olimpiade kab 2012

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2012

CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2013

Bidang Matematika

Waktu : 120 Menit

SET : 1

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 2012

Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten

Tahun 2012 Set 1

Waktu Pengerjaan 2 Jam Tuliskan jawaban akhir saja

Soal :

1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n 1)(n 3)(n 5) (n 2013) = n(n + 2)(n + 4) (n + 2012) adalah

2. Banyaknya pasangan bilangan bulat asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012 adalah

3. Bilangan asli terbesar x kurang dari 1000 sehingga terdapat tepat dua bilangan asli n sehingga

1

2

++

nxn

merupakan bilangan asli adalah

4. Diketahui suatu kelas terdiri dari 15 siswa. Semua siswa tersebut akan dikelompokkan menjadi 4 kelompok yang terdiri dari 4, 4, 4 dan 3 siswa. Ada berapa cara pengelompokan tersebut ?

5. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagai sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 624 dan 6864. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah

6. Banyaknya tripel bilangan bulat (x, y, z) yang memenuhi x2 + y2 + z2 xy yz zx = x3 + y3 + z3 adalah

7. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah

8. Misalkan a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan bulat sehingga 2a3b4c5d6e juga merupakan

bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai mutlak dari a, b, c, d, dan e tidak lebih dari 2012, maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah

9. Jika ( 220112012 + ) = n + r dengan n merupakan bilangan asli dan 0 r < 1, maka nilai r =

10. Tentukan semua nilai b sehingga untuk semua x paling tidak salah satu dari

f(x) = x2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b positif.

11. Jumlah semua bilangan bulat x sehingga 2log (x2 4x 1) merupakan bilangan bulat adalah

12. Ada berapa faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 6 ?

13. Suatu set soal terdiri dari 10 soal pilihan B atau S dan 15 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan. Seorang siswa menjawab semua soal dengan menebak jawaban secara acak. Tentukan probabilitas ia menjawab dengan benar hanya 2 soal.

14. Diberikan segitiga ABC dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan 1, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC tersebut adalah

15. Jika hasilkali tiga bilangan ganjil berurutan sama dengan 7 kali jumlah ketiga bilangan itu, maka jumlah kuadrat ketiga bilangan itu adalah

16. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan panjang AB = AC = 3, BC = 2, titik D pada sisi AC dengan panjang AD = 1, tentukan luas segitiga ABD.

17. Suatu dadu ditos enam kali. Tentukan probabilitas jumlah mata dadu yang muncul 27.

18. Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi : AB = x + 1, BC = 4x 2, dan CA = 7 x. Tentukan nilai dari x sehingga segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki.

19. Misalkan terdapat 5 kartu dimana setiap kartu diberi nomor yang berbeda yaitu 2, 3, 4, 5, dan 6. Kartu-kartu tersebut kemudian dijajarkan dari kiri ke kanan secara acak sehingga berbentuk barisan. Berapa probabilitas bahwa banyaknya kartu yang dijajarkan dari kiri ke kanan dan ditempatkan pada tempat ke-i akan lebih besar atau sama dengan i untuk setiap i dengan 1 i 5.

20. N lingkaran digambar pada sebuah bidang datar sedemikian sehingga terdapat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit tiga lingkaran. Berapa N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut ?



Bidang Matematika

Waktu : 120 Menit

SET : 2




Tahun 2012 Set 2


Soal :

1. Diberikan segi-100 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Jika S menyatakan himpunan semua nilai yang mungkin dari panjang diagonal-diagonal segi-100 tersebut maka banyaknya anggota S adalah

2. Pasangan bilangan asli (a, b) yang memenuhi 4a(a + 1) = b(b + 3) sebanyak

3. Misalkan S adalah himpunan semua faktor positif dari 1.000.000. Sebuah bilangan diambil secara acak dari S. Peluang bilangan yang terambil merupakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah



1

2

++

nxn


6. Diketahui bahwa besar tiap sudut dari segi-n beraturan adalah 179,99o. Jika keliling dari segi-n tersebut adalah 36 satuan maka panjang sisinya adalah satuan.


8. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik

talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah

9. Misalkan a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan bulat sehingga 2a3b4c5d6e juga merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai mutlak dari a, b, c, d, dan e tidak lebih dari 2012, maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah

f(x) = x

10. Tentukan semua nilai b sehingga untuk semua x paling tidak salah satu dari

2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b positif.

11. Misalkan S = {1, 2, 3, , 10}

dan f : S S merupakan korespondensi satu-satu yang memenuhi f(1) = 2, f92) = 3, f(3) = 4, f(4) = 5 dan f(5) = 6. Banyak fungsi f yang memenuhi adalah

12. Diketahui a2 + b2 = 5 dan c2 + d2 = 5. Tentukan nilai maksimum dari ac + bd.




16. Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(1) = 8 dan f(8) = 1. Nilai dari f(0) f(1) + f(2) f(3) + f(4) f(5) + f(6) f(7) + f(8) f(9)

adalah

17. Jumlah dari 2012 bilangan genap berurutan mulai dari n merupakan pangkat 2012 dari suatu bilangan asli. Nilai terkecil dari n yang mungkin adalah

18. Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan AB = 3, AC = 4, dan BC = 5 serta D merupakan titik tengah BC. Jika r dan s berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABD dan ADC maka nilai dari r

1 + s1 adalah

19. Banyaknya angka 0 sebagai angka-angka terakhir dari 2012! adalah

20. Bilangan bulat positif terkecil a sehingga 4a + 8a + 12a + + 2012a merupakan kuadrat sempurna adalah



Bidang Matematika

Waktu : 120 Menit

SET : 3




Tahun 2012 Set 3


Soal :

1. Banyaknya bilangan bulat n sehingga

325510

2

2

+

nn

merupakan bilangan bulat adalah

2. Ada berapa cara menyusun semua huruf DUARIBUDUABELAS dengan syarat huruf I dan E berdekatan ?

3. Dalam suatu pertemuan, setiap pria berjabat tangan dengan setiap orang, kecuali dengan isterinya; dan tidak ada (tidak dilakukan) jabat tangan di antara sesama wanita. Jika yang menghadiri pertemuan tersebut ada sebanyak 13 pasang suami-isteri, ada berapa banyak jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut ?

4. Banyaknya pasangan solusi bilangan bulat positif yang memenuhi m4

+ n2

= 1 adalah

5. Diketahui a2 + b2 = 5 dan c2 + d2 = 5. Tentukan nilai maksimum dari ac + bd.

6. Diberikan suatu persegi panjang ABCD dan titik H berada pada diagonal AC sehingga DH tegak lurus AC. Jika panjang AD = 15 cm, DC = 20 cm, maka panjang HB adalah

7. Diberikan suatu lingkaran dengan titik pusat O dan diameter AB. Titik-titik D dan C adalah titik pada lingkaran sehingga AD sejajar OC. Jika besar OAD = 42o, maka besar OCD adalah



1

2

++

nxn



11. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah

12. Misalkan a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan bulat sehingga 2a3b4c5d6e juga merupakan bilangan bulat. Jika diketahui bahwa nilai mutlak dari a, b, c, d, dan e tidak lebih dari 2012, maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah

13. Tentukan semua nilai b sehingga untuk semua x paling tidak salah satu dari f(x) = x2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b positif.

14. Ada berapa faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 6 ?


16. Tentukan angka satuan pada (2012)2012.

17. Di suatu papan tulis tertera bilangan 1 sampai dengan 100. Adi diminta untuk menghapus bilangan kelipatan dua. Upik diminta menghapus bilangan kelipatan tiga. p adalah banyaknya bilangan yang masih tertera di papan tulis. Jumlah digit dari p adalah

18. Tentukan bilangan n terbesar sehingga 6n membagi 30!.



SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2012

CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2013

Prestasi itu diraih bukan didapat !!!

SOLUSI SOAL

SET : 1

Bidang Matematika

Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST

Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2012 Set 1

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

1. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n + 2012)

n 1, n 3, n 5, , n 2013 adalah bilangan bulat dengan paritas yang sama. n, n + 2, n + 4, , n + 2012 adalah bilangan bulat dengan paritas yang sama. Sedangkan n dan n 1 adalah bilangan bulat dengan paritas yang berbeda. Maka ruas kiri dan kanan dari persamaan awal memiliki paritas yang berbeda sehingga tidak mungkin kesamaan akan terjadi. Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah 0.

2. Misalkan a dan b adalah dua bilangan asli berbeda dengan a > b. a2 b2 = 2012 (a + b)(a b) = 22 503 a + b dan a b adalah dua bilangan dengan paritas yang sama, maka hanya ada satu kasus yang memenuhi yaitu a + b = 1006 dan a b = 2. Maka a = 504 dan b = 502. Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli berbeda yang memenuhi ada 1.

3. 12

++

nxn = 1

112+

++n

xn

Karena (n + 1) membagi (n2 1) maka haruslah (n + 1) membagi (x + 1). Karena tepat ada 2 nilai n yang memenuhi maka harus ada tepat 2 nilai n + 1 yang memenuhi. Karena n adalah bilangan asli maka n + 1 > 1. Karena ada tepat 2 nilai n + 1 yang memenuhi maka x + 1 harus memiliki tepat 2 faktor dengan syarat faktor tersebut lebih dari satu mengingat n + 1 > 1. Bilangan yang memiliki 3 faktor positif termasuk 1 akan berbentuk p2 dengan p adalah bilangan prima. Karena 372 = 1369 > 1000 dan 312 = 961 < 1000 maka x + 1 = 312 = 961. Bilangan asli terbesar x < 1000 yang memenuhi adalah 960.

4. Banyaknya cara pengelompokan = !33347411415 CxCxCxC .

Hasil perhitungan kombinasi tersebut harus dibagi 3! sebab kombinasi tersebut menghitung pembagian kelompok yang terdiri dari 4 siswa sebanyak 3! kali.

Jadi, banyaknya cara pengelompokan = !3 3347411415 CxCxCxC .

5. Misalkan BC = a dan AC = b sehingga AB = 22 ba +

21 ab = 6864

ab = 13728 (1)



a + b = 624 22 ba + a2 + b2 + 2ab = 6242 + (a2 + b2) 2 624 22 ba + 2 2 6864 = 6242 2 624 22 ba + 2 11 = 312 22 ba +

22 ba + = 312 22 = 290 Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 290.

