Kada je rešenje dopustivo, bazično, nesingularno i singularno? Vektor X=(x1, x2,..., xn) je plan ili dopustivo rešenje standardnog zadatka LP ako ispunjava odgovarajuća ograničenja. Skup rešenja može biti prazan, ako je sistem ograničenja nesaglasan. Ako nije prazan, skup rešenja sadrži bar jedan plan. Plan X=(x1, x2,..., xn) je bazičan ako su vektori Ai, i=1,2,...,n sa pozitivnim komponentama xi linearno nezavisni. S obzirom da su Ai m-dimenzioni, broj pozitvnih komponenti vektora X=(x1,x2,..., xn) ne može biti veći od m. Bazični plan je nesingularan ako sadrži m pozitivnih komponenti, a singularan ako je broj pozitivnih komponenti manji od m.

Kad je rešenje optimalno? Plan X*=(x1*, x2*, …, xn*) je optimalan ako funkcija cilja Z ((max/min)z=f(x1, x2, …,xn)) ima maksimalnu (minimalnu) vrednost za X=X* U slučaju maksimizacije f-je cilja za optimalno rešenje (plan) važi Z(X*)≥Z(X), a u slučaju minimizacije f-je ciljaza optimalan plan važi Z(X*)≤Z(X). U oba slučaja xϵL. Na osnovu kod uslova se određuje vrednost Ө u simpleks algoritmu? xi-Өxik≥0 iz čega sledi Ө≤xi/xik 0<Ө≤min (xi/xik) za xik>0 Šta je ocena vektora i kako se izračunava? Ocena vektora predstavlja uticaj nebazičnog vektora na promenu f-je cilja kada bi ušao u bazu. zj-cj=CBxj-cj CB – vektor koeficijenta iz f-je cilja. Služi ya određivanje veza izmedđu vrednosti f-je cilja za rešenja na dva uzastopna koraka. I pomoću nje se može definisati uslov optimalnosti. Koji specijalni slučajevi mogu da se jave pri izračunavanju simpleks tabele i šta oni znače? - Ako su u vodećoj koloni sve vrednosti aik≤0, i=1,2,…,n , onda je linearna forma neograničena na datom skupu rešenja. - Optimalan plan je jedinstven ako su u (m+1)-om redu ocene plana jednake nuli samo za bazične promenljive. - Ukoliko postoji neka ocena Zs-Cs=0 za nebazičnu promenljivu, onda ulazak vektora As u bazu neće promeniti vrednost f-je kriterijuma. Na ovaj način se dobija novo alternativno optimalno rešenje sa istom vrednošću f-je cilja. - Ako su sve vrednosti promenljivih bi’≠0, i=1, 2,…, m plan je nesingularan, a ako postoji bar jedna vrednost bi’=0 plan je singularan. Kada zadatak LP ima alternativno optimalno rešenje I kako se određuje skup alternativnih rešenja? Kada je hiperravan f-je cilja Z paralelna sa hiperravni jednog od ograničenja, I ako ona postaje bazična za oblast dopustivih rešenja baš u toj hiperravnisa kojom je paralelna, onda f-ja cilja ima jednu te istu optimalnu vrednost za neki skup tačaka prostora rešenja. Takva rešenja se nazivaju alternativna optimalna rešenja. U takvim slučajevima postoji beskonačan skup alternativnih rešenja, jer je konveksna linearna kombinacija bilo koje dve tačke iz tog skupa takođe optimalno rešenje. Kada je f-ja cilja neograničena na oblasti dopustivih rešenja? F-ja cilja će biti neograničena kada u redu z-c nisu ispunjeni uslovi optimalnosti rešenja, a koeficijenti iz vodeće kolone su aik ≤0. Ovo znači da ne može da se odredi vektor koji ulazi u bazu. Kakva je veza između rešenja direktnog i dualnog zadatka? Za rešenja direktnog i dualnog zadatka mogu se definisati sledeće važne veze: - Ako su X=(x1, x2,…, xn) I Y=(y1, y2,…, yn) bilo koja dva rešenja direktnog i dualnog zadatka koji su definisani relacijama (zapisati direktni i dualni zadatak) onda vrednost f-je cilja direkntnog zadatka nikad ne prelazi vrednost f-je cilja dualnog zadatka, tj. z(X)≤f(Y). - Ako su X* i Y* dva rešenja direktnog i dualnog zadatka i ako za njih važi da je z(X*)=f(Y*), onda jje X* optimalno rešenje direktnog, a Y* optimalno rešenje dualnog zadatka. - Plan X*=(x1*, x2*,…, xn*) direkntog zadatka i plan Y*=(y1*, y2*,…, ym*) dualnog zadatka su optimalni planovi tih zadataka ako i samo ako je za svako j=1,2,…,n ispunjena jednakost: (∑aijyi*-cj)xj*=0, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n. Koja veza postoji između ocena plana i dualnih promenljivih? U poslednjoj simpleks tabeli u redu z-c nalazi se rešenje duala, tj. vrednosti dualnih promenljivih. Ocene zj-cj na svakoj iteraciji se računaju kao razlika leve i desne strane ograničenja duala, odnosno: zj-cj=∑aij yi-cj, i=1,2,…,m.

