The Equivalence

of Contests

תחרויות שקולות

על פי מודל טאלוק

סמינריון בקורס

המשחקים" תורת –"חשיבה אסטרטגית

הפתוחה האוניברסיטה

Ido Or

037568052

December 2011

Supervisor: Prof. Aner Sela

1

תוכן עניינים

2 .............................................................................................................. מבוא. 1

5 ................................... אסטרטגיים תחליפים או משלימים, קונפליקט או פעולה שיתוף. 2

6 ........................................................................................ ציבורי במוצר השקעה. 3

8 ......................................................................... (Tullock) טאלוק מסוג תחרויות. 4

9 ............................................................................................. תיאורטי מודל 4.1

10 ...................................... תשלום ושקילות תשואה שקילות, אסטרטגית שקילות 4.2

12 .............................................................................. המקורית טאלוק תחרות 4.3

14 ................................................................. טאלוק מסוג תחרויות של גרסאות 4.4

16 ................................................................................ משלימים עם תחרויות 4.5

19 ........................................................................................................... סיכום. 5

21 .............................................................................................................. דיון. 6

22 .................................................................................................. ביבליוגרפיה. 7

24 .................................................................................................הגדרות': א נספח

25 ........................................................................... פטנטים לפיתוח רוץהמי': ב נספח

26 ............................................................................... המאמר לסיכום מצגת': ג נספח

2

. מבוא1

המנתח מצבי עימות או שיתוף כלכלהוה מתמטיקההיא ענף של ה תורת המשחקים

תורת המשחקים לידי האבפעילות כלכלית, ב .בעלי רצונות שונים מקבלי החלטותפעולה בין

כל אחד מהעוסקים שואף להגיע לרווח מקסימלי. מצבים כאלו מכונים משחקים שרביטוי כא

שחקנים או מתחרים. חקירה של משחק מורכב –או תחרויות, והמשתתפים בהם

מתאפשרת על ידי הפשטתו לאחד מכמה מודלים כלליים, הניתנים לניתוח מתמטי. המטרה

הפעולה הצפויות של השחקנים או היא "לפתור" את המשחק, כלומר, לזהות בו את דרכי

להצביע על דרכי פעולה מומלצות לשחקנים בודדים או לקבוצות של שחקנים. לניבוי נכון של

בחירה נבונה של כללי למשל, התנהגות השחקנים עשויה להיות חשיבות מעשית רבה.

תכנון של ;(אסטרטגית) הצבעה טקטיתצריכה להביא בחשבון את האפשרות של הצבעה

תשתית הכבישים צריך להביא בחשבון את בחירות המסלול של הנהגים בשעות העומס.

השונים כלכלהשיטות ומושגים מתורת המשחקים תופסים מקום של כבוד בענפי ה

,מדע המדינה, כמו חברההמדעי ענפים אחרים של ומשמשים גם ב מנהל עסקיםוב

שונים, בעיקר בחקר ביולוגיהמשת גם בענפי . תורת המשחקים משמשפטיםו פסיכולוגיה

של יצורים חיים. בשנים האחרונות גובר העניין בתורת אבולוציוניותואסטרטגיות התנהגות

. התפתחות זו קשורה לחשיבותם הגוברת של רשתות מחשבים, מדעי המחשבהמשחקים ב

ות הגדלה לתורת המשחקים מתבטאת . בציבור הכללי, המודעאינטרנטובמיוחד רשת ה

. תרמו "משחק סכום אפס", כמו לשפה המדוברת בחדירה של מושגים הלקוחים מתחום זה

, ביוגרפיה של 'נפלאות התבונה'ריים שנכתבו בזמן האחרון, ובמיוחד לכך כמה ספרים פופול

מצליח. סרט קולנועל 2001, מחלוצי תורת המשחקים, שעובדה בשנת ג'ון נאשהמתמטיקאי

גורמים מטרתה לנתח אינטראקציות ביןו ,משתמשת בכלים מתמטיים תורת המשחקים

חברותאשר לכל אחד אינטרסים משלו. גורמים אלה יכולים להיות אנשים פרטיים, שונים,

.וכדומה ביולוגייםמינים ,כלכליות, מפלגות, מדינות

לשני תחומים: התורה השיתופית והתורה הלא שיתופית. התורה נחלקתתורת המשחקים

השיתופית מטפלת בקבוצות של שחקנים. לכל קבוצה מיוחס ערך מספרי שמבטא את

חמפלגות בפרלמנט, או כ תערכה/שווייה/עוצמתה של הקבוצה (למשל, כוחה של קבוצ

העוגה פירמות וכיו"ב). עניינו המרכזי של תחום זה הוא כיצד לחלק את תהייצור של קבוצ

."השחקנים) באופן "הוגן כלהגדולה (זו המיוצרת ע"י קבוצת

התורה הלא שיתופית עוסקת במצב בו השחקנים הינם יריבים ולכן לא משתפים פעולה, אלא

.באופן מפורט יותר נתמקד בעבודה זויתופית הלא שתורה באחר. מגיבים זה לפעולות ה

3

TULLOCKותחרות תורת המשחקים הלא שיתופית

אשר בפני כל אחד מהם פתוחה קבוצה של פעולות ,משחק מורכב ממספר שחקנים

אפשריות. כאשר כל אחד מהשחקנים בוחר פעולה, מקבל כל אחד מהם תשלום (התלוי לא

.)כל האחריםשל עצמו, אלא גם בפעולות שלובפעולה רק

ניתן הלא שיתופיים המשחקים התיאוריה הכלכלית בתורתדוגמאות לשימוש שעושה

מחירים), או משחקים שבהם השחקנים הם חברות כלכליות (לדוגמא, מלחמתלמצוא ב

אינטראקציה בין או מוצר זה או אחר) מדינות (מלחמת מכסים), או צרכנים (האם לרכוש

.מעביד ועובד, משתתפים במכרז ועוד ,וקונה מוכר

בביולוגיה ניתן להשתמש בתורת המשחקים כאשר מנתחים מלחמת הישרדות של

מינים שונים. במדע המדינה השחקנים עשויים להיות בוחריםמשונים מאותו מין או טיפוסים

יכולים להיות במערכת בחירות או מפלגות הנאבקות זו בזו, ביחסים בינלאומיים השחקנים

.מדינות הנמצאות בעימותים מסוגים שונים וכיוצא באלה

משחקים של שבאמצעותו מנסה תורת המשחקים לנבא תוצאות יםהמרכזי יםהמושגאחד

-לכלכלה ב שזכה על כך בפרס נובל John Nash הנקרא על שמו של ,משקל נאש-שיווי הוא

פעולה ( ינקוט. לצירוף של כמה פעולות. כאמור, כל שחקן מחליט על הפעולה שבה 1994

מתקיימת בו התכונה הבאה: אף אחד אםאחת של כל שחקן), נקרא שיווי משקל נאש,

בעוד האחרים אינםמהשחקנים לא ירוויח יותר אם ישנה את דעתו ויבחר בפעולה אחרת (

.)משנים את דעתם

מודל את ה ,(Gordon Tullock)גורדון טאלוק הכלכלן והמשפטן, הציג 1980בשנת

ההסתברות לזכות בתחרות זו על שמו, המתאר תחרות בין שני שחקנים.כיום הנקרא

מיוצגת על ידי r

j

r

i

r

i

jixx

xxxP

+ji כאשר, ),(= xx מייצגים את המאמץ שמשקיע כל שחקן, ,

ההשקעה הסיכוי של כל שחקן לזכות בתחרות הוא החלק היחסי של השקעתו מתוך סך

בתחרות על ידי כל השחקנים גם יחד.

r הוא פרמטר האפקט ההמוני(Mass effect parameter) מידת ההשפעה , והוא מייצג את

הולך וגדל, r -ככל שלנצח בתחרות. i הסיכוי של שחקןשל שינוי השקעתו של היריב על

, ולהיפך.זה סיכוי משמעותית יותר המידהגדלת השקעתו של היריב מקטינה ב

ת (השפע r=1פונקציית הזכייה בלוטו, שבה יותר של מודל זה הןב ותהנפוצ הגרסאות

בהש, first-price all-pay auctionתחרות ו הינה לינארית) היריב על הסיכוי לזכייה

∞=r (Chowdhury & Sheremeta, 2011) . השחקן שהשקיע את הסכום הגבוה

, ושאר השחקנים סיכוייהם אפס.1ביותר מנצח בהסתברות

תחרויות שונות עשויות כיצד להשתמש במודל טאלוק לתחרויות בכדי להמחיש נהוג

כי מבחינה , אף בהןלהיות זהות זו לזו בסוג האסטרטגיה הננקטת והרווח המושג

4

תחרות מוגדרת, לצורך העניין, כמשחק בין שני הן נראות שונות זו מזו. אינטואיטיבית ומבנית

שחקנים, כאשר התשלומים בהתאם לתוצאות הינם פונקציה לינארית של הזכייה במשחק,

. אנו מבחינים בין אסטרטגיות תחרותיות שוות היריב המאמץ המושקע, והמאמץ שהשקיע

זהה לוםתגובה מיטבית, ובכך משיאות תשמייצרות אותה משפחה של פונקציית הערך

שונה לוםלמנצח. מצד שני, שתי תחרויות אסטרטגיות שוות ערך גם עשויות להשיא תש

במצב שיווי משקל.

