Tarafsız, Gerçek, Öğretici, Tüm Sınavlara Yönelik

olaylar gazetesıGEOMETRİK

9 7 8 6 0 5 3 2 9 7 9 32

42. S

ayfad

aGideceğim Tek Yer Havaalanı23

. Say

fada

3. Sa

yfada Dik Şuraya

Bir DörtgenBu da mıİlluminati

b) Dik Açı:

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.

a

A

B

C

a = 90°

c) Geniş Açı:

Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıya geniş açı denir.

a

A

B

C

90° < a < 180°

Açı: Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşmesine açı denir.

A

B

C

A açısı ,m BAC m CAB^ ^h h% % veya m A^ hW biçiminde gösterilir.

Açı Çeşitleri

a) Dar Açı:

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıya dar açı denir.

A

B

C

a

0° < a < 90°

DOĞRUDA AÇILARNokta: Kalem ucunun kâğıt üzerinde bıraktığı ize nokta denir.

A:

(A noktası)

Doğru: Aynı doğrultulu her iki yöne de istenildiği kadar çizilebilen nokta-

lar kümesine doğru denir.

A BAB doğrusu

Doğru parçası: Bir doğru üzerinde seçilen iki nokta ile bu noktalar ara-

sındaki tüm noktaların kümesine doğru parçası denir.

A B

AB doğru parçası AB6 @ biçiminde yazılır.

Işın: Aynı doğrultulu, başlangıç noktası belli ve diğer ucu istenildiği uzun-

lukta çizilebilen noktalar kümesine ışın denir.

A B

AB ışını [AB biçiminde gösterilir.

Düzlem: Yüzeyi düz olan ve istenildiği kadar genişletilebilen noktalar kü-

mesine düzlem denir.

E düzlemi

DOĞRULUK MUCESARETLİK Mİ ?

Üçgen Üçgen ve Üçgende Açılara dair her şey

Çokgenler, Dörtgenler, KareYamuk ve Katı Cisimler...

3’te

16’da

29’da

Çokgenler

Spor

Koordinat Sistemine Dair Dikkat Çekici Bilgiler burada... 40’taAnalitik Geometri

Çember ve Daireye dair bilgiler burada...Çember veDaire

Tarafsız, Gerçek, Öğretici

Özel Durumlar

1) Z - Kuralı

d1

d2

d1

d2

a a

b b

//d d1 2 olmak üzere;

paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun birleşimi Z harfini (veya

(Z) ) harfini oluşturuyorsa Z harfinin arasında kalan açılar birbirine eşittir.

// ' .d d a b dir1 2 " =

2) M Kuralı

c

b

a d1

d2

//d d1 2 olmak üzere, kırık çizgilerle oluşturulan açıların aynı yöne bakan-

larının toplamı, ters yöne bakanların toplamlarına eşittir.

// ' .d d a c b dir1 2 " + =

ab

c

d

ef

d1

d2

// ' .d d a c e b d f dir1 2 " + + = + +

3) U Kuralı

a

a + β = 180°

d1

d2

β

a

a + β + θ = 360°

d1

d2

βθ

Paralel iki doğrunun iç bölgesinde n tane açı varsa toplamları (n - 1).180°

dir.

Örnek:

Ad1

d2

B

ED

60°

25°

C

//d d

m DCB

m ABC

25

60

°

°

1 2

=

=

^

^

h

h

%

%

Yukarıdaki verilenlere göre, m EDC^ h% kaç derecedir?

A) 125 B) 130 C) 135 D) 145 E) 150

d) Doğru Açı:

Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

A BO

180°

a = 180°

e) Tam Açı:

Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

A

360°

°m A 360=^ hW

f) Komşu Açılar:

Köşeleri ve birer kenarları ortak olan açılara komşu açılar denir.

A

B

D

C

BAD% ile DAC% komşu

açılardır.

g) Açıortay:

Bir açıyı iki eşit parçaya ayıran doğru parçasına açıortay denir.

A

B

DAçıortay

C

h) Tümler Açılar:

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.

A

BD

C

aβ

Örnek:

Açý Tümler Açý40° 90° 40° 50°'dir.65° 90° 65° 25°'dir.x 90° x'tir.

- =

- =

-

"""

I) Bütünler Açılar:

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

D

B CAa

β

° ü ü çý ý .ve b t nler a lard r180 "α β α β+ =

Açý Bütünler Açý120° 180° 120° 60°'dir.

x 180° x'tir.- =

-

""

i) Ters Açılar:

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan karşılıklı olan açılara ters açı-

lar denir ve ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

A D

BC

ab

cd

Yani, a = c ve b = d’dir.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

a) Yöndeş Açılar

a

c

e f

g h

b

dd1

d2

//d d1 2 olmak üzere;

a ile e, b ile f, c ile g ve d ile h yöndeş açılardır. Yöndeş açılar birbirine eşit

olduğundan a e, b f, c g ve d h' r.di= = = =

b) İç Ters Açılar

c

e f

dd1

d2

//d d1 2 olmak üzere;

c ile f ve d ile e iç ters açılardır. İç ters açılar birbirine eşit olduğundan

c f ve d e= = ’dir.

c) Dış Ters Açılar

a b

g h

d1

d2

//d d1 2 olmak üzere;

a ile h ve b ile g dış ters açılardır. Dış ters açılar birbirine eşit olduğundan

a h ve b g= = ’dir.

d) Karşı Durumlu Açılar

c d

e f

d1

d2

//d d1 2 olmak üzere;

c ile e ve d ile f karşı durumlu açılardır. Karşı durumlu açıların ölçülerinin

toplamı 180° olduğundan °c e 180+ = ve °d f 180+ = ’dir.

