Omurtag M.H. Statik – 5. Baskı – © 1998, 2003, 2007, 2009, 2012 ISBN 9789755114774 Kod No. Y.0029 © Bu kitabın her hakkı saklıdır ve Türkiye’de tüm yayın hakları “BİRSEN BASIM, YAYIN DAĞITIM ve SANAYİ

LİMİTED ŞİRKETİ’ne” aittir. Bu kitabın tamamı veya herhangi bir bölümü yayınevinin yazılı izni olmaksızın yayınlanamaz, basılamaz, mikrofilme çekilemez, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, TEKSİR, FOTOKOPİ veya başka bir teknikle çoğaltılamaz, bilgisayarlarda, dizgi makinalarında işlenebilecek bir ortama aktarılamaz.

Aksi davranışlarda bulunanlar 5846 sayılı yasanın 7.6.1995 tarihli değiştirilen 4110 No. lu kanunda belirtilen

maddelerce Yazarın ve Yayınevinin maddi ve manevi zararını kabul etmiş olurlar. Bu kanunun mercii makamı T.C. İstanbul Mahkemeleridir.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Kod No. : Y.0029 ISBN : 9789755114774 Kitabın Adı : Statik Yayın Hakkı : © 2012 Birsen Yayınevi Ltd. Şti. Kitabın Yazarı : Mehmet Hakkı Omurtag e-posta : omurtagm@itu.edu.tr http://web.itu.edu.tr/~omurtagm/ Yayınlayan : Birsen Yayınevi Ltd. Şti. Cağaloğlu Yokuşu, Evren Çarşısı, No. 29/13 Tel : 0212-527 85 78, 0212-522 08 29 Fax : 0212-527 08 95 e-posta : birsenyayin@isbank.net.tr http://www.birsenyayin.net.tr

Teşekkür : Bölüm başlarındaki fotoğraflar

Şirketi'nin referanslarıyla ilgili arşivinden temin edilmiştir. e-posta : info@yolsu.com.tr http://www.yolsu.com.tr Baskı : Cenkler Matbaacılık Amb. San. ve Tic. Ltd. Şti. İ. Karaoğlanoğlu Cad. Civan Sok. No. 7/1, Seyrantepe – 4. Levent İstanbul Tel : 0212-264 18 21, 0212-269 04 99, 0212-283 02 77 Fax : 0212-264 05 31 e- posta : cenkler@cenkler.com.tr / cenklermatbaa@yahoo.com Kapak Tasarımı : Ceyda Tavukçular (Cenkler Matbaası)

Üç güzel insan Gülden, İrem ve Sinem OMURTAG

için.

İÇİNDEKİLER

Sayfa Önsöz ix Gösterimler xi

1 GİRİŞ 1

1.1 Mekanik 3 1.2 Rijit Cisim Statiği 5 1.3 Birimler 6 1.4 Statiğin İlkeleri 7 1.5 Problem Çözüm Tekniği 8 PROBLEMLER 9

2 VEKTÖRLER 11

2.1 Vektör 13 2.2 Vektörel Toplama ve Çıkartma 15 Örnekler 16 2.3 Vektörlerde Çarpma İşlemleri 18 Örnekler 21 2.4 Türev Operatörü Nabla 24 Örnekler 25 PROBLEMLER 27

3 DÜZLEMDE DENGE 29

3.1 Kuvvet 31 3.2 Bir Noktada Kesişen İki Kuvvetin Bileşkesi 31 3.3 Bir Kuvvetin Bileşenlerine Ayrılması 32 3.4 Bir Noktada Kesişen Kuvvetler Sisteminde Bileşke 33 3.5 Düzlemde Parçacığın Dengesi 34 3.6 Parçacığın Serbest Cisim Diyagramı (SCD) 35 3.7 Bir Noktada Kesişen Üç Kuvvetin Dengesi 36 Örnekler 37 3.8 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti 41 3.9 Bir Kuvvet Çiftinin Momenti 43 3.10 Eşdeğer Kuvvet Çiftleri 44 3.11 Bir Kuvvetin Etki Çizgisi Dışında Bir Noktaya Taşınması 45 3.12 Düzlem Kuvvetlerin Dengesi 45 Örnekler 46 3.13 Kuvvetler Sisteminin Bir Noktaya İndirgenmesi 49 3.14 Kuvvetler Sisteminin Tek Bir Kuvvete İndirgenmesi 50 Örnekler 52 PROBLEMLER 58

vi STATİK

4 AĞIRLIK MERKEZİ 69

4.1 Tanım 71 4.2 Düzlemsel Alanlarda Ağırlık Merkezi (İntegrasyon Yöntemi) 72 Örnekler 75 4.3 Düzlemsel Eğrilerde Ağırlık Merkezi (İntegrasyon Yöntemi) 78 Örnekler 80 4.4 Bileşik Plak ve Tellerde Ağıtlık Merkezi Hesabı 82 Örnekler 83 4.5 PappusGuldinus Teoremleri 84 Örnekler 87 4.6 Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi 89 Örnekler 93 PROBLEMLER 94

