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Índice de OF�� (4º ESO)

Índice

I. Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fraccionarios). - Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

II. Efectuar operaciones con potencias y raíces de números racionales. - Con cualquier número de paréntesis. - Incluir exponentes negativos y fraccionarios. - Introducir y extraer factores de una raíz.

III. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas. - Operaciones combinadas con polinomios (cualquier número de paréntesis). - División de polinomios. Caso particular: Ruffini. - Factorizar polinomios. - Simplificar fracciones algebraicas. - Operaciones combinadas con fracciones algebraicas (hasta dos niveles de pa-

réntesis y castillos de un nivel). IV. Resolver ecuaciones.

- Racionales. - Irracionales. - De grado superior a 2: bicuadradas y factorizables.

V. Resolver sistemas de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. - Con denominadores enteros. - Con dos niveles de paréntesis.

VI. Aplicar el lenguaje algebraico a la resolución de problemas. - Ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales de 2 ecuaciones con

2 incógnitas. VII. Derivar funciones simples y compuestas.

Colegio Los Robles Equipo Técnico de Matemáticas

Resumen de

OF�

Matemáticas BAC (Borrador, IX-2017)

Objetivo Enunciado

I Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fracciona-rios)

- Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

Resumen teórico: Cuando nos encontramos ante una secuencia compleja de operaciones, conviene ir haciéndolas “de dentro afuera”, empezar por las operaciones más pequeñas. En concreto:

1º) Realizar las operaciones contenidas en el interior de los paréntesis. Al hacerlo debemos respetar el CJO: primero se realizan las potencias, después los productos y cocientes (de izquierda a derecha) y, por último, las sumas y restas (indistintamente).

2º) Si esos paréntesis están afectados por algún exponente, a continuación se calcula la po-tencia correspondiente;

3º) Quitar los paréntesis, cambiando el signo de su contenido si van precedidos de un signo negativo;

4º) Repetir los pasos anteriores con los corchetes, llaves, etc... Además: cada vez que realicemos una operación, antes de seguir operando, comprobaremos si se pueden simplificar las fracciones resultantes.

Ejemplo I.1

Operación Comentarios

3

22 1

2

9

1

3

3

4

3 2

÷ − − − + ÷ ×

=

−

( )

Empezamos realizando la operación contenida dentro del segundo paréntesis. Aplicando el CJO realizamos en primer lugar el cociente (cuyo resultado simplificamos) y después el producto.

= ÷ − − − + ×

=

= ÷ − − − +

=

−

−

3

22 1

2

3

3

4

3

22 1

1

2

3 2

3 2

( )

( )

Seguimos operando dentro del paréntesis: realizamos la suma. (Fíjate que el primer paréntesis está puesto sólo para proteger el signo negativo del -2, por lo que no hay que realizar operaciones dentro de él).

= ÷ − − −

=

−

3

22

1

2

3 2

( )

Según el CJO ahora hemos de efectuar la potencia que afecta al paréntesis: como la base es negativa y el expo-nente impar, el resultado será negativo.

= ÷ − − −

=

−3

22

1

8

2

( )

Una vez terminada completamente la operación que había dentro del paréntesis, procedemos a quitarlo: co-mo está precedido de un signo negativo, cambiamos el signo de la fracción.

= ÷ − +

=

−3

22

1

8

2

( )

Realizamos la operación contenida dentro del corchete: según el CJO, hacemos primero el cociente y después la suma.

= − +

=

− +

= −

=

− − −3

4

1

8

6 1

8

5

8

2 2 2

Por último, invertimos los términos de la fracción para dejar positivo el exponente y calculamos la potencia: al ser la base negativa y el exponente par, el resultado es positivo.

−

=

8

5

64

25

2

Como la fracción obtenida no se puede simplificar, éste es el resultado final.

Caso particular (objetivo I): Expresiones con castillos. Resumen teórico:

• Si en una fracción el numerador, el deno-minador (o ambos) está a su vez formado

por otra(s) fracción(es) resulta una expresión a la que denominamos “castillo”:

�

2

33

5

; 16

11

;

4

97

• Su valor se halla sin más que transformarlo en un cociente de fracciones, como se muestra a continuación:

Ejemplo I.2 a) 9

103352

53

32

5332

=⋅

⋅=÷= ; b)

611

6111

116

1

1161

=⋅

=÷= ; c) 634

7914

794

794

=⋅

⋅=÷=

• Si observas atentamente los ejemplos anteriores, verás que cualquier castillo se puede convertir en una fracción

ordinaria haciendo la siguiente transformación, que acorta un poco el cálculo:

• Al escribir expresiones con castillos hay que ser muy cuidadosos para distinguir bien cuál es la raya de fracción principal y cuáles las secundarias: la principal siempre se escribe a la altura del signo igual y es algo más larga que las secundarias. • Puede ocurrir que en el numerador o en el denominador de un castillo, haya a su vez otros castillos. En ese caso, se van deshaciendo paso a paso, empezando por los más pequeños.

Ejemplo I.3


=

65943752

Empezamos deshaciendo los dos castillos más peque-ños, los situados por encima y debajo de la raya principal (la más larga)

==

⋅

⋅⋅

⋅

=

4524356

95645732

Ahora deshacemos este último castillo obtenido

289

7491

3524456

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

Antes de multiplicar los factores resultantes de deshacer el castillo, hemos simplificado los factores comunes al numerado y denominador.

a�d b�c

=

a b

c d

Ejemplo I.4


=

−

+−

−

−1

2

351

121

1

21

1

Como conviene empezar por lo más sencillo (la opera-ción más pequeña posible), hacemos en primer lugar: - la resta que hay en el primer numerador; y - la suma dentro del paréntesis del primer denomina-

dor.

