かたちを数値化する̶ 幾何学的形態測定学の論理と数理 ̶

三中 信宏MINAKA Nobuhiro

独立行政法人 農業環境技術研究所 生態系計測研究領域 上席研究員

東京大学大学院 農学生命科学研究科 生物・環境工学専攻 教授［生態系計測学］

東京農業大学大学院 農学研究科 客員教授［応用昆虫学］

mailto:minaka@affrc.go.jp

http://twitter.com/leeswijzer

http://cse.niaes.affrc.go.jp/minaka/

http://d.hatena.ne.jp/leeswijzer/

かたち

「かたち」を

測る

レオナルド

情報科学芸術大学院大学「美術情報学特論」（15 June 2007）〈「かたち」を数値化する：幾何学的形態測定学からのアプローチ〉三中信宏（農業環境技術研究所／東大・院・農学生命科学研究科）

情報科学芸術大学院大学「美術情報学特論」（15 June 2007）〈「かたち」を数値化する：幾何学的形態測定学からのアプローチ〉三中信宏（農業環境技術研究所／東大・院・農学生命科学研究科）

レオナルドにとっての「かたち」

真写のため

ものづくり

生体比率論

Ernst Haeckel　・比較解剖学

　・進化形態学

　・発生生物学

　・体系生物学

　・系統発生学

「かたち」の多様性

「かたち」の変化

はかる

D'ArcyWentworth

ompson

On Growth and Form(1917)

Proc. R. Soc. Edinburgh(1915)

「デカルト変換格子」

を用いた形態変形の

数学的記述

結局，使える

ツール

になりきれな

かった

なぜ「かたち」の定量化は難しいのか？

1) 「かたち」の幾何学的特徴を記述する数学理

論が従来の枠組みでは対応できなかった．

2) 「かたち」の変量をあつかう統計学は伝統的

な線形統計学だけでは力不足だった．

3) 「かたち」の数理を論じるための数学的な素

養を多くの生物学者が育んでこなかった．

頑張る

さまざまな試行錯誤と微速前進

1) デカルト変換格子（変形理論）

2) 相対生長（アロメトリー）

3) 多変量形態測定学（数量分類学）

4) ステレオロジー（立体計測）

5) フーリエ解析（輪郭解析）

6) ・・・

幾何学的形態測定学

(geometric morphometrics)

その〈ルーツ〉をたどる

Fred Bookstein = landmark-based method, deformation analysis, linear statistics, ...

David Kendall = landmark-based method, Riemannian manifold, nonlinear statistics, ...

イデア

標識点(landmark)

標識点座標→距離にしてしまうと．．．

「数」にはなっても「幾何」ではない

Landmark-based morphometrics＝標識点座標データを「そのまま」用いて，

　「かたち」の変形や差異を分析する

1) サイズ／シェイプ

2) 大域的／局所的

3) 線形／非線形

「サイズ」＝重心サイズ

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$��

Z1 Z2

Z3

Z4

Z Zii

= ⋅=∑1

4 1

4

重心

平方ユークリッド距離

「サイズ」の数量的な定義はたいして難しくない

では，「シェイプ」とは

いったいどう定義できるか？

変換不変量 移動

回転

拡縮

さまざまな幾

何学的変換に

対する「不変

量」を考える．

・サイズ - シェイプ (size-and-shape)移動と回転に対して不変である幾何学的情報

・サイズ (size)移動と回転に対しては不変だが，拡縮に対しては

不変でない幾何学的情報

・シェイプ (shape)移動と回転と拡縮に対して不変である幾何学的情報

112

『古生物の形態とその解析』（朝倉書店 1999）三中信宏 形態測定学

三中・図１２

図形空間 （figure space） 

前形態空間 （pre-form space） 

形態空間 （form space） 

前形状空間 （pre-shape space） 

Kendall 形状空間 （Kendall's shape space） 

重心への変位 

重心サイズによる スケーリング 

重心サイズによる スケーリング 

回転による整列 

回転による整列 

km

km m−

km m− −1km m m m− − ⋅ −( )1 2

km m m m− − ⋅ −( ) −1 2 1

サイズ-シェイプ

シェイプ

形状空間論

－サイズ

複素平面上の k個の 2次元標識点

zi (i=1, 2, ... , k) から成る“かたち”

z = {zi∈ C1: i=1, 2, ... , k}

の変換

z→ z' (z, z'∈ Ck)

を考える．

元の“かたち”の重心は

zcentroid= (1/k)Σ [i] zi

だから，重心への移動変換により

z→ z' = z - zcentroid

となる．このとき，

Σ [i] z'i = 0 （超平面）

また，重心サイズは

S2= z'z'*=(z - zcentroid)(z - zcentroid)*

（「*」は共役複素数をあらわす）

この重心サイズ Sによる拡縮変換は，

z'→ z''= z'/S

したがって，z''z''*= 1 （超球）となる．

112

『古生物の形態とその解析』（朝倉書店 1999）三中信宏 形態測定学

三中・図１２

図形空間 （figure space） 

前形態空間 （pre-form space） 

形態空間 （form space） 

前形状空間 （pre-shape space） 

Kendall 形状空間 （Kendall's shape space） 

重心への変位 

重心サイズによる スケーリング 

重心サイズによる スケーリング 

回転による整列 

回転による整列 

km

km m−

km m− −1km m m m− − ⋅ −( )1 2

km m m m− − ⋅ −( ) −1 2 1

超平面

超球同値類

形状空間論

回転により一致する群

前形状空間

前形状 z1, z2

プロクラステス距離（最短測地線距離）

部分プロクラステス距離（線形近似）

前形状の回転群

(compact Lie group)

