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주파수영역에서의 신호 표현주파수영역에서의 신호 표현

과목명 : 신호처리특론

담당교수 : 김창근

학번 : 20057007

이름 : 김영진

과목명 : 신호처리특론

담당교수 : 김창근

학번 : 20057007

이름 : 김영진

GRADUATE SCHOOL OF INFORMATION TECHNOLOGY

TONGMYONG UNIVERSITY

GRADUATE SCHOOL OF INFORMATION TECHNOLOGY

TONGMYONG UNIVERSITY

1. INTRODUCTION

2. SIGNAL

3. FOURIER SERIES AND TRANSFORM

4. DISCRETE FOURIER TRANSFORM

5. CONCLUSION

1. INTRODUCTION

2. SIGNAL



5. CONCLUSION

Digital Signal ProcessingContentsContents

1. INTRODUCTIONDigital Signal Processing

- 주파수 영역에서의 신호 표현 -

자연계에서 발생하는 모든 Signal은 시간에 따라 변하는시간영역상의

연속시간신호(Analog signal)이며 또한 이를 Sampling하여 얻어진 이산

시간신호 역시 시간영역상의 신호이다. 이와같은 시간영역상의 신호를

어떻게 주파수 영역상의 간결한 수식으로 표현할 수 있는가?

2. SIGNALDigital Signal Processing

2-1 연속시간 신호와 이산시간 신호

2-2 기초적인 이산시간 신호

2-3 시변수 변환

2-3 주기 신호

Digital Signal Processing

2-1 연속시간 신호와 이산시간 신호

그림 2.1 신호발생기에서 출력되는 정현파-연속시간 신호의 예

그림 2.2 2004년 5월 넷째주의 일별 종합주가지수-이산시간 신호의 예

연속시간 신호와 이산시간 신호 : 신호를 시간의 함수로 나타냈을 때, 시간축 혹은 가로축이 연속적으로 정의되는 신호를 연속시간 신호라 하고, 시간축이 불연속적으로 정의되는 신호를 이산시간신호라 한다.

연속시간 신호 : 이산시간 신호 :


2-2 기초적인 이산시간 신호

단위 임펄스 수열(unit Impulse Sequence)

- 단위 임펄스 신호를 sampling하여 얻어진 것

그림 2.3 단위 임펄스 수열

로 정의한다.

δ(t)는 진폭이 무한대지만, 단위 임펄스 수열은 1이다


2-2 기초적인 이산시간 신호 -계속

단위 계단 수열(unit step sequence)

- 단위 계단 신호를 sampling 하여 얻어진 것

그림 2.4 단위 계단 수열

로 정의한다.

단위 계단수열 u(n)와 단위 임펄스 수열 δ(n)사이의 관계는 다음과 같다.

(식 2-1)

(식 2-2)


지수 수열

- 지수 신호를 sampling하여 얻어진 것

그림 2.5 지수 수열(α < 0의 경우)

(식 2-3)



정현파 수열(sinusoidal sequence)

- 정현파 신호를 sampling하여 얻어진 것

그림 2.6 정현파 수열

(식 2-4)



2-3 시변수 변환

연속시간 신호 가 있을 때, 자주 사용되는 시변수 변환들은 다음과 같이 정의된다. (1) 시간이동: (2) 시간반전: (3) 시간압축 및 확장:

그림 2.7 시간이동의 예

그림 2.8 시간반전의 예


2-3 시변수 변환 -계속

우신호와 기신호 : 신호 와 그의 시간반전된 신호가 동일할 경우,즉 를만족할 때, 를 우신호라 한다. 반대로 시간반전된 신호가 원신호와 부호가 반대일때, 즉 를 만족하는 신호를 기신호라 한다.

그림 2.9 시간압축 및 확장의 예

그림 2.10 (a) 우신호와 (b) 기신호의 예


2-4 주기 신호

주기신호: 연속시간주기신호 는특정한양의값 에대해서다음과같은성질을만족시킨다.

