ریاضیات گسسته -...

...

.

...

.

...........................

.

...

.

اعداد نظریه با آشناییمدل سازی و گرافترکیبیات

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

گسسته ریاضیاتترکیبیات

قدی عادلشهر های دبیرستان اندبیر

١٣٩٨ اسفند ٢١

١ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل

از سايت رياضي سرادانلودwww.riazisara.ir


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١ فهرست

اعداد نظریه با آشنایی ١

ریاض استدلالصحیح اعداد در بخش پذیری

آن کاربردهای و Z در همنهشت رابطه

مدل سازی و گراف ٢

خواص برخ و تعاریف گراف، معرفگراف با مدل سازی

ترکیبیات ٣

ترکیبیات در مباحثشمارش برای روش هایی

گذاری سپاس

٢ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٢ فهرست

٣ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

اعداد نظریه با آشنایی ١ فصل

۴ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مدل سازی و گراف ٢ فصل

۵ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل


ترکیبیات در مباحثگذاری سپاس


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ترکیبیات ٣ فصل

۶ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

یاتیات ی با

٧ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١ ترکیبیات در مباحثتکمیل و یادآوری

١ مثالشامل رمز ی ۵ و ۴, ٣, ٢ ارقام و ژ» » و « «پ ، « «چ حرف سه با م خواهیم کنید فرض

است: مطلوب ، دهیم یل تش کاراکتر ٧داد. یل تش م توان که رمزهایی کل تعداد ( الف

رند. دی ی کنار ، حروف همواره آنها از ی هر در که رمزهایی تعداد ( برند دی ی کنار ، ارقام همواره آنها از ی هر در که رمزهایی تعداد ( پ

باشند. هم کنار نیز حروف و هم کنار ، ارقام همواره آنها از ی هر در که رمزهایی تعداد ( ت

هم کنار م توانند طریق ٧! به و متمایزبوده ء ش ٧ هم روی رقم ۴ و حرف ٣ ( الف : حل. کنند تولید رمز و گیرند قرار

روی رقم ۴ آن با و م گیریم نظر در ء ش ی و م کنیم بسته بندی هم با را حرف ٣ ابتدا ( بخود ، نیز حروف بسته در ، دارند شت جای ۵! صورت این در . م کنیم فرض ء ش ۵ هم

۵!× ٣! نتیجه در است ٣! برابر شت جای

٨ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٢ ترکیبیات در مباحثتکمیل و یادآوری

و ء ش ۴ هم روی شده داده حرف ٣ با و م گیریم نظر در بسته ی را رقم ۴ ابتدا ( پ۴!× ۴! نتیجه در است ۴! برابر نیز بسته شت خودجای

نظر در ء ش ی کرده بسته بندی نیز را ارقام و ء ش ی کرده بسته بندی را )حروف تحروف شت جای خود و ٢! آن ها شت های جای تعداد که ش دو شده هم روی که م گیریم

٢!× ٣!× ۴! نتیجه در ، م باشد ۴! نیز ارقام شت جای خود و ٣!

٩ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٢ مثالی در ) هم کنار م توانند طریق چند به یازدهم پایه دانش آموز ۴ و دوازدهم پایه دانش آموز ۵

: بخواهیم اگر یرند ب قرار ( ردیفباشند. هم کنار پایه هر دانش آموزان همواره ( الف

( نباشند هم کنار پایه هم دانش آموز دو هیچ ) یرند ب قرار میان در ی صورت به ( بصورت به را آنها م توان طریق چند به ، باشند نفر ۵ نیز یازدهم پایه دانش آموزان اگر ( پ

داد؟ قرار ی در میان

٢!× ۴!× ۵! ( الف : حل۵!× ۴! ( ب

٢!× ۵!× ۵! ( پ

١٠ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٣ مثالبنویسید. را آنها ؟ نوشت م توان رقم چهار رمز چند ٢ و ١, ١, ١ ارقام با

١١١٢, ١١٢١, ١٢١١, صورت٢١١١ به که کرد ایجاد را رقم ۴ م توان طریق ۴!٣!

