Ondas Mecánicas

1. El movimiento ondulatorio.

a. Tipos de ondas.

b. Velocidad de ondas.

2. Descripción matemática de una onda. Función de onda.

a) Pulsos de ondas

b) Ondas armónicas.

3. Energía transportada por una onda.

4. Intensidad de una onda. Absorción.

5. Principio de superposición. Interferencias.

a. Ondas estacionarias.

b. Pulsaciones. Velocidad de grupo.

6. Principio de Huygens. Reflexión, refracción y difracción.

7. Efecto Doppler.

1

1. El movimiento ondulatorio.

La característica esencial en una movimiento ondulatorio es que en él se transmite la energíaasociada a la perturbación, pero las partículas alcanzadas por esa perturbación no se desplazan sino que vibran alrededor de su posición de equilibrio reproduciendo la vibración del foco que causa la perturbación. Es decir, en un movimiento ondulatorio se transmite energía pero no se produce transferencia de materia.

Existen diversos tipos de ondas, pero independientemente de su naturaleza u origen todas presentan un comportamiento muy parecido y admiten un tratamiento similar. Aunque los aspectos que se estudian en este tema hacen referencia a las denominadas ondas mecánicas (viajan en un medio material), muchos de ellos son también aplicables a las ondas electromagnéticas (se propagan en el vacío).

2

Una onda es una perturbación que se propaga, entendiendo por perturbación la consecuencia de la variación de alguna magnitud física, como por ejemplo: presión, temperatura, campo eléctrico, etc.

1a. Tipos de Ondas (I)

Las ondas se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios. Por ejemplo, podemos clasificarlas en función de si necesitan o no un medio material para propagarse. Así, hablamos de:

• Ondas Mecánicas: son aquellas que necesitan un medio material para propagarse, como por ejemplo le ocurre al sonido.

• Ondas Electromagnéticas: no necesitan un medio material para su propagación, es decir, se pueden propagar en el vacío. Es el caso de la luz, ondas de radio, rayos X, microondas, etc.

Las ondas mecánicas se propagan en un medio material a una velocidad que depende esencialmente de las características del medio. Sin embargo, las ondas electromagnéticas viajan a través del vacío con una velocidad de 3·108 m/s, es decir, a la velocidad de la luz que es una constante universal.

3

Fuente

Frente de

onda

Rayo

1a.Tipos de Ondas (II)

Atendiendo a la forma del frente de onda, esto es, el lugar geométrico de los puntos del medio que poseen idéntico estado de vibración, las ondas se pueden clasificar en:

• Ondas esféricas: su frente de onda es esférico.

• Ondas planas: su frente de onda es plano.

Frente de onda esférico: es característico de ondas originadas por un foco puntual

Frente de onda plano: a distancias muy grandes de un foco puntual, los frentes de ondas pueden considerarse prácticamente planos.

4

1a. Tipos de Ondas (III)

Atendiendo al modo de vibración de las partículas afectadas por la perturbación, las ondas se pueden clasificar en:

Ondas Transversales: las partículas afectadas por la perturbación vibran en dirección perpendicular a la dirección en que se propaga la perturbación.

Ondas Longitudinales: las partículas afectadas por la perturbación vibran en la misma dirección en que se propaga la perturbación.

5

6

1b. Pulsos y Tren de ondas.

� Si producimos una sacudida en el extremo de la cuerda se produce una perturbación que se propaga a través de la cuerda. Esto es lo que llamamos un Pulso.

� Si, por el contrario, realizamos un Movimiento Armónico Simple con la mano en el extremo de la cuerda se produce un Tren de Ondas sinusoidal, de tal forma que cada punto de la cuerda lleva a cabo también el mismo MAS de la fuente. Así se obtiene una Onda periódica o armónica.

7

1c. Velocidad de propagación o de fase.

t = 0

t = ∆t

∆x

Supongamos un pulso transversal producido por una sacudida en un cuerda tensa, como se representa en la figura.

