Таджикский государственный национальный университет

Кафедра информатики

Модельная экономика

Махмадюсуф Юнуси

Душанбе 2005

2

2

УДК 519

Модельная экономика

Автор:Махмадюсуф Юнуси - зав. кафедрой Информатики Таджикского государственного национального университета, профессор, член корр. МА ВШ.

Рецензенты: д.ф.-м.н Комилов Ф.С., д.т.-н. Шерматов Н.Ш.

Редактор: д.ф.-м.н. Исмати М. Адрес: Таджикистан, 734025, Душанбе, Рудаки 17, ТГНУ, кафедра информатики Тел. (992372)235602 E-mail:yunusi@inbox.ru;myu@yunusi.com www.yunusi.com http://yunusi.pochta.ru

Аннотация: В книге даны описание и анализ основных моделей

экономики, соответствующие постановке задач и их решения в которых эти модели применяются. Книга рассчитана на студентов высших учебных заведений, экономистов, инженеров, математиков и информатиков, а также лиц, интересующихся вопросами моделирования и прогнозирования экономики предприятий, городов и страны.

Рекомендована к печати научно-методическим советом ТГНУ

3

3

Введение Как известно, в условиях рыночной экономики коммерческие, государственные предприятия и учреждения, частные фирмы остро нуждаются в высоко подготовленных специалистах в области моделирования, прогнозирования и принятия решений. В настоящее время в Таджикском государственном национальном университете и других вузах страны имеется ряд учебных пособий, которые частично отражают эти вопросы. В них совершенно не приводятся модели реальных экономических процессов и не проводятся компьютерные эксперименты для прогнозирования их состояний. Существующий подход преподавания экономических курсов приучает неподготовленных студентов формально подходит к вопросам прогнозирования состояния экономики и принятия решений. При этом студентам приходится изучать весьма формализованные теории конкретных разделов экономико-математических дисциплин и осваивать ряд теорий и методов в имеющихся учебных книгах. Остаётся в тени вопрос о том, что какое отношение имеет та или иная модель к функционированию реальной экономики.

Известно, что вопросы использования научных методов, в первую очередь математических методов, в процессах принятия экономических решений привлекают постоянное внимание, как специалистов, так и широкой общественности. Математическое моделирование занимает важнейшее место среди методов научного анализа экономических систем. В связи с переходом к рыночной экономике, восстановления рыночных отношений и реформы высшего образования, возникают вопросы о коренных изменениях в преподавании учебных предметов в системе высших учебных заведений страны, проведения научных исследований. Данная книга - это та же экономика, но описанная в виде математических формул и уравнений. Модельная экономика позволяет студентам несколько смелее подходить к решению экономических проблем и она научить умение видеть экономические проблемы, проводить анализ и компьютерные эксперименты с ними. Умение выбирать для нее оптимальные параметры и значения должно быть основным качеством современного специалиста. Настоящая книга дает студентам и аспирантам удобный инструмент для практических расчетов, знакомство с этой книгой будет весьма полезно при решении огромного числа задач повседневной экономики и прогнозирования состояния экономики в будущем.Книга "Модельная экономика" начинается с обсуждения понятия модели, классификации моделей, изложения принципов построения моделей, а затем постепенно раскрывается содержание приводимых моделей экономики предприятия, фирм и др. В ней обсуждается также ряд новых моделей экономики, которые были получены в

4

4

работах автора. В том числе, модель потенциальной функции трудящихся, потенциала экономической системы, модельное производство с учетом уровня технологии и ряд других характеристик. Будут приведены и обсуждены новые экономические модели для определения размера капитала, функций труда, инвестиций, уровней технологии, уровня цен, величины налога и др. в зависимости от временных, возрастных, пространственных и экономических характеристик. Последними в книге излагаются, и обсуждаются вопросы оптимизации экономических систем. Помимо изложения теоретического материала в книге особое место занимают вопросы их компьютерной реализации и проведения вычислительных экспериментов с ними. Таким образом, предлагаемая книга на наш взгляд вносить определённый вклад в подготовку в высококвалифицированных специалистов в условиях рыночной экономики и рыночных отношений. Будем надеяться, что книга окажется также полезней широкому кругу читателей и заполнит пробели в преподавании экономико–математических методов.

Техническая революция, связанная с изобретением электронной вычислительной машины, оказывает все большее влияние на все стороны человеческой деятельности. Особенность этой революции состоит в создании качественно новых и неизмеримо более эффективных методов переработки информации. Поскольку любая человеческая деятельность связана с переработкой и использованием информации, начавшийся процесс становления «машинных методов» - начало восьмого этапа развития человечества, в результате которого изменится вся технологическая (а, следовательно, не только технологическая) основа человеческого существования. Сфера экономики, для которой количественные оценки являются неизбежной принадлежностью, оказалась первой вовлеченной в этот процесс. Использование ЭВМ в экономических расчетах не внесли принципиальные изменения в методы экономического планирования: просто экономисты, привыкшие считать и оперировать числами, получили более производительный арифмометр. Традиционные расчеты, занимавшие раньше многие часы, с применением новой техники стали осуществляться за секунды. Изменения скорости счета на несколько порядков позволяют решать задачи, которые раньше принципиально не могли быть решены. Так, например, экономист, решая задачу о распределении ресурсов, из всего множества возможных вариантов мог провести анализ лишь некоторых, которые на основании его опыта казались (лишь) ему удовлетворительными. Вычислительная машина позволила сравнивать теперь всевозможные варианты плана распределения ресурсов и, следовательно, находит самый оптимальный вариант. При ничтожных затратах на расчеты удается найти решение, которое экономит многие миллионы, по сравнению с решением, найденным традиционным методом. ЭВМ находит решение за считанные часы, тогда как раньше для его нахождения могли бы потребоваться годы.

5

5

Эффект от применения экономико-математических методов существенно зависит от объема решаемых задач. Если речь идет о решении отдельных задач планирования, то эффект редко достигает 10%. Например: реализованное с помощью математических методов решение задачи о перевозке угля будет экономным обычного на 5-6%. Оптимальный путь плавания корабля будет короче того, который рассчитывает штурман, пользуясь традиционными приемами на 3-4% и т.д. Использование новых методов управления предприятием дает эффект порядка десятков процентов, чем комплексное использование темпов развития экономики страны. Достижение высокого уровня занятости - одна из основных целей макроэкономической политики государства. Экономическая система, соз-дающая дополнительное количество рабочих мест, ставит задачу увеличить количество общественного продукта и тем самым в большей степени удовлетворить материальные потребности населения. При неполном ис-пользовании имеющихся ресурсов рабочей силы система работает, не дости-гая границы своих производственных возможностей. Немалый урон без-работица наносит жизненным интересам людей, не давая им приложить свое умение в той сфере деятельности, в какой человек может наибольшим образом проявить себя, или же лишая их таковой возможности, из-за чего люди переносят серьезный психологический стресс. Из вышесказанного можно сделать вывод, что показатель безработицы является одним из клю-чевых показателей для определения общего состояния экономики, для оценки ее эффективности. При изучении рынка труда необходимо знать показатели численности экономически активного населения. Во многих странах данный показатель постоянно снижается. Главная причина – убыль населения, рост безработицы и рост убыточных предприятий. В результате количество предприятий, на которых проходят забастовки, все больше возрастает. Роль государства, в частности и его региональных звеньев, в регулировании социальной сферы принципиально отличается от его роли применительно к другим сферам народного хозяйства. Это связано с общественной значимостью объекта регулирования. Функции, выполняемые социальными отраслями, напрямую определяют условия и уровень жизни населения. За последние время произошли радикальные сдвиги в общественно-политической и экономической жизни многих стран. Курс проводимых реформ кардинально преобразил социально-трудовую сферу. Применение математических методов в экономике имеет богатую историю, и оно началось почти одновременно с появлением математического анализа. В 1758 г. лайб – медик короля Людовика XY доктор Франсуа Кене (1694-1774) опубликовал работу «Экономическая таблица», в которой сделал попытку количественно описать национальную экономику. Качественный скачок в применении математики для экономических исследований связан с именем Карла Маркса. Его модель расширенного производства дала возможность объяснить законы развития общества. Первые попытки анализа

6

6

такого рода были предприняты в начале двадцатых годов. При этом методы планирования продолжали совершенствоваться, но только распространение вычислительной техники в конце пятидесятых годов 20 века (или прошлого века) позволило сделать плановые многовариантные расчеты достаточно распространенными. В конце шестидесятых годов методы оптимизации (наилучшее решение) становятся одним из важнейших практических средств анализа экономических проблем. Сфера работ по применению электронной вычислительной техники в экономике стремительно расширяется, охватывая как чисто теоретические, так и прикладные задачи. Если критерий оптимальности и сформулирован, то нахождение оптимального плана само по себе не решает все вопросы. Любой план, в том числе и оптимальный, для своей реализации требует хорошей организации структуры управления. Потери из-за плохо организованного управления могут во много раз превышать потери от не оптимальности плана: разнообразные, случайные обстоятельства, учесть которые заранее невозможно в принципе, могут привести к существенному отклонению результата от плана.

Современный этап развития методов, основанных на использовании ЭВМ для анализа математических моделей экономических объектов, характеризуется определением возраста трудовых ресурсов на экономику некоторой условной страны. Моделям долгосрочного развития экономики посвящен ряд работ, в которых динамические процессы описаны при помощи разностных управний и обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве производственных функций в этих работах берутся либо производственные функции в дискретном виде, либо непрерывные производственные функции типа Кобба – Дугласа, СЕS-а или в описывающей численности рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного параметра как возраст, а половые, пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались неисследованными. Уровень зрелости отдельных идей занял соответствующее место в системе методов исследования, стали ясны области их наиболее целесообразного использования. Каждый год появляются новые исследования, расширяющие круг работ, связанных с разработкой новых методов планирования и управления экономическими системами. В данной книге изучаются вопросы их моделирования изучаются вопросы их моделирования, модельного производства типа Кобба – Дугласа с учетом возраста рабочих. Для этого модельного производства моделируются соответствующая система уравнений определения величины капитала, динамика численности рабочих и др.

7

7

Глава 1. История возникновения модельной экономики

§ 1. Обзор существующих моделей экономического

развития 10. Схемы расширенного воспроизводства К. Маркса,

«Экономическая таблица» Ф. Кенэ и схема простого воспроизводства К. Маркса

В письме Ф. Энгельсу, написанному 6 июля 1863 г. Карл Маркс

начертил схему своей «Экономической таблицы», которую он предлагал использовать для анализа процесса воспроизводства взамен «Таблицы» Ф. Кенэ. Между ними имеется некоторое внешнее сходство: обе «Таблицы» выполнены в виде гавриком, характеризующих движение продуктов и денег. Подразделение, создающее жизненные средства, в первом варианте своей схемы К. Маркс назвал первым подразделением общественного производства. Ф. Кенэ рассматривал национальный продукт только в денежной форме, К. Маркс с самого начала строит свой анализ на совмещении двух аспектов; материально - вещественного и стоимостного. По своей внешней форме годовой продукт разделяется на предметы потребления (жизненные средства) и средства производства (машины и сырье), в его стоимостном составе выделяются элементы прошлого труда (переменный капитал) и неоплаченного прибавочного труда (прибавочная стоимость). Подчеркивая различие в обращении дохода и капитала, К. Маркс указывал, что доход, полученный в подразделении, создающем средства производства, не может быть реализован внутри того же самого подразделения, вне рамок межотраслевого обмена, точно так же, как подразделение, выпускающее предметы потребления, не может возместить свой постоянный капитал, не обменяв соответствующую массу созданных жизненных средств на необходимое количество средств производства.

Таблица 1. Графический вариант схемы простого воспроизводства К. Маркса, описанный в письме Ф. Энгельсу в июле 1863 г.

8

8

Зарплата

I.Жизненные Промышленная Процент Рента средства прибыль

Постоянный Переменный Прибавочная Продукт капитал капитал стоимость 700 400 100 200 Зарплата

II.Машины и Промышленная Процент Рента Сырье прибыль

Прибыль Постоянный Переменный Прибавочная Продукт капитал капитал стоимость 933 1\3

533 1/3 133 1\3 266 2\3 III.Совокупный 700 продукт

Постоянный Переменный Прибавочная Продукт Капитал капитал стоимость 1633 1\3

933 1\3 233 1\3 466 2\3 Таблица 2. Экономическая таблица доктора Кенэ.

Производительный Собственники Непроизводительный класс класс

а). 2. миллиарда д). 2.миллиарда б). 1 миллиард 1 миллиард е). в). 1 миллиард 1 миллиард ж). г). 1 миллиард 1 миллиард з). все годные авансы Итого: 2 миллиарда 2 миллиарда Итого 5 миллиардов Изображенная в таблице 1, на привычный язык символики схема К.

Маркса, приводит к следующим уравнениям:

2222

1111

31933

32266

31133

31533

700200100400

PmVC

PmVC

=++

=++

PVC

311633

32466

31233

31933 =++ ,

9

9

которые интересуют Маркса при анализе схемы простого воспроизводства, сводится к тому, «каким образом капитал, потребляемый в процессе производства возмещается по своей стоимости из годового продукта, и каким образом процесс этого возмещения переплетается с потреблением прибавочной стоимости капиталистами и заработной платы рабочим? ».

При этом Маркс исследует следующую схему простого воспроизводства:

1111 6000100010004000 PmVC =++ - средства производства 2222 30005005002000 PmVC =++ - предмет потребления.

PmVC 9000150015006000 =++ - совокупный продукт. К. Маркс вывел аналитические выражения основного условия

расширенного воспроизводства в виде следующего логического неравенства;… поскольку предположено накопление, то )( mVI +δ больше IIc , а не равно IIc , как при простом воспроизводстве …», т.е. 211 CmV >+ .

Анализ процесса обращения созданного продукта и являющегося результатом этого процесса возмещения и накопления капитала, а также потребления части прибавочного продукта К. Маркс осуществляет в такой последовательности.

1. Устанавливаются нормы накопления прибавочной стоимости продукта I подразделения. Для первого года К. Маркс использует величину, равную 50%. Таким образом, 10001 =m распадается на две равные части:

Пm1500 - потребляемая часть 1m Hm1500 - накопляемая часть 1m .

2. В свою очередь, накопляемый объем прибавочной стоимости I подразделения )500( 1Hm должен быть использован для наращивания постоянного капитала, −∆ 1( C где буквой ∆ обозначен годовой прирост ) и пропорциональный вид наращивания постоянного капитала )( 1V∆ . Распределение накопленной массы стоимости )500( 1Hm на эти две компоненты осуществляется в соответствии с неизменным органическим строением капитала ):( VC в данном подразделении: 41000:4000: 11 ==VC .

Таким образом, накопляемая часть прибавочной стоимости I подразделения Hm15000 распадается на две следующие два элемента:

1C∆ - часть фонда накопления I подразделения, предназначенная для увеличения постоянного капитала.

1V∆ - часть фонда накопления I подразделения, предназначенная для увеличения переменного капитала.

3. Определенен объем реализации средств производства внутри I подразделения, а также суммарная потребность этого подразделения, в предметах потребления, которые могут быть получены через систему межотраслевого обмена со II подразделением. Расчет обеих групп величин показан в таблице. Расчет показательной реализации продукции I подразделения в Марксовой схеме расширенного воспроизводства (первый год).

10

10

Стоимостный состав продукции I -подразделения

Реализуется внутри I – подразделения

Подлежит обмену на предметы потребления

1.Возмещение постоянного капитала 400

400 -

2.Возмещение переменного капитала 1000

- 1000

3.Прибавочная стоимость 1000 в том числе предназначено:

а). Для потребления 500

б). Для накопления постоянного капитала 400

в). Для накопления переменного капитала 100

- 400 -

500 - 100

ИТОГО: 6000 4400 1600 Накопление 50% прибавочной стоимости I подразделения ведет к

тому, что при данном органическом строении своего капитала I подразделение предъявляет на рынке межотраслевого обмена спрос на предметы потребления в размере 1600 денежных единиц.

4. Процесс производства будет протекать нормально, если этот спрос на предметы потребления, означающий в то же самое время такое предложение II подразделению средств производства, встретить и другого контрагента обмена, такого же по величине предложения предметов потребления, вызываемого равным ему по объему спросом на средства производства. В этом и только в этом случае межотраслевой обмен приведет к полной реализации продукта, созданного в обоих подразделениях, и тем самым будут выполнены условия воспроизводства как обеих частей капитала, так и всего дохода.

Расчет показателей реализации предметов потребления внутри II подразделения и обмена с I представлен в таблице Величина накопления переменного капитала, так же как и в предыдущем случае, определяется в соответствии с органическим строением капитала: ,1:2170:1500: 22 ==VC откуда 501005,05,0 22 =⋅=∆=∆ CV . Расчет сбалансированных показателей реализации продукции II подразделения в Марксовой схеме расширенного воспроизводства(1-й год).

Стоимостный состав продукции II подразделения

Реализуется внутри II подразделения

Подлежат обмену на средства производства

Сальдо потребности I под-я в предметах

11

11

потребления 1. Возмещение

постоянного капитала 1500

2. Возмещение переменного капитала 750

3. Прибавочная стоимость 750

В том числе предназначено а). Для накопления постоянного капитала (в объеме сальдового остатка предложения I - подразделения) 100 б). Для накопления переменного капитала 50 в). для потребления 600

-

750

-

50

600

1500 -

100 - -

+100

- -100

- -

Итого: 3000 1400

1600

0

4. Беспрепятственное осуществление всех обменов означает, формирование условий для нового цикла воспроизводство, которое начинается с новой, расширенной основы. Количественные характеристики второго цикла воспроизводства могут быть получены на основании сведений об объеме и структуре накопления прибавочного продукта в обоих подразделениях, а так же введенным К. Марксом условием, согласно которому норма прибавочного продукта ):( Vm в обоих подразделениях есть величина неизменная и равная единице.

222222

111111

32080050750100150066011001001000400400

PmVVCCPmVVCC

=+∆++∆+=+∆++∆+

PmVVCC 9800190015017505005500 =+∆++∆+ Переход к новому циклу воспроизводства осуществляется повторным

заданием нормы накопления прибавочной стоимости в I под НИИ. Исследование количественных свойств Марксовых схем пропорции и

темпы расширенного воспроизводства. Определение числа степеней свободы в схемах К. Маркса. Норма накопления прибавочной стоимости II подразделения устанавливается на уровне 40%. При органическом строении капитала этого подразделения, равном 2:1, это приведет к следующему распределению массы прибавочной стоимости :)750( 2V

1. Для накопления …………………………… 0,4 – 750=300 В том числе:

12

12

а). Постоянного капитала ……………………... 20032300 =⋅

б). Переменного капитала…………………….. 10031300 =⋅

2. Для потребления ………………………….. 750-300=450 ИТОГО…………………………………….. …………….750 Суммарный спрос на средства производства, предъявляемый в этом

случае II подразделением, составит: 1. Потребность в возмещении постоянного

капитала…………………….. .1500 2. Потребность в накоплении постоянного

капитала………………………. 200 ИТОГО: ………………. 1700 Для нормального протекания процесса реализации обеих материально

– вещественных компонентов совокупного продукта необходимо, чтобы I подразделение предъявило спрос на предметы потребления в размере 1700 денежных единиц, выставив на рынок межотраслевого обмена на такую же сумму свою продукцию – средства производства.

Спрос на 1000 денежных единиц предметов потребления обеспечивается необходимостью доставить рабочим I подразделения материально – вещественный эквивалент их заработной платы и тем самым обеспечить условия для воспроизводства переменного капитала. Следовательно, сальдо спроса II подразделения на средства производства с учетом этой величины составляет 700 единиц. Следующий расчет показывает, как должен быть определен объем и состав накопления в I подразделении. Он характеризует использование прибавочной стоимости I подразделения:

1. Для накопления постоянного капитала 1000-700=300 2. Для обмена на предметы потребления в том числе: 700 а). В составе фонда накопления 300: 4 =75 б). В составе фонда потребления 700 – 75 =625 ИТОГО: 1000 Если в прежнем варианте, когда в I подразделении задавалась норма

накопления прибавочной стоимостью, равная 50% сбалансированный обмен мог осуществляться лишь при условии, что это вывозить установление нормы накопления II подразделения на уровне 20% [ ],750:)50100( 222 mVC ∆+∆ то теперь причина и следствие поменялись местами. Как средства производства, так и предметы потребления будут реализованы в полном объеме только в том случае, если после установления нормы накопления II подразделения на уровне 40% в I подразделении она оказывается равной

[ ]111 100:)75300(%5,37 mVC ∆+∆ . Для конкретных пропорций схемы расширенного воспроизводства функциональной зависимости между обеими нормами накопления представляет собой прямую, имеющую

13

13

уравнение: 16,1 21 =+ nn . Как уравнение, содержащее две переменные, оно позволяет использовать одну степень свободы. Использование этой единственной степени свободы полностью определяет всю динамическую картину воспроизводства в описываемых схемах. Как показано ниже, этот факт имеет чрезвычайно важное значение для построения адекватной экономико-математической модели и последующего формирование опорных принципов моделирования реальных макроэкономических процессов. Каковы же условия, при которых реализуются все без исключения элементы материально – вещественного и стоимостного состава совокупного продукта? Какие пропорции должны соблюдаться в экономической системе, чтобы процесс реализации, и, стало быть, весь ход воспроизводства осуществлялся беспрепятственно? Чтобы ответить на эти вопросы, построим схему расширенного воспроизводства в общем виде, и проследим шаг за шагом, как протекает процесс реализации общественного продукта в условиях полной сбалансированности. 20. Границы изменяемости регулирующих параметров

Вопрос об экономически обоснованном выборе границ допустимого изменения регулирующего параметра имеет определяющее значение для формирования всей совокупности динамических показателей экономической системы. Как бы он не был, однако, решен, рамки управления регулирующим параметром в любом случае должны быть такими, чтобы строго соблюдались условия сбалансированного обмена между подразделениями. А это означает, что в первую очередь должна быть установлена функциональная взаимосвязь между обеими нормами накопления.

Воспользуемся для этого первой формой записи условий сбалансированного обмена между подразделениями 22111 CCmVV П ∆+=+∆+ и опреледим все элементы этого равенства. Для этой цели могут послужить формулы расчета показателей. Введем также новые обозначения:

11111 :: VmVmz ∆∆== и 22222 :: VmVmz ∆∆+= - норма прибавочного продукта подразделения элементов равенства 22111 CCmVV П ∆+=+∆+ получим следующее выражение.

1111

111

1 11

11 Vzn

hmn

hV

+=

+=∆

111111 )1()1( Vznmnm П −=−= 222 VhC =

2222

2222

2222 11

11 Vzn

hhmn

hhVhC

+⋅=

+⋅=∆=∆

Производя элементарные преобразования, приходим к следующей форме искомой зависимости:

221122

2221

1

111 )1(11

VhVznhVzhn

hVzh

−+=+

++

, что 7501000;1;4 2111 ===== VиVzzh

нетрудно установить, что данное выражение представляет собой частный

14

14

случай найденного уравнения. Норма накопления n1 будет достигать своего максимального значения в том случае, если данная m1 - объем накопления

11 VC ∆+∆ будет максимальным. Объема накопленных средств производства, т.е. больше C∆ . Воспользуемся еще раз тем же уравнением

22111 CCmVV П ∆+=+∆+ и перепишем его, добавив в левую и правую части одну и ту же величину 21211111; CCCmVCVC П ∆+∆+=+∆+∆+∆ заменяя сумму ПmVC 111 +∆+∆ на m1, а сумму 21 CC ∆+∆ на C∆ получим следующие.

Сопоставляя это уравнение с Марксовым неравенством, выражающим основное условие расширенного воспроизводства 211 CmV >+ приходим к выводу о том, что величиной превращающей это неравенство в равенство, является C∆ - объем валового накопления средств производства;

211 CmVC ++=∆ . Норма накопления прибавочной стоимости I подразделения n1 будет достигать своего максимума в том случае, когда весь объем накопленных средств производства C∆ окажется использованным внутри I подразделения CC ∆=∆ 1max . Этой величине накопления средств производства будет соответствовать следующий объем накопления

предметов потребления )( 1V∆ ; 1

211

1

12max

nCmV

nC

V−+

=∆

=∆ . Общая

величина фонда накопления I подразделения составит

)(1

)(max 2111

111 CmV

nh

VC −++

=∆+∆ , откуда находим 1

211

1

11

1max

nCmV

nh

n−+

⋅+

=

Для расширения объема производства необходимо, чтобы величина потенциала C∆ оставалась как минимум постоянной величиной. Если значком «штрих»

обозначим показатели следующего года, то сказанное означает, что будет соблюдаться следующее равенство: CCCmV ∆=∆=−+ '

2'1

'1 показатели левой

части одноименные показатели базисного года и их прирост, тогда 1221111 )()()( CCCmmVV ∆=∆+−∆++∆+ или CCmVCmV ∆=∆+∆+∆+−+ )()( 211211

после получения, при котором заменить разностью 1CC ∆−∆ , и тогда все его элементы будут относиться к I подразделению: 111 CCmV ∆−∆=∆+∆ .

30. ПЕРЕЧЕНЬ ИСХОДНЫХ ПРЕДПОСЫЛОК И ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ Анализ количественных свойств Марксовых схем расширенного

воспроизводства позволяет сформулировать исходные предпосылки, которые заложены в основу их конструкции и которые определяют все специфические черты этих схем. В целом структура совокупного годового продукта в материально-вещественном и стоимостном аспектах выглядит следующим образом:

1. В материально–вещественном составе создаваемого за год совокупного продукта выделяются два элемента, различающиеся по своему экономическому назначению, средствам производства и предметов потребления. Производство первых составляет I подразделение, вторых – II подразделение экономической системы. В составе стоимости продукции каждого из подразделений выделяются; возмещение переменного капитала

15

15

в размере заработной платы работников материального производства; стоимость прибавочного продукта.

2. Все средства производства воссоздаются по стоимости и в натуре в течение одного производственного цикла; )1()(1 +tCtP в частности, что фонд накопления средства производства каждого года t в следующем, (t+1) –м году образует прирост фонда их возмещения.

)()()1()(

)()()1()(

2222

1111

tCtCtCtKtCtCtCtK

∆=−+=∆=−+=

)()()1()( ttCtCtK ∆=−+= ,

где )(2 tK и )(2 tK - накопление средств производства, а t –м году соответственно в I и во II подразделениях; K(t) –общий объем фонда накопления средств производства t –года. Переменные )(1 tK и )(2 tK - накопление средств производства в t –м году соответствующей массы средств производства для года t; переменные )(1 tC∆ и )(2 tC∆ - то, чем они станут для будущего года.

3. Фонд накопления предметов потребления каждого года реализуется в следующем, (t+1) – и году за счет той части прибавочной стоимости t-го года, которая накапливается в данном подразделении в размере прироста переменного капитала. Запасы предметов потребления в следующем году присоединяются к фонду потребления работниками данного подразделения:

)()()1()()()()1()(

2222

1111

tVtVtVtStVtVtVtS

∆=−+=∆=−+=

)()()1()( tvtVtVtS ∆=−+=

где )(1 tS и )(2 tS - запасы предметов потребления, накапливаемые в I и во II подразделениях в t –м году; S(t) – общий объем этих запасов.

4. Органическое строение капитала каждого из подразделений есть величина известная и неизменная во времени;

consthVCconsth

VC

==== 22

21

1

1 ; .

5. Норма прибавочного продукта в каждом подразделении есть величина известная и неизменная во времени:

constzVmconstz

Vm

==== 11

11

1

1 ; .

6. Внешнеэкономических связей рассматриваемая система не имеет 0== EI .

40. КОЭФФИЦИЕНТ ВОЗМЕЩЕНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ КАПИТАЛА. Фиксация посредством показателей органического строения и нормы

продукта внутренних пропорций в стоимостном составе продукции обоих подразделений равнозначна заданию коэффициентов, измеряющих долю

16

16

каждого элемента стоимости в общей их сумме. По своему смыслу эти коэффициенты аналогичны широко используемым в практике удельным расходным нормативам. Введем следующие обозначения; constPCa jjj == : - коэффициент удельного возмещения постоянного капитала; constPVa jjvj == : - коэффициент удельного возмещения переменного капитала; constPma jjmj == : - коэффициент удельной рентабельности продукции j –го подразделения. Очевидно, что справедливы следующие соотношения.

I подразделение II подразделение

111 1

1zn

a++

= 22

2 11

zna

++=

11

1

11 znnav ++

= 22

2

12 znnav ++

=

11

1

11 znzam ++

= 22

2

12 znzam ++

=

1111 =++ mv aaa 1

222 =++ mv aaa Неизменность удельных затрат во времени означает, что в каждую единицу

прироста продукции в обоих подразделениях будет расходоваться столько же средств производства, сколько расходовалось в исходном году; поэтому коэффициенты a1 и a2 могут служить и для измерения дополнительной потребности в средствах производства, необходимых для прироста выпуска продукции:

)()()()()()();()(

2211

222111

tKtCиtKtCtPatCtPatC

=∆=∆∆=∆∆=∆

поэтому коэффициенты a1 и a2 наряду с измерением потребности в возмещении средств производства выполняют также функцию измерения потребности в их накоплении для обеспечения единицы прироста выпуска продукции:

)();()();(

222

111

tKtPatKtPa

=∆=∆

)()();( 2211 tKtPatPa =∆+∆

Последовательность расчетных операций в описанной модели расширенного воспроизводства может быть наглядно приложена с помощью блок-схемы, которая дана ниже. Кружками в блок-схеме обведены задаваемые извне структурные технико-экономические характеристики системы: пунктирные линии, ведущие от них к фигурным скобкам, означают использование этих показателей для определения граничных значений регулирующих параметров модели ),(tΓ )(tg и др. Последовательность расчетов такова:

17

17

1. Выбор регулирующего параметра (нормы накопления прибавочной стоимости одного из подразделений n1 и n2 пропорции 2: PK ∆∆=Γ дозирующего параметра q или какого нибудь иного).

2. Выбор в допускаемых пределах численного значения регулирующего параметра и введения его в лимитирующее соотношение

)()(1

)(1 2

2

2

1

1 tKtPa

atKa

a=∆

−+∆

−.

3. Решение лимитирующего соотношения относительно K и 2P∆ . 4. Введение полученных значений 2PиK ∆∆ в равенство

)(1

)(1

1)( 21

2

11 tP

aatK

atP ∆

−+∆

−=∆ (это формула является измерительными

полных затрат средств производства, связанных с выполнением единичной программы по выпуску конечных продуктов).

5. Расчет величины 1P∆ . В иллюстрации свойств модели воспроизводства обратимся еще раз к

схеме К. Маркса, и выпишем систему удельных коэффициентов прямых затрат.

I II aj 0,667 0,500 avj 0,167 0,250 amj 0,167 0,250

Подставляя эти значения коэффициентов в выражения

)(1

)(1

1)( 22

2

21 tP

aatK

atP ∆

−+∆

−=∆ и

)()(1

)(1 2

1

2

1

1 tKtPa

atKa

a=∆

−+∆

− получим следующие:

)()(5,1)(2);(5,1)(3)(

2

21

tKtPtKtPtKtP

=∆+∆∆+∆=∆

Полученные формулы выражают все приростные показатели схемы расширенного воспроизводства как функции фонда накопления средств производства K(t) и величины регулирующего параметра. Тем самым они еще раз свидетельствуют о роли … как потенциала расширенного воспроизводства. Возможность увеличения масштаба производства лимитируется в ней только фактором – массой накопленных средств производства. Как сложится картина экономической динамики, если производство в обоих подразделениях будет возрастать одинаковыми темпами. Ниже дана таблица СХЕМЫ РАСШИРЕННОГО ВОСПРОИЗВОДСТВА К.МАРКСА, ПОСТРОЕННОГО ДЛЯ СЛУЧАЯ РАВНОВЕСНОГО РОСТА ОБОИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ.

18

18

Фонд возмещения Фонд накопления Производства

I II Итого

I II итого

Фонд потребления

Всего

1-й I II V m

4000 - 1000 1000

1500 - 750 750

5500 - 1750 1750

364 91 - -455

136 68 - -204

500 159 - -659

- 2841 -1750 -1091

6000 3000 0 0

Итого 6000 3000 9000 0 0 0 0 9000 21-й I

II V m

4364 - 1091 1091

1636 - 818 818

6000 - 1909 1909

397 99 - -496

149 75 - -224

549 174 - -729

- - -1909 -1189

6546 3272 0 0

итогo 6546 3272 9818 0 0 0 0 9818 3-й I

II V m

4761 - 1190 1190

1785 - 893 893

6546 - 2083 2083

433 108 - -541

162 81 - -243

595 189 - -784

- 3382 -2083 -1284

7141 3571 0 0

Итого 7141 3571 10712

0 0 0 0 10712

Оба подразделения растут одинаковыми темпами, если в исходном году.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

727,0167,0

273,0(455,0

qr

nn

Уровень равновесного темпа прироста определяется по формулам:

2*

1

*

21

2*

1

*1*

22*

11

1 )1()1(11 aSa

aSaararan

nzn

nzT III +

−−=

+−

=+

=−

=−

После подстановки следа численных значений коэффициентов получаем %1,9097,0 ==−IIIT .

В таблице приводится система межотраслевых балансов расширенного воспроизводства, построенных для 3-х лишнего интервала при условии равновесного роста производства в обоих подразделения.

§ 2. Агрегирование модели развития экономики Сильно агрегированные модели экономики предназначаются обычно

для анализа основных тенденций развития экономики в течение продолжительного периода времени; двадцати, тридцати и более лет. В

19

19

таких моделях хозяйство описывается с помощью небольшого числа показателей.

Дело в том, что при исследовании долгосрочных тенденций развития детализация модели не имеет особого смысла, поскольку в подробной модели приходится предсказывать значения большого числа параметров на долгие годы вперед, что трудно осуществимо. В самом деле, при описании экономики страны с учетом ее многоотраслевой структуры приходится предсказывать возможности изменения технологии производства и соответствующие изменения в потребности сырья. Необходимо так же предсказать, какие полезные ископаемые будут открыты, какие источники энергии будут использоваться в экономике. Такую информацию вряд ли можно надежно прогнозировать на пятьдесят лет. Поэтому при построении моделей для долгосрочного анализа стараются использовать в них минимум исходной информации. В моделях долгосрочного прогноза необходимо иметь следующие пять блоков:

1. блок производственной деятельности; 2. блок научно-технического прогресса; 3. блок ресурсов; 4. блок демографии; 5. блок социально-экономических механизмов. Для среднесрочного и краткосрочного планирования применяют

более детальные модели. При построении моделей, прежде всего, нужно проанализировать смысл ее основных переменных и параметров. Рассмотрим так называемую односекторную модель. В односекторной модели продукция экономики считается однородной, т.е. состоящей как бы из одного продукта (это, конечно, очень сильное предложение). Обычно, под однородным продуктом понимают национальный (народный) доход. Под национальным доходом понимается совокупность материальных ценностей, произведенных в стране за год, за вычетом всех материальных затрат.

По своему материально-вещественному содержанию национальный доход есть та часть всего (как принято говорить, валового) материального продукта, которая пошла на потребления и накопления. Если обозначим через Vt национальных доходов в году t, через It – чистые капиталовложения (средства на расширение производства) в год t, а через Ct – потребление в год t, то, считая внешнюю торговлю сбалансированной (ввоз равен вывозу), можно написать: ttt fCL =+ . Под потреблением понимаются все непроизводственные потребления, как отдельных лиц, так и государства, включая затраты на оборону, образование, управление и т.д. Под капиталовложениями понимаются средства, направленные на увеличение оборотных фондов (запасов) и основных фондов производства. В простой модели будем пренебрегать капиталовложениями в оборотные фонды, капиталовложения приводят к росту основных фондов, величину которых в году t обозначим Kt.

20

20

Динамику основных производственных фондов можно описать при помощи соотношения: Kt+1=Kt+It. Национальный доход создается в процессе производства. В простейшей модели национальный доход в году t можно описать как функцию количества основных фондов и числа трудящихся, занятых в производстве в год t (это число мы обозначим через Lt): ),,( tLKFf ttt = . Эта зависимость является производственной функцией ресурсов – затрат труда Lt и основные фонды Kt. Свойства и типы производственных функций мы рассмотрим в следующем параграфе, сейчас же обратим внимание на то, что у нас появилась новая переменная Lt, число трудящихся составляет постоянную долю в населении страны, которое растет с темпом η, т.е. Lt=L0e ηt.

Механизм распределения дохода между потреблением и накоплением (капиталовложениями). Капиталовложения и потребление через эту норму накопления:

ttt

ttt

ttt

fSCfSI

fIS

)1(;

;/

−===

что 10 ≤≤ tS

В реальной экономике норма накопления меняется в более узких пределах. Например; норма накопления St не должна быть очень велика, чтобы обеспечить достаточно большую величину потребления Ct. В начальный момент времени t=0 числа трудящихся L0 и количество основных производственных фондов K0 заданы. Следовательно задав параметр η получим следующую прогнозную модель:

В системе есть лишь одна «свободная переменная » норма накопления St.

Можно считать ее управлением и изучать последствия ее изменения. В соответствии с этим разность уравнения Kt+1=Kt+It определяющая динамику

фондов, заменяется дифференциальным: dtdk

=I(t), и модель принимает следующий вид:

-

tL L

IK K

fSC

f S I

tLKF f

t t

ttt

ttt

tt t

tt

=

+=

− =

=

=

+

0

1

0

,)1 (

),,(

η

21

21

0

0

)0()(

)()())(1()(

)()()(),),(),(()(

KKtLtL

tIKtftStC

tftStIttLtKFtf

t

==

=−=

==

η

K0 – задано.

В более детальных моделях каждому из уравнений соответствует целый блок модели, описывающий некоторый элемент экономики с набором соотношений. При резукрепнении (дезагрегирование) данной модели получаются блоки производства и т.д.

§3. Производственная функция в простой агрегированной

модели экономики Производственная функция имеет следующий общий вид: );( axfy = , где y – результат деятельности, который, как уже говорилось, может быть вектором, x –вектор ресурсов, a – вектор параметров производственной функции. Показатели определяются, с одной стороны, нашими знаниями об изучаемой системе, а с другой – целями исследования. Например: при построении производственной функции страны ясно, что существенную роль играет численность трудящихся, объем основных производственных фондов, а также оборотных фондов, природных ресурсов (в том числе и земли). Модель ограничилась затратами труда и объемом производственных фондов как основными ресурсами промышленного производства. Важнейшим интегральным показателем является национальный доход, поэтому он используется в модели как результат деятельности экономики. Производственная функция имеет вид: ),,( tLKff = (переменная t выражает зависимость производственной функции от времени). Ресурсы K и L могут принимать, конечно, только неотрицательные значения:

.0,0 ≥≥ LK Первое экономическое предположение состоит в том, что при отсутствии

хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно. Математически это утверждение выражается в следующем виде:

0)0,(,0),0( == KFLF . Экономические предположения связаны с направлением изменения

количества используемых ресурсов. Предполагается, что рост используемого количества основных фондов и рост числа трудящихся приводят к росту

22

22

национального дохода, т.е. в случае дифференцируемых производственных функций.

0),(,0),(>

∂∂

>∂

∂L

LKfK

LKf , при K>0, L>0.

В условиях чисто экстенсивного роста производства (без технического прогресса) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования, т.е.

0),(,0),(2

2

2

2

>∂

∂>

∂∂

LLKf

KLKf .

