oleh : danny kurnianto; risa farrid christianti institut...
TRANSCRIPT
Oleh : Danny Kurnianto; Risa Farrid Christianti
Institut Teknologi Telkom Purwokerto
*
*
*Tujuan pertama disini adalah untuk menentukan tanggapan
alami sebuah rangkaian sederhana RLC pararel.
*Perhatikan Gambar 1 berikut ini
Gambar 1.
*Dari gambar 1 diatas, dapat dituliskan persamaan simpulnya
adalah jumlah arus pada simpul tsb sama dengan nol.
…………….(1)
*Persamaan (1) dipecahkan dengan syarat awal
*Jika persamaan (1) diturunkan satu kali thd waktu, hasilnya
adalah persamaan diferensial orde dua sbb:
t
todt
dvCtoivdt
LR
v0)(
1
0)0( Ii
0)0( Vv
*Persamaan diferensial orde dua :
…………….(2)
*Dimana penyelesaiannya v(t) adalah tanggapan alami yang
diinginkan.
*Untuk menyelesaikan persamaan (2), masukkan nilai v sebesar
:
*Sehingga dihasilkan persamaan :
……………...(3)
011
2
2
vLdt
dv
Rdt
vdC
stAev
0)11
( 2 L
sR
CsAest
*Persamaan karakteristik dari persamaan (3) adl
…………………(4)
*Karena persamaan (4) adl kuadratis, maka ada dua
penyelesaian, yaitu s1 dan s2 .
………………(5)
……………..(6)
012 LR
sCs
a
acbbss
2
4,
2
21
LCRCRCs
1
2
1
2
12
1
LCRCRCs
1
2
1
2
12
2
*Dengan nilai s1 dan s2, maka kita dapatkan :
*Sehingga didapat bentuk tanggapan alamiah sbb:
……………….(7)
*Dimana s1 dan s2 didapat dari persamaan (5) (6) dan A1 dan
A2 adl dua konstanta yg akan dipilih untuk memenuhi dua
syarat awal.
tseAv 1
11 ts
eAv 2
22
21)( vvtv
tstseAeAtv 21
21)(
*Karena frekuensi resonansi adalah
rad/s ……………(8)
*Dan koefisien redaman adalah
…………….(9)
*Sehingga kita bisa menyusun ulang persamaan (5) (6) sebagai
berikut :
…………..(10)
…………..(11)
LC
10
1
2
1 sRC
2
0
2
1 s
2
0
2
1 s
*
*Tanggapan RLC pararel terlalu redam terjadi bila :
……………(12)
atau
…………….(13)
*S1 dan S2 merupakan bilangan real.
*Sehingga :
…………….(14)
……………(15)
0
224 CRLC
2
0
2
0)()(2
0
22
0
2
*Dilihat dari persamaan (15), maka dapat disimpulkan bahwa
nilai S1 dan S2 adalah bilangan real negatif.
*Jadi tanggapan v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlah
(aljabar) dari dua suku eksponensial yang menurun, yang
kedua mendekati nol jika waktu bertambah tanpa batas.
*Karena harga absolut S2 lebih besar dari S1, maka suku yang
mengandung S2 mempunyai penurunan yang lebih cepat dan
untuk waktu yang besar, kita dapat menulis ungkapan limit :
………..(16)
tuntukeAtvts
0)( 1
1
*Untuk mendapatkan nilai A1 dan A2 yang sesuai dengan
syarat awal, maka perhatikanlah contoh kasus sebagai berikut
:
1. Sebuah rangkaian RLC pararel dengan nilai R = 6 Ohm, L = 7
H , dan C = 1/42 F, energi yang tersimpan semula dinyatakan
dengan memilih tegangan awal melintas rangkaian v(0)=0 dan
arus induktor awal i(0)=10 A seperti yang pada gambar 2.
Gambar 2
*Jawab :
Kita dapat langsung mendapatkan nilai dari beberapa
parameter berikut :
= 3,5
S1 = -1 S2= -6
Sehingga kita bisa mendapatkan tanggapan alamiah sbb:
Jika kita mengetahui tanggapan v(t) pada dua waktu yg
berbeda, kedua nilai A1 dan A2 akan didapat dengan mudah.
