Nirengi Alarnda Uzunluk ls

Nirengi alarna lek vermek amacyla, an kurulu ilkelerine uygun olarak baz kenar uzunluklar baz olarak veya gerekli grlen kenarlar EDM ls ile llr. Ancak, bu llerin hepsi fiziksel yeryznde yaplmaktadr. Bunlarn dorultular gibi hesap yzeyine indirgenmeleri gerekir. Bunlarn indirgenmesinde, l tekniklerine uygun gelitirilen indirgeme bantlar kullanlr.

Baz Uzunluk ls ve ndirgenmesi

Yersel yntemlerle kurulmu alarda, aa lek vermek amacyla belli kenar uzunluklar invar erit metreler kullanlarak ya dorudan yada baz bytmesi eklinde llmektedir. llen baz uzunluklarnn istenen incelikte olmas iin, kullanlan invar eritlerin veya invar tellerin ilk ve son 10cm lik ksmlar milimetre incelikte blmlenmitir. l annda baz dorultusundaki komu ara noktalar arasndaki uzunluklar, invar eritler yatay tutularak mesafeler byk bir itina ile llr. Her bir lye, s, germe ve ykseklik farkvs. dzeltmeleri getirilerek bazn toplam uzunluu elde edilir.

B d ds d A h

Yeryz

B

dh Elipsoid Paraleli

B

Yerel Yatay

ds0 a b Elipsoid

O

d

ekil 39: Bazlarn ndirgemesi

Bu noktalar arasnda invar l telleri yada eritleri kullanlarak yaplacak uzunluk ls ile birlikte scaklk ve basn llr. Ara noktalar arasndaki eim farkndan kaynaklanacak indirgemeyi gerekletirmek iin, her bir komu noktalar arasnda nivelman yaplarak; llen uzunlua ykseklik fark, scaklk ve basntan dolay dzeltmeler getirilerek yeryzndeki baz uzunluu elde edilir. Daha sonra ilgili hesaplamalarda kullanlmak zere, elde edilen baz uzunluu hesap yzeyine indirgenir. Bu ekilde llm olan bir baz uzunluunu ilgili hesap yzeyine indirgenirken; l yntemine uygun bir indirgeme yntemi izlenerek, bazn hesap yzeyine indirgenmi uzunluk deeri elde edilir.

Byle bir ilem; komu iki ara noktas arasnda llen bir d uzunluu iin, d : bu uzunluun yerel yataydaki ds : de elipsoide paralel yerel yatay bir dzlemdeki, ds0 : elipsoid yzeyindeki bileenleri olmak zere,

eklinde l yntemine uygun bir mantkla indirgenir.

ekilden de grld gibi; ABB geninde; as ok kk bir a olacandan, indirgeme ilemlerinde, Cos = 1, ve Sin =0 alnabilir. Neticede, ayn genden,

ds = dCos( ) dCos + d Sin

yazlabilir. Daha sonra, bu formlde geen baz deerler yerine, ABB geninden

d' = dCos os , d Sin i dh

Olduklar dikkate alnrsa; ve bu eitlikler yerine yazldnda;

ds = d' + dh

elde edilir.

Burada R elipsoidin llen baz dorultusunda yani azimutundaki erilik yarap olmak zere, deeri

1 Cos 2 Sin 2 = + R M M

bantsndan hesaplanabilir.

Bu formlde kullanlan M deeri elipsoidin meridyen ynndeki ve N deeri de ona dik yndeki erilik yaraplarn gstermektedir.

d baz olarak llm uzunluk deerinin elipsoid yzeyindeki ds0 deerini hesaplamak iin ABO ve abO geninden;

ds R +h h = =1+ ds 0 R R

yazlarak buradan;

ds = ds 0 + ds 0

h R

veyads 0 = ds-ds 0 h R

elde edilir. Ayn ekilde; abO geninden

d =

ds 0 R

olduu dikkate alnarak bunun yerine yazlmas ile

ds 0 = ds - h d

elde edilebilir. Bu deer, daha nce verilmi olan eitlikte yerine yazlarak,

ds 0 = d' + dh h.d

yada

ds 0 = d' + d ( h ) hd ( + )

diferansiyel bants elde edilmi olur.

Bunun bazn u noktalar olan A ve B noktalar arasnda integrali alnrsa,

S 0 = ' + B hB A h A hd ( + )A

B

S 0 = ' + B hB A h A hm ( B A ) hm d ,A

B

hm =

h A + hB 2

olmak zere elipsoide indirgenmi uzunluk deeri,

S 0 = ' + B ( hB hm ) A ( h A hm )

hm S0 R

olarak elde edilmi olur.

