ohmŮv zÁkon trochu jinak
DESCRIPTION
OHMŮV ZÁKON TROCHU JINAK. Jiří J. Mareš Fyzikální ústav AV ČR v.v.i. Přenos elektřiny materi álním prostředím. S. Gray, 1729. V odiče a izol ant y. „Scestná Grayeova hypotéza“: Přenos elektrického fluida (A /L). 2 třídy materiálů, vodiče a izol ant y. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Vodiče a izolanty „Scestná Grayeova hypotéza“: Přenos elektrického fluida
(A /L)
2 třídy materiálů, vodiče a izolanty
Základní poznatky o transportu elektřiny
Ermanův experiment
(1802)
„Podél vodiče, kterým protéká elektřina, ubývá elektroskopická síla.“
Hledání kvantitativních vztahů
Ohmovy a Fechnerovy experimenty s kovovými vodiči, eliminace vlastností zdroje (Thermokette vs. Hydrokette)
Ohmova konstitutivní relace
G. S. Ohm (1827), G. T. Fechner (1829)
Lokální (diferenciální) formulace „zákona“
i = F (1)
i (A/m2) je hustota proudu a (S/m) vodivost
Vzorec nevyjadřuje přírodní zákon, ale je konstitutivní relací mezi tokem i a zobecněnou silou F a definující konstantu .
Foronomické podmínky
Rovnici (1) je třeba doplnit obecně platnými požadavky na transport „nezničitelné“ substance
div i 0 (rovnice kontinuity) (2a)
i 0 (rovnice diskontinuity) (2b)
Jaká je fyzikální povaha veličiny F ?
Dvě interpretace zobecněné síly F 1. Ohm (1827)
F - grad (3)
“Elektroskopische Kraft“ experiment & Fourierův zákon
1-fluidový model( makroskopická hustota elektrického náboje C/m3 )
(3) popisuje dobře experiment, ale obecně vyžaduje 0
Při vypnutí proudu musí totiž podle (3) být:
i = F = grad = 0, = const.
Integrace: grad = 0 = const. 0,
Elektrické fluidum tedy v analogii s Fourierovým zákonem
šíření tepla relaxuje do stavu
s rovnoměrným rozložením fluida uvnitř vodiče.
Rozpor s Cavendishovým teorémem
Cavendishův teorém (1773) o sídle elektřiny na povrchu vodičů,
je matematicky ekvivalentní Coulombovu zákonu (1785)
o vzájemném působení elektrických nábojů.
Řešení = použití veličiny konjugované s Q2. Kirchhoff, (1849)
F grad (4)
( elektrostatický potenciál (V))
Podmínka (2a) spolu s (1) a (4) (i když i 0)
0 („transport náboje bez náboje“
2-fluidový model)
Kirchhoffův teorém
F grad , i = F vypočteme div i = 0 (podle 2a)
div F = div grad = 0 (5)
(Laplaceova rovnice elektrostatiky pro prostor bez náboje)
Uvnitř vodiče, kterým protéká proud neexistuje makroskopický elektrický náboj (neutralita)
V případě existence prostorového náboje ve vodiči kterým
protéká proud, je Ohmova relace (1) neplatná.
Porušení neutrality - příklady
Veškeré odchylky od Ohmova zákona svědčí o přítomnosti
prostorového náboje ve vzorku, tj. o porušení neutrality.
Nelineární I-V charakteristiky vykazují plošné diskontinuity
jako např. Schottkyho bariéra, p-n přechod,
injekční proudy omezené prostorovým nábojem
= základ polovodičové elektroniky
Prostorový náboj v nelineární struktuře
Měření zachyceného náboje pomocí Faradayova válce ,
> 105 s. (Nucl. Meth. Instr. A 434 (1999) 57)
Plošné rozhraní dvou vodičů
Okrajová podmínka na diskontinuitě
protékané proudem:
= 0(2F2 1F1) (6)
i = 1F1 = 2F2
= i 0(2 /2 1 /1)
Elektrické pole vně vodiče, kterým protéká proud
V různých bodech povrchu vodiče s proudem je obecně různý
potenciál v okolí vodiče existuje elektrické pole,
které má na povrchu vodiče nenulovou normálovou složku
Existence povrchového náboje
F2 0
Uspokojení foronomické podmínky (2b)
na vnitřní hranici vodiče
i F1 0
vede k vytvoření laminární proudové trubice
(sphondyloid) uvnitř vodiče
Nevyhnutelnost vzniku povrchového náboje
Funkce povrchových nábojů
Povrchový náboj formuje proudovou trubici uvnitř
vodiče a odstiňuje ji od vnějších elektrických polí
To umožňuje, mimo jiné, transport elektřiny
libovolně „zamotaným“ vodičem, bez ohledu na původní
elektrické pole aplikované k jeho koncům.
