（付録） 「回転ベクトル：rotation vector（１）」 1. 回転：デカルト座標 2. 復習：円柱座標 3. 回転：円柱座標 4. 代数的な手法：円柱座標 5. 計算例

暫定版 修正・加筆の可能性あり

回転ベクトル：rotation vector • 直交座標：orthogonal coordinate system • デカルト座標：Cartesian coordinate system • 円柱座標：cylindrical polar coordinate system • 球座標： spherical polar coordinate system（参照：７１２）

７１１－1

回転（１）：デカルト座標

回転ベクトル（rotation vector） デカルト座標系：Cartesian coordinate system

x y z

y yx xz zx y z

x y z

A AA AA Arotx y z y z z x x y

A A A

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ = ∇× = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

e e e

A A e e e

回転ベクトル：ｚ成分

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )( ) ( )

2, , 2, ,

, 2, , 2,

2, , 2, ,

, 2, , 2,

y y yxz

x x

y yz

x x

A A x x y z A x x y zAx y x

A x y y z A x y y zy

x y A x x y z y A x x y z y

A x y y z x A x y y z x

∂ + ∆ − −∆∂∇× = −

∂ ∂ ∆

+ ∆ − −∆−

∆

∇× ∆ ∆ + ∆ ∆ − −∆ ∆

− + ∆ ∆ + −∆ ∆

A

A

後で利用します！：参照711-4

７１１－2

回転（２）：デカルト座標

回転ベクトル：ｚ成分 回転軸：ｚ軸

ｘ軸

ｙ軸

回転軸：ｚ軸

回転面：ｘｙ平面 微小領域： ΔｘΔｙ

ｘ軸

ｙ軸 y∆

x∆

回転ベクトル：ｚ成分 回転軸：ｚ軸、回転方向：反時計回り 回転面：ｘｙ平面

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

, 2, , , 2,

2, , , 2, ,x y x x y x

y x y y x y

A x y y z A x y y z

A x x y z A x x y z∆ −∆

∆ −∆

= + ∆ = −∆

= + ∆ = −∆

e A e A

e A e A

2y x∆e A

2x y∆e A

2y x−∆e A

2x y−∆e A

お詫び：図例ではｘ＝ｙ＝ｚ＝０（原点）であるが、一般化して説明します。

[ ]z∇×A

７１１－3

回転（３）：デカルト座標

ｘ軸

ｙ軸 y∆

x∆

2y x∆e A

2x y∆e A

2y x−∆e A

2x y−∆e A

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

z y x y x

x y x y

L y y

x x

∆ −∆

∆ −∆

= ∆ − ∆

− ∆ + ∆

e A e A

e A e A

注目：ベクトルＡの周回積分（ｚ軸反時計回り） 回転軸：周回積分の回転軸

回転ベクトル：直感的な理解 • 回転の度合はベクトルＡの周回積分（微小領

域）で評価 • Ｌ＞０（反時計回り）、Ｌ＝０（回転無）、

Ｌ＜０（時計回り） • 回転ベクトルのｚ成分：回転面（ｘｙ平面）

上でのベクトルＡの周回積分を微小領域で除した値

[ ] zz

Lx y

∇× =∆ ∆

A

微小領域

[ ] ( ) ( )( ) ( )

2, , 2, ,

, 2, , 2,z y yz

x x

x y L A x x y z y A x x y z y

A x y y z x A x y y z x

∇× ∆ ∆ = + ∆ ∆ − −∆ ∆

− + ∆ ∆ + −∆ ∆

A

注意：参照711-2

回転ベクトル：ｚ成分 回転軸：ｚ軸

[ ]z∇×A

表記：混乱を避けるため、周回積分に関する記述（回転、回転軸、回転面等）、青色下線で強調します。

７１１－4

回転ベクトルの各成分：rotation • ｘ成分は回転面（ｙｚ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域ΔｙΔｚで除した値 • ｙ成分は回転面（ｚｘ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域ΔｚΔｘで除した値 • ｚ成分は回転面（ｘｙ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域ΔｘΔｙで除した値

回転（４）：デカルト座標

, ,y yx xz zx y z

L LL LL Ly z z x x y y z z x x y

∇× + + = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

A e e e

ｙ軸

ｚ軸 z∆

y∆

微小領域

2z y−∆e A

2y z∆e A2y z−∆e A

2z y∆e Aｚ軸

ｘ軸 x∆

z∆

微小領域

2x z−∆e A

2z x∆e A2z x−∆e A

2x z∆e A

回転ベクトル：ｘ成分

[ ]x∇×A

回転ベクトル：ｙ成分

[ ]y∇×A

７１１－5

復習：円柱座標（１）

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( ), , zρ φr$$$

φ

ｘ軸

ｙ軸

イメージ：真上から

φ

ρ：半径

( ), , x y zu v w z x y zρ φ= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

