ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 1.1 Κεφάλαιο 1ο εκπαιδευτικός οργανισμός...

εκπαιδευτικός οργανισμός

δ.τσιαρας και σια ε.ε.

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

α (β+γ)=α β+α γ. . .

∆=δ π+υ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑα +β<0x

Τα μαθηματικά είναι μια αλυσίδα. Για να προχωρήσουμε στην ύλη της Γ΄ Γυμνα-σίου θα πρέπει να γνωρίζουμε πλήρως την ύλη της Β΄ Γυμνασίου.

Επειδή όμως αυτό δεν είναι εφικτό, για να καλύψετε τυχόν κενά, σας παραπέ-μπουμε στο ένθετο τεύχος μας όπου θα βρείτε όλη τη θεωρία της Β΄ Γυμνασίου με παραδείγματα.

Παρακάτω θα βρείτε συνοπτικά τη θεωρία που μας είναι απαραίτητη για να προ-χωρήσουμε στη λύση των ασκήσεων της παραγράφου.

Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις - συμπληρώσεις )

1.1

Κεφάλαιο 1ο



4

Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις. Π.χ. 3,65, 3 , -7. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε με

.

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί με τη μορφή κλάσματος κ

λ , όπου

κ, λ ακέραιοι αριθμοί και λ ≠ 0. Το σύνολο των ρητών αριθμών το συμβολίζουμε με

. Π.χ. 36 = 6 = 6

1, 10

8

− , 7,5=75

100

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Π.χ. 4,363636......,π, 5 .

Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με σημεία πάνω σε έναν άξονα.

Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ίση με την

απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, απο την αρχή του άξονα.

Ισχύει ότι |0| = 0.

Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.

Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετος του.

Πρόσθεση Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες

τιμές τους και στο άθροισμα αυτό βάζουμε το πρόσημό τους.

π.χ. ( ) ( ) ( )-7 + -5 = - 7 + 5 = -12

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Αν η διαφορά των απόλυτων αριθμών είναι μηδέν, τότε και το άθροισμα είναι μηδέν.

π.χ. (-13) + (+5)= -(13 -5) = -8, (-6) + (+6) =0

Α.




5

Ιδιότητες της πρόσθεσης

α + 0 = α

α + (-α) = 0

α + β = β + α (αντιμεταθετική ιδιότητα)

(α + β) + γ = α + (β+γ), (προσεταιριστική ιδιότητα)

Με τη βοήθεια των παραπάνω ιδιοτήτων μπορούμε να βρίσκουμε το άθροισμα πολ-λών προσθετέων.

Αφαίρεση

• Είναι γνωστό ότι διαφορά του αριθμού β από τον αριθμό α είναι ένας αριθμός γ, που όταν τον προσθέσουμε στον β να προκύπτει το α.

Δηλαδή α - β = γ, όταν α = β + γ

• Η διαφορά του β από τον α βρίσκεται, αν στον α προσθέσουμε τον αντίθετό του β.

Δηλαδή α - β = α + (-β) π.χ. (+3) -(-5) = (+3) + (+5) = +8

• Με τη βοήθεια της αφαίρεσης, λύνονται οι εξισώσεις:

χ + α = β, τότε χ = β – α χ - α = β, τότε χ = α +β

α- χ = β, τότε χ + β = α, οπότε χ = α -β

Απαλοιφή παρενθέσεων

Όταν μία παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσημο) μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέ-χει με τα πρόσημά τους.

π.χ. (-3 -5 +2) + (2 -8 +11)= -3 -5 +2 +2 -8 +11= … = -1

Όταν μία παρένθεση έχει μπροστά της το - , μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το - και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αλλαγμένα πρόσημα.

π.χ. - (3 -5 +2) - (-2 +5 -8)= -3 +5 -2 +2 -5 +8 =…=5

Πολλαπλασιασμός Για να πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς θα εργαζόμαστε ως εξής:

α) Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών, δηλαδή τους αριθ-μούς χωρίς πρόσημα.




6

β) Στο αποτέλεσμα (το γινόμενό τους) θα βάζουμε ένα πρόσημο (+) ή (-) με βάση τον επόμενο κανόνα.

1. (+) επί (+) μας δίνει (+). Δηλαδή όταν και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί το γινό-μενό τους θα είναι θετικός αριθμός.

2. (-) επί (-) μας δίνει (+). Δηλαδή όταν και οι δύο αριθμοί είναι αρνητικοί το γι-νόμενό τους θα είναι θετικός αριθμός.

3. (+) επί (-) μας δίνει (-). Όταν ο ένας αριθμός είναι θετικός και ο άλλος είναι αρνητικός τότε το γινόμενό τους θα είναι αρνητικός αριθμός.

4. (-) επί (+) μας δίνει (-). Ισχύει ό,τι και στην περίπτωση 3.

(+) ⋅ (+) = (+) (+) ⋅ (–) = (–)

(–) ⋅ (–) = (+) (–) ⋅ (+) = (–)

• Δεν πρέπει να μπερδεύουμε την πρόσθεση ή την αφαίρεση δύο αριθμών με

τον πολλαπλασιασμό.

• Από τους τέσσερις κανόνες για τον «πολλαπλασιασμό» των προσήμων, προ-

κύπτουν οι παρακάτω κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

α) Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν ρητό αριθμό (είτε θετικό

είτε αρνητικό) με το μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν: Π.χ. (-2) ⋅ 0 = 0⋅(-2) = 0, 0 ⋅ (+3) = (+3) ⋅ 0 = 0, 2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0

β) Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν ρητό αριθμό με το +1 το

αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος ο αριθμός:

Π.χ. (-4) ⋅ 1 = 1 ⋅ (-4) = -4

γ) Με όποια σειρά και να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητούς α-

ριθμούς το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Αυτή είναι η αντιμετα-

θετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Π.χ. (-2) (+3)=(+3) ⋅ (-2)=-6

α ⋅ β = β ⋅ α

α ⋅1=1 ⋅ α=α

α⋅ 0=0 ⋅ α=0




7

δ) Επίσης ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλα-

πλασιασμού

Π.χ. [3 ⋅ (-2)] ⋅ (-1)=3 ⋅ [(-2) ⋅ (-1)]

ε) Δύο ρητοί αριθμοί που έχουν γινόμενο +1 λέγονται αντί-

στροφοι

Π.χ. Ο αντίστροφος του +2 είναι ο 21

+ αφού : ( ) 122

21

12

212 ==⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅+

στ) Η ιδιότητα που συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρό-

σθεση ρητών αριθμών είναι η επιμεριστική ιδιότητα του

πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

π.χ. ( )3 2 1 3 2 3 1 6 3 9+ = ⋅ + ⋅ = + = ή 3(2 1) 3 (3) 3 3 9+ = ⋅ = ⋅ =

Διαίρεση

Ανάλογη με τη σχέση που έχει η αφαίρεση προς την πρόσθεση, είναι και η σχέση της διαίρεσης προς τον πολλαπλασιασμό.

Έχουμε λοιπόν, τα παρακάτω «ζευγάρια».

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΙΡΕ-ΣΗ

Έτσι για να διαιρέσουμε δύο ρητούς:

α) Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα)

β) Βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμενοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στον πολλα-πλασιασμό (αντί «επί» έχουμε τη λέξη διά»). Έτσι :

(+) δια (+) = (+) (+) δια (–) = (–)

(–) δια (–) = (+) (–) δια (+) = (–)

Δηλαδή αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι δίνουν (+) ενώ αν είναι ετερόσημοι δίνουν (-)

α⋅(β + γ) =α⋅β + α⋅γ ή α⋅β + α⋅γ= α⋅ (β +γ)

α ⋅ β =β ⋅ α=1

(α⋅β) ⋅ γ = α ⋅(β ⋅γ)




8

Η διαίρεση του α δια του β συμβολίζεται με «:» ή με « », δηλαδή αν β· χ = α, τότε:

α: β=χ ή χβ=

a. Ο α λέγεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης και ο χ πηλίκο.

∆ιαίρεση δια του μηδενός (0) δεν έχει νόημα. Γι΄ αυτό σε

κάθε κλάσμα ο παρoνομαστής πρέπει να είναι διαφορετι-

κός του 0.

Ιδιότητες της διαίρεσης

1) Η διαίρεση ενός αριθμού α (διάφορου του 0) με τον εαυτό

του δίνει πηλίκο 1.

2) Η διαίρεση ενός αριθμού α με το 1 δίνει τον ίδιο αριθμό α,

ενώ η διαίρεσή του με το –1 δίνει τον αντίθετο του α, τον –

α.

3) Η διαίρεση του 0 (μηδέν) με έναν αριθμό α (διάφορο από

το 0) δίνει 0.

0 : α = 0

α : 1 = -α ή α =α1

α : -1= -α ή α = - α-1

α : α = 1 ή α = 1α

Διαίρεση του ρητού α δια του ρητού β ονομάζεται η πράξη κατά την

οποία βρίσκεται ένας ρητός, έστω χ, ο οποίος πολλαπλασιαζόμε-

νος με τον β μας δίνει τον α.

Προσοχή




9

Να υπολογιστεί το άθροισμα Α = (-2) + (-5) + (+11) + (+5) + (-7)

1ος τρόπος 2ος τρόπος

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Α = (-2) + -5 11 5 7

7 11 5 7

4 5 7

9 72

+ + + + + −

= − + + + + + −

= + + + + −

= + + −

= +

( ) ( )Α= -2 + -5 ( )+ +11 + (+5) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

+ -7

= -2 + 11 + -7

= +11 + -2 + -7

= +11 + -9=+2

3ος τρόπος

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Α = -2 + -5 + +11 + +5 + -7

= -2 - 5 +11+ 5 - 7= -2 +11- 7=11- 2 - 7=11- 9= 2

(παραλείπουμε τις παρενθέσεις) (Διαγράφουμε τους αντίθετους όρους) (Χωρίζουμε θετικούς και αρνητικούς) (Προσθέτουμε χωριστά θετικούς, χωρι-στά αρνητικούς)

Να βρείτε το γινόμενο 3⋅(6-7)

3⋅(6-7)=3⋅6-3⋅7=18-21.

Εδώ έχουμε αφαίρεση, θα την μετατρέψουμε σε πρόσθεση.

18-21=18+(-21)=-(21-18)=-3

Άρα 3⋅(6-7)=-3 ή 3⋅(6-7)=3⋅(-1)=(+3) ⋅(-1) = -3⋅1 = -3

Να βρεθούν τα πηλίκα : i) α : α ii) α : 1 iii) α : (-1) και iv) 0 : α

3

2

1




10

i) Όπως γνωρίζουμε η διαίρεση ενός αριθμού με τον εαυτό του μας δίνει πηλίκο 1,

έτσι α : α =1.

ii) Η διαίρεση ενός αριθμού με τη μονάδα μας δίνει τον ίδιο αριθμό, οπότε α : 1 = α.

iii) Eδώ έχουμε τη διαίρεση του α με το –1. Αφού α:1= α θα είναι α:(-1)=-α

iv) Όπως ισχύει και στον πολλαπλασιασμό, η διαίρεση του μηδενός με έναν αριθμό

(διάφορο του μηδενός) δίνει πηλίκο 0, έτσι 0:α=0




11

Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς;

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη

απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του

αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Αν η διαφορά των απόλυτων

αριθμών είναι μηδέν, τότε και το άθροισμα είναι μηδέν.

Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς;

Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών, δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα και στο αποτέλεσμα (το γινόμενό τους) θα βάζουμε ένα πρόσημο (+) ή (-) με βάση τον επόμενο κανόνα.

Πώς διαιρούμε δύο ρητούς;

∆ιαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα)

β)Βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμενοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στον πολλα-πλασιασμό (αντί «επί» έχουμε τη λέξη διά»).

Η διαίρεση του 0 με έναν αριθμό α τι αποτέλεσμα μας δίνει;

Η διαίρεση του 0 (μηδέν) με έναν αριθμό α (διάφορο από το 0) δίνει 0.

2x + 532

+ 15 47

15x 45

2x+(6-3): 12 5 +




12

Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Πρόσθεση ρητών αριθμών

1ο βήμα Εξετάζουμε αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι.

2ο βήμα Εάν οι αριθμοί είναι ομόσημοι (δηλαδή και οι δύο θετικοί ή και οι δύο

αρνητικοί) προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε

το κοινό πρόσημο των αριθμών.

Εάν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή αφαιρούμε

την μικρότερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο που είχε η μεγαλύτερη

απόλυτη τιμή.

• Όταν προσθέτουμε περισσότερους από δύο ρητούς αριθμούς:

1ο βήμα Εάν υπάρχουν αντίθετοι αριθμοί τους διαγράφουμε.

2ο βήμα Χωρίζουμε τους αριθμούς σε θετικούς και αρνητικούς.

3ο βήμα προσθέτουμε όλους τους θετικούς και όλους τους αρνητικούς.

4ο βήμα στο τέλος μένουν δύο αριθμοί, ένας θετικός και ένας αρνητικός, τους

οποίους προσθέτουμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα.

Αφαίρεση ρητών αριθμών Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε στην πρώτη κατηγορία είναι η εξής:

1ο βήμα Εντοπίζουμε πού υπάρχουν αφαιρέσεις και τις μετατρέπουμε σε

προσθέσεις αλλάζοντας ταυτόχρονα το πρόσημο του αριθμού που ακολουθεί.

2ο βήμα Βγάζοντας ή όχι τις παρενθέσεις προσθέτουμε όλους τους θετικούς,

όλους τους αρνητικούς και στους δύο αριθμούς που απομένουν κάνουμε μία

αφαίρεση. Όπου χρειάζεται μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες της

πρόσθεσης:




13

Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών 1ο βήμα Θα εξετάζουμε αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Εάν είναι

ομόσημοι το πρόσημο του γινομένου θα είναι (+). Εάν είναι ετερόσημοι το

πρόσημο του γινομένου θα είναι (-). 2ο βήμα Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και στο αποτέλεσμα θα

βάζουμε το πρόσημο που βρήκαμε στο 1ο βήμα. Όταν σε μια παράσταση υπάρχουν πολλαπλασιασμοί, προσθέσεις και αφαιρέσεις θα

ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1ο βήμα Θα κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τα γινόμενα θα τα

γράφουμε μέσα σε παρενθέσεις.

2ο βήμα Έπειτα θα κάνουμε τις προσθέσεις.

3ο βήμα και τέλος θα κάνουμε τις αφαιρέσεις (θα τις μετατρέπουμε σε προ-

σθέσεις) και θα βρίσκουμε το τελικό αποτέλεσμα.

Όταν έχουμε τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα άθροισμα που είναι μέσα σε

παρένθεση θα χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα.

1ο βήμα Θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό του αριθμού με κάθε έναν από

τους όρους του αθροίσματος. 2ο βήμα Θα υπολογίζουμε το άθροισμα κάνοντας πρώτα τις προσθέσεις και

έπειτα τις αφαιρέσεις.

Διαίρεση ρητών αριθμών 1ο βήμα Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών

2ο βήμα: Βρίσκουμε το πρόσημο του αποτελέσματος σύμφωνα με τους κανό-

νες.

Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα εργαζόμαστε ως εξής:

1ο βήμα Αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα (το διαιρέτη).

2ο βήμα Μετατρέπουμε τη διαίρεση σε πολλαπλασιασμό.

Σε κάποιες από τις ασκήσεις θα χρειαστεί να βρούμε τους αντίστροφους και τους αντίθετους ρητών αριθμών.

Για δύο αντίστροφους αριθμούς α και 1αισχύει 1α =1

α⋅

Αντίθετος ενός αριθμού είναι ο ίδιος αριθμός με αλλαγμένο πρόσημο.




14

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

α) ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 1 1 1-3 - - - + 3 - + -2 3 3 2

και β)

1-3 +212 -3

Για να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων ακολουθού-με τα εξής βήματα:

α) 1ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

2ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

3ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις

4ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

β) Έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα.

1ο βήμα: Κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις στον

αριθμητή και τον παρανομαστή αντίστοιχα

2ο βήμα: Βρίσκουμε ένα κλάσμα στον αριθμητή και ένα

στον παρανομαστή

3ο βήμα: Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό

α)

( )31

3 1 3 1 132 3 1 3 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ − − − + − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

( (

Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

( ) 3 1 9 1 132 3 3 3 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − − − + − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Κάνουμε την πρόσθεση

( )3 3 8 1 11 2 3 3 2− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − − − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

1.




15

9 8 12 3 6

⎛ ⎞= + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Βγάζουμε την παρένθεση

3 2 1

9 8 12 3 6

= + − +( ( (

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα

= 27 16 16 6 6

+ − + Κάνουμε την πρόσθεση

11 16 6

= + + Κάνουμε την πρόσθεση

126

= Κάνουμε την απλοποίηση

=2

β) 2 1

3 1

3 11 2

2 11 3

− +

−

( (

( (


6 12 2

6 13 3

− +=

−

Κάνουμε την πρόσθεση - αφαίρεση

52

53

−=

Κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό

5 32 5⋅⋅

= − Απλοποιούμε το κλάσμα

32

= −

Για να προσθέσουμε - αφαιρέσουμε κλάσματα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π.

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλα-σιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρανομα-στή με παρανομαστή.




16

Αν α + β = -3 και γ + δ = -5, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παρά-

στασης: ( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

δA = - γ - 2α + 2 β -2

Για να βρούμε την αριθμητική τιμή της παράστασης

1ο βήμα: Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

2ο βήμα: Εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα

3ο βήμα: Εφαρμόζουμε και πάλι την επιμεριστική ώστε να

προκύψουν τα γνωστά αθροίσματα.

4ο βήμα: Κάνουμε αντικατάσταση

5ο βήμα: Κάνουμε τις πράξεις

Α ( ) δ= - γ - 2α + +2 β -2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

2= -γ + 2α + 3β - δ2

Κάνουμε την απλοποίηση

= -γ +2α +2β -δ Εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα

=2α +2β -γ -δ Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

= 2 (α+β) - (γ + δ) Αντικαθιστούμε τα γνωστά αθροίσματα:

όπου (α+β) = -3 και (γ+δ) = -5

= 2 (-3) - (-5) Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

= -6 +5 Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

= -1 Κάνουμε τις πράξεις

2.




17

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας «x» στην κα-τάλληλη θέση.

-3 12

6 0,3 -0,8 3 16 3,14 π 227

Ακέραιος

Ρητός

Άρρητος

Το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το σύνολο που

περιέχει τους φυσικούς αριθμούς και τους αρνητικούς α-ριθμούς, που προκύπτουν από τους φυσικούς με την προ-σθήκη του συμβόλου «-».

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη

μορφή κλάσματος, μν

, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν ≠ 0.

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

• Το -3 είναι ακέραιος αλλά μπορεί να γραφεί και με την μορφή κλά-

σματος ως 3

1− . Άρα είναι και ρητός.

• Το 12

είναι ρητός γιατί έχει τη μορφή κλάσματος.

• Το 6 είναι ακέραιος αλλά μπορεί να γραφεί και με την μορφή κλά-

σματος ως 6

1. Άρα είναι και ρητός.

• Το 0,3 0,3333= είναι ρητός επειδή γράφεται με την μορφή κλάσμα-

τος ως 1

3, το οποίο ισούται με 0,3333.....

Ερωτήσεις Κατανόησης




18

• Το -0,8 είναι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως 8

10− .

• Το 3 είναι άρρητος επειδή δεν είναι ούτε ρητός αλλά ούτε ακέραι-ος.

• Το 16 είναι ρητός επειδή γράφεται με την μορφή κλάσματος ως

16 = 24 = 4, δηλαδή είναι 4

1. Άρα είναι και ακέραιος εφόσον η

ρίζα του 16 δίνει αποτέλεσμα 4.

• Το 3,14 είναι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως 314

100.

• Το π =3,1415...... έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία και δεν είναι περιοδι-κός, άρα είναι άρρητος.

• Το 227

είναι ρητός, έχει τη μορφή κλάσματος μ

ν

Οπότε ο πίνακας γίνεται:

-3 12

6 0,3 -0,8 3 16 3,14 π 227

Ακέραιος Χ Χ

Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ

Άρρητος Χ Χ

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α) -3 +7= … β) -6 +6 = … γ) -2-9= …

δ) ( ) ⋅ 1-2 = ...3

ε) ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

207

στ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 5- -5 4

ζ) ( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12-6 : -5

η) ( )⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

8 : +4 = ...5

θ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4: + = ...3 3




19

Θα κάνουμε τις πράξεις που δίνονται. Στα κλά-σματα πρέπει να θυμόμαστε ότι:

- Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλα-πλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρα-νομαστή με παρανομαστή.

- Για να διαιρέσουμε κλάσματα, αφήνουμε το πρώτο κλάσμα όπως είναι αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό και αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος.

α) -3 +7 = +4

β) -6 +6 = 0 Οι αριθμοί -6, +6 είναι αντίθετοι. Αντίθετοι είναι οι αριθμοί που δίνουν άθροισμα 0.

γ) -2 -9 = -11 Κάνουμε την πρόσθεση

δ) ( )2 1

1 3−

⋅ = 23− Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

ε) 20 - 07

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Όταν ένας από τους παράγοντες γινομένου είναι 0 τότε το γινό-

μενο είναι 0.

στ) 4 5 20 15 4 20

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Οι αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα λέγονται

αντίστροφοι.

