oetutorijal 7 etf
DESCRIPTION
Oe Tutorijal 7 ETFTRANSCRIPT
-
Zadatak 1
Ploasti kondenzator sa vazdunim dielektrikom kod koga je rastojanje izmeu elektroda d, a
povrina elektroda, u obliku pravougaonika (Lw), prikljuen je na naponski izvor stalnog elektrinog
napona V0. Nakon nekog vremena, izmeu elektroda tog kondenzatora se uvlai homogeni, linearni i
izotropni dielektrik, dielektrine propustljivosti > 0, do dubine x, pri emu je x < w. Odrediti izraz za
silu koja djeluje sa ciljem da dielektrik potpuno uvue u prostor izmeu elektroda. Koliku energiju
treba dati naponski izvor da bi se taj proces realizirao?
Rjeenje
Slika 1.1 Geometrija problema
Izraz za energiju kondenzatora: 2
012
W E V= , a za napon izmeu ploa kondenzatora: 0V E d=
Polje izmeu ploa kondenzatora je isto za cijeli kondenzator ( 01 2t tVE E Ed
= = = ). U momentu kada
je dielektrik sa dielektrinom konstantom uvuen za duinu x < w, kondenzator raspolae sa
elektrostatikom energijom:
( )2 2
0 00
1 12 2e
V VW w x L d x L dd d
= +
Kada se pod djelovanjem sile Fx dielektrik pomjeri za x, energija u kondenzatoru se promijeni za W,
odnosno: xF x W =
2 20 0
01 12 2
V VW x L d x L dd d
= +
( )2
00
12x
VF x x L dd
=
( )2
00
12x
VF L dd
=
Da bi se dielektrik potpuno uvukao izmeu elektroda kondenzatora potrebno je obaviti rad (uloiti
energiju): ( )2
00
0
12
w
x
VW F dx L w dd
= =
w
0 d E
+
V0
x x
y
-
Zadatak 2
Na razdvojnoj povri dva homogena, linearna i izotropna dielektrika, dielektrinih konstanti 1 i 2, linije
elektrinog polja u prvom dielektriku zaklapaju ugao 1 u odnosu na normalu povuenu na ravan
dielektrika. Odrediti vektore elektrostatskog polja i dielektrinog pomjeraja u oba dielektrika. Poznate su
vrijednosti: 1,r=8, 2,r=4, 1=450 i E1=100 V/m.
Rjeenje
Obzirom das u obje dielektrine sredine homogene, linearne i izotropne, vektori elektrostatskog polja i
dielektrinog pomjeraja e biti kolinearni.
Slika 2.1 Geometrija problema
U drugom dielektriku e linije elektrostatskog zaklapati ugao 2 u odnosu na normalu povuenu na ravan
dielektrika. Uvaavajui granine uslove vrijedi da je:
1, 2,T TE E= (1a)
1, 2,N ND D= (1b)
-
Slika 2.2 Razlaganje na ortogonalne komponente
( ) ( )1 1 2 2sin sinE E = (2a) ( ) ( )1 1 2 2cos cosD D = (2b)
Transformiui (2b) dobijemo:
( ) ( )1 1 2 2sin sinE E = (3a) ( ) ( )1 ,1 1 2 ,2 2cos cosr rE E = (3b)
Dijelei (3a) i (3b) dobijemo:
( ) ( ) ( ) ( ),21 2 02 1,1 ,2 ,1
tan tanarctan tan arctan 0,5 26,56r
r r r
= => = =
(4)
Vraajui (4) u (3a) raunamo intenzitet elektrostatskog polja u drugoj sredini:
( )( )
12 1
2
sin158,11 /
sinE E V m
= =
Na osnovu intenziteta elektrostatskih polja prve i druge sredine, raunamo intenzitete dielektrinih
pomjeraja istih:
12 2 9 21 1 ,1 0
12 2 9 22 2 ,2 0
100 8 8,854 10 / 7,08 10 /
158,11 4 8,854 10 / 5,6 10 /r
r
D E C m C m
D E C m C m
= = =
= = =
-
U konanici, traeni vektori su:
( ) ( )( )( ) ( )( )
1 1, 1, 1, 1, 1 1 1
2 2, 2, 2, 2, 2 2 2
1 1, 1,
cos( ) sin( ) 70,71 70,71 /cos( ) sin( ) 141, 42 70,71 /
N T N T
N T N T
N T
E E E E i E j E i j i j V mE E E E i E j E i j i j V m
D D D
= + = + = + = +
= + = + = + = +
= +
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
9 21, 1, 1 1 1
9 22 2, 2, 2, 2, 2 2 2
cos( ) sin( ) 5 5 10 /
cos( ) sin( ) 5 2,5 10 /N T
N T N T
D i D j D i j i j C m
D D D D i D j D i j i j C m
= + = + = +
= + = + = + = +
-
Zadatak 3
Na slici je prikazan cilindrini kondenzator visine , poluprenika unutranje elektrode koja je naelektrisana sa pozitivnim naelektrisanjem . Poluprenik vanjske elektrode je . Unutar kondenzatora nalaze se dva dielektrika, relativnih
dielektrinih konstanti i . Cilindrina granina povrina izmeu ova dva dielektrika je poluprenika . Odrediti podunu kapacitivnost kondenzatora.