이때 를 ‘주기’라하고, 주기신호가아닌모든신호들은비주기신호로정의된다. 연속시간의경우와마찬가지로이산시간주기신호는

와같이정의되고, 이때 은주기를나타낸다.

• 기본주기(fundamental peroid): 무수히 많은 주기들 중에서 가장 긴 주기를 가지는 것

그림 2.11 (a) 주기 4인 연속시간 주기 신호와 (b) 주기 3인 이산시간 주기 신호의 예



3-1 푸리에 급수(CTFS)

3-2 이산시간 푸리에 급수(DTFS)

3-3 푸리에 급수의 오차(Gibbs 현상)

3-4 푸리에 변환(CTFT)

3-5 이산시간 푸리에 변환(DTFT)

Fourier analysis은 주파수 성분을 분석함에 있어서 해석하고자 하는

신호의 성격에 따라

- 연속시간 주기신호의 주파수 성분 분석 : 푸리에 급수(Continuous-Time Fourier Series)

- 이산시간 주기신호의 주파수 성분 분석 : 이산시간 푸리에 급수(Discrete-Time Fourier Series)

- 연속시간 비주기신호의 주파수 성분 분석 : 푸리에 변환(Continuous-Time Fourier Transform)

- 이산시간 비주기신호의 주파수 성분 분석 : 이산시간 푸리에 변환(Discrete-Time Fourier Transform)




3-1 푸리에 급수(CTFS)

• 푸리에 급수: 주기함수는 그 주파수의 정수배가 되는 사인파들을 크기와 위상을 적절히 조절하여더함으로써 합성 가능(합성식)

즉, 신호는 기저신호와 n고조파들의 합으로 표현가능

그림 3.1(b)

그림 3.1(d) : (a)+(b)+(c)

그림 3.1(a)

그림 3.1(c)

그림 3.1


3-1 푸리에 급수(CTFS) –계속

• 푸리에 급수(주기가 , 즉 주파수 , 각주파수 인 신호 )

(식 3-1)

• 복소함수일 경우 푸리에 급수

: 합성식 (식 3-2)

주기함수 가 (식 3-2)와 같은 사인파들의 합으로 분해가능


• 푸리에 계수 : 번째 주파수를 갖는 사인파(고조파)들의 계수(분해식)

• 푸리에 급수의 양변에 를 곱하고 한 주기에서 적분함으로써 푸리에 계수를 구한다.

- 주파수 스펙트럼 : i) 가 사인파들로 분해되었을 때 각 사인파의 크기(푸리에 계수)

(푸리에 스펙트럼) ii) 의 주파수 성분이 어떠한가를 나타내는 결과(주파수영역 표현)

진폭 스펙트럼 : 주파수 대 진폭

파워 스펙트럼 : 주파수 대 전력

위상 스펙트럼 : 주파수 대 위상

(식 3-3)

3-1 푸리에 급수(CTFS) –계속


3-2 이산시간 푸리에 급수(DTFS)

(참고 : 연속시간 푸리에 급수)

• 이산시간 푸리에 급수 : 이산주기 신호의 푸리에 급수

(ex : 연속시간 주기신호의 Sampling된 신호)

(식 3-4)

• 위의 사인파는 모두 이산시간 신호이므로 주기가 0부터 까지만 의미가 있기 때문에

(식 3-4)에서 합산 구간은 만이 의미를 가진다.

(식 3-5)

(식3-5)는 이산시간 푸리에 급수(합성식)


3-2 이산시간 푸리에 급수(DTFS) -계속

(참고: 연속시간 푸리에 급수)

• 이산시간 푸리에 계수 : (분해식)

• 이산시간 푸리에 급수의 양변에 곱하고 이산시간 함수이므로 한 주기에서

다음과 같이 합산 한다.