6. x2 + y2 + z2 xy yz zx = x3 + y3 + z3 untuk suatu bilangan bulat (x, y, z). Jika diambil x = 3k2 + 1 ; y = 3k3 + k dan z = y = 3k3 k maka x2 + y2 + z2 xy yz zx = (3k2 + 1)2 + 2(3k3 + k)2 (3k3 + k)(3k3 k) = (3k2 + 1)2 + 3(3k3 + k)2x2 + y2 + z2 xy yz zx = (3k2 + 1)2 + 3k2(3k2 + 1)2 = (3k2 + 1)3. Maka x2 + y2 + z2 xy yz zx = (3k2 + 1)3 (1) x3 + y3 + z3 = x3 = (3k2 + 1)3 (2) Jadi, untuk x = 3k2 + 1 ; y = 3k3 + k dan z = y = 3k3 k memenuhi kesamaan di atas. Ada tak hingga banyaknya bilangan bulat berbentuk 3k2 + 1, 3k3 + k dan 3k3 k. Jadi, banyaknya tripel bilangan bulat (x, y, z) yang memenuhi ada sebanyak tak hingga. (Catatan : tripel bilangan bulat (0, k, 1 k) untuk k bulat juga memenuhi.

7. Karena titik D dan E terletak pada setengah lingkaran maka AEB = ADB = 90o.

Misalkan panjang AC = 3x dan BC = 4y. Maka AD = x ; DC = 2x ; BE = y dan EC = 3y Pada AEB berlaku : AB2 = BE2 + AE2

AE2 = 900 y2 (1) Pada AEC berlaku : AC2 = AE2 + EC2

AE2 = 9x2 9y2 (2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat 9x2 8y2 = 900 (3) Pada BAD berlaku : AB2 = AD2 + BD2

BD2 = 900 x2 (4)



Pada BCD berlaku : BC2 = BD2 + CD2

BD2 = 16y2 4x2 (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 16y2 3x2 = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat

x2 = 180 sehingga x = 6 5 serta y2 = 90 sehingga y = 3 10 AC = 3x = 18 5 BD2 = 16y2 4x2 = 16(90) 4(180) = 720 sehingga BD = 12 5 Luas ABC = 21 AC BD = 9 5 12 5 = 540 Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.

8. 2a3b4c5d6e = 2a+2c+e 3b+e 5d. Agar 2a3b4c5d6e bulat maka a + 2c + e 0 ; b + e 0 dan d 0 Agar a + b + c + d + e minimal maka d minimal sehingga d = 0 Karena b + e 0 maka a + b + c + d + e a + c (1) Karena a + 2c + e 0 maka a + b + c + d + e b c (2) Jumlahkan persamaan (1) dan (2). 2(a + b + c + d + e) a + b a + b + c + d + e 2ba+ Karena 2012 a 2012 dan 2012 b 2012 maka a + b + c + d + e minimal = 2012 yang didapat jika a = b = 2012 serta c = 0 dan e = 2012. Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah 2012.

9. ( 220112012 + ) n = r dengan n merupakan bilangan asli dan 0 r < 1. Jelas bahwa n = ( + 220112012 ) dengan x menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.

n = ( + 220112012 ) = 2012 + 2011 + 201220112 x = Misalkan N = (2011 + 2

1 )2 2011 2012 = (2011 + 21 )2 2011 (2011 + 1) N = 20112 + 2011 + 4

1 20112 2011 = 41 > 0 Jadi, 2011 < 20122011x < 2011,5 sehingga 201220112 x = 2 2011. Jadi, n = 2012 + 2011 + 2 2011 r = ( )220112012 + n = ( 220112012 + ) 2012 2011 2 2011 = 2 20122011x 4022 r = 1 ( )220112012 Jadi, nilai r = 1 ( )220112012 .



10. x2 + 2012x bernilai positif untuk x < 2012 atau x > 0 (1) x2 2012x bernilai positif untuk x < 0 atau x > 2012 (2) Gabungan (1) dan (2) menghasilkan x R dan x 0. Jadi, x2 + 2012x atau x2 2012x akan menghasilkan nilai positif untuk semua x real dan x 0. Jika x = 0 maka x2 + 2012x = x2 2012x = 0. Maka, agar f(x) = x2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b bernilai positif untuk semua x real maka b > 0. Jadi, nilai b yang memenuhi f(x) atau g(x) bernilai positif untuk semua x real adalah b > 0.

11. 2log (x2 4x 1) = m untuk suatu bilangan bulat m. (x 2)2 5 = 2m(x 2)2 = 5 + 2mJika m < 0 maka ruas kanan merupakan pecahan. Tidak ada x bulat yang memenuhi. Jika m = 0 maka (x 2)2 = 6. Tidak ada x bulat yang memenuhi. Jadi, m > 0. Alternatif 1 : Jika m ganjil

Angka satuan 2m berulang dengan periode 4. Jika m ganjil maka angka satuan 2m adalah 2 atau 8 sehingga angka satuan 5 + 2m adalah 7 atau 3 untuk m ganjil. Bilangan kuadrat tidak mungkin memiliki angka satuan 3 atau 7 sehingga tidak mungkin ada x bulat yang memenuhi.

