oetutorijal 7 etf

12
  č đ  , , ( ), č č   , đ č , , č ε  ε   ,   , č     č đ 2 0 1 2 W E V ε =  , đ č 0 V E d =   đ č (  0 1 2 t t V  E E E d = = =  )   č ԑ č    , č ( ) 2 2 0 0 0 1 1 2 2 e V V W w x L d x L d  d d ε ε = +         ∆ ,  ∆ ,  x F x W Δ Δ =  2 2 0 0 0 1 1 2 2 V V W x L d x L d  d d Δ ε Δ ε Δ = +  ( ) 2 0 0 1 2  x V F x x L d  d Δ ε ε Δ =  ( ) 2 0 0 1 2  x V F L d d ε ε   =   đ ( ) ( ) 2 0 0 0 1 2 w  x V W F dx L w d  d ε ε   = =    ε ε  E   

Upload: sutkovic-jahjad

Post on 04-Oct-2015

16 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

Oe Tutorijal 7 ETF

TRANSCRIPT

  • Zadatak 1

    Ploasti kondenzator sa vazdunim dielektrikom kod koga je rastojanje izmeu elektroda d, a

    povrina elektroda, u obliku pravougaonika (Lw), prikljuen je na naponski izvor stalnog elektrinog

    napona V0. Nakon nekog vremena, izmeu elektroda tog kondenzatora se uvlai homogeni, linearni i

    izotropni dielektrik, dielektrine propustljivosti > 0, do dubine x, pri emu je x < w. Odrediti izraz za

    silu koja djeluje sa ciljem da dielektrik potpuno uvue u prostor izmeu elektroda. Koliku energiju

    treba dati naponski izvor da bi se taj proces realizirao?

    Rjeenje

    Slika 1.1 Geometrija problema

    Izraz za energiju kondenzatora: 2

    012

    W E V= , a za napon izmeu ploa kondenzatora: 0V E d=

    Polje izmeu ploa kondenzatora je isto za cijeli kondenzator ( 01 2t tVE E Ed

    = = = ). U momentu kada

    je dielektrik sa dielektrinom konstantom uvuen za duinu x < w, kondenzator raspolae sa

    elektrostatikom energijom:

    ( )2 2

    0 00

    1 12 2e

    V VW w x L d x L dd d

    = +

    Kada se pod djelovanjem sile Fx dielektrik pomjeri za x, energija u kondenzatoru se promijeni za W,

    odnosno: xF x W =

    2 20 0

    01 12 2

    V VW x L d x L dd d

    = +

    ( )2

    00

    12x

    VF x x L dd

    =

    ( )2

    00

    12x

    VF L dd

    =

    Da bi se dielektrik potpuno uvukao izmeu elektroda kondenzatora potrebno je obaviti rad (uloiti

    energiju): ( )2

    00

    0

    12

    w

    x

    VW F dx L w dd

    = =

    w

    0 d E

    +

    V0

    x x

    y

  • Zadatak 2

    Na razdvojnoj povri dva homogena, linearna i izotropna dielektrika, dielektrinih konstanti 1 i 2, linije

    elektrinog polja u prvom dielektriku zaklapaju ugao 1 u odnosu na normalu povuenu na ravan

    dielektrika. Odrediti vektore elektrostatskog polja i dielektrinog pomjeraja u oba dielektrika. Poznate su

    vrijednosti: 1,r=8, 2,r=4, 1=450 i E1=100 V/m.

    Rjeenje

    Obzirom das u obje dielektrine sredine homogene, linearne i izotropne, vektori elektrostatskog polja i

    dielektrinog pomjeraja e biti kolinearni.

    Slika 2.1 Geometrija problema

    U drugom dielektriku e linije elektrostatskog zaklapati ugao 2 u odnosu na normalu povuenu na ravan

    dielektrika. Uvaavajui granine uslove vrijedi da je:

    1, 2,T TE E= (1a)

    1, 2,N ND D= (1b)

  • Slika 2.2 Razlaganje na ortogonalne komponente

    ( ) ( )1 1 2 2sin sinE E = (2a) ( ) ( )1 1 2 2cos cosD D = (2b)

    Transformiui (2b) dobijemo:

    ( ) ( )1 1 2 2sin sinE E = (3a) ( ) ( )1 ,1 1 2 ,2 2cos cosr rE E = (3b)

    Dijelei (3a) i (3b) dobijemo:

    ( ) ( ) ( ) ( ),21 2 02 1,1 ,2 ,1

    tan tanarctan tan arctan 0,5 26,56r

    r r r

    = => = =

    (4)

    Vraajui (4) u (3a) raunamo intenzitet elektrostatskog polja u drugoj sredini:

    ( )( )

    12 1

    2

    sin158,11 /

    sinE E V m

    = =

    Na osnovu intenziteta elektrostatskih polja prve i druge sredine, raunamo intenzitete dielektrinih

    pomjeraja istih:

    12 2 9 21 1 ,1 0

    12 2 9 22 2 ,2 0

    100 8 8,854 10 / 7,08 10 /

    158,11 4 8,854 10 / 5,6 10 /r

    r

    D E C m C m

    D E C m C m

    = = =

    = = =

  • U konanici, traeni vektori su:

    ( ) ( )( )( ) ( )( )

