ریاضی صنف یازدهم - کتابخانه الکترونیکی...
TRANSCRIPT
111
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
3 3
4 46
5 510 10
C
1390
www.ael.af
�
��� ���1390 � ..
���������������������� �������������� ������������ �����
���������� ����������������� �!�"#����$�%&�
www.ael.af
�
�� ����� ��� � ��� �� � ��� ����� ���!" #�� $%& !'�( )*!+�.�� ��� � ��� �� � ��� ����� ���!" #�� $%& ,� ��-/ ��245 678$".�� ��� � ��� �� � ��� ����� ���!" #�� $%& �$���!�: ��;<��= ,�;8$".��=;7>� ��?� @����, $�� ;�)����� (�� � ��� ����� � �7�C�� ��D( ��EF(� G��* �H�* G87� �I*� �7C& $%&
������������������ � ��� ����� � �7�C�� ��D( ��EF(� G��* � � ��� � ��� ��E� 6/� J� ��-/�K�L( ��?�!� M*;������ � �7�C�� ��D( ��EF(� G��* �H�* G87� �I*� �7C& $%&�� � ��� �
����������, �87*�" �$7>�;�� ��?�!� G87� �I*� �7C& $%&, ��� � ��� ����� � �7�C�� ��D( ��EF(� G��*
���������� �! �"���#�$%!�&�� ��� � ��� �� � ��� ����� ���!" #�� $%& ���" N�O 6H�: ;��.� ��D( ��EF(� G��* � � ��� � ��� ��E� 6/� J� ��-/�7�C��.
���'��$%!�&�P8*�� Q�!� � #C�� R�2!� S�7�C�� ��D( ��EF(� M��� T<>� J�;�� $�����7�C�� ��D( ��EF(� ���!" ��?U� �V*!W �C& !�O $���� �� � ��� ����� � �7�C�� ��D( ��EF(� ��$7& P�X �(��UCY !�L��;-& ��?�!� @����
(�)�#���*�+ ���))���(( ���� S���$D�� �7* ;7/�
#W��;��)�C&(
www.ael.af
Z
www.ael.af
�
�������
�� �������������������� ������������ ��
�������� � ������� �������� � �������
�� ���������� ���������� � �������� ��
�� ���������������� �� �������������������� �
�� ���������!�" #$�������% �����������
�� &��������'��( #�� ������������)
�*�����+,- .������ /�����) �����������+� ��
������/�����) ���������+�0 � ������� /�������1+� /
���������'�� ��������2 3�����4 � 5������
�� ������������� �������������� � 6����������% ��
�������7) ���������8�� ������������2�9( ��������:
�������������������������;)<� � ������������������������=�,) �
�����������������������;!�� � �����������������������1>��� �
����������������������+����� #��:������������������?2��
��������: /�@������� A������� #B����������>:� A�������
���������>�0 /1������C �������� ���������>� /��������;�
��D:�������������������! �� �E< /������������������;�
F� �������:�� �������'�� F� �������:�� �������'��
www.ael.af
N
,!-���(�-���.�,��
����������/�!0")�)���#�1�2���������
#�+� !�'�8& �� ��F* ��7�C�� ��D�( S;�� �� 6�FE� � $E� ! R��$� � ��EF(� [��� )�2!� � #�C�� ,;8����( � !'��� �7C& ��:�EF(� T2�\� )� ;O�2 �� )�2!� � #�C�� ,�� ��� ]�H� )����^ _�H�� S��!�Y
,;8����( � �7C& ��:�EF(� )� G�� ��� $�a\a� ��/ � N �$7 )���^ ,� ��D�( G��� K�b cd��82 e;�O�2 ;*�7( ��EF(� T�f� � �7C& � $' )2 Q�( �7�C�� . ���*!L( S������ ��!��g� ]2�� �7�C�� ��D( ;*�-( )�-��
��!Y h�iO� �4*�7� �. �� � ��!�� )� �2��� ��&$�H$� SG��� N;*�!Y ���!� � )�+� ��DiE� M�7 !2�82 � �� �!f �7O [!�
N;�*�!Y P* ;�� @4�" dQ�^ P* ;�� R��C7& � @��!Y�O M�O�� )j( ���: SN;O ):�H� @k � ;�V� �7C&G��.
M����� ��7�C�� @4�" � � �$78 T2�\� ���: �$�k ,� � �� N��V��� �2 ���� M*� P* ;� K ��;���;O K��;�� , �F7 �$= @�!U" � @�!�=� G�V�� �2 R�2!� � #�C�� � Q�( @��!Y�O ,����� � S�!�Y � $' N
@��!Y�O ,�!2 �2$= ,�� �k G�� � l*��( SN;*�!Y N� �k!2 � ��� K�L( ,��� k � ��;� �� S;8*�7(;O�2 )�O�� �� $E� �.
��D( !m?� T�-\� � �� ;<(�!Y @�7C�� )� K �� ��2�� ��� )(�f��' � �$= G���?U� �7�C��;8*�7( . P�/ SK4��� M��-� M�*� ������� T2�\� � ��� �7�C�� ��D( �� ;*�7( �� 4� N �$7 � ��� � ���
;*�7( ��EF(� �� R���^ K!-n� ,� ,;8����( GO��!L( � �2 �7C& ,� ���� � ����� M5�. (�� � �7C& ,� G�DiO K�7� �� )'!& M*� � ��87� @��!Y�O K!�>� ,����� � $E� R�2!� � #�C�� @�;87E
��� � ���� ������ !�E�2 �$-+2 � � �� @�V�?� o*$= ;�V� � #��� ����+8E�" � ��*!L( RX� � �2 �� SK ��;8*�7( , �*.
7�� M��2 � �C� K!�>� ��U�?� �� � S;(� )�:!Y #+� ���� M*� ���!� � )�+� � )� �(�;87E(�� R7 �� ��CC , �F7 �� � ��� ]*�$� � ]-5 � ;*;^ �7�C�� ��D( M*�;� � )�+� � )� G��� ,� $E� !*�� �
�� �(�� ;f � @�8��� �+W� )(�7�7' S;(� N�$7(#*�7(.
T�:$��� J� M� �
p� � q� �:@��U(�g:� ��4�� , $+7^ � ��� !*��
www.ael.af
�
� �3�4��56��<�5�5�!i� ]78 9
��5�!i� ]5�<�3�PI��5�PI�� R�����9�UI�� R������;O�2 , ���=� R\<( s* @k Q�!� )�13�b$2� �"17�b$2� �" R�����19�b$2� �" R�����;O�2 , ���=� R\<( s* @k [� )�23�b$2!I*�27�b$2!I*� R�����29�;O�2 , ���=� R\<( s* @k Q�!� )� b$2!I*� R�����33��5�!i� ]5�<� )2 !L( #�<U� v= s*39���� 6D: #+� ��F(43���� 6D: M*!7�46
/�#�56���yCy��M*�� @$(�f51�M*��$� @$(�f57�z(�� @$(�fG(�61�G<2�\����yCy� ,�65����yCy� �b����71�)��������yCy� K�� )^ � ,�77����yCy� R�$+z� �� �b���� #�U��81�K�� 6D: #+� ��F(91�K�� 6D: M*!7�93
�/: �56��*�%: R�;8�� K$�U�� � ����� #��V�97
www.ael.af
�
�,;�n2 )� ,�%: � ,$�U� � v=99�#�<U� |$\=�%: � ,��$� ,�103��%: � #�<�U� v= �� M�2 )*���105��%: � ,��$� ,� ,$�U� � ,��$� ,� #�<�U�107��%: � ;����� ,� ,$�U� � #�<�U� |$\=109��%: � ,��$� ,� ,$�U�111�D: #+� ��F(K$� 6113�K$� 6D: M*!7�115
/��3;�56����!�)CUC� � ���� ���!�119��2�U/ ���!�121���;8 ���!�129����!� �7Uf }$7z��133� �7Uf }$7z�n�2�U/ ���!� ��� ;/137� ]7^ 6'�/n��;8 ���!� s* ;/141�)CUC���8�*b ��;8 ,�143�K �+� 6D: #+� ��F(147�K �+� 6D: M*!7�149
�,<�0�56�#�* �Y$��6�E8($IU�� ]2�$�153�#�* �Y$�157��7�* �Y$� ]2�$�159����-5 #�* �Y$� � ��$7�� #�* �Y$�163�#�* �Y$� M�(�$f167�#�* �Y$� �;&�f 6*;-�171�P��(�� � s���!��!�175�#�* �Y$� ��;^179�#�* �Y$� ��(�183��\= ME��$"!�(�185� �Y$� � 6�E8($IU�� �b����*7��189�)�C7& ,�!^� � #�* �Y$� �� N��V����H�* ,�193�#z8" 6D: #+� ��F(197�#z8" 6D: M*!7�199
,=2�56�PF*!����PF*!���205�PF*!�� }�$(��209�PF*!�� T*!V� � ]7^�213
www.ael.af
~
�!��F� � PF*!�� s* �!H215�PF*!�� �� �!H217�PF*!�� s* �$IU(�!�221�G(�8��!�*�223�G(�8��!�*� h�$=227�PF*!�� �2!H [$F���,22�229�PF*!�� [$F�� �� N��V��� �2 �\= �b���� #�U�� 6/231� R<*!5 )2 �b���� #�U�� 6/!��!�235��:�/ R<*!5 )2 �b���� #�U�� 6/)Gouse(239�#EO 6D: #+� ��F(243�#EO 6D: M*!7�245
�,% ��56��%: � � $����#*�f ��D�i� #�U�� � � $���249�)\<( �� M�2 �\�� R\<( � )C'�:251��%: � _\� � � $���253�,;�n2 )� ,�%: � )\<( ��D�i�255� $��� s* G+^ ,� M*��$� � G+^ ,�*���259� $��� �� ,!��F� �!H 6'�/261� $��� �� , $��� �!H 6'�/265�#�V 6D: #+� ��F(275�#�V 6D: M*!7�277
,%=��56�)�X�D/����!��g� �*!H281�N;8Y�!"�8>8� � �Y��� $(283��=�O��� $( ]*�$� 6FO ,�285�)�$>�� ;8� ,� )���^287�N;8Y�!" ��!Y�Y289�)�U-7)�U-7 �*!H � �Y�Y291�!Y v=@$��295�#�E 6D: #+� ��F(299�#�E 6D: M*!7�301
,3��56��b�7�/�����!�305����!��309����!�311�ME* �)6*;-��(313
www.ael.af
|
�K$8�2 R�%f317�/�)C7^ �� ��7��*319�#+( 6D: #+� ��F(323�#+( 6D: M*!7�32�
www.ael.af
�
4� 56�?+��@� A+�B�
www.ael.af
�
www.ael.af
�
�+��@� A+�B�Conic of section
|�!�i� s�* ]5��<� � $�' � ;��(�$� �� )�VY �*k �U�� s* v�$� }$�( K�;�� @��O �!�E�� 6D�: ,$
�8>8�� �$^� )2 � �k ��(;�
B� C���D�+��@� A+� #�<�U� v= ����D�� !L( � � )�� #*!��YR�\<( � � !j*;�F*vf]�\
8O�2 N�!�; v= N�Y !DG2�mS v�= ����� �*��� G�>� @k �$�/ )�2R�
v= @� �� �� ;=!�2� �� )2D )�\<( �!5 �� )2 )� �%: � 6FO ��v
|�!i� s* � @k K�;� ! )� ;($O �� ;��$� , $5 e;;�� 6�FE� � (�� ;8 #�<�U� v= 62�<� 6FOD #�<�U� v= � |�!i� $>��G� � @k ;�$�.
b�/ � ,$�U� s*�2 �5�!i� ]5�<� �C�i� � ��;8 ��FO� �k �� �$^� )2 � ����V��( K��( )2 )� ;(k K�;� ! )� ;($O �� ��* �5�!i� ]5�<��+�$= )���\� 6�DV� )2 � #��$7( .
!�����
� $�U� v�$� � |�!i� s*, $5 ,)� ;�*�7( ]\f,$�U� �$7& ;O�2 |�!i� �C'� $>� )2 6�>��G�� �8>8� }$( �� @�O �!�E� 6D: �* ]5�<�
� �C'� $>� )2 G-U( ,$�U� )� ;�*�7( ]\f , $5 ,$�U� s* v�$� � |�!i� 6*�� ��* ]5�<� ;O�2�G�� �8>8� }$( �� @�O �!�E� 6D:
� v�$� � |�!i� )� ;�*�7( ]\f , $5 ,$�U� s* ,$�U� ��* ]5��<� ;�O�2 |�!�i� ;��$� )2 ,��$��G�� �8>8� }$( �� @�O �!�E� 6D:
� |�!i� �� !� )2 !� � � ;& �f ,� �� )M��,��$�;8O�2. )�� ;��*�7( ]\f , $5 ,$�U� s* v�$��8>8� }$( �� |�!i� �� �!�E� 6D: �* ]5�<� ;O�2 �C'� $>� )2 ,��$� ,$�U��G��
� ;�O�2 )��O��!2 � � |�!�i� �C'� $>� ,$�U� )� ;�8� ]\f , $5 ,$�U� s* v�$� � |�!i��G�� ��;8 6FO }$( )� @�O ]5�<�
�C'� $>�
VV
D
� $>�;�?�
[� �(��>� G7Uf
�(�f$: G7Uf
www.ael.af
�
2 @�$� �� � !*� )z��( q$: G����: �� )� �k G��. 7<!%�
- ;�O�2 |�!�i� �C�'� $�>� )2 �$7& ,$�U� )� �$O ]\f , $5 ,$�U� v�$� |�!i� s* N�Y!/ 6FOC'�)�-&N!*�� �� � )Circle (G��.
- N;�O 6�'�/ 6FO ;O�2 �C'� $>� )2 6*�� )� �$O ]\f , $5 ,$�U� v�$� |�!i� s* N�Y! �� � �-&PI��)Ellipse(G��.
- 6�'�/ 6F�O ;�O�2 |�!�i� ;��$� )2 ,��$� )� �$O ]\f , $5 ,$�U� v�$� |�!i� s* N�Y! b$2� �" �� � �-& N;O)Parabola (G��.
-! 6F�O ;�O�2 |�!�i� �C�'� $�>� )�2 ,��$�� )� �$O ]\f , $5 ,$�U� v�$� |�!i� �� N�Y b$2!I*� �� � �-& N;O 6'�/)Hyperbola(G��.
- _\� N�Y!,$�U� �C'� $>� |�!i� v�= �� �� � ��-& N;�O 6�'�/ 6F�O ;O�2 )�O�� !2 � � G�� ]5�<��.
N!*��PI��b$2� �"b$2!I*�]5�<�� |$\=
(���D
1- @��O �!�E�� 6D�: )�� ;�8� #� ]5�<�� 6FO )2 � |�!i� � ,$�U� q$: ��FO� GO��!L( � �2�;O�2 )\<( s* �* � N!*��
2- |�!i� �� ,$�U� s* !Y�[� )2[� , $5 � �C'� $>� )� ;8� ]\f�� ! !�2 � � |�!i��� @�O �!�E� 6D: ;O�2 )�O�� �8>8� }$(�;O�2 ��
3- s* G��/ K�;� � ,$�U� s* � |�!i� s* �!�E� 6D: v= @�E�( 6F�O v�$� G�� #�<�U�;��.
www.ael.af
�
E�FFGEllipse
!�U� G�!/N ��� K��L( ��* ����:k �� )2 � � �8>8� }$( )� �U7O;(�.
�!����� �2 � ���� q � s* |�<( � G2�m � M��� RC'�: )2 q�z8� �� v�$� Q�� ,bF �F�
;�8� #F>�.� �� M��2 )C�'�: �� !�E��2 @k �$�5 )�� � ��( s* ,� K�z(�
�* q�z8�cFF 2' � G�� . N�$�7( #�F>� . � 6U�8" s�*�@�� 6U8" RC��$2 )� �7� N��� �� q�z8� �� ��!5� )2)�2
G��s* )($Y )� N;�kG�� �8>8�.b�2 G����: ��Rz��( @�$� ���!� @��2 � !*�.
7<!%�: CFO� 2 �(� q�z8� �� M�2 M��� RC'�: ���;(� GO�� !L( � �2 )� ) ��8>8� �� � ��-& N;��k G�� K�( )2 )� G��PI�� |�<(�F�F��( )2Kq�!>� ,�PI����!Y �� ��*.
�!����� |�<( ��D�i� 62�<� 6FO �MFFA ,',,'
�A M�2 )C'�: �$� �: �� N��V��� �2 N;O N����$�����5 )�����\<( ��', MFMF�|'| AA �
;�8� G:�* �.�]��7^ 6��'�/'MFMF ���2 � ) G����
�$5 �2 N� �k|'| AA;�8� )U*�<�.
)23,1(' �M
www.ael.af
�
� R\<()23,1( ��M ,b�2 � PI�� ��i�(��;O !�� 6/�!� R�\<( ,b��2 � q$�: M� N�$�7( T��-\�
G7�f,�|M F+ M F�| �M� F + M� F�||;�8� )U*�<� #�2 � .�!� @��2 @�$� �� � !*� �*!�� q$: G����: ��.
C���D: ��;8 6>�@k |�<( ,$�U� s* )� �� �� �+(k 6'�$: R&$7z� R�\<( s�* )�2 ,��U�� !<�U�� G2�m �$5a2 K�( )2 ;O�2PI���$O �� ��* . ,� q�!>� � !<�U� |�<(PI��;8*$Y.)� )�2F�F� @�E�(
�� � �-& G2�m �$5 � �$O �� N���aAA 2' �;O�2 ��.)A �'A[� ;(� PI�� ,�(.aMFMFaFMFM 2|'|||,2|''||'| ����
@k !2�82 :|'||||''|'| MFMFFMFM ���
� �� �JKLM� N��EllipsePI�� ;O�2 �� �7O �2 ,� !\f ,� �� !�\f M*!�Y Q2 )�
!���-�) �$��5� !��\f ( K���( )��2 � ���Y ���� ��� q�!��>���Major axis�+(k M*!�F�$��)2\<(R ��D�8�'FF
�$7&;O�2 ��!�g' !\f K�( )2 )� �*Minor axis ���* �$�O �� . |��<(A�S A �B�S B[� ,�� PI��� ;�(�.
)��2 � !���-� !��\fAA' )��� @k �$��5aAA 2' � � G���� )2 � !�g' !\f �$5B B�;�� @�E(8;e �8�*bBB 2' �
�2##�� : \<( �Y!RM b��2, �� ��F*[� ��8�* !g�'� !�\f ,��B ��* �B'� M�*� � ��!�Y T�-\8� $' q$: 6FO �'MFMF ��$O ��.
�*!�� )2 !L(PI��#�(� ;��:
aMF
aMF
aMFMF
�
�
��
22
2'
M
www.ael.af
�
�JK � �� O�8� (!� 7J����: )2 !L(�%fR �� � $��y�:GO$( @�$�:
22
222
222
bac
baccba
��
��
��
�P��D )&��� �P��D �:8�GE�PI���� $��>� ���F* )��� N�$��2 !W���8� $��>� �� ,� ��
p Q��2)��2 )���!��\f'AA $��>� )��� G���� T��-\8� �f�!>�PI�� �$�O ��� N;����( Q�( . $�>� ,!�j*� �
)� s�$�)2'BBG�� T-\8�. !W��8� Q��!� S!W��8� $�>� �� M*� �f4� 6>� PI���
)2 )� �$O �� N;���((O)�$O �� N��� @�E(.
cOFOF
bOBOB
aOAOA
��
��
��
'
'
'
��)&��� (�)Eccentricity: ( f�!>� �$5 G-U(M� ;�8��( ��� G�*Q�!7�� M& � !�-� $>� �$5 !2 s* 6FO )�PI�� @k v�$�M������ �!/ )2 � @k � ��!Ye;8� �� @�E(.
ac
ace ��
22
! � )� #�(�� ��PI��ac ��0P" G��10 �� e � �!� ;O�2 ��
M��& M���2� ,��� !��\f � G��*Q�!7�PI������\2� R� �� �$��^�N��V����� ���2 )�����)��\2� M��*�ace �R��\2�
2
2
1abe ��� @��!Y�O2 ) �k G��;(.
a
c
www.ael.af
#���2#: G7�f !Y�e ��� s*�Q( Q�!� �!5 )2 � q�!>� �$O !V' )2 s*�Q( $�O(;� PI��� ���-*!<�* N!*�� 6FO �� �$= )2 � ��!�Y.
Y�!e�;& )21s*�Q( � q�!>� � $' M*� � �$O s*�Q()2[� !\f ,��� ,$%�2;($O.
(���D1– � N�Y!PI��$5 )2 ,��U� !�-� !\f �$5 �$O !�g' !\f �. K�;��8>8�2 )�;*k �� G��
2– G*Q�!7�� M& !Y�PI��32;�8� G:�* � � !�g' !\f � !�-� !\f M�2 G-U( � $' @k � S ;O�2.
www.ael.af
�#��� $GE�Equation of Ellipse
����� �*kRPI�� � ����7� �;�-� @kQ��!� )�(�$� �� N�!� G:�* � ;O�2 )��H��;�
�!�����PI�� � ���7� �;-� @k Q�!� )� ;�8� #� � ,� q�!>� S ;O�2 )��HPI�� $>� ,� �
xM����;�8�.�\<( s*R�V��),( yxM v�>� ,� � PI��;�8� 6'� � q�!>� )2 � @k � ��i�(�.� �*!�� R\2� PI�� R\<( )2 !L( � M;�U*$82.�M�2 )C'�:�$5,�MF�'MF)\<( �� M�2 )C'�: �$� �: �� N��V��� �2 � G:�* � � S )�����PI��
�k �� G�� )2 � #*. �:STGE� $�#���4� ���-: �*!�� )2 !L(PI��GO$( @�$� �� :
aycxycx
aMFMF
2)0()()0()(
2'2222 ��������
��
)()()(
022
])[(2
))(()(
)()(
)4(/)(444
)(4422
)()(44)(
))(2())((
22222222
22422222
422222222
22222224222
2224222
22222
222222
222
222222222
2222222
222222
caayacaxcaayacaxacayaxcxa
yacacxaxaacxaxcycxaacxaxc
ycxaacx
ycxaacxaycxacx
ycxaacx
ycxaayccxxyccxx
ycxycxaaycx
ycxaycx
����
����
�����
������
�����
����
���������
� �����
�����������
���������
������ GO$( @�$� �� �!5 �� M�=�� ]2!� �� ;�2
www.ael.af
��
�PI�� )E�7ca � G�� ��� S022 �� ca)2 � @k � G�� G-y� G�7� s*2b ;�8� ��� @�E�( .GO$( @�$� �� ��82:222222 bayabx ��
��!5� � ����U� #�U<�22ba#*�7( ��:
22
22
22
22
22
22
baba
baya
babx
��
baby
ax
��� ,12
2
2
2
����� �R q$:a � !�-� !\f �D(b !�g' !\f �D(PI�� � )���H� ����7� �;�-� @k Q��!� )�� ;O�-�� $>� @k �f�!>� $>�x;O�2 �� . !\f � !�-� !\f ��D�i� S q�!>� ��D�i�� �-& !�g';(� �� :
���
����
����
� )0(')0(
)0(')0(
)0,(')0(
�cFc�F
b�B�bB
aA�aA
/�# ���- : ,� q�!>� N�Y!PI�� $>� ,b�2y f )����� � $D8*� � ;8O�2 )�O�� �!PI�� � ��-&
�� G��:12
2
2
2
��bx
ay
i� � #� � @k ��!Yq�!>� � !�g' !\f S!�-� !\f ��D�$82 � �*;�U.4�U�1: -� !\f N�Y! $>� ,b�2 !�y @k �$5�6|'| �AA !�g�' !�\f �$5 �4|'| �BB �$�5 ;�/��
O�28 R� ���� ;PI��;�U*$82 � . 5-:
242'
362'
����
����
bbBB
aaAA
,� G7�fa�b#�8� �� ]H� ��$7& R����� � � .194
122
2
2
2
2
�����yx
ay
bx
4�U�2: !�-� !\f �$5 !Y�102|'| �� aAA �$5 ;/�� !�g�' !�\f �$�5�82|'| �� bBB ;�/���$5 O�28 ��D�i� ;[� S!�-� !\f ,� !\f S!�g'�f�!>� RC'�:SM& � � q�!>� G�*Q�!7�� PI��� �
;�8� #� � @k ��!Y � G:�* �.
5-:#�(�� �� :482|'|5102|'|
��������
bbBBaaAA
www.ael.af
��
@$�ba � $�>� ,b��2 !��-� $�>� P�" SG���x � �� �!�f. � ��-& !��-� !�\f ��D��i� �� ;�(�)0,5()0,5(' AA �� ��D�i� [ � �-& !�g' !\f;(���:)4,0(,)4,0(' BB �q�!��>� ��D���i� G��:�* � ,�!��2���S
G7�fc#�8� �� G:�* � � :
391625)4()5(
22
222222
�����
�����
�cccccba
q�!>� ��D�i��:0),(3F,0),(-3F'
G*Q�!7�� M& :53
��ace
4�U�3: ��!YUI���R����� )� � @k164 22 �� yx N�!�� #�� G�� ��D��i�[� q�!�>� � �� � @k ,�M����;�8�.
5- : ��!5�����U� �;& )2 � 16�$O �� 6'�/ !*� )����� N�!� #�U<�:
116416
161616
4 2222
�����yxyx
� @$�PI���$5ba �q�!>� ��82 eG�� ,�PI�� $>� ,b�2y �!f ��(;.� ��D�i�[�:
)02()02(24)40()40(416
2
2
�B��Bbb�A��Aaa
�����
�����
��D�i�q�!>��:
)12,0(',)12,0(
1212416
)2()4(2
222
222
�
�����
��
��
FF
cc
cbac
o
www.ael.af
��
4�FFU�4: R���\<( s��* ��D���i� v���>� PI����)4,2(P � ���-& ��� q�!���>� ��D���i��;���(� ��)0,23()023(' F��F �S�$5,�;�8� G:�* � � !�g'� !�-� !\f
5-:� )2 !L( �*!�PI����#* .aPFPF 2|'||| ��
�$���5C���'�:),����PF �PF� ,���� G���7�f #����8� ����� G���:�* � � 224)232( ���PF
�22 4)232(' ���PF
R\2� � � q$: )\2�� @�E*��^ � b�2#�� �� �!f.
262322
232918
3629)6()23(
12622
364
1444144
4687643427642881444276
42123821238)(21238(221238
)2()2123821238(
21618212416182124
24)232(4)232(
2
2222
222
22
222
2
22
2222
���
������
������
��
���
����
����������
�������
�����
���������
������
b
bbb
bb
baca
aa
aaa
a
a
a
a
(���D1–b���� ;*!�j2 !L( � � !*� ��$5� !�-� !\f M�2 )C'�:q�!>� � � G�� )2;* �k.
136100
)11636
)2222
����yxbyxa
2– R�����UI���$82 � * ;�U )� @k G*Q�!7�� M&0.8;O�2.
www.ael.af
��
7�#����E��JB� V� �W )&�� 7&$N��!%X�2��
)����� �*kPI�� #�(�$�� ��� N�!�� G�:�* � � )�@k Q�!��;-�,�;O�-( )��H� ���7�
�!����� s*PI�� @k Q�!� )� ;�8� #� � ),( kh !\f �!�-�2 ,��$� @k� $>�x;O�2.�\<( s*R),( yxP ,� � PI�� )2 � @k � )�:!Y !L( �F �F';�8� 6'�.� Q�!� GO��!L( � �2PI��),( kh� q�!>� ��D�i�,F �F'[� �,A,'A�B,'B � �
;�� @�E( 6FO.4� ���- :��V��� �2)\<( �� M�2 )C'�: �$� �: �� N��*!��PI�������R� @k#* �k �� G�� )2:
,� G7�fPF�'PFPI�� �*!�� R\2� � � #�;�� �!f:
2222
2222
22
22
)()]([2)(])[(
2)()]([)()]([
)()](['
)()]([
2'
kychxakychx
akychxkychx
kychxPF
kychxPF
aPFPF
����������
����������
�����
�����
��
]2!� � ����U� ��!5�#�U*$( �� )�=��:
222222
2222222
)]([()()]([44)()(2
)()]([)()]([44)()]([
chxkychxaachchxx
kychxkychxaakychx
�������������
���������������
www.ael.af
��
222
222
222
222
222222222
)()]([)(
)1(/)()]([)(
)()]([
)()]([(444
222)()]([44222
kychxaahxc
kychxaaxhc
kychxaacxhc
kychxaacxhc
chccxhhxxkychxaachchcxhxx
�������
� ��������
�������
�������
�����������������
��!5�;*k �� G�;2 �D�=� �� ;�2 )�=�� ]2!� �:
)()()()()()()()(
)()()()()(2)()(2)(
)()]([)(2)(])()}([{)(2)(
22222222
22222222
422222222
22222224222
22224222
2224222
caakyacahxacakyaachx
acakyahxahxckyacahxcahxaahxcahxc
kyachxaahxcahxckychxaahxcaxhc
��������
������
�������
�����������
���������
���������
� #�(�;��PI��222 bca ��� P" eG��GO$( @�$��:
1)()()(/)()(
2
2
2
2
22222222
��
��
�
� ������
bky
ahx
babakyahxb
/�# ���-: $>� )2 ,��$� �f�!>� $>� N�Y!y;O�2. R������ � $��' M�*� �PI���� �$��= )�2 � !��*� 6F�O
;8� �� ���=�1)()( 2
22
2
��
��
aky
bhx
),(),(),(,),(),(),(
ckhF�ckhFkbhBkbhBakhA�akhA
����
��
4�U�1: ��D�i� q�!>� SQ�!�� � �$5 !�-� !\fPI�� ������ )� � @k R116
)4(36
)6( 22
��
�� yx
S;O�2 �� G:�* �;�8� #� � @k ��!Y �.
www.ael.af
��
5FF-:)������� M��*� @$�����$��7& R������� 6F��OPI����� � � �SQ���!� ��D���i� @k !2���82PI���� R��\<()4,6( � $>� )2 ,��$� @k !�-� $>�� N�$2xG��.
52201636
416636
22
2
2
������
���
���
bac
bbaa
��D�i� �[A �A� � �-&;(���:)40(')40(')466(),('
)412()466()(��������
�������A�A�kahA
�A�A�kahA
��D�i� � [B �B� � �-&;(���:)86(')44,6('
)0,6()446(����
����BB
B�B
q�!>� ��D�i� � �-& � ;(���:)4526()('
)4526()(
����
����
�k�chF
��kchF
�2##�� :�����R022 ����� FEyDxCyAx �����RPI�� )� �� $' � G��CA � # � �8�* ;8O�2 )�4&0,0 �� CA �* �00 ��� CA
4 �U�2 : R�����031150642516 22 ����� yxyx , ���� )����� 6FO )2 � ;�8� 6*;-�. 5-:�� N��V��� �2� ]2!� 6�7F� � )�����#* �k �� , ���� 6FO )2.
400)1(25)2(162564311)1(25)2(1631125)1(2564)2(16
311]1)1[(25]4)2[(16311)112(25)444(16
311)2(25)4(1631150642516
22
2222
22
22
22
22
����
�������������
������
��������
����
����
yxyxyx
yxyyxx
yyxxyxyx
www.ael.af
��
#�U<� � q$: R����� ��!5�400*�7( ���#.116
)1(25
)2( 22
��
�� yx
R����� q$: R�����PI�� R\<( @k Q�!� )� G�� )1– S2 (;O�2 �� . 4�U�3:� !*� )�����;�8� 6*;-� , ���� 6FO )2.
0231849 22 ����� yxyx 5-:�� N��V��� �2 N��� ���!� � )������ #* �k �� @k , ���� 6FO )2 ]2!� 6�7F�:
36)1(9)2(036)1(9)2(
02349)1(9)2(
023)1())1(2(9)2()2(4023)2(94
0231849
22
22
22
222222
22
22
����
�����
�������
���������
�����
�����
yxyxyx
yyxxyyxxyxyx
�� ��� ���������
��!5�� #�U<��;&36 ��#�*�7(:3636
36)1(9
36)2( 22
��
�� yx
#* �� , ���� R����� �2 !�=� R����� RU*�<� ��:12
)1(6
)2(2
2
2
2
��
�� yx
6,2 �� ab��� G�� :
2432
43622
��
�����
c
cbac
(���D1–��D�i�q�!>��S[� � � �$5 �� s*! !�-� !\fPI�� � � !*� ,�;�8� G:�*.
0201242)19
)1(2
)3() 2222
�������
�� yxyxbyxa
2- R�������PI����$82 � ��* R��\<( � @k Q���!� )��� ;�U)2�1 ( R��\<( @k q�!��>��)2 ,6 (N�$��2�R��\<( ��)6 S4 (� ��j2.3- , ���� 6FO )2 � !*� �b������H� ���7� � ;�*�7( 6*;-�RQ�!� S[� �q�!>� S� $�>� �$�5 S
!�-�S �$5 $>� !�g'�M&;�*�7( #� � @k ��!Y � G:�* � � G*Q�!7��.084896416)03615036259) 2222 ���������� yxyxbyxyxa
6��� ]2!�6��� ]2!�
www.ael.af
��
0F���FY:Parabola
��;& s* )2 ���:k }��O !Y�R!�<� ;2��2 RU�F�8� }��O @k \<( �� �Y �� )\<( K�;� ��R N;*�!Y��* K�( K�;� )2 $���
$>� )� ]5�<�� ,$�U� s* �2 )��;& �!�E� 6D: !2 � � ;8O�2 )�O��S�G�� �8>8� }$( K�;�
�!����� |�<( ��D�i� 62�<� 6FO �M SF �K N;O N��� ;(�
�$5 )\<(�� M�2 )C'�: �$� �: �� N��V��� �2 ,��FM �KM � G:�* � � ;�8� )U*�<� #�2.
�!� @��2 @�$� �� � !*� �*!�� q$: G����: ��.
C���D ( K�7� ��;8 6>��5�< � )� s*N�$2 ]f�� ,$�U��\<( s* ��R s* � G2�m v=)C'�: #�<�U� ,��
�" K�( )2 ;8O�2 )�O�� ,��U��b$2 ��!�Y ��� ���* . q�!�>� � G�2�m R�\<()F ( #�<�U�� v�=�D K��( )�2 � v=,��(Directrix );8��( �� b$2� �" )^$� �* .MKMF �
\=� � q�!>� �� )�[� � � �Y �� b$2� �")2 #�<�U� v=D �$7&;O�2 S b$2� ��" !W��8� $>� K�( )2�$O �� ��*.
� �8>8� � !W�8� $>� �!�E� R\<([� �� b$2� �" ;8*$Y )2 �S @�E(;8;��.
)� ;�(�$� �� )�VY �*kS��D8� R\<(FH� �!� G�� M&b$2� �" � G*Q�!7��)1( �e � �!� G��
www.ael.af
�
Y:���0 N�� �D� � b$2� �" R\<( �� )� �7�<�U� v= #�2�$O �� ��* b$2� �" !�� K�( )2 ;8� 6'�.
'BB � )� !��� G��� N�$7( $-& b$2� �" q�!>� �� �f�!>� ��;8��(.
'LL R\<( � )� b$2� ��" !W��8� $�>� ,b�2 q�!>�G�� �$7& .;8��( �� ,�$7& !��.
(���D �$5!2�!2 ;8� b$2� �" �f�!>� !�� �$5HF�;O�2 ��
www.ael.af
�
Y:���0 $�#���
)��� b$2� ���" R������� G��:�* �[� @k �;��-� ,b���2� �� �!f )��H� ���7�.
�!�����2 ,��$� N�$7( #� � #*�f R��H� ���7� #�U��� $>�y;�8� #� � ,�� v=.� )� ;�8� #� �7Uf � b$2� �" �8>8�[� � �j2 )��H� ���7� �;-� �� @k.� $>� ,b�2x , $5 � � q�!>�M����C'�: )� ;�*�7(R;O�2 ,�� )C'�: )2 ,��U� �;-� �� @k.� <( �8>8� ,� )2\R),( yxM ��i�(� � N�$7( )2 � @kF R�\<( �� � 6�'�M ,b��2 �$�7& s�*
,��) v=)^$� ( � @k ]5�<� R\<( � #� K;���82.� R\<( ��D�i�F �K;�U*$82 � .
\<( �� M�2 )C'�: �$� �: �� N��V��� �2 @$8��) |�<( M�2 )C'�: SM,F�M ,K G:�* � � �� G�7�f , �� @k R\2� �*!��#�� �� �!f :MKMF �
�:ST4� ���- $�#���: #�(�� ��:� �
pxMKxpyMF
��
���
|||| 22
,� G7�fMF �MK\2� � � R �*!���� ]H�#�8�:
pxyppxxxpxpy
pxxpy
pxxpy
422
)())((
)(
2
22222
222
22
��
������
����
����
b$2� �" R����� G��2 @k !W�8� $>� )�� $>�xT-\8�;O�2.
www.ael.af
��
� � � �-& @k q�!>� ��D�i�)0,(pF@k ,�� #�<�U� v= )����� � G��px ��;O�2 ��.!Y�0�p;O�22 b$2� �" M� ) �!5 ��;O�2 ����2 G.
�!Y0�p2 b$2� �" M� ;O�2 );O�2 �� ��2 �� �!5.
4�U�1: �����R b$2� �"�* � G�� )2 @k q�!�>� ��D��i� )�� ;* �k)0,2(F� v�= R������ ���,2��x��D�i� N�$2;�8� G:�* � � @k !�� ,� K�z(�.
5-: �� $>� ,� )� q�!>� ��D�i�� �� �!f #�(�$�� �� )�VY )��02 ��P G��� M�� @k!2��82 �!5 )2 b$2� �" ����2 G;O�2 �� . G7�f @$8��P#�8� �� ]H� )����� � � :
xyxypxy
8244
22
2
����
�
G7�f !Y�2�x � � ������Rxy 82 � #��� �!�f �� � $' M*� �\<(R �"� !��� ,�� K��z(� )�� b$2
;O�2 �� Q�( ,�$7&S � ��-& �+(k � ;*k �� G�� )2;(���:
41628 22
�����
yyy
K�z(�,�$7& !�� ,�:)4,2(',)4,2( �MM
www.ael.af
��
/�# ���-:�!Y �!>�q)(Fb$2� �" $>� ,b�2y #�<�U�� v�=� ]f��D $�>� )�2 ,��$��x S;�O�2;�8� G:�* � � b$2� �" , ���� )�����.
R\<(),( yxM� ,� �8>8�b$2� �"GO$( @�$� �� b$2� �" �*!�� )2 !L( )�:!Y !L( �:
� � � � � �� � �� � � �222
2222
][||
0||
||||
pypyxxMK
pyxpyxMF
MKMF
�������
�������
�
" �*!�� )2 !L(b$2� �:222 )()( pypyx ����
� ��!5�2 � q$: R\�� ]2!�#*���:� � � �
pyxpypyx
ppyyppyyxpypyx
422
22
2
2
22222
222
�
���
�������
�����
$�>� @k !W��8� $�>� )�� N�$�2 b$2� �" )����� q$: R�����y�[� G��� )���H� ����7� �;�-� @k . �@k q�!>� ��D�i�),0( pF����� �R v=��@k ,py ��;O�2 ��.
!Y�0�p;O�2e;O�2 �� ��2 b�2 �!5 )2 �$2� �" M�.!Y�0�p;O�2e*�" �!5 )2 �$2� �" M�;O�2 �� ��2 M�.
www.ael.af
��
4�U�2: )��H� ���7�[� R����� � q�!>� S v=b$2� �" )^$�yx 122 �;�8� G:�* � � .5-: )����� �pyx 42 � G7�fp �y � @k ,�^ )2�#�� �� �!f:
03
3124
3.42
��
���
�
p
PP
yx
@$�0�P G��G�� ��2 b�2 �!5 )2 b$2 �" M�.
1– )��H� ���7�[� b$2� �"�� G�� � �-&:� �0,0003002
Syyxx
����
������
2– q�!>� R��H� ���7�b$2� �" �� G�� � �-&:)3,0(F
3– )����� v= )^$�b$2� �" �� G�� � �-&:3����� ypy
(���D
1– R����H� �����7�[� R������� � v��=���,�))��^$� (*��� b$2� ���"� )��� �b������(k���+ �� � ���-&042 �� xy �yx 22 � ;8O�2 ��M����;�8� #� � �+(k K�;� ! ��!Y � N�!�.2–2� �" R�����b$�* G:�* � � ;�8� )�q�!>� � [� ��D�i� @k $5!*�;O�2 N;O N���:
)0,2()0,0())5,0()0,0()
�FSbFSa
www.ael.af
��
Y:���0 N��!�� $�#��� 7&LM�JB� V� �W$!%XN���2��
)�� #�(�$�� ��� N�!�� G�:�* � � b$2� ��" )����� �*k ��D�i�[� ;O�-( )��H� ���7� �;-� @k.
�!����� � � �$2� �" s* #�U�� )��H� ���7� #*�f@k Q�!� )� ;�8� #� ),( kh !W��8� $�>� � ;�O ��2
$>� )2 ,��$� @kx2;O�.� \<( b$2� �" �8>8� ,� R),( yxM )2 � @k � ��i�(� � F 6'� )�\<( �� �M �$�7& s�* ,b��2
,��))^$� ( � @k ;�*�7( #� N;���82.4� �FF��- : |���<( M���2 )C��'�: �$� ���: �� N��V����� ���2F,M �N,M)������� )��� � b$2� ���"[� @k
),( khS G��#* �k �� G�� )2.�:ST:
)��H� ���7� @$�|�<(F �M � #���8O �� � Q�( ���H� ���7� R�\<( RN �� � ��-&),( yph � ���
;O�2 .)2 !L(#* �� b$2 � �" �*!��:
2222 )()]([)()]([( yyphxkyphx
MNMF
���������
�
��!5� ����U�#*��� �� ]2!� � :
222222
2222
)()(22)()(2)()]([)()]([(
phxphxkkyyphxphxyyphxkyphx
������������
���������
www.ael.af
��
\2� @�!� N��� �� ;�2R;*k �� G�� )2 q$::
� � � �hxpky
phpxkkyy
���
����
4
4422
22
*b$2� ���" )������� q$��: )�������� )��� ;��� ���� @�E��( � [� @k),( khS)����H� �����7� @k q�!��>�),( kphF � @k )^$� v= )����� �hpx ��� @k !W�8� $>� �ky �;O�2 ��.
!Y�0�p ;O�2�!5 )2 �$2� �" M� ��G;O�2 �� ��2.!Y�0�p�!5 )2 �$2� �" M� ;O�2��;O�2 �� ��2.
���-/�# �" R������ $>� ,b�2 @k q�!>� )� b$2!W�8��� G�� � �-& ;O�2 )�O�� �!f:)(4)( 2 kyphx ���
��D�i�[� ;�8� G:�* � � @k )^$� v= )������ !W�8� $>� R����� S q�!>� ��D�i� S. !Y�0�p;O�2 �� ��2 b�2 �!5 )2 �$2� �" M� ;O�2. !Y�0�p�$2� �" M� ;O�2 �!5 )2M�*�";O�2 �� ��2.
ky �
www.ael.af
��
4�U�1: �" )����� ��� b$2� � � �2121 2 ��� yx ��D�i�[� �^$� v= R����� q�!>� ��D�i� SS);�8� G:�* � � ,�$7& !�� ,� K�z(� ��D�i� � !W�8� $>� )�����.
5-: ��$7& 6FO )����� @$�� � � �kyphx ��� 42 S � �� � 2�82@k !:h = 1 Sk = 2
�� � �-& [� )��H� ���7�)2,1(SG� �.34
12124 ���� pp
q�!>� ��D�i�:)51()321()( �F�Fp�khF ����
)^$� v= R�����:1
132���
�������xhxypky
��D�i��* �� ,�$7& !�� ,� K�z(�#�8� �� G: G7�fy� )����� � N;O N���#�� �� �!f:
� � � �� � � �
516,71661
3613121
25121
5
21
22
2
����������
������
���
�
xxx
xx
x
y
K�z(�,�$7& !�� ,�:� � � �55'57 �L�L �
4�U�2: R������ � � �364 2 ���� xy ��D�i� )�:!Y !L( � � [� S )������ Sq�!�>� v�= S)�^$� ,� K�z(� ��D�i� � !W�8� $>� )�����!��,�$7&;�8� #��!� � @k ��!Y � G:�* � � @k.
5-: ��D�i�[� � �4334 �Sh�k �����
2364 ����� pp
@$������023
���P b$2� ������" M������ G��������!�����5 )�����2G������� �������2 ������� ��D������i�
q�!>�� � )429( �Fk�phF ���
R����� v=� G�� � �-& )^$��:23
����� xphx
!W�8� $>� )�����4��� yky
f�G729
��x q�!>� RD�i� � )����� � N;O N��� N�$7( ]H�K�z(� ��D�i� � @k ,�$�7& !�� ,��� G:�* �#�8�.
www.ael.af
��
� � � �
� �
� �
)1,29()7,
29(
1437433494
)32
9(64
364
21
21
2
2
2
��
�������������
�����
����
MM
y�yyy
y
xy
�2##�� : R����� ��!Y022 ����� FEyDxCyAx �*!�H )F�� $' � G�� b$2� �" s*A
�*�*!��HC ��!�� )��( ;��O�2 !V��', @k)00 �� �AC ���*00( �� �ACN���Y!0�A e;��O�2R������ � � �kyphx ��� 42 � ;�8� 6*;-� @k , ���� 6FO )2. 4�U�3 : b$2� ��" R�����025822 ���� xyy 6*;�-� b$2� ��" , ����� R������ 6F�O )�2 � [� S
q�!>� ��D�i�S R����� v=)^$�S!W�8� $>� @k� ;* �k G�� )2. 5-: N;O N��� )����� �A = 0 �$>�� )2 !L( � )����� P" S G��y#*�7( �� ]2!� 6�7F�:
� �)15()123(),(
1,33,10284)3(8)1(0)3(8)1(0248)1(
0258)1()1(2
2
22
222
�F�FkphFShk
ppxyxyxy
xyy
�����������
�����������
���������
������
v= R�����)^$�:413 �������� xphx
!W�8� $>� :1��� yky
(���D1–;�8� G:�* � � b$2� �" )�����S� $' ��)F:
)3,1(),3,1() �FSa2–��!Y�����R)4(12)1( 2 ��� xy � �2Q^ K�7�X ��� ��!Y;�8� #� b$2� �".3–b���� )2 � !*� �b�����, ���� 6*;-� �+(k ��!Y �� ;�*�7( #� .
05362)04186) 22 �������� yxxbxyya
www.ael.af
��
E���F��FY:Hyperbola
6��H�V� )��� ,$�U��� s�* |���<( K���7� ����;8 6�>� \<( �� �� �+(k 6'�$:R �$�5 s�* )�2 ,��U�� !<�U��
;O�2 G2�m}$( )��8>8��G��
�!����� |��<( ��D��i� 62�<� 6FO �AAFFM ,',,',�'M N��� N;�O �$� ��: �� N��V���� ��2 S
,� �$5 S)\<( �� M�2 )C'�:||,|'| MFMF �|'| AA;�8� G:�* � � .�T*!V� 6'�/|||'| MFMF � � G�� )2 �k*; .� T*!V� 6'�/|||''| MFFM ��|'| AA# �2 � ;�8� )U*�<�.
� q$: G����: 6/�!� ���!� M�7 )2 R\<( ,�!2)49,5(' �M;�8� T�-\�.
*� �*!�� q$: G����: K�z(� �� ;�2�!� @��2 @�$� �� � !.C���D: ��;8 6>� K�7��V� )F�5�<(H R\<( �� �� � @k 6'�$: 6N;O N� �� �$5 s* )2 ,��U� !<�U�
K�( )2 ;O�2 G2�m!I*�e�$O �� ��* b$2 �8�* :aAAMFMF 2|'||||'| ���
F �F'!I*� ,� q�!>�2N�$2 b$M �M' ��;O�2 �� @k �V�� )\<(.\�� )\<( �'FF!� �� s* ! � Q�!� M�2 )C'�: � N�$2 b$2!I*� Q�[� �)2 � a M�2 )C'�: � � Q�!�
� q�!>� �� s* !� c;8��( ��.aAA 2' � �cFF 2' �;O�2 ��.
www.ael.af
�
� "�P��D N�� �:8�LM� N���E���:� Y!I*� ;8(�� b$2PI�� � �� !W�8� $>� �� . �+(k �� �F* )� $�>� )2'FF ��'�( @k !�j*�� N�$�2 T�-\8�
,�$7&'FFG�� . $>� �� ]5�<� 6>� � Q�!� �* !W�8� Q�!�!I*� b$2�� ;�8*$Y �� )�� !W��8� $�>�'FF���Y $>� K�( )2 � ]5 �<� �$E�� ��* )�!I*� R\<( �� � � b$2�A �A� �� M�*� ;�8� ��� ]\f
\<() � [� ,�!I*� S #���( �� b$2 M�2 )C'�:(k�+�� � �-&:aAA 2|'| � �'�( )� !W�8� $>� G�� @k ,�$7&'FF ;O�2 �� .!I*� 7( ]\f � b$2 ;8� � . R\<( � ���B �B� �!�5 �� � � $>� M*� ,�
)� #*!�Y �� !L( � , $5 Q�!�'OBOB � � M*� S;O�2�\<() � [� �<�</ !�� ,�!I*� )��VY b$2 )2bBB 2|'| � @�E(��;8;.
s* �!I*�,� �$5 M�2 )\2� b$2ab ,�c;O�2 �� !*� �!f .222 bac ��
��)&��� (�: � @$�� !I*��b$2ac � ���-
P" ;O�21�e\2� N�$2R2
2
1abe ��
M& M�2 )\2� ��;&� � G*Q�!7��a �b ;O�2 ��
(���D R\2� �� N��V��� �2ace � ��;&� � G*Q�!7�� M& M�2 )\2� a �b;�2�* � !j*;F* P8^ �� � .
www.ael.af
�
�#���$Y:��E���
b$2!I*� R�����* )� � $>� ,b�2 @k ,� [� ,�O�� �!f )��H� ���7��O�2 )8;.
�!�����!I*�b$2�* #� � ;�*�7(��H� ���7� �;-� @k Q�!� )�R #*�f;O�2.�R\<(),( yxP ,b�2 � �� �F* �8>8� )=�O!I*� )2 � @k � N�$7( ��i�(� b$2F �F�;�8� 6'�.� �*!�� R\2� !I*� |�<( M�2 � b$2F ‘ P �
F�;�U*$82.� M�2 )C'�: �$� �: �� N��V��� �2 �$�5 )\<(��
,� PF �PF� 6�H�V� � ;��8� G:�* � � (k�+ k G��� )�2 � � ��*!�� R�\2� � ;�*
!I*�;�� �!f b$2.* �� �*!�� )2 !L( b$2!I*� )����� G:�* � ,�!2#:
� � � � aycxycx
aPFPF
2
2||'2222 ������
��
�*�� � � � 2222 2 ycxaycx ������
#* �� ����U� ��!5� M�=�� ]2!� �� ;�2:� �
4/)(444
2442222
222222222
�����
�����������
ycxaacx
yccxxycxaayccxx
#*��� �� ]2!� � ����U� ��!5� # ��2:222 )( ycxaacx �����
)()(22
22222222
22222224222
acayaxacyacacxaxaacxaxc
�����
������
www.ael.af
��
@$�ac � P" G��022 ��ac N�$2222 bac ��#�� �� �!f q$: )\2� � � @k G7�f ���.
1/ 2
2
2
222222222 ��� ��
by
axbabayaxb
R\2 � !�=� R������!I* �;-� � @k Q�!� )� G�� b$2 ���7� $�>� ,b�2 � q�!>� � )�O�� �!f )��H� �<:�x �� �!f(;.
/�# �� �-: �8�* ]5�f $>� N�Y!'AA $>� ,b�2y )����� �!�Y �!f!I*��� G�� � �-& b$2:
12
2
2
2
��bx
ay
@��!Y�O ��!Y\2� R�=�� ! S#� ��D�i� �$-m � �$� �:q�!>��S[� 8� G:�* � � �8;. N�� 7Z:��E���Y:�
,� q�!>� )F�� $' �!I*� $�>� ,b��2 b$2x ��*�y S ;8�O�2 )��O�� �!�f #�(�$�� ��� � $�' M�*� �
)� #�U*$82 :aba
ac
ace
22 ����
b�2 S�$7& |$\= � )^$� )� #�*$Y �� �-� M*� �� b$2!I*�� Q�!� �� @k )C'�: )� ;(� ]5�<�� $>� ,
ea
ca
�2
;O�2.
�b����|$\= ,��!I*� $>� ,� o*� q�!>� )� b$2y �� � �-& S ;( �� �!feay �;(�.
�b����\=|$)^$�)\=|$,��(!I*� $�>� ,� o*� q�!>� )� b$2x �( �� �!�f �� � ��-& S ;
eax �;O�2 ��.
[��<� N���E���Y:� |$\=<�U�7�� )�O�Y b$2!I*� Q�!� �� )�)2 ,�� �8>8� !I*�� �O�2 [��7� ���8�*b � b$28 K��( )�2 ;
$O �� ��* b$2!I*� ,� �(�z�(; .
)�����!I*� b$212
2
2
2
��by
ax#*!�Y �� !L( � � .
��
���
������
��
xax
abyaxbay
babxay
)1()( 2
22
2
2222222
222222
#*!�j�� �^ q$: R\2� ��!5� ��:2
2
1xax
aby ���
www.ael.af
��
���\2� �R !���Y� q$���:x �����8�*b )���2 ;���8� �!���<� !U����2
2
xa eN;���*�!Y s���*�Q( !V���' �!���5 )���2
)z��( �)1( 2
2
xa
� � �!<� s*�;& )2 � $' M*� � ;*�7( �xaby � 6'�/ ��!Y�� e � ��-& )�
,� �(�z� �b���� ��b$2!I*�� q�!>� )� G��@k , $>� ,b�2x )F�� $' � S ;8O�2 )�O�� �!f
$>� ,b�2 � q�!>�y(�z� �b���� ;8O�2 )�O�� �!f��� � �-& @k ,�xbay �;(�.
4�U�1: R����� ��!I*� b$21416
22
��yx ��D��i� S q�!�>� ��D�i�[� )������ �� v�=$� � )�^
b�����G:�* � � � �(�z��;�8� #� � @k ��!Y .5-: ��D�i�[� �:)04(')04(4162 �A��Aaa �����
5241622 ����� bac!>� ��D�i�q�� :)052(')052( ��F�F �
�b���� |$\=)^$� :b�2 � q�!>� @$�, $>�x �� �!f(; e@k !2�82:5
58
25
4���
eax
� �(�z� �b���� :
0202242
������
���
yx�yxyx
xyxaby
4�U�2:R�����194
22
��xy R����� s* b$2!I*� G��� �� q�!�>� )���H� ����7�[� �� S R������
|$\= )^$� � �(�z� �b���� � G�� )2*�7( #� � @k ��!Y N� �k�;.
www.ael.af
��
5-: $>� ,b�2 @k ]5�<� $>� � )��H� ���7� �;-� � @k Q�!� )� b$2!I*� )����� q$: R����� ��y
� �� �!f� �� G:�* � S#�8. [� ��D�i�� :)2,0(')2,0(242 ����� AAaa
)0,3(',)0,3(392 ����� BBbb
1313942222 �������� ccbac� q�!>� ��D�i�:)13,0(')130( ��F�F
)^$� |$\=:
134,
134
1.1134
21
2
���
���
yy
cay
���(�z� �b���:xyxbay
32
���
023,02323 ������� xyxyxy!j*� T*!5 )2Q�(*�7( G:�* � � � �(�z� #�(�$���#�:
03232
032
03232
032
0)32
)(32
(
094
22
�����
��
����
��
���
��
yxyx
xy
yxyx
xy
xyxy
xy
(���D ,b$2!I*�� R����� ��164 22 �� yx q�!�>� R���H� ����7� [� S�� � )�^$� |$�\= �b����� S��
�(�z� �b����@k ��!Y N� �k G�� )2 � ��*�7( #� � ;.
134
�y
134
��y
www.ael.af
��
�E��� $�#���Y:��� )&�� 7&W$JB� V� ��!%XN��2��
����� �*kR ,�!2 @k Q�!� )� � �� �$^� b$2!I*� )��H� ���7� �;-� #*�f�;O�-(
�!����� !I*� #*�f R��H� ���7� #�U�� � @k Q��!� )�� ;��8� #�� � b$2 R�\<( �),( kh $�>� �
$>� )2 ,��$� @k ]5�<��x;O�2.�s*\<(�V�� R),( yxP � )2 � @k � )�:!Y !L( � b$2!I*� ,� F �F';�8� 6'�.� b$2!I*� R����� GO�� !L( ��2),( kh �� q�!�>� ��D��i�F �F'[� ��A,A' �B,B'
;�� @�E( 6FO � � 4� ���-: \<( �� M�2 )C'�: �$� $: �� N��V��� �2R: )C�'� ,��PF�'PF � � G�:�* � N�$�7(
)\2� � �*!�� N��� �!f�����R#* �k �� G�� )2 � b$2!I*�:
),( yxP
2
www.ael.af
��
�*!�� R\2� :aPFPF 2|||'| ��
! ! ! ! 2222
2222
)()(2)()(
2)()()()(
kychxakychx
akychxkychx
����������
����������
#*��� �� ]2!� � q$: ����U� ��!5�. ! !
! ! !
! 222
2222
2222222
222
222
)()(2)()(44)()(2
)()()()(44)()(
)((2)()(
chchxxkychxaachchxx
kychxkychxaakychx
kychxakychx
���������������
���������������
"#$%
&' ������"
#$%
&' ����
�� ;�2T*!V� � ]7^GO$( @�$��� )2�E� ��;/: ! 222 )()()( kychxaachcx �������
�������5�#*��� �� ]2!� � q$: ����U� ��!:( ) ( )( )
! 22222222
22222
)()()()(2
)()()(
kychxaachachcxxc
kychxaachcx
���������
�������
� )2�E� ��;/ �+�f�5 ]: � �!H �� ;�2N�$7( ]7^ #�2#�U*$8�� !*� $5 )2 �:
)()())(()()()2)((
)()()()(2)()(2
22222222
222222222
2222222222222
422222222222222
acakyahxacacakyahhxxac
acakyacahachxacxacakyahahchxahxcxaxc
������
�������
���������
���������
F($� )222 bac ��#�U*$8�� !*� $5 � )\2� P" eG��:222222 )()( bakyahxb ����
www.ael.af
��
��!5�����U� )2 � 22ba#�8� �� #�U<�:
1)()(
)()(
2
2
2
2
22
22
22
22
22
22
��
��
**
**�*
�*�*�*
bky
ahx
baba
bakya
bahxb
��D�i�[� �<�</ ,� :),(',),( kahAkahA ��
��D�i�[� �<�</ !�� ,� :),(',),( bkhBbkhB ��
q�!>� ��D�i�� :),(',),( kchFkchF ��
� �(�z� �b����:khxaby ��� )(
/�# ���-: ,b�2 � q�!>� !Y� $�>� ,��$�� ]5��<�� $�7>� )2y R������ ;8�O�2 )��O�� �!�f �!I*� b$2 ��-& �
�� G��:1)()(2
2
2
2
��
��
bhx
aky
��D�i� 6FO ,� ��q�!>� [� |$�\= �b����� ��(�z� �b���� � )^$�;�*�7( G:�* � � �.
