oldřich petřík voronÉho diagramyhome.zcu.cz/~mikamm/galerie studentskych praci...
TRANSCRIPT
VORONÉHO DIAGRAMY
Oldřich Petřík
HISTORIE
1644: René Descartes
dílo Principy filosofie
rozložení hmoty ve Sluneční soustavě
1850: Johann Dirichlet
studium kvadratických forem
1854: John Snow
rozšíření cholery v Soho
2
HISTORIE
1908: Georgij Voronoj
profesor na
Varšavské univerzitě
zájem o algebru
a geometrii čísel
zobecnění diagramu
v prostoru o n rozměrech
3
DEFINICE
Oblast
množina bodů nejblíže k danému bodu
vzdálenost euklidovská
hraniční oblasti – otevřené
vnitřní oblasti – konvexní mnohoúhelníky
Diagram
hranice oblastí
hrany a vrcholy diagramu
4
VZHLED DIAGRAMŮ
Dva body
poloroviny oddělené osou spojnice
Tři body
na kružnici nebo kolineární
Vícebodová množina
průnik n-1 polorovin
body konvexního obalu = otevřené oblasti
5
VZHLED DIAGRAMŮ
6
VZHLED DIAGRAMŮ
Speciální případy
body na přímce
rovnoběžky, nejsou vrcholy
body na kružnici
polopřímky se společným počátkem
pravidelně rozložené body
trojúhelníková síť
obdélníková síť
šestiúhelníková síť
7
KONSTRUKCE
Z definice (průnik polorovin)
Inkrementální
Rozděl a panuj
Fortunův algoritmus
Metoda zdvihu
Z Delaunayovy triangulace
Pomocí kružnic
8
DELAUNAYOVA TRIANGULACE
Duální k Voroného diagramu
body sousedních oblastí sdílí hranu v DT
v opsané kružnici trojúhelníků žádný další bod
nejednoznačnosti – více bodů na kružnici
Maximalizuje minimální úhel
trojúhelníky nejblíže
rovnostranným
9
ZOBECNĚNÍ
Přidání vah k bodům
diagram složen z částí kružnic a přímek
Zobecnění generující množiny
úsečky, kružnice, polygony, …
Změna metriky
např. L1 metrika
oblasti již nemusí být konvexní
Pohyb bodů
jeden bod × všechny body10
POUŽITÍ
Počítačová grafika
hledání nejbližších sousedů a shluků
klasifikace objektů v obraze
konstrukce Delaunayovy triangulace
mozaiky
11
POUŽITÍ
Geometrické problémy
nalezení nejkratší cesty
problém největšího toku
uspořádání kabelů do svazku
aproximace minimum spanning tree
aproximace problému obchodního cestujícího
problém největší kružnice
problém nejbližší pošty
12
POUŽITÍ
Problém nejbližší pošty
13
POUŽITÍ
Kybernetika
plánování cesty robota mezi překážkami
zobecněný Voroného diagram
překážky = generující množina
hrany diagramu určují ideální dráhu
14
POUŽITÍ
Výskyt v přírodních jevech
teritoria zvířat
rozšíření rostlin
buněčná struktura
včelí plástve
koráli
růst krystalů
rozmístění molekul
15
DĚKUJI ZA POZORNOST!
16