Bu bantda geen, A ve B deerleri ok kk ve birbirine B

=A

eit alnrsa,

bazn elipsoid yzeyine indirgenmi yani jeodezik eri olarak uzunluu,

S 0 = '

hm S0 R

m ya da daha basit bir ifade ile S 0 = S 1 R h

olarak bulunmu olur. Eer hesaplamalar bir projeksiyon yzeyinde yaplacak ise, o zaman elipsoide indirgenmi uzunluun, projeksiyona indirgenmesi gerekir. Byle bir ilem,S0

uzunluuna projeksiyon yzeyinde karlk gelen s projeksiyon uzunluu,

s = S0 + f ( X i , Yi , Xk , Yk ) s S0 = f ( X i , Yi , Xk , Yk )projeksiyona indirgeme dncesine uygun olarak gerekletirilebilir.

Bu amala kullanlacak,

d s= s S 0 = f ( X i ,Yi ,Xk ,Yk )indirgeme forml projeksiyonun trne ve zelliine gre deiik bantlarla ifade edilir.

Gauss-Krger projeksiyonu iin byle bir indirgeme ilemi, arazide yatay olarak llm S baz uzunluunun elipsoide indirgenmiS0

uzunluk deerine getirilecek dzeltmesi,en basit ekliyle,

ds = s S 0 =

s (Yi 2 + YiYk + Yk2 ) 6R 2

eklinde verilebilir. Bu indirgeme deeri elipsoide indirgenmi baz uzunluuna ilave edilmesiyle projeksiyona indirgenmi uzunluk deeri,

s = S0 + d s

eklinde hesaplanabilir. Burada,

S : llen baz uzunluu, S0 : Elipsoid yzeyindeki baz uzunluu, s : Projeksiyon dzlemindeki baz uzunluu

deerlerini gstermektedir.

rnek 1: Bir nirengi ann komu noktalarnn bulunduu yksekliklerdeki yerel yatayda 20-21, uzunluklar baz ls eklinde llerek her biri iin,

20-22, 20-23 kenar

D.N. B.N 20 . 21 22 23

Baz uzunluklar 1409.751m. 3676.046 1181.414 kenarlarn u noktalarn30

uzunluk deerleri elde edilmitir. Ayrca her bir

derece dilim geniliindeki UTM

projeksiyonundaki yaklak koordinat( saa ve yukar koordinat) deerleri ve ykseklikleri Nok. No Saa (m) Yukar (m.) H

20 21 22 23

561 874.21 562 755.96 565 500.70 562 358.12

4 540 658.04 4 541 757.84 4 541 260.32 4 539 580.32

1260m . 935 817 797

olarak bilinmektedir.

Bu kenar uzunluklarnn Gauss-Krger projeksiyonuna indirgemek iin dnyann erilik yarap R=6370km. alarak; ds

projeksiyona indirgeme dzeltme deerlerini ve zm:

s = S0 + d s projeksiyona indirgemi uzunluk deerlerini hesaplaynz.

Burada, nce yukardaki rnekte olduu gibi, noktalarn saa deerlerinden 500 000m deeri kartlarak,

Nok. No 20

Y 61 874.21

X 4 540 658.04

21 22 23

62 755.96 65 500.70 62 358.12

4 541 757.84 4 541 260.32 4 539 580.32

Gauss-Krger koordinatlar hesaplanr. Daha sonra bu koordinat deerleri kullanlarak,

ds = s S 0 =

s (Yi 2 + YiYk + Yk2 ) 2 6R

formlnden elipsoide indirgenmi her bir

S0

baz uzunluuna getirilecek dzeltme miktarlar,

D.N. 20

B.N. 21 22 23

S

uzunluklar

h S 0 = S 1 m R

ds = s S 0 (cm)

s = S 0 + d suzunluklar1409.5756m. 3675.6305 1181.2794

1409.751m. 3676.046 1181.414

1409.5081 3675.4467 1181.2232

6.75 18.38 5.61

olarak hesaplanr.

EU veya (EDM) Elektronik Uzunluk ls ve ndirgenmesi

EDM aletleri kullanlarak yaplan uzunluk lsnde, uzunluklarn invar erit metreler kullanlarak baz llmesinden farkl bir yol izlenmektedir. Bu yntemde, llecek uzunluun yatay olmasna baklmadan noktalarndan birine kurulan uzaklk ler(EDM) aletinin hedef noktasna tutulan bir reflektre tatbik edilerek noktalar arasndaki eik uzunluk bir seferde dorudan llmektedir. Bu ekilde llen eik uzunluk; kullanlan l yntemine uygun bir analitik zm yolu izlenerek hesap yzeylerine indirgenir.