Jika m genap Misalkan m = 2n maka (x 2)2 (2n)2 = 5 (x 2 + 2n) (x 2 2n) = 5 Karena x 2 + 2n > x 2 2n maka ada 2 kasus Kasus 1, x 2 + 2n = 5 dan x 2 2n = 1

Maka didapat x 2 = 3 dan 2n = 2 sehingga x = 5 dan m = 2n = 2 Kasus 2, x 2 + 2n = 1 dan x 2 2n = 5

Maka didapat x 2 = 3 dan 2n = 2 sehingga x = 1 dan m = 2n = 2 Maka jumlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 1 = 4. Jadi, jumlah semua bilangan x yang memenuhi = 4. Alternatif 2 : Jika m 3 maka ruas kanan dibagi 8 akan bersisa 5. Bilangan kuadrat jika dibagi 8 akan bersisa 0, 1 atau 4. Jadi, tidak akan ada x bulat yang memenuhi. Maka 1 m 2. Jika m = 1 maka (x 2)2 = 7 sehingga tidak ada x bulat yang memenuhi. Jika m = 2 maka (x 2)2 = 9. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 atau x = 1. Maka jumlah semua bilangan x yang memenuhi = 5 1 = 4. Jadi, jumlah semua bilangan x yang memenuhi = 4.

12. Misalkan m = 27355372

Alternatif 1 : Misalkan n = 26345372 sehingga m = 6n Maka banyaknya faktor positif dari m yang merupakan kelipatan 6 sama banyaknya dengan faktor positif dari n. Banyaknya faktor positif dari n = (6 + 1)(4 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 420.



Alternatif 2 : Semua faktor positif dari m akan berbentuk 2a 3b 5c 7d dengan 0 a 7 ; 0 b 5 ; 0 c 3 dan 0 d 2 serta a, b, c dan d semuanya bilangan bulat. Agar faktor tersebut kelipatan 6 maka 1 a 7 ; 1 b 5 ; 0 c 3 dan 0 d 2. Banyaknya faktor positif dari n = 7 5 (3 + 1) (2 + 1) = 420. Jadi, banyaknya faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 6 adalah 420.

13. Peluang salah pada soal pilihan B atau S = peluang benar pada soal pilihan B atau S = 2

1 .

Peluang salah pada soal pilihan ganda = 43 dan peluang benar pada soal pilihan ganda = 4

1 . Ada 3 kasus : Kasus 1, 2 benar pada soal pilihan B atau S dan tidak ada yang benar pada soal pilihan ganda.

Peluang = 10C2 15C0 ( 21 )10 ( 43 )15 Kasus 2, 1 benar pada soal pilihan B atau S dan 1 benar pada soal pilihan ganda.

Peluang = 10C1 15C1 ( 21 )10 ( 43 )14 ( 41 )1 Kasus 3, tidak ada yang benar pada soal pilihan B atau S dan 2 benar pada soal pilihan ganda.

Peluang = 10C0 15C2 ( 21 )10 ( 43 )13 ( 41 )2. Jadi, probabilitas = 45 ( 21 )10 ( 43 )15 + 150 ( 21 )10 ( 43 )14 ( 41 )1 + 105 ( 21 )10 ( 43 )13 ( 41 )2

14. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 3 (1) a2 + b2 + c2 = 5 (2) R = 1 (3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ab + ac + bc = 2

1 (32 5) = 2 (4) Dalil sinus :

Aa

sin = Bb

sin = Cc

sin = 2R Misalkan d, e dan f berturut-turut adalah panjang garis tinggi yang ditarik dari A, B dan C. Subtitusikan persamaan b = A

fsin ; a = C

esin dan c = B

dsin ke persamaan (4)

Aaf

sin + Cce

sin + Bbd

sin = 2 Dengan mengingat dalil sinus maka 2Rf + 2Re + 2Rd = 2 Karena R = 1 maka d + e + f = 1 Jadi, jumlah panjang garis tinggi segitiga ABC sama dengan 1.

15. Misalkan bilangan ganjil terkecil = m

m(m + 2)(m + 4) = 7(m + m + 2 + m + 4) = 21(m + 2) m(m + 4) = 21 m2 + 4m 21 = 0 (m 3)(m + 7) = 0 Maka ketiga bilangan ganjil tersebut adalah 7, 5, 3 atau 3, 5, 7. Jumlah kuadrat ketiga bilangan = 32 + 52 + 72 = 83 Jadi, jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut adalah 83.



16. AB = AC = 3 dan BC = 2 serta AD = 1.

Misalkan E pada BC sehingga AE tegak lurus BC. Karena AB = AC maka E adalah pertengahan BC.

AE = 22 13 = 2 2 [ABC] = 2

1 2 2 2 = 2 2 ABD dan ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [ ][ ] 31== ACADABCABD [ABD] = 3

22

Jadi, luas segitiga ABD sama dengan 322 .

