olasılık dağılımları

BÖLÜM 5:

OLASILIK DAĞILIMLARI

Hazırlayan

GülĢah BaĢol

TOKAT - 2013

T.C.

GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ

EĞĠTĠM FAKÜLTESĠ

Konu BaĢlıkları

• 5.1. Olasılık Dağılımları

• 5.1.1. Kesikli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları

• 5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı

• 5.1.1.2. Binom Dağılımı

• 5.1.1.3. Poisson Dağılımı

• 5.1.1.3. Hipergeometrik Dağılımı

BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI

Konu BaĢlıkları

• 5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları

• 5.1.2.1. Üstel Dağılım

• 5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım

• 5.1.2.3. Normal Dağılım

• 5.1.4. Standart Normal Dağılım

• 5.1.5. Merkezi Limit Teoremi

• 5.1.6. Normal Dağılıma Yakınsamalar


• Olasılık dağılımlarını bilir.

• Kesikli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını söyler.

• Bernoulli dağılımını bilir.

• Binom dağılımını bilir.

• Poisson dağılımını bilir.

• Hipergeometrik dağılımı bilir.

• Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir.

• Üstel dağılımı bilir.

• Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir.

• Normal dağılımı bilir.

• Standart normal dağılımı bilir.

Kazanımlar


• Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir.

• Üstel dağılımı bilir.

• Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir.

• Normal dağılımı bilir.

• Standart normal dağılımı bilir.

• Merkezi Limit Teoremini bilir.

• Kesikli ve sürekli dağılımların belli koĢullarda normal

dağılıma yakınsama özellikleri olduğunu bilir.

Kazanımlar


Sürekli

Olasılık

Dağılımları

Binom

Hipergeometrik

Poisson

Olasılık

Dağılımları

Kesikli Olasılık

Dağılımları

Normal

Uniform

Üstel

Bernoulli

5.1. Olasılık Dağılımları


5.1. 1. Kesikli Olasılık Dağılımları


Binom

Hipergeometrik

Poisson

Kesikli Olasılık

Dağılımları

Bernoulli

5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı

• Ġsviçreli bilim adamı Jacob Bernoulli tarafından bulunmuĢtur. En basit

kesikli olasılık dağılımdır., tek denemede gerçekleĢen iki çıktılı

(geçme/kalma, doğru yapma/yanlıĢ yapma, atanma/atanamama)

(Bernoulli deneyi) olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır.

• Olayın olma olasılığı p, olmama olasılığı 1-p ,

• Beklenen olasılık değeri E(X),

• Beklenen varyans p.(1-p)‟dir.

• E(X)= =p

n = 0 ise p(n) = 1-p,

n = 1 ise p(n) = p,

Olasılık fonksiyonunun gösterimi:

• f(x) = P(X=x)=px . (1-p) 1-x , x=0,1


5.1.1.2. Binom Dağılımı

• Bernoulli denemelerinin n kez tekrarlandığı düĢünülsün.

Bu denemelerde baĢarılı sonuçların sayısı X raslantı

değiĢkeni kadardır. Bir deney

• Ġki çıktılı sonuç veriyorsa,

• Deney boyunca yapılan denemeler (n), aynı koĢullar

altında gerçekleĢtiriliyorsa,

• Tek deneme için baĢarılı olma olasılığı p ve baĢarısızlık

olasılığı q ise ve bu olasılık her deneme için aynıysa,

• Denemeler birbirinden bağımsızsa,

• n deney boyunca sabitse deney binom dağılımındadır.


5.1.1.2. Binom Dağılımına Örnekler

• BeĢ çocuklu bir ailede belli bir sayıda kız veya erkek

çocuğa sahip olma olasılığı,

• Bir paranın 4 kez atılmasında belli bir sayıda yazı veya

tura gelmesi olasılığı,

• Belli sayıda gruplarda olasılık bilindiğinde farklı senaryolar

için bir olayın olması ve olmaması olasılığı.

•


5.1.1.2.1. Binom Dağılımının Elde Edilmesi

• Örnek1 : Bir lokantada servislerden memnuniyetsizliğin

oranı 0,20‟dur. 4‟er kiĢilik masalarda servilerden

memnuniyetsizliğin dağılımını oluĢturunuz.

