- 13 -

ÜÇGEN

Doğrusal olmayan A , B , C gibi üç nokta

verildiğinde bu noktaları uç kabul eden

doğru parçalarının birleĢimine

ABC üçgeni denir.

ABC=[AB] [BC] [AC] dir.

Üçgende bir dıĢ açının ölçüsü

kendisine komĢu olmayan iki iç açının

ölçüleri toplamına eĢittir.

Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı

180o ,

dıĢ açıların ölçüleri toplamı 360o dir.

SONUÇLAR:

KarĢılıklı ikiĢer açıları eĢ olan

üçgenlerin üçüncü açıları da eĢtir.

Dik üçgende dik açı en büyük açıdır.

Diğer açılar dar açı olup ölçüleri toplamı

90o dir.

Bir üçgenin en az iki açısı dar açıdır.

Doğruya dıĢındaki bir noktadan bir

tek dikme çizilebilir.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

x+830=1380 , x=50

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

A+B+C=1800 biliniyor.

A-B=150 ve B-C=300 verilmiĢ.

B=A-150 , A-150-C=300 , C=A-450

A+A-150+A-450=1800 , 3A=2400 A=800

ÜÇGEN

- 14 -

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

3x+500=5x , 2x=500 , x=250

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

4x+5x=1800 , 9x=1800 , x=200

y+3x=5x , y=2x , y=2.200 , y=400

ÖRNEK:

ABCD Paralelkenar.

ÇÖZÜM:

300+x+42=180 , x=1080

1000+y+300=1800 , y=500

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

700+y=900 , y=200

2(200+x)+700+600=1800 , x=50

VEYA:

x= 000

52

6070

, x=50

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

ΔPAC de mC=450

ΔCBD de x=1350

ΔDEF de y=750

ÖRNEK:

EĢitliğini gösteriniz.

ÇÖZÜM:

y+a=t , a=t-y

a+z=x , x=t-y+z

- 15 -

ÖRNEK:

EĢitliğini gösteriniz.

ÇÖZÜM:

a+k=c , k=c-a

b+x=k=c-a , x=c-a-b

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

x=900+2

80=1300 , mA=700

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

900+2

A=1250 , x=700+220=920

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

x=74o-35o=39o

ÖRNEK:

AEAD

ÇÖZÜM:

DAE ikizkenar dik üçgen. mD=mE=45o

ABD de: x+ omA45

2

ADC de: oomA7245

2 omA

272

x+27o=45o , x=18o

- 16 -

ÜÇGENDE AÇI-KENAR

BAĞINTILARI

Bir üçgende büyük kenar karĢısında

büyük açı bulunur.

Bir üçgende büyük açı karĢısında

büyük kenar bulunur.

mC< mB< mA AB BCAC

ÖRNEK:

BDADCD

ÇÖZÜM:

ABC deki tüm açılar hesaplandığında:

ABD de; mB < mA < mD

|AD| < |BD| < |AB|

ADC de; mA < mC < mD

|DC| < |AD| < |AC|

Ġki eĢitsizlikten :

|DC| < |AD| < |BD| bulunur.

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı,

o noktadan doğruya çizilen dikmenin

uzunluğudur.

Bd , Cd ve AB d ise ACAB

A noktasının, d doğrusu üzerindeki

dik izdüĢümü B noktasıdır.

Bir üçgende bir kenarın uzunluğu,

diğer iki kenar uzunluğu farkından

büyük, toplamından küçüktür.

ACABBCACAB

mA < 900 ise: 22

ACABBCACAB

mA > 900 ise:

ACABBCACAB 22

ÖRNEK:

1) x in alabileceği tamsayı değerleri?

ÇÖZÜM:

|5-12| < x < 5+12 ,

7 < x < 17 9 tane

2) mA < 90o ise:

ÇÖZÜM:

7 < x < 13 5 tane

3) mA > 90o ise:

ÇÖZÜM:

13 < x < 17 3 tane

- 17 -

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

mC < mA < mB olduğundan :

8 < x < 19

19-8 < x < 19+8 , 11 < x < 27

eĢitsizliklerinden 11 < x < 19 bulunur.

