ondas sonoras

Ondas SonorasCurso de Fısica 2

Dayanne Fernandes

Semestre 2016-2Cefet - NF

Dayanne Fernandes Ondas Sonoras Curso de Fısica 2

Introducao

Frequencias audiveis pelos humanos: 20 Hz a 20.000 Hz.

Ultrasonico: > 20.000 Hz

Infrasonico: < 20 Hz

Introducao

O som...

Ondas mecanicas que se propagam nos gases, lıquidos e solidos.Nos fluidos sao ondas longitudinais, uma vez que os fluidos naoaguentam tensao de cisalhamento.

Figura:http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Podemos descrever o som como a variacao de pressao (compressoese rarefacoes) em certa regiao do meio ou o deslocamento parafrente e para tras de partıculas do meio s(x , t) = smcos(kx − ωt).

O som...

Ondas Progressivas Longitudiniais

Como a amplitude de deslocamento das partıculas e de ordem degrandeza muito pequena e mais adequado trabalhar com avariacao de pressao.

Figura: a) Tubo infinito com variacao de pressao do ar e b) camada do fluidopara analise.

Considerando um tubo infinito onde as compressoes e rarefacoespossam ocorrer sem reflexoes iniciamos com a expressao do modovolumar B:

B =−∆p

∆V /V,

onde ∆p e a variacao de pressao do elemento de fluido deslocado,V o volume do elemento e ∆V a variacao do volume quando oelemento e deslocado.

Analisando uma camada do meio (item (b) da figura anterior)temos V = A∆x e ∆V = A∆s, de modo que:

∆p = −B ∆s

B =−∆p

∆V /V,

onde ∆p e a variacao de pressao do elemento de fluido deslocado,V o volume do elemento e ∆V a variacao do volume quando oelemento e deslocado.

Analisando uma camada do meio (item (b) da figura anterior)temos V = A∆x e ∆V = A∆s, de modo que:

∆p = −B ∆s

Fazendo ∆x → 0, temos:

∆p = −B ∂s∂x

= −Bksm[− sen(kx − ωt)].

E portanto a expressao para onda de pressao e:

∆p(x , t) = ∆pm sen(kx − ωt),

onde ∆pm = Bksm.

Fazendo ∆x → 0, temos:

∆p = −B ∂s∂x

= −Bksm[− sen(kx − ωt)].

E portanto a expressao para onda de pressao e:

∆p(x , t) = ∆pm sen(kx − ωt),

onde ∆pm = Bksm.

Velocidade do Som

A velocidade de uma onda mecanica e descrita pela relacao entreas propriedades elasticas e as inerciais do meio. Foi assim na onda

mecanica que se propaga numa corda v =√

τµ e nao sera diferente

para o som.

Dado um elemento de fluido que passa por uma zona decompressao, temos:

Figura: Um pulso de compressao se move da direita para esquerda. Oreferencial da foto foi escolhido de tal forma que o pulso permanece emrepouso e o ar se move da esqueda para a direita. a) Um elemento de ar ∆x semove em direcao ao pulso com velocidade v . b) A borda dianteira do elementopenetra no pulso.

Velocidade do Som

A velocidade de uma onda mecanica e descrita pela relacao entreas propriedades elasticas e as inerciais do meio. Foi assim na onda

mecanica que se propaga numa corda v =√

τµ e nao sera diferente

para o som.Dado um elemento de fluido que passa por uma zona decompressao, temos:

Figura: Um pulso de compressao se move da direita para esquerda. Oreferencial da foto foi escolhido de tal forma que o pulso permanece emrepouso e o ar se move da esqueda para a direita. a) Um elemento de ar ∆x semove em direcao ao pulso com velocidade v . b) A borda dianteira do elementopenetra no pulso.

Velocidade do Som

Da segunda lei de Newton:

F = ma = FE − FD = pA− (p + ∆p)A = −∆pA,

onde FE e FD sao forcas sofridas nas paredes esquerda e direita dacamada de ar, respectivamente. Das definicoes m = ρV e a = ∆v

∆tchegamos a:

ρv2 = − ∆p

∆v/v.

