ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ bode · 2010-01-18 · ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑbode...
TRANSCRIPT
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος17
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 ∆ιαγράμματα
Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο:
221
11
11
j
jjGsG
Έτσι το μέτρο:
22111 jj
s
22 11
χρήση ασυμπτώτωντομή τους στη συχνότητα θλάσης
222222 1log20)(
1
111)(
dBjGjG
01log20:11 dBjG
ό 11
gdBj
sdBjG dB /20log20:11
και το όρισμα: 11 tantan
00:0 11
Im
41:1
2: X-
Re
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος18
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 (συνέχεια) Η καμπύλη του μέτρου χαράζεται με ασυμπτωτική προσέγγιση, δηλαδή χρησιμοποιούνται οι ευθείες που
είναι εφαπτόμενες στις περιπτώσεις ω0 και ω .είναι εφαπτόμενες στις περιπτώσεις ω0 και ω .
01log20:11 dBjG
sdBjG /20log20:11
Μπορούμε να βρούμε την απόκλιση της καμπύλης από τις ασύμπτωτες:
sdBjG dB /20log20:1
χρήση ασυμπτώτων
χρή η μτομή τους στη συχνότητα θλάσης
dBjG
dBjG
dB
dB
2
03.311log20:1
97.411log20:
21
Αν το σύστημα διεγερθεί με μικρό ω τότεκαι η έξοδος έχει το ίδιο πλάτος με είσοδο και μικρή
dBjG dB 97.2log2041log20:2
0,1 jGκαι η έξοδος έχει το ίδιο πλάτος με είσοδο και μικρή διαφορά φάσης. Αν διεγερθεί με μεγάλο ω τότε μικραίνει και φ μεγαλώνει τείνοντας στο –π/2.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος19
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1Συνοπτικά:
Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμπτωτική προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 dB έως την συχνότητα θλάσης και μετά πέφτει με 20 dB ανά τάξη μεγέθους (‐20 dB ανά δεκάδα). Για n πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται –20n dBανά δεκάδα.
Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0ο έως το 1/10 της συχνότητας θλάσης και μετά πέφτει γραμμικά στο ‐90ο
δ λά ό θλά Γστο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για n πολλαπλότητα πόλου πέφτει στο ‐n90ο .
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος20
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ)‐1 με τ=0.1 sec ∆ιαγράμματα
Για πόλο στα 10 rad/sec (τ=0.1s): 20101
1.0111
jjG
ssG
Έτσι το μέτρο:
01.0110
110
1 js
21 22
01.01log20)(01.01
1)(
dBjGjG
01log20:10 dBjG
ό
dB
sdB
jG dB
/20
log20201.0log20:10
και το όρισμα: 1.0tan 1
00:0
4
10:10
2:
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος21
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ) ∆ιαγράμματα για 1/τ = 30 rad/sec
Αντιστοιχεί σε πραγματικό μηδενικό:
jjGssG 11
Έτσι το μέτρο:
jj
22 11
χρήση ασυμπτώτωντομή τους στη συχνότητα θλάσης
222222 1log20)(
1
111)(
dBjGjG
01log20:11 dBjG
ω= 30 rad/sec
ό 1
gdBj
sdBjG dB /20log20:11
και το όρισμα: 1tan
00:0 11
41:1
2:
Παρόμοια διαγράμματα με την περίπτωση του πραγματικού πόλου
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος22
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 1ης τάξης (1+jωτ) Συνοπτικά:
Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμτωτικη προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 dB έως την συχνότητα θλάσης και μετά αυξάνεται με 20 dB ανά τάξη μεγέθους (+20 dB ανά δεκάδα). Για n πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται +20n dB ανά δεκάδα.
Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0ο έως το 1/10 της συχνότητας θλάσης και μετά αυξάνεται γραμμικά στις 90ο δ λά ό θλά Γ+90ο στο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για n
πολλαπλότητα πόλου αυξάνεται στο +n90ο .
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος23
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντες 1ης τάξης (1+jωτ)±n ∆ιαγράμματα Bode για διπλό πόλομε 1/τ = 30 rad/secρ γ ς ξης ( j )
Αντιστοιχεί σε πολλαπλότητας n πραγματικό πόλο ή μηδενικό.