5 RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ 101

5.1 Rijit Cisimde Denge 103 5.2 Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali 103 5.3 Düzlemde Serbestlik Derecesi 105 5.4 Bağ Çeşitleri 106 5.5 Pandül Ayak 107 5.6 Düzlem Taşıyıcı Sistemler 109 5.7 Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları 112 5.8 Düzlem Taşıyıcı Sistemlerin Mesnetlenmesi 115 Örnekler 119 5.9 Çok Parçalı Sistemlere Giriş 123 Örnekler 125 PROBLEMLER 129

6 DÜZLEMDE TAŞIYICI SİSTEMLER 141

6.1 Çok Parçalı Taşıyıcılar 143 6.2 Kafes Sistemler 143 6.3 Kafes Köprüler 149 6.4 Kafes Çatılar 149 6.5 Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler 152 6.6 Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri 154 6.7 Kafes Sistemlerde Düğüm Noktası Yöntemi 157 Örnekler 160 6.8 Kafes Sistemlerde Kesim Yöntemi 161 Örnekler 163 6.9 Kafes Sistemlerde Çubuk Değiştirme Yöntemi 167 6.10 Mesnetleri İle Tam Bağlı Düzlem Kafes Sistemler 168 6.11 Kritik Kafes Sistemler 170 Örnekler 170 6.12 Çerçeveler ve Makinalar 173 Örnekler 175 PROBLEMLER 178

7 KABLOLAR 191

7.1 Varsayımlar ve Tanımlar 193 7.2 Tekil Yükleri Aktaran Kablolar 195

İÇİNDEKİLER vii

Örnekler 195 7.3 Yayılı Yük Aktaran Kablolar 200 7.4 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 200 Örnekler 207 7.5 Kendi Ağırlığını Taşıyan Kablolar (Zincir Eğrisi) 215 Örnek 219 PROBLEMLER 220

8 KESİT TESİRLERİ 227

8.1 İç Kuvvetler 229 8.2 Bir Noktada Kesit Tesirlerinin Hesabı 232 Örnekler 235 8.3 Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri : Kesim Yöntemi 238 Örnekler 240 8.4 Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri : Diferansiyel Denge Denklemleri 243 8.5 Kesit Tesir Diyagramları 245 Örnekler 247 PROBLEMLER 253

9 RİJİT CİSMİN UZAYDA DENGESİ 257

9.1 Uzayda Serbestlik Derecesi 259 9.2 Rijit Cismin Uzayda Dengesi 260 9.3 Bir Uzay Kuvvetin Bileşenleri 261 9.4 Bir Noktada Kesişen Uzay Kuvvetlerde Bileşke 265 9.5 Bir Eksene Göre Statik Moment 265 9.6 Kuvvetler Sistemini Bir Noktaya İndirgeme 267 Örnekler 268 9.7 İndirgemenin Değişmezleri (İnvaryantları) 270 9.8 Merkezsel Eksen ve Kuvvet Vidası 271 Örnekler 272 9.9 Uzayda Bağlar 274 Örnekler 278 9.10 Uzay Kafes Sistemler 284 9.11 Kendi İçinde ve Tek Başına Rijit Kafes Sistemler 285 9.12 Mesnetleri ile Tam Bağlı Kafes Sistemler 289 9.13 Çubuk Kuvvetleri İçin Özel Durumlar 291 Örnek 292 PROBLEMLER 292

10 SÜRTÜNME 301

10.1 Sürtünen Yüzeyler 303 10.2 Sürtünme Kuvveti ve Sürtünme Katsayısı 304 10.3 Sürtünme Açısı 307 Örnekler 308 10.4 Kamalar 313 Örnekler 316 10.5 Kayış Sürtünmesi 317 Örnekler 319 10.6 Basınç Yatakları 321 Örnek 322 10.7 Mil Yatakları ve Dingil Sürtünmesi 323 Örnek 324 10.8 Tekerlek Sürtünmesi ve Yuvarlanma Direnci 324

viii STATİK

10.9 Kare Dişli Vida 325 Örnek 329 PROBLEMLER 330

11 YAYILI KUVVETLER 341

11.1 Tanım 343 11.2 Akışkanların Statiği (Hidrostatik) 343 Örnekler 348 11.3 Kaldırma Kuvveti 352 Örnek 354 11.4 Eylemsizlik Momenti 355 11.5 Eylemsizlik Yarıçapı 356 11.6 Eksen Takımının Değiştirilmesi 357 11.7 Asal Eylemsizlik Momentleri 359 Örnekler 359 PROBLEMLER 363