אם הן יוצרות אותה משפחה של , תחרויותניתן לומר שמתקיימת שקילות אסטרטגית בין

פונקציית התועלת היא כלי .(Chowdhury & Sheremeta, 2010) פונקציות תגובה מיטבית

תחרות, ובכך להעדיף תוצאה המתחרה כדי לדרג את תוצאות ההמשמש בידי השחקן /

תמסויימת על רעותה. לאחר ששחקן הפעיל את פונקציית התועלת ודירג את התוצאו

שתייצר את התוצאה נקוט בפעולה הרצויות לו מהרצויה ביותר אל הרצויה פחות, הוא י

הטובה ביותר האפשרית בעבורו, בהינתן הפעולות של המתחרים האחרים. כל שחקן פועל

באופן עצמאי, ולכן בכל רגע נתון הוא מקבל את ההחלטה (נוקט באסטרטגיה) שתמקסם את

אם אסטרטגיות שונות שנוקט השחקן מייצרות אותה תועלת עבורו, הרי שניתן לומר תועלתו.

גיות שקולות. שהאסטרט

אראה כי למרות .על המודל שהציג טאלוק יםהמבוסס משחקים שונים בעבודה זו אבחן

זו לזו במובנים מסוימים, השוני המבני והאינטואטיבי, תחרויות שונות עשויות להיות שקולות

ליצור ו, שיוגדרו בהמשך. בנוסף אראה תהליך פשוט המאפשר לבדוק קיומה של שקילות זו

שתהיה שקולה לתחרות נתונה כלשהי. העבודה מבוססת על סקירת ספרות תחרות

מקצועית מבוקרת, ועל ההנחה כי מדובר במתחרים שונאי סיכון או אדישים לסיכון. ישנם

כמובן מתחרים אוהבי סיכון, אך לא נעסוק בהם בעבודה זו.

5

. שיתוף פעולה או קונפליקט, משלימים או תחליפים אסטרטגיים2

בכדי לסווג משחקים שונים לקבוצות של משחקים שקולים זה לזה, יש למצוא מאפיינים

משותפים על ידי זיהוי הכוחות והמתחים המשפיעים על שיווי המשקל בקבוצת משחקים

).2008נתונה (חפץ,

אם כל שחקן יעדיף תמיד שהשחקנים האחרים יגבירו את פעולותיהם, אזי מדובר

ית של שיתוף פעולה. מנגד, אם כל שחקן יעדיף שהשחקנים האחרים באינטראקציה אסטרטג

בחנה זו אימתנו את פעולותיהם, אזי מדובר באינטראקציה אסטרטגית של קונפליקט.

מהמתונה ביותר על פי יחס עוצמה, רלוונטית בבואנו לקבוע את סדר האסטרטגיות

לאינטנסיבית ביותר.

שיהיה ישים רק כאשר ניתן לסדר את האסטרטגיות לפי יחס עוצמה יהיה מאפיין נוסף

רצונו של שחקן להגביר או למתן את פעולתו בתגובה להגברת הפעילות של השחקנים

אם ;האחרים. אם ירצה להגביר את פעולתו, אזי מדובר במשחק של משלימים אסטרטגיים

. דומה הדבר )2008(חפץ, נןתחליפים אסטרטגיים עסקי לירצה למתן, אזי במשחק ש

נוקט באסטרטגיה מסויימת, iלמוצרים משלימים או תחליפיים בעולם הכלכלה. כאשר שחקן

נוקט j, אזי אם שחקן x מוצר ייצר שלהגדיל את הכמות שהוא מבוחר ל –לדוגמא

, המהווה מוצר yבאסטרטגיה משלימה, הוא יבחר להגביר את תפוקת הייצור של מוצר

. אם מדובר בשוק שגודלו ידוע מראש, ומדובר בתחליפים אסטרטגיים, xמשלים עבור מוצר

קטין את תפוקת ייצור יבחר לה jמתוצרתו, ושחקן xירווה את השוק במוצר iאזי שחקן

, בכדי להקטין את הפסדיו.yמוצר

משחק השותפות, בו כל שותפה מגבירה את מאמציה בתגובה להגברת המאמצים של

השותפה האחרת, במטרה "לגמול" ל'יריבתה' על המאמץ. הגמול נובע מאינטרס אישי, שהרי

ול יותר ממחיר הגברת המאמץ של שותפה כלשהי תגרום להגדלת הרווח הכולל ביחס גד

זוהי דוגמא למשחק של משלימים אסטרטגיים.המאמץ.

, העוסק בהשקעה במוצר ציבורי.3 בפרקלתחליפים אסטרטגיים אביא נוספת דוגמא

6

. השקעה במוצר ציבורי3

חרף העובדה שייצורו הוא מוצר שניתן לשימוש על ידי כולם באופן חופשי. מוצר ציבורי

או סייעו אנשים יכולים לצרוך אותו אף אם לא שילמו עבורו בעלות כספית,ותחזוקתו כרוכים

ללא יכולת ,באופן חופשי הצרכנים למסופק לכלהמוצר .בדרך אחרת בהקמתו או אחזקתו

דוגמאות למוצרים ציבוריים הם: ביטחון לקיומו. או לא סייע מי שסייע ל ממנו לתת כמות שונה

.ועודצבאי, תאורת רחוב, תחנת רדיו

איננו מסוגל כלכלת השוקמכיוון שמנגנון ,כשלי השוקמוצרים ציבוריים נכללים בתחום

ות " הנהנה מהמוצר הציבורי המתקיים רק באמצענוסע חופשילקיימם. כל אזרח יכול להיות "

המאלצת את , מרכזיתתשלום של אחרים. הפתרון המקובל לבעיה זאת הוא מערכת אכיפה

לתרום עבור קיום המוצר הציבורי. השחקנים כל

ni. לכל שחקן .שחקנים nנניח כי נתון משחק בין . ieיש סכום כסף פנוי להשקעה, =2,1,...,

כאשר ברור מן ig - כל שחקן בוחר כמה להשקיע מתוך התקציב הפנוי שלו, סכום זה יסומן כ

≤≤0 הנאמר כי ii ge .

תהיה iשל כל שחקן התועלתמכאן, שפונקציית

)1)((),(1∑ =− +−=

n

k kiiiii ggeggu

סכום את סך ההשקעה של כלל השחקנים במוצר מייצג מונה לולאה, המסייע ל kכאשר

הציבורי.

)(הביטוי ii ge לאחר השקעתו. ככל שסכום i –מתאר את הסכום שיישאר בידי השחקן ה −

, כך הוא בחר להשקיע סכום מינימלי (שאינו יכול להיות שלילי) –זה יהיה גדול יותר, דהיינו

בידיו כסף רב יותר. אין הדבר מבטיח כי התועלת שלו תהיה מקסימלית, משום שאין יישאר

אנו יודעים מהו סך ההשקעה במוצר הציבורי ע"י כלל השחקנים.

)1(הביטוי1∑ =

+n

k kg כלל השחקנים במוצר הציבורי. משקף את סך ההשקעה של

.iגדול יותר, גדלה התועלת של שחקן הביטויים סכוםש ככל

שגם אם הם עצמם לא ישקיעו במוצר הציבורי הם עדיין ,בהנחה שכל השחקנים יודעים

יוכלו ליהנות ממנו, נקבל כי התועלת של כל שחקן היא אפס, משום שכולם יבחרו לא

י להגדיל את תועלתם. ) כד0להשקיע, לכן, השחקנים יבחרו להשקיע סכום חיובי (>

כדי למצוא את רמת ההשקעה בה יבחר כל שחקן בשיווי משקל נאש, נגזור ונאפס את

כדי למצוא את נקודת המקסימום של הפונקציה. iפונקציית התועלת של כל שחקן

7

: פונקציית התועלת של שחקן 3.1איור

. j-ו i לצורך הדוגמא, נניח כי מדובר במשחק בין שני שחקנים

.i = גובה ההשקעה של שחקן ig נסמן:

jg גובה ההשקעה של שחקן = j.