Slika 3.1
Rjeenje
Poduna kapacitivnost kondenzatora predstavlja odnos gustine podunog naelektrisanja i napona na
elektrodama kondenzatora:
Takoer vrijedi da je:
Gustina podunog naelektrisanja predstavlja odnos ukupne koliine naelektrisanja po duini kondenzatora:
Odnosno sada vrijedi da je:
Napon na elektrodama kondenzatora je:
gdje je vektor jaine elektrostatskog polja unutar sredine , a predstavlja vektor jaine elektrostatskog polja unutar sredine .
Na granici izmeu dva dielektrika vrijedi da je:
0 ,
-
Maxwellov postulat:
! "#$
%
Zbog oblika elektroda posmatra se zatvorena cilindrina povr "& poluprenika ' ( ( ).
! "*+,-, .&/#0
22
22
Za sredinu vrijedi da je:
22& ( (
Za sredinu vrijedi da je:
22& ( (
Napon je:
22&
22&
22& 3
1 .
1 .
5
Poduna kapacitivnost kondenzatora je:
22&
1 .
1 .
3675
-
Zadatak 4
Prostor izmeu elektroda sfernog kondenzatora potpuno je ispunjen tenim homogenim dielektrikom
relativne dielektrine propustljivosti r=9. Kondenzator je optereen, pa odvojen od izvora, a najvea
jaina elektrinog polja u kondenzatoru iznosi EMAX=180 kV/cm. Odrediti najveu jainu elektrinog polja
u ovom kondenzatoru kada kroz malu rupu na spoljanjoj elektrodi iscuri polovina dielektrika.
Slika 4.1 Geometrija problema
Rjeenje
Radi sferne simetrije sistema, kao i radi homogenosti dielektrika, naboj e se ravnomjerno rasporediti
kako uz vanjsku povrinu unutranje elektrode, tako i uz unutranju povrinu vanjske elektrode.
Zbog homogenosti dielektrika, vektori dielektrinog pomjeraja i elektrinog polja su kolinearni, pa u
svakoj taki izmeu elektroda kondenzatora vrijedi da je: 0 rD E E = = .
Da bismo odredili intenzitet elektrinog polja, prvo moramo, primjenom Maxwell-ovog zakona, odrediti
dielektrini pomjeraj. Primjenom Maxwell-ovog zakona na zatvorenu povr S, dobijemo:
SD dS Q =
(1)
gdje je S sfera poluprenika r, za 1 2R r R< < , iji se centar poklapa sa centrom unutranje (tj. vanjske) elektrode.
-
Slika 4.2 Primjena Maxwell-ovog zakona
Vektori D
i E
imaju radijalan smijer, tj.
0
0
0 1
D D r
E E r
r
=
=
=
, a za elementarni dio sfere S vrijedi: 0
0 1
d S dS n
n
=
=
,
gdje je ( )0 0, 0r n = . Na osnovu ovoga moemo pisati da je: ( )( ) ( )0 0cos , cos 0D dS D dS r n D dS D dS = = = , pa relacija (1) postaje:
SD dS Q = (2)
Zarad ravnomjerne raspodjele naboja po unutranjoj elektrodi, na fiksoj udaljenosti r, intenziteti vektora
D
i E
e biti konstantani. Odavde slijedi da su ovi intenziteti na povri S (koja je sfera) konstantni, pa
relacija (2) postaje:
SD dS Q = (3)
SdS je po definiciji povrina povri S, tj. povrina sfere poluprenika r.
Stoga (3) postaje: 224 4
D S QQD r Q Dr
pipi
=
= => =
(4)
-
Za elektrino polje sada vrijedi:
1 220 0
,
4r r
D QE R r Rr pi
= = < = => =
(15)
Iz (15) i (7) vrijedi:
( )1 2 1 1 1 1r rQ Q Q Q Q Q = + = + = + (16) Uvrtavajui (14) i (16) u (6) dobijemo:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1max 2 2
0 1 0 12
1,max 1 0 1,maxmax 2
0 1
1,max max
14 4
2 1 124
2 2 9180 / 324 /1 1 9
r
r r
r r
rr
r
r
QQER R
E R EE
R
E E kV cm kV cm
pi pi
pi
pi
+= =
+ += =
= = =
+ +
Z1Z2Z3Z4