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Operaciones de números

racionales

Yuitza T. Humarán Martínez Adapatado por Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo

• El conjunto de los números

racionales consiste de: Fracciones de naturales

Opuestos de las fracciones de naturales

Enteros

Profa. Yuitza T. Humarán


Orden de números racionales y la recta numérica

Recta numérica

• A todo número racional le corresponde uno y sólo un punto de la recta.


0 1 -1 2 3 4 -2 -3

0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1

2 2

3

2

5

Números racionales negativos Dos números racionales opuestos están a la

misma distancia de cero

• el positivo hacia la derecha de cero

• el negativo hacia la izquierda de cero.


Opuestos

0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1

2 2

3

2

5

2

3

2

1

2

5

Orden Los números en la recta numérica

aumentan siempre de izquierda a derecha. a)

b)

c)

d)


0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1

2 2

3

2

5

2

3

2

1

2

5

2

5

2

1

2

3

2

1

2

5

2

5

2

31

2

<

>

>

<


Simplificación de fracciones


Una fracción está en su mínima expresión si el máximo común divisor o factor (MCDiv) del numerador y del denominador es 1.

Ejemplos:

24

7(a)

(b) 35

8

MCDiv(7,24)=1

MCDiv(8,35)=1

Las fracciones se escriben en su mínima expresión mediante la ley fundamental de fracciones.

Ley fundamental de fracciones

Si es una fracción, entonces

para cualquier número n ≠ 0 y b ≠0.


ba

bnan

ba

Ejemplo


Reduzca o simplifique a su mínima expresión. 54

36

Determine el máximo común divisor de 36 y 54.

183

182

54

36

MCDiv(36,54) = 18

Exprese el numerador y el denominador como producto del máximo común divisor.

Utilice ley fundamental de fracciones

183

182

54

36

3

2


Otra forma de reducir una fracción es mediante la factorización prima.

1. Se factoriza en números primos el numerador y el denominador.

2. Se aplica la ley fundamental de fracciones a todos los factores del numerador y del denominador que sean iguales.

Del ejemplo anterior:

3

2

333

332

3332

3322

54

36

Ejercicio

Determine si la fracción está o no está en su mínima expresión. De no estarlo, simplifíquela. 1.

2.

3.


20

4

54

27

45

32


Suma y resta de

números racionales


Si quieres sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.

+ =

+ =

Nota que al sumar fracciones con el mismo denominador, el resultado tiene ese denominador.

Considere el siguiente ejemplo.

Además, el numerador del resultado es la suma de los numeradores.

2 __

8

__

8

3 __

8

5

Ejemplo


+ =

__

5

4 __

5

2 + =

__

5

6 = 1

__

5

1

Fracciones homogéneas: fracciones con denominadores iguales


Suma lo siguiente:

Sumas los numeradores.

Escribes el mismo denominador.

__

3

4 +

__

3

10

= __

3

14

Ejemplo

Suma de fracciones

Sean a, b y c números enteros tal que b ≠ 0, entonces,


b

ca

b

c

b

a +=+


Lo mismo ocurre con la resta.

- =

__

8

7 __

8

2 - =

__

8

5


Resta lo siguiente: Resta los numeradores.

Escribe el mismo denominador.

___

12

10 ___

12

7 -

= ___

12

3

= ___

4

1 Simplifica.

10 7

12

Suma o Resta de fracciones homogéneas Sean a, b y c números enteros

tal que b ≠ 0, entonces,

.


b

ca

b

c

b

a

b

ca

b

c

b

a

Reglas de signos y operaciones con fracciones

• Las reglas de signo se usan igual que con lo números enteros.

• Se operan los valores absolutos y se decide el signo del resultado.


Ejemplos:


Efectúe la operación y simplifique.

a)

b)

c)

8 7

5 5

5 10

8 8

7 11

4 4

15

5

3

5

8

5

)7(8

5 10

8

7 11

4 4

41

4

5

)11(7


¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?

1

2

1

3+

Recuerda que sumar fracciones implica contar cuántos pedazos de un mismo tamaño tenemos.

Debemos cambiar las partes a un mismo tamaño en común para poder contarlos.


¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?

1

2

1

3+

Simbólicamente, debemos representar las fracciones de tal forma que tengan el mismo denominador.


2

6

=

1

3

1

2

=

3

6

Mediante equivalencias obtenemos,


Así que,

1

2

1

3+ =

2

6

3

6+ =

5

6

Entonces podemos representar la suma,

2

6

=

1

3

1

2

=

3

6

+

+ 5

6


1. Calcular el mínimo común múltiplo (MCM) del conjunto de denominadores (mínimo común denominador (MCD)).

Sumar o resta de fracciones con denominadores distintos

2. Construir fracciones equivalentes que tengan el denominador que se calculó en el paso anterior usando la ley fundamental de fracciones.

3. Efectuar la operación y simplificar.

bnan

ba


1

2

1

3+ =

2

6

3

6

+

=

5

6

1 2

3 2

+

=

1 3

2 3

Ejemplo anterior revisitado:


Ejemplo:

Efectúe la operación y simplifique.

(a)

(b)

1 3

10 4 =

MCM(4, 10)

1 2

10 2

+

3 5

4 5

= =

9 6

50 25 =

MCM(50, 25)

9 6 2

50 25 2

= 9 12

50 50

=

21

50

20

15

20

2

20

17

= 20

= 50

=


Multiplicación de

números racionales


Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

a c

b d

a c

b d

Ejemplo:

2 7

3 5

14

15

2 7

3 5


Ahora bien, los resultados deben estar expresados en su forma mínima.

Para lograr esto, se aconseja que simplifiques antes de efectuar como tal la multiplicación.

Ejemplo:

3 10

4 3

3 10

4 3

5

2

232

532

Ejemplos


(a)

(b)

10 21

7 100

10 21

7 100

3

10

11 4

12 3

11 4

12 3

11

3 3

11

9

10710

1073

433

411


(c) 54

3

= 4 5

1 3

= 4 5

1 3

=

20

3

Escribes el entero en alguna forma racional.

(d) 2 9

3 5

= 2 9

3 5

= 2 3 3

3 5

= 6

5

Escoges el signo del producto con las reglas de signo.

5

32


División de

números racionales

Recíproco


Dos números cuyo producto es 1, son recíprocos o inversos multiplicativos uno del otro.

Ejemplos:

8 1

31

7

a)

b)

7

3

1

8


Dividir por un número equivale a multiplicar por el recíproco del número.

a c a d a d

b d b c b c

¡Si sabes multiplicar puedes dividir!

Ejemplos


Divide y expresa tu resultado en su expresión mínima.

a)

b) 2 8

3 3

2 3

3 8

2 3

3 8

1

4

1 3

4 2

1 2

4 3

1 2

4 3

1

6

223

21

322

21

23

1

3222

32

2223

32

22

1


c) 123

7

73

12

3 7

1 12 3 7

1 12

7

4

d) 7 4

2 3

7 3

2 4

21

8

341

37

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