Byle bir ilem geometrik olarak, en basit ekliyle,

D

A

Sr

B

h1

h2 S0 r S

R

2 2

M

O

ekil 40: Eik Uzunluklarn ndirgemesi olarak ifade edilebilir. Elektronik uzaklk ler (EDM) aletlerini kullanlarak dorudan eik vaziyette llm olan bu tr kenar uzunluklarnn elipsoid yzeyine indirgenmesinde iki farkl zellie sahip indirgeme uygulanr. Bunlardan biri; yaykiri indirgemesi dzeltmeleri, dieri de noktalarn yksekliklerinden dolay indirgemedir.

1. Yay-Kiri ndirgemesi

EDM ile eik olarak llm olan bir uzunluun, dorudan trigonometrik gen bantlarn kullanlarak elipsoide yzeyine indirgenebilmesi iin A ve B noktalar arasndaki kiri uzunluunun llm olmas gerekmektedir. Halbuki; atmosferin farkl younluktaki tabakalardan olumas nedeniyle l annda bu tabakalardan geen bir nn krlarak yoluna bir eri yay boyunca devam edecei dncesinden hareketle, hibir zaman byle bir kiri uzunluu llememektedir. Bunun yerine azda farkl olsa, her zaman bu kirie karlk gelen yay boyu llebilmektedir. Bu neden, D yay boyu eklinde llm olan EDM uzunluklar nceSr

kiri boyuna indirgenir.

ekilden grld gibi, arazi alet kurulan ve reflektr tutulan, A ve B noktalar arasndaki n yolunun boyu yani bu iki nokta arasndaki yay uzunluu D ve buna karlk gelen kiri uzunluu da ekilden, OAB n yolu yay iin, 2 geninden de Sin =Sr 2r= D r

Sr

olsun.

Bu iki farkl uzunluk arasnda ;

ve buradan

=

D 2r =

elde edilir. Ayn ekilde, OABD 2r

bants yazlabilir. Bu bant,

olduu dikkate alnarak,

Sr D = Sin 2r 2r

eklinde de ifade edilebilir. Buradan

Sr

kiri uzunluu,

D S r = 2r Sin 2r

olarak elde edilir. Burada, kullanlan D 2r asnn ok kk oluundan dolay seriye alarak ilemler yaplabilir. Byle bir ilem neticesindeSr

kiri uzunluu,

Sr = D

D3 D5 + ...... 24 r 2 1920 r 4

seri ifadesi ile elde edilebilir.

Burada; n yolu erisinin r erilik yarap ile yerin R erilik yarap arasnda, k atmosferik refraksiyon katsays olmak zere, r = R k gibi bir ilikinin olduu dikkate alnarak,D3 Sr = D k + ...... 24 R 22

kiri uzunluu elde edilir. Bununla ilgili D yay boyunun kiri uzunluuna indirgenmesi iin gerekli olan dzeltme deeri,

k r = S r D = k 2

D3 ..... 24 R 2

olarak hesaplanr. Buna gre de; llen D yaya uzunluu

Sr

kiri uzunluuna,

Sr = D + kr

eklinde de indirgenebilir.

Bylece, arazide A

alet kurulan veSr

B reflektr tutulan hedef noktalar arasndaki n yolu boyunu temsil eden D yay kiri boyuna geilmi olur. Ancak burada sylemek gerekirse; D yay boyunun

uzunluundan buna karlk gelen

100m. olduu durumda kr= 1ppm. den kk olacandan baz pratik uygulamalar iin ihmal edilebilir bir deer olmaktadr.

2. Elipsoidin Eriliinden dolay ndirgeme

Benzer durum, elipsoid yzeyindeki noktalar arasnda da olumaktadr. Elipsoid her noktasnda erilii farkl olan bir kapal yzeydir. Bunu zerindeki iki nokta arasnda bir yay uzunluu ve bir de buna karlk gelen kiri uzunluu bulunmaktadr. Bu nedenle, benzer yay-kiri indirgemesi burada da sz konusu olmaktadr.

