web viewax = b . yang dalam hal ini, a =[ a i , j ] adalah matriks berukuran n x n. x =[ x j ]...
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan
ilmuwan dari Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli
matematika” disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah
satu dari tiga ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh
sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat
berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan
dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan
belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari
kejeniusan Gauss.
Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli
dalam bidang geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam
buku populernya, Handbuch de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi)
pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear
dalam buku populernya
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi
Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di
bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks
tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal
utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan
sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin
menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl
Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
B. Tujuan
1. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi
Gauss
2. Mencari solusi system persamaan linier menggunakan metode eliminasi
Gauss-Jordan
1
BAB II
PEMBAHASAN
Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-
persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari
sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
a11x1+a12 x2+…+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+…+a2n xn=b2. . . .
. . . .
. . . .
am1 x1+am2 x2+…+ann xn=bn
Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas
sebagai persamaan matriks
Ax=b
Yang dalam hal ini,
A=[ai , j] adalah matriks berukuran n x n
x=[x j] adalah matriks berukuran n x 1
b=[b j ] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom)
Yaitu:
[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1
a32…an2
a33…an3
… a1n… a2n………
a3n…ann
] [x1x2x3…xn
]=[b1b2b3…bn
]A. Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari
metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini
sudah banyak dikenal.
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan
2
melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang
eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian
persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah
persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk
segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan
berikut ini:
[a11 a12 a130 a22 a230…0
0…0
a33…0
… a1n… a2n………
a3n…ann
][x1x2x3…xn
]=[b1b2b3…bn
]Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward
substitution):
ann xn=bn⇒ xn=bn
ann
an−1, n−1 xn−1+an−1 , n xn=bn−1⇒ xn−1=(bn−1−an−1, nxn )
an−1 ,n−1
………………………………………….
dst .
Sekali xn , xn−1 , xn−2 ,.. , xk+1 diketahui, maka nilai xk dapat dihitung dengan:
xk=bk− ∑
j=k +1
n
akj x j
akk, k=n−1 , n−2 ,…,1danakk≠0.
Kondisi akk≠0 sangat penting. Sebab bila akk≠0, persamaan diatas menjerjakan
pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak
mempunyai jawaban.
Contoh:
x+ y+2 z=9
2 x+4 y−3 z=1
3
3 x+6 y−5 z=0
[1 1 22 4 −33 6 −5
910]
…(i)… (ii)…(iii )
[1 1 20 2 −73 6 −5
9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)
[1 1 20 2 −70 3 −11
9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1 −72
0 3 −11
9−172
−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)
[1 1 2
0 1 −72
0 0 −12
9−172
−32
] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1 −72
0 0 1
9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)
Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
x3=3
x2−72x3=−17
2⇒ x2=2
4
x1+ x2+2 x3=9⇒ x1=1
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Tata ancang pivoting
Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika a p , p( p−1)= 0, cari
baris k dengan ak , p ≠0 dan k > p, lalu pertukaran baris p dan baris k. Metode
eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting disebut metode eliminasi Gauss
yang diperbaiki (modified Gauusian elimination)
Contoh:
Selesaikan sistem prsamaan lanjar berikut dengan meetode eliminasi Gauss
yang menerapkan tata ancang pivoting.
x1+2x 2+ x3=2
3x1+6x 2=9
2x1+8x 2+4x 3=6
[1 2 13 6 02 8 4
296]
R2−3 R1
R3−2R1 [1 2 10 0 −30 4 2
232]R1⇔R3
(¿) [1 2 10 4 20 0 −3
223]
Operasi baris 1 Operasi baris 2
Setelah operasi baris 1, elemen a22 yang akan menjadi pivot pada
operasi baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2,
elemen baris 2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan
pertukaran baris terjadi akibat proses pivoting. Sekarang elemen a22=4≠0
sehingga operasi baris elementer dapat diteruskan. Tetapi, karena matriks A
sudah membentuk matriks U, proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh
dengan teknik penyulihan mundur, yaitu x3=−1 , x2=1, dan x1=1.
Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai
nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat
juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot
sangat kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan
dapat muncul.