Kako se ekonomski interpretiraju dualne promenljive za zadatak raspodele resursa? Dualne promenljive se interpretiraju kao cene, tj. vrednosti resursa i, a označavaju se sa yi. Ukupna cena svih resursa za proizvodnju jedinice j-tog proizvoda se izražava kao ∑aijyi. Koji koraci čine opštu šemu analize osetljivosti modela?

1. Reašavanje polaznog zadatka LP i dobijanje tabele za optimalno rešenje, 2. U skladu sa promenama polaznih uslova odeređuju se nove vrednosti elemenata simplex tabele

izračunavanjima koja su bazirana na relacijama dualnosti, 3. Ako je bazično rešenje dobijeno u simplex tabeli neoptimalno, prelazi se na sledeći korak, 4. Pomoću običnog simplex metoda dobija se novo optimalno rešenje i završava se izračunavanje, 5. Pomoću dualnog simplex metoda dobija se dopustivo rešenje (ili ga zadatak nema) i završava se izračunavanje.

Koje promene uslova zadatka utiču na optimalnost tekućeg rešenja?

- Promene koeficijenata u f-ji cilja (cj),

- Promene tehničko-tehnoloških koeficijenata (aij),

- Dodavanje novih promenljivih.

Kako se analizira dodavanje novog ograničenja kod zadatka LP i kako ono utiče na f-ju cilja?

Uvođenje novog ograničenja može dovesti do toga:

- Da je novo ograničenje pri tekućem rešenju ispunjeno, pa je to ograničenje ili suvišno ili neaktivno pa onda njegovo

dodavanje ne menja tekuće optimalno rešenje.

- Da novo ograničenje pri tekućem rešenju nije ispunjeno, što znači da je ovo ograničenje aktivno i da se menja

tekuće optimalno rešenje koje se određuje pomoću dualnog simplex algoritma.

Uvođenje novog ograničenja daje lošiju vrednost f-ji cilja (kod maximizacije dobiti novo ograničenje može smanjiti dobit,

nikako povećati, a kod minimizacije povećati troškove, nikako ih smanjiti).

Kako se uvodi nova promenljiva kod zadatka LP i kako ona utiče na f-ju cilja?

Dodavanje nove promenljive utiče na istovremenu promenu f-je cilja i koeficijenata leve strane ograničenja. Za novu

promenljivu izračunava se ocena zn+1-cn+1; ako nova promenljiva menja tekuće bazično rešenje onda se izračunavaju

koeficijenti u odgovarajućoj koloni xn+1=D-1 An+1; zatim se poslednjoj simplex tabeli dodaje kolona koja odgovara

novoj promenljivoj xn+1 u koju se upisuju izračunate vrednosti.

II kolokvijum

Kako se definiše potencijal kod TZ i šta je ispunjeno za optimalni plan?