= ۴ حل:. است

١١ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تکرار) با شت (جای ١ نکته

از آنها تای n٢ و سان ی و اول نوع از آنها تای n١ که طوری به باشند، مفروض ء ش n اگرکل تعداد صورت این در باشند سان ی و ام k نوع از آنها تای nk ...و و سان ی و دوم نوع

با: است برابر اشیا این شت های جای

n!

n١!× n٢!× · · · × nk!

۴ مثال؟ نوشت م توان رقم ٩ عدد چند ۵ و ١, ١, ٢, ٢, ٢, ٣, ۴, ۴ ارقام با

٩!٢!× ٣!× ٢!

: حل

١٢ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

۵ مثالان اس هتل ی در واق نفره ۴ و نفره ٣ ، نفره ٢ اتاق سه در م توانند طریق چند به نفر ٩

؟ ٩)یابند٣)×(۶۴)×(٢٢)

یا و(٩۴)×(۵٢)×

(٣٣)

یا(٩٢)×(٧٣)×

(۴۴): حل

١٣ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

( نامنف و صحیح جواب های (تعداد ٢ نکته

تعداد با است برابر x١ + x٢ + · · · + xk = n معادله نامنف و صحیح جواب های )تعدادn+ k − ١k − ١

)با است برابر یعن گل نوع k بین از گل شاخه n دلخواه انتخاب های

۶ مثال

انتخاب دلخواه به را گل شاخه ٨ شامل گل دسته ، گل نوع ۴ بین از م توان طریق چند بهکرد؟

گل نوع ۴ این از انتخاب مجموع یریم ب نظر در x۴ و x٣, x٢, x١ را گل نوع ۴ اگر : حل. است ٨ برابر

x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ٨ ⇒(٨+ ۴− ١۴− ١

)=

(١١٣

)

١۴ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل





.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٧ مثال

شرط به ، کرد انتخاب گل نوع ۴ بین از را شاخه گل ٩ شامل دسته گل م توان طریق چند به؟ شود انتخاب شاخه ی حداقل گل نوع هر از آن که

گل نوع ۴ این از انتخاب مجموع یریم ب نظر در x۴ و x٣, x٢, x١ را گل نوع ۴ اگر حل:برداشته شاخه ١ کدام هر از ، برداریم باید شاخه ١ گل نوع هر از حداقل چون . است ٩ برابر

که م ماند شاخه (٩− ۴ = ۵) و

x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ۵ ⇒(۵+ ۴− ١۴− ١

)=

(٨٣

)

١۵ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٨ مثالدارد؟ مثبت و صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ = ٧ معادلۀ

کدام هر برای جواب ١ حداقل که است این معادل مثبت و صحیح جواب های تعداد حل:( . باشند طبیع عدد جواب ها ) باشد داشته وجود مجهولات از

و (٧− ٣ = ۴) باشد. داشته وجود مجهولات برای مثبت و صحیح جواب ی حداقل ابتدام آید. در زیر به صورت معادله

x١ + x٢ + x٣ = ۴ ⇒(۴+ ٣− ١٣− ١

)=

(۶٢

)

١۶ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٩ مثالاست برابر x١ + x٢ + · · ·+ xk = n معادله مثبت و صحیح جواب های تعداد دهید )نشانn− ١k − ١

)با

،n از واق در باشد، داشته جواب ی حداقل مجهولات از ی هر م کنیم فرض ابتدا حل:نتیجه در م شود، کم تا k

x١ + x٢ + · · ·+ xk = n− k ⇒((n− k) + (k − ١)

k − ١

)=

(n− ١k − ١

)

١٧ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٠ مثالx١ > ١ آن که شرط به دارد نامنف و صحیح جواب چند x١ +x٢ + · · ·+x۵ = ١۴ معادله

باشد؟ x٣ > ٣ و

: اول روش حل:تا ۴ و x١ برای جواب تا ٢ حداقل یعن x١ > ١ ⇒ x١ ≥ ٢ , x٣ > ٣ ⇒ x٣ ≥ ۴به صورت معادله و م شود کم (١۴− ۶ = ٨) از جواب ها تا ۶ باشد، داشته وجود x٣ جواب

در م آید. زیر

x١ + x٢ + · · ·+ x۵ = ٨ ⇒(٨+ ۵− ١۵− ١

)=

(١٢۴

)