Distribuce hustoty povrchového náboje ()
Na vnější hranici vodiče je obecně F2 0, je tedy podle rovnice
/0 = F2 F1 = F2 (6)
distribuce hustoty povrchového náboje () určena výhradně
veličinou F2, která závisí na souhře:
externích elektrických polí a
vlastního (intrinsického) pole vodiče
Původ intrinsických polí - přechodový jev
Po „zapnutí proudu“ začnou nosiče proudu sledovat původní siločáry (ABCD), čímž nabijí body (B a C) na povrchu vodiče a
vytvoří proudovou trubici splňující podmínku (2b).
Povrchový náboj potřebný k „odklonu“ proudu
Model: krychle v rohu o hraně A
Fn = I/A , 0 Fn = Q/ A
Q (0 /) I (7)
kde 0 je permitivita okolí vodiče.
Energetická bilance v Ohmickém režimu
Disipace energie v objemu V (Jouleův výkon)
W = i F dV = (i2/) dV
Hledejme minimum tohoto integrálu za podmínky (2a)
div i = 0
(i2/) 2 div i dV = 0
je neurčitý Lagrangeův koeficient
i = grad
V případě, že koeficient ztotožníme s potenciálem
Distribuce proudu ve vodiči
V ohmickém režimu je distribuce proudočar a ekvipotenciál taková, že celková disipace energie při transportu náboje je
minimální
Vlastní elektrické pole uvnitř „sphondyloidu“ tak definuje okrajovou podmínku i pro vnější intrinsické pole vodiče
Rozpor mezi K-teorémem a existencí stínicích nábojů
U povrchu každého vodiče, kterým teče proud,
nutně existuje prostorový náboj zasahující do jeho vnitřku
POVRCHOVÝ NÁBOJ JE ABSTRAKCE!
rozpor s Kirchhoffovým teorémem (porušení neutrality)
Je možné rovnicí (1) popsat experimentálně pozorovaný
transport i za přítomnosti prostorových nábojů ?
ANO! Nutnost zobecnění Ohmovy relace Spojení Ohmova a Kirchhoffova přiblížení
(PhysicaE 12 (2002) 340)
Lineární kombinace obou konjugovaných proměnných
užívaných v elektrostatice:
i grad ( 2/0), (8)
je volný délkový parametr zaručující homogenitu rovnice,
druhý člen v závorce se nazývá difúzní.
Důsledky vztahu (8), význam veličiny
i 0 0 exp(/) (9)
kde je délka měřená podél normály k povrchu vodiče.
i 0 2/0 0 (10)
Gouyova-Schottkyho podmínka lokální rovnováhy, 0 const. je povrchový potenciál.