7 tane değer alabilir.

Bir üçgende en uzun kenar, çevrenin

üçte birinden büyük,

yarı çevreden küçüktür.

ÖRNEK:

Çevresi 24 birim olan üçgende en uzun

kenar tamsayı olarak 9,10,11 birim

olabilir.

ÇÖZÜM:

2

24

3

24 x , 8 < x < 12

ÖRNEK:

Çevresi 12cm. ve kenar uzunlukları

tamsayı olan kaç çeĢit üçgen çizilebilir?

ÇÖZÜM:

Üçgende kenar eĢitsizliğinden, üç değiĢik

üçgen çizilebileceği görülür.

I. üçgenin kenar uzunlukları: 4,4,4

II. üçgenin kenar uzunlukları: 5,5,2

III. üçgenin kenar uzunlukları: 3,4,5

ÖRNEK:

Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi 77

birim olan ikizkenar üçgenin tabanı

en çok kaç birim olabilir?

ÇÖZÜM:

2x+y=77 ve 77/3 < y < 77/2 den

y=37 bulunur.

ÖRNEK:

Kenar uzunlukları tamsayı, çevresi 113

br. olan kaç tane ikizkenar üçgen

çizilebilir?

ÇÖZÜM:

Kenar uzunluklarını x, x ve y ile

gösterirsek;

2x+y=113 ve 2x > y olduğundan

y’nin alabileceği tamsayı değerleri

1, 3, 5, 7, … , 55 dir.

2n-1=55 , n=28 tane değer alır.

Pd olmak üzere |AP|+|PB|

toplamı en küçüktür.

|AP|+|PB|=|AP|+|PB’|=|AB’|

BaĢka bir K noktası için ;

|AK|+|KB’| > |AB’| olur.

- 18 -

Kd olmak üzere |AK|-|BK|=|AB|

farkı en büyüktür.

BaĢka bir P noktası için ;

||AP|-|PB|| < |AB| olur.

!!! EK BİLGİ:

Üçgenin iç bölgesinde, köĢelerden

uzaklıkları toplamı en küçük olan nokta

S dir. (Steiner) Fermat noktası.

Üçgenin kenarları üzerine ve dıĢına

çizilen eĢkenar üçgenlerin üçüncü

köĢelerini ABC nin karĢı köĢelerine

birleĢtiren doğruların kesim noktasıdır.

ÖRNEK:

Kenar uzunlukları verilen Ģekildeki ABCD

dörtgeninde ;

|AC|+|BD| köĢegen uzunlukları

toplamının alabileceği değerler nedir?

ÇÖZÜM:

ABC üçgeninde ; 10-9 < |AC| < 10+9

1 < |AC| < 19

ADC üçgeninde ; 15-13 < |AC| < 15+13

2 < |AC| < 28 öyleyse

2 < |AC| < 19 dur.

ABD üçgeninde ; 13-9 < |BD| < 13+9

4 < |BD| < 22

BCD üçgeninde ; 15-10 < |BD| < 15+10

5 < |BD| < 25

öyleyse

5 < |BD| < 22 dir.

2 < |AC| < 19

5 < |BD| < 22 eĢitsizlikleri taraf tarafa

toplandığında ;

7 < |AC|+|BD| < 41 bulunur.

!!! EK BİLGİ :

KöĢegenlerin kesim noktası olan P ,

köĢelerden uzaklıkları en küçük olan

noktadır.

- 19 -

ÜÇGENLERDE EġLĠK

ABCDEF eĢlemesinde :

mA=mD DEAB

mB=mE ve EFBC ise ABC DEF

mC=mF DFAC

K.A.K EŞLİĞİ:

KarĢılıklı ikiĢer kenarları ve bu

kenarların oluĢturduğu açıları eĢ olan iki

üçgen eĢtir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi

üzerindeki noktalar uçlardan eĢit

uzaklıktadır.

