onovchtoi shiidver bdb s

Ä¿éöñýíñóðãàëòûí ÌÎÄÓËÜ

Îíîâ÷òîé øèéäâýð

Óëààíáààòàð 2009

Òàíèõ Òýìäýã

- õè÷ýýë

- øèíý ìýäëýã îëãîõ äàñãàë

- ìýäëýãèéí ò¿âøèí òîãòîîõ äààëãàâàð

- ìýäëýãèéí ò¿âøèí òîãòîîõ äààëãàâðûí õàðèó

ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР(Б¿ðýí äóíä áîëîâñðîëûí ä¿éöñýí ñóðãàëòûí ìîäóëü)

Бîëîâñðóóëñàí: М.Иòãýë

Ðåäàêòîð: Б.Эðäýíý÷èìýã

ЭÊÑÏÅÐÒИÉÍ БÀÃ:Àõëàã÷: Å.Бàò÷óëóóí ÀББÇÑ¯ÒÃèø¿¿ä: Ö.Ëóâñàíäîðæ БÑØÓß Ã.Ñîäíîìâààí÷èã Бîëîâñðîëûí õ¿ðýýëýí Î.Мÿãìàð МÓБИÑ

Õýâëýëèéí ýõ áýëòãýñýí: Б.Эðäýíý÷èìýã

Àëáàí áóñ áîëîâñðîë, çàéíû ñóðãàëòûí ¿íäýñíèé òºâèéíõýâëýõ ¿éëäâýðò õýâëýâ.

Õýâëýëèéí òåõíèê÷: Ç.Ï¿ðýâñ¿ðýíÕýâëýã÷: Æ.ªëçèéñàéõàí

© 2009. Àëáàí áóñ áîëîâñðîë, çàéíû ñóðãàëòûí ¿íäýñíèé òºâ

àãÓÓËãà

МÎÄÓËИÉÍ ÒÀÍИËÖÓÓËÃÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ªМÍªÕ МЭÄËЭÃИÉÍ Ò¯ВØИÍ ÒÎÃÒÎÎÕ ÄÀÀËÃÀВÀÐ . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ÕÎЁÐ ÕÓВЬÑÀÃЧÒÀÉ ØÓÃÀМÀÍ ÒЭÃØИÒÃЭËИÉÍ ÑИÑÒÅМ ÀØИÃËÀÍ ÎÍÎВЧÒÎÉ ØИÉÄВЭÐ ÃÀÐÃÀÕ ÍЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

ÃÓÐВÀÍ ÕÓВЬÑÀÃЧÒÀÉ ØÓÃÀМÀÍ ÒЭÃØИÒÃЭËИÉÍ ÑИÑÒÅМ . . . . . . . . 10

ÃÓÐВÀÍ ÕÓВЬÑÀÃЧÒÀÉ ØÓÃÀМÀÍ ÒЭÃØИÒÃЭËИÉÍ ÑИÑÒÅМ ÀØИÃËÀÍ ÎÍÎВЧÒÎÉ ØИÉÄВЭÐ ÃÀÐÃÀÕ ÍЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ÕÎЁÐ ÕÓВЬÑÀÃЧÒÀÉ ØÓÃÀМÀÍ ÒЭÍÖЭÒÃЭË БИØИÉÍ ÑИÑÒÅМ ÀØИÃËÀÍ ÎÍÎВЧÒÎÉ ØИÉÄВЭÐ ÃÀÐÃÀÕ ÍЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

МЭÄËЭÃИÉÍ Ò¯ВØИÍ ÒÎÃÒÎÎÕ ÄÀÀËÃÀВÀÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ÕÀÐИÓ, ÇÀÀВÀÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ÍÎМ Ç¯É . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ìОäÓËèЙí ÒàíèËÖÓÓËãà

ìîäóëèéí íýð: ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР

Çîðèóëàëò:Эíýõ¿¿ ìîäóëèéã ìàòåìàòèêèéí á¿ðýí äóíä áîëîâñðîëûã áèå äààí ýçýìøèõ õýðýãöýý, øààðäëàãà á¿õèé ñóðàëöàã÷äàä çîðèóëàâ.

Çîðèëãî: Ñóðàëöàã÷èä àõóé àìüäðàëûí çàðèì àñóóäëûã òýãøèòãýëèéí ñèñòåì, òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìýýð çàãâàð÷ëàí øèéäýõ, ñîíãîëòûã îíîâ÷òîé õèéõ àðãàä ñóðàëöàõ

Çîðèëò:- Òýãøèòãýëèéí ñèñòåì, òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìýýð àõóéí çàðèì àñóóäëûã

çàãâàð÷ëàí øèéäýõ àðãààñ ñóðàëöàõ- ªºðèéíõºº ¿íý öýíèéã óõààð÷, ¿éë àæèëëàãààãàà îíîâ÷òîé çîõèîí áàéãóóëäàã

áîëîõ

àãóóëãà:- Õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì- Ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì- Øóãàìàí òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåì

ªìíºõ ìýäëýã, ÷àäâàð:- Òýãøèòãýë, ò¿¿íèé øèéäèéã îëîõ ÷àäâàð- Êîîðäèíàòûí õàâòãàéä øóãàìàí òýíöýòãýë áèøèéí ãðàôèê áàéãóóëàõ ÷àäâàð - Õî¸ð õóâüñàã÷òàé õî¸ð øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì áîäîõ íýìýõ, îðëóóëàõ

àðãà - Ôóíêö, ò¿¿íèé ãðàôèê

õóãàöàà:Ñóðàëöàã÷èéí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðûí ò¿âøèí, ñóðàõ àðãà áàðèë ýçýìøñýí áàéäëààñ ¿íäýñëýí áàãø ñóäëàõ õóãàöààã òîãòîîíî (7 – 14 õîíîã).

Áàãøèä çîðèóëñàí çºâëºìæ:Мîäóëü ñóäëàõ öàãàà õóâààðèëàõ, ìîäóëüòàé àæèëëàõ òàëààð ñóðàëöàã÷äàä çºâëºãºº ºã÷, óðüä÷èëàí òîõèðîëöñîí öàãò òýäýíä òóëãàðñàí àñóóäëàà øèéäâýðëýõýä íü òóñàëæ, ÿâöûí áîëîí ýöñèéí ¿íýëãýýã ºãººðýé.

Ñóðàëöàã÷èä çîðèóëñàí çºâëºìæ:Бàãøèéí çºâëºñíººð ìîäóëèéã òîõèðîëöñîí õóãàöààíä áèå äààí ñóäàëæ, øààðäëàãàòàé ¿åä áàãøààñ òóñëàëöàà àâààðàé. Мîäóëèà ñóäëàõààñ ºìíº áîëîí ñóäàëñíû äàðàà ò¿âøèí òîãòîîõ äààëãàâðûã çààâàë ã¿éöýòãýýðýé. Мîäóëèéí àãóóëãûã á¿ðýí ýçýìøñýí áàéäëàà áàãøèéí ¿íýëãýýãýýð áàòàëãààæóóëæ äàðààãèéí ìîäóëèéã ñóäëàõ ¸ñòîéã àíõààðààðàé.

5

Оновчтой шийдвэр

ªìíªõ ìýäËýãèЙí Ò¯ВШèí ÒОãÒООõ äààËãàВàР

äàðààõ ºãүүëбýðүүäèéí үíýí, õóäëыã òîãòîîíî óó. õàðèóëòàà òàéëбàðëààðàé. (1-8 äóãààð äààëãàâàð á¿ð 1 îíîî)

1. (1;2) õîñ íü 2x + y = 4 òýãøèòãýëèéí øèéä áîëæ ÷àäíà.

2. (1;2) õîñ íü 2x + y = 4 áà 3x – y = 6 òýãøèòãýë¿¿äèéí øèéä áîëíî.

3. y = 3x – 6 áà y = 2x + 4 òýãøèòãýë¿¿äèéí ñèñòåì öîð ãàíö øèéäòýé.

4. y = 3x – 5 áà y = 3x + 2 òýãøèòãýë¿¿äèéí ñèñòåì øèéäã¿é.

5. (2;–3) öýã íü y > –3x + 2 òýíöýòãýë áèøèéã õàíãàíà.

6. 3x – y > 2 ãðàôèê íü 3x – y = 2 øóëóóíû äýýä õýñýãò îðøèíî.

7. (2;–5) öýã íü y > –3x + 5 áà y < 2x – 3 òýíöýòãýë áèø¿¿äèéã õàíãàíà.

8. y ≤ 2x – 3 áà y ≥ 3x + 5 òýíöýòãýë áèøèéí øèéäèéí ìóæóóä îãòëîëöîíî.

Äàðààõ ñèñòåìèéã îðëóóëàõ àðãààð áîäîîðîé (9-11 ä¿ãýýð äààëãàâàð á¿ð 3 îíîî).

9. y = 2xx + y = 3

10. 2x – 3y = 6

y = 23x + 2

11. x + 2y = 8

y = – 12x + 4

Äàðààõ ñèñòåìèéã íýìýõ àðãààð áîäîîðîé (12-14 ä¿ãýýð äààëãàâàð á¿ð 3 îíîî).

12. 3x – 5y = –94x + 5y = 23

13. –2x + 3y = 63x – 5y = –11

14. 4x + 3y = 6–12x – 9y = –6

Òýíöýòãýë áèøèéí ãðàôèêèéã áàéãóóëààðàé (15 – 16 äóãààð äààëãàâàð á¿ð 2 îíîî).

