同時分布・周辺分布・条件付き - kansai u...同時分布・周辺分布・条件付き...
TRANSCRIPT
-
同時分布・周辺分布・条件付き分布
これら３種類の分布の関連について学び、ベイズの定理を理解すること
を目的とする。
-
一般式（同時分布）1個ランダムに抽出
),( YX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
2a
1b 2b
X
Ykjp
1a
2a
1b 2b
X
Y
kjn
-
一般式（同時分布）1個ランダムに抽出
),( YX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
11)1,1( ppxy
1a
2a
1b 2b
12p
21p 22p
X
Ykjp
n
np
kj
kj
11p
11n1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjn
-
具体的な例（同時分布）
1個ランダムに抽出
),( YX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
11)1,1( ppxy
1a
2a
1b 2b
X
Ykjp
n
np
kj
kj
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
-
具体的な例（同時分布）
1個ランダムに抽出
),( YX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
11)1,1( ppxy
1a
2a
1b 2b
4.0
1.0 2.0X
Ykjp
n
np
kj
kj
3.0
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
-
一般式（周辺分布）
X
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
2a
1b 2b
12p
21p 22pX
Y
11n1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjp
kjn
11p
Y
),( YX
-
一般式（周辺分布）
X
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
kx pkp )(
1a
1p
2a
2p
1b 2b
12p 1p
21p 22p 2pX
Y
1
11n1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjp
kjn
n
np
j
j
11p
jy pjp )(Y
n
np kk
),( YX
-
具体的な例（周辺分布）
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
2a
1b 2b
X
Y
kjp
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
4.0
1.0 2.0
3.0
X
Y
),( YX
-
具体的な例（周辺分布）
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
3.02a
7.01b 2b
4.0 6.0
X
Y
1
kjp
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
4.0
1.0 2.0
3.0
X
Y
),( YX kx pkp )(
n
np
j
j
jy pjp )(
n
np kk
-
一般式（条件付き分布）
)|( 1aXY
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba 1a
2a
1b 2b
X
Ykjp
)|( 2aXY 11n
1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjn
-
一般式（条件付き分布）
)|( 1aXY
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1
11
1
11| )1|1(
p
p
n
np xy
1a
2a
1b 2b
1
1
X
Ykjp
)|( 2aXY 11n
1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjn
)1|1(|xyp )1|2(|xyp
)2|1(|xyp )2|2(|xyp
2
22
2
22| )2|2(
p
p
n
np xy
-
具体的な例（条件付き分布）
)|( 1aXY
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba1a
2a
1b 2b
X
Y kjp
)|( 2aXY
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
-
具体的な例（条件付き分布）
)|( 1aXY
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
7.0
3.0
700
300)1|1(| xyp
1a
2a
1b 2b
57.0 1
33.0 67.0 1
X
Y kjp
43.0
)|( 2aXY
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
3.0
2.0
300
200)2|2(| xyp
-
一般式（条件付き分布）
)|( 2bYX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
2a
1b 2b
X
Y
kjp)|( 1bYX
11n1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjn
-
一般式（条件付き分布）
)|( 2bYX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1
11
1
11| )1|1(
p
p
n
np yx
1a
2a
1b 2b
1 1
X
Y
kjp)|( 1bYX
11n1a
1n
2a
2n
1b 2b
12n 1n
21n 22n 2nX
Y
n
kjn
)1|1(|yxp )2|1(|yxp
)1|2(|yxp )2|2(|yxp
2
22
2
22| )2|2(
p
p
n
np yx
-
一般式（条件付き分布）
)|( 2bYX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
1a
2a
1b 2b
1
X
Y
kjp)|( 1bYX
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
-
一般式（条件付き分布）
)|( 2bYX
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba
),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
4.0
3.0
400
300)1|1(| yxp
