリング間隔という。サンプリング間隔はサン

プリング定理に従って決める。

量子化

各サンプリング点のアナログ値（測定値）を，一定間隔で分割された有限個のレベル（例

：8ビットなら０から２５５までの２５６段階のレベル）の何処かに割り当てること．analog-

to-digital (A/D)変換に相当する．

ディジタル化

ビット (bit) ：ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位．binary

digit （2進数字）の略．２進数の１桁で，２通りの状態を，“０”と“１”で表記される．

問題：１０進数の０から１５までを１６進数と２進数で表しなさい．

コンピュータで扱う情報量の単位

10進数 16進数 2進数(4 bits)

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

15 F 1111

８ビット＝１バイト(Byte)

1024バイト＝1 KB

アナログ値

アナログ信号

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

３

２

１

０

１０進 ２進

(3) 11 (2) 10 (1) 01 (0) 00

0 1 2 3

Δｘ＝ｘi－ｘi-1：サンプリング間隔

量子化テーブル

ディジタル値

アナログ値

時間または距離

次のアナログ信号を量子化テーブルを使って量子化しなさい

アナログ値

アナログ信号

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

３

２

１

０

１０進 ２進

(3) 11 (2) 10 (1) 01 (0) 00

0 1 2 3

Δｘ＝ｘi－ｘi-1：サンプリング間隔

量子化テーブル

ディジタル値

アナログ値

時間または距離

答え

ディジタル

値

アナログ信号

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

11

10

01

00

ディジタル信号

３

２

１

０

連続関数f( x) (ｘ線写真、心電図 ) が持つ最高周波数がUであるとき、またはU以下に

帯域制限されているとき，Δx＜１／（２U)となる△xでf(x)をサンプリングするとf(x)に含ま

れる全ての情報は保存される。

サンプリング周波数：１／（Δx）=fs

ナイキスト周波数：１／（２Δx）=fs/2

サンプリング間隔，サンプリング周期：Δx

サンプリング定理

f x fm

2U

sinc x

m

2U

m

sinc x sin( x)

xシンク関数

22

)1(}sin(cos({2

)(

1

0

　　　　

tnbtnaa

tf n

n

n

a0, an, bnを求め、上記式を使って、連続信号f(t)を単純な波で表現することをフーリエ級数展開と言います。偶関数と奇関数のフーリエ級数はそれぞれcos波（余弦波）またはsin波(正弦波)だけで表現される。不連続点を持つ関数のフーリエ級数では、Gibbs現象が生じる。

フーリエ係数（Fourier coefficients) の求め方

T

dttfT

a0

0 )(1

T

n dttntfT

a0

)cos()(2

T

n dttntfT

b0

)sin()(2

連続信号の周期をＴとすると、フーリエ係数を次式を使って求めることができる。

(2)

(3)

(4)

anとbnは、nで決まる 周波数のcosとsinの 振幅です。cos波とsin波の直交性(orthogonality)を利用したテンプレートマッチング。

a0は、波の平均値です。

フーリエ級数展開(Fourier series expansion)の概念 周期的な連続信号（周期関数）は、基本（角）周波数（最低周波数）をω として、その整数倍

(integral multiple)の周波数の多くの単純な波(sin波, cos波)を足し合わさることによって、表現

できる。

フーリエ級数展開の概念

24

フーリエ変換(Fourier transform)

dxxixfF e )((

dxiFxf e)(

2

1(

フーリエ変換：絶対可積分 (absolutely integrable) の任意の関数（非周期でもOK）に対して、それぞれの（連続）周波数に対する振幅を求めることができる。実空間の関数から周波数空間の関数に変換。

フーリエ逆変換(Fourier inverse transform)：フーリエ級数展開の拡張(Extended Fourier

series expansion)。任意の関数(arbitrary function)は、単純な波

exp(iωx)=cos(ωx)+isin(ωx)で表現できる。周波数空間の関数を実空間の関数に逆変換

できる。

ＤＦＴ(discrete Fourier transform; 離散フーリエ変換）：実際にフーリエ変換をコンピュータで計算するときに用いる。サンプリングしたディジタル信号に適用する。周期関数を仮定。したがって、フーリエ変換後も周期関数となる。DFTの高速な計算アルゴリズムはFFT(fast Fourier

transform)。

1

0

2N

n

knN

i

nk efF

1

0

21 N

k

knN

i

kn eFN

f

フーリエ変換

フーリエ逆変換

DTF

逆DFT

フーリエ変換 任意の関数 周波数ごとに分解される

A prism splits

visible light into

the colors of

the spectrum.