(식 3-7)

• (식 3-7)로 부터

i) 인 경우, N

ii) 인 경우

(식 3-8)

• 그러므로

(식 3-9)

(식 3-6)

• r -> k


3-3 푸리에 급수의 오차(Gibbs 현상)

푸리에 급수 : 시간영역함수를 주파수 영역함수로 표현

시간함수로 주어진 신호를 주파수 함수로 변환시키면 그 신호에 포함된 주파수 성분을

파악하는데 용이하다.

즉 연속함수와 불연속함수(이산함수)는 푸리에 급수를 통하여 그 주파수 성분을 구할 수

있고 근사화된 합성 결과를 얻을 수 있다.

그림 3.2 주기가 인 구형파

(예) 그림 3.2와 같은 주기가 인 구형파를 푸리에 급수로 표현 하였을 경우?


3-3 푸리에 급수의 오차(Gibbs 현상) -계속

(a) n=3번재 항까지 더하여 합성한 결과

(b) n=9번째 항까지 더하여 합성한 결과

(c) n=50번째 항까지 더하여 합성한 결과

그림 3.3 푸리에 합성의 예

• 푸리에 급수(합성식)로 표현하였을 경우 사인파(n고조파)들을 더하여 원신호가 얻어지는가 확인

• 합성식에서 n=3번째 항까지, n=9번째 항까지, n=50번째 항까지 더한 결과는 그림 3.3 과 같다.

[그림 3.3 분석]

i) 사인파의 항 수가 많아질수록 물론 점점 더원신호에 가까와짐

ii) 항 수가 매우 많아지더라도 원신호와 똑같아지지는 않고 그림 3.3(c)에 나타난 것처럼 가 0에서 1로변하는 곳 또는 그 반대의 곳에서 값이 약간 튄다.

이를 Gibbs현상이라 한다.

# Gibbs현상이 발생하는 원인 : 그림 3.2의 구형파는 애초에 푸리에 급수(식 3-2)가 성립하지 않기 때문이다.

즉, 는 불연속 함수이고 우변의 사인파들의 합은 연속 함수이므로 둘이 결코 같을 수 없다.


3-4 푸리에 변환(CTFT)

• 푸리에 변환 : 연속시간 비주기 신호의 주파수 성분 분석

• 비주기 신호에 대한 푸리에 변환 : 비주기 신호는 무한대의 주기를 갖는 주기 신호라고 생각할 수있기 때문에, 주기 신호에 대한 푸리에 급수로부터 해당 주기 신호의 주기가 무한히 커진다고 가정하여 유도 가능

• 즉, 유한한 구간에서 0이 아닌 값을 갖는 임의의 비주기 신호와 그 신호를 한 주기로 갖는 주기 신호의 푸리에 급수를 구한다.

• 푸리에 급수로 표현된 주기신호의 주기를 무한대로 크게 하여 푸리에 변환을 유도 할 수 있다.


3-4 푸리에 변환(CTFT) -계속

푸리에변환의 유도

• 그림 3.4(a)에 보여진 비주기신호 를 한 주기로 갖는 그림 3.4(b)의 주기신호 의 관계

(식 3-10)

• 주기신호 를 푸리에급수로 표현하면

(식 3-11)

와 같고, 해당 푸리에 계수는

(식 3-12)

로 주어지며, 이 때 기본주파수와 주기는

(식 3-13)

그림 3.4 (a) 유한한 구간 에서 0이 아닌 값을 갖는 비주기신호 , (b) 의 일부분을

한 주기로 갖는 주기신호


• (식 3-12)을 변형하면

(식 3-14)

• 푸리에계수 는 의 함수이기 때문에 (식 3-14)를 에서 계산하면

(식 3-15)

• (식 3-15)과 (3-13)의 관계를 사용하여 주기신호 의 푸리에 급수를 다시 나타내면

(식 3-16)

• 주기 가 무한히 커지면 는 로 접근하게 되고, 따라서 (식 3-16)의 우변은

(식 3-17)

(식 3-15)로 부터 연속시간 비주기신호의 푸리에 변환식(식 3-18)

(식 3-17)로 부터 푸리에 역변환식(식 3-19)

또한 신호 의 푸리에 변환을(식 3-20)

로, 의 역변환을(식 3-21)

로 표현하기도 하고, 이들 푸리에 변환과 역변환 쌍을(식 3-22)

로나타낸다.