תהיה: i, אזי התועלת לשחקן jgיבחר להשקיע jאם שחקן

=),(U jii gg )( ii ge − [ ji gg ++1 ]

מציאת המקסימום:

012)()1(g

)g,(g U

i

jii =−−−=−+++−=∂

∂jiiiiji ggegegg

מכאן נקבל כי

)1(2

1jii geg −−=

מכתיבה , אינה יכולה להיות שלילית, ולכן היא ig, הלוא היא iרמת ההשקעה של שחקן

≥−1הבא: את אי השוויון ij eg . ברמה זו ישיג שחקןi את התועלת המירבית בהינתן רמת

.)2008(חפץ, j של שחקן jg ההשקעה

ורמת התועלת x –בציר ה igה פרבולה, שאם נבחן אותה על פי נפונקציית התועלת הי

iU בציר ה- y נגלה כי זוהי פונקציה יורדת, ולכן התועלת המקסימלית עבור שחקן ,i

]0,[משום המגבלה ig=0תתקבל כאשר ii eg . לפיכך, פונקציית התגובה המיטבית של ∋

:iשחקן

−≤−−

=אחרת

eggegBR

ijji

ji

0

1)1(2

1

)(

והיא תיראה כך:

ig ie

, ולכן זהו jשל שחקן jgפונקציה זו הינה פונקציה יורדת של רמת ההשקעה כאמור,

)2008(חפץ, אסטרטגייםמשחק של תחליפים

8

(Tullock). תחרויות מסוג טאלוק 4

פעולות גומלין חברתיות וכלכליות, שבהן השחקנים משקיעים משאבים בכדי לזכות

) 1980. טאלוק ((Chowdhury & Sheremeta, 2010) בפרס, מתוארות לעיתים כתחרויות

משותפים, מחקר שהומשך ע"י פירסם את מאמרו בנוגע לסוגי תחרויות בעלות מאפיינים

גומלין –מחקרים אלו בחנו אספקטים שונים של תחרויות שונות, כגון תלות .1חוקרים נוספים

בין זכייה בפרס והשקעת מאמץ בכדי לזכות בו, הערך הסובייקטיבי שכל שחקן מעניק לפרס

פרמטרי הגלישה (ראה נספח א').ו

כי תחרויות, הנראות שונות מבחינת מבנה תוך שימוש במודל מסוג טאלוק, ניתן להראות

(כלומר מבחינת ומבחינה אינטואיטיבית, עשויות להיות שקולות מבחינה אסטרטגית

ומבחינת התמורה שהן מספקות למארגן ,פונקציות התגובה המיטבית של השחקנים)

התחרות. כדי להראות זאת, נשתמש במודל תחרות בין שני שחקנים, כאשר הרווח שכל

שחקן עשוי להשיא מהתחרות הוא פונקציה לינארית, אשר לוקחת בחשבון את גובה הפרס

והמאמץ שכל אחד מהשחקנים השקיע כדי לנסות ולזכות בתחרות. תחת הנחות אלו, נזהה

ת משפחה זהה של פונקציית תגובה יוצרוכאמור אשר (תחרויות שקולות אסטרטגית

, וכתוצאה מכך, גם השקעת מאמצים שקולים מצד השחקנים השונים ותשואה זהה )מיטבית

מניבות ו שונות, השקולות אסטרטגיתלמארגן התחרות. יחד עם זאת, נראה כי תחרויות

במצב תועלת (רווח) שונה לשחקנים השונים תשואה זהה למארגן התחרות, עשויות לספק

של שיווי משקל.

אבחנה זו חשובה במיוחד, ראשית כל, מנקודת ראותו של מארגן התחרות. אם

באפשרותו של המארגן לבחור בין תחרות פשוטה לתחרות מורכבת יותר, הגוזלת יותר

ותר, ובכך משאבים, ותשואתו בשתי התחרויות תהיה זהה, כמובן שיבחר את הפשוטה י

יפחית את עלויות התפעול של התחרות המורכבת יותר. שנית, מארגן תחרות המעונין

כלשהומצב בו ניתן לשפר את מצבו של שחקן - Pareto improvementביעילות פארטו (

), עשוי לייצר תחרות שבה על יעילות פארטו ראה נספח א' .לפגוע בשחקנים האחרים בלי

עלויות התפעול תהיינה זהות, אך המתחרים עשויים לזכות ברווח התשואה שלו תהיה זהה,

.(Chowdhury & Sheremeta, 2010)גדול יותר

כמובן, ייתכן שלמרות השקילות, שני מתחרים עשויים להיות מושפעים באופן שונה על ידי

גורמים כגון שנאת סיכון, שנאת הפסד, או הנאה מזכייה, וכתוצאה מכך, מתחרים שונים

ויים להעדיף תחרות אחת על פני רעותה. עש

1 Lazear and Rosen (1981), Skaperdas (1992), Kaplan et al. (2002) and Baye et al. (2005)

9

חשוב לזכור כי תחרויות מסויימות אינן יכולות להיות מיושמות בשטח בשל אילוצים חוקתיים

לדוגמא,או בשל שיתוף פעולה שאינו חוקי (מעין קרטל), שנוצר בין המתמודדים השונים (

למרות האיסור החוקי על מתאמות מחירים ו מסחריות המתחרות ביניהן בענף מסוים,חברות

)., דבר הפוגע בצרכני הקצהכך

מודל תיאורטי 4.1

פרס עבור הזכייה :שני פרסיםמוגדרים , ובה ,jiניקח למשל תחרות בין שני שחקנים,

אותו מקבל המפסיד בתחרות. שני השחקנים מעריכים ,L"תנחומים" , ופרסW בתחרות,

)את שווי הפרס לזוכה כחיובי 0>W לצורך . L≤0 ואת שווי הפרס למפסיד כחיובי או אפס, (

מפרס ההפסד בתחרות, כלומר גדול ממש, נניח כי פרס הזכייה מתן תמריצים לשחקנים

LW >.

השחקנים משקיעים בו זמנית סכום שאיננו שלילי בכדי להשתתף במשחק, וסכום ההשקעה

-ללזכות בתחרות, מתוארת ע iשחקן לשל הפסד. ההסתברות ש אינו חוזר אליהם במקרה

גובה ההשקעה של השחקן באופן יחסי לסך –הצלחה בהגרלת לוטו, דהיינו הפונקציית ידי

ההשקעה של כל השחקנים:

)1(02/1

0)/(),(

==

≠++=

ji

jijii

jiixxif

xxifxxxxxP

ניצחון או הפסד, גובה ההשקעה שלו ושל הוא פונקציה לינארית התלויה ב iהתשלום לשחקן

היריב:

)2(),(1

),(),(

22

11

−++

++=

xxPxxLבהסתברות

xxPxxWבהסתברותxx

jiiji

jiiji

jii βα

βαπ

21,ααשל שחקן ראה נספח א') - (משתני עלות מייצגים משתני עלותi 21, בעוד,ββ מייצגים

j.2מהמאמץ שמשקיע שחקן iהתועלת שמפיק שחקן דהיינו,, גלישה'ה 'פרמטרי את

),,( - ) כ2( -) ו1את התחרות המוגדרת ע"י ( נגדיר ΩΓ ji כאשר Ω מכילה את ה היא קבוצה

,,,,, ,i כל הפרמטרים המשתתפים בפונקציית התשלום לשחקן 2121 ββααLW=Ω.

2) מייצגות את רוב התחרויות מסוג טאלוק, תוך הנחה כי מדובר במקרה של שני שחקנים 2( -) ו1הפונקציות (

האינטואיציה החיונית לרוב אדישים לסיכון, עם פונקציית זכייה בלוטו. המבנה הלינארי של המודל מספק את

היישומים בחיי היום יום.

10

ידועים לשני ,)1( - יחד עם פונקציית הזכייה המתוארת ב, Ω הכל הפרמטרים בקבוצ

המשתתפים.

),( בשל העובדה שהשחקנים אדישים לסיכון, נקבל כי בגובה השקעה נתון ji xx ,תוחלת

),,( בתחרות iהתשלום לשחקן ΩΓ ji היה:ת

)3()()()),(( 2211 ji

ji

j

ji

ji

i

jii xxLxx

xxxW

xx

xxxE βαβαπ ++

++++

+=

:ix)) לפי 3התשלום (תוחלת מקסימום של פונק'( iפונקציית התגובה המיטבית של שחקן

)4()()()(

1

2

2121

α

ββαα jj

j

BRF

i

xLWxxx

−−−−−+−=

ונקבל: 3נגביל את הפרמטרים ,יחידסימטרי שיווי משקל כדי להשיג

)5()()3( 2121

**

ββαα −−+−−

===LW

xxx ji

-תלויים ב ),5המאמצים המושקעים מצד השחקנים, על פי משוואה (כפי שניתן לראות,

21,αα 21, בהפרש שבין,ββ 4מפסידלמנצח וערך הפרס לוהפער שבין ערך הפרס ,LW −.