15. y < x + 2 16. y ≤ –2x + 1

Àâáàë çîõèõ îíîî 30

6


õОЁР õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

Ñóóðü áîëîâñðîëûí “Оновчтой шийдвэр” ìîäóëèàð õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýëèéí ñèñòåì, ò¿¿íèéã áîäîõ àðãóóäûí òàëààð ¿çñýí áèëýý. Òýãâýë òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã ïðàêòèêò õýðõýí õýðýãëýäýã òóõàé àâ÷ ¿çüå.Àëèâàà ïðàêòèê áîäëîãûã òîäîðõîé ä¿ðìèéí äàãóó áîäâîë ¿ð ä¿í ãàðãàõàä õÿëáàð áàéäàã. Òýãâýë òýãøèòãýëèéí ñèñòåì àøèãëàí áîäîõ ïðàêòèê áîäëîãûí ä¿ðìèéã ýíä áè÷üå.

ä¯РýìБîäëîãûí ºã¿¿ëáýðèéã ñàéòàð óíøèæ, юóã ÿìàð çàìààð îëîõûã òîäîðõîéëíî.¯ë ìýäýãäýõ ç¿éëèéã õóâüñàã÷ààð îðëóóëàí òýìäýãëýíý.Бîäëîãûã ìàòåìàòèêèéí õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëýí áè÷èæ, õîëáîãäîõ òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã ãàðãàíà.Òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã áîäíî.Ãàðñàí õàðèóã àíõíû áîäëîãûí íºõöºëä òàâüæ øàëãàíà.

1.

2.3.

4.5.

Æèøýý 1. Òîãîî÷èä òîõèîëäñîí àñóóäàë:Òîãîî÷ àÿëàëä ÿâàõààð áîëæýý. Ò¿¿íèé àÿíû ö¿íõýíä õàëáàãà, ñýðýý íèéëýýä 100 øèðõýã áàéñàí áà íèéò 450 ãðàìì æèí òàòàæ áàéâ. Õàëáàãà á¿ð 5 ãðàìì, ñýðýý á¿ð 3 ãðàìì æèíòýéã òîãîî÷ ìýäýæ áàéâ. Òýãâýë õàëáàãà, ñýðýý òóñ á¿ð õýäýí øèðõýã áàéñàí áý?

Áодоëт:

Àëõàì 1: Õàëáàãà, ñýðýý òóñ á¿ð õýäýí øèðõýã áàéãààã îëíî.

Àëõàì 2: Бèä õî¸ð õóâüñàã÷ õýðýãëýå. Õàëáàãàíû òîî - x Ñýðýýíèé òîî - y ãýå.

Àëõàì 3: Îäîî ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëüå. Õàëáàãà, ñýðýý íèéò 100 øèðõýã ⇒ x + y = 100 Òýäãýýðèéí æèíãèéí òóõàé ìýäýýëýë ⇒ 5x + 3y = 450

ªºðººð õýëáýë, ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëýõýä õî¸ð õóâüñàã÷òàé õî¸ð òýãøèòãýë ãàð÷ áàéíà.

Àëõàì 4: x + y = 1005x + 3y = 450

ñèñòåì òýãøèòãýëèéã íýìýõ àðãààð áîäü¸.

x + y = 100 |•(–3)5x + 3y = 450

Íýìýõäýý y-èéí ºìíºõ êîýôôèöèåíò¿¿äèéã óñòãàõ çîðèëãîîð ýõíèé òýãøèòãýëèéã (–3)-ààð ¿ðæüå.

7


–3x – 3y = –3005x + 3y = 450 õî¸ð òýãøèòãýëèéã õîîðîíä íü íýìüå.

2x = –300 + 450 áóюó 2x = 150 áîëíî. Эíäýýñ x = 75 áîëíî.¯¿íèéã ýõíèé òýãøèòãýëä îðëóóëàí y-ã îëü¸.75 + y = 100 áóюó y = 25 áîëíî.ªºðººð õýëáýë, 75 õàëáàãà, 25 ñýðýý áàéæýý.

Àëõàì 5: Îëñîí óòãóóäàà àíõíû áîäëîãûí ºã¿¿ëáýðò òàâüæ øàëãàÿ.Õàëáàãà, ñýðýý íèéëýýä 75 + 25 = 100 Òýäíèé æèí: 5•75 + 3•25 = 450 òóë øèéä ìºí.

Õàриó: 75 õàëáàãà, 25 ñýðýý

Æèøýý 2. ìàë÷íы бîäëîãî:ªäºðò 5 ìîðü, 57 ¿õýð 630 êã ºâñ èääýã. 10 ìîðü, 17 ¿õýð ºäºðò 290 êã ºâñ èääýã ãýäãèéã ¿õýð÷èí Äîíäîã ìýäýæ áàéâ. Òýäíèéõ 120 ¿õýð, 25 ìîðüòîé áîë ºäºðò õýäýí êèëîãðàìì (êã) ºâñ øààðäëàãàòàé áîëîõ âý?

Áодоëт:

Àëõàì 1: 120 ¿õýð, 25 ìîðüòîé áîë ºäºðò õýäýí êã ºâñ èääýãèéã òîîöíî. Иíãýõäýý ýõëýýä 1 ¿õýð, 1 ìîðü òóñ á¿ð ºäºðò õýäýí êã ºâñ èääýãèéã îëü¸.

Àëõàì 2: Бèä õî¸ð õóâüñàã÷ õýðýãëýå. Íýã ìîðèíû ºäºðò èäýõ ºâñíèé õýìæýý - x Íýã ¿õðèéí ºäºðò èäýõ ºâñíèé õýìæýý - y ãýå.

Àëõàì 3: Îäîî ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëüå. 5 ìîðü, 57 ¿õýð 630 êã ºâñ èääýã ⇒ 5x + 57y = 630 10 ìîðü, 17 ¿õýð 290 êã ºâñ èääýã ⇒ 10x + 17y = 290 ªºðººð õýëáýë, óã ºã¿¿ëáýðèéã ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëýõýä õî¸ð

õóâüñàã÷òàé õî¸ð òýãøèòãýë ãàð÷ áàéíà.

Àëõàì 4: 5x + 57y = 63010x + 17y = 290

ñèñòåì òýãøèòãýëèéã íýìýõ àðãààð áîäü¸.

5x + 57y = 630 |•210x + 17y = 290

x-èéí ºìíºõ êîýôôèöèåíò¿¿äèéã óñòãàõ çîðèëãîîð ýõíèé òýãøèòãýëèéã (+2)-îîð ¿ðæüå.

10x + 114y = 126010x + 17y = 290 õî¸ð òýãøèòãýëèéã õîîðîíä íü õàñъÿ.

97y = 1260 – 450 áóюó 97y = 970 áîëíî. Эíäýýñ y = 10 áîëíî.¯¿íèéã ýõíèé òýãøèòãýëä îðëóóëàí x-èéã îëü¸.10x + 17•10 = 290 áóюó x = 12 áîëíî.ªºðººð õýëáýë, ìîðü ºäºðò 12 êã, ¿õýð 10 êã ºâñ èäíý.

Àëõàì 5: Îëñîí óòãûã àíõíû áîäëîãûí ºã¿¿ëáýðò òàâüæ øàëãàÿ.

8


5 ìîðü, 57 ¿õýð ºäºðò 5•12 + 57•10 = 630 êã ºâñ èäíý, 10 ìîðü, 17 ¿õýð ºäºðò 10•12 + 17•10 = 290 êã ºâñ èäíýãýñýí ¿íýí ºã¿¿ëáýð¿¿ä ãàð÷ áàéíà.

Õàриó: Иéìä 120 ¿õýð, 25 ìîðü íü ºäºðò 25•12 + 120•10 = 1500 êã ºâñ èäíý.

Æèøýý 3. õîëüöыí бîäëîãî:Мàë ýìíýëãèéí ãàçàðò àðèóòãàëûí çîðèóëàëòòàé ñïèðòèéí óóñìàëóóäûã õýðýãëýäýã ãýäãèéã òà íàð ìýäýõ ¿¿. Мàëûí ýì÷ Бàòàä 25% áà 50% ñïèðòèéí óóñìàëóóä áàéæýý. Ò¿¿íä 35%-èéí 200 ìë óóñìàë õýðýãòýé áîëîâ. Òýãâýë äýýðõ õî¸ð óóñìàëààñ õýð õýìæýýòýé àâ÷ õîëèõ âý?

Áодоëт:

Àëõàì 1: 25% áà 50% ñïèðòèéí óóñìàë òóñ á¿ð õýð õýìæýýòýé àâñàí íü ìýäýãäýõã¿é áàéíà.

Àëõàì 2: Мýäýãäýõã¿é áàéãàà õýìæýýí¿¿äèéã õóâüñàã÷äààð òýìäýãëýå. 25% ñïèðòèéí óóñìàëûí õýìæýý - x 50% ñïèðòèéí óóñìàëûí õýìæýý - y ãýå.Àëõàì 3: Îäîî ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëüå. Иíãýõäýý õîëüñîí óóñìàëûí íèéò

õýìæýý áà õîëüñîí óóñìàëä áàéãàà ñïèðòèéí õýìæýýãýýð òýãøèòãýë çîõèî¸.

õîëüñîí óóñìàëûí íèéò õýìæýý ⇒ x + y = 200 õîëüñîí óóñìàëä áàéãàà ñïèðòèéí õýìæýý⇒ 0.25x + 0.50y = 0.35•200 Õî¸ð õóâüñàã÷òàé õî¸ð òýãøèòãýë ãàð÷ áàéíà.

Àëõàì 4: x + y = 2000.25x + 0.5y = 70

ñèñòåì òýãøèòãýëèéã îðëóóëàõ àðãààð áîäü¸.

x = 200 – y0.25•(200 – y) + 0.5y = 70

ýõíèé òýãøèòãýëýýñ x-èéã îëæ, õî¸ðäóãààð òýãøèòãýëä îðëóóëъÿ.

0.25•(200 – y) + 0.5y = 70 ⇒ 50 + 0.25y = 70 ⇒ 0.25y = 20 y = 80 áîëíî.x = 200 – y = 200 – 80 áóюó x = 120

Эíý íü 25% áà 50% ñïèðòèéí óóñìàëóóäààñ õàðãàëçàí 120ìë áà 80ìë õîëèíî ãýñýí ¿ã.