• Bu olayda karĢılaĢılacak olan sonuçlar, X raslantı

değiĢkeninin değerleri ve olasılıkları aĢağıda verilmiĢtir:


ġġġġ 4 =1 1[0,204 0,800]=0,0016

ġġġM 3 4[0,203 0,801]=0,0064

ġġMġ

ġMġġ

Mġġġ

ġġMM 2 6[0,202 0,802]=0,1536

ġMġM

ġMMġ

MġġM

MġMġ

MMġġ

SONUÇLAR X

ras.değ.

X ras.değ.alma

sayısıOlasılık

4

4

43

4

62

4

MMMġ 1 4[0,201 0,803]=0,4096

MMġM

MġMM

ġMMM

MMMM 0 1[0,200 0,804]=0,4096

SONUÇLAR X ras.değ.X ras.değ.alma

sayısıOlasılık

1

4

0

4

ġ: Ģikayet

M: memnuniyet


Sonuç olarak

Masalardaki ortalama kiĢi sayısı n,

ġikayet sayısı x,

X=x‟in olasılık fonksiyonu;

n,...,3,2,1x,)p1(px

n)xX(P

xnx

Yani n‟in x‟li kombinasyonu çarpı bir olayın tekrarlı

olma ve olmama olasılıklarının çarpımı

n,...,3,2,1x,qp)!xn(!x

!n)xX(P

xnx

Ģeklinde verilebilir.


Örnek2:

• Dört kiĢilik masalarda iki kiĢinin Ģikayet etme olasılığı,


1536.0256..680,020,0)!24(!2

!4)2(

242XP

n.pE(x)μ

n.p.qσVar(X)2

n.p.qσ

Ortalama

Binom Dağılımının Karakteristikleri


Varyans ve standart sapma

Binom Olasılık Tablosun = 10

x p=.15 p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1969

0.3474

0.2759

0.1298

0.0401

0.0085

0.0012

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.1074

0.2684

0.3020

0.2013

0.0881

0.0264

0.0055

0.0008

0.0001

0.0000

0.0000

0.0563

0.1877

0.2816

0.2503

0.1460

0.0584

0.0162

0.0031

0.0004

0.0000

0.0000

0.0282

0.1211

0.2335

0.2668

0.2001

0.1029

0.0368

0.0090

0.0014

0.0001

0.0000

0.0135

0.0725

0.1757

0.2522

0.2377

0.1536

0.0689

0.0212

0.0043

0.0005

0.0000

0.0060

0.0403

0.1209

0.2150

0.2508

0.2007

0.1115

0.0425

0.0106

0.0016

0.0001

0.0025

0.0207

0.0763

0.1665

0.2384

0.2340

0.1596

0.0746

0.0229

0.0042

0.0003

0.0010

0.0098

0.0439

0.1172

0.2051

0.2461

0.2051

0.1172

0.0439

0.0098

0.0010

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

p=.85 p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x

n = 10, p = .25, x = 4: P(x = 4|n =10, p = .25) = .1460

n = 10, p = .70, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .70) = .0090


Örnek3:

• 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına iliĢkin dağılımı oluĢturunuz ve aĢağıdaki soruları cevaplayınız. (X, erkek çocuk sayısı, ailede erkek çocuğu olma olasılığı p=1/2‟dir.)

• 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir?

• 3 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir?


xnxqp

)!xn(!x

!n)xX(PErkek Çocuk Sayısı (X)

0 0313,02

1

2

1

0

550

1 1563,02

1

2

1

1

541

2 3125,02

1

2

1

2

532

3 3125,02

1

2

1

3

523

4 1563,02

1

2

1

4

514

50313,0

2

1

2

1

5

505


b- P(X>3)= P(X=4)+ P(X=5)

= 0,1563+0,0313=0,1876

a- P(X 2)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)

= 0,0313+0,1563+0,3125=0,5001

a- 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X 2)

b- 3’den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X>3)


5.1.1.3. Poisson Dağılımı


• Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda nadirrastlanan olayların olasılık dağılımları Poissondağılımı ile modellenebilir. Poisson dağılımıortalaması ve varyansı aynı olan tek parametreli (lambda) bir dağılımdır.