=

−

−

−1

2

351

23

1

21

Ahora el CJO nos obliga a elevar al cuadrado la fracción del primer denominador; pero, a la vez, podemos des-hacer el castillo del segundo término del corchete, ya que esta operación es independiente de la anterior.

=

−

−

−1

53

49

1

21

La operación más pequeña ahora es la resta del primer denominador.

=

−−

=

−−

−− 11

53

45

21

53

494

21

Es el momento de deshacer el castillo dentro del corche-te

=

−−=

−

⋅−

⋅=

−− 11

53

104

53

2541

Antes de seguir operando simplificamos la primera frac-ción.

=

−−=

−1

53

52

Hacemos la resta dentro del corchete.

[ ] =−=

−=

−

−

1

1

155

Aplicamos la regla para operar con potencias de expo-nente negativo y concluimos.

[ ] 111

1 1

1

−=−=

−=

Objetivo Enunciado

III.c Efectuar operaciones con expresiones algebraicas: factorizar polinomios.

Resumen teórico: A la hora de factorizar un polinomio hay varios procedimientos posibles, que han de ensayarse sucesivamente en cada caso. Expuestos en orden creciente de dificultad son:

1º) Extracción de factor común 2º) Productos notables (cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados) 3º) Aplicación del teorema del resto (o de Ruffini)

Cuando un polinomio se pueda factorizar por el primer procedimiento es un error de estrategia tratar de hacerlo por el 2º ó el 3º, pues es más laborioso. Lo mismo pasa si es posible hacerlo por el 2º procedimiento: renunciar al 3º.

Ejemplo III.1 (extracción de factor común)


=−− 4232 xaxax En los tres términos del polinomio aparece el factor “x2”

( )222 xaxax −−=

Ejemplo III.2 (extracción de f.c.)


=+−− 324254332 yx6xzy18zyx6yx24 En los cuatro términos del polinomio aparece el factor “6x2y3”

)1zyx3xyz4(yx6 22232 +−−= Observa que en el tercer término hemos ordenado alfabéticamente los factores literales

Ejemplo III.3 (doble extracción de f.c.)


=−+− aybyaxbx

En ocasiones no hay un f.c. a todos los términos del polinomio, pero sí hay f.c. parciales, y en un proceso de doble extracción se acaba factorizando todo el polinomio

=−+− )ab(y)ab(x =+− )yx()ab(

Ejemplo III.4: Productos notables (suma por diferencia)


=− 24 x16y36

Si el polinomio tiene dos términos cabe la posibilidad de que sea una diferencia de cuadrados, para lo que hemos de comprobar si ambos términos son cuadra-dos perfectos:

• 224 )y6(y36 →

• 22 )x4(x16 →

Y entonces se factoriza en el producto de “suma por diferencia”

( ) ( )x4y6x4y6 22 −+=

Ejemplo III.5: Productos notables (cuadrado de un binomio)


=+−16y9

5xy3

25x4 22

Si un polinomio tiene tres términos, debemos com-probar si dos de ellos son cuadrados perfectos y si el doble producto de esos dos es igual al tercer término

• 22

5x2

25x4

→

• 22

4y3

16y9

→

• 5xy3

20xy12

4y3

5x2

2 ==⋅⋅

Cuando, cómo en este caso, se dan las tres condicio-nes estamos ante el desarrollo del cuadrado de un binomio, lo que nos permite factorizarlo así:

2

4y3

5x2

−=

Ejemplo III.6: aplicación del teorema del resto (o de Ruffini)


=+−+− 2x3x7x5x 234

Como no tiene f.c. ni 2 ó 3 términos, acudi-mos al teorema de Ruffini. Empezamos por buscar raíces entre los divisores de su térmi-no independiente.

023751)1(p ≠+−+−=

023751)1(p ≠++++=− 026284016)2(p =+−+−= �

026284016)2(p ≠++++=−

Por tanto “2” es el único cero (o raíz) de p(x), por lo que éste será divisible entre (x – 2). Dividimos para determinar el cociente:

01131

22622

23751

−−

−−

−−

Con lo que la factorización buscada es:

( ) ( )2x1xx3x 23 −−+−= Y aunque uno de los factores es de tercer grado, al carecer de raíces enteras ya no podemos factorizarlo más.

Ejemplo III.7: Ruffini (polinomio que tiene tantas raíces como su grado)


=+−− 4x4xx 23

Tras comprobar que no tiene f.c. ni es un p.n. buscamos raíces entre los divisores de “4”:

04411)1(p =+−−= � 04411)1(p ≠++−−=−

04848)2(p =+−−= � 04848)2(p =++−−=− �

Cuando, como en este caso, el número de raíces coincide con el grado del polinomio, la factoriza-ción no requiere más cálculos:

)2x()2x()1x( +−−=

Ejemplo III.8: Ruffini (polinomio con varias raíces pero menos que su grado)


=++− 2xx5x2 23

Tras comprobar que no tiene f.c. ni es un p.n. buscamos raíces entre los divisores de “2”:

02152)1(p =++−= � 02152)1(p ≠++−−=− 0222016)2(p =++−= �

0222016)2(p ≠+−−−=−

Como en este caso no tenemos tantas raíces como el grado del polinomio, hemos de hacer la división de Ruffini para obtener el polinomio co-ciente:

12

242

0232

2321

2152

−−

−−

−

Y ahora ya podemos escribir la factorización

)1x2()2x()1x( +−−=

Ejemplo III.9: Ruffini (polinomio con raíces fraccionarias)


=+−−− 4x6x64x30 23 Empezamos por sacar f.c.: -2.