Verilen iki noktadan eĢit uzaklıkta

bulunan noktaların geometrik yeri, bu iki

noktayı uç kabul eden doğru parçasının

orta dikme doğrusudur.

Y.G:

POA POB ve QOA QOB (K.A.K)

Ġkizkenar üçgenin taban açıları eĢtir.

ÖRNEK:

ACAB , CDCB ise x=?

ÇÖZÜM:

ABC ikizkenar: mB=mC=70o

CBD ikizkenar: mB=mD=70o , mC=40o

x=70o-40o=30o

ÖRNEK:

OCOBOA ve AB //OC ise x=?

ÇÖZÜM:

0AB ikizkenar: mA=mB=65o

mCOB=65o içters

COB ikizkenar: mB=mC=x=57,5o

A.K.A EŞLİĞİ:

KarĢılıklı ikiĢer açıları ve bu açıların

ortak kenarları eĢ olan iki üçgen eĢtir.

Ġki açısı eĢ olan üçgen bir ikizkenar

üçgendir.

Açıortay üzerindeki noktalar açının

kenarlarından eĢit uzaklıktadır.

- 20 -

KesiĢen iki doğrudan eĢit uzaklıkta

bulunan noktaların geometrik yeri,

oluĢturdukları açıların açıortay

doğrularıdır.

[OP , açı ortay

PAOA ve [PBOB ise;

|PA|=|PB| ve |OA|=|OB| dir.

Y.G: OPA OPB (A.K.A)

K.K.K EŞLİĞİ:

KarĢılıklı tüm kenarları eĢ olan iki üçgen

eĢtir.

KarĢılıklı birer dik kenarları ve

hipotenüsleri eĢ olan dik üçgenler eĢtir.

SONUÇLAR:

Bir eĢkenar üçgenin tüm açılarının

ölçüleri 60odir.

Tepe açısının ölçüsü 60o olan üçgen

bir eĢkenar üçgendir.

Bir açısının ölçüsü 30o olan dik

üçgende ,30o lik açı karĢısındaki kenar

hipotenüsün yarısıdır.

ÖRNEK:

DAB ve EAC eĢkenar üçgen. x=?

ÇÖZÜM:

DAC BAE (K.A.K)

ΔDAC de; mD+60o+mBAC+mC=180o

ABPC dörtgeninde;

x=mD+mBAC+mC=120o

ÖRNEK:

DCBD , BCPD , [AP açıortay,

ABPT , ACPK iken

ACABAT 2

1=|AK|

|BT|=2

1(|AB|-|AC|)=|CK|

ÇÖZÜM:

[AP açıortay olduğundan; APT APK

(A.K.A) |AT|=|AK| ve |PT|=|PK|

DP orta dikme olduğundan;

PDB PDC (K.A.K) ve |PB|=|PC|

KarĢılıklı birer dik kenarları ve

hipotenüsleri eĢ olan dik üçgenler eĢ

olacağından PTB PKC olur ki

|TB|=|KC|

|AB|=|AT|+|TB| ve |AC|+|CK|=|AK|

|AT|=|AK|=2

1(|AB|+|AC|) ve

|BT|=|CK|=2

1(|AB|-|AC|) bulunur.

- 21 -

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

AC ye BT dikmesi çizildiğinde:

QRA ATB (A.K.A) |AT|=7

DSC CTB (A.K.A) |CT|=3

x=|AT|+|TC|=7+3=10

ÖRNEK:

ACDE kare. FD =?

ÇÖZÜM:

BC ye DT dikmesi çizildiğinde;

ABC DTC (A.K.A) |BC|=|DT|=4

DTBF dikdörtgeninde; |DT|=|FB|=4

|AB|=5+4=9=|CT|

|FD|=|BT|=4+9=13

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

FAC BAE (K.A.K)

FAC ve ABOC de açılar toplamı

hesaplanırsa mBOC=90o bulunur.

