Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной...
TRANSCRIPT
![Page 1: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/1.jpg)
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. БауманаФакультет “Фундаментальные науки”
Кафедра “Высшая математика”
Математический анализМодуль 3. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
Лекция 3.3
к.ф.-м.н. Семакин А.Н.
![Page 2: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/2.jpg)
Формула Тейлора
ОпределениеМногочленом Тейлора степени nфункции f (x) в точке c называется многочленвида
Pn(x) = f (c) +1
1!f ′(c)(x − c)+
+1
2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(x − c)n.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 2 / 29
![Page 3: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/3.jpg)
Формула Тейлора
ОпределениеМногочленом Тейлора степени nфункции f (x) в точке c называется многочленвида
Pn(x) = f (c) +1
1!f ′(c)(x − c)+
+1
2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(x − c)n.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 2 / 29
![Page 4: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/4.jpg)
Формула Тейлора
Свойство многочлена Тейлора*
В точке c совпадают значения функции и еемногочлена Тейлора, а также значения ихпервых n производных, т.е. Pn(c) = f (c),P ′n(c) = f ′(c), ..., P (n)
n (c) = f (n)(c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 3 / 29
![Page 5: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/5.jpg)
Формула Тейлора
Свойство многочлена Тейлора*В точке c совпадают значения функции и еемногочлена Тейлора, а также значения ихпервых n производных, т.е. Pn(c) = f (c),P ′n(c) = f ′(c), ..., P (n)
n (c) = f (n)(c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 3 / 29
![Page 6: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/6.jpg)
Формула Тейлора
Доказательство
Pn(c) = f (c) +1
1!f ′(c)(c − c)+
+1
2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(c − c)n =
= f (c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29
![Page 7: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/7.jpg)
Формула Тейлора
Доказательство
Pn(c) =
f (c) +1
1!f ′(c)(c − c)+
+1
2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(c − c)n =
= f (c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29
![Page 8: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/8.jpg)
Формула Тейлора
Доказательство
Pn(c) = f (c) +1
1!f ′(c)(c − c)+
+1
2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(c − c)n
=
= f (c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29
![Page 9: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/9.jpg)
Формула Тейлора
Доказательство
Pn(c) = f (c) +1
1!f ′(c)(c − c)+
+1
2!f ′′(c)(c − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(c − c)n =
= f (c).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 4 / 29
![Page 10: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/10.jpg)
Формула Тейлора
P ′n(x) =
1
1!f ′(c) +
1
2!2f ′′(c)(x − c) + ...+
+1
n!nf (n)(c)(x − c)n−1.
P ′n(c) = f ′(c).
Аналогично для остальных производных. �
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29
![Page 11: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/11.jpg)
Формула Тейлора
P ′n(x) =1
1!f ′(c) +
1
2!2f ′′(c)(x − c) + ...+
+1
n!nf (n)(c)(x − c)n−1.
P ′n(c) = f ′(c).
Аналогично для остальных производных. �
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29
![Page 12: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/12.jpg)
Формула Тейлора
P ′n(x) =1
1!f ′(c) +
1
2!2f ′′(c)(x − c) + ...+
+1
n!nf (n)(c)(x − c)n−1.
P ′n(c) =
f ′(c).
Аналогично для остальных производных. �
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29
![Page 13: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/13.jpg)
Формула Тейлора
P ′n(x) =1
1!f ′(c) +
1
2!2f ′′(c)(x − c) + ...+
+1
n!nf (n)(c)(x − c)n−1.
P ′n(c) = f ′(c).
Аналогично для остальных производных. �
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29
![Page 14: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/14.jpg)
Формула Тейлора
P ′n(x) =1
1!f ′(c) +
1
2!2f ′′(c)(x − c) + ...+
+1
n!nf (n)(c)(x − c)n−1.
P ′n(c) = f ′(c).