要素：component

cos , sin ,x y z zρ φ ρ φ= = =

要素：component

2 2 1, tan ,yx y z zx

ρ φ −= + = =

cos sin

sin cosx y

x y

z z

ρ

φ

φ φ

φ φ

= +

= − +

=

e e ee e ee e

直交基底ベクトル：円柱座標（次頁）

ρe

φe

７１１－6

復習：円柱座標（２）

直交基底ベクトル：円柱座標

cos sin

1 sin cos

r re e er

r re e er

r re er

x y

x y

zz z

z z

ρρ

ρ

φφ

φ

φ φρ

ρ φ ρ φρ φ

∂ ∂= = = +

∂∂

∂ ∂= = = − +

∂∂

∂ ∂= = =∂ ∂

ベクトル成分：円柱座標

( )( )

, ,

, ,

xyz x y z x x y y z z

z z z z

xyz z

A A A A A A

A A A A A Aρφ ρ φ ρ ρ φ φ

ρφ

= = + +

= = + +

=

A e e e

A e e e

A A

当たり前ですが

xyz xyz z z

xyz xyz z z

xyz xyz z z

ρφ ρφ

ρφ ρφ

ρφ ρφ

+ = +

=

× = ×

A B A BA B A BA B A B

７１１－7

線要素ベクトル：デカルト座標系

( ), ,rr r r

e e ez

d u v w z

d d dzz

d d dzρ φ

ρ φ

ρ φρ φρ ρ φ

= = =

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

= + +

回転（１）：円柱座標

回転ベクトル：ｚ成分 • 微小領域：ρφ平面 • 周回積分の回転軸：ｚ軸 • 周回積分の回転方向：反時計回り • 微小回転角Δφの回転軸：ｚ軸 • 微小回転：赤色下線表示

( ) ( )( ) ( )

2 2, 2, , 2, ,

2 , 2 ,

A z A z

a c b dρ φ ρ φ ρ φρ φ φ ρ ρ φ

ρ ρ φ ρ ρ φ ρ±∆ ±∆= ± ∆ = ± ∆

= + ∆ ∆ = −∆ ∆ = = ∆

e A e A

φ∆ ｘ軸

ｙ軸

微小領域 拡大

2φ ρ∆e A

2φ ρ−∆e A

2ρ φ∆e A

2ρ φ−∆e A

b

c

d

a

φe ρe

内外径

2ρρ ∆

+

2ρρ ∆

−

回転ベクトル：ｚ成分 周回積分の回転軸：ｚ軸

[ ]z∇×A

ze

ze

微小回転

青色：周回積分 赤色：微小回転

７１１－8

回転（２）：円柱座標

( ) ( ) ( )12

S a c bρφ ρ ρ φ+ = × ∆ × ∆

注目：微小面積

[ ] ( )1A zz

A ALS

φ ρ

ρφ

ρ

ρ ρ φ

∂ ∂∇× = = −

∂ ∂

2φ ρ∆e A

2φ ρ−∆e A

2ρ φ∆e A

2ρ φ−∆e A

b

c

d

a

注目：ベクトルＡの周回積分（ｚ軸反時計回り）

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

zL a c

b d

φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ

∆ −∆

∆ −∆

= −

− +

e A e A

e A e A

対応関係：直感的な理解 • 回転の度合はベクトルＡの周回積分（微小領域）で評価 • Ｌ＞０（反時計回り）、Ｌ＝０（回転無）、Ｌ＜０（時計回り） • 回転ベクトルのｚ成分：回転面（ρφ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域で除した値