Àëõàì 5: Õàðèóã øàëãàÿ.Эíý õî¸ð óóñìàëûí õýìæýý íèéò 200ìë áàéíà.35%-èéí 200ìë óóñìàëä 0.35•200 = 70ìë õýðýãòýé áîëîâ.25%-èéí 120ìë óóñìàëä 0.25•120 = 30ìë 50%-èéí 80ìë óóñìàëä 0.5•80 = 40ìë ìë ñïèðò òóñ òóñ áàéíà.Õîîðîíä íü íýìýõýä 200ìë óóñìàë ¿¿ñýõ áà 30+40 = 70ìë ñïèðòòýé áàéíà. Эíý íü áîäëîãûí íºõöºëèéã õàíãàæ áàéíà.

9


ÁÀÒÀÒÃÀÕ ÄÀÀËÃÀÂÀÐ

1. Æèìñíèé òóõàé бîäëîãî 7 àëèì 4 ëèéðíèé õàìò 1 êã, 7 àëèì 10 ëèéðíèé õàìò 1 êã 660 ãр áîë àëèì áà

ëèéð òóñ á¿ð ÿìàð æèíòýé âý?

2. О¸äîë÷íы бîäëîãî 3 õîñëîë, 4 äýýëýíä 19 ìåòð öýìáý îðíî. 3 õîñëîë, 6 äýýëýíä 24 ìåòð öýìáý

îðíî. Òýãâýë õîñëîë áà äýýë òóñ á¿ðä õýäýí ìåòð öýìáý îðîõ âý?

3. Áàññåéíы бîäëîãî Óñàí ñýëýëòèéí áàññåéí òýãø ºíöºãò õýëáýðòýé áàéâ. Ò¿¿íèé ïåðèìåòð íü 120

ìåòð, óðò íü ºðãºíººñºº õî¸ð äàõèí èõ áîë óðò, ºðãºíèéã îëîîðîé.

4. Áàíêíы бîäëîãî Бàíê íýã öàãèéí äîòîð õî¸ð çýýë ãàðãàæýý. Óã õî¸ð çýýëèéí õýìæýý íèéòäýý

2 ñàÿ òºãðºã áàéâ. Эõíèé çýýëèéí õ¿¿ 10%, õî¸ð äàõü çýýëèéí õ¿¿ 12% áàéâ. Эäãýýð çýýëèéí õ¿¿ãèéí õýìæýý íèéòäýý 216000 òºãðºã áîëæ áàéâ. Òýãâýë òóñ á¿ð õýäèé õýìæýýíèé çýýë ãàðãàñàí áý?

5. Ñàãñ÷íы òóõàé ìýäýý Íýãýí ñàãñ÷èí óëèðëûí òóðø 2 áà 3 îíîîíû 280 áºìáºã öàãèðàãò îðóóëñàí áà

íèéò 648 îíîî àâñàí ãýñýí ìýäýý ãàð÷ýý. Òýãâýë òýð 2 áà 3 îíîîíû òóñ á¿ð õýäýí áºìáºã öàãèðàãò îðóóëñàí áý?

6. íÿðàâò òîõèîëäñîí бîäëîãî 26 øóóäàé òºìñ, 17 øóóäàé ãóðèë 2608 êã, ìºí 36 øóóäàé òºìñ, 17 øóóäàé

ãóðèë 3088 êã áîë 10 øóóäàé ãóðèë, 8 øóóäàé òºìñ ÿìàð æèíòýé âý?

7. õàðàíäàà, äýâòðèéí үíý Äýëã¿¿ðò õàðàíäàà, äýâòýð õî¸ð íèéëýýä 465 òºãðºãíèé ¿íýòýé áàéâ. Íýãýí ºäºð

äýëã¿¿ðèéí áàðààíû ¿íý íýìýãäýæ óã õî¸ð áàðàà íèéëýýä 495 òºãðºã áîëñîí áàéâ. Õýðýâ õàðàíäààíû ¿íý 5%, äýâòýðíèé ¿íý 8%-ààð íýìýãäñýí áîë àíõ òýäãýýð áàðàà ÿìàð ¿íýòýé áàéñàí áý?

8. ýìèéí ñàí÷èéí бîäëîãî Эìèéí ñàí÷ 70% áà 20% õ¿÷ëèéí óóñìàëààñ 40%-èéí 500 ìë õ¿÷ëèéí óóñìàë

ãàðãàæ àâàõ áîëæýý. Эíý óóñìàëààñ õýð õýìæýýòýé àâñàí áý?

10


ãÓРВàí õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì

ªìíºõ á¿ëýãò áèä õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéí ïðàêòèê õýðýãëýýíèé òóõàé àâ÷ ¿çñýí áèëýý. Îäîî ãóðâàí õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýë, ò¿¿íèé ñèñòåìèéã áîäîõ íýãýí àðãûí òóõàé àâ÷ ¿çüå.

5x + 2y = 9 íü x, y ãýñýí õî¸ð ¿ë ìýäýãäýã÷òýé òóë õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë áèëýý. 2x + 3y – 4z = 12 íü x, y, z ãýñýí ãóðâàí ¿ë ìýäýãäýã÷òýé òóë ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë áîëíî. Îäîî åðºíõèé òîõèîëäîëä òîäîðõîéëü¸.

A, B, C, D íü áîäèò òîîíóóä áà A, B, C íü íýãýí çýðýã òýã áèø òîîíóóä áàéã.

Ax + By + Cz = D -èéããóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë ãýíý.

Æишээ: x+12y–93z = 41; 2y–9z = –1; z = 1 ãýõ ìýò.

Õýðýâ (x;y;z) ãýñýí áîäèò òîî íü ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëä îðëóóëàõàä ¿íýí òýíöýòãýë ¿¿ñãýæ áàéâàë øèéä ãýíý.

Æишээ: (2;1;0) ãóðâàë íü 2x + 4y – z = 8 òýãøèòãýëèéí øèéä ìºí ýñýõèéã øàëãàÿ. Эíý íü òóõàéí òýãøèòãýëèéí x-èéí îðîíä 2, y-èéí îðîíä 1, z-èéí îðîíä 0 óòãà òóñ òóñ òàâüæ îðëóóëæ øàëãàíà ãýñýí ¿ã.

2•2+4•1–0 áà 8 4+4 áà 88 = 8

áîëæ ¿íýí òýíöýòãýë ¿¿ññýí òóë (2;1;0) ãóðâàë íü 2x+4y–z = 8 òýãøèòãýëèéí øèéä ìºí áîëíî.

Æèøýý 1. Шóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì áîäîõ

x + y – z = –12x – 2y + 3z = 82x – y + 2z = 9

ñèñòåìèéã áîäъ¸.

Áодоëт: Бèä îéëãîìæòîé áîëãîõ çîðèëãîîð òýãøèòãýë¿¿äèéã öààøèä äóãààðëàÿ. x + y – z = –1 (1) |•22x – 2y + 3z = 8 (2)2x – y + 2z = 9 (3)

Õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýë áîëãîæ õàðèóã îëñîíû äàðàà ãóðàâ äàõü õóâüñàã÷èéã

11


îëîõ àðãà õýðýãëýí áîäîæ áîëíî. ¯¿íèé òóëä íýãä¿ãýýð òýãøèòãýëèéã 2-îîð ¿ðæýýä, õî¸ðäóãààð òýãøèòãýë äýýð íýìüå.

2x + 2y – 2z = –2 (1) 2x – 2y + 3z = 8 (2)

4x + z = 6 (4) Íýãä¿ãýýð òýãøèòãýë äýýð ãóðàâäóãààð òýãøèòãýëèéã íýìüå.

x + y – z = –1 (1)2x – y + 2z = 9 (3)

3x + z = 8 (5) Эíäýýñ (4), (5) òýãøèòãýë¿¿ä íü õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë¿¿ä áîëëîî. (4) òýãøèòãýëèéã (–1)-ýýð ¿ðæèí (5) äýýð íýìáýë:

–4x – z = –6 (4) 3x + z = 8 (5)

–x = 2 x = –2 áîëíî.

(5) òýãøèòãýëä x = –2 -èéã îðëóóëàí z-ã îëü¸. 3x + z = 8 (5) 3(–2) + z = 8 –6 + z = 8 z = 14

Îäîî (1) òýãøèòãýëä x = –2; z = 14 îðëóóëàí y-ã îëü¸. 3x + y – z = –1 (1) –2 + y –14 = –1 x = –2; z = 14 y – 16 = –1 y = 15

(–2;15;14) ãóðâàëûã àíõíû òýãøèòãýëä îðëóóëàí òàâüæ øàëãàâàë ñèñòåìèéã õàíãàæ áàéíà. Иéìä øèéä íü (–2;15;14) áîëíî.

ãÓРВàí õÓВЬÑàãЧÒàЙ ãÓРВàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì ÁОäОõ íýìýõ ä¯Рýì

1. Õî¸ð òýãøèòãýëèéã ñîíãîí àâ÷ íýìýõ ä¿ðìýýð õÿëáàð÷ëàí àëü íýã õóâüñàã÷èéã óñòãàíà.

2. Äýýðõýýñ ÿëãààòàé õîñ òýãøèòãýë ñîíãîí àâ÷, äýýð óñòãàñàí õóâüñàã÷èéã óñòãàõ ¿éëäýë õèéíý.

3. ¯¿íèé ¿ð ä¿íä ¿¿ññýí õî¸ð õóâüñàã÷òàé õî¸ð òýãøèòãýë áîäíî. 4. Õî¸ð õóâüñàã÷èéã îëæ, àíõíû òýãøèòãýë¿¿äèéí àëü íýãä îðëóóëàí

ãóðàâ äàõü õóâüñàã÷èéã îëíî.5. Ãàðñàí óòãóóäûã àíõíû òýãøèòãýë¿¿äýä îðëóóëàí òàâüæ øàëãàíà.