: 푸리에변환식

: 푸리에역변환식



- 유 추 –

식 (3-18)에 주어진 푸리에 변환 는 주파수 를 갖는 복소지수 신호 가 신호

에 포함되어 있는 정도를 나타낸다.

또한 식 (3-19)에 주어진 푸리에 역변환 관계를 이용하면, 무수히 많은 종류의 복소지수

신호의 선형 조합으로 임의의 연속시간 비주기 신호를 합성해낼 수 있다.



3-5 이산시간 푸리에 변환(DTFT)

• 이산시간 푸리에 변환 : 이산시간 비주기 신호의 주파수 성분 분석

• 이산시간 신호의 푸리에 변환

: 물리적인 주파수라기보다 수열의 변화가 얼마나 빠른가를 나타내는 상대적인 척도

(참고 : 연속시간 푸리에 변환)

• 이산시간 푸리에 변환

(식 3-23)

• 이산시간 푸리에 역변환

(식 3-24)


3-5 이산시간 푸리에 변환(DTFT) -계속

• LTI system의 주파수 응답

• 임펄스 응답을 이라 할 때 선형시불변 시스템에서는 입력 과 출력 사이에는 다음과같은 중첩 합(convolution sum) 관계가 성립

(식 3-25)

• 이 선형시불변 시스템에 입력되었을 때 그 출력은 그림 3.5에서 보는 바와 같이 에 에 관한 함수 가 곱해진 형태 (바로 이 함수가 이 시스템의 주파수 응답)

• 입력 일 때 입출력의 중첩 합 관계식

(식 3-26)

• 어떤 선형시불변 시스템의 임펄스 응답 이 주어진 경우 이 시스템의 주파수 응답

(식 3-27)

그림 3.5 이산시간 선형 시불변 시스템에서 사인파가 입력된 경우의 출력


• 이산시간 푸리에 변환(식 3-23)과 LTI system의 주파수 응답(식 3-27)을 비교해보면

(식 3-23)

(식 3-27)

• 임펄스 응답 을 일반 이산신호 으로 바꾸어 놓은 형태인 것을 알 수 있다.

따라서 시스템의 주파수 응답이 주파수 영역 정보를 나타내고 있는 것처럼 이산시간 신호

의 푸리에 변환도 아래와 같은 주파수 영역의 정보를 제공해준다.

• (식 3-27)에서 │ │ 는 진폭, ∠ 는 위상을 나타내며

(식 3-23)에서도 마찬가지로 │ │ 는 진폭스펙트럼, ∠ 는 위상스펙트럼을 나타낸다.

3-5 이산시간 푸리에 변환(DTFT) -계속


4-1 이산 푸리에 변환(DFT)

4-2 이산 푸리에 변환의 특성

4-3 이산 푸리에 변환의 직접계산

4-4 이산 푸리에 변환의 계산량



4-1 이산 푸리에 변환(DFT) -계속

• 즉, DSP의 수치 계산 관점에서 셀 수 없을 정도로 무한한 주파수에 대한 무한 합을 계산

• 그러나 주파수 영역에서 DTFT를 Sampling 함으로써 수치적으로 계산할 수 있는 변환을 얻을 수있으며 이를 이산 푸리에 변환 (Discrete Fourier Transform)이라고 한다.

- DTFT은 변환이 무한 신호 x[n](-∞<n<∞)에 대해 정의된다.

- DTFT은 변환이 연속 변수(w)의 함수이다.

• DTFT 는 신호 모델링과 시스템 디자인에 큰 통찰력을 제공하는 반면, 다음 두 가지 이유로실제 데이터 분석에 직접적으로 적용할 수 없다.