με 1/τ = 30 rad/sec
ρ γμ ή μηΠροφανώς η καμπύλη μέτρου είναι όμοια με αυτή του παράγοντα
±1 ό ό ό ί(1+jωτ)±1 εκτός από το ό,τι η κλίση της ασύμπτωτης υψηλής συχνότητας είναι ±20∙n dB/sec Οι αποκλίσεις για ω=
χρήση ασυμπτώτωντομή τους στη συχνότητα θλάσης
±20∙n dB/sec. Οι αποκλίσεις για ω= 1/2τ, 1/τ, 2/τ είναι ±0.97n, ±3.03n και ±3.03n dB αντίστοιχα.χΤο όρισμα θα είναι n φορές αυτό του παράγοντα (1+jωτ)±1.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος24
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 2ης τάξης [1+2ζ(jω/ωn)+(jω/ωn)2]-1
Αντιστοιχεί σε συζυγείς μιγαδικούς πόλους:
10,12 222
2
nsG 2
1
jG
Έτσι το μέτρο:
12
2 222
nn
nn ssss
222
21
nnjj
22
22221log20)(
21
1)(nn
dBjGjG
όπου:
nn
sdBjG
nndBn /40log40log20: 2
2
και το όρισμα: όπου:
12
01log20: dBn jG nn
00:0
:
2
1
1
tan
n
n
2: nn
:
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος25
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ
Παράγοντας 2ης τάξης ∆ιαγράμματα Bode
[1+2ζ(jω/ωn)+(jω/ωn)2]-1
Το σύστημα είναι low pass, αφού έχουμε αρνητική κλίση του μέτρου για μεγάλα ω. Το διάγραμμα μέτρου εξαρτάται από το ζ. Καθώς μικραίνει το ζ το διάγραμμαΚαθώς μικραίνει το ζ το διάγραμμα αλλάζει μορφή και παρουσιάζει μέγιστο κοντά στο ωn. Όσο μικραίνει το ζ (για ζ 0 707) ό φή λ άζζ<0.707) τόσο η κορυφή πλησιάζει το ωn(φαινόμενο συντονισμού). Το σημείο όπου η καμπύλη εμφανίζει μέγιστο είναι η η μ η μφ ζ μ γ ησυχνότητα συντονισμού :Όπου το μέτρο γίνεταιΓ ζ>0 707 ί
221 nres
212
1
resjG
1GΓια ζ>0.707 είναι: ενώ καθώς resnres jG 0
12 1max jG
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΣΥΝΘΕΣΗ 1ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος26
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ 1
Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος
Πρέπει να φέρουμε τους όρους στη μορφή (τυπική μορφή 1ης τάξης)
3
1010
ssssG
31010
jj
jjG
11jΠρέπει να φέρουμε τους όρους στη μορφή (τυπική μορφή 1 τάξης)
Έτσι:
δ ά έ ί ά ή ό θ
1j
133.0
11.03.33133.0311.01010
jjj
jjjjG
Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:1. Σταθερός όρος 33.31. Σταθερός όρος 33.3 2. Μηδενικό στο ‐103. Πόλος στην αρχή4 Πόλ 34. Πόλος στο ‐3
Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για ρη μ μ η β ή η χ ρ ή γνα κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΣΥΝΘΕΣΗ 1ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος27
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ 1
Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος
Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:
ό ό Σταθερός όρος 33.3 Μηδενικό στο ‐10 Πόλος στην αρχή Πόλος στην αρχή Πόλος στο ‐3Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή
∆ιάγραμμα Bode (μέτρο)
∆ιάγραμμα Bode (όρισμα)
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΣΥΝΘΕΣΗ 2ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος28
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ 2
Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος
Πρέπει να φέρουμε τους όρους σε τυπικές μορφές (απλές συναρτήσεις)
23
2
10010044ss
sssG
23
2
10010044
jj
jjjG
Πρέπει να φέρουμε τους όρους σε τυπικές μορφές (απλές συναρτήσεις).Έτσι:
1
551
5254254
2
23
2ss
sssG
Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση λώ ύ άθ ό ξ ά Ο ό ί
1100
100100 223 ssss
των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:1. Σταθερός όρος 1 2. Πόλος στο ‐100ς3. Διπλός πόλος στην αρχή4. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες του s2+s+25=0 με ω=5 και ζ=0.1Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων γιαΧρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για
να κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ‐ ΣΥΝΘΕΣΗ 2ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος29
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ 2
Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος
Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:
ό ό Σταθερός όρος 1 Πόλος στο ‐100 Διπλός πόλος στην αρχή Διπλός πόλος στην αρχή Συζυγείς μιγαδικές ρίζες Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή
∆ιάγραμμα Bode (μέτρο)
∆ιάγραμμα Bode (όρισμα)
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος30
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Περιθώριο κέρδους
Το περιθώριο κέρδους , μια ποσότητα που αποτελεί το μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως η τιμή του πλάτους του αντιστρόφου
ά ά ύ ό ότης συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου στην συχνότητα ωπ στην οποία η τιμή του ορίσματος ισούται με ‐180ο. Δηλαδή:
θώ έ δ 1περιθώριο κέρδους
όπου και ωπ ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα.
