ondes e t vibrations ensta

8/18/2019 Ondes e t Vibrations Ensta

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RappelsL’oscillateur harmonique

N degrés de libertéConclusion

ENSTA - COURS MS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES :

ONDES ET VIBRATIONS

Amphi 4

ENSTA-MS 204-2015/2016 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 4



Rappels



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REPRÉSENTATION DANS LA BASE MODALE : EDP EDO EN TEMPS

◮ On insère le développement :

w(x, t ) =+ ∞

p =1X p (t )φp (x)

◮ Projection des équations sur un mode φn :

∀n ≥ 1, m n Ẍ n (t ) + kn X n (t ) = f n (t)

⇒Innité d’équations indépendantes d’oscillateurs linéaires

◮ Force modale :f n (t ) = < φ n , f (x, t ) > = Ω f (x, t )φn dΩ




Oscillateur libreOscillateur forcé

L’oscillateur harmonique



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OSCILLATEUR HARMONIQUE CONSERVATIF

m

x(t)

f (t )

m ẍ(t) + kx (t) = f (t)





OSCILLATEUR AMORTI

m

c

k

m ẍ + cẋ + kx = f (t )



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Oscillations libres





◮ Oscillations libres≡pas de forçage :m ẍ + kx = 0

◮ Recherche d’une solution harmonique de la forme x = eiωt ,

k

−ω2 m = 0

⇒ ω =

± k

m

◮ Solution générale du problème,

x(t) = ae iωt + be− iωt = A sin ωt + B cos ωt.◮ Les constantes A et B dépendent des conditions initiales,

x(t) = x0 cos ωt + ẋ0ω

sin ωt

◮ En posant tan ϕ = ẋ0 /ωx 0 ,

x(t) = 2ǫ0k cos( ωt −ϕ)avec ǫ0 ≡énergie mécanique initiale = k2 x20 + m2 ẋ20 .



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t

x

x0

ẋ0

2ǫ0

k

Trajectoire dans l’espace des phasesր

x

ẋ





CAS AVEC AMORTISSEMENT

◮ Oscillations libres≡pas de forçage :ω2 x + 2 ωζ ẋ + ẍ = 0 ,

avec ζ = c2mω

◮ Recherche d’une solution harmonique de la forme x = eλt ,

λ = ω −ζ ± i 1 −ζ 2 = −ζω ± iωa◮ Partie imaginaire : pulsation modiée : ωa = ω 1 −ζ 2Partie réelle : amortissement temporel : −ζω (ζ : taux d’amortissement).

ζ ωa /ω0 1

0.1 0.994990.2 0.979800.3 0.95394



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OSCILLATIONS LIBRES

◮ Si ζ < 1,

x(t) = e− ωζt x0 cos ωa t + ζ

1 −ζ 2sin( ωa t ) + ẋ0

ωasin( ωa t ) ,

avec ωa = ω 1 −ζ 2 .◮ Si ζ > 1 , λ∈

R − , mouvement exponentiellement décroissant, sans oscillation(mouvement sur-amorti).

◮ Si ζ ≪1,x(t) ≃e− ωζt x0 cos ωt + ẋ 0ω sin( ωt )

= e− ωζt 2ǫ0K sin( ωt + φ)Diminution exponentielle de l’énergie mécanique totale.





t

x

տSinus amorti

Trajectoire dans l’espace des phasesր

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ẋ

x



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REPRÉSENTATION DU SYSTÈME DANS SA BASE MODALE,APPLICATION À LA CORDE PINCÉE

◮ Solutions temporelles du problème de cordepincée:

m l ∂ 2

y∂t 2 −T ∂ 2

y∂x 2 = 0

+conditions initiale y0 (x, t = 0) imposée,à vitesse nulle.

0 0.5 10

2.5

5

x 10−3

◮ Représentation base modale : y(x, t ) = N n =1 X n (t )Φn (x),où les modes normaux : Φn (x) = 2/L sin nπx/L , ωn = nπc/L .

Ẍ n + ω2n X n = 0

X n (t = 0) = X 0n =

L

0

y0 (x)Φ n (x)dx, Ẋ n (t = 0) = 0

◮ solution ∀n = 1 ...N : X n (t ) = X 0n cos ωn t◮ Problème de la troncature (choix de N):⊲ représentation de la C.I. : y0 (x, t = 0) = N n =1 X 0n Φn (x)⊲ représentation de la solution y(x, t ) pour tout t.