Этот факт имеет вполне разумное объяснение. Поскольку каждая последующая единица производственного ресурса, количество которого возрастает, должно соединяться с все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, эффективность использования растущего ресурса уменьшается. Пусть, скажем на некотором предприятии на каждого рабочего, приходится несколько станков, которые он обслуживает. Если количество станков на предприятии будет увеличиваться, а количество рабочих оставаться прежним, это приведет к росту количества станков в расчете на одного рабочего. В условиях неизменных технологии производства, квалификации рабочих и технических характеристик станков это увеличение числа станков, хотя и вызовет некоторый рост выпуска продукции, станки будут использоваться менее эффективно, т.е. будут часть времени простаивать, причем, чем большее количество станков приходится на одного рабочего, тем больше будет время простоя.

При построении моделей современной экономики необходимо учитывать, что в настоящее время происходит быстрый процесс качественного изменения производства, который должен быть отражен в используемых производственных функциях. При пропорциональном росте количества используемых ресурсов производства в математической постановке этот вопрос имеет следующий вид, как связанные значения: ),( LKf и ),,( LKf где 0>λ . Конкретный вид зависимости ),( LKF λλ от величины λ . Наиболее часто при моделировании экономики страны используется предположение о том, что

),(),( KLfLKf λλλ = при 0>λ .

Рассмотрим изокванты. Производственная функция двух переменных

F(K,L) обладает тем свойством, что одно и то же количество национального дохода (скажем, Ve) может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства K и L. Геометрическое место точек на плоскости, LK , для которых eVLKf =),( , называется изоквантой.

Пример изокванты изображен на рис.

23

23

Пусть некоторый луч, проведенный из начала координат, пересекает изокванту, V(K,L)=Ve в точке K=K*, L=L*. Согласно, свойству

),(),( LkfLKf λλλ = при 0>λ , в точках луча, лежащих ближе к началу координат, чем точка ** , LK имеет V<V0, а в точках луча, лежащих дальше от начала координат, чем точка ** , LK имеем V>V0. Изокванта V(K,L)=V0 как бы разделяет точки плоскости LK , на два множества, для точек одного из которых V(K,L)<V0, а для другого V(K,L)>V0. Изокванту, задаваемую соотношения 0),( VLKf = , можно рассматривать как график зависимости K(L); эта зависимость является представлением неявной функции в явном виде. Из рисунка видно, что на изокванте выполняется следующее условие; функция

K(L) является монотонно убывающей, т.е. 0)(<

∂∂

LLK , что такое свойство

действительно присуще любой изокванте K(L) производственной функции описанного нами типа. Величинам K и L дадим малые приращения K∂ и L∂ так, чтобы точка dLLdKK ++ , так же лежала на этой изокванте т.е.

cfdlLdKKf =++ ),( . Тогда 0),(),( =−++ LKfdLLdKKf ,

так как величины dK и dL малы, 0),(),(=

∂∂

+∂

∂ dLL

LKfdKK

Lkf . Поэтому вдоль

изокванты выполняются соотношения:

KLKfLLKf

dLdK

∂∂∂∂

−/),(/),( .Величина DLLdK /)(=γ называется предельной нормой

замещения и показывает, сколько основных фондов может быть высвобождено при увеличении затрат труда на единицу (и наоборот, сколько основных фондов дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу), если мы хотим оставить национальный доход на прежнем уровне. Предельная норма

Km1

0 m1

Lh1 L

V<Vc

V>Vc

24

24

замещения γ имеет отрицательное значение, и это понятно: ведь при уменьшении использования одного из ресурсов, чтоб сохранить постоянное значение результата деятельности, использование другого ресурса надо увеличить. В количественной характеристике скорости изменения предельной нормы замещения γ при движении вдоль изокванты используется Q, которая называется эластичностью замещения ресурсов. Величина dLLdK /)(=γ называется предельной нормой замещения и показывает, сколько основных фондов может быть высвобождено при увеличении затрат труда на единицу, а наоборот, сколько основных фондов необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если мы хотим оставить национальный доход на прежнем уровне. Предельная норма замещения γ имеет отрицательное значение: при уменьшении использования одного из ресурсов, чтобы сохранить постоянное ее значение надо увеличить, количественную характеристику скорости изменения предельной нормы замещены γ , при движении вдоль

изокванты. Используются при этом величины Q, γ

γdLKLKdQ :

/)/(

= - которая

называется эластичностью замещения ресурсов. Величина Q, показывает, на сколько процентов должно изменится отношение основных фондов к количеству трудящихся при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на один процент. Характеристиками производственной функции являются так называемые коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам, которые определяются следующими формулами:

LLKf

LKfLE

KLKf

LKfKE Lk ∂

∂=

∂∂

=),(

),(,),(

),(.

Эти коэффициенты показывают, на сколько процентов изменится производство национального дохода при изменении затрат соответствующего производственного ресурса на один процент. На экономической практике часто используется такое понятие, как средняя фондоотдача, измеренная на основе национального дохода:

KLKf

KVФk

),(== .

С помощью этой величины коэффициент эластичности выпуска на основном фонде равен отношению производной национального дохода по основным фондам (так называемой предельной фондоотдачи) к средней фондоотдаче. Наиболее распространенные производственные функции (в масштабах страны) являются степенные производственные функции, которые для числа ресурсов

имеют вид, na

na xxVV ...1

10= Такая функция имеет вид βα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000 L

LKKff , где β,,,, 000 aLKf - положительные числа, находимые при

помощи анализа статической информации. Смысл этих чисел ясен: если K=K0, L=L0, то V=V0, что

25

25

),(),(,0)0,(,0),0( LKfLKfKfLf λλλ === т.е. обращается в нуль при нулевых затратах хотя бы одного ресурса производства и возрастает с ростом использования при этом понижается. НД рост пропорционального роста использования ресурсов, необходимо, чтобы выполнялось условие 1=+ βα . Впервые такая функция была предложена и построена американскими экономистами Коббом и Дугласом и носит их имя. С учетом выполнения условия 1=+ βα производственную функцию Кобба-Дугласа можно записать

в виде αα −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1

000 L

LKKfff . Ее изокванта cff = описывается уравнением

αα /11

000 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

LL

ff

KK c , что на изокванте V=Vc выполняются следующие

утверждения: 0)( =∞→

LKLimL

и +∞=→

)(0

LKLimL

. Предельная норма замещения

γ для производственной функции Кобба-Дугласа подсчитывается

следующим образом: LaKa

KfLf )1(

// −

−=∂∂∂∂

=γ . Предельная норма замещения для

функции Кобба-Дугласа является, линейной функцией фондовооруженности K/L и при пропорциональном росте факторов не изменяется. Изокванта фондовооруженности как функция предельной нормы замещения имеет вид:

γa

aLK

−=

1. Тогда эластичность замещения подсчитывается следующим

образом: 1,1)/(

)/()/(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−= Q

aa

LKdLKd

LKQ γ

γγ . Подсчитаем также коэффициенты

эластичности выпуска:

01

0

1

0

1

01

000

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

−−−

− KKKa

LLf

LL

KKf

KKf

VKE ck

αα

ααα.

Аналогичным образом получаем, что aLf

VLEL −=∂∂

= 1 . Для производственной

функции Кобба-Дугласа соответствующую ей зависимость удельного выпуска от фондовооруженности )(kϕ . Она в данном случае имеет вид:

,1)1,()(0

0

1

000

αα

ϕ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−

RRy

LKRfRFR

a

где 0

00

0

00 ,

LV

yLK

R == .

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующее свойство: +∞=

∞→

)(RLimk

ϕ т.е. производство с ростом фондовооруженности может,

неограниченно расти. Изокванты функции на рис.6 изображены три изокванты производственной функции Кобба-Дугласа с одним и тем же выпуском продукта 0ff c = .

26

26

Первый, а=0,5, второй – а=0,25, третий – а=0,75. все три кривые имеют асимптоты оси координат, хотя и приближаются к ним с одной скоростью. Это стремление к координатным осям означает, что любое данное количество продукта может быть произведено при сколько угодно малом количестве другой. Так, нехватка основных фондов согласно изоквантам функции Кобба-Дугласа может быть всегда компенсирована достаточным количеством рабочих. Другим недостатком функции Кобба-Дугласа является равенство единице эластичности замещения ресурсов. Часто экономическое соображение подсказывает, что хотя эластичность замещения ресурсов и можно считать постоянной, равенство ее единицы вряд ли верно.

§ 4. Исследование некоторых производственных функций 1. Функции Кобба-Дугласа:

αα −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

000 L

LKKff , (4.1)

где 000 ,, LKf - положительные постоянные, 10 << a . Заметим, что эту функцию можно записать в другом более удобном для запоминания виде:

αα −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

000

0

LL

KK

ff (4.2)

С∆

K0

0

L0

27

27

Найдем для этой функции эластичность замещения Q, предварительно найдя предельную норму замещения γ на некоторой изокванте

pp

LK

LK

aa

KfLfff

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∂∂∂∂

−==1

0

00

1//: γ (4.6).

что на изокванте предельная норма замещения является функцией фондовооруженности K/L, причем фондовооруженность связана со значением γ соотношением:

)1/(1

0

1pp

LK

aa

LK

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= γ .

Поскольку K/L и g связаны соотношением (4.6) сразу получаем, что p

Q+

=1

1 .

2.Функция CES (Солоу). Исследуем свойства этой функции. Рассмотрим ее изокванты. Пусть солff = . Уравнение изокванты для функции

ppp

LLa

LKaff

/1

00

)1(

−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= имеет вид:

ppp

LLa

KKa

ff

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

00

0 )1( , т.е.

ppp

c

LLa

ff

aKLK

/1

000 )1(1)(

−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Эта кривая имеет две асимптоты. При +∞→L основные фонды К постоянно убывают, но стремятся не к нулю, как в случае функции Кобба-Дугласа, а к некоторому положительному числу:

0

/10

/1

000 )1(1)(

ff

aKLLa

ff

aKLK cp

ppp

c

LLim =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

+∞→

.

Аналогичным образом можно показать, что в изокванте cff = имеют вид, которые изображены на рисунке ниже.

28

28

Таким образом, при использовании функции с постоянной эластичностью замещения удается избежать противоречий связанных с неправдоподобно большими возможностями замены одного ресурса другим. Подсчитаем коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам для функции CES.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=−−

−

pp

p

k

LLa

KKa

KKaLf

fKE

00

0

)1(

)/( .

Аналогичным образом, можно подсчитать, что

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

−−

−

pp

p

L

LLa

KKa

LLaE

00

0

)1(

)/)(1( .

Легко заметить, что здесь как в случае Кобба-Дугласа Ek<1, EL<1, т.е. предельная эффективность ресурса меньше средней. Заметим, что коэффициенты эластичности ресурсов можно записать в другом виде, эквивалентном уже полученному:

p

p

Lp

p

k LLVV

aEKKVV

E)/()/(

)1(,)/()/(

0

0

0

0 −== .

При стремлении величины РК видны все характеристики функции CES, которая стремится к соответствующим характеристикам функции Кобба-Дугласа.

0

Средства производства

29

29

Действительно,

Функция )(kf определяет

F(K,L) утверждение о том, что функция Кобба-Дугласа получается из

функции CES путем предельного перехода при 0→p . Что будет при стремлении параметра P к своей другой границе, т.е.

при +∞→p . Исследуем эту проблему. Для этого найдем: )(kLim

pϕ

∞→

. Это можно

сделать следующим образом: pp

p

pp

pces

pa

RRaya

RRayk LimLimLim

−−

∞→

−−

∞→∞→ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1()1()(

/1

00

/1

00ϕ .

Легко заметить, что при 0RR ≥ первое слагаемое выражение в квадратных скобках стремится к нулю, а все выражение – к единице, поэтому при 0RR > имеем 0)( yRKfces

pLim =

∞→

.

При R<R0 полученное выражение преобразуем следующим образом; вынесем за квадратную скобку R/R. Тогда получим:

pp

pces

p RRaa

RRyk LimLim

−

∞→∞→ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

/1

000 )1()(ϕ .

Второе слагаемое выражение в квадратных скобках стремится к нулю (ведь R<R0) и все это выражение – к единице. Поэтому в данном случае:

00)(

RRykces

pLim =

∞→

ϕ .

Если новую функцию зависимости удельного выпуска от фондовооруженности обозначить через )(Rf∞ , то для нее можно выписать формулу;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤==

∞→∞

00

00

0)()(RRприy

RRприRRy

kk cesp

Limϕϕ или

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∞ 1,min)(0

0 RRykϕ .

Производственная функция ),( LKf для этого случая имеет вид:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∞00

0000

0 ,min1,,min1,min),(LL

KKf

KL

LK

LfL

RRLyLKϕ .

LaaK

LK

LK

aa

DQKp

Q

pp

CES

CES

−−→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−=→+

=

+−11

11

1

1

0

0γ

30

30

Эту функцию так и называют – производственной функцией с нулевой эластичностью замещения. Другое название – производственная функция с постоянными пропорциями. Еще одно звание – кусочно-линейная производственная функция. Исследуем изокванты кусочно-линейной производственной функции. Чтобы произвести некоторое количество национального дохода Vc, рационально взять такое количество основных фондов Kc и рабочей силы Lc, чтобы выполнялись равенства 00 // ffKK cc = и 00 // ffLL cc = . Тогда ни один ресурс в избытке не будет. Если мы увеличим количество рабочих, взяв такое L, что L>Lc, то получим:

ccc f

KK

fLL

KK

ff ≤=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

000

0 ,min .

С другой стороны, если при данном L=Lc возьмем большое количество основных фондов K, т.е. K>Kc , то получим:

ccc f

KK

fLL

KK

ff ==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0

000

0 ,min .

Таким образом, изокванта производственной функции с постоянными пропорциями представляет собой вертикальный и горизонтальные дуги, исходящие из точки рационального количества основных фондов и рабочей силы. (рис. 10). Глядя на такие линии уровня, можно легко догадаться, что на изокванте Vc=V0 на вертикальной части (т.е. при K>Kc, L=L0, для Vc=V0)

.0,0, ==−∞= Lk EEγ Те же значения величин Lk EE ,,γ можно получить и для остальных изоквант. Этот результат становится очевидным, если учесть, что выше луча ОА, на котором расположены точки сбалансированного использования ресурсов (т.е. R=R0), имеем

00

000 ,,min

LLf

LL

KKff =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

а ниже этого луча,

00

000 ,,min

LLf

LL

KKff =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= .

Поэтому на вертикальных частях изокванты

0

0,0Lf

Lf

Kf

=∂∂

=∂∂

а на горизонтальных 0,0

0 =∂∂

=∂∂

−Lf

Kf

Kf .

31

31

Отсюда, сразу получаем значения Lk EиE,γ указанные выше. Эти же значения Lk EиE,γ могут быть получены путем предельного перехода при

+∞→p из значений этих величин для функций с постоянной эластичностью замещения. На этом заканчиваем рассмотрение производственных функций с двумя факторами. В заключении скажем, какие же производственные функции лучше выбирать для описания народного хозяйства. Функция с постоянными пропорциями вряд ли подходит для этого, поскольку увеличение объема производства. Ее применяют лишь тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй избыточен. Таким образом, остаются системные функции (в том числе функции Кобба-Дугласа) и функции с постоянной эластичностью замены. Число степенных функций используется чаще, поскольку параметры степенных производственных функций оценить значительно легче и работать со степенными функциями проще. Их основной недостаток – возможность полной замены одного ресурса другим не является существенным, поскольку в исследованиях бывают, интересны значение ресурсов, достаточно близкие к уже использующимся в производстве в данный момент. Поэтому неправдоподобность поведения степенных функций в области малых количеств ресурсов не так уж важна. Подчеркнем еще раз, что производственные функции здесь оценивались с точки зрения моделирования экономики в моделях долгосрочного прогнозирования.

0

L

K

32

32

§ 5. Исследование простейшей модели экономики

В этом параграфе мы вернемся к простейшей модели экономики, которая была сформулирована в первом параграфе, и исследуем эту модель, используя при этом свойства в двух предыдущих параграфах. Перемещать еще раз модель, причем зависимость производственной функции от времени пока учитывать не будем:

))()),(()( TLtKftf = (5.1)

)6.5()0()5.5()()4.5()()3.5()())(1()()2.5()()()(

0

0

KKeLtL

tIKtVtStC

tftStL

t

==

=−=

=

η

Исследование модели (5.1)-(5.6) будет состоять из исследования ее различных траекторий. Сначала проанализируем некоторые общие характеристики траекторий этой системы на основе свойств производственных функций.

),(),(0)0,(,0),0(

LKfLKfKfLf

λλλ ===

при 0>λ .

Запишем модель (4.1)-(4.6) в более простом виде. Для этого подставим соотношение (4.2) в (4.4) , получим: ttLtKftSK η

0),(()(= . Аналогичным образом, можно получить соотношение для потребления. Аналогичным образом можно получить соотношение для потребления: ttLtKftStC η

0),(()(1()( −= . Теперь наша модель описывается только этими двумя соотношениями, а так же начальным условием (5.6). Поскольку уж знаем, какие из величин, используемых в модели, изменяются во времени, для сокращения размеров формул в тех случаях, когда это не сможет вызвать недоразумений, зависимость переменных от времени подчеркивать не станем и, например вместо K(t) будем писать просто K. Теперь перейдем к новым переменным: R=K/L (фондовооруженность) и C=C/l (потребление на одного трудящегося). Используя свойство

0),(),( =→= λλλλ LKfLKf производственных функций, получаем вместо соотношения )),(/)( 0

teLtKFtSK η= следующие соотношения:

kkSfeL

eLLRRS

LL

LKLKSf

LLKLKL

LK

dtdR t

t

ηη

ϕ η

η

−=−=−=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )()(),(1

0

002

0

,

а вместо соотношения fkSLkFL

SLCtC )1(),(1)1()( −=−== . Теперь нашу модель

можно переписать в следующем виде:

)12. 5 ( )0 () 11. 5 ( ) ( *)1() 10 . 5()(

0 R R

R f S C

k k Sfk

=

− =

− = η

33

33

Подчеркнем, что каждой траектории модели (5.10)-(5.12) можно сопоставить траекторию модели (5.1)-(5.6). Исследованием модели (5.10)-(5.12), мы займемся, в этом параграфе, не выбрав конкретную производственную функцию, нельзя построить траекторий данной модели, но, тем не менее, можно получить некоторые ее общие свойства. Прежде всего, исследует вопрос о свойствах траекторий модели при постоянной доле капиталовложений в национальном доходе, т.е. при S(t)=S=const. Эти свойства важны не только с теоретической точки зрения, поскольку как показывает экономическая практика, доля капиталовложений во многих странах слабо зависит от времени. В случае постоянной доли капиталовложений коэффициенты дифференциального уравнения (5.10) не зависят от времени, потому возникает вопрос о существовании таких значений фондовооруженности

−

R , что при −

= RR0 решением уравнения (5.10) будет функция −

≡ RtR )( . Такие значения величины k принято называть равновесными (стационарными) точками уравнения (4.10). Для того чтобы найти все точки k, надо найти все решения

уравнения R=0, т.е. 0)( =−−−

RRSf η (4.13). Сначала проведем графический анализ задач. Для этого построим графики функций )(RSfy = и Ry η= . Они изображены ниже, из которого следует, что два искомых значения

0: =

−

RR и *RR =−

. Точка 0=

−

R является решением уравнения (5.13) при любых значениях η,S и параметров производственной функции, так как 0)0( =f . Ненулевое пересечение графиков )(kSry = и ky η= обозначение через *R

34

34

существует не всегда, поскольку эти два графика не обязаны пересекаться. Во-первых, может оказаться, что для всех 0>k будем иметь неравенство

RRSf η<)( (5.14) Во-вторых, возможно, что при всех 0>k будут выполняться условия

RRSf η>)( (5.15) В обоих случаях точка *R отсутствует. Рассмотрим вопрос о том, при каких значениях параметров возможны случаи (5.14) и (5.15).

1. Для того чтобы при всех R>0 выполнялось условие (5.14) необходимо, чтобы это условие выполнялось и при малых значениях R. При малых значениях R имеем [ ])0()0()( 'kffSRSf +≈ . Поскольку, 0)0( =f , то для выполнения условия (5.14) необходимо, чтобы при малых 0>k выполнялось условие: Покажем, что это условие является и достаточным для выполнения (5.14). Действительно, для всех 0>k имеем, 0)(" =kf следовательно, )0()( '' fkf > для всех 0>k . Поэтому, )0()( 'kfkf < т.е. RSrfrSf η<< )0()( ' для всех

0>k мы получили условие (5.14). Итак, для того, чтобы при всех 0>k выполнялось условие η<)0("Sf . Заметим, что для производственной функции с

постоянной эластичностью замены (5.5) имеем 0

0/1' )0(Ry

af p−= . При достаточно

большой эластичности замены (т.е. при достаточно малых значениях P) величина )0('f велика, а для функции Кобба-Дугласа даже бесконечно велика. Поэтому, для производственной функции с достаточно большой эластичностью замена условия (5.14) при малых 0>k выполнятся, не может, тем более что параметр η имеет величину порядка несколько процентов.

2. Рассмотрим теперь вопрос о возможности выполнения условия (5.15) при всех 0>k . Условие (5.15) эквивалентно условию положительности при 0>k функции kRSfk ηϕ −= )()( . Эта функция непрерывна; для экономики страны при малых R, как это следует из анализа, проведенного в пункте 1, имеем: 0)( >kϕ . Поскольку функция с постоянной эластичностью замены, как показано в предыдущем параграфе, имеет горизонтальную асимптоту, при Payy −−= )1(0 и

∞→R , то при достаточно больших R имеет )()()1(0 RSfCESRfCESayR P ≥>−> −η т.е. 0)( <Rϕ . Для функции Кобба-Дугласа также можно показать, что 0)( <Rϕ при достаточно больших значениях k . Хотя функция Кобба-Дугласа и не имеет асимптоты при ∞→R достаточно больших k справедливо соотношение

RRRSyRDSfK

a

η<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

00)( . Поэтому, условие (5.15) не может выполняться при

всех R>0. Из того, что при малых k имеем, 0)( >Rϕ , а при больших k имеем 0)( <Rϕ , то в силу непрерывности )(Rϕ заключаем, что существует значение

*RR = , при котором 0)( * =Rϕ , т.е. ** )( RRSf η= . Из того, что функция kη растет линейно по R, а для )(RSf имеет 0)(" <RSf можно понять, что точка *R единственна. Таким образом, в графике выше представлена характерная

35

35

картина соотношения функций Rη и, )(RSf т.е. имеются всего две точки их

пересечения: 0=−

k и *RR =−

. Сами по себе стационарные точки дифференционального уравнения (5.13) особого интереса не представляют. Они важны тогда, когда и с этими точками сходятся траектории уравнения (5.13). Попытаемся проанализировать качественную ситуацию, изображенную в графике. Для любого значения k из интервала *0 RR << справедливо неравенство RRSf η>)( , поэтому для всех таких точек имеем 0)( >−= RRSFR η , т.е. на всех траекториях, начинающихся в любой точке интервала ),0( *R , значение k будет расти до тех пор, пока величина k не достигнет значения *R ,

если в начальный момент система находилась в равновесной точке 0=−

k , то любое малое возмущение приведет ее в точку 0>k , а далее система начнет

уходить все дальше от исходного значения 0=−

k . В этом случае говорят, что такая равновесная точка неустойчива. Рассматривать ее не имеет смысла. При

*RR > имеет 0)( <−= RRSfR η . Поэтому при *RR > величина R будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет значения *R . Из проведенного здесь анализа легко понять, что все траектории уравнения (5.13) при любом исходном значении 00 >R стремятся к *R . Если же *

0 RR = то, *)( RtR = причем малые случайные возмущения не приводят к существенному отклонению от R . Говорят, что равновесная точка *RR = устойчива. Если *)( RtR ≡ для модели (5.10)-(5.12) то для (5.1) и (5.6) получаем: nLeLRtLtRtK 0

*)()()( == . Аналогичным образом nLeLRftRftLTtV 0

* )())(()()( == . С тем ее темпом роста населения η растут потребления )(tC и капиталовложения )(tI . Такую ситуацию принято называть режимом сбалансированного роста. Итак, для модели (5.1)-(5.6) режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной норме капиталовложений. Конечно, режим сбалансированного роста сам зависит от величины нормы капиталовложений S , так как от S зависит значение *R . При росте S величина

*R возрастает, а при η убывает. Поскольку все траектории роста модели (5.1)-(5.6) сходятся к сбалансированному росту, который зависит от величины постоянной доли капиталовложений S , то возникает вопрос о том, какой режим сбалансированного роста предпочтительнее. Для этого, прежде всего, необходимо ввести критерий, с помощью которого мы будем сравнивать различные режимы. Поскольку экономическая система предназначена для решения важных различных задач, то фактически можно построить огромное число несовпадающих критериев. В задачах планирования и прогнозирования развития экономики проблема выбора критерия развития окончательно не решена и до сих пор. Одним из способов обойти ее является программный метод планирования. В модели рассматриваемой в данном параграфе вопрос о выборе критерия развития экономики относительно прост: поскольку основной целью является экономическое удовлетворение потребностей населения, для оценки различных режимов сбалансированного роста можно взять уровень

36

36

потребления в расчете на одного трудящегося, т.е. величину С . При сбалансированном росте: )()1( *RfSС −= .Причем *R также зависит от величины S . Напомним, что зависимость )(* SR определяется соотношением (5.13). Поэтому, где )(** SRR = условие экстремума этой функции выписывается в

виде [ ] 0)( ** =− RRFdSd η или [ ] 0)(

** =−

dSRRf η анализируя график, легко понять,

что 0*

>dSdR и условие экстремума принимает вид: η=)( *' Rf . Заметим, что в

случае интересующих масс производственных функций )(Rf , для которых характерны большое значение )0('f и малое значение )(' Rf при достаточно больших R , всегда существует единственная точка *R , удовлетворяющая условие (5.16) наилучшую величину

^S после этого можно выбрать из

соотношения (5.13) и, т.е. )( *

*^

RfRS η

= , так что интересующее нас значение ^S

всегда существует и единственно. Надо, вообще говоря, проверить, что полученное описанным образом значение

^S при максимальному, не

минимальному потреблению. Мы этого делать не будем. Проектируем полученный результат, который графически ниже показан. Оптимальная величина *R согласно нахождению на графике )(Rf такой точки, где, η=)(' Rf т.е. ηβ =tg . Затем из начала координат проводится прямая nR , и ее пересечение с вертикальной прямой задает значение *nR , через которое должна пройти кривая )(

^RfS найденное значение

^S обеспечивает максимальное потребление с

в сбалансированном режиме. Проводим предварительные итоги исследования модели (5.1)-(5.6) при постоянной норме накопления S . В любом случае траектории системы асимптотически сходятся к сбалансированному росту, темп роста на котором равен темпу роста населения страны. Такой результат довольно неутешителен, поскольку потребление на душу населения при сбалансированном росте экономики остается постоянным. Возникает вопрос о том, нельзя ли добиться лучших результатов, если использовать изменяющуюся во времени управления – норму накопления )(tS ? Проведем соответствующий анализ. Будем рассматривать модель (5.1)-(5.6) или, модель (5.10)-(5.12) с управлением )(tS . Прежде всего, необходимо решить проблемы выбора критерия, по которому мы будем оценивать различные варианты развития экономической системы (5.10)-(5.12). При исследовании различных вариантов сбалансированного роста мы брали в качестве критерия величину C - потребление на одного трудящегося в единицу времени. Так можно было поступать потому, что на траекториях сбалансированного роста модели (5.1)-(5.6) эта величина остается постоянной. Теперь при изменяющемся во времени управления )(tS , потребление на одного трудящегося в единицу времени также является переменностью величины естественно максимизировать суммарное потребление за весь период планирования, т.е. величину

37

37

∫=T

dttCU0

)( (5.7)

где T - горизонт планирования. Часть в место критерия (5.7) используют его

общий вид: ∫=T

dttCtqU0

)()( , где )(tq - заданная функция, соизмеряющая

потребление в различные моменты времени. Обычно, предполагают, что 1)( =tq и )(tq является монотонно убывающей функцией времени 1t , например

teqtq δ−= 0)( , где δ - заданная неотрицательная величина. В данном исследовании мы ограничимся критерием (5.17). При исследовании роста экономики за конечный период времени необходимо подумать и о том, чтобы основные фонды в расчете на одного трудящегося в конце исследуемого периода времени были достаточно велики, т.е. наложить ограничение на величину )(TR . Это ограничение имеет вид: TRTR =)( . Теперь наша задача может быть поставлена следующим образом: найти такую зависимость от времени нормы накопления

TttS ≤≤0)( , чтобы для модели (5.10)-(5.12) с дополнительным условием (5.18) максимизировать критерий (5.17), причем величина нормы накопления должна удовлетворять ограничение 1)(0 ≤≤ tS . Заметим, что поставленная здесь задача не всегда имеет решение. Можно выбрать настолько большое значение TR , что такая фондовооруженность окажется недостижимой для системы, описывается моделью (5.10)-(5.12) за период времени [ ]T,0 . это показывает важность предварительного анализа модели (5.10)-(5.12) с помощью метода опирающегося на построение множеств достижимости. Рассмотрев множество достижимости для системы (5.10)-(5.12) за период, [ ]T,0 т.е. множество всех достижимых за период [ ]T,0 значений )(TR , можно выбрать разумную величину TR , после чего сформулированная здесь задача оптимизации будет иметь решение. Оказывается, что при достаточно больших значениях горизонта планирования T оптимальное управление )(tS состоит в следующем: сначала необходимо выбрать такое значение )(tS , чтобы как можно быстрее попасть в точку *R , определяемую из соотношения (5.16), затем в течение почти всего

периода времени величина )(tS должна быть равна ^S , а в конце периода

необходимо за минимальное время перевести сметему из точки *R в TR . Таким образом, мы опять пришли к сбалансированному росту в модели (5.1)-(5.6) с максимальным потреблением на одного трудящегося, причем сам факт выхода на траекторию сбалансированного роста не зависит от значений 0R и TR если последнее значение находится в разумных пределах. Такое свойство модели (5.10)-(5.12) а следовательно и модели (5.1)-(5.6) принято называть магистральным по аналогии с решением следующей задачи: когда необходимо проехать на автомобиле из пункта A в достаточно отдаленный пункт Б, а неподалеку проходит магистраль, то самым разумным решением будет выход кратчайшим путем на магистраль, затем проезд по магистрали как можно ближе к цели путешествия, после чего кратчайшим путем добраться до пункта Б. Итак,

38

38

экономическая система описывается моделью (5.1)-(5.6) с производственной функцией, зависящей только от основных фондов и числа трудящихся, растет с темпом роста, не превышающим темп роста населения. Причина этого явления состоит в том, что в модели не отражены возможности повышения эффективности производства, технического прогресса. Проведенный в этом параграфе анализ, в сущности, подчеркивает важность технического прогресса в развитии экономики страны, его фундаментальную роль. После изучения изложенного здесь материала должны еще лучше понять роль мероприятий, проводимых в нашей стране по повышению эффективности производства с точки зрения построения математических моделей экономики. Ясно, что в них необходимо учитывать технический прогресс. В противном случае построенная модель не сможет правильно отразить особенности развития экономики, в которой роль технического прогресса непрерывно возрастает.

§6. МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА

В этом параграфе изложены основные методы, используемые для описания процесса повышения эффективности использования ресурсов в агрегированных моделях долгосрочного прогнозирования. Что росту эффективности использования производственных ресурсов способствует большое число технических, организационных и социальных факторов, причем трудно выделить роль каждого из них. В экономико-математических моделях под техническим процессом обычно понимается совокупность всех явлений, которые приводят к увеличению количества продукции без роста объемов используемых ресурсов. Среди методов описания технического прогресса в сильно агрегированных моделях, используемых при анализе долгосрочного развития экономики, можно выделить четыре основных направления.

Во-первых, это подход на основе так называемого автономного технического прогресса. В этом подходе считается, что рост эффективности использования ресурсов не зависит от капиталовложений и динамики рабочей силы и привносится извне.

Во-вторых, подход на основе «овеществленного» технического прогресса. Здесь предлагается, что процесс вносится вместе с новым, более совершенным оборудованием и новой более квалифицированной рабочей силой, причем улучшение оборудования и повышение квалификации опять же задаются извне как функции времени.

В-третьих, подход на основе «индуцированного» технического прогресса, в котором прогресс связывается с предыдущим развитием экономики, как бы является следствием этого развития.

В четвертых, подход на основе выделения особой отрасли в экономической системе: продуктом этой отрасли является технический прогресс. В предлагаемом прогрессе кратко рассмотрим все четыре подхода.

Автономный технический прогресс моделируется как заданное извне улучшение качества основных фондов K или квалификации рабочей силы L и в производственной функции учитывается следующим образом:

39

39

))(,)(( LtBKtAFV = , (6.1) где )(tA и )(tB - заданные функции времени, причем )(tA описывает повышение эффективности использования основных фондов, а )(tB - повышение эффективности использования трудовых ресурсов. Обычно, выделяются при основных случаях автономного технического прогресса: 1). )()( tBtA ≡ т.е. эффективность использования основных фондов и трудовых ресурсов растут со временем пропорционально в этом случае: ),()( LKFtAV = (6.2) 2). 1)( ≡tA т.е. растет эффективность использования трудовых ресурсов, эффективность же основных фондов остается на прежнем уровне в этом случае:

))(,( LtBKFV = (6.3) 3). 1)( ≡tB т.е. растет эффективность использования основных фондов, в то время как эффективность использования трудовых ресурсов остается без изменения в этом случае ),)(( LKtAFV = .

Можно приводить различные выводы «за» и «против» для каждого из отдельных вариантов автономного технического процесса (6.1). В каждом из них повышение эффективности производства зависит только от времени.

Обычно, предполагает, что tt etBetA 21 )(,)( ββ == и затем путем обработки

соответствуют экономической статистики, находят значения параметров 1β и 2β . Автономный технический прогресс является простейшим подходом к

моделированию изменения эффективности производства. Как показали исследования в некоторых случаях (пример, экономика США за 1908-1949 годы) лучше всего оправдывается вариант (6.2) с пропорциональным ростом эффективности ресурсов: в других случаях более предпочтительным является вариант (6.3) и (6.4). Общей особенностью автономного технического прогресса является его независимость от капиталовложений, т.е. от появления новых фондов. Поскольку, весьма важным, а может быть и самым главным, является вопрос об источниках происхождения технического прогресса, описание его в виде таинственной силы, которая автоматически увеличивает, эффективность производства часть не является не удовлетворительным. Это становится особенно ясно, если обратить внимание на один факт, что, как показывают оценки параметров производственный функций с автономным техническим прогрессом, в развитых индустриальных странах темп роста национального дохода определяется на ¾ автономных процессов. Поэтому, на основе производственных функций типа (6.1) можно было бы сделать вывод о том, что и без капиталовложений можно сохранить высокий темп роста экономики. Очевидно, что это не альтернативные модели «овеществленного» технического прогресса. Из них наиболее популярна модель технического прогресса «овеществленного» в основных фондах. Предполагается, что более эффективными с течением времени установляется не все основные фонды, а только вводящиеся в данный момент, временные. Точнее говоря,

40

40

производственная функция для основных фондов, введенных в V году, имеет

вид: )()()( 1 VLVKeVV aaV −= β, где β и α постоянные, K- количество

основных фондов, введенных в году V , −L число рабочих занятых на этих фондах. Здесь для фондов года V взята производственная функция Кобба-Дугласа с автономным техническим прогрессом типа (6.2) описываемым

экспонентом Ve β

. Подчеркнем еще раз, что отличие от автономного прогресса (6.1) здесь соотношение (6.5) верна лишь для фондов, в веденных в году V . Если через ),( tVK обозначать количество основных фондов, выпущенных в году ϑ и сохранившийся к году t , через ),( tVL количество трудящихся, работающих на этих фондах, то производственная для всех основных фондов и всех трудящихся в году t будет, имеет вид:

∫ ∫∞− ∞−

−==t t

dVtVLtVKedVtVVtV V ),(),(),()( 1 ααβ (6.6)

т.е. мы интегрируем выпуск ),( tVV по всем годам до текущего момента. Обратим внимание на тот факт, что общее число имеющихся в году t основных фондов )(tK можно получить по формуле

∫∞−

=t

dtKtK ϑϑ ),()( (6.7)

а общее число трудящихся )(tL - по формуле

∫∞−

=t

dVtVLtL ),()( (6.8)

Количество трудящихся )(tL , которые мы считаем равным всему количеству трудоспособного населения, может быть по разному распределено между основным фондами, поэтому для построения производственной функции, связывающий национальный доход )(tV с общими основными фондами 0(tK и общим количеством трудящихся )(tL необходимо выдвинуть гипотезу о выбытии основных фондов, например: )()(),( VteVItVK −µ , где )(VI - капиталовложение в году V (т.е. основные фонды изнашиваются с темпом µ ) после формулировки таких гипотез связь между )(,)(),( tLtKtV будет описано полностью. Иногда используются варианты «овеществленного» прогресса, в которых технический прогресс приносится в экономическую систему не только с новыми основными фондами, но и с ростом квалификации рабочей силы; есть и другие варианты. И хотя и все они обладают существенным достоинством, состоящим в том, что прогресс связывается с капиталовложениями, все-таки происхождение технического прогресса остается неясным. Для его объяснения часто используются модели, которые основаны на идее «индуцированного» технического прогресса.

41

41

В одной из наиболее простых моделей такого типа предлагается, что технический прогресс зависит от того, сколько капиталовложений уже было сделано в данной стране. Такое воздействие моделей объясняют следующим образом: чем больше производится капиталовложений, тем больше совершается открытий и изобретений, приводящих к техническому прогрессу. Если обозначить через )(VG суммарное количество капиталовложения произведенных в стране к году V , то )(VG можно подсчитать по формуле:

∫∞−

=V

dIVG ττ)( (6.10)

Пусть, технический процесс состоит в том, что повышается эффективность использования трудовых ресурсов, когда эти ресурсы используются на основных фондах. Все более позднего времени т.е. )),()(),,((),( tLBtKFtV ϑϑϑϑ = . Поскольку основная идея «индуцированного» технического прогресса состоит в зависимости )(VB от суммарного количества капиталовложения )(VG , то

предполагается что ))((

1)(VGq

VB = , где )(Gq некоторая монотонно убывающая

функция G . Пусть, используемая здесь производственная функция для основных фондов года V являются функцией с постоянными пропорциями. Тогда,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00min

),())((

1,),(),(L

tVLVGqK

tVKAtvV (6.11)

В этом случае технический прогресс можно интерпретировать как уменьшение числа рабочих, необходимых для полного использования единицы основных фондов. Предположим для простоты, что основные фонды служат без износа Т лет, после чего выбрасываются. Тогда величина k(v, t) может быть определена

по формуле. ⎩⎨⎧

≥−<−

=TvtприTvtприvI

tvk,0

,)(),( . Соотношение (6.12) будет

использовано вместо экспоненциального выбывания (6.9) общее количество

основных фондов равно ∫−

=t

Tt

dvvItk )()( . Если предположить, что каждый год

делаются такие капиталовложения I(Q) чтобы обеспечить полное использование рабочей силы L(t) больше, то получим, что

)13.6(,)())((

1),(

00 LvtL

vGqktvk

=

причем

)14.6(),()( ∫−

=t

Tt

dvtvLtL

Соотношение (6.13) будучи поставлено в (6.14) дает формулу

42

42

∫−

=t

Tt

dvvcqtvkkL

tL ))((),()(0

0 . Пусть для простоты, ,)( 0hGqGg −= где

hq ,0 постоянные ).1,0(∈h Затем, что по этому формулу (6.15) можно переписать в виде:

( ) )16.6()()(1

1)( 110

0

00

)( 0

0 TtGtGh

qKLdvq

KLtL hh

t

TtC

−−−

== −−

−∫

Полный национальный доход можно рассчитать по формуле

[ ] )17.6()()(1),(),()(0

)(

)( 00

τ−−==== ∫∫ ∫−− −

tGtGKAdG

KAdv

KtvKAdvtvvtv

tG

TtG

t

Tt

t

Tt

Из соотношений (6.16) и(6.17) получаем

)18.6())(

)(11(1)()( 1)/(11

0

0

00⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−= −

−h

h tGtL

LK

qhtG

KAtv

Соотношение (6.18) описывает производственную функцию с ‘’индуцированным’’ техническим прогрессом, вносимым путем осуществления капиталовложения.