ζ) ( )6 12:1 5− ⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Κάνουμε τη διαίρεση

6 51 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό




20

30 : 612 : 652

= +

= +

η) ( )48 :

5 1+⎛ ⎞− =⎜ ⎟


8 15 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


8 : 420 : 445

= −

= −

θ) ( )4 4:

3 3− ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟


4 33 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


12 :1212 :12

1

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α) (-3 2 - 5) χ= … β) -3 (2 -5χ) = … γ) -3 (2 -5)χ = …

δ) - 2 (χ… …) = … +6 ε) (3+χ) (2 +y) = … στ) 4 (… + …) = 12χ +8




21

Για να συμπληρώσουμε τις ισότητες:

- Θα κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις πα-ρενθέσεις.

- Ενώ όταν μας δίνεται το αποτέλεσμα θα πρέπει να εφαρμόσουμε την επιμεριστική ιδιότητα.

α) ( )3 2 5 x− − ⋅⋅ Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

= (-6 -5) x Κάνουμε την πρόσθεση

= -11x

β) ( )3 2 5x− − Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

= - 6 + 15x

∆εν μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ αριθμών και

μεταβλητών.

γ) -3 (2 -5) x Εφαρμόζουμε την πράξη στην παρένθεση

= -3 (-3) x Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

= 9 x

δ) -2 (x ... ...) = ... + 6 Εφαρμόζουμε την πράξη στην παρένθεση

Θα εφαρμόσουμε την επιμεριστική ιδιότητα για το -2 επί το χ και το αποτέλεσμα θα μπει μετά το ίσον.

Εφόσον το αποτέλεσμα είναι γνωστό και ξέρουμε επίσης ότι πρέπει να πολλα-

Προσοχή




22

πλασιαστεί αυτός ο αριθμός με το -2 έχουμε:

-2 (x -3) = -2x + 6

ε) ( )( )3 x 2 y+ + Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα. Κάθε όρος της παρένθεσης πολλαπλασιάζει και τους δύο όρους της 2ης παρένθεσης

= 6 + 3y +2x + xy

στ) 4 (…+…) = 12x + 8

Εδώ μας δίνεται το αποτέλεσμα.

Επίσης δίνεται ότι το 4 είναι κοινός παράγοντας.

Άρα μέσα στην παρένθεση θα έπρεπε να έχουμε τους αριθμούς αυτούς που έ-χουν πολλαπλασιαστεί με το 4 να μας δώσουν το αποτέλεσμα της άσκησης.

Έχουμε: 4 (3x + 2) = 12x + 8

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι τότε:

α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές

γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα

ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε:

α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν

γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα

i) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, δηλαδή, έχουν άθροισμα μηδέν (0) τότε

β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές.

Δεν είναι δυνατόν για δύο αντίθετους αριθμούς:




23

να είναι ομόσημοι

να έχουν γινόμενο μηδέν

να έχουν γινόμενο τη μονάδα.

ii) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, δηλαδή, έχουν γινόμενο τη μονάδα (1) τότε

δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα.

Δεν είναι δυνατόν για δύο αντίστροφους αριθμούς:

να είναι ετερόσημοι

να έχουν ίσες απόλυτες τιμές

να έχουν άθροισμα μηδέν.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός.

γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθ-μός.

δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί.

α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.

Πράγματι, οι αντίστροφοι είναι ομόσημοι και έχουν γινόμενο τη μονάδα.

β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών δεν είναι πάντα ένας θετικός α-ριθμός. Μπορεί να είναι και αρνητικός.

γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός.

Πράγματι, η απόλυτη τιμή είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παρίστανε ένας αριθμός, από την αρχή ενός άξονα, γι’ αυτό είναι πάντα θετικός αριθμός.

δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και αρνητικό είναι αρνητικοί.

Πράγματι, δύο αριθμοί μπορεί να έχουν γινόμενο θετικό.

Δηλαδή: (-) (-) = +

και άθροισμα αρνητικό (-) + (-) = -.

Σ

Σ

Λ

Σ




24

Να κάνετε τις πράξεις :

α) 2 + 3 4 -12 : (-4) + 1

γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6

β) 2 +3 (4 - 12): (-4 +1)

δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6)

Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις




α) ( )2 3 4 12 : 4 1+ ⋅ − − + Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις

= 2 12 3 1+ + + Κάνουμε τις προσθέσεις

= 14 4+ Κάνουμε την πρόσθεση

= 18

β) ( )2 3 4 12 : 4 1⎛ ⎞⎟⎜+ ⋅ − − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( )2 3 18 : 3+ ⋅ − − Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

1.




25

= 5 Κάνουμε τη διαίρεση

= 2 + 18 Κάνουμε την πρόσθεση

= 20

Σημείωση: Γενικά η ιεραρχία των πράξεων είναι: 1) δυνάμεις, 2) παρενθέσεις, 3) πολλα-πλασιασμοί - διαιρέσεις, 4) πρόσθεση - αφαίρεση

γ) ( ) ( )3 2 5 4 2 6− ⋅ − − + ⋅ − − Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις

= 6 5 8 6+ − − − Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= -13

δ) ( ) ( )8 : 3 5 4 2 6− − + − ⋅ − + Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( )8 : 2 4 4− + − ⋅ + Κάνουμε πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις

= -4 -16 Κάνουμε την πρόσθεση

= -20

Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον.

( ) ( ) ( ) ( )- 5 - 4 - +2 + -6 + 4 - -7 =

( ) ( )4 - -2 + 6 - 3 + -9 + 6 =

( ) ( ) ( )⋅14 + -6 + 5 - 3 - -4 - 1 -2 =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅-3 -2 + 4 - +5 - -1 : -1 =

2.




26

Για να βρούμε το έτος που σχηματίζεται από τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραστάσεων αρκεί να ακολουθήσουμε τα εξής βήματα:





α) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 2 6 4 7− − − + + − + − − Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 7− − + + − − − Απαλοιφή παρενθέσεων

= 1 2 2 7− − − + Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= -3 +5 Κάνουμε την αφαίρεση

= 2

β) 4 2 6 3 9 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− − + − + − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( )4 4 3 3− + − + − Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( )4 1 3− + + − Απαλοιφή παρενθέσεων

= 4 1 3− − Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 3 -3 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 0

γ) ( ) ( )14 6 5 3 4 1 2⎛ ⎞⎟⎜+ − + − − − − ⋅ −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( ) ( )14 1 3 5 2+ − ⋅ − − ⋅ − Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις




27

= ( ) ( ) ( )14 4 5 2+ − − − ⋅ − Πολλαπλασιασμός

= ( ) ( )14 4 10+ − − + Απαλοιφή παρενθέσεων

= 14 4 10− − Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 10-10 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 0

δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 5 1 : 1− ⋅ − + − + − − − Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέ-σεις

= ( ) ( )6 4 5 1+ + − + − + Απαλοιφή παρενθέσεων

= 6 4 5 1+ + − − Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= +10 -6 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 4

Έτσι έχουμε το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον.

( ) ( ) ( ) ( )- 5 - 4 - +2 + -6 + 4 - -7 =

( ) ( )4 - -2 + 6 - 3 + -9 + 6 =

( ) ( ) ( )⋅14 + -6 + 5 - 3 - -4 - 1 -2 =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅-3 -2 + 4 - +5 - -1 : -1 =

2

0

0

4




28

Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση 0, κινήθηκε πάνω στον άξονα x΄x προς τα αριστερά στη θέση Β και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ = 5km, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο με-τακινήθηκε από την αρχική του θέση.

Για να βρούμε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο θα μετρήσουμε κατά απόλυτη τιμή πόσο διάστημα ίσο με ΟΑ έκανε συνολικά. Εφόσον το ΟΑ =5km, για να βρούμε τα συνολικά χιλιόμετρα, θα τα πολλαπλασιάσουμε με το 5.

Για να βρούμε πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση θα υπολογίσουμε την απόσταση ΟΓ.

Για να βρούμε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο, μετράμε τα διαστήματα από το Ο προς το Β και έπειτα από το Β στο Γ.

Έχουμε:

Απόσταση κατά απόλυτη τιμή ΟΒ = 4 διαστήματα

ΒΟ = 4 διαστήματα

και ΟΓ =5 διαστήματα

Δηλαδή προσθέτουμε την απόσταση ΟΒ για να πάει στο Β την απόσταση ΒΟ για να γυρίσει ξανά στο Ο και τέλος το ΟΓ για να βρεθεί στο Γ.

Έχουμε: 4

4

+5

13 διαστήματα συνολικά διήνυσε

Άλλα κάθε απόσταση που είναι ίση με ΟΑ ισούται με 5Km.

3.




29

Οπότε πολλαπλασιάζουμε το 5 επί τα 13 Km που διήνυσε συνολικά.

Έχουμε: 13 5 Km =65 Km

Άρα διήνυσε συνολικά 65Km.

Για να βρούμε πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση θα υπολογίσουμε μόνο την απόσταση ΟΓ.

Δηλαδή έχουμε: Απόσταση ΟΓ = 5 διαστήματα

Πολλαπλασιάζουμε και πάλι το 5 με τα 5Km που είναι κάθε διάστημα, για να βρούμε τα χιλιόμετρα από την αρχική του θέση.

Είναι: 5 διαστήματα 5 Km = 25Km

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) 2 1 1 13 4 2 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

β) 1 3 5 1 5 113 2 6 2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ) 1 2 1 25 52 3 2 3

⎛ ⎞− ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

δ) 7 1 4 3 2 21 :2 2 5 5 5 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Για να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσε-ων ακολουθούμε τα εξής βήματα:





α) 2 1 1 13 4 2 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


3 64 1

2 1 1 13 4 2 12

= + − −( ( ( (


= 8 3 6 112 12 12 12

+ − − Κάνουμε τις πράξεις

4.




30

= 11 712 12

− Κάνουμε τις πράξεις

= 4 : 412 : 4

= 13

β) 1 3 5 1 5 113 2 6 2 3 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


3 32 1 2 1

1 3 5 1 5 113 2 6 2 3 6

= + − + − + −( ( ( ( ( (


= 2 9 5 3 10 116 6 6 6 6 6

+ − + − + − Κάνουμε τις πράξεις

= 7 2 16 6 6

− + − Κάνουμε τις πράξεις

= 5 16 6

− − Κάνουμε τις πράξεις

= 66

−

= -1

γ) ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( (3 2

1 2 1 25 52 3 2 3


1 2 3 45 52 3 6 6

⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠


= 5 1 2 5 1

1 2 3 1 6⎛ ⎞− ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Κάνουμε πολλαπλασιασμούς – διαιρέσεις

=

3 2 1

5 2 52 3 6

− − +( ( (

Κάνουμε τις πράξεις

= 15 4 56 6 6

− − + Κάνουμε τις πράξεις




31

= 19 56 6

− +

= 14 : 26 : 2

= 73

−

δ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 3 5132 231 7 1 4 3 2 2:1 2 2 5 5 5 3

( ( ( (

Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρεν-

θέσεις

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 7 5 8 3 6 10:2 2 10 10 5 15 15

Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρεν-

θέσεις

= 2 9 5 3 10 116 6 6 6 6 6

+ − + − + − Κάνουμε πολλαπλασιασμούς – διαιρέ-

σεις

= 5 3 3 4:

2 10 5 15⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


= 15 3 1520 5 4

⎛ ⎞+ − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠


= 15 4520 20

+ −

= 3020

−

= 32

−

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α)

1 2- + - 12 3

1 13 - +6 2

β) ⋅

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

1-2 3 -41-2 3 -4

γ)

1-3 -3-7 + 1-2 +3

5.