R����:�* ��E���F(� )�������� )���� ;����O�2 )����O�� �����* )���2022 ����� FEyDxByAx R����������� ���������j8
)��� G���� b$2!I*���0�A�BA � ���C�i� ����� N�$��2O�2 N �Ob�8;.
4�U�1 : R������144)1(4)3(9 22 ���� yx ��D��i� )��:!Y !�L( � � [� � �� q�!>���
�(�z��,$82 � @kU*;�.1144
)1(4144
)3(9 22
��
�� yx
www.ael.af
��
5- :�� )�����N� #�U*$( �� , ���� )����� 6FO )2 � N;O136
)1(16
)3( 22
��
�� yx
4162 ��� aa ��D�i�[� �:� �17)143( ���� �A�A
� � � �11'143' ����� �A�A
6362 ��� bb� �
13252523616
)73()163(')53(1632222 ���������
������
ccbac
���B�B�B
� q�!>� ��D�i�:)1352(')1352( ����� ��F�F
�b����� �(�z� :
3233)3(239233)3(233)3(23
3/1)3(321)3(
32)(
������������������
������������
xyxyxyxyxy
xyxyhxbaky
4�U�2: R�����03118382 22 ����� yyxx b$2!I*�� Q�!� )��H� ���7� )�:!Y !L( � � � q�!>�[� � �b���� � |$\= � � �(�z� � )^$� G�� )2;* �k.
5- :
! ! ! !
12)3(3)2(2012)3(3)2(2
03127)3(38)2(20319)3(34)2(2
03133632242031)6(3)4(2
22
22
22
22
222222
22
����
�����
�������
�������
���������
�����
yxyxyxyx
yyxxyyxx
R����� ��!5�q$: �;& #�U<� � 12��*�7(�#:
14
)3(6
)2(1212
12)3(3
12)2(2 2222
��
��
���
��
�yxyx
www.ael.af
��
R����� q$:)2 N;O 6*;-� � ;8�� G��/ SG���� N;*� ���H� ����7� )� �$OR Q��!�@k2�h�3��k �8�*)3,2( �O!� M�7 )2 N�$2���:
1046
66,2422
22
�����
������
bac
aabb
�� ;(� � �-& � q�!>� )��H� ���7�:)3,102(',)3,102( ���� FF
��D�i�[� � :)3,62(',)3,62( ���� AA
�b���� |$\=)^$�:
25103
210
106
��
��
�����
x
x
heax
eahx
��b���� �(�z� :)( hxabky ���
� �
� � � � 326
2326
2
26
23
�������
���
xy�xy
xy
)^$�
)^$�
www.ael.af
�
(���D1–�����R079165449 22 ����� yxyx;�8� 6*;-� b$2!I*� , ���� )����� )2 � .
www.ael.af
�
�S�� �Y�- \X V� ,!B%���+��@� A+�B� 7� �'� �<�U��� v��= s��* � N!��*�� s��* � , �����=� #
��� ]\f )\<( ;8� � � !j*;F* @�F�� � $'-
�;8�
�!����� �!*��O #�<�U� v= ��;*!�j2 !L( � � .�\<( s* �+8� )� S;�8� #� , $5 � #�<�U� v= s* � N!*�� s*RO�2 )�O�� �!�E�8;.��� s*� #�<�U� v= s* )� � �� @�F�� �*k� ]\f � !j*;F* )\<( �� �� !���*� N!*8�;8� v= � N!*�� S;O�2 N!*�� }��O �� p Q2 N!*�� Q�!� � #�<�U� v= M�2 )C'�: !Y�#�<�U� ;�8�
\<(R�;( �� �!�E�;*k �� G�� )2 !*� )z��( b�2 G����: ��:
7<!%� : v= s* #�<�U� ��* � �� s�* � �� @��F�� ,$�U�� s�* � N!�*�� � , ����=� )�\<( ���;8O�2 )�O�� �!�E�.
4�U�1: N!*��922 �� yx � v= #�<�U�3�� xy #� � N�$7( � @k G��f$� �M����;�8�.5-: v= � N!*�� S�$O �� N;*� 6FO � #�<�U� � � !j*;�F* N;�O N��� q$�: � @k )����� )�
R\<( ��)0�3 ( �(-3,0)� �� ]\f8 �8; . ,�!�2 G��� )�2 G�7�f )�z��( M�*� @� �ky )������ � � N�!� ]H� N!*��b�2 Rz��( G�� )2��;*k.
3,006209969)3(3
9
212
2222
22
�������
������������
��
xxxxxxxxxxy
yx
G7�fx� R����� �3�� xy G7�f N�$7( ]H�y;* �k G�� )2 � .
033330
22
1
���������
yyyy
www.ael.af
��
$7& � $' )2 #�<�U� v= )F��f� �� � �$>�� P8^ ��x �* �y �!�f ��5�!i� ]5�<� R����� � �� ;�2 S#���*$��S K�� )^ � R����� 6/ G�� )2�� G7�f )2 |$2!� @k 6/ )� ;*k� SG���
,�!2 )Ef�8� �� N��V��� �2�(�$� �� )�O�Y ���$C�� )2 !L( $5 #� !*� ,)z��( ,!�Y#�8�.1. !Y�0�� � �� 6/ �� )����� S;O�2 . v�= ����!� M*;2
8� �� ]\f )\<( �� � � !j*;F* �8>8� �8;.2. !��Y�0�� ���* � �&�%��� ���^ �� ,� �� )������� ;��O�2
,��U���N�$��2 ]5���<� ���8>8� � v��= �����!� M*;��2 )��� S� �5�!i�;( �� �!�E� )\<( s* # �2 �+8.
3. !Y�0�� !�j*� � �-& )2 �* � �;( 6/ )����� ;O�2 v�= �� ]�\f � !j*;�F* ��8>8� � #�<�U�7(8�8;.
4�U�2: ������R !�*���044222 ����� yxyx v�= �01543 ��� xy )��:!Y !�L( � � G��f$� � @�O ,�M�����8�;.
5-:����� GUi(R#* �� SN�$7( 6*;-� @k , ���� 6FO )2 � N!*��:
)2,1(,9)2()1(04)2()2(4)1()1(2
0442
22
222222
22
�����
���������
�����
cyxyyxx
yxyx
v= R����� ���!� M�7 )2#�<�U�#*!�Y �� !L( � � :
534
5341543
01543
��
�����
���
xy
xyxy
xy
G7�f !Y�y � P8^ ��x� � S#�8� ]H� N!*�� )���� G�� )2k ��;*.
9)734(12
9)2534()1(
22
22
������
�����
xxx
xx
)3,0(
)0,3(�
Y
X
�
www.ael.af
��
acbxx
xx
xxxx
4036915025
04193
5099259
09493414
91612
2
2
2
22
���
����
�������
��������
0144003690022500 ������ @$�0��P" SG��� �;( �!�E� R\<( N!*�� � v=.4�U�3: v= G��f$�1�� xy$2� �" �b012 ��� xy;�8� T�<>� � .5-:
0,10)1(4)1(0011
01)1(011
2
22
22
����������
�������
��������
��
xxxxxxxy
xy
G7�fy$2� �" )����� � q$: )����� �� � b#�8� �� ]H� .#* �� � $' @k �: @$�0�� v= P" G��1�� xy$2� �"b012 ��� xy� �� � ;�8� ��� ]�\f )�\<( . )��
�!� G:�* � !*� 6FO )2 @�$� �� � @k ,� 6/.
012
112 212,1 ��
�
��� xx
abx
,� G7�f !Y� G�� )2v= R����� � � N;�k#�<�U�S#�8� ]H�v= ]5�<� R\<(#�<�U� �
�$2� �" G�� )2;*k ��� �-& )�;(� |�<( ��)0,1( S)1,0( �6FO �� $' )2 N;*� _H��
�$O ��.4�FFU�4: G����f$�x�� � R������� #�<�U��� v��=5�x �PI���� @k )������� )��� G���� � ���-&
��149
)2( 22
��� yx;�8� T�<>�.
Y
X
01543 ��� xy
)2,1( �
5
www.ael.af
��
5-: v= G7�f !Y� #�<�U�5�x����� � � RPI�� � $' @k � S#�8� ]H� G�� )2 ��;*k.
0114
149
9149
)25(
22
222
�����
������
yy
yy
@$�0�� )2� #�(�$� �� )�VY ���!� M* � #�<�U� v= )�PI�� �!�E� )\<( s*
N;*� _H�� � $' )2 6FO � )� � ���$O ��.
�2##��:G�� !*� 6FO )2 �5�!i� ]5�<� )�:�* ��EF(� R�����.
IRFEDBAFEyDxByAx
+�����
,,,,022
)� ;�O�2 )�O�� ��* )2 q$: R����� G=�8O ,�!2:1. !Y�BA �G�� N!*�� s* R����� S;8O�2 )�4& #.2. !Y�BA � s* R����� S;8O�2 )�4& #PI��G��.3.!Y�BA �� �*BA �G�� b$2!I*� ;8O�2 )�O�� �C�i� ���4&.4. R����� !Y� � !*� ��FO� �" )����� S;O�2 )�O��G�� b$2�.
0,0 22 �������� DCxByAyDCyBxAx
D(���1.;O N��� �b���� ,� ��!Y�;�8� �iE� #��!� �� ;�2 � !*�.
026)0)4001625)
2799)032)
2
2222
222
����
����
������
xyyeyxdyxcyxbxyya
2 .PI��3649 22 �� yxv= �#�<�U�3�y ��� ]\f � !j*;F* )\<( ;8��8;8.3 .)\<(|�<( �* � ]5�<�$2!I*�b�*42 22 �� yxv= �xy �;�8� G:�* � � .
y
x
�
0
www.ael.af
��
56� ,3� ����4�
� �+��@� A+�B: �C�i� ,� G��/ � |�!i� �2 ,$�U� ]5�<��8>8��*��$^� )2 � ��� � �k;($O �� ��* �5�!i� ]5�<� K�( )2 )�.
Ellipse: �<( K�7� ��;8 6>� )� �5)&$7z� �$�5 s�* )2 ,��U� !<�U� )\<( �� �� �+(k 6'�$: K�( )2 ;8O�2 G2�mPI���$O �� ��*. ,� q�!>� � !<�U� |�<(PI�� )�2 � ;�8*$YF �F' N��� @�E�(
$O ��(�� � �-& G2�m �$5 � ;aAA 2|'| �;O�2 ��.
� q�!>�,� K�z(�!\f!�g' ,� K�z(� !\f!�-���7� )��H� �
Q�!��b����N �7O
)0,(),0,( cc � $>� ,b�2x �!f
��(;.
),0(),,0( bb � $>� ,b�2y �!f
��(;.
)0,(),0,( aa � $>� ,b�2x �� �!f(;.)0,0(
baby
ax
�
�� 12
2
2
2
1
),0(),,0( cc � ,b�2 $>�y �!f
��(;.
)0,(),0,( bb � $>� ,b�2x �!f
��(;.
),0(),,0( aa � $>� ,b�2y �!f ��(;.)0,0(12
2
2
2
��ay
bx
2
),( kch ),( bkh
$>� )2 ,��$� !\fy
G��.
),( kah !\f $>� )2 ,��$�xG��.)k,h(1)()(
2
2
2
2
��
��
bky
ahx
3
),( ckh ),( kbh
$>� )2 ,��$� � !\fyG��.
),( kah �!\f $>� )2 ,��$�xG��.)k,h(1)()(
2
2
2
2
��
��
bhx
aky
4
�#���$ ��:��GE� �� G��� � �-&022 ����� FEyDxCyAx )F�� $�' �0�A
�0�CO�28; � G*Q�!7�� M&0e �G��.Y:���0: ��;8 6>�@k s* � G2�m )\<( s* �� � N�$2 ]f�� ,$�U� � )� �5�<( v�= #�<�U��
)C'�:�,$2� �" K�( )2 ;8O�2 )�O�� ,��U�b��!Y �� ��*.
www.ael.af
��
q�!>� � G2�m )\<()F ( #�<�U� v= �D K�( )2 � v=^$� �* ,��)b$2� �"��;8��(.
�b����!W�8� $>�
v= )�����)^$�
��D�i�q�!>��
��H� ���7�R[� �b���� �"�b$2N �
7O
0�ypx ��)0,(PF)0,0(Spxy 42 �1
0�xpy ��),0( pF)0,0(Spyx 42 ��2
ky �phx ��),( hkpF �
),( khS)(4)( 2 hxpky ���3
hx �pky ��),( pkhF �),( khS)(4)( 2 kyphx ���4
��0 ��:�� $�#���Y:�: �*!�H )� �� $' �A �* �C ;�O�2 !V�' b$2� ��" � G�*Q�!7�� M�&1�eG��.
Y:��E���: �5�<( ��;8 6>� R\<( �� �� � @k 6'�$: 6H�V� )� s�* )�2 ,��U� ,$�U� !<�U��$O �� ��* b$2!I*� K�( )2 ;O�2 G2�m �$5.
��D�i�� q�!>� K�z(�[� !�� ,��<�</
K�z(�[� ,��<�</
���7� )��H�Q�!�b$2!I*� �b����
)0,(')0,(cF
cF�
$>� ,b�2x �!f ��(;.
),0(,),0( bb � $>� ,b�2x �!f
��(;.
)0,(),0,( aa � $>� ,b�2x �!f
��(;.)0,0(Sba
by
ax
��� 12
2
2
2
),0( cF � ,b�2 $>y �!f
��(;.
)0,(),0,( bb � $>� ,b�2y �!f
��(;.
),0(),,0( aa � $>� ,b�2y �!f
��(;.)0,0(Sba
bx
ay
��� 12
2
2
2
),( kchF ),( bkhB ),( kahA ),( khS1)()(2
2
2
2
��
��
bky
ahx
),( ckhF ),( kchB ),( akhA ),( khS1)()(2
2
2
2
��
��
bhx
aky
www.ael.af
��
�b����� �(�z� )����� |$\=)^$�
xaby �
cax �
xbay �
cay �
)( hxabky ���
cahx �
)( hxbaky ���
caky �
#���$� ��:F�� ��F�Y:��E :022 ����� FEyDxByAx @k � )��BA � �BA � �i��;(� )�4��� �C .
G*Q�!7�� M&1�eG��.
www.ael.af
��
(���D4� 56�;�*�7( )<C/ � @k �� � G:�* � � _�>' ��$^ SG�� N;O N��� ��$^ �+� ��$� ! ,�!2.
1.2 )� ,$�U�)G�� � �-& |�!i� � ,$�U� �!�E� 6D: S;8� ]\f � |�!i� 6*�� $5��:a-PI��b- N!*��c-$2!I*�bd-]5�<�� v= ��
2 . ,� q�!>�PI�� Q�!� �� )� ;(� �5�<(PI��:a-)C'�:,� �� ,��U�(;.b- �C�i� ,� )C'�: ��(; .c- )C'�: p Q2 !\f �D( ���;(� )2 ��(;.d-\f �D( ���;(� )2s�$� ! )C'�: ��(;.
3 . !Y�M R\<( s*PI��F �Fq�!>� �� �2a ;�O�2 @k p Q�2 !�\f �$�5 . � $�' M�*� �)� #* ��:
0)2)
)2)
����
����
MFFMdaFMMFc
aFMMFbaFMMFa
4 . s* G*Q�!7�� M&PI��$��;*k �� G�� )2 !*� R\2� K�;� v�
bced
cbec
aceb
caea ���� ))))
5 . PI�� � )\2� f�!>� )C'�: M�2�s�$� !\f �p Q2 ��� G�� � �-&:
222222
222222
))))
cbadebaccbabebaa
����
����
6 . R����� �)(4)( 2 hxpky ��� !Y�0�P;O�2.a-G�� ��2 b�2 �!5 )2 �$2� �" .b-$2� �"b �!5 )2M�*�"G�� ��2.c- �!5 )2�� G�� ��2 G .d-G�� ��2 �� �!5 )2.
7 .b$2� �" )����� N�Y!)2(8)1( 2 ��� yx�� G�� � �-& @k q�!>� R��H� ���7� S#�O�2 )�O�� � :
)1,4())2,1())4,1())21() ����� FdFcFbFa8.b$2� �" ��!Y�*2xy � � G�� !W�8�� $>� K�;� )2 !L(
a- $>� )2 !L(yb -)2 !L( $>�xc-)2 !L( $>�x �yd-)2 !L(��;-)��H� ���7�
www.ael.af
��
9 .M& !*� ��2�$^ �� �F* K�;�$2!I*� G*Q�!7��b�;� �� @�E( � 1)1)1)1) ����� edecebea
10. �$5 !\f G��f$�PI��14
22
�� yx� �-&;(���:a- $>� ,b�2yb - $>� ,b�2x
c-)2 ,��$� $>�xd - ,��$� $>� )2y
11 . 5�<( ��;8 6>�� ���* )�� K��( )2 G�� )C'�V�� ,��U�� G2�m )\<( s* �� ,$�U� s* � )���$O ��
a-N!�b -N!*��c-$2� �"bd -PI��
12.b$2� �" [� R��H� ���7�,)2(42 ��� xy � �-&G����:)0,2())0,2())2,4())4,2() �dcba
13.�����R03844 22 ���� yyx� �� TC�� �5�!i� ]5�<� �� s* K�;� )2:a-N!*��b -PI��c-$2� �"bd -$2!I*�b
��!���� 5- � �� �Y.1- � �� @k ��!�Y ;��2 � )�O$( , ���� G��/ )2 � � @k GUi( S)�:!Y !L( � � !*� �b����
;�*�7( #� :
028812012)02259099616)1529)44)
222
2222
���������
����
yxxdyyxxcyxbyxa
2 - �b���� !*� N;O N��� v*�!O T2�\�PI�� � � *;�2�:-a @k Q�!�)0,0(,2,5.0 ��� ae $>� ��;��� )2 @k p Q2 !\f � N�$2y;O�2.-b @k Q�!�)0,0(,64,5.0 �� be $>� ��;��� )2 @k p Q2 !\f � N�$2x;O�2.3- !*� �b���� ��\f S!�-� !\f S!�g' !� ��D�i��[�q�!>� ��D�i��,PI��;�8� G:�* � � .
194
)4)1(4)22
22 �����yxbyxa
www.ael.af
�
4 -b$2� �" �b����,��!Y � N� �k @k , ���� 6FO )2 � !*�,�;�*�7( #� � � @k.0244)011) 22 ������ xyybyxa
5 - �� s* ! �b����*�I*b$2!@k , ���� 6FO )2 � !*� �� 6*;-�;�*�7(.0251042)03284) 2222 ��������� xxyybyyxa
6- R����� )� ;�� 6�FE� � b$2!I*�[� @k ,�)0,4()0,4( � ,�� ��(�z� �b���� � N�$2 @kxy
45
�;8O�2.7- �����R )�� ;��� 6�FE�� � b$2!I*�[� @k ,��)3,1()3,1( � @k ��f�!>� �$�5 � N�$�24
;O�2 ;/��.
8 - #�<�U� v=xy 2� ,b$2!I*�19
)2(4
)1( 22
��
�� yx;8� �� ]\f )\<( ;8� � � .
www.ael.af
�
6�/�# 5��U�U�
www.ael.af
��
3 miles
www.ael.af
��
�:��K(�� Law of sine
#�(�$�� �� $\� 62�<� 6FO � ��;�(�� ]C�Ha�*���RC G:�* � � #�*�7(�
�!�������/ �Cy� s**��Q��RABC� #� ;�8� �j��( � �Cy� }4H� �$5 , ��;�*�7(.��&�V� � @k 62�<� ]CH )2 �Cy� [� ! ���12 , AHBH �3CH;�8� #� � .� ��Cy�,� #*�f�*��Q�R1ABH �1ACH }��V� � �$�51AH P8�^ �� �sinB �sinC
� G:�* �;�8� )U*�<� #�2.� ����Cy�,���#*���f��*��Q��R2ABH�CBH 2� � �$��5��V }�2BH P8��^ �� � sinA �
sinC� G:�* �;�8� )U*�<� #�2.�:ST: ��: 6/�!� �� N��V��� �2G��q$:�f� M*�� @$(#�8� �� �$-m.
�Cy� �,� R*��Q�� #*�f1ACH�1ABH#* ��:
)2(..........sinsin
)1(.............sin
sin
111
1
11
CbAHb
AHACAHC
BcAHc
AHABAHB
����
�
��
v2�� RU*�<� ��)1 ( �)2 (#* ��:CbBc sinsin �
��*,� ........sinsincC
bB
a
A
B
C�6.41
�3.124
b
c
www.ael.af
��
R*��Q�� #*�f �Cy� ��
2ABH �CBH�
2#* ��:
)4(........sinsin
)3(........sinsin
22
22
CaBHa
BHC
AcBHc
BHA
���
���
v2�� RU*�<� ��3�4#* �� :CaAc sinsin �
��*:II........sinsincC
aA
�
v2�� RU*�<� ��I�II#* ��:cC
bB
aA sinsinsin
��
�*C
cB
bA
asinsinsin
��
R\2� q$:�� � �-& �� M*�� @$(�f;O�2.7<!%�: �Cy� ! �ABC��� $' � @k }4H� �$5 )� ���!� )2ab , �c;O�2 .#* �� :
Cc
Bb
Aa
sinsinsin��
�:ST!]K$7��)� ^� �� _�U��# (�� �Cy�ABC R�*��� )�� #*!��Y �� !L( � � C @k
G�� )^!V8� . ��&�V� �AD �CE ��� #�� � -
�7(*#�.
R*��Q�� #*�f �Cy� �ADC#* ��:b
ADC �� )180sin( �
�� !j*� �!5 ��G-U(���yCy� ,�)� #�(�� �� )77�� ,�*��� :CC sin)180sin( ���
M*� !2�82 :)1(........sinb
ADC �
7 R*��Q�� #*�f �Cy� � M�8�ADB #* �� :(2)........c
ADBsin �
�v2�1�2�!5 )2 �!5 � !j*;7 ,b �2 #�8� �� #�U<�:bc
BC
�sinsin
C��180
a
c b
www.ael.af
��
)2 !L(h�$= �� �8� !Y� M�\�� ,��^#�;2 !��g� � :I........b
sinBc
sinC�
��/ ���Q�� #*�f �Cy� )*�AEC)� #�(�$� �� N�!� )�O$(:)3(........sinb
CEA �
)*��Q�� #*�f �Cy� �BCE)� �$O �� N;*� :)4(........sina
CEB �
� )\2�3 �4 !j*;7 ,b�2 �!5 )2 �!5 � #�8� �� #�U<�:ba
BA
�sinsin
,��^ !Y�M�\��#�;2 !��g� � :II........b
sinBa
sinA�
U*�<� ��Rv2�� I �II)� #�(�$� �� N�!� )�O$( :c
sinCb
sinBa
sinA��
�*C
cB
bA
asinsinsin
��
��!���� � M*�� @$(�f @��!Y�O� #*�f �Cy� �88� �$-m )*��Q�;.
4�U�1 : � R*��Q�� #*�f �Cy� !*� ;��8� G�:�* � � @k R�*��� �� � ]CH s* G7�f. )F�� $�' �O�2 N;O N��� !*� �!f @k ]CH �� � )*��� s* G7�f8;.
cmccmb
B
36
960
�
�� �
5- :!L( � �2GO��M*�� @$(�f� !*� R\2� @�$� ��M�8�GO$(:
1sin199
933sin
92336
960sin36sin
60sin9
sin36
sinsin
�����
�
��
����
�
CC
CC
Bb
Cc
�
�
@$� :190sin ��G�� eP" :�90�CG��.
www.ael.af
��
)� #�(�� ��:�180��� CBA��G eP":
���
���
�
30150180)9060(180
)(180
����
���
���
AAA
CBA
]CH G7�f ���!� M�7 )2a#�8� �� G:�* � � .
BbAa
bB
aA
sinsinsinsin �
���
@$�2360sinsin �� �B �
2130sinsin �� �A;(�eP":
cma
a
33
333
393
9
23219
�
����
�
4�U�2 : 6FO T2 �\� !*�s* z(�8�)C'�: ;�$= �� �(�7�=�� !M�2��R\<(A�B )�� � M��2(k�+)I� s*;8� G:�* � � �� �!f .
5-: M�2 )\2� M*�� @$(�f �� N��V��� �2Csin �Asin � �#*!�j�� !L(:
�
�
30sin422110sin
sinsin
sinsin
ftA
aCc
aA
cC
��
��
�
@$�9396.0110sin �� �5.030sin ��G��e#* �� P":
ftcftc 0224.7935.0
4229396.0��
��
A
C
B�30
�110 fta 422�b
c
www.ael.af
��
4�U�3: ���;(� 62�<� 6FO ��� ]C�H s*� )*���G���� N;��O N��� @k.��;��(��]C��H �� � )��*��� s��*
!j*�@k;�8� G:�* � � .
5-: #�(�� �� )� �� }$7z�� �Cy� s* �C=�� ,�*�180G��e � K$C����( R�*��� #�(�$� �� P"#�8� G:�* � .
�
�����
12951180)2031(180
�
������
AAA
]CH �$5 G:�* � ,�!2aM*�� @$( �f#*!�Y �� !L( � � :
�
�
��
20sin210129sin
21020sin129sinsinsin
cma
abB
aA
��
���
@$�342.020sin �� �7771.0129sin ��G��e�82M*� !2 :
cma
cmcmcma
166.477
166.477342.0191.163
342.00217771.0
�
���
�
]CH ���;(�c\2� �� � RcC
bB sinsin
�2 )#* �k �� G��:
�
���
20sin31sin21031sin
21020sinsinsin �
�����cmc
ccC
bB
@$�5150.031sin ��G��e#* �� M*� !2�82 :
cmcmcmc 22807.316342.0
1500.108342.0
5150.0210��
���
www.ael.af
��
7�#��#%2�!2�� 7�� N��V��� ��f� M*�� @$(�f ���$E)�:
� ���;(� *��� ��) ]CH s* �)�� 62�<�� ;�O�2 )�O�� �!f K$C�� R*�S �� � ��-& s�* ]C�H� �Cy�AR*��� �� � �-&�Cy�;O�2 �� SAAS )� �8�� M*� )2)]CH )*��� )*���(
� R*��� s* � ]CH �� ���;(�)� }4H� �� �F* 62�<� ;O�2 )�O�� �!f K$C��(SSA) M�*� )2)� �8��)]CH ]CH )*���(
;(�7( )�VY�()�A�Vi�Angle�S�Vi�Side;O�2 ��.
(���D1- H� G7�f !Y� �Cy� }4mamb 8,5 �� �mc 10��O�2 N;O N���8 R�*��� ���;�(� ;B �
;�8� G:�* � .2- !+O �� )C'�: )�:!Y !L( � � !*� 6FOA !+O ��B� ;�8� G:�* �. .
www.ael.af
��
(�� :& �:��KLaw of cosine
!*$D� s* 6�2�<� 6F�O T-5 v��$� )�2 �� �� �$�*� ���� N;O @�Q*�kG��� K�;��! ���� �!5 �� ,� �� �$5 !Y
4cm M�2 )*��� � @k��60 ;O�2 .C'�:) ��� R�\<( �� M�2)(x � �!� G:�* � $\��� #�(�$� ��
��!���� , ���=� �Cy� s*ABC #� � N�!� [� 62�<� )� ]CH �$5 SA f )2 � �� �!a ]C�H �$�5 S
[� 62�<� )�B )2 � �� �!fb [� 62�<� )� ]CH �$5�C )2 � �� �!fc o*�7(;��.��� [� B }�V� � s* � ]CH ,b�2AC;�8� #� .� �Cy� � )*��Q�� #*�f ,� )CFE��%fR� T�-\� � � $��y�:;�8�.��� R*��Q�� #*�f ,� �Cy� )CFE��� G�7�f ,��BH �HC �� ����!� )�2 � P8�^inecos
,�*���B �C2 )R\2� � N� �k G��� $��y�:�7( ]H�*;� .�!-z�� ��-��>�� � )8F7� ,*�+( R\2� N��� K�z(;�U*$82 � �.
G����: 6/�!� GO�� !L( � �2$:SqRC/!� s* M*��$� @$(�f8F�� �$-m � �#.�:ST:R*��Q����/ �Cy� �ABC }�V� �BH#�8� �� #� � .
#�8� �� �!::hBH ��xAH ��xbCH ��;8O�2
�Cy� �R*��Q�� #*�fHBC#* ��:222 BHCHBC ��
,��� ........)( 222 hxba�Cy� �R*��Q�� #*�fHABS �$5h#�8� �� G:�* � � :222 xch ��
R\2� �I ,�^ )22h*�7( �� ]H� � @k G7�f�#:
bxcbaxcxbxba
xcxba
22)(
222
22222
2222
���
�����
����
bc
a
x
x
www.ael.af
�
�Cy� �AHB#* ��:AcxcxA coscos ����
R������\2� �bxcba 2222 ��� ,�������^ )������2xk G������7�f �������� ]������H� � @#�������8�
Abccba cos2222 ��� �*Abccba cos2222 �����* �bc
acbA2
cos222 ��
�
7<!%� :bc
acbA2
cos222 ��
� �*Abccba cos2222 ���
�!� �$-m @�$��� ���!� M�7 )2:
abcbaCCbaabc
acbcaBBaccab
2coscos2
2coscos2
222222
222222
���-.-���
���-.-���
*��� ! M*��$� �Cy� ! �R ]2!� �V8� ��z� ]CH �� ���2!� }$7z� )2 G�� ,��U� @k ]C�H ��z� !���!H 6'�/ ;8� �� !2)*��� @k ��z� }4H�.
�!�����\2� ��R @��!Y�O � !j*� )(�= �;88� �$-m.
#��#�2:#�8� �� N��V��� ��f� M*��$� @$(�f ��)�:� �� ���;(�s* � ]CH��;O�2 K$C�� ]CH �� M�2 �� R*�.)� ]CH�]CH )*�((SAS)
���;(� �;O�2 K$C�� �Cy� ]CH )�).]CH ]CH ]CH((SSS)
(�� �:��K `#� % �Z �����# N�� (�� :&)N_�U� V��2 M*�� @$(�f �� N��V����M*��$�#*!�Y �� !L( � � !*� ��;^:
Z �����#)N_�U� V� )F�� $' �3]CH�Cy� �� ��� ;O�2 K$C��;�2 M*��$� @$(�f@$(�f �� ��*��M�� N��V���#�8�(SSS)) ]CHS]CHS ]CH( M*�� @$(�f(SAA) )S)*��� S)*���]CH( M*�� @$(�f(ASA) ))*��� S]CH S)*���(
]CH �� )F�� $' �� ��*�) M�2@k �� �� ��� ;�O�2 K$�C�� ;��2 � M*���$� @$(��f @$(��f ��M*��#�8F�� N��V���.(SAS))]CH S)*��� S]CH(
�7GU�( MFAAA)())*��� S)*��� S)*���(
www.ael.af
�
4�U�1 :�Cy� �ABCG�� N;O N��� !*� �!f @k ]CH )� ���;(� . R*��� ���;(�A;�8� M���� � .
�60ˆ21
4824cos
24cos482852cos48cos485228
cos48361628cos642)6()4()28(
cos2?,6,4,28
222
22
�
��
������
��������
����
����/
�
A
A
AAA
AA
AbccbaAcba
4�U�2: �Cy� s* � !Y�ABC @k ]C�H �� �$�5ftaftb 16,10 �� ��+(k M��2 )�*�����110C �
�
��;(� ;O�2� ]CHc;�8� G:�* � � . 5-: @$� � ]CH �� s* 8�2 �� R*���� �Cy� s* �� @$(�f �� G�� K$C�� ��� N��V���� M*��� $-
#�*�7(.
�
�
110cos320256100110cos10)16(2)16()10(
cos2
2
222
222
���
���
���
cc
Cababc
)� #�(�;�� ���yCy� ��;^ ��:342.0110cos ��
ftccc
cc
70.1556.24656.246
44.109356342.0320356
2
2
2
����
��
���
4�U�3 : �� �$5 �2 @�!" ���� s*100m G�� �$ � . M���� ��<:� ]\�� ��2 @�!" ���� �� !Y�*���)�60��U2 � S����� ,;8C2\� �� � @�!"_� G:�* � M���8�;.
5- : )*��Q�� #*�f �Cy� �OHL#* ��:
mxx
xOHOL
502110060cos100
10060cos
�����
��
�
�
www.ael.af
��
#* �� M*��$� @$(�f ��:
mHLmmHLmHL
HL
HL
OLOHOLOHHL
350
35075007500
5000250010000
21501002)50()100(
60cos2
22
2
222
222
�
����
���
������
����� �
4�U�4 : �Cy� �ABC ���;(��60ˆ �A �$5 �8,5 �� cb;/�� �$5�G� S ]CH ���;(�a
�Csin;�8� G:�* � � .5- : GUi( �� N��V��� �2@$(�f��;(� M*��$�� ]CHa �Csin#�8� �� G:�* � � :
21802564
2160cos
60cos582)5()8(cos2
2
222
222
����
�
������
���
a
aAbcbca
�
�
�$5 �;/��7494089 22 ������ aaa
PI��� N��V��� �2 @$( �fM*��SsinC#�8� �� G:�* � � .
@$�2360sin ���82 G��@k!2:
734sin
7238
sin
760sin8sin
sinsinsinsin
�
��
��
����
C
C
C
aAcC
Aa
Cc
�
(���D1- �Cy� s* �ABC N�Y!ftaftb 5,4 �� ��45ˆ �AO�2 N;O N���8;.���;(� ]C�Hc
��� �� G:�* � � �Cy� K$C���( ,�*;�8.2- ]CH �Cy� s* � !Y�cmacmb 3,9 ��� )*��� @��O M��2�60 ;�O�2 . ]C�H ���;�(�c
�G�� ;8�
a
www.ael.af
��
�:��K��<��DLaw of Tangent
�V��� �2 �*k @�$�� ��� G�8z(�� @$(��f �� N� � }4�H����� K$C���( ,�*��!� G:�* �
�!����� @$(�f R\2� sinU� � @k � ;�U*$82 � )2 ,��D;�� �!f.
� !G-U( ���8� M*�B
bA
asinsin
� )2 ,��U� )(�Y�;^ � $' )2 � D;�� �!f.
�}4H� �$5 P8^ �� � q$: G-U( ��@k�;�U*$82.�\2� ��);�8� T*!V� # �� !j*� �2 � ]7^ #�2 �-F* � .��� 2 v2 );�8� #�U<� !j*� ,b�2 �F* � N;�k G��.��$� �: N��� K�z(� � ,!-z�� ��-��>�+( �*;�U*$82 � � .
2 !*� )z��( G����: K�z(� �� ;�2 );*k �� G��.
7<!%�: ��Cy� !@$(�f� �-& G8z(���� G��:2
tan2
tan
BA
BA
baba
�
�
���
T�:S:G�� ��: 6/�!� GO�� !L( � �2q$:@$(�fTangent� #�8� �� �$-m.�G-U( �R\2� M*�� @$(�f)2 ,��U� � D#�� �� �!f:
IIBDbIADa
DB
bDA
a
DB
bA
a
...sin
...sinsin
,sin
sinsin
��
��
��
www.ael.af
��
� v2� )2 �!5 �2 s* � q$: �!5 #�2 � ]7^ !�j*� ��2 �!�5 )�2 �!�5 !j*;�7 �� T�*!V���#�8�:
)sin(sin)sin(sin
BADbaBADba
������
q$: v2�� *� ,b�2 �F* � j#�8� �� #�U<� !:I
BABA
baba ...
sinsinsinsin
��
���
�� �$� $: ��)� #* �� �!H:
2cot
2tan
2sin
2cos
2cos
2sin
2sin
2cos2
2cos
2sin2
sinsinsinsin
2sin
2cos2sinsin
2cos
2sin2sinsin
BABA
BA
BA
BA
BA
BABA
BABA
BABA
baba
BABABA
BABABA
��
�
�
�
��
�
���
��
���
���
����
����
@$�2
tan
12
cot BABA
��
�P" eG��:2
tan
2tan
BA
BA
baba
�
�
���
�!�����\2� ��R� !*� @��!Y �O�$-m;88�.
2tan
2tan
,
2tan
2tan
CB
CB
cbcb
AC
AC
acac
�
�
���
�
�
���
�$� �: ,�q$:� K�( )2@$(�fTangent;88� �� ��*.
4�U�1 : ��
ABC3
1�
��
cbcb ��90�
�
AG�� N;O N���S,�*���B �C � ;�8� G:�* �.
5-:��#�(�;:�180��� CBAG��.
www.ael.af
��
�
��
���
45tan2
tan
33
2tan
2tan
452
90
18090180
CB
CB
CB
cbcb
CBCB
CBCBA
�
���
�
���
��
���
�������
@$�145tan ��P" eG�� :2
tan33 CB �
�
#�(�� �� )F* $53330tan �� G��e�z( �� ��f� @k!2�82,��U� # �2 )*��� �� G( )�� G���
O�2 ,��U� # �2 �*����$=8; .
��
�
�
�
�
751502
)2(.....90)1(.....60
302
2tan30tan
33
2tan
���
��
��
��
����
�
BBCBCB
CB
CBCB
R*��� G7�f b�/C*�7( �� G:�* � � �#P" e,�^ )2)*���B\2� � � @k G7�fR)1(�� ]H�#�8�.
���
���
156075607560
����
�����
CCCCB
4�U�2 :!Y�0342,432,925 ��� � BcmccmaO�28;S �� N��V���� ��2 @$(��fTangent
^�Q,� � �Cy� K$C�� �(�;�8� G:�* .
5468tan1357493
2tan
'4568tan432925432925
2tan
2tan
2tan
2tan
'301379013654682
0913622
031372
03137032406179
0342180180180
���
�
���
��
���
��
��
�
���
�����
��
�
��
�������
�����������
�
�
������
��
�
����
CA
CAcacaCA
CA
CA
caca
CACACACACA
CABCACBA
www.ael.af
��
)� #�(�;�� ���yCy� ��;^ ��:5659.25468tan ��
'588581184
'59422
9322.02
tan5659.23633014.02
tan
��
�
������
��
�
��
����
CACA
CA
CACA
�= ��� b��/ R��*��� #��$A v�2�� �� � 03137 �� �CA �8585 �� �CA �2 ) G����#* �k.
44111882222
031378585
���
��
��
��
�
�
AA
CACA
#��$= �� b�/�� R*�C � #�8� G:�* �.
6425,295022351ˆ2
858509136
����
����
��
���
�
�
CCC
CACA
@$(�f �� N��V��� �2sin ]CHb� #�8� �� G:�* �.
cmb
b
BC
cbC
cB
b
25.5046756.03692.7466756.0578802.0432
6756.00342sin578802.06425sin
0342sin6425sin
432
sinsinsinsin
�����
�
�
�
�
����
�
�
�
�
D(���Q^�,��� N��V��� �2 � �Cy� K$C�� �(@$(�f2 G8z(�� );* �k G��.- a N�Y!ftaBC 35,60,75 ��� ��;O�2.- b N�Y!�� 45,37,75 ��� 01 cmb;O�2 .
,� G7�fsin#�8� �� ]H� q$: R\2� � � �
www.ael.af
��
�D�U�U� N�� �B��J�Trigonometric Identities
)� ;�(�� �� �7O222 2)( bababa ���� s* G�� ,!-z�� G<2 �\� �!*� ,�� G7�f K�7� )2a �b
�!5 �� ����U�,��U� #�2;(�. �*k1cossin 22 �� 00<2�\�G�;(�$� �� N;O ���yCy�
�!����� G7�f !*� ��;^ ��N��: ���yCy� ,�A �B !�2 � ��C�i� ,�� G�7�f ,� �*���R0 6��7F�
;�8�:
00
cot1csc �
�B1csc
cot�
�00A0
�0
�30
�45
�60
�90
,� G7�f ��;^ 6�7F� �� ;�2A �B ;�8� )U*�<� #�2 � �;�U*$82 � @k R\2� .�!� @��2 @�$� �� � !*� �*!�� q$: G����: �� .
C���D: ����U� � ,�!2 )� ���yCy�7 S;($�O ,��U� #�2 ����U� �!5 �� ! )*��� ,� G7�f K��� ��* ���yCy� G<2�\� K�( )2$O�.
P" :0
000
cot1csc
1csccot �
��
<2�\� s*GG�� ���yCy� .)2K�7�R*��� ,� G7�f0����U� �!5 ��# �2$O �� ,��U�;( .
www.ael.af
��
G<2�\�1=00 22 cossin � � �$-m;�8�.�:ST : ���yCy� �!*�� �O ;�/�� s* @k }��O )�
�$5 G��Cy� )*��Q�� #*�f �PMO�
N�$7( #� � #�U*$82 #�(�$� ��:
rx
�0cos �ry
�0sin
(GO$( @�$� �� � $��y�: )�%f )2 !L:222 ryx ��
#�U<� � q$: R\2� ��!5�2r ��#�*�7(:
1)()( 22
2
2
2
2
2
2
��
��
ry
rx
rr
ry
rx
,� G7�f�ry �
rx\2� � � Re#�8F�� ]H� q$:)z��( �:1cossin 22 �� 00
� �-& ���yCy� ����� v2�� ;(���:
000
000
00
00
00
000000
cossintan,
sincoscot
sin1csc,
cos1sec,
tan1cot
csccot1,sectan1,1cossin 222222
��
���
������
G<2�\� �� G<2�\� Sq$: ,�00 22 sectan1 ��� �� �$-m � 8#�.�:ST: #�(�� �� 6FO ��:222 ryx ��
\2� ��!5�R #�U<� � q$:2x#*�7( ��:
22
2
2
2
2
2
2
)()(1xr
xy
xr
xy
xx
��
��
,� G7�f @��� �!f �20sec�xr �0tan�
xy#��$82 #�(�$� ��:00 22 sectan1 ��
y
x
r
X
Y
P
MO0
www.ael.af
��
�!�����G-U( �� N��V��� �2�yCy� ,� �� q$:)� ;�8� �$-m:
00
0000
cos1sec,
tan1cot,csccot1 22 ����
2 ) K$7& $5 �!5 s* �� � G<2�\� �$-m ,�!2 G<2 �\�S!j*� �!5 @k2 � ) G��;( �k ��. 5 s* )2 �8�* ]2!� ;8(�� �C�i� ,� )�C7& G<2�\� �! @�!��S )�*Qz� @�!��S )��C7& � �!�H
�!^� !j*� ,��$O �� .2 G<2�\� !j*� �!5 )F8*� �� )G��;*k . � !Y��,!-z�� ���: @k ��;/;O�2 �$^$� )*��� ;8��* s* ���yCy� ,� G-U( P8^ ��.
� @k�;8��( �� ���yCy� ���: .� �� N��V��� �2�!� N��� @�$� �� � ���yCy� ,� N��:� �%�2 ���yCy� v2� . }$H$� @;O MO� ,� !2S ,�!2 � !*� ,� ��y��G<2�\�� ,!-z�� ,� N��:,� !�L( � ���yCy�
#*!�Y ��.
4�U�1:����:0
00002sin1
cottancossin�
�;�8� N��� � . 5-:�: ���:#*��� �� N��� !*� T*!5 )2 � q$:
000
000
000
0000
00000
tancossin
coscossin
cossincos
cossincossin
sin1cottancossin
2
22
���
�
��
��
4�U�2 :���:�?tantancoscotsin 22222 ��� 22222;�*�7( N��� � .5-:
2
22
2222
222
22222
2
22
22
22
2
22
22222
tan11cossin
tancossincos
sincossin
tantancoscotsin
��
��
���
��
www.ael.af
�
4�U�3:� ���:)sec1)(sin1( 22 22 ��� P8^ ��2cos;�8� )X� �.5- :
1cos
)cos
1cos(cos
)cos
11(cos
)sec1)(sin1(
2
2
22
22
22
��
��
��
��
2
222
22
22
4�U�4 :8� �$-m)� ;� :2)cos(sin)cos(sin 22 ���� 0000
5-:#�� �� ��EF(� � �� �!5 ,� [$f .
212)cos(sin2cos2sin22coscossin2sincoscossin2sin
2)cos(sin)cos(sin
2222
2222
22
������
������
����
0000
00000000
0000
4�U�5:;�8� �$-m � !*� G<2�\�.
AA
AA
A csc2sin
cos1cos1
sin�
��
�
AAAA
AAA
AAA
AAAA
AAAAA
AA
AA
csc2sin
12)cos1(sin
)cos1(2)cos1sin(
cos22)cos1(sin
cos211)cos1sin(
cos21cossin)cos1(sincoscos21sin
sincos1
cos1sin
22
22
����
��
��
�
���
��
����
����
��
��
4�U�6 :;�8� �$-m � !*� G<2�\�.
AAA 2
2
2
tancot1tan1
���
www.ael.af
�
5-:#�(�;��:
AAA
AA
A
AAAA
AAAA
222
2
2
222
2
22
22
tan)cossin(
cossin
sin1
cos1
tancscsec
csccot1sectan1
�����
��
��
4�U�7:G<2 �\�00
0000sin
1cos
1)tan)(cotcos(sin ����;�8� �$-m � .5-: )2 ,�^0cot�0tanG7�f,�@k�P8^ �� � 0sin �0cos �� ]H�#�8�.
00000
000
0000
00000000
0000
0000
sin1
cos1
cossincos
cossinsin
cossin1)cos(sin
sin1
cos1
cossinsincos)cos(sin
sin1
cos1
cossin
sincos)cos(sin
22
���
��
��
�
��""#
$%%&
' ��
��"#$
%&' ��
M*� !2�82:00
0000sin
1cos
1)tan)(cotcos(sin ����
4�U�8: G<2 �\�yxyx
yx cottansincos
)cos(��
�;�8� �$-m � .
5- :
yxxyyxyx
yxyx
yxyxyx
yxyx
cottantancotsincossinsin
sincoscoscos
sincossinsincoscos
sincos)cos(
����
��
��
�
4�U�9: G<2�\�x
xxxtan2
sintan2
sin 2 ��;�8� �$-m � .
5-: #�(�� ��:2cos1)
2cos1(
2sin 22 xxx �
��
�
www.ael.af
��
G�� �!5 �!H � q$: R\2� xx
tantan*�7( ���#:
xxx
x
xxxx
xxxxx
xx
tan2sintan
tan2
cos)cossin(tan
tan2costantan
2cos1
tantan
��
��
��
���
4�U�10:G<2�\�xx
xx
x sec2sin1
coscos
sin1�
��
�;�8� �$-m � .5-:
x
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
sec2
sec2cos
12cos
2)sin1(cos
)sin1(2)sin1(cos
sin22)sin1(cos
1sin21)sin1(coscossinsin21
)sin1(coscos)sin1(
sin1cos
cossin1
22
22
�
������
��
��
��
���
����
�
���
��
��
(���D1 -y� ����� v2�� GO�� !L( � �2��yCR\2� � ! �����?;�8� G:�* � � !*� ��:
��
�
08cos
1)1sec)025cos
025sin) 2 cba �2
2 -���:�!*� ,� v�$� � 2sin;�8� )X� �:222 2cot),coscot) ba
3 -G<2�\�,�;�8� �$-m � !*� ���yCy�:
xxxdc
xxxxxbeca
2costan1tan1)tan
2coscos12sinsin)
cos21cottancottan)cos
tancotcos)
2
2
2
���
���
�
����
��
000
00
000
0
www.ael.af
��
�D�U�U� �Y#���Trigonometric Equations
)��� #�(�;����1cossin 22 �� 00 G��<2�\� s��*G�� ���yCy�.
N��� @�E( $\� )� ;�(�$� ��1cossin �� 00
)����� s**G<2�\� s* ����yCy�G���
�!����� ,�� G7�f !*� ��;^ �0sin21 �� 2 �22 22 sectan1 �� ,�!�2 � G�7�f ,��
R*���2*�7( G:�* ��;:
22 22 sectan1 ��0sin21 �� 22
�0
�30
�60
�90
)2 G7�f*��� �C�i� ,�R2 M�2 )\2� )�22 22 sectan1 ���0sin21 �� 2� �� �$^� .� �*k2�2� 22 sectan1�� �* �G�� G<2�\� s*����)� �*k0sin21 �� 2G<2�\� �* � G�� )����� s*.
$� �� � !*� �*!�� b�2 G����: ���!� @��2 @�:C���D: )�*��� ,�� G7�f �� �%�2 ,�!2 )� ���yCy� ����U� @kS ��U�� �!�5 �� !�� #� ��2 � ,��U����� K�( )2 S;8O�2�yCy� R����� ��*$O� .
���yCy� G<2�\� !s*G�� ���yCy� R�����e���� ! !j� R�G<2�\� ���yCy����yCy�;(�$� �7( N;O.�yCy� )����� ! �b$���!� 6/ @�$� �� !*� G��/ �+� �� �F* s7� )2 � ��.
xo
yr
y
x0
www.ael.af
��
4� ���- :6FO )2 ���yCy� R�����0sin �� bxa
;�8� )^$� !*� ,� ��y� )2 b�2 R����� ���8� ��$^ G:�* � ,�!2 .4�U�1: R����� 6/ G�01sin2 ��x2 � );* �k G�� .5-:GUi( G7�fxsin2 � )#* �k �� G��.
21sin1sin201sin2 ������ xxx
6/ �� ;D<� *� [$f K�7� G:�* � )����� M*�� )� G��sin @k
21G�� @k R*��� M*!�F�$� �� �-&��
63;O�2 ��.
621sin 3� ���x
*�� Y !�L( � � ����yCy� N! )��:! �*��*��� G�:�* � �
��#�8� )�sin �+(k21�$O.
...,6
4,6
2,6
33333���x
�� ����yCy� �!*6FO�*��� K��* )� #�8� �� G:�* � � �sin@k�21�$O.
...,6
5,6
3,6
33
33
33 ����x
/ M*� !2�82 R����� 621sin �xG��� �)(�Y�;^�� G�� � �-&:
���
��� +������
���
��� ����
���
��� ���
ZkkxkxxA
A
A
62
62/
...,6
5,6
3,6
...,6
4,6
2,6
2
1
3333
33
33
33
33333
R*��� ! ,�!2 ��$7& � $' )2�@�$� ��GO$(:( )ZkkxkxxA +������� �33�3 22/
X
Y
� 63
21
1
O
X
Y
�3 ��
633 �
www.ael.af
��
GO$( @�$� �� ��$7& � $' )2 �*�:.....,3,2,1,0)1( ���� nnx n�3
4�U�2:C/ G�R R�����03sin2 ��x2 � );* �k G�� .
5-:23sin3sin2 ��� xx
RC'�: � ;*�2 b�/���
����
2,
233 �*���) ��* #��8� G�:�* � � )�� @k M*���
23 �$�O . #��(�� ���
1sin1 44� xS*��� P")�* )� � �;( �$^�sin @k23�$Oe� �;( 6/ )����� M*� !2�82 .
/�# ���-: R����� 6FO )2 ���yCy�0cos �� bxa
)2 b�2 R����� ���8� ��$^ G:�* � ,�!2;�8� )^$� !*� ,� ��y�. 4�U�1:C/ G�R R�����03cos2 ��x2 � );* �k G��.
5-: b�2 R�����xcos#* �k �� G�� )2 � .
23cos,3cos203cos2 ����� xxx
RC'�: � !3,0 *��� Rx ;�2 � G:�* � � #� �� #��8F ���23cos �x �$�O M*!�F�$�� �
*�����/ R� @k63G��S
6coscos 3
�x
*���! !�L( � � ���yCy� ��� #*!��Y � � )�*��� @k �
#�8� �� G:�* � )�23
6cos �
3�$O.
...6
4,6
2,6
...6
4,6
.2,6
33333
33333
����
���
x
x
/ G�6GO$( ��$7& � $' )2 @�$� �� � q$: ,�:...,3,2,1,02 �� nnx �3
���
��� +������ ZkkxkxxA
62
62/ 3
33
3
���
63
�
63
y
x
#* �� �V8� ,� )*��� ,�!2:
www.ael.af
��
2 ) R*��� ! ,�!2 ��$7& � $'�GO$( @�$� ��:( )ZIkkxkxxA +������ ,22/ �3�3
4�U�2: R�����02cos2 ��x RC'�: � !32,0� �� 6/ ;8�.5-:
22cos
2cos2
02cos2
��
��
��
x
xx
@$�22
43cos ��3�$O �� e@k!2�82 s* �^ )������� G�� � �-&
433
�x.
)� G�/RC)2 G�� ,��U� @k:���
��� +������ ZkkxkxxA ,
432
432/ 3
33
3
�$O �� N;*�)������) RC'�: � !32,0��� �� ��$^.
45
432
43
432
21
10
333
333
�-.-��
�-.-��
�
�
xkx
xkx
k
k
���-3 :6FO )2 ���yCy� R�����0tan �� bxa
!2;�8� )^$� !*� ,� ��y� )2 )����� ��$7& 6/ G:�* � ,� .U��41:R�����03tan ��x� 6/ � 8�;.
5-: ��R����� Sb�2xtan2 � )#* �k �� G��:
�: � b�/' RC)2
,2
( 33� )*���x � �� $z�U^ #�8� )�3tan �x���$O )�*��� @k �
33
�*�
06;O�2 ��e � $' )2 b�2 R����� M*�!2�8233
tantan ��3x;*k �� �.
���
��� ����
���
��� ���
...,3
5,3
3,3
...,3
4,3
2,3
333333
33333
x
x33
3 �
�3 �
3
X
Y
�
www.ael.af
��
� $' )2 � q$: ,� G� ��$7&GO$( @�$� ��:
���
��� +������ ZkkkxxA ,
3)12(
3/ 3
33
3
R*��� ! ,�!2 ��$7& � $' )2 �* ��GO$( @�$� ��:( )ZkkxxA +��� ,/ �3
4�U�2:����!*� R�� 6/� 8�;:
31tan �x
5-:63
1tan 3��� xx
)����� 6/ G����
��� +��� ZkkxxA ,
6/ 3
3
4�FFU�3: G���/R��C R�������)3
tan()4
2tan( 33��� xx RC��'�: � � !32,0��2 ) G����
;* �k .5-:
127
432
)3
(4
2)3
tan()4
2tan(
33333
33333
�������
��������
kxkxx
xkxxx
,�^ )2k �� �� #�� �� �!f � _�>' ��;&��*�*� )�� RC�'�: � @��O G-U�( � )�*��� !32,0
2 ;8O�2 6��O);*��2 G��.
1219
127
127
127
2
1
1
0
333
333
���
�
-- .--.-
���
�
x
xkx k
k
C/ G� K$7& � $' )2 �*)�� G�� � �-& q$: R����� ,� :���
��� +��� ZkkxxA ,
127/ 3
3
www.ael.af
��
���-4:6FO )2 )� R�����0cot �� bxa
;�8� )^$� !*� ,� ��y� )2 b�2 R����� ��$7& 6/ G:�* � ,�!2. 4�U�1 :R�����01cot ��x*�7( 6/ � �;.
5- :
41cot
01cot3
���
��
xx
x
M*�!2�82!*� � $' )2 � b�2 R�����#�8� �� )�O$(.
...,4
5,4
3,4
...,4
4,4
2,4
333333
33333
����
���
x
x
C/ G� M*� !2�82R;O�2 �� !*� � $' )2 )����� .
���
��� ����
���
��� ���
...,4
5,4
3,4
...,4
4,4
2,4
2
1
333333
33333
A
A
$: ,� G�$' )2 � qGO$( @�$� �� ��$7& � :
( )ZkkxxA
ZkkkxxA
+������
��� +�����
�3
33
33
/
,4
)12(,4
/
4�U�2:6/R�����xx cot3cot �2 � );* �k G��.
5-:Zkkxkxxkxxx +�������� ,2
23cot3cot 333
(���D6/ G�,� � !*� �b���� �� s* ! ��$7&;�*�7( G:�* �.
3tan)05cottan4)05cos3) ������ xcxxbxa
www.ael.af
��
�Y#��� �D�U�U� 7Z�# /�#[ � � ���� ,��� )������� )��O�Y� 6��/ � �����yCy�
#*�!� . )����\� � ���yCy� K�� )^ � ,� )����� ��/��#�*�7(. ������ ��$�7& 6F�OR �� � ��-& ����yCy�:dxxcxbxa ��� cossincossin 22 G����)�abc ,,�d ��;&� G2�m;(�.
4�U�1 :���� R�01sin5sin6 2 ��� xx#�8� �� 6/ � .5- :q$: R����� �xsin )2 � y#�8� �� �*$��:
31
124
1215
21,
126
1215,
1215
12425)1)(6(4)5(4
0156
2
112,1
22
2
���
�
���
�
�
��������������
���
y
yyy
acbyy
)� #�U*$82 #�(�$� �� P" :
'301931sin
621sin
2
1
�����
����
xyx
xyx 3
,�!2 ���!� M*;221sin �x )*��� M*!�F�$�
63G�� @�*�� .@k ��$7& 6/ G�:
Zkkx
kxA +
55�
55�
�
���
���
6)12(
62
33
33
GO$( @�$� �� �*� :...2,1,06
)1()1( �������� nnxnx nn 33�3
d
www.ael.af
�
,�!2 ���!� M�7 )231sin �x �� � �-& ��;^ ,� �� )*��� M*!�F�$�'3019�G��.
P" M*!�F�$�*���)�*@k M*�� )�31� � �-& ;O�2�� G�0319 � �*rad
120133
��;O�2.
Zkkx
kxA +
55�
55�
�
���
���
12013)12(
120132
33
33
U� 4�2:R����� RC/ G�0sin2cos �� xx;�8� G:�* � � .5- :#�(�� ��)�xx 2sin212cos ��G��)� #�U*$82 #�(�$� �� @k !2�82 e :
01sinsin20sinsin21
2
2
���
���
xxxx
b�2 R����� � N�Y!xy sin�*�7( ]H� #� #��$=GO�� .
1012112012
0)1)(12(012
2
1
2
����
��������
�������
yy
yyy
yyyy
,�!2 )� �%*$�� GO�� !L( � �2xy sin� #*�$2 )�:!Y !L( � b�2 �e ,�� G7�f ,�!22 )#* �� N;�k G�� .
1sin21sin
2
1
��
���
yx
yx
www.ael.af
�
,�!��2 �����!� M*;��221sin ��x*���*����)[$��f M*!�� $��= ( )��� #���8� ���� G��:�* � �
xsin @k )2 ,��U�21
��$O @k��� � �-&6
73�xG��.