5
Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:
a. Pivoting sebagian (partial pivoting)
Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen
pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,
ak , p¿max ¿¿a p , p,a p+1 , p,…, an−1, p,an , p}
Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi
baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada
matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada
baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai
mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2.
Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot
untuk operasi baris selanjutnya.
[ x x x0 x x00
xx
xx
x xx xxx
xx ]
Cari xterbesar, lalu
pertukarkan barisnya dengan baris ke-2
perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus
menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting)
karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak
terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0.
Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0,
itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular
system)
b. Pivoting Lengkap (complete pivoting)
Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen
terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut
pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program
6
sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan
akibatnya menambah kerumitan program secara berarti.
Contoh:
Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan
metode eliminasi Gauss:
0.0003 x1+1566 x2=1569
0.3454 x1−2436 x2=1018
a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)
b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)
Penyelesaian
a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian
[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]
Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot )
R2⟵R2−0.3454 R10.0003
=R2−1151R1
(Tanda “⟵” berarti “diisi” atau “diganti dengan”)
Jadi,
a21≈0
a22≈−2.436−(1151 ) (1.566 )=−2.436−1802≈−1804
b22≈1.018−(1151 ) (1.569 )≈1.018−1806≈−1805
[0.0003 1.566 1.5690.3454 −2.436 1.018 ]R2−1151R1[0.0003 1.566 1.569
0 −1804 −1805]Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:
x2=−1805−1804
=1.001
x1=1.569−(1.566 )(1.001)
0.0003 =1.569−1.5680.0003 =
0.0010.0003=3.333
7
(jauh dari solusi sejati)
Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi
sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena a11sangat kecil bila
dinbandingkanx12, sehingga galat pembulatan yang kecil pada x2
menghasilkan galat besar dix1. Perhatikan juga bahwa 1.569−¿
1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama,
yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil
pengurangannya.
b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian
Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454
menjadi pivot
[0.3454 −2.436 1.0180.0003 1.566 1.569 ]R2−
0.00030.3454
R1[0.3454 −2.436 1.0180 1.568 1.568]
Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:
x2=1.5681.568
=1.000
x1=1.018−(−2.436 )(1.000)
0.3454 =10.02 (lebih baik daripada solusi a)
Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada
solusi a. keberhasilan ini karena a21 tidak sangat kecil
dibandingkan dengan a22, sehingga galat pembulatan yang kecil
pada x2 tidak akan menghasilkan galat yang besar pada x1.
Penskalaan Kemungkinan solusi SPL
Selain dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat
digunakan untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai
perbedaan koefisien yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam
praktek rekayasa yang menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda
dalam menentukan persamaan simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian
listrik, tegangan listrik dapat dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari
8
microvolt sampai kilovolt. Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat
menuju ke koefisien yang besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada
galat pembulatan, dank arena itu mempengaruhi pivoting. Dengan
penskalaan berarti kita menormalkan persamaan. Cara menskala adalah
membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar di
ruang kirinya. Akibat penskalaan, koefisien maksimum dalam tiap baris
adalah 1. Cara menskala seperti ini dinamakan dengan menormalkan SPL.
Contoh:
Selesaikan system persamaan lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna
menggunakan metode eliminasi Gauss yang menerapkan perskalaan dan
tanpa perskalaan:
2x1 + 100000x2=100000
x1+ x2=2
(Solusi sejatinya dalam 3 angka bena adalah x1=x2=1,00 ¿
Penyelesaian:
(i) Tanpa perskalaan
[2 100000 1000001 1 2 ]R2−
12R1[2 100000 1000000 −50000 −50000]
Solusinya adalah
x2=1.00
x1=0.00 (salah)
(ii) Dengan penskalaan
2x1+100000 x2=100000 :100000 0.00002 x1+ x2=1
x1+ x2=2 : 1 x1+ x2=2
[0.00002 1 11 1 2]R2⇔R1
(¿) [ 1 1 20.00002 1 1]∼[1 1 2
0 1 1.00]Solusinya,
9
x2=1.00
x1=1.00 (benar)
Yang sesuai dengan solusi sejati. Contoh di atas juga memperlihatkan
bahwa penskalaan dapat mengubah pemilihan pivot.