L’oscillateur harmoniqueRéponse forcée



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RÉPONSE IMPULSIONNELLE◮ Forçage ≡ pδ(t − t0 ) :

ẍ + 2 ωζ ẋ + ω2 x = pm

δ(t − t0 )

◮ δ(t) ≡distribution singulière de Dirac :

t 2

t 1δ(t − t0 )g(t)dt =

g(t0 ) si t0 ∈[t1 , t 2 ]0 sinon

◮ Intégration de l’équation du mouvement:

t 0 + ǫ

t 0 − ǫẍ + 2 ωζ ẋ + ω2 x dt =

pm

=⇒[ẋ]t 0 + ǫt 0 − ǫ + 2 ωζ [x]

t 0 + ǫt 0 − ǫ +

t0

+ ǫ

t 0 − ǫω2 xdt = p

m◮ Lorsque ǫ−→0, l’équation devient

ẋ0 |t 0 + − ẋ0 |t 0 − = pm

,

=⇒Forçage impulsionnel≡discontinuité nie de la vitesse.





APPLICATION : PLAQUE RECTANGULAIRE



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DÉPLACEMENT DE LA PLAQUE ET DÉCOMPOSITION SELON SES PREMIERSMODES

t = 0





DÉPLACEMENT DE LA PLAQUE ET DÉCOMPOSITION SELON SES PREMIERSMODES

t = 1



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RÉPONSE À UN FORÇAGE HARMONIQUE◮ Équation d’oscillateur forcé :

ω2 x + 2 ωζ ẋ + ẍ = F 0m

eiω f t (4)

◮ Réponse à la même fréquence que le forçage =⇒x = x0 eiω f t :

ω2 x0 + 2 iωζω f x0 −ω2f x0 eiω f t = F 0m

eiω f t (5)

◮ Fonction de transfert entre le forçage et le déplacement

H (ωf ) = x0F 0

= 1

m ω2 −ω2f + 2 iωζω f (6)

◮ En fonction de la fréquence réduite z = ωf /ω :

H (z) = 1

k (1 −z2 + 2 izζ )(7)





CARRÉ DE LA FONCTION DE TRANSFERT EN FONCTION DE z

10−1

100

101

10−2

10−1

100

101

102

103

Réponsequasi statique

Réponserésonante

Réponseinertielle

|H (z)|2

z

ζ = 0 . 02

ζ = 0 . 05

ζ = 0 . 1

ζ = 0 . 2

| H ( z ) | 2 ∼ 1 /k 2 | H (1) | 2 =1

4 ζ 2 k 2 | H ( z ) | 2 ∼

1

k 2 z 4



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PHASE DE LA FONCTION DE TRANSFERT EN FONCTION DE z

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

arg (H )

z

ζ = 0 . 02

ζ = 0 . 2

−π

2





FACTEUR DE QUALITÉ◮ On dénit le facteur de qualité Q :

Q = 12ζ

◮

Réponse en fréquence:H (z) =

1k(1 −z2 + iz/Q )

à la résonance : |H (1) | = Q

kla hauteur de la réponse en fréquence est Q

fois l’amplitude de la réponse quasi-statique.◮ Méthode de mesure:

On cherche les points z1 , 2 t.q. |H (z)|2 = H (1) 2

2 .cas ζ


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RÉPONSE À UN FORÇAGE QUELCONQUE◮ Supposons désormais le forçage f (t ) quelconque:

ẍ + ω20 x + 2 ζω0 ẋ = 1m

f (t )

◮ En utilisant la transformée de Fourier (temporelle),ainsi que la linéarité de l’équation du mouvement, on obtient:

(−ω2 + ω20 + 2 iζω 0 ω)x̃(ω) = 1m

f̃ (ω)

◮ On reconnait la fonction de transfert H (ω), la réponse fréquentielle est doncdonnée simplement par:

x̃(ω) = H (ω) f̃ (ω)◮ On appelle réponse impulsionnelle ou fonction de Green la transformée de

Fourier inverse de H (ω), que l’on note G(t).◮ La solution à un forçage quelconque s’exprime simplement comme la

convolution entre la réponse impulsionnelle et le forçage considéré:

x(t) = T F − 1 [H (ω) f̃ (ω)]= ( G∗f )( t )

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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets

Systèmes à N degrés de liberté



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SYSTÈMES À N DEGRÉS DE LIBERTÉ : CADRE GÉNÉRAL

◮ Système à N degrés de libertés x = [ x1 , x 2 ...x N ] t

◮ Système de N équations pour l’évolution des composantes de x :

M ẍ + K x = 0

◮ En général, les matrices M et K sont pleines (problème couplé).