12


Æèøýý 2. íýìýõ äүðìýýð бîäîõ íü

x + y = 4 (1)2x – 3z = 14 (2) 2y + z = 2 (3)


Áодоëт:(1) òýãøèòãýëýýñ y = 4 – x ãýæ ãàðíà. ¯¿íèéã (3) òýãøèòãýëä îðëóóëñàíû äàðàà (2) áà (3) íü çºâõºí x, z ãýñýí õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýë¿¿ä áîëíî.

2y + z = 2 (3) 2(4–x) + z = 2 y = 4 – x îðëóóëãà õèéå 8 – 2x + z = 2 õààëò çàäëààä ýìõýòãýå – 2x + z = –6 (4)

(2) áà (4) òýãøèòãýë¿¿äèéã íýìýõ àðãààð áîäü¸. 2x – 3z = 14 (2) –2x + z = –6 (4) – 2z = 8 z = –4

Îäîî (3) òýãøèòãýëä z-ã îðëóóëàí y-ã îëü¸. 2y + z = 2 (3) 2y + (–4) = 2 z = –4 îðëóóëàâ 2y = 6 y = 3

(1) òýãøèòãýëýýñ x-ã îëü¸. x + y = 4 (1) x + 3 = 4 y = 3 îðëóóëàâ

x = 1 (1;3;–4) ãóðâàëûã àíõíû òýãøèòãýëä îðëóóëàí òàâüæ øàëãàâàë ñèñòåìèéã õàíãàæ áàéíà. Иéìä øèéä íü (1;3;–4) áîëíî.

Æèøýý 3: Шèéäãүé бàéõ ãóðâàí øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì

x + y – z = 5 (1)3x – 2y + z = 8 (2)2x + 2y – 2z = 7 (3)


Áодоëт:(1) áà (2)-ûã íýìæ z õóâüñàã÷èéã óñòãàÿ.

x + y – z = 5 (1) 3x – 2y + z = 8 (2) 4x – y = 13

(1) áà (3) òýãøèòãýëýýñ z õóâüñàã÷èéã óñòãàÿ. Иíãýõäýý (1) òýãøèòãýëèéã (–2)-îîð ¿ðæýýä (3) òýãøèòãýë äýýð íýìüå.

13


–2x – 2y + 2z = –10 (1)-ã (–2)-îîð ¿ðæèâ. 2x + 2y – 2z = 7 (2) 0 = –3

Õàìãèéí ñ¿¿ëèéí ¿ð ä¿í íü õóäàë ãàð÷ áàéíà. Иéìä ýíý òýãøèòãýëèéí ñèñòåì øèéäã¿é ãýñýí ¿ã.

Æèøýý 4: Оëîí øèéäòýé бàéõ ãóðâàí øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì

2x – 3y – z = 4 (1)–6x + 9y + 3z = –12 (2) 4x – 6y – 2z = 8 (3)

ñèñòåì áîäъ¸.

Áодоëт:(1) áà (2)-îîñ x õóâüñàã÷èéã óñòãàÿ. ¯¿íèé òóëä (1) òýãøèòãýëèéã 3-ààð ¿ðæýýä (2) òýãøèòãýë äýýð íýìüå.

6x – 9y – 3z = 12 (1)-ã 3-ààð ¿ðæèâ –6x + 9y + 3z = –12 (2)

0 = 0

Îäîî (1) áà (3)-ààñ x õóâüñàã÷èéã óñòãàÿ. ¯¿íèé òóëä (1) òýãøèòãýëèéã (–2)-îîð ¿ðæýýä (3) òýãøèòãýë äýýð íýìüå. Òýãâýë ìºí 0 = 0 ãýñýí ¿íýí òýíöýòãýë ãàðíà. Иéìä ýíý ñèñòåì òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé ãýñýí ¿ã. Øèéäèéí îëîíëîã íü: {(x;y;z) | 2x – 3y – z = 4} áàéõ á¿õ öýã¿¿ä áîëíî.

ãÓРВàí õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

Ãóðâàí õóâüñàã÷òàé ãóðâàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã àøèãëàí çàðèì àñóóäëûã õýðõýí øèéäýõèéã àâ÷ ¿çüå.

Æèøýý 5: ìàëыí òîî òîëãîé îëîõîä ñèñòåì òýãøèòãýëèéã àøèãëàõ íüМàë÷èí Бàòûíõ ¿õýð, ÿìàà, õîíü ãýñýí ãóðâàí òºðëèéí ìàëàà òîîëæýý. Эíý ãóðâàí òºðëèéí ìàëûí òîî òîëãîé íèéò 1240 áàéâ. Õîíèí ñ¿ðãèéí òîî ¿õýð ñ¿ðãèéí òîîíîîñ õî¸ð äàõèí èõ ãýíý. Мºí ¿õýð ñ¿ðãèéí 10% íü òóãàë, ÿìààí ñ¿ðãèéí 20% íü èøèã, ¿õýð ñ¿ðãèéí 30% íü òóãàë áºãººä òºë ìàëûí òîî 276 ãýäýã íü ìýäýãäýæ áàéâ. Òýãâýë ñ¿ðýã òóñ á¿ðèéí òîî òîëãîéã îëîîðîé.

Áодоëт: ªìíº ¿çñýí ä¿ðýì àøèãëàí áîäü¸.

Àëõàì 1: ¯õýð, ÿìàà, õîíèí ñ¿ðýã òóñ á¿ðèéí òîî òîëãîéã îëíî.

Àëõàì 2: Бèä ¿õýð, ÿìàà, õîíèí ñ¿ðãèéí òîî òîëãîéã õàðãàëçàí - x, y, z ãýæ òýìäýãëýå.

14


Àëõàì 3: Îäîî ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëüå.

x + y + z = 12400,1x + 0,2y + 0,3z = 276 z = 2x

Àëõàì 4: z = 2x òýãøèòãýëèéã áóñàä òýãøèòãýëä îðëóóëüÿ.

x + y + 2x = 12400,1x + 0,2y + 0,3•(2x) = 276

Эìõòãýí áè÷üå. 3x + y = 1240

0,7x + 0,2y = 276

–2•(3x + y) = –2•1240 |•(–2)10•(0,7x + 0,2y) = 10•276 |•10

–6x – 2y = –2480 7x + 2y = 2760

x = 280 z = 2x òóë z = 2•280 = 560 x + y + z =1240 òóë 280 + y + 560 = 1240. Эíäýýñ y = 400

Àëõàì 5: (280;400;560) ãóðâàëûã àíõíû ãóðâàí òýãøèòãýëä îðëóóëàí òàâèõàä ñèñòåìèéí øèéä áîëæ áàéíà.

Õàриó: Бàòûíõ 280 ¿õýð, 400 ÿìàà, 560 õîíüòîé.


1-4 ºã¿¿ëáýð¿¿ä ¿íýí, õóäëûã òîãòîîíî óó. ßàãààä ãýäãèéã òàéëáàðëààðàé.1. (1;–2;3) ãóðâàë x+y–z = 4 òýãøèòãýëèéí øèéä áîëíî.2. (4;1;1) ãóðâàë x+y–z = 4 òýãøèòãýëèéí öîðûí ãàíö øèéä áîëíî.3. (1;–1;2) ãóðâàë x+y+z = 2, x–y–z = 0, 2x+y–z = –1 ñèñòåìèéí øèéä áîëíî.4. Õýðýâ x = –2; z = 4 áà x + y – z = 4 áîë y = 10 áàéíà.

Äàðààõ àñóóëòàíä õàðèóëæ áè÷ýýðýé.5. Ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë ãýæ юó âý?6. Ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëèéí øèéä ãýæ юóã õýëýõ âý?7. Ãóðâàí õóâüñàã÷òàé ãóðâàí øóãàìàí òýãøèòãýëèéã áîä ãýæ юóã õýëýõ âý?

Ñèñòåì áîäîîðîé. 8. x + y + z = 2

x + 2y – z = 62x + y – z = 5

9. x – 2y + 4z = 3x + 3y – 2z = 6x – 4y + 3z = –5

10. 2x – y + z = 103x – 2y – 2z = 7x – 3y – 2z = 10

15


11. 2x – 3y + z = –9–2x + y – 3z = 7x – y + 2z = –5

12. x + y = 4 y – z = –2x + y + z = 9

13. x + y = 7 y – z = –1x + 3z = 18

Ñèñòåì áîäîîðîé.14. x – y + 2z = 3

2x + y – z = 53x – 3y + 6z = 4

15. 3x – y + z = 5 9x – 3y + 3z = 15–12x + 4y – 4z = –20

16. x – y = 3 y + z = 82x + 2z = 7

17. 0,1x + 0,08y – 0,04z = 3 5x + 4y – 2z = 1500,3x + 0,24y – 0,12z = 9

Òîîíû ìàøèí àøèãëàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã áîäîîðîé.18. 3x + 2y – 0,4z = 0,1

3,7x – 0,2y + 0,05z = 0,41 –2x + 3,8y – 2,1z = –3,26

19. íîõîéíы æèí Äàø õî¸ð íîõîéòîé áàéâ. Òýä íýãýí óäàà æèíãýý ¿çæýý. Ãóðâóóëàà íèéëýýä 175

êã. Õàðèí Äàø òîì áàíõàð íîõîéòîé õàìò æèí äýýð çîãñîõîä 143 êã òàòàæ áàéâ. Õàðèí Äàø æèæèã áàíõàðòàéãàà õàìò æèíë¿¿ëýõýä æèíãèéí ç¿¿ 139 êã çààæ áàéëàà. Òýãâýë òýä òóñ á¿ðèéí æèíã îëîîðîé.

20. Оõèäыí íàñ Îäíîî, Ñàðàí, Íàðàí ãýñýí ãóðâàí îõèí áàéæýý. Òýäíèé íàñíû íèéëáýð íü 12.