���
��� ����
���
��� ���
55�
55�
�
55�
55�
�
����
����
...,6
76,6
74,6
72
...,2
4,2
2,2
67
21sin
21sin
2
1
33
33
33
33333
3
3
A
A
xx
xxA
6/ G� M*� !2�82R�����q$:�� G�� � �-&:
���
��� ������� ...3,2,1,0,
672,
2)1( nnxnxA n 3
33
3
U�� 43:0sin2sin2 2 �� xx
5- :
422sin
2sin2
02sin2
00sin0)2sin2(sin
2
1
3���
�
��
���
��
xx
xx
xxxx
�
C/ G�),��� G�� � �-& )�����:( )( )...,4,2
...,5,3,,0
2
1
33333
��
AA �
www.ael.af
�
�$��� K$7& � $' )2 �*GO$( @:
4)1(
)1(33
�3
n
n
nx
nx
���
���
(���D�b���� RC/ G� ���yCy�� G:�* � � !*�8�;.
1-2
sin212cos 2 xx ��
2-05cos2cos3 2 ��� xx
3-0cos3cossin)31(sin 22 ����� xxxx
www.ael.af
�
$�:3<� �# �Y#��� ,%�! �D�U�U� #*�$���7( 6���/ � ,!���-z�� �b������� #�U�����
� �*k �� N�!� 6/ # � ���yCy� �b���� #�U�-
�#�(�$�
$+z� �� �b���� #�U���R �� N�!� 6/ }$( oO � � �� �yCy�#�(�$�:4� a:� :G�� N;O 6�FE� !*� �b���� #�U�� GE �� }$( M*�:
���
��
���
��
00 yxayx
yxayx coscossinsin
$5 )F*a� �;&0f N�$2 K$C�� R*��� �* [$x�y;(� �$+z� ,�*��� �* � [$f.� � �F*e#�*�7( �� 6/ � � #�U�� M*��4y�:
���
����
II.............�yI...sinysi
xaxn
R����� G7�fI � �$� $: �U/ !2 �!H ,�#�U*$( �� M�8� S
5�
5��
��
���
IIyx
Iayxyx
....
...2
cos2
sin2
0
G7�f b�/yx � R����� �� � II R����� �I#�� �� �!f @k ,�^ )2.I...
2cos
2sin2 ayx
��0
R\2� ��!5�I #�U<� � 2
sin2 0#�*�7( ��:2
sin22cos
0ayx
��
`�6SD :� q$: R����� G�� �!5-y� � s* GF�$� s* �V8� ��� !� !�Y Q2;O�2.�8�* :1
2sin2
1 44� aa
www.ael.af
�
#*��� �� ]2!� � q$: ,��U� !�� ��!5�:1
2sin4 2
2
40
a
02
sin4
2sin4
2sin4/1
2sin42
sin4
22
22
2
2
22
4�
4
�4�
0
0
00
0
a
a
a
4�U�1:�� #�U��;�8� 6/ � !*� �b��.
5�
5��
��
��
2
1sinsin3yx
yx
5-: q$: #�U�� �1�a�230 � ;O�2 �� . �2 ��8 )� #� �*k N;O N��� |!O )�2 #�U��� 6�/
)(�* ;8� �� q;'�02
sin4 22 4�0a G7�fa�0#�� �� �!f q$: R\2� � � :
01021042410)
22(41
04
sin41022sin41
2
22
4��4��4��4�
4��4�3
3
G�� 6/ 62 �f #�U�� ��+� . 6�*$>� ,�� �$�� $: s7� )2 � �� �!5 ��� R����� �) �!�H (
�g��#�� �� 6FO ! .12
cos2
sin2 ��� yxyx
@$�23
�� yx P" eG��423
�� yx$O ��� .���:
2,
42
4cos
2cos
21
2cos
12
cos212
cos222
12
cos4
sin2
33
3
3
����
��
���
��
���
��
yxyx
yxyx
yxyx
yx
www.ael.af
�
2222
222
........2
.........2
3333
3
3
�������
55�
55�
�
��
��
xxx
IIyx
Iyx
G7�fx����� � � G7�f N��� �!f ��� Ry#* �k �� G�� )2 � :0
2222�
�����
y
yy 3333
/�# a:� : M*�O �� }$( #�U�� o �b���� !*�G�� N;O 6�FE�.
���
���
ayxyx
coscos0
���
���
ayxyx
sinsin0
���
���
ayxyx
cossin0
)F* $5a� �;&0 SK$C�� R*��� �* [$fx�y;8O�2 �� �$+z� ,�*��� �* [$f .
� 6/ |!O�� G�� � �-& #�U� :2
sin2
cos 22 0044� a
4�U�2:;�8� 6/ � !*� R����� #�U��.
���
���
1sinsin yxyx 3
5-: q$: #�U�� �1�aS30 �;O�2 �� .F�� |!O�� G�� � �-& �b���� M*� 6/ @ �:
2sin
2cos 22 00
44� a
#�(�;��:02
2cos2
cos2 ����30
12
sin2
sin 22 ��30
GO$( @�$� �� #�U�� 6/ |!O )2 !L( :2
sin2
cos 22 3344� a
10 44 a�U�� ���G�� 6/ 62�f # .����� �� �!5RII� �� � 6FO M*� 6*$>� ,� �$� $: )2 !L( :
)cos()cos(sinsin2 yxyxyx �����!�Y �� �$= )2 � 6FO M*� K�� R����� ���.
@$� :1sinsin �yxG��.
www.ael.af
�
M*�!2�82 :2)cos()cos( ���� yxyx
@$� :3�� yxG��S@k!2�82:2cos)cos( ��� 3yx
@$� :1cos ��3eG��P" :21)cos(2)1()cos( �������� yxyx
yxyxyx
yxyx
������
�������
00cos)cos(
1)cos(12)cos(�
G7�f ��� R����� ��x#�8� �� G:�* � � :333 ������� xxxyx 2
2)1(
2,
23333 nnyxyx �������
/: a:� : }$( M*� �� �+� #�U�� !*� �b���� 6�FE�G�� N;O:
5�
5��
�
�
5�
5��
�
�
ayxyx
ayx
yx
coscos
sinsin
00
0S K$C�� R*���aS K$C�� �;&x�y� �* [$f;(� �$+z� ,�*��. 4�U�3 :;�8� 6/ � !*� R�����.
55�
55�
�
�
��
3sinsin
2
yx
yx 3
5- : G�� |$2!� K$� }$( )2 #�U�� M*� )� �$O �� N;*�e #��8� ��� 6/ !*� �!5 )2 � @k P":!L( � Z!i�� � $' !Y� ���8� h�$= )2]7^ Z!i� � N�!� #�U*$82 � $�'�� � Z!�i� �
N�!� T*!V�;*k �� G�� )2 ���8� s* # ��2 #�� �!f � $' �.
1313
sinysinxsinysinx
��
���
,�� G7�f2
sin2
cos2sinsin yxyxyx ���� �
2cos
2sin2sinsin yxyxyx ��
��
@k ,�^ )2 � �#�� �� �!f.
1313
2cos
2sin2
2sin
2cos2
��
���
��
yxyx
yxyx
www.ael.af
�
@$�23
�� yx��Gek !2�82 @423
�� yx���$O:
1313
2tan
4cot
��
�� yx3
@$�14
cot �3G��e�!�Y �� �$= )2 � !*� 6FO )����� P".
1313
2tan
��
�� yx
#�U*$82 #�(�$��� T*!V� � ]7^ ,�+�$� $: )2 !L(:�152
�� yx
oo 152
15tan2
tan ��
��� yxyx
630 3
��� �yx
3124
64
622
6
2
33
333
3
3
��
���
55�
55�
�
��
��
x
x
yx
yx
G7�fx G7�f #�8� �� ]H� � )����� �� �F* � � y2 � )#* �k �� G��.
6
62
63
636
3
3333
333
�
��
���
�����
y
yy
yyx
6)1( 33 nny ��� �
3)1( 33 nnx ���
/��3; a:�: �� }$( M*� 6�FE� !*� �b���� #�U�� �+�G�� N;O:
���
��
���
��
ayxyx
ayxyx
cotcottantan00
)F* $50 � )*���aG�� K$C�� �;& .x�y;(� �$+z� ,�*��� �* � [$f.
www.ael.af
�
�b���� #�U�� 6/ |!O�� G�� � �-& q$::0cot442 6�� 0aa
4�U�4 :;�8� 6/ � !*� �b���� #�U�� .
5�
5�
�
���
��
32tantan3
yx
yx 3
5-:����� )2 !L(R#�U*$82 #�(�$� �� ���:3
tan)tan( 3�� yx
N��V��� �2 �$� $: �� �!5 G7�f ~!5 ,� ��#�U*$( �� � )�����:
3tantan1
tantantantan1
tantan)tan(
���
����
��
yxyxyx
yxyx
@$8�� ,�^ )2yx tantan � G7�f @k)32(�#�8� �� ]H� b�2 R����� � � :
3tantan132
���
�yx
#�U<� � q$: R\2 � ��!5�3*�7( ���#.
5�
5��
���
���
���������
���
�
.......II32tantan
.....I3.........tanytan3tantan2tantan1
1tantan1
2
yxx
yxyxyx
G7�fxtan )����� �� � II2 #�U�� M*� ) R����� � N� �k G��I#�� �� �!f.
33
tan
33tan03tan0)3(tan
03tan32tan
3tan)tan32(
tan32tan
2
2
�
���������
���
����
���
3
3yyyy
yyyyyx
�� G�� � �-& � �� G<:�$� )����� M*� )2 )� ��-y� [$f M*!�F�$�33
�y
www.ael.af
�
�f GO�� !L( � �2 G7y G7�fx R����� �� � I2 )#* �k �� G��.
32
33
3333tan33tan
3tantan
3�
�����
�����
���
x
xx
yx
,<�0 a:� : M*� }$( �� �� 6�FE� !*� �b���� #�U��G�� N;O:
���
���
ayxyx
tantan0
)F* $50R*���$C��KSa K$C�� �;&x�y;(� �$+z� ,� [$f �* �*��� . �� � �-& q$: #�U�� 6/ @�F�� |!O1cos
111 4��
4� 0aa
4�U�5:;�*�7( 6/ � !*� �b���� #�U��.
5�
5��
��
��
0tantan6
7
yx
yx 3
� M*� )� �$O �� N;*� $5 � @k � G�� #z8" }$( |$2!� #�U�!*�#�*�7( �� 6/.#�(�;��:( Iyxyxyx ........)cos()cos(
21sinsin ����
( ) IIyxyxyx ........)cos()cos(21coscos ����
@$8�� G7�fyx � )����� �� � I#�� �� �!f o*�^ )2 #�U��.
67cos)cos(
67cos)cos(
tantan 3
3
��
����
yx
yxyx
!5 G7�f� )����� �� � ��II$( �� #�U��#�U*:
0
67cos)cos(
67cos)cos(
���
��
3
3
yx
yx
www.ael.af
�8�* S;O�2 !V' o� $' ;*�2 �$O !V' !U� M*� )F8*� ,�!2:06
7cos)cos( ���3yx
)� #�(�;��23
67cos ��3P" eG�� :
23)cos(
023)cos(
���
���
yx
yx
��-y� [$f M*!�F�$� )�;' � )����� M*�q � �-& ;8� ��G����:
67
65
3
3
��
��
yx
yx
2 #�U�� s* M�8� ��� );*k �� G��:
333
33
3
3
����
��
55�
55�
�
��
��
xxx
x
IIyx
Iyx
,12
126
122
6752
...6
7
...6
5
G7�fx R����� � � I G7�f N��� �!fy � )2#* �k �� G�:
66566
56
56
56
5
333
33
33
333
��
�
��
���
�����
y
y
y
yyx
www.ael.af
,=2 a:�: }$( M*����� ��G�� N;O 6�FE� !*� �b���� #�U:
5�
5��
�
�
ayxyx
tantan
0
@�F�� |!O6/ �� G�� � �-& :1sin111 4
��
4� 0aa
4�U�6:
55�
55�
�
��
��
3tantan
2
yx
yx 3
Z!�i� � N�!�� ]7^ � Z!i�� � $' !Y� ���8� h�$= )2 !L( #�U�*$82 � $�' �� � � Z!i� T*!V�s* #��2 #�� �!f � $' � N�!� ���8�� )2;*k �� G�.
21313
tantantantan
�����
���
yxyx
,� G7�f � $'@k ,�^ )2 � Z!i� ��#�� �� �!f.
)sin()sin(2
2)sin()sin(2
coscos)sin(
coscos)sin(
yxyx
yxyx
yxyxyx
yx
����
���
���
�
@$�23
�� yxG��S���:
21)sin(
12
sin)sin(2
��
���
yx
yx 3
)����� M*� )� ��-y� [$f M*!�F�$� ;8F�� q;' � �� � �-&63��� SG��:
2
63
3
��
��
yx
yx
www.ael.af
�
#��:�* � � �b���� #�U�� M�8� M*� !2�82:
3124
64�
63��2
2�
6�2
.....II2�
.....I6�
33��
��
�
��
55�
55�
�
��
��
x
x
x
yx
yx
G7�fx � � �b���� �� �F*I �II N��� �!f G7�fy � � )2#* �k �� G�.
6
662
36636
3
333
33333
��
���
�
��������
y
y
yyyx
(���D!*� ���yCy� �b���� ,� #�U��� ;�*�7( 6/ .
55�
55�
�
�
��
5�
5��
��
��
2cossin
3)1tantan
4)
xx
yxb
yx
yxa
33
www.ael.af
�
56� ,3� ���� (�� �:��K: �! �V�� �Cy�CBA
�
M�2 }4H� � ,��*��� $�� ��� ��Cy� 2 � �\R !�*� �$�^�� ��:
cC
bB
aA sinsinsin
��
�$O �� ��* M*�� @$(�f K�( )2 q$: R\2� . (�� :& �:��K: , ���=� �Cy� �CBA
�
)2 � @k }4H� �$5 )�aSb �c N��� @�E�( e;�(�v2�� �Cy� ,�*��� � }4H� M�2;( �� �$^� !*� .
�
�
�
���
���
���
Cabbac
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
�$O �� ��* M*��$� @$(�f K�( )2 q$: v2�� . �:��K��<��D : , ���=� �Cy� �CBA
�
)�2 @k }4H� �$5 )�aSb �c �$�O N��� o*��7(� ,�*��� � }4H� M�2;( �� �$^� !*� v2�� �Cy .
2tan
2tan
,
2tan
2tan
,
2tan
2tan
CB
CB
cbcb
AC
AC
acac
BA
BA
baba
�
�
���
�
�
���
�
�
���
�B��J� N�� �D�U�U� :����U� ,� )�*��� ,�� G�7�f K��7� ,�!�2 )�� ���yCy�S �!�5 �� !�G<2�\� K�( )2 S;($O ,��U� #�2 ����U�,��$O �� ��* ���yCy�.
$�#��� �D�U�U� : )�*��� ,�� G�7�f �� �%��2 ,�!�2 )� ���yCy� ����U�S �!�5 �� !� ����U���2 ,��U�;8O����� K�( )2R���yCy��$O �� ��* .
� �Y#��� ,%�! U�D�U�;O�2 �� }$( oO ���yCy� �b����.
www.ael.af
�
4� a:�:
���
��
���
��
00 yxayx
yxayx coscossinsin
# a:��/:
���
���
ayxyx
coscos0
���
���
ayxyx
sinsin0
���
���
ayxyx
cossin0
/: a:�:
5�
5��
�
�
5�
5��
�
�
ayxyx
ayx
yx
coscos
sinsin
00
/��3; a:�:
���
��
���
��
ayxyx
axxyx
cotcottantan00
,<�0 a:�:
���
���
ayxyx
tantan0
,=2 a:�:
5�
5��
�
�
ayxyx
tantan
0
www.ael.af
�
56� (���D/�#?��b� ?�� !� ,�!�2 N;(�$= Gf� )2 � !*� N;�O N��� ��$�^ ��+� �� G��� � G�� � ��$�^
;�*�7( )<C/ @k �� � G:�* �.1-�20�A ]CH M�2 )*���cmb 10� �cmc 7���;O�2 .]CH ���;(�a �� G�� � �-&:
cmdcmccmbcma 176.4)9.15)16)4.16)2– !Y�fta 8� ,ftb 5� �ftc 10�O�28;eR*��� ���;(�B�� G�� � �-&:
���� 28)29)4.29)5.28) dcba3– !Y��� 48,22 �� AB �fta 5�2;O� . ]CH ���;(�b�� G�� � �-&:
ftdftcftbfta 5.9)9)52.2)8) �4–(R�/� ]2�� ,� G7�fyarcx sec��� G�� � �-&:
( ) �� � IRdIRcIRbIRa )0)))5– ���yCy� G<2�\�)cos(secsec xxx �)2 G�� ,��U�:
xdxcx
bxa 2tan)cot)tan
1)tan)
� � �� �Y�!���� 5-:1- ���;(� N�Y!�30�A ]CH M�2ftc 8� �ftb 5� ]CH ���;(� ;8O�2a �Csin;�8� G:�* � � .2- @k ]C�H )� ���;(� �Cy� s* � !Y�cmacmb 8,5 �� �cmc 10�� ���;�(� ;�O�2 N;�O N��
R*���AR*��� ���;(� �B ]CH 62�<� )�b� G�� ;8� � �� �!f
3- �Cy� �ABC !Y�23
bc
� )*��� ���;(� ��30�A ;�O�2 N;�O N��� R�*��� ���;�(� SB �C � �;�8� G:�* .4- \<( s* �� ��E� ��RA G��!/ )�2 , $5 �C�i� G+^ �� )2
@�O G�!/ !�U� M�2 )*��� )� ;(� N���:��30 G�� . s* �� ;�2 !Y� ��� ��E� G&��km40 K�� ��E� �km60 N�!�� �5 � ):�U�
�E� �� M�2 )C'�: ;O�2�G�� ;8� �
5-22cot P8^ �� � 2sin �2cos;�8� N��:�.
www.ael.af
�
6- ���yCy� ,� G<2�\�;�8� �$-m � !*�:
0000 3cos41)06cos()06cos(cos))
245tan(
sin1cos)
2cot
2tan
)cos(coscos1)cos(coscos1)2csc2cottan)
tan2cos12cos1)tan
2cos12sin) 2
������
����������
��
���
��
��
fAA
Ae
BABABABABAdAAAc
AAAbA
AAa
7-� !*� ���yCy� ,� N��:� N���;�*�7(:
2222
22
)sincossin2(cos)2sin24cos)
2cossin21)15tan1
15tan2)
xxxxdxxc
ba
���
���
00�
�
8- ����U� �*kxxxx sin2cos2cossin2 2 ��� \� s*G<2� ��yCy��� ���� s�* ��* G��� R�����yCy��;*��� _H�� 6��� �2.
9-b���� �;�8� 6/ � !*� ���yCy�:
1cossin3cos)1sin3cos)02cos4)
03tan4tan)0coscos)
2
242
����
����
�����
xxxexxdcxxbxxa
2
10 -;�8� 6/ � !*� ���yCy� �b���� #�U��.
���
�����
5�
5�
�
�
��
1tantan)cos()sin(
)
22coscos
1tantan)
yxyxyx
byx
yxa
www.ael.af
�
6� 5/: �b�]� $ ���
www.ael.af
�
���j(��82 [;��Cf� �� ,!*$D� �� R��;8n2n2 )� � ,;�,;�.
www.ael.af
�
�� /:!�& � � � ,!�� � n2 �� � � [;���Cf� )���;8 #����V� ���� !2;���
n2 )� � � _\U� )�;8 ��� �*�%�: )��;8 ;�-
;8��(.
�!����� �2 ;�8� !F: )�%f� @�!2S 6���S )���� ��/4\'� ;8(�� #��V� � $� � @k ;��2 ;��*�7( �>2� !^ #
�;�8� @��2 � .�*!�� q$: G����: K�z(� �� ;�2,�!*��!� @��2 @�$� �� � :
7!�� � �- cJ9Postulates: 7��V�� �'� K�( )2 ;($O �� �$-f �*!�� @�;2 )�\ )����� ���/ 4;($E�� ��* .�%:� ,$�U� Sv= SR\<( ;8(��.
����� � 5!�#Logical Reason:@�!2 � �8� 67&�� ,�� �Q�Y )CU�C� s�* �� )�� ;�8��( ��� � )� ;� �� ,;�2 �QY )2 G� � �C-f �4-f )� )�(k [���!2 � @k @�$�� �� G�� N;O )�:!*�"
�!� �$-f . 7!]KTheorem:�$E�� N;���( )�%f ;O�2 @�!2 )2 ;8� ���( @k ��� � )� ,�&�� .
7JB�:\<()� � $' )2 � )���� ~4\'� s* #Uf )2� #���8O �� �8� K$+V)N;O�( �*!�� (#��8� �� �$-f. ,!B%�� \X: ;*�7( �� )X� � � v= K$+V� o� v= )g��S Q�� �8�SN;O o� �� . 4& GO�� !L( � @�;2
N��� R\<( ���� )� �� #�<�U� v= s* �+8�� �+8� N;O� �Y )���� ~4\'� s* � $' )2 � #�<�U� v=�)�N;O�( �*!� (#*�7( �� �$-f.
\X N�� /:!�&4� 59 :;*�7( �� �iE� � #�<�U� v= s* �+8�� �+8� �iE� R\<( ��.
/�# 59: 6f� ;/ #�<�U� v= ! !�2 )�� � �� �$�^� v�<( )� 6f� ;/� G�� �iE� R\<( �� ,� ��;8�U�( ]f�� #�<�U� v= s*.
/: 59 :� S#�<�U� v= s* R\<( �� ! M�2�iE� R\<( @�$��D� �k G�� )2 � .N:%��: ;�*�7( �� )X � � � ,$�U� K$+V� S�8' R�i� _\�S M��� �k _\�. � $�' )�2 � ,$�U�� �
#�8� �� �$-f N;O �( �*!�� R���� ~4\'� s*.4� 59:;O�-( ]f�� #�<�U� v= s* ��;��� )2 )�� �� �$^� v<( )� #� �� #� ,$�U� ! �.
/�# 59:�<��� )2 )� v<( )� ��� ,$�U� s* ;O�-( #�<�U� s* G��� �Y.
www.ael.af
/: 59: !Y�;O�2 ,$�U� s* � #�<�U� v= s* R\<( ��.G�� ,$�U� 6��O v= M*�. ��*� ����� ,� )�2 ��FO� K�7� �!*� eGU�( ,$�U� #� )2 � �!H _\U� )�;8 � R��i� @�E�( �2$��
� �!H �*�%: R�;8 � ��� S �$O �� N��� )�FC2 )�( ��F* �� ,$�U� ��;�� �!*� eG�� ,$�U� #� )2 ;8O�2 �� ��*� . �$7 _\� s* �*� 6�\�U�S }4Hb� ,��$�� v�$� � ,$�U� �b $7�� �*�%: )�;8 �
�!/ s* @k l8� s* � )� ;8� �� @�E( � ;8U*$( ��
GU�( ,$�U���;>� ,$�U���;>� �( ,$�U�$�U� )�F8*� � ;�( �� ��;��� ��8�* b �� )FC2 SN�$-( G�� � M�7 )2 ;(� N;O N��� @�E( 6FO � )� ,� ,
}4�Hb� ,��$��� ,$�U�� @k S�$O �� N��� @�E( N!�� � }4Hb� ,��$�� �* 6�\�U� v�$� 6FO s* �G�� �$7 _\� �� o*�7( )FC2 N�$-( .
D2 � )>\U� )�;8 � )� ,� )�4& K�7� �*�%�: )��;8 � ��!�j�� ��7����� �H�* � ��$7& � $ �$E�� ��7���� Q�(.
;(� �$^$� _\U� )�;8 � )� ,� K$�U�� .�*�%: R�;8 ��$E�� N��V��� �+(k �� Q�(.;($O �� @��2 !*� � )� S� �� �$^� Q�( �%: h$Di� ,� K$�U�� �*�%: R�;8 �:
N:%�� 4� /:!�& : �7�<�U� v= �C�i� R\<( �� )� 6��O v�= S;�8� ��� 6�'� � ,$�U�� s�*G�� ,$�U� @�7 6��O.N:%�� /�# /:!�&:� �Y �� ,$�U� s* �+8� S;8O�-( ]f�� #�<�U� s* ,b�2 )� R\<( )� ��.
A+�B%� N�� N:%�� /:!�& : ��+(k � $�' M�*� � ;8�O�2 )��O�� �!�E� R\<( s* ,$�U� �� !Y�s*v=� �!�E� #�<�U�;( � .M*�v=;8��( �� ,$�U� �� �!�E� 6D: � #�<�U�.�]� :)���� ~4\'� s* Q�( � �%:)N;O�( �*!�� (�� �$-f*�7(�#.
4� 59:G�� |�<( �� ��8�*b R&$7z� �%:./�# 59 :GU�( ]f�� ,$�U� s* � �%: �� R\<( �+� #� �� #�.
(���D1– Q�� �!� )� ;*��� _H��G�� !� �$��� )*�" �� Q�� )2 G-U( )*�" )�.2–)���� ~4\'� �!� � ,$�U� v= SR\<(���;8��(3–\<( )� ��);O�2 @k 6��O R\<( )� ! )� �$7( ;�$= $-& ,$�U� ;8�.
www.ael.af
N��d� 7 N�]� �# N:%�� � \X#Cf ��#Cf s*� ���� s*� ���� �� S �%: �
8O�2 �� �b�/ K�;� ,� ��;.
���]�d� 7 N�� :#�8� �� �Y N;(� @k � )� �*�%:n2 )� ,�%:G�� ,;�.%:,�n2 )�;O�2 �� N;O�( �*!�� )���� #��V� �� �F* ,;�.
�%:&$7z� Q�( ,$�U� � v= G�� |�<( �� R;�n2 s* ,� �� ���!����2 �� �;�n2� ;8O�2 �� s*!O�2 �� �%: G� �� dQ^8;.
V� �S�� a�e�\X N:%�� V� � ,!B%��s*v=;8O�-�� !*� G��/ )� ,� �� ,$�U� s* �2 #�<�U� .
1– #�<�U� v= s* N�Y !�2 M�*� S;8�O�2 )��O�� �!�E� R\<( s* ,$�U� s* v�= � #�<�U��;8O�-�� ]5�<�� ,$�U�.
�4y�v=#�<�U�� ,$�U�p R\<( � � OG�� N�!� ]\f.
2–s* N�Y!v=M*� S ;8O�2 )�O�� �!�E� R\<( �� �� N��*� �*� �� ,$�U� s* �2 #�<�U�v=T-\8� #�<�U��2;O�-�� ,$�U�.M*� $��� ,$�U� !j*� N �-& )2v= �� �* � � �� !2 � � #�<�U�M*� )� ;8*$Yv=G�� 6��O ,$�U� � #�<�U� .�4y�v=#�<�U�d� ,$�U� pG�� 6��O .
�
www.ael.af
���
3– s* !Y� v= � ,$�U�� M�*� ;�O�2 )��O�;( �!�E�� R�\<( K�;�� ,$�U� s* �2 #�<�U� v�=;8O�-�� !j*� s* ,��$� #�<�U�� e�4y : ,$�U�p �2#�<�U� v=dG�� ,��$�.
e�S�� a������� �� ,!B%�� \X �# � N�Y! ;(!�Y �!f ,$�U� s* � #�<�U� v= ��$\= S �� ��F*� N;O N;���( ,$�U� # $��� |
;8O�2 �� � �� � !*� ,� G��H�:
1-v= ��#�<�U�,$�U� s* � R\<( �� )� ;($E�� N;���( ,��$��!�E� )�O�;(;8O�2.
2- v= �� #�<�U� ;8O�2 �!�E� R\<( s* ,� �� )� ,$�U� s* � #�<�U� ]5�<�� ��� )��VY;($O.
3-�� v= )� #�<�U� �*� , �U* |$\= ;8O�-( �!�E� R\<( K�;� ,� �� # � N�$-( ,$�U� #;($E�� N;���( !:�8��.
N:%�� �# �S�� a�e�,$�U� �� ��$7& � $' )2�%: � !j*� # �2O�-�� !*� G��H� )� ,� ��8;:
www.ael.af
���
1–fSJ��: ,$�U� �� N�Y!) R�\<( )� 6f� ;/ ( �!�E�� ;8O�2 )�O�� �* ��;���� )2 )�s v�= #�<�U�� ]�f�� )�( ;8�O�2
,$�U� # �2 � �4y�� e;($E��� )��VY T-\8� ,$�U�� ��P�'P.2–A+�B%�: M�*� ;($E��� )��VY ]5�<�� ;8O�2 )�O�� �!�E� #�<�U� v= s* ,$�U� �� N�Y!
v= �!�E� #�<�U�ABE� 6D: � ,$�U� �� �!�P �'P;8*$Y ��.
3- ,$�U� �� N�Y ! �%: �;(� ,��$� # �2 ;8O�2 )�O�;( �!�E� R\<( �� ,$�U�� �� �4y� eP
�'P.
�!����� �%: � s* ��)\<(= ;8�� �Y �� #�<�U� v�� s* �� )\<(�� �Y �� ,$�U� ;8�� �� �� )\<(�� �Y �� #�<�U� v= ;8�� �� �� )\<(� �Y �� ,$�U� ;8��� )� �� )\<( )� ! )� � �Y �� ,$�U� ;8�R\<(;8O�2 @k 6��O.
A
B
A
BBB
www.ael.af
���
(���D1– |�<(T �R ,$�U� ,b�2p6��� K�;� )2 !L( ;(� ]f�� v=RT � ,$�U�p�G�� ]f��2– #�<�U� v= !Y�� � ,$�U�p #�<�U� v= ;O�-( ]f��� ,$�U��p ;�8� � � R�\<( ]�\f
� �$7( ;�$=3– #�<�U� v= !Y�AB ,$�U� �pR\<( �� �!�E�M �K8O�2 )�O���*k ;v= #�<�U��AB
� ,$�U�p�G�� ]f��4- |�<(AB , �C ,$�U� ,� )2P |��<( #� � ;( �� �!fAB , �C ,$�U�� ,� )�2'P
,$�U� ;( �� �!fP �'P # �2�;( �� |�-� � )�
www.ael.af
���
g:JX�]� �# N:� ,!B%��;(� ,��$� �%: � � #�<�U� �*k�
C���D: �� v= � N�$2 ]f�� ,$�U� s* � )� #�<�U� ��� �!�E�� R�\<( S ;8O�2 )�O�;(;($O �� N;���( ,��$� .
�:� /:!�&: <( s* ��R\s* Z �=v=s* �+8� � �+8� #�<�U�v= M*� )2 ,��$� #�<�U� v=P2 � #�(�$� �� N�!� #� #�<�U�.
�!�����R\<(A ,$�U� �p #�<�U� v=�1dR\<( )�Ab�2@k ,;*!�j2 !L( � ;O�-(.� ��R\<(A #�<�U� v=�1d#�(�$� �� N��� $-& � ,$�U� ;8���!��
k �$-m � )�%f M�� q$: G����: �� @��2 � @#�*�7( ��.7!]K : s* Z �= R\<( s* �� v= s* �+8� #�<�U� v= ��� N�$�7( #�� @k )�2 ,��$� #�<�U�
P2 � #�(�$�.�:ST: R\<( ��A #�<�U� v= �1d ,$�U� s* �+8�p $-&
;*�7( �� .!��� �� b�/R\<(A�+8�v= #�<�U�2d )2 ,��$� � v= #�<�U�
1d ,$�U� �p#�(�$� �� N�$7( #� .
�!����� �*k |$\= #�<�U�1d �2d�� � !j*� ,$�U� s*� �� N�!� M��(�$�;�!� �� ,$�U� !Y�p v= #�<�U�1d R\<( � � A ,$�U�� ��*k ;�8� ]\fP v�= #�<�U��2d ]�\f Q��( �
�!� ;�$=�
www.ael.af
���
� �!� ;8� �� ]\f #�<�U� v= s* ��;��� )2 � �$= !j*;F* ,$�U� �� �*k�G����: K�z(� �� ;�2,��� q$:*�7( �� @��2 � @k �$-m � )�%f M#�.
7!]K : � ;8O�2 ,��$� #�<�U� v= �� N�Y! s*� ;�8� ]\f � � �+(k �� �F* ,$�U � !�j*�;*�7( �� ]\f Q�(.
�:ST: ,��� #�<�U���1d �2d ,$�U��� � )���Q �!��f
;( �� ;(� ,��$� #�2,$�U� !Y�P v= #�<�U��1d R\<( � � A $��� ,$�U� ;*�7( ]\f v�=
#�<����2d � Q���( � s��*R��\<( ;��8(��B ]��\f ,��$�� ,�� #�<�U�� �*!�� )2 !L( �$7( ;�$=
1d �2d ,$�U��� s��*Q����� � � ;��*�7( ���� M ,� ,$�U�p �Q �!�E� R\<( s*A ;( �� .
s* � � �$= !j*;F* ,$�U� �� !Y�R\<( ]\f;�*�7( � �$= !j*;F*� @k �� ]\f #�<�U� v= s* ��;��� )2 v�= cd��82 ;8*�7( #�<�U��2d � �
;8(�� R\<(B ;*�7( �� ]\f . s* �!*� v�= �� �� ��F* )� ,$�U� s* � #�<�U� v= � ,��$��;*�7( �� ]\f Q�( � !j*� ;*�7( ]\f.
(���D1– �� N�Y! v= s* )2 #�<�U� v= #�<�U�� ��$�� ;8�O�2 ,��$�� )�� ;��8� �$�-m S |$�\=
�$= M�2 $��� #�<�U� Q�( ,��$���;8O�2.2– ,� ,$�U� !Y�E �F=� ,��$� #�2v1L,$�U� �E #�<�U�� v�=�2L ,$�U�� �F
�*k ;8O�2 ]f��12 // LLG��.3– ,$�U� !Y�E �F ,$�U� � ]5�<��p �!�E� 6D: �*k ;*�7( ]\f � �+(k ,�� !E �F �2
�!�E� 6D:E�p �!�E� 6D:�F �pG�� ,��$��
www.ael.af
���
�# (!� 7�� \X�]� �# ,!B%�� G+^ N�Y! @� �� G&��� R�2!<& �4�= )*���
G&��� R�2!<& G�+z7 !�Y� � G-y� )*��� ;O�2*��� ;O�2 �$E�� 6�FE� )� RG�� �V8�.
�!����� ,�*����
XOY ��
''' YOX #�2 @�O }4H� )� ;*!�j2 !L( � �7Uf � ;8O�2 G+^ #� ,��$�.� ]CH ,b�2OX �''XO ,��U� v= )�\f ��OA �''AO ,b�2 �OY �''YO )��\f ��
v=,��U�OB �''BO�*�7( �;^ � ;.�''OAOA� �� � ��;8 6FO K�;� .;�8� �b;���.� N;O 6�FE� ,� �Cy�OAB �''' BAO�;( �� )\2� )� #�2
�%f M�� q$: G����: ��) �$-m �k�!� @��2 @�$� �� � @.7!]K :: � )*��� ��;(� ,��U� #�2 ;8O�2 G+^ #� ,��$� }4H� ,� �� )� d�% .
�:FFST : ,���*����
XOY �''' YOX � ���� !��L( � )���F* $5 #*!����Y''// XOOX �''// YOOY N�$���2
M�& ,� �� ;8O�2 �� Q�( G+^ . ,b��2 6FO �OX �''XO ,��U��� v��= )���\f ��OA �''AO ,��$���
;(� G+^ #� ,��U�. @k !2�82 6FO''OAOA eG��� }4�Hb� ,��$��� s* P�"k ,�� v�= )��\f @'BB �'OO
�;(� G+^ #� ,��U� ,��$ .''ABAB � N�$2 }4Hb� ,��$�� s*''BAAB �;O�2 ��. ,� �Cy� ���''' BAO �OAB �!*� ;(� !*�" q�-\(�''BAAB � S''OAOA � �''BOOB�
@k !2�82 G����
7 ''' BOAAOB
www.ael.af
���
7!]K h��%�:�- � ,��$� ���!���2 )*��� �� }4H� !Y�# G+^;8O�2 �� ,��U� #�2 $��� ,�*��� ;8O�2.
��- � ,��$� R*��� �� ]CH s* s* !Y� �� ��+(k !j*� ]CH s* s* � G+^ # ,� �� � ,��$;8O�2 ���i� ��+^ .�� }$7z� )*��� �� M*� G��180G��S;88� �$-m � l*��( @��!Y�O.
7�� �# (!� \X����%� ,!B%��C���D: � �� M�2 )*�� v= �%: � !:�8�� #�<�U� �� #���!� v��$� )�� G�� )*��� �� � �-& v�=
R\<( s* �� �+(k )2 ,��$� #�<�U�, ���=���!Y �� 6'�/ ,$�U� s* �.
(���D1– !j*� )*��� ]CH s* )2 ,��$� )*��� s* ]CH s* � ;8O�2 ,��U� #�2 )*��� �� G��� !Y�
4H� �*k ;O�2�!� G�� ,��$� #�2 �+(k !j*� }�2– �� }4H� !Y� O�2 ,��$� #�2 )*���8 *�7( G2�m ; �'�( )� ;��Q���*,� � @k #�2 �* � ,��$�
;(� �$7& #.3- )*��� !:�8�� #�<�U� �� M�21d �2d;�8� G:�* � � .
www.ael.af
���
�]��# N:� N�� N:%�� � N:� N�� ,!B%��s* v= ,$�U�� s�* )2 ,��$� ��f� � #�<�U�
�!�E�� R�\<( ��� )�� ;8��8�� � ;8�O�2 )��O�;(,$�U� ��f� �%: � � #�2 ;(� ,��$� ��� )��
;8O�2 )�O�;( �!�E� R\<(.
�!����� N�Y! v= #�<�U�d ,$�U� 6��Op � v�= #�<�U��� ,$�U�� Z ��= )��p N�$�2 ]�f�� �
)2 ,��$� v= #�<�U�d;O�2 . �*k v= #�<�U�� ,$�U� )2 ,��$�p�;(�$� �� N;O� ]5�<�� ,$�U� ��p �Q s* � v= ,$�U� )2 ,��$� � ,$�U� M*� Z �= � #�<�U�p�Q
;*!�j2 !L( � . #�<�U� v= �*k� ) �!�E� 6D: ( #�<�U� )2 ,��$�d � ;(�$� �� N;O� �;2 ,$�U� ;8� M��� R\<( s* �� v= #�<�U�1d �2d �� #� N�! ��� ,��$�� )�� #�(�$��
;8O�-( #�2.#�8� �� @��2 ���!� )2 � �+(k �$-m � �*�%f M�� G����: ;82! K�z(� �� ;�2.
7!]K : ,$�U� s* #�<�U� v= s* )2 #�<�U� v= s* !Y�S;O�2 ,��$� . v= )2 $��� #�<�U�;O�2 �� ,��$� ,$�U� M�7.
�:ST:v= #�<�U�d ,$�U� 6��Op � v= U�� #�<�� )�� ,$�U� Z �=p )2 ,��$� � v�= #�<�U��1d N;�O N��� G���
�;( .G2�m )�� #�8� �� #�<�U�� v�=� ,$�U�� )�2 ,��$��p
G��. U� !Y�� ,$p v= #�<�U��;8� ]\f� v= #�<�U�d$� )� � )2 ,�� v= #�<�U�� Q��( G��
;8� �� ]\f. G�� )�H!: �4= M*� . ,$�U� �!*�p v= #�<�U�d � ,$�U� P" � �� !2 �p v= #�<�U��
;(�$� �7( N�!� ]\f � . ��� v= #�<�U�� ,$�U� )2 ,��$�pG��.
�
www.ael.af
��
7!]K :Y! s* N� v= F*! )2 #�<�U�� ;O�2 ,��$� ]5�<�� ,$�U� �� �� v= )2 $��� #�<�U� ,� ,$�U� �!�E� 6D:N;O!��;O�2 �� ,��$�.
�:ST : ]5�<�� ,$�U� ��p �Q !� )�� #*!�Y �� !L( � � #�<�U� v= �2 s*d 6�2�<� 6F�O � ;�(� ,��$�� ,� !�Y�
�!�E� 6D:� �U� ,� ,$p �Q R\<( s*O ���i�(� � R\<( �� � N�$7( s* $��� v�= )�2 ,��$�� v�= #�<�U��d
*�7( #� M*� #� v= �2 ,��$� v=� ;�O�2 ��� T�-\8� . �!�*�v=� �\= )�(�j*� ,$�U�� ��!� 6���O )�� G���p �Q
N�$2 v= )2 ,��$� �d��;O�2 .
K7!] : s* ��R\<( M���)(O �;2 ,��$� ,$�U� s* �+8� v= #�<�U�1d �2d ,��$� #�2 )�o�2 )( #�(�$��� N�$7( #� ;8O�-(.
�:ST: R�\<( ��)(O ,�� ,��$��'1d�2'd ��2 ����!���2 �
,� #��<U�1d �2d ,$�U� S#�*�7( �� #� P R�\<( �� )�)(O #�<�U� � )�O�Y'
1d �2'd2 )�O�� !2 � � #�<�U� �2 ;O� ,�1d �2d;O�2 �� ,��$� .��!� !Y�1d �2d ;8O�2 ,��$� #�21'd �2'd;8O�2 �� T-\8� #�2.
(���D1– \= !Y� |$#�<�U�1d �2d ,$�U� ;8� ;8O�2 ,��$� #�2 #�� ��+(k ��2 ;��(�$� ��� ,��$�
*�7( � ;�2– ,��$� |$\= N�Y!12 , �� �3� ,$�U�� v�$�p v=�� ,$�U�� ��2 )�p ,��$�� ;�(�!Y ]�\f G��� .
;(� ,��U� #�2 62�<�� N;O ]\f ���\f )� ;�8� �$-m.
�
1�2�3�
�
www.ael.af
��
g:JXi]� �# ����%� N�� N:%�� � ,!B%�� N�Y! v= #�<�U�� ,$�U� ,b�2P R�\<( �
)(O #�<�U� K�7� �*k ;O�2 �$7&*��R\<( �� )�)(O #�<�U� ,b�2 � �j2�;(� �$7&.
�!����� �� )�:!Y !L( � � 62�<� 6FO v�= #�<�U��OYOX ,
� ,b�2v= #�<�U�� �R\<()(O*�7( #� �$7&�;.�U� � ,$�p s*v= �V�� #�<�U�OZ;*!�j2 !L( � � .� ,b�2v= #�<�U�� )C'�V�� ,��U�� #�<�U� v= )�\f ��OA �'OA;�8� �;^ � .�v= �7( #� �7Uf � �V�� ]5�f* )� ;�v= #�<�U�OX R\<( � � B �v= #�<�U��OY
R\<( � � C �v= #�<�U�OZ<( � � R\M;*�7( ]\f.7!]K : s* N�Y!v= #�<�U�� �2 �� ,b v=(k )� #�<�U��+R\<( s* � � (O) ;�8� ]�\f �
S;O�2 �$7& � ,b�27 �� M*� ,$�U� � )� ,� #�<�U� K� v= ]�f�� ]5�<�� #�<�U� ;�(� �\<( �� �R(O);O�2 �� �$7& � �j2.
�:ST: ��v= #�<�U�OX �OY M�*� #*!��Y �� !L( � � ��v= ,b�2 #�<�U�v=� \<( �� )�R(O) ( �� $-& ;�*�7
,$�U� � N�$2 �$7&P ;8� �� 6�FE� � . ,$�U� �P s*v= �V�� #�<�U�OZ#*!�Y �� !L( � � . ,b�2v= #�<�U�� )C�'�V�� ,��U�� #�<�U� v= )�\f��OA �'OA �;�^ �
#�*�7(,$�U� � P s*v= #� ]5�f )� #�8� ��OX � R\<( �B �OY R\<( � � C � v= #�<�U�OZ � � R\<(
M;*�7( ]\f .
�
�
www.ael.af
���
OX �OY�\�� ,� �$7& �� !'AAe;8O�2 �� !2�82@k:
'
'
CACA
BABA
�
�
,� �Cy�ABC �BCA';(� !*�" q�-\(� |�<( ,!*�" q�-\(� ,�8m� � B�C �M �f�2 !<�U�;8(�7�� .R\<(A �2'A �MA �2'MA;($O �� T-\8�@k !2�82 e :
'MAMA � �Cy� ���AMA N�$2 M�f�U�� ,��U�� . )(���MO �\��� �$�7& @��� M�& �'AA G���. P�"
v=#�<�U��,b�2v= #�<�U�OZG�� �$7& .
�!����� |�<( !Y�B �C |�<( �� )C'�V�� ,��U��P �Q ;8O�2 �\<( !R v�= #�<�U��BC ,��U���
|�<( �� )C'�V��P �Q O�2 ��8; . b��/ �\<( s�*R ��V��x � ,� )�2 v�= U�� #�<�BC
��i�(� G2�m � N�$7(*�7()� ;�R\<(x�� )C'�V�� ,��U��|�<(P �QG��.
(���D1– |$\= !Y�1d �2d ,$�U� ;8� ;8O�2 ,��$� #�2 ,��$� � ��*�7( #� �+(k �2 ;�(�$�;� �2– � v= !Y U��#�<L )2 ,$�U� ,� P ,�� ,$�U� K�7� �*k ;O�2 �$7& v�= )��L @k �
,$�U� ,� !2 G�� ]f��P�� �$7&O�28�;
www.ael.af
���
�]��# N:� N�� N:%�� #� ��2 @�7�=��� ,�� )�<-5 6�2�<� 6FO � �*k
� ,��$��;(
�!�����!Y� |$\= #�<�U�1� �2�)�\<( �RA�$O )�:!Y !L( � ;(� ]5�<�� .� �� M*� �� �*kv= R\<( � #�<�U�A $-& � ,$�U� s*
�#�(�$� �� N���� ,$�U� !Y� � R�\<( s* @k Z �= #�(�$� �� N��� $-&B
� #�<�U� � ,1d �2d )2 ,��$� � 1� �2� �\<( �RB
;�*�7( #� .� ]5�<� �� )� ,$�U�|$\=1� �2�\<( �R ��+(k ]5�<�A N;�O 6�FE�� �� )�� ,$�U�� ��2
�]5�<|$\=1d �2d\<( �RB N;O 6�FE� #�2� ;( �� |�-� � )��!� @��2 @�$� �� � )�%f M�� q$: G����: K�z(� �� ;�2 .
7!]K : �� !Y�v= �� �2 ,$�U� s* ]5�<�� #�<�U� v�= ,��$�� !�j*� ,$�U�� ]5��<�� #�<�U��� ,� ,$�U� S ;8O�2;(� ,��$� #�2 $�� .
�:ST: ,� #�<�U�1� �2� �R\<(A � ;�(� ]5�<�� ,$�U�� s�*p ;��8� ��� 6�FE��� � . R�\<( ��B) )��� ,$�U� Z �=p G�� ( . |$\=,��$�1d �2d )�� �
2� |$\=#�<�U�1��2� ,�� #�<�U�� )�� N;O #� 1d �2d,$�U� s* Q�( Q;8� �� 6�FE� � . G�2�m
1�
2�
1�
2�
www.ael.af
���
,�+*$�U� )� #�8� ��p �Q ;�(� ,��$�� #��2. @$�� #�<�U� v=1d )2 ,��$� #�<�U�� v=1� P�" S G���
v=1d )2,$�U�p @��8� #�� ;�O�2 ��� ,��$� v�=#�<�U�2d )2 ,��$� v=#�<�U�2� P�" SG�� v�=#�<�U�2d ,$�U� � Q�(Q6��O ;�O�2 �� �/ !�Y� b�
,$�U�����,�p �Q 6D��: S;��88� ]��\f � !j*;��F*�!�E� @�O 2� ,� #�<�U�1d �2d ,��$�� @���� #
�!� ;($O �� �
,� #�<�U� �!*� S G�� MF7��( M*� �1d �2d ,�+*$�U�� M*� !2�82 S ;(� ]5�<��p �Q !j*;�F*;8(�$� �7( N�!� ]\f � .,$�U� )z��( � ,�p �Q;(� ,��$� #�2 .
(���D ,$�U� N�Y! ,�E �F v= !Y� ;8O�2 ,��$� #�2 #�<�U�1L ,$�U� �E v�= � #�<�U��
2L ,$�U� �FO�2 ]f��8 �*k ;|$\=1L �2L ,��$� #�2;(�
1�
2�
www.ael.af
���
56� ,3� ����
1 -�;8 ,�+�$�U��� ����� #��V� R�*�%: 7!�� � �- cJ9Postulates: �$-f �*!�� @�;2 )� �7��V� )����� ���/ 4\�'� K�( )2 ;($O ��
;($E�� ��* .�%:� ,$�U� Sv= SR\<( ;8(��. ����� � 5!�#Logical Reason : ,�� �Q�Y )CU�C� s�* �� )�� ;�8��( �� @�!2 � �8� 67&
@k ��� � )� ;� �� ,;�2 �QY )2 G� � �C-f � � ��� G��� N;�O )��:!*�" �4-�f )� )�(k [���!2�!� �$-f @�$�.
7!]KTheorem:�$E�� N;���( )�%f ;O�2 @�!2 )2 ;8� ���( @k ��� � )� ,�&�� .7JB� :)���� ~4\'� s* #Uf )2� #���8O �� �8� K$+V� � $' )2 � )\<()N;O�( �*!�� (#��8� �� �$-f.
,!B%�� \X: ;�*�7( ��� )X� � � v= K$+V� o� v= )g�� SQ�� �8�SN;O o� �� . !�L( � @�;�2 G�O�� �� )�4& N��� R\<( ���� #�<�U� v= s* �+8�� �+8� N;O ~4\�'� s�* � $' )2 � #�<�U� v=� � �Y
)����)N;O�( �*!�� (*�7( �� �$-f�#. \X N�� /:!�&
4� 59 :;*�7( �� �iE� � #�<�U� v= s* �+8�� �+8� �iE� R\<( ��. /�# 59 : iE� R\<( �� ,� �� 6f� ;/ #�<�U� v= ! !�2 )�� � �� �$�^� v�<( )� 6f� ;/� G�� �
;8�U�( ]f�� #�<�U� v= s*./: 59 :� �k G�� )2 � �DiE� R\<( @�$� �� S#�<�U� v= s* R\<( �� ! M�2.
N:%��: ;�*�7( �� )X � � � ,$�U� K$+V� S�8' R�i� _\�S M��� �k _\�. � $�' )�2 � ,$�U�� �� �$-f N;O �( �*!�� R���� ~4\'� s*#�8� �.
* N:%�� 4� /:!�&: @��7 6���O ;�8� �� 6'� � ,$�U� s* �C�i� R\<( �� )� �7�<�U� v=G�� ,$�U�.
*N:%�� /�# /:!�&: s* ,b�2 )� R\<( R� �� v=U� s* �+8� ;8O�-( ]f�� #�<�U��� ,$�� �Y . * A+�B%� N:%�� /:!�&: �*� � ;8�O�2 )�O�� �!�E� R\<( s* ,$�U� �� !Y� s�* ��+(k � $�' M
v=;( �� �!�E� #�<�U� .M*�v=;8��( �� ,$�U� �� �!�E� 6D: � #�<�U�.�]� :)���� ~4\'� s* Q�( � �%:)N;O�( �*!�� (#*�7( �� �$-f .
4� 59 :G�� |�<( �� ��8�*b R&$7z� �%:./�# 59 :�U�( ]f�� ,$�U� s* � )� ;( �� �$^� �%: �� R\<( �+� #� �� #�;8.
www.ael.af
���
*]� �# N:%�� � \XN� 7 d�N��]�N�d� 7 N�� :�%:*n2 )� ,�%: #�8� �� �Y N;(� @k � )� �G�� ,;� .
�������� ,!B%�� \X �# �S�� a�e � * ,��$� *T-\8� * ]5�<�� *!:�8��
V� �S�� a�e� \X N:%�� V� � ,!B%�� *]5�<�� *T-\8� * ,��$�
N:%�� �# �S�� a�e� *T-\8� * ]5�<�� * ,��$�
g:JX �]� �# N:� ,!B%����v=;($O �� N;���( ,��$� S;8O�2 )�O�;( �!�E� R\<( � N�$2 ]f�� ,$�U� s* � )� #�<�U� .
�# (!� 7��\X�]� �# ,!B%��;(� ,��U� #�2 ;8O�2 G+^ #� ,��$� }4H� ,� �� )� �%: � )*��� ��.
� � N:� N�� ,!B%�� �]� �# N:%�;8O�2 )�O�;( �!�E� R\<( �� )� ;8��( �� ,$�U� s* )2 ,��$� ��f� � #�<�U� s*.
�]��# ����%� N�� N:%�� � �� ,!B%��N�Y! v= #�<�U�� ,$�U� ,b�2P R\<( �O ;8O�2 �$7& . K�7� �*k |$�\= 7�<�U�� � �� )�� R�\<(O
,b�2 ;( �j2 v=�U� #�<��;(� �$7& �]� �# N:� N�� N:%��
;8O�2 )�O�;( �!�E� R\<( �� )� ,$�U� �� �*k�;($O �� N;���( ,��$� ,�+*$�U�
www.ael.af
���
(���D56�/:
;�*�7( )<C/ � @k �� � G:�* � � G� � ��$^ N;O N��� ��$^ �+� ��?� ! ,�!2.1–�U� ,$P |�<( �A �B;8�U ��!V� .RC'�: !Y� |�<(A �B$�U� �� ,P ,��U�;O�2
,$�U� N�j(kPN �$7 :a- v= �2ABG�� ,��$� .b- v= v�� ��AB� �Y ��.c–,�$7& �'�(v=ABG�� .d - ,��$� )2 v= )�\fAB �* G��v�� ��v= AB� �j��.2– v= !Y�� ,b�2 ,$�U�pN�j(k ;O�2 �$7&:a- v=�,$�U� |$\= K�7� )2pG�� �$7& .b- v=�,$�U� v= �� )2 v<:pG�� �$7& .c- v=� ,$�U� �� v= �2p� ,��$�G� .d- v=�,$�U� |$\= �� �F* �2 v<:p ,��$�G��.
3– �� s* K�;� ��,�Q^�;8� �7( $-& ,$�U� s* T�f� � $D2 !*�.a- s* )2 ]f�� R\<( )� �� v= #�<�U�b- ]5�<�� v= ��c- � v= s* s* @k �� Z �= R\<(d-Q*�7�� R\<( �+�.
4-� GU�( G� � )E�7 !*� ,� ��$^ �� s* K�;�a- #�<�U� v= !Y�� ,$�U� �2p;O�2 ,��$�.b- v= �� !Y�� �'� v= �2d N�Y @k S;8O�2 ,��$�� �'�;8�U ,��$�.c- v= �� !Y�� �'�,$�U� � ;8O�2 ,��$�v=� v= ;8� ]\f � '��!� ;�$= ]\f Q�( � .d- �2 �!�E�� R�\<( s* � Q*�7�� ,$�U� �� !Y� ;8�O . �!�E�� #�<�U�� v�= s�* � N��Y @k
�$2 ;8�$=.5– v=� ,$�U�p ,$�U� !2 ��� e;8� �� ]\f � p �� v�= ;�8� )�2 v�= M�*� GU��( �$7&
,$�U�pG�� �$7& . �7O �2)2)1)0) dcba �
www.ael.af
���
�!�& 5- � �� �Y� .1– ,� ,$�U� !Y�E �F � ,��$� #�2 #�<�U� v=1L ,$�U�� �E #�<�U�� v�= �2L �
,$�U�FO�2 ]f��8 �*k ;21 // LL;(�.2– 2 #�<�U� v= �� !Y�� ��� N;�O �$�7& #��2 $���� |$�\= ��*k ;8�O�2 ,��$� ,$�U� s*
�;8(�$�3– |$\= G��f$� 62�<� 6FO �12 , LL �3L;�*�7( _�H$� !j*;F* )2 !L( � .
|$�\= �� N $�^ K�;� �*k ]5��<�� #��2 K�;�� S �� K�;�� � ,��$�� #��2 ��+(k |$�\= �� N $^
�;O�2 �� !:�8��
4– ,� ,$�U� !Y�1P �2P ,$�U�� ,� !2p ,�� ,$�U�� ��*k ;8�O�2 �$�7&1P �2P #��2� ,��$�;(�
5–U� s* ��CH �+� ! 62�<� 6FO ��G�� 6�\�a-,b�2 )� ;*!-2 K�( � ,$�U� ��v=AD ;8O�2 �$7&
�;(� �$7& �!� ;�*$j2 �b- ,$�U� ,b�2 )� ;*!�Y K�( � v= )�\f )�ABCD
;8O�2 �$7&.c- )*��� �*kFDE ˆG�� )7*�f�d- )*��� �*kDFC�G�� )7*�f
C
www.ael.af
���
6�/��3; 5�#�D7��� � ����
www.ael.af
��
www.ael.af
��
�#�D��Sequences
6FO � �*k62�<��� � ���!� K�;��;�8�2-��!� � )� �$^� � ��;�8� _�H$�.
���DC ]2�� �� � �-& ���!� G��R�/�( )��*!��@kR�/�( � ���-5��;&�� G7�f,
@k �<�</ ��;&�;O�2 �-& )2 �* �� !j*�naaaa ,,..., 32,1 K�( )2 M�O$( ;($O �� ��* ��;&� ���!� ;8�U�( ���!� ��;&� #L8� !�� � ��!��( . q$: ��;&� �� s* ! ;/ $��� ���!� N�$�2 )�F* $5
1a;/ ��� �}{ na;O�2 �� q$: �:�EF(� ���!� .�;&� ���!��GV^n2,...,8,6,4,2
�;&� ���!��5�q12,...,7,5,3,1 �n
l8" �!%� ��;&� ���!�n5,...,20,15,10,5
�$7�� , $5 ���!� s*RC��� )2;/ , ���=�n�� K e;(�$��� N;O M��� � �*!��$5 ��y�:
...,3,2,1,5
...,3,2,1,12
...,3,2,1,2
�������
nncnnbnna
n
n
n
�2##��: ��� ���!� s* ��;/ ��;�� N�Y ! N��Y! SM���� ���!� K�( )2 � @k ;O�2 M ��;�/ ���!� M���;8*$Y M��� !�� ���!� � @k ;O�-(.
�!��������!� �:�EF(� 6FO}1{}{
nnan
��;�U*$82 � .
� �:�EF(� 6FOn
an
n
1)1( ���;�U*$82 � .
,�;& G7�f )� �:��!���;/ @kl* ;� )2;2�* �� o*�Q:��!����� )�VY ;*�Q�� ;8(�� e�$O�;&� ���!�� SGV^5�!%� Sq�,�l8"N!���.
www.ael.af
���
�:��! �;<� )� � @k ��;/ ��� ���* �f��8�� ���!�� K��( )�2 �$O #� �z* ;� $5 ;�8(�� e��!�Y�!%� ��;&� [$F�� ���!� ,�l8"N!���.
n51,...,
151,
101,
51
4�U�1:���!� ,�2nan � �n
bn3
��f�8�� �* ;(� ;*�Q�� .5-:�� N;*� )� �$O��;/ ���!�na�� o*�Q:� e;2�*@k!2 �82 � G�� ;*�Q����;/ ���!�nb
�� #��� �f�8�� @k!2 �82 e�$O;O�2.