Örnekler• Bir bölgede görülen Kırım Kongo Kanamalı AteĢi vaka

sayısı,

• Postanede bir iĢ gününde belli bir bankoya gelen müĢterisayısı,

• Bir kavĢakta bir ayda gerçekleĢen trafik kazalarının sayısı,

• Boğaz köprüsünden bir saatte geçen araç sayısı.

!

)()(

x

etxXP

tx

Ģeklindedir.

e=2,71828

x=t birim zaman içinde ilgilenilen olay sayısı,

t=t birim zaman içinde ilgilenilen olayın ortalama oluĢ sayısı.

Genellikle t= 1 alınır. Bu durumda Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu

aĢağıdaki Ģekildedir.

!x

e)()xX(P

x

X Poisson raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu,


Lambda‟nın beklenen değerinin gerçekleĢme olasılığı

)( XP

Yukarıdaki eĢitliğe karĢılık gelen

doğal logaritma değeri e‟dir. e=

2.71828

Eular numarası (2.71828) N

sonsuza ulaĢırken yukarıdaki

eĢitliğin limitidir.

a’ nın alacağı pek çok değer için f(x) = ax. e

x=0 iken ax = 1, f(x)=e‟dir. Mavi eğri ex‟i

gösterir. KarĢılaĢtırma amaçlı noktalı eğri 2x ve

kesik çizgili eğri ise 4x„ü göstermektedir.


Poisson Dağılımının Karakteristikleri

• Dağılıma iliĢkin ortalama:

• Dağılıma iliĢkin varyans:

• Dağılıma iliĢkin standart sapma:


Var(X)

E(X)

2σ

• Örnek4 : Muhtarlığa bir yılda baĢvuran yardıma muhtaç mahalle sakini sayısı 40 olsun. Burada raslantı değiĢkeni X bir Poisson dağılımı göstersin. Üç ayda gelecek ortalama yoksulluk baĢvuru sayısı ve üç ayda 1 hasta gelme olasılığı nedir?

• Burada 3 aylık zaman diliminin [t=12 (1/4)=3] yani, ¼‟ü kullanılmıĢtır.

• t=1 yıl iken =10,

• t=1/4 ay iken t=40 1/4=10 olur.

• 3 ayda1 yoksulluk baĢvurusu olma olasılığı,

•

• Yoksulluk baĢvuru sayısı ise bu oranın 40 ile çarpımının sonucudur.

• 40*.

000045.!1

)10()1(

101e

XP


Bir üniversitede yılda 3000 öğrencinin notları girilmekte ve

puan giriĢi yapılırken gerçekleĢen ortalama hata sayısı =0,2

olan Poisson dağılımına sahiptir. X raslantı değiĢkeni hata

sayısı olup, X raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu;

...3,2,1,0,!

)2,0()(

2,0

xx

exXP

x

dir.


Örnek5

• Üniversitenin öğrenci bilgi sisteminde bir yılda hiç

hata yapmayan, 1 öğrencinin notunu yanlıĢ giren, 2

öğrencinin notunu yanlıĢ giren ve 3 öğrencinin

notunu yanlıĢ giren öğretim üyesi olması

olasılıklarını ve 3000 dosyada kaç adet hatalı giriĢ

bulunacağını hesaplayınız.

8187.!0

)2,0()(

2,00e

içermemehataHiçP

. 8187 3000 …2456.1 adet


1637.!1

)2,0()1(

2,01e

içermehataP

.1637 3000 491.1 adet

0164.!2

)2,0()2(

2,02e

içermehataP

.0164 3000 49.2 adet

0011.!3

)2,0()3(

2,03e

içermehataP

.0011 3000 3.3 adet


X

t

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0

1

2

3

4

5

6

7

0.9048

0.0905

0.0045

0.0002

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.8187

0.1637

0.0164

0.0011

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.7408

0.2222

0.0333

0.0033

0.0003

0.0000

0.0000

0.0000

0.6703

0.2681

0.0536

0.0072

0.0007

0.0001

0.0000

0.0000

0.6065

0.3033

0.0758

0.0126

0.0016

0.0002

0.0000

0.0000

0.5488

0.3293

0.0988

0.0198

0.0030

0.0004

0.0000

0.0000

0.4966

0.3476

0.1217

0.0284

0.0050

0.0007

0.0001

0.0000

0.4493

0.3595

0.1438

0.0383

0.0077

0.0012

0.0002

0.0000

0.4066

0.3659

0.1647

0.0494

0.0111

0.0020

0.0003

0.0000

.00722!

e(0.40)

!