Аналогично для остальных производных. �
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 5 / 29
![Page 15: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/15.jpg)
Формула Тейлора
Теорема (формула Тейлора)
Пусть функция f (x) определена на интервале(a, b) и имеет в точке c ∈ (a, b) производныедо порядка n включительно. Тогда ∀x ∈ (a, b)
справедлива формула Тейлора n-ого порядка
f (x) = f (c) +1
1!f ′(c)(x − c)+
+1
2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(x − c)n + rn,
где rn - остаточный член формулы Тейлора.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 6 / 29
![Page 16: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/16.jpg)
Формула Тейлора
Теорема (формула Тейлора)Пусть функция f (x) определена на интервале(a, b) и имеет в точке c ∈ (a, b) производныедо порядка n включительно. Тогда ∀x ∈ (a, b)
справедлива формула Тейлора n-ого порядка
f (x) = f (c) +1
1!f ′(c)(x − c)+
+1
2!f ′′(c)(x − c)2 + ... +
1
n!f (n)(c)(x − c)n + rn,
где rn - остаточный член формулы Тейлора.МА, Модуль 3, Лекция 3.3 6 / 29
![Page 17: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/17.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:
1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 18: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/18.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:1) форма Пеано
rn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 19: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/19.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 20: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/20.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 21: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/21.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 22: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/22.jpg)
Формула Тейлора
Формы записи остаточного члена:1) форма Пеаноrn = ◦((x − c)n), x → c
2) форма Лагранжа
rn =1
(n + 1)!f (n+1)(c + θ(x − c))(x − c)n+1,
0 < θ < 1
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 7 / 29
![Page 23: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/23.jpg)
Формула Маклорена
ОпределениеФормулой Маклорена называетсяформула Тейлора при c = 0, т.е. формулавида
f (x) = f (0) +1
1!f ′(0) · x + 1
2!f ′′(0) · x2 + ...+
+1
n!f (n)(0) · xn + ◦(xn), x → 0.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 8 / 29
![Page 24: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/24.jpg)
Формула Маклорена
ОпределениеФормулой Маклорена называетсяформула Тейлора при c = 0, т.е. формулавида
f (x) = f (0) +1
1!f ′(0) · x + 1
2!f ′′(0) · x2 + ...+
+1
n!f (n)(0) · xn + ◦(xn), x → 0.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 8 / 29
![Page 25: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/25.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь
f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),
где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29
![Page 26: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/26.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь
f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),
где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29
![Page 27: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/27.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь
f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),
где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,
аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29
![Page 28: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/28.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Разложив функцию f (x) по формуле Тейлорав окрестности точки c , будем иметь
f (x) = Pn(x) + rn ∀x ∈ U(c),
где Pn(x) - многочлен Тейлора степени n,аrn = ◦((x − c)n), x → c - остаточный членформулы Тейлора.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 9 / 29
![Page 29: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/29.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Отбросив rn, получим приближенную формулу
f (x) ≈ Pn(x).
Чем больше n и ближе x к c , тем точнееданная формула.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 10 / 29
![Page 30: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/30.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Отбросив rn, получим приближенную формулу
f (x) ≈ Pn(x).
Чем больше n и ближе x к c , тем точнееданная формула.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 10 / 29
![Page 31: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/31.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:
sinπ
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 32: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/32.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 33: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/33.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 34: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/34.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈
x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 35: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/35.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x ,
sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 36: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/36.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 37: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/37.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈
x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 38: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/38.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!,
sinπ
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 39: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/39.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 40: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/40.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈
x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 41: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/41.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 42: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/42.jpg)
Приближенные вычисленияпо формуле Тейлора
Пример:sin
π
6= 0.5,
π
6≈ 0.5236.
sin x = x + ◦(x2) ≈ x , sinπ
6≈ 0.5236.
sin x = x− x3
3!+◦(x4) ≈ x− x3
3!, sin
π
6≈ 0.4997.
sin x = x − x3
3!+
x5
5!+ ◦(x6) ≈ x − x3
3!+
x5
5!,
sinπ
6≈ 0.500003.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 11 / 29
![Page 43: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/43.jpg)
Монотонность функции
ОпределениеФункция f (x) называется возрастающей(убывающей) на (a, b), если ∀x1, x2 ∈ (a, b),x1 < x2: f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 12 / 29
![Page 44: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/44.jpg)
Монотонность функции
ОпределениеФункция f (x) называется возрастающей(убывающей) на (a, b), если ∀x1, x2 ∈ (a, b),x1 < x2: f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 12 / 29
![Page 45: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/45.jpg)
Монотонность функции
ОпределениеФункция f (x) называется строго возраста-ющей (строго убывающей) на (a, b), если∀x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2: f (x1) < f (x2) (f (x1) >f (x2)).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 13 / 29
![Page 46: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/46.jpg)
Монотонность функции
ОпределениеВозрастающие и убывающие функции такженазываются монотонными.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 14 / 29
![Page 47: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/47.jpg)
Монотонность функции
Рис.: Возрастающая функция
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 15 / 29
![Page 48: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/48.jpg)
Монотонность функции
Рис.: Убывающая функция
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 16 / 29
![Page 49: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/49.jpg)
Монотонность функции
Обозначения
f (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b] -функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29
![Page 50: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/50.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b]
-функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29
![Page 51: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/51.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ C (c), f (x) ∈ C (a, b), f (x) ∈ C [a, b] -функция f (x) непрерывна в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b].
