ondas electromagnéticasmines/ope/acetatos/ondas... · 2007-11-05 · 2 ope 0708 onel 3 ondas...
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1
Faculdade de Engenharia
Ondas Electromagnéticas
OpE - MIB 2007/2008
OpE 0708OnEl 2
Faculdade de EngenhariaPrograma de Óptica e Electromagnetismo
Análise Vectorial (revisão) à 2 aulas
Electrostática e Magnetostática à 8 aulas
Ondas Electromagnéticas à 6 aulas
Óptica Geométrica à 3 aulas
Fibras Ópticas à 3 aulas
Lasers à 3 aulas
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2
OpE 0708OnEl 3
Faculdade de EngenhariaOndas Electromagnéticas (6 aulas)
Equações de Maxwell
Equação de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes
Campos harmónicos
Ondas electromagnéticas em meios infinitos sem perdas
Incidência normal
Incidência oblíqua
Polarizações perpendicular e paralela
Reflexão interna total
Princípio de funcionamento dos guias de onda
Interferência
Difracção
(1ª aula)
(2ª aula)
(3ª aula)
(6ª aula)
(5ª aula)
(4ª aula)
OpE 0708OnEl 4
Faculdade de EngenhariaIncidência oblíqua de uma onda TEM numa interface plana
onda TEMà naHE ˆ⊥⊥rr
ii HErr
e estão no plano na⊥
meio 1( )111 ,, σµε
z
x
meio 2( )222 ,, σµε
iθ
tθrθ
ntatransmitida
nia
incidente
nra
reflectida
2. paralelo ao plano de incidência
iEr
iEr
yrajk
ii ueEE ni ˆˆ0
1rr
⋅−=
( )zixirajk
ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0
1 θθ −= ⋅−rr
polarização perpendicular
polarização paralela
( ) yrajk
izixirajk
ii ueEuueEE nini ˆˆsinˆcos ˆ2,0
ˆ1,0
11rrr
⋅−⋅− +−= θθ
polarização perpendicularpolarização paralela
1. perpendicular ao plano de incidência
Caso geral:
![Page 3: Ondas Electromagnéticasmines/OpE/Acetatos/Ondas... · 2007-11-05 · 2 OpE 0708 OnEl 3 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040807/5e4aeeda2a1ecf527439d2d8/html5/thumbnails/3.jpg)
3
OpE 0708OnEl 5
Faculdade de EngenhariaPolarizações perpendicular e paralela – convenção
polarização perpendicular
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
polarização paralela
componentes do campo eléctrico tangentes à interface mantêm o sentido
OpE 0708OnEl 6
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
incidente
zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
yrajk
ii ueEE ni ˆˆ0
1rr
⋅−=
inii EaHrr
×= ˆ1
1η( )xizi
rajki uueE
ni ˆcosˆsinˆ
1
0 1 θθη
−= ⋅−r
reflectida
zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=
yrajk
rr ueEE nr ˆˆ0
1rr
⋅−=
rnrr EaHrr
×= ˆ1
1η( )xizi
rajkr uueE
nr ˆcosˆsinˆ
1
0 1 θθη
+= ⋅−r
zixi uu ˆcosˆsin θθ −=
transmitida
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
yrajk
tt ueEE nt ˆˆ0
2rr
⋅−=
tntt EaHrr
×= ˆ1
2η( )xtzt
rajkt uueE
nt ˆcosˆsinˆ
2
0 2 θθη
−= ⋅−r
relações entre obtidas
a partir das condições fronteira000 e, tri EEE
importante
![Page 4: Ondas Electromagnéticasmines/OpE/Acetatos/Ondas... · 2007-11-05 · 2 OpE 0708 OnEl 3 Ondas Electromagnéticas (6 aulas) Faculdade de Engenharia Equações de Maxwell Equação](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040807/5e4aeeda2a1ecf527439d2d8/html5/thumbnails/4.jpg)
4
OpE 0708OnEl 7
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
condições fronteira àcontínuotanE
contínuotanH ( )0se =SJr
em 0=z tri EEErrr
=+
txrxix HHH =+
xjkt
xjkr
xjki
tii eEeEeE θθθ sin0
sin0
sin0
211 −−− =+
2
sin0
1
sin0
sin0
211 coscoscosηθ
ηθθ θθθ xjk
ttxjk
irxjk
iitii eEeEeE −−−
−=+−
ti kk θθ sinsin 21 =
000 tri EEE =+
( ) tt
iriE
EE θη
θη
coscos1
2
000
1
=−
OpE 0708OnEl 8
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
000 tri EEE =+
( ) tt
iriE
EE θη
θη
coscos1
2
000
1
=−
ti
ti
i