12 VİRTÜEL İŞ YÖNTEMİ 369

12.1 Giriş 371 12.2 Bir Kuvvetin ve Bir Momentin İşi 371 12.3 Virtüel İş İlkesi 373 12.4 Genelleştirilmiş Koordinatlar 376 Örnekler 377 12.5 Potansiyel Enerji 384 12.6 Sürtünmeli Makinalar ve Mekanik Verim 388 12.7 Denge 389 Örnekler 391 PROBLEMLER 395

KAYNAKLAR 403EK-A Birim Çevirmeleri 405 USCS ve SI sistemlerinde birimlerin kısaltmaları 405 SI sisteminde ön ekler 406 Grek alfabesi 406EK-B Bazı Özel Fonksiyonların İntegralleri 407EK-C Trigonometrik Bağıntılar 408EK-D Homojen Üç Boyutlu Bazı Cisimlerin Kütle Merkezleri 409CEVAP ANAHTARI 411DİZİN 423TÜRKÇE-İNGİLİZCE TEKNİK TERİMLER SÖZLÜĞÜ 425

ÖNSÖZ

“DÜNYADA SONUCU EN GEÇ ALINAN YATIRIM İNSANA YAPILANDIR ve

İNSANLAR İYİ ESERLERE LAYIKTIR.” Bu kitap TÜRKİYE BİLİMLER AKADEMİSİ (TÜBA) tarafından 2009 yılında “Üniversite Ders Kitapları” dalında ödüllendirilmiştir. Bilindiği gibi, TÜBA Başbakanlığa bağlı özerk bir devlet kuruluşudur. İlk Baskısı 1998 yılında iki yazarlı olarak piyasaya çıkmış olan bu kitap, 2003 yılındaki 2. Baskıya geçilmeden önce tüm yayın hakları yazar tarafından devir alınarak, kapsamlı bir düzenlemeye sokulup yeniden yüksek öğretimin hizmetine sunul-du. Geçen süre içinde gördüğü yoğun talep sonucu hızla tükenen 3. ve 4. Baskılar, çözülecek problemler bakımından ciddi bir biçimde zenginleştirilerek ve yeni bir konu olan “Bölüm 8: Kesit Tesirleri” ilavesi yapılarak, 5. Baskı biçiminde tekrar sizlerle buluşturuldu.

Elinizdeki eser; yazarın bilgisi kapsamında konu boşluğuna yer vermeyecek biçimde, doğrudan bir ders kitabı amaçlanarak yapılandırılmıştır. O nedenle konu bütünlüğü ilkesine özellikle dikkat edilmiş ve her yeni bilgi mut-laka bir önceki bilginin üstüne oturacak biçimde titizlikle yerleştirilmiştir. Eserin en büyük özelliği, yazarın uzun yıllardan beri İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ bünyesinde verdiği Mekanik STATİK dersinde elde ettiği birikimle tamamen özgün bir konu anlatımına dayandırmasıdır. Bu biçimiyle ders kitabı olarak kullanıl-dığında, konular öğrenciye çok daha hızlı ama bir o kadar da anlaşılır bir tarzda aktarılabilmektedir. Aynı nedenle, öğrencilerin kendi başlarına kitabı okumaları halinde ise, süratle ama sağlam temellere dayanarak statik problemlerine yönelmeleri mümkün olabilmektedir. Öte yandan içindeki çözülmüş örnek sayısı pek çok ders kitabına göre oldukça fazladır.

Mekaniğe giriş olan STATİK, liseyi bitirip teknik eğitime yönelmiş öğrencilerin mühendislik kavramıyla ilk tanış-malarını sağlayan, sevimli bir derstir. Günlük hayatta sıkça gözlemlediğimiz pek çok fiziksel olaya artık bir başka bakış açısı ile yaklaşmanın ilk tohumları, düşünce zenginliği ile zihinlere aktarılmaya çalışılır. Mekanik, mühen-dislik eğitiminde büyük öneme sahip kavramlar manzumesidir. O nedenle mekaniğin, herhangi bir nedenden dolayı eğitim yılları içerisinde iyi sindirilememesi durumunda, genç mühendislerin uygulamada hep bir eksik ve ürkeklik hissetmeleri kaçınılmazdır.