Si transcurrido un cierto intervalo de tiempo ∆t el pulso se ha desplazado una distancia ∆x,se define la velocidad de propagación o velocidad de fase como:*

m

xv

t

∆=

∆

O, en el límite, es decir, cuando ∆t → 0:

0limt

x dxv

t dt∆ →

∆= =

∆

* Téngase en cuenta que la velocidad de propagación NO es la velocidad con que se mueven las partículas del medio afectado por la perturbación.

Dos consideraciones a tener en cuenta:

�El medio afectado por la perturbación no viaja por el espacio, sino que sus partículas realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.

�Para producir la perturbación es necesario aportar energía al sistema.

8

1c. Velocidad de propagación o de fase.

• Onda transversal en una cuerda:

Tv

µ====

• T Tensión de la cuerda (N).

• µ Densidad lineal de masa de la cuerda (kg/m).

• Onda longitudinal en un barra:

Yv

ρ====

• Y Módulo de elasticidad (Pa).

• ρ Densidad del material (kg/m3).

• Onda longitudinal en un gas:

Kv

ρ====

• K Módulo de compresibilidad del gas (Pa).

• ρ Densidad del gas (kg/m3).

• Velocidad del sonido (onda longitudinal) en un gas:

RTv

M

γ====

• γ Módulo de compresibilidad del gas.• T Temperatura (K).• M Masa molecular del gas.

9

2. Descripción matemática de una onda. Pulsos de onda.

Supongamos un pulso transversal producido por una sacudida en una cuerda tensa. Supongamos que en el instante t = 0 la forma del pulso viene dada por:

(((( ))))y f x====

Un cierto instante t después, el pulso se ha alejado, de modo que la función que define la forma de la cuerda será otra función de x. Supongamos que el pulso no varía de forma, e introduzcamos un nuevo sistema de referencia O´que se desplaza a la misma velocidad que el pulso. En éste el pulso es estacionario. La forma de la cuerda es, en todo instante.

Entre los dos sistemas de referencia podemos establecer las siguientes relaciones:

y y

x x v t

′′′′====

′′′′= += += += +

Así pues, el desplazamiento de la cuerda con respecto a O puede escribirse como:

(((( ))))y f x v t= −= −= −= − Si el pulso viaja hacia la derecha.

(((( ))))y f x v t= += += += + Si el pulso viaja hacia la izquierda.

(((( ))))y f x′ ′′ ′′ ′′ ′====

10

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio (I).

Apliquemos la ecuación fundamental de la dinámica a un trozo de cuerda, ∆x, afectado por un movimiento ondulatorio. Si la densidad lineal de masa de la cuerda es µ, entonces:

m xµ∆ = ∆

La fuerza neta en dirección vertical (eje y) que actúa sobre la cuerda vale:

( )2 1 2 1sen sen sen senF T T Tθ θ θ θ= − = −∑si los ángulos θ1 y θ2 son suficientemente pequeños, podemos aproximar el seno por la tangente, es decir:

( ) ( )2 1 2 1sen sen tan tanF T Tθ θ θ θ= − = −∑Obsérvese que la tangente del ángulo es la pendiente de la curva formada por la cuerda. Y la pendiente S es la primera derivada de la función y (x, t) con respecto a x, es decir:

tany

Sx

θ∂

= =∂

Por tanto:( )2 1F T S S T S= − = ∆∑

Si aplicamos ahora la ecuación fundamental de la dinámica: F m a= ∆∑�

�

11

Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio (II).