Ñàðàí Îäíîîãîîñ 2 íàñààð ýã÷ ãýíý. Õàðèí Íàðàíãèéí íàñ Îäíîî áà Ñàðàíãèéí íàñíû íèéëáýðýýñ 4-ººð áàãà áàéâ. Òýãâýë îõèäûí íàñûã òîäîðõîéëîîðîé.

õОЁР õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýíÖýÒãýË ÁèШèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

Ñóóðü áîëîâñðîëûí “Оновчтой шийдвэр” ìîäóëèàð õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýíöýòãýë áèø, ò¿¿íèé øèéäèéã êîîðäèíàòûí õàâòãàé äýýð õýðõýí ä¿ðñëýõ òóõàé ¿çñýí áèëýý. Òýãâýë áèä ýíý á¿ëýãò õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýíöýòãýë áèø¿¿äèéí øèéäèéí îëîíëîãîîñ òîäîðõîé ôóíêöèéí õàìãèéí èõ áà áàãà óòãûã îëîõ áîäëîãûã àâ÷ ¿çíý. Иéì òºðëèéí áîäëîãî íü àìüäðàëä àñàð èõ õýðýãëýýòýé. ¯¿íèéã ñóäàëäàã ìàòåìàòèêèéí ñàëáàðûã шóãàìàн ïроãрàììчëàë ãýäýã.

Áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéã бàéãóóëàõ íü

Эõëýýä áèä õî¸ð õóâüñàã÷òàé õýä õýäýí øóãàìàí òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéí øèéäèéã îëîõ àñóóäëûã àâ÷ ¿çíý. Эíý ñèñòåìèéã õÿçãààðëàëòыí íºõöºë, ñèñòåìèéí

16


øèéäèéí îëîíëîãèéã бîëîìæèò øèéäèéí ìóæ ãýäýã. Бîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéã êîîðäèíàòûí õàâòãàé äýýð õýðõýí áàéãóóëàõûã àâ÷ ¿çüå.

Ax + By ≤ C ÒýíÖýÒãýË ÁèШèЙí ШèЙäèЙíОËОíËОãèЙã õàВÒãàЙ äýýР ä¯РÑËýõ ä¯Рýì

1. Ax + By = C øóëóóíûã õàâòãàé äýýð áàéãóóëíà. Óã øóëóóí íü õàâòãàéã õî¸ð õàãàñ õàâòãàéä õóâààíà.

2. Ax + By = C øóëóóí äýýð îðøèõã¿é íýã öýã äóðààðàà àâ÷ óã òýíöýòãýë áèøèä îðëóóëàí òàâèíà.

3. Õýðýâ òóõàéí öýã òýíöýòãýë áèøèéã õàíãàæ áàéâàë òóðøñàí öýã îðøèæ áàéãàà õàâòãàéã, ýñðýã òîõèîëäîëä íºãºº õàãàñ õàâòãàéã ñîíãîíî.

Æèøýý 1. Áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí ãðàôèê бàéãóóëàõÒýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéí øèéäèéí îëîíëîãèéí ãðàôèêèéã õàâòãàé äýýð ä¿ðñýëæ, óã ìóæèéí îðîéí öýã¿¿äèéã îëü¸.

x ≥ 0, y ≥ 03x + 2y ≤ 12 x + 2y ≤ 8

Áодоëт: Äàðàà äàðààãèéí æèøýýãýýð áîäîëòûã èíãýæ äýëãýðýíã¿é òàéëáàðëàõã¿é òóë àíõààðàëòàé àæèãëàí óõààð÷ àâààðàé.

x ≥ 0 íü y òýíõëýãýýñ áàðóóí òèéø áàéãàà õàãàñ õàâòãàé, y ≥ 0 íü x òýíõëýãèéí äýýä õàãàñ õàâòãàé áîëíî.

Îäîî 3x + 2y ≤ 12 òýíöýòãýë áèøèéí øèéäèéí îëîíëîãèéã áàéãóóëàõ àðãûã íýã á¿ð÷ëýí òàéëáàðëàÿ.

¯¿íèé òóëä 3x + 2y = 12 òýãøèòãýëèéã áàéãóóëüÿ. Óã øóëóóí íü êîîðäèíàòûí ýõèéã äàéðàõã¿é òóë O(0;0) öýãèéã ñîíãîæ àâъÿ. Ò¿¿íèé êîîðäèíàòûã òýíöýòãýë áèøèä îðëóóëáàë 3•0 + 2•0 ≤ 12 áóюó 0 ≤ 12 ãýñýí ¿íýí òýíöýòãýë áèø ãàð÷ áàéíà. Иéìä óã òýíöýòãýë áèø êîîðäèíàòûí ýõèéã àãóóëñàí õàãàñ õàâòãàéã ä¿ðñýëíý.

Äàðàà íü x + 2y ≤ 8 òýíöýòãýë áèøèéí øèéäèéí îëîíëîãèéã ìºí äýýðõ ä¿ðìýýð áàéãóóëíà.

Иíãýæ òýíöýòãýë áèø á¿ðä õàðãàëçàõ õàãàñ õàâòãàéã áàéãóóëñàíû äàðàà á¿õ õàãàñ õàâòãàéä íýãýí çýðýã õàðъÿàëàãäàõ öýãèéí îëîíëîãèéã áàéãóóëíà (çóðàã õàðíà óó).Эíý îëîíëîã íü ºãñºí òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéí áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí ãðàôèê áîëíî. Эíý ìóæ íü äºðâºí îðîéòîé áàéíà.

Îðîéí öýã¿¿äèéí êîîðäèíàòóóäûã îëü¸. (0;0); (0;4); (4;0) ãýñýí ãóðâàí îðîé íü èëò áàéíà. Õàðèí äºðºâ äýõ îðîé íü 3x + 2y = 12 áà x +2y = 8 òýãøèòãýë¿¿äèéí ñèñòåìèéí øèéä áîëîõ (2;3) êîîðäèíàòòàé öýã áîëíî.

17


y

5(0;4)

321

0 1 2 3 (4;0) x

3x + 2y = 12

x + 2y = 8(2;3)

Æèøýý 2. Öàìöíы òóõàé бîäëîãî:Íýõìýë÷èí Ñóâäàà õ¿¿õäèéí áà òîì õ¿íèé öàìö íýõýõ áîëæýý. Õ¿¿õäèéí öàìöàíä 80 ìåòð óëààí, 60 ìåòð öýíõýð óòàñ øààðäëàãàòàé. Õàðèí òîì õ¿íèé öàìöàíä 160 ìåòð óëààí, 30 ìåòð öýíõýð óòàñ õýðýãòýé ãýíý. Ñóâäààä åðäºº 480 ìåòð óëààí, 180 ìåòð öýíõýð óòàñ áàéâ. Òýãâýë áàéãàà áîëîìæîî àøèãëààä õ¿¿õäèéí áà òîì õ¿íèé òóñ á¿ð õýäýí öàìö íýõýõ áîëîìæòîé âý? Бîäîëòûã áè÷ýýðýé.

Áодоëт:Õ¿¿õäèéí öàìöíû òîî - хÒîì õ¿íèé öàìöíû òîî - y ãýæ òýìäýãëýå. Öàìöíû òîî ñºðºã áàéæ áîëîõã¿é òóë x≥0, y≥0 ãýäýã íü îéëãîìæòîé.

y

54

(0;3)21

0 1 2 (3;0) 4 x

2x + y = 6

x + 2y = 6(2;2)

Óëààí óòàñíû òóõàé ìýäýýëëèéã áè÷âýë: 80x + 160y ≤ 480 Öýíõýð óòàñíû òóõàé ìýäýýëëèéã áè÷âýë: 60x + 30y ≤ 180 Äýýðõ òýíöýòãýë áèø¿¿äèéã õÿëáàð÷ëààä íýãòãýíáè÷âýë: x ≥ 0; y ≥ 0 x + 2y ≤ 6 2x + y ≤ 6 ªãñºí òýíöýòãýë áèøèéí ãðàôèêèéã ä¿ðñëýâ.

Шóãàìàí ôóíêöèéí õàìãèéí èõ бà бàãà óòãà

Æèøýý 2-ûí õÿçãààðëàëòûí íºõöºë, áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéã áèä îëñîí áèëýý. Õýðýâ õ¿¿õäèéí öàìöûã 15000 òºãðºã, òîì õ¿íèé öàìöûã 20000 òºãðºãíèé ¿íýòýé çàðíà ãýâýë x øèðõýã õ¿¿õäèéí, y øèðõýã òîì õ¿íèé öàìöíû íèéò ¿íý R = 15000x + 20000y áîëíî.

f(x,y) = Ax + By + C ôóíêöèéã õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí ôóíêö ãýíý. Эíä A, B, C íü áîäèò òîî.

18


R(x,y)-ã Ñóâäààãèéí îðëîãûí ôóíêö ãýæ îéëãîæ áîëíî. Òýãâýë

R(x,y) = 15000x + 20000y

ôóíêöèéí õàìãèéí èõ óòãûã áîëîìæèò øèéäèéí ìóæ äýýð ñîíèðõîæ ¿çüå.

R = 15000x + 20000y îðëîãûí ôóíêöèéí ãóðâàí áîëîìæèéã äàðààõ çóðàãò15000x + 20000y = 35000; 15000x + 20000y = 50000; 15000x + 20000y = 60000 ãýñýí ïàðàëëåëü ãóðâàí øóëóóíààð ä¿ðñëýí ¿ç¿¿ëýâ.

y

54321

0 1 2 3 4 x

15000x + 20000y = 60000

15000x + 20000y = 50000

15000x + 20000y = 35000

Õàìãèéí èõ îðëîãî íü õàìãèéí èõ îðëîãûí øóãàì äýýð áàéðëàíà ãýäýã íü õàðàãäàæ áàéíà. Õàìãèéí èõ îðëîãî ÿã õýä âý? ãýñýí àñóóëòàíä äàðààõ øóãàìàí ïðîãðàìì÷ëàëûí ¿íäñýí çàð÷èì õàðèó ºãíº.