Akan tetapi kita hanya mengetahui harga awal
60
tt eAeAtv 6
21)(
harga awal v(t) adl :
v(0) = 0
sehingga
0 = A1 + A2 (1)
Akan kita dapatkan persamaan (2) yg menghubungkan A1 dan
A2 dengan mengambil turunan v(t) terhadap waktu, setelah
diturunkan akan didapat harga awal turunan melalui
penggunaan syarat awal i(t) = 10 , dan menyamakan hasilnya.
tt eAeAdt
dv 6
21 6
hitung nilai turunan pada t = 0
Karena dv/dt adalah arus kapasitor karena :
Jadi :
Karena tegangan awal pd resistor adalah nol maka arus yang
mengalir adl nol
210 6AAdt
dvt
dt
dvCiC
s
V
C
i
C
ii
C
i
dt
dv RCt 420
)0()0()0()0(0
Sehingga kita peroleh persamaan kedua (2)
420 = -A1 – 6A2 (2)
Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) diatas
0 = A1 + A2 (1)
420 = -A1 – 6A2 (2)
Maka didapat nilai A1 = 84 dan A2 = -84.
Jadi penyelesaian akhir tanggapan alamiah adalah
tt eetv 68484)(
*Informasi apa yang didapat dari tanggapan alamiah tersebut:
Bahwa v(t) = 0 pada saat t = 0.
Suku eksponensial pertama mempunyai konstanta waktu 1
s dan suku kedua mempunyai konstanta waktu 1/6 s
Suku kedua menurun lebih cepat
V(t) tidak pernah negatif
Pada waktu tak berhingga, setiap suku mendekati nol.
*j
tt eetv 68484)(
Nilai maksimum tanggapan v(t) didapat dengan
menurunkan v(t) = 0 sehingga:
tm = 0,358 s
vm(t) = 48,9 V
)6(84 6tt eedt
dv
)6(840 6tt ee
tt ee 660
65 te
6ln5 t
*Gambar grafik tanggapan alamiah diatas adalah sebagai
berikut:
tt eetv 68484)(
Gambar 3
*Pada tanggapan RLC terlalu redam, waktu yg dipakai oleh
bagian transien dari tanggapan untuk menghilang (teredam)
terlalu lama. Dalam prakteknya, seringkali diinginkan
mempunyai respon transien mendekati nol secepat mungkin,
yakni dengan meminimumkan settling time (ts).
*ts dihitung dari t = 0 sampai waktu (t) mencapai v(t) kurang
dari 1 % harga maksimum v(t).
*Nilai 1% dari harga maksimum v(t) adalah 0,489 V, sehingga
untuk mencari ts tinggal masukkan nilai 0,489 V ke persamaan
Dengan mengabaikan suku eksponensial kedua, didapatkan ts
= 5,15 s
tt eetv 68484)(
*
*Tanggapan redaman kritis terjadi bila :
………………..(17)
…………………(18)
…………………(19)
*Pada contoh 1 pada subbab tanggapan terlalu redam, agar
terjadi tanggapan kritis, perlu di ubah-ubah salah satu dari
tiga parameter (R,L,C) dan kita pilih nilai R yang diubah
menjadi ohm, L = 7 H, dan C = 1/42 F
0 224 CRLC
CRL 24
2
67
*Maka kita dapatkan :
*Dan kita membentuk respon sebagai jumlah dua eksponensial
:
……………..(20)
*Persamaan diatas bisa menjadi :
……………….(21)
60
621 ss
tt eAeAtv 6
2
6
1)(
teAtv 6
3)(
*Pada persamana terakhir ini, kita hanya menjumpai satu
konstanta sembarang (A3) tetapi ada dua syarat awal v(0) = 0
dan i(0) = 10 A yang dipenuhi konstanta ini, dan hal ini tdk
mungkin bisa di pecahkan.