Se tiene que:2 2

2 2

y S yT S x T

t x tµ µ

∂ ∆ ∂∆ = ∆ ⇒ =

∂ ∆ ∂

En el límite, es decir, cuando ∆x→ 0, se cumple que:2

20limx

S S y y

x x x x x∆ →

∆ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∆ ∂ ∂ ∂ ∂

Por tanto: 2 2 2 2

2 2 2 2

y y y yT

x t x T t

µµ

∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

Si tenemos en cuenta la ecuación que proporciona la velocidad de propagación de un onda transversal en una cuerda, es decir:

Tv

µ=

La ecuación anterior queda como: 2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂

Que es la ecuación diferencial de una onda. Aunque esta ecuación se ha obtenido para el caso particular de una onda en una cuerda, el resultado es completamente general. En otras palabras, cualquier movimiento cuya ecuación responda al esquema de la ecuación obtenida es un movimiento ondulatorio.

2b. Ondas Armónicas. Parámetros característicos.

• Longitud de onda (λ): distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase. Se mide en metros en el S.I.

• Periodo (T): es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda. Se mide en segundos en el S.I.

• Frecuencia (f): es el número de oscilaciones por unidad de tiempo que lleva a cabo cualquier punto afectado por la perturbación. Se mide en Hertzios (o s–1). Es la inversa del periodo.

1f

T=

• Velocidad de propagación o de fase (v): rapidez con que se propaga la perturbación. De las definiciones anteriores de longitud de onda, periodo y frecuencia se tiene que:

o bienλ

λ= =v v fT

• Amplitud (A): valor máximo que adquiere la perturbación. Si se trata de una onda en una cuerda sería la altura máxima que alcanza cualquier punto de la cuerda. Si se trata de una onda de presión sería el valor máximo que alcanza dicha magnitud.

12

13

2b. Función de onda armónica (I).

Si la fuente que origina la perturbación realiza un MAS se produce un tren de ondas sinusoidales que recibe el nombre de Onda Armónica.

En un instante inicial (t = 0) la ecuación que describe la forma de la perturbación es:

2seny A x

π

λ

====

Al cabo de un tiempo t, si se mueve hacia la derecha, la ecuación será:

(((( ))))2

seny A x v tπ

λ

= −= −= −= −

Ya que: vT

λ==== Tenemos que:

sen 2x t

y AT

πλ

= −= −= −= −

Lo que indica que la función de onda obedece a una doble periodicidad:a.En el tiempo: para un punto dado (x constante) y es una función explicita del tiempo, y cada tiempo T se repite la posición y velocidad del punto.b.En el espacio: en un determinado instante (t constante) y es sólo función de x, por tanto, todos los puntos separados una distancia λ tienen las mismas condiciones de movimiento.

λA

Transcurrido un tiempo t

t = 0

x

x

y

y

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2b. Función de onda armónica (II).

La función de una onda armónica admite una formulación alternativa haciendo uso de dos cantidades: el número de onda, K, y la frecuencia angular, ω, relacionadas con la longitud de onda y el periodo, respectivamente, y que se definen como:

2K

π

λ=

2

T

πω =Número de onda Frecuencia angular

Así, la función de onda adquiere una expresión más concisa, dada por:

( )seny A K x tω= −

Nótese que la ecuación anterior exige que y valga cero cuando x y t sean también cero. En general, la función de onda se expresará como:

( )seny A K x tω φ= − +

Donde el parámetro ϕ dará cuenta de las condiciones iniciales, esto es, del valor de ycuando x y t sean cero.

Compruebe que la función de onda armónica que hemos obtenido verifica la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio. Es decir, compruebe que se cumple:

2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=

∂ ∂

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3. Energía transportada por una onda.

Para entender de qué factores depende la energía transportada por una onda consideraremos nuevamente una onda armónica (transversal) generada en una cuerda tensa.

Consideremos un trozo de cuerda de masa ∆m, como este elemento de masa realiza un MAS, su energía mecánica será igual a su energía cinética máxima.*

( ) 2

maxmax

1

2M cE E m u∆ = ∆ = ∆

Podemos obtener la velocidad de vibración, u, del trozo de cuerda derivando con respecto al tiempo la función de onda, es decir:

( ) maxcosy

u A K x t u At

ω ω ω∂

= = − − ⇒ =∂

Por tanto:

{ } { }2 2 2 21 1y

2 2M ME m A m x x v t E A v tω µ µ ω∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆

La potencia media transmitida por una onda armónica en una cuerda será:

2 21

2

MEP A v

tµ ω

∆= =

∆

Es decir, resulta ser proporcional al cuadrado de la amplitud, al cuadrado de la frecuencia y a la velocidad de propagación (o de fase) de la onda.