ШÓãàìàí ïРОãРàììЧËàËûí ¯íäÑýí ÇàРЧèì

Бîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí îðîéí öýã äýýð øóãàìàí ôóíêö íü õàìãèéí èõ áà õàìãèéí áàãà óòãàà àâíà.

Æèøýý 3: Шóãàìàí ìóæèéí øóãàìàí ôóíêöèéí õàìãèéí èõ óòãàÍýõìýë÷èí Ñóâäàà õ¿¿õäèéí áà òîì õ¿íèé öàìö íýõýõ áîëæýý. Õ¿¿õäèéí öàìöàíä 80 ìåòð óëààí, 60 ìåòð öýíõýð óòàñ øààðäëàãàòàé. Õàðèí òîì õ¿íèé öàìöàíä 160 ìåòð óëààí, 30 ìåòð öýíõýð óòàñ õýðýãòýé ãýíý. Ñóâäààä åðäºº 480 ìåòð óëààí, 180 ìåòð öýíõýð óòàñ áàéâ. Õýðýâ õ¿¿õäèéí öàìö 15000 òºãðºã, òîì õ¿íèé öàìö 20000 òºãðºãíèé ¿íýòýé çàðàãääàã áîë Ñóâäàà õàìãèéí èõ îðëîãîòîé áàéõûí òóëä àëü öàìöíààñ õýäèéã íýõýõ ¸ñòîé âý?

Áодоëт:Õ¿¿õäèéí öàìöíû òîî - xÒîì õ¿íèé öàìöíû òîî - y ãýæ òýìäýãëýâýë Æèøýý 2 -ò òýìäýãëýñíýýð ò¿¿íèé áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí îðîéíóóä íü (0;0); (0;3); (3;0); (2;2) áàéíà. Мºí ò¿¿íèé îðëîãûí ôóíêö íü

R(x,y) = 15000x + 20000y áàéíà.

19


Øóãàìàí ïðîãðàìì÷ëàëûí ¿íäñýí çàð÷èì ¸ñîîð áîëîìæèò øèéäèéí ìóæûí îðîéí öýã äýýð øóãàìàí ôóíêö íü õàìãèéí èõ óòãàà àâíà. Иéìä îðëîãûí ôóíêöèéí îðîéí öýã¿¿ä äýýðõ óòãóóäûã àâ÷ ¿çüå.

R(0,0) = 15000•0 + 20000•0 = 0R(0,3) = 15000•0 + 20000•3 = 60000R(3,0) = 15000•3 + 20000•0 = 45000R(2,2) = 15000•2 + 20000•2 = 70000

Эíäýýñ õàðàõàä õ¿¿õäèéí 2, òîì õ¿íèé 2 öàìö íýõýõýä 70000 òºãðºã áóюó õàìãèéí èõ îðëîãî îëíî.

Иíãýýä øóãàìàí ïðîãðàìì÷ëàëûí áîäëîãî áîäîõ ñòðàòåãèéã àâ÷ ¿çüå.

ШÓãàìàí ïРОãРàììЧËàËûí ÁОäËОãО ÁОäОõ ÑÒРàÒЕãè

Øóãàìàí ñèñòåìýí õÿçãààðëàëòûí íºõöºëòýé ¿åä øóãàìàí îðëîãûí ôóíêöèéí õàìãèéí èõ áà áàãà óòãûã îëîõ àëãîðèòìûã àâ÷ ¿çüå.

1. Ñèñòåìèéí áîëîìæèò øèéäèéí ìóæûã îëíî.2. Òóñ ìóæèéí îðîéí öýã¿¿äèéí êîîðäèíàòóóäûã òîäîðõîéëíî.3. Мóæèéí îðîé á¿ð äýýð îðëîãûí ôóíêöèéí óòãóóäûã îëíî.4. Эäãýýð óòãóóäûí õàìãèéí èõ áà õàìãèéí áàãûã îëíî.

Æèøýý 4: Шóãàìàí ìóæèéí øóãàìàí ôóíêöèéí õàìãèéí бàãà óòãà1 õàëáàãà À õîîëîíä 2 ãðàìì óóðàã, 6 ãðàìì í¿¿ðñ-óñ àãóóëàãäàíà. 1 õàëáàãà Â õîîëîíä 4 ãðàìì óóðàã, 3 ãðàìì í¿¿ðñ-óñ àãóóëàãäàíà. Àãèéìàà õîîëíû äýãëýì áàðüäàã. Òýð 12 ãðàììààñ áàãàã¿é óóðàãòàé, 18 ãðàììààñ áàãàã¿é í¿¿ðñ-óñòàé õîîë èäýõèéã õ¿ñ÷ýý. 1 õàëáàãà À õîîë 90 òºãðºã, 1 õàëáàãà Â õîîë 200 òºãðºãíèé ¿íýòýé. Òýãâýë Àãèéìàà õàìãèéí áàãà ºðòãººð äýýðõ íºõöºëèéã õàíãàñàí õîîë èäýõèéã õ¿ñ÷ýý. Òýãâýë õîîë òóñ á¿ðýýñ õýäýí õàëáàãà çàõèàëàõ õýðýãòýé âý?

Áодоëт:

Àëõàì 1: À õîîë x õàëáàãà, Â õîîë y õàëáàãà çàõèàëñàí ãýå. x ≥ 0, y ≥ 0 ãýäýã íü îéëãîìæòîé.

12 ãðàììààñ áàãàã¿é óóðàãòàé ãýäãèéã ìàòåìàòèê õýëýýð áè÷âýë: 2x + 4y ≥ 1218 ãðàììààñ áàãàã¿é í¿¿ðñ-óñòàé ãýäãèéã ìàòåìàòèê õýëýýð áè÷âýë: 6x + 3y ≥ 18Äýýðõ òýíöýòãýë áèø¿¿äèéã õÿëáàð÷ëààä íýãòãýí áè÷âýë: x ≥ 0; y ≥ 0 x + 2y ≥ 6 2x + y ≥ 6ªãñºí òýíöýòãýë áèøèéí ãðàôèêèéã ä¿ðñëýâ.

20


y(0;6)

54321

(0;0) 1 2 3 4 5 (6;0) x

(2;2)

Àëõàì 2: Ò¿¿íèé áîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí îðîéíóóä íü(0;6); (2;2); (6;0) áàéíà.

Àëõàì 3: Мºí õîîë àâàõ ôóíêö íü R(x,y) = 90x + 200y áàéíà. Иéìä îðîéí öýã¿¿ä äýýðõ

óòãûã îëü¸. R(0,6) = 90•0 + 200•6 = 1200 R(2,2) = 90•2 + 200•2 = 580 R(6,0) = 90•6 + 200•0 = 540

Àëõàì 4: Эäãýýðýýñ õàìãèéí áàãà óòãà íü 540 áàéíà.

Õàриó: Àãèéìàà À õîîëíîîñ 6 õàëáàãà çàõèàëáàë õàìãèéí áàãà ºðòºãòýé áóюó 540 òºãðºã áàéíà.


Äàðààõ ºã¿¿ëáýð¿¿äèéí ¿íýí, õóäëûã òîãòîîãîîðîé. ßàãààä ãýäãèéã òàéëáàðëààðàé.1. x ≥ 0 ãðàôèê íü êîîðäèíàòûí õàâòãàéí x òýíõëýãýýñ äýýø îðøèíî.2. y ≥ 0 ãðàôèê íü êîîðäèíàòûí õàâòãàéí y òýíõëýãèéí áàðóóí òàëä îðøèíî.3. x + y ≤ 6 ãðàôèê íü x + y = 6 øóëóóíû äýýä òàëä îðøèíî.4. F(x,y) = Ax2 + By2 + C ôóíêö íü x áà y-èéí õóâüä øóãàìàí ôóíêö юì.5. R(x,y) = 3x + 5y ôóíêö íü (2;4) öýã äýýð 26 áàéíà.6. Õýðýâ C(x,y) = 12x + 10y áîë C(0,5) = 62 áàéíà.

Äàðààõ àñóóëòàíä õàðèóëæ áè÷ýýðýé.7. Õÿçãààðëàëòûí íºõöºë ãýæ юó âý? (õî¸ð õóâüñàã÷òàé)8. Бîëîìæèò øèéäèéí ìóæ ãýæ юó âý?9. Õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí ôóíêöèéí õýëáýðèéã áè÷ýýðýé.

Òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéí øèéäèéí îëîíëîãèéí ãðàôèêèéã õàâòãàé äýýð ä¿ðñýëæ, óã ìóæèéí îðîéí öýã¿¿äèéã îëîîðîé.