má význam stínicí délky
Kvantitativní odhady
Odhady podle vzorce (7) (krychle v rohu)
měď ve vakuu, 6.4 107 S/m, I = 1 A,
Q = 1.4 1019 C 1 elektron
SI-GaAs, 5.0 107 S/m, I = 1 A, 12
Q = 2.1 104 C 1.3 1015 elektronů
Prostorové náboje se uplatňují hlavně ve špatných vodičích
Přímý důkaz povrchového náboje
(2/ 6) S („proof sphere limit“)
Metoda zkusné kuličky a Faradayova válce
Elektrostatické stínění a „difúzní člen“ 3D, Debye-Hückelovo přiblížení pro stínicí délku:
(kT0/ne2)
Cu: n 8.51028 m3 při T = 300 K 4 1012 m
Pro kovy tak nemá „difúzní člen“ v (8) praktický význam
2/0 (41012)2 / 8.85 1012 1.81012 V
V polovodičích a izolátorech je to významná korekce k
SI-GaAs: n 51014 m3 při T = 300 K 5 105 m
2/0 (5105 )2 / 8.85 1012 2.8102 V
Integrální tvar Ohmova zákona pro dobré vodiče (kovy)
V případě jednoduché geometrie homogenního vodiče a při zanedbání prostorových nábojů lze integraci diferenciálního tvaru provést snadno:délka vodiče Lprůřez vodiče Apotenciálový spád na vodiči V = 1 2
i = I /A = F = V/L
V/I = (L/A) = R
což je integrální tvar Ohmova zákona,veličina R se nazývá elektrický odpor vodiče
Co nastane, když a 2 ?
Klasická definice dvojrozměrného elektronového plynu a heterodimensionálního přechodu.
Zmizí neutrální oblast, transport probíhá za přítomnosti
prostorového náboje. Vzniká stínící deficit vzhledem k vnějším polím, t.j. elektrické pole proniká vodičem.
Dvojrozměrný elektronový plyn (2DEG)
Definice: T a (tloušťka 2D systému)
Thoulessova difúzní délka T = (2DC)
C kvantový koherenční čas
D 2 /0 ( difúzní člen)
C /kT a (/0 kT)
Pro širokou třídu polovodičů je 1 (/0 kT)
Klasická a kvantová definice 2D jsou ekvivalentní
Elektrostatické stínění 2DEG Pronikání elektrického pole vodivou vrstvou odlišuje „tenký“ kov od 2D systému
= základ experimentálního studia 2DEG kapacitními metodami
2DEG v GaAs/GaAlAs QW
0 2 4 6 80.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
5
10
15
20
25
30
CM
(pF
)
B (T)
Rxy
(k
)
T=1.3 K
Kvantový Hallův jev
Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4699
Rychlost šíření elektřiny
C.F.C. du Fay (1733)šíření elektřiny na velké vzdálenosti > ½ km
L. G. Le Monnier (1746)Měření rychlosti s jakou se šíří elektřina vodičem.
„Elektřina je více než 30 rychlejší než zvuk“
Telegrafní drát – nerelativistické přiblížení
Průměr drátu (d), křivost (1/D) = I (0/) (4L/d2)(2/d + 1/D)
Náboj deponovaný na rovném úseku ( = 1) :
Q = I (0/) (8L/d2) L
Čas t potřebný k nabití drátu od 0 po L proudem I:
Q/I = (0/) (8L/d2) L
t = (0/) (4L2/d2)
Difúze signálu vedením
Rovnice difúze
(d2 t /40) = L
s koeficientem difúze: (d2/80)
„Rychlost“ přenosu závisí na délce vedení!
vS ( /0) (d2/4L)
(pro krátká vedení vS > c, zanedbané relativistické efekty,
tj. magnetické pole, indukčnost vedení)
„Rychlost“ signálu vs. driftová rychlost elektronů
= 6.4 107 S/m
d = 103 m, L = 9 104 m (Praha – Plzeň)
vS 200 087 885 m/s (2/3)c
I/A = e n vD
I = 1 C/s, A = 106 m2, n (Cu) = 8,51028 m3
vD = 7,3 105 m/s
Tok elektromagnetické energie v okolí vodiče
Poyntingův vektor (1884) = hustota toku energie, W/m2
S = [F, H] = (F H) sin
H = I/ (d)
( = /2)
Bez povrchového S povrchovým náboje nábojem
Příklad - energetický tok ve spotřebiči
Malý potenciálový spád na přívodu, velké elektrické pole F
v koaxiální mezeře
Závěry
1) Nedílnou součástí elektrického transportu vodičem je
přítomnost elektrického náboje u jeho povrchu
2) Povrchový náboj odstiňuje vnitřek vodiče od vnějších polí,
zajišťuje podmínku neutrality uvnitř vodiče a modifikuje
přenos elektromagnetické energie v jeho okolí