* Es importante distinguir entre la velocidad de vibración de cualquier punto afectado por la onda, que designaremos con la letra u y la velocidad de fase o de propagación v.

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4. Intensidad de una onda. Absorción (I).

Cuando un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones en un medio homogéneo e isótropo, la energía a una distancia r del foco estará distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de radio r (superficie 4πr2). Si la potencia emisiva del foco es P, la potencia por unidad de área a aquella distancia será P/4πr2.

Se llama intensidad de una onda a la potencia media que incide perpendicularmente a la dirección de propagación (W/m2). Es decir:

Foco

r1

r2

I1

I224

P PI

S rπ= =

En consecuencia, la intensidad de una onda disminuye en razón inversa al cuadrado de la distancia al foco emisor.

2

1 2

2

2 1

I r

I r=

Por otra parte, como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, la intensidad también lo será, luego es fácil entender que se cumple la relación:

1 2

2 1

A r

A r=Las amplitudes del movimiento ondulatorio disminuyen en razón inversa

a las distancias al foco emisor. Este efecto sólo tiene lugar en las ondas esféricas. En las planas I y A permanecen constantes con r.

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Absorción.

Es el fenómeno mediante el cual parte de la energía transportada por una onda se disipa debido a los rozamientos mecánicos con el medio material por el que se propaga, como consecuencia el movimiento ondulatorio se amortigua pudiendo llegar a extinguirse.

I0 I

x

dx En el caso de ondas planas puede demostrarse que la pérdida de intensidad que sufre una onda al atravesar un medio de espesor dx y de coeficiente de absorción α viene dada por:

dI I dxα− =

que conduce a: 0

xI I e

α−=

Esta expresión representa la ley general de la absorción de cualquier fenómeno ondulatorio en su propagación a través de un medio absorbente.

En las ondas esféricas este efecto de absorción se superpone al decrecimiento natural de la intensidad en razón inversa al cuadrado de la distancia.

El fenómeno de absorción es selectivo, es decir, depende de la frecuencia pero no de la naturaleza de la perturbación.

Es decir, la intensidad disminuye exponencialmente al aumentar el espesor del material.

18

5. Principio de superposición. Interferencias (I).

El principio de superposición establece que dos movimiento ondulatorios que se encuentran en un punto se superponen dando lugar a otro nuevo (la suma algebraica de las ondas individuales), pero sólo en ese punto, continuando después independientemente el uno del otro.

Consideremos dos focos puntuales síncronos. Veamos como tiene lugar la interferencia de ambas ondas en un punto P que dista d1 del primer foco y d2 del segundo.

d1

d2

F1

F2

P

( )( )

1 1

2 2

sen

sen

y A K d t

y A K d t

ω

ω

= −

= −

De acuerdo con el Principio de superposición, el movimiento resultante en el punto P vendrá dado por:

( ) ( )1 2 1 2sen seny y y A K d t K d tω ω = + = − + −

sen sen 2sen cos2 2

a b a ba b

+ −+ =Si aplicamos la relación trigonométrica tal que:

( )( )

1 21

1 22

2a b K d d ta K d t

a b K d db K d t

ωω

ω

+ = + −= −

− = −= − Se obtiene:

( ) ( )1 2 1 22 cos sen

2 2

K d d K d dy A tω

− += −

RA

19

5. Principio de superposición. Interferencias (II).

Es decir, AR es la amplitud del movimiento resultante en el punto P, que depende, como era de esperar de las distancias de ambos focos a dicho punto.