)()2(

0.402

x

etxP

tx

Örneğin: t = .40 için P(x = 3)


5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılım


Hipergeometrik olasılık dağılımı binom olasılıkdağılımına benzer.

Ġkisinin arasındaki temel fark hipergeometrik olasılıkdağılımında denemelerin bağımsız olmasıdır. Bunedenle de “baĢarılı” sonucu elde etme olasılığı herdeneme için farklı olacaktır.

5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılımın Özellikleri


1. N sayıda sonlu popülasyondan seçilen n sayıda

örnek söz konusudur.

2. Örnekler yerine konmadan elde edilir.

3. Ġki çıktılıdır. Geçti/Kaldı, BaĢarılı/BaĢarısız gibi.

4. Denemeler birbirinden bağımsızdır.

pn.OrtalamaAritmetik

)1

).(1.(.N

nNppnVaryans

5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılımın Formülü


N büyüklükteki bir örneklemden seçilen n nesne veya kiĢinin ilgilenilen yani gelmesiistenen sonucun sayısı ise x ile gösterilir. A ise istenen x‟in örneklemdeki sayısıdır. N-A diğer sonucun sayısı, n-x ise kalan seçimlerin sayısıdır. Olasılık değeri 0 ile 1arasında bulunur. 0<P(X)<1. 0 ve 1 aralığında elde edilen olasılıkların toplamı 1‟eeĢittir. Hipergeometrik olasılılıkları hesaplama formülü:

n

N

xn

AN

x

A

xXP

.

)(

n: Örnek gözlem sayısı,

N: Popülasyon üye sayısı,

A: Popülasyondaki üye sayısı,

X: Örnekteki baĢarılı sonuç sayısı

Burada olasılık değerini elde etmek için iki adet payda bir adet paydadaolmak üzere toplam üç adet kombinasyon değeri hesaplanır.

5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler


Örnek6:

Bir kavanozda 4‟ü kırmızı, 7‟si sarı olmak üzere 11 Ģeker vardır. Kavanoza

tekrar iade edilmeksizin 4 Ģeker çekiliyor. X hipergeometrik değiĢken olmak

üzere çekilen Ģekerlemelerin 3‟ünün sarı olması olasılığı nedir? P(x=3)

4

11

34

711.

3

7

)37(P



Örnek7:

Bir malzeme kutusunda 12‟si 3mm‟lik 8‟i 5mm‟lik 20 adet vida bulunmaktadır.

Bu kutudan iade edilmeksizin 4 vida seçildiğinde X hipergeometrik değiĢken

olmak üzere çekilen vidaların 4‟ünün de 3 mm‟lik olması olasılığı nedir? P(x=4)

4

20

44

1220.

4

12

)412(P



Örnek8:Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır. Bu kreĢte kıĢ aylarında bebekler sık sık hastalanmaktadır. 5 bebek hastalanıp kreĢe gelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 2‟sinin kız olması olasılığı nedir? P(x=2)

5

50

25

3050.

2

30

)230(P



Örnek9:Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır. Bu kreĢtekıĢ aylarında bebekler sık sık hastalanmaktadır. 5 bebek hastalanıp kreĢegelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 3‟ünün erkek olması olasılığı nedir? P(x=3)

5

50

35

2050.

3

20

)320(P



Örnek10:Bir sınıftaki 20 öğrenciden 16‟sı sınavın tekrar edilmesini geriye kalan 4 öğrenciise notlarından memnun olduklarını ifade etmektedir. X hipergeometrikdeğiĢken olmak üzere bu sınıftan seçilecek 10 kiĢiden 5‟ inin sınavın tekraredilmesini isteyen öğrencilerden oluĢması olasılığı nedir? P(x=5)

10

20

510

1620.