17. Banyaknya himpunan semesta = 66.

Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 9 = 5+6+5+4+3+2 = 25. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 10 = 4+5+6+5+4+3 = 27. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 11 = 3+4+5+6+5+4 = 27. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 12 = 2+3+4+5+6+5 = 25. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 13 = 1+2+3+4+5+6 = 21. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 14 = 1+2+3+4+5 = 15. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 15 = 1+2+3+4 = 10. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 16 = 1+2+3 = 6. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 17 = 1+2 = 3. Jika sebuah dadu ditos 3x maka banyaknya cara jumlah mata dadu 18 = 1. Banyaknya cara sebuah dadu ditos 6x sehingga jumlah mata dadu 27 = 2 (25x1 + 27x3 + 27x6 + 25x10 + 21x15) = 1666. Jadi, probabilitas jumlah mata dadu yang muncul 27 sama dengan 661666 .

18. Sisi terpanjang suatu segitiga harus kurang dari jumlah dua sisi yang lain. AB = x + 1 ; BC = 4x 2 dan CA = 7 x Kasus 1, AB = BC

x + 1 = 4x 2 sehingga x = 1. Panjang sisi segitiga tersebut adalah 1, 1 dan 6 yang tidak memenuhi 6 < 1 + 1.

Kasus 2, AB = CA x + 1 = 7 x sehingga x = 3 Panjang sisi segitiga tersebut adalah 4, 4 dan 10 yang tidak memenuhi 10 < 4 + 4.



Kasus 3, BC = CA 4x 2 = 7 x sehingga x = 59 Panjang sisi segitiga tersebut adalah 5

9 , 59 dan 5

14 yang memenuhi 514 < 5

9 + 59 .

Maka nilai x yang memenuhi hanya x = 59

Jadi, nilai x yang memenuhi ABC adalah segitiga sama kaki adalah 59 . 19. Banyaknya cara menaruh ke-5 kartu tersebut = 5 4 3 2 1 = 120.

Kartu 2 hanya bisa ditaruh di tempat ke-1 atau 2 saja. Banyaknya cara ada 2. Kartu 3 hanya bisa ditaruh di 2 tempat tersisa dari tempat ke-1, 2 atau 3. Kartu 4 hanya bisa ditaruh di 2 tempat tersisa dari tempat ke-1, 2, 3 atau 4. Kartu 5 hanya bisa ditaruh di 2 tempat tersisa dari tempat ke-1, 2, 3, 4 atau 5. Kartu 6 hanya bisa ditaruh di 1 tempat tersisa. Banyaknya cara menaruh kartu yang memenuhi = 2 2 2 2 1 = 16 Probabilitas kejadian = 120

16 = 152

Jadi, probabilitas kejadian = 152 .

20. Tiga titik sembarang paling banyak dilalui oleh satu buah lingkaran.

Tiga lingkaran sembarang paling banyak memiliki 6 titik potong. Masing-masing titik tersebut hanya dilalui 2 lingkaran. Karena ada 3 titik yang dilalui satu buah lingkaran maka tidak mungkin membuat tepat satu buah lingkaran lain yang melalui 6 titik tersebut. Jadi, diperlukan sedikitnya 2 lingkaran lagi untuk memenuhi bahwa terdapat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit tiga lingkaran. Jika N = 5.

Jadi, N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut adalah 5.




SOLUSI SOAL

SET : 2

Bidang Matematika




1. Beri nomor titik sudut segi-100 beraturan tersebut dari nomor 1 sampai 100.

Jenis-jenis diagonal adalah diagonal yang dihubungkan antara dua titik sudut yang berjarak 2, 3, 4, sampai dengan 50 angka. Khusus dua titik yang berjarak 50 angka merupakan diameter lingkaran luar segi-100 beraturan tersebut. Jadi, banyaknya anggota S adalah 49.

2. 4a(a + 1) = b(b + 3) 4a2 + 4a b2 3b = 0 (2a + b)(2a b) + 6a 3b = 2a (2a b)(2a + b + 3) = 2a Karena a dan b adalah bilangan asli maka 2a > b. Karena 2a + b + 3 > 2a maka ruas kiri > ruas kanan sehingga kesamaan tidak mungkin terjadi. Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli (a, b) yang memenuhi ada 0.

3. 1.000.000 = 26 56 sehingga banyaknya faktor positif dari 26 56 sama dengan 7 7 = 49. Faktor positif dari 26 56 akan berbentuk 2a 5b dengan 0 a 6 dan 0 b 6 serta a dan b adalah bilangan bulat. Agar faktor positif dari 26 56 merupakan pangkat tiga dari suatu bilangan asli maka nilai a sama dengan 0, 3 atau 6 dan nilai b juga 0, 3 atau 6. Maka banyaknya faktor positif dari 26 56 yang merupakan pangkat tiga dari suatu bilangan asli sama dengan 3 3 = 9. Jadi, peluang bilangan yang terambil merupakan pangkat tiga dari suatu bilangan asli = 499 .


5. 12

++

nxn = 1

112+

++n

xn




6. Misalkan AB adalah salah satu sisi segi-n beraturan tersebut dan misalkan juga O adalah pusat

lingkaran luar segi-n beraturan tersebut. AOB = 180o 179,99o = 0,01o. Maka banyaknya sisi, n =

01,0

360 = 36000.

Panjang sisi segi-36000 tersebut = 3600036 = 0,001.

Jadi, panjang sisi segi-n tersebut adalah 0,001 satuan.


