Operaciones con números complejos

Suma de N. Complejos

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios realmente transversales:

a+bi c+di = a+c b+d i

Ejemplo:

Resta de N. Complejos

Aunque se opera de la misma manera que en la suma hay que aclarar que se resta la parte real y la parte imaginaria por separado.

a+bi −c+di = a−c b−d i

Ejemplo:

Multiplicación de N. Complejos

Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:

a+bi c+di =ac+adi+bci+bdi 2=ac−bd ad+bc i

Obsérvese que el término bdi2 pasa a ser − bd. Eso es porque i2 = − 1.

Ejemplo:

42i 32i =4 ·34 ·2i2 ·3i2 ·2i 2=4 ·3−2 ·2 4 ·22 ·3 i=814 i

División de N. ComplejosLa división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un número real:

Si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

Operaciones con Matrices

Una matriz es un arreglo de los coeficientes constantes de un sistema de ecuaciones lineales.

Las matrices pueden ser cuadradas o rectangulares, son cuadradas cuando el numero de filas y columnas es el mismo, y son rectangulares cuando son diferentes.

Definición de Matriz

Suma de matricesLa única regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.

Lo que se hace es sumar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demás y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices.

Ejemplo de suma

Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posición 1,1 la suma de la posición 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la segunda, y así se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices.

Resta de matrices

La única regla que hay para la resta de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.

Lo que se hace es restar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demás y cuyos valores son la resta de los valore de las otras 2 matrices.

Ejemplo de Resta

Multiplicación de matricesLa multiplicación de matrices es un poco mas complicada.

La regla aquí es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al numero de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicación de una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedaría una matriz de 2x5.

Además, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicación no es posición por posición, sino que se hace de la siguiente manera:

Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda matriz, y lo que se hace es multiplicar una posición de fila por una de columna:

Ejemplo de Multiplicación

Transpuesta de una matriz

La transposición de una matriz no es nada mas que cambiar las filas por las columnas, o dicho y visto mas fácil, voltear cada posición, es decir, por ejemplo, que la posición 1,1 al voltearse sigue siendo 1,1 la 1,2 al voltearse es 2,1 y la 5,3 al voltearse es 3,5 y el resultado es nada mas acomodar todas las posiciones.

Como se ve es como si se acostaran las columnas, pero para no fallarle es mejo el método de primero voltear las coordenadas y luego acomodarlas.

Ordenamiento de Burbuja

El Ordenamiento de Burbuja (Bubble Sort en inglés), funciona revisando cada elemento de la lista que va a ser ordenada con el siguiente, intercambiándolos de posición si están en el orden equivocado.También es conocido como el método del intercambio directo.Dado que solo usa comparaciones para operar elementos, se lo considera un algoritmo de comparación, siendo el más sencillo de implementar.