前形状空間

前形状空間

この線上では形状

は不変で，サイズ

が変わるのみ．

完全プロクラステス距離を与えるサイズ

完全プロクラステス距離（最小値）

cos ρによるスケーリング

ケンドール形状空間

前形状空間ケンドール形状空間

Riemannian

submersion

David Kendall(1984)

Bull. London Math. Soc.

形状空間は，プロクラステス距離をリーマン計量とするリーマン多様体であるという証明．

かたちの科学の

幾何学的な論議は

リーマン多様体論に

ほかならない

ケンドール形状空間の「接空間」

前形状空間 ケンドール

形状空間

接線形空間 射影点

113

『古生物の形態とその解析』（朝倉書店 1999）三中信宏 形態測定学

三中・図１３

接部分空間（接平面） 

Kendall 形状空間 （超球） 

中心 

接点 

ケンドール形状空間への道Homo sapiens 頭骨側面画像

　標識点（直線上に並ぶ）

　　・眼窩 - 耳孔の交点（x2）

　　・顎の先端点（x3）

　　・直線 x2x3の延長点（x1）

標識点セットは 3実数の組 (x1, x2, x3) によって表現できる

x1 x2 x3

ケンドール形状空間への道Homo

Neanderthal

Australopithecus

Chimpanzee

ケンドール形状空間への道

x1

x2

x3Homo

Neanderthal

Australopithecus

Chimpanzee

R3

figure space

ケンドール形状空間への道

x1

x2

x3Homo

Neanderthal

Australopithecus

Chimpanzee

ケンドール形状空間への道

x1

x2

x3Homo

Neanderthal

Australopithecus

Chimpanzee

x1

x3

Homo

Neanderthal

Chimpanzee

pre-

form

spa

ce

ケンドール形状空間への道

x2

Australopithecus

x1

x3

Homo

Neanderthal

Chimpanzee

pre-

form

spa

ce

ケンドール形状空間への道

x2

pre-shape space

Australopithecus

半径1

x1

x3

HomoNeanderthal

Chimpanzee

pre-

form

spa

ce

ケンドール形状空間への道

x2

pre-shape space

Australopithecusx

x1

x3

HomoNeanderthal

Chimpanzee

pre-

form

spa

ce

ケンドール形状空間への道

x2

pre-shape space

Australopithecus

半径1/2

shap

e sp

ace

x

x1

x3

ケンドール形状空間への道

x2

shap

e sp

ace

tangent subspaceHomo

Neanderthal

Chimpanzee

Australopithecus

x

ケンドール形状空間への道pre-shape space

tangent subspace

形状空間から線形接空間への

近似はそれほど悪くない．

情報科学芸術大学院大学「芸術情報学演習」（14 May 2009）〈「かたち」を数値化する：幾何学的形態測定学からみたフォルム〉三中信宏（農業環境技術研究所／東大・院・農学生命科学研究科）

「かたち」を数値化する̶̶ 幾何学的形態測定学からみたフォルム ̶̶

三中 信宏MINAKA Nobuhiro

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ひずむ

“かたち”の変形とは：

・アフィン変形線形一次変換で表現でき

る shape の大域的な変形

・非アフィン変形shape の非線形かつ局所

的な変形

Fred Bookstein(1989)

IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell.