回転ベクトル：ｚ成分（次頁：計算例）

ze

ρe

φe

ze

φe

ρe

回転ベクトル：ｚ成分 周回積分の回転軸：ｚ軸

[ ]z∇×A

７１１－9

回転（３）：円柱座標

計算例：ベクトルＡの周回積分（ｚ軸反時計回り）

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2

2, , 2 2, , 2

, 2, , 2,

2 2, , 2 2, ,

, 2, , 2,

zL a c b d

A z A z

A z A z

A z A z

A z A z

A A

φ ρ φ ρ ρ φ ρ φ

φ φ

ρ ρ

φ φ

ρ ρ

φ ρ

ρ ρ φ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ ρ φ

ρ φ φ ρ ρ φ φ ρ

ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φρ φ

ρρ φ φ ρ φ φ

ρ φφ

ρρ φ

ρ

∆ −∆ ∆ −∆= − − +

= + ∆ + ∆ ∆ − −∆ −∆ ∆

− + ∆ ∆ + −∆ ∆

+ ∆ + ∆ − −∆ −∆= ∆ ∆

∆

+ ∆ − −∆− ∆ ∆

∆

∂ ∂ ×∆ ∆ −

∂

e A e A e A e A

( )1z zA AL L

Sφ ρ

ρφ

ρ φφ

ρ

ρ ρ φ ρ ρ φ

×∆ ∆ ∂

∂ ∂= = −

×∆ ×∆ ∂ ∂ ７１１－10

回転（４）：円柱座標

2φ ρ∆e A

2φ ρ−∆e A

2ρ φ∆e A

2ρ φ−∆e A

b

c

d

a φe

ρe

回転ベクトル：ρ成分 • 微小領域：φｚ平面（左図の赤点線を含む垂直面） • 周回積分の回転軸：ρ軸 • 周回積分の回転方向：反時計回り • 簡単のため、長方形で記述

( )( )

2

2

a

c

ρ ρ θ

ρ ρ θ

= + ∆ ∆

= −∆ ∆

ρ φ∆

z∆ze

φe

ρe

2zφ ∆e A

2zφ −∆e A

2z φ∆e A2z φ−∆e A

注目：ベクトルＡの周回積分（ρ軸反時計回り）

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

z z

z z

L z zρ φ φ

φ φρ φ ρ φ

∆ −∆

∆ −∆

= ∆ − ∆

− ∆ + ∆

e A e A

e A e A

参照：711-8

ze

[ ]ρ∇×A

回転ベクトル：ｚ成分 周回積分の回転軸：ｚ軸

[ ]z∇×A

７１１－11

回転（５）：円柱座標

計算例：ベクトルＡの周回積分（ρ軸反時計回り）

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

, 2, , 2,

, , 2 , , 2

, 2, , 2,

, , 2 , , 2

z z z z

z z

z z

z

L z z

A z z A z z

A z z A z z

A z A zz

A z z A z zz

zAA z zz

ρ φ φ φ φ

φ φ

φ φ

φ

ρ φ ρ φ

ρ φ φ ρ φ φ

ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ

ρ φ φ ρ φ φφ

φρ φ φ ρ φ φ

ρ ρ φ

φ ρ φφ

∆ −∆ ∆ −∆= ∆ − ∆ − ∆ + ∆

= + ∆ ∆ − −∆ ∆

− + ∆ ∆ + −∆ ∆

+ ∆ − −∆= ∆ ∆

∆

+ ∆ ∆ − −∆ ∆− ∆ ∆

∆∂∂

×∆ ∆ − × ∆ ∆∂ ∂

e A e A e A e A

[ ] 1 z

z

L L AAS z z

ρ ρ φρ

φ ρ φ ρ φ∂∂

∇× = = = −×∆ ×∆ ∂ ∂

A

７１１－12

回転のイメージ：ｚ成分（再掲）

回転（６）：円柱座標

2φ ρ∆e A

2φ ρ−∆e A

2ρ φ∆e A

2ρ φ−∆e A

b

c

d

a φe

ρe

( )( )

2

2

a

cb d

ρ ρ θ

ρ ρ θ

ρ

= + ∆ ∆

= −∆ ∆

= = ∆

ρ∆

z∆ze

ρe

φe

2zρ ∆e A

2zρ −∆e A

2z ρ−∆e A2z ρ∆e A

注目：ベクトルＡの周回積分（φ軸反時計回り）

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

z z

z z

L

z z

φ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ∆ −∆

∆ −∆

= ∆ − ∆

− ∆ + ∆

e A e A

e A e A

参照：711-8

回転ベクトル：ｚ成分 周回積分の回転軸：ｚ軸

[ ]z∇×A

ze

回転ベクトル：φ成分 • 微小領域：ｚρ平面（左図の青点線を含む垂直面） • 周回積分の回転軸：φ軸 • 周回積分の回転方向：反時計回り • 簡単のため、長方形で記述