[LK] ve [KT] , FBC ve BCE de orta taban

olup, tabana paralel ve tabanın yarısına

eĢittir.

|AK|=|KS| olacak Ģekilde AK uzatılırsa;

ABSC paralelkenarından ACS EAF

(K.A.K) ve 2|AK|=|AS|=|EF| bulunur.

ÖRNEK:

OBOA ve OC // BD ise x=?

ÇÖZÜM:

AOB üçgeninde; 320+mB+800=1800

mB=680=mA AOB ikizkenar.

mOCA =320 içters açılar.

OCA üçgeninde; 320+x=680 , x=360

- 22 -

ÖRNEK:

Ç(ABC)=?

ÇÖZÜM:

|BD|=|BE|=z çizelim:

BDE ikizkenar; mD=mE=80o

mEDC=40o , EDC ikizkenar, |ED|=|EC|

|DE|=|DF| çizelim:

DFE ikizkenar; mF=mE=80o

mADB=mFDB=600 olur ki

ADB FDB (A.K.A) , |AD|=|DF|=x

|AD|=|DF|=|DE|=|EC|=x

mABC=mACB=40o

ABC ikizkenar, |AB|=|AC|=x+y

Ç(ABC)=|AB|+|BC|+|AC|

=(x+y)+(z+x)+(x+y)=3x+2y+z

ÖRNEK:

BEBD ise ECAD ?

Y.G: Bir önceki soruda:

|DE|=|EC| bulunmuĢtu.

|DE|=|DF| çizildiğinde eĢlikten;

|AD|=|DF| |AD|=|DF|=|DE|=|EC|

ÖRNEK:

BDAD ise x=?

ÇÖZÜM:

ADB ikizkenar. mB=mBAD=x=mDAC

ABC üçgeninde; x+2x+660=1800 , x=380

ÖRNEK:

ADBCAB ise

y nin x türünden eĢiti?

ÇÖZÜM:

ABC ikizkenar. mACB=x

ACD üçgeninde ; mD+y=x , mD=x-y

ABD ikizkenar. mB=mD=x-y

2(x-y)+x+y=1800 , 3x-y=1800

y=3x-1800

ÖRNEK:

ACAB ve AD // BC ise x=?

ÇÖZÜM:

mADB=mDBC=x içters.

ABC ikizkenar; mB=mC=2x

2x+400+2x=1800 , x=350

- 23 -

ÖRNEK:

ACAB ise x=?

ÇÖZÜM:

mADB=mBDE=y dersek;

ACD üçgeninde mACB=x+y

ABC ikizkenar mABC=mACB=x+y

EBD üçgeninde y+150=x+y , x=150

ÖRNEK:

ACAB , FEAF , BEBD

x=?

ÇÖZÜM:

AFE ikizkenar. mE=mA=x

EBD ikizkenar. mE=mD=x , mDBA=2x

BAC ikizkenar. mC=2x ,

2x+x+2x=1800 x=360

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

AOB ikizkenar. mA=mB=700

BOC ikizkenar. mB=mC=550

mABC=700+550=1250

ÖRNEK:

ACAB , DCBE , FCBD

ÇÖZÜM:

ABC ikizkenar. mB=mC=550

EBD DCF (K.A.K)

mBED=mCDF ve mEDB=mDFC

mBED+mEDB=1250= mEDB+ mCDF

mEDB+x+mCDF=1800 , 1250+x=1800

x=550

ÖRNEK:

AFAE ise

d nin, b ve c türünden eĢiti?

ÇÖZÜM:

EBD üçgeninde; mDEA=b+d

EAF ikizkenar. mE=mF=b+d=mCFD

FCD üçgeninde; (b+d)+d=c

d=(c-b)/2

- 24 -

ÜÇGENLERDE BENZERLĠK

ABCDEF eĢlemesinde:

mA=mD

mB=mE ve kDF

AC

EF

BC

DE

AB ise

mC=mF

ABCDEF dir.

k, benzerlik oranıdır.