( )1 22 cos

2R

K d dA A

−=

Esta expresión sugiere que existen dos condiciones límites de interferencias:

oInterferencia destructiva: AR = 0, en cuyo caso:

oInterferencia constructiva: AR = 2 A, en cuyo caso:

( )1 2cos 0d dπ π

λ− = ⇒ ( ) ( )1 2 2 1d d n

π

λ− = +

2

( )1 2 2 12

d d nλ

− = +

( )1 2cos 1d dπ π

λ− = ⇒ ( )1 2d d n π

λ′− =

1 2d d n λ′− =

donde n y n´ son número enteros.

20

5a. Ondas estacionarias (I).

Un caso particular de interferencia es el que se produce cuando superponen dos movimientos ondulatorios armónicos idénticos, cuando avanzan en igual dirección y sentido contrario. La onda resultante se llama Onda Estacionaria ya que da la sensación de no moverse en el sentido de avanzar.

( )( )

( ) ( )1

1 2

2

sensen

sen

y A K x ty y y A K x t K x t

y A K x t

ωω ω

ω

= − ⇒ = + = − + + = +

De acuerdo con el principio de superposición, tenemos que:

De donde se obtiene: 2 sen cos cosRy A K x t A tω ω= =

RA

La onda resultante se caracteriza por la existencia de regiones donde alguna característica (amplitud, presión, etc.) se anula, los NODOS, y otros donde esta característica alcanza un valor máximo, los VIENTRES de vibración.

y y

x x

21

5a. Ondas estacionarias (II).

x

yVV

V

NN NN

Las condiciones que han de cumplir estos puntos singulares son las siguientes:

� NODOS: 0 sen 0RA K x= ⇒ =

( ) ( )2

2 1 2 12 4

xn x n

π π λ

λ′ ′= + ⇒ = +

� VIENTRES: 2 sen 1RA A K x= ⇒ =

2

2

xn x n

π λπ

λ= ⇒ =

siendo n y n´ número enteros.

Es posible también determinar la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos:

( ) ( )1 2 1 1 2 14 4 2

n nx x n nλ λ λ

+ − = + + − + =

O la distancia, d, entre un nodo y el vientre más próximo: ( )2 14 2 4

d n nλ λ λ

= + − =

Obsérvese que en una onda estacionaria la energía no se transporta a lo largo del medio, ya que los puntos nodales permanecen en reposo e impiden ese transporte. Los puntos del medio, excepto los nodos, oscilan alrededor de su posición de equilibrio intercambiando energía cinética y potencial elástica.

22

Ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos extremos.

Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como por ejemplo las ondas que se generan al pulsar una cuerda de una guitarra, las ondas estacionarias se generan por superposición continua de ondas incidentes y reflejadas en los extremos. La cuerda presenta una serie de patrones naturales de vibración, denominados MODOS NORMALES, cada uno de ellos con una frecuencia característica.

Imponiendo a la ecuación de onda estacionaria las condiciones de x = 0 y x = L para los diferentes modos normales, se obtiene que las respectivas longitudes de onda son:

1 2 3

2 2 2; ; ; ...

1 2 3

L L Lλ λ λ= = =

En general, se cumple que:

( )2

1, 2, 3, ...n

Ln

nλ = =

Y para las frecuencias de vibración:

( )1, 2, 3, ...2

n

n vf n

L= =

donde v es la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.

23

5b. Pulsaciones. Velocidad de grupo (I).

Consideremos dos ondas planas que se propagan en la dirección del eje x, en sentido positivo, con velocidades v1 y v2 y frecuencias f1 y f2 muy próximas entre sí; supongamos, además, que tienen la misma amplitud y el mismo centro de perturbación. En un punto situado a una distancia x del foco, la perturbación vendrá dada por:

( )( )