...,53,
43,1,
23,33
...,36,25,16,9,4,12
��
��
nb
na
n
n
4�U�2 :���!�,...8,4,2,1 ;/ )�:!Y !L( � � n-;�U*$82 � @k K�.5- : ;/ n- �� G�� � �-& @k K�:12 �� n
na
4�U�3:!Y�;/ ���!� s* ��$7&1
2
��nnan S;O�2 N;O N���5;/ ���@k;�2�* � � .
5FF-: G��:�* � ,�!��25;��/�2 ���;��*G��7�f,���5,4,3,2,1�n �;��/ �$��O ]��H� ��$7&5;/�� G�� )2 ��� ���!�;*k.
625
155,5
516
144,4
49
133,3
34
122,2
21
111,1
1
2
5
2
4
2
3
2
2
1
2
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
an
an
an
an
an
nnan
(���D1-!*� �:�EF(� ,� ���!� �;/n�@k K�;�U*$82 � .
...,71,
51,
31,1
...,7,5,3,1
2-6FO )2 ���!� s* !Y�n
an
n1)1( ��
� ;O�2 N;O N���6;/ ���@k �" � �";�U*$82 � .
www.ael.af
���
G)��4HI����Arithmetic Sequence
���!� s* � !Y� @k �f����;�/�� M�2 ���V� ���* K��( K�;�� )�2 ���!�� ;�O�2 G�2�m �;�& s*
����$O
+��J�K� ��;&� ���!�62�<�;*!�j2 !L( � � :20,17,14,11,8,5
�2 q!:M�;/� ���;/��;�2 @k�G�� ;8��;8� �� q$: ��;&� ���!�;/�G�� N;O 6�FE����!��;&�;�U*$82 G�� )2 �� �� � q$: ��.
�!� @��2 @�$��� � !*� �*!�� q$: G����: ��:C���D: ���!� s* � N�Y! q!: �� M�2;/ @k ;�O�2 G�2�m �;�& s�* )E��7 @k ��f���� �
�� �2�U/ ���!�;8��(. �!�E�� q!�: K��( )�2 � G2�m �;& M*�)Common difference( �!�/ )�2 � N;����(d @�E�(
��;8�.;/ � ���!� ���1a�� )F�� $' � ;8��(dG-y� �;& s*)0�d ( ;�O�2S � ���!�� �V8� �;& �!�E� q!: !Y� � ;*�Q��)0�d ( ��� �f�8�� � ���!� ;O�2 ,��+��y� ;�8(�� S;�8(�$=
!*�:
033811
358325
...,17,14,11,8,5,2
���5�
5�
�
���������
dddd
@$�0�d P" G�����!��2�U/G�� ;*�Q��.
www.ael.af
���
#*!�Y �� !L( � � K�� ���!�.
04
4)12(164)8(12
4)4(8404
440...,20,16,12,8,4,0,4
����
555
�
555
�
�
������������
�����������
����
�����
d
ddddd
@$�0�dG��e���!� P"�2�U/G�� �f�8�� .4�U�1 ::��!�� 6�FE� � ;��)�;/���@k
23 �;& @k �!�E� q!: �2;O�2.
5- :@$�;/ @k ���23
1 �a @k �!�E� q!: �2�d eG��@k!2�82 ��� ��$�7& � $�' )2GO$( @�$� .
dadddaddadaadaadaadaadaadaa
aaa
3
...,,,
1123434
2323
1212
321
������������������������
���!� � � � G7�f b�/naaaa ,...,,, 321#�8� �� ]H�:
...,2
15,2
11,27,
23
...,)22223(,)22
23(,)2
23(,
23
...,)3(,)2(,)(, 1111
������
��� dadadaa
4�U�2:���!� �� s* K�;��� �2�U/ ���!� s* !*� ,�;O�2.
b
a
(........16,8,4,2,1
(........,4,27,3,
25,2,
23,1
www.ael.af
���
5-j)Za: )2 !L(�2�U/ ���!� �*!��S �!�E� q!:��;/2 � )�� G��#* �k.
21
474
213
27
21
253
21
232
211
23
4,27,3,
25,2,
23,1
���
�������
�������
d
dd
dd
�� N;*� K�7� �!�E� q!: )� �$O ��;�/ �2�U�/ ���!� ,��U�� G�2�m �;�& )�221 P�" eG���
�� �2�U/ ���!�;O�2.5- j)Zb:
8816448224112168421
������������ dddd
�� N;*��$O )�: q!: M�2 � K�7��;/ )2 ,��U� �2�U/ ���!� s* G2�m �;&GU�(e ���!�� P" �2�U/(�7;O�2.
�����#�-n-����- �#�D V� �# / �2�U/ ���!� s* � N�Y!;/ @k ���a @k �!�E� q!: �d G:�* � ,�!2 S;O�2 ;�/n- K�
�$-m �� N��V��� !*� �C�C>���#�*�7(.#*!�Y �� !L( � � 62�<� ���!� .
...,,,...,)325(,)225(,)25(,5
...,)2225(,)225(,)25(,5...,)65(,)45(,)25(,5
257...,11,9,7,5
321 aaa
d
�����������
������
)� eGO$( @�$� �� ��$7& � $' )2:...,)3(),2(),(, 1111 dadadaa ���
www.ael.af
���
�� q$: ��y� GO��!L( � �2 @�$� ��$7& � $' )2GO$(:;/n-K�;/ K �+� ;/K$�;/K��;/���
naaaaa
dnadadadaa
...............
)1(........32
4321
88888
�����
� M�2 )z��(1,ad,n �naR\2� dnaan )1(1 ���G�� �!f !2 .
4�U�1 :;/30 �2�U/ ���!� K�...,12,5,2�;8�� G:�* � � .5-:
20120327292
7)130(2)1(
?30
7)2(52
3030
30
30
30
1
�������������
���
55�
55�
�
��
������
aaaa
dnaa
anda n
4�U�2: ��;����;/;�8� G:�* � � !*� �2�U/ ���!�.2000,...,45,40,35
5- :)� #�(�� �� :
3945
197051970
53020005302000
553520005)1(352000
)1(
?2000
5354035
1
1
�
�
���
��������
���
55555
�
55555
�
�
��
����
n
n
nn
nnndnaa
nada
n
n
www.ael.af
���
4�U�3: �2�U/ ���!� s* ��� ;/ N�Y!31 �a�1010 �a� !�E� q!: ;O �2 G7�f �8�*d;�8� G: �* � � :
5-:
3927
93309330
)110(330)1(
10
30?3
1
1
��
����
������
5555
�
5555
�
�
�
���
dddd
ddnaa
nada
n
n
�!����� �2�U/ ���!� s* �11,4 1 ��� ad ��;/ ;(�2a �3a ;�2�* � � .
�- ����- �#�D �J � )� N�Y!;/ 6UCU�11 ,, �� nnn aaa#�O�2 )�O�� � S )F���/ �...,4,3,2�n;O�2 .
22
2])1([2]222[]2[][]2[
][])2([
1111
1111
1111
1111
����
��
��
������
������������������
������
nnnnnn
nnn
nn
aaaaaa
adnadndaaandadndandadnda
ndadnaaa
4�U�1 : ��;&� M�2 �2�U/ v� ��7 �23�� G�� � �-&:5-:15
230
2237
���
�na
4�U�2: ,�;&x��� , $5 � �;�8� M)�;� 6�FE� � �2�U/ ���!� ;/ )� .���������11
33,42,12��
���nnn aaa
xxx
www.ael.af
���
5-: �$� �: � � � G7�f �2�U/ v��#�� �� �!f.
336,424,1243)12(3,4)12(2,1)12(212,12
845445842
4542
245
2331242
211
�����������������
���������
��
��
������
�� ��
xx
xxxxxx
xxxxaaa nnn
�� G�� � �-& @k ���!�...,33,28,23 ���
�2##�� : � !Y� s* ��;/ �2�U/ ���!�– n � K�– m;O�2 K$C�� @k K� . �8�* :,,���,��� ...)1(,...)1( dmaadnaa mn
R\2 � II R\2� �� � , N�$7( T*!V�@k �!�E� q!: @�$� �� )z��( �� �k G�� )2 � .
mnaad mn
��
�
@k �$-m(�= ��)�YG�� @��!Y�O.d S�!�E� q!:na ;/– n � ���!� K�ma ;/– mG�� ���!� K� .
4�U�3 : �;& ���!� #z8" ;/27 @k #�+( ;/ �47 ;�O�2 ��� . ��� ;�/ � �!�E�� q!�:@k� ����;�8� M .
47,,,,27,,,,
5- :�� G:�* � � �!�E� q!:#�8� .
@k ��� ;/#�8� �� G:�* � � :
720275)15(27
)1(
54
20592747
??275947
11
1
1
����������
����
���
�
5555
�
5555
�
�
������
aaa
dnaa
mnaad
adamna
n
mn
m
n
www.ael.af
���
2 ���!� )�� G�� � �-& N;�k G��:47,42,37,32,27,22,17,12,7
V!�:���� �#�D: ���!� s*( )na ��8�* @k [$�F�� )� ;8*$Y s�($� � ���!� �(��� �
nn ab 1
�;O�2 �2�U/ ���!� s*.
4�U�1: ���!�...,10,8,6,4,2�$O �� )�VY �2�U/ ���!� s* . �!*�2�d [$�F�� SG�� ��;�/ ��8�* ���!�� M*�...,
101,
81,
61,
41,
21 ���!�� s�* �
;8*$Y s�($� �. 4�U�2 :G�� s�($� � ���!� s* ���-5 ��;&� [$F�� . ;/n–;�U*$82 �!(k K� .
( )n
a
n
n1
1,...,41,
31,
21,1
�
4�U�3:N�Y! s* � ���!� �F�($� �41
1�a�3��d ;O�2 s�($� � ���!� � @k)2;* �k G��.
5-:
...,447,
435,
423,
411,
41
...,)333341(),333
41(,)33
41(,)3
41(,
41
����
����������
�!� ����5 ���-5 ��;&� [$F�� �*kG�� �F�($� � ���!� s* q��;/n-;�U*$82 � @k K�.
��!�:���FF� \FF � : N���Y! ��;��/ 6U��CU�1, �nn aa,1�na #*!���j2 !��L( � )��F���/ �...,4,3,2�n;O�2.
www.ael.af
��
)F8*� GO�� !L( ��21
1,1
�nn aa �
1
1
�na��;/s�($� � ���!� s*GO$( @�$� �� G��)�:
21
))((1
2))((
2
111
11
11
11
11
11
��
�
�
��
�
��
��
��
��
��
nn
nn
n
nn
nn
nn
n
aaaa
a
aaaa
aaa
R\2� #�U*$( �� !*� 6FO )2 � !�=�:
11
111111
11
11
))((2)())((2
))((21
��
������
��
��
�����
��
nn
nnnnnnnn
nn
nn
nn
aaaaaaaaaa
aaaa
aa
4�U�: ��;&� �F�($� � v��� 2�8� � ;�8� G:�* .5-: �$� �: �� N��V��� �2
11
11 ))((2
��
��
��
nn
nnn aa
aaa#�8� �� G:�* �:
2.31032
10162
82)82(2
���
���
�na
(���D1-;/35;8�� G:�* � � 62�<� ���!� K� ....,12,5,2�
2- �*k45,1,
43 �� � �2�U/ ���!� 6�FE� ' � $' � �;8� @�$2 G>?� �!�E�� q!�: ��
;* �k G�;2 � @k.3- M�2 �2�U/ v���22,216;�8� G:�* � � .4- !Y�
21,
284
110 ��� aa G7�f ;O�2d;8�� G:�* � � .5- �� s* K�;���!�� GU�( �2�U/ ���!� !*� ,� �
..,12,6,6,3
...,4
11,25,
49,2
www.ael.af
��
� ��� �#�DGeometric Sequences
R��i� s�* � !Y� ��� R�(�= )�2 l(!\�O )�(�;F*K;8YS K�� R(�= )2 )(�� �� �Y K;�8Y� �$�O )��OS P"� !�=� R(�= �i�Rl(!\O) )�i� s*64 )(�=� �� (�;O�2 �� K;8Y )(�� ;8�
�!��������!�;*!�j2 !L( � � 62�<� ��;&� ....,48,24,12,6,3
� M�2 ���;/�G�� �$^$� )\2� )� q$: ���!���� M�2 G-U(;/;�8� )U*�<� #�2 N�$7( G:�* � � ���!� �f����.
�� q$: G����: ���!� @��2 !*� $5 � )z��( @�$�:
7<!%� : �� M�2 G-U( )� �:��!�;/ �;& s* @k �f���� G2�mq ;O�2 .2 ) ���;8 ���!�� K�( ���*���8�* S�$O:...,3,2,1,1
1 ���9� �� nqaaqaa
nnn
n
�z8*� �q � �!�E� G-U(1a;/ �$�O ��� N;����( ���!� ��� . �iE�� �(���� ���;8 ���!����)� ��!Y;/;O�2 M��� @k �!�E� G-U( � ��� .�U� 41 : ��;8 ���!�...,6,12,24,48,96 G�:�* � � @k �!�E�� G-U�( )�:!Y !L( � �
;�8� .5-:;/ #�U<� � ;/ !�� 6-f@k*�7( ��e#��8�*
1
2
aaq �
21
126
21
2412
21
4824
21
9648
612244896
�������� qqqq
)� �$E�� N;*�21
�qG�� G2�m �;& s*.
www.ael.af
���
�!���� � ��;8 ���!� s*21 �a �3�q G����;/12 , aa �3a;�8� G:�* � � @k.
,�!21�qG�� ;*�Q�� ���!�. ,�!21�qG�� �f�8�� ���!� . ,�!21�qG�� G2�m ���!� s* ���!�.
4�U�2: ���;8 ���!��...,100,300,900,2700 ��� ;�/ )��:!Y !�L( � � � G-U�(�!�E� G:�* � � @k Q�( ;�8��*$j2����!� )� ;�f�8�� �* G�� ;*�Q�� q$: ��;8.
31
279
270090027001
���
�
q
a
@$�1�q�8�� ���!� P" G��G�� �f .�����#�-n-� ��� �#�D /
!Y�a� ;/��Sq � �!�E� G-U(n ��;����;/ ,�!�2 S;�O�2 K$�C�� ���;8 ���!�� s�* �C>� �$-m �� !�=� ;/ �$� $: G:�* � N��V��� !*� �C���#�*�7(.
��;8 ���!�naaa ,...,, 21#*!�Y �� !L( � � :;/n-���;/ K��;/ K$�;/ K �+�;/ #z8";/ K�
n
n
aaaaaa
aqaqaqaqaqa
.........
.........
54321
14321
������
�
nnn
n aqaaaq
qaqqaqaaaaq
qaqqaqaaaaq
aaqaaaaq
����
���������
���������
�����
��
11
31
2134
3
4
21123
2
3
1121
2
,!-z�� � �-&1��� nn qaa� ;/n-�* K�;/�� ��;8 ���!� ��$7&;8*$Y.
......
www.ael.af
���
4�U�1:;/#EO � !*� ��;8 ���!�;�*�7( G:�* �.5- :...,10,5 �
160)32(5)2(5
)2(5
?6
2510
5
6
65
6
166
11
6��
���������
�
555
�
555
�
�
��
���
�
�
�
�
aaa
aqaa
an
q
a nn
4�U�2:;/ ��;8 ���!� #�����...,2,4,8;�2�* � � .5-:
2561
2122
22
28
218)
21(8)
21(8
88113
11
3
1112
1111112
12
1
������
���
�
��
�
�
a
a
aqa nn
�
55
�
55
�
�
�
��
21812
q
an
� ��� \ � �����#
abM
baMMb
aM
�
���� 2
�2 �GO�� !L(#�(�$� �� )�VY q$: �$� �: )� !Y�a�b<�</ �;& ��;8O�2 G-y� �.M��;8 v�� K�( )2(Geometric Mean) ��;&�a�b$O �� ��*(; .
��$7& � $' )2 @�$� �� �* � �� )�VY#�(�$� N�Y! ;�/ )�� ���;8 ���!��11 ,, �� nnn aaa
;8O�2e P"GO$( @�$� ��)� :
))(())(( 11112
1
11
1
����
�
��
�
���
��
55�
55�
�
�
�
nnnnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
aaaaaa
aa
aa
aaq
aaq
www.ael.af
���
4�U�3 : ��;&� ��;8 v��12 ,3;�8� G:�* � � .5- :#�(�;��)�abM �P" e G��:
663612312
3
�������
�
MMb
a
4�U�4:��;8 ���!� �32,,,,2;/ ��� G:�* � � �$+z�8;�.
2216162
32232232
5?322
4444
415155
1
��������
�������
55�
55�
�
����
��
qqqq
qqqaa
nqaa
n
1622
,822,4223
4
314
23
213212
����
��������������
aqaaaqaaaqaa
�� G�� � �-& ���!� P":32,16,8,4,2
�!���� ��;8 ���!� � N�Y!na ;/n-S K�n ��;����;/ �q;8O�2 �!�E� G-U( . ��$�7& �$� �:
,�!2q � ;8�� G:�* � . 4�U�5:x )� ;8�� M���� @�8� � ��;/;8;2 � ��;8 ���!� 6�FE� !*� .
35
610,0106196
)1)(1()3(
1,3,1
22
22
������������
�������
���
xxxxxx
xxxbaM
xxxbMa
(���D1-5;/��� @k ��� ;/ )� ;�U*$82 � ��;8 ���!�5 � @k !�=� ;/
165;O�2.
2-� s* K�;��;(� ��;8 ���!� !*� ,� ���!� �...,4,2,0,2,4)...,
32,
32,
32,
32) ���� ba
3- ��;8 ���!� #����� ;/...,45,
25,5� G:�* � � 8�; .
4- ��;8 v��3�43;�8� G:�* � � .
5- )� �$+z� ;/ ���!���;827,?,?,?,31;�8� G:�* � � .
www.ael.af
���
$�:�<��� �#�D ���K-��;��G�� ;8� #� �\f ,� �5$f�-;�2�* � � , �7�� ,� �5$f K�7� ��;��.
�!��������!�...,8,6,4,2;*!�j2 !L( � � .�]7^ 6'�/;/;�U*$82 � @k K$� � K�� .�N� ]7^ 6'�/;/����" � �";�U*$82 � @k .
Rz��( q$: G����: ���!� @��2 @�$� �� � !*�:1064 ���1102018161412108642 ����������
��� ]7^ 6'�/ G:�* � ,�!2n;/ K�7� )� G�� 6FE� ���n;/�� � @k *��7( ]�7^ #� ��2� # � @$�) ,� �� ���!���;/�2 G�� G*�+(S !Y� ��y� $5 ]�7^ 6'�/ ��;�/ ��*�100 ;�/S
10000;/�e;O�2 !L( � N!�� ]7^ 6'�/ 6�FE� P";O�2 �� M� )�U= @k . ]7^ 6'�/ ��$7& � $' )2n;/ ���!� ���naaaa ...,,, 321#�U*$( �� !*� �!f � .
:�
�����n
iin aaaaa
1321 ...
�$-7� �� �*!�� T2�\� ��-��>� G�$+�� �D�=� G+^:*�7( �� N��V���#�.�!/ ,� *�" � b�2 M�: K�( )2 )� ;($O �� ��* P�;(� �� @�E(�8 ��;�&� K�7� )� ; ����-5 ��
1 )2 ��nG7�f ��!�Y(;. S)&$7z� s* P�;(� ,�!2 ��� N;�O ��7����� �!�/ ! ;�(�$�S ������7����jkn ,, �iG�� �$7�� ��*� .
��y� $5:njikn
j
n
i
n
k2322212222
111
������������� :::���
www.ael.af
���
4�U�1::�
7
1
1i i
)�:�* ��EF(� 6FO )2 � ;�U*$82 .5-:
504013068
504072084010081260168025205040
71
61
51
41
31
21
1117
1
�
�������
�������:� ii
4�U�2: 6FO )2 � !*� ]7^ 6'�/:;�U*$82 .
2...941b))1-2n(...7531a)
n����
�����
5-:
:�
��������n
iina
1)12()12(...7531)
:�
�����n
ii
1
22n...941b)
4�U�3 :;�U*$82 )�:�* ��EF(� 6FO )2 � !*� ,� }$7z� .?)2(
4
��:�
iin
i
5-:
)2(...63483524)2(...)27(7)26(6)25(5)24(4
�����������������
nnnn
4�U�4 : ]7^ 6'�/1110
7 ��:
� nn
n;8�� G:�* � � .
5-:
1085132
302415396
30243696378038884032
911
810
79
68
110110
1919
1818
1717
1110
7
��
��������
��
���
���
���
���:
�n nn
www.ael.af
���
��/ )2�� �+8� ]7^ 6'�/n;/ 6�'�/ )�� #��O�2 )����$= N��Y! S#*�!� )���\� � ���!� s* K�7� ]7^��;/ ���!�)( na � #�8� G:�* � � #�U*$( �� � $' M*�)�:
:;
�
������1
321 ......i
in aaaaa
G��/ M*� �i G���� ���-5 ��;&� K�7;O�2 .
:;
�1iiaK�( )2 � � G*�+( �2 )CUC� s*�*K�( )2)CUC� s*(series)�� ��*;88� .
��;&�,...321 aaa �� K�( )2;/ �� � ;($O �� ��* )CUC�naK�( )2;/n-�$O �� ��* )CUC� K� . #�8� ]7^ � ��;&� G*�+( �2 ��;�� #�(�$� �7( �� )F*�$^� �2S ��7����� v��$� ����H�* � ���
#�(�$� �� ;&�$f �%�2 � s* )CUC� )2 S#��� G-U�( )&$7z � � ����*8 R�&$7z� #��$�= ��� ��zn;/#�8� G:�* � � @k .
R&$7z�n;/ )CUC� s* ���......3211
������:;
�n
kk aaaaa �7U�f ]7^ 6'�/ K�( )2 �
n-�� ��* $��� )CUC� K�;88� . )2 � @k !Y�nS�� @�E(GO$( @�$� �� #)� :
:;
�
�������
�����
�
1321
3213
212
11
......k
knn aaaaaS
aaaSaaS
aS
4�U�5 :6s �8s )CUC�.......321 ����� n;�8� )-��>� � .5- :
368765432121654321
8
6
����������������
SS
www.ael.af
���
N�Y!:;
�1nna�:
;
�1kkb )CUC� ��O�28; �c ,�� )�&$7z� ,�!2 !*� h�$= ;O�2 G2�m �;& s*
;(� G� � @k �7Uf :
:: :
: :
:
�� �
� �
�
���
�
����������
n
kk
n
k
n
kkkk
n
k
n
kkk
n
k
baba
acca
nccccnckckckc
11 1
1 1
1
)(
...321...
(���D1-&$7z�);�8� )-��>� � !*� ,� .
- a:�
6
1ii- b:
� �
6
1 11
i i- c:
�
�3
1
2 )34(k
kk
2-&$7z�) 6FO )2 � !*� ,�:;�U*$82.a(
2019...
43
32
21
����bn (...941 2����
cn ()12(...7531 ������
3-&$7z�)7Uf ,� )2 � !*� �;* �k G�� .
aiin
i()2(
4�:
�
bin
i(23
1:�
�cin
i()52(
1:�
�
www.ael.af
���
K a:�<��� �n��- �#�D 4� �-��N�Y!naaaa ,...,,, 321;O�2 �2�U/ ���!� s*.
�*knaaaa ���� ...321 s�* �7U�f )�&$7z�)CUC��;(�$� �� N;O �2�U/
C���D M�2 � N�Y! ��;/ ]7^ G�4& �2�U/ ���!� �$^$� �* � ;8*$Y �2�U/ )CUC� � @k ;O�2 )�2 �
� �-&�2�U/ ���!� s* ]7^ 6'�/ !j*�;8*$Y �2�U/ )CUC� � . ;/ )� �2�U/ ���!� s* � ����@kaS @k �!�E� q!:d ;/ � k !�=�@na M*� ,�!2 ;O�2
��;/ M�8� � ]7^ 6'�/ �$� $:#* �k �� G�� )2:
IIadadadadadaaS
IadadadadadaaS
nnnn
nnn
..........)()2(.....)3()2()(
.........)()2(...)3()2()(
�������������
�������������
�������
v2�� I �II#�*�7( �� ]7^ �!5 )2 �!5 � .
IaanSaanS
aaaaaaaaaaaaaaS
nn
aan
nnnnnnn
n
.).........(2
)(2
)()(...)()()()(2)(
�����
����������������
������������� �������������� ��
�$� $: q$: RCUC� ]7^ 6'�/( � �2�U/ ;�/ )� ;� �� @�E ;�/ S��� ��;��� � !��=���;/;O�2 K$C�� @k.
4�U�1: RCUC� ]7^ 6'�/ �7( K$�C�� � �2�U/* )�� �� $�' � ;��4,25 �� aan � ��;����;/ @k8O�28;.
www.ael.af
��
5- :�$� $: �� N��V��� �2:
116)29(4)254(48
)(2
�����
��
SS
aanS n
5�
5�
�
��
�
825
4
naa
n
RCUC� s* � N�Y! �2�U/;/ ���S @k �!�E�� q!: � �47^ ��;�� 6�'�/ ;�O�2 N;�O N���7^ e;*k �� G�� )2 !*� )\2� �� @k ] R\2� � N�Y!1 ,�^ )2na ��7( ]�H� � @k G�7�f* #�
#* ��)� :
IIIdnanSdnaanS
dnaa
aanS
n
n
..........])1(2[2
])1([2
)1(
1)......(2
��������
���
��
�$� $:III �7Uf }$7z� �� G�� � �-&n;O�2 �� �2�U/ ���!� ��� ;/.
4�U�2: ]7^ 6'�/201/;;* k G�� )2 � !*� )CUC�.
])1(2[2
...15117
dnanS ���
���
55�
55�
�
���
�?
20147
nSnda
81807
818074072018142
201)80014(2
201)420014(2
201
]4)1201(72[2
201
�
�����������
����
S
SS
S
www.ael.af
��
�!�����CUC�R )�:!Y !L( � � ���-5 ��;&�;/ � �!�E� q!: S���;/-n )�O$( � @k K� R�&$7z�
6UCU� ��;&�;�U*$82 � ���-5. 4�U�3: GV^ ��;&�RCUC�.....8642 ���� }$7z� )�:!Y !L( � � n G��� )�2 � @k ;�/;* �k .5-:
)1(
)22(2
]224[2
]2)1(22[2
])1(2[2
224...8642
���
�����
����
���
�������
nnS
nnnnS
nnS
dnanS
d
n
n
n
n
�
55�
55�
�
�
��
?
22
nS
da
4�U�4:]7^ 6'�/200;/CUC� GV^ ��;&�R��� ...42;�2�* � � .5-:
40200)201(200
)1200(200)1200(200
?20022
200
200
200
200 ��
����
55�
55�
�
����
SSSS
Snda
�!����� �7Uf }$7z� 6UCU� ��;&� �2�U/ RCUC�q�5;* �k G�� )2 � .
www.ael.af
���
(���D1- ;/n- K� ;/ N� ]7^ 6' �/ � ���!� ,�;�8� G:�* � � !*� �2�U/.
...,2,1,0,1,2)...,13,9,5,1)
...,4,2,0,2)
��
��
iiiiii
2- 6FO )2 ���!� s* !Y�,...11,8,5,2;O�2 N;O N���S;�8� ��U/ � !*� ,� }$7z� G7�f.108 )) SbSa
www.ael.af
���
A�Z 59�-n�- ��� �#�D V�� #�( N �2�� � @k #�( � #�( � ��� s* !Y� � #�8� )2
)���� ���!� M�7 #�� �$^� )2 ��;8 ���!� s* ;*k ��. ;8�;/ ��� #�*��7( ��� ]7^ # �2 � ���!� }$7z� @k ,��U� )2s*���!Y ���
�!�������� ;/ )� ��;8 ���!� s* �@kaSU( �f���� ;/ �� M�2 G- @k )2 ,��U�q;O�2 N;O N���.�;/�G�� ;8� ���!� K���;/K��� ���!� )2q �!HN�$7( �2 � l*��( S;/;�8� )U*�<� K$�.� ]7^ 6'�/ ,�!2n;/ G:�* � � ��$� $: ���!�;�*�7(.
!*� )z��( q$: G����: ���!� @��2 @�$� �� � .7<!%�: ;/ ! ��;8 ���!� s* � ;�2 �� �!H !m� � @�!� �� �;�& )�2 G�2�m �;�& s�* 6�-f @k )�2
;*k �� G�� . G�� �$-f 62�f ��;/ K�7� ,�!2 �C\� M*� . ���;8 ���!�� s�* � ���!� M*� )2}{ nS ]7^ 6'�/n@k ;/G��nn aaaS ...21 ����� G�� � �-&:
01
11
)1(1
��
����
�
q
qqqaSn
n
q$: R\2� �$-m � �� G�� )2#* �k:IqaqaqaaS nn ............. 1
12
111������
����U� ��!5�I �!H � q R\2� � N;�k G�� )2 R\2� #�*�7( ��II#���( ��:IIqaqaqaqaqS n
n .............. 13
12
11 ������
\2� ��RI\2� RII � #�8� �� T*!V�:)1(11nn
nn qaaqaqSS ������
1,)1(
)1()1()1( 1
1 ��
������ q
qqa
SqaqSn
nn
n
Z!i�� � $' q$: R\2� �!H � )1 - (*�7( ���#:1
)1(1
��
�qqaSn
n
q$: �$� �: ]7^ 6'�/n;/;� �� �� ,�!2 � ��;8 ���!�.
www.ael.af
���
4�U�1: ��;8 ���!� s* �;/ ���21 �a G-U( � @k �!�E�21
�q G��.5;/ #� ���$�� ��� @�8� }$7z�10;/;�8� G:�* � � .5-:
99609375.310244092
14
10241023
21
10241023
2
21
102411024
2
212
102411
2
211
)21(1
21
)1(
81
1612)
21(2)
21(2
21
412)
21(2
41)
81(21)
21(2
)21(22)
21(2
?212
10
10
10
101
4155
133
42
144
01
1
�����
�
��
���
�
����
��
�
���������
����
���
55�
55�
�
�
�
�
��
�
S
SSqqaS
aa
aa
aa
S
q
a
n
n
4�U�2: ;8� }$7z�;/ !*� ��;8 ���!� ��80��$O ��...,18,6,2
5-:�2� }$7z� #�(�$� �� ]7^ 6'�/ �$� �: �� N��V���#�8� G:�* �.
43)3(381
)3(1801)3(8013
]1)3[(280
1)1(
80?
3262
4
������
�������
��
��
�
5555
�
5555
�
�
��
��
�
n
qqaS
Sn
q
a
nn
nn
n
n
(���D1 -���!� ���;8...,
92,
32,2 ]7^ 6'�/10;�8� G:�* � � @k ;/.
2 -��;8 ���!� �384,...,12,6,3;�8� G:�* � � @k }$7z� ���;/ ��;��.3-���!� ���;8...,36,12,4 )2 ,��U� @k;/ ;8� ]7^ 6'�/484�$O ��@k � �;* �k G�� )2
www.ael.af
���
����%�Y � ��� N�� $��� N;�*� �(���k )�2 #*$�O T��f� ���!�� ��;�/ )2 !Y�
;/ )2;/ )� �$O �� S�$O �� s�$� ���!�.
CUC� s* � !Y�R ��;8)1( 6qO�-( K$C�� @k ��;/ ��;�� � ;O�28; M*� �RCUC� !�=� ;/ � $'*�+( �2 )2 $� ��;�� ;�$= G.)2 � )CUC� }$( M*��* ;&�-�� )CUC� K�(Divergent series;8��( ��.
)� �� $' �1�q @k ;O�2 )CUC� �* � �<�� )CUC� K�( )2 � Convergent;8��( ��.
4:��:� �����# 59�-l��B%� � ���S%� $��� A�Z)� #�(�� ��:)
11(
11
��
���
�qqa
qqaS
nn
CUC� !Y�R ;&�-���8�*16qO�2 G*�+( �2 ��;/ ��;�� � ;O�28;e �8�*;.nSP":
;��;���;
���
���
� ;
;;
; Sqa
qaaq
qaaqS
111 RCUC� ]7^ ��/ ��y� $5 )2...27931 ����;�2�* � � .
5-: @$�;���� ;Sr 13
CUC� G:�* � ,�!2��;8 � �<�� ))� #* �� : )� ;f !n �$O p Q2)( ;.nqn ��� s�$� ��!�Y)0( .nq M�*� � R�\2� � $�'
qaS
��
��1
q1 n
;O ;�$= M�8�:
qa
qaa
qaqaS
qaS
n
��
���
��
���
��
�� ; 110
11q1 n
www.ael.af
���
� �<�� RCUC� !Y� �8�*)1( �q ;O�2 � G�*�+( ��2 �4�7^ ��;�� �$�O� RCU�C� ]�7^ 6�'�/�� G�� � �-& N�!-��(:
qaS�
�; 1
4�U�:CUC� ]7^ 6'�/R...161
81
41
211 �����;�8� )-��>� � .
5-: )CUC� M*� �1,21
�� aq ;O�2 ��S )� �7Uf121
21
���q G��e � ��<�� )CUC� P"G��.
2211
211
211
11
...161
81
41
211 ����
��
�������
qa
4�U�2: ��;8 RCUC� s* ���;/ !Y�271 �a @k � �!�E�� G-U( �31
�q }$�7z� ;�O�2��;/)CUC�;�8� )-��>� � .
5-: )� #�(�� ��131
31
���qG��e� )CUC� P"G�� � �<�.
5.40281
2327
32
27
313
27
311
27...271
91
3113927
1...21
���
��
��
��������
������
qaaaa
4�U�3: ���$�� , �E&� !U�236.0 � ��2 RCUC� s* )2 R�&$7z� N�$�7( 6*;�-� ���;8 G�*�+( � )CUC�;�8� )-��>�.
5-:
...])100
1(100
11[1000
23106
...])10000
1(100
11[1000
23106
...10000000
23100000
231000
23106
...0000023.000023.0023.06.0...6232323.0236.0
2 �����
�����
�����
������
www.ael.af
���
G�� ��;8 ���!� ��;/ ]7^ 6'�/ [$f 6=�� @k ��� ;/ )�1 k ��;/ ��;8 G-U( � @
1001��82 eG��:
990617236.0
990617
99023594
99023
106
99100
100023
106
100991
100023
106
10011
11000
23106
100991
1001100
1
10011
11
�
��
������
����
���
��
��
��
�qaS
4�U�4 : !U�� ���$�� , �E&3.0;�8� 6*;-� K�& !U� )2 ��;8 RCUC� �� N��V��� �2� .5-:#�(�� ��)�:
...10000
31000
3100
3103
...0003.0003.003.03.03333.03.0
�����
������
q$: RCUC� � )� �$O �� N;*�3.01101
101
���� a�qG�� e )CUC� P"��G�� � �<.
313.0
31
93
910
103
1091
103
10110
1103
1011
103
1
�
������
���
��
��
qaS
www.ael.af
���
(���D
1-;�2�* � � !*� ��;8 ,� ���!� }$7z�.
ii
i
(...51
5115
(...31
31
311
2
32
����
����
2-;�8� 6*;-� K�& !U� )2 � !*� , �E&� !U�.24.0)5.0) ba
www.ael.af
���
56� ,3� ����/��3;
�#�D C���D: ���!� � �� � �-&�/�( )� G�� ]2�R -5 ��;�&� @k �*!��� ��/�( � ���R @k ,�� G�7�f �<�</ ��;&�;O�2 �-& )2 �* ��!j*�naaaa ,...,,, 321 ��;&� ���!� K�( )2-5� �� �� ��*;($O.1a ;�/
� ���!� ����na;/n-;O�2 �� ���!� K�.����- �#�D: ;O�2 G2�m �;& s* )E�7 @k �f���� �;& �� M�2 T*!V� 6'�/ ���!� s* � N�Y!
;8��( �� �2�U/ ���!� � @k.����- �#�D �J ��-:6UCU� ;/ )� N�Y!11 ,, �� nnn aaa#�O�2 )�O��eP":
211 �� �
� nnn
aaa�� )X� � � �2�U/ ���!� �\�� ;/ s*;8�. � ��� �#�D: �)� �:��!G-U( ;/ !!2C-f ;/� G2�m �;& s* @kq ���;8 ���!�� K��( )2 ;O�2
�� ��*�$O. 4:�����-n� ��� �#�D V� �# /:1�� n
n aqa
� ��� �#�D �J ��-: N��Y! ;�/�� 6U�CU�11 �� �� nnn aaa )�� ����/ �,...4,3,2�n
;O�2eP" :))(( 11 ��� nnn aaa�� ��;8 ���!� �\�� ;/ �$� $:;O�2.�� �#�D ���K 7�:�<�:
:;
�
�����i
in aaaaa1
321 ...
�* � G*�+( �2 )CUC� s* K�( )2 � Series;88� �� ��*.
RCUC�:�
����n
kkaaaa
1321 ... �7Uf ]7^ 6'�/ K�( )2 � n;/;88� �� ��* $��� RCUC�.
���K a:�<� 4:����n�-����- �#�D 4�:)(
2])1(2[
2 1 naandnanS �����
A�Z 59�- 4:����n�-� ��� �#�D:
11
)1(1 ����
� qqqaSn
n
www.ael.af
��
7��� ����%�Y � ��� N�� !Y� ��;8 )CUC� s* �1�q ;O�2� ]7^ 6'�/n M���� �;�& s�* )�2 @k ���;/
qa�1
�!�<�
� ;*�7( �$� �: �� @k G7�f � ;8*$Y � �<�� � )CUC� G��/ M*�qaaq
k
k
��:
;
�
�
11
1;*k �� G�� )2. N�Y!16q ;8��( �� ;&�-�� � )CUC� @k ;O�-( K$C�� @k ��;/ ��;�� �e ]7^ 6'�/ �8�*n;/ ����
N�!F( �!<� M��� �;& s* )2 q$: RCUC��8�*;�;S
www.ael.af
��
(���D56�/��3;
��? � ! ,�!2 N;(�$= Gf� )2 � !*� �b? N;�O N��� ��$^ �+� �� SG��� � G�:�* � � G�� � ��$�^;�*�7( )<C/ � @k ��.
1 - ;/n - ���!� K�,...45,
34,
23,2�� G�� � �-&:
nnd
cnnc
nnb
nna 1))
23)1) �
����
2 - !Y�1213
��
�nnan;/n�@k K� e;O�2K�;�M*� ;/ ���!�
711���$O:
6)5)4)3) dcba3 - �2�U/ ���!� #�����;/,...3,1,5,9 ����� G�� � �-&:
38)35)38)35) �� dcba4 - �2�U/ ���!� �!�E� q!:,...3.1,1,7.0,4.0,1.0�� G�� � �-&:
2.0)3.0)1.0)3.0) dcba5 - �� G�� � �-& ��;8 ���!� �!�E� G-U(,...6,12,24,48,96
32)
32)
21)
21) �� dcba
6 - ;/ #� ��;8 ���!�.....,165,
85,
45,
25,5�� G�� � �-&:
5125)
5123)
5125)
5123) ��� dcba
7 - ]7^ 6'�/ �$� �:n� G�� � �-& ��;8 ���!� s* ;/�:
11)
211)
��
���
��qqaSbqaSann
K�;� ��)11) dqqaScn
��
��
8 - � �<�� ,� )CUC� �M���!�� �!�E� G-U( ��;8q�� G�� � �-&:K�;� ��)1||)1||)0) dqcqbqa ���
www.ael.af
���
�!�& 5- � �� �Y: .1 -O�2 �+� �!%� )� #* �� ���-5 �7f �� �;& ;8�8�;2 - M�2��;&�21 �31 )�� �;&�^;��.
31,,,21
3 - ,�;& ���!� !=k � ��� ;/ R&$7z� !Y�124 }$�7z� � ;O�2n ;�/ @k ���3720 ��;��� ;�O�2��;/�G�� K�;� ���!� M*�
4 - }$7z�100;/;* �k G�� )2 � !*� ���!�.,...11,9,7,5,3
5 -;/ ��;8 ���!� s* K��6;/ @k #�V192 �!�E� G-U( ;O�2�� ��;�8� M�.6 - }$7z�8;/ �!� s* ��� ��;8 ��17 �+� }$7z� !2�!2;/ M�*� �!�E�� G-U( G�� @k ����
;�8� ��U/ � ���!�.7 -�k G�� )2 � !*� )CUC� ]7^ 6'�/ ;*.
...0001.0001.001.01.0 ����
8 -;/ ��� ��;>��( ��;8 ���!� s*9;/ K �+� � @k91 }$�7z� ;O�2 �� ��;�/ � ���!�� M�*�
;�8� G:�* �.9 - ��;&� M�23 �96 ��;�� )24�;& � ;�� �^.
96,,,,3
10 - ]7^ 6'�/8CUC� ��� ;/R ��;8...92
322 ���;�8� K$C�� � .
11 - !Y�4,3 �� ad;O�2. ,�!2 � @k �F�($� � ���!�12�n )2;* �k G��.12 -2 � !*� , �E&� ��;&� )CUC� �� N��V��� �)2 � �<�� ,�;* �k G�� )2 K�& !U� .
57.3)8.2) ba
www.ael.af
���
6�,<�0 5,%���1:�
www.ael.af
���������
www.ael.af
���
:D5!=��:E�& A�Exponential functions
��!Y ;�(�� ��,� ]2�$�22 )(,)( xxfxxf ���
$>� )2 !L( !j*� �2 �F*x � !W�8��;( . ���/ )2 �� �*k� ]�2�$� ,� ��!Y � $�xx xfxf 2)(,2)( �� � �
�;*� N�!� !F: #*�f ��D�i� #�U��
C���DN�Y!a � G-y� �;& s*1�a ;O�2xaxf �)(;&�f )2 6�E8($IU�� ]2�� K�( )2 � �a;8��( ��.
xaxfIRIRfRxIRa�
.+�+ ��
)(:}1{
xx xfxf 2)(,2)( �� �]2�$�;&�f )2 6�E8($IU���2O�2 ��8;.
�!����� f ,�!2� �C�i� ,� G7)ZI G�� K�� ��;&� G� (ZIx+ ��!Y]2��xxf 2)( � #�� �
;�8�.� ]2��xxf 2)( � $>�y K�;� � � �� ]\f )\<(��;8� ]2��xxf 2)( ��m �* � �f�8�� S;*�Q�� ]2�� s*��!� �G�� G2� ]2�$� ,� ��!Yxx xfxf 2)(,2)( �� � ���H� ����7� #�U�� s* � � #*��f R #��
;�8� )U*�<� #�2 N�$7(.� ]2�� ,�!2 � q$: G����:xxf )
21()( �;�� K�z(�.
z��( q$: G����: ��R;*k �� G�� )2 !*�:- G7�f ]2��xxf 2)( ��7� ,�!2 ,� G7�f KZIx+G�� G-y� )E�7.
2x
2x�
0x
y
x
y
0
x�2 x2
www.ael.af
���
- ��!Y ]2��xy 2� �xy �� 2 $>� )2 !L(y �8�� ;(� !W . �� ��!Y )\<( ! �8�* ]2�xy 2� )�2 ��!Y ,b�2 )\<( s*xy �� 2;8� �� 62�<�.
- ��!Y ]2��xy 2�G�� ;*�Q���!*�:12 ��aG��.#��#�2: N�Y!xy 2�� �!*� eG�� �f�8�� ]2�� ;O�202 ���a
]2�� ��!Yxy 2� �xy �� 2#�*�7( �� #� � . ]2�� ��!Yxy 2�
842121
41
81
3210123yx ���
]2�� ��!Yxy �� 2
81
41
211248
3210123yx ���
4�U�: 6�E8($IU�� ]2�� ��!Yxxf 23)( �� � ;�8� #� .5-: z��( GO��!L( � �2R 6�E�8($IU�� ]2��� � )�� #��(�� �� q$:xxf 23)( �� ;�&�f )��� @k �8�*2�aG��e P" ,�!2 G�� ;*�Q�� ]2�� s* q$: ]2�� [��� M*� )2@k � q$: ]2�� ��!Y )�
�*�7( #� T�f�; �$�>�� ,�!�2 ��C�i� ,�� G7�fx ]�2�$� ,�� G�7�f @k ,� �� N���y � G:�* � N�!� ;^ � �� � � |�<( � Z � � #*�f ��D�i� #�U�� N��� �!f |��<( @k s7� )2 �
;�8� #� � ��!Y.
x
y xy 2�xy �� 2
)1,0(
www.ael.af
���
243
12635.1750.0375.0)(210123
xfx ���
�!����� ]2�� GO�� !L( � �2xaxf �)( �<�</ ��;&� K�7� ,�!2yx , !*� v2�� � ;�*�7( �$-m:
axfxafyfxfyxf
yfxfyxf
))(()()()()(
)()()(
��
��
���
:X5!=��:E�& A�:D m#�8� �� @��2 !*� 6FO )2 � 6�E8($IU�� ]2�$� h�$= �C-f ���$C�� �� N��V��� �2:
1- �/�( 6�E8($IU�� ]2�� ! �R �/�( � �<�</ ��;&� �*!��R ,� G7�f @k �<�</ ��;&�G�� G-y�.
2- s* )2 s* ]2�� 6�E8($IU�� ]2�� !)injective( ! ,�!2 �8�* G��21 xx � )E�7)()( 21 xfxf �
3-,�!2 6�E8($IU�� ]2�� !1�a,�!2 � ;*�Q��1�aG�� �f�8��.4- 6�E8($IU�� ]2�� ! ��!Y )\<( ��)0,1 (� �Y ��.5-6�E8($IU�� ]2�$� ,� ��!Yxx axfaxg �� � )(,)( $>� )2 !L(y�8��;(� ]f�� !W.
)(xfx
x
y xy 23��
www.ael.af
���
6- �� [$F�� 6�E8($IU�� ]2�� ! ���!� M*� )2 �( )�2 )�� ;xalog ��� N��� @�E�( S�$�O ]2�$�xay � �xy alog�;(� !j*;F* [$F��.
(���D��!Y,�8� #� #*�f ��D�i� #�U�� � � !*� 6�E8($IU�� ]2�$�;�.
x
x
x
x
xfdxfcxfbxfa
�
�
��
��
�
�
)2()())2()()
3.2)()3.2)()
www.ael.af
���
�F%���1:F,Logarithm
]2�$� �*k6�E8($IU�� @�$�� ��� !j*� 6FO )2 � �GO$(
�!����;�8� 6�7F� � !*� ��;^:
10000100010001.0001.00001.0)N;O N��� ��;&�(y410310�) ��;&�@�$� ��(xa
24�)@�$�(x
� ��;&Gf�5 ��310� � N;&�f@�$�@k�G�� ;8� )2 ,��U���;&�f �*k s*�;&)1 (�;(�$� �� N;O��!� ;O�2 �V8� ��$^ !Y���� N�!� )X� � !j*� K�82 � �;& s* @�$� �*k�#�(�$�
@�$� �� � !*� �*!�� q$: ��;^ 6�7F� ��!� @��2�:
C���D: � �-& #�* �Y$� � � �!5 ��)X @�$�� )-���>� )�� M�*� ��* � ;�O�2 ��� Gf�5 �� !j*� }$(;88� �� ��* #�* �Y$� K�( )2 � �$+z�.
xyay ax �9� log
\2� �R q$:a N;&�f K�( )2 � )Base ( �y K�( )2 � #�* �Y$� �;& ��� ��* ;�88� s�* #�* ��Y$� � � �-& N;O N��� �;& �(�$�� N;&�f !Y� )� GU )2 @k@�$��$O N�!2 ;8C2. N���:� � N;�O N��� �;&
;8� ��.
www.ael.af
��
q$: ��;^ �@�$�,�;&�f� �;&10;O�2 �� N;O N��� �;& #�* �Y$� �� � �-&e��y� $5 )2:310log001.0log 3
1010 ��� �
! ,�!2 �;&1,0 �� aa;&�f ��/ )2� #�* �Y$� �� N;O;(�$�.4�U�: �2 � !*� ,� N��:� �*!�� �� N��V��� ������ ,�� N���:� )�2 #�* �Y$�) ��;�&� @�$�� �� ( @k
;�U*$82.
31000log38log
10
2
��
5-:
10001031000log8238log
310
32
�9�
�9�
(���D1-7�* �Y$� v2�� ������ ,� N��:� )2 � !*�@k;�U*$82.
15log)
281log)
236log)
log)
5
9
61
10
�
�
��
�
dc
bxNa
2-�;�U*$82 @k ����� ,� N��:� )2 #�* �Y$� K$+V� ��7���� �2 � !*� ,� N��:.
x
y
yfye
dcba
3)2)
1010)1000010)
322)2564)
1
1
4
5
3
�
�
�
�
�
�
�
www.ael.af
��
��%���1:� A�:D S;���(�$� ���� )���VY ���*k]��2�$� �*���7( ,� �� ]2����
[$F��;8O�2 ��� ]2�$� �*�7( K�;�� )�2 !�L( ;(� [$F�� ,� �� )�
#�U�� $>�!W�8�� #*�f ��D�i�;(�.
�DC�� �$O �� ��* �7�* �Y$� ]2�� K�( )2 6�E8($IU�� ]2�� [$F��� ! 6�E8($IU�� ]2�� Q��( ]2��� K��( )�2
)� �$O �� ��* �7�* �Y$�1,0)(,: ���. � aaaxfRIRf x
)� �7�* �Y$� ]2�� �� � �-&;&�f�@ka N�$2!*� 6FO )2 ��$O �� N��� @�E(:1,,log)(,: 11 �+�. ���� aIRaxxfIRIRf a
�*�:
yxaxxfayxf
ay
x
����
��� log)(
)(1
6FO �]2�� ��!Yxaxf �)( �xy alog�G�� N;O #� �� N;*� S;(� !j*;F* !W�8�� �$O.
;�;�;�
10log10
xax
www.ael.af
���
����� N;���*� q$���: ��;���^ �� �$���ON����Y!1�a;���O�2,�!���2!���IRxx +< 21,��#���* :2121 ,loglog xxxx aa ��;O�2 ��.
4�U�1: ]2�� ��!Yxy 3� �xy 3log�;�8� #� � .5-: ]2��xy 3�#*!�j�� !L( � � .
93131
91
21012
y
x ��
]2��b�/xy 3log�#*!j�� !L( � � :
1011
31031
)1,31(
13log31log
31
)1,3(3log
3)0,1(
1log1
133
33
�
�
55�
55�
�
�����
�
���
��
���
��
�
y
x
yy
x
yx
yx
�!����� 6�E8($IU�� ]2�$� ��!Y GO��!L( � �2xx 2,)
21( G�7�f 6�E�8($IU�� ]2��� ��*!�� ,� ��
,�!2 � @k [$F�� ]2�$�2,1�x;�U*$82 ��$7& 6FO )2 � )z��( � N�$7( G:�* �.%�7<! : ;8(�� �7�* �Y$� ]2�� ! ,�!2xalog;&�f s* ,�!2�#* �� , ���=�:
1,0,,1log,0log1 ��+�� aaIRaaaa
x
y xy 3�
xy 3log�
yyyyyyyyyy
xxxx
www.ael.af
���
4�U�2: !Y�xxf 3log)( � ,� G7�f ;O�2 N;O N���)3(,)9(,)3(,)1( 2 ffff � G�� )2 � ;* �k.5-:,�^ )2 N;O N��� ]2�� �xG7�f,�#�8� �� ]H� � @k:
01log)1(
23log)3(
23log)9(9log)(
13log)3(log)(
3
23
2
233
33
��
���
����
����
��
ff
fxffxxf
4�U�3: !Y�4log3 �x G7�f ;O�2x;�8� G:�* � � .5-:#�U*$( �� �*�7( 6FO )2 � q$: ]2��:
8134log 43 �9�9� xxx
��2 !*� #Uf )2 � �7�* �Y$� ]2�� h�$= q$: ���$C�� �� N��V��� �2#�8� �� @:��%���1:� A��D m:X
1-/��R �$>�;O�2 �� �<�</ ��;&� G� �7�* �Y$� ]2��.2- )� �7Uf01log �a , ���=� N;&�f ! ,�!2 eG�� �7�* ��Y$� ]2�� [��� M*� )2 P"
�<�</ �^ s* �+8�10 �x � �� . #�U��� � �7�* ��Y$� ]2��� ��!�Y ����!� M*;�2 )\<( �� #*�f ��D�i�)1.0 (��� �Y.
3- s��* )��2 s��* ]2���� �7�* ���Y$� ]2���� !�� N�$��2���8�*,�!��2 !��21 xx � )E���7)()( 21 xfxf �G��.
4�U�4: ]2�� G7�fxxf 2log)( � G7�f ,�!2 � =>
� ,16x;�8� G:�* � � .5-:O N��� ]2�� � N;xxf 2log)( � N;O N��� ,� G7�fx#�8F�� ]H�� .
32log)81(log)
81(log)(
42log16log)16(log)(
3222
4222
��9���
�9���
�fxxf
fxxf
www.ael.af
���
�!����� ]2�� G7�fxxf 2log)( � � ,� G7�f ,�!22,28�x�;�8� )-��>�
(���D1- ]2�� ,�!2xxf 2log)( � ,� G7�f)2(,)1(,)
321(,)32( ffff;�8� G:�* � � .
2- ]2�� ,�!2xxf 3log)( � ,� G7�f)1(,)811( ff;�8� G:�* � � .
www.ael.af
���
��!S+ ,%���1:� � ��:��� ,%���1:�Common logarithm and Natural logarithm
;&�f �*k��Y$�#�* �+8� ��;&�2 �3�G��
C���D #*;*� )� , $5 �� !�� )21 G-y� �;& ! !j*�;&�f ;(�$� ���;O�2 #�* �Y$�e ,�� N;�&�f ���
�;& �� � �-& ;($O �� N�!2 �� )2 67& � �b$7�� )�10�e���2O8;.1- �f )� �7�* �Y$�;&� �;& @k10;O�2 2 ��$7�� #�* �Y$� K�( ))K�&( �* �Briggs #�U�� ���*
��S�$O)Briggs ( �iO K�(G�� N�!� ]H� � #�U�� M*� )� G��.xxfIRIRf x loglog)(,: 10 ��-.-�
4�U� :#�* �Y$� ,���;&�13210 1010101010 �;�8� )-��>� � .5-:
nyyzn
yy
yy
yy
yy
yy
nyn
y
y
y
y
y
���9�+
����9�
���9�
���9�
���9�
���9�
��
101010log,
1101010log
3101010log
2101010log
1101010log
0101010log
11
33
22
11
00
www.ael.af
���
�i� ,� G7�f GO��!L( � �2 �Cx�� #� � ��!Y#�*�7(:
;&�f )� #�* �Y$��@k�;&e���-5 #�* �Y$� K�( )2 ;O�2 Natural logarithms � N;*�!Y ��*�$O �� N��� @�E( !*� $5.
xxxfIRIRf e lnlog)(,: ��-.-�
e G7�f � N�$2 T5�( !�� �;& s* �� G�� � �-& @k �-*!<�?� 82.71828182e �� )�� ,� �� �G7��x
x)11( �;O�-�� ���& ���H�* |$2!� @k G:�* � N;�k G�;2. �;&e ��!�j�� ���* !C*�� K�( )2
]2�� �xexf �)( 6�E8($IU�� ]2�� K�( )2 � ;88F�� ��*. ]2�� ��!Yxey � )�-Oxay � �� #� ]2�� ,�!2 S�$Oxey � )�2 ��C�i� ,� G7�fx ���
#��.
34.771.2171.21
3.71
21012xey
x
�
��
]2�� ,�!2xey �� )2 �C�i� ,� G7�fx#�;��.
3.71
7.21171.234.7
21012xey
x��
��
x
y
0
1
1�10
xy alog�
3210123...log10101010101010... 3210123
���
���
xx
www.ael.af
���
]2�� ��!Y q$: �-*!<� ,� G7�f GO��!L( � �2xey � �xey ��#�*�7( �� #� � .
� ���-5 #�* �Y$� R�� �\� �!f N��V��� � $� ���& ���H�* ��� �!��Y $�� �� � ���*� ��7����� � � �� s�8i� � � �z� S!-z�� SP8*��.
�U�4 :210321 ln,lnln,ln,ln,ln �� eeeeee;�8� G:�* � � .5-:GO$( @�$��� �*!�� )2 !L(:xxy elogln ��
2ln
1ln
0ln
3ln
2ln
1ln
22
11
00
33
22
11
����9�
����9�
���9�
���9�
���9�
���9�
��
��
yeeye
yeeye
yeeye
yeeye
yeeye
yeeye
y
y
y
y
y
y
x
y xey �xey ��
www.ael.af
���
�� G�� � �-& @k ]2�� ��!Y:
�!�����
71lne
y �;�8� G:�* � � .�0001.0log;�8� G:�* � � .
(���D;�8� )-��>� � !*� ,� #�* �Y $�.
2
38
101log)01,0log)
1ln)log)
�
�
dc
ebea e
x
y
21
1 e 2ee1
1�
xy ln�
www.ael.af
���
,%���1:� (!�:KLaw of logarithm
;�(�� �� �� Gf�5 ��;&� �� M�(�$�f �$�= ;�( �� S�* G�� M�(�$f ,� �� # ��;&� #�* �Y$� �*k�)(
�!�����$82 � ��7( Gf�5 �!H 6'�/ M�(�$f;�U*.�;�U*$82 � ��7( Gf�5 #�U<� 6'�/ M�(�$f.�G�� ;8� )2 ,��U� s* � !V' @�$� )2 �;& !.
,� �� # #�* �Y$� Gf�5 h�$= )2 )2�E�M�(�$f;O�2 ��.4� �:��K: )2 ,��U� �;& �$= �;&�f )2 #�* �Y$� �*!�� R/�� � �;& ! #�* �Y$�IG��.
1log,1, ��+ aaIRa a
�:ST :)� #�(�� ��aaIRa ��+< � 1}1{
#*!�j�� #�* �Y$� ��!5� �� :1log �9 aa
4�U� :5515log 15 ���
/�# �:��K :#�(�� �� �;& #�* �Y$�I N;&�f ! )2 )2 ,��U��� !V'G.1,}1{ 0 ��+< � aIRa
P":01log10 �9� aa
4�U�:1)5(01log 05 ���
/: �:��K : �!H 6'�/ #�* �Y$� ,��U�� �;& M*;8� �* �� @��O ,�� #�* ��Y$� ]�7^ 6�'�/ )�2G��.