r
EE
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
0
0
+−
=
ti
i
i
t
EE
θηθηθηcoscos
cos2
12
2
0
0
+=
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥
ti
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2
+=⊥
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
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5
OpE 0708OnEl 9
Faculdade de EngenhariaPolarização perpendicular – coeficientes de reflexão e transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥
ti
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2
+=⊥
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
notas
1. ⊥⊥ =Γ+ τ1 (tal como para incidência normal)
2. é possível que 0=Γ⊥ ti θηθη coscos 12 =
⊥= Bi θθ(ângulo de Brewster)
ti nn θθ sinsin 21 =
( )221
12212
1
1sin
µµεµεµ
θ−
−=⊥B
3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1
0
−=Γ=
⊥
⊥τ
21 µµ ≠só possível quando
OpE 0708OnEl 10
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético
incidente
zixini uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
( )zixirajk
ii uueEE ni ˆsinˆcosˆ0
1 θθ −= ⋅−rr
yrajki
i ueE
H ni ˆˆ
1
0 1rr
⋅−=η
reflectida
zrxrnr uua ˆcosˆsinˆ θθ −=
yrajkr
r ueE
H nr ˆˆ
1
0 1rr
⋅−−=η
zixi uu ˆcosˆsin θθ −=
transmitida
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
( )ztxtrajk
tt uueEE nt ˆsinˆcosˆ0
2 θθ −= ⋅−rr
yrajkt
t ueE
H nt ˆˆ
2
0 2rr
⋅−=η
relações entre obtidas
a partir das condições fronteira000 e, tri EEE
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( )zixirajk
rr uueEE nr ˆsinˆcosˆ0
1 θθ += ⋅−rr
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6
OpE 0708OnEl 11
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – campos eléctrico e magnético
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
condições fronteira àcontínuotanE
contínuotanH ( )0se =SJr
em 0=z txrxix EEE =+
tri HHHrrr
=+
xjktt
xjkir
xjkii
tii eEeEeE θθθ θθθ sin0
sin0
sin0
211 coscoscos −−− =+
2
sin0
1
sin0
sin0
211
ηη
θθθ xjkt
xjkr
xjki
tii eEeEeE −−−
=−
ti kk θθ sinsin 21 =
( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+
( )2
000
1
1ηη
tri
EEE =−
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
OpE 0708OnEl 12
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão
it
it
i
r
EE
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
0
0
+−
=
it
i
i
t
EE
θηθηθηcoscos
cos2
12
2
0
0
+=
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( ) ttiri EEE θθ coscos 000 =+
( )2
000
1
1ηη
tri
EEE =−
it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
it
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2|| +
=
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7
OpE 0708OnEl 13
Faculdade de EngenhariaPolarização paralela – coeficientes de reflexão e transmissão
notas
1.
=Γ+
i
t
θθ
τcoscos
1 ||||
2. é possível que 0|| =Γ it θηθη coscos 12 =
||Bi θθ =(ângulo de Brewster)
ti nn θθ sinsin 21 =
( )221
2112||
2
1
1sin
εεεµεµ
θ−
−=B
3. se meio 2 for condutor perfeito, 00 =tE1
0
||
||
−=Γ
=τ
21 µµ =quando
coeficiente de reflexão
coeficiente de transmissão
it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
it
i
θηθηθη
τcoscos
cos2
12
2|| +
=
( )21||
11
sinεε
θ+
=B
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
OpE 0708OnEl 14
Faculdade de Engenharia
( ) yxjk
iiyrajk
i uezkEjueE ini ˆcossin2ˆ sin10
ˆ0
11 θθτ −⊥
⋅−⊥ Γ+=
r
Campo eléctrico no meio 1 – polarização perpendicular
ri EEErrr
+=1
⊥⊥ =Γ+ τ1
( )[ ] yxjkzjkzjk
i ueeeEE iii ˆsincoscos01
111 θθθτ −⊥
−⊥⊥ Γ+Γ−=
r
onda em propagaçãosegundo
onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
nta
tEr
tHr
yrajk
ryrajk