[ ]φ∇×A

７１１－13

回転（７）：円柱座標

計算例：ベクトルＡの周回積分（φ軸反時計回り）

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

, , 2 2, ,

2, , 2, ,

, , 2 2, ,

2, , 2, ,

z z z z

z z

z z

z

L z z

A z z A z z

A z z A z z

A z z A z zz

zA z z A z z

z

A Az zz

φ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ φ ρ ρ φ ρ

ρ ρ φ ρ ρ φ

ρ φ ρ φρ

ρ ρ φ ρ ρ φρ

ρ

ρ ρρ

∆ −∆ ∆ −∆= ∆ − ∆ − ∆ + ∆

= + ∆ ∆ − −∆ ∆

− + ∆ ∆ + −∆ ∆

+ ∆ − −∆= ∆ ∆

∆+ ∆ ∆ − −∆ ∆

− ∆ ∆∆

∂ ∂×∆ ∆ − ×∆ ∆

∂ ∂

e A e A e A e A

[ ] z

z

L L A AS z z

φ φ ρφ

ρ ρ ρ∂ ∂

∇× = = = −∆ ×∆ ∂ ∂

A

７１１－14

回転ベクトルの各成分：rotation • ρ成分は回転面（φｚ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域Sφｚで除した値 • φ成分は回転面（ｚρ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域Sｚρで除した値 • ｚ成分は回転面（ρφ平面）上でのベクトルＡの周回積分を微小領域Sρφで除した値

回転（８）：円柱座標

, ,z zz

z z

L L L LL LS S S z z

ρ φ ρ φρ φ

φ ρ ρφ ρ φ ρ ρ ρ φ

∇× + + = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ A e e e

( )1 1A e e ez zz

AA A AA Az z

φφ ρ ρρ φ

ρ

ρ φ ρ ρ ρ φ

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y yx xz zx y z

A AA AA Ay z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A e e e

cos sin , sin cos ,x y x y z zρ φφ φ φ φ= + = − + =e e e e e e e e

回転ベクトル：円柱座標

回転ベクトル：デカルト座標

７１１－15

代数的な手法（１）：円柱座標

回転ベクトル：デカルト座標

y yx xz zx y z

A AA AA Ay z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A e e e

偏微分：ｚ成分は同一

zx x x z x

ρ φρ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂sincos

zy y y z y

φφρ ρ φ

ρ φρ φ

∂ ∂= −

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂cossin φφ

ρ ρ φ∂ ∂

= +∂ ∂

cos sin , sin cos ,

cos sin , sin cos ,x y x y z z

x y z z

ρ φ

ρ φ ρ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

= + = − + =

= − = + =

e e e e e e e ee e e e e e e e

直交基底ベクトル：円柱座標（次頁）

参照：711-24

７１１－16

代数的な手法（２）：円柱座標

回転ベクトル：デカルト座標

( ) ( )( ) ( )

cos sin sin cos

cos sin sin cos

, ,

x y z

z

z

y yx xz zA AA AA A

y z z x x y

ρ φ ρ φ

ρ φ

α β γ

α φ φ β φ φ γ

α φ β φ α φ β φ γ

α β γ

∇× = + +

= − + + +

= + − − +

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= − = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A e e e

e e e e e

e e e

計算結果：参照711-19

( )

cossin sin cos

sincos sin cos

1 1

z z

z z

A AA Az z

A A A Az z

A A

ρ φ

ρ φ

φ ρ

φα φ φ φρ ρ φ

φβ φ φ φρ ρ φ

ργ

ρ ρ ρ φ

∂ ∂∂ ∂= + − −

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= − − +∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂７１１－17

代数的な手法（３）：円柱座標

回転ベクトル：円柱座標

( ) ( )

( )

( )

cos sin sin cos

1cos sin

sin cos sin cos

1 1

z

z

z z

AAz

A AA Az z

A A

ρ φ

φ

ρ ρ

φ ρ

α φ β φ α φ β φ γ

α φ β φρ φ

α φ β φ α φ β φρ ρ

ργ

ρ ρ ρ φ

∇× = + − − +

∂∂+ = −

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

− = − → − − = −∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂

A e e e

( )1 1A e e ez zz

AA A AA Az z

φφ ρ ρρ φ

ρ

ρ φ ρ ρ ρ φ

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

回転ベクトル：円柱座標

７１１－18

計算例（１）：円柱座標

計算例：α

( ) ( )

( ) ( )