§ 7. Учет возрастных факторов в моделях экономического роста

Моделям долгосрочного развития экономики посвящены ряд работ, в которых динамические процессы описаны при помощи разностных уравнений. В качестве производственных функции в этих параграфах берутся либо производственные функций в дискретном виде, либо непрерывные производственные функции типа Кобба-Дугласа, СЕS-а или с постоянной пропорцией. В этих работах, в качестве функций описывающая численность рабочей силы используются функция, которая зависит только его одного временного параметра t. Влияния таких параметров как возраст, пол, пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались неисследованными. В данном параграфе предложены модели долгосрочного развития экономики с учетом возрастного состава трудящихся:

где →= )(tYY национальный доход в момент времени t ,

→= )(есс потребление,

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

≤≤=

≤≤−=

≤≤==

==

∫ max

min 0,),() , ( ) (

,1)())),(),((_( 1 ( )(

0,)),(),( ( ) (

)(),(()()()),(), ( (

0)0(

a

a k

x

ttdataNt a t L

tstLtKrt S t C

ttKKtLtK r t S dt dK

tLtKftStIt L t K fY

ϕ

43

43

→= )(tII чистые капиталовложения (т. е. Средства на расширения производства) с величины основных фондов, →= )(tKK величины основных фондов, →= )(tSS доля национального дохода, которая идет на чистые капиталовложения (т. е. норма накопления), →= )(tLL осредненная по возрасту численности трудящихся, →= ),( taϕϕ потенциальная функция трудящихся в момент времени t,

1),(

0),(max

min

=

≥

∫a

adata

ta

ϕ

ϕ,

→= ),( taNN численность трудящихся возраста, а в момент времени t. Известно, что эта функция удовлетворяется следующими условиями:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=+

∫∞

=0

00.),),,((),0(,)(

),),,((

datataNBtNaNN

tataNFдaдN

дtдN

t

Здесь )(),( ⋅⋅ BF являются соответственно функциями смертности и рождаемости населения страны, )(0 aN - начальная численность населения.

Основной результат данной работы можно сформулировать в виде следующего утверждения:

- Если в процессе производства учитывать возраст рабочих и -

∑∞

=

==⋅=⋅0

00 )(,)()(,)()(j

tj

jeCtLтоNaBBNaFF δ

,

где max02.1, δδβαδ ==±= иji jоо является корнями уравнения.

1)(0

)(

00 =∫

∫∞ −

daeaB

a

adF δξξ

причем maxδ максимальное вещественное - его корень. Если в процессе производства участвуют n виды трудового ресурса (например; мужчины, женщины разных национальностей) тогда параметры, в представлении деля L(t) определяются из решения уравнения

44

44

∫∞

− =−0

0))(det( daeaBI aδ

Таким образом, из полученных результатов следует что

возрастные, половые и другие факторы показывают, что численность трудящихся растет по закону Мальтуса и колебательный характер (см. рис. ниже ).

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≤≤≤≤

−=

==

)).(),((,0,1)(0

)],(),([)](1[)(

,)0(,))(),(()( 0

tLtKfYttt

tLtKfttC

KKtLtKftdt

dK

kεε

ε

( ) ,1,,0),(

,),(),()(

0

max

min

=≥

=

∫

∫a

a

a

dtta

dataNtatL

ξξϕϕ

ϕ

МальтусаЗаконtLtL

tYtCtIdtdKtI

−=

=+=

)exp()0()(

)()()(,)(

δ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=+

∫

=

,)),,((),0(

),(

),,,(

max

min

00a

a

t

dttNBtN

aNN

NtaFдaдN

dtdN

ξξξ

.,,1)(

,)(,)0()(

0

1

jjjjjj

j

tk

t

daeaB

eCtLeLtL j

βαδβαδαδ

δδ

−=+==

==

∫

∑∞

−

∞

=

45

45

Моделям долгосрочного развития экономики посвящены ряд работ, в

которых динамические процессы при помощи разностных уравнений. В качестве производственных функций в этих работах берутся или производственные функции в дискретном виде, или непрерывные производственные функции. Так типа Кобба Дугласа, СЕГ-а или в постоянной пропорции. В этих работах, в качестве функции

0 L

t K

L(t

t

L0

46

46

описывающейнаселенность рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного временного параметра t. Влияние таких параметров как возраст, (от 16-19, 20-55) половые (мужчины, женщины), пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались не исследованными.

В данной книге преложены модели долгосрочного развития экономики с учетом возрастного состава трудящихся:

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤=

≤≤−=

≤≤==

==

∫max

min

0,),(,)(

,1)(0)),(),(()(1()(

0,)),(),(()(

)(),(()()()),(),((

00

a

ak

x

ttdataNtatL

tStLtKftStC

ttKKtLtKftSDtdK

tLtKftStItLtKfy

ϕ

Известно, что эта функция удовлетворятся следующими условиями:

( ) ( )∫ =≤max

min

1,,0,a

a

datata ϕϕ .

Основной результат для данной задачи можно сформулировать в виде следующего утверждения. - Если в процессе производства учитывать возраст рабочих и

.)()(,)()( 00 NaBBNaFF =⋅=⋅ Тогда ∑∞

=

=0

)(j

tj

jICtL δ,

.1)(0

)(

00

0

=∫

∫∞ −

daeaB

a

adF δξξ

Причем maxδ - является максимальный

вещественный корень последнего уравнения. Если же в производстве участвуют n виды трудового ресурса (например, мужчины, женщины, разных национальностей) тогда параметры jδ в представлении в не установлении для L(t) определяются из решения уравнения

∫∞

− =−0

0))(~det( daeaBI aδ

Из полученных результатов следует, что возрастные, половые и другие факторы показывают, что численность трудящихся не растет по закону Мальтуса как в работах в этих параграфах, а имеет колебательный

характер. Так как teLtL δ)0()( = , то

∫∫ =≥=a

o

a

a

dttadataNtatL 1),(,0),(),(),()(max

min

ξξϕϕϕ , где

47

47

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=

=+

∫

=

1)),((),0(

)(

),,,(

max

min

00a

a

t

dttNBtN

aNN

NtaFдaдN

dtdN

ξξξ

,

∫

∑∞

−

∞

=

=+=

=

0

1

1)(

)(

daeaB

eCtL

jjj

j

tk

j

αδ

δ

βαδ

Рассмотрение списка цикла, когда в экономике наблюдается полная занятость и производство работает на полную мощность. В следующей за пиком фазе спада производства и занятость сокращается, однако цены те поддаются тенденции к снижению. Цены падают только в том случае, когда спад серьезный и продолжительный, то есть возникает депрессия. Здесь уместно вспомнить старую поговорку: Когда сосед теряет работу, то это спад, а если вы (я) теряете работу, то это депрессия и низшая точка склада, или депрессии, характеризуется тем, что производство и занятность достигнуть самого низкого уровня, начинают вновь “выбираться” со дня. А в фазе оживления уровень производства повышается, а занятость возрастает вплоть до полной занятости.

Глава 2. Основные модели экономики В данной главе получены основные уравнения модельной экономики и дается обсуждение некоторых полученных результатов, а также предложено новое модельное производство и связанные с ним экономические системы. Определены соответствующие экономические параметры и проведены соответствующие компьютерные эксперименты.

§1 Вывод уравнения роста экономики Известно, что экономика это производство и распределение материальных благ. Обозначим через Y количество произведенных продукций (или национального дохода в масштабе страны) и оно является функцией капитала- К, труда- L, и производительности технического прогресса - А: Y =А f (K,L), (2.1) где К .0,0,0 ≥≥≥ AL . Согласно данному закону количество производимых продукций растет с ростом величины капитала, труда и меры текущего уровня технического прогресса и эти факторы являются главными факторами роста экономики. Так как, Y=εY+(1- ε)Y, ,10 << ε то часть полученного дохода обозначается через I= ,Yε и называется величиной инвестицией, а другая часть обозначается, через YC )1( ε−= и называется потреблением. Кроме того, определенная часть общего дохода страны, которая должна идти на государственные закупки G. К общим доходам необходимо прибавить

48

48

величину чистого экспорта – Nх. Таким образом, имеем следующее уравнение баланса распределения материальных благ [ ]1 :

у = С+I+G+N Х . (1.2) Необходимо так же отметить, что величина потребления зависит от располагаемого дохода, то есть С = С(y-Т). Здесь Т величина налогов, которые идут на выплаты по социальному обеспечению бедным, и платежи социального страхования пожилым и т.д. Для построения уравнения математической экономики воспользуемся модельным производством (1.1) и балансовым уравнением (1.2). Пусть имеют место условия:

1). Все экономические функции и параметры зависят от τ совокупности параметров (t, r, e, x,…), где t- время, r-реальная ставка процента, e- курс внешнего обмена, x-пространственная переменная, x=(x1,x2,...xn)∈R, R-сумма регионов.

2). Темпы производства определяются темпами распределения (dY/dτ=dy/dτ).

1. Уравнение капитала. Пусть Κ=Κ(τ) величина капитала (орудия производства, используется работниками) при значении параметра τ равное τ, Κ(τ+∆ τ) при τ=τ+∆ τ. Тогда ∆Κ=Κ(τ+∆τ)-Κ(τ) означает прирост капитала за промежуток параметров ∆τ. Следовательно, ∆Κ=I∆τ и отсюда, с учетом (1.1) получаем уравнение капитала

),( Lf

dd

ΚΑ=Κ ετ

, (1.3)

при чем здесь обозначено

)(i

ii

i

i i xD

xidtde

edtdx

xdtdr

rtdd

∂∂

⋅∂∂

−⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

= ∑∑⋅τ

,

Например, если ,t=τ то мы получим классическое уравнение капитала

[ ]2 : ),,( Lfdtd

ΚΑ=Κ ε и если ),,( rt=τ то имеем уравнение капитала в

следующем виде: .),,( 00 dt

drLfrt

=ΚΑ=∂Κ∂

+∂Κ∂ γεγ

2. Уравнения труда. Труд- это время, которое люди посвящают себя работе, то есть количество отработанных, работниками часов. В настоящее время в модельной экономике для определения параметра труда

используется модель: ,LdtdL δ= где δ - является темпом роста населения.

Ясно, что в рамках данной модели многие важные факторы как образованность, возраст, пол, национальность не учитываются. В связи с этим мы будем предполагать, что труд определяется в виде функционала трудовых ресурсов[3-4]: ∫∫= R

aa dxdataxNtaxtL ,),,(),,()( max

min ϕ (1.4)

49

49

Здесь ),,( taxϕϕ = является потенциальной функцией трудящихся, N=N (x, a, t) - численность трудящихся в точке x∈R, возраста а, 0<a<∞ , в момент времени t; maxmin,αα - соответственно минимальный и максимальный возраст трудящихся, работающих в сфере производства. Как показано в работах [ ]6,5 , функция N=N (x, a, t) является решением следующей задачи: ktax ttataNFN <<∞<<=∂ 0,0),,,( ,

,,,00/ RXNN t ∈= ∞= (1.5) ∫∞= 0 ,),,(),0,( ξξ dtNtxN .0/ =sN Здесь )(),( •• BF - соответственно функции смертности и рождаемости

трудового населения, ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Χ∂∂

Χ∂∂

−Χ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂i i

iii

itax Dt

)(να

, S-

граница области R; R=∑ −− ыйiRR ii , регион. Потенциальная функция трудящихся, ),,( taxϕϕ = является решением сопряженной к (1.5) задачи[3]-[11]. В упомянутых работах показано, что функция труда,

определяемая с помощью (1.4) удовлетворяет уравнение, ,LddL δτ= где

темпы роста населения δ являются решением следующего так называемого уравнения выживаемости:

∫∞

− =ο

δ 1)( daeaB a

(1.6)

Здесь ∫−

Β=Β

αξξ

0)(0

0 )()(dF

eaa - является функцией выживаемости, )(0 αΒ - коэффициент рождаемости, )(0 aF - коэффициент смертности, 0<a<∞ . Уравнение (1.6) имеет один максимальный вещественный корень

max0 δδ = и счетное число комплексно-сопряженных корней ,iii iβαδ ±= i=1,2 … . Для максимального корня max0 δδ = имеет место

>0,если h =∑∞

>Β0

,1)( daa

=maxδ 0, если h=1, <0, если h<1, где h-называется потенциалом трудовых ресурсов. Следовательно

50

50

∑∞

==

0)(

i

iti ectL δ .

3. Уравнения производительности технологии (Мера текущего уровня технологии). Так как

ττττ ddL

LfAK

dkdfAf

ddA

ddY

⋅∂∂

+∂∂⋅+= , и (1.7)

τττττ d

dNddG

ddI

ddC

ddy x+++= , то

с учетом ),(τττ d

drddy

dydC

ddC

−= τε

τε

τ ddy

ddy

ddI

+= , из (1.7) имеем:

1)1( −−−+⋅∂∂

−⋅∂∂

−= MPCyA

ddL

Lf

fA

ddk

kf

fA

ddA ε

τττu ,

где u= - .3210 uyuuuMPCddy

ddN

dIdG

ddTMPC x ⋅+++−=+++

τε

ττ , MPC=

dydC .

Отсюда, с учетом уравнения (1.3),(1.4) и значения параметров МРК, 1-α имеем:

,2 Α+Α−= в

ddA ατ

(1.8)

где uMPCy

вМРК ⋅−−=−⋅+⋅= −1)1(1),1( εαδεα .

Таким образом, уравнения для капитала, труда, производительности технического прогресса имеют следующий вид:

,),,( 00/ Κ=ΚΚΑ=Κ

=τετ

Lfdd

,, 00/ LLLddL

== =τδτ

I=⎦Y, C=(1-⎦)Y, (1.9)

00/2 , Α=ΑΑ+Α−=

Α=τα

τв

dd ,

),(,,)1( 00/1 LKfYyyuMPC

ddy

Α==−−= =−

τετ

,

где δ - является решением (1.6). К уравнению (1.9) необходимо добавить еще и уравнения:

3210 ,,, uddu

ddN

uddGu

ddT x ====

τε

τττ. (1.10)

Правые части уравнения (1.10) являются темпами роста величин (T, G, Nx,ε ). Их необходимо определить из условия максимизации некоторых

51

51

экономических критерий (или из условия минимизации функционала стоимости и т.д.): max y(u0,u1,u2,u3).

В системе (9),(10) принято следующее обозначение:

∑=

∑= ∂

∂∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

1

2

110 )(

i i ii

iii x

Dxex

vrtd

d γγτ

.

Затем, что если ,1 ε−=MPC то 00)1( ==−−=ττ

εddy

ddyMPCu при любой

.0≠τd

dy Это означает, что, если MPC−=1ε , то есть

xNGCIyyy +++=−+= )1( εε , и баланс экономики 03210 =⋅+++⋅−= uyuuuMPCu получается только за счет выбора темпов

изменения налогов, темпов государственных закупок и чистого экспорта, а так же темпа доли дохода идущего на капиталовложения. Если же

,1 MPC−<ε то происходит увеличение или уменьшение национального дохода в зависимости от знака функции u. В зависимости от совокупности значений параметра τ = (t, r, e, x,…) система уравнения (1.9)-(1.10) преобразуется либо в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в системе уравнений в частных производных. Например, если t=τ , то получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

00 )0(,,)0(),,( LLLdtdLKKLKAf

dtdK

==== δε ,

02 )0(, AAAA

dtdA

=+−= βα , (1.11)

[ ] 032101 )0(,)()1( yyyuuuuMPCMPC

dtdy

=+++−−−= −ε ,

3210 ,,, udtdu

dtdN

udt

dGudtdT x ====

ε.

§2. Уравнение денежного обращения Денежное обращение, как известно, согласно количественной теории денег для совокупного спроса (зависимости между количеством произведенной продукции, на которые предъявляется покупательский спрос и общим уровнем цен) имеет место([ ]1 ): M V= P у, где М- предложение денег, V- скорость обращения денег, P-уровень цен, а у - количество произведенных товаров и услуг. Это уравнение утверждает, что предложение денег определяет объем производства в номинальном выражении, который в свою очередь, зависит от уровня цен и количества произведенной продукции:

52

52

М=к0Ру, к0=V1 . Отсюда Р =к0 ,,1

VMK

y= и, следовательно, между уровнем цен

и объемом производства существует обратная зависимость. Так как объем производства определяется различными видами произведенных продукций у=(У1 ,У2 ,….Уn) и с ним связан вектор уровня цен Р=(Р1 ,Р2 …Рn),основное уравнение будет определяться в следующем виде:

(у, Р)=МV, где (p, y)= ∑=

u

iiiУP

1. (2.1)

Кроме того, мы будем предполагать, что уровни цен и объем производства Р, являются функциями некоторого параметра, ),,,,( xert=τ где t-время, r- реальная ставка процента, е - обменный курс, х - пространственный фактор. Тогда в основном уравнении (2.1) скалярное произведение (Р, у)

определяется в виде: ∑=

∫∫∫=n

iG ii

ee

r

edredxxertyxertPyp

1maxmin

max

min),,,(),,,(),(

Если обозначить через )(min tΡ и )(max tΡ - соответственно минимальные и максимальные уровни цен в момент времени t, то из основного уравнения (2.1) получим неравенство: ktttytvtMtyt ≤≤Ρ≤≤Ρ 0),()()()()( maxmin ,где

drdedxxertyty iR

e

e

r

i

),,,()(max

min

max

0∫∫∫∑= является общим объемом производства.

Естественно, минимальным и максимальным уровням цен соответственно отвечают минимальные и максимальные предложения денег. Тогда

ytVM

tиty

tVMt

)()(,

)()(

)( maxmax

minmin =Ρ=Ρ . Отсюда

)()(

)()(

max

max

min

minttM

ttM

Ρ=

Ρ, то есть

отношение минимального предложения денег на минимальный уровень цен равно отношению максимального предложения денег на максимальный уровень цен. Это отношение называется запасом денег. Таким образом, при постоянстве объема производства по параметрам (r, e, x) запасы денег не изменяются. Используя теорему о среднем для среднего значения уровне цен по (r, e, x) имеем: )()(,

)()( min tt

tyVMt cpср Ρ≤Ρ=Ρ , и, следовательно,

)()()( maxmin ttt cp Μ≤Μ≤Μ . Полученные результаты справедливы для средних значений Р, М, у по времени в рассмотренном временном интервале наблюдений. ,. maxmin Ρ≤Ρ≤Ρ cpeT ,maxmin MM cp ≤≤Μ где черта над величинами означает осреднения по времени значений этих величин,

например, .)(10∫=Ρ

tk

kdttP

t

53

53

P(t) Pmin Pcp Pmax А• P0 •D •M •B С• Ymin Y0 Ymax 0 Объем производства , Y Рис.1. Зависимость уровня цен от объема производства в общем случае

Рис.1. Охватывает, всевозможные случаи, которые могут возникать в реальной действительности. В зависимости от того, в какой части рисунка находится точка М0 = М (У0, Р0), то, какое предложение денег необходимо обществу, ведет соответствующую политику изменения значения объема производства и уровня цен. Например, для постоянного уровня объема производства У0 цены могут меняться от минимального уровня до максимального. Аналогично, мы можем держать уровни цен на некотором выгодном всем уровне Р0, а объем производства уменьшить или увеличить (от Уmin до Уmax). В результате, определяется разумная политика по отношению предложения денег. При любом уровне цен, увеличение предложения приведет к увеличению запаса денег и уменьшению предложения денег приведет к его уменьшению. В первом случае увеличивается, а во втором уменьшается. Если экономика в начале наблюдений находится в состоянии М0, то при снижении совокупного спроса связанного с сокращением предложения денег происходит переход от точки М0 к точке D, в котором объем производства ниже реального уровня, а затем по мере снижения цен происходит рост экономики до уровня У0. На этом же рисунке наблюдается и другая картина. При объеме производства равное У0, сначала уровень цен увеличивается до Рmax, то есть до точки А, а затем плавно снижается до точки В. В результате, происходит скачок в экономике, то есть производство становится максимальным. 1. Вывод уравнения уровня цен. Так как MV=Pу, то

Μ+Μ

=Ρ+ττττ d

dVVdd

ddyy

ddP , и введем обозначения

MvVvvddVv

ddMv ⋅+⋅=== 1010 ,,

ττ, имеем:

.11 vyd

dyyd

d+Ρ−=

Ρττ

Отсюда, в силу (1.7) получим:

54

54

.11 vyd

dLLf

yA

ddf

yAf

ddA

ydd

+∂∂

−Κ

⋅Κ∂∂

−−=Ρ

ττττ

Принимая во внимание значения ,τd

dA из (1.8) имеем:

,)1( 1

yv

yuMPC

dd

+Ρ⋅−−−=Ρ −ετ

(2.2)

где ∑∂Ρ∂

+∂Ρ∂

+∂Ρ∂

+∂Ρ∂

=Ρ .10

ii x

vеrtd

d γγτ

Уравнение (2.2) является основным

уравнением количественной теории денег. Так как, в обозначении для v

входят τd

dv Μ=0 и ,1 τd

dVv = то в нашем расположении, имеется выбор их

изменения, то есть изменения темпов предложения денег и скорости обращения денег. Эти темпы являются допустимыми управлением, и они определяются из решения некоторых типичных задач оптимального управления. При ,t=τ из (2.2), получим формулу:

∫∫

+∫

=Ρ−

− −−−−−− td

yu

MPCdyu

MPCde

yvePt

tt

0

)1()1(

0

1

01

)( ξξ

ξεξε

, из которой при постоянстве

u, yAv ,, имеем:

0)1(),1()( 10

00

00

>−−=+−+=Ρ −−

−

MPCeu

vePtt

yu

ty

u

εεε

εε

Эта формула характеризует временное изменение уровня цен при постоянстве остальных параметров (см. рис. 2). )(tΡ

0Ρ t 0 Рис. 2 Зависимость уровня цен от времени, для постоянных значений параметров

uv

0

*

ε=Ρ .

55

55

P(r) 00 >γ P1 00 <γ r 0 Рис. 3. Зависимость уровня цен от реальной ставки процента при постоянных

параметрах constdtdr

uv

===Ρ 00

1 ,( γγε

)

Если ),,( rt=τ то вместо (2.2) получаем уравнение в частных производных 1-го порядка:

.00 y

vyu

rt+Ρ=

∂Ρ∂

+∂Ρ∂ ε

γ

(2.3)

При ∞→t , решение (2.3) (с условием 10/ Ρ=Ρ =r ) представлено на рис.3. Для решения уравнения (14) зададим еще и начальное условие )(00/ rt Ρ=Ρ = и граничное условие типа образования уровня цен в зависимости от параметра r, то есть

∫= Ρ=Ρ max0max/ .),()(r

rr drtrrϕ Здесь ∫ ===≥max

00 .,1)(,0)(

rconst

dtdrdr γξξϕϕ

Полученная задача представляет собой пример задач с функциональными начальными условиями, которые введены и исследованы в работах автора [4]. Легко видеть что решение (2.3) представляется в виде:

∫∫

−∫

−Ρ=Ρmax

0

0max

0

),0(),(r

r

yu

deyvderttr r

duYur

r ξξγ

ξ

εε

Функцию ),0()( tPt =µ определим из граничного условия образования цен, то есть

),()()()( 00

max

0

max0 tfdtert dYu

r

r

r

+−⋅∫= ∫ ξγεµϕµ ξ

ε (2.4)

где

56

56

.)(

max0maxmax

00 drde

yvtf

duYu

r

r

r

r

r

ξε

∫−= ∫∫

Уравнения (2.4) представляют собой неоднородные интегральные уравнения типа восстановления. При ∞→t получим:

∫∫

−∫Ρ=Ρ− max

0

0max

0max100 1)()(

r

r

duYu

dYu

deyverr r

r

r ξγ

ξ

γε

ξγε , (2.5)

где 0

)(1

1

)(max

0

maxmax

00max max

0

0

0

0

≥∫

−

∫−

=Ρ

∫

∫∫r ddu

Yu

r

r

duYur

r

r

r

r

Yu

rξ

γε

γε

ϕ

γ

ξ

l

l

. Из формулы (2.5), при

постоянных А, У,u,v1 , имеем

)(

0max

0

max0

0

)()(rr

Yu

uvr

uvr

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−Ρ+=Ρ γ

ε

εεl .

Полученная формула интерпретируется в виде следующего рисунка. P(r) 00 <γ P0 00 >γ 0 r Рис.4. Зависимость функции уровня цен от реальной ставки процента r при разных

знаках с темпом .),( 0max0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==Ρ=Ρ const

dtdrr γ

57

57

Заметим, что рисунки 1,2 идентичны, хотя имеются разные граничные условия. Аналогично, рассматривается случай, когда x== ττ ,l и

).,,,( xert=τ

§ 3. Обсуждение результатов для функции труда Как мы видели, в §1 для функции труда имеет место

tj

jj

t CCtL δδ ll ∑∞

=+=

1max

0)( , где jijj βαδδ ±=,max является решением

уравнения выживаемости (1 .6). Этот результат интерпретируется в виде следующих рисунков (5,6,7):

L (t) L0 0 Время

Рис.5. Зависимость функции труда от времени при h>1 L (t) L0 Время 0 Рис.6. Зависимость функции труда от времени при h<1.

58

58

L (t) L0 0 Время Рис.7 Зависимость функции труда от времени (при h=1 и 0=jα )

Из этих рисунков следует, что в зависимости от значения потенциала

трудовых ресурсов h, функция труда имеет колебательный характер. Причем

период колебания при h≠1 из-за влияния максимального корня незначителен.

Если же h=1, то реальные части комплексных корней играют существенную

роль (рис.7). Зависимости данного экономического параметра, приведенные

на предыдущих рисунках и рис.8 являются наиболее справедливыми, так как

в них учитываются многие минусы и плюсы реальной экономики. Этот

результат также справедлив и для L=L(r, t) в зависимости значения

параметра δ- темпа роста труда со временем.

L(r, t)

L1 δmax<0 δmax>0

L0

0 t Рис. 8. Зависимость L(r, t) по t при фиксированном r

Следовательно, приведенные зависимости на рисунках имеют колебательный характер. Колебательный характер изменения экономических параметров также охватывает все возможные влияния параметров

59

59

окружающей среды и общества на каждодневном функционировании реальной экономики. В связи с этим фактором возникает вопрос о том, что на сколько сказывается колебательный эффект функции труда на динамику величины капитала, мере текущего уровня технологии и т.д.

§4. Обсуждение некоторых результатов уровня технологии Как мы видели в §1 для функции меры текущего уровня технологии

имеет место следующий результат: dA/dt= -a A2+b A, где а = ε МРК+(1-α ) МРL, b=(1-ε-MPC)-1 u,

u= - MPC.dT/dt+dT/dt+dNx/dt+Ydε/dt. Здесь ε доля выпускаемой продукции

идущей на инвестиции, δ - темп роста трудовых ресурсов и определяется как

решения уравнений выживаемости [ ]2 : ∫∞

Β0

)(α е-δα da = 1, B(a)-функция

выживаемости рабочих. В начале, рассмотрим случай, когда u=0, тогда из

уравнения получим: [ ]АМРКdd δαετ

)1( −+⋅−=Α , Если τ = t, тогда получаем

следующую формулу

[ ] tt

etδαε )1(

00)(

−+ΜΡΚ−∫Α=Α , ε - доля капитала, δ -

темп роста рабочей силы, который графически иллюстрируется в виде

следующего рисунка:

A(t)

A0

t, время

Рис.9. Зависимость уровня технического процесса от времени без

учета реальной ставки процента и капиталовложения.

Рис.9 показывает, что уровень технического процесса без учета реальной

ставки процента и капиталовложения на технической реконструкции

60

60

падает), технология выйдет из строя). Теперь рассмотрим случай τ=(t,r) и в

результате получим: ∂A/∂t+γ ∂A/∂r=- ( ε MPK+(1-α)) A, где dtdτγ = .

Для решения данного уравнения зададим еще дополнительные условия

kr

ttdrtrArtrAArA ≤≤∫== 0,),()(),(,)0,(max

0max0 ϕ , где ϕ(r) ≥ 0 функция

нормировки. Легко видеть, что уровень технологического процесса

определяется по следующему закону A(r,t)=A0 ep t + [ε MPK+ δ(1−α) ] (R-r) / γ , где p

является максимальным вещественным корнем уравнения типа уравнения

выживаемости с функцией B(r) =ϕ(r) e[ ε.MPK +(1-α ) δ ] / γ . Если потенциал

технологического процесса ∫ Β=max

0)(

чdччh ,1≥ то величина δ будет больше

нуля и на большом достаточном временном интервале .),(, ∞→∞→ trAt

A(r, t)

r=0

A1

r = r 0> 0

A0 время

Рис.10. Зависимость А(r,t) от времени с учетом реальной ставки

процента и капиталовложения(A1 = Ar=0, t=0 , A0 = A r=r0, t=0) .

Рис.10 показывает, что если величина потенциала технологического процесса

больше единицы, то его объем и темп растет со временем (на достаточно

большом временном интервале), что доказывается историей человечества.

Изменения темпа технологического процесса относительного роста реальной

ставки процента падает при γ>0 и растет при γ<0 (рис.11) (здесь приняты

обозначения - A0 = Ar=0, A 1=Ar=0):

61

61

A(r, t)

A1 ← γ< 0

← γ >0

r Рис.11. Зависимость A(r, t) от реальной ставки процента

Таким образом, полученная формула учитывает все возможные случаи

роста, и падения технологических параметров в зависимости от времени и

параметра реальной ставки процента. Заметим, что факторы образованность,

квалификация, возраст, пол, национальность учитываются в параметре δ -

темпа роста трудовых ресурсов L, которые определяются в виде (1.4),(1.5).

Этот параметр входит в уравнение для A(r,t). В силу того, что уравнение

«выживаемости» (1.6) может иметь помимо максимального вещественного

корня δ , счетное число комплексно-сопряженных корней, то рост и падения

L(t), A(r,t) и др. в действительности происходят по колебательному закону:

A(r,t)

A1 ↓ 0max <δ ← 0max >δ

A0

0 t Рис.12. Зависимость A(r, t) по t при фиксированном r

Зависимость данного экономического параметра, приведенная на рис.12

является наиболее справедливой, так как в них учитываются многие минусы

62

62

и плюсы реальной экономики. Следовательно, приведенные зависимости на

рисунках имеют колебательный характер. Колебательный характер

изменения экономических параметров также охватывает все возможные

влияния параметров окружающей среды и общества в каждодневном

функционировании системы реальной экономики. Если pмах = 0, δ мах =0, т.е.

максимальные темпы роста технологического процесса и роста рабочей

силы равны нулю, то получим следующий результат:

A(r,t)

A0 t 0 Рис. 13. Реальная ставка процента, время На рис.13 приведена зависимость функции A(r,t) в зависимости от временного параметра и величины реальной ставки процента при δмах =0 и ρмах =0. Кроме того, здесь также считается, что реальные части корней уравнения выживаемости равны нулю. Аналогичным образом исследуются и решаются уравнения капитала, определяются какие именно параметры экономики и жизни играют существенную роль в сфере производства и распределения произведенной продукции, а так же при сборе налогов, при проведении мероприятии по государственным закупкам и политика изменения обменного курса. Таким образом, уравнения (1.3),(1.4),(1.6),(1.8) то есть (1.9),(1.10) и (1.12),(1.13) полностью описывают состояние экономики, как в краткосрочном периоде, так и в долгосрочном периоде. Они так же с учетом функционала трудовых ресурсов описывают экономику для конфетного региона, то есть для экономических сообществ (союз государств). Если uΤ0, то технологический процесс характеризируется логистической кривой (см. рис. 14): A(r,t) A1 A0 Рис. 14. Зависимость технологического процесса в общем

63

63

Замечание 1.(Модель инвестиции). Используя способ, приведенный в параграфе 2, получим следующее уравнение для определения инвестиции: ,bIa

ddI

+=τ

где a = (1-MPC) MPK A, b = (1-MPC) (OS +δ(1−α)) y A + MPC u0 – u1-u2, ОS- остаток Солоу.

Замечание 2.(Модель финансового регулирования). Для определения динамики параметров экономики и финанса имеют место равенства:

dy=[(1+Ce/CAe) dF+Ir dr+dG]/(1-Cy+CeCAy/CAe) , de=(1-Cy-CAy)dF - CAy(Irdr+dG)/ [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe].

Действительно, так как y=C(y,e)+I(r)+G+CA(y,e) и CA(y,e)=F ,то имеем: dy=Cydy+Cede+Irdr+dG+CAydy+CAede , CAydy+CAede=dF. Отсюда (dF - CAe de)/ CAy=Cy[(dF-CAede)/CAy]+Cede+Irdr+dG+ CAy[(dF-CAede)/CAy]+CAede , т.е. (1-Cy+CeCAy/CAe)CAede= (1-Cy-CAy) dF- CAy (Irdr+dG), и следовательно de=[(1-Cy-CAy)dF - CAy(Irdr+dG)]/ [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe]. Аналогично доказывается 1-я формула. Из доказанной формулы легко получим компоненты вектора градиента параметра внешнего курса: eF= (1-Cy-CAy) / [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], er=-Ir/[(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], eG=-1/[(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], и следовательно, grad e=( eF, er, eG). Замечание 3. (Модель налоговой политики). Используя уравнение (1.10) для величины налога имеем следующую :

∫===∂∂

+∂∂ L

dxtxTtxtTxTxTTuxT

tT

00 .),(),(),0(,)()0,(, ϕγ

Отсюда ∑∞

=

+− ∫=

1

)()/(0

0

),(j

dxxuxt

j

x

j

eCtxTγδ

,где jjj iβαδδδ +== ,max0 - являются

корнями уравнения типа (1.6 ) с функцией В(.) = ϕ(.) exp( ∫x

dxxu0 0 )( ).

§4. О наилучших производствах и связанные с ними экономические

системы Под производством мы будем понимать систему элементов (основные

и оборотные, информационные и трудовые ресурсы) в результате совместного функционирования которых «капитал и труд» преобразуются в конечный продукт (или национальный доход). Преобразование, которое осуществляет этот, переход называется производственной функцией и обозначается через Y=f(K, L), где K-размер капитала (основные фонды), L -

64

64

функционал трудовых ресурсов, который зависит от потенциала трудовых ресурсов, образованности, работоспособности, пола и возраста, а также числа трудящихся. В настоящее время во всем мире различают три типа модельного производства.

a). Производства типа Кобба - Дугласса α)(0

0 KKYY = , α−1

0)(

LL , где Y0

национальный доход при соответствующем капитале K0 и трудового ресурса L0 . b). Производства с эластическим замещением CES:

0,10,]))(1()([1

000 ><<−+=

−−− ρααα ρρρ

LL

KKYY .

c). Производства с постоянной пропорцией ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=00

0 ,minLL

KKYY .

Как показано в работе [2] из производства типа CES при ρ→0 вытекает производства Кобба - Дугласса, а при ρ→∞ производства с постоянной пропорции. Известно, что все типы производства, т.е. производственные функции должны удовлетворять следующим условиям: 1). ],[],[),( max0max0

2 LLKKCLKf ×∈ , т.е. входные переменные плавно меняютcя и результат деятельности производства - национальный доход достаточно гладко меняется при изменении количества используемых ресурсов. Это естественно при прогнозировании больших систем, например, экономика страны. 2). f(0,L)=0, f(K,0)=0, т.е. при отсутствии хотя бы одного

производственного ресурса производство невозможно. 3). 0),(>

∂∂

KLKf ,

0),(>

∂∂

LLKf при К>0 и L>0. Это означает, что рост используемого

количества основных фондов и рост числа трудящихся приводит к росту

национального дохода. 4). ,02

2≤

∂

∂

Kf ,0

2

2≤

∂

∂

Lf т.е. в условиях чистого

экономического роста производства (без технического прогресса) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования. 5). ),(),( LKfLKf >λλ при

1>λ или ( ) ( )LKfLKf m ,, λλλ > при 1>λ и 1≥m . Это условие предусматривает, что при пропорциональном росте количества используемых ресурсов происходит пропорциональный рост производимой продукции или национального дохода. Заметим, что все приведенные выше функции подчиняются этим условиям.

65

65

1.Основные параметры производства. Основными параметрами производства являются: К – размер капитала в момент времени t, т.е. K=K(t);

L=L(t) –функционал трудового ресурса, dLdK

=γ предельная норма

замещения, LKd

LKd/

)/( γγ

σ ⋅= эластичности замещения ресурсов,

,Kf

fKEk ∂

∂=

Lf

fLEL ∂∂

= - коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам,

,Kf

k =φ Lf

L =φ средние фондоотдачи. Заметим, что например γ показывает

сколько основных фондов может быть освобождено при увеличении затраты труда на единицу и наоборот для сохранения национального дохода на прежнем уровне f(K, L)=fс. Параметр σ определяет скорость изменения предельной нормы замещения ресурсов. Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам EK, EL показывают, на сколько процентов изменится производство национального дохода при изменении затрат соответствующего ресурса производства на один процент. Следует отметить, что если ввести понятие фондовооруженность ϑ=K/ L в производстве, то имеем: y=F(ϑ), где y=Y/Y0 , F(ϑ)=f(ϑ,1), причем F`(ϑ)>0, F``(ϑ)<0.

2. Модель основных ресурсов. Следуя работам [ 1,2 ], [ 3,9,14 ] и из §1-§3, напишем общую экономическую модель для определения величины основных производственных ресурсов K=K(t), L=L(t) и потребления C=C(t):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫ ≤≤=

−===

max

min

0

,0),,(),()(

).,()1()(,)(),,(

a

aktttaNtatL

LKftCKOKLKfdtdK

ϕ

εε

(4.1)

Здесь ε-доля национального дохода Y=f(K,L) идущая на процесс производства, amin, amax -минимальные и максимальные возрасты трудящихся, ϕ(a,t) - потенциальная функция трудящихся определяется как решение следующей задачи

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

<≤++=∂∂

+∂∂

∞= ,0,0

0),(),(),(),(),(

akt

ktttftotaBtataAatϕϕ

ϕϕϕϕ

(4.2)

а А(.), В(.), f(.) - заданные функции, N=N(a,t) - численность трудящихся возраста α в момент времени t:

66

66

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∫=

∞<≤=

∞≤<∞<<=∂∂

+∂∂

∞

0

0

),),,((),0(

,0),()0,(

0,0),,,(

datataNBtN

aaNaN

tataNFaN

tN

, (4.3)

( ) ( ) ( )BNF ,, 0 - заданные функции своих аргументов, причем F(.) - означает функцию смертности трудящихся, а B(.) функцию их рождаемости, N0(a) - начальную численность трудящихся. Решая задачи (4.2) и (4.3) находим функции ϕ=ϕ (a,t) и N=N(a,t), а затем определим функционал трудовых ресурсов L=L(t). При известном виде производства Y=f(K,L) из задачи (1) определим динамику размера основных фондов, т.е. величину капитала K=K(t), 0 ≤ t ≤ tk, и размер потребления C=C(t) в любом моменте времени.

Определение. Экономическую систему, связанную с производством Y=f(K,L), назовем системой состоящей из следующих элементов: (K (t), L (t), С(t)), где C=C (t), K=K (t), L=L (t) являются решением системы (4.1).