Metod potencijala je modifikovan metod relativnih troškova. Ovaj metod se bazira na činjenici da optimalnom planu

transporta X*=(xij*)nxm odgovara sistem od m+n brojeva, potencijala zaliha ui* i potencijala zahteva vj* za koje je

ispunjen uslov: ui*+vj*=cij za xij>0 ui*+vj*≤cij za xij=0, gde su i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Bazičan plan je optimalan ako je za njega ispunjeno: - za svako zauzeto polje (bazičnu promenljivu) suma potencijala treba da bude jednaka odgovarajućim troškovima prevoza jedinice robe, tj.: ui + vj = cij - za svako slobodno polje (nebazičnu promenljivu) suma potencijala treba da bude ≤ odgovarajućim troškovima, tj.: ui + vj ≤ cij Kako se rešava zadatak sa tranzitnim punktovima kada isporuka u punktove dostave mora da ide preko tranzitnih, ali je moguća isporuka između punkotva isporuke? U ovom slučaju roba mora ići preko tranzitnih punktova, pa su troškovi prevoza iz Ai u Bj jednaki M (cij=M), što znači da se ta polja blokiraju.

Kako se rešava zadatak sa tranzitnim punktovima kada isporuka mora da ide preko tranzitnih punktova, a ne direktno iz punkta isporuke u dostave? Ova situacija se uglavnom javlja kada se roba od proizvođača prvo vozi u punktove dodatne prerade ili skladišta, pa tek odatle u punkt dostave. Za troškove prevoza iz Ai u Bj stavlja se da je cij=M (blokiranje polja), a mogu se javiti i dodatni

troškovi prerade ck koji se dodaju troškovima ckj i upisuju se u odgovarajuća polja. Kako se formuliše zadatak dinamičkog programiranja? Zadatak DP se rešava u više koraka. Za probleme (tj. upravljačke procese) koji se mogu rešavati metodama DP def. su

etape i=0,1,2,…,k i skupovi stanja S0,S1,…,Sk na svakoj od etapa. Stanja (uložena sredstva, starost mašine i sl.)

obeležavaju se promenljivim x1,x2,…,xn. Prelasku iz jedne etape u drugu odgovara upravljanje (odluka, izbor) ui iz skupa

mogućih odluka Ui kojom problem iz jednog stanja prelazi u drugo (Si→Si+1) Trajektorija je prelazak iz stanja u stanje, tj. iz

tačke Xi u Xi+1. Zadatak DP je odrediti takvo upravljanje U* koje predstavlja prelazak iz prve u poslednju etapu, a da kriterijum F(U*) bude optimalan. Koji su osnovni principi rešavanja zadatka DP? Osnovni princip DP je da se optimizira samo jedna etapa uzimajući u obzir ceo dekomponovan problem. S obzirom na to da poslednja k-ta etapa nema narednu, izbor odluke na ovom koraku ima najveći efekat. Pri izboru odluke na ovom koraku može se uzeti u obzir (k-1)-vi korak, kod koga je uzet u obzir (k-2)-i korak itd. Na kraju se dolazi do prve etape

(početnog stanja) S0. A ako ovo stanje nije poznato onda se na osnovu uslovnog optimalnog rešenja određuje optimalna odluka za svaku pretpostavku. Kako se grafički rešava zadatak DP? Rešava se grafom (tj. mrežom). U zavisnosti od problema koji se rešava grafom, može se odrediti put koji spaja početni i završni događaj, a ima minimalnu ili maksimalnu dužinu . Sa fi se označava optimalna dužina puta od čvora i do čvora n, onda je fj= kod minimuma f-je cilja (min troškovi), odnosno fj= kod maksimuma f-je cilja (npr. max prihod). Pretpostavka je da je f1=0. Šta su etape, a šta stanja zadatka DP? Rešavanje nekog problema (npr. unapređenje proizvodnje) kod DP vrši se njegovim razlaganjem na etape i stanja kako bi