21 ab = 6864

ab = 13728 (1) a + b = 624 22 ba + a2 + b2 + 2ab = 6242 + (a2 + b2) 2 624 22 ba + 2 2 6864 = 6242 2 624 22 ba + 2 11 = 312 22 ba +








BD2 = 900 x2 (4) Pada BCD berlaku : BC2 = BD2 + CD2

BD2 = 16y2 4x2 (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 16y2 3x2 = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat


9. 2a3b4c5d6e = 2a+2c+e 3b+e 5d. Agar 2a3b4c5d6e bulat maka a + 2c + e 0 ; b + e 0 dan d 0 Agar a + b + c + d + e minimal maka d minimal sehingga d = 0 Karena b + e 0 maka a + b + c + d + e a + c (1) Karena a + 2c + e 0 maka a + b + c + d + e b c (2) Jumlahkan persamaan (1) dan (2). 2(a + b + c + d + e) a + b a + b + c + d + e 2ba+ Karena 2012 a 2012 dan 2012 b 2012 maka a + b + c + d + e minimal = 2012 yang didapat jika a = b = 2012 serta c = 0 dan e = 2012. Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah 2012.

10. x2 + 2012x bernilai positif untuk x < 2012 atau x > 0 (1) x2 2012x bernilai positif untuk x < 0 atau x > 2012 (2) Gabungan (1) dan (2) menghasilkan x R dan x 0. Jadi, x2 + 2012x atau x2 2012x akan menghasilkan nilai positif untuk semua x real dan x 0. Jika x = 0 maka x2 + 2012x = x2 2012x = 0. Maka, agar f(x) = x2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b bernilai positif untuk semua x real maka b > 0. Jadi, nilai b yang memenuhi f(x) atau g(x) bernilai positif untuk semua x real adalah b > 0.



11. Banyaknya kemungkinan nilai f(6) ada 5, yaitu 1, 7, 8, 9 atau 10. Banyaknya kemungkinan nilai f(7) ada 4 tersisa. Banyaknya kemungkinan nilai f(8) ada 3 tersisa. Banyaknya kemungkinan nilai f(9) ada 2 tersisa. Banyaknya kemungkinan nilai f(10) ada 1 tersisa. Banyaknya fungsi f yang memenuhi = 5 4 3 2 1 = 120. Jadi, banyaknya fungsi f yang memenuhi = 120.

12. a2 + b2 = 5 dan c2 + d2 = 5

a2 + b2 + c2 + d2 = 10 Alternatif 1 : Sesuai ketaksamaan AM-GM maka 2ac a2 + c2 dan 2bd b2 + d22ac + 2bd a2 + b2 + c2 + d2 = 10 ac + bd 5 Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5. Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. Alternatif 2 : Bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka (a c)2 + (b d)2 0 Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. a2 + b2 + c2 + d2 2ac + 2bd 10 2ac + 2bd ac + bd 5 Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5. Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5.


1 .






14. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 3 (1) a2 + b2 + c2 = 5 (2) R = 1 (3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ab + ac + bc = 2

1 (32 5) = 2 (4)



Dalil sinus :

Aa

sin = Bb

sin = Cc


fsin ; a = C

esin dan c = B


Aaf

sin + Cce

sin + Bbd




16. Misalkan fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = ax2 + bx + c. f(8) f(1) = 63a + 7b = 1 8 = 7 9a + b = 1 (1) Misalkan N = f(0) f(1) + f(2) f(3) + f(4) f(5) + f(6) f(7) + f(8) f(9) N = (0 12 + 22 33 + 44 52 + 62 77 + 82 92)a + (0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9)b N = (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)a 5b = 45a 5b = 5(9a + b) = 5 (1) = 5 Jadi, nilai f(0) f(1) + f(2) f(3) + f(4) f(5) + f(6) f(7) + f(8) f(9) adalah 5.

17. Misalkan S adalah jumlah 2012 bilangan genap beruutan dimulai dari n.

S = 22012 (2n + 2011 2) = k2012 untuk suatu bilangan asli k.

2012 (n + 2011) = k2012Ruas kiri habis dibagi 2 dan juga 503 maka k juga habis dibagi 1006. Maka n + 2011 minimal = 22010 5032011. Karena 22010 5032011 genap maka n adalah bilangan ganjil. Kontradiksi. Jadi, tidak ada nilai n yang memenuhi.



18. AB = 3 ; AC = 4 ; BC = 5.

Karena BAC = 90o maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui titik A, B dan C dengan BC sebagai diameter sehingga D adalah pusat lingkaran. Jadi, DA = DB = DC = 2

5 .

[ABC] = 21 4 3 = 6.

Jarak D ke AC = ( ) 2225 2 = 23 [ADC] = 2

1 23 4 = 3 [ABD] = [ABC] [ADC] = 6 3 = 3. 21 r(DA + DB + AB) = [ABD]

21 r( 2

5 + 25 + 3) = 3

r = 43

21 s(DA + DC + AC) = [ADC]

21 s( 2

5 + 25 + 4) = 3

s = 32

Maka r1 + s

1 = 34 + 2

3 = 617

Jadi, nilai dari r1 + s1 adalah 617 . 19. Nilai k terbesar sehingga 5k membagi 2012! = 52012 + 252012 + 1252012 + 6252012 = 402 + 80 + 16 + 3.