=−++−= )2x3x32x15(2 23 Ahora buscamos raíces entre los divisores del tér. ind.

0233215)1(p ≠−++= 0233215)1(p ≠−−+−=− 026128120)2(p ≠−++=

026128120)2(p =−−+−=− �

Como sólo tenemos una raíz y el polinomio es de tercer grado, hemos de hacer la división de Ruffini para obtener el cociente:

01215

24302

233215

−

−−−

−

Con el polinomio cociente resultante, podemos escribir la factorización:

=−++−= )1x2x15()2x(2 2 Y ahora hallamos las posibles raíces del factor de 2º grado resolviendo la correspondiente ecuación:

01x2x15 2 =−+

3/1

5/1

3082

152

)1(15442x

−=

±−=

⋅

−⋅⋅−±−= Con lo que la factorización completa es:

( ) ( )3/1x5/1x)2x(2 +−+−=

Objetivo Enunciado

III.d Efectuar operaciones con expresiones algebraicas: simplificación de fracciones algebraicas.

Resumen teórico: Para simplificar una fracción algebraica se deben seguir siguientes pasos: 1º) Factorizar al máximo su numerador y denominador 2º) Eliminar los factores que se repitan ambos términos

Ejemplo III.10


=−−

−

6xx9x

2

2

Empezamos factorizando: - numerador: es un producto notable; - denominador: al ser un polinomio de 2º grado hallamos sus raíces resolviendo la correspondiente ecuación de 2º grado

• Numerador: )3x()3x(9x2 −+=− • Denominador:

=

−==−−

3x

2x(...);06xx

1

12

)3x()2x(6xx2 −+=−−⇒

Ahora escribimos la fracción con sus términos fac-torizados y eliminamos los que se repiten arriba y abajo:

)2x()3x(

)3x()2x()3x()3x(

+

+=

−+

−+=

Ejemplo III.11


=−

−

x4x542x27

3

2

Antes de empezar a operar conviene fijarse para tratar de descubrir situaciones que nos pueden “ahorrar traba-jo”. Por ejemplo, en esta fracción no es necesario factorizar el numerador, pues ese polinomio aparece como factor al sacar factor común en el denominador.

• Denominador: )2x17(x2x4x54 23 −=−

Con lo que ya se puede hacer la simplificación sin más cálculos:

x21

)2x27(x22x27

2

2

=−

−=

Ejemplo III.12


=+−−

−−+

x36x12x9x318x9x2x

234

23

Para factorizar el numerador hemos de buscar una raíz entre los divisores de 18 (las otras dos posibles raíces, las busca-remos resolviendo la ecuación 2º grado con el polinomio de obtenido como cocien-te).

• Numerador: ;0)2(p;0)2(p;0)1(p;0)1(p =−≠≠−≠

0901

18022

18921

−

−−

−−

=−+=−−+⇒ )9x()2x(18x9x2x 223

)3x()3x()2x( −++=

- Como el cociente obtenido ( 9x2 − ) re-sultó ser una diferencia de cuadrados, no fue necesario resolver la ecuación de 2º grado para factorizarlo.

- En el denominador: empezamos extra-

yendo factor común “3x”,

• Denominador: )12x4x3x(x3x36x12x9x3 23234 +−−=+−−

- Ahora buscamos una raíz entre los divi-sores de 12.

;0)2(p;0)1(p;0)1(p =≠−≠

0611

12222

12431

−−

−

−−

)6xx()2x(x3x36x12x9x3 2234 −−−=+−−⇒

- Y resolvemos la ecuación de 2º grado correspondiente al cociente resultante

2

3

12)6(1411

x;06xx2

−=

⋅

−⋅⋅−±==−−

)2x()3x()2x(x3x36x12x9x3 234 +−−=+−−⇒

Con lo que ya tenemos factorizados nu-merador y denominador:

)2x(x33x

)2x()3x()2x(x3)3x()3x()2x(

−

+=

+−−

−++=

Objetivo Enunciado

III.e Efectuar operaciones combinadas con fracciones algebraicas.

- Hasta dos niveles de paréntesis. - Incluyendo expresiones con castillos de un nivel.

• Recordemos para empezar cómo se suman y restan fracciones algebraicas. Resumen teórico: Para sumar/restar una serie de fracciones algebraicas seguiremos este procedimiento: 1º) Reducir las fracciones a común denominador, para lo que debemos:

1.1) Factorizar al máximo sus denominadores 1.2) Hallar el m.c.m. (factores comunes y no comunes con el mayor exponente) 1.3) Poner como denominador común el m.c.m. hallado 1.4) Hallar los nuevos numeradores. Para ello en cada fracción dividimos el m.c.m. entre

su denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 2º) Sumar/restar los nuevos numeradores.

Ejemplo III.13


=+−

−+

−+

−

+2

x1

xx1x1

x1x1

2

2

Empezamos factorizando los denomina-dores para hallar su m.c.m.

)x1()x1(.m.c.m

)x1()x1(x1

x1

x1

2

−+=⇒

−+=−

+

−

Éste será el nuevo denominador. Ahora procedemos a hallar el nuevo numera-dor de cada fracción:

)x1()x1(?