ושקילות תשלום שקילות תשואה ,שקילות אסטרטגית 4.2

שקולות בפרק זה נדון בתחרויות שקולות אסטרטגית ותשואתית. כמה מהתחרויות גם

מבחינת התשלום לשחקנים. נגדיר:

אם הן יוצרות אותה משפחה של פונקציות תגובה אסטרטגיתשקולות הן : תחרויות 1הגדרה

מיטבית.

משיאות למארגן התחרות אותה התשואה.אם הן תשואתיתשקולות הן : תחרויות 2הגדרה

תשלום למתחרים.תוחלת האם הן יוצרות אות תשלוםשקולות הן : תחרויות 3הגדרה

ההגבלות הנדרשות על הפרמטרים: 3

0)()5(0)()3(,0,0,0 212121211221 <−−−>−−+−≥−≤< ββααββαααβαα and

4L :) ניתן לגזור את התשלום הצפוי בשיווי משקל5ממשוואה (

LWE +

−−+−−−

=)()3(

))(()(

2121

12*

ββαααβ

π

11

באופן סכמטי, ניתן לתאר הגדרות אלו כך:

ההגדרות לעיל, תחרויות שקולות אסטרטגית המתבסס על בתרשים, כפי שניתן לראות

אין הדבר נכון בהכרח גם להיפך.גוררות שקילות תשואתית למארגן התחרות.

),,(: כל התחרויות השקולות אסטרטגית מסוג טענה ΩΓ ji .הן גם שקולות תשואתית

), שתי תחרויות בעלות אותה פונקציית 4) נגזרת ממשוואה (5: מאחר ומשוואה (הוכחה

), מחוייבות להפגין אותו שיווי משקל שישיא למארגן התחרות אותה 4תגובה מיטבית (

). ברור, לפיכך, שתחרויות המייצרות אותן רמות השקעה במצב שיווי משקל 5תשואה (

מאחר והתשואה היא סכום ההשקעה של כל מייצרות גם אותה תשואה למארגן התחרות,

.(Baron & Myerson, 1982; Moldovanu & Sela, 2001)המתחרים בתחרות

היא דורשת ששקילות אסטרטגית היא תנאי חזק יותר משקילות תשואתית, מאחר

שתחרויות שונות תייצרנה בדיוק אותן פונקציות תגובה מיטבית, ולפיכך, אותן רמות השקעה

ק להשגת שקילות יים. משום כך, שקילות אסטרטגית מהווה תנאי מספמצד המתחר

תשואתית. קיום תחרויות שקולות תשואתית אינו דבר קל ליישום, מאחר ונדרש קודם כל,

שקילות אסטרטגית, לעומת זאת, ניתן לקבל על ידי השגת להשיג שיווי משקל בתחרות.

לשיווי משקל. פונקציות התגובה המיטבית בלבד, בלי צורך להגיע

: תיאור סכמטי של שקילויות בין תחרויות4.1איור

12

על ידי ,ששתי תחרויות תהיינה שקולות תשואתית ,לומרלסכם ולאור האמור לעיל, ניתן

.5השוואה של פונקציות התגובה המיטבית המתקבלות מתחרויות אלו

הגדרת שקילות אסטרטגית לא גוררת שקילות תשלום למתחרים. תחרות מסויימת עשויה

לייצר תשלום גבוה יותר עבור השחקנים בהשוואה לתחרות אחרת השקולה לה אסטרטגית,

.Ωהנכללים בקבוצה ββ,21,αα,21משום השוני בין הפרמטרים

המורכב בתהליך לתחרות כלשהי, מוצע לנקוט שקולות אסטרטגיתה ,בבואנו למצוא תחרויות

משני שלבים:

ראשית, גוזרים את פונקציית התגובה המיטבית מהפונקציה הראשונית שבידינו.

שנית, מפונקציית התגובה המיטבית שגזרנו מסיקים את ההגבלות הנדרשות עבור משפחה

צרות אותן פונקציות תגובה מיטבית. כללית של תחרויות המיי

.ל בהדגמה של תחרות טאלוק המקוריתנתחי

תחרות טאלוק המקורית 4.3

, ישנו רק פרס לזוכה, ושני 1980בתחרות המקורית, כפי שהוגדרה על ידי טאלוק בשנת

, ללא תלות בתוצאת התחרות מבחינתםהמתחרים משלמים את מחיר ההשתתפות בתחרות

(All-pay auction) . ,0,1,0במקרה זה, פרס הזכייה הינו חיובי 2121 ==−==> ββααW .

במקרה של ניצחון או הפסד יהיה: iהתשלום לשחקן

)6(),(1

),(),(

−−

−=

xxPxבהסתברות

xxPxWבהסתברותxx

jiii

jiii

jiiπ

תהיה iבתחרות כזו, פונקציית התגובה המיטבית לשחקן

)7(jji Wxxx +−=

),,,,,,,( לייצר תחרות כלליתכדי 2121 ββααLWjiΓ שתהיה שקולה לתחרות הנ"ל

)0,0,1,1,0,,,( −−Γ Wji :יש לכפות את ההגבלות הבאות

1,1, 2121 =−−−==− αββαWLW

5חשוב להדגיש כי תחרויות המייצרות אותה תשואה למארגן התחרות לא בהכרח 'גוזלות' מהמתחרים אותו

שקילות אסטרטגית תמיד גוררת שקילות לכןמאמץ. זה עשוי לקרות כאשר קיימים מספר שיווי משקל.

תשואתית, אך להיפך אין הדבר נכון תמיד.

13

) זהה לחלוטין לזו 4הגבלות אלו מבטיחות לנו כי פונקציית התגובה המיטבית (משוואה

. אסטרטגית פי ההגדרה, התחרויות שקולות ). בזאת ניתן לומר כי על7המופיעה במשוואה (

ראה Rent – Seeking* )Rent-Seekingשקילות זו מכילה בתוכה עובדה ידועה היטב במונחי

ה או הקטנה, באותה המידה, הן של הפרס לזוכה והן של הפרס , הטוענת כי הגדל)נספח א'

, לא משפיעה על שיווי המשקל. למפסיד

שיהיה , ופרס לזוכהL=∆לפיכך, אם נגדיר תחרות המציעה פרס למפסיד, שהינו חיובי

∆+=WW 0,0,1,1(, כאשר,,,,( −−∆∆+Γ Wjiנקבל כי פונקציית התגובה המיטבית ,

בתחרות טאלוק המקורית.לאלו שורמת ההשקעה של המתחרים בשיווי המשקל יהיו זהים

0,1,0מקרה מעניין מתגלה כאשר מטילים מגבלות נוספות: 221 ==−== βαβL

),,,0,1,0,1,0(בתחרות זו, שבה −−Γ Wji :פונקציית התשלום למתחרים תהיה

)8(),(10

),(),(

−

−−=

xxPבהסתברות

xxPxxWבהסתברותxx

jii

jiiji

jiiπ

), הזוכה מממן את הוצאות המפסיד, כך שהמפסיד לא משלם את 8במקרה כזה (משוואה

לתחרויות יחידשיווי משקל עלות ההשתתפות בתחרות. ניתן להראות בקלות כי קיים

) שהינו 8( -) ו6המוגדרות במשוואות (4

** Wxx ji עבור המתחרים. סימטריוהוא ==

יתרה מזאת, התשלום שכל מתחרה מצפה לו זהה בשתי התחרויות, והינו 4

)(* WE =π .

) שקולות אסטרטגית ומבחינת תשלום למתחרים. אבחנה זו 8( -) ו6מכאן ששתי התחרויות, (

) 6מפתיעה, בהתחשב בעובדה שהתחרויות שונות אינטואיטיבית ובמבנה שלהן. במשוואה (

את עלות ההשתתפות בתחרות. לעומת ,ולא מקבל בחזרה יד, משלםהזוכה, כמו המפס

), רק הזוכה משלם את עלות ההשתתפות של כל המתחרים.8זאת, במשוואה (

, (Chowdhury & Sheremeta, 2009)קל להראות, כי תחרות המכילה 'פרמטרי גלישה'

ולהיפך, שקולה iמשפיעים באופן חלקי על שחקן jשבה המאמצים המושקעים ע"י שחקן

),,,1,1,0,,( -לתחרות טאלוק המקורית. תחרות 'גלישה' מוגדרת כ ββ−−Γ Wji כאשר

)1,1(−∈β ) ניתן להסיק שעבור כל ערך של 4הם פרמטרי הגלישה. ממשוואה ,(β ,

). 7פונקציית התגובה המיטבית שנקבל תהיה זהה לזו שנקבל במשוואה (

),,,1,1,0,,(לפיכך, תחרות המכילה 'פרמטרי גלישה' ββ−−Γ Wji היא מקרה כללי של

),,,0,0,1,1,0(תחרות טאלוק המקורית, שצורתה −−Γ Wji תוצאה זו מעלה השערה, שאם .