i ueEueE nrni ˆˆ ˆ0
ˆ0
11rr
⋅−⋅− +=
zxra
zxra
iinr
iini
θθθθ
cossinˆcossinˆ
−=⋅+=⋅
r
r
( ) yxjkzjkzjk
iyrajk
i ueeeEueE iiini ˆˆ sincoscos0
ˆ0
1111 θθθτ −−⊥
⋅−⊥ −Γ+=
r
nia
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8
OpE 0708OnEl 15
Faculdade de EngenhariaIncidência num condutor ideal – polarização perpendicular
meio 1
z
x
condutor ideal
iθ
rθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr rH
r
( ) yzjkzjkxjk
i ueeeEE iii ˆcoscossin01
111 θθθ −= −−r
máximos:
mínimos:
( )i
MAX kn
zθπ
cos212
1
+=
ikn
zθ
πcos1
min =
01 2 iMAXEE =
r
0min1 =E
r
( )∞=2σ0
1=
−=Γ
⊥
⊥
τ
02 =Er
( ) yixjk
i uzkeEj i ˆcossin2 1sin
01 θθ−−=
meio 2 condutor ideal
onda em propagação segundo x,com amplitude dependente de z
e
e
OpE 0708OnEl 16
Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela
ri EEErrr
+=1
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( ) ( )zixirajk
rzixirajk
i uueEuueE nrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ0
ˆ0
11 θθθθ ++−= ⋅−⋅−rr
=Γ+
i
t
θθ
τcoscos
1 ||||
( )
( ) ( )zixirajk
izixirajk
i
zixirajk
ii
t
uueEuueE
uueE
nrni
ni
ˆsinˆcosˆsinˆcos
ˆsinˆcoscoscos
ˆ0||
ˆ0||
ˆ0||
11
1
θθθθ
θθθθ
τ
+Γ+−Γ−
−=
⋅−⋅−
⋅−
rr
r
( )
( )( ) zi
zjkzjkxjki
xizjkzjkxjk
i
zixirajk
ii
t
ueeeE
ueeeE
uueEE
iii
iii
ni
ˆsin
ˆcos
ˆsinˆcoscoscos
coscossin0||
coscossin0||
ˆ0||1
111
111
1
θ
θ
θθθθ
τ
θθθ
θθθ
+Γ+
−Γ+
−=
−
−
⋅−rr
( )
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
zixirajk
ii
t
uzkeE
uzkeEj
uueE
i
i
ni
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2
ˆsinˆcoscoscos
1sin
0||
1sin
0||
ˆ0||
1
1
1
θθ
θθ
θθθθ
τ
θ
θ
−
−
⋅−
Γ+
Γ+
−=r
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9
OpE 0708OnEl 17
Faculdade de EngenhariaCampo eléctrico no meio 1 – polarização paralela
ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z
onda em propagaçãosegundo nia
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
nta
tEr
tHr
( )zixirajk
ii
t uueEE ni ˆsinˆcoscoscos ˆ
0||11 θθ
θθ
τ −= ⋅−rr
( ) xiixjk
i uzkeEj i ˆcoscossin2 1sin
0||1 θθθ−Γ+
( ) ziixjk
i uzkeE i ˆsincoscos2 1sin
0||1 θθθ−Γ+
OpE 0708OnEl 18
Faculdade de Engenharia
condutor ideal
Incidência num condutor ideal – polarização paralela
máximos de E1x:( )
iMAX
nz
θβπ
cos212
1
+=
i
nz
θβπ
cos1min =
iiMAXx EE θcos2 01 =
0min1 =xE
( )∞=2σ0
1
||
||
=
−=Γ
τ
02 =Er
meio 2 condutor ideal
ondas em propagação segundo x,com amplitudes dependente de z
meio 1
z
x
iθ
rθ
iEr
iHr
nia
nra
y
rEr
rHr
( ) ( )[ ]zirajkrajk
xirajkrajk
i ueeueeEE nrninrni ˆsinˆcos ˆˆˆˆ01
1111 θθrrrrr
⋅−⋅−⋅−⋅− +−−=
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
uzkeE
uzkeEji
i
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2
1sin
0
1sin
0
1
1
θθ
θθθ
θ
−
−
−
−=
mínimos de E1x: e
e
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10
OpE 0708OnEl 19
Faculdade de Engenharia
condutorideal
Guias de onda metálicos
meio 1
z
x
iθ
rθ
y
polarização perpendicular:ik
nz
θπ
cos1
=01 =Er
( ) yixjk
i uzkeEjE i ˆcossin2: 1sin
011 θθ−−=⊥
r
( )( ) zii
xjki
xiixjk
i
uzkeE
uzkeEjEi
i
ˆsincoscos2
ˆcoscossin2:||
1sin
0
1sin
01
1
1
θθ
θθθ
θ
−
−
−
−=r
em
polarização paralela:ik
nz
θπ
cos1
=01 =xE em
para ambas polarizações, um plano condutor paralelo ao plano xy
poderia ser colocado em , sem alterar o campo no meio 1ik
nz
θπ
cos1
= ikn
zθ
πcos1
=
OpE 0708OnEl 20
Faculdade de Engenharia
condutorideal
Guias de onda metálicos
meio 1
z
x
iθ
rθ
y
i
nz
θβπ
cos1
=
onda electromagnética é guiada
pelas duas superfícies condutoras
princípio de funcionamento dos guias de onda metálicos
será possível guiar uma onda electromagnética
com meios dieléctricos?