İnsanları gönüllerde yaşatan, onların, kendilerinden sonraki kuşaklara bıraktığı eserleridir. Bu amaçla senelerin birikimleri sizler için kâğıda döküldü. Eserin basıma hazırlanması aşamasında, her şeyin en iyisini hak eden gençlerimiz için, uluslararası ders kitaplarındaki düzey hedeflendi ve kalitenin korunmasına büyük özen göste-rildi. Dünyada sonucu en geç alınan yatırım insana yapılandır. O nedenle yazar, emeklerinin karşılığında siz gençlere bir olumlu katkı verilebilirse, değeri ölçülemez bir sevinç duyacaktır.

Başlangıcı ARCHIMEDES (M.Ö. 287212) ile ARISTOTALES (M.Ö. 384322) ye kadar uzanan rijit cisimler meka-niğinin bir kolu olan “Mekanik STATİK“ konusunda yazılabilecekler az çok bellidir. Özgün bir eser verilmek isten-diğinde ise, zor olan, bunun en uygun nasıl aktarılması gerektiğini belirleyebilmektir. Ayrıca önemli noktalardan biri de, orta öğretimden yükseköğretime geçen öğrenciler arasındaki farklı bilgi ve birikim düzeyleridir. Eserde anlatılmak istenen konular, önce okuyucunun zihninde oluşturulmaya çalışıldı yani neleri niçin ya da nasıl düşünmemiz gerektiği tartışmaya açıldı ve böylece okuyucunun kendisini kitapla bir diyalog içinde hissetmesi hedeflendi. Bu nokta aşıldıktan sonra da matematik işlemler kendiliğinden akıp geldi. Yazar; bu sırayı saptar-ken, uzun yıllar İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ’nde vermekte olduğu Mekanik STATİK der-sinde elde ettiği birikimlerinden yararlandı.

x STATİK

Kitapta çözülmüş toplam örnek sayısı 126 ve çözülmek üzere konu arkalarında verilmiş problemlerin toplam sayısı da 523 dür. Eserin sonundaki Cevap Anahtarı’nda ise bölümlerin hemen arkasında verilmiş olan tüm problemlerin sonuçları mevcuttur. Konu arkası problemlerinin çözümleri yazarın Mühendisler için Mekanik ÇÖZÜMLÜ STATİK PROBLEMLERİ (Birsen Yayınevi, İstanbul, 2012) isimli kitabında bulunabilir. Seçilen örnek-ler ile konu arkalarındaki sorular; yerli/yabancı kaynaklardan olabildiğince özgün bir yapı içinde derleme yapıla-rak, İTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ MEKANİK ANABİLİM DALI’nın geçmiş yıllarda hazırladığı sınav soruları taranarak ve yazarın kişisel soru bankasının bir araya getirilip harmanlanmasıyla belirlenmiştir. Kitapta SI birim sistemi kulla-nılmıştır. Kitap hakkında yapılacak önerilerin yazara ulaştırılması halinde, bunlar büyük bir titizlikle incelemeye alınacaktır. Kitabın ve parçalarının bütün hakları yazara aittir.

Kitabın arkasında statik konusu ile sınırlı tutularak hazırlanmış TÜRKÇE-İNGİLİZCE TEKNİK TERİMLER ekinin amacı, sadece İngilizce dilinde eğitim-öğretim yapan yüksek öğretim kurumlarında okuyan gençlere Türkçeİngilizce geçişlerinde kolaylık sağlamak olmayıp, aynı zamanda Türkçe eğitim-öğretim hizmeti veren kurumlardaki gençlerimize de İngilizce teknik karşılıkları kazandırmaktır.

Bu eser vesilesiyle, annem ile babama minnet duygularımla ve eşim ile kızlarıma ise bana gösterdikleri büyük sabır nedeniyle şükran hislerimle teşekkür ederim.

Görsel malzemelerin mühendislik eğitimindeki önemi yadsınamaz. Şu halde; ileri nitelikli bir eser hedeflendi-ğinde, mühendislik öğrenimi gören gençlerimizin kolaylıkla ulaşamayacağı önemli mühendislik uygulamalarına ait çok sayıda öğe bir araya getirilmelidir. Bu noktadan yola çıkıldığında, alanında ulusal ve uluslararası önemli projelere imza atmış YOLSU Mühendislik Hizmetleri Ltd. Şti. yüksek öğrenime destek verebilmek amacıyla şirket referans arşivlerini siz yarının mühendislerinin hizmetine sundu. Yakın desteği için YOLSU Mühendislik Hizmet-leri Ltd. Şti. ‘nin kurucusu Sayın Gökdal OKAY’a teşekkürlerimi sunarım.