2

Tüm Sınavlara Yönelik

ÜÇGENA, B ve C doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere bu noktaların birleştiril-

mesiyle elde edilen ,AB AC ve BC6 6 6@ @ @ doğru parçalarının birleşme-

sine üçgen denir.

A

CB

x

y z

bc

a

β

a

θ

Ò A, B ve C noktalarına üçgenin köşeleri denir.

Ò ABC üçgeni ABCT

biçiminde gösterilir.

Ò ABC üçgeninin kenar uzunlukları,

biçiminde gösterilir.

AB cAC bBC a

===

Ò ABC üçgeninin çevresi, Ç ' .ABC a b c dir= + +T

^ h

Ò ABC üçgeninin iç açıları sırasıyla x, y ve z’dir.

Ò ABC üçgeninin dış açıları sırasıyla , veα β θ’dır.

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ

1. Açılarına Göre Üçgenler

a) Dar Açılı Üçgen:

Üç açısının ölçüsü de 90°den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

A

x

y zCB

x < 90 , y < 90 ve z < 90 'dir.c c c

b) Dik Açılı Üçgen:

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik açılı üçgen denir.

' .m A dir90= c^ hW

A C

B

c) Geniş Açılı Üçgen:

Bir açısının ölçüsü 90°’ den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir.

B

A C

' .m A dir90> c^ hW

UyarıyorUz:Bir üçgende eşit açılar karşısında eşit kenarlar vardır. Ayrıca eşit kenarları

gören açılar da birbirine eşittir.

Örnek:

A

B C

' .ABC genindem A m C BC AB dir

üç,= =^ ^h hW W

A

B C

ABC üçgenindeAC BC m m dýr.B A= =, ^ ^h hW W

2. Kenarlarına Göre Üçgenler

a) Çeşitkenar Üçgen:

Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir.A

B a

bc

C

.'a b c BC AC AB dir&! ! ! !

b) İkizkenar Üçgen:

Herhangi iki kenarının uzunluğu birbirine eşit olan üçgenlere ikizkenar üç-

gen denir.A

B Ca

bc

' .' .

b c AB AC dirb c m B m C dir

&

&

= == =^ ^h hW W

HatırlatıyorUz:A

B C

İkizkenar üçgende eşit olmayan ke-nara indirilen dikme aynı zamanda

açıortay ve kenarortay olur. Yani

ha = na = va olmalıdır.

c) Eşkenar Üçgen:

Üç kenar uzunluğu birbirine eşit ve bütün iç açıları 60° olan üçgene eşke-

nar üçgen denir. A

B Ca

b

60

60 60

c

' .a b c AB AC BCa b c m A m B m C dir60°

&

&

= = = == = = = =^ ^ ^h h hW W W

BU DA MIİLLUMİN Tİ ?

Çözüm:

Ad1

d2

d3

B

ED

ba

60°

25°

CK

d d d1 2 3' ' olacak şekilde d3 doğrusu çizelim.

m DCK a ve m EDC b olsun.

d // d 60° 25° a a 35°

d // d a b 180° 35° b 180°

b 145°

1 3

2 3

& &

& &

&

= =

= + =

+ = + =

=

^ ^h h% %

Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

Örnek:

İki bütünler açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 2 katından 30° ek-

sik olduğuna göre, küçük açının tümleri kaç derecedir?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 70 E) 110

Çözüm:

Açının ölçüsü x alındığında bütünleri x180 - olur. Açılardan birinin öl-

çüsü diğerinin ölçüsünün 2 katından 30° eksik olduğuna göre;

180° 2. 30°3 210°

° .

x xxx bulunur70

− = −==

Buna göre, küçük açı 70° ve tümleri ° ° °90 70 20− = bulunur.

Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

Örnek:

A

B C

80°

2x-10°

3x+20°D E

d2

d1

ABC bir üçgen

//

°

°

°

d d

m BAC

m ACB x

m BDE x

80

2 10

3 20

1 2

=

= −

= +

^

^

^

h

h

h

%

%

%

Yukarıda verilenlere göre, m ABC` j% kaç derecedir?

A) 70 B) 72 C) 74 D) 76 E) 78

Çözüm:

//d d1 2 olduğundan, m ABC m BDE x3 20= = + c^ ^h h% % olur. ABC

üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğundan,80° 2x 10° 3x 20° 180°

5x 90°

x 18° bulunur.

Buna göre, m ABC 3x 20°

3.18° 20°

74° bulunur.

+ - + + =

=

=

= +

= +

=

^ h%

Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

3