−+

• 1ª fracción:

x2x1)x1()x1()x1()x1(x1

)x1()x1( 22 ++=+=++=+⋅−

−+

• 2ª fracción:

x2x1)x1()x1()x1()x1(x1

)x1()x1( 22 −+=−=−−=−⋅+

−+

• 3ª fracción: 222 xx1x

)x1()x1()x1()x1(

=⋅=⋅+−

−+

Observa que dividimos el m.c.m. entre cada denominador en su forma factori-zada (la que obtuvimos al hallar el m.c.m. en el paso anterior)

• 4ª fracción: 22 x222)x1(2)x1()x1(2

1)x1()x1(

−=−=−+=⋅−+

Con lo que la fracción resultante de la suma es:

)x1()x1()x22()x()x2x1()x2x1( 2222

−+

−−−−++++ Ahora operamos en el numerador sim-

plificando el polinomio resultante.

=−+

=−+

+−−−++++

)x1()x1(x3

)x1()x1(x22xx2x1x2x1 222222

2

2

x1x3

−=

• Y ahora veamos cómo proceder cuando tenemos una secuencia de operaciones combinadas. Resumen teórico: Cuando nos encontramos ante una secuencia compleja de operaciones, conviene ir haciéndo-las “de dentro afuera”, empezar por las operaciones más pequeñas. En concreto:

1º) Realizar las operaciones contenidas en el interior de los paréntesis. Al hacerlo debemos respetar el CJO: primero se realizan las potencias, después los productos y cocientes (de izquierda a derecha) y, por último las sumas y restas (indistintamente).

2º) Si esos paréntesis están afectados por algún exponente, a continuación se calcula la po-tencia correspondiente;

3º) Quitar los paréntesis, cambiando el signo de su contenido si van precedidos de un signo negativo;

4º) Repetir los pasos anteriores con los corchetes, llaves, etc... Además: cada vez que realicemos una operación, antes de seguir operando, comprobaremos si se pueden simplificar las fracciones resultantes.

Ejemplo III.14


=

+÷

+

+

−

xy

yx

1xyxxy

2

22

Si nos fijamos, antes de empezar a operar, descubriremos que la 1ª frac-ción se puede simplificar, lo que resulta muy conveniente para que sean más fáciles los cálculos posteriores

+÷

+

−=

+÷

+

+

−+=

xy

yx

1x

)xy(xy

yx

1)yx(x

)xy()xy(

Ahora operamos dentro de cada parén-tesis: - En el 1º) el m.c.m. de los denom. es “x”; y en el 2º) “x·y”

=

⋅+

⋅÷

⋅+

−⋅=

xyyy

xyxx

x1x

x)xy(1

=+

÷+−

=

+÷

+

−=

xyyx

xxxy

xyy

xyx

xx

xxy 2222

=+

÷=xy

yxxy 22

Y, por último, realizamos la división y simplificamos la fracción resultante

22

2

22

2

22 yxy

)yx(xxy

)yx(xxyy

+=

+=

+

⋅=

Ejemplo III.15


=

−

−+

−

32

1xx

x

2x

En los castillos debemos empezar también por “lo más sencillo” (la operación más pequeña de todas las posibles. En este caso será la suma que aparece en el numerador

=

−

−−=

−

−

+−

−=

321x

x

2x

321x

xxx

2x

22

Ahora la operación más sencilla es deshacer el castillo (ponemos el signo negativo que hay delante del “2/3” en el “2” del numerador):

=−⋅−

−=−⋅−

⋅−=

)1x(2x3

2x

)1x(23x

2x 22

Y ahora hacemos la resta resultante (el m.c.m.

de los denominadores es: )1x(2 −⋅− )

=−⋅−

⋅−⋅−−=

)1x(2)x3(1x)1x( 2

Operamos en el numerador y simplificamos (no conviene operar en el denominador para no deshacer la factorización existente)

)1x(2xx4

)1x(2x3xx 222

−⋅−

+−=

−⋅−

−+−= Por último, factorizamos numerador para tratar

de simplificar la fracción

)1x(2)1x4(x

)1x(21)1x4(x1

)1x(2)1x4(x

−

−=

−⋅⋅−

−⋅−=

−⋅−

−−=

Objetivo Enunciado

IV.a Resolver ecuaciones racionales.

Recordatorio: Pasos a dar para resolver una ecuación ordinaria.

Ejemplo IV.1


+−−=

−−−

25

x31

41

43x2

41

2x

45

Primero hemos de quitar los paréntesis. Para ello empezamos por las operaciones más pequeñas posibles: la resta y la suma que hay dentro de los dos paréntesis.

+−−=

−−−

25x2

31

41

312x2

41

2x

45

Ahora multiplicamos el contenido de cada paréntesis por su coeficiente fraccionario (sería un e.g. restar antes “1/4” a “x/2” y/o efectuar “-1/4-1/3”).

65x2

41

1212x2

2x

45 +

−−=

−−−

Antes de seguir operando, observamos que se puede simplificar la segunda fracción que hay dentro del corchete.

65x2

41

62)6x(2

2x

45 +

−−=

⋅

−−− ;

65x2

41

66x

2x

45 +

−−=

−−−

Para acabar de quitar “paréntesis”, multipli-camos el corchete del primer miembro por su coeficiente.