32

Για να υπολογίσουμε τις παραστάσεις, θα ακολουθή-σουμε τα εξής βήματα και στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Έπειτα θα έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα το οποίο θα κάνουμε απλό.

α) 3 62

6 31

1 2 12 3 1

3 1 11 6 2

− + −

− +

( ( (

( ( (


3 4 66 6 6

18 1 36 6 6

− + −=

− +


=

1 66 6

17 36 6

+ −

+


=

56

206

−


= 30 : 30120 : 30

− Κάνουμε απλοποίηση

= 14

−

β)

4 1

12 34

3 121 4

− ⋅ −

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( (


Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση

− −=

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

164

12 124 4





33

=

4 1

6 11 4

2 111 4

− −=− ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( (



=

24 14 4

224

− −

−


=

254

224

−

−


= 25 4⋅−

22 4⋅

Κάνουμε απλοποίηση

= 2522

γ) 3 1

3 1

3 11 372 1

1 3

− −− +

−+

( (

( (


9 13 376 13 3

− −= − +

− +


=

103753

−= − +

−


= − +7 30 :151 15 :15

Κάνουμε απλοποίηση

= 271

− + Κάνουμε τις πράξεις

= 7 2− + Κάνουμε τις πράξεις

= 5−




34

Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήταν:

1, -3, 0, 2, 1, -2, -5, 0, - 3, -1

Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυ-τό.

Για να βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό θα κάνουμε:

Πρόσθεση όλες τις θερμοκρασίες

Το άθροισμα των θερμοκρασιών θα το διαιρέ-σουμε με το 10, που είναι οι θερμοκρασίες.

Για να βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία:

Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 0 2 1 2 5 0 3 11 3 0 2 1 2 5 0 3 1

2

+ − + + + + − + − + + − + −

= − + + + − − + − −

= − 2+ 1 5 4

6 410

− − −

= − −= −

Διαιρούμε το -10 με το άθροισμα των θερμοκρασιών το 10.

Έχουμε: 10 110−

= − Άρα η μέση θερμοκρασία είναι: -1.

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή - ).

α) 12 … 5 … 20 = - 3 β) -8... 9... 1 = 0

γ) 5 3 10... ... = 34 4 4

δ) -0,35 ... 6,15 ... 8,50 = 2

7.

6.




35

Για να συμπληρώσουμε τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο (+) ή (-)

θα δούμε τα αποτελέσματα των πράξεων. Αυτά θα μας οδηγήσουν στα κατάλληλα σύμβολα.

α) 12 + 5 - 20 = - 3 Πράγματι είναι: 12 5 20 17 20 3+ − = − = −

β) -8 + 9 - 1 = 0 Πράγματι είναι: 8 9 1 1 1 0− + − = + − =

γ) 5 3 10 34 4 4

=- + Πράγματι είναι: 5 3 2 10 1210 34 4 4 4 4− + = + = =

δ) -0,35 - 6,15 + 8,50 = 2 Πράγματι είναι: 0,35 6,15 8,50 6,5 8,50 2− − + = − + = +

Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:

α) 8 – (α – β) + (α – 5 –β) = 3

β) 2 – (α + β – γ) – (4 + γ –β) – (-2 – α) = 0

γ) -2 (α – 3) + α (-7 +9) -3 (+2) = 0

Για να αποδείξουμε τις ισότητες πρέπει:

Να κάνουμε τις πράξεις στο α΄ μέλος της ισότητας και το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι το αποτέλε-σμα που δίνεται στο β΄ μέλος της ισότητας.

α) ( ) ( )8 α β α 5 β 3− − + − − = Παίρνουμε το α΄ μέρος

( ) ( )8 α β α 5 β= − + − − Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

8 α= − β+ α+ 5 β− − Σβήνουμε τους αντίθετους

8.




36

=8 5− Κάνουμε τις πράξεις

=3

β) ( ) ( ) ( )2 α β γ 4 γ β 2 α 0− + − − + − − − − = Παίρνουμε το α΄ μέρος

( ) ( ) ( )2 α β γ 4 γ β 2 α= − + + − − + − − − − Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

2 α= − β− γ+ 4 γ− − β+ 2 α+ + Σβήνουμε τους αντίθετους

= 2 4 2− + Κάνουμε τις πράξεις

= -2 +2

= 0

γ) ( ) ( ) ( )2 α 3 α 7 9 3 2 0− ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ + = Παίρνουμε το α΄ μέρος

( ) ( ) ( )2 α 3 α 7 9 3 2= ⋅ − + ⋅ − + − + Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

= 6 6+ − + −-2α 7α 9α Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

= 2α 7α 9α 6− − + + 6− Σβήνουμε τους αντίθετους

= -9α + 9α Κάνουμε τις πράξεις

= 0

Αν x + y = -5 και ω + φ = -7 να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Α = 4 – (x – ω) – (y – φ) Β= - (-5 –x + φ) + (-8 + y) – (ω- 4)

Για να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων θα αντικαταστήσουμε όπου

x +y = - 5 και ω + φ =-7

Α = ( ) ( )4 x ω y φ− − − − Απαλοιφή παρενθέσεων

9.




37

= 4 – x + ω –y + φ Βάζουμε μαζί τα γνωστά αθροίσματα

= 4 – (x + y) + (ω+φ) Αντικαθιστούμε τα αθροίσματα

= 4 – (-5) + (-7) Κάνουμε τις πράξεις

= 4 5 7+ − Κάνουμε τις πράξεις

=9 – 7 Κάνουμε τις πράξεις

=2

Β = ( ) ( ) ( )5 x φ 8 y ω 4− − − + + − + − − Απαλοιφή παρενθέσεων

= + 5 + x – φ – 8 + y – ω + 4 Βάζουμε μαζί τα γνωστά αθροίσματα

= ( ) ( )5 8 4 x y ω φ+ − + + + − + Αντικαθιστούμε τα αθροίσματα

= - 3 + 4 + (-5) - (-7) Κάνουμε τις πράξεις

= 3 4 5 7− + − + Κάνουμε τις πράξεις

=1+2 Κάνουμε τις πράξεις

=3

Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογίσετε την παράσταση Α = α – (9 – 2γ) - (15 – β – 2δ) .

Θα υπολογίσουμε την περίμετρο και για τα δύο ορθογώνια. Θα βρούμε έτσι τα (α + β), (γ + δ) τα οποία θα αντικα-ταστήσουμε στην παράσταση.

10




38

• Π = 56 2α + 2β =56 2 (α + β) =56 α + β = 562

α + β =28

Για το άλλο ορθογώνιο έχουμε:

• Π = 32 2γ + 2δ =32 2 (γ + δ) =32 γ + δ = 322

γ + δ =16

Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης αρκεί να κάνουμε τις α-παραίτητες πράξεις για να εμφανιστούν τα αθροίσματα.

α β 28καιγ δ 16

+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩

Α = ( ) ( )α 9 2γ 15 β 2δ− − − − − Απαλοιφή παρενθέσεων

= 9 15− + − + +α 2γ β 2δ Αναγωγή ομοίων όρων

= α β 2 γ δ 9 15⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Αντικατάσταση

=28+ 2 16 -9 -15 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

= 28 32 9 15+ − − Κάνουμε τις πράξεις

=60 - 24 Κάνουμε τις πράξεις

=36

δ

γ

β

α




39

Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς

-7, -6, -5, -3, 1, 2, 4, 5, 9

σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.

+ + =

+ + =

+ + =

Θα κάνουμε τους κατάλληλους συνδυ-ασμούς ώστε και τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.

+ + =

Δηλαδή είναι:

7 5 2 2 2 0− + + = − + =

+ + =


6 4 2 2 2 0− + + = − + =

+ + =


6 1 5 5 5 0− + + = − + =

Όλα τα αθροίσματα όλων των αριθμών είναι μηδέν (0).

5 1 0-6

2 4 0-6

2 5 0-7

11




40

Λυμένες ασκήσεις

εκτός βιβλίου

1. Να υπολογιστούν τα γινόμενα:

α) Α= ( ) ( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1-4 - +3 - -5 22 5

β) Β= ( ) ( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1-3 2 4 -6 - - -63 9

Ελέγχουμε το πλήθος των αρνητικών παραγό-ντων και κάνουμε τις πράξεις. Αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιος αριθ-μός, βάζουμε το πρόσημο (+) και πολλαπλασιά-ζουμε τους όρους. Αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττός αριθμός βάζουμε το πρόσημο (-) και πολλαπλασιάζουμε τους όρους.

α) Α=( ) ( ) ( )1 1-4 - +3 - -5 2

2 5⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

1 1= + 4 3 5 2 =2 5

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1= + 4 3 2 5 =2 5

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Αλλάξαμε τη σειρά των αριθμών

=2 5+ 4 3 =2 5

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(είναι : 22

=1 και 55

=1)

= +(4⋅3⋅1⋅1)= +12 = 12

β) Β= (-3) ⋅2 ⋅4 (-6) 1 13 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(-6) =

1 1= - 3 2 4 6 6 =3 9

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 1- 3 2 4 6 63 9

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι 4, άρτιο

Γράφουμε μπροστά το (-) και πολ-λαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές

(είναι : 313⋅ =

33

=1)

Το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι 5, περιττό




41

= 1- 1 2 4 6 69

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

1 288- 288 = - = -329 9

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των αριθμών

9, -15, -0,25, 1 3 2, - , - 32 5 5

.

Για να δημιουργήσουμε αντίστροφους και αντί-θετους αριθμούς πρέπει να γνωρίζουμε τις ε-ξής έννοιες:

Αντίστροφοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα. Αντίθετοι λέγονται οι α-

ριθμοί που έχουν άθροισμα 0.

Λύση

Ο αντίστροφος του 9 είναι ο 91

και ο αντίθετος ο –9.

Ο αντίστροφος του -15 είναι ο 151

− και ο αντίθετος ο 15.

Ο αντίστροφος του –0.25 είναι ο 425.01

−=− και ο αντίθετος ο 0.25.

Ο αντίστροφος του 21

είναι ο 2 και ο αντίθετος ο 21

− .


− είναι ο 35

− και ο αντίθετος ο 53

+ .

Μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα: 2 3 5 2 1735 5 5

⋅ +− = − = − .


− είναι ο 517

− και ο αντίθετος ο 175

.