5

16

)516(P

Bu çocuklardan en az ikisinin sınavın tekrarını istemesi olasılığı nedir? P(X=>2)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık

Dağılımları


Sürekli

Olasılık

Dağılımları

Olasılık

Dağılımları

Uniform

Üstel

Normal

5.1.2.1. Üstel Dağılım


• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya birbaĢka ifadeyle ilgilenilen olayın bir kere daha olması içingeçen sürenin dağılımıdır. Sırada bekleme sorunlarınınçözmede kullanılır.

Örnek:

• Bir bankada veznede yapılan iĢlemler arasındaki geçen süre,

• Bir taksi durağında gelen müĢteriler arasındaki bekleme süresi,

• Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre,

• Bir kumaĢta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre).

40

Belirli bir zaman aralığında sırada bekleyen yolcu

sayılarının dağılımı Poisson Dağılımındadır.

Yolcuların durağa geliĢlerinden otobüse biniĢlerine kadar

geçen sürenin dağılımı ise Üstel Dağılıma göredir. Üstel

Dağılımın parametresi a‟dır. Üstel ve Poisson Dağılımlarının

parametreleri arasındaki iliĢki:

1

a


41

Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre

x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya çıkması için

gereken süre ya da uzaklık.

, 0

0

axa e x

f xdiger durumlarda

0a

f(x) x üstel dağılan değiĢkeninin üstel dağılım fonksiyonudur.

Üstel dağılımın parametresi a’dır.


42

Üstel Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı

E(X)

Var (X)

1

a

2

2

1

a


Parametreleri:

( ) 1ax

P X x e

( ) 1 (1 )ax ax

P X x e e

Örnek11: Bir telefon operatörüne yapılan bir aramada telefon

görüĢmesi için ortalama bekleme süresinin 5 dakika olduğu

belirtilmektedir. Bir arayanın 10 dakikadan çok beklemesi

olasılığı nedir?

P(X>10)=? 51 1

5a


5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım

• Eğer bir rassal değiĢken için olası değerlerin ortaya çıkma

olasılıkları eĢitse, bu rassal değiĢken ayrık tekdüze dağılıma

sahiptir denir. Bu Ģekilde herhangi bir olay için

olasılık Tekdüze olur. Hilesiz bir zar atıldığında ortaya çıkan

sonuçların olasılığı buna örnek verilebilir. Her bir değer için

(1,2,3,4,5,6) olasılık 1/6‟dır. Hatasız bir paranın yazı veya

tura gelmesi de buna örnek olabilir.

• a ile b sayıları arasında tanımlanmıĢ tekdüze bir dağılımın

E(X)=: (a+b)/2

Var(X)= (b-a)^2/12


Parametreleri:C

5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım


5.1.2.3. Normal Dağılım

• Tüm dağılımların en önemlisidir diyebiliriz. Ġlk olarak

1733’te Moivre tarafından p baĢarı olasılığı değiĢmemek

koĢulu ile binom dağılımının limit Ģekli olarak ele alınmıĢtır.

1774’te Laplace üzerinde çalıĢmıĢ, 19. yüzyılın ilk

yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım

istatistikte yerini almıĢtır.

• Dağılım doğada çıkan olası sonuçları ifade ettiği için normal

olarak adlandırılmıĢtır.

• Pek çok kesikli veya sürekli dağılım belli koĢullar

oluĢtuğunda normale dönüĢür bu nedenle de normal

dağılım sıklıkla kullanılmaktadır.


47

5.1.4.Standart Normal Dağılım

Puanlar standart değerlere dönüĢtürülerek tek bir

tabloda olasılık değerlerine ulaĢmak ve farklı

örneklemleri karĢılaĢtırmak mümkün olur.

Standart normal dağılım ortalaması 0 , varyans ise

1 olan simetrik bir dağılımdır. Standart normal

dağılımda z değerlerinin dağılımı ele alınır. Bu

yüzden z dağılımı da denir. Ortalaması 0 varyansı

1‟dir.