Jadi, nilai k terbesar sehingga 5k membagi 2012! = 501. Nilai m terbesar sehingga 2m membagi 2012! lebih dari k. Maka 2012! = p 10501 dengan p adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi 10. Jadi, banyaknya angka 0 sebagai angka-angka terakhir dari 2012! adalah 501.

20. 4a + 8a + 12a + + 2012a = 2503 (4a + 2012a) = 503 1008a = 122 7 503a

Agar 122 7 503a merupakan kuadrat sempurna maka a = 7 503k2 = 3521k2 dengan k N. Jadi, bilangan bulat positif terkecil a yang memenuhi adalah 3521.




SOLUSI SOAL

SET : 3

Bidang Matematika




1. 325510

2

2

+

nn = m dengan m dan n bilangan bulat.

Alternatif 1 : 10n2 55 = 2mn2 + 3m (2n2 + 3)(5 m) = 70 = 2 5 7 Karena 2n2 + 3 3 maka nilai 2n2 + 3 yang mungkin memenuhi adalah 5, 7, 10, 14, 35 atau 70. Dari keenam nilai tersebut yang membuat ada n bulat yang memenuhi adalah 5 atau 35. Jika 2n2 + 3 = 5 maka nilai n bulat yang memenuhi adalah n = 1 atau 1. Jika 2n2 + 3 = 35 maka nilai n bulat yang memenuhi adalah n = 4 atau 4. Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi ada 4. Alternatif 2 :

325510

2

2

+

nn = 5

32702+n

Maka 2n2 + 3 membagi 70. Karena 2n2 + 3 3 maka nilai 2n2 + 3 yang mungkin memenuhi adalah 5, 7, 10, 14, 35 atau 70. Dari keenam nilai tersebut yang memebuat aa n bulat yang memenuhi adalah 5 atau 35. Jika 2n2 + 3 = 5 maka nilai n bulat yang memenuhi adalah n = 1 atau 1. Jika 2n2 + 3 = 35 maka nilai n bulat yang memenuhi adalah n = 4 atau 4. Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi ada 4. Jadi, banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi ada 4.

2. DUARIBU DUABELAS terdiri dari 15 belas huruf dengan 2 huruf D, 2 huruf B, 3 huruf U dan 3 huruf A. Anggap huruf I dan E sebagai satu obyek. Banyaknya susunan huruf I dan E ada 2. Maka sekarang terdapat 14 huruf dengan 2 huruf D, 2 huruf B, 3 huruf U dan 3 huruf A. Banyaknya susunan huruf = 2 !3!3!2!2 !14 xxx = !3!3!2 !14xx = 1.210.809.600 Jadi, banyaknya susunan huruf = !3!3!2 !14xx = 1.210.809.600.

3. Jika semuanya berjabat tangan maka banyaknya jabat tangan = 26C2 = 325. Banyaknya jabat tangan di antara wanita = 13C2 = 78 Banyaknya jabat tangan di antara sepasang suami isteri = 13 Banyaknya jabat tangan yang terjadi = 325 78 13 = 234. Jadi, banyaknya jabat tangan = 234.

4. m4 + n

2 = 1 4n + 2m = mn (m 4)(n 2) = 8 Jelas bahwa n 2 > 2 dan m 4 > 4 maka Jika m 4 = 1 dan n 2 = 8 maka m = 5 dan n = 10 Jika m 4 = 2 dan n 2 = 4 maka m = 6 dan n = 6 Jika m 4 = 4 dan n 2 = 2 maka m = 8 dan n = 4 Jika m 4 = 8 dan n 2 = 1 maka m = 12 dan n = 3 Jadi, banyaknya pasangan solusi bilangan bulat positif yang memenuhi ada 4.



5. a2 + b2 = 5 dan c2 + d2 = 5

a2 + b2 + c2 + d2 = 10 Alternatif 1 : Sesuai ketaksamaan AM-GM maka 2ac a2 + c2 dan 2bd b2 + d22ac + 2bd a2 + b2 + c2 + d2 = 10 ac + bd 5 Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5. Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. Alternatif 2 : Bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka (a c)2 + (b d)2 0 Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. a2 + b2 + c2 + d2 2ac + 2bd 10 2ac + 2bd ac + bd 5 Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5. Tanda kesamaan terjadi jika a = c dan b = d. Jadi, nilai maksimum ac + bd sama dengan 5.

6. AB = DC = 20 cm dan AD = BC = 15 cm.

Alternatif 1 : [ACD] = 2

1 AC DH = 21 AD DC DH = 12 cm Maka AH = 9 cm dan CH = 16 cm. Buat juga garis melalui H sejajar AD memotong sisi AB di E dan DC di F. [CDH] = 2

1 DH CH = 21 CD HF 12 16 = 20 HF sehingga HF = 548 cm dan EH = 527 cm. BE = CF = ( ) ( )2548216 = 564 cm HB2 = BE2 + EH2 = ( 5

64 )2 + ( 527 )2 = 193

HB = 193 cm Alternatif 2 : Tanpa mengurangi keumuman misalkan koordinat A(0, 0), B(20, 0), C(20, 15) dan D(0, 15). Gradien AC = 4

3 sehingga gradien DH = 34 . Karena persamaan garis AC adalah y = 4

3 x maka koordinat H(a, 43 a)



Gadien DH = 0154

3

aa

= 34 9a 180 = 16a a = 5

36 sehingga koordinat H( 536 , 5

27 )

HB2 = (20 536 )2 + ( 527 0)2 = 193 HB = 193 cm Jadi, panjang HB = 193 cm

7. AD sejajar OC dan OAD = 42o.

Karena OC sejajar AD maka BOC = 42o sehingga AOC = 180o 42o = 138o. Karena OA = OD maka OAD sama kaki sehingga AOD = 180o 2 42o = 96o. Maka COD = 138o 96o = 42o. Karena OC = OD maka COD sama kaki sehingga OCD = 21 (180o COD) = 69o Jadi, besar OCD = 69o.