βββסימטריים ( βמירוץ לפיתוח פטנטים מנוהל כתחרות לוטו, אזי ערכי == לא יגרמו )21

לשינוי בערכי שיווי המשקל.

14

),,,1,1,0,,(לעומת זאת, תחרות המכילה 'פרמטרי גלישה' ββ−−Γ Wji אינה שקולת

יניבו תשלום גבוה יותר למתחרים, β -תשלום לתחרות טאלוק המקורית. ערכים חיוביים ל

.יניבו תשלום נמוך יותר β - המקורית, בעוד ערכים שליליים ללעומת תחרות טאלוק

תחרויות מסוג טאלוקגרסאות של 4.4

לעיתים בתשלומים שונים לשחקנים בתחרויות מסוג טאלוק, במטרה כלכלנים משתמשים

מעניין לגלות .)Chowdhury & Sheremeta, 2011( לענות על שאלת מחקר מסויימת

שכמה מהמקרים המתוארים בספרות שקולים זה לזה, על אף שהתחרויות עצמן שונות זו

מזו.

Chung )1996(, יוצא מנקודת הנחה כי הוא .ממניעים פנימייםמתאר תחרות המושפעת

להלן פונקצית ערך פרס הזכייה תלוי בסך המאמץ שהושקע בתחרות על ידי כל המתחרים.

התשלום עבור גרסה ליניארית פשוטה של מודל זה:

)9(),(1

),()(),(

−−

−++=

xxPxבהסתברות

xxPxxxaWבהסתברותxx

jiii

jiiiji

jiiπ

) כתחרות9במונחי המודל הכללי שהצגנו, ניתן לתאר את משוואה (

)0,,1,1,0,,,( aaWji −−Γ 1,0(כאשר(∈a:פונקציית התגובה המיטבית תהיה .

)10()1/( aWxxx jji −+−=

חקרו מודל . השנייםLee & Kang (1998)מודל נוסף של תחרות מסוג טאלוק נחקר על ידי

שלהם, עלות ההשתתפות של כל מתחרה יורדת במודלהשפעות חיצוניות. של תחרות עם

עולה. פונקציית התשלום תהיה, במקרה זה:המאמץ של כלל המתחרים סך ככל ש

)11(),(1)(

),()(),(

−++−

++−=

xxPxxbxבהסתברות

xxPxxbxWבהסתברותxx

jiijii

jiijii

jiiπ

),,,1,1,0,,() בצורה 11לפיכך, ניתן לתאר את משוואה ( bbbbWji −−Γ 1,0(כאשר(∈b

ופונקציית התגובה המיטבית תהיה

)12()1/( bWxxx jji −+−=

baברור שכאשר ) והמאמצים שישקיעו 12( - ) ו10פונקציות התגובה המיטבית (, =

המתחרים במצב שיווי משקל בשתי התחרויות יהיו זהים. דבר זה מצביע על כך, שתחרויות

ותחרויות עם נובעת ממניעים פנימיים (ללא השפעות חיצוניות),בהן הערכת שווי הפרס

15

יש להדגיש כי למרות השקילות השפעות חיצוניות, עשויות להיות שקולות אלו לאלו.

תוחלת התשלום שינבע - האסטרטגית, שתי התחרויות הנ"ל לא שקולות תשלום. לדוגמא

' יעילות פרטו'( *), ובכך יספק מדד9) גבוה מזה שיקבלו במשוואה (11למתחרים במשוואה (

ברור לדירוג התחרויות מבחינת העדפות המתחרים השונים. ראה נספח א')

באופן כזה, מארגן תחרות המעונין למקסם את הרווחה של כלל המשתתפים בתחרות, יעדיף

לתמרץ את המתחרים כך שיפיקו תועלת גבוהה יותר בעבור אותה רמת מאמץ. לדוגמא,

ממשלה המעוניינת להגדיל את רווחת תושבי המדינה.

& Gan) נחקרה ומודלה על ידי limited liabilityתחרות נוספת מסוג "אחריות מוגבלת" (

Skaperdas (1995) שבה התועלת שמפיק המפסיד בתחרות, אינה תלויה בגובה ההוצאה ,

שהשקיע כדי להשתתף בה. החוקרים מביאים כדוגמא יזם הלווה כסף למטרת מו"פ, ובשל

אי הוודאות הכרוכה במו"פ, אין היזם מחוייב לפרוע את ההלוואה במקרה של כשלון בתהליך

המו"פ. במקרה שכזה, היזם מכריז על פשיטת רגל, והמממן שהשקיע ביזם את כספו מפסיד

את השקעתו.

),,,0,0,0,1,0( , והיא מהצורהW<0 בהבתחרות זו, −Γ Wji פונקציית התשלום למתחרים

תהיה:

)13(),(10

),(),(

−

−=

xxPבהסתברות

xxPxWבהסתברותxx

jii

jiii

jiiπ

ופונקציית התגובה המיטבית תהיה:

)14(2

jjji Wxxxx ++−=

בשיווי משקל סימטרי, נקבל 3

** Wxx ji == .

תחרות זו אינה מושפעת מהעדפות הסיכון של המתחרה, כך שהיא עשויה להתאים

למתחרים אוהבי סיכון, אדישים לו או שונאי סיכון.

),,,0,0,0,1,0(כדי לייצר תחרות שתהיה שקולה לתחרות שצורתה −Γ Wji עלינו לדרוש כי ,

0,1,0יחולו המגבלות הבאות: 2121 =−−−== αββαL

1,0,1אם נוסיף גם את המגבלות הבאות, ליצירת מקרה פרטי, 212 −==−= αββ נקבל

תחרות שבה פונקציית התשלום למתחרים היא:

)15(),(1

),(),(

−−−

−=

xxPxxבהסתברות

xxPxWבהסתברותxx

jiiji

jiii

jiiπ

full"אחריות מלאה" () יכולה להתפרש כתחרות מסוג 15תחרות בצורה הזו (משוואה

liability) בתחרות זו, המתחרה שמפסיד 13), להבדיל מהתחרות המתוארת במשוואה .(

16

. יש 6בתחרות מחוייב לשלם את עלות ההשתתפות בתחרות שלו ושל המתחרים הנוספים

), הרי שקיים הבדל ברמת הסיכון. 15( -) ו13התחרויות (להדגיש, כי למרות השקילות בין

הגדרתה מסוכנת יותר במקרה של הפסד. משום כך, ניתן יות מלאה" מעצם תחרות "אחר

תחת הנחה כי מדובר במתחרים אדישים לסיכון. אך ורקלומר כי התחרויות שקולות

Alexeev & Leitzel (1996) , צמצום משאבים"בתחרות ביצעו מחקר" )rent

shrinking( ,שצורתה)0,1,1,1,0,,,( −−−Γ Wji בה ערך הפרס למנצח בתחרות הולך וקטן ,

כדי לייצר תחרות שקולה, יש לדרוש כי יחולו המגבלות . עולהככל שסך השקעות המתחרים

2,1הבאות: 2121 =−−−= αββα"תחרות מסוג "הזוכה העצלן . )lazy winner( שצורתה ,

)0,0,2,1,0,,,( −−Γ Wji הוגדרה על ידיChowdhury & Sheremeta (2009) שבה ,

11העלות השולית של הזכייה ( −=α) 22) נמוכה יותר מהעלות השולית של ההפסד −=α,(

) הן שקולות rent shrinking -ו lazy winnerאילוצים אלו, ולכן שתי תחרויות אלו (עונה על

אסטרטגית. בנוסף, שתי התחרויות הנ"ל שקולות תשלום למתחרים, ושקולות תשואה

למארגן התחרות. במקרה זה, יכול האחרון להשיג שיווי משקל זהה ע"י תחרויות שונות,

בבזבוז משאבים ,ככל הנראה ,קלה יותר ליישום וכרוכה lazy winnerכאשר תחרות מסוג

פחת.(תפעול התחרויות) מו

מארגני תחרות, כגון ממשלות, יכולות במקרים רבים ליישם תחרות מסויימת בעזרת כלי

מדיניות שונים. בשיטה אותה הדגמנו כאן, ניתן להראות שתחת הגבלות מסויימות, תחרויות

עם הערכת שווי פרס פנימית (ללא השפעות מבחוץ), תחרויות עם מיסים ותחרויות בעלות

עשויות להיות תחרויות שקולות. לכן ממשלות יכולות להשיג את אותה מבנה עלויות הפרשי,

מאחר ששלושת סוגי התחרויות הנ"ל אינם שקולי תשלום, מטרה באמצעים שונים. בנוסף,

, עשוי להשיג החברתיתמארגן התחרות, כגון הממשלה, במטרה למקסם את הרווחה

תשלום תוך מבנה את של לשנות "יעילות פרטו" על ידי בחירה במבנה תחרות מסויים (למ

להגדיל את רווחת התושבים, מבלי לפגוע בתשואה למדינה). כדי הקטנת המיסים, ובכך

עם משלימיםתחרויות 4.5

Skaperdas )1992(, תחרות היוצרת קשר משלים בין הפרסים בתחרות ועלות תיאר

, Garfinkel & Skaperdas (2000) . במאמר המשך שכתב עם עמיתו,ההשתתפות בה

ji, יש תקציב מוגבל ,ji, בתחרות כזו, לשני המתחרים תיארו את פרטי התחרות. EE ,

6*)(0רים בתחרות "אחריות מלאה" היא כתוצאה מכך, תוחלת התשלום שלו מצפים המתח =πE

בעוד תוחלת התשלום בתחרות מסוג "אחריות מוגבלת" גבוהה יותר, ועומדת על 3

)(* WE =π

17

בהתאמה. המתחרה שזוכה בתחרות זוכה בסך המשאבים העומדים לרשות השחקנים,

jiji, מהם בניכוי ההשקעה של כל אחד xxEE −−+.

