on the average cartier-foata height of traces

8
164

Upload: daniel-krob

Post on 05-Jul-2016

218 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: On the average Cartier-Foata height of traces

�� ��� ������ ������� ���� ����� �� ������ �

������ ��� ���� ������� ��� ������ ����

������ ���� � ��������� � �� �� � � ����� � �� �� ������

����� � ��� �� ����

����� ����������� �� ! "#����"!�

��������

��� ���$� �� � ���� � ��� ����� �� ��� ����� ����� ��� �� ��� � ���� ��

������� ��������� �� ����������� ��� ������ �� �� ������ � �� ������������

���� ������ �� �!�" ��� ��� ��� ��� ������� ��� ����� ��� ��� ������ �� � ������ #� ���� ���� ��� ������� ��������� �����

����������� � �������� ��� $�

��� � %��� �� ���������� �� �� &� � ��� ����� $� ����� ���� ��� %�����

��� $� ���$� �� ��� ����� �� � ���� ������ � ������� ��� �' ���� �� �������

#� ���$ ��$ �� �' ��� ��� ��������� � ��� �� ������ ��� � �� ����� �� ���

��������� �� ������ �������� �� ��� ������ ��� ����� ������� ���� �������

��� �� ������� ��� ����� ���� �(����� �� ��������� ��� ���� $� ������

��� ����� �� ���� ������ $���� �� ������ ��� �� ��� �� �$�� � $� ��� ����

��� ��� �� �� �� ���� ��� ��� #� ����� ��� ��������� �� ��� ��� � �������

� ��� ����� �� ����

������ ��� ���� ���� � �������� � ����� �� �������� ������ ����

��� �� ��������� � ���� ��������� �� ���� ��� � ����� �����

�� � ����������� ����� ��� ���� ������������� �� �� ����� � �

����� ���������� �������� �������� �� � ���� ��� �� ������ � !��"

#������$ ������� ���% ��� �� ������ � !��������$ ������� ���%� &�� �

'��� ��� ��� (� )� � �� � ��*����� ��� �������� ������ � (� ������

� �������� ������� ��� �� � �� �� �������� �� ( � (� ���� �� �

���������� � ��� ������ ������� � � ���� ������ � +� (� �% �� ��"

'��� �� � #���� � (� �� � ���� ��������� �������� � �������

�� � �� �� ����� �� �% � �� � � ������� � � ���� �� ������ ������ ��

� ���� ���� �� ������ � �� �� ���� � �������� ��� ���� �� �������

������ �� � � ��� � ����� �������� ���� ��� ���� ������� �� � ����

��� �!"���� �� #���� � �! �� $��� ��%&'

�������� ������� � �������� ������� 164

Page 2: On the average Cartier-Foata height of traces

���� ��� ������������� � � ���� ���� �� �� ��� �� ������ �� ���

� �� �� ��������� ������� ���������� ��,���� ������ � � ������

� � ���� � �� � ���� � ��� � �� ������������� ��� �� ����� �� ����� � �� � ����� ��������� �� ��� ������������ �% � ���� � �� ����� ��

��� �%� � � ���� � (��% ��� (� �% ��� ������ ����������� � ��������

��� � ���������� ���� � � � - ��� � �� � ��"���� ���� � �� ��"

��� ��� ������� ����������� .��#��� ��� �� ��""�� ������������ ��

� ������ ������� � ��� ������ ���#��� �� � ���� ������� ����% �

(� �%� )� �� ���� � �� � ���#��� � � �� �� -� ������ �� �% � � � ��� ������ ������������� ����� ���������� �� �� ��� � � ��� �%� ��� �����

� � ��� �%� �� �� �% � �� � � .�����"&�� .&% ��������� � �

���� � �� � ���#���� ��'��� �/� . ��� �� ��#����� � ���#��� �� �� � �%

��� � � + �� � � � �� ��� �� ��� � �� �0� �� � 0 � ���� �� ���% ��

.&"����������� � � ������ ������ � �� ������ � ������ � � ��� �� �����

�� �%� 1� ��'�� � ���� �� ��� �� 2 �� � ������� ���� �� � �� ��

�� � ���� ��� � �� � ��� .&"���������� ����� �� �� �� � ����� 3� �

2 ������ �� � ������� � ���������� ���� (��% ������ �� � �������

���� �� ����� ����� ��������� �� �"����� ����%� � � ���� 2 ��� ��

�������� ��������� ��� ��� ���� � ��4��

1� �� ��� � ������� ������� �� ��#�� �� ������� �������� � ��� �5�

. ��� /� ��� �6� . ��� 5�%� 1� ������ � ���� � 2 ����� � ��� �� �

����� ���������� -� �� ������ ��� � �������� �� � ������ � + ���� ��� �

� �� � ������ � �� ��� � ��� � � ������ ��� � ����� ��������� �

� ��� �� �� �� �� �� �� ���������� � � � ��� � � ��� �� ��� � � �� �

����� �� + ���%��� �� ������ � ��������� ������ ����������� �� � �

������ ������� ���� �� � �� � �� � ���� ��� �� �� ��� �� �������

��� �� �� ������ �� ��� �� ��� + 7� �� ������ � ����� ������� �����������

� ��� ���� �� ����� �� 2�� �� � ���� � � ������ ������ � +

�� � ��� ������ �� 2 ��� � ������ ����� �� � ������� ������

� �� ���� �� �� - ������ ������ � �#������ ���#�� ������� �� �

�� ������� �� � ��"������ �������� � � ���� ����� ��� ���� �

2� 8���� ��� � ���� �� � ����� � � ����������� ������ �� ���

� ���� �� � �� � �� �������� �� �� � � ����������� ��� ������

��� ������ ����� ��� ����� �� 2� ��� ��� ������������ 9�� �

������ ������� � 2� '����� �� ��"������ ����� ���� �� �� �������

��:���� ;������ �� ����� ��� � (��% ������� �� ����� ��� �

2� � �� ������ �������� ����� �� ���� � � ����� ��� ����� �

(��% ��� ������� ��� ���� � � ���� � 2� �� ����� � ��� (��%

�������� � ���� ���� � ���������� � ����������� ������� ��� ��

���� ������ ��� �� ������� ������ / ��� 5%�

165

Page 3: On the average Cartier-Foata height of traces

� ������ �������� ��� ����

)� � � ����� ��� �� � �������� ��������� ������ � � ��� ��� �

���� � �����

� �� �% +�

���

�����

���� �

�� � ��

���� �����

����� � ��� � ��� ��� ��� ���� ������ �� ��� ���� �� �� ������ � ����

� ����� � ��� ���� � �� �� ���� �� � ��� �� ��� ��� �� � ��� ��� ���� ����

��� ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� � �� ����� ��� ���� �� ����� ������

� �� ���� ��� !"� #���� ��$ �� ��� �� �%��� �� ������� � �� &'����

��� �� � � � ����� ��� � �� (�

������������������

)� � ���� � � � � ��� �� �� �%�� ���� ��%�� ��� � �� ��� �� �� ���� �� �

��� �� ��%��� �� �� ��� �� ����* ��� ��� ���� � ����� ��� �� �� ��� ����

��%������� �� ������ �� ��+�� �� �� �%�� ���� ��%�� ��� � ��� ����� ��

�� � �� �� ������� ����� )� �� ��+�� �� � � � �� ��, ���� �� ��

���� �� �� �����������

������� ���������� � � ������ � � � � ����� � �!!�� �$$��� �� � � ����� � ���� � � � � � ����� �

�!!�� �$$��� �� � �

� � ��

���

� ���� ���� � � �� � ���� ���

��� �

����� �� ��� �������� �� �!!�� �$$ �� � �� ��� �� � �������� �����

������ - � � �� �� � ��� �� �� � �� ���� ������ � �!!�� �$$ ��� �� ��� ���� ��� ��

�� � +�� � �������� � �� � � �

���� ����� ������� ������

.� ��� ������ %��� ��� ��� ��� ��� �� �� ���� � /�����������0 �� �

��� ����1 2���� ������� ��������� ������ ��� �� ���� ������� � ����

�� �� �� /��� 01 � ���� � ������ ������� ���� %��� ���� �� ��+�� ��

������� ��������� ��������� )� �� ��� � �� �� � ���� � ���� �

� � �� ��� ���� �� .� �%��� �� �� � � �������� � ��� ���� �� ��

��� �� ��� � �� ���������� ������� ����� ��!�$ ��

��������������

-������� �� ���� �,�� �� �� ��� ���� ��!�$�� �� ��������� ���� �������

#������ �� �������� � ��� %��� � � �� � ������� � �� ����������� �� ��

166

Page 4: On the average Cartier-Foata height of traces

��� ���� ������� � �� �������� � �� ���� ������ � �������� �

��������� )� �� ����� ��� �� ���� �����

�� )� � �� �� ������ ��4� �� ��� 5� �� � � )� �� �� �� ������

�������� � ��� ���� �� ��� 5�� ���������� � ���5��� �� ����� � � 5�� .� ��

�� � �� � ���� ����� ����� � ���� � ���� � ��� � ����� ��� ������� ���

������� � �� � � ���� ��!�$�� �,�� � !6�7$� 8������ ��� �,�� �� ������

��� ������ � �� ��� ��� �� ���� �� ��������� �� �� � ���� �� ������ �

����,��� ��� � �� 9:;���� !�$� 9�;������ ��� ����� ��� ������ �� !<$�

�� - �� ���� �� ����� � �� ���� ��� ���� � �� ��������� �� ������

�������� � ��� ���� �� ��� ��� ����� ����� � ������� �� ����� � � ���

� ����� ��� ������ - �� �� � ���� ��!�$�� �,�� � ��� �� � �� ����

������� � �� �� �,���� �� ��� �� ��� �� �� ���� �������� � �� � ��

������ ��� ��� �� � � ���� �� �� ����� � ��� �� � �� �� �� �� �� �� -�

�%������� ��� � ��+���� �� ���

�� � �����

���� � �����

��� �����

��� �������� ��� ����� ���� �� � ���� ������ � � ����� ���� �� �

�� ��� ����� �� � � �� �� � � ���� � ��� � ���� � �� � � ����=� ��� ������ �� ��� �� � ��� � �� ��� ������ � /������0 �������� �

��� ���� ��� �� �� �� �� �����

� .� ������ �� �� �5��� �� ���������� ���� � �� � ���� ��

�� > �� �������� ���������� � ����� �� �� ��4���� �� ��, �� �����

������� ��� ��������� .� ����� � �� � � ������ �� &�� ���� �� ��,? � �?������ ����� ?�� � ����

������� )� � � ��������� �� �� �������� �

�� � ��� �� � ? � � � �� �,�� ��� ��� ���� � � � ����� ��� :����;

=������� �������� )� � �� �� �� � ���� � ����� �� .� ��+�� ��

�������� � ������� � � � �� ������ �� � ��� � � � �� � #�� ���;

=� � ������ �� ���� � � � � � �� �� �� � ��� � �����?����� ?�������� �������������� �� ��� � ��� ��

����� � ������ ����� ���� � � ������

�� �� ��� ���� �� � ������ � � � �� ������� � ��� �� ����� ��

� � ������� ������ � �� ������� �� ��� !�� ����� ������ � ���� ��

�� �� ���� � ��"�# �

������������� ���� ��� �$�������� ��� �������

��� �� ���"�#�� �� ��� ��������� ���� � ��� ��� !�� ��� � �� �

�� ���� ��� ������� � �� ����

�"�# ��� �� ����� ��� ��� ��������� ���� �

��� ��� %� ��� &����� !���� �� '��� ������ � �$���� �� �� ����� ��

� �

���

��������� �

167

Page 5: On the average Cartier-Foata height of traces

)� ��������� � �� ����� �� ���� *������ ��� � �������� ������ ��+

����� � ��� � � � ��� ���� ��� ��� ������ � �� ��� ������� �� �� �� ��� � ���� ��� ,�� -�� �� ��� '����� ���$ ������� ���� �� �� ��� � �� ���

��������� ����� ���� ��� �-�� �� !��� � �� �� �� � ����� �

� ��

� �����������

� ��������� ������ � ������

)� ���� ������� �� �� ��� ��$� ��� �� ����� ��� �� ����� ����� ������

� � � � �����.� ���� ����� !�� � �� � ��� ��� ��� ��� �������

��� � ����� �/������� ���� ��� ���� ���� ��������� �� � ��������

�������� �� ���������� 0� �������� ��� �������� ���� �� ��.��� ��

��� ������ ��������� � ��� ������� ��������� ����� � ����� �� � ���+

����������� ��������� � ���� �������� �� ����� �������� � �� �$�������

�� ������ ����� �� �� �$������ �� ��������� �� ����� ��� � �������� ��

���1���� 2�� �� ������ ���� �� ��� ��� ��� � 3�������� 4 �� �� ��

��������� ������� � ��

,�� 5 �� ��� ��� � �� ��+��� ��� ������� � �� � � � ��� ����� � � 6� 7�

��.�� ��� ������� ������������ ������ � � 5� �� ��� ���� � 5 � ���

�� �� ��� �� ���� �� ���1���� *����� ��� ����������� ���������� ����

�5 �� �� �� ����� � ��� ���� ���� � ��� � ����� ���� ��� �� ����

� ��� ����� ���� ���� ��� � ������ � ������ � � �� ������ � ������ �

� ���1��� ����������� � ��� �� ����� ���� �� � ������ �� )� ����� ��

��� �� �� ������ ��+������ ���� � �� ����� � � �5 �� ����� ���

����������� � ��� ��� � ������� � ��� � � ������� �)� ���� �� � � (� �� ��

�� ��� ���� �� ����� ���� � ���� !�� ����������� �������� ������

������� �� ��� ��� � � � ������� ����� � �� ��� ��� � ������� � ������ ��

,�� �� �� ��� ����������� ������ ���$� !�� � �������� � �� ��

������ � ��� �������� ,�� �� � �� �� ������ � ��+������� ��������� 7�

��.�� ��� � �� � �� ��� ��� � ��������� � � ��� �� ����� ���� �� ���

�� ������� � ������ � �� � � � � � � ���1��� ����������� ��� ���� ����� ��� � � ���� �� � ��� ��� ���� ����������� �� �� ���� �� �� � � � ���7� ����� ��� ��������� � ��� � �� �� ��� � ��� 8� ������ ��� �����

� � � �� � � � ��9� ��� �� ��� ��� 9� �� �� ��� �� ��+�� ��:����� � ��������� ���$ ���

2�� �� ���� ��� ������� ���������� ������� �� ��� �� ���� ��� � ���

���� �� �� ��� ���� �� �� � � � ���� �� � � �� � � ���

���� � � �� ��� ���� �� �� � ��� � � �� � ���� �� �� � � ���

����� ��� ��� ������� �� ��� ������� �� ���� � �� ��� ���������

168

Page 6: On the average Cartier-Foata height of traces

��� � ���� ���� ��� �� ���� ��� ��������� ������

����������� �� ��������� ��������� �������� �� ��� �������� ���� �� � �� ����� �� ��� ��� �

��������

���� �� ������

��� �

������� � ����

�� �� ����

!� ��� ����� ������ �� �������� ������ ��� ��������� �"������ �� ��� �� ������� � ���� �� � �

����������� �

���� �� �����

������ � ���

�������

�� � �

���� � � �

��

#� $���� ���� ��� ��������� %�������� ������

� ����� � ��� ��� ��� �� ��� ������� �������� ���� �� �� ���

������� �� ����������� ��� ��� �������� �� ����������� ���������

���� �� !�"���� ���� &�� �� ���������� ��������

����� �� �������� ����� � � � �� �� ����������

� ��� �� ��������� ���� �

'� �� �����"�� ��� �������� � ��� � ����� ���� ��� � ��� �� ��� ��� ���%��� ������ ��� ���� �� ������ �� �%������ �� ��� ��� ��������� �� ��� �� �(�������� ���� ���� �� �" ������ �� ��� ����� �� ��� �� ��� � ��� )�������� �� ��� �� ��������� ���� ����� ����� � ��� ��� � ��������� �� ������ �� �� ���%��� �� ��� ��� �������

! ���� ��� �� �� �"����� �� ��� ���� �� ��" # ����� ���� ��� ���� *� �� ��$������ � )�� � ����� � ��� �� �� � �"���� �� ����� �� �+ �� ���� ! ����� �"���� �� ��� ����� ����� ���� ��� ���� �� ��" ������ � �� � ��� � ��� )�� �������� �� ����� � �,���� �� ���� � �� ����� ��� ������ -���� ��� �� ����� ���� �� ��� ���� � �� �� ��� ���������� ���� � �� ����� '�� ����� ����� � ��� �� ��� � ��� � ����� ������

169

Page 7: On the average Cartier-Foata height of traces

�� ��� ������ �� � ���� �� ��� �� � �� * �� ��� �� ��������� ���� ����

�� �" �� �� ��������� �� /������ ������� �� ��� ���� �� 0������ 1 �� �

�"������ ���� �2� 3 ��� �

! � ����� �� ������ ���� �� � ��� �� ��� ��� �� ��� �� ��" �� ����(� �������

� �����(� �� � ���� '� ���� ��� �� ��� ���� ,��� * � * ���� ���� �� �"�

4�� �� ������� ��� ������� �� � ��� �� ���� �����

5� ��� ��� �2� � � ��� ���� ����� ����� ���,���� ����� �� � ������ )��

�� ��������� ���������� � �� �� +���� � ��� ���"�� ���� ���� �6�� �

'�� ����� ����� � ��� �� ��� � ��� � ����� ������� #� ���� ���6�� 3

�7� � 8 ���*�� �9 � '� � ����� � �� ��� ������ ���6�� 3 ��1�

5������ ����� ��� �2� � �� ��� ��� ���� ��� ���� � � �� '�� �� ����� �

��� ���� (������ �� $"�� �*��� (���� )�� �� ����� � �,���� �� ���� �

���,���� ����� 5� � 3 � �� ���� ��� ����� $������� ���� ����� �� ��� ���

���������� �� ��� 4�� ��

� ��� ���������� �� ��� '�� ���� ����� �����

� ��� �� ��� ������ �� � ��� ������ )�� � �� ��� � �"������� �� �� �� �

����������� �� ��� �� ���� ����� ������ ������ ���� 3 ��*�

����������

�� �� ������� �� ������ ��� �� �� �� !� �� ����������� � �� ���� ������ ��

� � �� ����� � � � ������� ��� �� �������� ���� ������ �� � ��������

�� ������� � �� �� ��� � ���

��� � ������� ��� �� ������� �� ��� �������� � ��� ��� ��� � �� ����

� �������� ��� ���� ������ ������� ����� ����� �� ���������� ���������

� � ��!�� � �� �� ��� �

� � " � #����� ��� � $ ��� %��� �������� ������ ���� �� ����� ������

%�&&' (� �� #��)���*� +��(��,��- "��,,� ��

��� " #������ ��� . /��� ��������� ���������� �� ��� ���� ��

������������� %��� 0��, �� ���1� (� !� &����*��������*� ���

��� . #(��2(�3�� � .) ��� $ &��1, ������ � ������ ����� ��

�������� ��4�� !� �� "4�� ��� 5������ ���1������, 5������� "��,,�

���

��� � .��2��� ��� 6 78��)��*� �����, ��� !� � ����� 9��� &������:��

���

��� & 6�4)��� ��� � �����,,� ��� ��� ��� ����� �� "�#�$% ���

;� � 64��<������� ������ ����������� (�4�� � �� � �� #��)���*�

+��(��,��- "��,,� ��!

170

Page 8: On the average Cartier-Foata height of traces

�!� # 6�,�� ������� ���������� #1����� ��� $���� ��

��� 0 &�1�) ��� ������ ��� �� �� ��� ���� ����� �������� ������

����� ������ �� � �!��� �� �� =� �

� �� > 6 ������ &��� � ������ '( !��� ��)������ �� ��������� �����;� 6 %�)���� �� �� ?����,� ����������� �� ��������� ��� ������ �! "���� #����

�� ������ � �� �� � � ��� &����*�� �����*� �!�

� � $ 9��@ ���������� �������� 5������� "��,,� ���

171