65x2

41

24)6x(5

8x5 +

−−=−

+−

Ahora procedemos a quitar denominadores: hallamos el m.c.m. de los denominadores y multiplicamos por él los dos miembros de la ecuación.

m.c.m. (8, 24, 4, 6) = 24.

)5x2(6

241

424

)6x(52424

x5824

+⋅−⋅−=−⋅+⋅− Simplificamos las fracciones y continuamos del modo habitual.

)5x2(416)6x(51x53 +⋅−⋅−=−⋅+⋅−

20x86)6x(5x15 −−−=−+−

26x830x5x15 −−=−+−

3026x8x5x15 +−=++−

4x2 =−

22

4x −=

−=

Comprobación:

+−−−=

−

−⋅−

−−

25

231

41

43

)2(241

22

45

+−−−=

−

−−−−

254

31

41

434

41

145

−−=

−−−−−

21

31

41

3124

41

145

61

41

316

41

145

−−=

−−−− ;

1223

34

145 −−

=

+−−

125

343

45 −

=

+−− ;

125

31

45

−=

− ;

125

125

−=−

Resumen teórico: En una ecuación racional (con denominadores algebraicos), suele compensar empezar por quitar los denominadores, para lo que:

1º) se calcula el m.c.m. de todos los denominadores que aparezcan en la ecuación; 2º) se multiplican los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. y se simplifican las expre-

siones resultantes.

Ejemplo IV.2


x24

x1

xx2x3

2 +−=

+ Calculamos el m.c.m. de los denominadores:

)x2(x.m.c.m

x2

x

)x2(xxx2 2

+=⇒

+

+=+

Ahora multiplicamos por él los dos miembros de la ecuación

+−+=

++

x24

x1

)x2(xxx2

x3)x2(x

2

x24

)x2(xx1

)x2(x)x2(x

x3)x2(x

++−+=

++

Pero estos productos también se pueden es-cribir como se muestra en el siguiente paso (observa que -para facilitar la operación que haremos a continuación- escribimos los deno-minadores en su forma factorizada)

4x2

)x2(xx

)x2(xx3

)x2(x)x2(x

⋅+

+−

+=⋅

+

+

Si ahora simplificamos las fracciones obtene-mos números enteros, con lo que desaparecen los denominadores

4x)x2(x31 ⋅−+=⋅ Y, a partir de aquí, continuamos la resolución por el procedimiento que ya conocemos.

x4x2x3 −+= 2x6 =

31

x =

Comprobación:

31

2

4

311

91

31

2

31

3

+

−=

+⋅

⋅

374

3

91

32

1−=

+

; 7

123

971

−= ; 79

79

=

Cuando el numerador de alguna fracción tenga más de un término, es muy importante escribir entre paréntesis esos numeradores a fin de no olvidarse de:

• multiplicar el m.c.m. por todos los términos de esos numeradores, • cambiar el signo de esos términos si delante de la fracción había un signo menos.

Estos dos errores son muy frecuentes. Tenlo presente para tratar de evitarlos.

Ejemplo IV.3


2x3xx8x4

1xx54

2x4x3

2

2

−+−

−=

−

−−

−

−

Calculamos el m.c.m. de los de-nominadores:

2

1

)1(2)2()1(493

x;02x3x2 =−⋅

−⋅−⋅−±−==−+−

)1x()2x()1(.m.c.m

)2x()1x(12x3x

1x

2x

2

−−−=⇒

−−⋅−=−+−

−

−

Ahora multiplicamos por él los dos miembros de la ecuación

=−⋅−

−−−−−⋅

−

−−−)x54(

1x)1x()2x()1(

)4x3(2x

)1x()2x()1(

)1x()2x()1()x8x4()1x()2x()1( 2

−−−

−−−−=

Simplificamos las fracciones para que desaparezcan los denomina-dores

2x8x4)x54()2x()1()4x3()1x()1( −=−⋅−−−−⋅−− Y seguimos de la forma habitual 2x8x4)x54()2x()4x3()x1( −=−⋅−+−⋅− 222 x8x4x108x5x4x4x34x3 −=+−−++−− 22 x8x412x21x8 −=−+−

12x17 = ; 1712

x =

Omitimos la comprobación por ser bastante larga la operación correspondiente.

Objetivo Enunciado

IV.b Resolver ecuaciones irracionales.

Resumen teórico: Para resolver una ecuación irracional sencilla conviene:

1º) despejar la raíz: 1º) elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación; 3º) proseguir resolviendo por el procedimiento habitual la ecuación resultante. 4º) Hacer la comprobación (este paso es obligatorio y no solo conveniente, como en otro

tipo de ecuaciones)

Ejemplo IV.4


x251x63 =−+ Empezamos despejando el término que incluye la raíz:

5x21x63 +=+ Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

( ) ( )22

5x21x63 +=+

x2025x4)1x6(9 2 ++=+

- Observa que para elevar al cuadrado el segundo miembro tuvimos que aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio - Ahora proseguimos de la forma habitual

x2025x49x54 2 ++=+ 016x34x4 2 =+− 018x17x2 2 =+−

2/1

8

41517

22182428917

x =±

=⋅

⋅⋅−±=

Por último debemos realizar la compro-bación de ambas soluciones

• ;165493;8251863:8xSi =−⋅=−+⋅= 1616;16521 ==− �

• ;1543;21

25121

63:2/1xSi =−⋅=−+⋅=

11;156 ==− �

Con lo que en este caso resulta que las dos soluciones obtenidas son válidas

• Si la ecuación tuviese más de una raíz, habría que repetir el procedimiento descrito tantas veces como raíces hubiese. En el ejemplo siguiente se muestra cómo proceder con un caso de dos raíces:

Ejemplo IV.5


x12

13x2−=

++− Empezamos quitando denominadores

x1213x2 −=++− Ahora despejamos la raíz del primer miembro

1x123x2 −−=+− Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación

( ) ( )22

1x123x2 −−=+−

x141)x1(43x2 −−+−=+−

- Ahora ya tenemos una sola raíz. -Volvemos a empezar: dejamos sola la

raíz en un miembro, trasponiendo y reduciendo términos semejantes.

x141x443x2 −−+−=+−

x141x443x2 −−=−+−+−

x142x2 −−=−

x121x −−=−

Ahora volvemos a elevar los dos miem-bros al cuadrado, para eliminar esta se-gunda raíz

( ) ( )22 x121x −−=−

)x1(4x21x2 −=−+

x44x21x2 −=−+

03x2x2 =−+

3

1

242

12)3(1442

x−

=±−

=⋅

−⋅⋅−±−=

Ahora debemos comprobar si las “solu-ciones” obtenidas son correctas

• 01;02

11;11

2132

:1xSi ≠=+

−=++−

=

• 22;42

13;31

2136

:3xSi ==+

+=++

−= �

En este caso sólo tenemos una solución válida: x = 1.

Objetivo Enunciado

IV.c Resolver ecuaciones de grado superior a 2:

- Bicuadradas - Factorizables

Resumen teórico: Sólo podremos resolver las ecuaciones de grado superior en dos casos: si son bicuadradas o si se pueden factorizar en factores de primer y/o segundo grado. IV.c.1 Ecuaciones bicuadradas (las de la forma 0cbxax 24 =++ ). Se resuelven:

1º) Haciendo el cambio de variable: zx2 = (y, por tanto, 24 zx = ). 2º) Resolviendo la correspondiente ecuación de 2º grado resultante (con lo que hallaremos

el valor de “z”) 3º) Deshaciendo el cambio de variable.

Ejemplo IV.6


[ ]I09x10x 24 =+−

- Es una ec. bicuadrada pues solo tiene los términos de cuarto y segundo gra-do.

- Hacemos en cambio de variable: Si: zx2 = [ ]II ⇒ 24 zx =

Sustituyendo en [ ]I :

[ ]I09z10z2 =+−

Resolvemos la ecuación de 2º grado

1

9

2810

1291410010

z =±

=⋅

⋅⋅−±= - Deshacemos el cambio de variable

(para hallar el valor de “x”)

Sustituyendo en [ ]II :

• 39x;9x9z:Si 2 ±===⇒=

• 11x;1x1z:Si 2 ±===⇒=

Por tanto tenemos cuatro soluciones para la ecuación:

;1x;1x;3x;3x 4321 −==−== • Un procedimiento análogo puede emplearse para las llamadas ecuaciones bicúbicas ( 0cbxax 36 =++ ) y, en general, para todas las de la forma: 0cbxax nn2 =++ . IV.c.2 Ecuaciones factorizables:

Cuando el primer miembro de una ecuación -cuyo segundo miembro sea nulo- se puede des-componer en un producto de factores de grados 1º y/ó 2º, las soluciones de la ecuación inicial se hallan encontrando las raíces de cada uno de los factores obtenidos. Para resolver este tipo de ecuaciones es imprescindible dominar los procedimientos de factori-zación de polinomios (OF� III.c)

Ejemplo IV.7


[ ]I018x9x2x 23 =−−+ - Empezamos buscando raíces entre los

divisores de “-18”. 018921)1(p ≠−−+=

018921)1(p ≠−++−=− 0181888)2(p ≠−−+=

0181888)2(p =−++−=− �

Esta raíz (-2) ya nos permite factorizar la ecuación en un factor de primer grado y otro de segundo:

0901

18022

18921

−

−−

−−

Con lo que [ ]I se convierte en:

[ ]II0)9x()2x( 2 =−+

Ahora bien: si el producto de dos factores vale 0, puede ser porque o bien el 1º es nulo o bien lo es el 2º. Por tanto, podemos desdoblar la Ec. [ ]II del siguiente modo:

=−

=+⇒=−+

09x

02x0)9x()2x(:Si

2

2 Y ahora resolvemos cada una de las ecua-ciones resultantes (que ya son de grado

2≤ )

±==−

−==+

3x;09x

2x;02x2

Con lo que la ecuación inicial tiene tres so-luciones

3x;2x;3x 321 =−=−=

Ejemplo IV.8


[ ]I02x3x12x7x6 234 =++−− Empezamos buscando raíces entre los di-visores de “2”.

0231276)1(p ≠++−−= 0231276)1(p =+−−+=− �

026485696)2(p =++−−= �

Como el polinomio inicial es de 4º grado, con estas dos raíces ya podemos obtener un factor de 2º grado, por lo que procede-mos a factorizar por Ruffini.