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 17 / 29
![Page 52: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/52.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ D(c), f (x) ∈ D(a, b), f (x) ∈ D[a, b]
-функция f (x) дифференцируема в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b], т.е. имеетпроизводную f ′(x).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 18 / 29
![Page 53: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/53.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ D(c), f (x) ∈ D(a, b), f (x) ∈ D[a, b] -функция f (x) дифференцируема в точке c , наинтервале (a, b), на отрезке [a, b], т.е. имеетпроизводную f ′(x).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 18 / 29
![Page 54: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/54.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ D2(c), f (x) ∈ D2(a, b), f (x) ∈ D2[a, b]
-функция f (x) дважды дифференцируема вточке c , на интервале (a, b), на отрезке [a, b],т.е. имеет производные f ′(x), f ′′(x).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 19 / 29
![Page 55: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/55.jpg)
Монотонность функции
Обозначенияf (x) ∈ D2(c), f (x) ∈ D2(a, b), f (x) ∈ D2[a, b] -функция f (x) дважды дифференцируема вточке c , на интервале (a, b), на отрезке [a, b],т.е. имеет производные f ′(x), f ′′(x).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 19 / 29
![Page 56: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/56.jpg)
Монотонность функции
Теорема (достаточное условие монотонности)*
Пусть f (x) ∈ C [a, b], f (x) ∈ D(a, b). Если ∀x ∈(a, b) f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0), то на отрезке [a, b]
функция f (x) возрастает (убывает).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 20 / 29
![Page 57: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/57.jpg)
Монотонность функции
Теорема (достаточное условие монотонности)*Пусть f (x) ∈ C [a, b], f (x) ∈ D(a, b). Если ∀x ∈(a, b) f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0), то на отрезке [a, b]
функция f (x) возрастает (убывает).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 20 / 29
![Page 58: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/58.jpg)
Монотонность функции
Доказательство
Пусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)
x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29
![Page 59: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/59.jpg)
Монотонность функции
ДоказательствоПусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.
По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)
x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29
![Page 60: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/60.jpg)
Монотонность функции
ДоказательствоПусть x1, x2 ∈ [a, b] и x1 < x2.По теореме Лагранжаf (x2)− f (x1)
x2 − x1= f ′(c), c ∈ (x1, x2).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 21 / 29
![Page 61: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/61.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 62: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/62.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 63: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/63.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то
f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 64: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/64.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,
f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 65: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/65.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1)
- f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 66: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/66.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.
Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 67: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/67.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то
f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 68: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/68.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,
f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 69: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/69.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1)
- f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 70: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/70.jpg)
Монотонность функции
⇒ f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
x2 − x1 > 0.
Если f ′(c) ≥ 0, то f (x2)− f (x1) ≥ 0,f (x2) ≥ f (x1) - f (x) возрастает.Если f ′(c) ≤ 0, то f (x2)− f (x1) ≤ 0,f (x2) ≤ f (x1) - f (x) убывает.�
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 22 / 29
![Page 71: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/71.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеТочка c называется стационарной точкойфункции f (x), если f ′(c) = 0.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 23 / 29
![Page 72: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/72.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеТочка c называется стационарной точкойфункции f (x), если f ′(c) = 0.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 23 / 29
![Page 73: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/73.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеТочка c называется критической точкойфункции f (x), если f ′(c) равен нулю или несуществует.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 24 / 29
![Page 74: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/74.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеТочка c называется точкой локальногомаксимума (минимума) функции f (x),если существует некоторая окрестность этойточки U(c) такая, что ∀x ∈ U(c) f (x) ≤ f (c)
(f (x) ≥ f (c)).
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 25 / 29
![Page 75: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/75.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеТочки локального максимума и минимуматакже называются точками экстремума.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 26 / 29
![Page 76: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/76.jpg)
Экстремум функции
ОпределениеЗначение функции f (x) в точке локальногомаксимума (минимума) называетсялокальным максимумом(минимумом) или экстремумомфункции.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 27 / 29
![Page 77: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/77.jpg)
Экстремум функции
Рис.: Точки экстремумаМА, Модуль 3, Лекция 3.3 28 / 29
![Page 78: Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной ... · Формула Тейлора Определение Многочленом](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042806/5f6f5a3ec7eeb1624a58ad48/html5/thumbnails/78.jpg)
Экстремум функции
x1min, x2min - точки локального минимума,
x1max , x2max - точки локального максимума.
МА, Модуль 3, Лекция 3.3 29 / 29