42

Να βρείτε τα αποτελέσματα

α) – 84 + 75 – (-36)

β) – 40 – (-22) + (-54) -69

Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης Α = (+16 – 8 + 3) + (-4 + 7) – (-2 +0)

Να υπολογισθεί το γινόμενο:

α) Α = α (α + 1) (α -1)

β) Β= 2α (3α + 1) (-4α +1) (2α-1) όταν α =-2

Να γίνουν οι πράξεις

2 4 22 2Α5 3 15 15−⎛ ⎞⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

( )1 5 1 6 1 3Α : 4 :3 2 7 7 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ − + + ⋅ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.

4.

3.

2.

1.




43

α) 27

β) -141

Α =16

Α =-6

Β =-900

=

96Α15

=

21Α24

5.

4.

3.

2.

1.

Απαντήσεις στις άλυτες ασκήσεις




44

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Αν έχουμε ένα γινόμενο της μορφής (-2)⋅ (-2)⋅ (-2)⋅ (-2) όπου κάθε παράγοντας είναι –2 (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε να το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-2)4.

Αυτός ο συμβολισμός λέγεται δύναμη του –2.

Πιο συγκεκριμένα ο παράγοντας που επαναλαμβάνεται (εδώ –2) λέγεται βάση.

Ενώ ο αριθμός των επαναλήψεων λέγεται εκθέτης.

Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα το –2 είναι βάση και το 4 εκθέτης, (ο εκθέτης δηλώνει τον αριθμό των παραγόντων. Εδώ έχουμε 4 φορές το –2).

Δηλαδή (-2)⋅ (-2)⋅ (-2)⋅ (-2) = (-2)4

Π.χ. ο αριθμός (+3)4, που διαβάζεται δύναμη με βάση +3 και εκθέτη 4, σημαίνει ότι έχουμε ένα γινόμενο με (μοναδικό) παράγοντα το +3 (η βάση) που επαναλαμ-βάνεται 4 φορές (ο εκθέτης δηλώνει τον αριθμό των παραγόντων. Εδώ έχουμε 4 φορές το –2).

Δηλαδή (+3)4 = (+3)⋅ (+3)⋅ (+3) ⋅ (+3)

Η δύναμη αν διαβάζεται νιοστή δύναμη του α ή α στη νιοστή.

Όταν ν = 1, τότε α1 = α

Όταν ν = 2, τότε α2 = α⋅α (α στο τετράγωνο ή το τετράγωνο του α)

Όταν ν = 3, τότε α3 = α⋅α⋅α (α στον κύβο ή κύβος του α)

Είναι 0ν = 0 και 1ν = 1

Το γινόμενο ν παραγόντων (όπου ν φυσικός αριθμός) ίσων

με τον ρητό α ονομάζεται δύναμη με βάση το α και εκθέτη

το ν. Συμβολίζεται αν, δηλαδή

αν = α⋅ α⋅ α⋅ α⋅ α⋅ ………… ⋅ α, ν, φυσικός (ν≠0)

ν - παράγοντες

Β.

4 φορές ο παράγοντας (-2)




45

Όταν ν ν = 0, τότε α0 = 1 για α ≠ 0

1) ∆εν θα πολλαπλασιάζετε ΠΟΤΕ τη βάση με τον εκθέτη, όταν υπολογίζετε μία

δύναμη. Είναι το πιο συνηθισμένο λάθος των μαθητών, να πολλαπλασιάζουν

βάση με εκθέτη. ∆ηλαδή δεν ισχύει αν = α ⋅ ν (είναι λάθος).

Π.χ. (-4)2. Είναι ίσο με (-4)⋅(-4) = +16 και όχι ίσο με (-4)⋅2 = -8.

Προσέξτε τη γραφή -42.

2) Εδώ η βάση είναι το 4 και όχι το –4. ∆ηλαδή –42 = -(4)2 = -(4⋅4) = -16.

Όταν υψώνουμε έναν αρνητικό αριθμό σε μια δύναμη θα πρέπει να τον βάζου-

με απαραίτητα μέσα σε παρένθεση.

Όπως στις άλλες πράξεις έτσι και στην περίπτωση των δυνάμεων υπάρχουν κάποιοι κανόνες για τον υπολογισμό των προσήμων:

α) Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός

β) Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο (2,4,6 κλπ) είναι θετικός αριθμός.

γ) Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό (3,5,7 κλπ) είναι αρνητι-κός αριθμός..

Δηλαδή: αν>0, αν α>0 και ν φυσικός

αν>0, αν α<0 και ν άρτιος

αν<0, αν α<0 και ν περιττός

Γιατί όμως συμβαίνει αυτό;

Όπως είδαμε η δύναμη είναι πολλαπλασιασμός της βάσης, τόσες φορές όσες είναι ο εκθέτης. Αν ο εκθέτης είναι άρτιος τότε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων (που εδώ είναι ο ίδιος αριθμός) είναι άρτιο.

Αν ο εκθέτης είναι περιττός αριθμός τότε το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό.

Π.χ. (-2)3 = (-2)⋅(-2)⋅(-2). Οι αρνητικοί παράγοντες είναι τρεις.

(-3)4 = (-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3). Οι αρνητικοί παράγοντες είναι τέσσερις.

Προσοχή




46

Ιδιότητες των δυνάμεων

1) αμ ⋅ αν = αμ+ν

Το γινόμενο των δυνάμεων είναι ίσο με μία δύναμη που έχει σαν βάση την κοινή βάση (το α) και εκθέτη ίσο με το άθροισμα των εκθετών των δυνάμε-ων (μ+ν).

Π.χ. 22⋅23 = 22+3 = 25

Θα πρέπει οι βάσεις να είναι ίδιες και οι δυνάμεις να πολλαπλασιά-

ζονται. ∆ηλαδή δεν ισχύει η ιδιότητα στις παρακάτω περιπτώσεις:

αν⋅ βμ και αν+ αμ. (Στην πρώτη περίπτωση έχουμε διαφορετικές βά-

σεις ενώ στη δεύτερη έχουμε πρόσθεση και όχι πολλαπλασιασμό).

2) μ

ναα

= αμ-ν ή αμ : αν = αμ-ν (με μ>ν)

Το πηλίκο δύο δυνάμεων με την ίδια βάση άλλα διαφορετικούς εκθέτες εί-ναι ίσο με μία δύναμη που έχει σαν βάση την κοινή βάση και εκθέτη τον εκθέτη της δύναμης που είναι στον αριθμητή μείον τον εκθέτη της δύναμης που είναι στον παρονομαστή.

Π.χ. ( )( )

5

3

22

−

−=(-2)5-3 = (-2)2 .

3) (α⋅β)ν = αν ⋅ βν

Έχουμε μία δύναμη που έχει ως βάση ένα γινόμενο (ρητών αριθμών) το α⋅β και ως εκθέτη το ν. Η δύναμη αυτή ισούται με το γινόμενο δύο δυνάμε-ων αν, βν. Η μία έχει ως βάση τον έναν αριθμό και εκθέτη το ν ενώ η άλλη έχει ως βάση τον άλλο αριθμό και εκθέτη το ν.

Π.χ. (2⋅3)4 = 24⋅34

(2⋅3)4 = (2⋅3)⋅ (2⋅3)⋅ (2⋅3)⋅ (2⋅3) (4 φορές το 2⋅3)

=2⋅3⋅2⋅3⋅2⋅3⋅2⋅3 (Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα)

=2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3 (4 φορές το 2 επί 4 φορές το 3)

= 24⋅34

Προσοχή




47

4) ν ν

να α=β β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Έχουμε μία δύναμη που έχει ως βάση το κλάσμα (το πηλίκο) αβ

και εκθέτη το ν.

Η δύναμη ισούται με το πηλίκο δύο δυνάμεων που η μία έχει ως βάση τον αριθμητή του κλάσματος και εκθέτη το ν (και βρίσκεται στον αριθμητή) ενώ η άλλη έχει ως βάση τον παρονομαστή του κλάσματος και εκθέτη το ν (και βρίσκεται στον παρονομαστή).

Π.χ. 3 3

3

2 23 3

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

32 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3⋅ ⋅⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠

= 3

3

23

5) (αμ)ν = αμ⋅ν

Έχουμε μία δύναμη που έχει ως βάση μια άλλη δύναμη (την αμ) και εκθέτη το ν. Η δύναμη αυτή ισούται με μια δύναμη που έχει ως βάση το α (δηλαδή την βάση της δύναμης αμ) και εκθέτη το γινόμενο μ⋅ν.

Π.χ. (43)2 = 43⋅2 = (43)2 = (43)⋅ (43) = (4⋅4⋅4)⋅ (4⋅4⋅4) =4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4 = 46 = 43⋅2

ΝΝαα υυπποολλοογγιισσττοούύνν οοιι ππααρραακκάάττωω δδυυννάάμμεειιςς::

αα)) ((--22))55 ββ)) ((++33))33 γγ)) ((--66))22 δδ)) --6622 εε)) ++2244

α) (-2)5 = (-2)⋅ (-2)⋅ (-2)⋅ (-2)⋅ (-2) υπάρχουν 5 (περιττός) αρνητικοί παράγοντες άρα

το πρόσημο θα είναι (-).

= -2⋅2⋅2⋅2⋅2 = -4⋅4⋅2 = -16⋅2 = -32

β) (+3)3 = (+3)⋅ (+3)⋅ (+3) = 3⋅3⋅3=27.

γ) (-6)2 = (-6)⋅ (-6) = 6⋅6 = 36. Εδώ βάση είναι το -6

δ) -62 = -(62) =-(6⋅6) = -36. Εδώ βάση είναι το 6

ε) +24 = +2⋅2⋅2⋅2 = +4⋅4 = +16.

1




48

Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών

α) –38 β) –933 γ)12

41⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

Θα βρούμε πρώτα το πρόσημο των δυνάμεων και έπειτα των αριθμών

α) -38 (δύναμη 38)

1ο βήμα Βάση είναι ο αριθμός 3 και εκθέτης ο αριθμός 8.

2ο βήμα Επειδή η βάση είναι θετικός αριθμός η δύναμη θα είναι θετική. 3ο βήμα –38=(-1)·38=-38

Αφού η δύναμη είναι θετική ο αριθμός θα είναι αρνητικός [«(-)·(+)=(-)»]

β) –933 (δύναμη 933)

1ο βήμα Βάση είναι ο αριθμός 9 και εκθέτης το 33.

2ο βήμα Επειδή η βάση είναι θετικός αριθμός η δύναμη θα είναι θετική.

3ο βήμα –933=(-1)·933=-933

ο αριθμός είναι αρνητικός [«(-)·(+)=(-)»]

γ)12

41⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− (δύναμη

12

41⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− )

1ο βήμα Βάση είναι ο αριθμός 41

− και εκθέτης το 12.

2ο βήμα Η δύναμη είναι θετική αφού η βάση είναι αρνητικός αριθμός αλλά ο εκ-θέτης άρτιος.

