onde elettromagnetiche le onde; dalle equazioni di maxwell allequazione delle onde per il campo...
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ONDE ELETTROMAGNETICHE
•Le onde;•Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde per il campo e.m.;•La propagazione del campo e.m.;•Onde e.m. piane•Polarizzazione delle onde e.m.;•Onde e.m. sferiche;•Flusso di energia (vettore di Poynting).
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Le onde e la loro equazione
Se prendiamo una funzione y=f(x) e ne consideriamo la sua traslazione verso ladirezione positiva dell’asse x di una quantità aotteniamo la funzione y=f(x-a) .
Se a=vt, dove v è la velocità e t è il tempo
la funzione y=f(x-vt) rappresenta la curva yche si muove verso destra con una velocitàv detta velocità di fase.
Analogamente y=f(x+vt) rappresenta la curva yche si muove verso sinistra con una velocità v.
Quindi l’espressione matematica
)(),( vtxftxy
è in grado di descrivere uno stato fisico che sipropaga senza deformazione lungo l’asse x,
questo tipo di propagazione viene detta onda.
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L’equazione differenziale che descrive il motodi un’onda che si propaga in direzione x a velocità v è
2
22
2
2
x
yv
t
y
La soluzione generale è del tipo:
)()(),( 21 vtxfvtxftxy
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DALLE EQUAZIONI DI MAXWELLALLE EQUAZIONI DELLE ONDE
Prendiamo una zona di spazio in cui c’è uncampo elettrico con linee di forza giacenti sulpiano XY e un campo magnetico con linee diforza giacenti sul piano XZ (cioè i due campisono perpendicolari, situazione che ha unanotevole generalità se ci ricordiamo le leggidi Maxwell che legano E a B e viceversa).
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Prendiamo il rettangolo di vertici RSPQ nelpiano XY e applichiamo la legge di Faraday-Henry con percorrenza in senso antiorario:
EdydyEldE
dxdyBSdB
RSPQL
RSPQS
B
'
dx
dE
dt
dB
dEdydyEEBdxdydt
d
'
L
B ldEdt
d
Da cui otteniamo:
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Prendiamo adesso il rettangolo di vertici RSPQ nel piano XZ e applichiamo la legge di Ampere-Maxwell con percorrenza in senso antiorario:(senza correnti) E
L dt
dldB 00
dzBBdzldB
dxdzESdE
RSPQL
RSPQS
E
'
dx
dB
dt
dE
dBdzdzBBEdxdzdt
d
'
00
00
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Vediamo di utilizzare i due risultati ottenuti dalle leggi di Faraday-Henry e Ampere-Maxwell:
dx
dB
dt
dE 00
dx
dE
dt
dB
Derivando la prima rispetto al tempo e la secondarispetto la coordinata x, sostituendo otteniamo:
2
2
002
2
dt
Bd
dx
Bd
Derivando la prima rispetto a x e la seconda rispettoal tempo, sostituendo otteniamo:
2
2
002
2
dt
Ed
dx
Ed
Cioè sia campo magnetico che campo elettricosoddisfano all’equazione delle onde
2
22
2
2
x
yv
t
y
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Ricordando che la costante che appare nelleequazioni è il quadrato dell’inverso della velocità di propagazione dell’onda
200
1
c
Otteniamo che la velocità di propagazionedelle onde e.m. nel vuoto è una costante chevale:
smc /1031 8
00
Una soluzione valida per i campi E e B che si propagano nel vuoto con direzionelungo l’asse x diventa:
)(),(
)(),(
ctxBtxB
ctxEtxE
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In conclusione abbiamo trovato che:
• il campo elettromagnetico soddisfa all’equazionedelle onde;• il campo E e il campo B sono perpendicolaril’uno all’altro;• la velocità di propagazione dell’onda e.m. nelvuoto vale ed è una costante.