薄板スプライン

を用いて形態と

その局所的変形

を記述する．

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$����

薄板スプラインのカーネル関数

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$����

-2 -1 1 2 3

-1

1

-2 -1 1 2 3

-1

1

x

y

→→

x

y

変形

カーネル関数の線形結合

標識点対応

ノルム最小化

任意の点の写像

滑らかなスプライン

補間関数の構築

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$����

仮想変形の屈曲エネルギー最小化基準

屈曲エネルギー

2}m次元の屈曲エネルギー

2次元の屈曲エネルギー

屈曲エネルギー最小化問題の離散化

仮想変形の「屈曲エネルギー」を最小にする関数を

求める変分問題はそのまま解くのが困難なので，有

限個の標識点の変位によって条件づけた線形問題と

して離散化して解く．このとき，定積分である「屈

曲エネルギー」もまた離散化され，「屈曲エネルギー

行列」として表現される．

薄板スプライン関数による変形記述

アフィン変形 非アフィン変形

全変形

全変形

アフィン変形 非アフィン変形

全変形

アフィン変形 非アフィン変形

一次変換行列

で記述が可能

全変形

アフィン変形 非アフィン変形

一次変換行列

で記述が可能 Partial war

ps

に直交分割する

接線形空間の「正規直交基底」の構築

1. アフィン変形アフィン変換行列の固有ベクトルが正規直交基底となる．［テンソル主軸］

2. 非アフィン変形薄板スプライン関数の仮想屈曲エネルギー行列の固有ベクトルが正規直交基底となる．［部分歪み］

全変形　＝アフィン変形　　　＋非アフィン変形　＝アフィン変形　　　＋（部分歪み 1＋　　　　……＋部分歪み n）

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$����

(a) N. americanum (b) N. muelleri

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�

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�

�

�

�

�

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アンモナイト化石の例

������

�������������ｱsrwfq6�w�¥yｰ �����������｣�����3{ﾔﾇ｢�̃�､ ���6�����ｶ���ｺ

�̃�､�̃�$����

�

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�

�

120

『古生物の形態とその解析』（朝倉書店 1999）三中信宏 形態測定学

三中・図２０

（ａ）アフィン変形 （ｂ）非アフィン変形

（ｃ）部分歪み１ （ｄ）部分歪み２

全変形

＋

アフィン／非アフィン変形への分割

アフィン変形

非アフィン変形

全変形

部分歪みへの分割

部分歪み1

部分歪み2

非アフィン変形

形状集団の変異パターンの解析（「相対歪み」）

↓薄板スプラインの係数に関する主成分分析

主成分軸としての相対歪み

標識点データ 未整列の形状 プロクラステス整列

相対歪み 1

相対歪み 2

まがる

113

『古生物の形態とその解析』（朝倉書店 1999）三中信宏 形態測定学

三中・図１３

接部分空間（接平面） 

Kendall 形状空間 （超球） 

中心 

接点 

非線形空間での正確な記述

線形空間での近似的な分析

非線形空間での統計学（「球面統計学」）

「方向データ」の統計理論

統計データのタイプ

1. ベクトル・データ（長さ＋向き）

2. 方向データ（向き）

2-1. 方角データ（有向）

2-2. 軸性データ（無向）

線形統計学

球面統計学

ケンドール形状空間での“かたち”は「球面統計学」になじみやすい．

「方向データ」から「かたちデータ」へ

K. V. Mardia 1972

Ian L. Dryden &K. V. Mardia 1998

Directional statisticsSpherical statisticsCircular statistics

Shape statistics

複素正規分布：CNk(m, ∑)

f(z)={πk|∑|}-1exp{-(z - m)*∑-1(z - m)}, z∈ Ck

ただし，Ck={z=(z1, z2, ... ,zk)T}

複素 Bingham分布：CBk-1(A)

f(z)=c(A)-1exp(z*Az), z∈ CSk-1

ただし，CSk-1={z=(z1, z2, ... ,zk)T: zz*=1}

球面分布

定理（J. T. Kent 1994）：

If w ˜ CNk(0, ∑) , then w|ww*=1 ˜ CBk-1(-∑-1).

仮想例を考えよう（計算は ������ によって行なった）．これは，線分ＡＢを規準線として計算

された形状座標Ｃから構成される２集団である．この２集団間の座標の平均値の差が有意であ

ることを統計学的に示すことがここでの問題である．この問題は２実変量（２次元座標だから）

に対する多変量分散分析によって解決できる．

１変量の分散分析（ANOVA: analysis of variance）の原理を簡単に復習しよう（Morrison

1990: 201-205）．２群について観察された１変量Ｘが下の線形モデルに従うと仮定する：

ｘ ij ＝μ＋α i ＋ε ij　ただし　ε ij ～Ｎ（0, σ ^2）

　　　　　　ｘ ij　第ｉ群の第ｊ番目の観察データ（１変量）

　　　　　　　　　ただし，ｉ＝ 1,2；ｊ＝ 1,2,..., ｎ i

　　　　　　μ　　μは総平均

図５

Pre-form Pre-shape

複素Bingham分布複素正規分布

拡縮k=3

ww*=1

複素 Bingham分布に基づく“かたち”のパラメトリック球面統計学

「かたち」を「はかる」

ことによって

はじめて解決できる

問題群がある

ところが，いままでは

「かたち」を「はかる」

適切な理論枠とツールを

もつことができなかった．

それはなぜか？

All these people are asking questions about shape. It is

not appropriate, however, to think of shapes as points

in a Euclidean space. They are odd creatures, and live

in peculiar and quite particular spaces most of which

occur in no other context. Thus what is required is a

revised version of multidimensional statistics that

takes the nature of the shape space fully into account.

Huiling Le & David G. Kendall (1993)

The Annals of Statistics, 21(3), p. 1225.

「かたち」そのものが

生物学・統計学・数学が

予想もしなかった

性格をもつ存在だった．

最後に

幾何学的形態測定学

の／による

1990 年代の

「革命」は

比較生物学に

何をもたらしたか？

引用分析

「かたち」を幾何学的に

測定・分析・考察するため

の実用的ツールが

初めて手に入った．

情報科学芸術大学院大学「美術情報学特論」（15 June 2007）〈「かたち」を数値化する：幾何学的形態測定学からのアプローチ〉三中信宏（農業環境技術研究所／東大・院・農学生命科学研究科）

ご清聴ありがとうございました