opciones

Opciones

Freddy Higuera

Ingeniera Industrial UCN

Analisis Financiero (CC-A84) Ingeniera Industrial UCN 1 / 21

Tabla de Contenidos

1 Que son las Opciones?

2 Put-Call Parity

3 Valorizacion de Opciones


Definiciones

Una opcion de compra o call da al dueno el derecho de comprar el activosubyacente en una fecha especificada a cierto precio de ejercicio.

Una opcion de venta o put da al dueno el derecho de vender el activosubyacente en una fecha especificada a cierto precio de ejercicio.

Las Opciones Europeas solo pueden ser ejercitadas en la madurez. Las Opciones Americanas pueden ser ejercitadas anticipadamente. Notar que:

El comprador de la opcion tiene el derecho. El vendedor de la opcion tiene un compromiso. Las opciones son asimetricas, por lo que tiene un precio conocido

como prima. Tpicamente, las opciones Americanas valen mas que las opciones

Europeas.

Las Calls y Puts son opciones simples. Existen muchas opciones exoticas y otras implcitas en algunos

instrumentos financieros.


Posicion Larga vs. Posicion Corta en una Call

posicion larga: comprar la opcion posicion corta: vender la opcion

pago en T

0

K

ST

pago en T

0

K

ST

pago en T = max{ST K , 0} pago en T = max{ST K , 0}


Posicion Larga vs. Posicion Corta en una Put

posicion larga: comprar la opcion posicion corta: vender la opcion

pago en T

0

K

ST

pago en T

0

K

ST

pago en T = max{K ST , 0} pago en T = max{K ST , 0}


Ejemplo 1

Suponga que una accion de GM se transa en $50. Una call Europea en laaccion de GM que expira el 20 de Febrero y precio de ejercicio $45 setransa en $7 el 20 de Noviembre. La put Europea con igual precio deejercicio y misma madurez, se transa en $1.

cual es el pago final si en la madurez:La accion de GM vale: $40 $60

largo en put

largo en call

corto en put

corto en call

Como se determinan los precios de $7 y $1 para la call y la put,respectivamente?


Tabla de Contenidos


2 Put-Call Parity



Call sintetica

Suponga las siguientes transacciones (posiciones): Comprar 1 accion y comprar 1 put con strike K . Pedir K/(1 + r)Tt dolares

Pago en TPosicion Hoy (t) ST < K ST KLargo 1 put pt K ST 0Largo 1 accion St ST STPedir $K/(1 + r)Tt K/(1 + r)Tt K KTotal pt + St K/(1 + r)Tt 0 ST K Es posible crear un call Europea sintetica combinando:

una put Europea con el mismo precio de ejercicio (strike) y madurez, el activo subyacente (la accion en este caso), y un bono libre de riesgo.

La Put-Call Parity: ct = pt + St K/(1 + r)Tt


Put-Call Parity cuando los Activos No Pagan Dividendos

Asuma una fecha de expiracion T y precio de ejercicio K para todaslas opciones. Asuma que el activo no paga dividendos.

Por no-arbitraje, la relacion entre los activos es:

ct pt = St K(1 + r)Tt

La Put-Call Parity da la formula para la creacion sintetica de unactivo usando los otros tres.

La Put-Call Parity da el precio relativo de una opcion con respecto asu contraparte sintetica.


Demostracion (sin dividendos)

Suponga que: ct > pt + St K(1 + r)Tt

.

Encuentre una combinacion de activos entre las opciones, la acciony pedir/ahorrar dinero que de ganancias de arbitraje.

Pago en TFlujos Hoy (t) ST < K ST KCorto 1 call ct 0 (ST K )Largo 1 put pt K ST 0Largo 1 accion St ST STPedir $K/(1 + r)Tt K/(1 + r)Tt K KTotal ct pt St + K/(1 + r)Tt 0 0

Tarea: suponga ahora que ct < pt + St K(1 + r)Tt

.


Put-Call Parity con Dividendos

Asuma que la fecha de expiracion T y el precio de ejercicio K es elmismo para todas las opciones.

Asuma que la accion (activo subyacente) paga dividendos entre hoy(t) y la fecha de expiracion (T ) que tienen un valor presenteVP(Dt).

Producto del no-arbitraje, la relacion Put-Call Parity modificadapara incluir dividendos es:

ct +K

(1 + r)Tt= St VP(Dt) + pt

Note que el termino St VP(Dt) es el valor actual del activosubyacente St menos los flujos generados por este activo que no sonrecibidos por la persona que tiene la opcion.


Cuanto es VP(Dt) para el S&P 500? Si uno rearregla la Put-Call Parity para opciones Europeas:

ct pt = St VP(Dt) K(1 + r)Tt

Para una madurez fija se pueden estimar los terminos St VP(Dt) y (1 + r)Tt usandolos precios de calls y puts para diferentes precios de ejercicio con una regresion lineal.