1...,,1,0,)(1)]([)(1

0

21 −=== ∑

−

=

− NnekXN

kXDnxN

k

Nnkj π

1..., ,1,0,)()]([)(1

0

2

−=== ∑−

=

−NkenxnxDkX

N

n

Nnkj π

Nj

N eWπ2

−=

1..., ,1,0,)()(1

0−== ∑

−

=

NkWnxkXN

n

kNN

1...,,1,0,)(1)(1

0−== ∑

−

=

− NnWkXN

nxN

k

kNN

• N개의 이산신호 (n=0, 1, · · · , N-1)이 주어질 때 의 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)은 다음과 같이 정의된다.

• 이산 역푸리에 변환(Inverse Discrete Fourier Transform)

• 회전인자(twiddle factor) 을Nw

• 은 복소 평면상 단위 원의 원주상을 1/N 원주만큼 움직이는 점을 의미하며 회전인자를 이용하여 이산 푸리에 변환(DFT)을 다시 쓰면

• 이산 역푸리에 변환(Inverse Discrete Fourier Transform)

(식 4-1)

(식 4-2)

(식 4-3)

(식 4-4)

(식 4-5)

knNw

)(nx )(nx



• 이산신호에도 연속신호와 마찬가지로 주기신호와 비주기신호가 있어 이산 푸리에 급수와 이산 푸리에 변환으로 나눈다.

• 이산신호가 주기함수이면 이산 푸리에 급수도 이산주기함수로 되기 때문에 을 주기함수

의 한 주기, 즉)( Nnx +)(nx

10),( −≤≤+ NnNnx

)(nxn0 , 그 밖의

• 이산 푸리에 변환(DFT) = 이산 푸리에 급수(DFS)의 한 주기



4-2 이산 푸리에 변환(DFT)의 특성

• 선형성(Linearity)

인 신호가 있다 하면, 이산푸리에변환은

로 구해진다.

• 추이정리(Shift Theorem) = 시간이동(Time Shift)

• 시간영역 컨벌루션

• 주파수영역 컨벌루션 = 변조

21

21 (n)bx(n)ax +임의의 상수 a, b에 대하여

kmNW(k)X

x (n ) =

X(k) = D[x(n)] = aX (k) + bX (k)

D[x(n-m)] =

D[x(n) y(n)] = X(k)Y(k) *

∑=0

1l

− )( lkY( l )XN

D[x(n) y(n)] =-1N

*

(식 4-6)

(식 4-7)

(식 4-8)

(식 4-9)

(식 4-10)


4-3 이산 푸리에 변환(DFT)의 직접계산

(식 4-11)

• N점 수열(N-Point Sequence) {x(0), x(1), ···, x(N-1)}의 이산푸리에 변환이{X(0), X(1), ···, X(N-1)}일때, 이것을 N점 이산 푸리에 변환이라 한다.

∑−

=

=1

0

)()(N

n

knNWnxkX

• 8점 이산 푸리에 변환(8-point DFT)의 예일 경우 (식4-11)로부터

와 같이 직접 구할 수 있다.

)7(....)1()0()0( xxxX +++=710 )7(....)1()0()1( WxWxWxX +++=1420 )7(....)1()0()2( WxWxWxX +++=

4970 )7(....)1()0()7( WxWxWxX +++=

… (식 4-12)


4-3 이산 푸리에 변환(DFT)의 직접계산 –계속

(식 4-13)• 회전인자 W는

와 같은 주기성이 있기 때문에 (식 4-14)이 성립한다.

nNkkn WW )( +=

...241680 ==== WWWW...251791 ==== WWWW

...3123157 ==== WWWW

… (식 4-14)


(식 4-11)

• (식 4-11)을 직접 계산하는 경우, 그 계산 순서는 그림 4.1과 같은 흐름도(flow graph)로 표시된다.

∑−

=

=1

0

)()(N

n

knNWnxkX

그림 4.1 8점 DFT 직접계산법

그림 4.1은편의상 X(1)을구하는경우에대해서만표시되어있으며절점(node)은가산, 화살표(arrow)는곱셈을의미한다.

