Joaquín Bernal Méndez/Ana Mª Marco Ramírez Curso 2013/2014

Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Movimiento ondulatorio

Física I

Grado en Ingeniería de Organización Industrial

Primer Curso

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias

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Introducción: ondas mecánicas

Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia

Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación:Mecánicas: perturbación de un medio.

Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda…

Electromagnéticas: no requieren un medio.Luz, rayos X, ondas de radio…

transmiten energía

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Ondas mecánicas

La formación y propagación de una onda mecánica requiere:

Una fuente de perturbaciónEj: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbadoEj: El agua

Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio

Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua

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Ondas transversales y longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)

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Ondas transversales y longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)

Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.

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Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:

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Función de ondaPulso que viaja en una cuerda:

y

yx

x

0t ( , 0) ( )y x t f x

( , ) ( )y x t f x vt

P v

t

vt

P

Px

P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x

Función de onda

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Función de onda

Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama)Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso

( , ) ( )y x t f x vt

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidales

Descripción y representaciónEcuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.

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Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas

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Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud

Longitud de onda (): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):

Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio

y

x

A

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Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada partícula del medio:

Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia

Ondas sinusoidales: frecuencia y velocidad

y

t

T1

fT

vT

CUIDADO: No confundir v con vy

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Ondas sinusoidales: representación matemática

x

y

( ,0) seny x A kx

2k

Número de onda (m-1)

Constante de fase

• En t=0:

Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada y cuyo valor en x=0 es Asen()

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Ondas sinusoidales: representación matemática

En un instante t:

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde:

Entonces:

( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt

2 2kv

T T

Frecuencia angular

( , ) sen( )y x t A kx t

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Ondas sinusoidales: resumen

( , ) sen( )y x t A kx t

• Amplitud:

• Longitud de onda:

• Frecuencia:

•Velocidad de la onda:

1f

T

A

v fT

2k

22 f

T

frecuencia angular

k

número de onda

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Ecuación de onda lineal( , ) sen( )y x t A kx t

cos( )y

yv A kx t

t

22

2sen( )y

ya A kx t

t

cos( )y

kA kx tx

2

22

sen( )y

k A kx tx

2 2

2 2 2 2

1 1y y

k x t

2 2 2

2 2 2

y k y

x t

2 2

2 2 2

1y y

x v t

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Ecuación de onda lineal

Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal

Ondas armónicas son una posible solución

Solución general: onda viajera

2 2

2 2 2

1y y

x v t

( , ) ( )y x t f x vt

20

Es solución de la ecuación de ondas lineal

Ecuación de onda lineal

2 2

2 2 2

1y y

x v t

2 2 2

2 2 2

y f f

x x

( , ) ( )y x t f x vt

y f f

x x

• Demostración: x vt Fase:

y f fv

t t

2 2 22

2 2 2

y f fv v

t t

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerdaOnda de sonido

Onda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.

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Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las propiedades del medio a través del que se mueven

Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad

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Velocidad de las ondas: onda en una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadSi usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta

Para una cuerda homogénea:

tF

tFv

dm

dL densidad de masa lineal

m

L

L

m

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Velocidad de las ondas: ondas sonoras

Bv

Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

PB

V V

Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:

Ondas de sonido en un fluido

v (propiedad elástica del medio)

(propiedad inercial del medio)

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Velocidad de las ondas: ondas sonoras

Bv

Medio v (m/s)

Hidrógeno (0º C) 1286

Aire (20º C) 343

Aire (0º C) 331

Agua (20ºC) 1482

Agua (0º C) 1402

BT

En un gas:

Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago

83 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/sv 0.333

kms km

s

xd vt x

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Velocidad de las ondas: observaciones

La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma

La velocidad de la onda depende del medio

La longitud de onda se obtiene de:v

f

Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf

5

14821.5

10

m/scm

1/s

v

f

Agua a 20º C

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.

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Onda en una cuerda: energía transmitida

Una onda que se propaga en un medio transporta energía:

Un trozo de corcho sube y baja en el aguaUn pulso en una cuerda puede levantar una masa

Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdaVamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino

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Onda en una cuerda: energía transmitida

sent t t tP F v Fv

Potencia:

Ondas lineales A<< sen tan

tant t t

y yP Fv F

t x

Válido para cualquier forma de onda

( , ) sen( )y x t A kx t

cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t 2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v

v

30

Onda en una cuerda: energía transmitida

Potencia promedio:

Es la mitad de la potencia instantánea máxima

: general para ondas sinusoidales

2 2 2

0 0

1

2

1 1( , ) cos ( )

T T

mP P x t dt v A kx t dtT T

2 21

2mP v A

2 2,mP A

31

Onda en una cuerda: energía transmitida

Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:

m m m

xE P t P

v

2 21

2mE A x

La energía viaja a la velocidad de la onda

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Índice

IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondas

Reflexión totalTransmisión

Superposición de ondas. Ondas estacionarias

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Reflexión y transmisión de ondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinitoVamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.Fenómenos relacionados:

Reflexión: onda que regresaEjemplo: eco

Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio

Ejemplo: luz en el agua

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Reflexión y transmisión de ondas

Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido

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Reflexión y transmisión de ondas

Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo libre

Pulso reflejado con la misma forma que el incidente

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Reflexión y transmisión de ondas

Reflexión-transmisión: onda en una cuerdaCuerda pesadaunida a otra másligera

Cuerda ligera unida a otra máspesada

Onda reflejada no se invierte

Onda reflejada es invertida

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Reflexión y transmisión de ondas

Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente

Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante

Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante

Ejemplo: radiocomunicación

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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas

Principio de superposiciónInterferencia de ondas armónicasOndas estacionarias

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Superposición de ondasEn un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente

Ejemplo: varias personas hablando a la vez

Principio de superposición:

Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas

Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda

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Superposición de ondas

Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen

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Superposición de ondas

Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen

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• Onda resultante con la misma f y • La amplitud depende de (diferencia de fase)

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:

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Onda 1

Onda 2 Onda resultante

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

Si =0, cos()=1 y A’=2A; interferencia constructiva

Si = cos()=0 y A’=0; interferencia destructiva

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

Onda 2

Onda 1

Onda resultanteA

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Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia, viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas:

Nodos:

Vientres:

Superposición de ondas:Ondas estacionarias (I)

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( De nuevo, usamos:

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

1 2 2 sen( )cos( )y y y A kx t

sen( ) 02

kx kx n x n

1 1sen( ) 1

2 2 2kx kx n x n

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Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda estacionaria en un periodo completo:

Superposición de ondas:Ondas estacionarias (II)

2

0 0

sen(2 ) sen(2 )1 1

( , ) t

T T

m F kA kx tP P x t dt dtT T

( 2 sen( )sen( ))( 2 cos( )cos( ))t t

y yP F F A kx t k A kx t

t x

2 sen(2 )sen(2 )tP F kA kx t

2 sen(2 )1 1

cos(4 ) cos(0) 02 tm F kA kxP

T

¡No se propaga!