١٨ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

دوم: روش

x١ > ١ ⇒ x١ ≥ ٢ ⇒ x١ − ٢ = y١ ≥ ٠ ⇒ x١ = y١ + ٢x٣ > ٣ ⇒ x٣ ≥ ۴ ⇒ x٣ − ۴ = y۴ ≥ ٠ ⇒ x٣ = y٣ + ۴

x١ + x٢ + · · ·+ x۵ = ١۴ ⇒ (y١ + ٢) + x٢ + (y٣ + ۴) + x۴ + x۵ = ١۴

y١ + x٢ + y٣ + x۴ + x۵ = ١۴− ٢− ۴ ⇒(٨+ ۵− ١۵− ١

)=

(١٢۴

)

١٩ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١١ مثال(xi ≥ ١ , ١ ≤ ؟ دارد مثبت و صحیح جواب چند x١ + x٢ + · · · + x۵ = ١١ معادلۀ

i ≤ ۵)

حل:پس ، طبیع جواب های یعن xi ≥ ١(

n− ١k − ١

)=

(١٠۴

)دوم: روش

٢٠ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xi ≥ ١ ⇒

x١ ≥ ١ → x١ − ١ = y١ ≥ ٠ → x١ = y١ + ١x٢ ≥ ١ → x٢ − ١ = y٢ ≥ ٠ → x٢ = y٢ + ١x٣ ≥ ١ → x٣ − ١ = y٣ ≥ ٠ → x٣ = y٣ + ١x۴ ≥ ١ → x۴ − ١ = y۴ ≥ ٠ → x۴ = y۴ + ١x۵ ≥ ١ → x۵ − ١ = y۵ ≥ ٠ → x۵ = y۵ + ١

⇒ (y١ + ١) + (y٢ + ١) + (y٣ + ١) + (y۴ + ١) + (y۵ + ١) = ١١⇒ y١+y٢+y٣+y۴+y۵ = ١١− (١+١+١+١+١) = ۶ ⇒

(۶+۵−١۵−١

)=

(١٠۴)

٢١ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٢ مثالx٣ = ۴ آن که شرط به دارد مثبت و صحیح جواب چند x١ + x٢ + · · ·+ x۶ = ١٢ معادلۀ

باشد؟ x۵ > ٢ و

: اول روش حل:

x١ + x٢ + · · ·+ x۶ = ١٢ , xi > ٠ ⇒ xi ≥ ١, x٣ = ۴, x۵ > ٢ ⇒ x۵ ≥ ٣x١ + x٢ + ۴+ x۴ + x۵ + x۶ = ١٢ ⇒ (x١ − ١) + (x٢ − ١) + ۴+ (x۴ − ١) + (x۵ − ٣) + (x۶ − ١) = ١٢

x١ + x٢ + x۴ + x۵ + x۶ =١٢− ۴− ٧ = ١ ⇒(١+ ۵− ١۵− ١

)=

(۵۴

): دوم روش

x٣ = ۴

x۵ > ٢ ⇒ x۵ − ٢ > ٠y۵ = x۵ − ٢

GGGGGGGGGGGGGGGGAy۵ > ٠ ⇒ x۵ = y۵ + ٢

⇒ x١ + x٢ + ۴+ x۴ + y۵ + ٢+ x۶ = ١٢x١ + x٢ + x۴ + y۵ + x۶ = ۶ ⇒

(۶−١۵−١

)=

(۵۴)= ۵

٢٢ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٣ مثال؟ داد قرار مختلف جعبه ٣ در را سان ی سیب ۵ م توان طریق چند به

x١ + x٢ + x٣ = ۵ ⇒(۵+١−٣

١−٣)=

(٧٢)= ٢١ حل:

٢٣ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٣ نکته

معادله صحیح جواب های تعداد ، باشند صحیح اعداد c١, c٢, · · · , ck اگربرابر ، باشد x١ ≥ c١, x٢ ≥ c٢, · · · , xk ≥ ck به طوری که x١ + x٢ + · · · + xk = n

. است n+ k − ١− (c١ + c٢ + · · ·+ ck)

k − ١

٢۴ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١۴ مثالx١ ≥ ٢ که طوری به دارد نامنف و صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ٧ معادله

؟ باشد

}حل:x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ٧x١ ≥ ٢ , x٢ ≥ ٠ , x٣ ≥ ٠ , x۴ ≥ ٠