10. x ≥ 0; y ≥ 0x + y ≤ 5

11. x ≥ 0; y ≥ 02x + y ≤ 4x + y ≤ 3

12. x ≥ 0; y ≥ 02x + y ≥ 3x + y ≥ 2

13. x ≥ 0; y ≥ 0x + 3y ≤ 152x + y ≤ 10

21


ìýäËýãèЙí Ò¯ВШèí ÒОãÒООõ äààËãàВàР

1. Êîìïàíè õî¸ð òºðëèéí çóðàãò ¿éëäâýðëýäýã. Эíãèéí çàãâàðûí íýã çóðàãòûã 12 öàãò, îð÷èí ¿åèéí çàãâàðûí çóðàãòûã 18 öàãò ¿éëäâýðëýí ãàðãàäàã áàéíà. Эíý êîìïàíè 360 öàã àæèëëàæ 25 çóðàãò ¿éëäâýðëýí ãàðãàñàí áàéíà. Òýãâýë ýíãèéí áà îð÷èí ¿åèéí çóðàãò òóñ á¿ð õýäèéã ¿éëäâýðëýñíèéã îëîõ ñèñòåì òýãøèòãýë çîõèîãîîðîé. (2 îíîî)

2. ªãñºí ñèñòåì òýãøèòãýëèéã áîäîîðîé. (3 îíîî) x – y + z = 3

2x + y + z = 83x + y – z = 1

3. ªãñºí òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéí ãðàôèê áàéãóóëààðàé. (4 îíîî) x ≥ 0; y ≥ 0 2x + y ≤ 6 x + y ≤ 5

4. Бàò “Õààí”, “Ãîëîìò”, “Çîîñ” áàíêèíä íèéò 420000 òºãðºãººð õàäãàëàìæ íýýæýý. Ò¿¿íèé õàäãàëóóëñàí õàäãàëàìæèéí æèëèéí õ¿¿ Õààí áàíêíûõ 5%, Ãîëîìòûíõ 7%, Çîîñ 9% áà õ¿¿íèé íèéò íèéëáýð 26000 òºãðºã. Бàò “æèëèéí äàðàà Õààí áàíêèíä õàäãàëóóëñàí ìºíãºíèé õ¿¿, íºãºº õî¸ð õàäãàëàìæèéí õ¿¿íèé íèéëáýðýýñ 2000 òºãðºãººð áàãà” áîëîõûã ìýäæýý. Òýãâýë Бàò áàíê á¿ðò õýäýí òºãðºã õàäãàëóóëñàí áý? (5 îíîî)

5. Äàðõàí áºãæ, ýýìýã õèéõýýð áîëæýý. Бºãæèíä 1 ãðàìì àëò, 2 ãðàìì ãóóëü, õàðèí ýýìãýíä 3 ãðàìì àëò, 1 ãðàìì ãóóëü àãóóëíà. Äàðõàíä åðäºº 15 ãðàìì àëò, 10 ãðàìì ãóóëü áàéâ. Õýðýâ áºãæ 10000 òºãðºã, ýýìýã 20000 òºãðºãíèé ¿íýòýé çàðàãäàõ áîë õàìãèéí èõ àøèã îëîõûí òóëä áºãæ, ýýìýã òóñ á¿ðýýñ õýäèéã õèéõ âý? (6 îíîî)

Íèéò îíîî 20

22


õàРèÓ, ÇààВàР

ªìíªõ ìýäËýãèЙí Ò¯ВШèí ÒОãÒООõ äààËãàВРûí õàРèÓ

1. ¯íýí. Ó÷èð íü 2x + y = 4 òýãøèòãýëèéí õóâüä x=1; y=2 îðëóóëãà õèéâýë 2•1+2=4 ãýñýí ¿íýí òýíöýòãýë ãàðíà.

2. Õóäàë. Ó÷èð íü (1;2) õîñ íü 2x + y = 4 òýãøèòãýëèéí øèéä áîëîõ áîëîâ÷ 3x– y = 6 òýãøèòãýëèéí øèéä áîëæ ÷àäàõã¿é áàéíà.

3. ¯íýí. y-ã òýíö¿¿ëüå. Òýãâýë y = 3x–6 = 2x+4 áà x=10 ãàðíà. Мºí y = 3•10–6 = 24 áîëíî. Иéìä (10;24) ãýñýí öîð ãàíö øèéäòýé áàéíà.

Ñàнàìæ: x=10 áà y=24 ãýâýë õî¸ð øèéäòýé ãýæ àíäóóðàõ òîõèîëäîë áàéäàã. Õî¸ð õóâüñàã÷òàé ñèñòåìèéí øèéä íü (x0;y0) ãýñýí õîñ òîîíîîñ òîãòîíî ãýäãèéã àíõààðàõ õýðýãòýé.

4. Yíýí. y = 3x–5 = 3x+2 áà –5=2 ãýñýí õóäàë òýíöýëä õ¿ðíý. Иéìä ñèñòåì øèéäã¿é.

5. ¯íýí. y > –3x+2 òýíöýòãýë áèøèä x=2; y= –3 îðëóóëüÿ. –3 > –3•2+2 áà –3 > –4 ãýñýí ¿íýí òýíöýòãýë ãàð÷ áàéíà.

6. Õóäàë. 3x–y = 2 òýãøèòãýëèéí äýýä õýñýãò (0;0) öýã îðøèíî. Óã öýãèéí êîîðäèíàòûã îðëóóëàõàä 3•0–0 > 2 áóюó 0 > 2 ãýñýí õóäàë òýíöýòãýë

áèø ãàð÷ áàéíà.

7. Õóäàë. (2;–5) öýãèéã òýíöýòãýë áèø¿¿äýä îðëóóëæ øàëãàÿ. Эõíèé òýíöýòãýë áèøèä îðëóóëáàë –5 > –3•2+5 áà –5 > –1 õóäàë òýíöýòãýë áèø ãàð÷ áàéíà. Иéìä õî¸ð äàõü òýíöýòãýë áèøèéã øàëãàõ øààðäëàãàã¿é.

8. ¯íýí. Ó÷èð íü y=2x–3 áà y=3x+5 øóëóóíóóä îãòëîëöîíî. Òýíöýòãýë áèøèéí øèéäèéí ìóæ íü àëü íýã õàãàñ õàâòãàéíóóä òóë ýäãýýð íü ìºí îãòëîëöîíî.

9-11 ä¿ãýýð äààëãàâàð á¿ðèéí õóâüä äàðààõ îíîîã ºãíº. Îðëóóëãà çºâ ñîíãîñîí – 1 îíîî Çºâ îðëóóëãà õèéæ àëü íýã õóâüñàã÷èéã çºâ îëñîí – 1 îíîî Õàðèóã çºâ îëñîí – 1 îíîî

Òóõàéëáàë, 9-11 ä¿ãýýð äààëãàâàð á¿ðèéí íýãýí õóâèëáàðûã æèøýýëýí ¿ç¿¿ëýâ.

9. (1;2) (1 îíîî) y = 2x -èéã õî¸ð äàõü òýãøèòãýëä îðëóóëüÿ. (1 îíîî) x + 2x = 3 áà x=1 áîëíî. Иéìä y=2•1=2 áîëíî. (1 îíîî)

10. Øèéäã¿é (1 îíîî)

y = 23

x + 2 òýãøèòãýëèéã ýõíèé òýãøèòãýëä îðëóóëüÿ. (1 îíîî) 2x–3• 2

3x – 2 = 6 áà –6=6 ãýñýí õóäàë òýíöýòãýë ãàðíà. (1 îíîî)

23


11. {(x,y)| x+2y = 8} (1 îíîî)

y = – 12

x + 4 îðëóóëãà ýõíèé òýãøèòãýëä îðëóóëüÿ. (1 îíîî)

x+3• – 12

x + 4 = 8 áà 8=8 ãýñýí ¿íýí òýíöýòãýë ¿¿ñ÷ áàéíà. (1 îíîî)

Иéìä òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé.

12-14 äààëãàâðûí õóâüä äàðààõ îíîîã ºãíº. Ñèñòåìèéí àëü íýã õóâüñàã÷èéí êîýôôèöèåíòèéã 0 áîëãîõ çîðèëãîîð: Òýãøèòãýë¿¿äèéã òîõèðîõ òîîãîîð ¿ðæñýí – 1 îíîî Òýäãýýðèéã õîîðîíä íü íýìæ õóâüñàã÷èéí óòãûã îëñîí – 1 îíîî Õàðèóã çºâ îëñîí – 1 îíîî

Òóõàéëáàë, 12-14 ä¿ãýýð äààëãàâàð á¿ðèéí íýãýí õóâèëáàðûã æèøýýëýí ¿ç¿¿ëýâ.

12. (2;3)

6x – 5y = –94x + 5y = 23

7x = 14

(1 îíîî)

ýíäýýñ x=2 ãàð÷ áàéíà. (1 îíîî) Õî¸ðäóãààð òýãøèòãýëä x=2 îðëóóëáàë 4•2+5y=23 áà y=3. (1 îíîî)

13. (3;4) –2x + 3y = 6 |•3 3x – 5y = –11 |•2

⇒ 3•(–2x+3y) = 6•32•(3x–5y) = –11•2

⇒ –6x+9y = 186x–10y = –22

⇒ (1 îíîî)

⇒ –y = –4 áîëíî. (1 îíîî)Эõíèé òîõèîëäîëä ó-èéí óòãûã îðëóóëáàë х=3 áîëíî. (1 îíîî)

14. Øèéäã¿é. (1 îíîî)

4x + 3y = 6 |•3–12x – 9y = –6

⇒ 12x+9y = 18–12x–9y = –6

⇒ (1 îíîî)

⇒ 0 = 12 õóäàë òýíöýòãýë ãàð÷ áàéíà. (1 îíîî)

15-16 äóãààð äààëãàâðûí õóâüä äàðààõ îíîîã ºãíº. Øóëóóíàà çºâ çóðñàí - 1 îíîî Мóæàà çºâ òîäîðõîéëñîí - 1 îíîî

15. y

4321

–1 0 1 2 3 x

16. y

321

–1–1 0 1 2 3 x

24


õОЁР õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

1. 80 ãр, 110 ãр2. 3 ì áà 2,5 ì3. 20 ì áà 40 ì4. 1200000 òºãðºã áà 800000 òºãðºã5. Õî¸ð îíîîíû – 192, ãóðâàí îíîîíû – 88 áºìáºã öàãèðàãò îðóóëñàí.6. 1184 êã7. 240 áà 225 òºãðºã8. 70%-èéí óóñìàëààñ - 20%-èéí óóñìàëààñ - õýìæýýòýé àâñàí ãýå. Òýãâýë òýäíèé óóñìàëûí íèéò õýìæýý ⇒ x+y = 500 õîëüñîí óóñìàëä áàéãàà ñïèðòèéí õýìæýý ⇒ 0.7x+0.2y = 200

Иéìä äàðààõ ñèñòåì òýãøèòãýë ¿¿ñíý. x+y = 5000.7x+0.2y = 200

Эíäýýñ õàðèóã îëíî.