O ar que ocupa um volume V fora do pulso sofre uma reducao dovolume ∆V ao penetrar no pulso, assim:

A∆v∆t

Av∆t=

Velocidade do Som

Da segunda lei de Newton:

F = ma = FE − FD = pA− (p + ∆p)A = −∆pA,

onde FE e FD sao forcas sofridas nas paredes esquerda e direita dacamada de ar, respectivamente. Das definicoes m = ρV e a = ∆v

∆tchegamos a:

ρv2 = − ∆p

∆v/v.

O ar que ocupa um volume V fora do pulso sofre uma reducao dovolume ∆V ao penetrar no pulso, assim:

A∆v∆t

Av∆t=

Velocidade do Som

ρv2 = − ∆p

∆V /V= B

e portanto

Alguns exemplos:

Ar 0 ◦C 331 m/s

Ar 20 ◦C 343 m/s

Agua 0 ◦C 1.402 m/s

Agua 20 ◦C 1.482 m/s

Velocidade do Som

ρv2 = − ∆p

∆V /V= B

e portanto

Alguns exemplos:

Ar 0 ◦C 331 m/s

Ar 20 ◦C 343 m/s

Agua 0 ◦C 1.402 m/s

Agua 20 ◦C 1.482 m/s

Potencia e Intensidade do Som

Sabemos que potencia e P = ~u.~F , onde ~u e a velocidade dapartıcula que agora e na mesma direcao da propagacao da onda e~F e a forca exercida por uma patıcula na posterior.

F = A∆p = A∆pm sen(kx − ωt).

A velocidade e:

u =∂s

∂t= −ωsm[− sen(kx − ωt)],

entao:

P = ωsmA∆pm sen2(kx − ωt).

E usando sm = ∆mkρv2 e ω = vk , chegamos a:

P(x , t) =A(∆pm)2

ρvsen2(kx − ωt).

A velocidade e:

u =∂s

entao:

P(x , t) =A(∆pm)2

A velocidade e:

u =∂s

entao:

P(x , t) =A(∆pm)2

Na media num ciclo o sen2 θ = 1/2 e assim a potencia media e:

P =A(∆pm)2

E a intensidade, por definicao:

(∆pm)2

Devido a sensibilidade do ouvido humano, o que nos permite ouvirem uma enorme faixa de intensidades, vamos utilizar uma novaescala que se chama nıvel de som SL:

SL = 10 log( I

onde I0 = 10−12W /m2 e a unidade de SL e db (decibel).

P =A(∆pm)2

(∆pm)2

SL = 10 log( I

P =A(∆pm)2

(∆pm)2

SL = 10 log( I

Ondas Estacionarias Longitudinais

Considere uma onda sonora que caminha ao longo de umtubo. Seu comportamento sera alterado de acordo com aextremidade do tubo, sendo ela fechada ou aberta. Devido asreflexoes nas extremidades do tudo ondas em sentidos opostosirao se encontrar e teremos entao ondas estacionarias sendoformadas dentro do tubo.

Importante: as ondas que emanam para dentro do tudodevem ser ondas planas para que as reflexoes nas paredes dotubo possam ser desconsideradas.

Se ajustarmos a frequencia ν adequada podemos construir ospadroes ressonantes das ondas estacionarias de acordo com otamanho L do tubo.

Ondas de variacao de pressao formadas em tubos abertos esemiabertos sao mostradas abaixo.

Figura: Esquerda: tubo aberto. Direita: tubo semiaberto.

Aberto:νn =

com n=1,2,3... E semiaberto:

νn =nv

com n = 1,3,5...Dayanne Fernandes Ondas Sonoras Curso de Fısica 2

No canal do youtube do Fısica em Cena, no episodio extra da serieFısica em Tablet realizamos um experimento onde reproduzimosum perfil de ondas estacionarias da variacao de pressao num tubosemiaberto.

Figura: Montagem experimental.

Figura: Esquerda: harmonico fundamental. Direita: Segundo harmonico.

Figura: Perfil de ondas estacionarias das grandezas a) deslocamento doar e b) variacao de pressao.

E importante ressaltar que a amplitude da onda estacionaria dedeslocamento se refere ao extremo de deslocamento na horizontal,que fica mais claro com a representacao dos gifs retirados do sitehttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/StandingWaves/

StandingWaves.html.

Figura: Perfil de ondas estacionarias das grandezas a) deslocamento doar e b) variacao de pressao.

E importante ressaltar que a amplitude da onda estacionaria dedeslocamento se refere ao extremo de deslocamento na horizontal,que fica mais claro com a representacao dos gifs retirados do sitehttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/StandingWaves/

StandingWaves.html.