A.A BENZERLİĞİ:

KarĢılıklı ikiĢer açıları eĢ olan üçgenler

benzerdir.

ÖRNEK:

mB=mD ve mC=mE yöndeĢ açılar.

ADEABC (A.A)

BC

DE

AC

AE

AB

AD

ÖRNEK:

A açısı ortak, mC=mD verilmiĢ.

ADEACB (A.A)

BC

DE

AB

AE

AC

AD

K.A.K BENZERLİĞİ:

KarĢılıklı ikiĢer kenarları orantılı,

bu kenarların oluĢturduğu açıları eĢ olan

üçgenler benzerdir.

ÖRNEK:

DBAD

ECAE ise BCDE // ve

2

BCDE dir.

ÇÖZÜM:

2

1

AC

AE

AB

AD ve A açısı ortak.

ADEABC (K.A.K)

2

1

BC

DE ,

2

BCDE ve

mB=mD olduğundan DE//BC dir.

- 25 -

ORTA TABAN:

Üçgenin iki kenarının orta noktalarını

birleĢtiren doğru parçası, üçüncü kenara

paralel olup uzunluğu kenar uzunluğunun

yarısıdır.

Üçgenin bir kenarının orta noktasından

ikinci kenara çizilen paralel doğru,

üçüncü kenarı ortalar.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

[DE] ve [DF] , ABC de orta taban olup

|DE|=5 ve |DF|=4 dir.

AEDF paralel kenar.

Ç(AEFD)=|AB|+|AC|=18

ÖRNEK:

EDAE ve CDEFAB //// için x=?

ÇÖZÜM:

EF uzatılır, EF ile P de kesiĢtirilirse;

[EP], ADC de orta taban |EP|=13/2

[FP], CAB de orta taban |FP|=9/2

x=2

ÖRNEK:

|BD|=|DC| ve |AP|=|PD| ise

AEEC 2 ve PEBP 3 dir.

ÇÖZÜM:

DF//BE çizilirse;

[DF], CBE de orta taban;

|EF|=|FC| , |BE|=2|DF|

[PE], ADF de orta taban;

|AE|=|EF| , |DF|=2|PE| eĢitliklerinden

|EC|=2|AE| ve |BP|=3|PE| dir.

ÇÖZÜM:

AC yi çizer, EF yi P de kestirirsek:

[EP], ABC nin, [PF] de CAD nin

orta tabanı olur.

ÇÖZÜM:

[SR], ADC nin, [PQ], ABC nin orta

tabanıdır.

- 26 -

K.K.K BENZERLİĞİ:

KarĢılıklı tüm kenarları orantılı olan

üçgenler benzerdir.

Üç yada daha fazla paralel doğru bir

kesen üzerinde eĢ parçalar ayırıyorsa,

her kesen üzerinde eĢ parçalar ayırır.

Ġkiden fazla paralel doğru iki kesen

üzerinde karĢılıklı orantılı parçalar

ayırır.

Üçgenin bir kenarına paralel bir

doğru diğer iki kenarı farklı noktalarda

keserse bu kenarlar üzerinde orantılı

parçalar ayırır.

AD // BE // CF iken zxy

111 dir.

ÇÖZÜM:

CBECAD (A.A) x

y

CD

CE

CA

CB

ABEACF (A.A) z

y

AF

AE

AC

AB

EĢitlikleri taraf tarafa toplanırsa;

z

y

x

y

AC

AB

CA

CB ve

zxy

111

ÖRNEK:

BC // DE ise x=? , y=?

ÇÖZÜM:

ADEABC (A.A) ,

BC

DE

AC

AE

AB

AD

8910

4 yx , x=3,6 , y=3,2

ÖRNEK:

12CT ise ?PK

ÇÖZÜM:

P den AB ye PF dikmesi çizilirse;

Açılar hesaplandığında PEK ikizkenar

çıkar.

[PE], ACT de orta taban. |PE|=6=|PK|

- 27 -

ÖRNEK:

PB // KC // TD ise x=?, y=?, z=?, m=?