ãÓРВàí õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýãШèÒãýËèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

1. Õ 2. Õ 3. ¯ 4. ¯

5. Õýðýâ A, B, C, D íü áîäèò òîîíóóä áà A, B, C íü íýãýí çýðýã òýã áèø òîîíóóä áàéã. Ax + By + Cz = D ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýë ãýíý.

6. Õýðýâ (x,y,z) ãýñýí áîäèò òîî íü ãóðâàí õóâüñàã÷òàé øóãàìàí òýãøèòãýëä îðëóóëàõàä ¿íýí òýíöýòãýë ¿¿ñãýæ áàéâàë ò¿¿íèéã øèéä ãýíý.

7. ªãñºí ãóðâàí øóãàìàí òýãøèòãýëèéí øèéä áîëîõ ãóðâàë òîîã îëíî ãýñýí ¿ã.

8. (1;2;–1) 9. (1;3;2) 10. (1;–5;3) 11. (–1;2;–1)

12. (1;3;5) 13. (3;4;5) 14. Øèéäã¿é

15. {(x,y,z)∈R3| 3x–y+z=5} 16. Øèéäã¿é 17. {(x,y,z) ∈R3 |5x+4y–2z=150}

18. (0,1; 0,3; 2) 19. Äàø - 107 êã, òîì áàíõàð - 36 êã, æèæèã áàíõàð - 32 êã.

20. Îäíîî 3, Ñàðàí 5, Íàðàí 4 íàñòàé.

õОЁР õÓВЬÑàãЧÒàЙ ШÓãàìàí ÒýíÖýÒãýË ÁèШèЙí ÑèÑÒЕì àШèãËàí ОíОВЧÒОЙ ШèЙäВýР ãàРãàõ íЬ

1. Õ 2. Õ 3. Õ 4. Õ 5. ¯ 6. Õ7. Õî¸ð õóâüñàã÷òàé õýä õýäýí øóãàìàí òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìèéã

õÿçãààðëàëòûí íºõöºë ãýíý.

25


8. Õÿçãààðëàëòûí øèéäèéí îëîíëîãèéã áîëîìæèò øèéäèéí ìóæ ãýíý.

9. f(x,y) = Ax+By+C ôóíêöèéã õî¸ð õóâüñàã÷òàé øóãàìàí ôóíêö ãýíý.

10. y

(0;5)4321

(0;0) 1 2 3 4 (5;0) x

11. y

54

(0;3)21

(0;0) 1 (2;0) 3 4 x

(1;2)

12. y

54

(0;3)21

(0;0) 1 (2;0) 3 4 x

(1;1)

13. y

(0;5)4321

(0;0) 1 2 3 4 (5;0) x

(3;4)

ìýäËýãèЙí Ò¯ВШèí ÒОãÒООõ äààËãàВРûí õàРèÓ

Äààëãàâàð 1. Õóâüñàã÷èéã çºâ ñîíãîñîí - 1 îíîî Мàòåìàòèê õýë ð¿¿ çºâ õºðâ¿¿ëñýí - 1 îíîî Эíãèéí çóðàãò - x Îð÷èí ¿åèéí çóðàãò - y øèðõýã ¿éëäâýðëýñýí ãýå. Íèéò 25 çóðàãò ¿éëäâýðëýñýí - x+y = 25 Эíãèéí çàãâàðûí íýã çóðàãò 12 öàãò, îð÷èí ¿åèéí çàãâàðûí çóðàãò 18 öàãò

¿éëäâýðëýõ áà íèéò 360 öàã àæèëëàñàí - 12x + 18y = 360

Иéìä x+y = 2512x+18y = 360

áîëíî.

Äààëãàâàð 2. (1;2;4) Õóâèðãàëò çºâ õèéæ õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýë¿¿ä ãàðãàñàí - 1 îíîî Õî¸ð õóâüñàã÷òàé òýãøèòãýëèéã áîäîæ õàðèóã îëñîí - 1 îíîî Õàðèóã çºâ îëñîí - 1 îíîî

26


Äààëãàâàð 3. x ≥ 0; y ≥ 0 òýíöýòãýë áèøèéí óòãûí ìóæèéã ìýäýæ áàéâàë - 1 îíîî 2x + y ≤ 6 òýíöýòãýë áèøèéí óòãûí ìóæèéã ìýäýæ áàéâàë - 1 îíîî x + y ≤ 5 òýíöýòãýë áèøèéí óòãûí ìóæèéã ìýäýæ áàéâàë - 1 îíîî Åðºíõèé ìóæèéã îëæ, øèéäèéã çºâ îëñîí - 1 îíîî

y

54

(0;3)21

(0;0) 1 2 3 4 (5;0) x

(4;1)

Äààëãàâàð 4. Àëõàì 2 õ¿ðòýë çºâ ã¿éöýòãýñýí - 1 îíîî Àëõàì 3 çºâ ã¿éöýòãýñýí - 2 îíîî Àëõàì 4 çºâ ã¿éöýòãýñýí - 1 îíîî Àëõàì 5 çºâ ã¿éöýòãýñýí - 1 îíîî

Àëõàì 1: “Õààí”, “Ãîëîìò”, “Çîîñ” áàíêàíä õàäãàëóóëñàí ìºíãºíèé õýìæýýã îëíî.

Àëõàì 2: “Õààí”, “Ãîëîìò”, “Çîîñ” áàíêàíä õàäãàëóóëñàí ìºíãºíèé õýìæýýã - x, y, z ãýæ òóñ òóñ òýìäýãëýå.

Àëõàì 3: Îäîî ìàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëüå. Íèéò õàäãàëóóëñàí ìºíãºíèé õýìæýý ⇒ x + y + z = 420000 Õ¿¿íèé íèéò õýìæýý ⇒ 0,05x + 0,07y + 0,09z = 26000 Õ¿¿íèé çºð¿¿íèé ìýäýýëëýýñ ⇒ 0,05x = 0,07y + 0,09z – 2000

Эäãýýðèéã ýìõòãýâýë: x+y+z = 420000 (1)

0,05x+0,07y+0,09z = 26000 (2)–0,05x + 0,07y+0,09z = 2000 (3)

Àëõàì 4: (2) -îîñ (3) òýãøèòãýëèéã õàñâàë 0,05x+0,05x = 26000 – 2000 0,1x = 24000 x = 240000 ¯¿íèéã (1) áà (2)-ò îðëóóëàí áè÷âýë õî¸ð õóâüñàã÷òàé õî¸ð øóãàìàí òýãøèòãýë

¿¿ñíý. ¯¿íèéã áîäîæ y, z îëíî. y = 110000; z = 70000 ãàðíà.

27


Àëõàì 5: (240000, 110000, 70000) ãóðâàëûã ºã¿¿ëáýðèéí ìýäýýëë¿¿äýä îðëóóëáàë çºâ áàéíà.

Õàриó: Бàò Õààí áàíêàíä 240000 òºãðºã, Ãîëîìò áàíêàíä 110000 òºãðºã, Çîîñ áàíêàíä 70000 òºãðºã òóñ òóñ õàäãàëóóëñàí áàéíà.

Äààëãàâàð 5.Мàòåìàòèê õýë ð¿¿ øèëæ¿¿ëñýí - 2 îíîîБîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéã ä¿ðñýëæ, îðîéí öýã¿¿äèéã òîäîðõîéëñîí - 2 îíîîÎðîéí öýã¿¿ä äýýð îðëîãûí ôóíêöèéí óòãóóäûã îëñîí - 1 îíîîÕàðèóã îëñîí - 1 îíîî

Бîäîëòûã àâ÷ ¿çüå. Мàòåìàòèê õýë ð¿¿ õºðâ¿¿ëáýë: x ≥ 0; y ≥ 0 x + 3y ≤ 15 2x + y ≤ 10 R(x,y) = 10000x + 20000y ôóíêöèéí õàìãèéí èõ óòãûã îëíî.

Бîëîìæèò øèéäèéí ìóæèéí îðîéí öýã¿¿ä íü (0;0), (0;5), (5;0), (3;4) ãýæ ãàðíà. Îðîéí öýã¿¿ä äýýð îðëîãûí ôóíêöèéí óòãûã îëáîë: R(0,0) = 10000•0 + 20000•0 = 0 R(0,5) = 10000•0 + 20000•5 = 100000 R(5,0) = 10000•5 + 20000•0 = 50000 R(0,0) = 10000•3 + 20000•4 = 110000 áîëíî.

Õàриó: Бºãæ 3 øèðõýã, ýýìýã 4 øèðõýãèéã õèéâýë õàìãèéí èõ îðëîãî áóюó 110000 òºãðºãèéí îðëîãî îëíî.

28


íОì Ç¯Й

1. Бàãà, ñóóðü, á¿ðýí äóíä áîëîâñðîëûí ä¿éöñýí ñóðãàëòûí õºòºëáºð, ÀББÇÑ¯Ò, ÓБ., 2001.

2. Бàíçðàã÷ М., Äàøáàò Í., Àðèôìåòèêèéí ºã¿¿ëáýðòýé 600 áîäëîãî, ÓБ., 2007

3. Ã¿íäýãìàà Ä., Ñóðãàëòûí ìîäóëü áîëîâñðóóëàã÷äàä çîðèóëñàí ãàðûí àâëàãà, ÀББÇÑ¯Ò, ÓБ., 2006

4. Мàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðò, ÓБ., 2004

5. Øàãäàð Ä., Бàòðèí÷èí Ï., Øóãàìàí ïðîãðàìì÷ëàëûí îíîëûí àíõíû ìýäýãäýõ¿¿í, ÓБ., 1986

6. Barnett R., Kearn T., Elementary algebra, NY., 1994

7. Mark D., Intermediate algebra, NY., 2004

8. Streeter H., Bergman H., Intermediate algebra, NY., 2001

onovchtoi shiidver bdb s

Documents