3ο βήμα 121212

41

41)1(

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

ο αριθμός είναι αρνητικός [«(-)·(+)=(-)»]

2




49

Στον υπολογισμό των δυνάμεων πρέπει πρώτα να ξεχωρίζουμε ποια είναι η βά-ση και ποιος ο εκθέτης, έπειτα θα προχωράμε στον υπολογισμό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων.

1ο βήμα Βρίσκουμε πρώτα ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης.

2ο βήμα Βρίσκουμε το πρόσημο της δύναμης σύμφωνα με τους κανόνες.

Εάν η βάση είναι θετικός αριθμός και ο εκθέτης φυσικός, τότε το πρόσημο είναι θετικό.

Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος, τότε το πρόσημο είναι θετικό.

Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός, τότε το πρόση-μο είναι αρνητικό.

3ο βήμα Αφού βρούμε το πρόσημο, υπολογίζουμε τη δύναμη πολλαπλασιά-ζοντας τη βάση τόσες φορές όσες είναι ο εκθέτης.

Στον υπολογισμό μιας παράστασης εργαζόμαστε ως εξής:

1ο βήμα Υπολογίζουμε πρώτα όλες τις δυνάμεις.

2ο βήμα Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.

3ο βήμα Κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Εάν στην παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις υπολογίζουμε πρώτα αυτές ακο-λουθώντας τα παραπάνω βήματα.

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης ισχύουν μόνο για δυνάμεις

που έχουν την ίδια βάση. Η πρόσθεση και η αφαίρεση των δυνάμεων θα γίνεται,

αφού προηγουμένως τις υπολογίσουμε, έστω και αν έχουν την ίδια βάση.




50


α) ( ) ( )( )

2 3

22

-2 -3

3 2

⋅

⋅ και β) ( ) ( )32 2x x y⋅ ⋅ ⋅

22 3: x y

Για να υπολογίσουμε τις παραστάσεις θα εφαρμόσουμε ό-που είναι απαραίτητο κάθε φορά τις ιδιότητες των δυνάμεων. Είναι:

( )

( )

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

μ ν μ+ν

μ ν μ ν

ν ν ν

ν ν

ν

νμ μ ν

-ν ν

α α = αα :α = α

α β = α β

α α=β β

α = α

α β=β α

α)

( ) ( )( )

2 3

22

2 3

3 2

− ⋅ −

⋅

Το -2 υψώνεται σε ζυγό αριθμό άρα το αποτέλεσμα είναι θετικό.

Υψώνουμε το 3 και το 22 στη δευτέρα.

( )( )

32

22 2

2 3

3 2

⋅ −=

⋅

Βάζουμε το (-) σε όλο τον αριθμητή

Πολλαπλασιάζουμε δύναμη επί δύναμη σύμφωνα με τη δύναμη (αμ-)ν =αμ ν

2 3

2 4

2 33 2− ⋅

=⋅

Βάζουμε μαζί τις ίδιες βάσεις

2 3

4 2

2 32 3

⋅= −

⋅ Ξεχωρίζουμε τα κλάσματα

1.




51

2 3

4 2

2 32 3

= − ⋅ Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων αμ:αν = αμ-ν

= 2 4 3 22 3− −− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις 2

12 31

−

= − ⋅ Την αρνητική δύναμη την κάνουμε θετική αντιστρέφοντας τη βάση

2

1 312

=− ⋅ Πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα

= 2

32

− Εκτελούμε τη δύναμη

= 34

−

β)

( ) ( )3 22 2 2 3x x y : x y⋅ ⋅ ⋅ Τη διαίρεση την κάνουμε κλάσμα

( )( )

32 2

22 3

x xy

x y

⋅=

⋅

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (α β)ν=αν βν

( )( ) ( )

32 3 2

2 22 3

x x y

x y

⋅ ⋅=

⋅

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αμ)ν = αμ ν/

2 3 6x x y⋅ ⋅=

4 6x y⋅

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα αμ αν=αμ+ν

2 3

4

xx

+

= Κάνουμε τις πράξεις

=5

4

xx

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα μ

μ -νν

α= α

α

= 5 4x − Κάνουμε τις πράξεις

= x1

= x




52

Αν x3 y3 = - 3. να υπολογιστεί η παράσταση ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅

2 32 2 3 -1A = x x y x .

Για να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης θα αντικατα-στήσουμε στην παράσταση τη σχέση.

Εφόσον εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων. Δηλαδή όπου είναι x3 y2= -3.

Και έπειτα θα κάνουμε τις αντίστοιχες πράξεις στις ιδιότητες των δυνάμεων.

Α ( ) ( )2 32 2 3 1= x x y x−−⋅ ⋅ ⋅ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (α β)ν=αν βν

( ) ( ) ( )2 2 32 2 3 1= x x y x−−⋅ ⋅ ⋅ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αμ)ν = αμ ν/

= 2 4 6 3x x y x⋅ ⋅ ⋅ Έχουμε μαζί όλα τα x

= 2 4 6 3x x y x⋅ ⋅ ⋅ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα αμ αν=αμ+ν

= 2 4 3 6x y+ + ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 9 6x y⋅ Βγάζουμε κοινό παρανομαστή από τις δυνάμεις το 3

= ( )33 2x y⋅ Κάνουμε αντικατάσταση

=(-3)3 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αμ)ν = αμ ν

= -27


( ) ( ) ( )2 2 2-2 -3 2 3 -2 :⋅ + ⋅ ⋅2A = - 5 5 - 6 ( ) ( ) ( )2B = 2 5 - 3⋅ ⋅ 3+ 2 2 - 4 - 12 : -3

3.

2.




53

Για να υπολογίσουμε τις παραστάσεις ακολουθούμε την εξής σειρά:

Πρώτα γίνονται οι πράξεις στις αγκύλες και τις παρενθέσεις.

Αρχικά υπολογίζονται οι δυνάμεις, στη συνέχεια εκτελούνται οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, τέλος γίνονται οι προσθέ-σεις και οι αφαιρέσεις.

Α ( ) ( ) ( )− ⋅ − + ⋅ − ⋅ − −2 2 2 2= 2 3 2 3 5 2 : 5 6 Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

( )= 4 9 2 9 25 2 : 5 6⋅ + ⋅ − ⋅ − − Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις

= 36 18 50 : 5 6+ + −

=36 18 10 6+ + − Κάνουμε τις προσθέσεις και αφαιρέσεις

= 58

Β ( ) ( ) ( )2 3= 2 5 3 2 2 4 12 : 3⋅ − + ⋅ − − − Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρεν-θέσεις -δυνάμεις

( ) ( ) ( )= 2 5 - 9 2 8 4 12 : 3⋅ + ⋅ − − − Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην παρένθεση

= ( ) ( )10 9 2 8 4 12 : 3− + ⋅ − − Κάνουμε προσθέσεις - αφαιρέσεις μέσα στην παρένθεση

= ( )1 2 4 12 : 3+ ⋅ − − Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις

= 1 8 4+ + Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 9 + 4

=13




54

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α+ α= α4

β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α =α4

γ) Οι αριθμοί (-5)6 και -56 είναι αντίθετοι

δ) Οι αριθμοί

623⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

και 63

2⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

είναι αντίστροφοι

ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει (3α)2 =9α2

στ) Ο αριθμός - (-5)2 είναι θετικός

ζ) Ο αριθμός -3-2 είναι θετικός.

Το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το σύνολο

που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς και τους αρνη-τικούς αριθμούς, που προκύπτουν από τους φυσικούς με την προσθήκη του συμβόλου «-».

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να

πάρει τη μορφή κλάσματος, μν

, όπου μ, ν ακέραιοι α-

ριθμοί και ν ≠ 0.

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

α) Για κάθε αριθμό α δεν ισχύει α + α + α+ α= α4

Αλλά έχουμε: α + α+ α+ α+ =4α

β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α =α4

Άρα σωστό εφόσον αυτός είναι και ο ορισμός της δύναμης Σ

Λ

Ερωτήσεις Κατανόησης




55

γ) Οι αριθμοί (-5)6 και -56 είναι αντίθετοι

Πράγματι έχουμε: (-5)6 = + 56 είναι αντίθετοι και - 56.

Άρα είναι όντως αντίθετοι.

δ) Οι αριθμοί

623⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

και 63

2⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

είναι αντίστροφοι

Πράγματι έχουμε: 8 8

8

2 2 2563 6.5613⎛ ⎞⎟⎜ = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ενώ 8 8

8

3 3 6.5612 2562

⎛ ⎞⎟⎜ = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Όντως είναι αντίστροφοι.

ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει (3α)2 =9α2

Πράγματι, εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (α β)ν = αν βν

Έχουμε: ( )2 2 2 23α 3 α 9 α= ⋅ = ⋅

στ) Ο αριθμός - (-5)2 δεν είναι θετικός.

Η πρόταση είναι λάθος διότι: ( ) ( )25 25 25− − = − + = −

Άρα είναι αρνητικός

ζ) Ο αριθμός -3-2 δεν είναι θετικός.

Η πρόταση είναι λάθος επειδή έχουμε: 2

2

3 1 11 93

−−= − = −

Ο αριθμός θα ήταν θετικός αν η δύναμη με το πρό-σημο ήταν μέσα σε παρένθεση.

Λ

Λ

Σ

Σ

Σ




56

Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) (-1)6…1 β) 3-2…9 γ) -42…-16

δ) -15 2...

2 5⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ε) -2 15 ...125

στ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

02 ...05

ζ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

51 1- ...2 32

η) ( ) ..2 2 27 + 2 .7 + 2

Για να συμπληρώσουμε με το κατάλ-ληλο σύμβολο (=) ή (≠) θα υπολογί-σουμε πρώτα τις δυνάμεις και έπει-τα θα μπορούμε να συγκρίνουμε.

α) (-1)6…1 Υπολογίζουμε τη δύναμη

-(1)6

= -16

= -1

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα (αμ)ν = α μ ν. Εδώ εννοείται μέσα στην παρένθεση το 1.

Άρα είναι -1 ≠ 1

β) 3-2…9 Υπολογίζουμε τη δύναμη 23

1

−

Κάνουμε τη δύναμη θετική

= 2

13

= - 19

Ιδιότητα νν

1αα

− =

Άρα είναι ≠1 99

γ) -42…-16 Υπολογίζουμε τη δύναμη

-42 Το – δεν εξαρτάται από τον εκθέτη.

= -16

Άρα είναι -16 … -16




57

δ) 15 2...

2 5

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Υπολογίζουμε τη δύναμη

152

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Κάνουμε τον εκθέτη θετικό

= 12

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= -1

5

22

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα

ν ν

ν

α αβ β

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 25

Άρα είναι 2 25 5=

ε) 2 15 ...25

−

− Υπολογίζουμε τη δύναμη

251

−


= 2

15

Ιδιότητα -νν1α =α

= - 125

Άρα είναι 1 125 25

≠−

στ) 02 ...0

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


02 15

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Οποιαδήποτε δύναμη υψωμένη στη μηδενική δίνει αποτέλεσμα 1.