EXEMPLE : OSCILLATEURS COUPLÉS

mmk k k

x1 x2

mẍ1 + kx 1 −k(x2 −x1 ) = 0m ẍ2 + kx 2 −k(x1 −x2 ) = 0

m 00 m ẍ + 2k −k−k 2k x = 0



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ÉQUATIONS DE LAGRANGE◮ Lagrangien≡Énergie cinétique - énergie potentielle :

L= T ( q, ˙ q, t ) −V ( q, ˙ q, t ). (9)◮

Principe de moindre action :A =

t 2

t 1 L( q, ˙ q, t )dt (10)

est minimale pour la trajectoire correspondant à la solution.qi

t

C C ′

t1 t2◮ Conséquence : Équations de Larange

∂ L∂q i −

ddt

∂ L∂ q̇i

= 0 , i∈[1, N ]. (11)





EXEMPLE 1 : OSCILLATEURS COUPLÉS◮ Énergie cinétique :

T = m

2ẋ21 +

m2

ẋ22 (12)

◮ Énergie potentielle :

V = k2 x21 +

k2 x22 +

k2 (x2 −x1 )2 (13)

◮ Lagrangien :

L= T −V = m

2ẋ21 +

m2

ẋ22 − k2

x21 − k2

x22 − k2

(x2 −x1 )2 (14)◮ Équations de Lagrange :

∂ L∂x i −

ddt

∂ L∂ ẋ i

= 0 , i = 1 , 2 (15)

◮ Équations du mouvement :

m ẍ1 + kx 1 −k(x2 −x1 ) = 0m ẍ2 + kx 2 −k(x1 −x2 ) = 0 (16)



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EXEMPLE 2 : BARREAU HOMOGÈNE MONTÉ SUR RESSORTS

l

mb

b

k1 k2

Variables du problème :◮ Déplacement vertical z(t)◮ Rotation autour de l’axe Oy





EXEMPLE 2 : BARREAU HOMOGÈNE MONTÉ SUR RESSORTS◮ Énergie cinétique :

T = 12

m ż2 + 12

I yy θ̇2 , (17)

Moment d’inertie de rotation par rapport à l’axe (Oy ) :

I yy = ρ

V

(x2 + z2 )dV = mb2 + l2

12. (18)

◮ Énergie potentielle :

V = 12

k1 z − lθ2

2+

12

k2 z + lθ2

2. (19)

◮ Lagrangien :

L= 12

m ż2 + 12

I θ̇2 − 12

(k1 + k2 ) z2 −12

(k1 + k2 ) l2 θ2

4 −12

(k2 −k1 ) lθz. (20)◮ Équations de Lagrange :

m z̈ + ( k1 + k2 )z + 12(k2 −k1 )lθ = 0 ,

I yy θ̈ + 14

(k1 + k2 )l2 θ + 12

(k2 −k1 )lz = 0 ,(21)



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Modes propres des systèmes discrets





RECHERCHE DE MODES PROPRES

◮ Forme générale des équations d’oscillateurs couplés : M ẍ + K x = 0◮ Recherche d’une solution harmonique :

x(t) = φe iωt

◮ L’équation devient(K −ω2 M ) φ = 0

◮ Solution non triviale si

det (K −λM ) = 0 ( λ ≡ω2 )(polynôme de degré N en λ =⇒N solutions)

◮ Modes propres vibratoires :

φn eiω n t

avec ωn = ± λn

ωn ≡pulsation propre , φn ≡Mode propre



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PROPRIÉTÉS D’ORTHOGONALITÉ DES MODES PROPRES

◮ Vis-à-vis de la matrice de masse :

φntM φm = M̃ n δmn (22)

◮ Vis-à-vis de la matrice de raideur :

φntK φm = K̃ n δmn (23)

◮ Projection des équations sur la base modale :

x(t) = n qn (t ) φn

n q̈M φn + n qK φn = F (t )

φm t n q̈M φn + φmt

n qK φn = φmt F (t )

M̃ m q̈m + K̃ m qm = F̃ m =⇒N équations d’oscillateurs découplés !





DIAGONALISATION◮ Problème initial, dans la base “physique” : matrices pleines

M ẍ + K x = F (t ) (24)

◮ Nouveau problème, dans la base modale : matrices diagonales

. . .M̃

. . .

q̈ +

. . .K̃

. . .

q = F̃ (t ) (25)

◮ Matrices de passage :

P = φ1 · · · φN (26)

x = P q q = P − 1 x (27)



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EXEMPLE : OSCILLATEURS COUPLÉS

◮ Équations : m 0

0 m ẍ + 2k −k

−k 2k x =

0

◮ Solutions de la forme x(t) = φe iωt :◮ Problème aux valeurs propres :

2k −ω2 m −k−k 2k −ω2 m

φ = 0 .

◮ Solutions non-triviales si le déterminant s’annule :

ω1 = ±

km

ω2 = ±

3km

.

◮ Vecteurs propres correspondants :

φ1 = 1√ 2

11

φ2 = 1√ 2

1

−1.




CONCLUSION

◮ Équations d’un milieu continu de dimension nie dans la base modale : Innité

d’oscillateurs découplés

◮ Oscillateur harmonique 1D : problème libre et problème forcé

◮ Oscillateurs harmoniques couplés : Différents types de problèmes

◮ Modes propres des oscillateurs couplés : Problème au valeurs propres



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LA SEMAINE PROCHAINE...

◮ Méthodes expérimentales

◮ Méthodes numériques


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