3. Общее модельное производство с постоянной эластичностью замещения. Как отмечали выше, из производства CES следуют в частности производства Кобба-Дуглаcса при ρ→0 и производства с постоянной пропорцией при ρ→∞. В работах [10,11] нами было предложено следующее модельное производство:

ρρρ

αα

1

000 1

−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

LL

KKYY

nsn

snn

, (4.4)

где n-натуральное число больше s>1, ρ=ρ0 s, 0<ρ0<∞. Заметим, что приведенные выше модельные производства являются частными в случае данного производства. Из производственной функции (4.4) при n→∞ следует функция CES, которая как отметили, является более общей, чем функции Кобба-Дугласса и функция с постоянной пропорцией. Таким образом, из производственной функции (4.4) следуют все известные производственные функции. Вычислим параметры производства. Легко видеть, что

ρρ

ααγ

+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

1

0

0

11

,)1(LK

LKn

nnn

, т.е нормой замещения является функция

фондоворуженности, и, следовательно,

67

67

.

)1(

11

0

01

1

ρ

γ

α

αϑ

+

−− ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−==LK

LK

nn

nn

Значения эластичности замещения σ

определяются следующим образом: ρ

σ+

=1

1 . Коэффициенты эластичности

выпуска по ресурсам определяются соответственно по формулам:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=−

−

−−

−

ρρ

ρ

αα

α

0

1

10

0

1LL

KK

KK

En

n

nn

K

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−−

−−−

−

−ρρρ

ααα0

1

1

00

1

1 11LL

KK

LLE

nn

nnn

n

nn

L

и

1)/()/(

)1(,)/()/(

0

01

1

0

0

=+

−==−

−

LK

nn

nn

LK

EELLff

EKKff

Eρ

ρ

ρ

ραα

.

Рассмотрим, предложенные нами производства (4.4) при ρ→0 и ρ→∞.Так как F(K)=f(K,1), то необходимо найти предел

AKKY n

nnn

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−−−

ρρ αα

11

1

00 )1()(lim ? Легко видеть, что

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

−−− n

nnn

KKYA

11

00 )1()(ln1lnln αα

ρρ , и, следовательно,

00lnlim

KKA α

ρ=

→ т.е. α)(

00 ККYf = , n→∝. Поскольку F (K) однозначно

определяет функцию f (K ,L),мы получили утверждение о том, что функция Кобба – Дугласса при ρ→0 (и n→∞) является частной в случае с нашей функцией. Аналогично, при ρ→∞ ( и n→∞) имеем

68

68

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥=

∞→ 00

0

00

KK при ,

KK при lim

KKY

YA

ρ ,или 1,min)(0

0 KKYKF = , и, следовательно

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅==0

00

0

0

0

0

00 min1,min1,min),(

KL

LKY

KL

LK

LY

LKKLYLKf , т.е.

получили функцию с постоянной пропорцией. Определим, предельные значения экономических параметров

При ρ→0: 1,)1(1

1=

−−=

−−

σα

αγLKn

nnn

,

nn

nn

nn

nn

Ln

nnnK EE

11

11

11 )1(

)1( ,)1(

−−

−−

−− −+

−=

−+

=

αα

α

αα

α .

При ρ→∞: ⎩⎨⎧

<=>∞−

=LK

LK при 0

0),( σγ ,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

<>

=−

− LK

E

nn

nn

K

при ])1(/[

LK при 0LK при 1

11ααα

,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−

<>

=−

−−

− L

E

nn

nn

nn

nn

L

K при ])1([)1(

LK при 1LK при 0

11

11 ααα

.

4. Наилучшее модельное производство. Легко видеть, что выше причисленные производственные функции Кобба – Дугласс, CES, с постоянной пропорцией ни по одному параметру не оптимизируются, т.е. состояние соответствующих производств невозможно улучшать. Предложенная нами функция (4.4) по параметру α оптимизируется. Легко видеть, что

0=αd

dY при

nn

nn

n

LL

KK

KK

1

00

0

)()(

)(−

−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=∗

ρρ

ρ

α и, 02

2<

∗=αααdYd т.е. имеет

место, ),(max10

αα

YY<<

∗ = подставляя α=α* в формуле (4.4) получим:

69

69

nnn

LL

KKYY

ρρρ

1

000 )()(

−−−∗

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= (4.5)

Модельное производство типа (4.5) назовем наилучшим модельным производством, а соответствующую экономическую систему (K, L,C) связанную с производством (4.5) наилучшей экономической системой [17-19].

5. Наилучшие экономические системы. Триаду (K*(t), L*(t), C*(t))⎪y =y

*, 0≤t≤tk, где решение (1) с производственной функцией f(K,L)= y* и потреблением C*(t)=(1-ε )y* назовем наилучшей экономической системой.

Так как

nn

nn

n

LL

1

00

0)(

−

−−

−

∗

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΚΚ

ΚΚ

=ρρ

ρ

α и

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΚΚ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

−−−−

∗nnn

nn

LL

LL

ρρρ

α000

1 /1 , то

соответствующие экономические параметры, для оптимального производства (4.5), представляются в виде:

γ = - nn

LK

LK ρρ +−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1

0

0 , LK = ,

11

0

0nn

LK ρρ

γ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

,1

1nρ

σ+

= ,0

*

0

nn

K yy

KKE

ρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

,0

*

0

pnn

L yy

LLE ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−ρ

1=+ LK EE

Находим предельные значения параметров: При 0→ρ : −=γLK , ,1=σ

EK=1, EL=1. При :∞→ρ ,, 0

0,0

0,1⎪⎩

⎪⎨⎧

>∞=<

=KKE

KK

KKK ,

*

KyK =

0

00 K

yK = 0K

,, 0

0,0

0,1⎪⎩

⎪⎨⎧

>∞=<

=LLE

LL

LLL ,

*

0LyL =

0

00 L

yL = , ,0,0

LприKLприK>−∞

=<= σγ nn 1

*

21lim

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α .

70

70

Из полученных результатов также следует, что для функций Кобба-Дуглас, СЕS, и с постоянной пропорцией, не существуют наилучшие состояния.

Замечание. Если ввести обозначение

ρρρ −−−∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Υ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΚΚ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΥΥ

=000

,LLXZ , то из (4.4)-(4.5) получим

уравнение Ферма[17]: Xn+ Yn= Zn, все решения которого можно записать в

параметрическом виде ( )nn tzytzx11

1, −== , где ]1,0[, ∈tz любые числа. Они при n>2 не являются, целимы положительными числами. 6). СВОЙСТВА ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛОВ. Рассмотрим множество

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

∑=

=∈≤≤=−== ,1

,1,,1)(0,1)(:))(),...,(1(m

jmjTttjtsn

n

jtmtAsn ααααα

где m,n,s- натуральные числа, Tmssn ,2,1, ≥≥> является произвольное

множество из [ ),0 ∞ . Пусть snAA =∈α и ∞<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫ ∑=∈

=

n

T

m

j

n

jTnmL

nm dtxxTLx

1

1)(),( .

Введем функционалы типа

n

Tdt

sn

sjx

m

j j

1

1)(

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑=

= ααµ (4.6)

для любого A∈α и фиксированного )(TLx nm∈ . Множество функционалов типа

(1) с нормой )(sup αµµAx∈

= является нормированным пространством. Его обозначим через М. Введя обозначение KxY = , где К - диагональная матрица с элементами s

j1

α получим нормированное пространство M(α) с нормой,

,

1

1)( ∞<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑=

=

n

Tdt

sn

m

j

sjYαµ где ).()(, αµ=Tsn

mLY Пространство )(αM назовем

информационным пространством, nsAA =∈

~α .

Теорема 1. При ,)(0,

1)(

)()(0 At

nsn

m

j

ntjx

tjxtj

n

∈

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑=

= αα функционал (4.6)

71

71

принимает своего максимального значения )(Tn

mLxZ == µ , ,

)(, ZYTss

mL≤

,)(1, ZY

TnmL

≤ и более того все точки максимума функционала (4.6) соответствующие различным )(TLx n

m∈ являются решением уравнения

∑=

=m

jnZn

jX1

, где, .,1,

1

mjn

Tdt

njxjX =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫= Кроме того, )(αMM ⊆

любого A∈α . Если в информационном пространстве )(αM ввести следующую норму

n

Ttd

njx

m

jj

1

)()(~1 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫ ∑=

=βαµ , (4.6’)

где ∫= tjj dttt 0 )()( αβ , тогда получим уравнение ∑ =

=

m

j

nnj Zx

1)(~)(~ αα для любого

A~∈α .

Здесь принято обозначение )(~)(~,

1

)()(~ αµαβα =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫= Z

n

Ttd

njxjx j . Это

пространство обозначим через )(~ αmM , а пространство точек )1,...,( mxx с расстоянием Z обозначим через mM . Очевидно AMM mm ~),( ∈⊆ αα . Теорема 2. Пусть )(tαα = некоторая заданная функция из A~ . Тогда

между точками информационных пространств 1m)(~и)(~ +

αα MMm

существуют следующие зависимости [2]:

⎪⎩⎪⎨⎧

==

=

+++

−=+

,212211

1...2,1,121~~~,~~~

,~~

mmmmm

mjjmjm

ZZZZxx

xxx (4.7)

где 222,12~,~~ Zxx является некоторым уравнением nnn Zxx 22212

~~~ =+ . Для каждого A~∈α , преобразование (4.6) образует группу преобразования, которая

устанавливает связь между информационными пространствами различных измерений.

Теорема 3. Пусть )~,~,...,~,~( 21 zxxxu m= характеризирует плотность некоторого информационного “потока” (или субстанции, или движущегося объекта), LLj , - некоторые операторы, осуществляющие изменения этого “потока” по направлениям z~ и~

jx , тогда

∑ ==

m

j

nnj LuuL

1)()(

(4.8)

является общим уравнением информационного “потока”. Здесь n

m

j

nj

mm xzMxx

1

11 )~(~,~)~,...,~( ∑=∈

=. В случае, когда 1,,~ ≥

∂

∂=

∂

∂= k

zL

xL k

k

kj

k

j имеет

место, =)~,~,...,~( 1 zxxu m ,!

~

!

~)~,~,...,~(

111 k

zckxczxxP

kklm

jjmk +∑+=

=− где ∑ =

=

m

j

nnj cc

1 или

72

72

=)~,~,...,~( 1 zxxu m ,~),~,...,~(2

10

2

11n

km

j

nnkjmk tcxtxxP

+

=

+

− ∑ ++=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑ =∈=

m

j

njmm tcxtxxtxxx

1

20

2121

~:),~,...,~(),~,...,~,~( ,

)(,0 10 ⋅> −kPc является полиномом k-1-ой степени. Следствие. Между процессами и информационными изменениями различных информационных пространств существуют определенные связи и обмен информацией, при чем все эти связи и процессы в информационных пространствах различных измерений зависят только от независимого от других множества точек плоскости )~,~( 2112 xx с расстоянием n nn xxZ 21122

~~~ += . Точки этой плоскости, преобразование (4.7), уравнение (4.8) устанавливают эти связи и протекающие процессы в этих пространствах. Эта плоскость особого типа над этими всеми пространствами с помощью точек, которой управляются все процессы, протекающие в этих мирах. Множество

2~M является предписанным множеством и задается Создателем. В этих пространствах перемещения происходят с огромными скоростями. Замечание. Функционалы (4.6’) или (4.6) также характеризуют общее количество продуктов производимых согласно модельного производства мю (см.[3-7]). Действительно, рассмотрим частный случай, m=2, тогда

ρρ

αα

1

T 000 1)(),(

−

−−−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+= dt

LL

kkAfLkf

snn

snn

p

означает общее количество продуктов порождаемых капиталом )(tkk = и рабочей силой )(tLL − . Здесь ρ,,,, 000 LKAf - заданные положительные числа, ∞<< ρ0 . Пусть s0ρρ −= , где ∞<< 00 ρ , s - натуральные числа,

тогда введя, 000 )),(()(,)(,)(00

20

1ρρρ αµ −−− ===

AfLkf

LLx

kkx получим функционал

типа (4.6’) или (4.6) . Эти функционалы также характеризуют межгосударственные взаимодействия.

7). Методе решения нелинейных уравнений.

Рассмотрим следующие уравнения:

,...3,2 , )()(

1

==∑=

mLuuL nm

i

ni M, M<∞, (4.9)

и уравнение

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<=== ∑∑=

−=

=∈

m

ii

snn

i

m

iii

DDuLLu

11

110,1,max ααα

α (4.90)

Здесь n>s – натуральное число, s>1, Li, L – некоторые дифференциальные операторы, mi ,1= , m>1; ),,...,( 1 zxxuu n= - неизвестная функция,

GGzxx n ,),,...,( 1 ∈ - некоторая заданная область из En+1 . Легко видеть, что уравнения (4.9) и (4.90) являются эквивалентными. Введем определение.

73

73

Определение 1. Операторы Li , mi ,1= , L назовем элементарными (или разрешающими) дифференциальными операторами, если при некоторых заданных числах Ci , mi ,1= и C переопределенная система Liu = Ci , Lu =C разрешима и имеет явное решение, где Ci = Ci(m,n), i=1,…,m; C=C(m,n). Например, все операторы типа

,..., ,

, , , ,

211

p

p

ki

ki

k

i

p

p

ki

k

ii

i

zuLu

xxuuL

zuLu

xuuL

zuLu

xuuL

∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=

+

и некоторые их линейные комбинации относятся к элементарным дифференциальным операторам, где k, k1, k2, p - натуральные числа. Наряду с дифференциальными уравнениями (4.9) рассмотрим следующие алгебраические уравнения:

,2...,3,2,

1

≥==∑=

nmZXm

i

nni ( i

m

iDXZ ∑

=∈

=1

max αα

), (4.10)

где mimi ZZXX == , , i=1,…,m являются неизвестными величинами. Задачи нахождения решения уравнения (4.10) эквивалентны задаче максимизации общей производственной функции [2]:

∑∑ ==<<== −

m

i iiiim

inn

x11

.10,1 ,)( 1 ααααµ Например, если m=2 соответствующая производственная функция

определяется следующим образом: 10 ,1)(

1

1 <<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

− ααααµ yxn

n

nn

.

Здесь ,),()( , , 000

ρρρ

αµ−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fLKf

LLy

KKx K- величина капитала, L -

рабочая сила, K0 ,L0 , f0 - заданные положительные числа, 0<ρ<∞. Легко видеть, что из условия maxµ(α) следует уравнение xn+yn=zn. Как показано в работах ([2]- [8]) все его решения записываются в виде:

, , 1 1;-m1,...,i, 1

1

11

1

1

111

nn

nn

im

in

mnin

i vzvxvx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=== −

−

=− ∑ αα 0<v<∞ (4.11)

Так как 1< , 21<

−nn то n>2, и уравнение 1

1

1 =∑=

−m

i

nn

iα является иррациональным

для всех натуральных чисел n больше 2. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любого натурального n≥2, между двумя наборами

решений соседних по m уравнениям (4.10) (т.е. при m=k-1 и m= k) имеют место соотношения:

74

74

11

, , 111

,k-izZZyZXxXX KKKKKiKik

=

=== −−− , (4.12)

где k=2,3… , a (x,y,z) является некоторым решением уравнения xn+ yn= zn.

Доказательство. Пусть (Xik-1,…Xk-1, Zk-1) является решением (4.10) при m=k-1. Покажем, что (Xik ,…Xkk,Zk) (см. (4.11)) полученное с помощью (4.12)

также является решением (4.10) при m=k. Так как ,1

1

11

nk

k

i

nik ZX −

−

=− =∑ то- умножим

обе части последнего тождества на xn , имеем:

∑−

=−− =

1

111

k

i

nk

nnik

n ZxXx . Отсюда ∑−

=−− −=

1

111 )()(

k

i

nk

nnnik ZyzxX , и

следовательно, используя (4.12) получим уравнения (4.10) при m=k Аналогично, если (Xik…Xkk,Zk ) является решением (4.10) при m=k, то непосредственной проверкой можно убедится, что (Xik-1…Xk-1k-1,Zk-1) является решением (4.10) при m=k-1. Теорема доказана.

Определение 2. Уравнение xn+ yn= zn, при n≥2 назовем базисным уравнением для уравнений (2), а его решение (x,y,z) базисным решением для определения решений уравнений (2).

Например, при n=2 базисным решением могут быть числа x=3, y=4, z=5. тогда с помощью алгоритма (4.12) компьютерные решения уравнений (4.10) определяются следующим образом:

m=2 m=3 m=4 m=5 X=3 Y=4 Z=5

x1=9 x2=12 x3=20 z=25

x1=27 x2=36 x3=60

x4=100 z=125

x1=81 x2=108 x3=180 x4=300 x5=500 z=625

… , m=10 X1=19683; x2=26244; x3=43740; x4=72900; x5=121500; x6=202500; X7=337500; x8=562500; x9=937500; x10=1562500; z=19531125

… . Теперь рассмотрим случай n≥3. Соответствующие базисные решения

определяются в виде (4.10). Зададим значения )1,0(∈α и v определим соответствующие базисные решения. Приведем некоторые из них:

1. n=3, v1/3=9 , α=0.5 m=2; x1=6.363961, x2=7.781919, z=9. m=3 , x1=40.5, x2=49.52383, x3=70.03728, z=81. m=4 ; x1=257.7404, x2=315.1678, x3=445.7145, x4=630.3354, z=729.

75

75

m=5 ; x1=1640.25, x2=2005.715, x3=2836.51, x4=630.3354, x5=56173.02, z=6561. m=7; x1=66430.14, x2=81231.48, x3=114878.6, x4=164462.9, x5=229757.3, x6=324925.9, x7=459514.6 , z=531441.

2. n=5 , v1/5=5 , α=0.5 , m=2, x1=4.204482, x2=4.483203, z=5, m=3, x1=17.67767, x2=18.84955, x3=22.41602, z=25.

3. n=10 , v1/10=5 , α=0.5 m=2, x1=4.629374, x2=4.698644, z=5. m=3 , x1=21.4311, x2=21.75178, x3=23.49322, z=25.

4. n=15 , m=2 , v1/15=100 , α=0.1 x1=84.834429, x2=99.41074, z=100.

Теперь будем решать нелинейные дифференциальные уравнения (4.9) на примере уравнений (см. приложение 1,2):

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂m

i

nn

i zu

xu

1

,

или ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<<==∂∂

=∂∂ ∑∑

=

−=

=∈

m

ii

nn

ii

m

ii

DD

xu

zu

1

11

1

10,1,max αααα

(4.13)

Напишем соответствующую переопределенную систему для (4.13): , ,,1 , C

zumiC

xu

ii

=∂∂

==∂∂ (4.14)

где Ci , C являются решениями уравнения (4.10) и зависят только от m и n. Тогда для каждого i=1,…,m последовательно решая уравнения (4.14) легко видеть, что решения вида: 1). u(x1,x2,z)=u0+3 x1+4 x2+5z, (m=2). 2) u(x1,x2,x3,z)=u0+9 x1+12 x2+20x3+25z,(m=3). 3) u(x1,…,x5,z)=u0+81x1+108x2+180x3+300x4+500x5+625z, (m=5), n=2, решение u(x1,x2,z)=u0+31.62278 x1+98.93459 x2+100z ,…, m=2, при n=3, решение u(x1,x2,z)=u0+3 x1+8.9928 x2+9z,..., m=2 при n=5, u решение u(x1,x2,z)=u0+5x1+7.992694x2+8z,…, m=2, при n=10 удовлетворяют уравнению (4.13), где u0=u при (x1,x2,…xm,z)=0. Таким образом, общее решение имеет вид: u(x1,x2,…xm , z)= u0 + CzxCm

i ii +∑ =1, где Ci = Ci(m,n),

i=1,…,m; C=C(m,n). Как видно все полученные решения уравнений (4.13) содержат неизвестную величину u0, и она обычно определяется из условия Коши. Но во многих практически важных задачах (экологических, задачах физики элементарных частиц и др.) начальное состояние определять иногда практически невозможно. В связи с этим были предложены исследования так называемые задач с функциональным (начальным) условием. Для уравнений (4.13) это условие можно задать в виде:

76

76

,),(),(u 0z)(x, ∫==G

dxdzzxuzxφ GGdxzxuzxG

∈= ∫= 00x ,),(),(u0

φ (4.15)

где ),( txφ - некоторый характерный закон распределения, с помощью которого порождается значение u0 . Например, в теории биологических популяций в качестве этого закона обычно берут функцию рождаемости. Теорема 2. Пусть G = (x1, x2,…xm,z): zxm

i i =∑ =1 , тогда функция

u(x1,x2,…xm, z)= u0 + nnm

i i zx /11/11

1+

+

=+∑ (4.16)

является общим решением уравнения (4.13). Теорема доказывается непосредственной проверкой. Значение u0 определяется из условия (4.15). При n=1 функция u(x1,x2,…xm, z)= u0 + 22

1zxm

i i +∑ =, а при n→∞ функция

u(x1,x2,…xm, z) → u0 + zxm

i i +∑ =1. Следует отметить, что все перечисленные

выше решения (4.13) на множестве G относятся к решениям типа (4.16). Теперь рассмотрим уравнение с переменными коэффициентами:

,)(

1)(

11

nm

i

n

iii zu

zaxu

xa∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

где ai(xi), a(z) являются заданными функциями своих аргументов и они могут обращаться в нуль, например, 0 ,)()( 0 >−= ααi

iii xxxa , при некоторых i или 0 ,)()( 0 >−= ββzzza Легко видеть, что решение выше написанного уравнения

представляется в виде

∫ ∫ ∫ ∫+++++=1 2

0 0 0 0221101 ,)()(...)()(),...(x x x z

nnmn daCdaCdaCdaCuzxxu ξξξξξξξξ

где Ci, C являются решением (4.10) при некотором m, ,2≥n константа u0 определяется из условия (4.15). Рассмотрим теперь уравнение

nm

ik

kn

ki

k

zu

xu∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

1,

где m>1, n>1, k=1,2,3… натуральные числа. Легко видеть, что его общее решение представляется в виде

( ) !1

!2121 ,,...,,),,...,( kz

m

ikx

immkk

i cczxxxzxxxu ++= ∑=

ϕ , -∞<xi<∞ , ∞<z<∞ , или

( ) !!,,...,,),,...,(11

12121 kzkxzxxxzxxxu nn

km

i

kimm

+

=

+ ++= ∑ϕ на G: zxm

ii =∑

=1

, -∞<xi<∞ ,

∞<z<∞ , где ),,...,( 21 zxxx mϕ - является произвольным многочленом степени k-1 относительно xi, z, коэффициенты которого можно определить с помощью начальных и граничных условий. Например, при m=2, k=2 задавая условия

77

77

),(),0,0( 2110

00

xxuzuuu

zz=

∂∂

===

, для функции ),,( 21 zxxϕ имеем :

( ) .)0,0()0,0(0,0)0,0()0,0()0,0()0,0()0,0(),,( 2121

12

2121

02

22

12

1

12

2

01

1

01021 zxx

xxuxx

xxuzx

xuzx

xux

xux

xuzuuzxx

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂++=ϕ

Следствие. Решения рассмотренных уравнений c постоянными коэффициентами являются полиномами степени, которых равны соответствующим степеням старших производных в рассмотренных уравнениях. При этом коэффициенты при старших степенях удовлетворяют уравнения (4.10), а остальные определяются из начальных и граничных условий.

Заметим, что переопределенная система Liu = Ci , Lu =C, где Ci = Ci(m,n,x1,…xm,z,u), i=1,…,m; C=C(m,n, x1,…xm,z,u) задает класс решений в рассмотренных уравнениях. Аналогично, можно решить и другие нелинейные дифференциальные уравнения, например:

nm

ip

pn

ki

k

ii zu

zaxu

xar∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

1 )(1

)( , r= ∑=

m

iix

1

2 ,

nm

ip

pn

ki

ki

k

ii zu

zaxxu

xar∑

= +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

1 1 )(1

)( 21 ,

nm

ip

pn

ii

i

ii zu

zaxu

xar∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

1 )(1

)( при некоторых натуральных

k,k1,k2,p, причем k1+k2=k, n≥2. Коэффициенты ai(xi), a(z) могут иметь особенности любого порядка. Заметим, что при решении последних уравнений помимо условия (4.15) требуются дополнительные условия

(например, условия на производных: jxji

j

ixu

00 ϕ=∂∂

= , j=1,…k-1 и условие (4.15)

или условие Коши для первого уравнения). Кроме того, при решении многих практических задач область G следует брать в виде: G=x=(x1,x2…,xm,z):

Mmzxm

ii ...3,2,

1

22 ==∑=

; -∞<x<∞ , которая является множество дискретных

точек определяемая с помощью вышеизложенного алгоритма.

§5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ТРУДЯЩИХСЯ

Построение модели. Как известно [1,2] между осредненной численностью и численностью трудящихся с учетом возраста имеет место соотношение

78

78

∫ ≤≤=max

min0,),()()(

a

a kttdataNatL ϕ

(5.1)

Здесь )(aϕ - средняя функция, характеризующая трудовые и нетрудовые характеристики трудящихся, такие как работоспособность, организованность, половые, национальные и другие, t – время. Функция N=N(a , t) является решением следующей задачи [3].

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

≤<∞<<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

+∂∂

∫∞

0

),),,((),0(),(),(

0,0),,,(

ξξξ dttNBtNaNtaN

ttataNFNdat

o

k

, (5.2)

где F(.), B(.) – соответственно функции смертности и рождаемости трудящихся, No(a) – начальная численность, а - возраст. Предположим, что F(N, a, t)= - FoN, B(N, a, t)=Bo(a)N. Здесь Fo(а),Во(а) являются соответственно коэффициентами смертности и рождаемости, - кусочно-непрерывные

функции. 0)(,0)( ≥≥ aBaF oo . Следуя работе [2,3] введем определения:

1. Потенциалом трудящихся (трудовой и др.) называем число

∫= max

min,)(

a

adBh ξξ где ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

a

oo dFaBaB0

)(exp)()( ξξ - (5.3)

называется функцией выживаемости. 2. Потенциальную функцию трудящихся назовем функцией вида

,)(max )(∫ −a

aaeBС ξδξ (5.4)

где С и δ - параметры, которые подлежат определению. Покажем, что функция )(aϕ в формуле (5.1) представляется в виде (5.4). В самом деле, умножим уравнение (5.2) на функцию )( aϕ (пока произвольная) и результат проинтегрируем по (a,t) имеем:

0)()(0 0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+∂∂

∫ ∫∞

dadtaNaFaN

tN

t

o ϕ ,

и проведя несложные преобразования, получим

79

79

∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞

∞ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+

0 0 0 000 0),()0()()()(

k kk

t t

oot dadttaNaBaaF

dadudtNdaN ϕϕϕϕ

потребуем, что

,0)()0()()()( =−++ aaBaaFdtdu

oo δϕϕϕ (5.5)

тогда с учетом (5.1) имеем

( ) ∫+=kt

k dttLLtL0

)()0( δ . (5.6)

Уравнение (5.6) представляет собой известное уравнение Мальтуса. Действительно взяв tk = t и дифференцируя обе части равенства (5.6) t

получим: )(tLdtdL δ= . Следовательно, параметр δ в уравнении (5.5), и в

представлении (5.4) характеризуем темп роста численности трудящихся определение потенциальной функцией. Рассмотрим уравнение (5.6) и для неё напишем задачу Коши

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤=

−+=

maxmax 0,0)(

)0()()())((

aaa

aBaaFdadu

oo

ϕ

ϕϕδ

(5.7)

Второе условие (5.7) означает, что после достижения возраста атах потенциальная функция трудящихся становится достаточно малым. Легко видеть, что решение задачи (5.7) представляется в виде:

∫∫ −+−

=max

)()()()()(

a

a

dadFo a

oeBoa

ξξξδηη

ξϕϕ

(5.8)

Из (5.4), (5.8) следует, что )(aϕ является потенциальной функцией. Положим, а=0, тогда для определения темпа роста трудящихся из (5.8) получим уравнение

∫ =−max

01)(

ade ξξ δξ

(5.9)

Уравнение (5.9) назовем уравнением выживаемости. Это уравнение имеет только один вещественный корень, который удовлетворяет условия [2]:

80

80

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<

==

>>

=

10

10

10

max

hпри

hпри

hпри

δ

Остальные корни уравнения (5.9) являются комплексно – сопряженными: jijj βαδ ±= причем ,|| maxδα ≤j j=1,2,3,… таким образом, для осредненной

численности трудящихся имеем:

k

j

tj tteCtL j ≤<=∑

∞

=

0,)(0

δ , (5.10)

где maxδδ =o , Сj - константы представления (например, Со=L(O)). Формула (5.10) показывает колебательный характер численности трудящихся. Потенциальная функция в представлении (5.8) определяется с точностью до постоянного множителя. Этот множитель определим, так чтобы потенциальная функция удовлетворяла условия нормировки:

∫ ≥=max

min.0)(,1)(

a

aadaa ϕϕ Из формулы (5.8) с учетом условия нормировки

получим

∫ ∫

∫−

−

=max

min

max

max

min

)(

)(

)(

)()(

a

a

a

aa

a

aa

dadeB

deBa

ξξ

ξξϕ

ξδ

ξδ

(5.11)

Обобщение результатов. Рассмотрим случай, когда в формуле (5.1) потенциальная функция зависит от времени )),(( taϕϕ = , тогда вместо уравнения (5.5) получим уравнение

)()()()()( OaBaaaFat oo ϕδϕϕϕϕ −+=∂∂

+∂∂

(5.12)

и вместо формулы (5.8) получим:

ξξϕξϕ

ξξδηη

tattOeBtaa

a

adFo a

o),()(),( max

min

)()(−= ∫

∫ −+−

(5.13)

Положим )(),( tta µϕ = и в представлении (5.13) возьмем, а = 0. Тогда имеем:

81

81

∫=max

0),()()(

adtBt ξξµξµ (5.14)

Решая интегральное уравнение (5.14) из (5.13) определим функцию ),( taϕ , т.е. значение потенциальной функции трудящихся возраста а в момент времени t. Параметр δ определим из условия нормировки.

Решение уравнения (5.14) ищем в виде λξµ −=cet)( , c=const>0 , λ -

неизвестный параметр, тогда в силу (5.14) имеем: 1)(max

0=

−

∫λξ

ξa

eB т.е.

параметр λ также удовлетворяет уравнение выживаемости (5.9).

МОДЕЛЬ ПОТНЦИАЛА ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Введем функцию ( ) ( )∫ ∫∞

=0 0

,,,,,)(L

dxdataxNtaxtL ϕ

где являются численностью людской популяции возраста a в точке [ ]Lx ,0∈ в

момент времени t. Здесь функция (.)ϕ характеризует осредненную функцию, описывающую работоспособность, образованность людской популяции. Построим математическую модель потенциальной функции трудовых ресурсов. Предположим, что функция ( )taxNN ,,= является решением следующей задачи:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

∫∞

=

00

0

00

0

,),,()(),0,(

),(),,0(

),,(

,)(

dataxNaBtxN

axNtaN

axNN

NaFxNr

aN

tN

t

где t- время, a- возраст, x- пространственная координата , r=r(x) - заданная функция, характеризующая скорость изменения численности по направлению x, )(0 aF - коэффициент смертности )(0 aB - коэффициент рождаемости. Умножим первое уравнение на произвольную функцию

),,( taxϕϕ = и результат проинтегрируем по (x,a,t): ttttaLx ∆+≤≤∞<<<< /,0,0 для любого 0>∆t .

∫ ∫ ∫∆+ ∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂∂

+∂∂

+∂∂

∆

tt

t

L

dxdadttaxNaFx

raN

tt 0 00 0),,()(1 ϕ

В последнем тождестве проведем интегрирование по частям:

( ) ( )taxNNtax ,,,0,, =≥= ϕϕ

82

82

) ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∆+ ∞∞

∆+∆+ ∞

=∂∂

∆−

∆=

∂∂

∆

tt LLtt

t

tt

t

L

Ndxdadttt

dxdaNt

dxdadttN

t 0 0 000 0

1111 ϕϕϕ

∫ ∫ ∫∆+ ∞

∂∂

∆−

∆−∆+

=tt L

Ndxdadtttt

tLttL

0 0 0

1)()( ϕ

) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∞∆+ ∞ ∞

∞ =∂∂

∆−

∆=

∂∂

∆

tt Ltt L L

Ndxdadtat

dxdtNt

dxdadtaN

t 0 0 00 0 0 0 00

1112 ϕϕϕ

∫ ∫ ∫∫ ∫∆+ ∞∞

∞= ∂∂

∆−

∆=

tt LL

aNdxdadt

atdxdtN

t 0 0 00 0

11 ϕϕ

) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∞∆+ ∞ ∆+ ∞

=

= ∂∂

∆−

∆=

∂∂

∆

tt Ltt L tt

t

Lx

xNdxdadt

xr

tdadtNr

tdxdadt

xN

t 0 0 00 0 0 00

)(1113 ϕϕϕ

имеем

∫ ∫ ∫∆+ ∞

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

∂∂

+∂∂

+∂∂

∆−

tt

t

L

dxdadttaxNtaxaFtxaBx

ratt 0 0

00 ),,(),,()(),0,()()(1 ϕϕϕϕϕ

∫ ∫∫ ∫∆+ ∞∆+

∞==

∆+

∆+

∆−∆+

+tt

t

Ltt L

adadtNr

tdxdtN

tttLttL

00

0 0

011)()( ϕϕ

В выражении подынтегральной функции первого интеграла последнего тождества прибавим и вычитаем член Nδ , где const=δ - неизвестный параметр. Далее, в силу произвольности функции ϕ положим

[ ]

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

====

=

−+=∂

∂+

∂∂

+∂∂

==∞=,00,0

),0,()()()(

10

00

NNr

t

txaBaFx

rat

xLxa

kt

ϕϕ

ϕ

ϕϕδϕϕϕ

тогда из полученного выше тождества получим

)()()( tLt

tLttL δ=∆

−∆+

83

83

Переходя к пределу при 0→∆t получим уравнение темпа роста трудовых ресурсов .L

dtdL δ= Начальное состояние трудовых ресурсов определяется из

представления для L(t):

( ) ( ) .0,,0,,)0(0 0∫ ∫∞

=L

dxdaaxNaxL ϕ

§6. МОДЕЛИ ДОЛГОСРОЧНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ С УЧЕТОМ ВОЗРАСТА ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

Данный параграф посвящен построению и обоснованию математических экономических моделей с учетом возраста трудящихся. Предложенная модель рассматривается, когда в качестве производственной функции берется некоторая обобщенная производственная функция с обычными свойствами характерными для них. Моделям долгосрочного развития экономики посвящена работа [1], в которой динамические процессы описаны при помощи разностных уравнений и дискретный функций. В работе [2] для описания экономических процессов используется аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными входными функциями. В этих и других моделях в качестве функции описывающей численность рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного временного параметра t. Влияние таких параметров как возраст, половые и пространственные переменные остаются неисследованными. Численность трудящихся в этих работах подчиняется закону Мальтуса. В настоящем параграфе делается попытка построения математической модели экономики некоторого условного государства свободной от этих недостатков. Такая модель для некоторых экономических систем была построена в работе [3]. Мы будем рассматривать экономическую систему, которая содержит следующие блоки:

Математическую модель такой экономической системы будем строить следующим образом. Мы будем исследовать экономическую систему, в которой производятся различные товары и они оцениваются с помощью одного продукта: «деньги». Таким образом, «деньги» единственный продукт, который производится и распределяется между блоками потребления и инвестициями (чистые капиталовложения). Таким образом,

Производство Рынок

Потребление

84

84

«деньги» - это чистый материальный общественный продукт, который называют национальным доходом страны. Процесс производства будем рассматривать в промежутке [0, Т], и его разделим на n периоды с помощью точек tj (tj < tj+1), t0 =0, tn=T, причем tj+1= tj+τ, τ>0 шаг периода. Для произвольного момента времени t из произвольного периода введем следующие обозначения: y = y(t) – национальный доход, C= C(t) – потребление, I=I(t) – чистые капиталовложения (средства на расширение производства), K=K(t) – величина основных фондов. Заметим, что под потреблением понимается все непроизводственное потребление, как отдельных лиц, так и государства, включая затраты на оборону, образование, управление и т.д. Под капиталовложениями понимаются средства, направленные на увеличение оборотных фондов (запасов) и основных фондов производства. Следовательно, можно написать: Y(t) = I(t) +C(t) и K(t+τ)=K(t)+I(t)τ. Национальный доход Y(t) создается в процессе производства, и он является функцией количества основных фондов и числа трудящихся, занятых в сфере производства в момент времени t. Таким образом, Y(t) = f (K(t), L(t)). Здесь L=L(t) – численность трудящихся в момент времени t и очень часто эту функцию определяют по закону Мальтуса [2]: L(t) = L(0) exp (ηt), где η - заданный темп роста трудоспособного населения страны. Определим еще одно понятие, которое называется нормой накопления [2]:

)()()(

tYtItS = . Очевидно, что

0 ≤ S(t) ≤ 1. Мы будем предполагать, что в начальный момент времени t=0 число трудящихся L(0), количество основных производственных фондов К(0) заданы. На основе объединения полученных соотношений модель долгосрочного развития экономики можно определить при помощи следующих уравнений:

⎧ Y(t) = f(K(t), L(t)), I(t) = S(t)Y(t) ⎨ C(t) = (1-S(t)) f(K(t), L(t)), 0 ≤ t ≤ T0,

⎩ =dtdK S(t) f(K(t), L(t)), K (0) = K0 (6.1)

Отличительная черта нашей работы от других работ состоит в том, что число работоспособного населения L(t), мы будем определять как некоторый функционал, учитывающий их возраст и умение каждой возрастной группы населения [3]:

L(t) = ∫max

min

,),(),(a

a

dataNtaϕ (6.2)

где N = N (a,t) – число трудящихся возраста а в момент времени t, и является решением следующего дифференциального уравнения [4]:

85

85

),),,(( tataNFaN

tN

=∂∂

+∂∂

),()0,( 0 aNaN = ∫∞

=0

),),,((),0( ξξξ dttNBtN

(6.3)

Здесь функции F(⋅), В (⋅) являются функциями смертности и рождаемости населения страны, N0(a) – начальная численность трудоспособного населения. Эти функции предполагаются заданными.

В функционале (6.2) функция ϕ(a,t) характеризует вклад а-го возраста, их умение и образованность в сфере производства, причем она удовлетворяет следующим условиям:

0),( ≥taϕ , ∫ =max

min

1),(a

a

dataϕ для любого момента времени t.

В системе (6.1)-(6.3) имеется только одна свободная переменная S=S(t), и ее будем считать управлением и будем изучать последствия ее изменения. Зададим множество допустимых управлений

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−≤≤= ...)(

1)(0:)(фнкtS

tStSU и сформулируем оптимизационную задачу.

Требуется определить такое допустимое управление S = S(t) ∈U, для которого функционал

∑==

n

iii tYSJ

1),()( α 0≥iα , ∑ =

=

n

ii

11α (6.4)

(или функционал J(S) = Y(T)) принимал свое максимальное значение при выполнении соотношения (6.1)-(6.3). Заметим, что в качестве производственных функций обычно берут следующие функции [1],[2]:

- f (K,L) = AKαL1−α - функция Кобба – Дугласа, - f (K,L) = A[α K-ρ +(1-α)L−ρ]-1/ρ - функция CES (с постоянной

эластичностью), - f(K,L0 = A min K,L - кусочно - линейная производственная

функция. Оптимизационная задача (6.1)-(6.4) будет предметом дальнейшего исследования. Основные результаты: 1. Функция

ρρρ

αα

1

0

1

1

00 1

−−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LL

KKYY

nn

nn

является общей

производственной функцией, из которой следует все вышеперечисленные производственные функции.