4-3 이산 푸리에 변환(DFT)의 직접계산 –계속


• 8점 DFT를 구하기 위해서는 8×8회의 복소 곱셈(complex multilpication)과 15회의복소 가산(complex addition)을 필요로 한다.

• 즉, N점 DFT인 경우에는 N×N=N 2회의 곱셈과 N(N-1)회의 덧셈이 필요로 하는 것을 알 수 있다.

• 따라서 다음과 같이 N점 수열이 커질 경우의 곱셈 횟수

예 4-1) N = 8 → 8 2 = 64회

N = 10 → 10 2 = 100회N = 100 → 100 2 = 10000회

• 막대한 회수의 연산이 되어 소요계산 시간이 문제가 된다.

• 이산 푸리에 변환은 작은 값의 N에 대해서는 효율적인 반면, 주로 많이 다뤄지는 큰 값의 N에 대한 직접적인 접근법은 비효율적이다.

• 이와 같은 이유로 이산 푸리에 변환 공식에서 반복계산을 제거함으로 이산 푸리에 변환을 보다 빠르게 계산 할 수 있는 시간솎음 알고리즘(시간영역 분해)과 주파수 솎음(주파수영역 분해) 알고리즘인 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform)이 개발 되었다.

4-4 이산 푸리에 변환(DFT)의 계산량

5. CONCLUSIONDigital Signal Processing


CONCLUSION

자연계에서 발생하는 모든 signal(음성신호, 영상신호 등)은 시간에 따라 변하는 시간영역상의 연속시간신호이며 또한 이를 Sampling하여 얻어진 이산시간신호 역시 시간영역상의 신호이다.

이와 같은 시간영역상의 신호는 푸리에 해석법을 통해 주파수 영역상의 간결한 수식으로 표현 할 수 있으며 앞에서 보았던 푸리에 표현들은 다음과 같이 비교 될 수 있다.

Time domain Transform Frequence domain

Aperiodic, Continuous-time CTFT Aperiodic, discrete-frequency

Periodic, Continuous-time CTFS Aperiodic, discrete-frequency

Aperiodic, discrete-time DTFT Periodic, continuous-frequency

Periodic, discrete-time DFT(DFS) Periodic, discrete-frequency

DTFT를 Sampling함으로써 구해진 DFT는 컴퓨터나 디지털 회로를 이용한 수치 계산 관점에서 적합한 푸리에 표현이다.

그 이유는 위의 푸리에 표현들의 비교표에서 보듯이 DFT는 시간과 주파수 양쪽 영역에서 이산적이고 유한 길이를 갖는 유일한 변환이기 때문이다.

이와 같은 이유로 DFT는 주파수영역상의 이산신호를 스펙트럼분석 하여 원하는 정보를 추출, 전달, 축적하거나 혹은 시스템을 관측, 제어할 수 있도록 이산신호에 어떠한 가공을 하는 디지털 필터 설계를 비롯한 DSP분야에 널리 이용된다.

이처럼 DFT는 디지털 신호처리 알고리즘에서 중요한 역할을 하며 이것은 DFT계산을 더욱 효율적으로 할수 있는 FFT 알고리즘이 존재하기 때문이다.


-참조문헌 --참조문헌 -

-참조사이트 --참조사이트 -충남대학교 신호처리 실험실

http://leo.cnu.ac.kr

전북대학교 생체계측 연구실

http://bmsp.chonbuk.ac.kr

카이스트 잡음제어 연구실

http://soundmasters.kaist.ac.kr

디지털 신호처리 –사이텍미디어-

통신공학의 기초 –진영사-

최신 디지털 신호처리 –북스힐-

이산신호처리 제2판 –대웅-

ReferenceReference

감사합니다감사합니다....

주파수영역에서의 신호 표현cfs3.tistory.com/upload_control/download.blog?fhandle=... ·...

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