Bu güne kadar kitabın gerçekleştirilen tüm baskılarına sağladıkları desteklerini şükranla andığım ve değerli isimleri aşağıda sıralanmış olan şahıslara içten teşekkürlerimi sunarım:

Akif KUTLU , Ersin AYDIN Nihal ERATLI , Bihrat ÖNÖZ Filiz PİROĞLU , Abdullah GEDİKLİ Bahar AYHAN , Hale ERGÜN Hakan ERDEM , Ali Nuri DOĞRUOĞLU

Ayrıca kitabın basım aşamasında olumlu yaklaşımı nedeniyle Sayın Bahadır ALGIN’a ve şahsında BİRSEN Yayınevi çalışanlarına, titiz basım konusunda hiç bir özveriden kaçmayan ve bunu eğitime/öğretime bir hizmet olarak gören Sayın Adnan TAVUKÇULAR’a ve şahsında CENKLER Matbaası çalışanlarına teşekkür ederim.

Saygılarımla. Mehmet H. OMURTAG İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Maslak 34469, İstanbul omurtagm@itu.edu.tr http://web.itu.edu.tr/~omurtagm/ İstanbul 2012

GÖSTERİMLER c, d, m : kafes sistemlerde çubuk kuvveti, düğüm noktası sayısı, mesnet tepkisi sayısı d : iki nokta ya da iki doğru arasındaki en kısa mesafe kji ,, : ),,( zyx eksen takımında birim vektörler

k : yay katsayısı zyx nnn ,, : doğrultman kosinüsleri

p : basınç gerilmesi

q : birim boya gelen yük şiddeti r, R : yarıçap r, : polar koordinat takımı r, , : küresel koordinat takımı Ar : A noktasının konum vektörü

id rr , : halkada dış ve içi yarıçaplar s : kablo boyu t : levha ya da plakların kalınlığı x, y, z : kartezyen koordinat takımı MMM zyx ,, : cismin ağırlık merkezinin koordinatları

A, B, … : noktalar ,,,, yxyx BBAA : x, y eksenleri doğrultusunda mesnet ya da bağ tepkileri

AB : A ve B noktaları arasındaki uzaklık A, dA : alan ve diferansiyel alan elemanı iC : integral sabitleri

F,F : F vektörünün şiddeti

iF : kuvvet vektörleri ( 1, , )i n=

ks FF , : statik ve kinetik sürtünme kuvveti

H : vida adımı, en küçük kablo kuvveti G : mafsal L : boy bM : burulma momenti

,x yM M : eksenlere göre eğilme momenti

M : cismin ağırlık merkezi

M : diferansiyel alan elemanı dA nın ağırlık merkezi OM : O noktasındaki moment vektörü

N : normal kuvvet O : eksen takımı başlangıcı P : bileşke basınç kuvveti iP : tekil kuvvetler ( 1, , )i n=

Q : yayılı yükün eşdeğer şiddeti

xii STATİK

R : bileşke kuvvet vektörü id RR , : halkada dış ve içi yarıçaplar

yx SS , : x, y eksenlerine göre alanın statik momentleri

ABS : AB çubuk kuvveti

T : kesme kuvveti NMT : NM kablo kuvveti

U : iş V : hacim W : cismin ağırlığı , , : açılar λ : bir keyfi birim vektör , ,x y z : keyfi birim vektörün bileşenleri

: nabla : ( , , )x y z = türetilebilir bir fonksiyon, potansiyel

: özgül ağırlık : yoğunluk ks , : statik ve kinetik sürtünme katsayısı

ks , : statik ve kinetik sürtünme açıları

, ,g e P : ağırlık kuvvetinin, elastik yay kuvvetinin ve bir P kuvvetinin potansiyeli

(...)dL

sò : yay boyunca integral

(...)dA

Aò : alan integrali

( )dV

Vò : hacim integrali

(...) (...)⋅ : nokta çarpım

(...) (...)´ : vektörel çarpım

1

n

iiA=å : 1 2 nA A A+ + +

(...)¢ : (...) / x¶ ¶

¹ : eşit değildir (...) : virtüel büyüklük

SCD : Serbest Cisim Diyagramı