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11
OpE 0708OnEl 21
Faculdade de EngenhariaGuias de onda dieléctricos
dieléctrico 1
iθ
rθ
caso geral:
em cada incidência parte da onda é transmitida para o dieléctrico 2
ao fim de alguma distância já a onda no dieléctrico
interior se atenuou consideravelmente
a solução seria garantir que não há
energia transmitida para o meio 2
dieléctrico 2dieléctrico 2
no caso geral, materiais dieléctricos não permitem conduzir
ondas electromagnéticas de forma eficiente
será isto possível?
OpE 0708OnEl 22
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidati nn θθ sinsin 21 =
21 nn >
Lei de Snell da refracção
it θθ >
Ângulo crítico
não há onda transmitida para o meio 2ci θθ ≥
º90quetal == tic θθθ1
2arcsinnn
c =θ
Reflexão interna total
cit nn
nn
θθθ sinsinsin2
1
2
1 ≥=
1sin ≥tθ 1sinsin1cos 22 −±=−±= ttt j θθθ
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12
OpE 0708OnEl 23
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidaReflexão interna total
ti
ti
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12
+−
=Γ⊥it
it
θηθηθηθη
coscoscoscos
12
12|| +
−=Γ
1sin ≥tθ
1sincos 2 −±= tt j θθ
Meios não magnéticosεµ
η 0=
rn ε=
n0η
=
ti
ti
nnnn
θθθθ
coscoscoscos
21
21
+−
=Γ⊥
Coeficientes de reflexão
it
it
nnnn
θθθθ
coscoscoscos
21
21|| +
−=Γ
( )( ) 1sincos
1sincos
2221
2221
2
1
2
1
−±
−=Γ⊥
inn
i
inn
i
jnn
jnn
θθ
θθ m ( )( ) 1sincos
1sincos
2212
2212
||
2
1
2
1
−±
−±−=Γ
inn
i
inn
i
jnn
jnn
θθ
θθ1|| =Γ=Γ⊥
OpE 0708OnEl 24
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos evanescentes
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectida
1sincos 2 −±= tt j θθ
ztxtnt uua ˆcosˆsinˆ θθ +=
rajk nter
⋅− ˆ2
onda que se propaga segundo +x
amplitude decresce exponencialmente com z
tt xjkzk ee θθ sin1sin 22
2 −−−
( )zxjk tte θθ cossin2 +−
dependência espacial dos campos no meio 2:
campos evanescentes
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13
OpE 0708OnEl 25
Faculdade de EngenhariaReflexão interna total – campos no meio 2
meio 1
z
x
meio 2
iθ
tθrθ
nta transmitida
nia
incidente
nra
reflectidaPolarização perpendicular
−+−= −−−
xtztxjkzk
tt ujueeEE tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin0
22
2 θθθθr
Polarização paralela
yxjkzk
tt ueeEE tt ˆsin1sin0
22
2 θθ −−−=r
−+= −−−
xtztxjkzkt
t ujueeE
H tt ˆ1sinˆsin 2sin1sin
2
0 22
2 θθη
θθr
yxjkzkt
t ueeE
H tt ˆsin1sin
2
0 22
2 θθ
η−−−=
r
{ } xzk
tt
tttmed ueE
HES t ˆsin2
Re21 1sin
2
20*
,
22 −−=×= θθ
η
rrr
{ } xzk
tt
tttmed ueE
HES t ˆsin2
Re21 1sin
2
20*
,
22 −−=×= θθ
η
rrr
energia propaga-se ao longo do guia, não havendo perdas para o dieléctrico 2
OpE 0708OnEl 26
Faculdade de EngenhariaExercício
A região do espaço definida por encontra-se preenchida com um material não magnético e nela
propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor
Esta onda incide obliquamente na interface com a região , a qual está preenchida com ar.
a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência.
b) Determine a direcção de propagação e o ângulo de incidência.
c) Determine a permitividade relativa do meio 1.
d) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda.
e) Determine os coeficientes de reflexão e de transmissão.
f) Obtenha os fasores dos campos eléctricos da onda reflectida e da onda no ar.
( ) ( ) ( )V/mˆ, 3440 z
yxji ueEyxE +−= π
r
0<y
0>y
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OpE 0708OnEl 27
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4ª feira
Incidência em múltiplas interfaces