se lakše došlo do rešenja. Etapa se obeležava sa i , a može ih biti i=0,1,2,…,k i sastoji se od skupova stanja S0, S1, S2,…, Sk. Stanje je rešenje nekog manjeg dela problema, a opisuje se nekim numeričkim promenljivim x1, x2,…, xn i sva stanja problema nazivaju se oblast mogućih stanja. Kako se definiše etapa, stanje i upravljanje kod raspodele ograničeog resursa na N preduzeća? Kod ovakve raspodele se na N etapa razmatra raspodela finansijskih sredstava koja se ulažu u k preduzeća (k=1,2,…,N). Stanja svake etape definisana su količinom neraspoređenih resursa x, tj. ukupnom količinom resursa koja se raspoređuje na toj etapi. Upravljanje na k-toj etapi je kolličina sredstava koja se dodeljuje k-tom preduzeću u zavisnosti od vrednosti f-je cilja. Ta količina koja se dodeljuje k-tom preduzeću zavisi od količine sredstava koja su već raspoređena na prethodnim etapama. Treba odrediti takvo upravljanje pri kome funkcija F(x) ima najveću vrednost. Koliko resursa se deli na svakoj etapi, a koliko na poslednjoj kod raspodele ograničenog resursa na N preduzeća? Za i=N maksimalna vrednost se izračunava za zadatu (tj. ukupnu) količinu resursa, x=S, jer je neraspoređena količina 0.

Pa je: FN(S)= max 0≤xN≤S [gN(xN)+FN-1(S - xN)]. Iz ove relacije se određuje optimalno ulaganje u N-to preduzeće xN*.

Na osnovu ove vrednosti i određenih uslovnih optimalnih upravljanja, ide se od poslednje do prve etape i određuje se optimalna količina resursa za svako preduzeće iz uslova. Kako se definiše jednačina Bellman-a kod problema optimalne zamene mašina?

Može se napisati kao Fi(t(1))=max

, gde su i=N,N-a, N-2,…,1; t

(i)=1,2,…,i.

Koji grafički prikaz MD se više koristi u primeni računara? MD sa aktivnostima na čvorovima (AON).

Definisati osnovne elemente mrežnog dijagrama? Osnovni elementi mrežnog dijagrama su: projekat, aktivnost i događaj. Projekat je skup međusobno povezanih operacija koje je neophodno realizovati u određenom poretku kako bi se postigao postavljeni cilj. Projekat se sastoji od niza delimičnih zadataka koji se nazivaju aktivnosti. Aktivnost kao deo projekta može biti: - jasno određena etapa radnog procesa za čiju realizaciju je neophodno angažovati vreme i sredstva, - čekanje - zavisnost. Događaj se definiše kao trenutak početka ili završetka jedne ili više aktivnosti ili celog projekta. On ne troši vreme i sredstva. Koje numerisanje događaja se preporučuje za konstruisani MD i kako se numeriše MD? Sve događaje konstruisanog MD treba numerisati prirodnim brojevima, a numerisanje može biti proizvoljno ili rastuće. Kod proizvoljnog numerisanja može se desiti da je za aktivnost (i-j) uspunjen uslov i >j. Ovakva numeracija ima niz nedostataka. Dok se kod rastućeg numerisanja svakom događaju dodeljuje prirodan broj iz intervala , pri čemu se početni događaj obeležava sa 1, a završni sa n i potrebno je da bude ispunjen uslov i <j. Prema Fulkersonovom pravilu rastuće numerisanje se vrši na sledeći način: 1. početni događaj numeriše se sa 1 i precrtaju se sve aktivnosti koje izlaze iz tog događaja, 2. zatim se numerišu samo oni događaji kojima prethode precrtane aktivnosti, a numerisanje se vrši odozgo prema dole

narednim prirodnim brojevima i precrtaju se sve aktivnosti koje izlaze iz tih numerisanih događaja, 3. u sledećim koracima postupak se ponavlja prema pravilima drugog koraka sve dok ima nenumerisanih događaja. Koje metode postoje za analizu vremena MD i po čemu se razlikuju? Za AOA mrežne dijagrame (aktivnost se prikazuje na strelicama – metoda orijentisana događajima) koristi se CPM i PERT metod, osnovna razlika između njih je u analizi vremena: CPM je deterministički, a PERT stohastički metod. Za AON mrežne dijagrame (aktivnost se prikazuje u čvorovima – metoda orijentisana aktivnostima) koristi se PDM metoda bez obzira na način određivanja vremena trajanja aktivnosti. Kako se određuje najranije i najkasnije nastupanje događaja kod CPM-a?