1a
2a
1b 2b
1 1
X
Y
kjp)|( 1bYX
75.0 67.0
25.0 33.0
6.0
2.0
600
200)2|2(| yxp
高血圧
飲酒
300 400 700
100 200 300
400 600 1000
Yesa :1
Noa :2
Yesb :1 Nob :2
kjn
-
ベイズの定理（コーチの例を考える）
• コーチが試合中、選手にアドバイスをする際には、具体的な指示（カーブを狙え）をしなければならない。
• 選手はコーチの手腕を、指示が適切であったかどうかで評価する。
• あるチームに新人コーチがやってきたとしよう。
• コーチの実力は未知数である。
-
下のように仮定する。
優秀なコーチの割合は0.3であとは平凡である。
確率
コーチ(X) 優秀 0.3
平凡0.7
合計 1.0
優秀なコーチの成功率は0.8であり、平凡なコーチの成功率は0.3である。
指示の結果(Y)合計
成功 失敗コーチ(X)
優秀
0.8 0.2 1.0
平凡
0.4 0.6 1.0
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう
指示の結果(Y) Xの周辺分布成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
-
指示の結果(Y) Xの周辺分布成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
同時確率分布を求めてみよう
24.0
8.03.0
06.0
2.03.0
28.0
4.07.0
42.0
6.07.0
-
周辺確率分布を計算しよう
指示の結果(Y)Xの周辺分布
成功 失敗
コーチ(X)
優秀
0.24 0.06
平凡
0.28 0.42
Yの周辺分布
3.0
06.024.0
7.0
42.028.0
52.0
28.024.0
48.0
42.006.0
1
-
Yを与えたときの条件付き分布を計算しよう
指示の結果(Y)
成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
合計
-
Yを与えたときの条件付き分布を計算しよう
指示の結果(Y)
成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
合計
462.0
52.024.0
538.0
52.028.0
1
52.052.0
125.0
48.006.0
875.0
48.042.0
1
48.048.0
-
下のように仮定する（記号）優秀なコーチの割合は
確率
コーチ(X) 優秀
平凡
合計 1.0
優秀なコーチの成功率は平凡なコーチの成功率は
指示の結果(Y)合計
成功 失敗コーチ(X)
優秀
1.0
平凡
1.0
1a
2a
)1(xp
1a
2a
1b 2b
)1|1(|xyp
)2|1(|xyp
-
下のように仮定する（記号）優秀なコーチの割合は
確率
コーチ(X) 優秀
平凡
合計 1.0
優秀なコーチの成功率は平凡なコーチの成功率は
指示の結果(Y)合計
成功 失敗コーチ(X)
優秀
1.0
平凡
1.0
1a
2a
)1(xp
1a
2a
)1|1(|xyp
1b 2b
)1|2(|xyp
)2|1(|xyp )2|2(|xyp
)1|1(|xyp
)2|1(|xyp
)1(xp
)2(xp
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号）
指示の結果(Y)Xの周辺分布成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
1a
2a
1b 2b
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号）
指示の結果(Y)Xの周辺分布成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
1a
2a
)1,1(
)1|1()1(
11
|
xy
xyx
pp
pp
1b 2b
)2,1(
)1|2()1(
12
|
xy
xyx
pp
pp
)1,2(
)2|1()2(
21
|
xy
xyx
pp
pp
)2,2(
)2|2()2(
22
|
xy
xyx
pp
pp
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号）
指示の結果(Y)Xの周辺分布成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
1a
2a
)1,1(
)1|1()1(
11
|
xy
xyx
pp
pp
1b 2b
)2,1(
)1|2()1(
12
|
xy
xyx
pp
pp
)1,2(
)2|1()2(
21
|
xy
xyx
pp
pp
)2,2(
)2|2()2(
22
|
xy
xyx
pp
pp
1
)1(
p
px
2
)2(
p
px
)1(
)2|1()2(
)1|1()1(
1
|
|
y
xyx
xyx
pp
pp
pp
)2(
)2|2()2(
)1|2()1(
2
|
|
y
xyx
xyx
pp
pp
pp
1
-
Yを与えた時の条件付き確率を求めてみよう（記号）指示の結果(Y)
成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
1a
2a
1b 2b
-
Yを与えた時の条件付き確率を求めてみよう（記号）指示の結果(Y)
成功 失敗
コーチ(X)
優秀
平凡
Yの周辺分布
1a
2a
)2|1()2()1|1()1(
)1|1()1(
)1|1(
||
|
|
xyxxyx
xyx
yx
pppp
pp
p
1b 2b
1 1
)2|1()2()1|1()1(
)2|1()2(
)1|2(
||
|
|
xyxxyx
xyx
yx
pppp
pp
p
)2|2()2()1|2()1(
)1|2()1(
)2|1(
||
|
|
xyxxyx
xyx
yx
pppp
pp
p
)2|2()2()1|2()1(
)2|2()2(
)2|2(
||
|
|
xyxxyx
xyx
yx
pppp
pp
p
-
２つの確率変数の独立性
飲む人の高血圧率飲まない人の高血圧率
高血圧(Y)合計
Yes No
飲酒(X)
Yes
1.0
No
1.0
1a
2a
)1|1(|xyp
1b 2b
)1|2(|xyp
)2|1(|xyp )2|2(|xyp
)1|1(|xyp
)2|1(|xyp • 条件付き分布が等しいとき、飲酒と高血圧とは独立（無関係）であるという。
-
２つの確率変数が独立ならば、
高血圧(Y)合計
Yes No
飲酒(X)
Yes
1.0
No
1.0
1a
2a
1b 2b
1
)2|1()1|1( || xyxy pp
1
酒を飲む人の確率
確率
飲酒(X)
Yes
No
合計 1.0
1a
2a
)1(xp
)1(xp
)2(xp
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号1）
高血圧(Y) Xの周辺分布Yes No
飲酒(X)
Yes
No
Yの周辺分布
1a
2a
1b 2b
1)1( ppx
2)2( ppx
1