0116

22122

021136

211361

231276

−−

−−

−

−−−−

−−

Con lo que podemos transformar la Ec. [ ]I en:

0)1xx6()2x()1x( 2 =−−−+

Y ahora igualamos a 0 cada uno de los factores resul-tantes y resolvemos las ecuaciones correspondientes (observa que las dos primeras -lógicamente- generan como soluciones las dos raíces que ya conocíamos)

• Si: 1x;01x −==+

• Si: 2x;02x ==−

• Si: ;01xx6 2 =−−

3/1

2/1

1251

62)1(6411

x−

=±

=⋅

−⋅⋅−±=

Por tanto tenemos cuatro soluciones para la ecuación:

;31

x;21

x;2x;1x 4321 −===−=

Objetivo Enunciado

VII Derivar funciones:

- a. Simples - b. Compuestas

Resumen teórico: Fórmulas para derivar funciones:

Incluir tabla VII.a Funciones simples: Una vez que sabemos bien la tabla de las derivadas, para derivar correctamente funciones simples hay que entender bien en qué orden han de derivarse las di-ferentes operaciones. La regla es: aplicar en orden inverso lo que el C.J.O. y los paréntesis indiquen: se deriva primero la operación que realizaríamos en último lugar. Los siguientes ejemplos aclaran el asunto:

Ejemplo VII.a.1


Deriva: Lxxsenx)x(f 4 −⋅=

- En esta función hay dos operaciones: un producto y una resta.

- Según el CJO deberíamos efectuar primero el producto y después la resta.

- Pues para derivar procedemos en orden inverso: deriva-mos primero la resta y luego el producto.

( ) ( )′−′

⋅=′ Lxxsenx)x(f 4

- Ahora: la primera derivada es la derivada de un producto (le aplicamos la fórmula correspondiente); y la segunda ya es la derivada de una función simple (no de una opera-ción).

( ) ( ) =−′

⋅+⋅′

=′x1

xsenxxsenx)x(f 44

( ) =−−⋅+⋅=x1

xcosxxsenx4 43 - Y, para terminar, simplificamos el resultado.

x1

xcosxxsenx4)x(f 43 −⋅−⋅=′

Ejemplo VII.a.2


Deriva:

x3

excos

x)x(g +=

- En esta función hay dos operaciones: una suma y un cociente.

- Según el CJO deberíamos efectuar primero el cociente y después la suma.

- Pues para derivar procedemos en orden inverso: deriva-mos primero la suma y luego el cociente.

( )′

+

′=′

x3

excos

x)x(g

- Ahora: la primera derivada es la derivada es la derivada de una función potencial (no de una operación), y la se-gunda es la derivada de un cociente (una operación). Aplicamos las fórmulas correspondientes a cada una.

( ) ( )( )

=

′⋅−⋅

′

+=′2x

xx2

e

excosexcosx3)x(g

=⋅−⋅−

+=x2

xx2

eexcosexsen

x3

- Y, para terminar, simplificamos el resultado.

( )=

+−=

x2

x2

excosxsene

x3

x2

excosxsen

x3+

−=

Ejemplo VII.a.3


Deriva: ( )23x x3xe)x(i −=

- En este caso el paréntesis nos obligaría a realizar la resta antes que el producto.

- Como hemos de proceder en orden inverso: deri-vamos primero el producto:

( ) ( ) ( ) =′

−+−′

=′ 23x23x x3xex3xe)x(i - La primera derivada resultante ya es de una fun-

ción y en la segunda derivamos la resta.

( ) ( ) ( ) =

′−

′+−= 23x23x x3xex3xe - Realizamos las dos últimas derivadas resultantes y

simplificamos el resultado:

( ) [ ]=−+−= x6x3ex3xe 2x23x

( ) =−+−= x6x3x3xe 223x

( )x6xe 3x −=

- En este caso no efectuamos la operación del nu-merador, pues no conduciría a una simplificación significativa del mismo.

Ejemplo VII.a.4


Deriva:

x112x

)x(hx

+

−=

- En esta función hay CUATRO operaciones: un producto, una resta, un cociente y una suma.

- Según el CJO y el carácter de la fracción, lo último que efectuaríamos es el cociente: pues esa es la primera operación que derivamos.

( ) ( ) ( ) ( )( )

=+

′+−−+

′−

=′2

xx

x1

x112xx112x)x(h

- Ahora: en la primera derivada del numerador hay dos operaciones, derivamos primero la resta y luego el producto; en la segunda derivada solo hay una suma, por lo que no hay duda.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )=

+

′

+′

−−+

′−

′

= 2

xx

x1

x112xx112x

- Ahora ya solo quedan derivadas de funciones (hemos terminado con las derivadas de operacio-nes):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )=

+

+−−+

−

′+

′

= 2

xxx

x1

1012xx102x2x

( ) ( ) ( )

( )=

+

⋅−−++⋅= 2

xxx

x1

112xx12L2x21

( ) ( ) ( )( ) 2

xxx

x1

12xx12L2x2

+

−−++=

- En este caso no efectuamos la operación del nume-rador, pues no conduciría a una simplificación signi-ficativa del mismo.

VII.b Funciones compuestas: Cuando vayamos a derivar funciones compuestas es muy im-portante entender bien en qué orden deben ser derivadas las diferentes funciones que están presentes. El criterio es empezar a derivar por la función “más externa”, la primera que nos encontraríamos si nos acercáramos a la expresión algebraica “desde afuera”. Los siguientes ejemplos aclaran el asunto:

Ejemplo VII.b.1


Deriva:

( ) 34 x7x3)x(f −=

- Aquí la función “más externa” es el cubo (una potencia).

( )34 x7x3 − - Por tanto, hay que empezar aplicando la derivada de una

función potencial compuesta: ( ) ffnf 1nn ′⋅⋅=′ − .

( ) ( ) =′

−−=′ x7x3x7x33)x(f 424 - Ahora la derivada que nos queda es la de una resta.