Пусть F (⋅)=F0 (a)N, B (⋅) = B0(a)N и δi являются решением уравнения выживаемости [4],[5]:

86

86

,1)(~0

=∫∞

− daeaB ajδ (6.5)

где ,)()(~ 00 )(

0

∫=

−a

dF

eaBaBξξ

тогда ,:)(0∑∞

=

=j

tj

jectL δ jjj iβαδ ±= . Если

биологический потенциал населения ∫∞

==0

,1)(~ daaBh ,0)(~ ≥aB тогда

,2 ia

jj

πδ = ∫∞

=0

.)(~ daaBaa Если в процессе производства участвуют n вида

трудящихся, т.е. ∑ ∫=

=n

i

a

aii dataNtatL

1

max

min

,),(),(:)( ϕ то δj в представлении L(t)

являются решением следующего характеристического уравнения [5]:

∫∞

− =−0

,0))(~det( daeaBI aδ

где матрица выживаемости трудоспособного населения )(~ aB определяется

следующим образом ),()()(~0 aaBaB Χ= ),()(0 aaF

dad

Χ=Χ .)0( I=Χ Здесь матрицы

В0 (а), F0 (a) являются квадратными матрицами n-го порядка и характеризуются соответственно матрицей рождаемости и матрицей смертности населения в целом. В случае, когда

∫ ==∞

0,1)( daah β 0

),()~(

sup)( .

0≥=

> xxB

a xx

xβ имеем: ,

aj

jαπδ = ∫

∞

>=0

.0)( daaaa β

В случае, когда ε(t) = ε = const для любого момента времени t из каждого временного периода, имеют место формулы:

)(0)()()()( 22

210 εεε +++= thththtK , где ),0()(0

iKth = ),,( 01 Lhfh = ,0)(1 =jth

,11 0h

Kfh hk=∂∂

= ,0)(2 =jth τ+∈ jj ttt ,[ , τ>0.

Пусть ϕ (a,t) ≡ ϕ (a) для любого t ∈ [0,T]. Тогда имеет место:

)0()( εε =a ∫ ∫ −+−∞

a adadFB

ξξξδηηξ ,))()(exp()( 00 где

∫ ∫ ∫ −−=∞∞

000 ,))(exp()(/1)0(

a adaddFB

ξξδξηηξε δ является максимальным

вещественным корнем уравнениям (6.5).

§7. Некоторые вопросы интеграционного проектирования и моделирования глобальной экономики

Построим концептуальную модель глобального сообщества. Пусть 1,2,3 … n входят в это сообщество, и они взаимосвязаны по схеме, приведенной в приложении 2 в виде графика взаимодействий. На этом

87

87

графике стрелки i •↔• j означают взаимную связь i-ой и j-ой строк, а стрелка ∩ • i означает саму эффективность и полезность этих связей в целом со всеми странами на собственную i–ю страну. Если при двустороннем взаимодействии между i-ой и j-ой странами выгода будет данной стране i, то на соответствующей вершине соответствующего графика взаимодействий ставится знак +, а если нет то ставится знак -. Например, запись

21 •⎯→⎯⎯⎯←• −+ означает, что от взаимных связей стране 1 будет польза, а стране 2 в целом вред. При этом различают следующие виды взаимодействий и связей: 1) «хищничество» - ji •⎯→⎯⎯⎯←• +− , 2) конкуренция ji •⎯→⎯⎯⎯←• −− , 3) кооперация или идеальное сотрудничество, 4) частичные или полные нейтралитеты типа: ji 0 •⎯→⎯⎯⎯←• + ; ji 0 •⎯→⎯⎯⎯←• − ; ji 00 •⎯→⎯⎯⎯←• . На основе введенной концептуальной модели взаимодействий стран проектируемого «Сообщества» строится соответствующая матрица взаимодействий т.е. матрица «Сообщества» А = (аij), где аij – влияние j-ой страны на i-ую, аij является функциями многих экономических, политических, социальных, природных и других параметров «Сообщества». Соответствующая знаковая матрица «Сообщества» легко определяется. Элементами данной матрицы являются знаки + и -, а также нули. Используя знаковую матрицу «Сообщества» на основе критериев качественной устойчивости с учетом возрастных и пространственных распределений [14] и потенциала «Сообщества» [7] можно установить какие именно модельные «Сообщества» являются стабильными и какие нет. При этом, часто выявляются устойчивые структуры (например, регионы) «Сообщества» и на их основе строятся соответствующие экономические и политические структуры. Используя, эту методику сделаем попытку [19] проектировать экономическое сообщество в Центральной Азии. Сюда входят государства Таджикистан, Узбекистан, Киргизия и Туркменистан. Существенную роль при этом играет взаимоотношение Таджикистана и Узбекистана. Страны Узбекистан, Киргизия, Туркмения являются турко-язычными и у них имеются свои интересы. Они по многим параметрам концептуальной модели на графе взаимодействий превращаются в одну вершину с саморегулируемыми явлениями и факторами, т.е. Таджикистан •⎯→⎯⎯⎯←• остальные туркоязычные страны. Кроме этого, Таджикистан связан с Мировым Сообществом в основном через Узбекистан (так как железная дорога проходит через него). В свою очередь водный запас Узбекистана определяется в основном водными ресурсами Таджикистана, который очень богат ими, и ими в принципе можно регулировать с помощью построенной системы водохранилищ. Следовательно, из-за того, что какие знаки формируются на соответствующих вершинах графы взаимодействий, и зависит появление стабильного или нестабильного «Сообщества» Центрально-азиатских стран. Таким образом, при проектировании региональных, континентальных и мировых сообществ, мы в первую очередь должны исходить из стабильности проектируемого сообщества. Для создания

88

88

глобальной экономики, т.е. экономики Сообщества мы должны определить параметры соответствующей экономической системы. Модельной экономикой такого Сообщества мы назовем триаду (K,L,A) связанную с некоторым производством Y. Производственная функция играет роль производства, так как она превращает капитал и труд в общий доход У. Заметим, что модельная экономическая система (K,L,A) и модельное производство в предыдущих параграфах. Как известно, в настоящее время во всем мире различают три типа производства Кобба-Дугласа, СЕS и с постоянной пропорцией. Эти производства не оптимизируются ни по одному параметру. В связи с этим нами было предложено производство и которого в частности следуют все выше перечисленные производства и кроме того его состояние можно оптимизировать по параметру. Все экономические параметры Глобальной экономики, такие как размер капитала, функционал трудовых ресурсов, размер потребления, фондоворуженность, коэффициенты замещения ресурсами, коэффициенты выпуска по ресурсам определяются с помощью следующей модели:

,),,( 00/ Κ=ΚΚΑ=Κ

=τετ

Lfdd

,, 00/ LLLddL

== =τδτ

I=⎦Y, C=(1-⎦)Y,

00/2 , Α=ΑΑ+Α−=

Α=τα

τв

dd , τ = (t,r,e,x),

),(,,)1( 00/1 LKfYyyuMPC

ddy

Α==−−= =−

τετ

,

3210 ,,, uddu

ddNXu

ddGu

ddT

====τε

τττ.) , у = С(Y,e)+I (r) +G+NX(y,e),

ρρρ

αα

1

0

1

1

00 1

−−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LL

KKYY

nn

nn

,

∫∫= R

a

adxdataxNtaxtL ,),,(),,()(

max

minϕ

ktax ttataNFN <<∞<<=∂ 0,0),,,(0 , ∫∞

− =ο

δ 1)( daeaB a ,

,,,00/ RXNN t ∈= ∞=

∫∞

=0 0 ,),,(),0,( ξξ dtNBtxN .0/ =sN

∫=

a

daF

eBaB 00 (.)

0 (.))( , y(u0,u1,u2,u3) - max. dy=[(1+Ce/NXe) dF+Ir dr+dG]/(1-Ce-NXy/NXe) ,

89

89

de=[(1-Cy-NXy)dF - NXy(Irdr+dG)]/ [(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], eF= (1-Cy-NXy) / [(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], er=-Ir/[(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], eG=-1/[(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], grad e=( eF, er, eG).

где ∑=

∑= ∂

∂∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

1

2

110 )(

i i ii

iii x

Dxex

vrtd

d γγτ

. К этим уравнениям

необходимо добавить начальные и граничные условия. Предложенная модель является наиболее общей моделью по сравнению с известными моделями Макроэкономики. Это отличительная черта проявляется в определении функционала трудовых ресурсов и, производственной функции Y=Af(K,L). Они раньше определялись согласно модели типа Мальтуса и выше перечисленных производств. В нашей модели учитываются все параметры модельной экономики. В том числе, возрастные и пространственные факторы и др. Из рассмотренной модели в частности следует, что трудовые ресурсы имеют колебательный характер, и устойчивость соответствующего Сообщества зависит от значения одного параметра, так называемого потенциала Сообщества. Этот потенциал определяется с помощью потенциальной функции, которая является решением специального класса дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Численность трудящихся также определяется как решением класса задач с функциональным начальным условием. Результаты экономических преобразований в Таджикистане свидетельствуют, что заложены основы новых экономических отношений в стране и создана база для интеграции в некоторые экономические сообщества с определенными условиями. При организации и построении Глобальной экономики и вовлечения Таджикистана в соответствующие экономические системы, мы должны определить соответствующие параметры внутри и между государственными связями так, чтобы во первых - максимизировались соответствующие экономические критерии и во вторых - порожденное экономическое общество был стабильным. Для решения конкретных задач, рассмотренные модели преобразуются в компьютерные модели и проводятся вычислительные эксперименты.

§8 . ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ

Построение модели. Рассмотрим сообщество стран, между которыми

существует определенный тип связей. К такому типу связей может,

относится: экономические, политические и др. Матрицу взаимодействий

90

90

сообщество m стран обозначим через )( , jiaA = , ______

,1 mi = _____

,1 mj = где jia , -

характеризирует взаимодействие j -ой страны на i -ой. Каждая страна

старается установить свои отношения с другими странами, так чтобы

получить определённый выигрыш от такого взаимодействия. Пусть uj -

действий j -ой страны и iθ -возможное состояние i -ой страны. Обозначим

через ),( ji uθν функцией полезности или выигрыша i -ой страны при действии

i -ой страны равному uj. Вероятность реализации возможного состояния i -ой

страны при действии ju обозначим через ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

j

iij up θα . Предложим, что

возможные состояния i -ой страны iθ при действии uj являются функцией

времени Tt∈ ∈[0,1). Тогда общую функцию полезности сообщества (или

функцией выигрыша) можно описать при помощи следующего функционала

( ) ( ) ( ) ,,

1

,

n

T

sn

jijiij dtut

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∑ θνααµ (8.1)

где ( ) ,snAt ∈=αα ∞<<< ns0 , ( ) ( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =≤≤== ∑ ⋅ 1,10:

, ji

snn

ijijsn tttA αααα

или в виде функционалов

( ) ( ) ( ) ns

n

T jiji

nij Adtut ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∑ αθνααµ ,,ˆ

1

,. (8.2)

Как известно, в условиях неопределенности существует ряд критерий

принятия решений, когда никакие вероятностные характеристики

неизвестны. К таким критериям относятся [2]:

-Критерия Лапласа. Действие ju определяется из условия максимума

функции среднего выигрыша ∑=

m

jji um 1

, ).(1 θν Здесь −θ i возможное

91

91

состояние системы, −u j соответствующим этим состояниям действий,

−),( u jiθν функция полезности, −m1 вероятности реализации состояния

θ .i

-Критерия minmax ( )maxminили . Действия u j определяются из

условия ( )jiuu,minmax θν

θ или ( ).,maxmin jiu

uθνθ

- Критерия Сэвиджа. Определяется так называемая функция сомнения

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

потери функцией является,min,

выигрыша функцией является,,max

,,

,,

,jijiuji

jijijiuji uеслиuu

uеслиuuu

θνθνθν

θνθνθνθµ --

Критерий Гурвица. Действия u j и возможное состояние θ i

определяются из условия

( ) ( ) ( ) .10,,min1,maxmax ≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ αθναθνα

θθjijiu

uui

ij

Заметим, что критерии Гурвица устанавливает баланс между случаями

крайнего оптимизма 1=α и крайнего пессимизма .o=α

Приведенные критерия невозможно использовать для

определения элементов матрицы межгосударственных

отношений вытекающих из предложенных функционалов (8.1) и

(8.2) в силу их специальных свойств характеризующих

особенности сообщества стран [2-4]. Матрица межгосударственных отношений. Вероятностные

характеристики ijα зависят от возможных состояний θ i и соответствующих

действий, т. е. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

j

iij uP θα , то это вероятностные характеристики, так как

будем определять, так чтобы функционал (8.1) принимал свое максимальное

92

92

значение. Таким образом, получим следующую задачу [5]: ( ),max αµα A∈

где

.snAA = Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что задано множество

( ) ( )( ) ( ) ( ) ,,1,,10,1:,...,1

_____)/(

1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈≤≤=== ∑=

−m

jj

snnjm mjTtttatataaA α где

snm ,, натуральные числа, Tmsn ,2, ≥> является произвольным

множеством из [ )∞,0 . Пусть Α∈a , ∞<⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=∈ ∫∑

=

n

T

m

j

n

jT

nm dtxTx xL Ln

m

1

1)(),( ,

и заданы функционалы типа (8.1)

nsn

T

m

j

sjj dta xa

1

1)( ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ ∑

=

µ

для любого Α∈a и фиксированного ).(TLx nm∈ Тогда при

( )

nsn

m

j

n

j

nj

j

t

tt

xx

−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑

1

0)(

)(α , ,)( Α∈tao функционал )(αµ принимает

свое максимальное значение ,,,)()()( 1,, Ζ≤Ζ≤==Ζ

TTT LLL nm

ssm

nm

YYxµ и более

того все точки максимума функционала ( )αµ соответствующие

различным ( )TLx nm∈ являются решением уравнения ∑ Ζ

=

=m

j

nnjx

1, где

nn

Tjj dtXx

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

_____

,1 mj = . Доказательство данной теоремы приведено

в работах [5,6]. Применяя сформулированную теорему к функционалу (8.1)

получим уравнение unij

m

jiZX =∑

=1,, где ( ),max αµ

α AZ

∈= ( )

n

iiT

nij dtuX

/1

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ θν .

93

93

Легко видеть, что последнее уравнение распадается на 1+m

уравнений типа

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

∑

∑

=

=

m

i

nni

m

j

niij

ZZ

miZX

1

1

_____

,1,

(8.3)

Для функционала (8.2) система (8.3) пишется для любых

вероятностных характеристик, Aij ∈α причем

( ) .,1

⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∂= ∫

T

n

jin

ijij dtua θα Ясно, что решение последней системы

сводится к последовательному решению уравнения, ,unj

m

ijZX =∑

=

которое

хорошо изучено в работах автора[1-8]. В частности при 2=n и любого

1>m данное уравнение имеет счетное число целочисленных решений и их

можно найти в явном виде [5]. Для системы (8.3) это утверждение, в общем

случае для любого 2>m остается открытым и найдено решение только при

25,20,15,16,12,12,9,2 02122211211 ======== zzzaaaam .

Если известно какое-то решение системы (8.3), то, решая уравнение,

( )∫ =T

nijji

n xdtu ,,θν ______

,1, mji = определим функцию полезности (выигрыша) и

соответствующих значений, параметров возможных состояний iθ и действий

ju . Задача определения подынтегральной функции и параметров ji u,θ по

заданным ija при некотором 2≥n , в общем случае, является некорректной,

т.е. имеет бесконечное решение типа

n

T

n

ij

ijijii

dt

Xu 1),(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∫ ϕ

ϕθν , (8.4)

94

94

где )(tijij ϕϕ = любые функции из пространства ).(TLn таким образом,

( ) ,, ijijji Xu ρθν = ,10 ≤≤ ijρ ( )∫ =T

nij dtt .1ρ

Второй подход для определения параметров ji u,θ состоит в

минимизации функционала

( )∑ ∫

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

m

ji T

nijji

n dtXdtuuI1,

2

,),( θνθ

(8.5)

Таким образом, формулы (8.4) и функционал (8.5) можно использовать

для определения действий ju и возможного состояния iθ при решении

практических задач в условиях, когда вероятностные характеристики

неизвестны.

Проектирование сообщества стран. Для проектирования сообщества стран

рассмотрим сначала две страны с матрицей взаимодействий ),( ijaA =

где ⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞=

2221

1211

aaaa

A , при чем nnn

nnn

nnn

ZZZ

Zaa

Zaa

=+

=+

=+

21

22221

11211

. Данная матрица является результатом

максимизации функционала полезности сообщества, состоящей из двух стран при некотором 2≥n . Сообщество m стран строится на основе последовательного включения остальных стран в исходную систему состоящее из двух стран, которое соответствует максимуму функционала полезности (выигрыша) рассматриваемого сообщества.

Теорема 2. Между двумя наборами решений уравнение ,nm

ij

ni ZX =∑

=

2≥n при 1−= km , ),,...,,( 111121 −−−−− kkkkik ZXXX и при km = , ),,...,,( 21 kkkkk ZXXX

существуют соотношения

11

__________

1 ,,1,1,, −−− ==−== kkkkkikik zZZyZXkixXX , (8.6)

где zyx ,, являются произвольными решениями уравнения ..nun zyx =+

Соотношение (8.6) ставят в соответствии с любым набором точек

пространства 3,1 ≥− KE k определенный набор точек пространства .kE При

,1 xX = ,2 yX = zZ = преобразование (8.6) ..432 →→→ EEE . ..→→ mE .

95

95

будет единственным. Обратное преобразование (8.6): 1−→ mm EE вообще

говоря, не является единственным и любому набору точек из mE с метрикой

nZ ставится в соответствие два набора таких точек из 1−mE . Это означает, что

любое сообщество из m стран распадается на несколько «2-странных

сообществ»:

…..

Некоторые применения в теорию вероятностей. Рассмотрим некоторую

случайную величину со следующими характеристиками

ξ 1X 2X … mX

P 1P 2P … nP

∑=

≤≤=m

Jji PP

1.10,1 Как известно начальные моменты

ξ определяются по формуле ∑=

=m

ijj

nji

n PXM .ξ . Рассмотрим уравнение

∑=

=m

j

nj

n XZ1

, (8.7)

где nnMZ1

)( ξ= , .

1

jn

jj XPX = Решая уравнение (8.7) определим все

значения

00 , iXZ . Используя найденные значения 0

0 , iXZ и решая уравнения ( ) 0

1

ZM nn =ξ

и 010j

nji XPX = , определим соответствующие вероятностные характеристики

случайной величины ξ . При этом совсем не обязательно знание значения

случайной величины или их вероятности, а достаточно одно из них.

96

96

Поскольку уравнение (8.7) решается при 2≥n , то при 1=n предполагая

непрерывности рассуждения можно принимать ,0ZM =ξ ______

0 ,1, miXPX iji == .

Используя свойство преобразования (8.6) приведенное в теореме 2 можно

для определения характеристик случайной величины ξ использовать случай,

когда она принимает значения 2,1 XX с вероятностей ,2,1 РР остальные

значения при 3=m : 3,21 , XXX вероятностей ,,, 321 PPP определяются на

основе упомянутого преобразования, т.е. между различными реализациями

случайной величины существуют определенные соответствия. Теперь,

рассмотрим случай, когда для случайной величины ξ имеет место

,10),( ≤≤== ii PXPPi

ξ ,1=−

=∑

snn

m

iiiP где ∞<<< nso .

Ясно, что-либо при ,0→s либо при ∞→n , мы имеем предыдущее

свойство вероятностей. Теперь рассмотрим задачу максимизации значения

sm

jjj PXM

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑ξ

(8.8)

на множестве вероятностей 10 ≤≤ jp и ∑=

−m

jj

snn

jP =1. Легко видеть, что

∑=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ m

j

nj

n

PXM

j 1max ξ

(8.9)

Это уравнение экстремальное свойство функции (8.8). Таким образом, решая

уравнение (8.9) можно определить значение ξMZjP

max= и соответствующие

этому значению значения случайной величины при наилучшем значении

соответствующих вероятностей. Используя существование решения

уравнений (8.7) и (8.9) можно утверждать справедливость закона больших

чисел в следующих формах:

( ) 101

1=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =−∑

=

m

j

nnnj MXP ξ или 10max

1=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−∑

=

m

j

n

P

nj MxP

j

ξ

97

97

для любого ,2≥m 2≥n . где .

1

jn

jj xPX =

Замечание. Результаты теорем 1,2 легко также распространяются на

случайных непрерывных величинах.

§9. МОДЕЛЬ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОСЕЛЕНИЙ

В данном параграфе предлагается и обосновывается математическая модель проектирования поселений. Под поселением будем понимать искусственную сложную систему (экономическую, биологическую и др.), главным элементом которой является некоторое биологическое сообщество (люди, животные и др.). Построение модели. Пусть В = В (а) является матрицей экономической и биологической выживаемости сообщества рассматриваемого поселения. Понятие матрицы выживаемости для популяции с учетом возрастного состава, а также с учетом возрастного состава и пространственного распределения было введено в работах ([1]-[3]). Эта матрица определяется следующим образом: В (а) = ⎧ ),()(0 ааВ Χ с учетом возрастного состава ⎨ ),()()(0 aЕааВ n

∧Χ с учетом возрастного состава и ⎩ пространственного распределения,

где а – возраст популяции а ∈ (0,∞), В0 (а) матрица рождаемости, Х(а) – является решением следующего матричного уравнения

,)0(),()()( 0 IaaFа =ΧΧ−=Χ& F0 (a) – матрица смертности, )(aEn∧ -

диагональная матрица, характеризирующая её пространственный фактор (см. [1], [3]). Будем предполагать, что матрица рождаемости имеет порядок m , т.е. биологическое сообщество состоит из m видов. Как известно, с помощью матрицы рождаемости определяются численности новорожденных в любом моменте времени t ∈ (0, tk), как решение следующего интегрального уравнения типа восстановления [1]:

∫ −=∞

0)()()( daatMaBtM

(9.1)

Численность “взрослых” возраста, а в момент времени t определяется с помощью формулы: N (a,t) = X(a) M(t-a) (9.2)

Следуя работе ([1],[4]) введем понятие потенциала поселения: ),(sup

0ch

cµ

>=

(9.3)

98

98

где 1),(),(),(),()( === ccCCB

ccccBcµ , ∫ >=

∞

00)( daaBB , С=N (0,0)>0.

Математическая модель (9.1)-(9.3) для определения потенциала поселения и число новорожденных в начальном моменте времени (h,c*) получено из уравнения (9.1). Действительно, если искать решение (1) в виде M (t) = Ceδ+, где С>0 вектор m – го порядка, δ - неизвестный параметр, то имеем уравнение

0))(det(0

=− ∫∞

adaeaBI δ и 0))((

0

=− ∫∞

CeaBI adaδ

(9.3)

Первое уравнение относительно δ в зависимости от значения ),(),(sup

0 CCCBCh

c>=

может иметь различные корни. В связи с этим, задача нахождения потенциала поселения h и начальная численность С имеет немаловажное значение и их нахождение, мы будем называть задачей наилучшего проектирования поселения. Алгоритм нахождения наилучшего проектирования состоит в определении h*, и затем определение начальной численности *С из уравнения *** ),( hССВ = или 0** =− ChСВ .

Основные результаты работы будем формулировать в виде следующих теорем:

Теорема 1. Для того чтобы задача (9.3) имела единственное решение ),( ** Ch необходимо и достаточно, чтобы h* был положительным

максимальным корнем уравнения:

0)2

det(*

=+

−BBhI и 0)

2( *

** =

+− CBBIh . (9.4)

Необходимость. Пусть пара ),( ** Ch является единственным решением задачи (9.4). Так как

+∆+

−−=∆+∆+∆+∆+

=∆+ ),]2

([),(),(

),()(*

cCBBIcCBcccc

cccCBсс λµ

2*(),)(,

2(4),)(( coCCCCBBccIB ∆+∆∆

+−∆∆−+ λ ,

где ,CCC = ,

ccC ∆

=∆ ,0),( ≥= CCBλ ,),( ccc = то имеем

,0))(21()( *

** =+−==h

CBBIcgradλ

λµ d2µ<0, т.е. ),( *** CCBh = является

максимальным вещественным корнем уравнения 0)2

det( *

*=

+− h

BBIλ .

Достаточность. Пусть h* максимальный вещественный корень

99

99

уравнения (9.5) и ,0)2

( **

=+

− CBBhI тогда 0)(** =

==

hcccgrad

λ

µ . Покажем,

что матрица вторых производных не положительна, т.е.

−∆∆−∆+

=∆∆+

−∆∆−= ),(),2

(),)(,2

(4),)( ***

*2 cchcCBBcccCBBccIhBd µ

.),(4 2* cch ∆−

Покажем, что 2**

),2

( chccBB∆<∆∆

+ , т.е. λ> h*. Это противоречит

максимальности h*. Теорема 2. Пусть максимальный корень уравнения (9.4) h*>0, тогда

,2ln *i

ak

ah

kπδ += к = 0,1,2…, где

∫∞

=0

*)(

hdaaaa β , ),)((sup)(

1ccaBa

a ==β .

Доказательство. Так как

∫ ∫∞ ∞

===0 0

* ,1)()( aaa ehedaadaea δδδ ββ

(9.5)

т.е *1

he a =δ и *

2 1cosh

ae a =β , .0sin2 =ae a β

Отсюда 0sin =aβ и ,ak

kπβ = к = 0,1,2…. В силу того, что *

2 1cosh

ke a =π

имеем ah

k*ln2 = и к = 0,2,4…. Следовательно, .2ln2

*i

ak

ahi kkk

πβδ +=+=

Определим параметр a . Из равенства (9.6) получим ∫∞

=0

*)( aa edae

ha δδβ и,

следовательно

∫ ∫∫

∫

∫

∫∞ ∞

∞

∞

∞

∞

→→===−=

0 0*

0

0

0

00*0

)(

)(

)(

)(

)(

lim))(ln(1limh

daaa

daa

daaa

daea

daeaa

daeh

aaa

a

a β

β

β

β

ββ

δδ

δ

δδ

δ.

100

100

Замечание. Так как уравнение (9.1) имеет решение, ,)(0∑∞

=

=k

ktk eCtM δ где δк

являются корнями уравнения (9.3), а ск – определяющиеся из начальных условий, то численность популяции поселений возраста, а в момент времени t c учетом (9.2) определяется по следующей формуле:

)](2sin)(2[cos)(),()(ln

)(*

ata

kiata

kCeeCataN kat

ah

k

atk k −+−Χ=Χ=

−−∑ ππδ

т.е.

)(2cos:)(),()(*

ata

kCahtaNk

kaat

−Χ= ∑−

π

Коэффициенты Ск определяются из последней формулы при t=0:

daakaah

aС

aaa

кπ2cos)(2 1

0

* −Χ= ∫ .

Пример. Рассмотрим “Поселение”, главными элементами которого являются люди (мужчины и женщины).

В данном случае ([4]) m=2, B0(a)=b0(a) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

1001 ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )(0

)()(221211

0 afaffaF и

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∫

∫

a

a

df

df

e

eabaB

02

01

0

0)()( 0ξ

ξ

, и,

следовательно, ),max( 2211* bbh = , ∫

∞

=0

)( daabb iiii .

Определим вектор *e из условия, ),(),( *1),( cchCCB ce == т.е.

.*22222112

2111 hcbccbcb =++ )( 2

221 CC + и 1)( 2

221 =+CC и, следовательно,

( ) ( ) 02

21*

2212

12*

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++−

CChb

CCbhb . Отсюда

*_

*22

_*

22*

112

12122

2,121

)(2

))((4C

hb

hbhbbbСС

=

−

−−−±−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , т.е. .2

*1 CCC =

101

101

Так как 122

21 =+СС , то

2*

*12*2

1,

1

1

С

ССС

С+

=+

= .

§10. Сингулярная экономика: модели и некоторые исследования

Данный параграф посвящен исследованию некоторых моделей сингулярной экономики. Сингулярной модельной экономикой мы будем называть такую экономику, в которой уравнения описывающие состояния главных экономических параметров содержат сингулярные коэффициенты, которые при некоторых значениях изменяет вид этих уравнений. Сингулярная модельная экономика, как и любая модельная экономика, состоит из производства материальных благ (продукты) и их распределение, а также учета денежного обращения. Рассмотрим случай, двух производственных ресурсов (капитал и трудовые ресурсы). Тогда на основе вышесказанного любую экономику можно представлять в виде следующих представлений [1-3].

Y=Aƒ(K,L),γ=I+C+G+Nx, (10.1) Первое уравнение (1) характеризует модельное производство с произвольной производственной функций: Y-количество материальных благ (продукты или доход), A-уровень технологий, f(.)-вид производства с величиной капитала K и величиной трудовых ресурсов L. Второе уравнение (10.1) означает распределение общего дохода (или материальных благ) на инвестиции -I, потребление -C, государственные закупки G и чистого экспорта –Nx. В третьем уравнении приводится соотношение, характеризующее денежное обращение с параметрами P -уровни цен, скорость обращения денег. В дальнейшем, всюду, мы будем рассматривать случай, когда

dtdy

dtdY

= . Когда

все экономические параметры зависят только от одного параметра t (t –время) в работе [3-11] получена следующая модельная экономика Y+Aƒ(K,L), y=I+C+G+Nx, MV=Py, =

dtdK εAƒ(K,L), K(0)=K0,

=dtdL δL, L(0)=L0, L(t)= ∫

∞

0ϕ(a,t)N(a,t)da,

δ:aδα −

∞

∫ e)B(0

= 1, ∫=

−a

daFeBaB 0 0

0)( ,

ataaFtt

δϕϕϕ+=

∂∂

+∂∂ ),()(0 , (10.2 )

102

102

,),()(),0(,)( 000 dataNaBtNNaFaN

tN

∫∞

=−=∂∂

+∂∂

N ),(00 aNt == 02

10 )0(, AAAAatdA

=−= γγ ,

032 )0(, PPPdtdP

=+= γγ ,

где A0 , P0, γI =const>0, I=1,2,3. Модельная экономика (10.2) является регулярной экономикой, т. е. все коэффициенты и функции входящие в модель (10.2) вполне определяются, и никаких вырождающихся уравнений нет. Заметим что новизна идей в модели (10.2) от традиционных моделей экономики состоит в определении функционала трудовых ресурсов L=L(t), через потенциал трудовых ресурсов ),( taϕϕ = и коэффициенты F0(.), B0(.) входящие в модель (10.2) характеризируют соответственно смертность и рождаемость людской популяции , а параметр ε доля распределения на инвестиции , 0< ε <1. Цель настоящего параграфа состоит в моделировании экономических параметров в зависимости от пространственных параметров, которые порождают сингулярную модельную экономику. Рассмотрим область G =(x1, x2):0≤x1≤ L1 , 0≤ x1≤ L1, в которой сосредоточены все виды производства f(.)=fi(.) с технологией Ai = Ai(.) и производственными ресурсами (K,L). В результате математического моделирования получим следующую модельную экономику:

iii

i AxKr

tK ε=

∂∂

+∂∂

ƒ i2,1),,( =iLK ,

i

i

xLr

tL

∂∂

+∂∂ )( ,1)(:,

0: == −∞

∫ daeaBL aiii

δδδ

dataxNtatxL ),,(),(),(0

ϕ∫∞

= ,

,),0(00 δϕϕϕϕϕ+−=

∂∂

+∂∂ tBF

atii

,0=∞=aϕ (10.3)

,),,(0 NxtaFxNr

aN

tN i

ii −=∂∂

+∂∂

+∂∂

103

103

,),,(),,(),,(),,0(),,( 0000 daxtaNxtaNxtaBxtNxaNN it ∫

∞

= ==

,,, 1002

1i

iti AxAAAAAxiA

dtA

==−−=∂∂

+∂

=γγογ

,,, 100032i

iti

i PxPPPPxP

tP

==+=∂∂

+∂∂

==γγγ

Здесь r i= ri (x 1, x2 ) >0, при (x 1, x2 ) >0, и r((x 1, x2 ) =0, при (x1

0, x20)=0

характеризирует сингулярный коэффициент, −ε доля дохода идущая на инвестиции производства fi = fi (K, L) с технологией Ai . Модельная экономика (3) является сингулярной переопределенной экономикой. В модельной экономике (1), (3) могут функционировать разные виды производства fi = fi (K, L) . Относительно видов производства следует отметить, что существует четыре вида производства:

1) ƒ =),( LK ƒ0−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− αα 1

00 LL

LK

модельное производство

Кобб- Дугласа , 0<α<1, ƒ0, K0, L0 =const>0;

2) ƒ =),( LK ƒ0 −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

,minLL

KK

модельное производство с постоянной

пропорцией;

3) ƒ =),( LK ƒ0

1

00

)1(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− pp

LL

LK αα p

1

-- модельное

производство Солоу, 0<ρ<1;

4) ƒ =),( LK ƒ0

p

snn

pnsn

p

LL

KK

1

0

/(

0

)1(

−−

−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−αα

- модельное

производство типа µ (мю), ρ=ρ0 s, n>s, s≥1, 0<ρ0<∞. Последнее производство было предположено автором. Из четвертой функции при n→∞ (или s→0 ) следует функция 3) из которой при ρ→0 и ρ→∞ соответственно вытекают функции Кобба- Дугласа с постоянной пропорцией. Последнее производство было предположено автором. Из четвертой функции при n→∞ (или s→0 ) следует функция 3) из которой при ρ→0 и ρ→∞ соответственно вытекают функции Кобба- Дугласа и с постоянной пропорции. Заметим, что в модели (3) для людской популяции можно легко учесть диффузионные изменения популяции с диффузионным коэффициентом Di = Di (N), при чем Di (0)=0, и половое распределение популяции мужчины и женщины [7,8]:

104

104

∞<≤∈=≤<

aGxNaFNDktttax 0,,)(

00 , ∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

1)(

ii

i

ii

itax xD

xxV

atD

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≤<=

∞<≤∈=

∫∞

=

,0

0,),,()(),0,(

,0,),,(

00

00

S

k

t

N

ttdtxNBtxN

aGxaxNN

ξξξ

где: ),,...( 1 mNNN = ),,,( taxNN ii = i=1,…,m;

,)(),...,(

)(),...,()(

1

111

0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−−−−−=aFaF

aFaFaF

mmm

m

,)(),...,(

)(),...,()(

1

111

0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−−−−−=aBaB

aBaBaB

mmm

m

,...00

0...01

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−=

im

i

i

V

VV .2,1,

...00

0...01

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−= i

D

DD

im

i

i

Приведем некоторые полученные результаты для модельной экономики (10.3). Теорема. Пусть имеют место условия:

,,0,0),((.)),(,0,0,0 22

21

02

010000 xxrrxxaBBaFF

tN

tL

tK

iii +=======

∂∂

=∂∂

=∂∂

ƒ =),( LKi ƒ ,2.1,1

000 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

iLL

KKi

αα

∫

∫

=−

+−+=

−−

−−

y

yLK

Afr

yxL

x

xr

yxL

ffdyf

dxfyxKxK

0

00

0111

0

01

,,)1(

)1(),()(

01),(

1

),(100

1

ε

α

αα

α

α

α

тогда справедливы следующие результаты:

,,)( 202

20100

2

202

2102

22

212

1

202

20101

202

2110 xxrLxL

xxx

xxx

xxx

xxxrr +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++

++

++

++δδ

105

105

( ) ,

000)()(,)()0()(

daaFa

a

a

eaBaBdaeaBa ∫==−∞

∫ δϕϕ

.1)(,)(/1)0(,1)(000

=== ∫∫∫∫∞∞∞−∞

daadadeBdaeaBa

a ϕζζϕ δδ Полученные результаты будем интерпретировать графически. При 1=δ зависимость трудовых ресурсов L(x1 , x2 ) и капитала K(x1 , x2 ) от пространственных факторов (x1 , x2 ) можно представить в виде приведенных ниже рисунков 1-3. Первый рисунок посвящен величине трудовых ресурсов в случае когда (x1

0 , x2 0) =(.01,0). Вырождение в точке (x10 , x2 0) показывает,

что здесь никакого изменения роста трудовых ресурсов не происходит. На двух последних рисунках приведены величины капитала полученного интегрированием трудовых ресурсов согласно модельному производству Кобба-Дугласа. Из этих рисунков также следует, что величины капитала по направлению x2 не изменяются. Пусть x0=1, L0=100, d1=d2=1, тогда для величины рабочей силы имеем ( смотрите рис. 1,2,3).

The Labour Resources

L

The Labour Resources

L Рис.1 Рис.2

L x y,( )

x0 L0⋅xx0

⎛⎜⎝

⎞⎠

d1⋅

y x2 y2+( )12

+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

d2

xd2⋅

x2 y2+( )12

:=

106

106

L x y,( )x x2 y2+( )

12

+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

x2 y2+( )12

:=

L Рис 3 Аналогичные результаты результаты имеем для фунлции труда (см. рис. 4,5 ).

K x y,( ) 100. ln x x2 y2+( )12

⎛⎜⎝⎞⎠

+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦⋅ y⋅ 100. x⋅+:=

1). The Kapital

K

Рис.4

K x y,( ) 100. y⋅ 100. x2 y2+( )12

⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+:=

107

107

2). The Kapital

K Рис.5

Заметим, что в модели (10.3) для людской популяции можно легко учесть диффузионные изменения популяции с диффузионным коэффициентом Di = Di (N) и полового распределения популяции мужчины и женщины.

Глава 3. Обоснование моделей трудовых ресурсов

§1. Основные понятия, классификация и общее положение трудовых

ресурсов 1. Понятие занятости. Занятость с точки зрения экономических

позиций общества - это деятельность трудоспособного населения по созданию общественного продукта или национального дохода, а предоставление всем желающим и способным трудится в общественном производстве, ведет в идеале к полной занятости. Занятость в общественном производстве не исчерпывает всех видов полезной занятости, таких, как учеба в общеобразовательных и специальных учебных заведениях, служба в армии, занятость в домашнем хозяйстве, воспитание детей, уход за больными и престарелыми, участие в работе общественных организаций (не по найму) и т.д. Учет всех видов экономической и социально-полезной деятельности нашел свое отражение в понятии глобальной занятости. За ее пределами остаются те, кто по субъективным или объективным причинам не смог найти для себя полезную сферу деятельности, не противоречащую закону. Решающее значение с точки зрения развития самого общества имеет занятость в общественном производстве, которая определяет как экономический потенциал общества, так и уровень, и качество жизни населения в целом и благосостояние отдельных граждан. Занятость в общественном производстве можно рассматривать, как продуктивную занятость, а соотношение продуктивной занятости с другими видами полезной занятости дает возможность определить рациональную занятость.