����:yxyx aaa loglog)(log ���
www.ael.af
��
�:ST :�$-m ,�!2pax � �qay � �!f��#��:
IIqyyaIpxxa
aq
ap
..........log
...........log
�9�
�9�
v2�� I �IIN�$7( �!H �!5 )2 �!5 � S)� #* ��:qpqp aaayx �����
R\2� ��!5� ��#*!�Y �� #�* �Y$� q$: S ,�^ )2p�q#�� �� �!f � @k ,� G7�f:
yxyx
qpyx
aaa
a
loglog)(log
)(log
���
���
4�U�1 :?50log �
5- :15log10log5log)105log(50log ������
4�U�2:?8log2log 44 ��
5- :
2114log4log)44(log)422log()82(log8log2log
44
4444
�������������
�!����
yxyxyxyx
aaa
aaa
loglog)(log
loglog)(log
���
���
� @�$2 vC�$� #�* �YN��:�q$: ,�� ;�� @�E( ��y� v�$�. /��3; �:��K : 6�'�/ )�2 ,��U�� �;�& �� #�U<� 6'�/ #�* �Y$� � � $�' #�* ��Y$� T�*!V�
eG�� Z!i��8�*:yxyx
aaa logloglog ��
�:ST:�$-m ,�!2pax � �qay � �!f��#��:
IIqyyaIpxxa
aq
ap
..........log
...........log
�9�
�9�
v2�� I �II �!5 )2 �!5 � #�UV�)� #* �� N�$7(:qpyxa
aa
yx
aqp
q
p
��9�� � )(log
www.ael.af
��
,��^ )2p �q#�8� �� ]H� � @k ,� G7�f.yxyx
aaa loglog)(log ��
4�U�1 :25log )� �� $' � ;�8� )-��>� � 6900.05log,3010.02log ��;O�2.
5- :3890.03010.06900.02log5log25log �����
4�U�2 :)2(log)10(log 2 xyxy yy �
5-: @$(�f#�8� �� T�-\� �� )2 G�� �� � K �+�:
15loglog5log
)5(log2
10log)2(log)10(log2
����
���/
yyy
yyyy
y
yxyxyxyxy
<�0 �:��K,: @�$� �;& s* #�* �Y$� )2 G�� ,��U� �� @�$��!H �$� �;�& @��7 #�* �Ye�8�*:xnx a
na loglog �
�:ST:
xxxxxxxxx
xn
aaan
a
an
a
a
���� ����� ��log
log...logloglog
)...(loglog
����
�����
)z��( � :xnx an
a loglog �
@$(�f �� N��V��� �25GO$( @�$� ��:xn
xx an
an
a log1)(loglog1
��
4�U�1 :?625log �
5-:7960.2)6990.0(45log45log625log 4 ����
4�U�2:?9log 33 �
5- :321
323log
32)3(log3log9log 3
32
33 2
33
3 ������
)�:�
www.ael.af
���
�!�����;�8� G:�* � � !*� ,� #�* �Y$�.
?8log?)12
1000(log 23 ��
(���D1- 6�'�/ 6F�O )2 � ]7^ 6'�/ ,� N��:� � ]7^ 6'�/ 6FO )2 � �!H 6'�/ ,� N��:�
;* �k G�� )2 � �*�+( ��$^ @�F�� � $' � � ;�U*$82 �!H.
?14log36log)?20log5log)
?)10(log)?)5(log)
12121010
210
24
����
��
dcyxbxa
2- ��8� 6*;�-� G7U�f Z �= )2 � 6H�V� � 6H�V� )2 � G7Uf Z �= ,� N��:� � $�' � � ;;* k G�� )2 � �*�+( ��$^ @�F��.
?100log1000log)?log)(log)
?80
125log)?4963log)
101022
7
����
��
dxaxc
ba
aa
3-;�8� )-��>� � �!*� ,� #�* �Y$�.31
210 )8(log))0001.0(log)�
�ba
www.ael.af
���
,%���1:� n���K 5��SD ;�&�f s* )2 �;& s* #�* �Y$� !Y�� N��� M����
;��O�2 N;��O. �;��& #�* ���Y$� #�(�$��� ���� $��\��f s* )2 � N�!-��(�!� 6*;-� !j*� N;&�
,=2 �:��K :��U� N;&�f M�& )2 �;& �� #�* �Y$� #�U<� 6'�/,)2 G��:
bmma
ab log
loglog �
�:ST:�$-m ,�!2ymb �log� �!f���*�7( 6FO )2 #�� @k�� � #�U*$(ybm �
���!5� � �;&�f )2a#*!�Y �� #�* �Y$�:bymbm aay
aa loglogloglog ���
G7�fy\2� � � R#�8� �� ]H� q$::bmmbmma
ababa log
logloglogloglog ����
6*;-� ,�!2 q$: @$(�f �� �;&�f#�* �Y$��!� N��V��� @�$� ��.4�U�:?27log9 �;�8� )-��>� � .
5-:#* �� #EO @$(�f �� N��V��� �2:23
1213
3log23log3
)3(log)3(log
9log27log27log
3
32
3
33
3
39 �
��
����
4�U�2:?75log3 �;�8� )-��>� � .
5-:3log
23log3log
5log23log3log
)53(log3log75log75log
5
5
5
55
5
25
5
53
��
��
���
�2##�� : [$F�� #�* �Y$�* K��( )�2 � @k )�� �;& @�7 #�* �Y$� �V8� )2 GU*��U� �;& sarithmCo log�*)clog (�;& @�7;88� �� ��*e�*�8:
McoMM aaa loglog1log ���
www.ael.af
���
4�U� :?321log2 �
5-:5152log502log1log32log1log321log 2
522222 �����������
,% � �:��K:)2 GU*��U� �;& s* #�* �Y$� [$F�� :a
MM
a log1log �
�:ST : �$-m ,�!2xaM
�log
1#�� �� �!f:
I..........1log1loglog
1����� x
MMM
aaxxa
R\2� �I �;& ,�^ )21#�8� �� ]H� � @k G7�f:
MaMa
M
xM
xM
M
��
��
�
logloglog1
�����!5q$: R\2� #�* �Y$� �;&�f )2a#*!�j��xMa �log
� \2� R ,�^ )2 q$:x(k G�7f�!#�8� �� ]H�:a
MM
a log1log �
�4�U1 :?5log125 �
5-:61
5log61
5log21
125log215log
21)5(log5log
53
55125
21
125125 ������
�!���� M�(�$f �� N��V��� �2 � !*� ,� #�* �Y$�@k;�8� ��U/.
?256log?2log 464 ��
,%=� �:��K : @k �;&�f )� �;& s* #�* �Y$� ,� ��@�$� G�� ,��U�)2:xn
x aan log1log �
�:ST :!2 �$-m ,�mxa �log;�U*$82 �*�7( 6FO )2 � @k N��� �!f.
nm
n
nn
mma
ax
axaxmx
)(
)(log
��
�����
www.ael.af
���
��� ��!5 q$: R\2� #*!�Y �� #�* �Y$�:mn
xnmx nn aa ����
1loglog
G7�fm#�8� �� ]H� q$: R\2� � @k ,�^ )2 � :xn
x aan log1log �
� !*� l*��( q$: @$(�f ��� �k G�� )2 @�$� ��.xxx
xx
nmx a
nan
na
ma nn loglog)3log1log)2loglog)1 1 ���
�!�����(;�8� �$-m � q$: l*��.
4�U�2:?125log25 �
5-:3525 5log125log 2�
@$(�f )2 !L(xnmx a
man loglog ���GO$( @�$� :
231
235log
23
5 ����
4�U�3 :?)27(log 2
31
3
�
5-:181183log)3(63log
31
6)3(log)3(log)27(log 336
3
23
)3(
12
31
31
31
��������
����
�!�����;*��� N��� � !*� ,� #�* �Y$� q$: ,� G�'�= �� N��V��� �2.
?4log)?6log) 383 �� ba
www.ael.af
���
,%���1 :� (!� 7J����:�����!S+ ����2!��L( �G��O�� #�* ���Y$� �� M��*� ,��� N;��&�f ��;��&� ���8�*10 �e R��\2� �� N� �V����� ���2
bxx
a
ab log
loglog �)�ab , �x� G-y� ��;&�ab ,;8O�2 s* �4=. !Y�10�a �eb ��$O ]H� e#�(�;��xxe lnlog �k !2�82 eG��@:
xee
xx 101010
10 loglog
1loglogln ���
@$�4343.0...,71.2loglog 1010 ��eG��:
xx
xx
log3026.2ln
log4343.01ln
�
�
4�U� :?69.4ln �;�8� G: �* � � .5- :)� #�(�;��:
5455.16712.03026.269.4ln69.4log3026.269.4ln
log3026.2ln
�����
�� xx
(���D��� N��� � !*� ,� #�* �Y$�;*.
235.0ln)00927.0ln)672000ln)
?14641log)?4log)
?27log)?3log)
1218
94
31
gfedc
ba
��
���
www.ael.af
���
G!%��� � V!% �%&�& Characteristic and Mantissa
�� ����� :01log,2100log,31000log 101010 ���
� �;��& s��* K���f � ��;���� M���2 M��*� !2���82 N�$��2 )\2� )� @k #�* �Y$��� �� �$^�
C���D)� #�(�� �� G-y� �<�</ �;&!x2 � ) 6FOnsx 10��;(�$� �� N;O )�O$(.
101, �4 snG�� K�� �;& s* . #�* �Y$� !Y�x�� G:�* � !*� $5 ;O�2 �$C\��$O.
nsxsx n
����
loglog10logloglog
slog )F�� $' � � 101 �4 s;O�2S , �E&� G7Uf P��(�� �*xlog �� ��* S;88�n �;& s* G�� K�� )� s���!��!� �* )DiE� K�( )2xlog�$O �� ��* .)� GO�� ;*�2 !5�= )2 :
1log0 �4 s �;��F* #�* �Y$� RDiE� ��� G�� , �E&� �;& s* � G-y� )E�7 �;& s* #�* �Y$� P��(��
� G-y� !V' )� G�� K��;(�$��� N;O �V8�.
�!����;�8� 6�7F� � !*� ��;^.
1602.0323
2010
log710log110
log001.010
log
11010
845.0107
602.0104
3101000
0101
21001.0
310001.0
390.11020
��
������
��
� � 6FOGf�5�7�* ��$� 6FO )2
#�* ��$�
www.ael.af
���
�� M�2 )F*��;&� #�* �Y$0 �10 M�2 S10 �100 M�2 �01.0 �0.001 ;�8� )2 ,��U� � �� �!f�G��
���$O �� p Q2 # @k #�* �Y$� �$O p Q2 �;& )� ;f ! �*k� �� !�F�$� ��;&� #�* �Y$�18��G-y� �* G�� �V
z��( q$: G����: ��R��!� @��2 @�$� �� � !*� !Y�101 �4 x;O�2es���!��!� P")RDiE�(G�� !V' )2 ,��U� @k. !Y�10010 �4 x;O�2e �;& )2 ,��U� @k s���!��!� P"1G��. !Y�1000100 �4 x;O�2e� @k s���!��!� P" )2 ,��U2;O�2 ��.
N;*�!Y 6�FE� oi2 �� �� �;& ! #�* �Y$� _�>' G7UfP��(�� � � _�>��' G7U��f �U����(�� � , �E��&� G7U��f � s�����!��!�� ����;��8*$Y . �;��& @�$���10
s���!��!�#�* �Y$�#* �k �� G�;2 ��;^ ,� �� � �U��(�� � ;O�2 �� �;& .
���� o��Scientific notation:!�;&N� @�$� �� 6FO )2 #�(�$� �� � e#�U*$82�4y� : �;&N #�U*$( �� M�8� � naN 10��
)F�� $' �101 �4 a� N�$2nG�� K�� �;& s* .
4�U�1:�;�U*$82 �7C& 6FO )2 � !*� ��;& .0028.0)573216)2573) cba
5-:
3
5
4
108.20028.0)1073216.5573216)
105731.225731)
���
��
��
cba
www.ael.af
���
`���K : ;O�2 !V' �4= �;& s* _�>' G7Uf !Y�e G��� ,��U�� �;& @k s���!��!� P"s* �V8� S_�>' G7Uf K�f � ��;�� )2.
4�U�2 : s���!��!�log526.9�G�� ;8� )2 ,��U�5- : _�>' G7Uf �;&7f )��G��eP" @k s���!��!�213 ���$E��.
F�$� ��;&� s���!��!� s* �� !�S R�4& ,� �� ��F* @k G�7�f � N�$�2 ��V8� ��;��� �� !�E��2!V';O�2 �� , �E&� R�4& G�� �!5 ,�.
4�U�3 : s���!��!�log0.002�G�� ;8� )2 ,��U�5-:
2log332log
10log2log)10.2log(002,0log
3
3
�������
��
�
)2 ,��U� @k s���!��!� P"3-;O�2 ��. !*� ��;&� s���!��!� q$: ��y� �� �� N��V��� �2�!� G:�* � @�$� �� � .
s���!��!�#�* �Y$�
2110789.0log110995.0log112784.56log41589435log
�����
��
www.ael.af
��
�D(���;�*$j2 ��VO � !*� ,� #�* �Y$� s���!��!�
2345log)875.3log)0009560.0log)9560log)0.956log)9560.0log)
fedcba
www.ael.af
��
,%���1:� 4��Z �� )F�7Uf � �C-f [ � s�* #�* ��Y$� #*;�*�
G7U���f�� �� �;���&)P��(����� � s������!��!� (G���� N;��O 6�FE��� . @k P��(���� G��:�* � ,�!��2
�;�8� �� 67& )($j�
G!%��� �����# $B��+ , �E&� � _�>' G7Uf �� �� �;& ! #�* �Y$� )� #�(�� �� 6�FE� G�� N;Oe G7Uf )F* $5-
,� )DiE� �* _�>' �;& ,�+(�$� �� � �-&10��2 ;O� #�* ��Y$� ��;�^ ,� �� � P��(�� � �;&�f )210 N;*�!Y ���!� �4-f )�e�$O �� N��V��� .�� �%�2 SGV �� ���;^ M*� �%��2 � �8�"
)* �E&� )(�= )� � �+� �� # N;O ���!� K��( ���;�^ S@k , �E�&� K��� K��f � ��;��� )�2 !�L( )� ;(� N;*�!Y , ��Ye l8" S�7f �+� ���;^ ;8(�� �7f � P��(��� G�:�* � ,�!�2 e��7f G�V
�!�5 #f s* ,�8y��� )2 )�:!Y !L( � �� �!5 �� � N;O N��� �;& K�f � !L( � $� �;& s* G�� �;& G�� �!5 #f @$�� K�;� )2 )� N�$7( )L/4� ��;^ � � �;& @k G�� . ]�5 �<�
�;& @k P��(�� )� G�� , �E&� �;& @$��� !\���;O�2.�U�41:
265.7log10log65.7log
)10.65.7log(765log?765log
2
2
����
�
�
s���!��!�P��(��
www.ael.af
��
q$: ��y� � �;&2 � �-& �� !\�� P��(��� G�:�* � ,�!�2 ;O�2 �� s���!��!�76 � G>� @$��5 �;�& )�2 )� N�$7( )L/4�8837.0 G�<2�\� ;�*�78�� . �;�& ��8�*8837.0
�;& P��(��765;O�2 ��.9876543210N
74
75
0.88590.88540.88480.88420.88370.88310.88250.88200.88140.880876
77
78
79
8837.228837.0765log ���
�U�42 :?9.70log � � ;�8� �;�".5-:
109.7log10log09.7log
)1009.7log(9.70log1
����
��
9876543210N850685008494848884828476847084638457845170
#�* �Y$� G:�* � ,�!29.70 !\�70 � @$�� G>�9 �;& )2 )� N�$7( )L/4�8506 G<2�\� �;& �8�* ;*�78��8506.0�;& P��(�� )� N�$29.70;O�2 ��.
8506.118506.09.70log ���
4�U�3:?0247.0log �;* ���2 G�;2 � .5-:
347.2log00247.0log247.2log
10log47.2log)1047.2log(0247.0log
2
2
������
���
�
www.ael.af
��
!\�24 @$�� G>� � 7 N�$7( )L/4� �;& )�3927.0G�� �$C\� ,�U��(�� �� � �-&.103927.83927.223927.00247.0log ������
�2##�� : G�� G-y� )E�7 P��(�� @$� �!��!� !Y� P" #��O�2 )����$= � ;�O�2 ��V8� s�� !R�4& #�U*$82 G-y� �;& s* 6FO )2 � @k ,��#�U*$( �� s���!��!� ,b�2 � �V8�.
3927.2239270247.0log ���
�!�����#�* �Y$� ��;^ GO�� !L( � �2?928log �;�8� )-��>� � .
4�U�4 : ��;�&� #�* ��Y$� !�*� ��;�^ GO�� !L( � �215,105,900,43,007.0 � G�:�* �
;�8�.10987654321��;&�
1.00
00
0.95
424
0.90
309
0.84
570
0.77
815
0.69
897
0.60
206
0.47
712
0.30
103
0.00
00
#�* �Y$�
84510.3384510.010log7log)107log()007.0log(
12494.0
60206.047712.04log3log)43log(
95424.2295424.0
10log295424.010log9log)109log()900log(01079.2
84570.047712.069897.07log3log5log)735log()105log(
17609.169897.047712.05log3log)53(15log
33
22
�
������
��
����
���
�������
����
�������������
��
www.ael.af
��
(���D1-;�8� G:�* � !*� ��;&� #�* �Y$� P��( �� � s���!��!�.
24log)00024.0log)2400log)024.0log)527log)928log)
921.0log)222log)
hgfedcba
2-;* k G�;2 � !*� ,� #�* �Y$� G7�f.53 0762.0log))73.2log() ba
www.ael.af
��
,%���1:� �%�Anti Logarithm
$�\� ;O�2 N;O N��� �;& s* #�* �Y$� N�Y! ��!� G:�* � � �;& �$= @�$� ��
C���D N�Y!xya �log;O�2 . P"y #�* �Y$� ��(� K�( )2 � x e;8��( ���8�* :xantiy log�
�4y�: !Y�5315.134log � #�* �Y$� ��(� ;O�25315.1 �;& )2 ,��U�34G��.
�!����� ��H!:8779.2log �N �;& N;O N���N�;�8� M���� � � � �;& s���!��!�;�� @�E(.�P��(�� ��;^ �8779.0)2� �� G<2�\� @$�� �!\� K�;�.
q$: G����: ��z��(R�!� @��2 @�$� �� � !*�.7<!%�: s���!��!� @$� #�* �Y$� �;&2 G��e P��(�� M*� N;O N��� � � !\�� � ��;�^75 G�>� @$��5� �� �!f . ��+���;^ ,� ���;&5.75�NG��.
s��� !��!�#�* �Y$�2#�8F�� M��� ��;^ ,� �� � @k P��(�� ;O�2 ��:U� 4�1 :9939.2log �N;O�2N ;* �k G�� )2 � .
5-: R5$2!� �;& �8�* #�* �Y$� P��(��9939.0 N�$7( G:�* � #�* �Y$� ��;^ � � S � )�� #�8�2 �� � �� �!f @$�� � !\� K�;� . � ��� G�O����* , $�5 � @$��� � !\�� ��;&� M*� �5$2!� �;�& )�� #��8)
�� � �-&86.9G��eP��(�� �8�* �;&86.9�� � �-&9939.0G����� S @$�� #�* ��Y$� RD�iE� �;&2�� G�� � �-& �$C\� �;& cd�82 G��:986�N
$� � @$�� q$: �2 � s���!��!� ��/ )2 G��� N;O N�� e �$�C\� �;�& _�>�' K��f � ��;��� P�"3�� G�� � �-& �$C\� �;& ��+� SG��986�N
9869939.2log9939.2986log
��
anti
0.99520.99480.99430.99390.99340.99300.99260.99210.99170.99129.59.69.79.8
9876543210N
www.ael.af
��
4�U�2: #�* �Y$� ��;&�;�8� )-��>� � !*�.0002.0)02.0)2.0)2) dcba
5-::
3010.443010.00002.0log)3010.223010.002.0log)
3010.113010.02.0log)3010.02log)
���
���
���
�
dcba
��z8*� � G��� K��f � ����!� )�2 |$�2!� �+8� �;& s* #�* �Y$� P��(�� )� �$O �� )�:!Y Rz��( q$: ��y� ��P��(�� M�& ,� �� ��;&� K�7�3010.0;(� .��82�4& G��f$��7( !��g� � #�* �Y$� ,�U��(�� )* �E&� R#��.
4�U�3 :9791.0log �N
5-: P��(�� �z8*� �9791 ��� G�O�� ���* q$�: ;�8(�� � @$�� � !\� )2 |$2!� ��;&� )�:�* ��;^ � � K�f � ,� �� �$C\� �;& #�8�953G��e G�� !V' s���!��!� @$�e P�" �;�& s�* ,� �� �$�C\�
' #f G�� _�>e�8�*:
53.99791.0log9791.053.9log
53.9
��
�
anti
N
4�U�4 :0531.3log ��N;O�2.fG7�N;�2�* � � .5-: ��;^ � � ;(� �V8� �� ! P��(�� � s���!��!� )� #�8�2 �� �z8*� � P��(�� �$�^� ��V8� �;�&� �;( . �;& #�O�2 )�=�� G-y� � P��(�� )F8*� ,�!21 #��8� �� �V8� s���!��!� �� � ]7^ P��(�� �2 � .
;*k �7( !��g� ����U� �.49469.0)13()10531.0(30531.00531.3log �������������x
P��(�� s7� )2 #�(�$� �� ��/9469.0 K�f � �;&N ;�(� � ��-& )�� #*��7( G�:�* � ��;�^ �� � �� :885 M���2 )��� ;��� ���� @�E��( s�����!��!� M������ � )* �E��&� )���4&8 ����� ;��( �� �!��f !V��' )��� .
000885.0�NP":000885.0)0531.3log( ��anti
(���D9479.4log))0521.5log() antibantia �
www.ael.af
��
(=!�:0�%��JXLinear Interpolation
�2 ��: Q�� !�$� s* $�� G&!� �!W � v�30 )�<�f� �2) !+OA !+O )2 G&�� #�(� s* �!W � G&!� @�7 )2 �
B ;� �� .*$j2� q$�: !�$�� G�2�m G&!� @�7 �2 )� ; )�2!+OC )� !+O M�2 �A�B SG�� ]f�� � G�f� ;<�
�;�� ;�$=
�!����� !Y�aAbB �� log,log ;O�2 N;O N���cC �log �$�C\� N�$�2 )�F* $5BCA ��
G��.� #�* �Y$�Clog� �� �!f �<�</ ��;&� RC'�: K�;� �.�!Y� ;�*$j2 �8�7i� 6FO )2ab ,;8O�2 s*�Q( #�2 ��;&�eP"Clog ]f�� �z� ��G���M�2 ,� G7�fb�a� �;* �k G�;2 �2�U/ v�� ,� ��
�!� G:�* � @�$� �� � !*� Rz��( q$: G����: ��.
7<!%�: R�C7& �;& s* G:�* ��$C���( )� � ��\= ME��$"!�(� K�( )2 ;O�2 ]f�� K$C�� �;& �� M�2;88� �� ��*.
N�Y ! �;& s* l8" �;& ;8(�� �7f 2345.1 #�* ��Y$� #�(�$� �7( #�O�2 )�O�� @k ��;�^ �� � #�8� G:�* � �7f �+�e ��;&� #Uf M*� #�* �Y$� P" )��O�;( ��7f l8�" ��;�^ )F�� $�' �
#�O�2#�(�$� �� N�!� G:�* � �\= ME��$"!�(� R<*!5 v�$�.
4�U�1 :235.5log�;�8� G:�* � � 5- : & M*� )� G�� _H�� #�* �Y$� ��;^ � �; �7f �+� ���� � �;( �$^� )�� #�(�;��� �;�&235.5��;&� M�2230.5 �240.5 �!fe)�O��� �� �$^� ��;^ � � @k P��(�� )�.
B
C
www.ael.af
��
�� G:�* � !*� , $5#�8�.
7193.0240.5log7185.0230.5log
��
@$� :240.5235.5230.5 ��;O�2 ��.240.5log235.5log230.5log ��
P" :7193.0235.5log7185.0 ��
N�Y!x�235.5log � $' @k � �$O ]H�#* ��:7193.07185.0 �� x
P��(�� M�2 ���V� �#*!�Y �� !L( � � ��;&�.P��(����;&�
0008.07185.0230.5
235.5005.0
7193.0240.5010.0
���
�
�
���
�
�
��
���
�d
x
;(� ���8�� # �2 �;& �+� M*� )� �$O �� �!: �\= ME��$"!�(� R<*!5 �e�8�* :0004.0
010.00008.0005.0
010.0005.0
0008.0@�
���� ddd
b �/ G7�fd � �2 #�8� �� ]7^ s�$� �;& P��(�� G<�</ � �;& #�* �Y$�235,5 G�� )2��;*k.7189.07185.00004.0 ��
���!� M*;2 :07189235.5log �
4�U�2 :0007957.0log�;�8� G:�* � � 5- :)� #�(�� ��:
4957.7log10log4957.7log
10log957.7log)10957.7log(007957.0log
4
4
������
���
�
@k s���!��!�4-G��.
www.ael.af
��
,�;&957.7 � �;( �$^� #�* �Y$� ��;^ �e #�* �Y$� ���95.7 �96.7 G�:�* � ��;�^ �� � #�8� ��.
9004.095.7log9009.096.7log
��
@$���� :960.7957.7950.7 ��G����� eP���"960.7log957.7log950.7log �� N����Y!x�957.7log�!� G:�* � ME��$"!�(� v�$� � @k � �$O ]H�.
��;&�P��(��
0004.000035.001.0
007.00005.0
01.0007.0
0005.0
0005.09004.0950.7
957.7007.0
9009.096.701.0
@���
�
���
�
�
���
�
�
��
���
�
d
d
dx
G7�f b �/d � �2#�8� �� ]7^ s�$� �;& P��(��.
9008.00004.09004.0 ���;& #�* �Y$� �8�7i� P��(�� )z��( �0007957.0�$O �� 6'�/.
9008.449008.00007957.0log ���
4�U�3 :#�* �Y$� ��(�5544.4;�8� G:�* � � .5- : N�Y!5544.4logantix �]H� S�$Ox �!� G:�* � ;*�2 � . )z��( q$: R\2� �� � !*�
��#�U*$(:
4log10loglog)10log(5544.045544.4log
44 ������
���
tttx
www.ael.af
�
P��(��5544.0 GU�( �$^$� ��;^ �e P��(������ ,��5539.0�5551.0 � �^$� ��;�^ �$G�� G7�f ME��$"!�(� s7� )2 � G:�* � � �+(k #�* �Y$� ��(� �x#�8� �� G:�* � � .
58.35539.0log59.35551.0log
��
antianti
P��(����;&�
0042.00012.00005.001.0
0012.00005.0
01.0
0012.00005.0
5539.058.35544.05551.059.3
01.0
���
�
���
�
�
���
�
�
��
���
�
d
d
td
G:�* � ,�!2t G7�fd � �2�8� �� ]7^ s�$� �;&#.
35842loglog)105842.3log(log
5842.30042.058.358.3
4
���
�����
xx
dt
8O�2 ,��U� # �2 �;& �� ,� #�* �Y$� )F��f� e;(� ,��U� # �2 Q�( ��;&� �$= ;P" :
35842�x
(���D� �? ��;&� N;O N��� �b�x�;�8� G:�* � �
28.6log)00158.0log) �� xbxa
www.ael.af
�
�Y#���E�& 5!=��:��%���1:� �Exponential and logarithm equations
6F��O )��2 )��� �b������ 6��/ � ���2 � ����/ )��2 ���� ���*k2
21
55�
�xx�3)1(log 2
2 ��x;8O�2 .�;*� N�!� !F:2 ) G7�f K�;�x R������ G��� G�� � q$�:�� ��� $�\
#�8� G:�* � � �b���� #Uf M*� �$+z� G7�f #�(�$��
C���D)F��b���� ,� �� )�@�$� O�2 �$+z�8 b���� K�( )2 ;� 6�E8($IU���!Y �� ��*;(. G�:�* � ,�!2
���7( G��f�5 @$(���f �� #*����� ,��U��� #�� ���2 � �!��5 �� !�� ,��� N;��&�f #��U��(�$� !��Y� �$��+z�)�* � N;&�f !Y�@�$��;8O�2 ,��U� # �2(#�8� �� N��V���.
4�U�1 :322 1 ��x
5- : �!5 �� ! �;&�f �b���� � �� @�UF*#*���.6,5122 51 ������ xxx
4�U�2 : R�����6�E8($IU��413 28 ��x�;�8� @�>��� � 6/ �
9779
3494394)13(3
2228 4)13(3413
���
�������
��� ��
xx
xxx
xx
��8%�:
44
434
3434
4337
4137
41973
222)2(2828
2828
��
�����
����
��
www.ael.af
��
�!����� R����� ��21 64)16( �� � xxG7�fx�;�8� G:�* �
�%���1:� �Y#���� : ����� K��( )�2 ;�O�2 �$�^$� �$�+z� @k � )� �7�* �Y$� ,� N��:� �b N��� R������ �b�� �7�* ��Y$� R����� s* �� �$+z� G7�f G:�* � ,�!2 � ��!Y �� ��* �7�* �Y$�
)�=��� N���� #�* ��Y$� ,�*�%f � M�(�$f )2 !L( � N;O PI�� e � ,!�-z�� M�(�$�f )�2 G�<2�\� � �!� )-��>� � �$+z� G7�f @�$� �� �X�7( �b�����* . ���� �� ,�� )�($7( !�*� ,�� ���y� �b�
G�� N;O )-��>� �$+z� G7�f �C�i� M�(�$f !m� � )� ;� �� @�E( � �7�* �Y$�.4�U�1 : G7�f !*� �7�* �Y$� R����� ��x;�8� G:�* � � :3)1(log 2
2 ��x
5- :�7( 6FO )2�*#�U*$( ��:
39
98121
3)1(log
2
22
32
22
���
����
��
��
xx
xxx
x
4�U�2 : G7�fx � R����� ��9log2)2(log 33 ��x;�8� G:�* �.5-:
797928181292
9log)2(log
9log2)2(log
2
233
33
����������
��
��
xxxx
xx
4�U�3 : G7�fx�� � R�����04log5log3loglog 5555 ����x;�8� G:�* �
www.ael.af
��
5-:
415,
415loglog
415log
453loglog
4log)53(loglog
4log5log3loglog
04log5log3loglog
55
555
555
5555
5555
��
��
�
���
���
����
xx
x
x
x
x
#�* �Y$� @$�;(� ,��U� #�2 ��;&� �$= ��� e;(� ,��U� # �2 �!5 �� ! ,�.
4�U�4 :����� ��R1)23(log 23 ��� xx G7�fx�;�8� G:�* � �
5-: � q$: R����� )2�� Gf�5 6FO#�U*$(:
023330233
3231)23(log212
1223
��������
��9����
�
xxxx
xxx x
tx �3#�� �� �!f:
2log2303313
202101
0)2)(1(023
32
10
2
�9�
�����
��������
�������
xx
tttt
tttt
x
xx
4�U�5:����� ��R1)log(2)36log( 2 ���� xxG7�fx�;�8� G:�* � � 5-:
www.ael.af
��
2,24
36910361036
10log36log1)(36log
1)log()36log(1)log(2)36log(
212
2222
2
2
2
2
2
22
2
�����
�������
��
����
����
����
xxx
xxxx
xx
xx
xxxxx
(���D�7( �b���� ��* �7�* �Y$� � � !*� G7�fx�;�8� G:�* � �
221log)43log)
37)1111)
5
31213
���
��
�� ���
xxdxc
ba xxx
www.ael.af
��
�e��� N�� 7!��� N�Z �# ,%���1:� `#� % ,� )�C7& #�* �Y$� �� N��V��� �2 �*k � ��H ��*
#�(�$� �� N��� K �z(� .
���#,%���1:� \ :D l�e 59�- �� @$(��f !2��82 #�* �Y$� s7� )2 � �;& ;8� �* �� �!H 6'�/NMNM logloglog ���
#�(�$� �� N�!� G:�* �.4�U�: �!H 6'�/ )� #��$i��2.8817.3 �#�8� G:�* � #�* �Y$� s7� )2 � .5- :( �!H @$(�f !2�82#�(�$��� N�!� )�O$.
4466.29455.15011.02.88log17.3log)2.8817.3log(
������
P��(���� )��� �$��O ���� N;��*� ��;��^ �4466.0� �;��( �$��^� ��;��^ � .P��(���� M���2 � �����,�4456.0,4472.0� �� �!f.
�$O �� N;*� ��;^ ��:
79.24456.0log80.24472.0log
��
antianti
P��(����;&�
0016.00006.0
4472.080.24466.04456.079.2
01.0���
�
�
���
�
�
��
���
�td
www.ael.af
��
#�� �� 6�FE� � ���8�:0016.00006.0
01.0�
d
375.2792.8817.3375.2794466.2log
375.279)1079375.2log(log
79375.200375.079.2
00375.00016.00006.0
0016.00006.001.0
2
���
���
���
���
�
antixx
t
d
p�!�# �� ��W �;& ;8� �* �� �!H ,�!2S PI�� � #�8� �� 6'�/ � � @k ,� #�* �Y$� ]7^ 6'�/ GUi(
#* �k �� G�� )2 G�� �!H 6'�/ �� � �-& )� � ]7^ 6'�/ M*� #�* �Y$� ��(�.
�!�����:�* � #�* �Y$� �� N��V��� �2 � !*� �!H 6'�/;�8� G.
?0.622.74 ��,%���1:� V�& 7� �� ���K ^��X �����#
#�* �Y$� K�� @$(�f �� N��V��� �2NMNM logloglog �� s�* G7U�f Z �= )� #�(�$� �� ��
#�8� 6'�/ � #�U<� R�C7&. 4�U�1: G7Uf Z �= )� #��$i��
49.38750 #�* �Y$� s7� )2 � '�/ #�8� 6.
5- :49.3log8750log49.3
8750log ��
#* �� #�* �Y$� ��;^ ��:
3992.35428.09420.349.3log8750log0542849.3log
9420.38750log
������
www.ael.af
��
��;^ �� )F(k ��/25073992.3log �anti �$�O ��� )-���>� @k !2��82 e16.250749.3
8750�
�$O ��.
�!����� 6'�/;�8� G:�* � #�* �Y$� �� N��V��� �2 � !*� #�U<�.
2.16374 p�!�# �� ��W
T�*!V� K$U�<� #�* ��Y$� �� � )��C& K$U<� #�* �Y$� GUi( S�;&�� G7Uf Z �= G:�* � G+^N�!�ef Z �= �� � �-& )� � q!: M*� #�* �Y$� ��(� PI�#�8� �� 6'�/ SG�� �$C\� G7U.
,%���1:� V�& 7� �� �K�+ �����# �+(k ,��7( )� ,� Gf�5 G:�* � ,�!2�;&� #�* ��Y$� K$�� @$(�f �� S;8O�2 ,!U� �* K�� G-y� �
#�8� �� N��V���.4�U� :f )� #��$= ��� G76)05.1(#�8� G:�* � � .5-:
1272.0)0212.0(605.1log6)05.1log( 6
����
)F(k ��/ :340.11272.0log �anti
@k !2�82340.1)05.1( 6 �
�!����
� #�* �Y$�?)694( 32
�
7� �!2�� 7%2# #�� ,�!2 N;�&�f #�* ��Y$� GU�i( SG�f�5 s�* G7�f G:�* � � @k ,��7( )�2#�8� �� �!H .�� Gf�5 G7�f �� � �-& �!H 6'�/ M*� #�* �Y$� ��(�G.
www.ael.af
��
(���D1-�!H 6'�/,��;�8� G:�* � #�* �Y$� �� N��V��� �2 � !*�
?78.7097.0 ��2-#�U<� 6'�/,��;�8� G:�* � #�* �Y$� �� N��V��� �2 � !*�
7378)?
1.252.32) ba �
3- #�* �Y$� �� N��V��� �232
)964(� �;*��� N���
www.ael.af
��
,3� ����56�,<�0
C���D: N�Y!a � G-y� �;& s*1�a S;O�2xaxf �)( �;&�f )2 6�E8($IU�� ]2�� K�( )2 � a;8��( ��.5!=��:E�& A�:D m:X
6�E8($IU�� ]2�$� h�$= �C-f ���$C�� �� N��V��� �2#�8� �� @��2 !*� 6FO )2 �:1 -�/�( 6�E8($IU�� ]2�� ! �R�/�( � �<�</ ��;&� �*!��RG7�fG�� G-y� �<�</ ��;&� �.2 - ! ,�!2 6�E8($IU�� ]2�� ! �*!�� )�/�( )� �7Ufxxf ,0)( �G��.3- s��* )��2 s��* ]2���� 6�E��8($IU�� ]2���� !��)injective ( !�� ,�!��2 ���8�* G����21 xx � )E���7)()( 21 xfxf �4 -,�!2 6�E8($IU�� ]2�� !1�a,�!2 � ;*�Q��1�aG�� �f�8��.5- )\<( �� 6�E8($IU�� ]2�� ! ��!Y)0,1 (� �Y ��.6- 6�E8($IU�� ]2�$� ,� ��!Yxx axfaxg �� � )(,)(L( $>� )2 !y;(� !W�8��.
,%���1:�C���D : K��82 � �$�+z� @�$� R-��>� )F8*� �* � ;O�2 �� Gf�5 �� !j*� }$( )X� � �!5 �� � �-& #�* �Y$�
F�� ��* #�* �Y$�8;8.xyay ax �9� log
��%���1:� A��D :E�� ��* �7�* �Y$� ]2�� K�( )2 6�E8($IU�� ]2�� [$F���$.
��%���1:� A��D m:X1 -/��R;O�2 �� G-y� �<�</ ��;&� G� �7�* �Y$� ]2�� ,� G7�f.2 - )� �7Uf01log �a G�� ;O�2 �� , ���=� N;&�f ! ,�!2e [��� M*� )2 P" ��+8� �7�* �Y$� ]2��
�<�</ �^ s*10 �x � �� . * �Y$� ]2�� ��!Y ���!� M*;2� R�\<( �� #*�f ��D�i� #�U�� � �7)1.0 (��� �Y.
3 - ! ,�!2 �8�* G�� s* )2 s* ]2�� �7�* �Y$� ]2�� !21 xx � )E�7)()( 21 xfxf �G��.4 - �7�* �Y$� ]2�$� ,� ��!Yxxf alog)( � �xxg
a1log)( � $>� )2 !L(x !W�8��;(�.
,%���1:� a:� :FF��� ,%���FF1:���)/�FF�(: �;��& @k N;��&�f )��� �7�* ���Y$�10 #�* ���Y$� K���( )��2 ;��O�2K���&���*
Briggs systemS�$O �� N;���( �$-7� )2 )�log�$O �� N��� o*�7(.��!S+ ,%���1:�
@k �;&�f )� �7�* �Y$�e N��� @�E( !*� $5 � N;*�!Y ��* ���-5 #�* �Y$� K�( )2 G���$O ��.xxe lnlog �
www.ael.af
�
,%���1:� (!�:K��� @$(�f:1log �aaK�� @$(�f:01log �a
K$� @$(�f:yxyx aaa loglog).(log ��
K �+� @$(�f:yxyx
aaa logloglog ��
#z8" @$(�f :xnx an
a loglog �
#EO @$(�f:a
mm
a log1log �
#�V @$(�f :mbm
ba
a logloglog
�
#�E @$(�f:xn
x aan log1log �
G!%��� � V!% �%&�&V!% �%&�& : N�Y!snxS loglog,101 ���4 ;O�2n ��* )D�iE� K��( )�2 )�� K�� �;& s*
�$O �� M���� �;& �$= ,� �� )� �$O �� ��* s���!��!�.G!%��� : , �E&� G7Uf)logs ( �( )2 ��!�Y ��� M����� ��;�^ ,� �� )� �$O �� ��* �U��(�� K . P��(���
s*� !V' M�2 G-y� ,�;& s*� �� �!f.,%���FFF1:� �FFF%� : N����Y!xya �log;���O�2e P"y #�* ����Y$� �����(� K����( )���2 � x e;���8��( �����
�8�*:xantiy log�
�JX (=!�:0�%�: �� M�2 K$C���( �;& s* !Y� ��� K$�C�� ��;�&� @k s�7� )�2 ;O�2 ]f�� K$C�� �;&ME��$"!�(� K�( )2 )<*!5 M*� � $' M*� � �!� G:�* � � K$C���( �;& @�$��\=�$O �� ��*.
��� �Y#���� � ���%���1:� �b��� �Y#��� : ,� �� )� R����� �*�7( ��!�Y ��� ���* �X��7( R����� K�( )2 ;O�2 �$+z� . G�:�* � ,�!�2
�$+z� ��M�(�$f#�8� �� N��V��� � Gf�5. ��%���1:� �Y#��� : �7�* ��Y$� �b����� K�( )2 ;O�2 �$^$� �$+z� @k � )� �7�* �Y$� ,� N��:�
��!Y �� ��*.,%���1:� V�& 7� �e��� N�� 7!���
#�* �Y$� s7� )2 �!H 6'�/ G:�* � #�* �Y$� s7� )2 #�U<� 6'�/ G:�* �
7� )2 Gf�5 G:�* � #�* �Y$� s
www.ael.af
�
(���D56�,<�0
� G�:�* � � G�� � ��$^ N;O N��� ��$^ �+� ��$� ! ,�!2 N;(�$= Gf� )2 � !*� �b�$�;�*�7( )<C/ � @k ��.
1- �7�* �Y$� �;&)41(log 2G�� ,��U�.
3)3)4)4) �� dcba
2- R\2� �4181log 4 �b7�f Gb�� G�� � �-&:
4)81)81)41) �dcba
3- ���:� G7�f?01,0log81log3 ���� G�� � �-&:9)6)4)0) dcba
4- G7�fx R����� �3log2log18log �� x)2 G�� ,��U�:5.13)4)3)2) dcba
5-?16log2 �G�� G�� � �-&:4)5)3)4) �dcba
6-125log51�� G�� � �-&:
5)4)3)3) dcba �
7-21log
21�� G�� � �-&:
1)1)21)
21) �� dcba
8-G7�f x R����� �93 1 ��x�� G�� � �-&:3)9)9)3) ������ xdxcxbxa
9- RDiE�21,234log�� G�� � �-&3)2)1)0) dcba
10-)2 GU*��U� �;& s* #�* �Y$� [$F��:K�;F��)
log1log)
log1log)
log1log) d
mmc
mmb
mma
aa
aa
aa ���
www.ael.af
���
p�!�& 5- � �� �Y: 1-G7�f !*� �b���� �x�;�8� G:�* � �
2log)2(log)1(log)20log2)34log()
log2111log)715)
6416)9log2)2(log)93)33)
555
112
2133
14223
�������
����
���
��
��
��
��
xxhxg
xxfe
bdxcba
xx
xx
xxxx
2-7�* �Y$� ,� N��:�;*��� N��� #�* �Y$� M�(�$f �� N��V��� �2 � !*� �.
?24log)
?)100
(log)4(log)
?)2(log)8(log)12(log)
32
55
23
233
23
�
��
���
c
babx
xabb
xyyxxa
3-;�8� )-��>� � !*� ,� #�* �Y$�.
?1,0
10log)?)1288log()?100log)
?2431log)?43log)
3
104
10
38
���
��
edc
ba
4-;�8� G:�* � � !*� ,� #�* �Y$� ��(�.1987.2)5682.4)8954.0)7300.1) dcba
5- ��;&� �� s* ! #�* �Y$�� G:�* � � !*�;�8.002.0log)3.65)91)89500) dcba
6- �!H 6'�/ #�* �Y$� s7� )2��;&�;�8� )-��>� � !*�.)8,34()0062,0()995201,2) ���� ba
7- ,� G7Uf Z �=� !*� �;O N���;�8� G:�* � #�* �Y$� �� N��V��� �2.47.73.17)256888.0) ba
8-;�8� G:�* � #�* �Y$� s7� )2 � !*� ,� N��:� �� s* !.21.0)418))7.84())42.7() 23 dcba �
www.ael.af
���
#�# N��=� ,K� ��3; �W G!%��� 7& ,%���1:� 4��Z
www.ael.af
���
www.ael.af
���
6�,=2 5G���%���
www.ael.af
���
www.ael.af
���
�� G�� �%�Matrixes
!� )��:!Y !�L( � � ��* )�<-5 ;8� @�7�=�� !*$D� � �� )<-5 ;8� @�7�=�� ;* �7E2 � ��� 62�<� 6FO
� p Q�����2 !������7�� ,������ M������FC� #�(�$������#* �7E2)2555( �� M�FC���;��� ��� R�<-5 ��;���
� s�$� !�7�� ,�;* �7E2.
�!������R\<( #*�f ��D�i� #�U�� ),( yxM� ;�8� M���� .� R\<( !W�8��),( yxM �)','(' yxM� $>� )2 !L(x;�8� M���� .�;�U*$82 �*�!H 6FO )2 � q$: )\2�� .� |�<( ,�!2 � q$: G����: 6/�!� K�7�P ��� !W�8 @k'P $�>� )2 !L(y �SS ,') !W��8��
@k (;�� K�z(� )��H� ���7� �;-� )2 !L( .GO$( @�$� �� �!*� )z��( q$: G����: K�z(� �� ;�2:
���
����
����
���
'110'101
''
yyxxyx
yyxx
'
''
1001
'110'101
''
MM
yx
yx
yyyxxx
yyxx
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'""#
$%%&
'�
���
����
����
���
R\<( )� G�� K$+V� M*� )2M RC��$2""#
$%%&
'�10
01 )\<( )2'MG�� )�:�* 6*;-� .
�� K�;� ! )� ;�(�� ��""#
$%%&
'yx �""
#
$%%&
'''yx;8�U )��H� ���7� ,$�U� � )\<( s* ,$�U� o*�7(.
www.ael.af
���
��;^ ���""#
$%%&
'�10
01 @k )2 )-�!� M���� ,�!2 )� G�� ;*;^ RC��� s* ;*$�O ��� � )�2 � . )�2
���!� M�7""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
�1001
,1001 �""
#
$%%&
'�
�1001 s* ! |�<( ��PP ,' �SS ,' RC��� s*
G�� |�<( 6*;-� .
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�""#
$%%&
'� 10
011001
1001
C���D: �!�f �C�\�U�� ��;�^ s�* � �($��� � ,!\� 6FO )2 ��O� �* ��;&� �� �* )��� N�Y!�$O N��� . PF*!�� K�( )2Matrix�$O �� ��* .
��;&� �� s* !S �$�O ��� N;���( PF*!�� !D8& . p Q�2 ��!�/ABC ,, ... o*��7( ,�!�2 � $� ��!/� PF*!���sS o*�7( ,�!26��O !'�8&� �� )2 PF*!��$O �� N�!2.
;88� �� �iE� � PF*!�� s* !*� � ��;&� ��;^ �� K�;� !.
!Y� �C� $5 )2a ]f�� ,!D8& !\��i @$��� � K�j 6F�O )�2 � @k ;�O�2 PF*!��� s�* K�Jia )� #�� �� @�E(i�j @$��� � !\�� N �7O N;88� �iE� ���!� )2 � N�$2 ���-5 ��;&�
;8O�2 �� ....3,2,1,...3,2,1 �� ji
"""
#
$
%%%
&
'
�
nmmmm
n
n
aaaaaaaaaaaa
A.........
321
2232221
1131211
$Z�# �� 7SD�� G���%� V� PF*!��� ,�� !\�� ��;��� !Y�A )�2 ,��U��m )�2 ,��U�� @k ,�� @$��� ��;��� �n ;�O�2
����*$��Y� #A )��-�!� �� PF*!����)( nm� �$��O ���� N;��(�$= �m �n#�U��*$( ���� � G���� :� �
nmjiaA�
� PF*!�� ! @$�� � !\� ��;�� � ;8*$Y @k N��;(� �* )-�!� .
"""
#
$
%%%
&
'
��
��
124573412
A"""
#
$
%%%
&
'�
321
B "#$
%&' �� 27
340C
��� !\� !\�K�� !\�K$�
��� !\� !\�K�� !\�K$�
@$��K$���� @$�� K�� @$�� @$��
!\�
www.ael.af
���
�!�����* ! )-�!�;�8� M���� � !*� ,� PF*!�� �� s.
""#
$%%&
'�
"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'�""
#
$%%&
'�
dcba
DABC215132
531
651432
!Y� ;�8� )^$�AUF*!��� �8�* ;O�2 @$�� s*� !\� s* �211)( �x PF*!�� N�j(kA �;& )2G�� ,��U� � 6=�� .
4�U�:$82 �C�\�U� ��;^ � $' )2 � !*� ,� PF*!��*;�U.23232222 )()())()() ���� ���� jiabjiaa ijji
5-: �$�7& � $�' GUi( b�2 ,� ��y� �� s* ! 6/ ,�!2 ��� � N;�O )����$= PF*!��� �^ PF*!�� ��$7& � $' S #�U*$(Qda PF*!�� s*22� eG���8�* :
422,312,321,211 22211211
2221
1211
������������
��
""#
$%%&
'
aaaajia
aaaa
ji
O )���$= PF*!�� )z��( �;N�� G�� � �-& :""#
$%%&
'4332
Q^d(b6FO PF*!�� ��$7&23� �8�* G��3 � !\�2�8�*e� �� @$��:
623,422,221313,212,111
322212
312111
3231
2221
1211
������������������
"""
#
$
%%%
&
'
aaaaaa
aaaaaa
���$= PF*!�� )z��( �)�� G�� � �-& N;O :"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'
634221
3231
2221
1211
aaaaaa
;8O�2 ,��U� s* )2 s* @k !'�8& N�Y! ;8*$Y ,��U� � )-�!� # PF*!�� �� ,��U�.
www.ael.af
��
�4y� :""#
$%%&
' ��""
#
$%%&
'3221
32
ba M*� )�� ;($�O �� ,��U� ��f� PF*!�� ��1��a �2�b
O�28; .
PF*!�� �� �*k� �21,21
""#
$%%&
'!� � )( �* ;(� ,��U� #�2 � �
(���D1–$82 � !*� ,� PF*!�� R-�!�*;�U .
""#
$%%&
'�
�"""
#
$
%%%
&
'�
401231
063652421
BA
2–;�U*$82 �C�\�U� ��;^ 6FO )2 � �!*� ,� PF*!��.
3333 ))32()
�� ""
#
$%%&
'�
jibjia
www.ael.af
��
�� G���%� a:� PF*!�� @$�� ;8� � !\� ;8� 62�<� 6FO ,�
��(�; �;(�$� �� N;O !V' PF*!�� !'�8& K�7� �*k
1– N�J G���%�Row Matrix: U�F*!��� ��+8� )�� !\�� s�* ,� �� � @k S ;�O�2 e;8*$Y ,!\� PF*!�� �4y�41)0954( ��A
2– ��:% G���%�Column Matrix :��@$�� s* ,� �� �+8� )� PF*! � @k ;�O�2
e;8*$Y �($�� PF*!���4y�:13
235
�"""
#
$
%%%
&
'
��A
3– � F9 G���%�NZero Matrix: � @k S ;�O�2 !V�' @k !�'�8& K��7� )�� PF*!���!V' PF*!��, )2 � N;���(�$-7�nm�0;8� �� o*�7(.
23
2342
42
000000
000000000
0
�
��
�"""
#
$
%%%
&
'�""
#
$%%&
'�
4–����� G���%�( square Matrix ) : ;8(�� PF*!�� � N�Y!A � �� !\�� ��;���
;8O�2 ,��U� � @$��)( nm ��2!� � PF*!�� e;8*$Y ��4y�:33
201975431
�"""
#
$
%%%
&
'
��A
�&!: !\f�C'� !\f
"""
#
$
%%%
&
'
nnnn
n
n
aaaaaaaaa
.........
1
22221
11211
!\f�&!: !\f �C'�
www.ael.af
���
� PF*!�� !�2!� f �� ,� �� S;�O�2 �� !\ @k !�'�8& )�� !�\fnnaaa ,...,, 2211 G��� !�\f �C���'�Main Diagonal @k !���'�8& )���� ,!���\f �11 ,..., nn aaG���������&!: !���\f S
Minion Diagonal;8��( �� .
�!����� ,� PF*!�� � �+(k R-�!� )� ;�U*$823114 �� �;8O�2PF*!�� }$( )��;8�U.5 :JK G���%� N�Diagonal Matrix: !�\f �� !��� )�2 @k !�'�8& K��7� )�� PF*!��
;8(�� e�$O �� ��* ,!\f PF*!�� K�( )2 ;8O�2 !V' )2 ,��U� �C'� :
33300030001
�"""
#
$
%%%
&
'�A
225001
�""#
$%%&
'�B
6– G���%� ���� Scalar Matrix:\f !'�8& )� ,!\f PF*!�� !��U� @k �C'� ! ,PF*!�� S;8O�2e;8*$Y �� !��F�;8(�� :
nnK
KK
K
A
�""""""
#
$
%%%%%%
&
'
�
...000::::
0...000...000...00
��y� $5 )2 :"""
#
$
%%%
&
'
800080008
)� �$O �� N;*�8�KG�� .
7–�%� �-� G��Unit Matrix:f PF*!�� �* !��F� PF*!�� s* � !Y� !�'�8& ,!�\ ;8O�2 s* �;& �C'� !\f )2 � )�VY ;/�� PF*!�� � PF*!�� N�j(kI#�� �� @�E(.
"""""
#
$
%%%%%
&
'
�"""
#
$
%%%
&
'�""
#
$%%&
'�
1...0000...1000...0100...001
,100010001
,1001
32 nIII
www.ael.af
���
�!����� PF*!�� s*33�;�U*$82 � )2 ,��U� �C'� !\f G>� !'�8& )�;8O�2 !V'.� PF*!�� s* ���!� M�7 )233� !V�' )2 ,��U� �C'� !\f �*b�2 !'�8& K�7� )� ;�U*$82
;8O�2 .�!� @��2 @�$� �� � !*� �*!�� q$: G����: ��.
1- � ;8�O�2 !V' �C'� !\f �(�*�"� �C'� !\f ,b�2 !'�8& K�7� )� ��2!� PF*!�� s* � !Y� $' M*� �yCy� PF*!�� K�( )2 $��� PF*!�� �Triangular Matrix�$O �� ��*.
;8���O�2 !V���' �C���'� !���\f ,b����2 !���'�8& K����7� !���Y�K����( )���2 ����* �*b����2 ����yCy� PF*!�����Upper Triangular Matrix ;8�O�2 !V�' @k !�'�8& K��7� �C�'� !�\f G�>� !Y� � K��( )�2
�* �(�*�" �yCy� PF*!��Lower Triangular Matrix;($O �� ��*. !*� ,� ��y� �A PF*!�� � �*b�2 �yCy� PF*!�� s*BG�� �(�*�" �yCy� PF*!�� s* .
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
400970321
,973042001
BA
5��B%�)#�]%�( G���%� V� : PF*!�� ��%��A )2 � )( A� @�E( )� G�� PF*!�� � N��� � !W�8�� !'�8& ��%�� @k !D8& !A;O�2 �� . !Y�
nmjiaA
��;O�2 PF*!�� s* . N�j(k
�8�* @k ��%��)( A��$O �� �*!�� !*� � $' )2 .nmjinmji aAaA �� ����� )()(
www.ael.af
���
(���D�;�8� �iE� �!(k |$2!� ,� K�( � )-�!� )�:!Y !L( � � !*� ,� PF*!��
� � � �
""#
$%%&
'�
��
"""""
#
$
%%%%%
&
'
��
���"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
��
0113
)
0123
)
21)8765)300030003
)
100010001
)000000000
)010321543
)
HhGg
FfEeDd
CcBbAa
www.ael.af
���
�� G���%� f�� D � A�ZAddition and subtraction of Matrix
� !��*� ,��� PF*!���� T��*!V� � ]��7^ � ���2 �;�(�$� �� )�VY )� @�F�� � $' .
1– �� G���%� A�Z1– N�Y!nmjiaA �� )( �nmjibB �� )( P" ;O�2 PF*!�� ��CBA �� s�* �� � �-&
F*!��U� !D8& )� G��JiC ]7^ 6'�/ @kjia �jib * ;O�2 �� ��+8� PF*!�� �� ]7^ �8� ' � @$� ;8O�2 ,��U� R-�!� ,� �� PF*!�� �� ! )� G�� MF7� � $jiC �� ]�7^ 6'�/
G�� �<�</ �;&.nmjijinmjinmjinmnmnm babaCBA ������ ������ )()()(
4�U� :
23
2323
312144
)4(70120122231
402123
710221
402123
710221
�
��
�"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'
��������
�"""
#
$
%%%
&
'
��
"""
#
$
%%%
&
'���
"""
#
$
%%%
&
'
��
"""
#
$
%%%
&
'��
CBA
BA
2– �� G���%� f�� D)2�E� � PF*!�� �� 6H�V� #�(�$� �� ]7^G�� )2� �k.nmjiaA �� )(nmjibB �� )(#�8� �*!�� � .
�!����� !Y�""
#
$%%&
' ��
1312
A �""#
$%%&
'���
�4312
B ;8O�2.BA �;* k G�� )2 � .
www.ael.af
���
� G���%� f�� D� A�Z m:X �1 - GU�( �C*;-� G�'�= ,� �� � PF*!�� T*!V� ��� S G�� �C*;-� G�'�= ,� �� � PF*!�� ]7^
ABBAABBA
������
2 -G�� ,��>�� G�'�= ,� �� � PF*!�� T* !V�� ]7^ .)()( CBACBA �
3 -!D8&)&�G�8 (Identity ElementAAA ���� 00
4 -0)( ������ AAAA
4�U�2:"""
#
$
%%%
&
'�
106452321
A�"""
#
$
%%%
&
'�
6520305111
B;O�2 N;O N���.?�� BA
5- :� �k G�� )2 � PF*!�� �� 6H�V� #�(�$� �� P" S;(� ,��U� # �2 PF*!�� ! )-�!� @$�.
"""
#
$
%%%
&
'
��
���
"""
#
$
%%%
&
'
���������
�"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'��
5544222110
6150260435025312111
6520305111
106452321
BA
�!����� )� ;�� @�E( ��y� s* v�$�ABBA ���
4�U�3 : !Y� @�F�� � $' �"""
#
$
%%%
&
'�
604321
A�""#
$%%&
'�
�152313
B;O�2 .BA � �BA �;* �k G�� )2 � .
5- : �$O �� N;*� ,� PF*!�� )�A �B @��F�� @k T�*!V� � ]�7^ M*!2�82 N�$-( @�UF* R-�!� ,� ��� �;( . PF*!�� �!*�A )-�!� ,� ��32� PF*!�� �B R-�!� ,� ��23�;O�2 ��.
nmnmjinmjijinmjinmjinmnm CcbabaBA ������� ������� )()()()(
(���D!*� ,� PF*!�� @�F�� � $' �;�*�7( T*!V� � ]7^ � .