Sistemas Vibrantes e Fontes de Som

Cordas Vibrantes: violino, violao, guitarra, piano.

Colunas de Ar Vibrantes: flauta, clarineta, trompete.

Outros Sistemas: hastes, pratos e membranas esticadas

Figura: Timbres ou forma da onda de diferentes sistemas musicais.

Mostrar applet Fourier do PHET.

Batimentos

Quando escutamos dois sons, um apos o outro, com frequenciasproximas, temos dificudade de distingui-los. Quando os escutamosao mesmo tempo percebemos uma variacao em sua intensidade,ela aumenta e diminui alternadamente. E o que chamamos deBatimentos. Vamos considerar a superposicao de duas ondas nummesmo ponto x do espaco.

Dada a onda 1:

∆p1(t) = ∆pm senω1t

e a onda 2:

∆p2(t) = ∆pm senω2t.

Da superposicao, temos:

∆p(t) = ∆pm(senω1t + senω2t).

Fazer experimento com aplicativo Frequency Sound Generator.

Batimentos

Quando escutamos dois sons, um apos o outro, com frequenciasproximas, temos dificudade de distingui-los. Quando os escutamosao mesmo tempo percebemos uma variacao em sua intensidade,ela aumenta e diminui alternadamente. E o que chamamos deBatimentos. Vamos considerar a superposicao de duas ondas nummesmo ponto x do espaco.Dada a onda 1:

e a onda 2:

Batimentos

e a onda 2:

Batimentos

e a onda 2:

Fazer experimento com aplicativo Frequency Sound Generator.Dayanne Fernandes Ondas Sonoras Curso de Fısica 2

Batimentos

Usando a identidade trigonometrica abaixo,

senA + senB = 2 cos[A− B

]sen[A + B

chegamos a:

∆p(t) =[2∆pm cos

(ω1 − ω2

)]sen(ω1 + ω2

Figura: a) ∆p1(t), b) ∆p2(t) e c) ∆p(t)

Batimentos

Usando a identidade trigonometrica abaixo,

senA + senB = 2 cos[A− B

]sen[A + B

chegamos a:

∆p(t) =[2∆pm cos

(ω1 − ω2

)]sen(ω1 + ω2

Figura: a) ∆p1(t), b) ∆p2(t) e c) ∆p(t)

Batimentos

Ouvimos o som resultante com a frequencia media

ω =ω1 + ω2

e o numero de batimentos por segundo e igual a :

ωbat = |ω1 − ω2|.

Como ω = 2πν, podemos reescrever essa expressao como:

νbat = |ν1 − ν2|.

Nossos ouvidos podem detectar batimentos de frequencias de ate15 Hz aproximadamente para timbres proximos. Batimentos saobastante uteis para afinar instrumentos musicais.

Batimentos

ω =ω1 + ω2

ωbat = |ω1 − ω2|.

νbat = |ν1 − ν2|.

Batimentos

ω =ω1 + ω2

ωbat = |ω1 − ω2|.

νbat = |ν1 − ν2|.

Efeito Doppler

Imagine um carro de bombeiro parado proximo a voce que seencontra numa calcada. Se a frequencia da sirene do carro forν = 1.500Hz voce ouvira ν = 1.500Hz .

Agora, se houver movimento relativo entre voce e o carro debombeiro voce ouvira uma frequencia diferente que emana dasirene. E esta variacao e denominada Efeito Doppler.

Figura: Exemplo de Efeito Doppler .

Efeito Doppler

Imagine um carro de bombeiro parado proximo a voce que seencontra numa calcada. Se a frequencia da sirene do carro forν = 1.500Hz voce ouvira ν = 1.500Hz .Agora, se houver movimento relativo entre voce e o carro debombeiro voce ouvira uma frequencia diferente que emana dasirene. E esta variacao e denominada Efeito Doppler.

Efeito Doppler

Imagine um carro de bombeiro parado proximo a voce que seencontra numa calcada. Se a frequencia da sirene do carro forν = 1.500Hz voce ouvira ν = 1.500Hz .Agora, se houver movimento relativo entre voce e o carro debombeiro voce ouvira uma frequencia diferente que emana dasirene. E esta variacao e denominada Efeito Doppler.