Date: October 23, 1998

S&P 500 1070.67

November 1998 Options

Strike Call Price Put Price Call - Put1060 $38.25 $26.50 $11.751065 $35.00 $28.50 $6.501070 $33.00 $29.13 $3.881075 $30.00 $32.00 ($2.00)1080 $26.25 $33.75 ($7.50)1085 $24.00 $33.00 ($9.00)

Regression Output:Constant 929.84881Std Err of Y Est 1.2203934R Squared 0.982184No. of Observations 6Degrees of Freedom 4

X Coefficient(s) -0.866429Std Err of Coef. 0.058346


Ejemplo 2

El precio actual (spot) del petroleo es US$54 por barril. Existenopciones escritas sobre petroleo. En particular, usted puede compraruna opcion de compra (call) con 1 ano de madurez y precio deejercicio US$51 por US$12 por barril. La opcion de venta (put) conmisma madurez y precio de ejercicio se transa en US$6. La tasalibre de riesgo es 5% anual.

Demuestre que con los precios descritos arriba existenposibilidades de arbitraje.

Encuentre una estrategia de arbitraje que transe en petroleo,calls, puts y prestar o pedir prestado. De las utilidades porarbitraje.


Tabla de Contenidos


2 Put-Call Parity



El modelo Binomial de un perodo

Es necesario hacer algunos supuestos acerca de la dinamica que siguen los precios. Considere una call Europea con pago cT = max(ST K , 0) en la madurez T . El precio de la accion hoy es S y puede tomar solo dos valores en tiempo T :

S

u S

d S

p

1 p

Ademas es posible ahorrar o endeudarse a una tasa de interes r :

1

1 + r

1 + r

p

1 p

Es necesario que u > 1 + r > d (Por que?).Analisis Financiero (CC-A84) Ingeniera Industrial UCN 15 / 21

El modelo Binomial de un perodo (cont.)

Una opcion de compra (call) escrita sobre la accion con precio de ejercicioK puede tomar los siguientes valores en T

c

cu = max(u S K , 0)

cd = max(d S K , 0)

p

1 p

Suponga que compra acciones e invierte $B a la tasa libre de riesgo. La cartera V = S + B puede tomar los siguientes valores en T :

V = S + B

Vu = u S + B(1 + r)

Vd = d S + B(1 + r)

p

1 p


Cartera que Replica la Opcion

La cartera replicara perfectamente los flujos de la opcion si existe (,B)tal que Vu = Cu y Vd = Cd .

Encontramos que:

=Cu Cd(u d)S y B =

dCu uCd(1 + r)(u d)

Por ausencia de arbitraje el valor de la opcion debe ser C = V = S + B.

Note que: 1 0 y B 0,

La call es equivalente a una posicion apalancada en menos que una accion.

Tarea: Como es el valor de una opcion de venta (put)?

Es posible extender el modelo Binomial a mas periodos.


Ejemplo 3

Suponga que S = 100, u = 1, 15, d = 0, 75, r = 0, 05.

100

115

75

p

1 p

Encuentre la cartera que replica la opcion de compra y el valor de laopcion con precio de ejercicio 100.

Que hara si la opcion se transa en $14? Que opciones tienen = 0? y = 1? Cual es el precio libre de arbitraje de la opcion de venta? Verifique si la Put-Call Parity se cumple en este modelo.


El Modelo de Merton, Black y Scholes (1973)

Valor de una opcion de compra Europea con precio de ejercicio K

KSt

ct


El Modelo de Merton, Black y Scholes (1973) (cont.)

Black y Scholes demuestran que el valor de una call Europea es:c(S ,K ,T t, r , ) = S N(d1) K er(Tt) N(d2)

donde N() es la funcion de densidad de una variable aleatoria normalestandar y:

d1 =ln SK + (r +

2/2)(T t)

T td2 = d1

T t

La funcion N(z) = z e x222pi dx se calcula facilmente (e.g.,DISTR.NORM.ESTAND(z) en Excel 2007).

Los parametros de la formula de Black-Scholes son:S precio actual de la accionK precio de ejercicioT t tiempo para la madurez de la opcionr tasa de interes libre de riesgo (compuesta continuamente) desviacion estandar anualizada de los retornos (volatilidad)


Lectura Obligatoria

Brealey & Myers (2003). Principios de Finanzas Corporativas,Septima Edicion, Captulos 20 (Entendiendo las opciones) y 21(Valoracion de opciones).


Qu son las Opciones?DefinicionesPosicin Larga vs. Posicin Corta en una CallPosicin Larga vs. Posicin Corta en una PutEjemplo 1

Put-Call ParityCall sintticaPut-Call Parity cuando los Activos No Pagan DividendosDemostracin (sin dividendos)Put-Call Parity con DividendosCunto es VP(Dt) para el S&P 500?Ejemplo 2

Valorizacin de OpcionesEl modelo Binomial de un perodoCartera que Replica la OpcinEjemplo 3El Modelo de Merton, Black y Scholes (1973)Lectura Obligatoria

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