108

108

Продуктивная и рациональная занятость имеют большое значение для политики занятости на рынке труда. Рассмотрим некоторые из них. Продуктивная и рациональная занятость более точно определяют трудовой потенциал общества, участвующего в создании национального дохода, в условиях, когда участие и неучастие в общественном труде определяется не только экономическими факторами, но и потребностями самого человека, его приоритетами в сфере занятости и возможностями их реализации. Так же продуктивная и рациональная занятость позволяют более точно прогнозировать объем трудового потенциала и его использование, как в масштабах всей страны, так и по регионам с учетом их экономического и демографического развития. Так же у продуктивной и рациональной занятости появляется возможность более дифференцировано разрабатывать социальную политику, выбирать приоритеты, разрабатывать социальные программы, определять источники их финансирования и условия реализации. Содержание термина «занятость» включает в себя как потребность людей в различных видах общественно-полезной деятельности, так и степень удовлетворения этой потребности. Следовательно, проблемы занятости населения не совпадают с проблемами безработицы, так как необходимо учитывать особенности занятости различных социально-демографических групп населения, мотивацию труда работников, изменения в структуре трудовых ресурсов и другие факторы. Целью обеспечения полной и продуктивной занятости является достижение роста эффективности труда, формирование структуры занятости в соответствии с потребностями совершенствования отраслевой и региональной структуры производства, учет социально-демографических факторов. В России численность занятого в экономике населения за время реформ сократилась примерно на 10 млн. чел. В общем, показателе с 1940 года наивысшим показателем стал 1990 год (75,3 млн. человек). Кроме того, под занятостью как экономической категорией следует понимать совокупность социально-экономических отношений в обществе, обеспечивающих возможности приложения труда в различных сферах хозяйственной деятельности и выполняющих функцию связующего звена в воспроизводстве рабочей силы на всех уровнях организации общественного труда и производства. В специальной литературе можно встретить большое количество определений занятости: продуктивная, рациональная, оптимальная, сбалансированная, эффективная. Все они лишь уточняют основное содержание занятости, состоящее в необходимости поддержания такого соответствия между занятой рабочей силой и ее свободным резервом, между личными и вещественными факторами производства, которое способствовало бы достижению максимальной эффективности функционирования производства и росту доходов населения.

2. Экономически активное и неактивное население. В международной статистике широко применяются категории «экономически активное население» и «экономически неактивное население». Согласно

109

109

рекомендациям Международной организации труда (МОТ), к экономически активному населению относятся все лица, которые участвуют в производстве товаров и услуг, включая производство товаров для рынка, по бартерным каналам и для личного пользования. Это следующие категории: лица наемного труда – рабочие и служащие; самостоятельные работники; неоплачиваемые члены семьи; сезонные и случайные работники; лица временно не работающие по объективным причинам (болезнь, отпуск, и т.д.); учащиеся, совмещающие учебу с работой на режиме не полного рабочего времени; ученики и лица, проходящие профподготовку на производстве и получающие либо стипендию, либо заработную плату. 3. Безработица: сущность и формы. Мировая экономическая практика свидетельствует, что обеспечение полной занятости и одновременное повышение экономической эффективности общественного производства в современных условиях трудно достижимо, скорее всего, невозможно. Это объясняется тем, что главный фактор экономического роста и объективности производства – научно-техническая революция выступает одновременно и главным фактором возникновения безработицы. Чаще всего рыночную экономику связывают с безработицей. Действительно, исторический опыт учит, что в странах с рыночной системой хозяйствования практически всегда существует некоторое количество безработных. Обычно считают, что уровень безработицы от 1 до 3% вполне допустим, с безработицей в 5% экономика способна существовать, но уже 7% - социально опасный уровень, которого надо избегать. Следует, правда, отметить, что и в рыночной и в нерыночной экономике обычно существуют два явления: безработица людей и «безработица» рабочих мест, то есть наряду с людьми, не имеющими работы, имеются незанятые рабочие места. Но обычно в рыночной экономике количество безработных людей намного превышает количество не соответствующих их запросам рабочих мест, тогда как в нерыночной экономике и даже в экономике переходного типа чаще наблюдается обратная картина. В целом безработица обусловлена состоянием экономики, вследствие чего уровень безработицы может быть использован в качестве показателя, отражающего социально-экономическое положение страны. В западной экономической науке выделяются три основных направления при объяснении причин безработицы:

1. безработица – следствие слишком высокой заработной платы; 2. (кейнсианское) низкий спрос на рабочую силу; 3. негибкость рынка труда, обусловленная спецификой товара – рабочей

силой. Кроме того, выделяют такие экономические причины безработицы как накопление капитала, что означает повышение технической оснащенности средств производства; изменение спроса на рабочую силу, что может увеличить скрытую безработицу и другие. Для решения проблемы безработицы существенно важно определить тип безработицы и ее

110

110

действительные размеры. Понятие «безработица» и «безработные» трактуются экономистами неоднозначно. Международная практика, опыт которой обобщен и резюмирован в документах Международной организации труда (МОТ), исходит из положения, согласно которому безработным считается тот, кто может и хочет работать, самостоятельно, активно занимался поиском работы, но не смог трудоустроиться прежде всего из-за отсутствия свободных мест или недостаточной профессиональной подготовки. Согласно российскому законодательству о занятости населения официально безработными признаются трудоспособные граждане в трудоспособном возрасте, которые по независящим от них причинам не имеют работы и заработка (трудового дохода), зарегистрированы в государственной службе занятости в качестве лиц, ищущих работу, способны и готовы трудиться и которым эта служба не сделала предложений подходящей работы.

Различают несколько видов безработицы. а). Естественная безработица. При анализе фактора труда, равно как и

других факторов производства, с целью выявления условий успешного развития национальной экономики возникает проблема резерва рабочей силы. Точно так же, как требуются резервы производственных мощностей как условие расширения объемов производства, в рыночной экономике необходимы в определенных масштабах свободные, незадействованные трудовые ресурсы, способные включиться в производственный процесс при увеличении спроса на тех или иных рынках товаров и услуг. Поэтому данный объективно обусловленный резерв рабочей силы отвечает реальным, естественным условия рынка труда. Экономическое содержание уровня безработицы указывает на уровень добровольной безработицы, при которой рынок труда расчищается, а уровень реальной заработной платы соответствует равновесию на всех рынках. Естественная норма безработицы – эта такая норма безработицы при данной структуре спроса и предложения в экономике, которая удерживает на неизменном уровне реальную заработную плату и при условии нулевого прироста производительности труда поддерживает неизменности уровень цен. Естественная безработица находит свое проявление в нескольких формах своего существования: фрикционной, добровольной, институциональной.

б). Фрикционная безработица. Первая из них – фрикционная безработица. Она характеризует процесс миграции рабочей силы с одних предприятий на другие в поисках лучшего и более выгодного приложения своих способностей и усилий. Она представляет собой естественный процесс перераспределения трудовых ресурсов в соответствии с происходящими сдвигами в структуре рабочих мест в развивающейся экономике. Фрикционная безработица отличается скоротечностью и по своей продолжительности ограничивается, можно считать, тремя месяцами. Высокий уровень фрикционной безработицы указывает на высокую

111

111

эффективность функционирования рынка труда, хотя, надо заметить, от большой текучести кадров в целом национальная экономика может нести большие убытки, в частности, в форме огромных потерь рабочего времени из-за временной незанятости трудовых ресурсов.

в). Добровольная безработица. Другой формой проявления естественной безработицы является добровольная безработица. В строгом семантическом смысле этого слова фрикционная безработица тоже, как правило, носит добровольный характер. Однако когда речь идет о добровольной безработице как о форме естественной безработицы, то подразумевается тот контингент незанятых трудоспособных людей, который по своей воле самоустранился от трудовой деятельности, то есть просто не желает работать.

г). Институциональная безработица. К следующей форме естественной безработицы относится институциональная безработица, или безработица, вызываемая функционированием инфраструктуры рынка труда, а также факторами, деформирующими спрос и предложение на этом рынке. Как известно, люди, потерявшие работу, рассчитывают на социальную поддержку и получают ее. Уровень оказываемой помощи по безработице не может не влиять на поведение безработного. Относительно большое пособие может провоцировать удлинение сроков поиска работы, что оказывает ощутимое воздействие на предложение труда. При этом это может проявиться в адаптивном эффекте безработицы, когда люди, испытавшие однажды на себе праздность, сопровождаемую получением пособия по безработице, в дальнейшем нередко время от времени прибегают к использованию данной формы получения дохода. Речь идет о приспособляемости или адаптации к состоянию бездеятельности и неактивного поиска работы. Определенное воздействие на безработицу оказывает и система обеспечения гарантированного минимума заработной платы, который оказывает отрицательное воздействие на гибкость рынка труда. В то же время следует обратить внимание на два момента. С одной стороны, гарантированный минимум зарплаты исключает возможность занятости при более низкой ставке зарплаты, что вызывает увеличение безработицы. С другой стороны, такой минимум положительно сказывается на ограничении неэффективно работающих предприятий, так как, устанавливая минимально допустимую цену на труд, государство тем самым косвенным образом устанавливает нижний предел прибыльности предприятий, которые не могут и не должны получать прибыль за счет обесценивания одного из факторов производства – труда. В направлении сокращения предложения труда действуют и высокие ставки подоходного налогообложения, которое существенно сокращает величину дохода, остающегося в распоряжении работника. Дело в том, что высокие налоговые ставки на заработную плату сокращают разрыв между ней и пособием по безработице, что снижает интерес лиц наемного труда к предложению своей рабочей силы. К институциональной безработице следует отнести и не

112

112

занятость рабочей силы, сопряженную с несовершенством работы информационных систем об объемах и структурах, как имеющихся свободных рабочих мест, так и свободных рабочих рук. К ней же относится и не занятость, вызываемая отставанием адаптации рынка труда к происходящим изменениям в производстве и других видах хозяйственной деятельности.

д). Вынужденная безработица. Другой тип безработицы представляет собой так называемую вынужденную безработицу, которая называется или диктуется происходящими изменениями в хозяйственной деятельности, связанными с технологическими переворотами, сдвигами в отраслевой структуре общественного производства, изменениями в территориальном размещении производительных сил. В соответствии с этими процессами различают и три формы вынужденной безработицы - технологическую, структурную и региональную.

е). Технологическая безработица. Технологическая безработица сопряжена с приходящими на смену дуг другу технологическими принципами функционирования производства, основными из которых является инструментализация, механизация и автоматизация. Данная форма безработицы относится к новейшим формам сокращения занятости рабочей силы. Она связана с внедрением малолюдной и безлюдной технологии, основанной на электронной технике. Например, если в настоящее время 40 типографических рабочих высшей квалификации могут набирать примерно 170 тыс. в час, то с помощью компьютерных принтеров 10 рабочих способны за то же время набрать около 1 млн. знаков, в результате чего технологическая безработица возрастает в 20 раз.

е). Структурная безработица. Структурная безработица включает в себя ту часть незанятой рабочей силы, которая высвобождается в результате происходящих изменений в структуре национальной экономики. В условиях ускоренного НТП происходят крупномасштабные структурные сдвиги в общественном производстве, которые влекут за собой существенные изменения и в структуре занятости рабочей силы. Структурная перестройка национальной экономики сопровождается свертыванием инвестиций, производства и занятости в одних отраслях и их расширением в других. Надо отметить, что наибольшее социальное напряжение в обществе порождается именно этой безработицей. Проблема структурной безработицы должна постоянно находиться в центре внимания социально-экономической политики государства и, прежде всего тех институтов, которые напрямую задействованы на рынке труда и имеют непосредственное отношение к осуществляемым структурным изменениям. з). Региональная безработица. Региональная безработица связана с целым

комплексом факторов исторического, демографического, культурно-национального, социально-психологического характера. Поэтому решение данной проблемы должно быть сопряжено с тесным взаимодействием

113

113

местных административно-национально-территориальных органов власти с центральной, федеральной властью, не исключая взаимодействия с правительствами сопредельных государств.

и). Циклическая безработица. Самостоятельную значимость имеет циклическая безработица, которая предопределяется циклическим характером воспроизводства и возникает на стадии спада производства или в фазе экономического кризиса. Колебания уровня занятости находятся в зависимости от той стадии, которую проходит экономика: на стадии подъема занятость растет, на стадии спада – резко сокращается, на стадии депрессии удерживается на низком уровне и на стадии оживления происходит интенсивное ее рассасывание.

4. Состав категории безработных. Согласно определению международных организаций – МОТ и ОЭСР, безработные – это люди, не имеющие работы, кто готов приступить к работе и ищет работу в течении последних четырех недель или кто уже устроился на работу, но еще не приступил к работе. Так, например, в США безработным считаются гражданские лица, которые: 1) не имели занятости в течении недели обследования; 2) предпринимали усилия найти работу в течении предыдущих 4 недель; 3) лица, временно уволенные, или лица, нанятые на новую работу, которые должны приступить к работе в течении 30 дней. В Японии безработным считается тот, кто не работал в течении недели обследования ни одного часа, в Великобритании – кто не имеет работы в течении недели обследования, ищет работу в течении этой недели или не может искать ее из-за болезни или кто ждет результатов переговоров об устройстве на работу. Если определение статуса безработного в различных странах примерно одинаково и совпадает с определением международных организаций, то в отношении подсчета числа безработных имеются два методологических подхода. Первый подход состоит в определении числа лиц, отвечающих статусу безработного в период недели обследования (США, Япония). Основной же массив безработных – это лица, уволенные с предприятий и имеющие стаж работы. В эту категорию в основном входят работники, потерявшие работу вследствие структурных изменений в экономике и производстве, закрытии предприятий, перехода на новые виды продукции и т.д. Среди них люди различной квалификации и профессий, готовые работать по своей специальности на других предприятиях, пройти переподготовку и повысить свою квалификацию. Они и составляют костяк безработных – источник пополнения квалифицированных, опытных кадров, требующих минимальной подготовки и переподготовки для работы на новых рабочих местах. Деление неработающих людей трудоспособного возраста на вынужденно незанятых и безработных является основной политикой занятости, предусматривающей разработку комплекса мер экономической и социальной помощи нетрудоустроенным категориям населения. Это еще одна категория, требующая особого внимания в определении и проведении

114

114

политики занятости. Не до занятость существует в двух формах: видимой и невидимой, другими словами количественной и качественной. Количественная форма не до занятости выражается в продолжительности рабочего времени, ее вынужденном сокращении по сравнению с нормативной, качественный аспект – это низкая заработная плата, низкая производительность труда, не до использование профессионально - квалифицированного уровня работников и другие качественные аспекты использования рабочей силы. Не до занятость такого плана переводит проблемы занятости на уровень глобальных экономических проблем.

5. Международная миграция трудовых ресурсов. Экономика различных стран становится все более зависимой от мировых тенденций развития цивилизации. Сегодня не одна страна не может добиться успеха, будучи в изоляции. Бурно происходящая интернационализация производства и капитала сопровождается интернационализации рынка труда. Международная миграция стала неотъемлемой частью современной системы мирового хозяйства.

6. Экспорт рабочей силы. Экспорт рабочей силы сопровождается валютными переводами эмигрантов, выступающими в роли своеобразной платы за экспортируемый товар - трудовые ресурсы. Причем получение валютных доходов от экспорта рабочей силы не ведет к одновременным производственным затратам в стране происхождения, как это характерно для торговли товарами. У тех государств, которые в основном специализировались на экспорте трудовых ресурсов, эта доля удерживалась на высоком уровне и даже увеличилась (бывшая Югославия, Пакистан). Существует четыре прямых источника валютных доходов от экспорта рабочей силы:

-налоги с прибыли фирм- посредников; -непосредственные переводы иммигрантов на родину на поддержку семей и родственников; -личное инвестирование иммигрантов (привоз на родину средств производства и предметов длительного пользования, покупка земли, недвижимости, приобретение ценных бумаг); -капиталы от стран – импортеров рабочей силы, идущие часто на воспроизводство трудовых ресурсов, в социальную сферу.

Исходя из вышеизложенного, очевидно, что проблема трудовых ресурсов является ключевым вопросом в рыночной экономике, и, не решив его невозможно наладить эффективную деятельность экономики. Особенно остро проблема трудовых ресурсов и безработицы стоит сейчас перед СНГ, что не удивительно, т.к. состояние экономики СНГ сейчас удручающее. Огромный экономический спад, развалив промышленность, не мог не затронуть рынок труда.

Данная глава посвящена оценкам трудовых ресурсов, точнее их моделям, которые состоят из различных видов дифференциальных задач,

115

115

например в форме неклассической задаче Коши (начальное условие является функционалом неизвестного решения), т.е.

)1(,)),(()0(

,),,(

0⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∞<<=

∫∞

ξξξ dMBM

aoaMfda

dM

где −Μ=ΜΜΜ=Μ ),(),,( 21 tai численности женской и мужской популяций при i=1 и i=2 соответственно, возраста

−⋅Β⋅∞<≤ )(),(,, Faoa соответственно являются функциями смертности и рождаемости. Заметим, что задача (1) является стационарной задачей для задачи [ ]1 :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤=

∞<≤=

≤<∞<<=

∫∞

ok

o

k

ta

ttodtNBtoN

aoaNoaNtto

aoaNFND

,

,

,)),,((),(

,),(),(

,),,(

ξξξ

(2)

где t - время, −)(aNo начальная численность биологического вида возраста

⋅∂∂

+∂∂

=∞<≤at

Daoa ta,,

Под решением задачи (1), (или (2)) мы будем понимать непрерывную функцию М=М(а) (соответственно N=N( a ,t)), которая удовлетворяет условиям (1) (соответственно (2) ). Мы будем рассматривать вопросы существования и единственности решения задачи (1), а также вопросы асимптотической устойчивости стационарного решения задачи (2) (т.е. задачи (1)).

§2. Вопросы корректной разрешимости скалярной задачи

В скалярном случае, задача (1) описывает распределения численности людской популяции по возрасту, находящейся в стационарном режиме

)1.1(,)),(()(

,),,(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

∞<<=

∫∞

odMBoM

aoaMFda

dM

ξξξ

Теорема. Пусть имеют место условия

a) ∫∞

∞<≤⋅=o oo dFaFFMaMFaMF ,)(),()(,),(),( ξξ

((

),()(),(,(),( aBBaaMMBaMB o≤⋅+=((

β

∫ ∫∫∞ ∞

∞<<<≤o o

a

o oo daaoqdadFaB ,)(,1))(exp()( βξξ

116

116

б) ,:,,1)exp( ∞<≤∀≥<<= ∫ ∫

∞MoMo

dMdBqdad

dMdF

dMdBh

o

a

oξ

тогда существует единственное классическое решение задачи (1.1), q = const > o.

Доказательство. Рассмотрим итерационный процесс

∫ ∫∞ ∞++

++

=+=

∞<<=

o o

sss

sss

sddMMBoM

aoMaMFda

dM

...1,0.,)()()),(()(

,,),(

11

11

ξξβξξξξ(

(

Так, в силу условия а) (индекс S опускаем): ,,)( ∞<<≤ aoMaFdadM

o

то имеем ).)(exp()()( ∫≤a

o o dFoMaM ξξ Отсюда

)2.1(),,()()()()(

afeedMBaMa

o o dF

o o +∫≤ ∫∞ ξξ

ξξξ где

.)()()( ξξ

ξξβdF

o

a

o oedaf ∫= ∫∞

Решение неравенства (1.2) будем искать в виде 0),())(exp()( >=+= ∫ conscafdFcaM

a

o o ξξ . Тогда имеем

dadFaB

daaBCC a

o))((exp)(1

)(0

00 0

0 0

0

∫∫∫

∞

∞

−=<≤

ξξ

и, следовательно, для любого решения задачи (1.1) имеем )3.1(.0,)(0 maxmax >=≤≤ constMMaM

Пусть теперь a′ и a ′′ любые две точки из [ ),,0 ∞ причем .aa ′′<′ Тогда в силу задачи (1.1) имеем

∫ ∫′′

′

′′

′==′−′′

a

a

a

adaaMFda

dadMaMaM .),()()(

Отсюда )4.1(,)()( 0 aacaMaM ′−′′≤′−′′

где .0))(( 2

0 0max

0 >= ∫∞ vdFMc ξξ

Таким образом, последовательность ...1,0, =sM s в силу (1.3), (1.4)равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела следует, что из последовательности ) ...1,0, =sM s можно выделить сходящуюся под последовательность ( ,ss MM n ⊂ которая

117

117

равномерно на каждом конечном промежутке сходится к некоторой функции ).(0 aM Очевидно, эта функция удовлетворяет задаче (1.1):

∫∞

==0

00 .),()0(),,( ξξ dMBMaMFdadM o

Докажем единственность. Пусть существует функция, ),(aM(

которая также удовлетворяет задаче (1.1). Обозначим ,0 MMM

(−=∆ тогда легко видеть,

что

)).,(,))1(((

.)()0(,

1

0

0

0

dMBd

dMFdzdMMzz

dMdM

BdMMdM

Fdda

Md

(((((

((

=−+=

∆=∆∆=∆

∫

∫∞

τττ

ξξ

Отсюда

∫∞ ∫∆=∆

o

ddM

FDa

edMdM

BdaM 0)()(ξ

ξξ

((

Решение подледного уравнения имеет вид

,)( 0∫=∆a

ddM

Fd

ceaMξ

(

где с = const = 0. Тогда имеем

.10

0=

∫∫∞

daedM

Bda

ddM

Fdξ

((

Но это противоречит условию б), т.е. с=0. Следовательно, .,0 0 MMM(

≡=∆ Замечание 1. Теорема справедлива и в случае, когда

,0),(),(),(),(),(),(

0

0

∞<≤+=+=

aaMaMFaMFaMaMBaMB

αβ

и

.1))),((exp()),((0

,0:,),(max

0 0 00

0 0

<<

∞<≤∀∞<

∫ ∫∫∞

ξηηηξξ

ξξξ

ddMFMB

MMdMFa

Замечание 2. Теорема остается справедливой, если условие а) заменить на условие:

.)()()1(

,1,1,0,0)(,0)(,)()(,)()(

1)1(1

0 01

1

0 0

00

00

−−∞−∞

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡<⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

>>∞<≤≥≥

≤⋅≤⋅

∫∫qpp

qp

dBdFp

qpaaFaBMaBBMaFF

ξξξξ

Замечание 3. Пусть функции F(.), B(.) удовлетворяют условиям

,),(),(

,),(),(

2

1

NNLaNBaNB

NNLaNFaNF′′−′≤′′−′

′′−′≤′′−′

118

118

где ∑∫−

∞<<

2

10

.1)(0i

i daaL

Тогда существует единственное решение задачи (1.1). В самом деле, данное утверждение следует из того, что решение задачи (1.1) эквивалентно решению интегрального уравнения типа

∫ ∫∞

+=a

dMBdMFaM0 0

.)),(()),(()( ξξξξξξ Рассмотрим теперь примеры:

1) Пусть ,0,)()(,)()( 00 ∞<≤=⋅=⋅ aMaBBMaFF Тогда ))(exp()0()(0 0∫=a

dFMaM ξξ при любом начальном условии удовлетворяет исходное уравнение. Из условия для )0(M имеем

0))(exp()(1)0(0 0 00 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − ∫ ∫

∞dadFaBM

aξξ . Следовательно, однородная линейная

задача при ∫ ∫∞

≠=0 0 00 1))(exp()( dadFaBh

aξξ имеет только тривиальное

решение, а при h=1 бесконечное множество решений. 2) Рассмотрим случай, когда

.0),()(),(,)(),( 10 ∞<≤+== aaBMaBaMBMaFaMF o Тогда функция

∫∞

>=−

∫=

0 11

)(

1 0)(,1

)(0 0

daaBh

eaM

adF

ββξξ

является решением исходной задачи, где h определяется как в примере 1. Заметим, что в данном случае единственное неотрицательное решение задачи существует только при h<1. Если h=1 решение не ограничено, а при h>1 оно отрицательно.

3) Предположим, что

,0,)(),()()(),(

0

,2

10

∞<≤=+=

aMaBaMBMaFMaFaMF

тогда решение задачи (1.1) представляется в виде

,)()0(1

)0()(

0

)(

1

)(

0 0

0 0

∫ ∫−

∫=

a dF

dF

deFM

eMaM

a

ξξξ

ηη

ξξ

где М(0) определяется из уравнения

∫∫

∞

′′=

∫−

∫

0

0

)(

1

)(

0 1)()0(1

)(

0 0

0 0

ξ ηη

ηη

ηη

ξξη

ξ

deFM

deBdF

dF

при условии выполнения разрешимости теоремы

⋅∫ ∫

<≤∞

00

)(01 )(

1)0(0daeaF

adF

Mξξ

119

119

§2. Исследование корректности интегро-дифференциальных

систем Известно, что стационарная численность популяций модельных

биосистем удовлетворяет условиям

∫∞

=∞<<=0

)1.2(,)),(()0(,0),,( ξξξ dMBMaaMFda

dM

где −== )(),( 1 aMMMMM mL стационарная численность возраста mBFaa −⋅⋅∞<≤ )(),(,0, мерные вектор- функции, характеризующие

«смертность» и «рождаемость» в биосистеме являются непрерывными и ограниченными функциями. Под решением задачи (2.1) будем понимать непрерывную функцию

,0),( ∞<≤= aaM которая имеет непрерывную производную и удовлетворяет условиям (2.1).

1. Линейная задача. Пусть система (2.1) имеет вид

)2.2(,)()()0(

,0),()(

0 0

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

∞<<+=

∫∞

βξξξ

α

dMBM

aaMaFda

dM

где −×−⋅⋅ mmBF )(),( 00 матрицы, m−βα , -мерные векторы. Относительно функций, входящих в систему (2.2), предположим что

)3.2(,0,1

,,

0

0 0

00 00

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=<

∞<∞<=

∫∫∫

∞

∞∞

constedB

ddFh

h βξ

ξαξ

где ⋅ здесь и в дальнейшем определяет операторную норму. Рассмотрим однородную задачу (2.2), т.е. .0,0)( == βα a Легко видеть, что

функция, ),0()()( MaXaM = где ,)(,1)0( 0 XaFdadXX == при любом М(0)

удовлетворяет уравнение (2.2). С учетом второго уравнения (2.2) имеем ,0)0()( =− MBI

(

где ∫∞

≥=0 0 0)()( ξξξ dXBB

( является популяционной матрицей потенциалов

[ ].1 Таким образом, из (2.4) следует, что если 1 не является собственным значением матрицы ,B

( то однородная система (2.2) имеет единственное

тривиальное решение. Если же 1 не является собственным значением матрицы ,В

( то однородная система (2.2) имеет бесконечное множество

решений. Теперь исследуем неоднородную систему (2.2). Легко видеть, что решение первого уравнения (2.2) представляется в

120

120

виде ∫ −+=a

ddXaXMaXaM0

1 )()()()0()()( ξξξ C учетом второго уравнения (2.2)

имеем ∫ ∫∞ −+=−0 0

10 .)()()()()0()( ξηηαηξξβ

ξddXXBMBI

(

Если ,0)det( ≠− BI(

то ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫

∞ −−

0 0

10

1 )()()()()()0(ξ

ξηηαηξξβ ddXXBBIM(

и, следовательно, неоднородная система (2.2) имеет единственное ограниченное решение

)5.2(.)()()()()()()()()(0

1

0

10

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∗+−= ∫∫ −∞ −− ξξαξξηηαηξξβ dXddXXBBIaXaM

a(

Таким образом, справедлива следующая теорема. Неоднородная система (2.1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система не имеет ненулевых решений.

1. Нелинейная задача. Исследуем задачу (2.1). Пусть имеют место условия

а)

,0:,0

),()(),(),(),(

),()(),(),(),(

0

0

∞<≤∀∞<≤

≤⋅+=

≤⋅+=

MMa

aBBaMaMBaMB

aFFaMaMFaMF))

))

β

α

где −)(),( 00 aBaF матрицы порядка mm −α, -мерная векторная функция и

удовлетворяют условиям (2.3), −≤=≥= ∫∞

,.,0(0 0 ijij aadaaββ понимается

поэлементно; б)

),0)((,1 ≠−+<= BIdeBh((

где ∫∞

∞<≤∀

≥===

00:

,0,)0(,,)(

MMdM

BdIXXdM

FddadXdX

dMBd

B

(((( ξξ

Теорема 1. Пусть имеют место условия а), тогда существует, по крайней мере, одно решение задачи (2.1). Если выполнено и условие б), то это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим итерационный процесс

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+′′′=

∞<<+=

∫∞ ++

++

0

11

11

...1,0,)(),()0(

,0),(),(

sadaMaMBM

aaMaMFda

dM

sss

sss

β

α

)

)

Покажем, что ...1,0, =sM s ,равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Так как ( ) ( ) ),(),( 00 aBBaFF ≤⋅≤⋅

)) то

)6.2(.)()()0(

,0),()(

0

10

1

10

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+≤

∞<≤+=

∫∞ ++

++

βξξξ

α

dMBM

aaMaFda

dM

ss

ss

121

121

Отсюда следует, что

]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∗+−= ∫ ∫∫

∞ −−−

0

1

00

10

1 )()()()()()()()()( ξξξξηηαηξξβξ

ddXddXXBBIaXaMas

и, следовательно,

[ ))7.2(max

,0MM

c

s ≤∞

Из (2.6), (2.7) получаем

,)()()( 21

1max

0 aacMcdada

dMaMaMa

a

sss ′−′′+≤=′−′′ ∫

′′

′

где −′′′ aa , любые две точки из [ ) .1,0,0,0,,0 max =>=>−∞ iconstcconstM i Таким образом, последовательность функций ...1,0, =s

sM равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. На основании теоремы Арцела из последовательности sM можно выбирать равномерно сходящуюся на каждом компакте последовательность nsM такую, что предельная функция удовлетворяет интегральному уравнению ∫ ∫

∞ ∞+=

0 0,)),(()),(()( ξξξξξξ dMBdMFaM которое эквивалентно задаче (2.1).

Докажем теперь единственность. Предположим противное, т.е. пусть задача (2.1) имеет по крайней мере два решения M ′ и M ′′ . Обозначим через .MMM ′′−′=∆ Тогда в силу (2.1)

)).

~,

~(~,))1((~(

,)()0(,

1

0

0

dMBd

dMFdzdMMzz

dMdM

BdMMdM

Fdda

Md

=′′−+′=

∆=∆∆=∆

∫

∫∞

τττ

ξξ((

Последняя задача имеет решение ),0()()( MaXaM ∆=∆ где )0(M∆ определяется из уравнения 0)0()( =∆− MBI . Так как ),0)(det(1 ≠−< BIh то

,0)0( =∆M и следовательно, ,0)( ≡∆ aM т.е. ).()( aMaM ′′≡′ Замечание 1. Пусть функции ( ) ( )⋅⋅ BF , удовлетворяют условиям

,0,)(),(),(

,)(),(),(

2

1

∞<≤′′−′≤′′−′

′′−′≤′′−′

aMMaLaMBaMB

MMaLaMFaMF

где ∑∫=

∞<<

2

10

,1)(0i

i daaL

тогда задача (2.1) имеет единственное решение. Замечание 2. Рассмотрим оператор ,MMT = где

,KM ∈ где [ ] maxmax,,0

1 ,: MMMCMMKc

L ≤∈= определяется как в неравенстве (2.7), а элемент М определяется как решение следующей задачи Коши :

122

122

∞<<

== ∫∞

a

dMBMaMFdadM

0

.)),(()0(),,(0

ξξξ

Эта задача при )0( 0 >∈ LLipF имеет единственное решение из пространства .1C Легко видеть, что TKTK ,⊆ непрерывен на К;ТК компактно в С. Из теоремы Шаудера следует, что существует неподвижная точка [ ]., ,0

1LCMMTM ∈= Единственность неподвижной

точки устанавливается обычным способом [ ].5 Пример . Пусть

( )( )

( )( ) ( ) ( )

2,1.0,0,0),()(

,)()()()(

,0,)()(),(

),(,2

222

0111

0 12

1

=≤⋅≥⋅∞<≤−=⋅

−−=⋅

∞<≤=⋅

=⋅=

∫∫

∞

∞

iFBaaMafF

dMVaMafF

adaaMVaKB

aBBm

ii

ξξξ

ξξ

ζ

Заметим, что исходная система в данном случае описывает динамику «эксплуататор-производитель» [ ].2 Легко видеть что функции

∞<≤>−=

>−−=

∫∫

∗

∞∗

adfMaM

adfaMa

0,0)(exp()(

,0))(exp()(

0 222

0 max111

ξξ

δξξµ

являются решением исходной задачи (1). Здесь

∫

∫∫

∫ ∫∫

−=

>∫>=

>−−

=

∞ −

∞∗

∞ ∞∗

a

df

a

dfaVaV

daeaBdaaV

dfaaKV

a

0 2

0

)(

0

max2

0 10max0

1

),)(exp()()(~

),1)((0)(~

,0))(exp(),()(

1

0 1

ξξ

δµ

ξξδξξµ

ξξ

)

и maxδ является максимальным вещественным корнем уравнения

∫∞ −−

=∫0

)(.1)( 0 1 daeaB

aadf δξξ

§3. Асимптотическая устойчивость стационарного

решения Рассмотрим разность U = N - M, где M, N соответственно являются

решениями задач (1) и (2) . Легко видеть, что система 1-го приближения для задачи (2) возле стационарного решения имеет вид

123

123

)1.3(

,0,),()(),0(

,0),()0,(,0,)(

0 0

0

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤=

∞<≤=∞<<=

∫∞

tdtUBtU

aaUaUaUaFUD ta

ξξξ

где:

.0),9)()(

,)(,)(

00

)(0)(0

∞<≤−=

===

=

aaMaNaUdNdBaB

dNdFaF

aMNaMN

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция ),()(),( ataXtaU −= µ где )(aX является решением задачи

,)0(,)(0 IXXaFdadX

==

при любой функции 1)( Се ∈= µµ удовлетворяет первое уравнение (3.1) . Подставляя функцию U = U(a,t) в уравнении рождаемости (т.е. третье уравнение (3.1)) и введя обозначение )()()( 0 aXaBaB =

) для определения

функции ),(tµµ = получаем систему интегральных уравнений типа восстановления [ ]:7.3

)2.3()()()(0

daataBt −= ∫∞

µµ)

Решение системы (3.2) будем искать в виде ,)( tсeе δµ = где С- постоянный ненулевой вектор, δ -неизвестный параметр. Из (3.2) имеем

)3.3(.0))((0

=− ∫∞ − daeaBIC aδ)

Таким образом, решение (3.2) представляется в виде

∑∞

=

=0

)(j

jtj ect δµ ,где −jδ являются корнями характеристического уравнения

(3.3). Заметим, что матрица ∫∞

=0

)( daaBB)

называется популяционной

матрицей потенциалов, а число −= Bh биологическим потенциалом сообщества [ ].1 Матрица )(аВ

)называется матрицей выживаемости системы.

Предложение. Если h =1 и )(аВ)

матрица с ограниченной вариацией, то уравнение (3.3) эквивалентно уравнению ,0)det( =− AIδ где: BdeBA a ))

∫∞ −+=0

)0( δ называется общей матрицей сообщества [ ].1

Теорема 1. Пусть ( ) ,)(~,0,0)(0

∞<=∞<≤> ∫∞ − daeaBBaаВ aδδ

) уравнения

(3.3) неположительные и существует единственный максимальный вещественный корень данного уравнения, Который при h<1 отрицателен, а при h =1 равен нулю.

Доказательство. При возрастании [ ] 0,, minmin ≤∞∈ δδδ

124

124

элементы матрицы ( )δВ~ монотонно убывают. Для каждого значения

δ , мы имеем корень Перрона, ix

xiijxibBr

m

j

0

,~

minmax))(~(1

>

= ∑=

δ который

является положительной величиной, где ),1 ...,( mxxx = - соответствующий собственный вектор. Монотонный характер ( )δВ~ влечет за собой [ ]8 монотонный характер )).(~( δBr Очевидно ))(~( δBr является непрерывной функцией [ ),,∞∈ ьштδδ и, кроме того, имеют место

.1))(~(,1))0(~(,0))(~( min >≤=∞ δBrBrBr Следовательно, существует одно значение ,0δδ = для которого ,1))(~( =δBr т.е. 0δ удовлетворяет (3.3).

Так как ( ) ∑∫=

∞ − ==m

j

a xixiabijadaeaBr1

0,/)(minmax,)())(~( ββδ δ то уравнение (3.3)

сводится к уравнению, ∫∞ − =

0,1)( daea aδβ которое имеет один

максимальный вещественный корень и комплексно сопряженные корни. Этот максимальный корень при ∫

∞<=

00 1)( daah β отрицательный, а при h0 =1 равен нулю. Для завершения доказательства заметим, что .0)det(, 10 =−≤ =hBIhh Из доказанной теоремы следует, что если h>1 , то максимальный корень уравнения (3.3) положителен. Таким образом, если параметр h<1 (т.е. биологический потенциал меньше единицы), то стационарное решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Рассмотрим задачу (2). Пусть −1N -решение задачи (2) с начальной функцией ,0

1N а −2N решение (2) с начальной функцией .02N

Введем функции .0),()()(),,(),(),( 02

01021 ∞<≤−=−= aaNaNaUtaNtaNtaU , тогда

легко видим, что функция F удовлетворяет задаче (3.1) с функциями

.0~

),(,~

),( 00 ≥==dN

BdtaBdN

FdtaF

Теорема 2. Пусть ,0,0)(0 ∞<≤≥ aaU m =1 , тогда .0,0,0),( tataU ≤∞<≤≥

Доказательство. Легко видеть, что функция

∫ −−=a

dtFattaU0 0 ),(exp()(),( ξξξµ является решением задачи (3.1) при

любой функции .1С∈µ С учетом второго условия и третьего уравнения (3.1) имеем

)4.3(),()(),()((0

tfdaattaBt +−= ∫∞

µµ

где ∫∫∞

≥−=−=t

adataUtaBtfdtFtaBtaB 0)(),()(),),(exp(),(),9 00 00 ξξξ

125

125

при .0,0)(0 ∞<≤≥ aaU Из (3.4) следует не отрицательность )(tµ и, следовательно, ,0),( ≥taU т.е. ).,(),( 21 taNtaN ≥ Заметим, что теорема 2 легко обобщается для системы (2).

§ 4. Исследование нелинейной нестационарной задачи

Рассмотрим задачу (2) в следующем виде:

)1.4(

0,),((),0(

,0),()0,(,0,0),,,(

0 ,

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤=

∞<≤=≤<∞<<=

∫∞

k

kta

ttdtNBtN

aaNaNttataNFND

ξξ

Предположим, что выполняются условия

а) ( )

( ) ( )

,max,max 00

0 0 00

),,(~,),,(~),,(~,),,(~)(

0

0

0

∞<≤∞<∫∞ ∫∞=

≤⋅=⋅

≤⋅=⋅

qedaBdaF htt

h

taBBNtaNBB

taFFNtaNFF

б)

....1,0,0

,0~

,,~

,),(~

max,

0

01

=>=

≥==

−=∞<≤=

=

∞

∫

iconstqdN

BdIXXdN

FddadX

dtXdN

BdBqBh

i

a

t ξξξ

Теорема. Пусть имеют место условия а) – б), тогда задача (4.1)

имеет единственное решение. Доказательство. Рассмотрим итерационный процесс

ξξξξ dtNttNBtN

aaNaN

NtaNFND

sss

s

sssta

),(),),,((~),0(

,0),()0,(

,),,(~

1

0

1

01

11

+∞+

+

++

∫=∞<≤=

=

Отсюда в силу условия а) получаем

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

∞<≤=

≤

∫∞ ++

+

++

0

10

1

01

10

1

),(),(),0(

)2.4(,0),()0,(

,),(

ξξξ dtNtBtN

aaNaN

NtaFND

ss

s

ssta

Функция ),(),(),( 11 atataXtaN ss −−= ++ µ где ,,),( 00 IXXtaF

dadX

a =≤ =

при любой 1)( Ctы ∈µ удовлетворяет I- ому неравенству (4.2).