25

フーリエ変換の例

||( xaexf 22

2)(

a

aF

)|(|2

1( dx

dxf 　　 )(sin

)sin()( dc

d

dF

)(( xxf 1)( F

d -d

f(x)

1/(2d)

x

f(x) F(ω)

ω

－2π/d －π/d

π/d

2π/d

１

ω

FT

FT

FT

δ(x)

１

ω

26

画像のフーリエ変換

● ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数となる。

フーリエ変換の例（つづき）

27

フーリエ変換の応用

dxxfxf

T)()(

1)(

自己相関関数(autocorrelation function) パワースペクトル

2|(|1

)( FT

P

dFdxxf 2

2

12 |(||)(|

パーシバルの定理

実空間でのエネルギーと周波数空間でのエネルギーは等しい。

ウイナーヒンチンの定理

自己相関関数φ(τ)とパワースペクトルP(ω)はフーリエ変換対の関係にある。

diP e)((

dieP()(

FT

28

畳込み積分と線形システム

dxhfxhxf )()()()(

関数f(x)とh(x)との畳込み積分(convolution)

τ：ｘ方向の移動量

線形システム

PSF

h(x)

f(x) g(x)

線形システムの条件 )]([)( xfLxg

)()()]()([ 22112211 xgaxgaxfaxfaL 加法性：

)()]([ xgxfL定常性：

)()()( HFG )()()( xhxfxg

線形システム応答を畳込み積分で表現

ここで、f(x)としてインパルス（δ関数）を入力すると、出力はG(ω)=H(ω）となり、システム伝達関数（周波数応答関数） H(ω）が求められる。画像の分野では、

H(ωはMTF(modulation transfer function)と呼ばれ、h(x)は点広がり関数(point spread function)と呼ばれる。

FT

畳みこみ積分の例

MTFの概念

31

画像処理におけるフィルタ処理（畳込み積分）

h1 h2 h3

h4 h5 h6

h7 h8 h9

f1 f2 f3

f4 f5 f6

f7 f8 f9

ghfhfi

i i

9

1

10

フィルタh

入力画像f

g

出力画像g

Laplacianフィルタ（二階微分;second order differential） Sobelフィルタ（ｘ方向）

Prewittフィルタ（ｘ方向） 平均化フィルタ

1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

1/9 1/9 1/9

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

1 1 1

1 -8 1

1 1 1

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

８近傍 ４近傍

エリアシングエラー

Δxでサンプリングすると，サンプリング周波

数は１／Δx＝fs．

ナイキスト周波数：fsでサンプリングしたとき

の再現される最高周波数

１／（２Δx）=fs/2

信号の最高周波数U ＜ １／（２Δx）ならば

エリアシングエラーは起こらない．

実空間 周波数空間

標本化関数

重なったところでエリアシングエラーが起こる

（問１）下の信号をサンプリングする場合、サンプリング間隔を幾らより小さくするべきか？

４

２

振

幅

0 20 40 60 80 (msec)

(問2）信号の周波数域20Hz～80ｋHz → サンプリング間隔は？ (問3）２進数１１１１１１１１をD / A変換したところ2.55Vになった。 このD / A変換器で00000010を変換すると何Vが出力されるか？ （問４）人間の耳は２０ｋＨｚの音が可聴域の上限（最高周波数）だと言われています。 ここで、ある歌手（アーティスト？）の４分間 の曲を適切にサンプリングし、それぞれのサンプリング点を１６ビットで量子化したディジタルの曲をＣＤに記録することを考えます。この曲には最低何キロバイト必要でしょうか?