)1()1,0( מניחים גם שהעימות בין המתחרים גורע אחוז מהתשלום הסופי, המסומןאנו ∈Φ−.

לתחרות שכזו היא מלחמה בין שתי מדינות, בה המדינה המנצחת כובשת את וגמא טובהד

המפסידה. במלחמה כזו, כל מדינה משקיעה מאמצים כדי להילחם ברעותה, מאמצים

), חיילים פגיעה בכלכלת המשקהמתבטאים, למשל, בצורך במימון כלכלי (נשק, משכורות,

המנצחת כובשת את שטחה של המדינה המקריבים את חייהם למען הניצחון, ועוד. המדינה

סך התמורה (כולל תושביה).המפסידה, ומספחת אליה את כל משאביה של המפסידה

שתהיה בידי המדינה המנצחת היא סך המשאבים העומדים לרשות כל אחת מהמדינות לפני

המלחמה, בניכוי המשאבים שהושקעו לצורך קיום המלחמה. בכדי לייצר תחרות שכזו,

),(,0ההגבלות הבאות: את נדרוש 2211 ===Φ−==+Φ= αββα LEEW ji.

פונקציית התשלום במקרה זה תהיה:

)16(),(10

),()()(),(

−

−Φ+−Φ=

xxPבהסתברות

xxPxExEבהסתברותxx

jii

jiijjii

jiiπ

),,),(0,,,0,0(פונקציית התגובה המיטבית בתחרות שצורתה Φ−Φ−+ΦΓ ji EEji :תהיה

)17()( jjiji xEExx ++−=

שהמשאבים העומדים לרשות המתחרים עשויים להיות שונים, המאמצים שיבחר אף על פי

כל מתחרה להשקיע בתחרות בשיווי משקל יהיו זהים, 4

** ji

ji

EExx

+יש להדגיש כי .==

אלא רק במשאבים העומדים ,Φ - ב אינה תלויהמידת המאמצים המושקעים בתחרות

לרשות המתחרים.

כדי לייצר תחרות שקולה לתחרות זו, נדרוש את ההגבלות הבאות:

Φ=−−Φ−=+=− 2121 ,, αββαji EELW,אם נכפה הגבלה נוספת .

0,,, 212 ==Φ=Φ−=Φ= αββji ELEW נקבל מקרה פרטי מעניין, שבו התחרות ,

),,,,,0,0,(היא מהצורה ΦΦ−Φ−ΦΓ ji EEji :ופונקציית התשלום למתחרים תהיה

)18(),(1)(

),()(),(

−−Φ−

−Φ=

xxPxEבהסתברות

xxPxEבהסתברותxx

jiijj

jiiii

jiiπ

משום (אדמה חרוכה), ,"harmful residualכזו ניתנת לפירוש כתחרות מסוג "תחרות

בעוד המפסיד משלם את מה שנשאר לו ממשאביו, ערך השייר של היא למנצח שהתמורה

18

-) ו18במשוואות ( התחרויות המתוארות ערך השייר של מה שנשאר ליריב ממשאבי היריב.

) שקולות אסטרטגית, למרות השוני באופיין. 16(

גם התשלום למתחרים מקיים שקילות בין תחרויות אלו, והוא 4

)()(* ji EE

E+Φ

=π.

19

. סיכום5

בעבודה זו הגדרנו תחרויות שקולות אסטרטגית כתחרויות המייצרות אותה משפחה של

הראנו כי תחרויות שקולות אסטרטגית הן גם תחרויות השקולות פונקציית תגובה מיטבית.

מבחינת התועלת שמפיק מארגן התחרות.

בנוהל בכדי לזהות תחרויות השקולות אסטרטגית לתחרות טאלוק המקורית, יש לנקוט

המורכב משני צעדים. שימוש בנוהל זה גם מאפשר לייצר תחרויות רבות השקולות

אסטרטגית לתחרות המקורית, כפי שטבע אותה טאלוק. ממצא זה חשוב משום שהוא מדגים

שניתן להשתמש בתחרויות שונות כדי להשיג מטרה זהה, ובידי מארגן התחרות הכוח לקבוע

., וליצור עדיפות לתחרות זו או אחרתקוליו ומטרתואיזו תחרות תתנהל, בהתאם לשי

כי יתכן מצב, שבו שתי תחרויות שקולות אסטרטגית אך אינן שקולות תשלום. גם ראנוה

בכדי שהשקילות בין התחרויות אכן תתקיים, יש לדרוש שתנאים מסויימים יתקיימו.

ההנחות עליהן מתבססות התוצאות שמראה המאמר הן אלו:

חק שני שחקניםמדובר במש .1

שההסתברות לזכות בתחרות זהה התחרויות הן מסוג טאלוק. בפרט, אנו מניחים .2

, להסתברות לזכות בלוטוji

i

jixx

xxxP

+הסיכוי של מתחרה לזכות –כלומר , ),(=

בה השקעתו להשקעה של כלל המתחרים.הוא היחס שבין גו

) ההשתתפות (עם המקדמים costליניארית בעלות (הינה πפונקצית התשלום .3

21,αα 21), ובאפקט הגלישה (עם המקדמים,ββ הנחת ליניאריות זו של המודל .(

כמובן, אך מניבה אינטואיציה לרוב היישומים ,מהווה פישוט מסוים של המציאות

בשטח.

)risk neutralityהשחקנים אדישים לסיכון ( .4

שקילות אותה קיבלנו תחת אם אחד או יותר מהתנאים הללו לא יתקיים, ייתכן כי לא נקבל

למשל אם מדובר ביותר משני שחקנים, או בשחקנים שאינם אדישים לסיכון (כפי .הנחות אלו

שקורה במקרים רבים), ניתן לצפות לשינויים בתוצאות השקילות שהוצגו במאמר. לעיתים

אינה מהסוג המתואר בתחרויות מסוג טאלוק. pלדון במודל בו פונקצית ההצלחה נרצה גם

),(,1 בתחרות היתה כללית יותר, ההצלחהאם פונקציית למשל ≠+

= rxx

xxxP

r

j

r

i

r

i

ji ,

כמה מתוצאות השקילות המתוארות עלולות היו שלא להתקיים עוד. כמו כן ישנם יישומים

20

) באופן לא payoff) משפיעות על התשלום (spillover) והגלישה (costמעשיים בהם העלות (

ליניארי.

מושג השקילות הוא רלוונטי גם למקרים הללו, החורגים מההנחות למרות האמור לעיל,

שני הצעדים ליצירת פונקציות שקולות עשוי לסייע במציאת תנאים של המאמר. תהליך

עלויות ועם זוכים, מתחרים שונאי סיכון, mשתתפים, עם מ nשקולים לתחרויות שונות, עם

גלישה שאינם פונקציה לינארית. - ופרמטרי

21

. דיון6

תחום הכלכלה משתמש בתורת המשחקים ככר דשא לניסויים בפסיכולוגיה הנוגעת

תחרות בסיסית, לערוך בה שינויים לתחומים כלכליים. כלכלנים נוהגים לקחת פונקציית

בפרמטרים, ולבחון את הממצאים, אשר עשויים בעזרת שינוי קל בפרמטרים השונים להשיא

תוצאות שונות לגמרי. בעזרת שינויים אלו ניתן לבחון אפקטים שונים בתחרויות שונות אך

בתנאים שקולות זו לזו, כגון שנאת סיכון בתחרויות מסוג מסוים. ניתן גם להראות ש

מסויימים, מתקיים הפתגם התנכי "הנבואה ניתנה לשוטים", וכי נראה שנגד כל הסיכויים, מי

דוג דווקא יוצא מהתחרות כשידו על העליונה.- שנתפס כאנדר

האם בתנאים יםהבודק יםלתכנן ניסוי החוקרים מסייעת בידי העבודה המתוארת במאמר

שנאת סיכון, שנאת הפסד או הנאה למשל,, מסוימים מתקבלות תחרויות שקולות, והאם

מניצחון מהווים גורם חשוב בהשגת שקילות כזו. לדוגמא, בתחרויות "אחריות מלאה"

ו"אחריות מוגבלת", המאמר הראה כאמור כי מקבלים שקילות אך ורק תחת ההנחה

ון שהמתחרים אדישים לסיכון. בניסויי מעבדה שנערכו התברר שרוב האנשים דוקא שונאי סיכ

)Holt & Laury, 2002 ולפיכך, נצפה כי תחרות "אחריות מוגבלת" תניב למארגן התחרות ,(

תועלת גדולה יותר מתחרות "אחריות מלאה".