9. 12

++

nxn = 1

112+

++n

xn





21 ab = 6864

ab = 13728 (1) a + b = 624 22 ba + a2 + b2 + 2ab = 6242 + (a2 + b2) 2 624 22 ba + 2 2 6864 = 6242 2 624 22 ba + 2 11 = 312 22 ba +






BD2 = 900 x2 (4) Pada BCD berlaku : BC2 = BD2 + CD2

BD2 = 16y2 4x2 (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat



16y2 3x2 = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat


12. 2a3b4c5d6e = 2a+2c+e 3b+e 5d.

Agar 2a3b4c5d6e bulat maka a + 2c + e 0 ; b + e 0 dan d 0 Agar a + b + c + d + e minimal maka d minimal sehingga d = 0 Karena b + e 0 maka a + b + c + d + e a + c (1) Karena a + 2c + e 0 maka a + b + c + d + e b c (2) Jumlahkan persamaan (1) dan (2). 2(a + b + c + d + e) a + b a + b + c + d + e 2ba+ Karena 2012 a 2012 dan 2012 b 2012 maka a + b + c + d + e minimal = 2012 yang didapat jika a = b = 2012 serta c = 0 dan e = 2012. Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c + d + e adalah 2012.

13. x2 + 2012x bernilai positif untuk x < 2012 atau x > 0 (1)

x2 2012x bernilai positif untuk x < 0 atau x > 2012 (2) Gabungan (1) dan (2) menghasilkan x R dan x 0. Jadi, x2 + 2012x atau x2 2012x akan menghasilkan nilai positif untuk semua x real dan x 0. Jika x = 0 maka x2 + 2012x = x2 2012x = 0. Maka, agar f(x) = x2 + 2012x + b atau g(x) = x2 2012x + b bernilai positif untuk semua x real maka b > 0. Jadi, nilai b yang memenuhi f(x) atau g(x) bernilai positif untuk semua x real adalah b > 0.

14. Misalkan m = 27355372 Alternatif 1 : Misalkan n = 26345372 sehingga m = 6n Maka banyaknya faktor positif dari m yang merupakan kelipatan 6 sama banyaknya dengan faktor positif dari n. Banyaknya faktor positif dari n = (6 + 1)(4 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 420. Alternatif 2 : Semua faktor positif dari m akan berbentuk 2a 3b 5c 7d dengan 0 a 7 ; 0 b 5 ; 0 c 3 dan 0 d 2 serta a, b, c dan d semuanya bilangan bulat. Agar faktor tersebut kelipatan 6 maka 1 a 7 ; 1 b 5 ; 0 c 3 dan 0 d 2. Banyaknya faktor positif dari n = 7 5 (3 + 1) (2 + 1) = 420. Jadi, banyaknya faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 6 adalah 420.




1 .






16. Angka satuan (2012)2012 sama dengan angka satuan 22012. Angka satuan 2n berulang dengan periode 4. Karena 2012 habis dibagi 4 maka angka satuan 22012 sama dengan angka satuan 24 yaitu 6. Jadi, angka satuan (2012)2012 adalah 6.

17. Banyaknya bilangan kelipatan 2 = 2100 = 50.

Banyaknya bilangan kelipatan 3 = 3100 = 33. Banyaknya bilangan kelipatan 6 = 6100 = 16. Banyaknya bilangan yang dihapus = A + B AB = 50 + 33 16 = 67. Banyaknya bilangan yang masih tertera di papan tulis = p = 100 67 = 33. Jadi, jumlah digit dari p = 3 + 3 = 6.

18. Nilai k terbesar sehingga 3k membagi 30! = 330 + 930 + 2730 = 10 + 3 + 1 = 14. Nilai m terbesar sehingga 2m membagi 30! lebih dari k maka nilai n terbesar sehingga 6n membagi 30! adalah 14. Jadi, nilai n terbesar sehingga 6n membagi 30! adalah 14.

19. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c.

a + b + c = 3 (1) a2 + b2 + c2 = 5 (2) R = 1 (3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ab + ac + bc = 2

1 (32 5) = 2 (4) Dalil sinus :

Aa

sin = Bb

sin = Cc


fsin ; a = C

esin dan c = B




Aaf

sin + Cce

sin + Bbd




SoalOlimpiadeMatematikaTkKota2012Tipe1SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2012Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten



SolusiOlimpiadeMatematikaTkKota2012Tipe1CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2013SOLUSI SOALBidang Matematika

( Jadi, jumlah semua bilangan x yang memenuhi = 4.


( Jadi, banyaknya fungsi f yang memenuhi = 120.


( Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.

olimpiade kab 2012

Documents