""#
$%%&
'�
�"""
#
$
%%%
&
'
��""
#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'��
�
""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�
�
101431
,310211
),1122
,1122
)
110013
,014321
)
BAcBAb
BAa
www.ael.af
���
���� �# G���%� V� l�e � � PF*!�� T*!V� � ]7^ N;&�f �� !Y� #*;*�
""#
$%%&
'�
dcba
A� PF*!���� s��*K !��F��� s��* ;O�2� ;�8� �� !F: )� @k �!H 6'�/ ,�!2
�!����
� !Y�"""
#
$
%%%
&
'�
ihgfedcba
A � PF*!�� s*K ;O�2 !��F� s* . �!H 6'�/KA � G�� )2
;* �k."""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'� KA
ihgfedcba
A ,
� PF*!��""#
$%%&
'�
5005
B �$O �!H �;& K�;� )2 . ;�/�� PF*!��� s�* @k �!�H 6H�/ ���$O .
��2 q$: G����: K�z(� �� ; @�$����!� @��2 � !*� �*!�� .C���D : !Y�)( jiaA� � PF*!�� s*IRK+P" S ;O�2 �;& s*�!H 6'�/KA � �-&
PF*!������ ��C !D����8& )����F* $5 SG������jic �!����H 6����'�/ @kK �jiaG������.)( jiji aKc �
4�U� : !Y�"""
#
$
%%%
&
'
��
101012
631A�2�K;O�2 �!H 6'�/ SKA�;�8� G:�* ��
5- :
"""
#
$
%%%
&
'
��
"""
#
$
%%%
&
'
����������
�"""
#
$
%%%
&
'
��
202024
1262
212021202122
262312
101012
6312AK
www.ael.af
���
���� �# G���%� l�e m:X ) �B!B- #�� ( !Y�A �B )-�!� # PF*!�� ��0 �2 N�j(k S ;8O�2 �<�</ �;& ��!
)()()())()
)()
AAAcAAb
BABAa
02202020020
000
��������
4�FFFFFFU� :!������Y�""#
$%%&
'�
���9363
,3,2 A02 ;�������� @�E������( ;������O�2 N;������O .
)()()( AAA 022020 ��
5- :
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�����
���
���
�""#
$%%&
'�
�
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�����
�""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�
��
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�����
���
���
�""#
$%%&
'�
�
54183618
279189
239336333
29363
32)(
54183618
69636636
9363
69363
)23()(
54183618
186126
329232632
39363
23)(
A
A
A
02
20
20
(���D
1–!��Y�""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'���
1102
,0101
,2 AB0 �1�2 ;8��O�2 N;��O N���3 h�$��= � PF*!�� �!H!��F��;�� @�E( �
2– !Y�"""
#
$
%%%
&
'�
100210115
A �3�K ;O�2AK�AK1�;�8� G:�* � �
www.ael.af
���
G���%� �# l�eMultiplication of two Matrixes;�(�$� �� N��� !L( K�;� PF*!�� �� �!H ,�!2 �*k.
PF*!������� �� ,�!�����2 �7�����OA �B ;�����*�)�ABBA ��� )�� �� PF*!��� �!H ,�!2
�;�8� �� !F:
C���D!���� �� PF*nmjiaA �� )( �pnjibB �� )(;��*!�j2 !��L( � � . 6��2�f PF*!���� �� )��F8*� ,�!��2
K�� PF*!��� ,� !\� ��;�� �2 ��� PF*!�� ,� @$�� ��;�� ;*�2 ;8O�2 !j*;F* � @;O �!H ;O�2 !2�!2 . UF*!�� S�!H 6'�/ PF*!��� ;8(�� eG�� .pmjiaC �� )( )� @k ,� !\� ��;��
G��� K�� PF*!��� ,�� @$��� ��;�� !2�!2 � @$�� ��;�� � ��� PF*!�� ,� !\� ��;�� !2�!2 .
pmpnnm CBA ��� ��
#�8� �� 67& � $' M*;2 PF*!�� �� �!H ,�!2 : ��� !\�� !�'�8& �!�H 6�'�/ }$�7z� ��� !\� !'�8& S K�� PF*!�� ,� @$�� � ��� PF*!�� ��� M����� � �!H 6'�/ PF*!��
;8� . !�'�8& S K�� PF*!��� ,�� @$�� � ��� PF*!�� K�� !\� !'�8& �!H 6'�/ }$7z� ;� �� 6�FE� � �!H 6'�/ PF*!�� K�� !\� . � �� !\�� ����7� ,�!�2 6�7& M�*� �!F� �2
�$O �� )-��>� �!H 6'�/ PF*!�� S PF*!�� �� @$�� . $' )2 @�$� �� � �C\� M*� !*� �
��� @�E( .pmji
n
jijijipnjinmji Cbaba �
��� : ��� )()()(
1,
4�U�1 : !Y�""#
$%%&
'�
�101021
A �"""
#
$
%%%
&
'
��
101
BO�2 N;O N���8 P" e;BA��;�8� G:�* � �
www.ael.af
��
5- :#* �� �� PF*!�� �*!�� ,� �� :
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�����
�""#
$%%&
'�������������
�"""
#
$
%%%
&
'
�""#
$%%&
'�
��21
101001
)1(10011100211
101
101021
BA
& K�7� ��� )C/!� ��� @$�� !'�8& �!H � ��� !\� !'�8#�8�.�� @$�� !'�8& �!H � K�� !\� !'�8& K�7� K�� )C/!� �#�8�.
4�U�2 : !Y�""#
$%%&
'�
��
212132
A �"""
#
$
%%%
&
'
��
210231
B O�2 N;O N���8 �!�H 6�'�/ ;BA� �
;�2�* �.5-:
� � � �
� � � � 22
2332
2249
406222206162
203
21212
1212
203
132121
132
210231
212132
�
��
""#
$%%&
'��
�
""#
$%%&
'������
�����
""""""""
#
$
%%%%%%%%
&
'
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'
��
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'
��
�
"""
#
$
%%%
&
'
��""
#
$%%&
'�
��� BA
4�U�3 : !Y�""#
$%%&
'�
2531
A�""#
$%%&
'�
716023
B P" e;O�2 N;O N���BA �;�8� G:�* � � .
5- :
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'������
�
""#
$%%&
'������������������
�""#
$%%&
'""#
$%%&
'��
14122721521
140210121521032183
720512256235730113216331
716023
2531
BA
K�� )C/!� )C/!����
www.ael.af
��
�!����� !Y�""
#
$%%&
' ��
1012
A �""#
$%%&
'�
��
310024
BO�28;S @�F�� � $' �AB �BA � G:�* � � ;�8� )U*�<� #�2.
4�FU�4 : !�Y�""#
$%%&
' ��
2112
C""#
$%%&
'��
��
3443
D �O�28;CD �DC )U�*�<� #��2 � G�:�* � � ;�8�.5- :
""#
$%%&
'��
��""
#
$%%&
'������
�
""#
$%%&
'����������
�������""
#
$%%&
' �""#
$%%&
'��
��
""#
$%%&
'��
��""
#
$%%&
'������
�
""#
$%%&
'�����������������
�""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
' ��
211112
64388346
2)3()1(4)3(1242431423
2112
3443
211112
64833846
)3(241)4(2)3(1)3)(1(42)4)(1()3(2
3443
2112
DC
CD
)� �$O �� N;*�DCCD�G��.
:X G���%� l�e m�!9�X1 : PF*!��� �� �!�H � $D�2 �C*;�-� G��'�= ,� �� G��� !�Y� ��8�*A �B ��PF*!�� ;8O�2BAAB �
�!9�X2 :;(� ,��>�� G�'�= ,� �� � PF*!�� �!H . !Y�B , A �C �2 �� PF*!��� ;8�O e;8O�2 �$C\� �!H 6'�/ )F* $5 #* �� P" :)()( BCACAB �
�!9�X3 : $� G�'�= ,� �� � PF*!�� �!H e;�O�2 ��� ]7^ ,b�2 �!H ,�!2 ��*� P�"#* �� :
AAIIAdKBABKAABKc
BCACCBAbACABCBAa
����
������
))()()()
)())()
www.ael.af
���
(���D;* �k G�� )2 � !*� ,� PF*!�� �!H 6'�/.
� � ?23
2432
)112
123)
?43
2132
)?1005
0210
)
�""#
$%%&
'�""#
$%%&
'
"""
#
$
%%%
&
'��
�""#
$%%&
'""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'""#
$%%&
'
dc
ba
www.ael.af
���
G���%� V� :E���DTranspose of a Matrix
!\� ,��^ PF*!�� s* � !Y�� @$�� � ,�� �!(k;-�*6#�*�7( �$�^� )�2 )�� ;�*;^ PF*!��
�$O �� ��* )� K�( )2 ;*k �� .
�!����
� PF*!����"""
#
$
%%%
&
'
��
��
201132011
A PF*!���� N��� !����g� � @k @$���� � !\��� ,����^ )���:!Y !��L( � �
;*;^,�U*$82 ;*k �� G�� )2 )�;.� ;*;^ PF*!�� #�� !��g� � PF*!�� s* @$�� � !\� ,��^ N�Y!, ��2 ;�*k ��� �$�^� )�2 )��
��� PF*!���G�� ,��U��;8��( �� )� � ;*;^ PF*!��.�!� @��2 @�$� �� � !*� �*!�� q$: G����: ��.
C���D : !\� ;O�2 �$^$� ��2!� PF*!�� s* N�Y! )2 ($�O 6*;�-� !\�� )2 @$�� � @$�� PF*!��� ;;*;^)��$O �� ��* �$IU(�!� PF*!�� K�( )2 ;*��� G�� )2 .
PF*!�� ,� @$�� � � !\� ,�^ N�Y!mmA �)( �$�^$2 )� ;*;^ PF*!�� ;($O 6*;-� !j*;F*�2 � K�( )2 ;*k ��Transpose )�2 N;����( PF*!��TA R�-�!� � N��� @�E�(mm
TA �)( ;�*k ��� G��� )�2 PF*!�� �$IU(�!�A � $' )2 � TA;8� �� @�E(.
� 4y��� :32410
321
�""#
$%%&
'�
�A P��" e;��O�223
431201
�"""
#
$
%%%
&
'��TA ���8�* �$IU��(�!� PF*!���� s��* !��Y�TA ���2
�8�* �$= PF*!��A;O�2 ,��U�.
*� PF*!�� M K�82 !W��8��Symmetric Matrix �$�O ��� ���* e �4y�� :"""
#
$
%%%
&
'�
035324541
A PF*!��� s�*
eG�� !W�8���!*� :"""
#
$
%%%
&
'����
035324541
TT AAA
�P��%� N�� G���%� q!@=D : )�2 !�L( @k !'�8& !W�8�� ,� PF*!�� �;(� !W�8�� � ,��U� �C'� !\f.
"""
#
$
%%%
&
'
dfcfcbcba
www.ael.af
���
G���%� :E���D m:X4� �!9�X : �$IU(�!� �$IU(�!�G�� ,��U� PF*!�� @k �$= �2 PF*!�� s*.
��#�(�� :)()( ijT
ij aAaA ���@k!2 �82 G�� : ! AaaaAA jiT
jiTT
jiTT ����� )()()(
/�# �!9�X : 6�'�/ � ]7^ 6'�/ )2 G�� ,��U� �$IU(�!� �� T*!V� 6'�/ � ]7^ 6'�/ }$7z� PF*!�� ! �$IU(�!� T*!V�
K$7& � $' )2 �* �� �� � ...... �
�TTTT
TTT
CBACBA
BABA
/: �!9�X :� � TTT ABBA ��
/��3; �!9�X :� �TT
TT
AAIRAA
���
+�
)(000
�!���� :!Y�""#
$%%&
'�
�1223
A�""#
$%%&
'�
��
2532
B;�� @�E( ;O�2 N;O N��� .TTTTTT BABABABA ������ )(,)(
�4�U :;* �k G�� )2 �!*� ,� PF*!�� �$IU(�!�.
3233
301213
,360124751
��
""#
$%%&
'��
�"""
#
$
%%%
&
'
�
�� BC
5-:
3333
2332
317625041
360124751
320113
301213
��
��
"""
#
$
%%%
&
'�
���
"""
#
$
%%%
&
'
�
��
"""
#
$
%%%
&
'
�
���""
#
$%%&
'��
�
T
T
CC
BB
(���D1 - ,� PF*!��A �B;8�� G:�* � � @k �$IU(�!� ,� PF*!�� )�:!Y !L( � � .
3333032354240
,320510321
��"""
#
$
%%%
&
'
�
��
"""
#
$
%%%
&
'� BA
2– �<�</ �;& ,�!2 q$: ,� PF*!�� �3 G>' S4G�'�=q$:;�� @�E( � .
www.ael.af
���
F%�#���F ��� Determinant
, $�5 � ���2!� PF*!��� s�* ,�;& ��y� � )� ;�8� M��� T*!V� 6'�/cbad � )�2 ,��U�
��!Y !V'.
C���D PF*!�� s* !Y�A PF*!�� G(�8�!�*� K�( )2 �$O N��� G-U( �<�</ �;& )2A�$O �� ��*.
;8(�� PF*!�� G(�8�!�*�""#
$%%&
'�
2221
1211
aaaa
A ,� 6FO �� �F* )2 � |A| �*detA �* �2221
1211
aaaa @�E(
;8� ��. PF*!�� s* !Y� ���!� M�7 )2nn� ,� �� )�� #��O�2 )��O��n � !\��n �� G�(�8�!�*� ;�O�2 @$���
)^ �n�$O �� N;���( . ]2!� PF*!��� �nnji
aA�
�GO�� #��$= �*!�� T-5 )�:!Y !L( � � .
nnnnnn
n
n
aaaaaaaaa
AA
�
��
...
...
...
det||
21
22212
11211
N�� G���%� ������%�# 7S �8�22�
PF*!�� G(�8�!�*�""#
$%%&
'�
dcba
A#�8� �� �*!�� !*� � $' )2 � .
bcdadcba
A ���||
4�U� : PF*!�� G(�8�!�*�""#
$%%&
'�
2743
A;�8� )-��>� � .
5- :2228647232743
|| ���������A
�!����
� PF*!�� G(�8�!�*�""#
$%%&
'�
�3641
A;�8� )-��>� �
www.ael.af
���
N�� G���%� ������%�# 7S �8�33� : PF*!�� G(�8�!�*�33�A#*!�Y �� !L( � � :
nnnnnn
n
n
aaaaaaaaa
AA
�
��
...
...
...
det||
21
22212
11211
5- : G(�8�!�*� R-��>� ,�!2AL( � � !*� 6/�!�#*!�Y �� !. 4� 7�-�� : G(�8�!�*� #�8� �� ��/ � K$� !\�� ��� @$��22� ]5��<� !D8& �!H � )-��>� �
#�8� �� ��� @$�� � K$� !\� . ��/ � |$2!� @$�� � |$2!� !\� #*!j�� !L( � PF*!�� �� � !D8& G(�8�!�*� #�8� ��22� �� 6'�/ G(�8�!�*� � ;($O22� �� )��4& � ��&!: !�\f ��V8� �C�'� !\f
;8*�7( �� !��g� ���8�� .
3122132312
333231
232221
131211
)( aaaaaaaaaaaaaa
��
/�# 7�-�� : ��/ � K$� !\�� K�� @$��#�8� �� G(�8�!�*�22�� )�4& !�g� �2 �!�H � )-��>� K�� @$�� ]5�<� !D8&#�*�7( �� K$� !\� � .
/: 7�-�� : G(�8�!�*� ��/ � K$� !\� � K$� @$��22� @$��� ]5��<� !D�8& �!�H � )-��>� � #�*�7( �� K$� !\�� K$�.
/��3; 7�-�� : 6/�!� K�7�1 ,2 ,3 ���!� M*� )2 N�$7( ]7^ #�2 � �;�& G7�f , G�(�8�!�*�A )�2;*k �� G��.
332112332211321321322311312213312312
332112221132132123113122132312
333131
232221
131211
)()()(||
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
������
�������
3213212311
333231
232221
131211
)( aaaaaaaaaaaaaa
���
3321122211
333231
232221
131211
)( aaaaaaaaaaaaaa
��
www.ael.af
���
4�U� :;�8� )-��>� � !*� G(�8�!�*� �;<�.
714215362
�
��B
5-:
11719619607)28(194157)302()1)(154(4)312(
������������������
BBB
�!����
�G(�8�!�*�011124303
���A� � ;�8� )-��> .
# o��/� : G��� G7� � � G(�8�!�*� ��� @$�� �� � M*� � [� �� � )2 G(�8�!�*� R��>�#�8� �� �!F� !*� � $' )2 @k.
� �!�H ]7^ #�2 � �&!: !\f !'�8& ���!� M�7 )2 S#�8� �� ]7^ � �!H #�2 � �C'� !\f !'�8&;�2 � ��&!: !�\f S�C'� !\f !'�8& }$7z� �!H 6'�/ �� #�*�7( �� ]7^ �� T�*!V� M�*� )�2 S#��8� ���
PF*!�� G(�8�!�*� �;<� ���!�A;*k �� G�� )2.)()(|| 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ������
M*� � M*� )2 #�8� N��V��� K�� � ��� !\� �� �� #�(�$� �� K�� � ��� @$�� �� N��V��� ,�^ )2 �#�8� �� 67& q$: ;8(�� N�!� �!F� G(�8�!�*� !*� � � � @k )� ���!� .
232221
131211
323331
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa �&!: !\f
�&!: !\f�&!: !\f�C'� !\f
�C'� !\f�C'� !\f
&!: ,� !\f�
�C'� ,�!\f3231
2221
1211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
A�
www.ael.af
���
4�U�2 :;* �k G�� )2 [� �� � )2 � !*� G(�8�!�*�.
625034123
||�
��
�M
5-:
� � � �1096346)48015()8054(
6)4(2)2(0353)1()2)(4)(1(502633253423
625034123
||
������������������������������
��
��
��M
�!����� G(�8�!�*�|| A � ;�* k G�� )2 [� �� � )2.
121321012
||��
��A
(���D1-� !D�i� 6FO )2 � �!*� ,� G(�8�!�*� �;<�;�8� )-��>.
512315240
)651312011
)
7325
)4201
)
��
�
dc
ba
2-;�8� )-��>� [� �� T*!5 )2 �!*� ,� G(�8�!�*� �;<�.
321715321
)714021653
)�
�
�� ba
www.ael.af
���
������%�# m:X ,�^ G(�8�!�*� s* � !Y�,� � @$��� �* !\�
g� )� G(�8�!�*� G7�f � #�� !��g�;�*k �� !���
�!����
� G(�8�!�*�412321000
|| �A �412321321
|| �A;�8� )-��>� � .
� G(�8�!�*�145624312
|| �A @k�$IU(�!� )�:!Y !L( � � || TA G�;2 � ;��� @�E( N� �k
)�|||| AAT �;�*k �� G�� )2 !*� )z��( b�2 G����: ��. N�Y!A*!�� s* PFmn� G(�8�!�*� ,�!2 S ;O�2|| A� �� G>' !*� h�$=.
1- PF*!�� @$�� �* !\� s* !'�8& K�7� N�Y!mnA �||;O�2 !V' ,��U�.
G(�8�!�*� N�j(kAG�� !V' )2 ,��U�.0000
||,0000
|| ����fedcba
AfedcbaA
2- * !\� �� N�Y! PF*!�� @$�� �� �nxmA || ���8�� �* � @�UF* G(�8�!�*� ;8O�2A ,��U�
G�� !V' )2.0|| ���"""
#
$
%%%
&
'�
fedcbacba
Afedcbacba
A
3– PF*!�� @$�� �* !\� s* !'�8& !Y�nxnA ;8O�2 !j*� @$���* !\� !'�8& �� �2!%�
j(k N�0|| �AG��.0)0(|| ���� AAAAAfedcbacba
fedcba
cbaA
4- G(�8�!�*�|| A �|| TA ;(� ,��U� #�2 . G�(�8�!�*� � #� !�j*� h�$�= ����!� M��7 )2� �� �$^�.
www.ael.af
��
�* !\��� �� ,�^ G(�8�!�*� s* � N�Y! �$�& !j*;�F*�2 � ���$��� !��� ���$�� @$������� ��;8� �� !��g� G(�8�!�*� G�4& #�8�.
4�U�1 : G(�8��!�*�013221412
|| ��
�A#*!�Y �� !L( � � .
5- :@$�� � ��� @$�� ,�^ )2 � K�� @$�����#�;�� �!f K�� @$�� ,�^ )2 � .
� � ! !
! !
101020)064()4240(
220)1)(2(34113241)2(2011(311221
031212421
10)0424()460(
)1(102)2(1423)114()3)(2)(1(022132112
013221412
��������
��������������������
��
�
��������
��������������������
��
�
B
A
�$O �� N;*� .BA ��
;8(�� ��2�m ,�;& !Y�k N�$�i�� @$��� s�* ��* !\� s* � �+8� �;& M*� S �$O �!H ��8�!�*� s* � ;O ;�$= �!H G(�8�!�*� . !\� s* � �!�E� 6��& �� G(�8�!�*� s* � #�(�$� �� ���!� M�7 )2 �* �
�� s*G:!Y �!�E� N�$i�� @$.4�U�2 : G(�8�!�*� ��|| A;*!�j2 $���:.
25120212822316
�A
5-:251521222234
425120212822316
|| ��A
(���D;* �k G�� )2 � !*� ,� G(�8��!�*� G7�f G(�8��!�*� h�$= s7� )2.
100240853
)0001197421
)650430210
) cba
www.ael.af
��
���e L:���N�� G���%�22�
Multiplicative Inverse of 22� Matrix ,�!2 �;&�f �*k;* �� ��* )2 � �<�</ ��;&� �!H�
��2!� ,� PF*!�� �=!2 ,�!2 ���!� M�7 )2 PF*!��� h�$= GO�� !L( � �2 G�'�= M*�Q�(
� �� �$^� �.
�!�����F*!�� P""
#
$%%&
'�
2312
A;�8� )-��>� � @k G(�8�!�*� )�:!Y !L( � � .
� PF*!��2312
��
�B PF*!�� �2 � A;�U*$82 � @k )z��( ;�8� �!H.�!� @��2 @�$� �� � !*� )z��( q$: G����: ��.
C���D: ��2!� PF*!��nnJiaA �� )(� � !�Y� S)��:!Y !L( � ���2!� PF*!��B �O�� �$�^�� e;�O�2 ))F* $5 :nIBAAB ��
' M*� �� $B [$F�� � �2!H PF*!��A 6F�O )2 � @k � ;8*$Y1�A @�!2��82 e;�8� ��� @�E�(GO�� #��$= .nIAAAA �� �� 11
�!F2�� 7%F2# #�F� 7�: !��� ���2!� PF*A � (singular) N��Y! ;�8*$Y0|| �A �!�V8� !���� ;�O�2non – singular N�Y! S;8*$Y #L8� �*0|| �AF*!�� s* @�$2 !*�" [$F�� ,�!2 @k !2�82 ;O�2P
;O�2 �!f !2 |!O�� ;*�2.�2!� PF*!�� �b���4= @k G(�8�!�*� ���(�m� ;O�2;O�2 !V' �.
4�U�1 :!Y� ;�� @�E(""#
$%%&
'�
��""
#
$%%&
'����
�7231
,1237
AB�G�� !j*;F* [$F��
5- :
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'������
�""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'����
��
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'������
""#
$%%&
'��������
���������""
#
$%%&
'����
""#
$%%&
'�
���
1001
7622212167
7231
1237
1001
7614143367
)1(7)3(2)2()7()7(2)1(3)3()1()2(3)7()1(
1237
7231
AB
BA
�$O �� N;*� .IBAAB �� #�(�$� �� )�VY P" SG�� �$^$�A �B;(� !j*;F* [$F��.
da
www.ael.af
���
$�9:%�)�8�K�( G���F%� VF�of MatrixAd joint: !��� G�:�* � ,�!�2 ��* RC�'$�� PF* ��� )��4& !���g� ��2 � ��&!: !�\f !�'�8& � N��� !���g� � �C�'� !\f @$�� � !\� ,��^ � )-�!� �f�>��
�* �f�>�� PF*!�� �� � �-& ;*k �� G�� )2 )� ;*;^ PF*!�� #�U*$(Ad joint = Adj e;�8��( �����y� $5 )2:
""#
$%%&
'�
���""
#
$%%&
'�
""#
$%%&
'�
���""
#
$%%&
'�
1527
7521
KAdjK
acbd
AAdjdcba
A
� PF*!�� !""#
$%%&
'�
dcba
A )� ;O�2 !V' �4= @k G(�8�!�*� .0|| �A �� !*��" [$F�� PF*!�� ��82
� �$�� �: ,� !*PF*!�� [$F��� ""#
$%%&
'dcba#* �k �� G�� )2 .
0||||
11 ��� AAAdjA
A
4�U�1 : !Y�""#
$%%&
' ���
6523
A PF*!�� s*22� [$F�� ;O�2 �2!H;�2�* � � @k PF*!��:
5-:0810186523
|| �������
�A
�8�!�*� @$�(k G@��82 G�� �4=G�� !*�" [$F�� PF*!��.
""""
#
$
%%%%
&
' ���
""""
#
$
%%%%
&
'
��
��
���""
#
$%%&
'���
���
83
85
41
43
83
85
82
86
3526
81
||11 AAdjA
A
��8%�:I�""#
$%%&
'�
""""
#
$
%%%%
&
'
����
���
""""
#
$
%%%%
&
' ��
�""#
$%%&
' ��1001
49
45
415
415
43
43
45
49
83
85
41
43
6523
PF*!��� !� � S #�(�$�� ��� )�VY K$7& � $' )2""#
$%%&
'�
dcba
A )�� ;�O�2 !V�' �4�= @k G�(�8� !��*�
0|| �A�$� �: ,� �� )� � �� [$F��""#
$%%&
'�
���
acbd
AA
||11#�8� �� G:�* � .
(���D1 - s* K�;�;(� [$F�� ,� �� !*� ,� PF*!�� ��.
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'��
�154195
)21015
) BbAa
2 -;�8� @�>��� N� �k G�� )2 � !*� ,� PF*!�� �2!H [$F��.
""#
$%%&
' ���""
#
$%%&
'��""
#
$%%&
'�
1131
)33121
)21321
)1 CBA
www.ael.af
���
G���%� L:��� `#� % �� �JX �Y#��� ,%�! 5- �� N��V���� ��2 �b����� #�U�� ,�!2 ��/ )2�� �*k
;*� N�!� !F: � PF*!�� [$F��.
�����! )�$+z��� �b���� #�U��
���
����
222
111
cbxacybxa)�:!Y !L( � � :
��*�!H PF*!��;/ PF*!�� � � �$+z� S��;�U*$82 � G2�m.�;�U*$82 )����� 6FO )2 � PF*!�� !.�;�*�7( �*�!H PF*!�� [$F�� �!H � N;�k G�� )2 R����� ��!5�.
@��2 @�$� �� �!*� )z�8�( q$: G����: ���!� .
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
2
1
2221
1211 ,,CC
Byx
Xbaba
A
A � G�� G7� G2�m �*�!H �($�� PF*!�� �� G7� �*�!H PF*!��x ��;�&� PF*!��;8O�2 �$+z� . GO�� !L( � �21�A��!j�� 6/ $5 #���.
4�U�1 : )�$+^�� �b���� #�U�����
����
7352
yxyx;�*�7( 6/ PF*!�� [$F�� �� N��V��� �2 � .
5- :
BAXXIXXAAXAABXA
��
��������
��
1
11 )(
#�� �� !��g� � �&!: !\f !'�8& R�4& � !��g� � �C'� !\f !'�8& ,��^.
www.ael.af
���
@$�0|| �AP" e� �� �$^� N;O N��� PF*!�� [$F�� P" G�� !V':
""#
$%%&
'�
��""
#
$%%&
'�
���""
#
$%%&
'�
��
""#
$%%&
'�
��
�����
��
1123
1123
11
1123
||1
1123
01233121
||
11 AA
A
AAdj
A
�*�:
2,121
751415
75
1123
75
11231
��
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'���
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'""#
$%%&
'�
�
""#
$%%&
'""#
$%%&
'�
���� �
yxyx
yx
yx
XBAX
4�U�2 : �b���� #�U�����
����33
225yxyx �� N��V��� �2 � [$F�� 6/ PF*!��;�*�7(.
5- :
01651325
||
3325
,,32
��������
�
""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
AA
Ayx
XB
� PF*!�� [$F�� P"�� G�� � �-& N�$2 �$^$� N;O N��:
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'""#
$%%&
'��
���
""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'��
���
32
3325
5321
5321
11
||11
yx
BA
AAdjA
A
www.ael.af
���
[$F�� PF*!�� �!H � q$: )\2� ��!5�#�*�7( ��.
9,494
000
94
1001
94
352)3(322)1(
)1(5)2()3(355)3()1(2)2()1(325
32
5321
1325
5321
���""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'""#
$%%&
'�
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'������
�""#
$%%&
'""#
$%%&
'���������������
""#
$%%&
'""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'""#
$%%&
'��
""#
$%%&
'��
yxyxx
yx
yx
yx
4�U�3 : G7�f K�;� )2x �y;8� �� q;' @��� # !*� �b����.
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'��
�
����
yx
XBA
yxyx
14
6432
164432
5-:$( �� ,� PF*!�� 6FO � � $��� #�U��#�U*:
� � 0121212126432
||
14
6432 1
����������
�
��""#
$%%&
'""#
$%%&
'""#
$%%&
'�� �
A
BAxyx
PF*!�� P" G�� !V' )2 ,��U� |$2!� PF*!�� G(�8�!�*� @$�""#
$%%&
'��
6432 e� �;�( [$�F��
� �;( 6/ �b���� #�U�� P" .
www.ael.af
���
(���D �2 )�:!Y !L( � � !*� �b���� #�U�� PF*!��� [$�F�� �� N��V���� �$�+z� �� G��� )�2 � ��
;�8� @�>��� � N� �k .
���
����
���
����
���
����
9411
)
642753
)
22512
)
baba
c
qpqp
b
yxyx
a
www.ael.af
���
���& $B��+ 7� �Y#��� ,%�! 5-Crammer's Rule
$��� ���� ���*k�8�!�*� s��7� )��2 #�( PF*!���� G��(� �b$�+z� ��2 G(�8�!�*� � �*�!Hzyx ,, 6�/� � �k G�� )2 � �b���� #�U��
� @k �*�!H PF*!�� � )�:!Y !L( � � �$+z� )� �b���� #�U��A#*�7( ��.
"""
#
$
%%%
&
'
�
���
���
���
333231
232221
131211
3333231
2122221
1131211
aaaaaaaaa
A
dzayaxadzayaxadzayaxa
!*��<�xy , �z )F(k |!O )2 � �k G�� )2 !*� v2�� �� #�(�$� �� � 0|| �A;O�2.
||||||||
||||
AAz
AA
y
AAx
z
y
x
�
�
�
� �� b�2 v2||,|| xAyA �|| zA !W�8�� ,� PF*!�� G(�8�!�*� ���!� )2 � )2xy , �z��;8��( .Q:� PF*!�� #�8� �� 67& !*� � $' )2 �+(k )-��>� ,�!2��� � #�U�� N�#�U*$(.
"""
#
$
%%%
&
'
3333231
2232221
1131211
daaadaaadaaa
www.ael.af
���
)-��>� ,�!2|| xA ��� @$�� ,�^ )2 ) �*�!Hx ( K ��+� @$��� ) G�2�m !*���<� ( ��� �!�5 G N��� �!f � #�U�� . PF*!�� G(�8�!�*�33� )-���>� ,�!�2 � � �k G��� )2 � || yA ,��^ )�2
K�� @$�� )�*�!Hy ( K ��+� @$�� ) G�(�8�!�*� N��� �!�f #�U��� G��� �!�5 G�2�m !*���<� PF*!��33�� )-��>� ,�!2 ���!� M�7 )2 S� �k G�� )2|| zA @$��� SK$�� @$��� ,��^ )�2
PF*!�� G(�8�!�*� N��� �!f � K �+�33�� �k G�� )2 � .
�!����� !*��<� q$: ���$C�� �� N��V��� �2||,|| xy AA �|| zA;�U*$82 �
4�U�1 : �b���� #�U�� 6/���
����
2233
yxyx;* �k G�� )2 !��!� �;&�f )2 � .
5-:
74
762
72231
||||
79
763
7)6(3
||1233
||||
0761)6(11231
���
���
��
���
�
�
��
��������
�
AA
y
AAAx
A
y
x
4�U�2 :;* �k G�� )2 !��!� �;&�f )2 � �b���� #�U�� 6/ .
5�
5�
�
������
����
112253
4223
zyxzyxzyx
www.ael.af
���
5- : @$�0|| �A� �� 6/ �b���� #�U�� P" G��.
22958||
586810)10866(202212
2113524
1211135224
||
���
��
����������
��
�
���
AAX
A
x
x
��8%�:G7�f�;�k G�� )2 ,�xy ,�z � � �b���� �C'� #�U���� ]H�#�8� .
111111344)3()2(2)2(2555383623)2(32
444646)3(2)2(2)2)(3
�������������������
������������
32987||
871671
)223024(82099223123
1122531423
||
22958||
58572223)43320(22815
1123143
1112151243
||
���
��
���
����������
�
���
��
������������
�
�
��
AAz
A
AA
y
A
z
z
y
y
0298212612449
223123
122131223
||������
��������
�
��A
www.ael.af
��
�!�����;�* k G�� )2 !��!� R<*!5 )2 � !*� �b���� #�U�� 6/.
���
����52332
yxyx
(���D1-;�8� G:�* � @�F�� � $' � � !*� �b���� #�U�� 6/.
5�
5�
�
������
���
5�
5�
�
���������
02202
0)
12221
)zayxzyax
azyxb
zyxzyxzyx
a
www.ael.af
��
,%�! 5- ��r- $B��+ 7� �JX �Y#���Gouse !*��<� PF*!�� �� N��V��� �2 #�($� �� �*k
�$+z�xy , �z�!� G:�* � � .
T*!5 )2 �b���� #���� 6/ ,�!2Gouse �5 ���!� )2 )�O$( � G2�m !*��<� � �*�!H PF*!�� � K�z(� )2 )C/!� ;8� ��2 �� !\�� ,���^ @��� !���g� ��*� #�U�<� T�*!V� ��* ]7^ �!H R�C7& @��
�!�� )-��>� � K$� �$+z� S ��/ � �$+z� �� S !j*;F* . )�2 � !�j*� �$�+z� G�7�f PI��� �k G�� . )2 � PF*!�� ,� !\�..., 21 RR#�� �� @�E(.
4�U�1 :���
����
7352
yxyx
5- :�� #�U*$( �� � �*�!H PF*! . ��� K�� !\�� � � #��8� ��� #��� K�� !\� �� !\� ��#�U*$(.
G7�f G:�* � ,�!2x G7�fy#�� �� �!f ��� )����� � � :
1455)2(2
52
������
��
xxx
yx
�!���� R<*!5 )2 � �$+z� �� � )����� �� #�U��Gouse;�8� 6/ .
���
�����42
32yxyx
,22:105:21
)1(210521
7:315:21
22221
��""#
$%%&
'
.��""#
$%%&
'��
.�""#
$%%&
'
y
RRRRR ��V8� K�� !\� �� � ��� !\�
#�U*$( �� K�� !\� �. )�2 � K�� !\�)1- ( �!�H
)2#�U*$( �� K�� !\�
www.ael.af
���
4�U�2 : � )2 � !*� �b���� #�U��Gouse;�8� 6/.
5�
5�
�
���������
4012722465418642
321
321
321
xxxxxxxxx
5- : � ��� !\� ��� )C/!� � �;& �!H2� #�U�*$8�� K�� !\�� � ]�7^ K�� !\� �2 N�$7( � �;& �!H � ��� !\� K�� )C/!�)1- ( ��� K$�� !\�� )�2 #�8� �� ]7^ K$� !\� �2 N�$7(
#�U*$(.K�� )C/!� ��� )C/!�
#�U*$( �� K$� !\� � N�$7( ]7^ K$� !\� �2 � K�� !\� K$� )C/!� �. �$O �� N;*� . �*�!H N;�k G�� )2 PF*!�� �123 , xxx � ;�O�2 ��� !V�' K$� !\� �
!\� M*� � G2�m �;& )F���/10� �;( 6/ #�U�� P" G�� MF7� !�� M*� � G�� .
�!���� 6/ � !*� �b���� #�U��;8�� @�>��� �.
5�
5�
�
������
020
21
31
32
xxxxxx
7Z:D: !V�' � @k �*�!�H G�O�;( �$�^� �� �$�+z� �� ��F* �b���� #�U�� s* � N�Y! 6�FE� � G2�m !*��<� � �*�!H PF*!�� @k �� ;�2 � )�:!Y;�8�.
"""
#
$
%%%
&
'���.�
"""
#
$
%%%
&
'���.��
"""
#
$
%%%
&
'���.��
"""
#
$
%%%
&
'
100001263018642
226301263018642
4012721263018642
24012722465418642
332
331221
RRR
RRRRRR
K$� )C/!�
www.ael.af
���
4�U�3 :;�8� 6/ [$Y T*!5 )2 � )�$+z� )� �b���� #�U�� .
5�
5�
�
���������
3241123532
zyxzyxzyx
5- :#�U*$( �� � G2�m !*��<� � �*�!H PF*!�� �;�2�.
/!� � ��� R��C !\��� ��� �!��H � 3� ���2 N�$��7( ;��8� �� K�� !\���N�$��7( ]��7^ K�� !\��� �#�U*$8��.
��� )C/!�
/�# $�-�� �# �*�!Hx )F* $5 #�8� �� ��/ K$� !\� �� � 12R� � ]7^ K$� !\� )2� K$� !\�#�U*$( �.
)2 � ��� !\� �8�*2– N�$7( �!H�� ]7^ K$� !\� �2 #�8� K$� !\� ���#�U*$(K�� )C/!�
/: $�-���# �*�!Hy )F* $5 #�8� �� ��/ !\� �� � 28R� �2 � 37R � N�$7( ]7^�U*$( �� K�� !\�#.
K$� )C/!�
"""
#
$
%%%
&
'
�
�
3124112135132
3
2
1
RRR
"""
#
$
%%%
&
'
���
�.��
"""
#
$
%%%
&
'
��
�
738077705132
2312477705132
331 RRR
"""
#
$
%%%
&
'
��
�.��
"""
#
$
%%%
&
'
�
�
312477705132
233124
112135132
221 RRR
"""
#
$
%%%
&
'
���
�.��
"""
#
$
%%%
&
'
���
�
105350077705132
78738077705132
232 RRR
www.ael.af
���
G7�f #�(�$� �� K$� !\� ��z� �k G�� )2 � .3,
3510510535 ������ zzzz
G7�fz!f K�� !\� � � G7�f N��� �y� �k G�� )2 � .
2,7
14147
21777377777
���
����
������������
yyy
yyzy
G7�fy �z G�7f N��� �!f �b���� �� �F* �x�� G�� )2 � #* �k .
#�U�� 6/)3,2,1(),,(
10220536253)2(32
����������
���
zyxxxx
x
��8%� : �;�k G�� )2 ,� G7�fxy , �z#�8� �� @�>��� N��� �!f #�U�� 6'� � � :
33,334433)2(2141111,116231132213
538,5362532312
�������������������
�����������
(���D � )2 � !*� �b���� #�U��Gouse;�8� 6/.
5�
5�
�
�������
5�
5�
�
������
����
���
�����
6332
222)
112502193
21042)
5353
)yyxyx
czyxzyxzyx
byxyx
a
www.ael.af
���
56� ,3� ����,=2
G���%� C���D: ��;&� �� �* )��� N�Y! N��� �!�f �C�\�U�� ��;�^ s�* � �($�� �* ,!\� 6FO )2�$O . PF*!�� K�( )2Matrix�$O �� ��*.
�� G���%� a:��N�J G���%�:;O�2 !\� s* ,� �� �+8� )�.���:% G���%�:;O�2 @$�� s* ,� �� �+8� )�.�N� 9 G���%�:;O�2 !V' @k !'�8& K�7� )�.������ G���%�:�;�� )� PF*!�� @k!\� ���$O �� ��* ��2!� PF*!�� K�( )2 S;8O�2 ,��U� @k ,� @$���.�N�JK G���%�:;8O�2 !V' )2 ,��U� �C'� !\f �� !�� )2 @k !'�8& K�7� )� �$O �� )�VY PF*!�� @k )2.����� G���%�:;8O�2 ,��U� @k �C'� !\f !'�8& )� ,!\f PF*!�� ! .�$O �� ��* !��F� PF*!��.�� G���%� �-: �;& �C'� !\f !'�8& !��F�� PF*!�� s* � !Y�1;8O�2 .�$O �� ��* ;/�� PF*!��.
�� G���%� NY�� ��!���� G���%� f�� D � A�Z: )� G�� MF7� ��f�
nmnmjinmjiJinmjinmJinmnm CCbabaBA ������� ����
�� G���%� f�� D � A�Z m:X
0)()500)4)()()3
)2)1
�����������
������
AAAAAAACBACBA
ABBAABBA
���� �# G���%� V� l�e!Y�IRK +�)( JiaA � P" e;O�2nmjinmji CCaK �� �)( �# G���%� l�e m:X����
)()()())()
)()
AAAcAAAbBABAa
0220202020000
��������
G���%� �# l�epmpmjipnjinmji CCbaBA ���� ����� )()()(
l�e m:X G���%� �#N�Y!nmjiaA �� )( �pnjibB �� )(P" e;O�2:
)()()()5)4)()3
)()()2)1
BkABAkBAkIAAIACABCBABCACABBAAB
��������
��
G���%� V� :E���D : PF*!�� ,� @$�� � � !\� ,�^ N�Y!nxmA 6*;�-� !j*;�F* ��2 � #��8� �$IU(�!� K�( )2 � ;*;^ PF*!�� ;88F�� ��* )2 �TA�$O �� N��� @�E(.
www.ael.af
���
�U�U� G���%� : PF*!�� s* � !Y� ;�O�2 !V�' �C�'� !�\f �(���>� ��* �(�f$: !'�8& K�7� . PF*!����$O �� ��* �yCy� PF*!�� K�( )2 $���.
�P��%� G���%� : �$IU�(�!� PF*!��� s�* !�Y�TA ��8�* �$�= PF*!��� ��2A K��( )�2 ;�O�2 ,��U���$O �� ��* !W�8�� PF*!��.
������%�# : PF*!�� s* !Y�A �</ �;& )2 PF*!��� G�(�8�!�*� K�( )2 �$O N��� G-U( �<A ��� ���*�$O . 6FO )2 �|A| �2det A�$O N��� @�E(.
����� �%�# m:X :1- PF*!�� @$�� �* !\� s* !'�8& K�7� N�Y!nxnA N�j(k ;O�2 !V' )2 ,��U�0|| �A
2 -@$�� �� �* !\� �� !'�8& N�Y!;8O�2 ,��U� #�2 . P"0|| �A
3- PF*!�� @$�� �* !\� s* !'�8& N�Y!nxnA N��j(k e;8�O�2 !j*� @$�� �* !\� !'�8& �� �2!%�0|| �A PF*!��A;(� ,��U� #�2 PF*!�� G(�8�!�*� �$IU(�!�� .4 -|| AAT �
L:��� ���e �� G���%� :��2!� PF*!��nnjiaA �� )( ���2!� PF*!��� !�Y� )�:!Y !L( � � B )F* $5 ;O�2 )�O�� �$^�nIBAAB �� � � $�' M*� �1�A PF*!��� [$�F�� � A ;�8*$Y
6FO )2�1�A �� @�E(;8� .IAAAA ���� �� 11
�JX �Y#��� ,%�! 5-� PF*!�� �2!H [$F�� �� N��V��� �2 �\= �b���� #�U�� 6/�!��!� )<*!5 �� N��V��� �2 �\= �b���� #�U�� 6/� �:�/ )<*!5 �� N��V��� �2 �\= �b���� #�U�� 6/Gouse
www.ael.af
���
(���D 56�,=2
� �b�?� )2;�*�7( )<C/ � @k �� � G:�* � � G� � ��$^ N;O N��� ��$^ �+� !*.1- !Y�3|| �A N�j(k ;O�21|| �A� G�� K�;�
3)91)9)
31) dcba
2- PF*!�� !Y�""#
$%%&
' ��m
m1
132 N�j(k ;O�2 !*�" [$F��m� G�� K�;�
21,1)0)1)
21,1) ���� mdmcmbma
3- !Y�""#
$%%&
'�
2513
A PF*!�� N�j(k ;O�2x R\2� )�1�� AAx� ;8� q;' .�G�� K�;�
""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'��
""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'
122559
)1625
59)
142559
)142559
)
dc
ba
4-!��g� v= R�:�*xy 2� PF*!�� G>�""#
$%%&
'� 12
12� G�� K�;�- a $>�y �- b $>�x �- c02 �� xy - d0�y
5-�!�*� �� G(�8931421
1 2xx G7�fx� G�� K�;�
2,3)3,21)1,3)2,1) ���� xdxcxbxa
www.ael.af
���
5- � �� �Y� �!�& .1- ;�8� �!:""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
' ��
4031
,3215
AB;8O�2 N;O N��� . R-��>� G�� �$C\�
BAbBAa 34),23) ���
2- ;�8� � !:""#
$%%&
'�
�301201
A �"""
#
$
%%%
&
'
���
123102
B R-���>� G��� � $�C\� ;8O�2 N;O N���
ABBA �*kBAAB ��G�.
3- ,��� PF*!����""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�
��
1042
,2243
,1042
ABC )���:!Y !��L( � � ;�� @�E( q$: PF*!�� )� ,�!2 � PF*!�� �!H ,!*�" ]*�$� G�'�= S ���!�O� G�'�=.
4-G(�8�!�*�112201121 �
�A � ;�8� )-��>� !D�i� 6FO )2.
5- PF*!�� [$F��""#
$%%&
'��
�9352
M;* �k G�� )2 � .6-;�8� 6/ !��!� T*!5 )2 � !*� �b���� #�U��.
���
����
5�
5�
�
������
���
54242
)431022
62)
21
21
xxxx
bzyxzyxzyx
a
7- T*!5 )2 � !*� �b���� #�U��Gouse;�8� 6/.
���
������
5�
5�
�
���������
22721732
)024505230332
)y
yxb
zyxzyxzyx
a
8-;�8� 6/ PF*!�� [$F�� T*!5 )2 � !*� �b���� #�U��.
���
�����
���
������
122
)0234
013)
yxyx
byxyx
a
www.ael.af
���
6�,% � 5i]� �# ���:%&�
www.ael.af
��
�������
������ �
������ �
www.ael.af
��
�:%&��# ��,��K ��6%@� ,%�!
G2�m R\<( s* ��S�!5 )2 ��+� �$�^$� ,��O�@�� ��!5�e;�8� �(�E( � N� !�U� M*!�F*�Q(.
C���D ;8*$Y $��� � �� G+^ v= )�\f.��7�!j*� � �-& )2 �*�2 )�O�� G+^ # )� �;<� #� ;O�
N$f 6y�SS)C'�: N!��� 6�z�� . K�7� G� # � ,��$� S,��U� �$5 ,� �� )� �*�!�� ;8O�2 G+^ K�( )2 �� ��* $�����!Y . )� , $���,�;�2� )��O�� �!�f #*��f R���H� ���7� #�U�� �;-� � @k
$��� }��O K�( )2 S;O�2(Position Vector)��!Y �� ��*.
�!����� , $5 � $��� }��O s* #*�f R��H� ���7� #�U�� s* � K�z(� ��D�i� )� ;�*�7( #�
@k)5,5(B;O�2.� )� ;�8� #� N;O N��� ��D�i� #�U�� � � q$: �;O N��� $��� s* 6y7� $��� )�
S@k G��f$� �2;O�2 ���V�� $��� }��O.� $��� }��O ��>2 ;O�2 )�O�� ,��U� �$5 � q$: $��� G+^ ���i� )� � ,!j*� $���
8� #� ;�. !*� )z��( q$: G����: K�z(� �� G�� )2;*k ��.
7<!%�:)� #* �� M*!2�82 eN�$2 $��� }��O )2 !2�!2 $��� ! 6y7� ,$�U� s* �:
1- $��� ��.
a �.
b�� )�VY ,��U� �$5 M�& ,� �� N�Y! ;($O)(..
� ba# �;8O�2 G+^.2- N����Y!..
� 0AB $������ � $���' M���*� � S;���O�2.
AB ����* ,!V���' $������ K����( )���2Zero Vector�� ��*�$O.
www.ael.af
���
3- ���i� !j*;F* )2 $��� ��;($E�� N;���(. �� N�Y! ,��U� �$5 ,� ������i�G+z��
e;8O�22 )��y� $5SN�Y!..
� aOA;O�2..
�� aAO���$O���/ �)�..
� AOOA
C���D: �($�� 6FO )2 #*�f ��D�i� #�U�� � $��� s*""#
$%%&
'�
.
y
x
aa
a )F���/ �xa �� � �-&
RD�i� $>� ,� x �ya $>� ,� RD�i�y;O�2.
4�U�1: ,� $���""#
$%%&
'�
.
23
a �""#
$%%&
'�
.
32
b#*�f ��D�i� #�U�� � � S;�� @�E( )F���/ �
@�O �;-�""#
$%%&
'21;O�2.
5-:#* �� q$: �*!�� GO��!L( � �2:
���2##: $��� s* @��� @�E(,$�U� �� � ,�!2 )� �$E�� N�!2 �F2 !5�i2XS) s*R\<( �� �� �$^� ��D�i� #�U�� � 6>� s* �+8� #*�f ��D�i� #�U��� � ,�!2 )F���/ �XR s*
$��� ,$�U� ��2� �� �$^� ��^ G*�+(.
(���D1-y� � )� ,� $��� ,�!2 ��1;O N���SN\�G�� �$C.a :(;�2�* � � K�;� ! �Cy7� $��� )�.b :( G��f$� � � $��� �� !}��O;�8� #� $���.c :( � $��� K�;� �+(k ���i� ,� $���;(��
.
b
y
x2
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
bbbbbb
3
o3
2
o
a
x
y
www.ael.af
���
�9��7 �$JB� �# (!� �J �7JB� RC" �� #*!��j�� !L( � � ���!� @�� # � @�UF*
M��O s* �!5 �� )2 )����!�2U�);(� N;O. K�;���R��\<(M����O ,� � R����� ,�!��2 ���!���
@k M�:!�Y ��2 ��� #�*�7( ��i�(�S ���!�� ,�� )�C"�;(!�Y �!f ����� ��/ �
�!����� |�<()2,1(P �)4,4(Qj2 !L( � #*�f ��D�i� #�U�� � !*� 6FO �!f � �;*!:� $��� �$5.
PQ M��2 )C'�: �� N��V��� �2 � ��\<()�;�8� G:�* �
� R��\<( ��D���i� �\����PQ G��:�* � � ;�8��
Rz��( q$: G����: K�z(� ���$��� � !*� #�(�!� @��2.�%!7<:
, ������=� R���\<( �� !��� ,�!���2),( 11 yxP � ������k),( 22 yxQ K����z(� $������..
� PQa S;���O�2 M���*� �
� $��' )��2 � $�����""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�
.
12
12
yyxx
aa
ay
x @�E��(
#*���f ���Cy� G��O��!L( ��2 N����� )��*��Q�
PQN �$��5
$���.
a�� G�� � �-&:22yx baa ��
.
-R\<( �\��.
PQ�� � �-&""""
#
$
%%%%
&
'
�
�
�""#
$%%&
'�
2
221
21
yy
xx
yx
Mm
mR\<( )� N�$2 �\��P �Q 6�FE� �
;;��.
)2,1(P
x4
)4,4(Q
1
4
y
1x
),( 11 yxP
2x12 xx �
1y
2y
y
x
N
12 yy �
),( 22 yxQ
www.ael.af
���
4�U�1: �\�� R\<( )C'�: �\<( ��R)2,1(P �)4,4(Q;�*�7( G:�* � � .5-:�$� $: �� N��V��� �2R\<(#* �� �\��:
""#
$%%&
'�
""""
#
$
%%%%
&
'
�
""""
#
$
%%%%
&
'
�
�
�""#
$%%&
'�
35.2
2625
242
241
m
m
yx
M
R\<( ��D�i� M*!2�82 �� � �-& �\��""#
$%%&
'35.2
M;O�2 ��.,�!2R\<( �� M�2 )C'�: ���;(�P �Q )2 !L(R�%f�:� $��y#* ��:
1323)24()14()()( 2222212
212
22 �������������.
yyxxaaPQ yx
4�U�2:R\<(M�2 )C'�: � �\��|�<()4,2(A �)5,5(B�;�8� G:�* � � 5-:#* �� �\�� R\<( �$� $: �� N��V��� �2:
� � � � � � � � 10194525
5,45,3
2927
245
252
22212
212 �����������
""#
$%%&
'�
""""
#
$
%%%%
&
'
�""""
#
$
%%%%
&
'
�
�
�""#
$%%&
'�
yyxxAB
yx
Mm
m
(���DR\<( � )C'�:�;�*�7( G:�* � � !*� N;O N��� |�<( M�2 �\��
)4,3(A S)7,2(B:(i)
)5,1(M S)1,5(N:(ii)
)8,1(P S)8,8(Q:(iii)
x
y
1 4
234
)4,4(Q
)2,1(PM
5.2
www.ael.af
���
�]� � sJ �# ���:%&� !�U����E�����; ������ S�$FU���C� v����$� ���� N
�E( �%: � � )(�Y�;^ ,� $��� ;�;�� @ . ��*k � � ,�!2 ���y�RX N� �k _\�� s* ,� � $���
�;�(�$���
�!���� #�U�� !*� 6FO �!f G� � #*�f ��D�i�� �( )IRyxyxIR +� ,:,2 )��:!Y !�L( � � S G�����:
;�� K�z(� � !*�:�R\<( s*P��D�i� ,� �� )� M*Q�� �� ��D�i� #�U��),( yx;�8� �iE� ,$�U� � G��.
� s*}��O $���.
u ��D�i� ,� �� )�""#
$%%&
'yx;�� @�E( ��D�i� #�U�� � S;O�2.
� �*k R\<( s*P ��D��i� ,� �� )�� ,$�U� �),( yx s�* � $����.
u )�� ,$�U�� �
��D�i� ,� ��""#
$%%&
'yx # �� S;O�2 )��;( �� q!:
�, �����=� $����� �� ,�!��2""#
$%%&
'�yx
u �""#
$%%&
'�
''yx
v ,!��F��� �;��& s��* �IRa+ )��26F��O #*�f ��D�i� #�U�� � ��;8� $' )2�E( )(�Y�;^)� ;�� @:
(i) :""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'��
..
yyxx
yx
yx
vu''
'')�;&�f]7^(
(ii) :""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'���
.
ayax
yx
aua)�;&�f,!��F� �!H(
C���D: N $^ K�7� G���!� ,�;8(�� �+(k ,�!2 )� ,!��F� �!H � ]7^ �;&�f q$: q;'S;8�K�( )2 , $��� ,�%:2IR ��* ,$�U� � � $��� �* ���!Y ��.
�: K�z(� ��G����*!�� �Rz��( b�2 !*� G�� )2;*k ��:
www.ael.af
���
7<!%�: h�= $��� �� GO�� !L( � �2""#
$%%&
'�
.
01
i �""#
$%%&
'�
.
10
j �+(k �$5 )�1��..
ji SN�$2
, ���=� $��� ! ,�!2""#
$%%&
'�
.
yx
u#* ��:...
��""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'� jyixyx
yx
yx
u10
010
0
.
i �.
j � K�( )2��;��� )2 ;/�� ,� $���,� $>�x�y;8*�7( �� ��*. $��� )� G�� $��� S;/�� s* @k �$5
;/��N�$2 � ,�!2 v<: ;*�Q� �F2 )D�i� G+^��!�� .
4�U�1: N�Y!""#
$%%&
'�
�.
31
u �""#
$%%&
'�
.
52
vO�28S;f!*� ,� $��� G7� ;�*�7( G:�* � �:
(i) :?��..
vu(ii) :?24 ��..
vu(iii) :?��..
vu
(iv) :?uu ��..
(v) :?�.
u
5-:� �)� #* :
� � 109131)
000
31
31
)
881
5321
52
31
)
282
8101244
52
23
1424)
2323
5321
52
31
)
22 ������
�""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'�
��
���""#
$%%&
'��
�""#
$%%&
'��
��""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
��
��""#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'��
��""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
��
��""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'��
��""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
��
.
..
....
....
....
uv
uuiv
jivuiii
jivuii
jivui
(���D1- N�Y!""
#
$%%&
'�
�.
12
u �""#
$%%&
'�
.
23
vO�28 S;..
� vu 2 S..
� vu 2 �..
� vu 42;�8� G:�* � � .
;8*�7( �.y
0 x
u
xi
yi
)y,x(P
y
i
1
2
0 1 2 x
www.ael.af
���
��6%@�7JB�N�]� �#d� 7 N�� s* !Y�)\<(,�%: � � #��8� �iE�� �8'
� �� �$��^� 6��/ N� ���*kRC��'�: )��� @k��\<() � �� )2 G-U(�#�z8U2 @k ��z� �$*� � �8'
C���D,�%:3IR � �� � �-&R&$7z ���!� ,�� �*��� )� K�7�),,( zyx !�*� � $�' )�2 � ;�O�2 ���
�$O �� �*!��.( )IRzyxzyxIRIRIRIR +���� ,,/),,(3
R>V' )� !Y� 2�� )�� �$7& � )2123 ,, ppp N��� @�E(e ��D�i� ��>V' � � @k2��8#� 6D�: 2 �� �!�E� )��, l8� s* ��>V' M*�S� � )7*�f R*��� )� � @k )�� ;8� �� 6�FE N�j����
n2 )� ��D�i� ,� $>�,;�#���( �� . $��5 M��*����� , ����Y K���(��8��;��88�2 !��Y� S#� ���;����� $��>�
#*�f) $>�,(z ,�!2� )� , $>� S;�U*�2 @k $>� �!�j�� �!fy $�>� � G�� G�� $>� �x R�\<( #����( ��� E�� )�� �!�
� $>� )2O S��� @�E�( *$�j�� ��D��i� �;�-� � @k ��#. RC�'�:)2 ,$�U� �� � ��D�i�x�y�z@�E(#�;��.
7JB� V� (!!�D N��d� 7 N�]��# R�\<( s* G��f$� @�!� �iE� ,�!2),,( 111 zyxA ��D��i� N�j���� � !� |��-� � )�2 #*��f
S)�4& GO�� !L( � �2 $>�#�8� �� �;^ � 6'�$: . $>� ,b�2 �;�2�x:� M��7 �� )�=�� �;^ � )C' R�\<(
N;O M����S $>� ,b�2x $>� )2 ,��$� v=y #� ]5�<� #�8� ��),( yx �� @k �� ;��2 N�$�7( G�:�* � �
$� v= s* N�!-��( R\<( $>� )2 ,��z RC'�: ���;(� )2 $>� ,b�2 N;O �;^z R�z��( � #�8� �� #� ]5��<�
y
z
x
o
www.ael.af
���
�� $>�S)\<( G�� )2k ��;* . M���� ���!� M*� )2 )�)\<(�$O �� 6�7F� �%: �.