練習問題

U =T

1 =

40

1 △ｘ＜

２・４０

１

１　＝　２０（ｍｓ）

△ｘ＜２u

1

解答

（問１）

6.3×10－6より小さい

より （問２）

２８―１＝255（10）

255

2.55 ＝　0.01　　0.01×２＝0.02（ｖ）

（問３）

6

53103.6

106.1

1

10802

1

x

310*20*2

1

310*20*2

1

60*4

kB192002*

10*20*2

1

60*4

3

（問４）人間の耳は２０ｋＨｚまでしか聞こえないので、曲の最高周波数を２０ｋＨｚとします。したがって、サンプリング間隔は、

１個のサンプリング点のデータ量は１６ビットなので、２バイト。したがって、全体のデータ量は

解答

４分の曲をこのサンプリング間隔でサンプリングすると、サンプリング点数は

x4 x3 x2 x1

y1

y2

y3

y4

z1 z2 z3

z4

求めたい点：

（ｘ０，ｙ０，ｚ０）

サンプリング定理の応用

ーSinc関数近似による補間法を用いた等方ボクセル変換

(isovoxel transformation)ー

)(sinc)(sinc)(sinc,,,, 000000 zzyyxxzyxfzyxfx y z

（H20年度卒研生中村君作成）

Sinc関数

３次近似(third order approximation)

Sinc補間による等方ボクセル化

Ux

Uxx

2

2sin)sinc(

x

xxxx

xxx

x

20

21584

1021

)sinc(32

32

（H20年度卒研生中村君作成）

Sinc補間と線形補間の結果

(a) Original (b) Cubic - Linear

(c) Cubic Interpolation (d) Linear Interpolation

（H20年度卒研生中村君作成）

ディジタル化 （サンプリングと量子化）

ディジタル化

ディジタルとは、状態を示す量を数値化して処理（取得、蓄積、加工、伝送など）を行う方式

アナログが「坂道」で、ディジタルが「階段」。

つまり、アナログはなめらかで、ディジタルはガタガタです。

アナログ写真の濃淡の種類は無限、しかし、ディジカメでは、たったの２５６種類！

だから、ＣＭで「ディジタルだから、画像がきれい」というのはおかしい。

ただし、劣化に強い。

ディジタル画像だと，思い出は色あせない．．．色あせた方が良い思い出もある？

ディジタルデータは、基本的には、０と１を使って表現されます。

たとえば、音楽ＣＤなら、「穴が有る」なら「１」で、「穴が無い」なら「０」という感じです。

ディジタル人間は白黒はっきりを好む。合理的、論理的。

アナログ人間はグレーなところ、曖昧さを好む。感覚的、感情的。

Ｘ線エネルギー分布

FPD

Ｘ線光子－＞電子・正孔対－＞ディジタル化

ディジタル画像

ディジタル画像

画像の標本化と画素

Ｘ線画像作成（撮影）

骨 血管 肺 空気

白 白っぽい 灰色 黒

筋肉

Ｘ線

X

線検出器

被写体

X線

管

Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）

Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）

Flat Panel Detector (医療用ディジタル画像検出器）

間接変換方式と直接変換

方式とで、どちらがぼけの

少ない画像になるか？

間接変換方式

直接変換方式

ボケが有る

低画質な画像 FT

δ(x)

F T 高画質な画像 １

高周波数成分が少ない

高周波数成分が多い

ボケが無い

間接変換方式

直接変換方式

Ｘ線－＞光

Ｘ線－＞電子

距離 周波数

サンプリングの効果

画像の場合、一定距離間隔をピクセルと言います。

どの程度まで細かいところが見えるか（空間の解像度）が決まります。

例えば、肋骨（１．６ｃｍくらい）が見えるかどうか。ピクセルサイズ８ｍｍではぎりぎり見えるが、３２ｍｍでは見えなくなる。

256 x 256

細かい間隔

256 ピクセル x 2 mm

16 x 16

粗い間隔

16ピクセル x 32 mm

64 x 64

64 ピクセル x 8 mm

ディジタル画像 （量子化）

量子化ビット数が多いほど、多くの階調数を表現できる

濃淡の種類の数＝

２５６ （８ビット）

細かい濃淡

濃淡の種類の数＝

１６ （４ビット）

濃淡の種類の数＝

４ （２ビット）

粗い濃淡

量子化の効果

量子化によって、濃淡の種類の数が決まります

例えば、低いコントラストの肋骨が見えるかどうか。２ビット画像では濃淡の種類が４つしかないので、ほとんど見えなくなる。