    1 1, 1, 1, 1, 1 1 1

    2 2, 2, 2, 2, 2 2 2

    1 1, 1,

    cos( ) sin( ) 70,71 70,71 /cos( ) sin( ) 141, 42 70,71 /

    N T N T

    N T N T

    N T

    E E E E i E j E i j i j V mE E E E i E j E i j i j V m

    D D D

    = + = + = + = +

    = + = + = + = +

    = +

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    9 21, 1, 1 1 1

    9 22 2, 2, 2, 2, 2 2 2

    cos( ) sin( ) 5 5 10 /

    cos( ) sin( ) 5 2,5 10 /N T

    N T N T

    D i D j D i j i j C m

    D D D D i D j D i j i j C m

    = + = + = +

    = + = + = + = +

  • Zadatak 3

    Na slici je prikazan cilindrini kondenzator visine , poluprenika unutranje elektrode koja je naelektrisana sa pozitivnim naelektrisanjem . Poluprenik vanjske elektrode je . Unutar kondenzatora nalaze se dva dielektrika, relativnih

    dielektrinih konstanti i . Cilindrina granina povrina izmeu ova dva dielektrika je poluprenika . Odrediti podunu kapacitivnost kondenzatora.

    Slika 3.1

    Rjeenje

    Poduna kapacitivnost kondenzatora predstavlja odnos gustine podunog naelektrisanja i napona na

    elektrodama kondenzatora:

    Takoer vrijedi da je:

    Gustina podunog naelektrisanja predstavlja odnos ukupne koliine naelektrisanja po duini kondenzatora:

    Odnosno sada vrijedi da je:

    Napon na elektrodama kondenzatora je:

    gdje je vektor jaine elektrostatskog polja unutar sredine , a predstavlja vektor jaine elektrostatskog polja unutar sredine .

    Na granici izmeu dva dielektrika vrijedi da je:

    0 ,

  • Maxwellov postulat:

    ! "#$

    %

    Zbog oblika elektroda posmatra se zatvorena cilindrina povr "& poluprenika ' ( ( ).

    ! "*+,-, .&/#0

    22

    22

    Za sredinu vrijedi da je:

    22& ( (

    Za sredinu vrijedi da je:

    22& ( (

    Napon je:

    22&

    22&

    22& 3

    1 .

    1 .

    5

    Poduna kapacitivnost kondenzatora je:

    22&

    1 .

    1 .

    3675

  • Zadatak 4

    Prostor izmeu elektroda sfernog kondenzatora potpuno je ispunjen tenim homogenim dielektrikom

    relativne dielektrine propustljivosti r=9. Kondenzator je optereen, pa odvojen od izvora, a najvea

    jaina elektrinog polja u kondenzatoru iznosi EMAX=180 kV/cm. Odrediti najveu jainu elektrinog polja

    u ovom kondenzatoru kada kroz malu rupu na spoljanjoj elektrodi iscuri polovina dielektrika.

    Slika 4.1 Geometrija problema

    Rjeenje

    Radi sferne simetrije sistema, kao i radi homogenosti dielektrika, naboj e se ravnomjerno rasporediti

    kako uz vanjsku povrinu unutranje elektrode, tako i uz unutranju povrinu vanjske elektrode.

    Zbog homogenosti dielektrika, vektori dielektrinog pomjeraja i elektrinog polja su kolinearni, pa u

    svakoj taki izmeu elektroda kondenzatora vrijedi da je: 0 rD E E = = .

    Da bismo odredili intenzitet elektrinog polja, prvo moramo, primjenom Maxwell-ovog zakona, odrediti

    dielektrini pomjeraj. Primjenom Maxwell-ovog zakona na zatvorenu povr S, dobijemo:

    SD dS Q =

    (1)

    gdje je S sfera poluprenika r, za 1 2R r R< < , iji se centar poklapa sa centrom unutranje (tj. vanjske) elektrode.

  • Slika 4.2 Primjena Maxwell-ovog zakona

    Vektori D

    i E

    imaju radijalan smijer, tj.

    0

    0

    0 1

    D D r

    E E r

    r

    =

    =

    =

    , a za elementarni dio sfere S vrijedi: 0

    0 1

    d S dS n

    n

    =

    =

    ,

    gdje je ( )0 0, 0r n = . Na osnovu ovoga moemo pisati da je: ( )( ) ( )0 0cos , cos 0D dS D dS r n D dS D dS = = = , pa relacija (1) postaje:

    SD dS Q = (2)

    Zarad ravnomjerne raspodjele naboja po unutranjoj elektrodi, na fiksoj udaljenosti r, intenziteti vektora

    D

    i E

    e biti konstantani. Odavde slijedi da su ovi intenziteti na povri S (koja je sfera) konstantni, pa

    relacija (2) postaje:

    SD dS Q = (3)

    SdS je po definiciji povrina povri S, tj. povrina sfere poluprenika r.

    Stoga (3) postaje: 224 4

    D S QQD r Q Dr

    pipi

    =

    = => =

    (4)

  • Za elektrino polje sada vrijedi:

    1 220 0

    ,

    4r r

    D QE R r Rr pi

    = = < = => =

    (15)

    Iz (15) i (7) vrijedi:

    ( )1 2 1 1 1 1r rQ Q Q Q Q Q = + = + = + (16) Uvrtavajui (14) i (16) u (6) dobijemo:

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    1max 2 2

    0 1 0 12

    1,max 1 0 1,maxmax 2

    0 1

    1,max max

    14 4

    2 1 124

    2 2 9180 / 324 /1 1 9

    r

    r r

    r r

    rr

    r

    r

    QQER R

    E R EE

    R

    E E kV cm kV cm

    pi pi

    pi

    pi

    += =

    + += =

    = = =

    + +

    Z1Z2Z3Z4