�!�����|�<()3,4,2(A�)3,3,2( ��B ��D�i� #�U�� � � #*�f ��%:, )�n2,;�;�� @�E(.
n2 )� ,�%: � ,;�3IR�;&�f Q�( $��� �� ! ,�!2 ,!��F� �!H � ]7^ 6'�/.
u �.
v � !��F�a�!*�" �� � $'.
)�;&�f]7^("""
#
$
%%%
&
'
���
�"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'��
..
'''
'''
zzyyxx
zyx
zyx
vu
)�;&�f,!��F� �!H("""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'��
zayaxa
zyx
aua
4�U�2: N�Y!"""
#
$
%%%
&
'�
.
312
v �"""
#
$
%%%
&
'��
.
041
w S;O�2..
� wv S..
� wv S.
w2�..
� wv 2;�8� G:�* � � .
5-: ,� G7�f.
w �.
vR\2� � � �;O N��� ,��� ]H� @k#�8� .
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'
���
�"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'��
..
351
034112
041
312
) wvi
"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'
���
�"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'��
..
333
034112
041
312
) wvii
"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'��
.
082
041
22) wiii
7494916
3)7(437
4
038122
082
312
2) 222
����
����"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'
���
�"""
#
$
%%%
&
'��
"""
#
$
%%%
&
'��
..
wviv
www.ael.af
���
�2##��
A:)2�E����Sh����= $������ )���� @�$������ _\���� )���2"""
#
$
%%%
&
'�
.
001
i S"""
#
$
%%%
&
'�
.
010
j �"""
#
$
%%%
&
'�
.
100
k )���� �
1���...
kyi � N�$2 ,�%: s* n2 )�,;� �:!Y !L( �) 2 )� ) ��;��� )2 ,�;/�� $��� K�(
,� $>�x Sy �z��!j�� ��* .;&�f GO��!L( ��2� , ���=� $��� ! @�$��� ]7^"""
#
$
%%%
&
'�
.
zyx
v
;/�� $��� GO��!L( � �2 � � � !*� 6FO )2 �X#�*�7( ).
...
���"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'�
"""
#
$
%%%
&
'� kzjyix
zy
x
zyx
v 00
0
0
00
B :7�9�� �# (!�JB�7�]��# : N�Y!1op �2op��}��O |�<( $���),,( 1111 zyxp �),,( 2222 zyxpO�28 S;� $' M*� ��#* � :
"""
#
$
%%%
&
'
���
��
�����
12
12
12
21
12212211
zzyyxx
pp
OPOPPPOPPPOP
)C'�: GO��!L( ��2 M*!2�82 |�<( M�21p �2p#* ��:� � � � � �2
122
122
1221 zzyyxxpp ������
�$� $: q$:K�( )2 |�<( M�2 )C'�: �$� $:1P �2P,�%: �n2 )� ,;���!Y �� ��*.C:RC'�:!Y� \<( s*) �%: �, n2 )� -� �� ,;��; ;�O�2 �$�C\�Szyx )0,0,0(),,( 111 �
�),,(),,( 222 zyxzyx �
$' @k �RC'�: � )\<( ���;-�;*k �� G�� )2 !*� �$� �: v�$� .� � � � � � 222222
21 000 zyxzyxpp ���������
x
y
z
o
1p
2p
www.ael.af
��
4�U�2 : !Y�)5,4,5(��a M*� �$5 S;O�2 }��O �G�� ;<� $���5-:�;-� @$� � $��� }��O�;-�eG�� )��H� ���7�C'�: �$� �: �� @k !2�82R)\<( ���;-�
#�*�7( �� N��V���.6625162554)5( 222222 ������������ zyxa
4�U�3: !Y�....
��� kjiu 32 S....
��� kjiv 264 �....
��� k3j9i6wO�28;.
(a : ;�8� G:�* �(i) :..
� vu 2(ii) :?���...
wvu
5-(a:)� #* ��:
2124144642)12()8(2128
212839626432)
)51510412832
)264(2322)
222 ���������������
���������������
���������
�������
...
...............
.........
........
kjiwvu
kjikjikjikjiwvuii
kjikjikji
kjikjivui
(���D1-!Y�""
#
$%%&
'�
�1
2u�� � ""
#
$%%&
'�
23
vO�28;.vuvu 2,2 ����vu 42 �;�8� G:�* � � .
2-� G+^ ;/�� ,� $��u�v;�8� G:�* � � .3- ,� $���.
v S.
u �.
w ��y� � )�3�G�� �$C\� )�:!Y !L( � N;O N���?|2
31|)?462) ������
......
wvubwvua
4- ,� $��� M�2 )C'�:.
u �.
v S.
v �.
w �.
w �.
u�;�8� G:�* � � 5- )� ;�8� G:�* � � � ;/�� $��� @k# $��� G+^vu,�w�;O�2 ]f��
www.ael.af
��
�:%&� V� �3Z N�� (�� :&� �3Z N���
C���D N�Y! $��� }��Or� ,�*��� ���!� )2 #*�f ��D�i� ,� $>� �202 , 1 M�*� � ���U�2 �
6FO GO�� !L( � �2 � $'#�(�$� ��GO$(:
y
x
z
rOC
rOB
rOA
rOP
�
�
�
�
�
�
�
�
$��� G+^ ,� M*��$�r*$82 !*� $5 � #�U:
11
22
00
coscos
coscos
coscos
rzrz
ryry
rxrx
���
���
���
�!5�� v2�� �#�8� �� ]7^ #�2 ��;�2 � )�=�� ]2!�:
2
222
2
2
2
2
2
2222 coscoscos
rzyx
rz
ry
rx ��
������ 120
#�(�� ��2222 rzyx ���G��e@k !2�82:1coscoscos 2
2222 ����
rr
120
�!����n2 )� ,�%: s* � N�Y! $��� s* ,;�.....
���� kzjyixOPr �4= )�'G�� !Ve;O�2 N;O N���eb�2 6FO ;8(�� )F* $50 S2 �1 )2,�*��� ���!�G+^ ,�;/�� $��� �2
.
i S.
j �.
kO�2 ;8� $' M*� �!*� G����:;�� K�z(� � :
�:
www.ael.af
���
� ,�*��� )� ;�(�$��� )�VY �*k0 S2�1���!�(� K�;� ��;8*�7( �� �$>���;(�$��� N;O �V8� q$: ,�*��� �� �F* �*k�$� � S;O�2 !V' )2 ,��U� �*��� �� �F* !Y��;�(�$��� )�VY )� $��� G��f$� � � $��� G+^ ,�*��� M*��$� ,�!2.
vR\2� s* �!�E� � �;�2�* �q$: G����: K�z(� ��Sz��(R � !*� G�� )2#* �k ��:
7<!%�: N�Y!.
v $���� s�* �%�: � !V�' �4�=S ��8�*"""
#
$
%%%
&
'�
.
zyx
v ;�O�2 N;�O N��� . M�*� �
� $'G+^ ,� M*��$� M�2@kR\2� G�� �!f!2 !*�.1coscoscos 222 ��� 120
z��( �$-m ,�!2R)� #�(�;�� q$::222 zyxkzjyixzyx
v ������"""
#
$
%%%
&
'�
....
!�U� �* G+^ ;/�� $��� S!j*� �!5 ��OPv � �� � �-&
""""""""""""
#
$
%%%%%%%%%%%%
&
'
�
.
.
.
.
.
v
v
v
v
y
z
x
v
v
v
vG��.
(���D1- N�Y!....
��� kjiu 2 S....
��� kjiv 223 �....
��� k3ji5wO�28;�8� G:�* � ;:
?3)?3)?2) �������......
wvcwvbwvua
2- G7�f0 $��� �$5 )� ;�*�7( G:�* � , $5 � ...
��� kji 2)1(00 )2 ,��U�3�;O�2
www.ael.af
���
N���� l�e 59�-�:%&� �# ,!��8z(� � $���� �� ,!�� �F� �!H 6'�/ )�*��� G�O�� !�L( � �2� �� �� �� )2 s*Q:�
G��� ,��U�� !��F�� G��7� �2 � @k M�2 . !�Y�abba ���G��.�cos���� baba
C���D$��� �� !V' �4= .
u �.
v � ( � �%: �* � ,$�U� �#*!�Y �� !L:
6'�/ �!H,!��F�.
u�.
v)2 � ..
� vuN��� @�E(S�� G�� � �-&:�cos����....
vuvu
)� ���/ �� M�2 )*���.
u �.
v� N��� 6FE� � 3� 440
�!����� �2 $��� ,!��F� �!H 6'�/ GO��!L( � @�E( ��)� ;:
iiiuvvu
iiikkjji
ikkjjii
(
(0,0,0
(1,1,1
....
......
......
���
������
������
iv :( N�Y!.
u �.
v � !V' �4=0. �..
vu ,b�2 � $��� P" S;O�2!j*;F*;(� �$7&.� $��� �� ,�!2...
�� jbiaa 11 �...
�� jbiab 22 �!H 6'�/..
ba . G7�f )2 ,��U� ,!��F�2121 bbaa �;O�2 ��.
�6'�/ G7�f �!H..
�ba )F�� $' � G�� �$C\� �%: �....
��� kcjbiaa 111 �....
��� kcjbiab 222;O�2./ ,�!2 q$: G����: K�z(� �Rz��( � $��� ,!��F� �!H 6'��!* � G�� )2#* �k �� :
www.ael.af
���
7<!%�: N�Y!.
u S.
v �.
w � , ���=� $��� )�cS;O�2 �<�</ �;& s*)� #* �� P" :ivuvu (0
....
B���
iiuvvu (....
���);-� G�'�=C*�!H � (iiiwuvuwvu ()(
.......
���)�=$� G�'*�]7^ ,b�2 �!H �� (
ivvucvuc ()()(....
���)�!H ,��>�� G�'�= (4�U�1: !Y�....
��� kcjbiau 111�....
��� kcjbiav 222 S;8O�2 !V' �4= $��� ��/@k ,!��F� �!H 6'��;�8� G:�* � � .
5-:#* �� �*!�� )2 !L(:
212121
212121
212121212121
222111
)()()(
)()()()()()(
))((
ccbbaakkccjkbcikac
kjcbjjbbijabkicajibaiiaa
kcjbiakcjbiavu
���
�������
��������������
������
......
............
........
4�FFU�2: !��Y�""#
$%%&
'�
.
1
1
yx
v �""#
$%%&
'�
.
2
2
yx
w $����� �� s��* )��� ;���� @�E��( S;8��O�2 ,$�U��� :
2121 yyxxwv ���..
O��!L( � �2#* �� �*!�� G :
�cos2222
������......
wvwvwv
@$�""#
$%%&
'�
.
1
1
yx
v S""#
$%%&
'�
.
2
2
yx
w)z��( � N�$2""#
$%%&
'��
��..
21
21
yyxx
wv2R\2� �� M*!2�82 eN�$#* �� b�2:
�
�
�
cos
cos222
cos2
2121
22
22
21
21
221
221
....
..
..
����
������
��������
vwwv
wvyyxx
wvyxyxyyxx
wwv �
�
v
P
www.ael.af
���
4�U�1: ,� $��� N�Y!....
��� kjiu 2 �....
��� kjiv 2S;8O�2 N;O N��� �!H 6'�/�;�8� G:�* � � �+(k ,!��F�
5-:�$� $: )2 !L(#* ��:61414)2()2( 222 �������������
........
kjikjikjivu
4�U�2: ,� $��� )� ;�� @�E(....
��� kjiu 542 �....
���� kjiv 434 # ,b�27& �$;(�.
5-:#* �� $L8� M*;2:
..
........
B�����
�������������
vu
kjikjivu
020128
)4()5()3()4()4()2()434()542(
H 6'�/ @$�G�� !V' )2 ,��U� � $��� �!e@k !2�82� $���S2 ,b�!j*;F* �$7&;(� . 4�U�3: G7�f0 ,� $��� )� ;�2��2 , $5 � ...
�� k5j�i2 �...
�� k�ji3 # ,b�2;8O�2 �$7&.
5-: G*�$7& ��.
u ,b�2.
v ;*�20. �..
vuO�28e;#* �� M*!2�82:1,0560)3()52( �������������
........
00000 kjikjivu
4�U�4: ,� $��� )� ;�� @�E(...
�� kji2 S...
�� k5j3i �...
�� k4j4i3 s* }4H�#*�f �Cy����;(� )*��Q
5-:!Y�...
��� kjiAB 2 �...
��� kjiBC 532 � )]CH �� ��/#*!�j2 !L( � �Cy� s*e $��� ]7^ 6'�/
�CH )� �Cy� K$� ]CH �� � �-& ;8� �� 6�FE� � �Cy� ]G��� P" S#* �:
A
C
B
www.ael.af
���
���!� M* ;2 ;O�2 )*��Q�� #*�f q$: �Cy� )F8*� ,�!2�!H 6'�/0��BCAB�$O .
BCAB
kjikjiBCAB
B�
����������������
0532)5)(1()3)(1()1)(2()53)(2(
(���D1- $��� ,� #U�!� )� ;�� @�E(....
��� kcjbiav ,�;/�� $��� ��;��� )2.
i S.
j �.
k
)2 ,��U� ���!� )2a Sb �c�;8O�-��2- �Cy� ! ,�!2 )� ;�� @�E(�
ABC#* ��:BcCbaiiAbccbai coscos)cos2) 222 ��������
3-$-m)� ;�8� � :202020 sinsincoscos)cos( ���
www.ael.af
���
N�:%&� l�e 59�-�:%&� �#The Cross Product
G�� K�;� v�$�) �* G�� �� ( 6F�O T2�\� #�(�$���N;��O N��� ,��� $���
..
�uv �..
� vu @�E��( , $��5 � )� #��
.
u # G�� �� G+^ S.
v k G�+^ )2 l�( �
..
� vu��!�Y �!f G�� GUO G+^ )2
C���D �4= $��� �� !V'
.
u �.
v #*!j�� !L( � � . $���� �� , $��� �!H 6'�/.
u �.
v � ..
� vu
).
u!�� [.
v)(Cross�$E�� N;(�$=(�� G�� � �-&:.....
���� nvuvu )sin( �
���/ � )�� ,� $��� M�2 )*���.
u �.
v S)0( 3� 44 �.
n6� �( ;/�� $��� �� � �-& )� ,$�U� )2 �$7&
.
u �.
v� �;&�f v�$� � G�� G�)Right hand rule (� �X�� )�$O.�:%&� �# N�:%&� l�e 59 �-: )F8*� �� 6-f 6'�/ $��� �!H$� � $��� �� , _�H #�8� K�b
� �2 � �� G��� $��� �\= ���!�S � $��� �\= �4<��� � , $��� , �%:��!D�i�#*��;(� !L(.1-�� �:%&� �JX [!&�D : ,� �!%� }$7z�( )2 G� s* , $���� ,!��F� �\= ���!� K�
;88� �� ��* G� @k ,� $���. $��� !Y�naaaa
....
...,, 321� $��� G� s*n0000 ...,, 321!��F��O�28 � $' M* � ;nn aaaa 000 ���� ....221 1 � K�( )2 ,� $��� �\= ���!�naaa ,...,, 218� �� ��*8; .
4�U�1:N�Y!kjia 321 ��� �kjia 222 ���@k �\= ,� $��� ���!� S;O�2 N;O N���-;�U*$82 � �.
5-:
kjikjikjikjikjiaaa
1191244215510
)22(2)32(525 21
�����������������
$���a $��� �\= ���!� K�( )2 � ,�1a �2a;8��( ��.
4�U�2 : $��� N�Y ! ,�1a �2aO�2 N;O N���8;.)1,5(2 �a �)3,2(1 �a $���� )�� ;��� @�E�()5,6( ��a ,� $��� �\= ��� !�2a �1a��;O�2.
n
vu�
uv
www.ael.af
���
� !��F��;(eP" : IR+21 ,00 5- :
���
�����
�
���������
����
53652
)3,52()5,6(),5()3,2()5,6(
)1,5()3,2()5,6(
21
21
2121
2211
21
0000
00000000
00a
,� G7�f q$: #�U�� ��10 �20#* �k �� G�� )2 � :
)1,5(1328)3,2(
1331)5,6(
)1,5()3,2()5,6(1331
2662
13622
1314078
13140626
131402
6132852
13282813
102618156
53652
23
21
11
11
1
22
21
21
21
21
�����
����
������
�
�������
���
���
����
���
�����
a
a 00
00
00
0
00
0000
0000
,� G7�f �8�*10 �20,� $��� )21a �2a!HN;O �S $���� )z��( �a N;��k G��� )�2 P�" $��� #�(�$� �� )�VY1a �2a $��� �\= ���!�aG�� .
$b�&� �JX [!&�D 5�2�# �:%&� V��-� N�� �:%S+ �� ��H$� ,� $��� !Y�) $��� }��O ( n2 �� , �%: �,;� )�n2,;�S ��2 � N!=n N;�O N����2 �O8 ��� ;-
�$7( )X� � !*� , $5 ;/�� ,� $��� ,� �!%� )&$7z� 6FO � � � @k @�$�.a-,;�n2 �� ,�%: )2),0()0,(),( 2121 xxxx ��
���:)1,0()0,1( 21 xx ��
���)1,0(1 �e )0,1(2 �e�����.��:221121 ),( xexexx ��
www.ael.af
���
��� !��"# $� � :
yjxiyexeyxyxyx
��������
21
)1,0()0,1(),0()0,(),(
b -;*k �� G�� )2 !*� $5 ,;�n2 )� ,�%: ,�!2 .
)1,0,0()0,1,0()0,0,1(
),0,0()0,,0()0,0,(),,(),,(
321
321321
xxx
xxxzyxxxx
���
����
)� �7Uf)0,0,1(,)0,1,0( 12 �� ee )1,0,0(3 �eG�� ;/�� $���eM*� !2�82:
zkyjxizyxexexexxxx
������
),,(),,( 332211321
-c�� $7& G��/ ,�%:n,;�n2
nn
n
nn
xeexexxxx
xxxxxx
��������
����
...)1,...,0,0(...)0,...,1,0()0,...,0,1(
),...,0,0(...)0...,0()0...0,()...,(
1211
21
2121
)F���/ �neee ,....,, 21;88� �� ��* ;/�� $��� K�( )2 � .i(,��� $���naaa ,...,, 21 ��O�2 ���\= �4<����� ,� �� ���* 6<�U��� ����\= R/���� s��* �8;.
0...2211 ���� nn aaa 000 !Y� e;($E�� N;���(0....21 ���� n000O�28;.
�!� ��� N�Y!( ))10,0()0,1,0())0,0,1(�S ;�O�2 !V�' ��\= �4<���� ,� ��. = �4<���� ,� �� ��\
G�� .� �4f"\= )/�� s* � �*�!H�� �F*�� �* 6<�U�naaa ,...,, 21
ii(naaa ,...,, 21��\= �� �* |$2!� ;($O �� N;���( �\= �D>(� ,� �+8� !Y� N $���� ,��0...2211 ���� nn aaa 000 �*�!�H �� ��F* �4�f� ;O�2n000 ,...,, 21 �� $����
4=�S;O�2 !V'.�2#�� :G�� �\= �4<��� ,� �� )� � $��� G� s* @� �k G�� )2 ,�!2e � �!*� 6/�!� ;*�2
#*!�j2 !L(.$�-��4�:N� �k G� � )2 � � $��� ���!�e #�� �� �!f $���!V' )2 ,��U�.$�-��/�#: �!^� � � $��� ]7^ )�C7& ��#�*�7(.$�-��/: : #�U�� 6�FE� � �b���� ��#��.
www.ael.af
��
$�-�� /��3;: ,�!2 � �b���� #�U���F� K��7� )F�� $' � N�$7( 6/ � !� � ;($�O !V�' �� !��F�� �� #F/ � $' M*� �D�>(� ,� �� @k !��� � ;�(� ��\= �4<���� ,� �� $���� ,� $��� )� #�8�
�� �\=;8O�2.4�U� :naaa ,....,, 21 N;�O N��� )�F* $5 e;8�O�2)1,3,2(,)1,3,0(,)0,2,1( 321 ��� aaa
!�= �* �;(� �\= �4<��� ,� �� � $��� )� ;�� @�E(.5-:R\2� �� N��V��� �2���GO$( @�$� �� �\= �4<��� ,� $:e
��� RC/!�:0)1,3,2()1,3,0()0,2,1( 321332211 ������ 000000 aaa
K�� RC/!�:
)0,0,0()0,332,20()0,0,0(),3,2(),3,0()0,2,(
3232131
3332211
������������
00000000000000
K$� RC/!�:
0033202
000332
020
32
321
31
32
321
31
�5�
5�
�
����
��
5�
5�
�
�������
���
00000
00
00000
00
K �+� RC/!� :,�!2 � q$: �b���� #�U�� b�/321 ,, 000�� 6/#�*�7(.
003
00300332
002002
0,0203323)(32
2
2
2
321
33
31
11331331
32
��
������
������
������������
00
0000
0000
0000000000
G��e|�-� � � $��� @k !2�82� �;( �\=. 0321 ��� 000 @$�
�!������2 �*!�� GO��!L( �SG+^ S!�U� G�� G�� �;&�f
..
� vuSuv�.
� � 6FO62�<��;�� @�E(
� )� ;�� @�E(0��..
ii �kji ��..
�G��
� , $��� ,� �!H 6'�/ ,�!2 b�2 ;82 �� N��V��� �2..
� jjS..
� kkS..
� kj�..
� ik�;�(�$��� )�VY )�
www.ael.af
��
� )� ;�� @�E(....
���� uvvu �0��..
uu�G��
� �*k � $' )2 ,� $��� �!H 6'�/ #�(�$��� )�VY ��$7&.
i S.
j �.
k 6F�O )2� ��F* ,�!�*�� ��$� $��� ���� � ���� �!H 6'�/ ���� ;8(�*!� N;O N��� G�� )2;*k ���
Rz��( b�2 G����: K�z(� �� � !*� G�� )2#* �k ��:
7<!%�: !V' �4= $��� �� S, $��� �!H 6'�/ ��.
u �.
v�;&�f �� N��V��� �2 G�� G��)� #* �� :
i) 0��..
vu
ii)....
���� uvvu
iii).......
������ wuvuwvu )(
iv) IRkvukvkukvu +������......
,)()()(
0��..
uuv) $��� �!H 6'�/ �*!�� T�-\� �2Rz��( ,�Q^� �$-m ,q$:S;O )�O��Y @��!Y�O ,�!2.
4�U�1: N�Y! )� ;�� @�E(..
��� kcjbiau 111�...
��� kcjbiav 222 �4= ,� $���O�2 N;O N��� !V'8P" ;:
...
...
..
�������� kabbajaccaibccbcbacbakji
vu )()()( 212121212121
222
111
5-:)� #* �� �*!�� �� N��V����2:
.....
.
......
......
..........
........
���������
����������
������
������������
�������
kabbajaccaibccbcbacbakji
vu
cbacbakji
jaakabibckbajacicb
kkccjkbcikac
kjcbjjbbijabkicajibaiiaa
kcjbiakcjbiavu
)()()(
(
)()()(
)()()()()()(
)()(
212121212121
222
111
222
111122121212121
212121
212121212121
222111
www.ael.af
���
4�U�2: ,�!2 )� ;�� @�E(....
��� kjia 2 �....
��� kjib 24 �!H 6'�/..
� ba ,��U� )2...
����� kjiba 86;O�2 ��.
5-:)� #�(�;�� b�2 ��y� �� N��V��� �2:..
...
..
����
��� jikji
ba 6124
112
g:�@� l�e 59�-) l�e 59�- 7��1 7( Triple ProductC���D: � �� �$�^� @�F�� M*;8� @k �� !�E�2 $��� �� �!H ,�!2 � �� @k �� K�;�� !� )��
#�� �� �!f )���\� � $�.i( �!H 6'�/cba ��� )( �
$��� �� q$: �!H 6'�/ �ab ��, �7UfRz��( )� N;O ,!��F� ��;��2 SG��� !��F�� s�* @k
$��� �!H $��� !��F�c� 6'�/ $��� s* )z��( )� N�$7( $���� M�*� G+^ )� �$O �� $��� G+^ )2c� @k �;<� N�$2 �^ s*cababc �
� �� �$^� !*� @$(�f q$: �!H 6'�/ �bacacbcba )()()( �������
$��� G+^acb ���)( � G+^ #a� $��� G+^�bac
��� )( � $��� G+^ #b�;O�2 ��.
� �ivbaa
iiiabcacbcba
iicccbbbaaa
cba
(0)(
()()(
()(
321
321
321
��
�����
������
(iv |��-� �)( cba � � ��-& ~$\U��� ,��$��� #�z/ � �� G�� : !�Y�a ,b �c ;8�O�2 }4�Hb� ,��$��� }4�H�
�$�O ��� N;�*� 6FO )2 )F�7Uf|| cb ��� ,��$��� N;�&�f
� � ~$\U�h G��� ~$\U��� ,��$��� }�V� �e P�" �� M�*� �-���ecabeacbV ��������
)()(|| ����� ,��$���� #��z/~$\�hcbcabV ||)( �����
����
a
c
be cb �
e
x
y
z
o
www.ael.af
���
�D�B!SJD 5����
1 - $��� !Y�....
��� kjia 34 �....
��� kjib 22 G�� �$C\� S;8O�2 N;O N��� �%: �,b�2 )� , $���7& $��� �� !O�2 �$8�GU�� @�� 6��� �!�= �* G�� )(�j* � ��F* $��� M*� �*k �;
5-:�f �� N��V����2G�� �;&)�O�� $��� )� #�(�;��..
� ba �$7& $��� ,� $��� ,b�2 P" SG��)� #* �� :
...
...
..
����
�� kjikji
ba 1067212134
$��� M*!2�82.....
���� kjiba 1067b�2 $��� ,.
a �.
b( )(�j* ��� N�$2 �$7&U�eG $��� �!*�..
� ab ,� $��� ,b�2 Q�(.
a �.
b#* �� �8�* S;(�$��� N;O �$7&:
.......
...
..
�������������� bakjikjikji
ab )1067(1067134212
2-8� �$-m )*��� ��! ,�!2 )� ;�0 �2 S202020 sincossin)sin( ����� sos
5-: N�Y!.
OA �.
OB � )� ,;/�� $��� �� ,$�U�xy, $5 ;8O�2 ;(� N;O N���$>� �2 )� x,�*���0�2;8;�� 6�FE� � .FO ��)� #�(�;�� 6:
20 ˆˆ ���
AOB
)� #�(�;�� !j*� �!5 �� �...
�� jiOA 00 sincos �...
���� jiOB )sin()cos( 22 M*!2�82)� #* �� :
y
00
2�
B
x
A
www.ael.af
���
)sin()sin(
)sin()cossincossin(
0sincos0sincos)sin(cos)sin(cos
2020
202002
22002200
��������
������
�������
...
..
...
kOBOA
kk
kjijijiOBOA
3-�!2, ���=� �Cy� s* ,�
ABC)� ;�� @�E( :
Cc
Bb
Aa
sinsinsin��
5-: ,� $��� N;O N��� 6FO �!f )� #�*�7( �� �!:.
aS.
b�.
c4H� ��;��� )2 }BCSCA �AB �Cy� s*ABCS;(� N;O N���#* �� M*!2�82:
0���...
cba
)...(iacb...
����
5� N�Y! $��� )2 � ����U� ��!.
c #�*�7( , $��� �!H G�� )2;*k ��:
........
........
.....
��������
��������
�����
accbaccb
accacccb
caccb
)()(
)(
�*!�� T-5 !2 M*!2�82S#�U*$82 #�(�$��� q$: ����U� ,�!2:
)(..........
)()(
iiSinAa
SinBb
aSinBbSinASinBacSinAcb
BSinacASincb
��
����
���...
....
33
c
A�3
b
C�3
B�3 a
A
CB
www.ael.af
���
)\2� ��!5� �!H 6'�/ �2 #�(�$��� q$: )2�E�)i ( $��� v�$�b S G�� )2* �k#:iii
Cc
Aa ...
sinsin�
�b���� ��)ii ( �)iii ( �$� $:R�%f M*�� G�� )2;*k ��:
Cc
Bb
Aa
sinsinsin��
4- N:%� V� �-���Yace : !V' �4= $��� ,�!2.
u �.
v R*��� �$= M�2 )��
#*!�Y �� !L( � ;;�� 6�FE� !*� 6FO �!f � .N��E��� )� #�*�7(.
u �.
v ,��$�� }4H��b#�U*$82 #�(�$��� @k G/�U� G:�* � ,�!2 )� N�$2 }4H:
}�V� ���;&�f�b� ,��$�� G/�U�}4H
@$�.
v��;&�f ��sin���.
uh}�V� ���;O�2eM*!2�82:....
����� vuvu �sinb� ,��$�� G/�U�� ,��$�� s* G/�U� �8�* }4Hb )2 ,��U� }4HR<C\� G7�fb� ,��$�� }4H� , $��� �!H 6'�/ ,��$�� }4H� ��/ M�& � )� }4H
b�;8O�-�� ;8;�� 6�FE� Q�( � }4H .7<!%�:b� ,��$�� s* G/�U� �D( �Cy� s* G/�U� @$�;;�� 6�FE� � }4He M*!2�82
�� G�� � �-& !*� 6FO GO��!L( ��2 �Cy� G/�U�:)(
21 ..
�� vu)b� ,��$�� G/�U�}4H(21
��Cy� G/�U�
�
�sin�� uh
v
u
V
�
u
www.ael.af
���
(���D1- !Y�2,2 2
12
2 ����� ttatta �223 23 ��� tta $���� )�� ;��� @�E�( ;8�O�2
GU�( 6<�U� ��L= $��� ,�.2- � @�E( ,� $��� )� ;�kjiakjib 432,864 ������ ��\= |��-� � !j*;�7 ��2
;( ��.3- ,� $��� v�$� @k ,� [� )� ;�*�7( G:�* � � �yCy� G/�U�)1,1,1( �A S)1,1,2( �B
�)2,1,1(�C �iE�,b�2 )� ,;/�� $��� G�� �$C\� @�8�7 S;8O�2 N;O ,$�U�ABC;O�2 �$7&.
4-b� ,��$�� G/�U� ,� $��� v�$� )� � �&4H)0,0,0(P),4.2,1(Q � S)4,1,2( �R �)8,1,1(S;O�2 N;O �iE��5- !Y�kjiu ���
.
2 Skjiv ��� 24;O�2S!H 6'�/�� ,� � G:�* � � !*� , $�;�8��
i (..
� uuii (..
� vuiii (..
� uv
www.ael.af
���
56� ,3� ����
,��K ��6%@� ,%�! �# ���:%&�:�7� G�K � ,��$� #�2 � ,��U� �$5 ,� �� )� ,�!��#O�2 G+^ ;K�( )2�����!Y �� ��* $ .G+^ � ,��U� �$5 ,� �� )� , $��� ! @�UF*
;8O�2K�( )2� )� $��� S��!Y �� ��* !j*;7 6y7� $���- � @k �;�;-� #*�f ��D�i� #�U�� ;O�2 )�O�� �!fK�( )2}��O $���Position Vector�$E�� ��* . )2 ,$�U� � $��� s*
6FO""#
$%%&
'�
.
y
x
aa
a�E(�$E�� N��� @ .xa)C'�: �� � �-& $>� ,� x �ya @k ���!� �� � �-&
$>� ,� y;O�2 ��. �# (!� �J � $JB� � 7�9��$JB�: N�Y!),( 11 yxP � ���k),( 22 yxQ $��� s* K�z(�
..
� PQa S;O�2� $' M*� � $���.
a )2 � ""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
12
12
yyxx
aa
ay
x� @�E( � N���
#*�f �Cy� GO��!L( ��2�� )*��Q�
PQN $��� �$5 �.
a#* ��: M�2 )C'�:R\<(P �Q S2
122
1222 )()(, yyxxaaa yx ������ $��� �$5.
a
R\<( �\��P �Q S""""
#
$
%%%%
&
'
�
�
�""#
$%%&
'�
2
221
21
yy
xx
yx
Mm
mR\<( ��D�i� �\��PQ
�-� �:%&�:�, $�� ;/�� s* �$5 ,� �� S)�O�� �!f N;O N��� $��� s* G+^ )2 )� S;O�2K�( )2�$E�� ��* ;/�� $���.
�4y� :""#
$%%&
'�
.
01
i �""#
$%%&
'�
.
10
j $>� G+^ )2 ,$�U� s* � #*�f #�U�� ,�;/�� $���x �
y )F���/ � S;8O�2 ��"""
#
$
%%%
&
'�
.
001
i S"""
#
$
%%%
&
'�
.
010
j S"""
#
$
%%%
&
'�
.
100
k ��D�i� #�U�� ,�;/�� $���
,� $>� G+^ )2 �%: � #*�fx Sy �z;8O�2 ��.� N���� l�e 59�-�:%&��:%&� N��: !V' �4= $��� �� ,!��F� �!H 6'�/
.
u �.
v�� G�� � �-& �%: �* ,$�U� �:�cos....
�� vuvu
www.ael.af
���
)F���/ ��R*��� ,� $��� M�2 )CFE��.
u �.
v @k , $��� �!H 6'�/ � ;;�� 6�FE� � v�$� N�$2 $��� s* )�..
� vu�� G�� � �-& � N;O N��� @�E(:.....
����� nvuvu �sin
���/ � )�..
� vu ,� $��� ,b�2 �$7& $���.
u �.
v ,� $��� �2 � N�$2.
u �.
v v�$��$E�� �iE� G�� G�� �;&�f.
� � � # n���K: � ���+O GEj(� N�Y! )2 6FO 6FO ;8(�� N;O ��f #*�f*� S#*!�j2 !L( � ! �
� $' M*����+O GEj(� S $>� G+^.
u )� S l( k G+^ �* ��!5� G�� �f � N;O ��f GEj(�
$>�.
vUO � , $��� �!H 6'�/ @4� G..
� vu
;;�� @�E( � .
�]� �# �:%&� �# N�:%&� l�e 59�-: $��� N�Y!....
��� kcjbiaa 111 �....
��� kcjbiab 222 S;O�2 N;O N���� $' M*� � , $��� 6'�/.
a �.
b �8�*..
� ba
�� G�� � �-&:
.....
����� kbaba
jcaca
icbcb
cbacbakji
ba22
11
22
11
22
11
222
111
N�:%&� l�e 59�- � �-���:<C\� G7�f �* )$��� �� , $��� �!H 6'�/ �4= !V'.
a�.
bb� ,��$�� G/�U� )2 ,��U��$� )� G�� �&4H 6�FE� !*� ;8(�� � $��� v�$E��:
..
�� vu }4Hb� ,��$�� G/�U�
u
v
�sin�� uh
..
� vu
.
u
.
V
www.ael.af
���
56� (���D,% �
1 :( !Y�....
��� kjia 53 �....
��� kjib 234G�� �$C\� ;O�2:a :(..
� bab :(ba�
2 :( |�<( N�Y!)3,2(P �)26( 1 �Q $��� ,� K�z(�}��O ,�.
OP�.
OQO�28 S; M*� �� $'$��� .
PQ 6FO )2 � yjxi ��;�U*$82 ,$�U� �3:( ,� $��� ]7^ 6'�/.
AB �.
CD SG�� �$C\� ��� $' )�)1,1( �AS)0,2(B S3,1(�C �2,2(�D�;8O�2 N;O N���4:( N�Y!)5,2(�A S)1,1(��B �)6,2( ��C;8O�2 N;O N���eG�� �$C\�:)i :(?AB �)ii :(?2 ��
..
CBAB)iii :(?22 ��..
CACB
5 :( N�Y!kjiu ���.
2 �...
��� kjiv 223 �...
��� kjiw 35 � ;O�2 N;O N���G�� �$C\�:
?3:) ��..
wviiiwvii �3:) �.
wvui ����� 2:)
iv(: ,�;/�� $���#�� G+^ N;O N��� ,� $�.
u S.
v �.
w � �;�8� G:�* �6 :( N;�O N��� ,�� $��� ,�!2.
a �.
b ,!��F�� ,�� �!�H 6�'�/..
� ba S..
� ab 6�'�/ � , $��� ,� �!H..
� ba �..
� ab � G�� )2 2�� N� �k ) N��Y! ;��8� )U*�<� #�2 ��a �b;8O�2 N;O N��� �4*�:
)i :(5�
5��
���
���.
.
kjib
kjia 2)ii :(5�
5��
��
��.
.
jib
jia)iii :(5�
5��
��
���.
.
jib
kjia 23)iv :(5�
5��
���
����.
.
kjib
kjia
2
24
7 :(� [� )� ,� �Cy� G/�U��� �iE� !*� |�<( v�$�$O(;eG�� �$C\�:)4,1,1(),2,3,2(),0,0,0(:) �RQPi
)1,2,0(),1,0,2(),1,1,1(:) RQPii ���
www.ael.af
��
8 :($�� G/�U�b� ,��G�� �$C\� �$E�� �iE� !*� |�<( v�$� @k ,� [� )� }4H:)4,1,3(),1,1,2(),3,2,1(),0,0,0(:) DCBAi �
)0,5,9(),2,5,6(),3,2,4(),1,2,1(:) ���� DCBAii
)4,5,3(),5,4,3(),2,2,1(),1,1,1(:) ������ DCBAiii
9 :(;(� ,��$� #�2 @�O K�;� � �$7& #�2 � $��� K�;�:kjiwkjvkjiui 3315,5,5:) ���������
���
jiwkjivkjiuii�����
22,,2:) 33
���������
www.ael.af
��
6�,%=� 57!b�6-
www.ael.af
��
?170150
��cmkg���
��
www.ael.af
��
��!!tD [��eCoefficient Variations
;8Y�!" !Y�N � !��� �U�/ !�2 � )����^ s* �Y;8Y�!" N K�!Y$�C�� �U�/ !2 � !j*� )���^ �Y
#�*�7( @��2 . ;8Y�!" M*� ;�8� �� !F: �*k N �� �Y�;8�U )U*�<� 62�f
�!����� �:��D� $5 )2 � �$= �8' @��!Y�O �� !V( N�;�8� ��i�(.
���;(��;�8� �iE� � @�E*� @�� � ;f.�� ��!>(� � P(�* ��* ����S;�8� )-��>� � @��!Y�O M*� @�� � ;f.�;8Y�!" @�Q�� )U*�<� ;�8� �� !F: �*kY N ��!>(� � P(�* �� T*!5 �� �$>�� �� M*� �
, ������!� �G�� MF7�� ��!>(� !Y�, ���� �;<� S;�*�7( v��� #�U<� � �GU�� @k ;/�� ;*k �� G�� )2 )�
�*!H ;8Y�!" �* ��!��g� N -U( �Y ��$� ��7���� � ��*� ��!�>(� � P(�* �� )� � �� , ����� @k ;�f�:G�� � .�!2 �� �� �F* )���^ �� @�$7( )U*�<� @k ,��D/�$�*G�� @$j7�( � P(�z�� �( ,.
$-7� �2 )� ��!��g� �*!H �CV @�E(����� N�$O&- ��!>(� G7Uf Z �= �� � �, ���� !2� TC\� �;& )� v��);/�� @�;2 (eG���8�*:
xSCV � �*���!��g� �*!H
;8U*$( �� ,;D�: � $' )2 ��!y�� � ��!��g� �*!H)2 ��!�g� �*!H !Y�100;*k �� G�;2 �$>� �*!H �$O �!H.
xSCV ��100% �*!H�$>�
� ��!��g� �*!H v<: ,�!2data�$O �� �*!�� G-y�.� )7 !Y�dataG�� !V' ��!��g� �*!H ;8O�2 !2�!2 # �2.� )7 !Y�data;8� �7( !��g� ��!��g� �*!H #�8� �!H G-y� �;& s* � � .� )7 )2 !Y�data!��g� �*!H #�8� ):�H� � G-y� �;& s* �� !�F�$� ;*;^ ��
��!��g� �*!HdataG�� )����.
��!>(�, ����v���
?170150
��cmkg���
��
www.ael.af
��
4�U�1: ��!��g� �*!Hdata;�8� )-��>� � !*�.531
339
3531
����
�� :nx
X i
67.238
344
3)35()33()31()( 2222
2 ���
������
��
� :n
xxS i
67.2�S
543.0367.2
���xSCV
4�U�2 : *Q*$C� !*$D� ��b N;88� ;��$� s* }$�( ;�8� �� ;��$� ,!*$D� ��b }$( �� @$A � }$(B !7& )� ���/ �� v�$�A !2�!21495 G&�� }$( v�$�� !7& �B !2�!21875 G&���(� � ��!>, ����@k ���!� )2 �280 �310G�� G&��.
�-U( �Y;8Y�!" ,� �� !*$D� ��b }$( �� M*� �� s* K�;�)��!��g� �*!H (�G�� !�E�25- :*!H ��b ��!�g� �A :
%7.1810087.0%187.01495280
��������� AA
AA CV
XSSDC
��b ��!��g� �*!HB :%5.16100165.0%165.0
1875310
��������� BB
BB CV
xSSDC
@$�BA CVCV �82� }$( ��b M*� !2A� ��G�� !�E�2 �Y;8Y�!" ,.
(���D1-���� ��!��g� �*!H�;�8� ��U/ � !*� ,:
654312- !2�!2 v��� !Y�4 ��!>(� �, ���� !2�!26�G�� ;<� ��!��g� �*!H S;O�23-' @��!Y�O M� ��!��g� �*!H �7O �810�� !��g� ;<� ;�2 ���#� �;8�!����$O �*
E�2!��
www.ael.af
��
��1�0`14���:� ��8�� �# �Normal Carve
N;�8O ;8*$Y �� )� ;�O�2:" �$�= !*$D�� s*� �� � )7C� �Q � �."
� N�j( 62�<� 6FO )28 � �2 � ;� ��>2 � !F: @k;�8�.
�!������ �C�i� G�!O �� @�;8� �� q$</ G=��!" !*� ��!YA �B @�E( � ���;.
��� �� ,!�E�2 q$</ G=��!" v��� G�!O K�;��K�;�;8Y�!" G�!O N�� �� � o(�;8� �� )2 q$</ G=��!" @�Q�� � ,!�7� �Y�;�8� )U*�<� # �2 � G�!O �� q$</ G=��!".
��!>(� � v��� M�2 !*� ��F(, ����� �8( �8>$;8� �� q;' ��� .- !Y�xv��� �S ��;�/ � ;O�2 ���� ��!>(�
%68 )C�����'�: � ������� !2 � $������ � �$������),( SxSx �� ��!��>(� s��* )C��'�: )��2 ���8�*
, ����� �� �!f v��� ��!5� �.- ��;����/%96 )C����'�: � ������ !2 � �$����� ��)2,2( SxSx �� ��!�>(� �� )C'�: )2 �8�*
, ����;(!�Y �� �!f v��� ��!5� �.
����A
����B
��� �� �
Sx 3� Sx 2� Sx � x Sx � Sx 2� Sx 3�
@�;8�
�� ��;
��
www.ael.af
��
-��;/99%��� �$�� $� � �� !2C'�:R)3,3( SxSx ����!>(� �8�*, ���� �;(!�Y �� �!f v��� ��!5�.
- �� o�2 ��!>(� ��� $( �8>8� s* �S2�� o�2 ��!>(� � ,��& !��S3U2� � !�� ,��&;O�2 �� .data �� o�2 )�S3 )C'�: v��� ��O�2 )�O��8 s* @�$8& )2 ;*�2 ;data� G��
!"���!Y �<C�.4�U�:� !2�!2 )U�$� s* @�;8� �� ��� v��� !Y� �C-12500 ��!>(� � �(�g:�, ���� !2�!2700;O�2 �(�g:�:C�:�$� ,� ,;D�: �� N��V��� �2( ]*$ ��� ]*�$� S��� N;O N���� ~!O � ;�.
l: ����� ��� �*k1400�G�� ,��& !�� �(�g:���!�C� 5-: !*��<� �;�2�SxSx ,2 �Sx 3#�8� �� )-��>� � .
,;D�:�(�g:� �U/ !2 )C'�: �U/ !2 )C'�:S
68%11800-13200SX
96%11100-13900S2X
99.6%10400-14600S3X
l 5-: �;�2�x�1400 G�� !2�!2 )� #�8� �� ��U/ � 2 �1500 ��� �8�*1400 )2 �(�g:���;(��1500G�� v��� �� !�E�2 �(�g:� . )2 � #f M*� !Y� ��/S#* �� #�8� #�U<�:
1.2700
1500�
��� M*� !2�821400��;(� )2 �!*� ,��& !�� G�� ��� �(�g:�� �� o�22S �� !�b�2x� �� �!f.
(���DN�Y!%28.68 ���!�(� � ��;�E�),( sxsx �� ��*k S;�O�2 )�O�� �!f%45.95 �%73.99
;�8� �iE� ���!( �8>8� �2 � � ���!�(� �;( �� �!f � ���!�(� K�;� � ��;�E� ��.
www.ael.af
��
� A�:D 5�2 N�� qX�2:4���v����� 6��2�<� 6F��O � � ���2 � ;��(� !��2�!2 #�� ���2 ���
N;8Y�!"�;�8� �� !F: )� v��� ��!5� � �Y
� �=�O ��;8Y�!" � ,Q�!� 6*�7 N2 �Y ,��*� @�Q�� )data )&$7z� s* )2 |$2!�data*�D/�� ,$;8� �� [�F�(� )'4= � $' )2 � .
)&$7z� s* )� @k M�U(�� ,�!2data,$�*�D/�� ;8�O�2 �V8� � G-y� N �O� ,� ��� !W�8� ,�� �=��O ��� ��!>(� � v���, ������ ��� $( 6FO � !�+2 @�$��$7( N��V���.
�!�����( ��*�$� s* �$�;8�U ,��U� #�2 Gf� )� �$� � v��� S)(��� ,� �=�O ��� � �2 � ;O�-( !W�8�� v��� ��!5� � ��*�$� !Y���� !F: )� �$� � )(��� v��� ,� G�7��;�8�� v��� M�2 6H�V� ;O�2 !W�8�� ��*�$� s* !Y��GU�� )2 ,��U� )(��� ��( �� S;8O�2 !W�8�� � @�UF* v��� ,� �� ]*�$� �� !Y�Ei" � ,;8C2 N�j;( �� � G��H� )� ��
�$7( )���\� G��/ �� )2 @�$� �� � ]*�$� 6FO ,� �=�O:1 - �!�X qX�2 �1)skewness( :�*�$� � � )� � ��Y N;��7= ;�O�-( !W�8�� v��� ��!5 )��VY
�$O �� . �=�O M*�;8� �� @�E( !*� �*!H �� v�$� � .C� :[��e�!�X `�1:D=�O�;�7= @�Q�� M��� ,�!2 )� G�� N�� �� �� )2 �Y . !*� � $' )2 �
�$O �� �*!��.
3
3
3
)(1
S
xxn i: �
�0
30 s*TC\� �;&G���!�Y �� �!f N��V��� � $� )U*�<� ,�!2 )�. !Y�03 �0 !W�8�� ]*�$�S !Y�03 �0 ;�7�= ,� �� ]�*�$� N ��Y G�-y�� !�Y�03 �0 ,� �� ]�*�$�
;�7= N�YG�� �V8�.l :�!�X [��e `0 �1!�: � :" �*!H��$O �� �*!�� !*� � $' )2 @$�!:� � S
medxSK P)(3 �
�
BA XX �
A
B
www.ael.af
��
;�7= �*!H !W�8�� ]*�$� � NY �@$�!�" �SG�� !V' !2�!2 �*!H �V8� � G-y� ,� G�7;�7= N ��Y"!�;�7= N;8� @�E( ���!� )2 @$� N�YG�� ]*�$� �V8� �* � G-y�.
2 -�!=& qX�2`�1)kurtosis(:;�E� �=�O N G�� @k N;8� @�E( �Y�) )� ]*�$� s* ,� �� Gf� )� � Z�� ,� �� Gf�"Ei�;O�2 ��.M*!��$7�� �Y;�E� �*!H )� G�� �=�O
;�E� ,!�Y N��;(� ,�!2 N �� )2 �Y)�: �$O �� �*!�� !*� � $' )2 �:
44
)(1
S
xxn i: �
�0
�O �$� �: P" #�O�2 )�O�� G�� � � �!y� ��;^ !Y�= �DN;�E��Y4
4)(1
S
xxfn ii: �
)� G��
if�U($F*!:ix��*�Sx � v���S ��!>(� ����G�� ,.;�E� �=�O N� �;( ]*�$� �Y;8Y�!" � G��f$� )2 �j�U2 �Y . N��V��� � $� )U*�<� ,�!2 �=�O M*��!�Y �� �!f.
4�U�: e;*!�j2 !L( � � !*� 6FO �*!�H40 ��2 � �;& )2 )^$�3 ;��7= � N ;�E�� � ��Y N 6F�O ��Y
���N;�� _�H$� � )U*�<� N;O.
5-: ( ��*�$�$ � �;(���� @�$8& )2 �b$7�� ��� , ;�E� @�Q�� @�!� )U*�<� ,�!2 N � $�� ]�*�$� s* �Y �!f N��V����� �!�Y . ( ]*�$� ,�!2$��� 40 ������3 G��� . !�Y�40 �E��2 �� !3 Z�� ��* �Y;�E�� ;�O�2
G�� ���!( �� !�E�2 G-U( )2 ]*�$� .G�� ,� )Cf ]*�$� !j*� � �-& )2 . !Y�40 �� !�7�3;�E� ;O�2 N ]*�$� �� !�7� ]*�$� Z�� �* �Y
($ � ]*�$� � $' M*� � )� G�� ��� :��4)]���(;8*$Y ��.
(���D1-7%� ��!7( @$�H�* G�� N;O N��� !*� � $' )2 �8' s* @��!Y�O.
2441064@��!Y�O ��;��100-9090-8080-7070-6060-5050-40��!7(
;�7= �*!H N" �Y�;�8� )-��>� � @$�!.
�� ��� �����
���� �����)�� ��( ��� ������!��� �
www.ael.af
��
7�:8%� ��; N�� 7���Z ��;(� !Y�� # s* ;f ;��(�;2 � @��� �V8�' . ��*k
(� )2 )^$� �2 � @k @�� �;<� [;�/ @k ;�f N��;;�(�$� �� N���
�!�������;(� �C-f ,� [ � � �7O �*k�;f�;*� N�!� �� !2 � )���\� @��Q7 � h�iO� @�� �;<� �� �*k� s* ��/ )2 � �iO s* @�� �;<� � ;f N��;(� @�$� ���� �$>)X� �$7(�� � �8' s* @��!Y�O @�� �;<� � ;f N��;(� #��$i2 !Y� S#�� �!f )���\� � $� @��Q7
#�� �� �!f �� !2 � $� )� )���^;*�2 )���^ }$( )�;O�2�� N��;(� � �$= ,� �V8D7 �� !V( N� @�� � ;f*�7(�;.�dataN $^ � $' )2 � N;�k G�� )2$82 ��!� ,�*;�U.� ��!� ,� N $^ v�$� )� |�<(�* � S��!Y �� �iE� ,$�U� �R 6'� v= s*;�8�.��/ ,$�U� |�<( @�$7( 6'� �� )� �\= ;�(�$� �� )�VY'� ��!Y �� 6( )�� �� � 6FO }$
�� S�>2 � $� }$H$� )� �$O �� N;�7+: b�2 G����: ��G�� �$>�� }$( . ,� [ � � @$8���GO�� �$^� �$>�� s* v<: � @k � )� #*� N�!� �� !2 � ����$^ �C-f . � ����$^ ��/
!2 � $�O�2 �$>�� ;8� �* � �$>�� �� ,� �� )� #�� �� �!f �� 8;. )2 )^$� �2 �H�* �b���� )C��� )2 � �$>�� ;8� �* �� M�2 |�-� � �b$7�� �� �(��k ,�!2
� � #*�f )��H� ���7� #�U��)X;( �� ��.iE� $L8� )2 ��� K;f �� �k ]7^ K�b ���$C�� � �!H � $� �b���� 6�FE� � �, ����!Y.
,$�U� s* � )���\� � $� ,� �$>�� � � 6FO )2 N;O , �k ]7^ ���$C�� K�� K;f �S#*�f ��D�i���!Y �� , ��Y )\<( .�� )� 6FO6'� ��!Y s* ;*k �� G�� )2 |�<( M*�;� �� �� )2 � .
www.ael.af
�
4�U�:��;�� s* ,� � �*��� #*� �&$( !�m�� �Di�� s*$Y!=�!� �� !2 �SG�� N�-� M*;2 ! )���� @��$Y!=�C7& PI� � )�:!Y N��;(� � R T�-\� � @k ,b�2 � �*��� #*�
�2�� ��@��G�� N�$7( N��;(� � � @k .data�� ;(� � �-& N;�k G�� )2 ,�:)4,2(,)5,3(,)7,1(,)3,2(,)8,1(
D�i� � )���� @�� !j(��2 ��� )D�i� �z8*� �R�7 @�� !j(��2 K�� @$Y!= #*� ��7&� �� P"G�� �*���.
-data;�8� ���!� �($�� � ,!\� ��;^ � $' )2 � b�2.-�Y!data�G�� �$>�� ;8� ,� �� )���^ M*� �*k S#�*�7( �!: )���^ s* @�$8& )2 � b�2 ,
5-:#*!�Y �� !L( � � !*� ,!\� ��;^:
54321 �7ON$Y!=�23121 )���� @��=$Y!�45738�*��� #*� T�-\� �� ;�2 @��$Y!=�
#*!�Y �� !L( � � !*� �($�� ��;^:
#*� �� ;�2 @��)���� @�� N �7O$Y!=�
83754
12132
12345
data;*�7( �� �:!�� � )�$>�� �� )���^ s* b�2.
(���D1 - � � �b$D>� @�!2 ;8C2 ,�!2 -f �� ,� $�F: ��&���;(� 6���;(� S�k� S�$�� }$�( S,���7�� �$�
��;(�����:k�� ��= }$(?* �� ���!� �$>�� }$( ;8� �2 6f� ;/ )� ;�(�$��� )�VY S;(� !m#�
www.ael.af
�
��1�0 ��1 `�1Scater Diagram
6FO j( � ,$�U� � )� |�<( )2 )^$� �2 ;�8� N� |��<( M*� G�� N;O �iE� ��D�i� #�U�� �
�b����� � ����!� ���!� ,� N $^ � $' )2;�U*$82 � @k �H�* .
�!������!� ,� N $^� � � � � � � �5,4,4,3,3,2,2,1G�� N;O N���.
�;�8� #� T�f� $5 )2 � ��!� ,� N $^ M*� ��!Y.������ � 6'� # �2 � N;O �iE� |�<(RG:�* � � @k;�8�.D�i� !*� 67��� $��� T2�\� @$8��R
M*� �� s* ! K��data;�� !��g� !*� � $' )2 � .� ;�8� ���!" � ,� )F� )\<( ! ,�!2 . )2 ;�k !�O !Y�y ;��k v�= !�Y� � ;�8� ):�H� ;/�� s*
��y;�8� #� � @k ��!Y N;O 6'�/ ��!��g� �2 ;�8� #� ;/�� s*.�� �!F� � )�C7& M*� M*� ��� ;�8 �2 �j�U2�� ;�;( !��g� ;�8� �� #� �* � ):�H� )� � ,� G7�fx
�y�;8� �� !��g� )($j�4�U�:
!*� ��!� ,� N $^ � � �� )�� �*���� #*� !�m$Y!= #*�$�2 N�$7( , �k ��* �C-f ��y� � �
#*!�Y �� !L( �:� � � � � � � � � �4,2,5,3,7,1,3,2,8,1
� � ���!� ,� N $^ M*� � $�' )�2 ,$�U��#�� �� @�E( 62�<� 6FO.
@�E( � � $� @�� )� q$: ��!Y �Y;8Y�!" ��!Y K�( )2 ;� ���*"�� ��* o8��!;88�. ��!Y )&$7z� o8��!"* �>� ,$�U�� � |�<( �� � #�� �� )�� G��� ��D��i� ,�� $data
;*k �� G�� )2 )�$>�� �� ,� )���^ � ,!�Y N��;(� )2 )5$2!�.����\R �2 � ��&45� ;(�$� �� ��!Y M*��� ��j2 �� ���=� � )���^.
x
y
���"#
$�%�
& '*
� �� +
, ��
��� @���)1 2 3 X
Y
www.ael.af
��
�4y� :��!Y,�;*!�j2 !L( � � !*�:
)���()�(
)Z()�()�( ��!Y �)���( $>� ,� ,� G7�f )� �$O �� N;*�x;2�* �� o*�Q:� �S $>� ,� ,� G7�fy
;2�* �� o*�Q:� Q�( �e��� ��!Y �)�(G�� PF& !2e $>� ,� � G7�f o*�Q:� �2x � G7�f � $>� ,� y;2�* �� o�� �.
��!Y �)Z( G7�f � ��!��g�x� � �2 � �&45� )($Y �� ��!��g�y �7(#�8�2 . G7�f ��: �8�*x
G7�f ��: y;8� �7( �iE� � . ��!Y)�(� ;� �� @�E( )� @� !2 N�4&M�O�� �2 S;82�* �� o�� �* � o*�Q:� # �2 �$>�� �G7�fx
�2 @�$� �� ,!�E�2 Gf�y/ � �� [; .;/ Gf�[ G7�f @��yM*� �[;/ Gf� �� ��!Y ��!Y �)���( �)�(G�� !�E�2 ��!Y �)�( G7�f [;/y�$O �� K�z(� ,!�E�2 Gf� �2.
(���D � ��!Y2�<� 6 @�E( � � !���!� ��;�� s* !7& � G7�f
_�H$� �� �� �$^� �$>�� �� M*� M�2 |�-� � �*k S;� ��;��.
��!-�
� �. �
/ �)
5000
(
��0���� �/1)�!�(
www.ael.af
��
%�S��7%�S�� [��e � �17�1 |�<(A SB SC �D N;�O N��� 62�<� 6FO ;8(��
v= s* v�$� � |�<( )� G�� MF7� �*k G����!� ��$7( 6'� #�2 #�<�U�
�!�����O;*!�j2 !L( � � !*� ,� 6F.