Kemungkinan solusi SPL
Tidak semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat
terjadi pada SPL:
a) Mempunyai solusi yang unik
b) Mempunyai banyak solusi, atau
c) Tidak ada solusi sama sekali
Untuk SPL dengan tiga buah persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau
lebih)tidak terdapat tafsiran geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi
grafiknya) seperti pada SPL dengan dua buah persamaan. Namun, kita masih
dapat memeriksa masing-masing kemungkinan solusi itu berdasarkan pada
bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau contoh pada SPL yang
disusun oleh tiga persamaan.
1) Solusi unik/tunggal
[1 1 12 3 43 1 2
011]
EliminasiGauss→ [1 1 1
0 1 −10 0 −3
013]
Solusi: x1=1 , x2=0 , x3=−1
2) Solusi banyak/tidak terhingga
[1 1 22 −1 11 2 3
426]
EliminasiGauss→ [1 1 2
0 −3 −30 0 0
4−60 ]
Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang
bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah
10
0 x1+0x2+0 x3=0
Yang dipenuhi oleh banyak nilai x. solusinya diberikan dalam bentuk
parameter:
Misalkan x3=k ,
Maka x2=−6+3 k danx1=10−5k dengank∈R .
3) Tidak ada solusi
[1 1 22 −1 11 2 3
427]
EliminasiGauss→ [0 1 2
0 −3 −30 0 0
4−61 ]
Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang
bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah
0 x1+0x2+0 x3=1
Yang dalam hal ini, tidak nilai x i yang memenuhi, i=1,2,3
B. Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi
Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di
bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks
tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal
utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut.
11
[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1
a32…an2
a33…an3
… a1n b1… a2n b2………
a3n…ann
b3…bn
][ 1 0 00 1 00…0
0…0
1…0
… 0 b1,
… 0 b2,
………
0…1
b3,
…bn, ]
Solusinya: x1=b1,
x2=b2,
…………
xn=bn,
Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan
naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.
Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan
disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan,
sebagai berikut:
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama
pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini
akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1
utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:
1. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n
2. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A
3. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n
a) Perhatikan apakah nilai a i ,i sama dengan nol:
Bila ya:
Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+k≤n, dimana a i+k ,i tidak sama
dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan
proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.
12
Bila tidak: Lanjutkan
b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom
k dimana k=1 s/d n+1, hitung a i ,k=ai , k
a i, i
4. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n
Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n
Hitung c=a j , i
Hitung a j , k=a j ,k−c . a i, k
5. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris
pertama)
x i=a i ,n+1
Contoh:
x+ y+2 z=9
2 x+4 y−3 z=1
3 x+6 y−5 z=0
Penyelesaian:
[1 1 22 4 −33 6 −5
910]
…(i)… (ii)…(iii )
[1 1 20 2 −73 6 −5
9−170 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)
[1 1 20 2 −70 3 −11
9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1 −72
0 3 −11
9−172
−27 ] kalikan baris (ii) dengan (1/2)
13
[1 1 2
0 1 −72
0 0 −12
9−172
−32
] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)
[1 1 2
0 1 −72
0 0 1
9−1723 ] kalikan baris (iii) dengan (-2)
[1 0 112
0 1 −72
0 0 1
9−1723 ] kalikan baris (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke baris (i)
[1 0 00 1 00 0 1
123]
kalikanbaris (iii )dengan(−112 ) ,lalu tambahkanke baris ( i ) ,
dan kalikanbaris ( iii )dengan( 72 ) , lalutambahkanke baris(ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Penyelesaian SPL dengan Operasi Baris Elementer Menggunakan MATLAB
Misalkan diberikan SPL sebagai berikut:
x+ y+2 z=9
2 x+4 y−3 z=1
3 x+6 y−5 z=0
Kita akan coba menyelesaikan SPL di atas dengan operasi baris elementer dengan
MATLAB.