126

126

Тогда в силу второго и третьего условия (4.2) имеем )3.4()()(),()(

0tfdttBt sеы +−≤ ∫ ξξµξµ

)

где ∫

∞−=−=

tdtNtBtfataXtaBtaB ξξξ )(),()(),,(),(),( 00

))

Легко видеть, что ,00 )(),exp( ftfEhX ≤≤

где

.0,1...111...11

0 >=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= constfE

Из (4.3) имеем )4.4(,,0),exp( max

22 NNconstqtqc

skc

s ≤>=≤µ т.е. последовательность sN равномерно ограничена. Так как

( ) ( ) ∫ ∫′′

′

′′

′≤≤′−′′

a

a

a

adaFda

dadaa ,,, 0 ϕϕτϕτϕ

где ,0),,9),( ∞<≤+= aaaNa ττϕ и, следовательно,

∫∞

=′−′′≤′−′′0

20

max00 ,,),(),( ξτϕτϕ dFNCaacaa для любых

a′ и a ′′ из [ )∞,0 , то получаем равностепенную непрерывность последовательности. Таким образом, из теоремы Арцела следует, что последовательность ssn NN ⊂ в каждом конечном промежутке равномерно по (a, t) сходятся к решению задачи (4.1). Теперь предположим, что существует два решения задачи: N ′ и .N ′′ Обозначим ),,(),( taNtaNN ′′−′=∆ тогда легко видеть, что

)5.4(

0),(),(),0(

,0),()0,(

0,0,),(

,00 0

0

,00

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤∆=∆

∞<≤∆=∆

≤<∞<<∆=∆

∫∞

tttNtBtN

aaNaN

ttaNtaFND ta

ξξ

где

( ) ( )

( ) [ ]kttdN

BddN

FdzdNNzz

aNaNNdN

BdBdN

FdF

,0,~

,~

,)1(~

),()(,~

,~

0

1

0

000

00

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′′−+′=

′′−′=∆=⋅=⋅

∫ τττ

и выбирается так, чтобы h<1 на промежутке [ ].,0 0t Решение задачи (4.5) будем искать в виде

,0,0),(),( 0ttaatataXN ≤≤∞<≤−−=∆ µ где

)(,),0(,),(0 tItXXtaFdadX µµ === является решением интегрального

127

127

уравнения )6.4(.)(),(),()(

0 0∫∞

−−= daatataXtaBе µµ

Из уравнения (4.6) вытекает, что ,~ µµ B≤ где ( ).max tt µµ = Отсюда,

,0)1( ≤− µB Так как на [ ] ,1,0 0 <= Bht то 0=µ и, следовательно, .,0 NNN ′′≡′=∆

Замечание 1. При выполнении условия а) функция

∫ +−+−−=a

datatNFattaN0

)),),,((~exp()(),( ξξξξξµ удовлетворяет задаче (4.1), где )(tµµ = является решением следующего интегрального уравнения:

∫ +−−=t

tfdaatataNtaKt0

),()()),(),()( µµ а функции ( )⋅Ktf ),( определяются следующим образом:

( ) ∫∫

+−=⋅

−−=∞

at

datNFtaNBK

dataNtaNtaKtf

0

00

).),((~exp(),,(~

,)())(,,()(

ξξξ

Замечание 2. Пусть функции ( ) ( )⋅⋅ BF , удовлетворяют условиям

)7.4(,),(),,(),,(

,),(),,(),,(

2

1

⎪⎩

⎪⎨⎧

′′−′≤′′−′

′′−′≤′′−′

NNtaLtaNBtaNB

NNtaLtaNFtaNF

,0,0 ktta ≤≤∞<≤

где ∑∫=

∞<<

2

10

.1),(max0i

it taL Тогда задача (4.1) имеет единственное решение.

Действительно, легко видеть, что задача (4.1) эквивалентна интегральному уравнению

∫∞

+=0

)8.4(),,(),,,( taFdNtaKN ξξ

где ( )

∫∞

+−+−−

=−−++−+−=⋅

tdatatNF

tafatatNBatatNFK

.)),((

),(),,),,((),),,((

0 ξξξ

ξξξξξξ

Интегральное уравнение (4.8) при выполнении условия (4.7) имеет единственное непрерывное решение.

Замечание 3. Пусть оператор NNT = , где [ ] [ ] maxmax

.0,01 ,,: NNNCNNKN

ctL k ≤∈=∈ × определяется как в неравенстве

(4.4), а элемент N определяется как решение задачи Коши

∫

≤<

∞

≤<

≤≤=

∞<≤=

=

0

0

0

.0,),),,((),90

,0),()0,(

),,,( ,0

k

ttta

ttdttNBtN

aaNaN

taNFND Lak

ξξξ

128

128

Функции ( ) ( )⋅⋅ BF , непрерывны по (a, t) и удовлетворяют условию Липшица по N. Тогда существует единственное решение задачи (4.1) (т.е. существует единственная неподвижная точка оператора Т). Доказательство данного утверждения проводится аналогично [ ].5

Пример 5. Пусть 1=m и ( ) ( ) [ ] ,),(),(),,(0 NNtaEtaDFtaBB −=⋅=⋅ тогда

)9.4(,)(),(exp(),(1

)),(exp()(),(

0 0

0

∫ ∫∫

−+−+−+

+−−= a

a

atdatDatE

datDattaN ξ

ξµξξξξ

ξξξµ

где

∫ ∫

∫∫+−=+−=

−+−

=

+−

∞

ξ ξ ηηηξξξξηηηξξ

ξµξξξµξµ

ξ

0 0

),(

00

00

0),(),(),),(exp(),(),(

)10.4(,)(),(1

)(),()(

deatEtAdatDtBtA

ttAdttAt

datD

является решением исходной задачи (4.1). Заметим, что функция, ),,( taN определяемая по формуле (4.9) , называется логистической поверхностью [ ]6 . Легко видеть, что интегральное уравнение (4.10) имеет единственное решение из .1С .

§5. Решение задачи стабильности людских популяций с учётом возрастной структуры и пространственного распределения

Рассмотрим модельную систему ∞<≤∈=

≤<aGxNaFND

ktttax 0,,)(00 , (5.1)

где ∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

1)(

ii

i

ii

itax xD

xxV

atD , со следующими

начальными и граничными условиями

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

≤<=

∞<≤∈=

∫∞

=

0

0,),,()(),0,(

,0,),,(

00

00

S

k

t

N

ttdtxNBtxN

aGxaxNN

ξξξ , (5.2)

Здесь ),,...( 1 mNNN = ),,,( taxNN ii = i=1,m;

,)(),...,(

)(),...,()(

1

111

0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−−−−−=aFaF

aFaFaF

mmm

m

,)(),...,(

)(),...,()(

1

111

0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−−−−−−=aBaB

aBaBaB

mmm

m

129

129

,...00

0...01

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−=

im

i

i

V

VV .2,1,

...00

0...01

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−−= i

D

DD

im

i

i

Сформулируем задачу стабильности людских популяций. Пусть

maxmin , NN - положительные векторы (часть компонентов этих векторов для редких видов из практических соображений задаётся, а другая часть находится в результате решения задачи). Требуется найти условия относительно модельной системы (5.1), (5.2), которые обеспечивают неравенства

0,0,,),,( maxmin ≥∞<≤∈≤≤ taGxNtaxNN (5.3)

или

,0,,),(~ maxmin ≥∈≤≤ tGxNtxNN )),(~1( maxmin NdxdttxNNG

≤≤ ∫τ (5.4)

Под решением задачи (5.1), (5.2), будем понимать непрерывную функцию, ),,,( taxNN = имеющую непрерывные производные

,,,,2ii x

NxN

aN

tN

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

i=1,2 удовлетворяющие условия (5.1), (5.2).

Теорема 1. Пусть выполняются условия а). Функции ),(),(),( 000 ⋅⋅⋅ NBF определены и непрерывны по

совокупности переменных; б). ,)(,)(,)( 0

00000 NNbBfF ≤⋅≤⋅≤⋅ где: 0,, 000 >− constNbf ;

в). Функция N0=N0(x,a) имеет обобщённые производные ix

N∂∂ 0 ,

aN∂∂ 0 ,

21

02

xxN∂∂

∂, 2,1,

21

03

=∂∂∂

∂ ixxa

N и они ограничены по а, 0≤ а<∞;

г). ∞<∞ ],0[0 2L

B . Тогда решение задачи (5.1), (5.2), представляется в виде

∑∞

==Ζ=

11

21 2121

)()(2),,(nn

nn aEaLL

taxN λ

2

22

1

11 sinsin)(21 L

xnL

xnatnn

ππµ − , (5.5)

130

130

где матрица Z является решением задачи IZZaFdadZ

== 00 ,)( , а вектор-

функция )(21

tnnµ является решением системы интегральных уравнений восстановления

,),(~~00 GxxNN t ∈==

(5.6)

Здесь )()()()(210 aEaZaBaB nn= называется матрицей выживаемости

экологической системы [1].

,

...00

............0...0

)(

21

21

21

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−

−

a

a

nn

mnn

nn

e

e

aE

λ

λ

λ

λ

,

...00

............0...0

)(2

1

2

1 1

2

2

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∑

∑

=

=

i im

iim

i i

ii

Dx

Dx

D

e

e

xE

ϑ

ϑ

λν

Теорема доказывается аналогично работе [3]. Легко видеть, что решение системы интегральных уравнений (5.6)

представляется в виде

∑∞

=

=0

21

2121)(

j

tjnnnn

jnneCt δµ , где j

nn 21δ являются корнями характеристического

уравнения [3] ( ) 0)(det

0=− ∫

∞ −δξξ eBI (5.7) Теорема 2. Пусть B(a)>0, 0≤ a<∞

,0),,[,)()(~minmin0≤∞∈∞<= ∫

∞ − δδδξξδ δξdeBB тогда вещественные части

корней характеристического уравнения при ∫∞

=<=0

)(,1 daaBBBh

131

131

неположительные, и существует максимальный вещественный простой корень, который удовлетворяет условиям

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>==<<

=1010

,10

hприhприhпри

δ (5.8)

Доказательство. При возрастании δ элементы матрицы )(~ δB монотонно убывают. Для каждого значения δ мы имеем корень Перрона

))(~( δBr , который является положительной величиной. Монотонный характер [5] )(~ δB влечёт за собой монотонный характер ))(~( δBr . Очевидно,

))(~( δBr является непрерывной функцией ),[ min ∞∈ δδ и, кроме того, имеют место 1))(~(,1))(~(,0))(~( >≤= δδδ BrBrBr . Следовательно, существует одно значение δ=δ0, для которого 1))(~( =δBr , т.е. δ0 удовлетворяет (5.7). Так

как ∫∑ ∞

−=

>==

0

1

0,)(

)(~

minmax))(~( daeax

xbBr a

i

m

ijij

ix

δβδ

δ

где, ∞<≤≥=∑=

>a

x

xaba

i

m

ijij

ix0,0

)(minmax)( 1

0β , x – некоторый заданный

вектор, то уравнение (5.7) сводится к уравнению

∫∞

− =0

,1)( daea aδβ (5.9)

Известно, что уравнение (5.9) имеет один максимальный вещественный корень, а остальные корни попарно сопряжены, причём максимальный корень удовлетворяет (5.8).

Заметим, что β(а) называется функцией стабильности людских популяций системы, а число h её биологическим потенциалом [1]. Теорема 3. Для того чтобы имело место неравенство (5.3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия B(a)>0, 0≤a<∞, ∞<)(~ δB , h=1, т.е. единица является максимальным собственным значением популяционной матрицей потенциалов B .

Необходимость. Пусть справедливо неравенство (5.3). Пусть h>1, тогда в силу теоремы 1 у характеристического уравнения (5.7) есть максимальный простой корень больше нуля и, следовательно,

∞→∞→ tприtnn )(21

µ . Таким образом, для функции N=N(x,a,t) не выполняется неравенство (5.3), т.е. пришли к противоречию аналогично рассматривается случай, когда h<1.

132

132

Достаточность. Пусть h<1. Докажем, что функция N=N(x,a,t) удовлетворяет неравенство (5.3). Легко видеть, что δmax=0 является максимальным корнем характеристического уравнения (5.7), а вещественные части остальных корней отрицательны. Тогда

∞→→ tприСt nnnn 2121)(µ , и в силу равномерной сходимости ряда (5.5)

функция N=N(x,a,t) удовлетворяет неравенство (5.3). В качестве компонентов векторов Nmin, Nmax можно взять максимальные и минимальные значения компонентов вектора правой части в представлении (5.5). Их также можно определить из принципа максимума для соответствующих интегро-дифференциальных задач. Заключение. Для полулинейных моделей, т.е. F0=F(N), B0=B(N) (а также для нелинейных моделей, т.е. коэффициент диффузии, зависит от численности ) соответствующая интегро-дифференциальная задача линеаризуется около стационарного состояния N*=N*(a), а затем к линеаризованной задаче применяется теорема 3. Причём для полулинейных и нелинейных моделей условие h=1 заменяется на условие h≤1. В данном случае компоненты векторов Nmin, Nmax определяются также через компоненты вектора N* и параметры области.

§6. Необходимое и достаточное условие существования решения

задачи стабильности людской популяции Предположим, что численность людской популяции удовлетворяет

уравнение

∞<≤∈=≤<

aGxNaFNDktttax 0,,)(

00 (6.1)

начальному и граничному условиям

,0,),,()0,,( 0 ∞<≤∈= aGxaxNaxN

,,),,()(),0,(00

0 kttGxdtxNBtxN

≤≤

∞

∈= ∫ ξξξ (6.2)

,)0(, =−∂∂

= SS NnNUN α

где taxD - определён в §1 - )(0 aF , ),(0 axN , )(0 aB - заданные неотрицательные функции.

Сформулируем задачу стабильности людской популяции. Задача стабильности людской популяции состоит в нахождении условий, которые обеспечивают выполнение неравенства:

133

133

,,),(~0

maxmin

≥∈≤≤t

GxNtxNN (6.3) или

∫ ∫ ≤≤τ

τ 0

maxmin ,),(ˆ1G

NdxdttxNN ,0,),(ˆ maxmin ≥≤≤ ∫ tNdxtxNNG

(6.4)

,),,()(),(~0

dataxNaPtxN ∫∞

= ,0,0)( ∞<≤≥ aaP где

)(,1)(0

aPPdaaP ==∫∞

--весовая функция.

Введём определение. Скажем, что людская популяция существует стабильно, если найдутся положительные числа minmax , NN и весовая функция P(a) такая, что осреднённая численность модельной популяции удовлетворяет условие (4.3) (или условия (4.4) ).

Теорема. Пусть существует обобщенные производные 21

02

0

~,

~

xxN

xN

i ∂∂∂

∂∂

,

где ,),()()(~0

00 daaxNaPxN ∫∞

= тогда для того, чтобы модельная популяция

(4.1)-(4.2) существовала стабильно, необходимо и достаточно, чтобы максимальный вещественный корень уравнения

∫∞

− =0

1)( ξξ δξdeB (6.5)

равнялся числу 0δ , где ∑=

=2

1

2

0 4ii

i

DVδ . Здесь

∫=

a

df

eaBaB 00 )(

0 )()(ξξ

является

функцией стабильности людской популяции с учётом возрастной структуры и пространственного распределения. [I]

Достаточность. Умножим уравнение (6.1) на функцию P(a) и результат проинтегрируем по ),0[ ∞∈a . Используя правила дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, правило интегрирования по частям и полагая на весовую функцию условия

[ ] ),0()()()( 00 PaBaPafdadp

++−= δ

∞<≤ a0 0)( =∞P (6.6)

получим следующую задачу относительно осреднённой численности:

134

134

∑ ∑= =

≤≤∈∂∂

+=∂∂

+∂∂ 2

1

2

12

2

,0,,~~~

i ik

i

i

i

i ttGxxNDN

xNV

tN δ (6.7)

,),(~~00 GxxNN t ∈==

).0~~(,0~ =−∂∂

= Si

i

S NxNN α

Уравнение (6.5) следует из (6.6). Действительно, легко видеть, что функция,

,)()0()()()(

0

0

∫∞ −−∫

=a

adf

deBPaP a ξξξ

ξδηη

где ∫ ∫ ∫∞ ∞=

000 ))(exp()(

1)0(

a a

daddfBP

ξηηξξ

является решением задачи (6.6) и для неё выполнены условия весовой функции. В силу того, что )0(0 Pp a= , параметр δ должен удовлетворять уравнение (6.5). Введя замену переменных

∑ ∑= =

+−

=2

1

2

1

2

42),(),(~i i i

i

i

ii ttD

VDXV

etxUtxNδ

и используя метод Фурье для решения задачи (4.7), получим представление

2

22

1

11

0,

024

21

coscos2),(~21

21

21

2

1

2

1

2

LxПn

LxПneTe

LLtxN

nn

t

nn

DXV

tD

Vt

nni i i

ii

i

i

∑∞

=

−+−∑ ∑

= == λδ

, (6.8)

где 0

21nnT является коэффициентами Фурье функции

GxxN ∈),(~0 , ....,2,1,0,

22

121 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=i

i i

ii n

LПnDnnλ 2,1=i

Пусть максимальный корень уравнения (6.5) 0max δδ = , тогда из (6.8)

следует неравенство (4.3) при всех Gx∈ , 0≥t . Константы minmax , NN определяют возможности заказчика для данной популяции и определяются с помощью принципа максимума. Например, можно положить

∫=G

dxxNN )(~0

min, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

2

1

minmax

2exp

ii

ii

DLVNN .

135

135

Необходимость. Пусть в осреднённой численности популяции имеет место неравенство (6.3). Покажем, что уравнение имеет максимальный корень, равный 0δ . Предположим противное, т.е. пусть 0max δδ < , тогда в силу (6.8) 0),(~ ⇒txN при ∞→t . Если же 0max δδ > , то ∞→),(~ txN при

∞→t . Следствие. Имеет место

∫ ∫⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∏ ∫ ∞→−

∫ →

=

=

t

G

i G

DLV

G

tdxxNeVVLL

DD

tdxxN

dxdttxNt i

ii

02

10

2

2121

21

0

,)(~)1(

0,)(~

),(~1lim

Замечание. Если )(),( 00 NBBNFF == , то для функции

∗−= NNM , где N=N(x,a,t); )(aNN ∗∗ = - однородное по пространственным переменным стационарное решение задачи

),( *NFN =∗& ,))(()0( *

0

* ξξ dNBN ∫∞

= задача 1-го приближения имеет вид

(6.1),(6.2) и для неё с функциями

,)()(0 * aNNdN

dFaF=

= ,)()(*0

aNNdNdBaB

=

= ∗

= −= NNM t 00 также справедлива

доказанная теорема.

Приложение 1 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, СВЯЗАННЫЕ УРАВНЕНИЙ В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ I-ГО ПОРЯДКА С ЭКСТРЕМАЛЬ-НЫМИ СВОЙСТВАМИ

Приложение 1 посвящено вопросам построения и обоснования модельных уравнений с экстремальными свойствами на специальных классах возможных решений и представления решения этих уравнений.

Введение. В приложение 1 рассматривается вопросы построения и

обоснования модельных уравнений с экстремальными свойствами на

специальных классах возможных решений и представления решения этих

уравнений. Здесь же исследованы уравнения с экстремальными свойствами в

случае, когда коэффициенты являются непрерывными и сингулярными. К

таким уравнениям приводятся многочисленные процессы, протекающие в

физике, биологии и в экономике.

136

136

Одним из главных особенностей приложения дифференциальных уравнений к решению практических задач состоит в определении экстремального свойства рассмотренных уравнений по отношению к некоторым параметром и коэффициентам входящих в них. Такие уравнение с экстремальным свойством возникают при решении ряда задач оптимального управления. При этом само исходное уравнения описывающее состояние управляемого объекта обладает экстремальным свойством. Мы будем, говорить, что рассматриваемая система (объект) имеет экстремальное свойство, если система будет функционировать лучшим образом по отношению некоторых ее параметров. Функционирование систем с экстремальным свойством были изучены в самых общих предположениях в наших работах [28-29]. Согласно этим работам общие характеризирующие состояния некоторого объекта (система, процесс, субстанции и др.) с экстремальным свойством имеет следующий вид [29]:

( ) sm

j

sjj uLLu

1

1max ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∑

=Α∈α

α , (А)

где jLL, - некоторые заданные операторы, характеризирующие изменения состояния объекта с неизвестной плотностью распределения

(.)uu = , ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =<<== ∑

=−

m

jsn

n

jjmA1

1 1,10:...... ααααα ,

2,1, ≥≥> mssn . Параметры jα могут характеризовать доли наилучшего изменения общего состояния образовывающейся из суммы частных изменений объекта. Например, если мы будем рассматривать экономическую систему, то такими долями могут быть доли национального дохода идущие на капиталовложения из различных отраслей потребления. Мы будем рассматривать частный случай рассмотренного уравнения (А), а именно в случае, когда

jjj x

L∂∂

=α , mj ,1= , t

L∂∂

= ,

где ( )xаa jj = -заданные функции своих аргументов. Тогда объектом изучения будет уравнение

sm

j

s

jjj x

uatu

1

1max

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=∂∂

∑=Α∈α

α, (В)

0≥t , ( ) mm Exxx ∈= ......1 .

137

137

Заметим, что уравнение (В) будет исследоваться в различных случаях, когда

ja -- является константами, когда ja - является переменными функциями и

случае когда коэффициенты ja - нелинейная функция, т.е. ( )txuaa jj ,,= . Очень интересным вопросом является случае с сингулярными коэффициентами.

§ 1.1. Построение модельных уравнений с экстремальными свойствами и их обоснование

Пусть функция ( ),,txuu = 0, ≥∈ tEx m , ( ),,...,, 21 mxxxxx =

Gx∈ , mEG ⊆ -характеризирует состояние некоторого объекта (или процесса, или некоторой субстанции) в точке x в момент времени t и

,,jxt ∂

∂∂∂

mj ,1= некоторые операторы, осуществляющие изменение

состояния этого объекта (или процесса) в общем, и по направлению ix . Тогда

jj x

ua∂∂

означает изменение состояния объекта по направлению jx , jx

u∂∂

является изменением состояния объекта в целом. Естественно предполагать,

что tu∂∂

образовывается от суммы j

jj xua

∂∂α , где 10 << jα и

∑=

− =m

j

snn

j1

1α , sn > , 1≥s .

Сделаем следующее предположение, имеющее практическую интерпретацию [28-29]. Рассмотренная система (объект) функционирует так, чтобы ее состояние в целом было экстремальным (т.е. наилучшим в каком-то смысле). В связи с этим получаем [29]:

,1,

1

)),,((max1

≥∑ ∂∂

∈=∂

∂ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=s

sm sxuutxa

Atu

j jjjαα , (1.1)

где

1,10:),...,(1

1 =∑ −<<===

msn

n

jAj

jm ααααα , sn, - заданные числа.

(.)jaja = - заданные функции своих аргументов, mj ,...,1= ;

138

138

Gxmxxxx ∈= ),,...,2,1( , mEG ⊆ . Уравнение (1.1) описывает процесс наилучшего состояния рассматриваемого объекта.

Теорема 1.1. Для того чтобы функция ),( txuu = удовлетворяла уравнение (1.1), необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

( ) ( ) ,, 1,,,1

≥>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂ ∑=

=ssn

n

jxuutxja

ntu m

j (1.2)

т.е. функция ),( txuu = является решением уравнения (1.2).

Необходимость. Введем обозначение mjx

uatu

jjjXZ ,1,, =∂

∂=∂∂= . Пусть имеет место условие (1.2) , т.е.

∑==

m nnj

XZ1

(1.3)

Покажем, справедливость (1.1) , т.е.

sn

A j jjsXZ

1

max1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

∈=

=α

α (1.4)

Пусть ( )ZmXXX ,,...,, 21 является решением уравнения (1.3), тогда, введя

обозначение n

sn

nZ

nX jj

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0α , из (1.3) имеем следующую систему:

0,0...11 =−−=−++ ssns

jsj

ssmm

s ZXZXX ααα , (1.5)

так как ( )ZmXXX ,,...,, 21 является решением (1.3), т.е. (1.2), то легко

видеть, что 11

1=

∑=∑ − =

= n

m nm sn

n

Z

Xj j

j jα и, следовательно, детерминант системы

(1.5) равен нулю .011

=−∑ −=

m snn

j jα Действительно, применим метод

математической индукции, и поскольку

,1213,112 −−+−=−−= ∆∆ snn

snn

snn

ααα

139

139

то можно предполагать, что ( ),...3,21

11

=∑−

−−==

∆ mm sn

n

m j jα .

Покажем справедливость его и, при 1+m . Действительно, разлагая определитель по элементам 1+m - й строки, получаем

=

−−

−−−

−−

−−

−−

=+∆

10...00

01...001

...................................................

00...102

00...011

1...211

1

sns

m

snn

m

sns

sns

mm

m

α

α

α

α

αααα

( ) +

−

−−⋅+

−= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

01....00

.................

00...10

00...01

1...21

21

mm

sns

mm

αααα

α

( ) =+

−+ ∆mm 22

1 ( ) ( ) +⋅+

−⋅−⋅+

−

1....00

.................

0...10

0...01

11

31 m

msns

mm αα

140

140

( ) +⋅−= −+∑ −−+−

=

snn

msns

j m

m

jαα 421 1

1

1,

11

1

11 ∑

=−−=∑

−

=−− m

jsn

n

jm

jsn

n

j αα

что и требовалось доказать. А так как A∈α , то 11

=∑=

−m

jsn

n

jα ; 1, ≥> ssn ,

значит 01=+∆m . Из 1-го уравнения (1.5) имеем:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑=

=

smsjj j XZ

1α и

nsn

n

n

Z

X jj

−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α . Следовательно, так как,

∑ −=∑≤∑===

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ m

sn

nsmm s

j j

jjj jj Z

XXX

1110αα т.е.

∑=−⋅=

m nj

snsj

XZZ1

, отсюда для любого

nn

m n

n

jm n

jn

j j

j

j X

XXZA

1

0,,

11

−

∑=∑=∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

αα , и в равенстве (1.4)

достигается максимум. Таким образом sm s

jjX

AZ

1max

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑=

=∈α

α.

Достаточность. Пусть имеет место уравнение (1.1), т.е. (1.4). Докажем

справедливость (1.2). Обозначим

AXsm s

jjj∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑==

αααµ ,1

)(1

.

Легко видеть, что из условия 0=jд

дαµ следует система уравнений

.,1,0 mjsmsn

ssn

sm

s XX jj ==⋅−⋅−−− αα Отсюда

sm

sjsn

ssn

sm X

Xj =−⋅−−

αα или

141

141

nm

njsn

nj

snn

m XX

=−⋅−−αα . Просуммируем последние равенства по j

от 1 до m , тогда имеем, .1nm

m nj

snn

m X

Xj∑

=−− =α Отсюда ∑

=−

=

m nj

njsn

nj

jX

X

1

0α

является точкой максимума функции )011()0( <ααµαµ . Вычислим значение

функции ).0(αµ Легко видеть, что

=∑≤∑===

m sjj

m sjj

sj

XXZj 1

01

αα =⋅∑

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=sj

m nsn

n

nj X

ZX

j 1

=∑

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

=

mn

sn

n

snsn

jnj

j ZXX

1∑ −=

−

∑⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

==

msn

nj

sn

m sns

jjj Z

XZ

X11

1

т.е. ∑=−⋅=

m nj

snsj

XZZ1

AXZm n

jn

j∈∑=⇒ ∀

=α;

1 , и следовательно

( ) =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅∑

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑== Χ

Χ

Χ

==

s

sj

mn

sn

m nj

nj

jj

Z

1

0 11

αµ

sm

sn

nj

s

mn

sn

m nj

snsnj

nj

jjj

Z

11

111

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑ −=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑

−⋅=

===

Χ

Χ

ΧΧ, и, следовательно,

( ) ,10 1

∑−===Χ

m njsn

ssjZ

Z αµ

получим

( ) ,1

0 1

nm nj jZ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑===Χαµ

142

142

т.е. имеет место (1.3), и, следовательно (1.2). Таким образом

nm nj

s

m s

nsn

m nj

n

jj

j

j XXX

XZ

1

1

)0(11

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑ ⋅

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

====

=∑

αµ .

Теорема доказана.

§1.2. Определённые классы возможных решений и примеры решения уравнения с экстремальными свойствами

Рассмотрим частный случай уравнения (А), т.е. уравнение с экстремальным свойством типа уравнения переноса (1.1):

Aдtдu

∈=αmax

ss

дxдua

m

jjj j

1

1 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑=α , (2.1)

где mjGCxaa jjj ,1,)()( 1 =∈= - заданные функции своих аргументов, G- заданное множество. Определим для уравнения (2.1) класс решений. Уравнение (2.1) представляет собой двухпараметрическое нелинейное уравнение переноса с экстремальным свойством и при 1=s оно превращается в обычное уравнение переноса. Ясно, что нахождение его решения представляет собой трудную, задачу, а явное решение невозможно. Напишем для него соответствующее уравнение типа (1.2), тогда имеем:

nnm

j jja

дtдu

дxдu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1, (2.2)

Следуя [28-29] для нахождения решения уравнения (2.2) зададим класс возможных решений типа:

,,,1,,.11

nСm тСmС

дxдuaС

дtдu

j jjj

j j =∑====

,,1,,.2 muСдxдuaСu

дtдu

jjj

j ===

uСдxдu

ua

Сuдtдu

jj

j =⋅−

=)(

,.3εδ

. ),,(,),,(.4 txuFС

дxдutxuСF

дtдu

jj==

143

143

),,,(,),,(.5 txufдxдu

txufдtдu

jj==

где ∑ ==

m

jj

nСnС1

, −(.),, jaεδ заданные константы и функции,

0)(,, >= xaa jjεδ , nfm nfj

j =∑=1

Определение. Первый тип класса возможных решений будем называть классом простых решений, 2-й- экспоненциальным, 3-й- логистическим, а 4, 5- функциональным. Утверждение 1. Если функция ),( txuu = какое-то решение

уравнения (2.2), то функция )(uϕϕ = 1C∈ и все функции типа )(uϕϕ = , также являются решением уравнения(2.2). Действительно, пусть функция ),( txuu = какое-то решение уравнения

(2.2) (общее или частное), т.к. tu

dud

t ∂∂=∂

∂ ϕϕ и jj x

udud

x ∂∂=∂

∂ ϕϕ , то, подставляя

эти значения в уравнении (2.2), получим справедливость данного утверждения.

Из данного утверждения следует, что функция )(uϕϕ = является общим решением уравнения (2.2). Для определения частных решений мы будем рассматривать классы решений уравнения (2.2).

Утверждение 2. Для любого общего решения )(uϕϕ = , где

),( txuu = какое-то решение уравнения (2.2), имеет место 1=dudϕ в

классе простых решений (класс 1) и ϕϕ =dud в классе экспоненциальных

решений (класс 2 ).

Действительно, так как ССdudСt

udud

t ==∂∂=∂

∂ ϕϕϕ , и

СuСdudСut

udud

t ==∂∂=∂

∂ ϕϕϕ , , то 1=dudϕ и ϕϕ =du

d .

§1.3. Простые и экспоненциальные решения Рассмотрим уравнение типа

n

tu

n

xum

j j⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=∑ ∂

∂= 1

, (3.1)

144

144

где nm, -натуральные числа большие единицы, u -искомая неизвестная функция, ( ) 0,,....1 ≥∈= tExxx m

m Заметим, что если 1=n , то мы получим обычное уравнение переноса. Следуя работам [28-29], для уравнения (3.1),введем две вспомогательные системы уравнений, которые определяют класс решений для уравнений (3.1).

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

Ctu

Cxu

jj

, (3.2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

Cutu

uCxu

jj

, (3.3)

где jС и C являются корнями хорошо известного уравнения согласования

.1

∑ ==

m

j jnCnC

Рассмотрим случаи (3.2) и (3.3) в отдельности. Случай 1. Для простоты полагаем, что .2=m В результате получим

переопределенную систему из трех уравнений с одной неизвестной функцией

,Ctu =∂∂ ,1

1C

xu =

∂∂

22

Cxu =

∂∂ , (3.4)

где .21nCnCnC =+ Из уравнения C

tu =∂∂ находим:

.),(),,( 2121 xxvCttxxu += Здесь ( )21,xxvv = является произвольной

функцией. Функцию v определим так, чтобы .11

Cxu =

∂∂ Тогда имеем

)(),( 21121 xwxCxxv += , где )( 2xww= является также неизвестной функцией. Для ее определения воспользуемся последним уравнением (3.4),

т.е подставляя )(),,( 21121 xwxСCttxxu ++= в уравнение, 22

Cxu =

∂∂

получим ,22

Cdxdw = и, следовательно, ,)( 0222 uxCxw += где .0 constu =

Таким образом, искомое решение уравнения (3.1) для случая (3.2) представляется в виде

145

145

∑ ++==

2

121 0),,(j jj uxСCttxxu (3.5)

Константа 0u в представлении (3.5) определяется заданием функции ),,( 21 txxuu = только в одной точке, например, при ).0,0,0(),,( 21 =txx

Представление (3.5) представляет собой движение некоторой "субстанции" по закону типа гиперплоскостей.

Аналогично, в случае 2>m имеем: ,),(1 0∑ ++==

m

j jj uxСCttxu

где mСС jj ,1,, = являются корнями уравнения nCnCm

j j =∑=1

.

Теперь рассмотрим простые решение уравнения:

1).n

tu

n

xux

j jj ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=∑ ∂

∂−=

2

11 .

Так как класс возможных решений в этом случае имеет вид:

Ctu =∂∂

, ,jjj

xCxu =

∂∂ то ( ) ( ) Ctxxutxxu += 0,,,, 2121 ,

( ) ( )2

,,0,,211

221xC

txutxxu += ,

( ) ( )2

,0,,,222

121xCtxutxxu += ,

и тогда

( ) ( )2

,,0,,211

221xC

txutxxu += . 222

21 ССС =+

2). n

tut

n

xux

j jj ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=∑ ∂

∂ −=

− 12

11 .

В данном случае в классе простых решений имеем:

22

121

1

11

1 ,, CxuxC

xuxC

tut =

∂∂=

∂∂=

∂∂ −−−

отсюда, получаем

( ) ( )22

,,,, 2121tCtxxutxxu += ,

146

146

( ) ( )2

,,0,,21

1221x

Ctxutxxu += ,

( ) ( )2

,,,,22

22121x

Ctxxutxxu += ,

и, следовательно,

( )2

,,222

21

21

2

021xCxCCt

utxxu++

+= , 222

21 ССС =+

3). n

tut

n

xux km

j j

kj ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=∑ ∂

∂ −=

−1

. 1>k

В данном случае в классе простых решений имеет место представление

( )11

,,11

1021 ++∑ +

+=++

= ktC

kxC

utxxukkm

j

jj , nCnCm

j j =∑=1

.

4).

n

tu

tu

n

xu

xu kk

m

j jj⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=∑ ∂

∂=1

, 0≥k .

Легко видеть, что для класса простых решений имеют место

,jjj

Cxu

xu

k

k=

∂∂ C

tu

tu k

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ( )mj ,1= .

Тогда получаем

10

1

11

+=

+

++

ktC

t

ku kk

, ( ) ( )( ) 1111

0,,,, 2121+++ += kkk Ctxxutxxu

( ) ( ) 1111

,0,,, 22121+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ += kkk xCtxutxxu

. Следовательно

( ) 11110

1,,

121+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++ ∑++==

kkkk m

j jj xCCtutxxu, где

∑ ==

m

j jnCnC

1.

147

147

Из всех полученных представленных решений при 00 =u следует, что 0≠u . (Свойство нелинейности) Случай 2. Теперь рассмотрим уравнение (3.1) в классе возможных

решений (3.3) при 2=m

uCxuuC

xuCu

tu

22

11

,, =∂∂=

∂∂=

∂∂ , (3.6)

Так как ,),(),,( 2121Ctxxvtxxu e= где ),( 21 xxvv = пока произвольная

функция, то из уравнения ,11

uCxu =

∂∂ получим CtvC

xvCt ee 11=

∂∂ , т.е.

vCxv

11=

∂∂ и, следовательно, .11

221 )(),( хCxwxxv e= Здесь )( 2xww=

неизвестная функция. Для ее определения воспользуемся последним уравнением (3.6):

,22

uCxu =

∂∂ т.е. wxCCtC

dxdwCxCt ee 11

22

1 +=+.

Таким образом, 220

xCuw e= и, следовательно, искомое решение уравнения (3.1) для случай (3.3) имеет вид:

2211021 ),,( xCxCCtutxxu e ++= , (3.7)

Полученное решение характеризирует движение некоторой "субстанции" по закону логарифмической гиперплоскости. Действительно, введя обозначение

),,(ln),,(~2121 txxutxxu = 0,ln~),0( 000 >=> uuuu из формулы (3.7)

получим: 0~),,(~

221121 uxCxCСttxxu +++=

Аналогично рассматриваются случаи, когда .2>m В этом случае имеем:

∑ += =

m

jjj CtxC

utxu e 10),( .

Рассмотрим теперь экспоненциальное решение уравнения

∑ ≥∂∂=

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −m

j j kn

tut

n

xux kk

11, .

Согласно определения класса экспоненциальных решений имеем:

148

148

( )mjkk kCttutuC

xux j

jj ,1;0,, =−− ≥=

∂∂=

∂∂ .

Отсюда, получаем

( ) ( ) ,1

exp0,,...,,,,...,1

2121 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+=

kCtxxxutxxxu

kmm

( ) ( ) ,1

exp,,...,;0,,...,1

11221 ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

+

kxC

txxutxxxuk

mm

( ) ( )

( ) ( ) ,1

exp;0,;...,;,0,,...,

,1

exp,;...,0,,,...,

1.............................................................................................

1

121121

22121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+=

+=

−− kxCtxxxutxxxu

kxC

txxutxxxu

k

k

mmmm

mm

Следовательно,

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ++

∑ ++

+=

=

m

j

jjk

xCk

Ctutxukk

10 11exp,

11, где ∑ =

=

m

j jnCnC

1.

Если 0,0 >> CC j тогда экспоненциальное решение неограниченно

возрастает, т.е. ( ) ∞→txxu ,, 21 при ( ) ,,, 21 ∞→txx если же ,0,0 << CC j то ( ) 0,, 21 →txxu .

Как мы видели для обоих уравнений, их решения зависят от некоторых констант jС и C , которые являются решением уравнения

согласования .1

nCnCm

j j =∑=

Для их определения используем метод,

разработанный в работах [28-29]. Приведем эти решения. Например, в случае 2=n при произвольном .....4,3,2=m , зная решение, уравнения

222

21 ССС =+ на основе преобразования [29] постепенно определим

решения уравнений 2222

21 .... CCСС m =+++ . При 2=m уравнение

222

21 ССС =+ имеют очевидное решения типа:

1С 2С С 1С mС C

149

149

кккк

9753

... ...4024124

кккк

...4125135

кккк

...10864

mmmm

...299263235215

mmmm

...

2101265237217

mmmm

k - натуральное число, .2кm = Приведем численные значения корней уравнения 222

221 .... CCСС m =+++ .