Άρα είναι 1 ≠ 0

ζ) 51 1...

2 32⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠





58

512

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα

ν ν

ν

α αβ β

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 5

5

12

− Κάνουμε τις πράξεις

= - 132

Άρα είναι 1 132 32

− ≠

η) ( )2 2 27 2 ...7 2+ +

∆εν ισχύει η ιδιότητα όπως στον πολλαπλασιασμό που εί-

ναι: (α β)ν =αν βν

Εδώ έχουμε πρόσθεση. Είναι λάθος να μπερδεύουμε αυ-

τές τις έννοιες.

Υπολογίζουμε τη δύναμη ( )27 2+ Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

= 29

= -81

Θα κάνουμε τις πράξεις και στο άλλο μέρος

72 + 22 Εκτελούμε τις δυνάμεις

= 49 +4 Κάνουμε τις πράξεις

= 53

Άρα είναι 81 ≠ 53

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

i) Η τιμή της παράστασης -22

3⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

είναι:

Προσοχή




59

α) 4-9

β) 9-4

γ) 94

δ) 49

ii) Η τιμή της παράστασης ( )30-2⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

α) -23 β) -6 γ) 23 δ) 1

iii) Η τιμή της παράστασης 23 + 32 είναι:

α) 55 β) 17 γ) 56 δ) 65

Για να επιλέξουμε τη σωστή απάντηση πρώτα πρέπει σε καθεμία από τις παραστάσεις να υπο-λογίσουμε τις δυνάμεις κι έπειτα θα βρούμε τη σωστή απάντηση.

i) Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

22

3

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


=

232

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Εφαρμόζουμε την Ιδιότητα

ν ν

ν

α αβ β

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2

2

32


= 94

Άρα η σωστή απάντηση είναι το γ) 94

ii) Υπολογίζουμε τη δύναμη

( )302⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ Κάνουμε τη δύναμη στη μηδενική

= 13 Κάνουμε τις πράξεις

= 1

Άρα η σωστή απάντηση είναι το δ) 1




60

iii) Υπολογίζουμε την παράσταση:

23 + 32 Εκτελούμε τις δυνάμεις

= 8+9 Κάνουμε τις πράξεις

= 17

Άρα η σωστή απάντηση είναι το β) 17

Άρα έχουμε:

i) Η τιμή της παράστασης -22

3⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

είναι: α) 4-9

β) 9-4

γ) 94

δ) 49

ii) Η τιμή της παράστασης ( )30-2⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ α) -23 β) -6 γ) 23 δ) 1

iii) Η τιμή της παράστασης 23 + 32 είναι: α) 55 β) 17 γ) 56 δ) 65

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. 14

α. (24)-1 2. -24

β. (2-5)2 21-0 3. 4

γ. (-2)-2 4. 23

δ. (24:23) 22 5. 2-4

6. 1

α β γ δ




61

Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα δηλαδή για να αντιστοιχίσουμε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β. Πρέπει, να υπολογίσουμε την τιμή των παραστάσεων στην Α στήλη ώστε το αποτέλεσμα για την καθεμιά να φαίνεται στη στήλη Β.

α) Υπολογίζουμε τη δύναμη

( ) 142−

Πολλαπλασιάζουμε τις δυνάμεις (αμ)ν =αμ ν

= 2-4 Κάνουμε τις πράξεις

β) Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

( )25 102 2− ⋅ (αμ)ν =αμ ν

= 2-10 210 αμ αν =αμ+ ν

=2-10+10 Κάνουμε τις πράξεις

=20 Κάνουμε τις πράξεις

=1

γ) Υπολογίζουμε τη δύναμη

( ) 221

−−

νν 1α

α− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

212

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


= 14

+

δ) Υπολογίζουμε την παράσταση

( )4 3 22 : 2 2⋅ μ ν μ:να : α α=

= 4 3 22 2− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις




62

= 1 22 2⋅ αμ αν = αμ+ν

=21+2 Κάνουμε τις πράξεις

=23

Οπότε έχουμε:

α β γ δ

5 6 1 4




63

Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη:

α) ⋅-5 82 2 β) 34 : 3-2 γ) 23 53 δ) (5-2)-4

ε) 3-2 (-3)4 στ) ( )6

6

-62

ζ) 42 : 34

η) 27 34 613

Για να γράψουμε καθεμιά από τις παρα-στάσεις ως μία δύναμη θα πρέπει να ε-φαρμόσουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

( )

( )

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

μ ν μ+ν

μ ν μ ν

ν ν ν

ν ν

ν

νμ μ ν

-ν ν


α β = α β

α α=β β

α = α

α β=β α

α) 5 82 2− ⋅ αμ αν =αμ+ν

= 5 82− + = 32+ = 23 Κάνουμε τις πράξεις

β) 4 23 : 3− αμ : αν = (α β)ν

= ( )4 23 − − = 4 23 + = 36 Κάνουμε τις πράξεις

1.




64

γ) 3 32 5⋅ αν βν = (α β)ν

= ( )32 5⋅ = 103 Κάνουμε τις πράξεις

δ) ( ) 425−− (αμ)ν = αμ ν

= ( )2 45− ⋅ − = 5+8 = 58 Κάνουμε τις πράξεις

ε) ( )423 3− ⋅ − Υπολογίζουμε τη δεύτερη δύναμη για να κά-νουμε ίδιες τις βάσεις

= ( )2 43 3− ⋅ + Υψώνεται σε ζυγό εκθέτη, άρα βάση θετική

= 2 43 3− ⋅ αμ αν = αμ+ν

= 3-2+4= 3+2= 32 Κάνουμε τις πράξεις

ζ) α΄ τρόπος

24 : 34 Κάνουμε τις δυνάμεις ίδιες

( )22 24 : 3= (αμ ν)= αμ ν

= 2 24 : 9 αν : βν = (α :β)ν

= ( )24 : 9 =

249

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


ζ) β΄ τρόπος

24 : 34 Κάνουμε τις δυνάμεις ίδιες

( )22 42 : 3= (αμ ν)= αμ ν

= 4 42 : 3 = ( )42 : 3 =

423

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠





65

η) 45

127 33

⋅ ⋅ Κάνουμε όλες τις δυνάμεις με την ίδια βάση

= 3 45

13 33

⋅ ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 3 4 53 3+ −⋅ αμ αν = αμ+ν

= 37 3-5= 37+(-5) = 37-5 = 32 Κάνουμε τις πράξεις

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

α) ( ) ⋅3-2 82 2 β) ( ) ( )⋅

2 -4-3 -3 γ) ( ) ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2-2 30,75

4

δ) 363 :(-12)3

ε) (2,5)4 (-4)4 στ) 412 :220

ζ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12 -142 2-3 3

η) (0,01)3 106

Για να γράψουμε καθεμιά από τις παραστά-σεις ως μία δύναμη θα πρέπει να εφαρμό-σουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

( )

( )

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

μ ν μ+ν

μ ν μ ν

ν ν ν

ν ν

ν

νμ μ ν

-ν ν


α β = α β

α α=β β

α = α

α β=β α

α) ( )32 32 2− ⋅ (αμ)ν = αμ ν

= 6 82 2− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 6 82− + = 2+2= 22= 4

2.




66

β) ( ) ( )2 43 3 −− ⋅ − αμ αν =αμ+ν

= ( ) ( )2 43 + −− Κάνουμε τις πράξεις

= ( )2 43 −− Κάνουμε τις πράξεις

=

( ) 231

−−

ν

ν 1αα

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

213

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ν ν

ν

α αβ β

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2

2

13

+ = 19

+ = 19


γ) ( )

22 30,75

4− ⎛ ⎞⎟⎜⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Κάνουμε ίδιες βάσεις επειδή

30,754

=

=

2 23 34 4

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

αμ αν =αμ+ν

=

2 234

− +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


=

034

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠=1

α0 =1

δ) ( )3336 : 12− Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις

= 3

3

3612−


= 3

3

3612

− Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

=

33612

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= -33= -27 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις




67

ε) ( ) ( )4 42,5 4⋅ − αν βν = (α β)ν

( )4

2,5 4⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦ Κάνουμε τις πράξεις

= ( )410−

=10.000

στ) 12 204 : 2 Κάνουμε τις βάσεις ίδιες

( )122 202 : 2= Κάνουμε τις πράξεις

= 24 202 : 2 αμ:αν =αμ-ν

=224-20=24= 16 Κάνουμε τις πράξεις

ζ) 14122 23 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜− ⋅ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Η βάση είναι θετική εφόσον ο εκθέτης είναι ζυ-γός

12 142 23 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠


=

( )12 1423

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

αμ αν =αμ+ν

=

12 1423

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


=

223

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ν να β

β α

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

=

232

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=2

2

32

= 94


η) ( )3 50,01 10⋅ 0,01 = 10-3

( )33 510 10−= ⋅ (αν)μ = αν. μ




68

= − ⋅6 510 10 αμ αν = αμ+ν

= −110

= 110

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α) ( ) ⋅32 4x 5x β) ( ) ⋅

23 3xy x y γ) ( ) ( )⋅2 2-2x -2x

δ) ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

322- x : x

3 ε) ( ) ( )⋅

3 22 3-3x -2x στ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

233 3x : - x

-2 2

Για να απλοποιήσουμε τις παραστάσεις θα ακολουθήσουμε τις εξής ιδιότητες των δυνάμεων.

α) ( )32 4x 5x⋅ (αμ)ν = αμ ν

2 3 4x 5x⋅= ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 6 4x 5x⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= ( )6 45 x x⋅ ⋅ Βάζουμε μαζί τις δυνάμεις για να φανεί η ιδιό-τητα

= ( )6 45 x +⋅ ⋅μ ν μ+να α = α

= 105 x⋅ Κάνουμε τις πράξεις

β) ( )23 3xy x y⋅ (αμ)ν = αμ ν

3.




