Lic. Valentín Ochoa Avilés I.E. Alberto Flores Galindo

Solucionario de la Primera Fase ONEM 2012 – Nivel II

1. (35 + x ) = 2(11 + x)

x = 13

2. a/b = 1/2; b/c = 1/4 = 2/ 8, luego (a; b; c) = (1k; 2k; 8k)

(a-b)/(b-c) = 1/6.

3. 32 = 5(5 + 1) + 2, luego compro 5(5) +2 caramelos.

4. Sea Niños = x, Niñnas = x + 10, luego { x + (x + 10)} – (2 + 3) = 31 x

Assitieron 13 niños.

5. Tenemos

0 a 2 horas: 50% De 0 a 8: 50% + 44% = 94%, luego de 8 a mas horas: 6%.

2 a 4 horas: b

4 a 6 horas: c b+c+d = 44%.

6 a 8 horas: d d+e = 9%

8 a mas horas: e e = 6%

De 2 a 6 horas es el 44%

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6. N = múltiplo de 3 pero no de 4 N = múltiplo de 3 pero no de 12

N = 222

7. En el graficoo, x + 40º = 90º

x = 50º

8. En total hay 27 cubitos divididos en:

0 pintados: 1

1 pintados: 6 (uno en cada cara: el cubito central)

2 pintados: x

3 pintados: 8 (uno en cada vértice)

x = 12

9. Los anagramas son del tipo siguiente:

1º Tipo ABC Hay P3 – 1 = 3! – 1 = 5 (No incluir ABC)

2º Tipo ABC Hay P3 = 3! = 6

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3º Tipo ABC Hay P3 = 3! = 6

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4º Tipo ABC Hay P3 – 1 = 3! – 1 = 5 (No incluir ABC)

Hay 22 tipos.

10. Tenemos

ab22 = cd3 ab2 = k3 ; cd = k2

512 = k3 ; 64 = k2

a + b + c + d= 16.

11. Tenemos

8x + 15y = 7k x + y = 7k3 (pues 8 = 7k1+ 1 y 15 = 7k2+ 1 )

x + y = 7.

12. Sean A, R, V las cantidades de canicas de color azul, rojo y verde, luego

R + V >= 10

A + V >= 20 A + V + R >= 40 + V 1

A + R >= 40 V min = 1 y (A + V)min = 40

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(A + V + R)min = 41

13. Tenemos a2 + b2 + c2 = 160;

a = b + c

4 = b – c

Sea a = 2k b = k + 2, c = k – 2

Luego

(2k)2 + (k+2)2 + (k – 2)2 = 160;

6k2 + 8 = 160

12k2 + 16 = 320

(k+2)3 - (k – 2)3 = 320

b3 - c3 = 320.

14. Tenemos MCM = 24 . 32 . 7. 11.5 , no se altera si eliminamos 60= 24 . 32 .5

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Eliminamos 60.

15. Tenemos

· 9210 si es mayor número apocalíptico (V)· 1012 si es menor número apocalíptico (V)· Si N = m(101) N = abab, no puede ser apocalíptico (pues al menos

debe de tenre 3 dígitos diferentes) (F)· 1020 + 1021 = 2041 (F)

16. 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/abcd = 0, a + b + c + d = 0

(b + a)cd + ab(c + d) = – 1

– (c + da)cd + ab(c + d) = – 1

(ab – cd)(c + d) = – 1

17. Sea N = abcd, luego

Si eliminamos d abcd / abc (10 + d/abc) d = 0

Si eliminamos c abc0 / ab0 (10 + c/ab) c = 0

Si eliminamos b ab00 / a00 ab es múltiplo de a

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Si eliminamos a ab00 / b00 ab es múltiplo de b,

Entonces ab

Hay 14 números.

18. Los elementos suman 7(8)/2 = 28,y como al final todos los elementos son iguales entonces la suma sera

un múltiplo de 7. Además en cada operación la suma inicial se incrementa en un número par

(pues los dos sumandos agregados son iguales)

Luego, las opciones a obtener en las sumas son: 7(8), 7(10), …., pues los elementos

son Veamos que 7(8) = 56, no es posible (es decir que todos sean 8)

eso implica o agregar 1s a 6 y 7, o a 7 y 1a

El primer caso no es posible pues tendríamos que agregar 7 a 1 y 2.

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El segundo caso no es posible pues tendríamos que agregar 5 a 3 y 4.

Veamos que es posible que todos sean 10

◻

Se necesitan como mínimo 6 operaciones.

19. Consideremos el primer caso: el cuadradito central pintado (de rojo), veamos los subtableros 3×3

posibles los cuales podemos colocar en cada una de las 4 regiones (rojo, azul, verde, amarillo)

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Se demuestra sin dificultad (exceptuando rotaciones, simetrías) que existen solo

cuatro casos casilleros posibles:

La mínima cantidad de cuadraditos pintados se lograra usando solo del tipo (a) y (d),

lográndose 11 cuadraditos.

El segundo caso: el cuadradito sin pintar, el razonamiento es análogo:

N puede tomar 4 valores (11; 12; 13; 14)

[Escriba texto]

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20. Tenemos que 2012 = 2202112(3) es decir

2012 = 2.36 + 2.35 + 0.34 + 2.33 + 1.32 + 1.31 + 2.30

Además

(1 + 2.x + 1.x2). (1 + 2.x3 + x6). (1 + 2.x9 + x18). (1 + 2.x27 + 1.x54).

(1 + 2.x81 + x126). (1 + 2.x243 + 1.x486). (1 + 2.x729 + 1.x1428).

Es decir hallar el coeficiente de x1012 equivale a hallar el producto de los coeficientes de color rojo

El coeficiente es 4.

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