דוגמא נוספת לתחרות, השקולה לתחרות טאלוק המקורית ניתן למצוא בתחרות שצורתה

)1,1,1,1,0,,,( −−−−Γ Wji :ופונקציית התשלום למתחרים תהיה

)19(),(1

),(),(

−−−

−−=

xxPxxבהסתברות

xxPxxWבהסתברותxx

jiiji

jiiji

jiiπ

משקיעים סכומי כסף במירוץ דוגמא לתחרות כזו הם פריימריז במפלגה. שני המועמדים

לראשות המפלגה, כסף המגיע מקופת המפלגה. המתמודד שניצח במירוץ זוכה בפרס

משום שזהו ), אך גם המנצח וגם המפסיד ניזוקים מהוצאות המירוץ, W צחון (ערכו שליהנ

כסף שהוציאה המפלגה, כסף השייך לכולם, ומשום השתייכותם למפלגה הוצאות המפלגה

פוגעות גם בהם.

לעיתים מתקיימת שקילות תשואתית שקילות אסט' קשרראינו בעבודה זו שקיים ה

שאלה מעניינת למחקר, תהיה לבדוק האם מתקיימת גרירה בכיוון ההפוך: שקילות תשלום.

האם שקילות תשלום גוררת שקילות אסטרטגית, (ולכן גם תשואתית).

מעניין למחקר עשוי להיות הגמשת תנאי הסימטריה המופיע לכל אורך המאמר;נוסף כיוון

ור שני השחקנים, ניתן עב אינן סימטריותגם כאשר פונקציות התשלום האם יהיה לבדוק

להגדיר את תנאי השקילות בין התחרויות.

22

יבליוגרפיה. ב7

• Alexeev, M., & Leitzel, J. (1996), “Rent Shrinking,” Southern

Economic Journal, 62, pp. 620-626

• Baron, D., & Myerson, R. (1982), “Regulating a Monopolist with

Unknown Costs,” Econometrica, 50, pp. 911-30

• Chowdhury, Subhasish M., & Sheremeta, Roman M. (2011), “A

Generalized Tullock Contest,” Public Choice, 147, pp. 413–420

• Chowdhury, Subhasish M., & Sheremeta, Roman M. (2009), “A

Generalized Tullock Contest and the Existence of Multiple Equilibria,”

University of East Anglia, CBESS Discussion Paper 09-08,

http://www.uea.ac.uk/ssf/cbess/working_papers/Chowdhury+and+Sher

emeta+(2009b)?mode=print

• Chowdhury, Subhasish M., & Sheremeta, Roman M. (2010), “The

Equivalence of Contests,”

• Chung, T.Y. (1996), ”Rent-Seeking Contest When The Prize Increases

With Aggregate Efforts,” Public Choice, 87, pp. 55-66

• Garfinkel, M.R., & Skaperdas, S. (2000), “Conflict Without

Misperceptions or Incomplete Information - How The Future Matters,”

Journal of Conflict Resolution, 44, pp. 793-807

• Holt, Charles A., & Laury, Susan K. (2002), “Risk Aversion and

Incentive Effects,” American Economic Review, Vol. 92 Issue 5, pp.

1644-1655

23

• Lee, S., & Kang, J. (1998), “Collective Contests With Externalities,”

European Journal of Political Economy, 14, pp. 727– 738

• Moldovanu, B., & Sela, A. (2001), “The Optimal Allocation of Prizes in

Contests,” American Economic Review, 91, pp. 542-558

• Skaperdas, S. (1992), “Cooperation, Conflict, and Power in the

Absence of Property Rights,” American Economic Review, 82, pp.

720-739

• Skaperdas, S., & Gan, L. (1995), “Risk Aversion in Contests,”

Economic Journal, 105, pp. 951-962

• Tullock, G. (1980), “Efficient Rent Seeking,” In James M. Buchanan,

Robert D. Tollison & Gordon Tullock, (Eds.), Toward a theory of the

rent-seeking society (College Station: Texas A&M University Press),

pp. 97-112

• Zeira, Joseph (2011), “Innovations, Patent Races and Endogenous

Growth,” J Econ Growth, 16, pp. 135–156

תורת המשחקים ושימושיה בכלכלה –), "חשיבה אסטרטגית 2008חפץ, אביעד ( •

10599ובניהול," האוניברסיטה הפתוחה, קורס

24

נספח א': הגדרות

של השוליות העלויותהשפעת את מייצגיםההם פרמטרי העלות, 2α -ו 1α :עלות משתני

.בהתאמה, המתחרה עצמו על התשלום של השחקן המנצח או מפסיד

המייצגים את השפעת מאמץ היריב על פרמטרי הגלישה, הם 2β -ו 1β: גלישה –פרמטרי

לדוגמה, תוחלת התשלום למנצח . המנצח או מפסיד, בהתאמה שחקןההתשלום של

)( היהת, W בתחרות שפרס הניצחון בה הוא 11 ji

ji

i xxWxx

xβα ++

+ פרס הניצחון לשחקן.

i יהיה W ,1. יריבו השתתפותושל , השתתפותו השולי של אפקטהצירוף בβ2 -וβ עשויים

המנצח ניזוק השחקן, לעיל 8להיות חיובי או שלילי. אם הוא שלילי, למשל כמו במשוואה

שיתוף פעולה או קונפליקטכול ליצור . מארגן התחרות ימשקיע יותר ושל שהיריבמכך

יכיל בתוכו iבמקרה של הפסד, התשלום הצפוי לשחקן .2β -ו 1βבהתאם לסימניהם של

בניכוי עלות ההשתתפות ובתוספת הפער השלילי שנוצר בינו לבין את ערך ההפסד בעיניו,

יריבו, לטובת היריב.

seeking-Rent :שבה מחולקת 'עוגה' בגודל קבוע, זוהי כמות המשאבים בתחרות

המושקעים ע"י משתתף בתחרות בכדי להגדיל את הנתח שיזכה בו ובכך להגדיל את

. המתחרה רואה את טובתו על חשבון המתחרים האחרים הזכאים לנתח מהעוגה ,תועלתו

כולם במקום לנסות וליצור עוגה גדולה יותר, שממנההאישית ומתעלם מטובת הכלל, ו

עשויים להרוויח יותר הוא מנסה לגזול יותר לעצמו. בכלכלה המודרנית ניתן לראות זאת

ההחלטות כדי להיטיב עם המגזר אותו הם בתופעת הלוביסטים, אשר פועלים אצל מקבלי

מייצגים, על חשבון מגזרים אחרים. גם מונופולים שומרים על כוחם ומונעים תחרות תוך

כלכלי, משום מניעת תחרות, וכאשר נוצר - הפעלת כוח פוליטי ופגיעה באינטרס הציבורי

המשאבים יה.קיפוח של אוכלוסיות מסויימות, גדל הפער החברתי ומורגש תסכול באוכלוס

המושקעים על ידי המתחרים מתבטאים במימון, מאמצים שיווקיים, הון אנושי ועוד.

בהינתן מצב כלשהו בו מחולק משאב בין שחקנים שונים, כל שינוי שייעשה : יעילות פרטו

מכונה שיפור וישפר את מצבו של שחקן כלשהו מבלי לגרוע ממצבם של שחקנים אחרים,

פרטו. אם כל שינוי מוביל להטבת מצבו של שחקן מסוים, אך בו זמנית להרעת מצבו של

היא מצב שבו לא ניתן יותר יעילות פרטויעיל פרטו. -שחקן אחר, הרי שלפנינו מצב בלתי

לבצע שינויים שישפרו את מצבו של שחקן כלשהו.

25

המירוץ לפיתוח פטנטיםנספח ב':

מירוץ לפיתוח פטנטים מוגדר כמירוץ הנערך בו זמנית בין מספר קבוצות (חברות),

חקר ופיתוח פטנט. הקבוצה הראשונה שתרשום לזכותה את –המנסות להשיג יעד זהה

הפטנט תזכה בזכויות ההגנה על הפטנט ותהנה מהתמלוגים המגיעים על השימוש בפטנט.