� 6FO � �*k)���( �)�( �$>�� @�$� ��y M��� � �Y �� |�<( M*� �� )� �\= s7� )2 � #�*�7(�
� 6FO � ��5�-� � @�Q��)���( �)�( M�2x �y�)($j�G��� 6FO � �*k)Z( �)�(��� � �\= @�$� ���M )�O�� �!f @k ,� |�<( )7 )� �!�O�28�;� 6FO � ��5�-� � @�Q��)Z( �)�( M�2x �y )�)($j��G��� 6FO ��5�-� � @�Q��)���( �)�( 6FO �2 � )Z( �)�( ;�*$j2 � N�$7( )U*�<� )� �$>�� ,�\=y
�$>�� s7� )2x6FO K�;� ��G�� !�E�2
1x 2x 3x 4xx
1y2y
3y
4y
y
)�()���(
)�()Z(
www.ael.af
��
Y� )� �$O �� N;�7+: b�2 G����: �� !� #�<�U� v= s* 6FO )2 |�<( ! ;�f )�� ,��\= ;�O�2 !��F*�Q( �$>��y )2 !L(x !�7�G�� . ;f ! PF&!2 � )� ,�\= ;8O�2 !� �� v= ��y G��� !�E��2 . M�*� !2��82
� �U-7 )� #�*�7( �:!�� #��$= �� � );*�7( ,!�Y N��;(� � |�<( �Y. : �* $���$ �U-7 �*!H K�( )2 G�� N;O �:!�� �Y )�U-7 )-��>� ,�!2 )� �$� ) � ;�88� ��� ��* �Y
�$-7� �2 � @kr;8� �� @�E( !*� � $' )2.
yxss
yxnxy
nr: �
��
�
4�U�:data!�� #*� T�-\� �� ;�2 @�� � )���� @�� )2 |$2�� �*$Y!= !*� ��;^ ;8(�� � �;*!�j2 !L( �.
�!H 6'�/x �y�*��� #*� T�-\� �� ;�2 @� �)y(� )���� @�)x( N �7O$Y!=�
867158
:44
83754
:27
12132
:9
12345
�*!H�Y )�U-7;�8� )-��>� � �*��� #*� T�-\� �� ;�2 @�� � )���� @�� M�2.5-: !Y�x � S)���� @��y ��� � �*��� #*� T�-\� �� ;�2 @5�n M* � ;O�2 � $� ��;��
v��� )-��>� ,�!2 � $'x � �y#* �� �:6.5
5288.1
59
���� yx
5)8.12()8.13()8.11()8.12()8.11( 22222 ���������
� P(�* ��x��xS 2
56.058.2
504.044.164.004.064.0
������
�
5)4.54()4.55()4.57()4.53()4.58( 22222 ���������
��* �� P(y��2yS
44.35
2.175
96.116.056.276.576.6��
�����
�!H 6'�/ )&$7z�x � �y� ) v���y�) ( v���x�() ���� ��!>(�y�) (�� ��!>(� ��x�(
www.ael.af
��
8.8544
5)42()53()71()32()81(
�����������
��
� : :n
yx
)z��( � :09.0376.112.0
86.174.0)6.5)(8.1(2.10
���
�� �*!H�Y )�U-7�r
� M*� ��/?�U-7 �*!H �*k )� ;*k �� o�" �� )�Y09.0 #*� �k G�� )2 b�2 � )� � @�E(�U-7 �� ) M�2 ��*� �Yx �y�!�=�* � G��
� M*� )2 #�(�$�2 )� M*� ,�!2? ���" �� #���U-7 �*!H )�Y� �* � !*� G��/;8� �R ��y�_�H$�#�8� ��.4�U�:#*!�Y �� !L( � !*� , $5 � �+(k )5$2!� ,� ��!Y � ��;^:
5.845.635.525.21
yx
104636221yx
94735231yx
)Z()�()���(
6FO �)���(;( �� �!f v= ,� �4��� |�<(e�U-7 �*!H M*!�b�2 ;*�2 P" );O�2 )�O�� � �Y.6FO �)�(U� v= �� |�<(�;(� N;O !� �� #�<e�U-7 �*!H ;*�2 P" )�*!H �� @k �Y)���( !�7�
O�28;.6FO �)Z( N;O �� v= �� |�<(eG����;(� )2 ����G��/ , ��)�(GU�(e �*!H ;*�2 P"
�U-7) � �Y�U-7 �*!H �� G��/ M*� )G��/ � �Y)�(!H �� ��� !�E�2�U-7 �* ) �YG��/)���(7�G�� !�.#�8� �� �� !2 � @�>��� !*� �!f � b�2 ���\� G>' )-��>� ��/:
-)�U-7 �*!H��/ � �Y��� G64
245.24
10���� yx
25.145
425.225.025.2
4)5.1()5.0()5.0()5.1( 2222
����
����
� P(�* ��x��xS 2
�!%C'�/ )&$7z�x� �y� R&$7z�data
x x x
yy y
www.ael.af
��
5420
49119
43113 2222
�����
����
� P(�* ��y�70������������� 3621103)49()73()52()31(�!%C'�/ )&$7z�x� �y�
15.25.2
25.6155.17
525.1
)6)(5.2(470
���
��
���U-7 �*!H )�Y
-�*!H�U-7 )� G��/ � �Y:64
245.2 ��� yx
84
160016�
����P(�* ��y1.25 = P(�* ��x
724018122 ����� �!%C'�/ )&$7z�x � �y�
9486.0103
825.1
)6)(5.2(472
���
�� �*!H�Y )�U-7
- �*!H�Y )�U-7Z G��/ �:75.54235.2 ��� yx
6875.4�P(�* ��y1.25 = P(�* ��x
75.164
�
9812.0858.5
375.26875.425.1
)75.5)(5.2(75.16��
�� �*!H�Y )�U-7
)� v*�!O � ;�O�2 )�O�� !5�= )2y;O�2 )�O�� � v= M*!�7�)!*��<�y �x;( �� �!f v= s* ,� (. �*!H�Y )�U-71 �1 - �*!H v*�!O !*�� � � G��U-7�Y )�� �� �!f �;<� �� M*� M�2.
(���D
1-data;*!�j2 !L( � � !*�.
0123454321
yx
�*!H�Y )�U-7;�8� )-��>� � � N��� M*�.2- �*!H�Y )�U-7;�8� ��U/ � �$= ,� �V8' # @�� � ;f
�!%C'�/ )&$7z�x� �y�
www.ael.af
��
\X��:! �1Regression
" ��!Y #�8� �!: o8��!G�� N;O N��� 62�<� 6FO �: )����� � $' )2 )� � �7�<�U� �\=baxy �� G���
)� ;�(� �j2 |�<( M*� M�2 �� )2;O�2 s*�Q( |�<( )7.
�!���� 6FO �62�<�N��� �\= ]2��)s* )^ � ( )�
G�� N;O #��!� G�� #�<�U� �\= � $' )2.� �\= ]2�� �baxya�b ��, )�
�;8�U !*��<� }$(� ]2�� �baxy �� M��$>��x �y�;88� �� ��* )� K�( )2 � � #�<�U� v= 6��baxy ��;�8� G:�* � � .� )����� �baxy �� ��!��g� @�Q��y � !��g� ;/�� s* ,�!2 � x;�8� �iE�.�� )��������� baxy ���*!����H !����Y�0�a]2������ ��!����Y ;����O�2 G������;*�Q��
!Y� PF&!2��f�8���*0�a ]2�� ��!Y;O�2 � �� � 6F�O )��� !�Y� @��8�70�a
;�8� �iE� � ]2�� 6FO ;O�2.- 6FO62�<�;*!�j2 !L( � � .
� ,� )C'�: }$7z�321 ddd �� �23
22
21 ddd ��;�8� )-��>� � .
)����� )� �$O �� N;�7+: b�2 G����: ��baxy �� �*!H )� G�� �\= ]2�� s*a M*� 6��;O�2 �� )�����. )� ���j8a #�<�U� v= ;O�2 G-y��� � ;*�Qa;O�2 �V8�v= �f�8�� #�<�U�
�; �
b
yD
xD
baxy ��
x
y
11 �d
22 ��d
13 �d
x
y
www.ael.af
��
G�� .O�2 )�O�� )^$�� !*��<� !Y� )� ;),( yx )�����baxy �� � $' M*� � ;*�7( q;' � �7�;( �� �!f #�<�U� v= ,� |�<( M*� K.
�*!H ;8O�2 !�F*�Q( #�<�U� v= )2 �Y;8Y�!" ��!Y |�<( ;f !�U-7�Y ) )21 + �1-�$2 ;�$= !�F*�Q( . �*!H )� #�(�;2 � #�O�2 )�O�� � #�<�U� v= )����� !Y��Y )�U-7 ���8�
�$>�� @�$� �� G��y �$>�� s7� )2 � x )�O�;( � #�<�U� v= )� � $' � � �!� M����@�$� �� � v= M*� S#�O�2O� v�$��)� K�( )22 �$O �� ��* ���2!� M*!�7� !*� � $' )
�!� G:�* �:;8Y�!" ��!Y #�8� �!: NY62�<� 6FO )2 �
G�� N;O N���:
)����� )2 �\= #��$= ��baxy �� s�*�Q( |��<( )�7 )�2 )� �7Uf )2 #* ��j2 |�<( M�2 ��;O�2 . ���8� 6FO )2 v= )����� � M*� �)N;(� � ( �$�� }$7z� )� �$O 6�FE� ;*�2 , $5 @
,�$7& ,� ��!>(� K���2 6f� ;/ #�<�U� v= ��;*7�8�;O�2 # .� � �� o�")X!: � !*� ��y� S�$� ;�8� �!: e#*!Y �� !L( �dataN;O N��� !*� ,�:
756951
yx
6FO � ���� M*� ,�!2 � �C�i� v= �� !*� ��;�E�� �� � |$�\= ,��\= � #�8� �� #� ��7( �� �iE�#�*:
)���()�(
baxy ��
),( 44 yx
),( 22 yx
),( 11 yx
),( 33 yx
x
5.0�
1�
5.0�
2� 1�
3�
x
y y
www.ael.af
��
��� G��/ �� ! � G�� ��� G��/ �� !�+2 ���!� )2 � G��/ � N;O #� v= )� GU�>H���$O �� !V' !2�!2 � v= ,!-z�� ]7^ � �.
��� G��/:03)1()2( ������� �\= ,!-z�� ]7^� G��/:05.0)1()5.0( ������ �\= ,!-z�� ]7^
$� G�� !V' ]7^ 6'�/ G��/ �� ! � @e !�-���8� v�= K�;�� )�� #�(�$�� ��7( )�VY M*�!2�82G�� . ,� �\= )� M*� ,�!2 �y8= � !j*;7 �V8� � G-y�( ;8F @�$�� )2 � v= ! #�(�$� ��2
(�� �#�8� ]7^ � � @k PI� N;.14)3()1()2( 222 ������v= ,� @�$� }$7z�K��5.1)5.0()1()5.0( 222 �����v= ,� @�$� }$7z�K��
,� @�$� }$7z� M*� !2�82 v= G��� ���� G���/ �� !��7� � G��/ � � K��e ��� )��VY P�"#�(�$�:
!��7� !�j*� M�F7� |$\= )�<2 �� o*� v= ���2!� }$7z� )� G�� �\= ���8� v= M*!�+2 �\= M�8� S;O�2) v= @$��!Y (;8*$Y ��.
2 )� , �;<� M�2 q!: !Y� )C��� ) v= !Y @$�� ��;�E� �;<� �y )2 ;*k �� G�� )2y @�E( 6�7& !�*� � $�' )�2 @�$�� �� K�� ,� @�$� }$7z� M�=�� 6f� ;/ ,�!2 � $' M*� � #��
�$7(: !22 )()(: : ����� baxyyyv= ,� @�$� }$7z��,K��
...)()(
)(2
222
11
2
�������
��� :ybaxybax
axby
�^ M*� �x �y � G2�ma �b;(� �$>��. )-��>� �H�* ,� � � �� )� @k @�;2 ��a �b $��� !�� )2 v<: #*$O-��>�R �� � @k
#*���!".
� �*!H�Y )�U-7��x
y
SS
ra
::
:: �
��
��� 222,x
yxxnx
yxnyxbxayb
)-��>�a �b)2;O�2 �� ���2!� M*!�7� � .
��!>(�, ����y
��!>(�, ����x
www.ael.af
�
7<!%�: v= �Q2� �* )C��� @$��!Y �$�>�� �U�/ !�2 �$�>�� s�* �;<� �8�-E�" ,�!2 G�� ,�!�Y �!f N��V��� � $� G�� )�U2�� @k )2 )� !j*�.
4�U�:data;*!�j2 !L( � � !*�.
0123454321
yx
v= @$��!Yy )2 G-U(x;�8� G:�* � � .5-:@$�:
122
2264
22
))6(4(51))((1
45
205
04664
225
41014)(
225
410142
)(
25
105
01234
35
155
54321
22
22
���
���
��
��
�
��
������
�
�������
��
�
�������
��
�
������
��
������
��
:
:
:
:
:
:
yx
yi
y
xi
x
i
i
ss
yxxynr
nxy
Sn
yyS
Sxx
S
ny
y
nx
x
M*� !2�82:
5323)1(2
112
2)1(
��������
������
��
xayb
ass
rax
y
v= )����� P" �� G�� � �-& @$��!Y :5������ xybaxy.
(���D
!Y�32 �� xy v= )����� @$��!Yy )�2 G-U�(x v���� �x�!2 !�22 v���� ;�O�2y ;�<��G��
www.ael.af
�
56� ,3� ����
��!!tD [��e: ��!��g� �*!H�$O �� �*!�� !*� � $' )2 � G�� ;/�� @�;2:
xSVC �� �*���!��g� �*!H.
;8U��*$( ���� ,;D���: � $��' )��2 ���C�� � �*!��H M��*� �$��O ���� ����* �$��>�� �*!��H K���( )��2 )���e
�8�*:xSCV ��100
,�!2 ��!��g� �*!HdataO�2 )�O�� ��* )2 � �$O �� �*!�� G-y�� !Y� )� ;data )7 ;8O�2 ,��U��$O �� !V' �Y;8Y�!" ,� �=�O.
��1�0`� ��8�� �# �1:4��� :C��� ���!( �8>8�RG�� , ��k ,� }$7z� �� ��'$� ,�!2 #+� .( ]*�$� �$���/ � ��� �E<( P(�* �� S;O�2 !W�8�� �!y� �8>8� � ���!( ��*�$� ,� �� � N��� )� �
N;7&*� �� � . �2 ]f�� ���$2 �iE@ ��" ��!>(� � v��� !��� �, ����( ]*�$� � ]*�$� M*� S��� $;�$= �iE� 6� � �=�O }$( ! )-��>� � �$2G�� ;&�U�.
� A�:D 5�2 N�� qX�2:4���:v��� s7� )2 ��!>(� �, ���� �j($j� @�$� ��data )2 � ;�7= �=�O 6FON�Y� � � _�H$� !�+2 �Y;�E� �=�O �)X�$7(.
�=�ON;�7= �Y �*!H v�$�N;�7= �Y30" �*!H �� @$�!PSK )U*�<� � ,!�Y N��;(� ,�!2 )�;(� �!f N��V��� � $� ,!�Y N����;8U*$( �� !*� � $' )2 ;(!�Y:
3
3
3
)(1)(3
S
xxn
SmedxSk
i
p
: ��
�� 0
;�E� �*!H v�$� �Y;�E� �=�ON �Y40��!Y �� )U*�<� � ,!�Y N��;(�.
4
4
4
)(1
S
xxn i: �
�0
� �;( ]*�$� �Y;8Y�!" � G�<:$� )2 �j�U2 �=�O M*�. 7�:8%� ��; N�� 7���Z: � � N;7& ��;� �� �F* �*$�Y o��" � �8�-E��" ,$�X�D�/� ��<�<>� !y�
G�� !j*� �$>�� P8^ �� �$>�� s* M���� � @�$7( .�� M�2 |�-� � )� @��� �O �!�f �� !2 � $� � #�� �� .���^ �� $L8�R;O�2 �� )�$>�� ��.
#z/ M�2 )\2� ;8(�� � �Y �E:� @�Q�� � G>' M�2 |�-� � S !��� p!� GE�� _\�� M��2 )\2� �;�<� � 2 )\2� S�$D>� @k R7 @k G/�U� � N!*�� }��O M� ;�*�7( ��� @���2 � �$�>�� �� M��2 v�2�� �. ,�!�2
C��� )2 � �$>�� M*;8� �* �� M�2 |�-� � �b$7�� SG�$+�R� � �H�* �b����)X;( �;��.
��!>(�, ����v���
www.ael.af
���
��1u�&�0: � $' )2 � � N��� o8��!" ��!Y @�$7( #��!� ,�!2� ,� N $^ ,� N $^ ��!X� � ��!���D�i� ,� $>� ,$�U� s* � |�<( v�$� � )�� o*�7(#��.
;� �!f �� ���=� � � ��&45� }$( )� ;(�$� �� o8��!" ��!Y.C� :�* )($7(;8� @�E( )���)( �* G�� �$^$� ;O�2 ��;�E� M�2 |�-� � �&$(
l :|�-� � �*k |�-� � �&$( G*�$^$� � $' ���\= !�� �* G�� �\=^ : �� $' �� |�-� � }$( ;O�2 �\= )\2� )�jG�� )($�
7%�S���1 [��e �7%�S���1:)�U-7)�$>�� M�2 |�-� � R^ � G:�* � � oz8� )2 �Y�� �-
�$>�� M�2 |�-� � ;O�2�� � �\= !�� � $' )2 �* � #�<�U� v= s* v�$� �\= � $' )2 ;(�$� )28� s* RC�����!Y )X� � �8> .)�U-7�� @��2 �$>�� �� M�2 �V8� � G-y� � $' �� )2 ���$7& �Y �$O
�8�* ;8� !��g� G+^ s* � �$>�� �� ���;(� !Y�x �y ;($O s�$� �� ! �* p Q2 �� !)�U-7G-y� �Y)#�<�U� v= (G�� . M*!�+2, �����iE� �$^� ��Y )�U-7S}$( ��/ � @k K;&�* @�Q�� � G+^�Y )�U-7 �\= �*!H�Y )�U-7 G��)�� � !*� �$�!: v�$�X��!Y �� ).
yx ss
yxxynr
�
��
: ))((1
b�2 v2�� �: xy �!H 6'�/ }$7z�x � �y� Sxv���xS�y v����y S��xS ��!�>(�, ����x� �yS��!>(�, ����y;8O�2 �� �. \X��:! �1: @$�� !Y)M�7i�( �* s* � � )2 !L( ]2�� �$>�� s* � � G:�* � � oz8� S
� 6<�U� �$>�� ;8�;O�2 �. )������* )����� K�( )2 ;*�7( �� N��:� � � �$>�� M�2 |�-� � )��* @$��!Y* ��� ���* oz8�� )������ �
�*�!H � )-��>� ���2!� M*!�7� � )2 @�$� �� � )����� M*� � ��!Ya �b )�2 � M*� s7� )2 � � �k G�� )2 !*� � $'.
xaybSS
rax
y
��
�
8*� � �zyS>(�! ��, ����y SxS ��!>(� , �����x Sr �*!�H )�U�-7 ��Y Sx v����x � ��y
v���yO�2 �� �8;.
www.ael.af
���
56� (���D,%=�
1 - @k v��� )���^ s* � !Y�50�x @k M��* �� �642 �S ��!��g� �*!H ;O�2y T-5 !2 )� )\2� 102 �� xy �$>�� ��x ;8� �� ,�!�" ;<��G��
2 -!Y�%20!7( )2 N!7(�$O ):�H� #C��� !��$O �� 6'�/ N!7( ��!��g� �*!H ,� ,!�m�� )� �3 ->8� @��� )� )���^ �� ,;D�:8;�U*$82 � �� �!f !*� ,� �.
4 - � �2 )��$>�� )� � )�$>�� �� S)�$>�� s* )���^ v2�� M*� �� s* K�;� )� ;�*$j2 !*� v2�� )2 )^$;� �� @�E( � .
��� :��;(���7O ,� �V8' # ;f� :|�-� �}��� G7�f � �&$7z� �!D� M�2Z :@k }�V� � � N;&�f }��O � )(�$��� #z/ M�2 |�-� �
5 - �!f �� �8' s* @��!Y�O )� ��!7( � N;O �!' ��&�� ��;��%20 6FO )2 G�� N�$7( �=�N $^G�� N;O N� �k !*� � ��!� ,�:
)18,8(,)16,8(,)20,7(,)18,7(,)14,7()18,6(,)16,6(,)12,6(,)16,5(,)14,5()14,4(,)10,4(,)14,3(,)10,3(,)10,2(
�!2 � o8��!" ��!Y!7( � )���\� ��&�� ��;�� M�2 )\2� @��� @�E( ,�;�8� #� @�>��� . )z��( )�* ��;*!�Y ��
6 -data;*!�j2 !L( � � !*�.
24513211
yx �*!H�Y )�U-7;�8� )-��>� � � N��� M*� �.
7 - �*!H !Y�)�U-7�Y;O�2!�F*�Q(!V' )2.,�\= �*ky�2�!� #� �* G��!� o8 -)�U-7 �*!H !Y��Y1 + �1-,�\= N �2 �;O�2!� s*�Q(y�;�*$Y �� )�
Sx � x Sx � Sx 2� Sx 2� Sx 3� Sx 3�x x
www.ael.af
���
9 -�8'�� � )� ,�!� s* )2 !L(A�B@�� � $� � !*���;&� )�:!Y � $' ��F� s*12��U/ )2 �!Y�OG�� N;*�!Y , �k ]7^ K�!Y $C��.
716978676866706264676365A:706867716568666965686668B:
b�2 ��;&� GO��!L( � �2:��� :;�*�7( #� � � N��� �Y;8Y�!" ��!Y.
� : ,� � � N� �k G�� )2 � |$2!� #�<�U� v= )�����a �b;�8� M���� � .Z :=v )����� )2 !L( � |$2!� #�<�U�@$��!Y;�8� #� .
10 - !Y�x �y ,� ���Y )�U-7 ;8O�2 [$F�� �yx SS � v= @$��!Yy )2 G-U(x�G�� K�;�
bxybxy
bxybxy
�����
����
)4)321)2
21)1
11- ��(�>��� l*��( o8��!" ��!Y%20 s*Q: @$7%� � �H�* @$7%�20 !�*� ~!�O )2 )� !Y�O;�8� #� G�� N;�k.
�!Y�O1234567891011
�H�* N!7(1881218166106161012
s*Q: N!7(16108181410106101410
�!Y�O121314151617181920
�H�* N!7(12101618126141412
s*Q: N!7(6121612128121416
-;* �k G�� )2 � @$��!Y v= )�����.�� �� �$^� @�>��� �� l*��( M�2 |�-� � �*k12 - �$C>� ��!�� � � )<2 M�:!Y �!f !�m��1.5 � @k @;2 � �7�b @$* @�Q�� !2 K��5 s7( N;D�:
G�� N;O G-m !*� ��;^ �.
K��5 s7( ��!�� � M�:!Y �!f @���)G&��(504030201050
@�Q��@$* �7�4")mm(1361321261221181090
� �� !2 � � �$>�� ��;^ M*� �;�*$j2��G�� 6<�U� K�;� � )�U2�� K�;��;�� @�E( � �$>�� �� M�2 |�-� � )� ;�8� #� �:�!Y.�;�� o*�7( �<:� $>� ,� � 6<�U� �$>�� ��!Y M*� #� �.
www.ael.af
���
6�,3� 5�Y��%-
www.ael.af
���
www.ael.af
���
DF!D�F[Permutation
)��O�� #� �� �C�i� @$C\" �� � M�!�" )� !Y� )2 ;�O�2;8�;�O$I2 � �+(k ;�(�$��� 6FO�
�!�����)2 N�$7( ��i�(� � @�V8D7 �� M� )�;8��+(k S;�(�$��� 6FO� N���U*� �\f s* �;�*�7(.� :!Y !L( � � �7f s* , ���=� �;& )� @k �� N��V��� �2 )� �7f )� �;& ;8� ��� � @�$��
6�FE������ � N��V��� �2 N�$7( ��i�(� b�2 � )F*��;&� ���� �7f )� �;& ;8� S;* ��7( 6�FE�� #�(�$��* #
�;O�-( #f �!F� @k � )��<� #�2 � q$: G����: K$� � K�� S��� ��!Y� �" l*��(;( �� )\2� )� # �2 N�$7( )U*��
q$: G����: ��*� )z��(2 �! )* �k �� G��#:7<!%� : ��;��n,!D8&;(!j�� �!f # $C+" �iE� ���!� s*�2 )��� G�� � �-&:
�� $' �2 G�� ,��U� ;O�-( ��z� �!F� )�)12...)1( ��� nn
�z� �!F� )F�� $' �;O�2 � ,��U�G��nnnnn ���� ...
!�� �1- ���-5 �;& s* ,�!2n !�H 6�'�/�)….n321( �� � �2 ) )�2 !D��i� � $�'!n) )��n
�� N;(�$= 6* $�F:�$O (�*!�� �!f ;8;�� @�E(1!0 � �1!1 �G�� .2- ���!� ��;��n!D8&|!O s* G>�2 )� )!" K�(ME�� $�)permutation(n ���* Q�( !D8&
��)2 ��!YnP) ��z� �!F� )� � $' � MF7� �*(;O�-.()2 G�� ,��U� N��� @�E(:!nPn �
���2 n
www.ael.af
���
$' � ��� � !� � )�� �!F� ��$C\� �* � ��z�2 � S;O�M*�� $' �� ����!� ��;���� ��* ME��$�!"�, )2 � �!F� �2)(k
nP !D�8& s�* )� ;� �� �8�� M�8� � N��� @�E(k �!� � )�-n
��!� G�� N;*�!Y �!F� � �2 )� �� G��� � ��-& �&$�7z� ��;��� �!�F� @�;�2 �b�/ )2 Gf�:nk
knP k
n 4� ,!!)(
4�U�:1-,�;& G7�f!3S!5�!82 � )�;* �k G��2--5 �;& ! ,�!2 )� ;�� @�E( ���!nnn )1(! ���G��
5-1 :#* �� �*!�� )2 !L(:!nn ...321! ���
M*� !2 �82:
4032087654321!812054321!5
6321!3
���������������
����
5-2:��)� #�(�� :)!.1()).(1....321(...4321! ���������� nnnnnn
4�U�2 : � @�>��� @$��� s*16 �O�!Y� @��>��� ��=� !5�i2 �C�i� �$8' � #� �!�Y )*$��]7^;(� N;*�!Y.
)2;8� ,� ;8(�$��� 6FO16 �� $' � S;88�E82 # �2 Q�� �g� )�� �2 �!Y��O !� 6�>� ! ) ���/�$O )�:!Y !L( � G��/ s*.
5- : ��$^ )� #�(�;��!16 MF7���* � ���z� �!F� !Y� ��� GU�( MF7� @k � � �!F� )� G�� � S;O�2 �M* � $'U��)� !� �� � �-& $�!" �*� ���ME��n ��;�� )2 )� N�$2 !D8&k 2 @k �;& )
�7( �� $+W �� �!F� ��y� $5�* � ;�M*#* �� � $':)(,!!)( nkknP k
n 4�
N�Y! b�2 ��y� � �4y�16 �� P�F2 ��2 ;�$i2 $��� �!Y�O � �$�= ,���^ �$�= ��-�F� , � Q* ��;�� )2 � ;8*�7(4M��� G�� � �-& ;8O�2 @�UF* PF2 ,� �� �+(k:
4368016151413!12!16
)!416(!16)4(
16 �������
�P
www.ael.af
���
U� G��$7& N�Y !�M* � #*!j2 !L( � � )���;�� )2 � $'),...,( 21 nkkknp��!� $�!" ��*� � M�E��
n G<�</ � � N�$2 MF7� �* � ��z� @k � )� !D8& � @k K�;� ! )� ��!Ynkkk ,..., 21 ��#* �� S;8O�2:
!!,!,!!
,...,321
),...,,( 21
n
kkk
kkkknp n �
4�U�3:� �;& l8" �5�5�5�4�4�$��� 6FO ;8� )2#�*�7( 6�FE� �7f l8" ��;&� #�(:5-:�� G�� � �-& ��;&� ��;�� :10
!3!2!5)3,2(3 ��
�P
�� ;(� � �-& ��;&� �:
55445544554545544555454554554545554545545545455544
��������
4�U�4: �� $IU(�!� G�!O N�Y !" @�� ��� �-�" 6�2�� M��� �- ���2k �4�^5 �4�^ M���� P*�!����2k- !8�3 � N��!&�C )�2 6�2�� �� G�!�O M�*�� P*�!� v�$� #�(�$��� 6FO ;8� )2 S;O�2 )�O�� P2
7( !V� !8�* ��#�5-: �� M�2 !:�U� ,�!2 P*�!� ��i�(� ��(�F�� #�(�� 62��- )�2 ,��U�� ���2k �4�^5 @��F��
!2�!2 � )� N�$2 @k @�F�� !3 �C� ��i�(� @�F�� � �� �$�^� $���� G�!�O � P2 . M*!2��82)2 GU*��U� ��(�F�� 6� :1535 ��
4�U�5: K�f � �� N��V��� �28S7S2�5 �7f )� �;& ;8�) �!F� @�;2 (@�$� ���GO$(5-:2 )� #* �� ���= 6>� )� SG�� �7f )� �;& )F8*� )2 )^$� �2 ) @�F�� !*� � $' @;O !"
� �� �$^� ��;&� v�$� @k .K$� #f 6>� �� #f 6>� ��� #f 6>�
��(�F�� ��;��
�� ���� 6>� � )� #�(��4 @�F�� ,�!2 )z��( � S� �� �$^� N;O N��� ��;&� �� ��i�(� 6��7F� K�� 6>�3 �� �!*� S;(�� �� �f�2 ��i�(� @�F��4 ����� #�f 6�>� ,�!�2 @k �F* N;O N��� �;&
SG�� N�$7( G��f$� ��gO� GU�( ��z� �!F� @$� P"3 G��� ���z� K�� #f ,�!2 @�F�� )�2
234
www.ael.af
��
K$� #f G��f$� ,�!2 ���!� M�72;(�� �f�2 @�F��N ,��U� ��(�F�� 6� )� S ;�O�2 �� G��/ .#* �� �$� $: )2 )^$� �2 �:
24!1
!1234
24)!34(
!4)3(4
����
�
��
�P
(���D1. @k ��� #f � �� �$^ � �7f l8" �;& ;8�2 @k !�=� #f �4 ��� �;�& � � ;�O�2 #�f
;O�2 )�O�;( �$^� , �!F� .2. 6FO ;8� )210 ��� @k !�V( �� )�C7^ �� )�F* $5 S;88�E�82 �!Y Q�� s* �� ;8(�$� �� !V(
;8O�2 # �8� G��/ ! � ;�$=.�3. @�$��� 6FO ;8� )23 S�!� �( )2 �$�2 �$��2k4 #��� �!�f #� ��8� � � � �$��
)�U�( ��U/ 62�f �( # ,� �$� ���!�;8.(
www.ael.af
��
DF!&�F[ ��Combination
��!� ��;&� �1 �2�GU�� ��;&� ���!�1�2�G�� K�;�
� !L( � �7O�� �� q!: )� # �� ���!� � ���!�
@k �� 6-f: )�#�� K�z(� [ � �$�k �!� ������. !*� �*!���!� #��$= N��V��� G����: 6�7F� � @k �� )�� .Y �� !L( �#*!�.
�DC��: )�O$( �!5""#
$%%&
'kn 6FE2 )�n ,b�2k �*�!H G<�</ � � �$E�� N;(�$= )�� N�$�2 K$8�2
�;&k2 @�$� @k ��� G�� � �-& N�$7( �iE� � K$8�:nkINnk
knkn
kn
44+��
�""#
$%%&
'0,,,
)!(!!
�!����� N;/ �� K$8�2 ��EF(� � q$: �*!�� GO�� !L( � �22)( ba � �*�!H ,��U� K$8�2""
#
$%%&
'k2 S
2,1,0�kN�$2M���)U*�<� ��;�8�� � 22222 bababaCba kk
k ������ �
�!��H� ��E��F(� � � K$��8�2 �* )���O$( �!��5 ���2 ;��(� N;��O )���:!Y ��� �����$� � )��� b���2
""#
$%%&
'�
kk
2,2,1,0 ! ,� G7�f �2INn + �2�;�8� )U*�<� K$8�2 ��EF(� ;/ !
�@$�102
22
�""#
$%%&
'�""
#
$%%&
' ,� G7�f )� ;�� @�E( N�$2""#
$%%&
'nn�""
#
$%%&
'0n ! ,�!2INn+ �2 #
��U� )2 ,G7�f1G��.� ��EF(� � � K$8�2 K�� ;/ �*!H G7�fnba )( � T*!5 ��""
#
$%%&
'kn;�8� ��U/.
��O$( �!5R""#
$%%&
'k4S4,3,2,1,0�k�!H S;�U*$82 � �+(k N��� @�E( � ��EF(� K�;� K$8�2 �*.
b�2 G����: K�z(� ���� @�$�z��(R !*�2 � )��G �k� .
www.ael.af
���
7<!%�: ���-5 �;& ! ,�!2n�knk 440)� #* �� N�$2:)I(1,1
0�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'nnn
)II(""#
$%%&
' ��""
#
$%%&
'�
�""#
$%%&
'rn
rn
rn 1
1)III( : ,� ���!� ��;��r s* G�n,$%& � �-& ���!� ��ME�8-7� �2r�� �On )�� N�$�2nrC )(�� @�E()2 GU*��U� � N;O N�:
4�U�: ��;�� )2 ��F� s* �7� �� �$^ � #� �8' . RC7^ �� ;�$i�� ��F� N ��� !�V( GV ��;�� )2 � #� �8' ,� N!7( ���4 � $�' ���i�(� M�*� 6FO ;8� )2 ;*�7( ��i�(� !V( ���-
��!�Y5-: ��i�(� � �$E�� N;*�4 �� !V(7 !V( #�+� ��8�* SN�$�-( !�L( � ��-��!� � ,!�!2 )($j��
U� P" SG�� �8' K�;� N!7( ��� )� GU�()� � ���!�4 �� !V(7 @k ,�!�2 )�� N�$2 �!Y�O !V(#* ��:35
!46!4567
)!47(!4!7
477
)4( ��
����
��""
#
$%%&
'�C
4�U�2 : M�2 �� !Y�7 ��;�� )2 S�!Y�O4 s* � #� �8' @��!Y�O )*��>�� ,!- ,�!2 � !V( #�� $�U� � �E8� K$�!V( S@���� K�� !V( SP�X ��� !V( �+(k � )� #*�7( ��i�(� , $5� ����� �
#* �� � $D8*� � ;O�2. ��� SG��� #+� ���!� @$� G��/ M* � ���i�(� ����!� )�� #��(��ABCD )��A SP��X B
S@����C E8� � �D $�U�� � $' � )� N�$2 ���� �CABD SC�X SPA S@����BE8� � �D;O�-�� ���� �$U�.
�U� M*!2�82)� �* ���!�ME��$� !"4��7#* �� N�$2.
840!3
!34567)!47(
!34567!4!77
)4( �����
��
������P
(���D1-�2 �!/ GVG,F,E,D,C,B,A7C� ;8� R4 S�:!/#*��U2 #�(�$��� �!F� @�;2�2- s* � #�� GV ;8� )2 S;( �� ��!�O� ��-���� #��6FO �<� ;�8(�$��� �� #�� � K$��� K�� S��� K� )�2
G�� �k(�;3- M�2��4 � �!�6 ��;�� )2 @�2� �!�3�7( �� ��i�(� , $5 @��* ����� �� �!�� �2��i�(� #��� �� )� #
$�U� ���� � P�X �;O�2 ���� �.
www.ael.af
���
DF!&�F [Combination
�(�;�� �*k( )� ;�,��;(� � K�;� �C'��G�� K�;� oV82 � �z( �( �( ���!�
�$^� )2 � �( K�;� ���!� �� � � �( @�� !L( )2�;*k ���2k �( SoV82 �( S�z( �( �(
�!���� M�2 ��5 ��!Y s* ;�(�$��� 6FO ;8� )2 @�� @�V8' # �� !V(3,!V(� �7( ��i�(�*�;�
� � }$H$�;�8� ��U/ �8' � �47&.�� !Y��� M�7 M�25 s* !V( ��!Y3 *�7( ��i�(� , $5 � ,!V( ��� !V( )� #� !�� S��!�Y
!�V( )�� ��!�Y ���i�(� ��FO� 6� ��;�� S;O�2 �E8� K$� !V( � ��!Y !� @���� K�� !V(N�G�� ;8� $���
��;( �� q!: )� # �� G����: !=k � ��� ��!Y!" ,� ��i�(�� �*k�� N�� [;/��$2 ;�$= �2�U/ �;& K�;� )2 !2�!2 b�2 ,� ��!Y q!: )� #�(�$�.
)z��( b�2 G����: K�z(� ��!*�2 � )#* �k �� G�� .7<!%�: ��!Y s* ��i�(� �k !D8& G� s* �� Nn N!D8& � $�' 6F�O �;�2 6� � $D2
F* � )� )�:!Y� �!� @k !j*� � ��� N�$2 N!L( � ���!� @k� ��+(k ����!� �!�' N�$�-( #+� �� $� �� )f4&;O�2 . ,�!�2 ���!� M*;2 ����!�k � ��O�n !�L( � � !�*� ��*!�� Q*��7�� ��O
#*!j��:C���D: ���!� ��;��k� !D8&�n !D8& s* )2 �b$7�� )� G�n
kC )( �� � �-& � N��� @�E(
��(�F�� ��;��""#
$%%&
'kn �� ���!�n ��;�� )2 )� �C�i� !D8&k ��i�(� ���!� @�;2 � @k !D8&
�� G�� � �-& #�X�7( ��:nkknk
nkn
Cnk 44
��""
#
$%%&
'� 0,
)!(!!
)(
www.ael.af
���
4�U�: M�2 ��30 ��i�(� !V(4���!� s* ,�!2 S!V( ���!� )�;O�-( !L( � �+(k M�2 @�$��� S ��;�� )2 �!(k274057( ��i�(� 6FO��*# .
�� �!*��#�( �� )�U�)� ���!� �� � �-&4�� �30#* �� M*!2�82 N�$2:
27405!4!26
!2627282930)!430(!4
!3043030
4 ��
�����
��""
#
$%%&
'�C
4�U�2: G�( )54321 �����A �&!: G� ;8�3!D8&N�� ��5-:)� #�(�;��U��)� ��i�(� G<�</ �3 ��5#* �� M*!2�82 N�$2 :
10523212154321
)!35(!3!5
355
3 �����������
��
�""#
$%%&
'C
(���D
1- >��� s* � N�Y! )C7^ �� @�10 �?�� )27 �?�� #�(�$��� 6FO ;8� )2 S;O�2 �$C\� ��$^7�?� �� �10�?�7( ��i�(� 6/ ,�!2 ���*�#2-5 R\<( v= s* G��<��� )2 )� ,$�U� s* � �C�i� #�<�U� !L( � ;8�U�( ]f��;*!�j2 . ��
\<( )� 6'� �Cy� ;8� )� �� #�(�$��#�� 6�FE�3- !Y�36)2()2( �� nn CP G7�f S;O�2n�G�� ;8�
www.ael.af
���
SDF��F5��Variation
� �10 ��!���O� ����I7�� s��* � )��� ���O� � #���� � N!�<( S4�5 ��;�� �!2 @�F�� 6FO ;8� )2 ;( ��
�� �� �$^� Q(�!2
�!�����n- �7�� �O ��;�� )2 )�:!Y !L( � � Q*k �O�S ��;�� SN�$7( ��i�(� �+(k M�2 ���2�i�(� ��
@k �&$7z�2 � )�;* �k G��� ��i�(� � N�Y !kS���� ��i�(� )� ;O�2 !L( � , $5 ���!� �O ����....N!��� �$^�
�G�� ;8� �b�/ �&$7z� ��;�� S;O�2 )�O���� ��FO� ��;�� M�2 q!:�q$: G��/)2�G�� N��;(� K�;�
: K�z(� ��� )z��( q$: G����2 � !* )#* �k �� G��.<!%�7:UCU� ���!� )� ,� ���!� ��;�� 6k �� !L( � $� �2�i�(� !D8&n !L( � @k � !D8&
)2 ,��U� ;O�2nkCk �!;O�-��.
2 � ���!� M*� ) K�(variation )2 �!(k �b$7�� � N�$7( ��* 6*;-� �*nkv�� G�� � �-& N��� @�E(:
)!(!
)!(!
)!.(!!!!
knnv
knn
knknkCkv n
knk
nk �
���
��
���
4�U�:C7^ �� ���2�i�(� )UC^ � )� � �� �$^� @�F�� ;8�R30 ��;�� )2 SN;88� ��!�O� !V(4
S��� @���� s* SP�X !V( s* )F* $5 ,!- ,�!2 M� GU2 @k K �+� !V( � K�� @���� s*�;8*�7( )V�W� ��gO� �E8�
5-:U��)� 6*;-� G<�</ �4 !V(��30N�$2 M� ��(�F�� ��;�� �*!�� )2 !L( )� � �-& @k;(���:
657520!26
!2627282930)!430(
!30304 �
�����
��v
www.ael.af
���
��(�F�� ��;�����4� !.nk 4 �!F� @�;2nk 6
M�i��k # �*� ��i�(� 6FO k
�� !D8&n!D8&
!!knPnk �knnPn �� ,!���!�� � �*permutation
""#
$%%&
' ���kkn
Cnk1� �
)!(!!knk
nC nk
nk �
�����!� �* � �combination
knk nv �
)!(!!knn
kn
kvnk ��""
#
$%%&
'���* � � 6*;-Variation
4�U�: �7( ���!" � )F� s* !Y�* ($7( ,�%: S#�(�;�� #� !��O MF7� G��/ �� ,� �� )� v�= ��* ��7�/� ,� �� @k K�;� ! )� N�$2
21 ;O�-�� . ��* � GE� �+� )� S�� $��� )F� !Y� N�Q(��O
���!" )-�!���!Y ��!�Y s�* � )�($7( ,�%�: P(��� #� �b�/ GO�� !L( � �2 )� #�(�;�� S �$2 ;�$= !*� 6FO )2 ��= �) :!�O=S= � vT= �G�� N;O N��V��� ��!Y .
TSTSS
SSTT
www.ael.af
���
� @;�k v= �*� !�O !5�i2 � q$: ��y� ��;^ � ,�!2 !*�3,2,1�4 � )-�!� )F�� s* G=�;(�7( �� ,;82 ]7^#�* .
�����%�� �2 )� �2 �� �2 s* �2 ��&��'*�+,'*�&��+,&��'*�+,&��'*�+,&��'*�+,
�-,����$/0
16108
10
1641
410
8312
10
1662
421
832
1643
1614
8134
122
11
10
v= @
;�k!2 �
�;��
)2 Gf� �2� $' � q$: ��;^ @;�k ��7�/��7L( N;�E�� � M����� ,�!�2 )�� #�X��7( ���
v����$� �2 �$���'$� K����82 � )���*� � ��F�����"G�� N;*�!Y��*.
�Cy� !\� s* � �;& ! �4y� ]�7^ �� ��;&� � �� ��;&� @�!� �Xb��2 !\�� � @k G��
G�;2;*k ��.
www.ael.af
���
� )���� G*�+( �2 �� � �Cy� @�$��� N$�O M*� �� s�* K$�8�2 ��E�F(� �*�!�H � �+(k !Y� )� S#� �* )C7^)6��$8�2()( ba � )�2 ;�X�7( Gf� �4y� S;8O�2 �� q$: �Cy� ��;&� )2 T2�\� #�X�7( )U*�<�
)C7^ �� ��EF(�, ��;/ �*�!H 6*� �� N!�*�� 6�=�� ��;&� �2 ;(� N;O )�:!Y N!*�� � )� �!(k�<� ��F��" �Cy�;�8� )U*.
U� M*��)� �*!�� �� N��V��� �2 � n ,b�2k��EF(�N���� �nba �2!*� $5 )#�U*$( ��:
� �
:�
�
�����
""#
$%%&
'�
""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�
��""#
$%%&
'�""
#
$%%&
'���
n
k
kkn
nnnnnnrrnnr
n
bakn
bann
abnn
ban
ban
baCba
0
1100
1...
10
�4& ��R: �� �$�O ��� N��V��� @k )&$7z� ,�!2 �7j. k v�= ���7�/� M*!�2 ��82 @;��k )�-�!�
�� G�� � �-&:n2kn""#
$%%&
'
=)@;�k v=( P
(���D
1- ��12�� �� �$^� K$� � K�� S��� K�<� ,�!2 N;(!2 6FO;8� )2 S)<2�U� 6��O ��-�$: #��2- M�2 ��20 @�$��� 6FO ;8� )2 #���* �8' @��!Y�O �� M�2 � � N;8*�7( ��/ )2 � M� @���
�#�*�7( ��i�(� �8'
3322344
32233
222
1
0
14641)(1331)(
121)(11)(
1)(
babbabaabababbaaba
bababababa
ba
������
�����
����
���
��
www.ael.af
���
!]K$/:�!��;�8� M��� � 6*� K$8�2 ��EF(� �*�!H ��F��" �Cy� ,� ��
�!����� )�m��/ �� v�<: @k � )� �f�V�� )2!z� s* �A�'A ,�%�: ,� �� ��8�* ;��:� ��� q��V��
)($7(( )AA. � S;O�2!�j2 !L(;*.� N�Y !P)A(P � )m��/ }$f� ��7�/�A ;�O�2 . k )�C7F� )�m��/ ���7�/�@ ��8�*'A ;�8�
G��.?)( �AP
� )m��/ }$f� ,�!2 N�Y ! $��� )2!z� �!F� � $' �A�;&1 �!(k }$f� K;& ,�!2 �� ,�!2 � !*� ��;^ S#�X�7( ��7�����8�* )2!z� �!F� �2�2�n;�8� 6�7F�.
K$8�2 �*�!H )X� ���7�/�)8F7� )z��(K
� �20 102
PP ���""#
$%%&
'� �21 P�0
� �PP �12101
� �22 122
pp �""#
$%%&
'112
?)1(1
���""#
$%%&
':�
kkn
kpp
kn
� �2)1( pp ��
)�O$( �!5),,( kpnB �!5� �)XK$8�2�� G�� � �-& N;*�!Y ��* ��$(!2 #C2�!" ��7�/� �*:knk pp
kn
kpnB ���""#
$%%&
'��� )1()(
$8�2 ��EF(� M*!2�82K 6FE2 @�$��� � !*�#�U*$82:knkn
kpp
kn �
�
�""#
$%%&
': )1(0
� �� �� � 4322344
32233
222
babbabaaba
babbaaba
bababa
������
�����
����
111
1211331
1464115101051
www.ael.af
��
4�U�: ��n ��;�� )2 !V(k ;(�!Y �� ��i�(� �f�V�� � $' )2 !V( . ���i�(� ���7�/� G�� �$C\� G>�k ��;�� )2 N;*�!Y ��i�(� )� �iO2� ;8O�2 N;O ;�$� �� s* � @�O M�
� � ?�4 nkP
5-: ���7�/� M��& ,� �� ���� �� !� )� #�8F�� �!: ��365
1 ,�!�: ,�!�2 ;��$� �� ���>2� � $� �DiO?GU�( !L( � $� S�$O )�:!Y !L( � )F8*� @�$2 ;�$� ��� )( N�$2 ��.
)($7( ,�%: M*!2 �82C @�F�� K�7� ��k � �f�V�� )m��/365#* �� G�� �� :k)365(11 �C
7T#�-A: � �� s* � 6f� ;/ @k !�2�!2 � )�� G�� )-��>� 62�f !� N��� , $5 S;(� )�:�* ;�$ )m��/�
A#*!j2 !L( � � . M*!2�82�
A �� � �-&k ;( �� N!j��� �C�i� ,��� � )� !V(
;(� N;*�!Y ;�$� �*� . M*!2�82___
A �� � �-&k�$��!" �� ���!� �* @$�O�365#* �� N�$2 :
� �
� �� �kk
k
kA
APAP
kAP
3651
)!365(!365111)(1)(
)!365(!365)(
365
365
��
����C
����
���
�
(���D)�;�� @�E(:
)(210
)(0)1(10
IInnnn
Innnn
n
n
�""#
$%%&
'��""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'
�""#
$%%&
'���""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'
www.ael.af
��
7��Z �# 4��%-���� �*k��( #�(�$� �� � � )($7( ,�%: ! l* )m��/�f�V�� ;O�2 )�O�;( �!�E� !D8& �� # �2 )�
�#�X�7( ���!�$H$� )($7( ,�%: s* � G� , $�� N�j( �� � }
, ���=�C @�O ��>�� )� �f�V�� )m��/ �� ,�!2;�8� _*!E� ��y� �2 G�� )($7( ,�%: )2 ,��U�.
�!���� ��@;�k !�'�8& �* !D8& �� ,� �� )� � @k )($7( ,�%: s* � )� ;*!-2 K�( �:��D� ,� )2!z�
/ �� @k�;O�2 �f�V�� )m��� �2 �z� �*k R($7( ,��%: )� � �� !�E�2 @�O2 �� )�($7( ,��%�: )�2 #�(�$���� ;�( �� !D�8&
!D8&N�;�� ��y� �#�X�7( 6*;-��2 ) ($7( ,�%: s* #�(�$��� )($j� ��$7& � $' �� )($7( ,�%: )2 � N!D8& ;8� ) N!D�8&
�7( 6*;-�*�#��$7( ,�%: !'�8& �� �F* }$f� !Y�)(P�GU�� @k ���� )m��/ ��7�/� S;O�2� � )2!z� !Y�n �7( �!^� �2* ��7�/� � #�k �� �2 � M*n )2!z� �2� �nk 440,��!�" )��<2�
�����(;O�2 ��7�/� Sk ,��!�" �2)p ( �!F� � � n�;�8� G:�* � �:��D� )2!z� �2� )z��( b�2 G����: K�z(� ���*!2 � )�#* �k �� G��
7<!%�:#�� 6�C<� #�(�$��� ;O�2 G��/ �� ,� �� )� )2!z� s* )2 @�$��� � �:��D� )2!z� !.- s*� )($7( ,�%: ! ��/ �� )2!z�G � �� !Y� �� G���/ �� ��F* ���>2 ,��!��" ,� ��
��7�/�p G���/ �� � ��-& @k !�j*� G���/ �$�O )��:!Y !L( � ������( ,� �� )�� N�$�2��7�/�P�1��;O�2.
- �!F� �2n ��7�/� S )2!z� �2k �2,��!�"�8�*p��� M*n G�=�2 )�� � G��/ )�<2 )� �2 �8�* GUFO �*p1q ��#* �� N�$2:
www.ael.af
���
nkpPkn kkp 44�""#
$%%&
'� � 0)1(.. ��7�/� k)K� ( �2 ,��!�"K�z(� �n)2!z� �2
4�U�1 :Gf� )� ;*�7( N�Y ! ,��!��" ���7�/� �:��D�� )2!z� s* K�z(� �21 S;�O�2 ���7�/�
�����( )2 ,��U� Q�(21 )2!z� M�8� � M*!2�82 S;O�-��* \2� S�:��D� �R 6*;�-� !*� � $D2 b�2
���$O:� � � �
n
knkknk
kknnk
kn
kn
kn
pp
221.
21.)
211(.)
21(.
1
""#
$%%&
'
�"#$
%&'
"#$
%&'
""#
$%%&
'��""
#
$%%&
'
�
��
�
�!F� � � )z��(n 2!z� s* �2 )C7^ �� )� �:��D� )k @k �2 ,��!�" )�2!z� s* ,�!2 ;O�22
;�8� T�<>� N!D8&.�
4�U�2 : 6���: s* �5 �b�� �� M��� )F8*� ��7�/� ;(�!:G�� ;8� ;O�2 !�=� R�<2 � !U" ��!U" ;�$� P(�� N�Y !#* �� #*!�j2 !L( � !2�!2 � ���$( !�=� �.
��y� M* � :21
�P,21
211 ���q2 �$� $: )2 !L( � N�$2 );*k �� G��:
165
210
225
55 ��""#
$%%&
'
;O�2 !�=� )� � !U" �� )F8*� ��7�/�.
4�U�3 : � 6� )(�� s*6#*��;(� �� �2 .8� G:�* �� � �+8� )F(k ��7�/� ;4 �;& @k ���!"�� !�7� N;O !�W3�;O�2
5- : @;��k N�Y ! 7� �� �� !3 �!�2 G���/ � � � $D�8* � #*!�j2 !�L(31
62
��p � N�$�2
%33.333333.032
311 �����q �� ��7�/� �$� $: )2 !L( M*!2�82 ;O�-��)C7^*#* �� �:
www.ael.af
���
%23.80823.024320
32.
31.
46 24
���"#$
%&'
"#$
%&'
""#
$%%&
'� � )F(k ��7�/�4 #� N;O !�W �;& S���!"
�� !�3;O�2.
4�U�4 : !" , $5 )F� s*N;O , �� �� @;�k ��7�/� )� G��)F v�<:31 M�*� N��Y !� S;�O�2
( ���!" �2 �� � )F�7�*�;*��2 !�O �2 )� 6f� ;/ )F(k ��7�/� G�� �$C\� S#�5- : @k ��7�/� � #�O�2 )�O�� !L( � �!2 � )F� v= @;O !�W ;��E�" !Y�p P" S;O�2P�1
� ;�$= )F� @;�k !�O ��7�/�$2 .
�8�*PP311 �� )� � �z8*�
43,
411 ���� ppq#* �� )z��( � N�$2:
25613
2561
643
41
44
43
41.
34 43
���"#$
%&'�""
#
$%%&
'�"
#$
%&'
"#$
%&'
""#
$%%&
'� � )F� @;�k !�O �2 )� 6f� ;/ ��7�/�
4"!���
4�U�5 :�7( ���!" �2 ;8� � ��� $( )F� s** �2 s* 6f� ;/ ��7�/� �� #� �� !�E�2 @;�k v=%99;O�2.
5-:�7( �� �!:* � )F� )� #�n�7( �� ���!" �2�*;*��2 v= �2 s* 6f� ;/ )F8*� ��7�/� #.�2 G�� !2�!2:
)! )F8*� ��7�/� n;*��2 !�O �2(- 1 = @;�k v= �2 s* 6f� ;/ ��7�/�nn 2
1121
nn
1 ���""#
$%%&
'�
U� |!O !2 �82)�� 2 ;�*�99.0211 �� n ��*01.0
21
�n )�z��( �100>2n ��*�76n ��� ;�O�2 . 6f� ;/ )� M*� ��7�/� �� #�X�7( ���!" �2 GV � )F� ;*�2 6f� ;/ M*!2�82 S;�O�2 v�= ��2 s*
�� !�E�20.99;O�2.
www.ael.af
���
(���D1- �2 ;8� � )F� s*��!")F(k ��7�/� ;�8� G:�* � N�$7( �:
)1 :( �4;*��2 v= �2 �� S���!" �2.)2 :( �6;*��2 v= �2 �+� S ���!" �2.)3 :( �8;*��2 v= �2 �+� ���!" �2.)4 :( � )F� !Y� ;�(Q2 [;/2n �7( ���!" �2*S#�n ;*��2 v= �2 o*�Q:� �2n ��!�g�p
;O�-�� )($j�.
www.ael.af
���
�56� ,3� ���
5��:%�� : �;& s* ,�!2n �!�H 6�H�/n....321 �� )�2 !D��i� � $D�2 � n! )�� N���n
;8;�� @�E( S�$E�� N;(�$= 6* $�F:.�*!�� T-5 !21!0 �G��.(!=D:��0 �� �� [!D�D: ���!� ��;��� �2 )� � �� �$^� �!F� ��;��� �!�F� @�;2 G��/ �2 Gf
�2 G�� !2�!2 @k �&$7z�)(,!! nkknPkn 4�n )2 � !D8&np N��� @�E( ) �!�F� )F�� $' �
�;O�-( MF7� �* � ��z ()2 GU*��U�!nPn�
�!F� �2 ,� ���!� ��;�� S;O�2 ��z� �!F� )F�� $' � ��� � )2 ,��U�knP �8�� M�8� � N�$2
)� ;� ��k�!� � )-n��!��""#
$%%&
'kn
n ,b�2k :� )�O$( �!5,""#
$%%&
'kn )�n ,b�2k �$E�� N;(�$=
�;& )� K$8�2 �*!H G<�</ �kF�� �iE� � K$8�2 @�$� @k�� G�� � �-& ;8:
.0,,.)!(!
! nkINnkknk
nkn
44+�
�""#
$%%&
'
���!� ��;��r G� s*�� �On�� � �-& ,$%&)(nnc)2 GU*��U� � N�$2:
.)!(!
! nrrnr
nrn
Cnr 4�
�""#
$%%&
'�
=���()Variation( �� 5��SD ��: 6U�CU� ����!� )�� ,� ���!� ��;��k �2��i�(� !D�8& �� !L( � $�n C\� @k � !D8& )2 ,��U� ;O�2 �$kCkV k
nkn ��� ! �* ME* � ��* 6*;-� ���$O e
�*8�:
)!(!
)!(!!!! )( kn
nknk
nkCkV nk
nk �
��
���
!]K$/:�!� :)C7^ �� ��EF(�* �� �nba ��� G�� � �-&:
� � :�
�""#
$%%&
'��
n
k
knn bakn
ba0
1
�!F� �n )C7^�� �:��D� )2!z� �2*��7�/� ,� �� G��/ ! )� �P�pq ��1 ��7�/� N�$2k �2 ,��!�"�8�*p ��n�2 )� � G��/ )�<2�����(�8�*pq ��1#* �� N�$2:
� � nkppkn kkn 44��""#
$%%&
'� � 0,1 ��7�/�k �2,��!�" K�z(� �n)2!z� �2
www.ael.af
���
(���D56�,3�
1 : ��;&� )&$7z��!* � � ;*!�j2 !L(( )6,5,4,3,2,1,0�S �G�� �$C\�)I( : ;8��;&�7( ���!� #�(�$��� q$: )&$7z� !'�8& �� N��V��� �2 �7f )�*�#�)II(:G�� ;8� ;8O�2 GV^ )� �7f )� ��;&� ��;��.�)III( :;&� S��;�� )� �!%� $��� ��5;(�.�)V( :!%� �+(k ��;�� )��5 �� !�Y Q2 �300;(�.�
2 :;8(�$��� )<*!5 ;8� )26�;($O N���U*� # �8� �\f s* � �!Y�O3: 6FO ;8� )2;7/� S�$�U� SJ�;-&�� @�+�� � @��� S ��* PF& # �8� �\f s* � ;8(�$�
j2 , �Y!� � ;()� �� $':)I(:� �;8O�2 # �8� PF& � ;8�$i�� @�+�� � @��)II(:;7/� � �$�U��;8O�2 # �8� PF& � ;8�$= �7()III(: )F�� $' � J�;-&�;O�2 N���U*� PF& � ;�$i�� @�+�� �� �8�
4 :�$��� 6FO ;8� )2)� #�(9 )2 � !V(3�7( #�U<� ��!Y*#�.�
5 :)� ;�� @�E(.2...210
n
nnnnn
�""#
$%%&
'��""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'�""
#
$%%&
'
6 : ��EF(� ��F��" �Cy� ,� ��� �7ba �G�� ;8� )2 ,��U��
www.ael.af