( ) ( )1 1 1

1 2 1 1 2 2

2 2 2

sensen

sen

y A K x ty y y A K x t K x t

y A K x t

ωω ω

ω

= − ⇒ = + = − + − = −

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica: sen sen 2 sen cos2 2

a b a ba b

+ −+ =

Y llamando:1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

K K K KK K

ω ω ω ωω ω

+ − = ∆ =

+ − = ∆ =

Se obtiene: ( ) ( ) ( )2 cos sen senRy A K x t K x t A K x tω ω ω = ∆ − ∆ − = −

Tal que: ( )2 cosRA A K x tω= ∆ − ∆

Obsérvese que, ya que los valores de son muy pequeños y, por tanto, la variación que experimenta la amplitud resultante es mucho más lenta que la de la onda resultante. En definitiva, se ha obtenido un movimiento ondulatorio de amplitud modulada, que recibe el nombre de pulsación o batido .

1 2 1 2y K K Kω ω ω≈ ≈ ≈ ≈ y Kω∆ ∆

24

5b. Pulsaciones. Velocidad de grupo (II).

De hecho, la amplitud resultante AR se propaga a una velocidad dada por:

1 2

1 2

gvK K K

ω ω ω∆ −= =

∆ −

que recibe el nombre de velocidad de grupo. Mientras que la onda se propaga a una velocidad dada por:

1 2

1 2

vK K K

ω ω ω+= =

+

que es la denominada velocidad de fase.

y

y

x

x

Ondas Componentes

Onda Resultante

En otras palabras, la velocidad de grupo es la velocidad con la que se propaga la onda de amplitud, es decir, la onda envolvente representada en la figura anterior.

La información puede transmitirse mediante ondas (ondas electromagnéticas). Pero una onda armónica no puede utilizarse para enviar información ya que esta reside en los cambios de características de la onda de un instante a otro. Con este propósito se utilizan las denominadas PULSACIONES, que son, como hemos visto, el resultado de la interferencia de ondas cuyas frecuencias son ligeramente distintas y de la misma amplitud. En consecuencia, la velocidad de grupo es la velocidad con que se transmite la señal portadora de la información.

25

6. Principio de Huygens. Reflexión, refracción y difracción.

F

A

B

C

Huygens (1629 – 1695) enunció que todo punto de un frente de onda se convierte en emisor de una serie de ondas elementales que se propagan en todas las direcciones. El nuevo frente de ondas lo constituye la superficie envolvente de las ondas elementales.

En la situación que muestra la figura se observan tres puntos A, B y C localizados en el frente de una onda producida por un foco emisor F. Cada uno de estos puntos puede considerarse emisor de una serie de ondas elementales, de tal forma que la superficie tangente a ellas constituye el nuevo frente de onda en una posición determinada.

Nótese que si la onda original tuviese un frente de onda plano, el nuevo frente de onda también sería plano.

Utilizando el principio de Huygens pueden explicarse determinados fenómenos ondulatorios tales como los de difracción, reflexión y refracción.

26

6a. Difracción (I).

Un fenómeno ondulatorio muy característico es el que tiene lugar cuando un tren de ondas que se propaga encuentra un obstáculo en su camino. El cómo la onda supera dicho obstáculo depende, lógicamente, del tamaño del obstáculo y de la longitud de onda de la perturbación. En general, cuando la relación longitud de onda/tamaño del obstáculo es muy grande la difracción tiene lugar fácilmente. Si esa relación es muy pequeña, la difracción apenas se presenta.

El caso de la figura muestra una situación en la que el orificio es pequeño y actúa como una fuente puntual de ondas esféricas.

27

6a. Difracción (II).

Los estudios cuantitativos de los fenómenos de difracción relacionan la longitud de onda difractada con el tamaño de la rendija por el que ha sido difractada. Esto permite calcular laslongitudes de onda en casos en los que son muy difíciles de medir. De hecho este fue el sistema utilizado por Young para medir por vez primera las longitudes de onda de diversos colores.

En este otro caso la apertura es muy grande en relación a la longitud de onda; las ondas secundarias de Huygens se destruyen por interferencias y la propagación se realizar casi sin difracción.