אחת מהן תרשום את הפטנט, וכל המשאבים שאר הקבוצות תיאלצנה לפרוש מהמירוץ כש

.(Zeira, 2011)שהשקיעו במירוץ להשגת הפטנט יירדו לטימיון.

. כל חברה משקיעה סכום כסף מסויים בעלויות המחקר חברות nנניח כי קיימות

לזכות בזכויות (ולהגיע ראשונה iוהפיתוח. על פי מודל טאלוק הבסיסי, הסיכוי של חברה

לפטנט) הוא n

i

xxx

x

+++ ...21

החברה בוחרת והוא מייצג את הסכום ש ix≤0 כאשר,

והוא מבטא את ערך הפטנט בעבור החברה המפתחת. vשווי הפטנט יסומן באות להשקיע.

הרווח הצפוי לחברה שתזכה במירוץ לפטנטים, יהיה, אם כך,

i

n

ini x

xxx

Vxxxu −

+++=

...),...(

21

המחובר הראשון הוא הסיכוי לזכות בפטנט, מוכפל . 1

ר השני, המייצג את הוצאות הפיתוח בשווי הפטנט בעיני החברה המפתחת, בניכוי המחוב

). 2008(חפץ,

ים, משום שככל שהיריב יקטין את תחרות זו היא למעשה קונפליקט בין המתחרים השונ

השקעתו בפיתוח הפטנט, כך יגדל הסיכוי של השחקנים האחרים לזכות. לכן, כל מתחרה

יעדיף שהיריב ימתן את השקעתו במשחק. ניתן להסיק מכאן, כי ככל שגובה ההשקעה

במירוץ הולך ועולה, כדאיות ההשתתפות של המתחרים השונים הולכת ויורדת, משום

מציאות סביבנו כי בענפים בהם קיימות בסיכוי לזכות במירוץ. לכן, ניתן לראות בהירידה

חברות רבות המתחרות על אותו השוק, נמצא השקעה מועטה במו"פ, ולהיפך. ככל שמספר

המתחרים קטן יותר, החברות בענף ישקיעו יותר במו"פ, במטרה לזכות ולמקסם את

מספר המתחרים קטן, והן ע"י בעלות על הפטנט רווחיהם, הן ע"י השקעה נמוכה יותר כאשר

והכנסות מתמלוגים.

26

נספח ג': מצגת לסיכום המאמר

Some basic terms

• 2-player contest Γ(i, j, Ω=W, L, α1, α2, β1, β2)

– i, j are the players

– W, L, α1, α2, β1, β2 is the parameter space

• W > L ≥ 0 are the winning/losing prizes

• α1, α2 are the cost parameters

Reflects the effect of own effort xi on payoff πi

• β1, β2 are the spillover parameters

Reflects the effect of rival’s effort xj on payoff πi

Some basic terms (cont’d)

• Lottery contest success function:

• Payoff function:

• Expected Payoff:

==

≠++=

02/1

0)/(),(

ji

jijii

jiixxif

xxifxxxxxP

−++

++=

),(1.

),(.),(

22

11

jiiji

jiiji

jiixxPprobwithxxL

xxPprobwithxxWxx

βα

βαπ

)()()),(( 2211 ji

ji

j

ji

ji

ijii xxL

xx

xxxW

xx

xxxE βαβαπ ++

++++

+=

27

Some basic terms (cont’d)

• Expected Payoff:

maximize with respect to xi :

• BRF:

enforce symmetric equilibrium (xi*= xj

*) + some restrictions on parameters:

• Equilibrium efforts:

)()()),(( 2211 ji

ji

j

ji

ji

ijii xxL

xx

xxxW

xx

xxxE βαβαπ ++

++++

+=

1

2

2121 )()()(

α

ββαα jj

j

BRF

i

xLWxxx

−−−−−+−=

)()3( 2121

**

ββαα −−+−−

==LW

xx ji

Main theme of the paper

• Different contests may be equivalent in some aspects:

– Strategically

same family of BRF

– Revenue

same revenue

– Payoff

same expected payoffs )),(( jii xxE π

BRF

ix

∑ *

ix

28

Relation between equivalences

Payoff same expected payoffs

Strategically same family of BRF

Revenue same revenue ( )

definition

definition

Xdefinition

Same BRF

Same xi* ‘s

Same Σxi*

∑ *

ix

* In some cases, strategically eq. contests may be payoff eq., but not necessarily.

In such cases, Pareto improvements can be considered

*

Algorithm for Finding equivalences

Given a contest, to find strategically (also revenue)

equivalent contests:

Step1

Express BRF for the contest

Step2

Derive restrictions on parameters, which generate

the same BRF

29

Tullock contest

• W, L, α1, α2, β1, β2 =

W, 0, -1 , -1, 0, 0

• Payoff function

• BRF:

• When is a contest strategically equivalent to W,0,-1,-1,0,0?

−−

−=

),(1.

),(.),(

jiii

jiii

jiixxPprobwithx

xxPprobwithxWxxπ

jji Wxxx +−=

30

Equivalence to Tullock contest

Some interesting cases of Tullock W,0,-1,-1,0,0 equivalence:

• W+∆, ∆ , -1, -1, 0, 0

Conclusion: the same Δ in the winning and losing prize

does not effect equilibrium

• W, 0 , -1, 0, -1, 0 that is winner reimburses loser:

Both strategically and payoff eq. (payoff )

. ( , )( , )

0 . 1 ( , )

i j i i j

i i j

i i j

W x x w ith p ro b P x xx x

w ith p ro b P x xπ

− −=

−

( ) / 4i

E Wπ =

Equivalence to Tullock contest (cont’d)

Some interesting cases of Tullock W,0,-1,-1,0,0 equivalence:

• “Input spillover”: W, 0, -1, -1, β, β β∈(-1,1)

- Chowdhury & Sheremeta (2009)

- Conclusion: symmetric spillovers do not effect equilibrium

- Not payoff equivalent: β>0 payoff > Tullock

β<0 payoff < Tullock

31

Modified Tullock-Type contestsSome interesting cases of Tullock-typed equivalences:

Endogenous prizes

W, 0, a-1, -1, a, 0 a∈(0,1)

( )i j i

i

i

W a x x x w in n e r

x lo s e rπ

+ + −= −

/(1 )BRF

i j jx x Wx a= − + −

Contest with externalities

W, 0, b-1, b-1, b, b b∈(0,1)

( )

( )

i i j

i

i i j

W x b x x w in n e r

x b x x lo s erπ

− + += − + +

/(1 )BRF

i j jx x Wx b= − + −

≡if

a=b

Chang (1996) Lee and Kang (1998)

But payoff:

<Pareto improvements!

Modified Tullock-Type contests (cont’d)

Some interesting cases of Tullock-typed equivalences:

Limited liability (e.g. R&D)

W, 0, -1, 0, 0, 0

Full liability contest

W, 0, -1, -1, 0, -1

the same⇐

≡if

risk

neutral

Skaperdas and Gan (1995)

But payoff:

W/3 > 0 (risky!)

Pareto improvements!

0

i

i

W x w in n e r

lo s e rπ

−=

2BRF

i j j jx x x Wx= − + +

( , )i

i i j

i j

W x w in e rx x

x x lo se rπ

−= − −

32

Modified Tullock-Type contests (cont’d)

Some interesting cases of Tullock-typed equivalences:

Rent-shrinking

W, 0, -1, -1, -1, 0

• Winning prize decreases by

total effort

Lazy winner

W, 0, -1, -2, 0, 0

• Marginal cost of winning <

marginal cost of losing:

α1=-1 < α2=-2

≡

Alexeev and Leitzel (1996)

Also payoff

≡

Chowdhury and Sheremeta (2009)

But easier to

implement

Contests with complementarities

War

ϕ(Ei-xi), 0, -ϕ, -ϕ, 0, 0

Harmful residual

ϕEi, -ϕEj 0, -ϕ, 0, 0, ϕ

≡

Skaperdas (1992), Garfinkel and Skaperdas (2000)

Also payoff

≡

( ) ( )

0

i i j j

i

E x E x w in er

lo serπ

Φ − + Φ −=

( )BRF

i j i j jx x E E x= − + +

( )

( )

i i

i

j j

E x w in e r

E x lo se rπ

Φ −= − Φ −

the same⇐

33

Conditions for equivalenceThe contests shown assume these conditions:

1. Two-player contest

2. Lottery success function:

3. Linear cost and spillover

4. Risk neutrality

When relaxing these conditions

(e.g. risk aversion, , ),

equivalences shown may not hold.

( , ) ii j

i j

xP x x

x x=

+

1,),( ≠+

= rxx

xxxP

r

j

r

i

r

i

ji

...i j

x xα β+ +

2...i j

x xα β+ +