Efeito Doppler

A regra geral para o Efeito Doppler e:

= νv ± vov ∓ vf

onde v e a velocidade do som no meio, vo e a velocidade doobservador, vf a velocidade da fonte. Todas em relacao a umreferencial que esteja em repouso em relacao ao meio. E ν e afrequencia da fonte e ν

′e a frequencia ouvida pelo observador.

Os sinais superiores (+ no numerador e − no denominador)correspondem a aproximacao entre fonte e observador e osinferiores ao afastmento deles, que se deslocam na linha que osunem.

Efeito Doppler

A regra geral para o Efeito Doppler e:

= νv ± vov ∓ vf

onde v e a velocidade do som no meio, vo e a velocidade doobservador, vf a velocidade da fonte. Todas em relacao a umreferencial que esteja em repouso em relacao ao meio. E ν e afrequencia da fonte e ν

′e a frequencia ouvida pelo observador.

Os sinais superiores (+ no numerador e − no denominador)correspondem a aproximacao entre fonte e observador e osinferiores ao afastmento deles, que se deslocam na linha que osunem.

Efeito Doppler

Vamos analisar o caso em que o observador esta em movimento ea fonte esta parada vf = 0.

Figura: Frentes de ondas esfericas emitidas por uma fonte parada.

Um observador parado em meio as frentes de ondas representadasna figura acima receberia vt

λ ondas num intervalo de tempo t.

=vt/λ

Efeito Doppler

=vt/λ

Efeito Doppler

=vt/λ

Efeito Doppler

Figura: Esquerda:Fonte e observador parados . Direita: Fonte parada eobservador de aproximando.

Devido ao seu movimento em direcao a fonte ele recebera tambemvotλ no mesmo intervalo de tempo. Logo:

=vt/λ+ vot/λ

v + voλ

=v + vov/ν

Efeito Doppler

Figura: Esquerda:Fonte e observador parados . Direita: Fonte parada eobservador de aproximando.

Devido ao seu movimento em direcao a fonte ele recebera tambemvotλ no mesmo intervalo de tempo. Logo:

=vt/λ+ vot/λ

v + voλ

=v + vov/ν

Efeito Doppler

= νv + vo

Se o observador se afasta o sinal positivo, na equacao acima,torna-se negativo. Para os dois casos, temos:

= νv ± vo

Faca a mesma analise para o caso em que a fonte esta emmovimento e o observador esta parado. E pesquise sobre o EfeitoDoppler a velocidades proximas a do som.

Efeito Doppler

= νv + vo

= νv ± vo

Efeito Doppler

= νv + vo

= νv ± vo

Referencias I

Figura som - http://www.diarioguaratuba.com.br/portal/politica/

1347-assembleia-proibe-som-alto-nos-carros-e-no-cinema.

Longitudinal and Transverse Wave Motion - http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/waves/wavemotion.html

Longitudinal Standing Waves - http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/StandingWaves/StandingWaves.html

Hallyday - Fısica 2, 4a Edicao

Freedman - Fısica II, Termodinamica e Ondas, 12a Edicao

Moyses - Curso de Fısica Basica 2, Fluidos, Oscilacoes eOndas, Calor, 4a Edicao

Vıdeo Aula Unicamp - https://www.youtube.com/watch?v=p3QjNd2eA14&list=PL516F59E9AE8F5BF7

Referencias II

Vıdeo Fısica em Cena -https://www.youtube.com/watch?v=OFH-GBFg8Xo

Artigo - Ondas sonoras estacionarias em um tubo: analise deproblemas e sugestoes. RBEF, v. 36, n. 1, 1504 (2014),Autores L.P. Vieira , D.F. Amaral , V.O.M. Lara

Figuras ondas tubos aberto e semiaberto -http://www.ebah.com.br/content/ABAAAeujEAJ/

relatorio-fisica-ondas-sonoras

Figura Timbre - http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2014/02/qualidades-do-som.html

Figura Exemplo Efeito Doppler - http://m.alunosonline.uol.com.br/fisica/efeito-doppler.html

Figuras tubos de ar, Batimentos e demais do Efeito Doppler -Hallyday - Fısica 2, 8a Edicao.

Referencias III

Aplicativo Frequency Sound Generator -https://play.google.com/store/apps/details?id=

com.finestandroid.soundgenerator.

Applet Fourrier PHET - https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/fourier.

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