48

Normal Dağılımın Özellikleri

Çan eğrisi Ģeklindedir. Normal dağılım çarpıklık

katsayısı basıklık katsayısı 3 olan simetrik bir

dağılımdır.

• Normal dağılım eğrisinin fonksiyonu:

xexf

x

,2

1)(

2

2

1

...

e = 2,71828

= popülasyon standart

sapması

= popülasyon ortalaması


49

)(xE2

)( xVar

f(x )

x Ortalama=Mod=Medyan

Olasılık dağılım fonksiyonu P(a), X değiĢkeninin aldığı

değiĢik a değerlerinin olasılığını veren fonksiyondur.

Parametreleri:


Olasılık Dağılım Fonksiyonu

Rastsal DeğiĢkenler için Beklenen Değer ve

Varyans• Beklenen Değer ortalamaya eĢittir.

( )

x

E X xP x


• Varyans

22

XE X E X

Rastsal DeğiĢkenin Lineer Fonksiyonu

• Fonksiyon:

• Ortalama:

Y a bX

E Y a bE X


Normal eğri altındaki alan 1‟e eĢittir. Normal dağılımda

herhangi bir X sürekli değiĢkeninin nokta tahmini sıfırdır.

Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktası

olduğundan aralık tahmini yapılır. Evren aritmetik

ortalaması ve standart sapması kullanılarak z değerleri

bulunur ve bu değerlere karĢılık gelen alan hesaplanır.

Normal Dağılım Tablosunun Kullanırken:

• Öncelikle örneklem dağılımının aritmetik ortalaması ve standart

sapması kullanılarak ilgili puana karĢılık gelen z değeri bulunur.

• Standart normal dağılım tablosunda istenilen alan karalanır.

• Tablo değerine bakılarak eğri üzerinde uygun alan hesaplanır.


53

Normal Dağılımda Olasılık Hesabı

?)()(

b

a

bxxfbxaP

Standart normal dağılımda

olasılık eğri altında kalan

alanı ifade eder.

1)()( bxxfxP


54

Standart Normal Dağılımda z Değeri

xz

f(x )

x

f(z )

z

X ~ N ( , 2 )

Z ~ N ( 0 , 1)


55BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI

NOT: Ġlk Sütunda z değerleri .10’luk açılımlarla

sıralanmıştır. SÜTUNLAR VĠRGÜLDEN SONRAKĠ

ĠKĠNCĠ RAKAMI GÖSTERMEKTEDĠR.

Standart Normal Dağılımda Alan ĠliĢkileri

A+ B: Verilen bir z tablo değerinin yüzdelik karĢılığını verir.

B: Verilen bir z değeri ile aritmetik ortalama arasında kalan bireylerin

yüzdesini verir.

C: Belli bir z değerinin üzerinde puan alanların (sol tarafta ise altında puan

alanların) yüzdesini verir.

Standart Normal Dağılım

Aritmetik Ortalama

Tepe Değer

Ortanca

)0()0( zaPazP

Standart Normal Dağılımla Olasılık Hesabı

Çarpıklık ve Basıklık Katsayılarının

Hesaplanması

• Dağılımları yorumlamada sıklıkla baĢvurulan bir diğer ölçü

de çarpıklık ve basıklık katsayılarıdır.

Çarpıklık Katsayısı

Puanlar x ekseninde küçükten büyüğe sıralanırken, bazı

durumlarda solda, bazen de sağda yığılma gösterirler.

Standart normal bir dağılımda aritmetik ortalama, ortanca

ve tepe değer aynı noktadadır ve çarpıklık 0 dır.

Çarpıklığın pozitif olması dağılımın sağa çarpık olduğu,

negatif olması ise dağılımın sola çarpık olduğu anlamına

gelir.

Çarpıklık Katsayısı

Basıklık Katsayısı

Basıklık katsayısı dağılımın sivrilik ya da yayvanlık

derecesinin bir ölçüsüdür. Basıklık katsayısı dağılımın

aritmetik ortalama etrafında yığılma veya aritmetik

ortalamadan uzaklaĢma eğilimi gösterir. Puanların az

çeĢitlilik gösterdiği, herkesin yaklaĢık benzer notlar aldığı

bir dağılım sivridir, puanların çeĢitlendiği bir dağılım ise

basıktır.