При ...,5,4,3=m соответствующие 5,4,3 21 === CCC решения

mCCC ,...,, 21 с приведены в следующих таблицах 3=m 4=m 5=m

2520129

3

2

1

====

CCCC

62550030018010881

5

4

3

2

1

======

CCCCCC

62550030018010881

5

4

3

2

1

======

CCCCCC

97656257812500195312546875001562500390625

28125009375003125001687500562500187500101250033750011250060750020250067500364500121500405002187007290024300

1312204374014580

7873226244874859049196836561

11109

11

1010

999

888

777

666

555

444

333

222

111

===========================

======

===

СССCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCC

mmm

150

150

§1.4. Уравнение в частных производных 1-го порядка с переменными коэффициентами

В данном параграфе рассматривается уравнение

( )∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

m

j jjj

n

xuxa

n

tu

1 (4.1)

где n -натуральное число, −> un ,1 неизвестная функция ),,( txuu =

,mEx∈ ,0≥t Ca j ∈ . Уравнение (4.1) характеризирует перенос некоторой "субстанции". Действительно, общий закон распределения некоторого процесса (субстанции и.т.д.) как мы видели можно задать в виде:

( ) ( )∑==

m

jj

nuLnLu1

который получается из уравнения

( ) SSuLA

Lu jm

jj

1

1max ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

∈=

=α

α, где ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<== ∑=

− 10,,......:1

1 jm

j

snn

jmA αααααα ,

,1, ≥> ssn jL - операторы, характеризирующие изменение процесса по

направлению, jх а L - оператор, осуществляющий изменение процесса в целом. Следуя [29] имеем

Теорема 1.2 Пусть ,tuLu

∂∂

= j

jj xuauL

∂∂

= и

( )SS

m

j jjj x

uxaAt

u1

1max

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∑ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∈=

∂∂

=α,тогда на классе простых и

экспоненциальных решений ( класс 1 и 2 ) уравнение ( ) ( )∑==

m

jj

nuLnLu1

имеет следующее решение

151

151

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−∑ ∫+

−

−∑ ∫++

=

−

=

=

решенийальныхэкспоненциклассев

x

x adCtC

eu

решенийпростыхклассев

x

x ad

jCtCu

txxxu m

j

j

jj

m

j

j

j

m

1 00

1 00

21

)(

)(

),,...,(ξξ

ξξ

Заметим, что общее решение для рассмотренного уравнения представляется в

виде )1 0

0 )((),( ∑ ∫++==

m

j

j

jj

x

x adСtСutxu ξξϕ , где ( )⋅ϕ – произвольная

функция из пространства 1C . Данное решение на классе простых и экспоненциальных решений совпадает с решением, приведенным в выше сформулированной теореме.

Теперь рассмотрим частный случай уравнения (4.1):

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

m

j j

jj

n

xua

n

tu kx

1, где ( )mjjak ,11,0 =≠≠ (4.2)

Для нахождения решений уравнения (4.2) введем две вспомогательные системы

( )mjkx

jj

jj C

xuaC

tu

,1,, ==∂∂

=∂∂

(4.3)

и

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==∂∂

=∂∂ mjuC

xuaCu

tu

jj

jjkx

,1,, (4.4)

которые определяют класс решений для уравнения (4.2), причем nCnС

m

jj =∑

=1. Легко видеть, что решения системы (4.3) и (4.4)

соответственно представляются в следующем виде

∑

−

−+==

m

j j

jjj

m a

kaaC

kCtCtxxxu

1021 ln

1),,...,( (4.5)

152

152

и

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∑

−

−==

m

j j

jjj

m a

kaaC

kCtCtxxxu

1021 ln

1exp),,...,,( , (4.6)

где 00 >= constC . Таким образом, формула (4.5) в классе функций, удовлетворяющих

(4.3) является решением (4.2) , а формула (4.6) в классе решений (4.4) удовлетворяет уравнению (4.2) . В формулах (4.5) и (4.6), константа 0С является произвольной, и ее определим так, чтобы имело место

( ) 00,0;0 uu = (4.7)

т.е. условие (4.7) достаточно для определения единственного решения уравнения (4.2) соответственно системам (4.3) и (4.4) . Из (4.5) и (4.6) с учетом (4.7) окончательно получаем

( )

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−⎪⎩

⎪⎨⎧

∑−

++

−

−∑−

++

=

=

−

=

−

решенийальныхэкспоненциклассев

aaC

kCtu

решенийпростыхклассев

aaC

kCtu

txuxxum

j j

kxjj

m

j j

kxjj

m j

j

)9.4(ln

11exp

)8.4(ln

11

,,,...,

10

10

121

Таким образом, из выше изложенного следует справедливость следующей теоремы: Теорема 1.3. Пусть постоянные С , ( )mjС j ,1, = и является

решением уравнения nn CСm

jj =∑

=1, тогда решение уравнение (4.2) на классе

решений (4.3) представляется в виде (4.8), а на классе решений (4.4) в виде (4.9). Причем эти решения с условием (4.7) являются единственными решениями рассмотренного уравнения.

Продемонстрируем теперь эти рассуждения на следующем примере. Пусть

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂m

j

kt

j

kxj

n

tua

n

xua j

1 (4.10)

153

153

где ( )mjaaaak jj ,11;1;0,;0 =≠≠>≠ , тогда по аналогии системам (4.3) и (4.4) введём две вспомогательные системы

( )mjCxuaC

tua j

j

kxj

kt j ,1, ==∂∂

=∂∂

, (4.11)

и

( )mjuCxuaCu

tua j

j

kxj

kt j ,1, ==∂∂

=∂∂

, (4.12)

где ∑=

=m

jj

nn CC1

.

Нетрудно заметить, что решения уравнения (4.10) соответственно системам (4.11) и (4.12) с учетом (4.7) представляются в виде

( )

( )

( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∑⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

+−−

+

−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

+−−

+

=

=

=

решенийальныхэкспоненциклассв

ma

kxaC

a

ktaCk

u

решенийпростыхклассв

a

kxaC

a

ktaСk

u

txxxu

j j

jjj

m

j j

jjj

m

10

10

21

ln

1

ln11exp

ln

1

ln11

,,...,,

§1.5. Переопределенная система связанная

с простым, экспоненциальным и логистическим классом решений

Как следует из §1,2 при исследовании уравнений в частных производных 1-го порядка с экстремальным свойством

SSm

j jjj x

uaAt

u1

1

1max⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∑ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∈=

∂∂

=

−αα

,

и, следовательно, уравнение

154

154

∑ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

−m

j jj

n

xua

n

tu

1

1 (5.1)

мы пришли к переопределенной системе дифференциальных уравнений типа ( простой класс решений ):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

jjj

aCxu

Ctu ,

(5.2)

где ∑ ==

m

jj

nCnC1 .

Цель данного параграфа состоит в изучении последней системы дифференциальных уравнений, т.е. (5.2), которая определяет класс возможных решений для уравнения (5.1). Сначала рассмотрим два последних уравнения

( )( )⎩

⎨⎧

==

yxbyuyxaxu

,,

(5.3)

Последняя система хорошо известная задачи из курса дифференциального уравнения. Эта задача состоит в восстановлении функции с помощью ее полных дифференциалов, что можно считать классическим. Условия совместности системы (5.3) в виде

xb

ya

∂∂

=∂∂

Это равенства называется условием совместности и тогда ее

решение очевидным образом представляется в виде

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ++=y

dxbx

dyayxuyxuyx 00

,0

,0

,0

, ηηξξ

Действительно, из 1-го уравнения находим:

( ) ( ) ( )∫+=x

xdyayuyxu x

00 ,,, ξξ

Аналогично из 2-го уравнения имеем:

( ) ( ) ( )∫+=y

ydxbyxuyxu

0,

0,, ηη

Продифференцируем 1-ое представление

по y, а второе по х, тогда, принимая во внимание (5.3), имеем:

155

155

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫∂

∂+=

∫∂

∂+=

y

yd

xayxayxa

x

xd

xyb

yxbyxb

00

00

,,,

,,,

ηηη

ξξ

Таким образом, оба преставления являются решением (5.3). С практической точки зрения, очень важным являются случаи (экспоненциальный ,2a и 02 =b и логистическим 1a , и 01 =b класс решений), когда

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .,,

,,2

2

21

21

uyxbuyxbb

uyxauyxaa

−=⋅

−=⋅

В этом случае система (5.3) является нелинейной системой дифференциальных уравнений 1-го порядка

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=∂∂

−=∂∂

2

2

,,

,,

21

21

uyxbuyxbyu

uyxauyxaxu

(5.4)

Введя замену переменной u

v 1= , систему (5.4) перепишем в виде

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=∂∂

+−=∂∂

yxbvyxbyv

yxavyxaxv

,,

,,

21

21 (5.5)

Полученная система представляет собой переопределенную систему линейных уравнений в частных производных 1-го порядка. Легко видеть, что

( ) ( )( )

( )( )

ξξηη

ξ

ηη

dx

x

xdya

eya

x

xdya

eyxvyxv ∫

∫−

+

∫−

=0

00

,

,

,

,,1

2

1

(5.6)

( ) ( )( )

( )( )

ξξηη

ξ

ηη

dy

y

ydxb

exb

y

ydxb

eyxvyxv ∫

∫−

+

∫−

=0

00

,

,

,

,,1

2

1

(5.7)

На основе условия совместности, ,22

xyu

yxu

∂∂∂

=∂∂

∂ т. е. условия

156

156

[ ] [ ]=−−∂

∂−−+

∂

∂ 2212

22 22211

1 ububuauy

aububau

ya

[ ] [ ]2212

222211

1 2 uauaubux

buauabuxb

−−∂∂

−−+∂∂

=

или

,11xb

ya

∂∂

=∂∂ 12

212

2 abx

bbay

a+

∂∂

=+∂∂ (5.8)

следует, что оба представленных решений (5.6), (5.7) удовлетворяют исходной переопределенной системе уравнений (5.5). Из представления (5.6) имеем:

( ) ( )( )

( )( )

∫∫−

+∫−

=x

xd

xdya

eya

x

xdya

eyxvxxv0

0

00

0

000

,,

,

,,1

2

1

ξηη

ξ

ηηξ ,

и тогда с учетом представление (5.7) получим решение

( ) ( )( )

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

∫−

=

x

xdya

eyxvyxv 00,1

0,0,

ηη

( )

( ) ( )

+∫−

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤∫−

∫+

y

ydxb

d

xda

ex

xya e 0

,0,1

00,2

1 ηη

ξξηη

ξ

( )( )

∫∫−

+y

yd

ydxb

xb e0

,,

1

2 ξξηη

ξ . Так как u

v 1= , то имеем:

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

∫+∫+

=∫ ∫∫

∫∫

+

+

y

y

dadxbx

x

da

dyadxb

dexbueyau

euyxu

y

x

xx

x

x

y

y

0

0 011

0

01

001

01

0,,

20

0,

020

,,

0

,,1

,

ξξξ

ξξηηηηηη

ηηξη

(5.9)

157

157

Таким образом, пришли к следующему результату: Теорема 1.4. Если выполнены условия совместности, т. е. условие

(5.8), тогда переопределенная система (5.4) при условии ( ) 000, uyxu = имеет единственное решение, и оно представляется в виде (5.9).

Приложение 2 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, СВЯЗАННЫЕ УРАВНЕНИЙ В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ I-ГО ПОРЯДКА С ЭКСТРЕМАЛЬ-НЫМИ СВОЙСТВАМИ И С СИНГУЛЯРНЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приложение 2 посвящено вопросам представления решений и их

обоснования для модельных уравнений с экстремальными свойствами в случае сингулярных коэффициентов на специальных классах возможных решений, а также представления решения этих уравнений.

§ 2.1. Простейшие уравнения с сингулярными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными

первого порядка вида

,222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

yuy

xux

tu

(1.1)

где ( ) ( ) ( ) ;0;,:,,,, ≥Ω∈=∈ tyxtyxGtyx ( ) 0;0:, ≥≥=Ω yxyx .

Ясно, что в точке 0;0 == yx уравнение (1.1) вырождается в уравнение,

которое в корне отличается от него. Уравнение (1.1) сначала решим в классе

простейших решений, т.е. будем предполагать, что

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

21 , CyuyC

xux

Ctu

(1.2)

Проинтегрировав 1-е уравнение (1.2), имеем:

( ) ( ) Ctyxutyxu += 0,,,, 2121 (1.3)

Аналогично, интегрируя второе и третье уравнения (1.2)

соответственно от 00 , yx до yx, , получим соотношения

158

158

( ) ( ) ∫+=x

x

dCtyxutyxu0

10 ,,,,ξξ

и

( ) ( ) ∫+=y

y

dCtyxutyxu0

20 ,,,,ξξ

или

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

1

00

00

ln,,,,

ln,,,,

С

С

yytyxutyxu

xxtyxutyxu

(1.4)

На основе полученных представлений (1.3) и (1.4) имеем

( )21

000 ln,,

СС

yy

xxСtutyxu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= , (1.5)

где ( )0,, 000 yxuu = - произвольное число, а 1,CC и 2С являются

произвольными решениями уравнения 222

21 CCC =+ . При произвольных

21,CC и 222

21: CCCС =+ , но ясно, что представление (1.5) не имеет

смысла во всех точках области G . Поэтому выбираем такие решения

21,CC и С , для которых представление (1.5) имеет смысл во всех точках

области G , в том числе и в точке 0;0 == yx . Пусть

00021 ,0 yxCCC =>=−= , тогда из представления (1.5) при

0,0 >> yx будем иметь ( )0

00 ln2,,С

yx

tСutyxu ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++= , где 00 >C -

произвольное положительное число. Рассмотрим отношение 0C

yx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Ясно,

159

159

что при 0,0 →→ yx мы получаем неопределенность типа "00" . Изменим,

закон стремления к нулю переменных x и y . Рассмотрим уравнения

( ) ( )sysx 21 , ϕϕ == , где ( ) ( )2,10 =→ jsjϕ при 0→s . Предположим,

что ( ) ( )2,1=jsjϕ достаточно гладкие функции при +∞<<∞− s и

( ) 2,1,00 =≠ jjϕ .Тогда легко видеть, что

( )( ) 00

2

1

00limlim ≠==→→

ϕϕϕ

ss

yx

ss

.Не умаляя общности, можно взять 10 =ϕ .

Таким образом,

( ) tCutyxuys

00

00

2,,lim +=

→→

.

Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

uCyuyuC

xux

Ctu

21 , (1.6)

где .222

21 CCC =+ Легко видеть, что в классе (1.6) имеют место

представления

( ) ( )

( ) ( )∫

=

=x

xdC

etyxutyxu

Cteyxutyxu

01

0 ,,,,

0,,,,

ξξ

( ) ( )∫

=

y

ydC

etyxutyxu 02

0 ,,,,ξξ

из которых получаем: ( )2

0

1

00

ln,,

С

yyC

xxCt

eutyxu⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= , где

160

160

( )0,, 000 yxuu = , а 21,CC и С являются решениями уравнения

.222

21 CCC =+ Легко видеть, что последнее представление можно

переписать в виде

( ) Cteyy

С

xx

utyxu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

0

1

00,,

Для получения значения константы 0u поступаем как в классе простых

решений. Положим 0021 >=−= CCC и тогда, переходя к

параметрическому уравнению ( ) ( )sysx 21 , ϕϕ == , где ( ) ( )2,10 =→ jsjϕ

при 0→s , имеем ( ) tCeutyxuys

00

00

2,,lim =

→→

.

Рассмотрим теперь уравнение вида

,222

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

yuky

xukx

tu

(1.7)

где 1>k заданное число. Исследуем уравнение (1.7) сначала в классе

простых решений, т.е.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

2

1 ,

Cyuy

Cxux

Ctu

k

k

где .222

21 CCC =+ Отсюда, нетрудно заметить, что имеют место

представления

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )kk

kk

yyk

Ctyxutyxu

xxk

Ctyxutyxu

Сtyxutyxu

−−

−−

−−

+=

−−

+=

+=

10

120

10

110

1,,,,

1,,,,

0,,,,

161

161

Из этих представлений имеем:

( ) ( ) ( )110

2110

10 11

,, +−+−+−+− −−

+−−

++= kkkk yykCxx

kCСtutyxu ,

где ( )0,, 000 yxuu = произвольное число, а 21,CC и С являются решением

уравнения, .222

21 CCC =+ Поскольку 21,CC и С произвольные решения

уравнения 222

21 CCC =+ , то положим ,, 1

021

01−− =−= kk yСxС

( ) ( )120

120

22

21

−− +=+= kk yxCCC , тогда при 0,0 00 >>>> yyxx ,

получаем решение уравнения (1.7) в следующем виде

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−

−+⋅−+−+=

11

1111,, 00

00022

k

yy

k

xx

ktkykxutyxu - в классе

простых решений. Отсюда, при 0,0 00 →→→→ yyxx , имеем:

( ) 0

00

,,lim utyxuyx

=→→

. Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

uCyuy

uCxux

Cutu

k

k

2

1 , (1.8)

где .222

21 CCC =+ Легко заметить, что на классе (1.8) имеют место

следующие представления: ( ) ( ) Ctyxutyxu e0,,,, = ,

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− −

−=kk xx

kC

tyxutyxu e110

1

01,,,, , ( ) ( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −− −

−=kk kyk

Ctyxutyxu e

110

2

01,,,,

из которых получаем

162

162

( )1111

02

01

011,,

+−+−+−+− −−

+−−

+=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ kkkk yyk

CxxkCCt

utyxu e . Положим, как и в

случае простых решений ( ) ( ) 0,, 120

120

102

101 >+==−= −−−− kkkk yxCyCxC ,

тогда при 0,0 00 >>>> yyxx , получаем решение (1.7).

( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+⋅+

=

−−−

11

1

,,

0000

0

11212

kyy

xx

ktyx

eutyxu

kkk

- в классе

экспоненциальных решений. Отсюда, при 0,0 00 →→→→ yyxx

имеем: ( ) 0,,

0

0lim utyxu

y

x=

→

→.

§2.2 Простейшие уравнения с m независимыми переменными и

вырождением

Рассмотрим уравнение типа

∑= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ m

j jj x

uxtu

1

22

(2.1)

где ( ) ( ) ( ) ;0;:,,;0;,...,,,2 21 ≥Ω∈=∈≥=Ω∈=≥ txtxGtxxxxxxxm m

Для решения уравнения (2.1) зададим возможный класс решений. Сначала

рассмотрим класс простых решений, т.е. составим систему

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∂∂

=∂∂

miCxux

Сtu

jj

j ,1,

, (2.2)

где mCCC ,..., 1 являются решением согласования ∑=

=m

jj CC

1

22 .

163

163

Легко видеть, что на классе простых решений (2.2) для уравнения (2.1)

имеют место представления

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 00

12121

01

112

0121

2121

ln;;,...,,,,...,,

........................................................................

ln,,...,;,,...,,

0,,...,,,,...,,

m

mmmmm

mm

mm

xxCtxxxxutxxxu

xxCtxxxutxxxu

Ctxxxutxxxu

+=

+=

+=

−

Отсюда, в силу условия совместимости получаем

( )mC

m

mCC

m xx

xx

xxCtutxxxu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 00

2

201

1021 .....ln,,...,,

11

(2.3)

Ясно, что полученное решение в точке ( )mjx j ,10 =→ не определено.

В случае, когда m является четным числом, т.е. m=2k, то предполагая 0

2120243

0121 ,...,, kkk CCCCCCССС =−==−==−= − и изменив закон

стремления ( ) ( )mjsx jj ,10 =→= ϕ при ( ) ,00,0 ≠→ js ϕ из (2.3) имеем:

( ) tcutmxxxu

mx

x

00,212,...,lim

0

...........

01

+=

→

→

где ( )∑=

=k

jjCC

1

200

. Когда m является нечетным, т.е. 12 += km , то

пологая 0122222

0243

0121 ,,...,, kkkkkk CCCCCCCCCССС =−=+−==−==−= +

++−

получим

164

164

( ) tСutmxxxu

mx

x

00,2 2,...,1lim

0

...........

01

+=

→

→

Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений для уравнения

(2.1), т.е. предполагая систему уравнений

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∂∂

=∂∂

mjuCxux

Cutu

jj

j ,1,

получаем

( ) tCC

m

mCC

m exx

xx

xxutxxxu

m

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 00

2

201

1021 ....,,...,,

11

где ( )0,...,, 002

010 mxxxuu = , а mCCCC ,...,,, 21 -являются

решением:∑=

=m

jj CC

1

22 . Отсюда поступаем как в классе простых решений,

имеем:

( ) tCeutmxxxu

mx

x

020,,...,,lim 21

0

...........

01

=

→

→

Теперь рассмотрим более общее уравнение, чем уравнение (2.1), т.е.

уравнение вида 2

4

1

2

∑= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

j j

kj x

uxtu

, (2.4)

165

165

где 1>k - заданное число. Исследуем уравнение (2.4) сначала в классе

простых решений. Составим систему

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===∂∂

=∂∂

∑=

m

jjj

j

kj CCmjC

xux

Ctu

1

22,,1,

из которых будем иметь, следующие представления:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,1

,,...,,,...,,,

........................................................................................

,1

,...,,,,...,,,

,1

,...,,,,...,,,

0,...,,,,...,,,

1

1

0102121

02

12

202121

101

12

0121

2121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=

−+=

+=

+−

+−

+−

+−

+−

k

k

mk

mm

mm

knm

kmm

mm

xxk

Ctxxxutxxxu

xxk

Ctxxxutxxxu

xk

Ctxxxutxxxu

Ctxxxutxxxu

Из этих представлений следует, что функция

( ) ( ) ,1

,...,,,1

10021

1

∑=

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−++=

+−m

j

кjj

jm xx

kC

Сtutxxxuk

(2.5)

при любом значении ( )0,,...,, 002

010 mxxxuu = является простым решением

уравнения (2.4), при к>1 и произвольных mСССС ,...,, 21 решений уравнения

∑=

=m

jj CC

1

22 . В силу произвольности точки ( )002

01

0 ,...,, mxxxx = положим

( )0

110=∑

=−

m

jk

j

j

x

C, т.е.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0...

.........10

110

210

10103

1012

101021

=⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅−

−−−

−−−−−

km

kkmm

km

kkkm

k

xxxC

xxxCxxС (2.6)

при 0,...,, 002

01 ≠mxxx .

Поскольку mСССС ,...,,, 21 -произвольное решение уравнения согласования

∑=

=m

jj CC

1

22 , то возьмем

166

166

( ) ( ) ( ) ( ) 101022

1011 1,...,,

−−−−=−=−=

km

mm

kkxСxСxС , тогда при

четном m тождества (2.6) имеет место при любых 0,...,, 002

01 >mxxx .

При нечетном m мы можем либо полагать, −+ +−= mmm CCC , либо

0=mC и определить ( ) ( )∑=

−=

m

j

kjxC

1

120

. В результате вместо (2.5) получим

( ) ( ) ( )( )

1

1

01

1

0021 1

11,...,,,

12−

=

+

=∑∑ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

−+⋅+=

−k

m

j j

jjm

jjm x

xk

txutxxxuk

(2.7)

Таким образом, в классе простых решений справедлива формула

(2.7), из которой при 0,...0,0 0022

011 →→→→→→ mm xxxxxx

следует постоянство решений, т.е.

( ) 0,2

0

...........

02

01

...,1lim umxxxu

mx

x

x

=

→

→

→

Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений уравнения (2.4). Пусть

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∂∂

=∂∂

mjuCxux

Cutu

jj

kj ,1,

,

тогда из этой системы получаем следующее представление

( )( )[ ]∑

=

+−+− −−

+

=

m

j

kj

kj

j xxkC

Ct

m eutxxxu 1

111

021 ,...,,, (2.8)

где ( )002

010 ...,;,1 mxxxuuk => , а mССС ,...,, 1 являются произвольными

решениями уравнения ∑=

=m

jj CC

1

22 . Положим как в случае простых решений

167

167

( ) ( ) ( )mjxCk

js

j ,1110 =−=−

( ) ( )∑=

−=

m

j

kjxC

1

120 . Тогда при

( )mjxx jj ,100 =>> из (2.8) получаем

( )( ) ( ) ( )∑∑

=

−+

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+⋅

=

m

j

k

j

jjm

j

kj x

xk

x

m

teutxxxu 1

101

1

120 11

1

021 ,...,,, . Отсюда, при

( )mjxx jj ,100 =→→ имеем:

( ) 0,2 ,...,1lim

0

...........

02

01

utmxxxu

mx

x

x

=

→

→

→

§ 2.3. Вырожденное уравнение с общими коэффициентами на

плоскости Пусть задано уравнение

( ) ( ) ,

,,

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

уu

yxвr

xu

yxar

tu (3.1)

где ( ) ( ) ( ) 22,0,,:,,,, yxrtyxtyxGtуx +=≥Ω∈=∈ , а ( )yxa , и

( )ухв , заданные непрерывно - дифференцируемые функции в замкнутой

области ( ) 0,0:, ≥≥=Ω ухух Теперь зададим класс возможных

решений. Здесь мы рассмотрим класс простых решений для уравнения (3.1).

Пусть

168

168

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂⋅

=∂∂⋅

=∂∂

2

1

,

,

Cyu

yxbr

Cxu

yxar

Ctu

где С , 1C и 2C являются некоторым решением уравнения 222

21 CCC =+ .

Тогда легко заметить, что на классе (3.2) имеют место представления

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ηη

ξξ

drxbCyxutyxu

dr

yaCyxutyxu

Ctyxutyxu

y

y

x

x

∫

∫

+=

+=

+=

0

0

,0,,,,

,,0,,,,

,0,,,,

20

10

Используя условия совместимости переопределенной системы (3.2)

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ryxb

xryxa

y,, , (3.3)

имеем общее решение уравнения (3.1) на классе (3.2) в следующем виде

( ) ( ) ( ) ηηηξ

ξξ d

xxbCd

yyaCСtutyxu

y

y

x

x∫∫

++

+++=

002222

02

010

,,,, (3.4)

где ( )0,, 000 yxuu = - значение решения уравнения (3.1) в точке ( )0,, 00 yx .

Так как

( ) ( ) ( ) ξξ

ξξ

ξξξξ d

yyxaya

ydad

yya x

x

x

x

x

x∫∫∫

+

−+

+=

+ 00020

2000

20

220

20 ,,,

и

( ) ( ) ( ) ηη

ηη

ηηηη d

xyxbxb

xdbd

xxb y

y

y

y

y

y∫∫∫

+

−+

+=

+ 00022

0022022

,,, ,

169

169

где ( ) ( )000000 ,,, yxbbyxaa == , то, предполагая существование

интегралов

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )yxvdx

yxbxb

xvdy

yxaya

y

y

x

x

,,,)2

,,,)1

12200

020

2000

0

0

=∫+

−

=∫+

−

ηη

η

ξξ

ξ

(3.5)

при 00 →x и 00 →y представление (3.4) принимает следующий вид

( ) ( )yxvyxy

yxy

yxx

yxxCtutyxu

CbCa

,ln,,

1010

20

200

22

20

200

220 +

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++++= (3.6)

где ( ) ( ) ( )yxvxvyxv ,, 10 += - регулярная функция. Таким образом,

представления (3.6) является решением уравнения (3.1) на классе функции

удовлетворяющих системы (3.2). Итак, справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть функции ( )yxa , и ( )yxb , определены и

непрерывно – дифференцируемы в замкнутой области Ω и удовлетворяют

условию совместимости (3.3), а функции ( )xv0 и ( )yxv ;1 являются

регулярными функциями в области 00 , yyxx ≥≥ и при 00 →x и 00 →y ,

тогда регулярные решения уравнения (3.1) на классе функций,

удовлетворяющих (3.2), представляется в виде (3.6), которые определены во

всех точках замкнутой области Ω . Причем, эти решения при условии

( )0,, 000 yxuu = , где 0u - заданное число, являются единственными.

§ 2.4. Экспоненциальные решения вырожденных

уравнений Рассмотрим уравнение с экстремальным свойством

170

170

( ) ( )

222

,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

yu

yxbr

xu

yxar

tu , (4.1)

где

( ) ( ) ( ) ,0,,:,,,, ≥Ω∈=∈ tyxtyxGtyx ( ) ,0;0:; ≥≥=Ω yxyx22 yxr += а ( ) ( ) ( )Ω∈ ',,, Cyxbyxa .

Зададим для уравнения (4.1) класс экспоненциальных решений (см. глав 1, §

1.2) в следующем виде

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂⋅

=∂∂⋅

=∂∂

uCyu

yxbr

uCxu

yxar

Cutu

2

1

;

;,

где С , 1C и 2C являются решениями 222

21 CCC =+ . Всюду в дальнейшем

предполагаем, что выполнено условие совместимости переопределенной

системы (4.2)

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ u

ryxb

xu

ryxa

y,, (4.3)

и условие существования интегралов (3.5). Легко заметить, что из системы

уравнений (4.2), как и раньше, имеют место следующие представления

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,,,,,

,,,,,

,0,,,,

02

01

,

0

,

0

∫

∫

=

=

=

y

y

x

x

drxbC

dr

yaC

Ct

etyxutyxu

etyxutyxu

eyxutyxu

ηη

ξξ

из которых получаем общее решение уравнения (4.1) в виде

171

171

( )( ) ( )

,,, 0 20

220

20

20

1,,

0

∫+

∫ ++

+

=

y

y

x

xd

х

xbCdу

yaCСе

eutyxuη

η

ηξξ

ξ

(4.4)

где 0u определяется как значение решения уравнения (4.1) в

точке ( )0,, 00 yx . Рассуждая как в § 2.3, представление (4.4) перепишем в

следующем виде

( ) ( )yxvCtCbCa

eyxy

yxy

yxx

yxxutyxu ,

20

200

20

2

20

200

20

2

0

2010

,, +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++= (4.5)

Представление (4.5) определено при всех 00 , yyxx ≥≥ и при

0,0 00 →→ yx . Таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема 2.2. Пусть функции ( )yxa , и ( )yxb , определены и

непрерывно – дифференцируемы в замкнутой области Ω и удовлетворяют

условие совместимости (4.3), а функции ( )xv0 и ( )yxv ,1 являются

регулярными функциями в области 00 , yyxx ≥≥ и при 0,0 00 →→ yx ,

тогда регулярное решением уравнения (4.1) на классе (4.2) представляется в

виде (4.5), которое определены во всех точках замкнутой области G .Причем

это решение при условии ( ) 000 0,, uyxu = , где 0u заданное число, является

единственным.

§2.6 . Приложения к задачам оптимального управления

Рассмотрим модель многоотраслевой экономики. Пусть первая отрасль

производит средства производства - 1x , которые могут расходоваться на

развитие всех остальных отраслей. Пусть mjtxj ,2),( = мощность отрасли

172

172

в момент времени t. Развитие экономики будем задавать следующей модели:

,1,),1(1.

1

.

xjjyxAf xx αα ==0)0(,0

1)0(1 jxjxxx == mj ,1= (5.1)

max)),(()( −= kt ttxIk

ϕα ,

kttMm ≤≤∈= 0,),...,1( ααα , где mjjx ....,1,00 =≥ - заданные

числа, (.)ff = - модельное производство, y - величины трудовых

ресурсов, A - уровень технологии. Для простоты положим, что 1(.) xf =

и A = 1. В качестве M возьмем множество функции вид

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>≤≤−=

>≤≤=∑=

−==

1m,tt0 .,..)(

,,1)(0,11

)(:),...,1(

kфнkt

sntjm

j

snn

tjmM

αα

ααααα.

Графически данное множество означает множество кусочно-гладких криволинейных линии, которое зависит от времени в m- мерном единичном кубе и оно приведено при m=2, n=2, s=1 на рис. a. и при m=2, s=0 на рис. b.

)(2 tα 122

1=∑

=J

j

α 2α (t)

1 1

1=∑ iα

1 )(1 tα 1 b)

a) )(1 tα

Сформулированный ранне принцип для системы (5.1) превращается в обычный принцип оптимальности. В связи с этим рассмотрим систему (5.1) с условиями ktyx ≤≤= ττ 0,)( , введем функцию

173

173

ktyxM

ktktxy

≤≤=∈

=

ττα

ϕτµ

0,)(

)),((max),(

На основе принципа оптимальности имеем уравнение типа уравнения

Беллмана: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∈=

∂∂

−x

xMt

µαα

µ ,max или уравнения

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∈=

∂∂

−x

xMt

µαα

µ ,max , с условием

),(),( ktt txtxk

ϕµ == .

Ясно, что данное уравнение является частным случаем уравнения рассмотрения в 2 при s=1. Следовательно, имеем следующее уравнения оптимальности

n

jxjxm

j

n

t ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∑=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ µµ

1 (5.2)

при чем оптимальное управление представляется в виде:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=

∑∑ =

−

=

m

j

njj

n

jj

nsn

m

j

n

jj

n

jj

j

p

p

xx

xx

t

1

.

.

1

0

)()(

φ

φ

µ

µ

α , отсюда при .

jjp φ = jC имеем:

( )( )

mjCC

C

Ct

nsn

n

nj

nsn

m

j

nj

nj

j ,1,)(

1

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−

−

=∑

α (5.3)

174

174

Используя метод изложения в п.2 решения уравнения (5.1) представим в

виде ( )mC

m

m

CC

m xx

xx

xxCttxxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 00

2

201

1021 .....ln,,...,,

11

µµ в классе

простых решений и в виде ( ) tCC

m

m

CC

m em

xx

xx

xxtxxx ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 00

2

201

1021 ....,,...,,

11

µµ

в классе экспоненциальных решений, где Сj , j=1,m являются корнями уравнения согласования

nn

mnn CCCC =+++ ...21 (5.4)

Уравнение (5.4) хорошо было изучено в работе [3-5]. Теперь решим задачу (5.1) с учетом оптимального управления (5.3). Легко видеть, что

)()(

ln1,ln101

11

01

01

110

01

110

1 xxxx

xx

txx

tjj

kj

k −

−== αα , (5.5)

и следовательно

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mjxx

xxxxx

xtx

xxxtx

k

k

tt

jjjj

tt

,...,1,1)()(

)(

,)(

01

110

101

11

010

01

110

11

4434421

(5.6)

Здесь )(1kjj txx = характеризируют конечные состояния системы и, в

общем случае, и они могут быть неизвестными. Используя

условие 11

)( =∑=

−m

j

snn

tjα при n=2, s=1 с учетом (4.5), (4.6) имеем:

2

2

01

11

01

11

1

201

ln)( k

m

jjj t

xxxx

xx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=−∑=

. (5.7)

175

175

Это уравнения конечного состояния системы (5.1) и относится к типу (5.4)

или ∑=

=m

i

nm

nim ZX

1, при n=2. Решая уравнение (4.7) мы можем определить

1jx ,

kt . Аналогичное уравнение имеет место для любого состояния системы

определяемое по формуле

)())(( 2

1

20 tTxtxm

jjj =−∑

=, ktt≤≤0 (5.8)

где k

tt

t

xx

xx

xtT

k

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

01

11

01

11

01

ln

1)( . Уравнение (5.8) представляет собой закон

функционирования экономической системы (5.1) для любого момента

времени.

§2.6 Компьютерные решение задачи Рассмотрим компьютерную интерпретацию решения уравнения с

экстремальными свойствами для классов простых и экспоненциальных

решений с данными: 2;1;1;5,4,3,2,1 21210 ======== aatCCCmu , a2 2:=

Простое решение

u

176

176

Экспоненциальное решение

u

ЛИТЕРАТУРА 1. Манкью Н.Г. Макроэкономика. М. МГУ, 1994. -735 с.

2. Иванилов Ю., Лотов А. Математические модели в экономике. Москва: Наука, 1979, -304 с.

3. Yunusi M. Mathematical model of workers potential function and some its applications. Материалы 11-ой Международной Байкальской школы-

семинара. Иркутск, 1998, часть 4, с.195-210с. 4. Юнуси М., Саломова Г. Модели долгосрочного развития экономики с

учетом возраста трудовых ресурсов. Проблемаёои тараццити ицтисодии

Точикистон. Душанбе, 1997 с. 176-278.

5. Юнуси М. Математическая модель охраняемых популяций. М. ВЦ АН

СССР, 1991. – 29с.

6. Юнуси М. Решение одного класса нелокальных задач. Москва,

ВЦ АН СССР, 1991, -28p.

7. Юнуси M. Математическая модель потенциальная функция трудящихся и связанные с ними новый класс дифференциальных уравнений. Сб. Дифференциальные и интегральные уравнения и их применения. Душанбе, 1998, N 7, p. 115-118.

177

177

8. Yunusi M. About general economic model with regard to workers age. Материалы международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту. Душанбе, Сентябрь 25-30, 1998, с.7. 9. Юнуси М. Учет возрастных факторов. Кн. Национальная экономика. Душанбе, 1998, с. 191-193. 10. Юнуси М. О наилучших модельных производствах и, связанные с ними экономические системы. Вестник Таджикского Государственного Национального Университета, Том 1, 2 , 1999, с. 15-24. 11. Свирежев. Ю. М., Логофет Д .О. Устойчивость биологических сообществ. –М.: Наука , 1978г. -352с. 12. Логофет Д.О., Ульянов Н.Б. Необходимые и достаточные условия знако-

устойчивости матриц. ДОКЛ. АН СССР. 1982,т.263, 3, с. 542-546. 13. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями агроценозов.

Душанбе, Дониш,1991, -148 с. 14. Юнуси М.К. Вопросы качественной устойчивости экосистем заповедника

Тигровой Балки. Известия АН Таджикистана 4 , 1980 , с. 86-92. 15. Yunusi M. On the theory of problems with functional initial conditions and its

applications. Вестник педагогического университета, 5, часть 1, 1999, с. 33-49. 16. Yunusi M. One model function and solution of Fermat’s problem. Там же. с. 115-119. 17. Yunusi M. Solutions of problems with functional conditions. Сб.

дифференциальных и интегральных уравнений. Душанбе, Вып.8, 1999, с. 40-49.

18. Yunusi M. About solutions of the equations nm

j

nj ZX =∑

=1

. Вестник

университета, 4, 2000, с. 3-8. 19. Yunusi M. Tajikistan by 2000 and some Integration Questions Modeling of Global Economy. The book: Globalization of the Economy. The Effects on Politics Society and Family. The 8-th Inter. Congress of PWPA. Seoul, Korea, February, 10-14, 2000, p. 136-139. See also: Preprint, the same title, Seoul, Korea, February 10-14, 2000, -15 p. 21. Х. Таха. Введение в исследование операций (Кн.2). -Мир, 1989, - 496с.

22. М. Юнуси. Модель межгосударственных отношений. Вестник

университета 4. 2001, с. 13-17.

23. М. Юнуси. Введение в модельную экономику. – Душанбе, ТГНУ, 2001,

-37 с.

178

178

24. М. Yunusi About some model of chaining world. – Dushanbe , TGNU, 2000. –

21p.

25. М Yunusi About some model equations. - Lisboa, 2000.-20p.,

www.math.ias.edu/~dgomes/programa.html/. See also: http://yunusi.

pochtamt.ru/World.pdf/.

26. М. Yunusi. General model production with corresponding economical systems

and its applications. ICM 2002. Beijing, Chine 2002, p.385.

(See also: The same name, Preprint. TGNU. - Dushanbe. 2002. –22p.). 27. Дудорин В.И., Алексеев Ю.Н. Системный анализ экономики на ЭВМ. М. Статистика 1986 -191 с. 28. Моделирование народно-хозяйственных процессов. Под редакцией В.С. Дадаяна. М. Экономика. 1973 - 472 с. 29. М.Юнуси. Об одном классе модельных уравнений с экстремальным свойством. //Вестник..Национального университета, 2004, серия математика, 1,с.128 –135. 30. М. М. Юнуси , М.К. Юнуси. О наилучших модельных производствах в классе производств Кобба-Дугласа. //Вестник национального университета, сер. математика, 2005, с. 182-186. 31. М. Юнуси, Х. Машрабов. Точечная модель задачи оптимального распределение. //Вестник национального университета, сер. математика, 2005, с. 178-181. 32. М. Юнуси. Об уравнениях с экстремальными свойствами и их приложения. //Вестник национального университета, 2 сер. математика, 2005, с.168-177. 33. М. Юнуси. Некоторые гипотетические модели реальных пространств и явления происходящее в них. //Вестник национального университета, 3 сер. естественных наук, 2005, стр.40-53. 34. М. Юнуси. Модельные уравнение с экстремальными свойствами. //Труды Международный научный теоретический географических конференций по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений посвященный 10-летию РГСУ. Душанбе 2005, c. 159-161. 35. М. Юнуси. Модель определения рыночных цен. //Материалы научный теоретический конференций профессорское -преподавательского состава и студентов, посвященной 60-летию победы в великой отечественный войне «во имя мира и счастья на земле».Часть1. Душанбе, 2005., с.23-24.