14
1) Menggunakan Metode Eliminasi Gauss
15
clc;
clear;
disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9')
disp(' 2x+4y - 3z = 1')
disp(' 3x+6y - 5z = 0')
disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss')
A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]
disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1')
A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)
disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2')
A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:)
disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3')
A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:)
disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2')
A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)
disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3')
A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:)
disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3')
A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)
disp('Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh:')
x3=A(3,4)
x2=A(2,4)-A(2,3)*x3
x1=A(1,4)-A(1,2)*x2-A(1,3)*x3
Outputnya:
16
Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9 2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0Menggunakan Metode Eliminasi GaussA = 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1A = 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2A = 1 1 2 9 0 2 -7 -17 3 6 -5 0Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3A = 1 1 2 9 0 2 -7 -17 0 3 -11 -27Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 3.0000 -11.0000 -27.0000Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 -0.5000 -1.5000Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3A = 1.0000 1.0000 2.0000 9.0000 0 1.0000 -3.5000 -8.5000 0 0 1.0000 3.0000Dengan Menggunakan Teknik Penyulihan Mundur, diperoleh:x3 = 3x2 = 2x1 = 1
2). Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
17
clc;
clear;
disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9')
disp(' 2x+4y - 3z = 1')
disp(' 3x+6y - 5z = 0')
disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan')
A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]
disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1')
A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)
disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2')
A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:)
disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3')
A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:)
disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2')
A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)
disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3')
A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:)
disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3')
A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)
disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1')
A(1,:)=-A(1,2)*A(2,:)+A(1,:)
disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2')
A(2,:)=-A(2,3)*A(3,:)+A(2,:)
disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1')
A(1,:)=-A(1,3)*A(3,:)+A(1,:)
disp('Dengan demikian, diperoleh:')
x1=A(1,4)
x2=A(2,4)
x3=A(3,4)
Outputnya :
18
Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9
2x+4y - 3z = 1
3x+6y - 5z = 0
Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
A =
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1
A =
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2
A =
1 1 2 9
0 2 -7 -17
3 6 -5 0
Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3
A =
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 3 -11 -27
Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2
A =
1.0000 1.0000 2.0000 9.0000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000
0 3.0000 -11.0000 -27.0000
19
Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3
A =
1.0000 1.0000 2.0000 9.0000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000
0 0 -0.5000 -1.5000
Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3
A =
1.0000 1.0000 2.0000 9.0000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000
0 0 1.0000 3.0000
Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1
A =
1.0000 0 5.5000 17.5000
0 1.0000 -3.5000 -8.5000
0 0 1.0000 3.0000
Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2
A =
1.0000 0 5.5000 17.5000
0 1.0000 0 2.0000
0 0 1.0000 3.0000
Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1
A =
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Dengan demikian, diperoleh:
x1 =
1
x2 =
2
x3 =
3
3). Cara singkat menggunakan invers matriks
Outputnya:
20
clc;
clear;
disp('Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks')
disp('Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9')
disp(' 2x+4y - 3z = 1')
disp(' 3x+6y - 5z = 0')
A=[1 1 2;2 4 -3;3 6 -5]
b=[9;1;0]
x=inv(A)*b
Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks
Menentukan Solusi dari Persamaan: x + y + 2z = 9
2x+4y - 3z = 1
3x+6y - 5z = 0
A =
1 1 2
2 4 -3
3 6 -5
b =
9
1
0
x =
1.0000
2.0000
3.0000
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana.
System persamaannya adalahsebagai berikut:
[a11 a12 a130 a22 a230…0
0…0
a33…0
… a1n… a2n………
a3n…ann
][x1x2x3…xn
]=[b1b2b3…bn
]2. Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi
Gauss. Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-
elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya
adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua
elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
[a11 a12 a13a21 a22 a23a31…an1
a32…an2
a33…an3
… a1n b1… a2n b2………
a3n…ann
b3…bn
][ 1 0 00 1 00…0
0…0
1…0
… 0 b1,
… 0 b2,
………
0…1
b3,
…bn, ]
B. Saran
Untuk bisa memahami materi tentang metode numerik maka perlu
mengumpulkan banyak referensi dari berbagai sumber.
21