⇒

{x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ۵x١ ≥ ٠ , x٢ ≥ ٠ , x٣ ≥ ٠ , x۴ ≥ ٠

⇒(٨٣)

٢۵ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١۵ مثالxi ≥ ٢ که طوری به دارد صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ + x۴ + x۵ = ١٣ معادله

؟ باشد

نتیجه در (١٣− ١٠ = ٣) که دارد جواب ٢ حداقل مجهول هر یعن xi ≥ ٢ حل:

x١ + x٢ + x٣ + x۴ + x۵ = ٣ ⇒(٣+ ۵− ١۵− ١

)=

(٧۴

)= ٣۵

٢۶ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

۴ نکتهبرابر x١ + x٢ + · · ·+ xk = n معادله مثبت و صحیح جواب های تعداد

. است n+ k − ١− (k × ١)

k − ١

=

n− ١k − ١

٢٧ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١۶ مثال؟ دارد مثبت و صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ + x۴ = ٧ معادله

: پس است(n−١k−١

)برابر مثبت و صحیح جواب های تعداد م دانیم )حل:

٧− ١۴− ١

)=

(۶٣

)= ٢٠

٢٨ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٧ مثال٢ ≤ x١ ≤ ۵ که طوری به دارد نامنف و صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ = ٩ معادله

؟ باشد

}حل:x١ + x٢ + x٣ = ٩٢ ≤ x١ ≤ ۵ , x٢ ≥ ٠ , x٣ ≥ ٠

=

{x١ + x٢ + x٣ = ٩x١ ≥ ٢ , x٢ ≥ ٠ , x٣ ≥ ٠

−

{x١ + x٢ + x٣ = ٩x١ ≥ ۶ , x٢ ≥ ٠ , x٣ ≥ ٠

⇒(١−٣+٧

١−٣)−(١−٣+٣

١−٣)=

(٩٢)−(۵٢)= ٢۶

٢٩ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٨ مثال

نوع هر از که طوری به ساخت گل نوع سه از شاخه ای ٨ گل دسته ی م توان طریق چند به؟ باشد موجود شاخه ی حداقل گل

معادله جواب های تعداد باید ، یریم ب نظر در x٣ و x٢, x١ را گل نوع سه این تعداد اگر ٧)حل:٢)= ٢١ باشد xi ≥ ١ به طوری که بیابیم را x١ + x٢ + x٣ = ٨

٣٠ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

١٩ مثال؟ دارد نامنف و صحیح جواب چند x٣١ + x٢ + x٣ + x۴ = ٧ معادله

است. x١ = ٠, ١ پس . ندارد نامنف و صحیح جواب معادله این باشد x١ ≥ ٢ اگر حل:نامنف و صحیح جواب های تعداد که شود م x٢+x٣+x۴ = ٧ معادله باشد x١ = ٠ اگر

. است(١−٣+٧

١−٣)=

(٩٢)= ٣۶ برابر آن

نامنف و صحیح جواب های تعداد که شود م x٢ + x٣ + x۴ = ۶ معادله باشد x١ = ١−٣+۶)اگر١١−٣

)=

(٨٢)= ٢٨ برابر آن

. است ٣۶+ ٢٨ = ۶۴ نامنف و صحیح جواب های تعداد کل در

٣١ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

٢٠ مثال؟ دارد نامنف و صحیح جواب چند x١ + x٢ + x٣ ≤ ٣ نامعادله

٠ ≤ x١ + م دانیم ، آوریم بدست باید را نامنف و صحیح جواب های تعداد چون حل:. است x٢ + x٣ ≤ ٣

x١ + x٢ + x٣ = ٠ ⇒ جواب ها تعداد =(٢٢)= ١

x١ + x٢ + x٣ = ١ ⇒ جواب ها تعداد =(٣٢)= ٣

x١ + x٢ + x٣ = ٢ ⇒ جواب ها تعداد =(۴٢)= ۶

x١ + x٢ + x٣ = ٣ ⇒ جواب ها تعداد =(۵٢)= ١٠

⇒ جواب ها تعداد = ١+ ٣+ ۶+ ١٠ = ٢٠

٣٢ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ت و باآرزوی٢۶

٣٣ / ٣٣ گسسته ریاضیات نقدی عادل


ریاضیات گسسته -...

Documents