operaciones con matrices
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Operaciones con Matrices, Suma, Resta, Multiplicacion.TRANSCRIPT
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OPERACIONES CON MATRICES
OPERACIONES
CON MATRICES
PRESENTA
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OPERACIONES CON MATRICES
ÍNDICE
1 | Historia de una Matriz ......................................................................................... 3
2 | ¿Matriz? Definición ............................................................................................. 4
3 | Tipos de Matrices ................................................................................................ 5
4 | Suma de Matrices ............................................................................................... 9
5 | Producto de matrices (Multiplicación) .................................................................. 11
6 | Producto de un escalar por una matriz ................................................................ 12
7 | Resta de Matrices .............................................................................................. 13
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OPERACIONES CON MATRICES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en
1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada
de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
El origen de la matriz es muy antiguo, un cuadrado mágico 3 por 3; se registra en la
literatura china hacia 650 a.C.
Un importante texto Matemático chino del año 300 a.C. define 9 capítulos del arte
de las matemáticas, dando a conocer el primer ejemplo del uso de las matrices para
resolver un sistema de ecuaciones simultaneas.
El término matriz fue acuñado en 1848, por J.J. En 1853, Hamilton hizo algunos
aportes a la teoría de matrices. En 1858 se introdujo la notación matricial, como una
forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.
Durante la segunda Guerra Mundial Olga Taussky (1906-1995), uso la teoría de
matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado Fluttering.
Historia de una Matriz Autor: Neida Castillo
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OPERACIONES CON MATRICES
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en
general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de
orden "m×n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en
n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño,
siendo m y n números naturales.
A =
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23⋯ 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33⋯ 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3⋯ 𝑎𝑚𝑛)
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c. Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij.
B =(3 1 21 0 12 3 4
)
COLUMNAS
FILAS
¿Matriz? Definición Autor: Miguel Vergel
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas
que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de
columnas.
Los elementos de la forma aij constituyen la diagonal
principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Tipos de Matrices Autor: Luis Suárez
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por
debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima
de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por
encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales.
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At) t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
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OPERACIONES CON MATRICES
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
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OPERACIONES CON MATRICES
Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria.
La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma
dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número
de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos
elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones
correspondientes en las matrices originales.
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Suma de Matrices Autor: Miguel Vergel
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OPERACIONES CON MATRICES
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados
de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
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OPERACIONES CON MATRICES
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide
con el número de filas de B.
Mmxn x Mnxp = Mmxp
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la
fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Producto de matrices
(Multiplicación)
Autor: Luis Suárez
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OPERACIONES CON MATRICES
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Dada una matriz A = (aij) y un número real k pertenece R, se define el producto de
un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada
elemento está multiplicado por k
k · A=(k aij)
Producto de un escalar por una
matriz
Autor: Luis Suárez
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OPERACIONES CON MATRICES
a · (b · A) = (a · b) · A A € Mmxn, a, b € R
a · (A + B) = a · A + a · B A,B € Mmxn , a € R
(a + b) · A = a · A + b · A A € Mmxn , a, b € R
1 · A = A A € Mmxn
Todas las matrices no se pueden restar para poder hacerlo debemos cumplir una
condición muy importante.
Para Realizar una resta es necesario tenerte dos matrices diferentes que contengan
la misma dimensión, eso quiere decir que deben tener el mismo número de filas y
columnas, para poder restar los términos que ocupan el mismo lugar en las
matrices.
A=(0 − 1 21 − 3 14 0 1
) B=(3 1 20 2 − 70 0 − 2
)
A-B=(−1 − 2 0 0 − 5 84 0 3
)
Resta de Matrices Autor: David Liscano
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OPERACIONES CON MATRICES
Grupo de Trabajo
Luis Suarez
Tipos de Matrices
Producto de matrices (Multiplicación)
Producto de un escalar por una matriz
Miguel Vergel
¿Matriz? Definición
Sumas de Matrices
Neida Castillo
Historia de una Matriz
David Liscano
Resta de Matrices OPE
RACI
ON
ES
CON
MA
TRIC
ES