( )

cossin

cossin sin cos

cossin sin cos

cossin sin c

yzz y

z y

z z

z z

z z

AAy z y z

z

A Az

A Az zAA Az

ρ φ

ρ φ

ρ

α

φφρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φφ φρ ρ φ

∂∂ ∂ ∂= − = −∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = + − − ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂

= + − −∂ ∂ ∂

A e A e

A e A e

A e e

A e A e

os

cossin sin cosz z

Az

A AA Az z

φ

ρ φ

φ

φα φ φ φρ ρ φ

∂∂

∂ ∂∂ ∂= + − −

∂ ∂ ∂ ∂

７１１－19

計算例：β

( ) ( )

( ) ( )

( )

sincos

sincos sin cos

sincos sin cos

cos sin cos

x zx z

x z

z z

z z

A Az x z x

z

A Az

A Az zA A Az z

ρ φ

ρ φ

ρ φ

β

φφρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ = − − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − −∂ ∂

A e A e

A e A e

A e e

A e A e

sin

sincos sin cos

z z

z z

A

A A A Az zρ φ

φρ ρ φ

φβ φ φ φρ ρ φ

∂+

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= − − +

∂ ∂ ∂ ∂

計算例（２）：円柱座標

７１１－20

計算例：γ

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

sin coscos sin

sincos sin cos

cossin cos sin

sincos sin cos

y xy x

y x

A Ax y x y

A

ρ φ

ρ φ

ρ

γ

φ φφ φρ ρ φ ρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φφ φ φρ ρ φ

φφ φρ ρ φ

∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ − + − ∂ ∂ ∂ ∂

= − + ∂ ∂

A e A e

A e A e

A e e

A e e

( )

( )cossin cos sin

A

A A

φ

ρ φ

φ

φφ φ φρ ρ φ

∂ ∂− + − ∂ ∂

計算例（３）：円柱座標

７１１－21

計算例：続き

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2

sin sincos sin cos cos

cos cossin cos sin sin

sin sincos sin sin cos cos

sin cos

A A

A A

A AA A

A

ρ φ

ρ φ

ρ φρ φ

ρ

φ φφ φ φ φρ ρ φ ρ ρ φ

φ φφ φ φ φρ ρ φ ρ ρ φ

φ φφ φ φ φ φρ ρ φ ρ ρ φ

φ φ

∂ ∂ ∂ ∂= − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂−

∂( ) ( )2cos coscos sin sin

sin sincos sin sin cos

cos cossin cos cos sin

AA A

A AA A

A AA A

φρ φ

ρ φρ φ

ρ φρ φ

φ φφ φ φρ ρ φ ρ ρ φ

φ φφ φ φ φρ φ ρ φ

φ φφ φ φ φρ φ ρ φ

∂∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ = − + + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − + + + + ∂ ∂

Aφ

ρ∂

計算例（４）：円柱座標

７１１－22

計算例：続き

2 2

2 2

2 2 2 2

sin cos sin sin sin cos

cos sin cos cos cos sin

sin sin cos cos

A AA A

A A AA A

A AA A

ρ φρ φ

ρ φ φρ φ

ρ ρφ φ

φ φ φ φ φ φρ ρ φ ρ ρ φ

φ φ φ φ φ φρ ρ φ ρ ρ φ ρ

φ φ φ φρ φ ρ ρ φ ρ

∂ ∂ = − − + − ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + − + + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ = − + + − + ∂ ∂

( )

( )

1

1 1

1 1

A

A A A

A A

A A

φ

φ φ ρ

φ ρ

φ ρ

ρ

ρ ρ ρ φ

ρ

ρ ρ ρ φ

ργ

ρ ρ ρ φ

∂+ ∂

∂ ∂= + −∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂

計算例（５）：円柱座標

７１１－23

復習：円座標

円座標：circular polar coordinates

( )( )

( )( )

1

, , 11, ,

cos sincos sin1

sin cossin cos

r r x x y xx y x y

y xy yx yx y

x y

x y

ρ θ ρ θ θ θθ θρ θ ρ

ρ ρρ θ

ρ ρθ θ

ρ θ ρ θρθ θ

θ θ θ θρρ ρ

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = → = =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = = −∂ ∂ − ∂ ∂

x y x yρ θ θ ρ∂ ∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂ ∂

cossin

xy

ρ θρ θ

==

逆行列：circular polar coordinates

cos , sin ,

sin , cos

x x

y y

θ ρ θρ θ

θ ρ θρ θ

∂ ∂= = −

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

参考：701-23

７１１－24