Basıklık katsayısı 0‟dan büyükse dağılım sivri, 0‟dan

küçükse dağılım basıktır.

63

Parametre DeğiĢikliklerindeki Farklar

2222

CBDADCBA


64

Standart Normal Dağılım Tablosunu

Kullanarak Olasılık Hesaplama

3413.)10( zP

f(z )

z0 1


65

1587.)3413.50(.)10(50.

1587.)1(

zP

zP


66

Normal dağılım eğrisi simetriktir. Bu nedenle aynı değerler için iĢaretler farklı

da olsa olasılıklar eĢittir. z ile ifade edilen değerler normal dağılım için

kullanılır.


Olasılığın Ġfade Edilmesi

68

f(z )

z-1 10

?)11( zP

( 1 1) ( 1 0) (0 1)

2 * (0 1) 2(0.3413) 0.6826

P z P z P z

P z


Ġstenen bölge tarandıktan sonra düĢük değer önce olmak üzere (negatif

değerler için düĢük değer sayısal değeri büyük olan değer olacaktır) z

değerinin istenen aralığı yazılır.

69


?)25.15.1( zP

0388.3944.4332.

)025.1()05.1()25.15.1( zPzPzP

70


?)65.165.1( zP

95.475.475.

)65.10()065.1()65.165.1( zPzPzP

71


?)58.258.2( zP

99.485.485.

)58.20()058.2()58.258.2( zPzPzP

μ ± 1σ arasında puanların %68.26’sı i bulunur.

μ ± 2σ arasında puanların %95.44’ü bulunur.

μ ± 3σ arasında puanların %99.7’si bulunur.

xμ

2σ 2σ

xμ

3σ 3σ

95.44% 99.72%


x

%68.26

1σ 1σ

μ

5.1.5.Merkezi Limit Teoremi

• Merkezi limit teoremi, evrene ait dağılım bilinmediğinde ya daevren dağılımı normal olmadığında, normal dağılımdanyararlanarak olasılık hesaplamak için kullanılan bir teoremdir.

• Bu teoremin fonksiyonu:

• Bu teoreme göre aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı

• olan sonlu olan bir evren dağılımı örneklem büyüklüğü arttıkçaörneklemin aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı

olan normal bir dağılıma dönüĢeceği varsayılır.

• Böylelikle örneklem büyüklüğü 30‟un üzerindeyken elimizdekidağılımla ilgili olarak normal dağılımın özelliklerindenyararlanılarak yorumlarda bulunulabilir.

);(~)(lim2

nNXfn

)(2

n

)(2

Örneklemden hesaplanan her değer evren ortalaması olan

μ’nün bir tahminidir. Buna göre örneklem değiştikçe tahmin

değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Parametre

değerinden olan sapmalara örnekleme hatası denir.

Örnekleme hatası aritmetik ortalamaların dağılımının standart

sapmasıdır. Aşağıdaki formülle örnekleme hatasını

hesaplayabiliriz:

Örnekleme Hatası

)(2

nX

Aritmetik Ortalamanın Alt ve Üst Sınırı

Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya bir kere eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %68 alt ve üstü sınırını verir.

X

X

X

X

.1

.1

Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya 1.96 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %95 alt ve üstü sınırını verir.

X

X

X

X

.96.1

.96.1

X

X

X

X

.58.2

.58.2

Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya 2.58 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %99 alt ve üstü sınırını verir.

5.1.6.Normal Dağılıma Yakınsamalar

• Normal koĢullarda örneklem büyüklüğü 30‟un üzerine

çıktığında dağılımlar normale dönüĢür.


Binom Dağılımının Normal Dağılıma

Yakınsaması• Büyük n değerleri için yaklaĢık olarak standart normal

• Dağılıma dönüĢür.


Poisson Dağılımının Normal Dağılıma

Yakınsaması• Beklenen değer büyüdükçe Poisson olasılık dağılımı

normal dağılıma yaklaĢır.


olasılık dağılımları

Science