*Untuk itu, khusus untuk redaman kritis, persamaan
differensial (2) menjadi sbb:
……………………(22)
*Dan penyelesaian persamaan orde dua diatas adl :
…………………..(23)
*Persamaan (23) mengandung dua suku , yaitu suku pertama
sebuah t kali eksponensial negatif dan kedua adl eksponensial
negatif
02 2
2
2
vdt
dv
dt
vd
)( 21 AtAev t
*Nilai A1 dan A2 didapat dengan memasukkan syarat awal pada
v(t), v(0) = 0, jadi A2 = 0.
*Syarat awal kedua harus digunakan pada turunan dv/dt
seperti pada tanggapan terlalu redam, maka kita
deferensialkan dengan mengingat bahwa A2 = 0;
………………….(24)
*Hitung pada t = 0, maka
…………………….(25)
tt eAetAdt
dv 6
1
6
1 )6(
10 Adt
dvt
*Nyatakan turunan dalam arus kapasitor awal,
*Dengan syarat awal i(0) = 10 A , sehingga :
A1 = 420
*Jadi, tanggapan alamiahnya adalah
…………………….(26)
Dengan harga maksimum vm didapat dari tm, yaitu
tm = 0,408 s dan vm=63,1 V
Gambar 4 menunjukkan grafik redaman kritis.
C
i
C
i
C
i
dt
dv RCt
)0()0()0(0
ttetv 45,2420)(
*Grafik tanggapan redaman kritis
Gambar 4.
*
*Tanggapan kurang teredam terjadi bila :
………………….(27)
*Kita mulai dengan bentuk eksponensial :
*Jika bentuk
……………….(28)
0
tstseAeAtv 21
21)(
22
0
2
0
2 j
*Jika :
……………………..(29)
*Jadi sekarang tanggapan alamiahnya menjadi :
………..(30)
……(31)
22
0 d
)()( 21
dtjdtjt eAeAetv
2)(
2)()( 2121
j
eeAAj
eeAAetv
dtjdtjdtjdtjt
)sincos()( 21 dtBdtBetv t
*Dengan mengubah nilai R pada latihan 1 menjadi 10,5 Ohm,
sedangkan nilai L dan C tetap maka di dapat
………..(32)
*Dengan syarat awal v(0) = 0 dan i(0) = 10 A maka
tanggapannya menjadi :
……………..(33)
*Grafik dari tanggapan kurang teredam dapat dilihat pada
Gambar 5.
)2sin2cos()( 21
2 tBtBetv t
tetv t 2sin2210)( 2
*Grafik tanggapan kurang teredam
Gambar 5.
*Grafik semua tanggapan pada rangakain RLC pararel
Gambar 6.
*
*Sekarang kita mencoba untuk mencari tanggapan alamiah
dari rangakain seri RLC tanpa sumber seperti ditunjukkan
pada Gambar 7.
Gambar 7
*Rangkaian pada Gambar 7 adalah rangakain seri RLC yg
merupakan dual rangkaian RLC pararel, hal ini membuat kita
mudah untuk menganalisisnya. Persamaan integrodiferensial
pada Gambar 7 adalah sbb:
………………(34)
*Persamaan orde dua dari RLC seri dengan menurunkan
persamaan (34) adalah
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡 ………………(35)
0)(1
0
t
t
C tovidtC
Ridt
diL
C
i
dt
diR
dt
idL
2
2
*Nyatalah bahwa pembahasan kita yg lengkap mengenai
rangkaian RLC pararel, bisa langsung digunakan kepada
rangkaian RLC seri.
*Syarat awal pada tegangan kapasitor dan arus induktor adalah
ekivalen dengan syarat awal pada arus induktor dan tegangan
kapasitor.; respon tegangan menjadi respon arus.
*Berikut ini ringkasan seluruh tanggapan/ respon pada
rangkaian seri RLC
Tanggapan terlalu teredam
…………………(36)
Dimana ;
………………(37)
…………………(38)
…………………(39)
…………………(40)
tstseAeAti 21
21)(
LCL
R
L
Rss
1
22,
2
21
2
0
2
21, ss
L
R
2
LC
10
Tanggapan teredam kritis
…………………(41)
Tanggapan kurang teredam
………..(42)
Dengan
…………………(43)
)()( 21 AtAeti t
)sincos()( 21 dtBdtBeti t
22
0 d
*