ÇÖZÜM:

APBAKCATD (A.A)

KC

PB

AC

AB

AK

AP

z

y

x

15

15

16

10 x=9

TD

KC

AD

AC

AT

AK

2436

24

16

16 z

m

m=8 , z=16 ,

y=10

ÖRNEK:

? xEBDABC , ?CE

ÇÖZÜM:

9

9

13

39 CEx

x

x

x=4,5 , |CE|=22,5

ÖRNEK:

AE açıortay ,

DCBD , AEBE ise

2

ACABDE

dir.

Y.G: BE uzatılır, AC ile F de

kesiĢtirilirse;

ABF ikizkenar ve [DE], BCF de

orta taban.

ÖRNEK:

AE dıĢ açıortay,

DCBD , AEBE ise

2

ACABDE

dir.

Y.G: BE uzatılır, CA ile F de

kesiĢtirilirse;

AFB ikizkenar ve [ED], BFC de

orta taban.

- 28 -

ÖRNEK:

CDBE, açıortay ,

AEBE , ADCD ise

2

BCACABDE

dir.

Y.G: AD ve AE uzatılır,

BC ile P ve K da kesiĢtirilirse;

CPA ve BKA ikizkenar,

[DE] de APK da orta taban.

ÖRNEK:

ABCD kare ,

AK KM , EL KM , CM KM

EDAE , 5AK , 11EL ise

x=?

ÇÖZÜM:

D den KM ye DP dikmesi çizilirse;

[EL], AKPD yamuğunda orta tabandır.

112

5

DP , |DP|=17

|DP|=|AK|+|CM| , 17=5+x ,

x=12

ÖRNEK:

ACAB , BCP , PTKP ise

2

ATAKAB

?

Y.G: PE//AC ve PF//AB çizilirse;

EBP ve FPC ikizkenar.

[EP], KAT de, [PF], TAK de orta

tabandır. |AB|=|AE|+|EB|

|AT|=2|EP| , |AK|=2|PF|

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

DE//AC ; DB

CD

EB

AE ve

DF//AB; DC

BD

FC

AF

EĢitlikleri taraf tarafa çarpılırsa;

1. FC

AF

EB

AE bulunur.

- 29 -

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

DACCAB (K.A.K)

BC

DC

AB

AC

CA

DA

34

2

2

1 x , x=1,5

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

AOBA’OB’ (A.A) 4

1

'''

BA

AB

OA

AO

AOPA’OP’ (A.A)

4

1

'5

3

''

OA

AO

y

x

PA

AP

4x-12=5-y , y=17-4x

x+y=x+(17-4x)=17-3x

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

DP//AC çizilirse; |BP|=|PC|=5 ve

[EC], FDP de orta taban olup |DP|=4

[DP], BAC de orta taban olup

|AC|=8 dir.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

PCEBPD (A.A)

ADPE paralel kenar.

PD

CE

BD

PE , |PE|.|PD|=|BD|.|DC|

|PE|=|AD| ve |PD|=|AE| yazılırsa

oran 1 bulunur.

- 30 -

ÖRNEK:

?TB

CT

ÇÖZÜM:

EPCBPA (A.A) 2

1

BA

EC

PB

EP

PK//EC çizilirse; BKPBCE (A.A)

3

2

BE

BP

EC

PK

BC

BK

PKTFBT (A.A) 6

1

BT

KT

FB

PK

eĢitliklerinden 4

3

TB

KTCK

TB

CT

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

BCP EĢkenar üçgeni çizildiğinde ;

|BC|=|BC|

m(BCD)=m(PCA)=600+m(BCA)

|CD|=|AC| olduğundan (KAK)

BCD PCA dır.

|BD|=|AP| olur ki ,

ABP dik üçgeninde :

|AP|2=|AB|2+|BP|2 olacağından

|BD|2=42+62=16+36=52

|BD|= 132 bulunur.

mB=300 ve ACD eĢkenar üçgen

olduğunda:

|BD|2=|AB|2+|BC|2 dir.