69

2 3 2 3x y x y−= ⋅ ⋅ ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 2 3 2 3x y x y−⋅ ⋅ ⋅ Χωρίζουμε τις ίδιες βάσεις

= ( ) ( )2 3 6 1x x y y⋅ ⋅ ⋅ Εννοείται στο y η δύναμη 1

= 2 3 6 1x y+ +⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 5 7x y⋅ Το επί εννοείται

= 5 7x y

γ) ( ) ( )2 22x 2x− ⋅ − (αμ)ν = αμ ν

( ) ( )2 2 22 x 2x= + ⋅ ⋅ − Κάνουμε τις πράξεις

= ( )2 24 x 2 x⋅ ⋅ − ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= ( ) ( )2 24 2 x x⋅ − ⋅ ⋅ Βάζουμε μαζί τις ίδιες δυνάμεις

= 2 28 x +− ⋅ αμ αν = αμ+ν

= 48 x− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 48x−

δ) 322 x : x

3⎛ ⎞⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(α β)ν = αμ β ν

33 22 x : x

3⎛ ⎞⎟⎜=− ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


= 3

3 23

2 x : x3

− ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ν ν

ν

α α=β β

= ( )3 28 x : x27

− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 3 28 x27

−− ⋅ αμ : αν = αμ-ν




70

= 18 x27


= 8x27

−

ε) ( ) ( )3 22 33x 2x− ⋅ − (αμ)ν = αμ ν

( ) ( ) ( ) ( )3 23 22 33 x 2 x=− − ⋅ ⋅ − ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= ( )6 627 x 4 x− ⋅ ⋅ + ⋅ Χωρίζουμε τους αριθμούς και τις δυνάμεις

= ( ) ( )6 627 4 x x− ⋅ + ⋅ ⋅ αμ αν = αμ+ν

= 6 6108 x +− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 12108 x− ⋅ Κάνουμε τις πράξεις

= 12108x−

στ) 233 3x : x

2 2⎛ ⎞⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−

(αμ)ν = αμ ν

23 23 3x : x

2 2⎛ ⎞⎟⎜=− − ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


=

13

22

3 x23 x2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Τη διαίρεση τη δείχνουμε με κλάσμα για να φα-νεί καλύτερα η ιδιότητα

=

1 23 23 x

2

−−⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ αμ : αν = αμ-ν

=

113 x

2

−⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠





71

=

112 x

3⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Το 1 εννοείται

= 2 x3


= 2x3

−

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

Α = ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 0 -1 23 -2 + 4 - -7 2 - 8 2 - 1 - 2 3 Β = ( ) ( ) ( )⋅

2 42-4 : 2 - 5 - -3 2 - -2

Γ= ( ) ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅2 3 2 32,5 1,25 -4 -8 Δ= ( ) ( )⋅ ⋅7 4 7 425 8 : 5 40

Για να υπολογίσουμε την τιμή κάθε παράστα-σης θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα:

Πρώτα γίνονται οι πράξεις στις παρενθέσεις.

Αρχικά υπολογίζονται οι δυνάμεις, στη συνέ-χεια εκτελούνται οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, τέλος γίνονται οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις.

Α = ( ) ( ) ( )2 0 -1 23 -2 + 4 - -7 2 - 8 2 -1 - 2 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= ( ) ( )2 0 21

13 -2 + 4 - -7 2 - 8 -1 - 2 32

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( ) ( )

1 2

2 0 21

1 -13 -2 + 4 - -7 2 - 8 - 2 312

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( (

= ( ) ( )2 0 21 23 -2 + 4 - -7 2 - 8 - 2 32 2

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

4.




72

= ( ) ( )2 0 213 -2 + 4 - -7 2 - 8 - 2 32

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Εκτελούμε τις δυνάμεις

= ( ) 8 13 +4 + 4 -1 2 - - 2 91 2

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

= 812 4 2 182

+ + − + − Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

= 816 2 182

+ − − +

= 816 20

2+ − + =

2 1

4 81 2

− +( (

= 8 82 2

− + = 0

Β = ( ) ( ) ( )2 42-4 : 2 - 5 - -3 2 - -2⋅ Απαλοιφή παρενθέσεων

= ( ) ( ) ( )16 : 2 5 3 4 16+ − − − ⋅ − + Εκτελούμε τις δυνάμεις

= ( ) ( ) ( )16 : 2 5 3 4 16+ − − − ⋅ − + Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

= ( ) ( )8 5 12 16+ − − − − + Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

= 8 5 12 16+ − + − = 3 4+ − = -1 Κάνουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

Γ [ ] [ ]⋅ − ⋅ ⋅ −2 32,5 ( 4) 1,25 ( 8) Εκτελούμε τις δυνάμεις

− ⋅ −2 3( 10) ( 10) Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

= − ⋅2 310 10

= − 510

Δ) ( ) ( )7 4 7 425 8 : 5 40⋅ ⋅ Εκτελούμε τις ιδιότητες των δυνά-μεων

( ) ( )7 42 4 75 8 : 5 5 8⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= ( ) ( )14 4 7 4 45 8 : 5 5 8⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ( )14 4 7 4 45 8 : 5 5 8⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ( )14 4 7 4 45 8 : 5 8+⋅ ⋅ =

= ( ) ( )14 4 7 4 45 8 : 5 8+⋅ ⋅ = ( ) ( )14 4 11 45 8 : 5 8⋅ ⋅ = 14 11 4 45 8− −⋅ = 3 05 8⋅ = 35 1⋅ =125 1=125




73

Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, πόσες φορές μεγα-λώνει το εμβαδόν του;

Έστω ότι η πλευρά ενός τετραγώνου είναι α.

Τότε αν τριπλασιάσουμε την πλευρά έχουμε: 3 α

θα υπολογίσουμε το εμβαδό με πλευρά α και το εμβαδό με πλευρά 3α.

Έπειτα θα συγκρίνουμε τα δύο εμβαδά και βλέπουμε πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδό του τετραγώνου.

Υπολογίζουμε το εμβαδό τετραγώνου με πλευρά α

Εμβαδό τετραγώνου με πλευρά α δί-νεται από τον τύπο Ε = α2

Είναι: Ετετραγώνου = α2

Υπολογίζουμε το εμβαδό τετραγώνου με πλευρά 3α.

Είναι: ( )2τετραγώνου

2 2

2

E 3 α

3 α9 α

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Άρα έχουμε:

Εμβαδό τετραγώνου με πλευρά α: Ετετρ. = α2

Εμβαδό τετραγώνου με πλευρά 3α: Ετετρ. = 9α2

Παρατηρούμε ότι το εμβαδό με την τριπλάσια πλευρά είναι 9 φορές μεγαλύτερο από το άλλο.

5.




74

Λυμένες ασκήσεις

εκτός βιβλίου

1. Να υπολογίσετε τα γινόμενα

α) 74·⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

417 β)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 31 4 54 5 2 γ) (0,25)7·407

Θα χρησιμοποιήσουμε τις γνωστές ιδιότη-τες των δυνάμεων.

Θα χρησιμοποιήσουμε τις γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων

α) 74·

4

71⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

. Υπάρχουν δύο δυνάμεις που έχουν διαφορετική βάση (7 και 71

)

και ίδιο εκθέτη (4).

Άρα, 74·4 4 4 4

41 1 7 1 7= 7 = = =1 =17 7 1 7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Αφού 177= και 14=1

β)

333

25

54

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Υπάρχουν τρεις δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις ( 54,

41

και 25

) και ίδιο

εκθέτη (3).




75

Άρα 3 3 3 3 31 4 5 1 4 5 4 5

4 5 2 4 5 2 4 5 2⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33 3

3 3

20 1 1 1 140 2 82 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

αφού ισχύει η ιδιότητα ν να α= νβ β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

και 13=1, 23=8.

γ) (0,25)7·407. Υπάρχουν δύο δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις (0,25 και 40) και ίδιο εκθέτη (7). Άρα:

(0,25)7·407= (0,25·40)7=(10)7=107=10.000.000

2. Nα υπολογίσετε τις δυνάμεις

α) (22)5, β) [(-3)2]3, γ) [(-10)2]3

Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των

δυνάμεων ( )νμ μ να α ⋅=

Λύση

Θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων

α) (22)5

Άρα, (22)5=22·5=210=2·2 · 2·2 · 2·2 · 2·2 · 2·2=

4·4 · 4·4 · 4 = 16·16·4=256·4=1024

β) [(-3)2]3. Εδώ υπάρχει η δύναμη (-3)2 υψωμένη στο 3.

Άρα : [(-3)2]3=(-3)2·3=(-3)6=

(-3) (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = 9·9·9=729

ο εκθέτης είναι το 6 (άρτιος) άρα η δύναμη είναι θετική

γ) [(-10)2]3. Εδώ υπάρχει η δύναμη (-10)2 υψωμένη στο 3.




76

Άρα : [(-10)2]3=(-10)2⋅3= (-10)6=+106=1.000.000

3. Να υπολογιστεί η παράσταση ( ) ( )2 22Α 3 4 5 2 3⎡ ⎤= − + ⋅ − −⎣ ⎦

Λύση

( ) ( )

( ) ( )( )

⎡ ⎤= − + ⋅ − −⎣ ⎦

= − + ⋅ −

= − + ⋅ −

= + ⋅= +=

2 22

2 2

2

Α 3 4 5 1

A 3 4 5 1

A 3 4 (25 1)A 9 4 24A 9 96A 105


Υπολογίζουμε τις δυνάμεις


Κάνουμε την πρόσθεση




77

Να υπολογιστούν οι δυνάμεις:

α)

3212

−−⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

β) 2 33 : 3− −

Να υπολογισθεί η παράσταση:

( ) ( )3 2 2Α 2 5 3 4 : 5 11⎡ ⎤= − − + − −⎣ ⎦

Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ) ( ) ( )2 33 3Α 9 4 2 2 4 : 2 6⎡ ⎤= − + − − − − −⎣ ⎦

Να γραφούν οι παραστάσεις με μορφή δύναμης ενός αριθμού:

α) ( )20 7 252 2 2 : 2⋅ ⋅

β) ( ) ( ) ( ) ( )15 4 93 : 3 3 3⎡ ⎤− − ⋅ − ⋅ −⎣ ⎦

Να υπολογιστεί η παράσταση

( )

2 3

2 34

1 1 114 2 4Α :

1 21 13 3

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5.

4.

3.

2.

1.




78

α)

164

β) 3

Α =-43

Α =836

α) 23

β) -3

Α =-

1

6

5.

4.

3.

2.

1.

Απαντήσεις στις άλυτες ασκήσεις




79

∆ύναμη αν, με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό ν>0, είναι το γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με α.

∆ηλαδή: αν = α⋅α………..⋅α (στο δεξιό μέλος υπάρχουν ν παράγοντες)

Όταν ν = 0, και α ≠ 0, τότε α0 = 1

Όταν ν = 1, τότε α1 =α

Όταν ν = 2, τότε α2 =α⋅α (α στο τετράγωνο)

Όταν ν = 3, τότε α3 =α⋅α⋅α (α στο κύβο)

Είναι 0ν = 0 και 1ν = 1

Έστω α ρητός αριθμός. Για το πρόσημο των δυνάμεων του α ισχύουν.

Αν α>0, τότε για κάθε ν είναι αν>0

Αν α<0, τότεν

ν

α >0,α <0,

⎧⎪⎨⎪⎩

Ιδιότητες των δυνάμεων

αμ⋅αν = αμ+ν

μ

ν

αα

=αμ-ν ή αμ:αν=αμ-ν (με μ>ν)

(α⋅β)ν=αν⋅βν= βν⋅αν

ν ν

ν

α α=β β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(αμ)ν=αμ⋅ν

όταν ο ν είναι άρτιος

όταν ο ν είναι περιττός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - 1.1 Κεφάλαιο 1ο εκπαιδευτικός οργανισμός...

Documents