Najranije nastupanje događaja j, neke aktivnosti (i-j), izračunava se sabiranjem najranijeg početka ti(0) te aktivnosti sa

njenim vremenom trajanja tij, tj.: tj(0) = ti

(0)+tij. Ovako se računa samo ako u događaj ulazi aktivnost (i-j). A ako u

događaj j ulazi više aktivnosti onde se izračunava ovako: tj(0)= max{ti

(0)+tij}; t1(0)=0 gde je i<j.

Tek kada se odrede najraniji počeci i najraniji završeci svih aktivnosti u MD, mogu se odrediti najkasniji početak i završetak bilo koje aktivnosti (i-j). Najkasnije nastupanje događaja i , neke aktivnosti (i-j), izračunava se oduzimanjem vremena trajanja tij od njenog

najkasnijeg završetka tj(1), odnosno: ti(1) = tj

(1)-tij ukoliko iz događaja i izlazi samo aktivnost (i-j). Kad izlazi više

aktivnosti onda se računa ovako: : ti(1)= min{tj

(1)-tij}; tn(1)=TP gde je i<j.

Na osnovu kojih veličina se određuje najranije i najkasnije nastupanje događaja kod PERT-a? Vremena nastupanja svih događaja u MD izračunavaju se na osnovu očekivanih vrednsoti.

Najranije vreme nastupanja događaja i označava se sa (TE)i i predstavlja najraniji rok kada se on može odigrati. Računa

se na sledeći način: (TE)j=max{(TE)i+(te)ij} ; (TE)1=0. Najkasnije vreme nastupanja događaja i označava se sa (TL)i , predstavlja najkasniji rok odigravanja i-tog događaja.

Računa se ovako: (TL)i=min{(TL)j-(te)ij} ; (TL)n=(TE)n. Ovi rokovi se mogu računati i direktno u MD. Na šta se odnosi analiza vremena kod PDM metode? Kod PDM metode (metoda prvenstva) analiza vremena odnosi se na aktivnosti, a ne na događaje. Cilj analize je da se odrede aktivnosti koje su kritične i koje određuju vreme trajanja projekta.

Na osnovu koje veličine se biraju aktivnosti za koje se skraćuje vreme realizacije kod PERT/COST analize?

Na osnovu jediničnog priraštaja troškova, tj. vrednosti ∆C, a računa se: ∆C=(Cu-Cn)/(tn-tu). Gde su: tn je normalno

vreme trajanja aktivnosti, a tu je usiljeno vreme trajanja; Cn su normalni troškovi, a Cu usiljeni troškovi.

Koji su osnovni koraci analize troškova? 1. Za svaku aktivnost odrediti sve pojedinačne troškove i na osnovu njih ukupne troškove za tu aktivnost, 2. Odrediti trošak za svaku aktivnost po vremenskim jedinicama pod pretpostavkom da se u svim vremenskim

jedinicama troši ista količina finansijskih jedinica, 3. Korišćenjem ES i LS odrediti koliko se fin. jed. troši u toku jedne vrem. jed. do željenog trajanja projekta.

Da li resursi utiču na dužinu trajanja projekta i kako? Da, količina raspoloživh resursa utiče na vreme trajanje projekta. Jer ako su resursi ograničeni, a u nekom vremenskom periodu je moguće odigravanje više aktivnosti za koje nema dovoljno resursa, tada se resursi moraju rasporediti tako da minimalno produže vreme odigravanja projekta. Šta je analiza resursa? Predstavlja proces uticanja resursa na vreme za koje će se odigrati neki projekat, za realizaciju njegovih aktivnosti. Šta je intenzitet i obim resursa?

Intenzitet resursa ( rij(k) ) je količina k-tog resursa koja se angažuje za izvršenje jedne vremenske jedinice aktivnosti (i-j).

Na osnovu ove veličine je određeno vreme trajanja aktivnosti. Obim resursa je ukupna količina k-tog resursa koja se

angažuje za izvršenje aktivnosti (i-j) i označava se sa wij(k)

, a izračunava se ovako: wij(k)= rij

(k) tij .

Ukupna količina k-tog resursa koja se angažuje za realizaciju projekta biće: ∑ wij(k)=∑ rij

(k) tij.