( ) ( ) ( ) =

′−

′−= x7x3x7x33 424

( ) ( )7x12x7x33 324 −⋅−=

- Como obtenemos un polinomio factorizado que no se va a simplificar si realizamos los productos, dejamos así el resul-tado.

Ejemplo VII.b.2


Deriva: )3x2(L)x(f +=

- Aquí la función “más externa” es el neperiano.

)3x2(L)x(f += - Por tanto, hay que empezar aplicando la derivada de una

función neperiano compuesto: ( )ff

Lf′

=′ .

n

f

f

( )=

+

′+

=′3x23x2

)x(f - Seguimos derivando la suma del numerador.

( )3x2

23x2

023x2

)3(x2+

=+

+=

+

′+′

=

Ejemplo VII.b.3


Deriva:

x1x

e)x(f+

=

- Aquí la función “más externa” es la exponencial

x1x

e)x(f+

= - Por tanto hay que empezar aplicando la derivada de una

función exponencial (de base e) compuesta: ( ) fee ff ′⋅=′

.

=

′

+⋅=′

+

x1x

e)x(f x1x

- Ahora hemos de derivar un cociente.

=′⋅+−⋅′+

⋅=′

+

2x

1x

xx)1x(x)1x(

e)x(f

=⋅+−⋅

⋅=

+

2x

1x

x1)1x(x1

e

2

x1x

2x

1x

2x

1x

xe

x1

ex

1xxe

+++

−=−

⋅=−−

⋅=

Ejemplo VII.b.4


- Es importante distinguir entre sí las dos funcio-nes de este ejemplo: de no hacerlo se deriva-rán mal.

- Vamos a escribirlas de otra forma donde se ve más claro cuál es la diferencia entre ambas:

Deriva:

xsen)x(f 3=

Deriva:

3xsen)x(g =

( ) 33 xsenxsen)x(f == Ésta es una función po-tencial compuesta; para derivarla hemos de em-plear la fórmula:

( ) ffnf 1nn ′⋅⋅=′ −

( )3xsen)x(g = Pero ésta es una función seno com-puesta, la derivamos con la fórmula:

( ) ffcosfsen ′⋅−=′

( ) =′

⋅⋅=′ xsenxsen3)x(f 2 ( ) =′

⋅−=′ 33 xxcos)x(g

f

n f f

Ejemplo VII.b.5


Deriva:

( ) 52xcos)x(f =

- Aquí la función “más externa” es la potencia (quinta).

( ) 52xcos)x(f = - Por tanto hay que empezar aplicando la derivada de una


( ) ( ) =′

⋅=′ 242 xcosxcos5)x(f

- Ahora hemos de derivar una función coseno compuesta:

( ) ffsenfcos ′⋅−=′

( ) ( ) ( ) =′

⋅−⋅= 2242 xxsenxcos5 - Finalmente derivamos la función potencial simple y simplifi-camos el resultado.

( ) ( ) =′⋅−⋅= x2xsenxcos5 242

( ) 242 xsenxcosx10 ⋅−=

Ejemplo VII.b.6


Deriva:

( )1xL1)x(f 2 −+=

- Transformamos la raíz en potencia con lo que la fun-ción “más externa” es la potencia.

( )[ ] 2/12 1xL1)x(f −+= Por tanto hay que empezar aplicando la derivada de una


( )[ ] ( )[ ] =′

−+⋅−+=′−

1xL11xL121

)x(f 22/12

La derivada que nos queda es la de una suma.

( )[ ]( )

=−+⋅

′−+′

=1xL12

1xL)1(2

2

- Ahora tenemos que derivar una función constante (1) y otra neperiano compuesta.

( )[ ]( )

=−+⋅

′−+′

=1xL12

1xL)1(2

2

( ) =−⋅⋅= xcosxsen3 2

xcosxsen3 2−=

=⋅−= 23 x3xcos32 xcosx3−=

n

f

n

f

( )

( ) ( )=

−+⋅

−=−+⋅

−

′−

+

=1xL12

1xx2

1xL121x1x

0

2

2

2

2

2

Terminamos deshaciendo el castillo y simplificando la fracción algebraica resultante.

( ) ( )1xL11x

x22 −+−

=

Ejemplo VII.b.2


Deriva: 23

xxL4

)x(f

=

- Aquí la función “más externa” es el cuadrado (una poten-cia).

23

xxL4

)x(f

=

Por tanto hay que empezar aplicando la derivada de una


=

′

⋅

⋅=′

xxL4

xxL4

2)x(f33

- Ahora tenemos que derivar un cociente.

( )=

′⋅−⋅′

⋅=2

333

x)x(xL4xxL4

xxL8

- La primera derivada es la de una constante por función:

( ) fkfk ′⋅=′

⋅ y la segunda es la derivada de la función identidad.

( )=

⋅−⋅′

⋅⋅=

2

333

x1xL4xxL4

xxL8

- Ahora nos queda la derivada de una función potencial, ya que:

( ) 33 LxxL =

( ) ( )=

−⋅′

⋅⋅⋅⋅=

2

323

xxL4xLxxL34

xxL8

- Por último derivamos la función neperiano simple y simplificamos.

( )=

−⋅⋅⋅⋅⋅=

2

323

x

xL4xx1

xL34

xxL8

( )=

−⋅⋅⋅=

2

323

xxL4xL34

xxL8

( )=

−⋅⋅⋅=

2

23

xLx3xL4

xxL8

( )3

5

xLx3xL32 −⋅⋅

=

n

f

n

f

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