El procedimiento inverso, es decir, inferir el tamaño y forma de objetos extremadamente pequeños a partir de las figuras de difracción que producen, es muy utilizado en el estudio de los fenómenos atómicos y para el conocimiento de la estructura interna de la materia. Para conseguir analizar elementos cada vez más pequeños se necesitan ondas cuya longitud de onda sea cada vez más pequeña, empleándose la difracción de Rayos X en lugar de la difracción de la luz visible.

28

6b. Reflexión y refracción (I).

Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios parte de la onda pasa al nuevo medio cambiando su dirección de propagación, es decir, se refracta, y parte permanece en el mismo medio experimentando un cambio en su dirección de propagación, o sea, se refleja.

Reflexión: Sea un frente de onda AB que incide en una superficie de separación de dos medios SS´, al llegar a la superficie, según el principio de Huygens, cada punto de esta se convierte en un nuevo centro emisor de ondas que se propaga en el mismo medio.

S SNA

B

C

AN

N NN

Ya que la onda permanece siempre en el mismo medio, su velocidad de propagación no varía, así que: AA´= CB y, por tanto,

sen senφ φ φ φ′ ′= ⇒ =

CB AAsen y sen

AC ACφ φ

′′= =

Las leyes de la reflexión son las siguientes:

1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en un mismo plano.

2. El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.

29

6b. Reflexión y refracción (II).

Refracción: supongamos dos medios 1 y 2 cuyas velocidades de propagación sean v1 y v2tal que v1 > v2. Y consideremos el mismo frente de onda AB de la situación anterior, sólo que ahora prestaremos atención a la fracción de onda que penetra en el medio 2, sea A´C el nuevo frente de onda en dicho medio.

S SNA

B

C

AN

N1

1

2

N2

De acuerdo con la figura podemos escribir:

1 2

BC AAsen y sen

AC ACφ φ

′= =

Ya que: 2 1AA y BCv t v t′ = =

siendo t el tiempo que tarda la perturbación en recorrer AA´ o BC. En consecuencia:

11

1 12 1 1 2

2 2 22

sensenAC

sen sensen

senAC

v t

vv v

v t v

φφ

φ φφ

φ

=

⇒ = ⇒ ==

Las leyes de la refracción son:

1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano.

2. Los ángulos de incidencia y de refracción cumplen: 2 1 1 2sen senv vφ φ=

30

7. El efecto Doppler (I).

Es el efecto por el cual un observador detecta un cambio en la frecuencia que emite un foco cuando entre ambos se produce un movimiento relativo.

Foco emisor en reposo Foco emisor en movimiento

31

7. El efecto Doppler (II).

Supongamos un foco sonoro F y un receptor R que se mueven a lo largo de una misma línea, en el sentido positivo del eje x, con velocidades respecto del aire v1 y v2, respectivamente. Supongamos que el foco emite una señal acústica de frecuencia f, en forma de pulsos breves separados un tiempo T = 1/f, y que cada pulso viaja a través del aire a la velocidad c.

FR

FR

P1

P1

P2

t = 0

t = T

v1 v2

v1 v2

v1T 8´

c T

Llamemos λ´ a la diferencia de caminos que separa a ambos pulsos, es decir:

( )1 1cT v T c v Tλ′ = − = −

El intervalo de tiempo entre la llegada al receptor de los pulsos P1 y P2 será:

( )1

2 2

c vT

c v f c v

λ′ −′ = =

− −

O bien:1c v

fλ

−′ =

De donde la frecuencia efectiva, f´, percibida por el receptor podrá escribirse como:

2

1

c vf f

c v

−′ =

−

¿Qué ocurre si el foco es más rápido que la onda?

Foco móvil que iguala la velocidad del sonido

Un móvil cuya velocidad es mayor que la del sonido se dice que es “supersónico”. En este caso se produce un estampido debido a la compresión a que el móvil somete al aire. En términos coloquiales se dice que se ha roto la barrera del sonido.

7. El efecto Doppler (III).

32