In yolu eriliinden dolay yaylarn kiri uzunluuna indirgenmesinde yaplan ilemlere benzer ekilde, elipsoid yzeyindeki A ve B noktalarnn belirledii yay uzunluundan M noktasndaki as iin,

2 =

S0 R

bantsndan

=

S0 2R

elde edilebilir. Ayn ekilde ABM geninden de,

Sin =

S 2R

yazlarak elde edilen bu bantda asnn deeri yerine yazlmas ile elipsoid yzeyindeki A ve B noktalar arasndaki S kiri uzunluundan S0 elipsoid yay uzunluuna geite kullanlan indirgeme formlnn temel eitlii olan;

S S Sin 0 = 2R 2R

ifadesi yazlabilir. Buradan

S0

ekilirse,

S S 0 = 2 R Sin -1 2R

bants elde edilir. Bu eitliin seri alm sonucunda,

S0 = S

S3 S5 + ...... 24 R 2 1920 R 4

elde edilir.

Bu eitliin sa tarafnda birinci terimin haricindeki terimler, erilik dzeltmesi olarak adlandrlr. Bunun deeri,k s = S0 S = S3 S5 + ...... 24R 2 1920R 4

eklinde hesaplanabilir. Neticede, elipsoid yzeyindeki yaya uzunluu

S0 = S + ks

olarak hesaplanabilir.

3. Ykseklikten dolay ndirgeme

In yolu ve elipsoidin eriliklerinden dolay yaplan indirgemeler neticesinde kirie indirgenmi uzunluklar arasnda dzlem genlerdeki kosins bantsndan faydalanarak,

S r2 = ( R + h1 ) + ( R + h2 ) 2( R + h1 )( R + h2 ) Cosos2 2

forml yazlabilir. Burada;

S 2 = R 2 + R 2 2 R 2 Coso

Cos = 1-

S2 2R 2

olduu dikkate alnarak, bu bantdan,

S2 2 2 S r2 = ( R + h1 ) + ( R + h2 ) 2( R + h1 )( R + h2 ) 1 2R 2

ve gerekli ilemlerin yaplmas ile de,

2 S r2 = 2 R 2 + 2 R(h1 + h2 ) + h12 + h2 2 R 2 2 R(h1 + h2 )-2h1 h2 + 2( R + h1 )( R + h2 )

S2 2R 2

S r2 = (h1 h2 ) 2 + 2( R + h1 )( R + h2 )

S2 2R 2

yazlabilir. Daha sonra buradan S uzunluu ekilirse,

2 R 2 S r2 (h1 h2 )2 S = 2( R + h1 )( R + h2 )2

(

)

ve

(h1 h2 ) 2 S=R ( R + h1 )( R + h2 )

(S

2 r

)

elipsoid noktalar arasndaki kiri uzunluk deeri elde edilir. Buradan, elipsoid zerindeki yay uzunluuna,

S S 0 = S + k s S 0 = 2 RSin 1 2R

bants ile indirgeme yaplr.

Sonuta zetlemek gerekirse; Arazide bir A noktasna kurulan aletle B noktasna baklarak noktalar arasndaki uzunluk D yay boyu olarak llr. Sonra bu uzunlua n yolu eriliinden dolay kr indirgenme dzeltmesi getirilerek Sr kiri uzunluuna geilir. Daha sonra, bu kiri uzunluu, noktalarn yksekliklerinden dolay elipsoid yzeyindeki noktalar arasdaki,

(h1 h2 ) 2 S=R ( R + h1 )( R + h2 )

(S

2 r

)

kiri uzunluuna indirgenir. Buradan da,

S S 0 = S + k s S 0 = 2 RSin 1 2R

formlyle elipsoid yzeyine indirgenir.

Bu ekilde hesaplanm olan S0 deeri; elipsoid yzeyinde jeodezik yada normal kesit erisinin uzunluk deeri olmaktadr. Buna karlk gelen projeksiyon yzeyindeki s uzunluu ise;

ds = s S 0 =

s (Yi 2 + YiYk + Yk2 ) 2 6R

projeksiyona indirgeme dzeltmesi hesaplandktan sonra,

s = S 0 + ds

bantsndan hesaplanabilir.

Bu durumda; yeryznde A ve B noktalar arasnda EDM aletleri kullanlarak llen bir D uzunluunun projeksiyona indirgenmesinde, yukarda yaplan indirgeme ilemlerine ek olarak bir de projeksiyon yzeyine indirgeme ilemi yaplr. Bylece, sz edilen ilem admlar izlenerek, llen uzunluklarn projeksiyon yzeyine indirgemesi gerekletirilmi olur.