GH1
180arg GH π μ ζ ρ μη χ η g
Περιθώριο φάσης
Τ θώ φά Φ ό λ ί έ ήΤο περιθώριο φάσης ΦPM , μια ποσότητα που αποτελεί μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως 180ο συν την τιμή της φάσης Φ1 της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου όταν το κέρδος της ισούται με ρ η ης μ φ ρ ς βρ γχ ρ ς ης μτην μονάδα. Δηλαδή:όπου και ωι ονομάζεται συχνότητα μοναδιαίου κέρδους.
iPM GH arg180 1iGH
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος31
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Εύρεση περιθώριου κέρδουςκαι περιθώριου φάσης απότα διαγράμματα BodeΗ κρίσιμη συχνότητα ωπ βρίσκεται από το διάγραμμα ορίσματος ως η συχνότητα στην οποία 180arg openGχ η ηΗ συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ωiβρίσκεται από το διάγραμμα μέτρου όπου
p
όπου
Το περιθώριο φάσης είναι το ποσό της επιπλέον καθυστέρησης φάσης στην
01 dBiiii jHjKGjHjKG
επιπλέον καθυστέρησης φάσης στην συχνότητα μοναδιαίου κέρδους που απαιτείται για να φέρει το σύστημα
ό άθ δ λ δήστο όριο αστάθειας, δηλαδή: 180180)( ii
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος32
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Εύρεση περιθώριου κέρδουςκαι περιθώριου φάσης απότα διαγράμματα BodeΤο περιθώριο κέρδους είναι το αντίστροφο του μεγέθους στην κρίσιμη συχνότητα όπου το όρισμα
ii jHjKG η ρ μη χ η ρ μ
είναι ‐180ο
1 ii jHjKG
Για ένα σταθερό σύστημα το ΠΚ δείχνει
ii jHjKG log20
ρ ημ χπόσο το κέρδος Κ μπορεί να αυξηθεί προτού το σύστημα γίνει ασταθές.Για ένα σύστημα με μηδενικά στο αριστερόΓια ένα σύστημα με μηδενικά στο αριστερό ημιεπίπεδο το κριτήριο ευστάθειας είναι:
00
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ – ΕΝΟΤΗΤΑ 12 – Δρ. Γιωργος Μαϊστρος33
ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Απόλυτη και σχετική ευστάθεια
Θεωρούμε την ειδική περίπτωση συστημάτων που γίνονται ασταθή και παραμένουν ασταθή καθώς η σταθερά κέρδους τους Κp παραμένει
ύ ό ί ή * ή ή ί ήμεγαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή Κ*, δηλαδή τα συστήματα είναι ασταθή για Κp>Κ*.
+Κατευθυντής
Τελικό στοιχείο ελέγχου + Εγκατάσταση
pR+
- Y
Η ευστάθεια του συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από την απόκριση συχνότητας ανοιχτού βρόγχου αν ισχύουν τα παραπάνω. jHjGK pχ η ς χ βρ γχ χ ρΗ χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο σύστημα είναι ευσταθές όσο ισχύει:
p
01 sHsGK p
0l201 jHjGKjHjGKόπου ωπ είναι η κρίσιμη συχνότητα.
0log201 jHjGKjHjGK pp