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号1）
高血圧(Y) Xの周辺分布Yes No
飲酒(X)
Yes
No
Yの周辺分布
1a
2a
)1(xp
1b 2b
)1()1( xp
)2(xp )1()2( xp
1)1( ppx
2)2( ppx
)2(
)1(
x
x
p
p
1
)1()2(
)1()1(
x
x
p
p
1
1|| )1()2|1()1|1( pppp yxyxy
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号2）
高血圧(Y) Xの周辺分布Yes No
飲酒(X)
Yes
No
Yの周辺分布
1a
2a
1b 2b
1)1( ppx
2)2( ppx
1
-
同時・周辺確率分布を求めてみよう（記号2）
高血圧(Y) Xの周辺分布Yes No
飲酒(X)
Yes
No
Yの周辺分布
1a
2a
)1()1( yx pp
1b 2b
1)1( ppx
2)2( ppx
)1(yp )2(yp 1
独立性の別表現:)()(),( jpkpjkp yxxy
)2()1( yx pp
)2()2( yx pp )1()2( yx pp
-
飲酒と高血圧が独立ならば、高血圧(Y) Xの周辺分
布Yes No
飲酒(X)
Yes0.7
No0.3
Yの周辺分布 0.4 0.6 1
1a
2a
1b 2b
-
飲酒と高血圧が独立ならば、高血圧(Y) Xの周辺分
布Yes No
飲酒(X)
Yes0.7
No0.3
Yの周辺分布 0.4 0.6 1
1a
2a
1b 2b
28.0
4.07.0
42.0
6.07.0
12.0
4.03.0
18.0
6.03.0
-
一般的な母集団の図示1個ランダムに抽出
),( YX),( 11 ba),( 21 ba
),( 11 ba
),( 21 ba
),( 21 ba),( 12 ba
),( 22 ba
),( 22 ba
),( 1baN
),( 2baN
),( 2baN
),( MN ba
),( 1 Mba
),( 2 Mba
),( 2 Mba
-
母集団の構成
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
kjn
-
母集団の構成
11n1a
1n
2a
2n
Na
Mn
1b 2b Mb
12n Mn1 1n
21n 22n Mn2 2n
1Nn 2Nn NMn Nn
X
Y
n
kjn
-
2次元確率変数 (X,Y) の同時・周辺分布
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
2次元確率変数 (X,Y) の同時周辺分布
11p1a
1p
2a
2p
Na
Np
1b 2b Mb
12p Mp1 1p
21p 22p Mp2 2p
1Np 2Np NMp Np
X
Y
1
-
2次元確率変数 (X,Y) の同時・周辺分布
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
2次元確率変数 (X,Y) の同時・周辺分布
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
n
nN1
1
n
nN 2
n
nNM
n
n21
n
n22
n
n M2
n
n11
n
n12
n
n M1
n
n1
n
n2
n
nN
n
n 1
n
n 2
n
n M
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布（記法）
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布（記法）
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
1
X
Y
1)1|2(|xyp)1|1(|xyp )1|(| Mp xy
1
)2|2(|xyp)2|1(|xyp
)|2(| Np xy)|1(| Np xy
)2|(| Mp xy
)|(| NMp xy
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布(n)
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布(n)
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
N
N
n
n 11
X
Y
1
1
N
N
n
n 2
N
NM
n
n
2
21
n
n
2
22
n
n
2
2
n
n M
1
11
n
n
1
12
n
n
1
1
n
n M
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布(p)
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
Ｘを与えたときのＹの条件付き分布(p)
)|(| kjp xy
1a
2a
Na
1b 2b Mb
1
X
Y
1
1
2
21
p
p
2
22
p
p
2
2
p
p M
1
11
p
p
1
12
p
p
1
1
p
p M
N
N
p
p 1
N
N
p
p 2
N
NM
p
p
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(記法）
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(記法）
)1|1(|yxp1a
1
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
)1|2(|yxp
)1|(| Np yx
)2|1(|yxp
1
)2|2(|yxp
)2|(| Np yx
)|1(| Mp yx
1
)|2(| Mp yx
)2|(| Np yx
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(n)
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
j
kj
n
n
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(n)
111 nn1a
1
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
1 1
121 nn
11 nnN
212 nn
222 nn
22 nnN
MM nn 1
MM nn 2
MNM nn
j
kj
n
n
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(p)
1a
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
j
kj
p
p
-
Ｙを与えたときのＸの条件付き分布(p)
111 pp1a
1
2a
Na
1b 2b Mb
X
Y
1 1
121 pp
11 ppN
212 pp
222 pp
22 ppN
MM pp 1
MM pp 2
MNM pp
j
kj
p
p