Inoltre, la direzione di propagazione è data dal prodotto vettoriale BE
00
1
c
N.B. un fronte d’onda è una superficie sulla quale, ad un certo istante di tempo, campi elettrici e magnetici risultano costanti
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Onde elettromagnetiche pianeUn caso particolare per la soluzione E e B per l’equazione delle onde e.m. è dato dalle funzioniarmoniche. Prendiamo come al solito la direzionedi propagazione parallela all’asse X, il campo E parallelo a Y, quello B parallelo a Z.
ctxksinBctxBtxB
ctxksinEctxEtxE
0
0
)(),(
)(),(
Dove:T
kck
2
2 ; 2
lunghezza d’onda (parametro di periodicità spaziale)K=2 vettore d’ondaT periodo di oscillazione (par. di periodicità temporale) frequenza oscillazione
Tkc
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dx
dE
dt
dB
)(),(
)(),(
ctxBtxB
ctxEtxE
dx
dB
dt
dE 00
Inserendo le soluzioni ammesse per i campiE e B nelle equazioni ottenute dalle leggi diFaraday-Henry e Ampere-Maxwell:
Si ottiene una relazione generale tra i modulidei campi:
),(),( tPcBtPE
Da questa relazione vediamo che i campi E e B sono in fase, cioè raggiungono gli zeri e i valori massimi allo stesso istante.
ctxksinBctxBtxB
ctxksinEctxEtxE
0
0
)(),(
)(),(
Rappresentando E e B come funzioni armoniche
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Il caso appena riportato corrisponde ad una onda elettromagnetica piana detta polarizzata linearmente. Polarizzazione lineare di un onda e.m. vuol dire che i vettori campo E e B vibrano sempre sullo stesso piano.
Possiamo immaginarci il caso in cui i vettori E e B ruotano intorno alla direzione di propagazione.In questo caso l’onda si dice polarizzata circolarmente.
Piano di polarizzazione
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In conclusione:
•Le soluzioni delle equazioni di Maxwell deltipo onde piane armoniche sono completamentegenerali. Questo è una conseguenza della serie odell’integrale di Fourier (qualsiasi altra soluzione la posso sviluppare in serie).
•I vettori campo E e B in genere possono variarela loro orientazione, fermo restando che fissatala direzione di uno dei vettori resta fissata quelladell’altro e la direzione di propagazione(onde trasversali con E e B ortogonali).
•Componendo vettori E e B in casi particolari oper particolari tipi di propagazioni nasconole onde e.m. polarizzate.
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Spettro delle onde elettromagnetiche
Se consideriamo le onde e.m. sinusoidale pianedi forma tkxsinAA 0
abbiamo un’onda monocromatica con A=E o B ex la direzione di propagazione.
Tali tipi di onde possono coprire un grande campodi frequenze
c
2
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Onde elettromagnetiche sferiche
Le equazioni di Maxwell (sotto forma delleequazioni delle onde) ammettono soluzionianche del tipo onde sferiche e onde cilindriche.
Ad esempio per le onde sferiche il campoE e B è tangente alla superficie di una sferae la direzione di propagazione è quella radiale.
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Il vettore di Poynting
Come tutte le onde, anche quelle e.m. trasportanoenergia propagandosi.
Tale energia può essere visualizzata come un flussodi energia per unità di tempo e di superficie.
Si descrive il modulo e la direzione del flusso di energia, trasportata dal campo E e B che sipropaga, attraverso un vettore detto vettore di Poynting, e definito come:
BES
0
1
In conclusione il vettore di Poynting definisce:
•come direzione e verso la direzione e verso delflusso di energia;•come modulo l’energia per unità di tempo esuperficie attraverso una area posta ortogonalealla direzione di propagazione.
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Vediamo una rapida giustificazione alla forma algebrica del vettore di Poynting.
Il campo e.m. nel vuoto immagazzina energia nello spazio con una densità (energia per unità di volume) w
0
22
0 2
1
2
1
BEw
Tra i moduli dei campi E e B c’è la relazione:
cBE
La velocità di propagazione del campo e.m. è
00
1
c
La direzione di propagazione del campo, e quindi quella del flusso di energia, è: BE
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Combinando il tutto, la densità di energiadel campo e.m. diventa:
0
2
2
0
2
0
22
0 2
1
2
1
c
EBBcBw
Tale energia si propaga con il campo e.m. a velocità c in direzione perpendicolare a E e B,quindi:
200
2
m
WEB
c
Ewc
Vettorialmente:
0BE
S
00
2 1
c
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